Dimension de Krull explicite. Application aux thÃ©or ... - Henri Lombardi

Oct 7, 2005 - Kabbaj S.-E., Wiegand S. Lecture notes in pure and applied mathematics vol 131. M. Dekker. (2002). 477â499 . 6. [3] Coquand T., Lombardi H., ...

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Dimension de Krull explicite. Application aux th´ eor` emes de Kronecker, Bass, Serre et Forster. Henri Lombardi et Claude Quitté. Notes de cours. Juillet 2008, avec quelques changements de détails en 2012, pour se conformer aux conventions du livre publié chez Calvage & Mounet. A, B, C désignent des anneaux commutatifs. Si on ne précise pas un homomorphisme est un homomorphisme d’anneaux.

1 1.1

Dimension et bords de Krull Id´ eaux et filtres

Dans cette section les démonstgrations sont laissées en exercice. Nous appelons mono¨ıde une partie S qui contient 1 et qui est stable par multiplication. Nous n’interdisons pas a priori 0 ∈ S. Un mono¨ıde S d’un anneau A est dit saturé lorsqu’on a l’implication ∀s, t ∈ A (st ∈ S ⇒ s ∈ S) Un mono¨ıde saturé est encore appelé un filtre. Si on sature un mono¨ıde, on ne change pas la localisation. Deux mono¨ıdes sont dits équivalents s’ils ont même saturé. La notion de filtre est une notion duale de celle d’idéal, tout aussi importante. Les idéaux sont les images réciproques de 0 par les homomorphismes, ils servent à passer au quotient, c’est-à-dire a` annuler des éléments par force. Les filtres sont les images réciproque du groupe des unités par les homomorphismes, ils servent a` localiser, c’est-à-dire à rendre des éléments inversibles par force. Cette dualité est une forme de dualité entre l’addition et la multiplication. Ceci se voit bien sur les axiomes respectifs qui servent a` définir les idéaux (resp. idéaux premiers) et les filtres (resp. filtres premiers) : Idéal J ` x ∈ J, y ∈ J ` x∈J ` premier xy ∈ J `

0∈J x+y ∈J xy ∈ J x∈J∨y ∈J

Filtre F ` x ∈ F, y ∈ F ` xy ∈ F ` premier x+y ∈F `

1∈F xy ∈ F x∈F x∈F∨y ∈F

Un idéal est premier si et seulement si l’anneau quotient est sans diviseur de zéro. Un filtre est premier si et seulement si le localisé est un anneau local. Supposons l’anneau A non trivial. En mathématiques classiques un idéal (resp. un filtre) est premier si et seulement si son complémentaire est un filtre (resp. un idéal). En mathématiques constructives un idéal détachable 6= A (resp. un filtre détachable 6= A) est premier si et seulement si son complémentaire est un filtre (resp. un idéal). Notez que selon la définition ci-dessus, l’anneau tout entier est à la fois un idéal premier et un filtre premier. Cette convention peut paraˆıtre étrange, mais elle relève de l’idée qu’un anneau trivial est a` la fois intègre et local.

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1 DIMENSION ET BORDS DE KRULL

Une bonne fa¸con de comprendre la dualité est de traiter simultanément idéaux et filtres. Pour ceci nous introduisons la notion de couple saturé. Un couple saturé dans A est un couple (a, f) o` u a est un idéal, f est un filtre, avec : (as ∈ a, s ∈ f) ⇒ a ∈ a et (a + s ∈ f, a ∈ a) ⇒ s ∈ f Récapitulons les axiomes pour les couples saturés (notez que la dernière condition se réécrit J + F = F). ` 0∈J x ∈ J, y ∈ J ` x + y ∈ J x ∈ J ` xy ∈ J xy ∈ J, y ∈ F ` x ∈ J

` 1∈F x ∈ F, y ∈ F ` xy ∈ F xy ∈ F ` x ∈ F x + y ∈ F, y ∈ J ` x ∈ F

Fait 1.1 Pour tout homomorphisme ψ : A → B, le couple (Ker ψ, ψ −1 (B× )) est un couple saturé. Réciproquement : Fait 1.2 Soit (a, f) un couple saturé, θ : A → A/a l’application canonique. 1. θ(f) est un filtre, et f = θ−1 (θ(f)). 2. Soit φ : A/a → (θ(f))−1 (A/a) l’application canonique, et π = φ ◦ θ. Nous utiliserons la notation abrégée (abusive) Af /a pour (θ(f))−1 (A/a). 3. On a Ker π = a et π −1 ((Af /a)× ) = f. 4. Tout élément de Af /a s’écrit π(x)/π(s) avec s ∈ f. On a π(x)/π(s) = π(x0 )/π(s0 ) si et seulement si xs0 − x0 s ∈ a. 5. Af /a est local si et seulement si f est un filtre premier (c’est-à-dire si et seulement si Af est local). 6. Af /a est sans diviseur de zéro si et seulement si a est un idéal premier (c’est-à-dire si et seulement si A/a est sans diviseur de zéro). Un idéal et un filtre sont dit associés lorsqu’ils forment un couple saturé. Les deux théorèmes de factorisation usuels pour les idéaux et les filtres se généralisent en un seul théorème pour les couples saturés. C’est le suivant. Th´ eor` eme 1.3 (théorème de factorisation, 1) Soit (a, f) un couple saturé de A, π : A → Af /a l’homomorphisme canonique et ϕ : A → B un homomorphisme. Alors ϕ se factorise par Af /a si et seulement si a ⊆ Ker ϕ et ϕ(f) ⊆ B× . Dans ce cas, la factorisation est unique. D´ efinition 1.4 Si (a, f) et (b, g) sont deux couples saturés de A on dit que (b, g) raffine (a, f) et on écrit (a, f) ≤ (b, g) lorsque a ⊆ b et f ⊆ g. Le lemme suivant décrit le couple saturé (( engendré )) (au sens de la relation de raffinement) par un couple de parties de A. Lemme 1.5 Considérons un couple (I, S) de parties de A. 1. Le couple saturé (a, f) engendré par (I, S) est obtenue en considérant tout d’abord l’idéal J et le filtre F engendrés par I et S. Ensuite on pose a = {x ∈ A|∃s ∈ F, xs ∈ J} et f = {x ∈ A|∃b ∈ A, bx ∈ J + F }.

1.1 Idéaux et filtres

3

2. Si S = ∅ le couple saturé engendré est (a, f), o` u a est l’idéal engendré par I et f est le filtre obtenu en saturant le mono¨ıde 1 + a. Dans ce cas Af /a = A/a. 3. Si I = ∅ le couple saturé P engendré est (a, f), o` u f est le filtre engendré par S et a = {x ∈ A|∃s ∈ f, xs = 0} = s∈f (0 : s). Dans ce cas Af /a = Af . Si en outre S est fini et S s est le produit des éléments de S, a = n∈N (0 : sn ) = (0 : s∞ ). Corollaire 1.6 Les couples saturés de A ont une structure de treillis distributif pour la relation de raffinement, avec : – L’élément minimum est ({0} , A× ) et l’élément maximum (A, A). – (a, f) ∨ (b, g) est le couple saturé engendré par (a + b, f g). – (a, f) ∧ (b, g) = (a ∩ b, f ∩ g). Le théorème de factorisation admet la variante suivante, qu’on peut lire comme la solution du problème universel (( annuler I, inverser S )). Th´ eor` eme 1.7 (théorème de factorisation, 2) Soit I, S ⊂ A, (a, f) le couple saturé engendré par (I, S) et ϕ : A → B un homomorphisme. Alors ϕ se factorise par Af /a si et seulement si ϕ(I) ⊆ {0} et ϕ(S) ⊆ B× . Dans ce cas, la factorisation est unique. Pour un couple saturé (a, f) on a les équivalences suivantes : a = A ⇐⇒ 1 ∈ a ⇐⇒ 0 ∈ f ⇐⇒ f = A ⇐⇒ Af /a = {0} . Un idéal a et un filtre f sont dit incompatibles lorsqu’il engendrent la paire (A, A) c’est-àdire lorsque a ∩ f 6= ∅ (en mathématiques constructives, il faut avoir explicitement un élément dans l’intersection). Lorsque a ∩ f = ∅, on dit que l’idéal et le filtre sont compatibles. Dans ce cas on peut a` la fois annuler les éléments de a et rendre inversibles les éléments de f sans que l’anneau soit réduit à 0. Proposition 1.8 1. Soit ϕ : A → C un homomorphisme et (b, g) un couple saturé de C, alors (ϕ−1 (b), ϕ−1 (g)) est un couple saturé de A. 2. Soit (a, f) un couple saturé de A et π : A → B = Af /a l’application canonique. Alors : (a) L’application (b, g) 7→ (π −1 (b), π −1 (g)) est une bijection croissante (pour les relations de raffinement) entre d’une part, les couples saturés de B, et d’autre part, les couples saturés de A qui raffinent (a, f). (b) Si (b, g) est un couple saturé de B l’application canonique de Aπ−1 (g) /π −1 (b) vers Bg /b est un isomorphisme. (c) Dans cette bijection – l’idéal b est premier si et seulement si π −1 (b) est premier, – tout idéal premier de A compatible avec f est obtenu. (d) Dans cette bijection – le filtre g est premier si et seulement si π −1 (g) est premier, – tout filtre premier de A compatible avec a est obtenu. On en déduit la comparaison suivante qui est instructive sur la dualité entre idéaux et filtres.

