Samedi 4 septembre 2010.
Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2
Mathématiques o
Devoir Surveillé n
1 (4 heures)
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la réda tion, la larté, la pré ision et la on ision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appré iation des opies. Les andidats sont invités à en adrer dans la mesure du possible les résultats de leurs al uls. L'usage de tout do ument et de tout matériel éle tronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints et rangés. Si au ours de l'épreuve, un andidat repère e qui lui semble être une erreur d'énon é, il le signalera sur sa
opie et poursuivra sa omposition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre Exer i e 1
√
Dans tout et exer i e, on onsidère la fon tion f dé nie sur R∗+ par f (x) = x · ln x + 1, et (un )n∈N la suite dé nie par la donnée de u0 ∈ R∗+ et la relation un+1 = f (un ), pour tout n ∈ N. 1.
Étude de la fon tion
f
et existen e de
(un ).
(a) Justi er que f peut être prolongée par ontinuité en 0. Si on désigne en ore par f la fon tion prolongée, quelle est alors la valeur de f (0) ? (b) Étudier les variations de f sur R+ , et déterminer l'existen e et la valeur d'un minimum de f , en un point que l'on déterminera. ( ) En déduire que f est positive sur R+ , puis que la suite (un ) est bien dé nie, quel que soit le hoix de u0 dans R∗+ . (d) Montrer que f est stri tement onvexe sur ]0, 1[ et stri tement on ave sur ]1, +∞[. (e) En onsidérant la tangente à la ourbe de f au point d'abs isse 1, en déduire l'existen e et l'uni ité d'un point xe égal à 1. (f) Tra er l'allure du graphe de f . 2.
Convergen e de la suite
(un ).
(a) On suppose i i que u0 ∈]0, 1]. Justi er que pour tout n ∈ N, un ∈]0, 1], et en déduire les variations de (un )n∈N , puis montrer qu'elle est onvergente. Quelle est sa limite ? (b) Étudier de la même façon le as où u0 ∈]1, +∞[. 3.
Un résultat lassique : la moyenne de Cesaro.
Cette question est indépendante des pré édentes. Le résultat qui y est démontré sera utile pour la n de l'exer i e, et pourra éventuellement être admis. On onsidère i i une suite (an )n∈N , et on dé nit mn par : ∀n ∈ N∗ , mn =
n−1 1X ak . n k=0
Ainsi, mn est la moyenne des n premiers termes de la suite (an )n∈N . Le but de ette question est de montrer que si (an )n∈N admet une limite ℓ dans R, alors (mn )n∈N∗ onverge également vers ℓ : (a) On suppose dans un premier temps que (an )n∈N onverge vers 0. i. Soit ε > 0. Justi er l'existen e d'un entier n0 tel que, pour tout n > n0 , on ait : |mn | 6
1 (|a0 | + · · · + |an0 −1 | + (n − n0 )ε) . n
1
1 (|a0 | + · · · + |an0 −1 | + (n − n0 )ε.) Déterminer la limite de bn n lorsque n tend vers +∞ (ε et n0 étant xé omme dans la question pré édente).
ii. Soit, pour tout n > n0 , bn =
iii. En déduire l'existen e de n1 tel que, pour tout n > n1 , |mn | < 2ε. iv. Con lure.
(b) On suppose maintenant que (an )n∈N admet une limite ℓ ∈ R. En appliquant le résultat pré édent à la suite (an − ℓ)n∈N , montrer que (mn )n∈N onverge vers ℓ. 4.
Un équivalent de
(un − 1)n∈N .
(a) Montrer que, au voisinage de 0, f (1 + x) = 1 + x −
x3 + o(x3 ). 24
1 1 1 . − = 2 2 y→1 (f (y) − 1) (y − 1) 12 ( ) On suppose que u0 6= 1, e qui implique que pour tout n ∈ N, un 6= 1. Soit, pour tout n ∈ N, 1 1 vn = un − 1 et wn = 2 − 2 . Déduire de e qui pré ède la limite de wn vn+1 vn ! √ n−1 1X 2 3 wk (d) En onsidérant la suite , justi er que un − 1 ∼ ± √ , le signe étant donné par la +∞ n n
(b) En déduire que lim
k=0
position de u0 par rapport à 1.
