t
σ
{1, . . . , r} γt (σ) =
! " # 1 − t|ω| .
ω∈O(σ)
O(σ)
|ω|
ω Γt (M) =
$
γt (σ)
$
mi,σ(i) .
i
σ∈Sr
Γt (M) =
r !
(−t)|I| det M[I] per M[I ∗ ]. {1, . . . , r}
I
M[I]
M I
I∗
I
I
!
γt (σ) =
ω∈O(σ)
$
(−t)
U ⊂O(σ)
U
U
(1 − t|ω| ),
P
ω∈U
O(σ)
σ σI $
|ω|
.
I σ σI I (−1)|I|−|U |
σI ∗
(−t)|I| ε(σI ).
I|σ(I)=I
Γt (M) $
(−t)|I| ε(σI )
(−t)|I| ε(σI )
σ∈Sr ,I | σ(I)=I
=
$ I
mi,σ(i) ,
i
σ∈Sr ,I | σ(I)=I
$
!
! i∈I
mi,σI (i)
!
i∈I ∗
mi,σI ∗ (i)
(−t)|I| det M[I] per M[I ∗ ]
! Γt •
t=0
•
tn
t → −∞ t = 1
0=
$
(−1)|I| det M[I] per M[I ∗ ].
I
t = 1/2
r
F1 = . . . = Fr = 0
r
X1 , . . . , Xr Fi =
Xi2
+
r $
ui,j Xj + ci .
j=1
2r U
uij
α∈N X1α1 · · · Xrαr r
pα pα pα
α
0−1 $ pα X1 · · · Xr Jac = ΩS α X F1 · · · Fr α∈Nr Jac
F1 , . . . , Fr X12 · · · Xr2
Ω
•
r=1
•
r=2
•
r=3
p1 = −u11 , p11 = u11 u22 + 3u12 u21 ,
p111 = −u11 u22 u33 − 3u11 u23 u32 − 3u13 u22 u33 − 3u12 u21 u33 − 7u12 u23 u31 − 7u13 u21 u32 .
p11···1 = (−1)r
$ !
σ∈Sr ω∈O(σ)
pA = (−1)|A| 2n−|A|
$
(2|ω| − 1)
!
σ∈SA ω∈O(σ)
p(α1 +2),α2 ,...,αr +
$ j
!
ui,σ(i) .
i
(2|ω| − 1)
!
ui,σ(i) .
i∈A
u1,j pα1 ,...,(1+αi ),...,αr + c1 pα = 0
S
A A
i
i %∈ A
{1, . . . , n} 1 i∈A 0
Jac/(X1 · · · Xr ) (F1 /X12 ) · · · (Fr /Xr2 ) Xi /Xj2
1/Xi
$ Jac det U[I] = 2n−|I| , X 1 · · · Xr XI I $ Fi Xj ci = 1 + ui,j 2 + 2 . 2 Xi Xi Xi j 1/Xi2 1/X A
(Xj /Xi2 )2
& $ !% Fi Xj Xj ≡1+ ui,j 2 ≡ 1 + ui,j 2 Xi2 Xi Xi j j & !% Xj 1 − ui,j 2 . Xi j 1/X A $ I
2
n−|I|
% & det U[I] ! Xj 1 − ui,j 2 XI Xi i,j
1/X1 , . . . , 1/Xr Xj /Xi2 & $ !% Xj per U[I] (−1)|I| 1 − ui,j 2 ≡ Xi XI i,j I
i %= j
X J /(X I )2 I =J $
I⊂A
1/X A
2n−|I| det U[I](−1)|A|−|I| per U[A \ I]
(−1)|A| 2n Γ1/2 (U[A]), !