2009/2010

Ly ée La Bruyère, Versailles ECS 2

 Mathématiques

Exer i e 10  Soit f : R∗+ → R roissante telle que g : x 7→ 1. Montrer que f est ontinue sur

3. Donner un exemple de telle fon tion.

Continuité q

1. (a) Domaine de dénition de f .

1 x

−E

1 x

Dérivation


.

Exer i e 11  Soit f dénie sur R∗ par f (x) = e− x2 . 1

(b) Montrer que f est prolongeable par ontinuité en 0. Soit g e prolongement. ( ) En onsidérant les suites (xn )n∈N et (yn )n∈N dénies par xn = . étudier la limite éventuelle de h : x 7→ f (x) x

est dé roissante.

2. Montrer que si f n'est pas identiquement nulle, alors f ne s'annule pas.

Analyse 6  Fon tions d'une variable réelle : révisions

Exer i e 1  On onsidère la fon tion f dénie par : f (x) = x

f (x) x

R+ ∗.

2 2n+1

et yn =

1 , n+1

1. Montrer que f peut se prolonger par ontinuité en 0. On note en ore f la fon tion prolongée. 2. Montrer que f est de lasse C 1 sur R, et al uler f ′ . 3. Montrer que f est de lasse C ∞ sur R, et que pour tout n ∈ N, il existe un polynme Pn Pn (x) 1 tel que f (n) (x) = 3n e− x2 x

2. Étudier la ontinuité de f sur ] 52 , 1[. 3. Étudier la ontinuité de f sur ]0, 1[.

Exer i e 12  Soit pour tout n ∈ N, fn dénie sur R∗+ par fn (x) = (x − 1)n ln x. Montrer que

4. Étudier la ontinuité de g sur R+ .

Exer i e 2  Déterminer toutes les appli ations f dans ha un des as suivants : 1. f : R → R ontinue, et ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y).
f (x)+f (y) 2. f : R → R ontinue, et ∀(x, y) ∈ R2 , f x+y . = 2 2

(n)

fn est de lasse C ∞ sur R∗+ , et que pour tout n ∈ N∗ , fn−1 (x) = (n − 1)!

n X 1 . k x k=1

Exer i e 13  Soit f une fon tion dérivable sur R admettant en +∞ et en −∞ la même limite ℓ. Montrer qu'il existe un réel c tel que f ′ (c) = 0

3. f : R → R ontinue, et ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x)f (y).

Exer i e 14  Soit f une fon tion dénie sur R+ , dérivable sur R+∗ , telle que f admette en +∞

4. f : R∗+ → R ontinue, et ∀(x, y) ∈ (R∗+ )2 , f (xy) = f (x) + f (y).

Exer i e 3  Soit f : R → R une appli ation ontinue et surje tive telle que pour tout y ∈ R,

f −1 (y) est un sous-ensemble borné de R. Montrer que f admet des limites innies en +∞ et −∞, de signe opposé.

Exer i e 4  Soit f : R → R une fon tion ontinue telle que lim f (x) = lim f (x) = +∞. x→+∞

Montrer que f admet une borne inférieure, et que elle- i est atteinte.

x→−∞

Exer i e 5  Soit I un intervalle, et f : I → R une fon tion ontinue telle que f (I) ⊂ Q. Montrer que f est onstante.

une limite égale à f (0). Montrer qu'il existe c ∈ R∗+ tel que f ′ (c) = 0.

Exer i e 15  Soit f une fon tion dérivable sur un intervalle ouvert I . 1. Montrer que si f s'annule en n points distin ts, f ′ s'annule en au moins n − 1 points, et que si f s'annule en un innité de points, alors f ′ aussi. 2. Soit P un polynme. Montrer que l'équation P (x) = ex admet un nombre ni de solutions 3. Quel est le nombre maximal de solutions réelles de l'équation xp − ax + b = 0 ?

Exer i e 16  Soit P un polynme de degré n.

Exer i e 6  Montrer qu'il n'existe pas de bije tion ontinue de R sur R.

1. Montrer que si P admet n ra ines réelles distin tes, P ′ admet n−1 ra ines réelles distin tes, séparant les ra ines de P .

Exer i e 7  Soit f, g : [a, b] → R, ontinues sur [a, b], telles que f (a) = g(b) et f (b) = g(a).

2. Montrer que si P est s indé (toutes ses ra ines sont réelles), il en est de même de P ′ . Lo aliser les ra ines de P ′.

∗

Montrer qu'il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = g(c).

Exer i e 8  Soit f : R → R une fon tion ontinue telle qu'il existe a ∈ R tel que f ◦ f (a) = a.

3. Soit P un polynme s indé. Montrer que P 2 + 1 n'admet pas de ra ine réelle, et que toutes ses ra ines omplexes sont simples.

Montrer qu'il existe c ∈ R tel que f (c) = c.

Exer i e 17  Soit f une fon tion de lasse C 1 sur R telle que f (0) = f ′ (0) = 0, et f (1) = 0.

Exer i e 9  Soit f : [0, 1] → R une fon tion ontinue telle que f (0) = f (1).

Montrer qu'il existe c ∈]0, 1[ tel que la tangente à la ourbe en c passe par l'origine.

