2009/2010
Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2
Mathématiques
Exer i e 5 Soit n ∈ N, E = Rn [X], et (xi )06i6n une famille de réels deux à deux distin ts. Pour tout i ∈ [[0, n]], on pose Qi =
Y X − xj . x − xj 06j6n i j6=i
Algèbre 4 Formes bilinéaires, produits s alaires Exer i e 1 Les appli ations i-dessous sont-elles des formes bilinéaires ? Si oui, sont-elles symétriques ? dé nies ? positives ?
1. (a) Véri er que pour tout ouple (i, j) d'entiers de [[0, n]], ( 1 si j=1 Qi (xj ) = 0 sinon.
1. E l'espa e ve toriel des séries onvergentes à oe ients réels, ϕ : E × E → R dé nie par : ! +∞ ! +∞ X X X X bn an ϕ an , bn =
(b) En déduire que (Qi )06i6n est une base de E . 2. Démontrer que l'appli ation ϕ de E × E dans R dé nie par
2. De même si E est l'espa e ve toriel des séries onvergentes à termes positifs
est un produit s alaire sur E , et que (Qi )06i6n est une base orthonormale de E pour ϕ. 3. Quelles sont les oordonnées d'un polyn me P quel onque de E dans ette base ?
n=0
ϕ(A, B) =
n=0
3. E = Mm,n (K), X ∈ Mn,1 , ∀(M, N) ∈ E, Φ(M, N) = tX tMNX . 4. E = RR , ∀(f, g) ∈ E 2 , ϕ(f, g) = f ◦ g(0).
n X
A(xi )B(xi )
i=0
Exer i e 6 (Oral ESCP) Soit (a, b) ∈ R2 , ave a < b.
Exer i e 2 Dans tous les as suivants, déterminer si ϕ est une forme bilinéaire sur E . Le as
é héant déterminer si elle est symétrique, dé nie, positive, et exprimer sa matri e dans la base
anonique, puis dans la base C , par deux méthodes. ′ ′ x x 1 x x 1 ′ ′ ′ ′ = 4xx − xy + x y + yy , B = , ′ ,ϕ 1. E = R2 , ∀ y y′ y y 1 2 ′ ′ x x 1 x x 0 , ′ ,ϕ 2. E = R2 , ∀ = 4xx′ − xy ′ − x′ y + yy ′, B = y y′ 1 y y 1 ′ ′ x x 1 x x −1 , ′ ,ϕ 3. E = R2 , ∀ = 4xx′ − 4xy ′ − 4x′ y + yy ′, B = y y′ 1 y y 1 ′ ′ x x x 1 x 1 0 4. E = R3 , ∀ y , y ′ , ϕ y y ′ = xx′ − xy ′ + zz ′ , B = 1 0 1 z′ z′ z z 0 1 1 ′ ′ x x x 1 x 1 1 5. E = R3 , ∀ y , y ′ , ϕ y y ′ = xx′ − xy ′ + yz , B = 1 1 2 z z 1 z′ 2 1 z′ ′ ′ x x 0 x x 2 3 6. E = R3 , ∀ y , y ′ , ϕ y y ′ = xx′ +yy ′−2xy ′ +zz ′ , B = 1 0 0 z z 1 1 1 z′ z′
Exer i e 3 Soit C, onsidéré omme espa e ve toriel sur R. Prouver que l'appli ation (u, v) 7→ ℜ(uv) est un produit s alaire sur C. Quelle est sa norme eu lidienne asso iée ?
Exer i e 4 Soit n ∈ N, n > 2, et soit E l'ensemble des polyn mes P de R [X] tels que Z 1 n P (0) = P (1) = 0. Soit ϕ l'appli ation de E×E dans R dé nie par ϕ(P, Q) = −
P (x)Q′′ (x) dx.
0
1. Montrer que E est un espa e ve toriel.
2. Montrer que ϕ dé nit un produit s alaire sur E . Expli iter la norme eu lidienne asso iée. 1
1. Soient a1 , . . . , an des entiers naturels deux à deux distin ts. Démontrer que la famille des appli ations fk de [a, b] dans R, dé nies par
fk (x) = eak x , pour k ∈ [[1, n]], est libre dans l'espa e C 0 ([a, b], R). 2. Soit f une appli ation élément de C 0 ([a, b], R), stri tement positive. On pose, pour tout (i, j) ∈ [[1, n]]2 , Z b ai,j = e(i+j)t f (t) dt. a
On note A = (ai,j )16i,j6n , et on onsidère l'appli ation ϕ de Rn × Rn dans R dé nie par
ϕ(x, y) = tXAY, où X et Y sont les matri es de oordonnées respe tives de x et y dans la base anonique de Rn . Prouver que ϕ est un produit s alaire sur Rn .
Exer i e 7 Soit E l'ensemble des suites réelles dé nies sur N. On note ℓ2 l'ensemble des suites
réelles u = (un )n∈N telles que la série de terme général u2n onverge. 1. Démontrer que si (un )n∈N et (vn )n∈N sont des suites appartenant à ℓ2 , la série de terme général |un vn | onverge. 2. Démontrer que ℓ2 est un espa e ve toriel sur R. 3. P Pour toutes suites u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N appartenant à ℓ2 , on note ϕ(u, v) = +∞ n=0 un vn . Démontrer que l'appli ation ϕ : ℓ2 × ℓ2 → R ainsi dé nie est un produit s alaire sur ℓ2 . 4. Démontrer que pour toutes suites (un )n∈N et (vn )n∈N de ℓ2 , v v u +∞ u +∞ +∞ +∞ X X uX uX u2n t vn2 . |un vn | 6 t un vn 6 n=0
n=0
n=0
2
n=0