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1 DIMENSION ET BORDS DE KRULL

Fait 1.9 Soit a un idéal de A et π : A → A/a l’homomorphisme correspondant.

Fait 1.10 Soit f un filtre de A et π : A → Af l’homomorphisme correspondant.

1. L’application b 7→ π −1 (b) est une bijection croissante entre idéaux de A/a et idéaux de A contenant a. Dans cette bijection les idéaux premiers correspondent aux idéaux premiers.

1. L’application g 7→ π −1 (g) est une bijection croissante entre filtres de Af et filtres de A contenant f. Dans cette bijection les filtres premiers correspondent aux filtres premiers.

2. L’application g 7→ π −1 (g) est une bijection croissante entre filtres de A/a et filtres h de A vérifiant h = h + a, i.e. ∀a ∈ a ∀x ∈ A (a + x ∈ h ⇒ x ∈ h).

2. L’application b 7→ π −1 (b) est une bijection croissante entre idéaux de Af et idéaux c de A vérifiant : ∀s ∈ f ∀x ∈ A (sx ∈ c ⇒ x ∈ c).

3. Dans cette bijection les filtres premiers de A/a correspondant exactement aux filtres premiers de A compatibles avec a.

3. Dans cette bijection les idéaux premiers de Af correspondant exactement aux idéaux premiers de A compatibles avec f.

1.2

Bords de Krull

Treillis de Zariski Notation 1.11 Si a est un idéal de A on note DA (a) = on notera DA (x1 , . . . , xn ) pour DA (a).

√

a le radical de a. Si a = hx1 , . . . , xn i

On a donc x ∈ DA (a) si et seulement si une puissance de x appartient a` a. D´ efinition 1.12 On note Zar A l’ensemble des DA (x1 , . . . , xn ) (n ∈ N et x1 , . . . , xn ∈ A). Cet ensemble est ordonné par la relation d’inclusion. Rappelons qu’un ensemble ordonné est appelé un treillis lorsqu’il existe un élément maximum, un élément minimum, et que deux éléments arbitraires admettent un sup et un inf (en général, on note a ∨ b pour le sup et a ∧ b pour le inf de a et b). Le treillis est appelé distributif lorsque les deux lois sup et inf sont distributives l’une par rapport a` l’autre. Fait 1.13 Zar A est un treillis distributif avec DA (a1 ) ∨ DA (a2 ) = DA (a1 + a2 )

DA (a1 ) ∧ DA (a2 ) = DA (a1 a2 )

On l’appelle le treillis de Zariski de l’anneau A. Dans les textes de mathématiques classiques (o` u on utilise librement des principes non constructifs tels que l’axiome du choix) on considère le spectre de Zariski Spec A de A qui est l’ensemble des idéaux premiers de A muni d’une topologie possédant pour base d’ouverts les DA (a) = {p ∈ Spec A|a ∈ / p}. Si on note DA (x1 , . . . , xn ) pour DA (x1 ) ∪ · · · ∪ DA (xn ), on obtient alors le résultat suivant : Les ouverts quasi-compacts de Spec A sont exactement les DA (x1 , . . . , xn ), l’application DA (x1 , . . . , xn ) 7→ DA (x1 , . . . , xn ) est bien définie, c’est un isomorphisme de treillis distributifs.

1.2 Bords de Krull

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Le spectre de Zariski est l’exemple paradigmatique d’espace spectral. Les espaces spectraux on été introduits par Stone [15] en 1937. Ils peuvent être caractérisés comme les espaces topologiques pour lesquels la topologie admet comme base d’ouverts les ouverts quasi-compacts, qui par ailleurs forment un treillis distributif. Une application continue entre espaces spectraux est dite spectrale si l’image réciproque de tout ouvert quasi-compact est un ouvert quasi-compact. La catégorie des espaces spectraux et applications spectrales est antiéquivalente a` la catégorie des treillis distributifs. La notion de dimension de Krull peut être définie pour un espace spectral arbitraire X. Une manière intuitive d’appréhender cette notion de dimension est la suivante. La dimension peut être caractérisée par récurrence en disant que d’une part, la dimension −1 correspond à l’espace vide, d’autre part, un espace X est de dimension ≤ k (o` u k ≥ 0) si et seulement si pour tout ouvert quasi-compact Y de X, le bord Z de Y dans X (Z est fermé donc c’est un sous espace spectral de X) est de dimension ≤ k − 1. Voyons par exemple comment on peut définir le bord de l’ouvert DA (a) dans Spec A. Le bord est l’intersection de l’adhérence de DA (a) et de celle de son complémentaire, que nous notons V(a). Comme V(a) est fermé, il est égal a` son adhérence. Quant a` l’adhérence de DA (a) c’est l’intersection de tous les V(x) qui contiennent DA (a), c’est-à-dire tels que D(x)∩D(a) = ∅. Comme D(x) ∩ D(a) = D(xa), et comme D(y) = ∅ si et seulement si y est nilpotent on obtient une approche heuristique de l’idéal bord de Krull de a, qui l’est l’idéal engendré par a d’une part (ce qui correspond a` V(a)), et par tous les x tels que xa est nilpotent d’autre part (ce qui correspond à l’adhérence de D(a)). Dimension de Krull Nous noterons Kdim A la dimension de Krull de l’anneau A c’est-à-dire la borne supérieure des longueurs ` de chaˆınes d’idéaux premiers p0 ( · · · ( p` . Puisque le complémentaire d’un idéal premier est un filtre premier la dimension de Krull est aussi le maximum des longueurs des chaˆınes strictement croissantes de filtres premiers. Un anneau est de dimension de Krull −1 si et seulement si il ne possède pas d’idéaux premiers, c’est-à-dire s’il est réduit a` 0. Un anneau non nul est de dimension de Krull 0 si et seulement si tout idéal premier est maximal. Par exemple un corps ou un produit fini de corps est de dimension 0. D´ efinition 1.14 Soit A un anneau commutatif et x ∈ A. u (1) Le bord supérieur de Krull de x dans A est l’anneau quotient AxK := A/JAK (x) o` JAK (x) = hxi + (DA (0) : x)

(1)

On dira aussi que JAK (x) est l’idéal bord de Krull de x. K K (x) o` (2) Le bord inférieur de Krull de x dans A est l’anneau localisé AK u SA (x) = x := ASA N N x (1 + xA). On dira aussi que le mono¨ıde x (1 + xA) est le mono¨ıde bord de Krull de x. Ainsi un élément arbitraire de JAK (x) s’écrit ax + b avec bx nilpotent. Remarque. La terminologie bord de Krull est justifiée par le cas géométrique suivant. Si l’anneau A = K[V ] est l’anneau des fonctions rationnelles sur une variété affine V , un élément f ∈ A représente une fonction sur V dont les zéros forment une sous variete affine W . Alors A/DA (JAK (f )), qui est l’anneau réduit associé à AfK , est l’anneau K[W 0 ], o` u W 0 désigne le bord de W dans V . Le fait de prendre le bord oblige la dimension a` descendre d’au moins une unité, que V soit irréductible ou non, que f soit nul, inversible, ou n’importe quoi. Cela tient à ce que le bord du plein est vide.

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1 DIMENSION ET BORDS DE KRULL

