Jeudi 2 septembre 2010
Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2
Mathématiques Corre tion de l'interrogation n
o1
1. Soit f une fon tion dé nie sur un intervalle I , et a ∈ I . • On dit que f est ontinue en a si f admet une limite en a. Cette limite est alors né essairement nie, et égale à f (a). • De manière équivalente, f est ontinue en a si et seulement si : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < η =⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
2. Soit f une fon tion de lasse C n+1 sur un intervalle [a, b]. Alors : n X
f (b) =
f (k) (a)
k=0
(b − a)k + k!
Z
a
b
(b − t)n (n+1) f (t) dt. n!
3. NON. En eet, un théorème du ours dit qu'une fon tion ontinue sur un intervalle fermé et bornée est bornée sur et intervalle, et atteint ses bornes. 4. Thérème de Rolle : Soit f une fon tion ontinue sur un intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[, véri ant f (a) = f (b). Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0. Idée de la preuve : Si f est onstante, 'est immédiat. Sinon, f étant ontinue sur l'intervalle fermé borné [a, b], f admet un maximum et un minimum, non égaux ( ar f non onstante). Ainsi, l'un d'eux au moins est diérent de f (a) (et don de f (b)) et est don atteint en un point c ∈]a, b[. L'intervalle ]a, b[ étant ouvert, et f présentant en c un extremum lo al, on a f ′ (c) = 0. 5. La série est lairement dé nie, et à termes tous négatifs ( ar cos est majorée par 1). Ainsi, on peut étudier la nature de
ette série à l'aide d'équivalents : 1 1 1 n ln cos ∼ n cos − 1 ∼ − . +∞ +∞ n n 2n Ainsi, par omparaison à une série de Riemann divergente ( ar de paramètre 1), la série étudiée est divergente.
6. On suit l'indi ation de l'énon é, en essayant de trouver a, b et c tels que a b c a(x + 2)(x + 3) + b(x + 1)(x + 3) + c(x + 1)(x + 2) 1 = + + = (x + 1)(x + 2)(x + 3) x+1 x+2 x+3 (x + 1)(x + 2)(x + 3) (a + b + c)x2 + (5a + 4b + 3c)x + (6a + 3b + 2a) = . (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Il su t don de hoisir a, b et c tels que a+b+c=0 5a + 4b + 3c = 0 6a + 3b + 2c = 1
soit:
On obtient don a = 12 , b = −1 et c = 12 . Ainsi :
a+b+c=0 2a + b = 0 4a + b = 1
soit:
a+b+c=0 2a + b = 0 2a = 1
Z 1 Z Z 1 1 dx 1 1 dx dx − + 2 0 x+1 2 0 x+3 0 x+2 i1 h i1 i1 1 h 1h ln(x + 1) − ln(x + 2) + ln(x + 3) = 2 2 0 0 0 1 1 5 3 = ln 2 − ln 3 + ln 2 + (ln 4 − ln 3) = ln 2 − ln 3. 2 2 2 2
I=
7. On fait le hangement de variable y = x9 = ϕ(x). La fon tion ϕ est de lasse C 1 sur [0, 1], et l'intégrande est ontinue sur [0, 1], don le hangement de variable est valide. De plus, dy = 9x8 dx. Ainsi, 1 J= 9
Z
0
1
I 5 1 dy = = ln 2 − ln 3. (y + 1)(y + 2)(y + 3) 9 18 6
8. • On al ule P (1) = 0. • On a P ′ (X) = nX n−1 − n − n(n − 1)(X − 1), don P ′ (1) = 0. • On a P ′′ (X) = n(n − 1)X n−2 − n(n − 1), don P ′′ (1) = 0
1
• On a P (3) (X) = n(n − 1)(n − 2)X n−3 , don P (3) (1) 6= 0 ( ar n > 3)
Ainsi, d'après la ara térisation de la multipli ité à l'aide des dérives su
essives, 1 est ra ine d'ordre de multipli ité 3 de P. 9. Tout d'abord, pour tout n ∈ N,
n n n−1 cos((n − 1)x) 6 n−1 . 2 2
n Or, 2n−1 est le terme général d'une série du bin me négatif (dérivée de la série géométrique), de raison 12 ∈] − 1, 1[, don onvergente. Ainsi, d'après le théorème de omparaison des séries à termes positifs, la série étudiée est absolument
onvergente, don onvergente.
De plus, pour tout x de R. +∞ X
n=1
n 2n−1
cos((n − 1)x) = Re
+∞ X
n=1
n 2n−1
ei(n−1)x
!
= Re
1 (1 −
ei x 2 2 )
!
