Samedi 5 mars 2011.
Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2
Mathématiques
Devoir Surveillé no 7 (4 heures) Sujet de type E ri ome Les étudiants ont le hoix entre l'épreuve de type Parisiennes et l'épreuve de type E ri ome . Ils ne devront traiter qu'une des deux épreuves.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la réda tion, la larté, la pré ision et la on ision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appré iation des opies. Les andidats sont invités à en adrer dans la mesure du possible les résultats de leurs al uls. L'usage de tout do ument et de tout matériel éle tronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints et rangés. Si au ours de l'épreuve, un andidat repère e qui lui semble être une erreur d'énon é, il le signalera sur sa
opie et poursuivra sa omposition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Exer i e 1 (E ri ome 2005) L'espa e R3 est muni de son produit s alaire usuel. Trois réels a, b, c étant donnés, on pose :
a M (a, b, c) = c b
b c . a
c a+b c
1. Déterminer trois matri es I , J , K dont les oe ients ne dépendent pas de a, b, c, telles que : M (a, b, c) = aI + bJ + cK.
Cal uler J 2 , K 2 et K 3 . Déterminer une relation entre I , J et K 2 , ainsi qu'un polyn me annulateur de K . Quelles sont les valeurs propres possibles de K ? 2. Justi er qu'il existe une matri e P ∈ M3 (R) inversible telle que D = tP KP soit une matri e diagonale. Déterminer P et D véri ant les onditions pré édentes et telles que d1,1 < d2,2 < d3,3 (où di,j est le
oe ient d'indi es i, j de D) 3. En é rivant M = M (a, b, c) en fon tion de I , K , K 2 , déterminer la matri e tP M P . En déduire les valeurs propres de la matri e M . Dis uter suivant les valeurs de a, b, c le nombre de valeurs propres distin tes de M et pré iser dans haque
as les sous-espa es propres asso iés. √ √ 4. On suppose dans ette question a = 4, b = 2, c = 2 et on note M = M (4, 2, 2). ′ x x On pose X ′ = y ′ = tP X , où X = y . z′ z
(a) On dé nit la fon tion f sur R3 \ {(0, 0, 0)} par : t
f (x, y, z) =
XM X . kXk2
i. Montrer que kXk2 = kX ′ k2 puis que f (x, y, z) =
4(x′ )2 + 2(y ′ )2 + 8(z ′ )2 . (x′ )2 + (y ′ )2 + (z ′ )2
ii. Montrer que 2 et 8 sont respe tivement les minimum et maximum de f sur R3 \ {(0, 0, 0)} et déterminer les points en lesquels ils sont atteints. 1
(b) On her he désormais à résoudre l'équation B 2 = M , d'in onnue B ∈ M3 (R). i. Soit B une solution de l'équation (s'il en existe). Montrer que B et M ommutent. En déduire que si X appartient au sous-espa e propre Eλ de M atta hé à la valeur propre λ, alors BX appartient aussi à Eλ . Montrer que les ve teurs propres de M sont également ve teurs propres de B . Justi er alors que ∆ = tP BP est une matri e diagonale ii. Résoudre l'équation ∆2 = tP M P d'in onnue ∆ et donner le nombre de solutions de l'équation B2 = M .
Exer i e 2 Soit (X1 , . . . , Xn ) un é hantillon indépendant identiquement distribué de loi parente E(c), le réel c étant un paramètre stri tement positif in onnu. 1. Soit Sn = X1 + · · · + Xn . Déterminer la loi de Sn , et donner son espéran e et sa varian e. 2. Soit n > 2, et Tn =
n . Sn
(a) Déterminer, à l'aide du théorème de transfert, l'existen e et la valeur de E(Tn ). (b) Montrer que Tn est un estimateur asymptotiquement sans biais de c. ( ) Justi er que Un = 3. On suppose n > 3.
n−1 Tn est un estimateur sans biais de c. n
(a) Déterminer E(Tn2 ). En déduire que V (Tn ) = c2 ·
n2 . (n − 1)2 (n − 2)
(b) Déterminer V (Un ). 4. (a) Montrer que Un est un estimateur onvergent de c. (b) Montrer que Tn est un estimateur onvergent de c. 5. Déterminer les risques quadratiques de Tn et Un . Lequel de es deux estimateurs de c est le meilleur ? 6. (a) Soit Sn∗ la variable aléatoire entrée réduite asso iée à Sn . Exprimer Sn∗ en fon tion de Sn , n et c. Que peut-on dire de la loi de Sn∗ lorsque n est grand ? (b) Déterminer un intervalle de on an e de c au taux de on an e 0.97, dont les bornes seront exprimées à l'aide de l'estimateur Tn et de l'entier n. (On donne Φ(2.17) = 0.985) Appli ation numérique : pour n = 10000, on a trouvé Tn (ω) = 2. Donner l'estimation d'un intervalle de on an e de c au taux de on an e 0.97. 7. On suppose maintenant que c est toujours in onnu, mais véri e c > 1. On suppose que pour tout i ∈ [[1, n]], Xi suit une loi exponentielle de paramètre cn . (a) Montrer que lim E(X1 + · · · + Xn ) = n→+∞
1 . c−1
(b) Peut-on dire que X1 + · · · + Xn est un estimateur asymptotiquement sans biais de ( ) Étudier la onvergen e en loi de la suite (Xn )n∈N∗ .