Le théorème suivant (qu’on trouve dans [5]) donne une caractérisation inductive élémentaire de la dimension de Krull (à partir de la dimension −1 qui caractérise l’anneau trivial). Il fournit aussi une bonne signification intuitive pour cette dimension. Th´ eor` eme 1.15 Pour un anneau commutatif A et un entier ` ≥ 0 les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. La dimension de Krull de A est ≤ `. 2. Pour tout x ∈ A la dimension de Krull de AxK est ≤ ` − 1. 3. Pour tout x ∈ A la dimension de Krull de AK x est ≤ ` − 1. D´ emonstration. Montrons d’abord l’équivalence des points 1 et 2. Rappelons que les idéaux premiers de S −1 A sont de la forme S −1 p o` u p est un idéal premier de A qui ne coupe pas S (fait 1.10). L’équivalence résulte alors des deux affirmations suivantes. K (x). En effet si x ∈ m c’est (a) Soit x ∈ A, si m est un idéal maximal de A il coupe toujours SA clair et sinon, x est inversible modulo m ce qui signifie que 1 + xA coupe m. (b) Si m est un idéal maximal de A, et si x ∈ m \ p o` u p est un idéal premier contenu dans m, K alors p ∩ SA (x) = ∅ : en effet si x(1 + xy) ∈ p alors, puisque x ∈ / p on a 1 + xy ∈ p ⊂ m, ce qui donne la contradiction 1 ∈ m (puisque x ∈ m). Ainsi, si p0 ( · · · ( p` est une chaˆıne avec p` maximal, elle est raccourcie d’au moins son dernier K terme lorsqu’on localise en n’importe quel SA (x), et elle n’est raccourcie que de son dernier terme si x ∈ p` \ p`−1 . L’équivalence des points 1 et 3 se démontre de manière duale, en rempla¸cant les idéaux premiers par les filtres premiers. On rappelle d’abord que les filtres premiers de A/J sont de la forme S modulo J, o` u S est un filtre premier de A qui ne coupe pas J (fait 1.9). Il suffit alors de démontrer les deux affirmations duales de (a) et (b) qui sont les suivantes : (a’) Soit x ∈ A, si S est un filtre maximal de A il coupe toujours JAK (x). En effet si x ∈ S c’est clair et sinon, puisque S est maximal SxN contient 0, ce qui √ signifie qu’il y a un entier n et un élément s de S tels que sxn = 0. Alors (sx)n = 0 et s ∈ ( 0 : x) ⊂ JAK (x). (b’) Si S est un filtre maximal de A, et si x ∈ S \ S 0 o` u S 0 ⊂ S est un filtre premier, alors 0 K 0 n S ∩ JA (x) = ∅. En effet si ax + b ∈ S avec (bx) = 0 alors, puisque x ∈ / S 0 on a ax ∈ / S 0 et, vu que S 0 est premier, b ∈ S 0 ⊂ S, mais comme x ∈ S, (bx)n = 0 ∈ S ce qui est absurde. 2 En outre le théorème 1.15 redonne la caractérisation élémentaire de cette dimension en terme d’identités algébriques comme dans [2, 14] : Corollaire 1.16 Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. La dimension de Krull de A est ≤ ` 2. Pour tous x0 , . . . , x` ∈ A il existe b0 , . . . , b` ∈ A tels que DA (b0 x0 ) = DA (0) DA (b1 x1 ) ≤ DA (b0 , x0 ) .. .. .. . . . DA (b` x` ) ≤ DA (b`−1 , x`−1 ) DA (1) = DA (b` , x` )

      

(2)

     

3. Pour tous x0 , . . . , x` ∈ A il existe a0 , . . . , a` ∈ A et m0 , . . . , m` ∈ N tels que m` m1 0 xm 0 (x1 · · · (x` (1 + a` x` ) + · · · + a1 x1 ) + a0 x0 ) = 0

(3)

1.2 Bords de Krull

7

Par exemple pour k = 2 le point 2. correspond au dessin suivant dans Zar A. 1 DA (x2 )

DA (b2 ) • •

DA (x1 )

DA (b1 ) • •

DA (x0 )

DA (b0 ) 0

D´ emonstration. Montrons l’equivalence de 1. et 3. Utilisons par exemple pour 1. la caractérisation via les equivalence pour la dimension 0 est claire. Supposons la chose établie pour la localisés AK x . L’´ dimension ≤ `. On voit alors que S −1 A est de dimension ≤ ` si et seulement si pour tous x0 , . . . , x` ∈ A il existe a0 , . . . , a` ∈ A, m0 , . . . , m` ∈ N et s ∈ S tels que m` m1 0 xm 0 (x1 · · · (x` (s + a` x` ) + · · · + a1 x1 ) + a0 x0 ) = 0. m`+1 Il reste donc a` remplacer s par un élément arbitraire de la forme x`+1 (1 + a`+1 x`+1 ). Il est recommandé de faire aussi la preuve de 1. ⇒ 3. en utilisant la caractérisation via les quotients AxK . k On a 3. ⇒ 2. en prenant : b` = 1 + a` x` , et bk−1 = xm k bk + ak−1 xk−1 , pour k = `, . . ., 1. On a 2. ⇒ 1. par récurrence en utilisant la caractérisation via les quotients AxK . L’implication pour la dimension 0 est claire. Supposons la chose établie pour la dimension < `. Supposons la propriété 2. et montrons que pour tout x0 la dimension de B = AxK0 est < `. Par hypothèse de récurrence il suffit de trouver, pour tous x1 , . . . , x` des éléments b1 , . . . , b` tels que   DB (b1 x1 ) = DB (0)    .. .. .. . . . DB (b` x` ) ≤ DB (b`−1 , x`−1 )     DB (1) = DB (b` , x` ) Or par hypothèse on a des éléments b0 , . . . , b` tels que DA (b0 x0 ) = DA (0) DA (b1 x1 ) ≤ DA (b0 , x0 ) .. .. .. . . . DA (b` x` ) ≤ DA (b`−1 , x`−1 ) DA (1) = DA (b` , x` )

            

et les inégalités avec DA impliquent les mêmes avec DB . La deuxième inégalité signifie que (b1 x1 )m = b0 y0 + x0 z0 (pour un certain m) et la première nous dit que b0 x0 est nilpotent. A fortiori b0 y0 x0 est nilpotent donc b0 y0 + x0 z0 ∈ JAK (x0 ) et b1 x1 est nilpotent dans B. On peut aussi montrer directement 2. ⇒ 3. par un calcul un peu fastidieux. 2 En particulier un anneau est (Krull-)zéro-dimensionnel (i.e. Kdim A ≤ 0) si et seulement si pour tout x il existe a tel que x(1 − ax) est nilpotent. Remarque. Le système d’inégalités (2) dans le point 2. du corollaire précédent établit une relation intéressante et symétrique entre les deux suites (b0 , . . . , b` ) et (x0 , . . . , x` ).

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1 DIMENSION ET BORDS DE KRULL

Lorsque ` = 0, cela signifie DA (b0 ) ∧ DA (x0 ) = 0 et DA (b0 ) ∨ DA (x0 ) = 1, c’est-à-dire que les deux éléments DA (b0 ) et DA (x0 ) sont compléments l’un de l’autre dans le treillis Zar A. Dans Spec A cela signifie que les ouverts de base correspondants sont complémentaires. Nous introduisons donc la terminologie suivante : lorsque deux suites (b0 , . . . , b` ) et (x0 , . . . , x` ) vérifient les inégalités (2) nous dirons qu’elles sont complémentaires. Enfin une suite qui possède une suite complémentaire sera dite singulière. Remarque. On peut illustrer le corollaire 1.16 ci-dessus en introduisant (( l’idéal bord de Krull itéré )). Pour x1 , . . ., xn ∈ A, considérons (AxK1 )xK2 , ((AxK1 )xK2 )xK3 , etc. . . les anneaux bords supérieurs successifs, et notons JAK (x1 , . . . , x` ) le noyau de la projection canonique A → (. . . (AxK1 )··· )xK` . Alors on a y ∈ JAK (x0 , . . . , x` ) si et seulement si ∃a0 , . . . a` ∈ T et m0 , . . . , m` ∈ N vérifiant : m` m1 0 xm 0 (x1 · · · (x` (y + a` x` ) + · · · + a1 x1 ) + a0 x0 ) = 0.

Et la dimension de Krull est ≤ ` si et seulement si pour tous x0 , . . . , x` ∈ A on a 1 ∈ JAK (x0 , . . . , x` ). Un premier résultat important dans la théorie de la dimension de Krull est la dimension des anneaux de polynomes sur un corps discret : terminologie des mathématiques constructives pour désigner un corps dans lequel on dispose d’un test d’égalité. Proposition 1.17 Si K est un corps discret, la dimension de Krull de K[X1 , . . . , X` ] est égale a `. ` Nous établissons d’abord le résultat suivant. Proposition 1.18 Soit K un corps discret, A une K-algèbre, et x1 , . . ., x` ∈ A algébriquement dépendants sur K. La suite (x1 , . . . , x` ) est singulière. D´ emonstration. Soit Q(x1 , . . . , x` ) = 0 une relation de dépendance algébrique sur K. Mettons un ordre lexicographique sur les monomes non nuls αp1 ,...,p` xp11 xp22 · · · xp` ` de Q, en accord avec les “mots” p1 p2 . . . p` . Nous pouvons supposer le coefficient du plus petit monome non nul égal à 1 (ici on utilise l’hypothèse que le corps est discret, car on suppose qu’on peut déterminer pour m` 1 m2 ce monome. En suivant l’ordre chaque αp1 ,...,p` s’il est nul ou inversible). Soit xm 1 x2 · · · x` lexicographique, nous voyons que nous pouvons écrire Q sous la forme 1+m`−1

m` 1+m` m1 1 1 Q = xm R` + xm 1 · · · x` + x1 · · · x` 1 · · · x`−1 1 1+m2 1 + · · · + xm R2 + x1+m R1 1 x2 1

o` u Rj ∈ K[xk ; k ≥ j]. Alors Q = 0 est l’égalité voulue.