2 2 2 e− i x 1 − 1 − cos x + 41 cos(2x) 3 − 4 cos x + 2 cos2 x 2 = Re = 2 = 2 2 5 5 (5 − 4 cos x) 4 − cos x 4 − cos x
10. • Soit E l'ensemble des polyn mes de R[X] dont 0 et 1 sont ra ines. Alors : ∗ E est un sous-ensemble de l'espa e ve toriel R[X]. ∗ E est non vide puisque 0 ∈ E . ∗ Soit (P, Q) ∈ R[X], λ ∈ R. Alors : (λP + Q)(0) = λP (0) + Q(0) = 0
et
(λP + Q)(1) = 0,
don λP + Q ∈ E . Ainsi, E est un sous-espa e ve toriel de R[X]. • Soit F l'ensemble des polyn mes de R[X] dont 0 ou 1 est ra ine. Ainsi, P = X et Q = 1 − X sont deux éléments de E . En revan he P + Q = 1 n'admet ni 0 ni 1 pour ra ine, don P + Q 6∈ F . Don F n'est pas stable par ombinaison linéaire, don e n'est pas un sous-espa e ve toriel de R[X]. 11. (a) Soit (λ, µ, ν) ∈ R3 tel que 1 2 1 1 1 2 λ + µ + ν = 0 1 0 1 1
soit:
1
0
λ + 2µ + ν = 0 2λ + µ + ν = 0 λ+ν =0 λ+ν =0
En soustrayant la dernière ligne à la première, on obtient µ = 0, puis λ = 0 en soustrayant la dernière ligne à la se onde. Puis ν = 0. Ainsi, λ = µ = ν = 0. La famille onsidérée est bien libre. (b) La famille est de ardinal 5 dans un espa e de dimension 4, don ne peut pas être libre ! 12. Si on a oublié, on peut réé rire le petit diagramme suivant, bien utile : f
id
id
F E C ′ ), B) −→(F, C) −→(F, (E, B ′ ) −→(E,
e qui nous donne, d'après la orrespondan e entre la omposition des appli ations linéaires et le produit des matri es : MatB′ ,C ′ (f ) = MatC,C ′ (idF )MatB,C (f )MatB′ ,B (idE ),
'est à dire MatB′ ,C ′ (f ) = Q−1 MatB,C (f )P,
où P est la matri e de passage de la base B à la base B ′ , et Q est la matri e de passage de la base C à la base C ′ . B ′ , et F étant muni de deux bases C et C ′ . 13. La base anonique de R4 [X] est B = (1, X, X 2 , X 3 , X 4 ). On rappelle que la matri e de f dans la base B est la matri e dont les olonnes sont onstituées des oordonnées dans la base B des ve teurs f (1), f (X), f (X 2 ), f (X 3 ) et f (X 4 ). Soit i ∈ [[0, 4]], on a : f (X i ) = (X + 1)i − i(i − 1)X i−1 , don : • f (1) = 1 2
• • • •
f (X) = X + 1 f (X 2 ) = (X + 1)2 − 2X = X 2 + 1 f (X 3 ) = (X + 1)3 − 6X 2 = X 3 − 3X 2 + 3X + 1 3 2 f (X 4 ) = (X + 1)4 − 12X 3 = X 4 − 8X + 6X + 4X + 1 1 1 1 1 1 0 1 0 3 4 Nous obtenons don M = MatB (f ) = 0 0 1 −3 6 0 0 0 1 −8 0 0 0 0 1 La matri e M est triangulaire, don ses valeurs propres sont les oe ients diagonaux. Ainsi, M (don f aussi) n'a qu'une valeur propre, égale à 1. Par onséquent, si M était diagonalisable, la seule valeur propre étant 1, M serait semblable à la matri e identité, don égale à la matri e identité, e qui n'est pas le as. Ainsi, M n'est pas diagonalisable, don f non plus.
14. • Déterminer les valeurs propres d'une matri e 2 × 2 se fait ave le déterminant : un réel λ est valeur propre de A si et seulement si A − λI2 est non inversible, don si et seulement si det(A − λI2 ) = 0, don si et seulement si (2 − λ)(−2 − λ) − 12 = 0, don si et seulement si λ2 − 16 = 0, don Sp(A) = {−4, 4}. • Comme A est d'ordre 2, et admet deux valeurs propres distin tes, elle est diagonalisable, et haque espa e propre est de dimension 1. ! −2 3 • Déterminons l'espa e propre E4 : A−4I2 = . Les olonnes de ette matri e véri ent la relation 3C1 +2C2 = 0, 4 −6
'est à dire : ! ! ! −2 3 3 0 = . 4 −6 2 0 ! !! 3 3 Ainsi, . ∈ E4 , et omme E4 est de dimension 1, E4 = Vect 2 2 ! 6 3 • Déterminons de même E−4 : A + 4I2 = . Les olonnes de ette matri e véri ent C1 − 2C2 , don , de même que 4 2 ! 1 . pré édemment, E−4 = R −2 ! ! 3 1 4 0 • Ainsi, en posant P = , et D = , on a la relation A = P DP −1 . 2 −2 0 −4 ! 1 −2 −1 −1 • On a det P = −8, don P = . −8 −2 3 15. Soit X une variable aléatoire réelle dis rète, et p ∈]0, 1[. On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p (et on note X ֒→ G(p)) si et seulement si X(Ω) = N∗ , et ∀n ∈ N∗ , P (X = n) = p(1 − p)n−1 .
Si 'est le as, X admet une espéran e et une varian e, et E(X) = p1 , V (X) =
1−p p2 .
16. Soit A1 , . . . , An des événements tels que A1 ∩ · · · ∩ an−1 ne soit pas quasi-impossible. Alors : P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )PA1 (A2 )PA1 ∩A2 (A3 ) . . . PA1 ∩···∩An−1 (An ).
17. Soit Ω un universn et T un sous-ensemble de P(Ω). On dit que T est une tribu sur Ω (ou une σ -algèbre) si : • Ω∈T • pour tout A ∈ P(Ω), si A ∈ T , alors A ∈ T +∞ [ • Pour toute famille dénombrable (Ai )i∈N d'éléments de T , Ai est un élément de T . i=0
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