Séminaire Équations aux dérivées partielles – École Polytechnique
H. B REZIS Solutions positives d’équations elliptiques non linéaires avec exposant de Sobolev critique et conjecture de Rellich pour les surfaces à courbure moyenne prescrite Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1982-1983), exp. no 9, p. 19.
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CENTRE DE
MATHÉMATIQUES
91128 PALAISEAU CEDEX - FRANCE Tél. (6) 941.82.00 - Poste N° Télex : ECOLEX 691596 F
SEMINAIRE
GOULAOUIC-MEYER-SCHWARTZ
1982-1983
SOLUTIONS POSITIVES D’EQUATIONS ELLIPTIQUES NON LINEAIRES AVEC EXPOSANT DE SOBOLEV CRITIQUE ET
CONJECTURE DE RELLICH POUR LES SURFACES A COURBURE MOYENNE PRESCRITE.
par H.
Exposé n°
IX
BREZIS
16 Novembre 1983
IX.1
On considère deux
problèmes éloignés
en
apparence mais
qui,
en
fait, sont
étroitement liés.
Problème I
:
Q
Soit existe
fonction
une
f(x,u)/up =
lim oo
p
=
0.
(n +2) / (n -2)
les solutions de
où
u
domaine borné
F (x, u) - ru
régulier
avec
n > 3 . On cherche s’il
vérifiant :
(n+2 ) / (n-2 ) , f (x,0) -
où p = u
IRnun
c
Un
0 et
f (x,u)
exemple modèle
est criti ue du
est
de
point
est
une
f(x,u) = vue
perturbation 7~u
À E
avec
up
de
E.
sens
au
que
L’exposant
des théorèmes de Sobolev. En effet
(1) correspondent à des points critiques de la fonctionnelle
f (x,t) dt.
On notera que
p + 1 - 2n/(n-2)
est
l’exposant
de
o
Sobolev limite pour our
compacte
l’injection
Les résultats dont L.
, 1
o
et donc cette
injection n’est
pas
-
de sérieuses difficultés.
qui engendre
-ce
HHeL 1c 0 Lp+l
je parlerai
en
collaboration
avec
régulière,
et soit H > 0
un
ont été obtenus
Nirenberg [3] .
Problème II :
r
Soit
c
IR3
une
courbe de Jordan
donné. On cherche s’il existe des surfaces de courbure moyenne
s’appuient
r . Par exemple si
sur
existe deux calottes -
et une
r )
est un cercle de rayon R,
il existe
au
voit
qui
qu’il
1 (une "petite" calotte de courbure H lorsque H R 1 si H = 1 il existe une seule solution (la demi-sphère R 1 il n’existe aucune solution du problème.
et si H
-
>R1
Cette observation avait conduit Rellich à
r
on
à H
sphériques
"grande" calotte);
d’équateur
r
égale
réel
conjecturer
moins deux surfaces de courbure moyenne H
que pour toute courbe
qui s’appuient
sur
F
IX.2
si H est
prescrit
assez
petit.
Nous avons établi ce résultat avec Coron
[2] .
PROBLEME I
On connaît de très nombreux résultats d’existence pour les
du
type (1) dans le
de
synthèse
cas
sous-critique p
totalement différente ;
on
où M est
une
Pour
où p =
de manque de
est
problème :
provient
compacité
variations, de géométrie
problème
la situation est
problème.
phénomène comparable le
exemple l’article
perturbation f(x,u) peut modifier considérablement
Notre intérêt pour le Problème I
calcul des
(n + 2 ) / (n - 2 )
Par contre si p =
pas de solution du
le verra, le terme de
la nature du
par
célèbre résultat de Pohozaev affirme que si Q
un
étoilé, alors il n’existe
Comme
[5]).
de P. L. Lions
(n + 2)/(n - 2) (voir
problèmes
et de
du fait que l’on rencontre
dans de très nombreuses
physique. L’exemple
le
questions
plus célèbre
un
de est
de Yamabe
variété riemannienne de dimension
simplifier, je
commence
(n+ 2)/(n- 2) et À E 3R .
par le
cas
Nos résultats
n
et
R(x)
est la courbure scalaire.
modèle :
principaux
sont les suivants :
IX.3
1
Théorème 1
10, x 11 (1) ..De
x E solution
On suppose que n >
:
Lorsque une
x1
lorsque
n
=
réponse précise 2
1 Théorème
solution
3
n’admet
aucune
x1[.
problème (2)
est
beaucoup plus délicat
et
nous
avons
seulement pour les boules.