R`−1 2

Peuve de la proposition 1.17 Nous notons d’abord que la suite (X1 , . . . , X` ) est non singulière : dans (3) avec xi = Xi le membre de gauche est non nul (considérer le coefficient de X1m1 X2m2 · · · X`m` ). Pour prouver que la dimension de K[X1 , . . . , X` ] est ≤ ` il suffit, vu la proposition 1.18, de montrer que ` + 1 éléments K[X1 , . . . , X` ] sont toujours algébriquement dépendants sur K. Voici une preuve élémentaire de ce résultat classique. Soient y1 , . . . , y`+1 ces éléments, et d une δ`+1 borne sur leurs degrés. Pour un entier k ≥ 0 considérons la liste Lk de tous les y1δ1 · · · y`+1 tels P`+1 k+`+1 que δ = i=1 δi ≤ k. Le cardinal de Lk égale . Ceci est un polynome de degré ` + 1 en k. k Les éléments de Lk vivent dans l’espace vectoriel des éléments de K[X1 , . . . , X` ] de degré ≤ k d,

9 qui a pour dimension d dk+` . Ceci est un polynome de degré ` en k. Donc pour k assez grand, k le cardinal de Lk est plus grand que la dimension de l’espace vectoriel o` u ses éléments vivent, et il y a une relation de dépendance linéaire entre les éléments de Lk . Ceci fournit une relation de dépendance algébrique entre les yi ’s. 2 On peut aussi traiter de cette fa¸con la dimension de Krull des anneaux géométriques (les K-algèbres de présentation finie). Donc les théorèmes des sections 2 et 3 ont un contenu algorithmique clair pour ces anneaux (comme pour tout anneau o` u l’on est capable d’expliciter la dimension de Krull au sens du corollaire 1.16). Remarque. On a aussi des algorithmes pour les résultats suivants (en prenant la dimension de Krull au sens du corollaire 1.16) : – Si B est un quotient ou un localisé de A, alors Kdim B ≤ T Kdim A. m – Si (ai )1≤i≤m une famille finie d’idéaux de A et a = i=1 ai , alors Kdim(A/a) = supi Kdim(A/ai ). – Si (Si )1≤i≤m une famille finie de mono¨ıdes comaximaux de A alors Kdim(A) = supi Kdim(ASi ). Rappelons aussi que, en mathématiques classiques, Kdim(A) = supm Kdim(Am ), o` u m parcourt tous les idéaux maximaux (mais il est difficile de concevoir un algorithme correspondant à ce résultat).

2 2.1

Le th´ eor` eme de Kronecker et le stable range de Bass (versions non nœth´ eriennes de Heitmann) Le th´ eor` eme de Kronecker

Ce théorème a d’abord été démontré par Kronecker [12] sous la forme suivante : une variété algébrique dans Cn peut toujours être définie par n + 1 équations. Il a été étendu au cas des anneaux nœthériens (par van der Waerden, dans [17]) sous la forme suivante : dans un anneau nœthérien de dimension de Krull n, tout idéal a même radical qu’un idéal engendré par au plus n + 1 éléments. La version de Kronecker a été améliorée par divers auteurs dans [16, 9] qui ont montré que n équations suffisent en général. Une preuve constructive de ce dernier théorème est dans [6]. Par ailleurs on ne sait toujours pas si toute courbe dans l’espace complexe de dimension 3 est ou non intersection de deux surfaces. Heitmann [11] a enfin généralisé la version van der Waerden au cas non nœthérien. La preuve élémentaire qui suit est dans [1]. Le lemme suivant, bien que terriblement anodin, est une clef essentielle. Lemme 2.1 Pour u, v ∈ A on a DA (u, v) = DA (u + v, uv) = DA (u + v) ∨ DA (uv) En particulier si uv ∈ DA (0), alors DA (u, v) = DA (u + v). D´ emonstration. On a évidemment hu + v, uvi ⊆ hu, vi donc DA (u + v, uv) ⊆ DA (u, v). Par ailleurs u2 = (u + v)u − uv ∈ hu + v, uvi donc u ∈ DA (u + v, uv). 2

10

´ ` 2 LE THEOR EME DE KRONECKER ET LE STABLE RANGE DE BASS

Rappelons que deux suites qui vérifient les inégalités (2) dans le corollaire 1.16 sont dites complémentaires. Lemme 2.2 Soit n ≥ 1. Si (b1 , . . . , bn ) et (x1 . . . , xn ) sont deux suites complémentaires dans A alors pour tout a ∈ A on a : DA (a, b1 , . . . , bn ) = DA (b1 + ax1 , . . . , bn + axn ), c’est-à-dire encore : a ∈ DA (b1 + ax1 , . . . , bn + axn ). D´ emonstration. On les inégalités DA (b1 x1 ) = DA (0) DA (b2 x2 ) ≤ DA (b1 , x1 ) .. .. .. . . . DA (b` x` ) ≤ DA (b`−1 , x`−1 ) DA (1) = DA (b` , x` ) On en déduit celles-ci DA (ax1 b1 ) = DA (0) DA (ax2 b2 ) ≤ DA (ax1 , b1 ) .. .. .. . . . DA (ax` b` ) ≤ DA (ax`−1 , b`−1 ) DA (a) ≤ DA (ax` , b` ) On a donc d’après le lemme 2.1 DA (a) ≤ DA (ax` + b` ) ∨ DA (ax` b` ) DA (ax` b` ) ≤ DA (ax`−1 + b`−1 ) ∨ DA (ax`−1 b`−1 ) .. .. .. . . . DA (ax2 b2 ) ≤ DA (ax2 + b2 ) ∨ DA (ax2 b2 ) DA (ax2 b2 ) ≤ DA (ax1 + b1 ) ∨ DA (ax1 b1 ) = DA (ax1 + b1 ) Donc finalement DA (a) ≤ DA (ax1 + b1 ) ∨ DA (ax2 + b2 ) ∨ · · · ∨ DA (ax`−1 + b`−1 ) ∨ DA (ax` + b` ) = DA (ax1 + b1 , ax2 + b2 , . . . , ax` + b` ). 2 Th´ eor` eme 2.3 (de Kronecker, avec la dimension de Krull, sans nœthérianité) Soit n ≥ 0. Si Kdim A < n et b1 , . . . , bn ∈ A alors il existe x1 , . . . , xn tels que pour tout a ∈ A DA (a, b1 , . . . , bn ) = DA (b1 + ax1 , . . . , bn + axn ). En conséquence, dans un anneau de dimension de Krull ≤ n, tout idéal de type fini a même radical qu’un idéal engendré par au plus n + 1 éléments. D´ emonstration. Le premier point est clair d’après le lemme 2.2 et le corollaire 1.16 (et si n = 0 l’anneau est trivial et DA (a) = DA (∅)). La deuxième affirmation en découle car il suffit d’itérer le processus. En fait, si Kdim A ≤ n et J = DA (b1 , . . . , bn+r ) (r ≥ 2) on obtient en fin de compte J = DA (b1 + c1 , . . . , bn+1 + cn+1 ) avec les ci ∈ hbn+2 , . . . , bn+r i. 2 Remarque. Pour le cas n = 1 la preuve donnée ci-dessus dit ceci. Puisque Kdim A ≤ 0 il existe x1 tel que b1 x1 ∈ DA (0) et 1 ∈ DA (b1 , x1 ). A fortiori b1 ax1 ∈ DA (0) et a ∈ DA (b1 , ax1 ). Le lemme 2.1 nous dit que DA (b1 , ax1 ) = DA (b1 + ax1 ), donc a ∈ DA (b1 + ax1 ).

2.2 Le théorème (( stable range )) de Bass

2.2

11

Le th´ eor` eme (( stable range )) de Bass

Le théorème suivant est dˆ u a` Bass dans le cas nœthérien avec la dimension de Krull. La version non nœthérienne avec une dimension (inférieure à la dimension de Krull) qu’il a introduite dans [11] est due à Heitmann. Nous donnons tout d’abord la version non nœthérienne avec la dimension de Krull. Nous donnerons ensuite une version a` la Heitmann [11], légèrement plus forte que dans [11], et, surtout, constructive. Th´ eor` eme 2.4 (de Bass, avec la dimension de Krull, sans nœthérianité) Soit n ≥ 0. Si Kdim A < n, pour tous b1 , . . . , bn ∈ A. il existe x1 , . . . , xn tels qu’on ait l’implication suivante ∀a ∈ A

(1 ∈ ha, b1 , . . . , bn i ⇒ 1 ∈ hb1 + ax1 , . . . , bn + axn i).

D´ emonstration. Cela résulte directement du premier point dans le théorème 2.3.