2
1 ? c−1
Problème (d'après EDHEC 2003) Partie I Dans ette partie, r désigne un entier naturel et x désigne un réel de ]0, 1[. 1. Pour tout entier naturel k non nul, al uler la dérivée k-ième de la fon tion f , dé nie sur ]0, 1[ par : f (x) =
1 . (1 − x)r+1
2. Montrer que, lorsque n est au voisinage de +∞,
nr n+r ∼ . r! n
3. Montrer que lim nr+1 xn = 0. n→+∞
4. Soit ϕx la fon tion dé nie sur [0, x] par ϕx (t) =
x−t . 1−t
Montrer que : ∀t ∈ [0, x], 0 6 ϕx (t) 6 x. 5. (a) É rire la formule de Taylor entre 0 et x ave reste intégral pour la fon tion f à l'ordre n. Z n X k+r k n+r n x dt (b) En déduire que : 0 6 f (x) − x 6 (n + r + 1) x (1 − t)r+2 k n 0 k=0 +∞ X 1 k+r k ( ) Montrer nalement que : ∀x ∈]0, 1[, ∀r ∈ N, . x = k (1 − x)r+1 k=0
Partie II Dans ette partie, n désigne un entier naturel non nul. On ee tue une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour ha une d'entre elles, la probabilité de su
ès soit égale à p, ave 0 < p < 1. On note Xn le nombre d'épreuves qu'il faut réaliser pour obtenir, pour la première fois n su
ès, pas for ément
onsé utifs (Xn est don le numéro de l'épreuve où l'on obtient le n-ième su
ès). On onvient que Xn = 0 si l'on n'obtient pas n su
ès. 1. É rire une fon tion en Pas al prenant en paramètre n et p, et simulant la variable aléatoire Xn . 2. Dans ette question seulement, on onsidère le as n = 1. (a) Re onnaître la loi de X1 . (b) Donner l'espéran e et la varian e de X1 . Dans toute la suite, on suppose que n > 2 2. (a) Déterminer Xn (Ω) (b) Pour tout entier naturel k, al uler la probabilité que l'on obtienne n− 1 su
ès au ours des n+ k − 1 premières épreuves. ( ) Déduire de la question pré édente que : ∀k ∈ N, P (Xn = n + k) =
(d) Utiliser le résultat de la partie I pour véri er que
n+k−1 n p (1 − p)k . n−1
+∞ X
P (Xn = n + k) = 1.
k=0
En déduire P (Xn = 0).
n+k−1 n+k . =n 3. (a) Montrer que : ∀n ∈ N , ∀k ∈ N, (n + k) n−1 n ∗
3
(b) En utilisant le fait que, pour tout entier naturel n,
+∞ X
P (Xn+1 = n + 1 + k) = 1, montrer que Xn
k=0
admet une espéran e et donner sa valeur en fon tion de n et p. 4. La réalisation d'une expérien e donne des variables aléatoires X1 , · · · , Xn , orrespondant respe tivement aux temps d'attentes des 1-ier, 2-ième, . . . , n-ième su
ès. Ces variables aléatoires ne sont bien entendu pas indépendantes. Soit Y1 = X1 , et pour tout k ∈ [[2, n]], Yk = Xk − Xk−1 . (a) Justi er que les variables Y1 , . . . , Yn sont mutuellement indépendantes et suivent ha une une loi géométrique de paramètre p. (b) Retrouver l'expression de E(Xn ), et donner V (Xn ). n+k−1 n+k−2 n−1 = 5. (a) Montrer que : ∀n > 2, . n+k−1 n−1 n−2
(b) Utiliser le théorème de transfert pour montrer que,pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2,
n−1 n−1 possède une espéran e et que E = p. Xn − 1 Xn − 1 n 6. (a) Justi er que possède une espéran e (on n'en demande pas le al ul) Xn n n > p. (b) Montrer, sans al uler E , que E Xn Xn
Partie III Dans ette partie on suppose que le paramètre p est in onnu. n−1 n et Zn = Xn − 1 Xn et (Zn )n>2 sont deux suites d'estimateurs de p et que (Tn )n>2 est sans biais.
1. Pour tout n > 2, on pose Tn = (a) Montrer que (Tn )n>2
(b) Montrer que pour tout n > 2 : E (Zn ) − E (Tn ) =
+∞ X
k=0
n+k−1 n k p (1 − p)k . (n + k)(n + k − 1) n−1
( ) En déduire que : 0 6 E(Zn ) − p 6
E(Xn ) . n(n − 1)
(d) Justi er que Zn est un estimateur asymptotiquement sans biais de p. 2. On suppose dorénavant que n > 3. 1 (a) Cal uler E (Xn − 1)(Xn − 2) p2 n−1 6 (b) En déduire que V Xn − 1 n−2 ( ) Montrer que Tn est un estimateur onvergent de p.
3. (a) Montrer que pour tout n > 2, (b) En déduire que lim V (Zn ) = 0.
n n n−1 6 6 . Xn − 1 Xn Xn − 1
n→+∞
( ) Montrer que Zn est un estimateur onvergent de p.
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