On suppose que
:
solution pour
une
problème (2)
est étoilé le
plus si Q
]0, le
4 ; le problème (2) admet
Q
M3;
est une boule de
;
problème (2) possède
le
une
si et seulement si
Cette différence
surprenante
entre les
peut être d’éclairer la conjecture de Yamabe qui
grandes dimensions (n > 6,
voir Th. Aubin
[1])
n > 4 et
cas
n =
3 permettra
est essentiellement résolue
et ouverte
en
petites
en
dimensions
5). J’esquisse les grandes lignes de la démonstration ; pour les détails voir
(n
[3]. On
peut aborder
problème (2)
le
via la recherche des
points critiques
non
triviaux de la fonctionnelle
point
Un autre
critiques Un tel
où
de
vue -
de la fonctionnelle
point critique
p E :R
nous
que
est le
u
vérifie
multiplicateur
Si 1.1 > 0. On peut ensuite "faire
différente à
gauche
approprié (i.e.
allons utiliser consiste à chercher les
i rivul2 - À if juj 2 l’équation
x1[
la sphère Ilu il
P =1.
.
Ilull
de Lagrange associé à la contrainte
disparaître 1.1
et à droite. Plus
x E 10,
sur
au
points
"
en
précisément,
Théorème 1 et
"
jouant on
sur
l’homogénéité
établit que pour À
À E: 41À,À .t
au
Théorème 2)
alors
(1)
À1
désigne
la 1ère
valeur propre de -/B
avec
=
condition de Dirichlet.
1 -
IX.4
est atteint.
La difficulté
fonction
principale
(3) provient du fait que la
dans la démonstration de
n’est pas continue p faible dans pour la convergence g
u
Lp+p+1
-
-
L Pour contourner cette difficulté
0
prouve d’abord que
on
(avec la modification naturelle si
H1 .
n
3).
=
On notera que
est la meilleure constante de Sobolev pour
l’injection
H1
o
c
L
.
dans le contexte de la
A cet effet
conjecture
on
suit
une
de Yamabe :
idée introduite par Th. Aubin on
évalue le
quotient
pour
où
fonctions
extrémales pour les
et
on
jouent
inégalités
fait
un
un
rôle
développement spécial
de Sobolev dans
:R".
car
ce
limité
en
e .
Les
sont les fonctions
[1]
IX.5
qui
En ce
Pohozaev" :: étant
c’est à dire
la
partie
qui
concerne
non-existence
multiplication P
faut introduire des
qu’il
En ce un
concerne
le
poids
de
utilise
on
(2) p par
u
méthode "à la
une
et Z x.
i
Du x. ;
la nouveauté
1
(1)
avant
d’intégrer.
problème général (1), je
contenterai de citer
me
exemple :
On considère
le
problème
où
est
Théorème 3
On suppose que
:
A nouveau,
Théorème 4
a)
si 3
b)
si 1
grand
on
n > 4, alors (6) admet
solution
une
rencontre de sérieuses difficultés
On suppose que
:
constante.
une
3
n =
lorsque
pour tout y
n =
>
3 :
(et p = 5)
q
5 , alors (6)
admet
une
solution pour tout
q
3 , alors (6)
admet
une
solution
p
>
0
uniquement lorsque p
est
assez
(2) .
La démonstration de ces résultats utilise une combinaison
topologiques
d’analyse
et
"concrète". On
est une variante du lemme du col
commence
par
résultat
un
d’Ambrosetti-Rabinowitz,
mais
d’ingrédients
géométrique, qui
sans
la condition
(PS) (3) . Théorème 5
a)
:
une
fonction de classe
compliqués lorsque
assez
(2)
ceci est
(3)
Soit (D
Il existe des constantes
(1)
~ -
p et
n =
r
C1 sur
un
Banach E. On suppose que
telles que
3 !
prouvé rigoureusement
pour 1
q
3 et
suggéré
par l’ordinateur si
3.
qui
0.
est
une
condition de
compacité
non
satisfaite dans notre
problème.
IX.6
b~
pour
où &
des chemins
désigne l’ensemble
Alors il existe
une
certain
un
0 à
joignant
suite
(u.) dans J
Quand
on
L’hypothèse a)
au
prend
v
"assez
E telle que
grand".
assez
r
On pose
v.
problème (6)
est satisfaite si l’on choisit
est satisfaite si l’on
prend
on
petit
et
l’hypothèse b)
Toute la difficulté consiste à
la conclusion du Théorème 5 et à passer à la limite dans la suite
exploiter (u.).
le théorème 5
applique
,.