2

Nous introduisons maintenant la notion de dimension de Heitmann d’un anneau commutatif, calquée sur le définition inductive de la dimension de Krull. Notation 2.5 Si a est un idéal de A on note JA (a) son radical de Jacobson. Si a = hx1 , . . . , xn i on notera JA (x1 , . . . , xn ) pour JA (a). En particulier JA (0) = Rad A. On a donc x ∈ JA (a) si et seulement si pour tout y ∈ A, 1 + xy est inversible modulo a. D´ efinition 2.6 On note Heit A l’ensemble des JA (x1 , . . . , xn ). Lemme 2.7 1. Pour un idéal arbritraire a on a JA (a) = JA (DA (a)). En conséquence Heit A est un treillis distributif quotient de Zar A. 2. Pour u, v ∈ A on a JA (u, v) = JA (u + v, uv) = JA (u + v) ∨ JA (uv) En particulier si uv ∈ JA (0), alors JA (u, v) = JA (u + v). D´ emonstration. On a a ⊆ DA (a) ⊆ JA (a) donc JA (a) = JA (DA (a)). L’égalité DA (u, v) = DA (u + v, uv) (lemme 2.1) implique alors JA (u, v) = JA (u + v, uv). 2 On peut montrer (voir [4]) que la Jdim définie par Heitmann dans [11] est la dimension de l’espace spectral correspondant au treillis distributif Heit A. D´ efinition 2.8 Pour x ∈ A le bord de Heitmann de x dans A est l’anneau quotient A/JAH (x) avec JAH (x) := hxi + (JA (0) : x) qui est aussi appelé l’idéal bord de Heitmann de x dans A. On notera aussi AxH pour A/JAH (x). D´ efinition 2.9 La dimension de Heitmann de A est définie de manière inductive comme suit : – Hdim A = −1 si et seulement si 1A = 0A .

´ ` 2 LE THEOR EME DE KRONECKER ET LE STABLE RANGE DE BASS

12

– Pour ` ≥ 0, Hdim A ≤ ` si et seulement si pour tout x ∈ A, Hdim(AxH ) ≤ ` − 1. Cette dimension a été introduite dans [3] (voir aussi [4]). Elle est a priori inférieure à celle définie par Heitmann dans [11] (la Jdim). Dans le cas d’un anneau nœtherien la Hdim, la Jdim de Heitmann et la dimension du spectre maximal qui intervient dans les théorèmes de Serre et de Swan [18] sont les mêmes (voir [4]). Fait 2.10 1. La dimension de Heitmann ne peut que diminuer par passage à un anneau quotient. 2. La dimension de Heitmann est toujours inférieure ou égale à la dimension de Krull. 3. Plus précisément Hdim A ≤ Kdim(A/JA (0)). 4. Enfin Hdim A ≤ 0 si et seulement si Kdim(A/JA (0)) ≤ 0. D´ emonstration. La preuve du point 1 est par récurrence en remarquant que pour tout x ∈ A, (A/a)xH est un quotient de AxH . La preuve du point 2 est par récurrence (en utilisant le point 1) en remarquant que AxH est un quotient de AxK . Pour les points 3 et 4 on pose B = A/JA (0). On a alors 2 JB (0) = h0i et on vérifie que AxH ' BxH = BxK pour tout x ∈ A. En particulier la dimension de Heitmann d’un anneau local est nulle (du point de vue constructif il faut préciser que le corps résiduel doit être discret, c’est-à-dire qu’on doit avoir un test d’égalité a` 0 dans ce corps). Th´ eor` eme 2.11 (de Bass, avec la dimension de Heitmann, sans nœthérianité) Soit n ≥ 0. Si Hdim A < n et 1 ∈ ha, b1 , . . . , bn i alors il existe x1 , . . . , xn tels que 1 ∈ hb1 + ax1 , . . . , bn + axn i. D´ emonstration. La même preuve donnerait le théorème 2.4 en rempla¸cant le bord de Heitmann par le bord de Krull. On remarque que 1 ∈ hLi équivaut a` 1 ∈ JA (L) pour toute liste L. On raisonne par récurrence sur n. Lorsque n = 0 l’anneau est trivial et JA (1) = JA (∅). Supposons n ≥ 1. Soit j = JAH (bn ) l’idéal bord de Heitmann de bn . Puisque A/j est de dimension de Heitmann ≤ n − 2 l’hypothèse de récurrence nous donne x1 , . . . , xn−1 ∈ A tels que 1 ∈ hb1 + x1 a, . . . , bn−1 + xn−1 ai

dans A/j .

(4)

Notons L pour b1 + x1 a, . . . , bn−1 + xn−1 a. Un élément arbitraire de j = JAH (bn ) s’écrit bn y + x avec xbn ∈ JA (0). L’appartenance (4) signifie donc qu’il existe xn tel que xn bn ∈ JA (0) et 1 ∈ hL, bn , xn i .

(5)

1 ∈ JA (L, bn , xn ) = JA (L, bn ) ∨ JA (xn ).

(6)

A fortiori Notons que par hypothèse 1 ∈ ha, b1 , . . . , bn i = hL, bn , ai. Donc 1 ∈ JA (L, bn , a) = JA (L, bn ) ∨ JA (a) Enfin (6) et (7) donnent par distributivité 1 ∈ JA (L, bn ) ∨ JA (xn a) = JA (L, bn , xn a)

(7)

2.2 Le théorème (( stable range )) de Bass

13

Puisque bn xn a ∈ JA (0) le lemme 2.7 nous dit que JA (bn , xn a) = JA (bn + xn a), et donc que 1 ∈ JA (L, bn + xn a) = JA (L, bn , xn a), ce qui était le but recherché. 2 On peut également démontrer la version améliorée suivante du théorème de Kronecker (voir [4], et [11, Heitmann] o` u le théorème est obtenu avec la Jdim à la place de la Hdim). Th´ eor` eme 2.12 (de Kronecker, avec la dimension de Heitmann, sans nœthérianité) Soit n ≥ 0. Si Hdim(A[a−1 ]) < n et a, b1 , . . . , bn ∈ A alors il existe x1 , . . . , xn ∈ A tels que DA (a, b1 , . . . , bn ) = DA (b1 + ax1 , . . . , bn + axn ). En conséquence, si a1 , . . . , ar , b1 , . . . , bn ∈ A et Hdim(A[a−1 i ]) < n pour i = 1, . . . , r alors il existe y1 , . . . , yn ∈ ha1 , . . . , ar i tels que DA (a1 , . . . , ar , b1 , . . . , bn ) = DA (b1 + y1 , . . . , bn + yn ). Remarque. Dans le cas d’un anneau local nœthérien A, l’idéal maximal est radicalement engendré par n = Kdim A éléments, mais pas moins. Ceci montre que parmi n (( générateurs radicaux )) du maximal, il n’y en a aucun vérifiant Hdim(A[x−1 ]) < n − 1. Par ailleurs Hdim(A) = 0 puisque A est local. Rappelons qu’un vecteur L de Am est dit unimodulaire lorsque ses coordonnées engendrent l’idéal h1i, c’est-à-dire encore lorsque DA (L) = 1. Ce qui finit cette section est classique et peut être trouvé par exemple dans [13]. Corollaire 2.13 Soit n ≥ 0. Si Hdim A < n et V ∈ An+1 est unimodulaire, il peut être transformé en le vecteur (1, 0 . . . , 0) par des manipulations élémentaires. D´ emonstration. Posons V = (v0 , v1 , . . . , vn ), avec 1 ∈ hv0 , v1 , . . . , vn i. On applique le théorème 2.11 avec a = v0 , on obtient x1 , . . . , xn tels que 1 ∈ hv1 + x1 v0 , . . . , vn + xn v0 i. Le vecteur V peut être transformé par manipulations élémentaires en le vecteur V 0 = (v0 , v1 +x1 v0 , . . . , vn +xn v0 ) = (v0 , v10 , . . . , vn0 ) Pn et on a des yi tels que i=1 yi vi0 = 1. Par manipulations élémentaires on peut donc transformer 2 V 0 en V 00 = (1, v10 , . . . , vn0 ) puis en (1, 0, . . . , 0). Corollaire 2.14 Si Hdim A ≤ n tout A-module M stablement libre de rang ≥ n + 1 est libre. D´ emonstration. Si M ⊕ Ar ' Ap+r , (avec p ≥ n + 1 et r > 0), M est isomorphe au noyau d’une application linéaire surjective ϕ0 = ϕ : Ap+r → Ar . Posons m = p + r. Puisque ϕ est surjective, il existe ψ : Ar → Am telle que ϕ ◦ ψ = IdAr . Si F0 = F et H sont les matrices de ϕ et ψ (pour les bases canoniques) on a F H = Ir et les lignes de F sont unimodulaires. On a M ' Ker F . D’après le corollaire 2.13 il existe une matrice inversible A ∈ Am×m (produit de matrices élémentaires) telle que F A = G admet le vecteur (1, 0, . . . , 0) pour premier vecteur ligne :   1 0 ··· 0  c1  G :=  .. F1  . cr−1 De sorte que M ' Ker F0 ' Ker G ' Ker F1 . F1 est la matrice d’une application linéaire ϕ1 : Am−1 → Ar−1 . On peut donc faire une preuve par récurrence sur r pour montrer que M ' Ap . D’un point de vue algorithmique cela revient a` continuer le processus qui a remplacé F0 par F1 jusqu’à obtenir Fr , qui sera la matrice (vide) de l’application nulle Ap → A0 dont le noyau est bien isomorphe à Ap . 2

14

´ ` 3 LE SPLITTING OFF DE SERRE ET LE THEOR EME DE FORSTER-SWAN

Remarque. Si ϕ : Am → Ar est une application linéaire surjective, il existe ψ : Ar → Am telle que ϕ◦ψ = IdAr . Alors π = ψ◦ϕ : Am → Am est une projection. Si on pose M = Ker π = Ker ϕ on a M ⊕Im π = Am et puisque Im π ' Im ϕ = Ar , le module M est stablement libre, isomorphe a` Im(IdAm − π). Ainsi les modules stablement libres sont exactement les modules isomorphes aux noyaux de matrices surjectives.