1. Montrer qu'il existe c ∈ [0, 12 ] tel que f (c) = f (c + 21 ).

2. Soit n ∈ N, n > 2. Montrer qu'il existe c ∈ [0, 1 − n1 ] tel que f (c) = f (c + n1 ). 1

Exer i e 18  Soit f une fon tion de lasse C 1 sur [0, 1] telle que f (0) = 0, et f (1) = 0. Montrer qu'il existe c ∈]0, 1[ tel que la tangente à la ourbe en c passe par (c − 1, 0). 2

Exer i e 19  Soit f une fon tion dérivable sur R telle que f admette une limite ℓ en +∞. 1. Montrer que la suite (f (n + 1) − f (n))n∈N tend vers 0

Exer i e 24  (Comparaison des moyennes arithmétiques et géométriques)

2. Montrer qu'il existe une suite cn de limite +∞ telle que f ′ (cn ) tende vers 0. 3. On suppose que f vérie f 2 +(1+f ′ )2 6 1 sur R. Montrer que f est dé roissante et bornée, puis que f est identiquement nulle.

Exer i e 20  Soit f dérivable sur R. Montrer que si lim f ′ (x) = 0, alors lim x→+∞

ré iproque est-elle vraie ?

x→+∞

f (x) = 0. La x

Exer i e 21  Soit f une fon tion de lasse C 2 sur [0, 1], telle que f (0) = f ′ (0) = f (1) = 0.

1. Justier l'existen e de bornes supérieures M , M ′ et M ′′ de |f |, |f ′| et |f ′′ |, et l'existen e d'un réel α ∈]0, 1[ tel que |f (α)| = M .

2. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], |f ′ (x)| 6 M ′′ · min(x, |x − α|).  2  2 3. En déduire que |f (α)| 6 M ′′ · min α4 , (1−α) . 2 √
3 4. En déduire que M 6 2 − 2 · M ′′ 5. On suppose de plus que f ′ (1) = 0. Montrer que M 6

1 16

· M ′′ .

Exer i e 22  (Polynmes de Laguerre)  Soit f : R+ → R ontinue sur R+ , dérivable sur R∗+ .

1. Soit a ∈ R+ . On suppose que f (a) = 0 et lim f (x) = 0. Montrer qu'il existe c > a tel x→+∞

que f ′ (c) = 0.

2. Soit n ∈ N, et soit g dénie sur R+ par g(x) = xn e−x . Montrer que g est de lasse C ∞ .

3. Pour tout k ∈ N, al uler g (k) (x) et lim g (k) (x). x→+∞

4. Soit 1 6 k < n. Montrer que g

(k)

Convexité

s'annule en au moins k points de R+ .

5. On pose Lk (x) = e g (x). Cal uler L1 et L2 . Montrer que Lk est un polynme de degré n à oe ients entiers. Ces polynmes sont appelés polynmes de Laguerre. x (k)

Exer i e 23  Étudier aussi pré isément que possible les fon tions suivantes sur leur domaine de

1. En onsidérant l'appli ation f dénie sur R∗+ par f (x) = − ln x, montrer que pour tout (x1 , . . . , xn ) ∈ (R∗+ )n , √ x1 + · · · + xn n x1 · · · xn 6 . n 2. (a) Montrer par ré urren e sur n que pour tout n ∈ N∗ , ln(n!) > n ln ne . (b) En déduire que pour tout (x1 , . . . , xn ) ∈ (R∗+ )n , v u n n uY e X n t kxk . xk 6 2 n k=1 i=1

Exer i e 25  Soit f : R∗+ → R une fon tion onvexe. 1. Montrer que x 7→

f (x) x

admet une limite (nie ou +∞) lorsque x tend vers +∞.

2. Montrer que si ette limite ℓ est nie, alors x 7→ f (x) − ℓx tend vers une limite nie ou (1) −∞ lorsque x tend vers +∞ (On pourra onsidérer l'appli ation x 7→ f (x)−f .) x−1

Exer i e 26  Soit f : R → R une fon tion onvexe et majorée. Montrer que f est onstante. Est- e en ore vrai si f est dénie sur R+ ? Exer i e 27  1. Soient f, g : R → R deux appli ations onvexes ; on suppose que g est roissante. Montrer que g ◦ f est onvexe.

2. Soit f : R → R∗+ une appli ation. Montrer que si ln ◦f est onvexe, alors f est onvexe.

Exer i e 28  1. Montrer que la fon tion f dénie sur R par f (x) = ln(1 + ex ) est onvexe sur R. 2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , et tout (x1 , . . . , xn ) ∈ (R∗+ )n ,

dénition (à pré iser). On étudiera notamment les points d'inexion, les propriétés de onvexité, et l'existen e éventuelle de droites ou de paraboles asymptotes.

1 a) f (x) = (x4 − 6x2 + 8x − 2) 3√ x x c) f (x) = 1+x x3 e) f (x) = 1 + x3 g) f (x) = x + sin x

b) f (x) = (x − 1)(x − 2)e−x x2 d) f (x) = 1 + x4 Arctan(x) f ) f (x) = 1 + x2 h) f (x) = (x + sin x)ex

3

1+

n Y

k=1

xk

! n1

6

n Y

(1 + xk )

k=1

! n1

3. En déduire que pour tout n ∈ N∗ , et tous (a1 , . . . , an ) ∈ (R∗+ )n , (b1 , . . . , bn ) ∈ (R∗+ )n , : n Y

(ak + bk )

k=1

! n1

>

n Y

k=1

4

ak

! n1

+

n Y

k=1

bk

! n1