t

σ

{1, . . . , r} γt (σ) =

! " # 1 − t|ω| .

ω∈O(σ)

O(σ)

|ω|

ω Γt (M) =

$

γt (σ)

$

mi,σ(i) .

i

σ∈Sr

Γt (M) =

r !

(−t)|I| det M[I] per M[I ∗ ]. {1, . . . , r}

I

M[I]

M I

I∗

I

I

!

γt (σ) =

ω∈O(σ)

$

(−t)

U ⊂O(σ)

U

U

(1 − t|ω| ),

P

ω∈U

O(σ)

σ σI $

|ω|

.

I σ σI I (−1)|I|−|U |

σI ∗

(−t)|I| ε(σI ).

I|σ(I)=I

Γt (M) $

(−t)|I| ε(σI )

(−t)|I| ε(σI )

σ∈Sr ,I | σ(I)=I

=

$ I

mi,σ(i) ,

i

σ∈Sr ,I | σ(I)=I

$

!

! i∈I

mi,σI (i)

!

i∈I ∗

mi,σI ∗ (i)

(−t)|I| det M[I] per M[I ∗ ]

! Γt •

t=0

•

tn

t → −∞ t = 1

0=

$

(−1)|I| det M[I] per M[I ∗ ].

I

t = 1/2

r

F1 = . . . = Fr = 0

r

X1 , . . . , Xr Fi =

Xi2

+

r $

ui,j Xj + ci .

j=1

2r U

uij

α∈N X1α1 · · · Xrαr r

pα pα pα

α

0−1 $ pα X1 · · · Xr Jac = ΩS α X F1 · · · Fr α∈Nr Jac

F1 , . . . , Fr X12 · · · Xr2

Ω

•

r=1

•

r=2

•

r=3

p1 = −u11 , p11 = u11 u22 + 3u12 u21 ,

p111 = −u11 u22 u33 − 3u11 u23 u32 − 3u13 u22 u33 − 3u12 u21 u33 − 7u12 u23 u31 − 7u13 u21 u32 .

p11···1 = (−1)r

$ !

σ∈Sr ω∈O(σ)

pA = (−1)|A| 2n−|A|

$

(2|ω| − 1)

!

σ∈SA ω∈O(σ)

p(α1 +2),α2 ,...,αr +

$ j

!

ui,σ(i) .

i

(2|ω| − 1)

!

ui,σ(i) .

i∈A

u1,j pα1 ,...,(1+αi ),...,αr + c1 pα = 0

S

A A

i

i %∈ A

{1, . . . , n} 1 i∈A 0

Jac/(X1 · · · Xr ) (F1 /X12 ) · · · (Fr /Xr2 ) Xi /Xj2

1/Xi

$ Jac det U[I] = 2n−|I| , X 1 · · · Xr XI I $ Fi Xj ci = 1 + ui,j 2 + 2 . 2 Xi Xi Xi j 1/Xi2 1/X A

(Xj /Xi2 )2

& $ !% Fi Xj Xj ≡1+ ui,j 2 ≡ 1 + ui,j 2 Xi2 Xi Xi j j & !% Xj 1 − ui,j 2 . Xi j 1/X A $ I

2

n−|I|

% & det U[I] ! Xj 1 − ui,j 2 XI Xi i,j

1/X1 , . . . , 1/Xr Xj /Xi2 & $ !% Xj per U[I] (−1)|I| 1 − ui,j 2 ≡ Xi XI i,j I

i %= j

X J /(X I )2 I =J $

I⊂A

1/X A

2n−|I| det U[I](−1)|A|−|I| per U[A \ I]

(−1)|A| 2n Γ1/2 (U[A]), !