3

Le splitting off de Serre, le th´ eor` eme de Forster-Swan et le th´ eor` eme de simplification de Bass

Dans cette section les versions (( sans hypothèses nœthériennes )) avec la dimension de Krull de la plupart des grands théorèmes (en particulier de Serre et de Forster) sont dues à Heitmann [11]. Dans cet article il donne en plus des variantes des théorèmes de Swan et Serre, avec une dimension un peu compliquée définie à partir de la Jdim. Ici nous donnons les preuves avec la Hdim (meilleure que la Jdim, et surtout plus simple a` utiliser) et sans hypothèse nœthérienne. Ces théorèmes semblent donc parachever le travail de Heitmann. Les preuves constructives élémentaires que l’on trouve ici sont dans [4]. Elles améliorent la présentation et certains résultat de [3] et sont inspirées de [7].

3.1

Manipulations ´ el´ ementaires de colonnes

Lemme 3.1 Soient L, L1 . . . , Lk ∈ Am et b1 , . . . , bk ∈ A. Si Hdim(A) < k et 1 = DA (a, b1 , . . . , bk ) ∨ DA (L) alors il existe x1 , . . . , xk ∈ aA tels que 1 = DA (b1 + ax1 , . . . , bk + axk ) ∨ DA (L + x1 L1 + · · · + xk Lk ) D´ emonstration. La preuve est par induction sur k. Pour k = 0, c’est clair. Si k > 0, soit j = JAH (bk ) l’idéal bord de Heitmann bk . On a bk ∈ j et Hdim(A/j) < k − 1, donc par induction, on peut trouver y1 , . . . , yk−1 tels que 1 = D(b1 + a2 y1 , . . . , bk−1 + a2 yk−1 ) ∨ (L + ay1 L1 + · · · + ayk−1 Lk−1 ) dans A/j

(α)

Posons L0 = L + ay1 L1 + · · · + ayk−1 Lk−1 , X = (b1 + a2 y1 , . . . , bk−1 + a2 yk−1 ) et remarquons que DA (L0 , a) = DA (L, a) et DA (X, a) = DA (a, b1 , . . . bk−1 ). L’égalité (α) signifie qu’il existe yk tel que bk yk ∈ JA (0) et 1 = DA (X) ∨ DA (L0 ) ∨ DA (yk ) ∨ DA (bk ) (β) On a DA (X) ∨ DA (L0 + ayk Lk ) ∨ DA (a2 ) ∨ DA (bk ) = DA (a, b1 , . . . , bk , L) = 1

(γ)

et, d’après (β), DA (X) ∨ DA (L0 + ayk Lk ) ∨ DA (yk ) ∨ DA (bk ) = DA (X) ∨ DA (L0 ) ∨ DA (yk ) ∨ DA (bk ) = 1 (δ) (γ) et (δ) impliquent DA (X, L0 + ayk Lk , bk , a2 yk ) = 1 = JA (X, L0 + ayk Lk , bk , a2 yk )

(η)

3.1 Manipulations élémentaires de colonnes

15

et d’après le lemme 2.1 puique bk a2 yk ∈ JA (0) 1 = JA (X, L0 + ayk Lk , bk + a2 yk ) c’est-à-dire

1 ∈ b1 + a2 y1 , . . . , bk−1 + a2 yk−1 , bk + a2 yk , L + ay1 L1 + · · · + ayk−1 Lk−1 + ayk Lk . 2 Remarques. 1) Lorsqu’on remplace la dimension de Heitmann par celle de Krull, le lemme précédent admet une version (( uniforme )) dans laquelle les xi ne dépendent pas de a (comme dans le lemme 2.2). 2) Le lemme ci-dessus peut être vu comme une variante raffinée du théorème 2.11. En fait dans la suite, nous utilisons ce lemme uniquement avec l’hypothèse renforcée comme suit : Si Hdim(A) < k et 1 = DA (a, L) . . . On en déduit le corollaire suivant (qui simplifie l’argument dans [3] et a été suggéré par Lionel Ducos [7]). Corollaire 3.2 Supposons que C, C1 , . . ., Ck sont des vecteurs dans Am et ν est un mineur d’ordre k de [ C1 · · · Ck ]. Si 1 = DA (ν) ∨ DA (C) et Hdim(A) < k alors il existe x1 , . . ., xk ∈ A tels que 1 = DA (C + x1 C1 + . . . + xk Ck ). D´ emonstration. On prend a = ν et bi le mineur obtenu en rempla¸cant Ci par C dans C1 , . . . , Ck . On applique le lemme 3.1. On remarque alors que bi + axi est aussi le mineur obtenu en rempla¸cant Ci par C + x1 C1 + · · · + xn Cn dans C1 , . . . , Cn de sorte que bi + axi ∈ DA (C + x1 C1 + · · · + xn Cn ) et 1 = DA (b1 + ax1 , . . . , bn + axn ) ∨ DA (C + x1 C1 + · · · + xn Cn ) implique que DA (C + x1 C1 + · · · + xn Cn ) = 1.

2

Nous fixons les notations suivantes : Notation 3.3 Soit F une matrice dans An×p avec pour colonnes C0 , C1 , . . . , Cp , et G la matrice ayant pour colonnes C1 , C2 , . . . , Cp . Soit Dk (F ) l’idéal déterminantiel d’ordre k de F (l’idéal engendré par les mineurs ν d’ordre k de F ). Lemme 3.4 Si DA (C) ∨ Dk (G) = 1 et Hdim(A) < k alors il existe t1 , . . . , tp tels que C + t1 C1 + . . . + tp Cp est unimodulaire. D´ emonstration. Comme DA (C)W∨ Dk (G) = 1, on a une famille ν1 , . . . , νp de mineurs de G d’ordre k tels que 1 = DA (C) ∨ i DA (νWi ). On applique alors le corollaire 3.2 pour avoir DA (C) ∨ DA (νk ) = 1 dans A/Jk avec Jk = i>k DA (νi ) jusqu’à ce que nous obtenions DA (C) = 1 dans A. 2 Th´ eor` eme 3.5 Fixons k ≤ p. Supposons que la dimension de Heitmann de A est < k et Dk (F ) = 1. Alors il existe t1 , . . . , tp tels que 1 = DA (C0 + t1 C1 + · · · + tp Cp ). D´ emonstration. Cela résulte directement du lemme 3.4.

2

´ ` 3 LE SPLITTING OFF DE SERRE ET LE THEOR EME DE FORSTER-SWAN

16

3.2

Le th´ eor` eme (( splitting off )) de Serre, version non nœth´ erienne

On déduit directement du théorème 3.5 la version suivante (( améliorée )) du Splitting-off de Serre. Th´ eor` eme 3.6 (théorème de Serre, version dimension de Heitmann) Soit M un A-module projectif de rang ≥ k sur un anneau A tel que HdimA < k. Alors M ' N ⊕ A pour un certain N . D´ emonstration. On suppose sans perte de généralité que M est l’image d’une matrice de projection F . L’hypothèse que M est de rang ≥ k signifie que Dk (F ) = h1i. Le théorème 3.5 nous donne dans l’image de F un vecteur unimodulaire u = t(u1 , . . . , u` ). On considère y1 , . . . yn qui vérifient P i yi ui = 1. On va voir que Au, qui est clairement un module libre de base u, est facteur Pdirect dans M . Pour cela on considère la forme linéaire λ : A` → A définie par t(x1 , . . . , xn ) 7→ i yi xi , puis la restriction µ de λ a` M . Soit N = Ker µ ⊂ M . On a N ∩ Au = 0 car si µ(au) = 0 alors a = aµ(u) = µ(au) = 0. On a M = N + Au car si z ∈ M on peut écrire z = µ(z)u + z 0 avec µ(z 0 ) = µ(z) − µ(z)µ(u) = 0 donc z 0 ∈ N . 2 Remarque. Dans le fonctionnement de cette preuve, on voit qu’on aurait pu se contenter de supposer que M est un module image d’une matrice F telle que Dk (F ) = 1. Dans le cas nœthérien le théorème est équivalent (en mathématiques classiques) au théorème classique qui utilise la dimension du spectre maximal. Dans le cas non nœthérien Heitmann a donné la preuve pour la dimension de Krull d’une part et pour une dimension définie a` partir de la Jdim d’autre part. Le théorème ci-dessus peut être considéré comme la vraie version non nœthérienne du théorème de Serre. Il implique le même théorème formulé avec la Jdim, qui était conjecturé par Heitmann.

