Samedi 9 o tobre 2010.

Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2

 Mathématiques

Devoir Surveillé no 2 (4 heures) Sujet de type  E ri ome  Les étudiants ont le hoix entre l'épreuve de type  Parisiennes  et l'épreuve de type  E ri ome . Ils ne devront traiter qu'une des deux épreuves.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la réda tion, la larté, la pré ision et la on ision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appré iation des opies. Les andidats sont invités à en adrer dans la mesure du possible les résultats de leurs al uls. L'usage de tout do ument et de tout matériel éle tronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints et rangés. Si au ours de l'épreuve, un andidat repère e qui lui semble être une erreur d'énon é, il le signalera sur sa

opie et poursuivra sa omposition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Exer i e 1  (E ri ome 2005) On dénit une suite réelle (un )n∈N par : u0 > 0 et, pour n > 1, un = √

1. Montrer que pour tout entier n, un > n. 2. (a) Montrer que : ∀x ∈ R+ ,

(b) En déduire que pour tout entier n, un 6 n + ( ) Montrer que la suite

u  n

n

n>1

√

x6

p n + un−1 .

1 (1 + x). 2

 u u0 n−1 , puis que la suite

onverge vers 0. 2n n2 n>1

onverge vers 0, puis, en remarquant que, pour tout entier n non nul, un 16 √ 6 n

r un−1 1+ , n

en déduire un équivalent de un en +∞ √

3. On pose wn = un − n. À l'aide d'un développement limité en 0 de admet une limite L que l'on pré isera. √

√

√

1 + x, montrer que la suite (wn )n∈N

4. Cal uler lim ( n − n − 1), puis lim (un − un−1 ). n→+∞

n→+∞

Justier alors qu'il existe un entier naturel N0 tel que pour tout entier n, si n > N0 , alors un > un−1 + 12 . Montrer que un+1 − un est du signe de 1 + un − un−1 , puis que la suite (un ) est roissante à partir d'un

ertain rang.

5. É rire en langage PASCAL une fon tion ayant pour nom suite qui al ule le terme d'indi e n de la suite lorsque u0 = 1. 6. (Question ajoutée) (a) Quelle est, selon la valeur de α ∈ R, la nature de la série de terme général uαn ?

(b) Quelle est, selon la valeur de α ∈ R, la nature de la série de terme général (−1)n uαn ? On pré isera les as de onvergen e absolue et de semi- onvergen e.

1

Exer i e 2  (d'après EDHEC 1994) α désigne un nombre réel xé supérieur ou égal à 1, et on pose : Z +∞ Z +∞ −αt sin t I= e et ∀n ∈ N, In = e−αt tn dt. dt t 0 0

1. Montrer que l'intégrale I est absolument onvergente. 2. (a) Cal uler I0 (b) Pour n > 1, montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que si In−1 est onvergente, il en est de même de In , et trouver une relation entre In et In−1 . ( ) En déduire la onvergen e de In et la valeur de In en fon tion de n et α. 3. (a) Montrer que :   2n+2 x3 x2n+1 6 x ∀x ∈ R+ , ∀n ∈ N, sin x − x − + · · · + (−1)n . 6 (2n + 1)! (2n + 2)!

(b) En déduire que :

  6 KI2n+1 , I − I0 − I2 + · · · + (−1)n I2n 3! (2n + 1)!

K étant un nombre réel que l'on pré isera en fon tion de n.   1 1 1 n ( ) En déduire : I = lim . − 3 + · · · + (−1) n→+∞ α 3α (2n + 1)α2n+1 n X 1 t2n+2 4. (a) Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ∀t ∈ [0, 1], (−1)k t2k − = (−1)n . 2 1+t 1 + t2 k=0 n X 2k+1 1 k x ∗ (b) En déduire que : ∀n ∈ N , ∀x ∈ [0, 1], (−1) − Arctan(x) 6 2n + 3 2k + 1 k=0

( ) En déduire une expression très simple de I en fon tion de α, utilisant la fon tion Arctan.

Problème  (E ri ome 1998) L'obje tif de e problème est de  prolonger  la fon tion n 7→ (n − 1)! dénie sur N∗ sur les réels qui ne sont pas des entiers négatifs. On étudie ensuite quelques propriétés de ette fon tion. R est l'ensemble des réels, N l'ensemble des entiers naturels et Z− l'ensemble des entiers négatifs ou nuls. On pose E = R \ Z− : E est don l'ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls.

Partie I  On onsidère une fon tion f dénie sur une partie D de R et à valeurs dans R. On dit que f a la propriété P si et seulement si : f est dénie en 1 et f (1) = 1 ; ∀x ∈ D, x + 1 ∈ D, et f (x + 1) = xf (x).

1. (a) Montrer qu'une fon tion ayant la propriété P ne peut être dénie en x entier négatif ou nul. (b) Montrer que si D = N∗ , alors n 7→ f (x) = (n − 1)! a la propriété P .