5.
n∈N
Quelques séries
On suppose i i u0 > 1. (a) Quelle est la nature de
P
un ?
P (b) Quelle est, suivant la valeur de α ∈ R, la nature de (un − 1)α ? P ( ) Étudier la nature de (−1)n (un − 1) (on pourra montrer que les suites (S2n ) et (S2n+1 ) des sommes partielles sont adja entes). Exer i e 2
Le but de et exer i e est de al uler des intégrales du type In,k =
Z
0
Les questions peuvent être traitées indépendamment.
1
dx , pour k ∈ N∗ et n ∈ N. (1 + xk )n
1. Justi er que In,k est bien dé nie pour tout (n, k) ∈ N × N∗ . 2.
Cal ul de ertaines valeurs parti ulières.
(a) Déterminer, pour tout k ∈ N∗ , la valeur de I0,k .
(b) Déterminer, pour tout n ∈ N, la valeur de In,1 . ( ) Cal uler I1,2 .
(d) Cal ul de I1,3 i. Déterminer des réels a ,b et c tels que, pour tout x ∈ [0, 1], on ait : 1 a bx + c = . + 1 + x3 1 + x 1 − x + x2 Z 1 x − 21 1 ii. Déterminer dx et dx. 2 1 − x + x 1 − x + x2 0 0 Pour ette dernière intégrale, on pourra mettre le polyn me 1 − x + x2 sous forme anonique, et faire un hangement de variable. Z
1
2
iii. En déduire que I1,3 = 3.
ln 2 π + √ . 3 3 3
Une relation de ré urren e.
Pour tout n ∈ N , on pose Jn,k = ∗
Z
0
1
xk dx. (1 + xk )n
(a) Pour tout n ∈ N , établir une relation entre In,k , Jn,k et In−1,k . ∗
(b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n ∈ N \ {0, 1}, Jn,k = −
1 1 + In−1,k . k(n − 1)2n−1 k(n − 1)
( ) En déduire une relation entre In,k et In−1,k , et justi er que ette relation permet de al uler de pro he en pro he tous les termes In,k , en fon tion de I1,k . (d) Déterminer I3,2 . 4.
Étude d'une fon tion de deux variables.
Soit k ∈ N∗ . On dé nit, pour tout (x, y) ∈ [0, 1] × R∗+ , fk (x, y) =
1 xk +y k
(a) Justi er que fk est de lasse C 2 sur [0, 1] × R∗+ .
(b) Déterminer la limite lorsque (x, y) tend vers (0, 0) de la fon tion fk . ( ) L'ensemble [0, 1] × R∗+ est-il un ouvert de R2 ? Même question pour ]0, 1[×R∗+.
(d) Cal uler les dérivées partielles de fk , et déterminer ses éventuels points ritiques sur ]0, 1[×R∗+ . (e) La fon tion fk admet-t-elle un minimum lo al ? un maximum lo al ? 5.
Une relation fon tionnelle permettant de retrouver ertains des résultats pré édents.
1
1
dx . 2 + y 2 )n (x 0 0 Pour simpli er les notations, on note, lorsque x est un réel xé de [0, 1], fx (y) = f2 (x, y)n . Ainsi, on a par exemple, si n = 1 : ∂f2 ∀(x, y) ∈ [0, 1] × R∗+ , fx′ (y) = (x, y). ∂y
Soit n un entier positif ou nul, et Fn : y 7→
Z
n
f2 (x, y) dx =
Z
(a) Justi er que Fn est bien dé nie sur R∗+ . (b) On suppose que y > 0. Soit h un réel non nul tel que |h| < y2 .
i. Soit x ∈ R+ . Soit M un majorant de |fx′ | sur [y, y + h] (ou [y + h, y] si h < 0). À l'aide d'une formule de Taylor, justi er que : fx (y + h) − fx (y) |h| ′ 6 − f (y) · M. x h 2
ii. Montrer que pour tout z entre y et y + h, on a |fx′′ (z)| 6 iii. Montrer que
Z
1
2n(x2 + 4(2n + 3)y 2 ) (x2 +
y 2 n+2 4 )
2n(x2 + 4(2n + 3)y 2 )
dx est bien dé nie. 2 (x2 + y4 )n+2 iv. En déduire que Fn est dérivable en y et que Z 1 1 Fn′ (y) = −2ny = −2nyFn+1 (y) 2 + y 2 )n+1 (x 0 0
( ) Cal uler, pour tout y ∈ R∗+ , F1 (y), F2 (y) et F3 (y), et retrouver l'expression de I2,3 .