3.3

Le th´ eor` eme de Forster-Swan, une version non nœth´ erienne

Dans cette section, on déduit du théorème 3.5, comme dans [8, 11], une version (( non nœthérienne )) du théorème de Forster-Swan. Modules de pr´ esentation finie Un module de présentation finie est un A-module M donné par un nombre fini de générateurs et de relations. De manière équivalente, c’est un module M isomorphe au conoyau d’un homomorphisme γ : Am −→ Aq La matrice G ∈ Aq×m de γ a pour colonnes les (coefficients des) relations entre les générateurs g1 , . . . , gq (une relation α1 g1 + · · · + αq gq = 0 est codée par le vecteur colonne t(α1 , . . . , αq ), et les gi sont les images de la base canonique de Aq par la surjection canonique π : Aq → M ). Une telle matrice s’appelle une matrice de présentation du module M . Cela se traduit par : – (g1 , . . . , gq ) G = 0, et – toute relation entre les gi est une combinaison linéaire des colonnes de G, c’est-à-dire encore : si (g1 , . . . , gq ) C = 0 avec C ∈ Aq×1 il existe C 0 ∈ Am×1 tel que C = G C 0 . On constate qu’on ne change pas la structure de M lorsqu’on fait subir a` la matrice de présentation G une des transformations suivantes : 1. ajout d’une colonne nulle, (ceci ne change pas le module des relations entre des générateurs fixés)

3.3 Le théorème de Forster-Swan, une version non nœthérienne

17

2. suppression d’une colonne nulle, sauf a` aboutir a` une matrice vide, 3. remplacement de G, de type q × m, par G0 de type (q + 1) × (m + 1) obtenue a` partir de G en rajoutant une ligne nulle en dessous puis une colonne à droite avec 1 en position (q + 1, m + 1), (ceci revient à rajouter un vecteur parmi les générateurs , en indiquant sa dépendance par rapport aux générateurs précédents) : 0

G 7→ G =

1 C

01,m G

4. opération inverse de la précédente, sauf a` aboutir a` une matrice vide, 5. ajout à une colonne d’une combinaison linéaire des autres colonnes, (ceci ne change pas le module des relations entre des générateurs fixés) 6. ajout a` une ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, (par exemple si nous notons Li la i-ème ligne, le remplacement de la ligne L1 par la ligne L1 + γL2 revient à remplacer le générateur g2 par g2 − γg1 ) 7. permutation de colonnes ou de lignes, 8. multiplication d’une colonne ou d’une ligne par un élément inversible (facultatif). On peut voir sans difficulté que si G et H sont deux matrices de présentation d’un même module M , on peut passer de l’une a` l’autre au moyen des transformations décrites ci-dessus. On rajoute les nouveaux générateurs un à un. Puis les relations entre les nouveaux générateurs peuvent être rajoutées car elles sont conséquences des relations entre les anciens générateurs et des relations qui définissent les nouveaux. Puis les anciens générateurs peuvent s’exprimer en fonction des nouveaux : ce sont des relations conséquences de celles qu’on a déjà. Ceci permet alors de supprimer un a` un les anciens générateurs. Enfin on se débarasse des relations inutiles entre les nouveaux générateurs Lemme 3.7 On considère un A-module M de présentation finie avec une matrice de présentation G ∈ Aq×m . Alors l’idéal déterminantiel Dq−k (G) (avec par convention Dm (G) = A si m ≤ 0) ne dépend pas du système générateur ni de la matrice de présentation choisies pour décrire M . En particulier si M peut être engendré par k ≤ q éléments. alors Dq−k (G) est égal a A. ` D´ emonstration. L’idéal déterminantiel Dq−k (G) ne dépend que de M et k, et non pas de la matrice de présentation qu’on peut prendre pour M : cela tient à ce que les manipulations 1 à 8 décrites ci-dessus sur les matrices de présentation conservent toutes cet idéal. Si donc M est enk×p gendr´ e par kéléments, il admet une matrice de présentation F ∈ A , donc aussi la matrice 1 0 F0 = ∈ A(k+1)×(p+1) , et l’idéal déterminantiel D1 (F 0 ) est clairement égal à A. 2 0 F Remarque. L’idéal Dq−k (G) est appelé le k-ème idéal de Fitting du module M , et noté Fk (M ). Lemme 3.8 On considère un A-module M de présentation finie avec une matrice de présentation G ∈ Aq×m . Supposons A local. Soit un entier k < q. Alors le module M est engendré par k éléments si et seulement si la matrice G contient un mineur inversible d’ordre q − k. Cela équivaut aussi à Dq−k (G) = A.

18

´ ` 3 LE SPLITTING OFF DE SERRE ET LE THEOR EME DE FORSTER-SWAN

D´ emonstration. La condition est suffisante même si l’anneau n’est pas local : En permutant éventuellement les lignes et les colonnes on ramène le mineur inversible en haut a` gauche. Puis en multipliant à droite (ou à gauche) par une matrice inversible on se ramène à la forme Iq−k A G1 = B C puis par des manipulations élémentaires de lignes et de colonnes, on obtient Iq−k 0q−k,m−q+k G2 = 0k,q−k G3 Et G3 est aussi une matrice de présentation de M . Lorsque l’anneau est local la condition est nécessaire parce que si l’idéal déterminantiel Dq−k (G) est égal à A un de ses générateurs (les mineurs d’ordre q − k) doit être inversible : dans un anneau local, si une somme d’éléments est inversible, l’un de ces éléments est inversible. 2 Lemme 3.9 On considère un A-module M de présentation finie avec une matrice de présentation G ∈ Aq×m . Soit un entier k < q. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. L’idéal déterminantiel d’ordre q − k de G contient 1. 2. Après localisation en n’importe quel idéal premier, M est engendré par k éléments. D´ emonstration. On remarque d’abord que si un module M admet une matrice de présentation G alors le module localisé MS (o` u S est un filtre) admet la même matrice de présentation, vue comme une matrice a` coefficients dans AS . L’équivalence résulte alors du lemme 3.8 et du fait qu’un idéal de type fini contient 1 si et seulement si il contient 1 après localisation en n’importe quel idéal premier. 2 Le th´ eor` eme de Forster-Swan Voici maintenant une version du théorème de Forster-Swan [10, 18]. Th´ eor` eme 3.10 (théorème de Swan, version dimension de Heitmann) Si Hdim(A) ≤ d et si M est un A-module de présentation finie localement engendré par r éléments, alors M peut être engendré par d + r éléments. Plus précisément si M est engendré par (y1 , . . . , yp ) avec p = d + r + s on peut calculer z1 , . . . , zd+r dans hyd+r+1 , . . . , yd+r+s i tels que M soit engendré par y1 + z1 , . . . , yd+r + zd+r . D´ emonstration. Soit m0 , m1 , . . . , mp un système de générateurs de M et F une matrice de présentation de M correspondant à ce système générateur. Si p ≥ d + r nous avons 1 = Dd+1 (F ) d’après le lemme 3.9. Notons L0 , . . . , Lp les lignes de F . Nous appliquons le théorème 3.5 à la matrice transposée de F . Nous obtenons t1 , . . . , tp tels que la ligne L0 +t1 L1 +· · ·+tp Lp soit unimodulaire. Remplacer la ligne L0 par la ligne L0 +t1 L1 +· · ·+tp Lp revient a` remplacer (m0 , m1 , . . . , mp ) par (m0 , m1 − t1 m0 , . . . , mp − tp m0 ) = (m0 , m01 , . . . , m0p ). Puisque la nouvelle ligne L0 est unimodulaire, une combinaison linéaire convenable des colonnes est de la forme t(1, y1 , . . . , yp ), cela signifie que m0 + y1 m01 + · · · yp m0p = 0 dans M , et donc que m01 , . . . , m0p engendrent M . 2

3.4 Le théorème de Swan, forme sophistiquée

3.4

19

Le th´ eor` eme de Swan, forme sophistiqu´ ee

Un raffinement du théorème 3.5 est le résultat suivant. Th´ eor` eme 3.11 Supposons que 1 ∈ D1 (F ) et que pour k = 1, . . . , p, l’anneau A/Dk+1 (F ) est de dimension de Heitmann < k. Alors il existe t1 , . . . , tp tels que le vecteur C0 +t1 C1 +· · ·+tp Cp est unimodulaire. D´ emonstration. On applique le lemme 3.4 successivement avec A/D2 (F ), A/D3 (F ), . . ..