2. (a) On onsidère la fon tion Γ dénie sur R∗+ par : x 7→ Γ(x) =

Z

+∞

tx−1 e−t dt.

0

En utilisant, sans les démontrer, des résultats du ours, montrer que Γ a la propriété P , et rappeler la valeur de Γ(n), pour n entier stri tement positif. 2

(b) Montrer que pour tout x réel stri tement positif et tout n entier stri tement positif : Γ(x + n) = (x + n − 1)(x + n − 2) . . . (x + 1)xΓ(x).

3. Pour tout élément x de E et tout entier n tel que x + n soit stri tement positif, on pose : An (x) =

Γ(x + n) . x(x + 1) . . . (x + n − 1)

(a) Montrer que pour x > 0 et n > 0, An (x) ne dépend pas de n. (b) Soit x un réel négatif non entier. Montrer que x + n est stri tement positif à partir d'un rang dépendant de x et noté Nx . Soient n et p deux entiers naturels. Pour n stri tement supérieur à Nx , al uler An+p (x) en fon tion de Ap (x + n). En déduire que : ∀n > Nx , ∀p ∈ N, An+p (x) = An (x). ˜ par Γ(x) ˜ ( ) Le réel An (x) étant indépendant de n, pour n > Nx , on dénit sur E une fon tion Γ = An (x) pour x > Nx . ˜ = Γ(x). Montrer que la fon tion Γ˜ a la propriété P , et que pour tout x réel stri tement positif, Γ(x) ˜ + n) = (x + n − 1)(n + n − 2) . . . (x + 1)xΓ(x). ˜ En déduire que : ∀x ∈ E, Γ(x

˜ prolonge la fon tion Γ dénie sur R∗ . Par abus de notation, on notera désormais simplement Γ On dit que Γ + ˜ la fon tion ainsi prolongée. et non Γ Z

4. (a) On pose I =

onvergentes.

0

1

ln t √ dt et J = t

Z

+∞

t(ln t)e−t dt. Montrer que I et J sont des intégrales absolument

1

(b) Soit h la fon tion de deux variables dénie sur R∗+ × R par : (t, x) 7→ h(t, x) = tx−1 .

En appliquant l'inégalité des a

roissements nis à la fon tion x 7→ ut (x) = h(t, x), montrer que :

et que :

1 3 | ln t| ∀t ∈]0, 1[n, ∀x ∈] , [, |h(t, x) − h(t, 1)| 6 |x − 1| · √ 2 2 t

(1)

1 3 ∀t ∈]1, +∞[, ∀x ∈] , [, |h(t, x) − h(t, 1)| 6 |x − 1|t ln t 2 2

(2)

( ) Montrer qu'il existe une onstante K telle que : 1 3 ∀x ∈] , [, |Γ(x) − Γ(1)| 6 K|x − 1|. 2 2

(3)

En déduire que Γ est ontinue au point 1. 5. On admet l'équivalen e : Γ(x)

∼

x→+∞

√ xx−1 e−x 2πx.

(4)

 x n 1+ . n→+∞ n (b) Montrer que√ si x est un entier naturel n, l'équivalen e (4) permet de retrouver la formule de Stirling : n! ∼ nn e−n 2πn.

(a) Cal uler, pour x réel xé, lim

+∞

( ) Montrer que : ∀x ∈ E,

lim

n→+∞

Γ(x + n) =1 nx Γ(n) n!nx . n→+∞ x(x + 1) . . . (x + n)

(d) En déduire que : ∀x ∈ E, Γ(x) = lim

3

Partie II  On se propose dans ette partie de donner une autre expression de la fon tion

Γ

sur E .

1. Pour n entier stri tement positif, on pose : gn (x) =

ex/n 1 + x/n

et

Gn (x) =

n Y

gk (x).

k=1

Montrer que pour tout réel x positif, la série de terme général un (x) = ln gn (x) est onvergente. En déduire, pour tout réel x positif, l'existen e de lim Gn (x). n→+∞

On appelle G(x) ette limite. On dénit ainsi une fon tion G sur R+ . 2. Montrer que la suite (Gn (x))n∈N∗ est onvergente pour x réel négatif non entier. (On remarquera que pour tout x xé, gn (x) est stri tement positif pour n susamment grand) On a don une fon tion G dénie sur E par x 7→ G(x) = lim Gn (x). n→+∞

n X 1 3. Vérier que ln Gn (1) = − ln(n + 1), et retrouver le résultat suivant : k k=1

Le suite de terme général vn =

n X 1 − ln n a une limite nie stri tement positive γ quand n k

k=1

tend vers l'inni, γ s'appelle la onstante d'Euler.

(On pourra utiliser, en le justiant, le résultat : ∀x > 0, ex > x + 1) 4. Montrer que : ∀x ∈ E, Gn (x) = xΓ(x) ·

 n P n! exp x

k=1

1 k



(x + n)Γ(x + n)

5. En utilisant la question I-5( ), montrer que : ∀x ∈ E, Γ(x) =

4

e−γx G(x). x