3
.
Exer i e 3
1.
Matri es sto hastiques
Un exemple.
Adélaïde, Barnabé et Célestine jouent à la balle. • Lorsqu'Adélaïde a la balle, la probabilité qu'elle l'envoie à Barnabé est 0,75 et la probabilité qu'elle l'envoie à Célestine est 0,25. • Lorsque Barnabé a la balle, il l'envoie à Adélaïde ave une probabilité de 0,75 et à Célestine ave une probabilité de 0,25. • Célestine envoie toujours la balle à Barnabé. On désigne respe tivement par An , Bn et Cn les probabilités pour qu'à l'issue du n-ième lan er, e soit respe tivement Adélaïde, Barnabé ou Célestine qui ait la balle. On suppose qu'initialement, Adélaïde possède la balle, ainsi A0 = 1, B0 = 0 et C0 = 0. An+1 An (a) Déterminer une matri e M ∈ M3 (R), telle que : ∀n ∈ N∗ , Bn+1 = tM Bn . Cn+1 Cn 1 (b) Montrer que 1 est ve teur propre de M . Quelle est la valeur propre asso iée ? 1 ( ) Déterminer les autres valeurs propres de la matri e M et les sous-espa es propres asso iés. (d) Soit f l'endomorphisme de R3 anoniquement asso ié à M . Montrer que Im(f − id) est égal à la somme dire te des sous-espa es propres asso iés aux valeurs propres diérentes de 1. (e) Montrer qu'il existe une matri e diagonale D et une matri e inversible P d'ordre 3 telles qu'on ait M = P DP −1 . Expli iter P et P −1 . (f) Exprimer M n omme produit de trois matri es. (g) En déduire Bn , puis lim Bn . n→+∞
2.
Un résultat général sur les matri es sto hastiques
Soit n un entier, et A ∈ Mn (R). On note A = (ai,j )16i,j6n . On dit que A est une matri e sto hastique si les oe ients ai,j sont tous positifs, et si la somme des oe ients sur haque ligne est égale à 1,
'est-à-dire : n ∀i ∈ [[1, n]],
X
ai,j = 1.
j=1
Ainsi que le montre l'exemple i-dessus (M est une matri e sto hastique), es matri es jouent un r le important, notamment en al ul des probabilités. Dans e qui suit, on se donne une matri e sto hastique A, vue omme matri e de Mn (C), et f l'endomorphisme de Cn anoniquement asso ié à A. Pour tout ve teur x = (x1 , . . . , xn ) de Cn , on note |x| = max(|x1 |, . . . , |xn |). (a) Montrer que 1 est valeur propre de A. Donner un ve teur propre asso ié à 1. (b) i. Montrer que pour tout x ∈ Cn , |f (x)| 6 |x|. ii. En déduire que si λ ∈ C est une valeur propre de A, alors |λ| 6 1. ( ) Soit y ∈ Ker(f − id) ∩ Im(f − id), et x tel que y = f (x) − x. i. Montrer que pour tout k ∈ N∗ , f k (x) = x + ky , où f k désigne la omposition itérée f ◦ · · · ◦ f . ii. En utilisant 2(b)(i), en déduire que y = 0. iii. Montrer que Ker(f − id) ⊕ Im(f − id) = Cn . (d) i. Montrer que Im(f − id) est stable par f , 'est-à-dire que pour tout x de Im(f − id), f (x) est aussi élément de Im(f − id). ii. Montrer que pour tout valeur propre λ 6= 1 de f , l'espa e propre asso ié Eλ véri e l'in lusion Eλ ⊂ Im(f − id). iii. On suppose que f est diagonalisable. Montrer que la somme dire te des sous-espa es propres de f asso iés aux valeurs propres de f autres que 1 est égale à Im(f − id).
4