2

Th´ eor` eme 3.12 (théorème de Swan général, version dimension de Heitmann) Soit M un module de type fini sur A et fk son idéal de Fitting d’ordre k. Si Hdim(A/fk ) < m−k pour k = 0, . . . , m, alors M peut être engendré par m éléments. D´ emonstration. Si le module est de présentation finie il suffit d’appliquer le théorème 3.11 a` la matrice transposée d’une matrice de présentation de M (de la même manière que pour le théorème 3.10). Le raisonnement dans le cas général est un peu plus subtil. Notons h1 , . . . , hq des générateurs de M et supposons q > m. Notons h = (h1 , . . . , hq ). Toute relation entre les hi peut être écrite comme un vecteur colonne C ∈ Aq qui vérifie hC = 0. L’idéal de Fitting fq−i de M est l’idéal ∆i = Di (F ) engendré par les mineurs d’ordre i des matrices F ∈ Aq×n qui vérifient hF = 0 (c’est-à-dire les matrices dont les colonnes sont des relations entre les hi ). Nous les appelerons des (( matrices de relation )). Comme DA (∆q ) = DA (f0 ) = DA (Ann(M )) et que nous pouvons remplacer A par A/Ann(M ), nous supposons sans perte de généralité que DA (∆q ) = DA (0). Les hypothèses impliquent que Hdim(A/∆k ) < k − 1 pour k = 1, . . . , q (ce sont les hypothèses lorsque q = m + 1). On a donc ∆1 = 1, ce qui se constate sur une matrice de relations F . On peut alors appliquer le lemme 3.4 avec la matrice F , l’entier k = 1 et l’anneau A/∆2 . Ceci nous donne une relation C telle que DA/∆2 (C) = 1, c’est-à-dire encore telle qu’il existe a ∈ ∆2 vérifiant 1 + a ∈ DA (C). Le fait que a ∈ ∆2 se constate sur une matrice de relations G et on considère la nouvelle matrice F = (C|G). On a donc DA (C) ∨ ∆2 (G) = 1 et Hdim(A/∆3 ) < 2. On peut alors appliquer le lemme 3.4 avec la nouvelle matrice F , l’entier k = 2 et l’anneau A/∆3 . Ceci nous donne une relation C telle que DA/∆3 (C) = 1, et ainsi de suite. On obtient en fin de compte une relation C telle que DA (C) = 1, puisque DA (∆q ) = 0. Et Hdim A = Hdim(A/∆q ) < q − 1. En conséquence le corollaire 2.13 du théorème stable range de Bass s’applique et nous pouvons transformer la colonne C en (1, 0, . . . , 0) par des manipulations élémentaires, ce qui revient à remplacer le système générateur h par une autre système de q éléments dont le premier est nul, bref à réduire de 1 le nombre de générateurs. 2 Remarque. Notons qu’il n’y a pas a priori de version (( avec points )) du théorème précédent car la Hdim n’est pas (à notre connaissance) la dimension de Krull d’un espace spectral. Pour obtenir une version avec points, nous devrions considérer la variante (conjecturée par Heitmann, et a priori plus faible) dans laquelle la Hdim est replacée par la Jdim. On aurait alors sans doute une formulation classique utilisant les points du J-spectre de Heitmann.

3.5

Le th´ eor` eme de simplification de Bass, avec la dimension de Heitmann, sans hypoth` ese noth´ erienne

Nous prouvons maintenant le théorème de simplification de Bass. Dans le lemme suivant nous reprenons les notations 3.3.

´ ERENCES ´ REF

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Lemme 3.13 Si ∆k (G) = 1 = DA (C) ∨ DA (a) et Hdim(A) < k alors il existe t1 , . . . , tp tels que 1 = DA (C + at1 C1 + . . . + atp Cp ). D´ emonstration. Il suffit d’appliquer le lemme 3.4 aux vecteurs C, aC1 , . . . , aCn (ce qui remplace G par aG). 2 Th´ eor` eme 3.14 (théorème de simplification de Bass, version dimension de Heitmann) Soit M un A-module projectif de rang ≥ k sur un anneau A tel que HdimA < k, et N, Q deux autres A-modules projectifs de type fini. Alors M ⊕ Q ' N ⊕ Q implique M ' N . D´ emonstration. Pour être complet, on redonne l’argument de [8]. On peut supposer que Q = A et que N ⊂ Am est image d’une matrice idempotente. On a un isomorphisme φ : M ⊕ A → N ⊕ A ⊂ Am+1 . Soit (C, a) ∈ Am+1 le vecteur φ(0, 1). Il nous faut construire un automorphisme de N ⊕ A qui envoie (C, a) sur (0, 1). Soit α : M ⊕ A → A, (U, x) 7→ x. La forme linéaire α ◦ φ−1 envoie (C, a) sur 1, d’o` u DA (C) ∨ DA (a) = 1. Donc, par le lemme 3.13, il existe C 0 ∈ N tel que DA (C + aC 0 ) = 1. est On a donc une forme linéaire λ : N → A vérifiant λ(C + aC 0 ) = 1 (obtenue comme restriction d’une forme linéaire sur Am ). On a alors les trois automorphismes suivants de N ⊕ A qui par composition réalisent le but fixé : ψ1 : (V, x) → 7 (V + xC 0 , λ(xC − aV )) , (C, a) → 7 (C + aC 0 , 0) 0 ψ2 : (V, x) → 7 (V, x + λ(V )) , (C + aC , 0) → 7 (C + aC 0 , 1) ψ3 : (V, x) → 7 (V − x(C + aC 0 ), x) , (C + aC 0 , 1) → 7 (0, 1) (on vérifie que ψ1 est un automorphisme en remarquant que si ψ1 (V, x) = (W, y) alors x = y + aλ(W )). 2 Remarques. Dans le fonctionnement de cette preuve, on voit qu’on aurait pu se contenter de supposer que N est un module image d’une matrice F telle que ∆k (F ) = 1 et M ⊕ Q ' N ⊕ Q pour un module projectif Q. Notons aussi que les automorphismes ψi sont réalisés en pratique comme des automorphismes de An+1 qui fixent N ⊕ A. De manière plus générale tous les théorèmes d’algèbre commutative que nous avons démontrés se ramènent en fin de compte a` des théorèmes concernant les matrices et leurs manipulations élémentaires.

R´ ef´ erences [1] Coquand T. Sur un théorème de Kronecker concernant les variétés algébriques C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004), 291–294. 9 [2] Coquand T., Lombardi H. Hidden constructions in abstract algebra (3) Krull dimension of distributive lattices and commutative rings. dans : Commutative ring theory and applications. Eds : Fontana M., Kabbaj S.-E., Wiegand S. Lecture notes in pure and applied mathematics vol 131. M. Dekker. (2002) 477–499 . 6 ´ C. Generating non noetherian modules constructively. Manuscripta [3] Coquand T., Lombardi H., Quitte mathematica 115, (2004), 513–520. 12, 14, 15 ´ C. Dimension de Heitmann des treillis distributifs et des anneaux [4] Coquand T., Lombardi H., Quitte commutatifs. Publications Mathématiques de Besan¸con, Théorie des Nombres (2003-2006). 11, 12, 13, 14 [5] Coquand T., Lombardi H., Roy M.-F. An elementary characterisation of Krull dimension. From Sets and Types to Analysis and Topology : Towards Practicable Foundations for Constructive Mathematics (L. Crosilla, P. Schuster, eds.). Oxford University Press. (2005) 239–244. 6

` TABLE DES MATIERES

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[6] Coquand T., Lombardi H., Schuster P. A nilregular element property. Archiv der Mathematik 85 (2005), 49–54. 9 [7] Ducos L. Vecteurs unimodulaires et systèmes générateurs. Journal of Algebra. Available online 7 October 2005. 14, 15 [8] Eisenbud D., Evans E. G., Jr. Generating modules efficiently : theorems from algebraic K-theory. J. Algebra 27 (1973), 278–305. 16, 20 [9] Eisenbud D., Evans E. G., Jr. Every algebraic set in n-space is the intersection of n hypersurfaces. Inventiones math. 19 (1973), 107–112. 9 ¨ [10] Forster O. Uber die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Nœtherschen Ring. Math. Z. 84 (1964) 80–87. 18 [11] Heitmann, R. Generating non-Nœtherian modules efficiently. Michigan Math. 31 2 (1984) 167–180. 9, 11, 12, 13, 14, 16 [12] Kronecker L. Grundz¨ uge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Gr¨ ossen. J. reine angew. Math. 92, (1882) 1–123. Réimprimé dans Leopold Kronecker’s Werke, II, 237–387. 9 [13] Lam T.Y. Serre’s conjecture. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 635. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. 13 ´ [14] Lombardi H. Dimension de Krull, Nullstellens¨ atze et Evaluation dynamique. Math. Zeitschrift, 242, (2002), 23–46. 6 [15] Stone M. H. Topological representations of distributive lattices and Brouwerian logics. Cas. Mat. Fys. 67, (1937), 1–25. 5 [16] Storch U. Bemerking zu einem Satz van M. Kneser. Arch. Math. 23, (1972), 403–404. 9 [17] Van der Waerden Review Zentralblatt f¨ ur Math 24, (1941) 276. 9 [18] Swan R. G. The Number of Generators of a Module. Math. Z. 102 (1967), 318–322. 12, 18

Table des mati` eres 1 Dimension et bords de Krull 1.1 Idéaux et filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bords de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4

2 Le th´ eor` eme de Kronecker et le stable range de Bass 9 2.1 Le théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Le théorème (( stable range )) de Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Le splitting off de Serre et le th´ eor` eme de Forster-Swan 3.1 Manipulations élémentaires de colonnes . . . . . . . . . . . 3.2 Le (( splitting off ))de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Le théorème de Forster-Swan, une version non nœthérienne 3.4 Le théorème de Swan, forme sophistiquée . . . . . . . . . . 3.5 Le théorème de simplification de Bass . . . . . . . . . . . . R´ ef´ erences

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14 14 16 16 19 19 20

Dimension de Krull explicite. Application aux thÃ©or ... - Henri Lombardi

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