A cet effet
J
on
établit que si
-
H1 et
passer à la limite : u. u faiblement dans 0 peut P p J identiquement nul (c’est le danger "mortel" qu’il faut éviter). alors
on
On est donc ramené à la
vérifie b)
et tel que le
technique ;
assez
c
question : est-il possible
correspondant vérifie (7).
il faut choisir des
v
spéciaux
u
n’est as
de trouver
Cette dernière
de la forme
v
qui
étape
est
un
(5) .
PROBLEME II Le
Soit
=
problème géométrique
{(x,y) 6 TR
ramène à
se
;x2+y2
1 }.
un
système elliptique.
On cherche une fonction
u:~--
3
vérifiant
avec
la condition de Plateau
et
où r
c
1%~
est
une
u
est croissante sur
courbe de Jordan
aQ
régulière orientée.
On
peut aussi envisager la
IX.7
condition de Dirichlet
où
y
3Q
est une fonction donnée sur
On suppose que
constante.
rayon R. Le résultat
Théorème 6 :
:
l’existence d’une
v
une
boule de
1R ,
alors il existe
1,
moins 2 solutions du
au
de la démonstration est le suivant. On
première
solution une
[4] (c’est
due à Hildebrandt
u
deuxième solution
commence
par la
rappeler
"petite"
la forme u = u+v, de
sous
vérifie
(pour simplif ier
on
problème
Ce
identiquement
est le suivant
principal
On cherche ensuite
sorte que
sont contenus dans
y(
non
(resp. (8) - (10)).
principe
solution) .
(resp.
On suppose que H
problème (8) - (9)
Le
r
à valeurs dans
envisage ici seulement (8 ) - ( 10 ) ) .
ressemble
beaucoup
au
Il
problème (2).
a
une
structure
variationnelle, à savoir :
1)
l’opérateur
qui
est
auto-adjoint correspond
à la
fonctionnelle 2t
avec
2)
le terme
non
linéaire
de volume
1 Q (v) 3
est la dérivée
v xr
-
v
(de Fréchet) de la fonctionnelle
où
Les solutions non nulles de
(11) correspondent
4H triviaux de la fonctionnelle (v,v) + 3 même de chercher les points critiques de
4H Q(v).
d’éliminer ensuite le
multiplicateur
de
aux
points critiques
non
Comme p précédemment, il revient
( ,v,v) Lagrange.
sur
la "variété" Q (v) =
En fait
on
prouve que
1 et
au
IX.8
est atteint.
A cet effet
on
commence
par vérifier que
U
La difficulté essentielle dans
Q(v)
la démonstration de
(12) provient de
H0.
n’est pas continu pour la convergence faible dans 20132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013-
difficulté
on
utilise la même
approche qu’au Problème
ce
que
Pour contourner cette
o
I. On considère
1’inégalité
isopérimétrique
(avec la meilleure constante
que
(à
l’inégalité
nouveau
il faut faire intervenir les fonctions extrémales pour
Enfin
on
dans
(12).
prouve
Th. Aubin :
tout entier et
H.
Brezis J.
scalaire,
M. Coron :
courbure moyenne
Sur la
prescrite,
Multiple solutions
of
un
C.
R.
l’inégalité
développement limité
Pour les détails voir
Equations différentielles
concernant la courbure
[2]
ici le même rôle
de Sobolev pour le Problème I. On établit ensuite que
isopérimétrique (14)
[1]
qui joue
non
conjecture
).
[2].
linéaires et
J. Math. Pures
en E
Appl.
55
problème
de Yamabe
(1976) p. 269-296.
de Rellich pour les surfaces à
Acad. Sc. 295
(1982), p. 615-618
H-systems and Rellich’s conjecture.
A
et
paraître.
IX.9
[3]
H.
Brezis,
L.
Nirenberg :
equations involving
[4]
S.
[5]
P.
L.
Comm.
Lions :
critical Sobolev On the Plateau
Hildebrandt :
curvature.
Positive solutions of nonlinear
Pure
problem for
Appl. Math. 23 (1970)
On the existence of
elliptic equations.
exponents.
SIAM Review 24
p.
A
elliptic
paraître.
surfaces of constant
mean
97-114.
positive solutions (1982) p. 441-467.
of semilinear
