Séminaire Équations aux dérivées partielles – École Polytechnique
H. B REZIS Problèmes elliptiques et paraboliques non linéaires avec données mesures Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1981-1982), exp. no 20, p. 112.
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MATHÉMATIQUES
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S E M I N A I R E G 0 U L A 0 U I C - t,1 E Y E R - S C H Y A R T Z
1981-1982
PROBLEMES_ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES NON LINEAIRES AVEC DONNEES MESURES par H. BREZIS
Exposé n°
XX
20 Avril 1982
XX.1
§
1.
INTRODUCTION
S~
Soit
suivant : trouver
avec
1
lN
c
ouvert tel que 0
un
E Ç2 . On considère le problème
fonction u(x) vérifiant :
une
ce ; la donnée f(x) appartient à
p
ou
plus généralement
est
une
mesure.
Je
commence
rappeler
par
[5] lorsque n
(voir Brezis-Strauss
résultat concernant le
un
cas
où f E
[2]
est borné et Benilan-Brezis-C randall
N
si
’t
: .
Théorème A :
On suppose
pour tout f E
préciser
il existe
l’équation
E IR3
poser la
LP(Q)
sont
sur
époque,
le fait que le Théorème A est valable et
mécanique quantique,possède donnés et 6 désigne la mesure
mesures
Théorème 1
(1)
[9]
Lieb et Simon
indépendamment,
en
de savoir si
question
théorème A -
1
que
unique solution de (1)
une
et les données
une
solution
de Dirac.
l’équation (1) possède
f mesure et tout p. Comme les estimations
données
bien
ou
(en
IRN .
=
un
Alors
à
sens
sans
restrictions
montrent que
de Thomas-Fermi :
qui intervient
ai
E
régulier
.
p. A la même
3
u
est borné
(1)). Insistons
sur
que
L1
on
a
priori
unique.
>
Ici m.
0 et
1
Il est donc naturel de
une
se
solution pour toute donnée
sont les mêmes pour les
pouvait espérer - par analogie
avec
le
réponse positive. En fait la réalité est plus complexe :
(Benilan-Brézis ; voir [1])
qui implique
en
particulier
que
:
On suppose que
p >
N-2
(avec N > 3) .
XX.2
il’n’existe pas 2013201320132013201320132013201320132013
Alors
1
de fonction
u
E
vérifiant
loc
On notera que le Théorème 1 est
y
a
N
N
(Benilan-Brézis ; voir [1])
Théorème 2
que
tout f E
Soit p
.
Au §
2
on
u
E
unique
indique quelques idées pour
développements
des résultats semblables
2.
arbitraire si N = 1
ou
est borné N =
régulier
ou
2). Alors pour
solution de
(1)
(en
un
.
et 2 ainsi que certains
§
Par contre si
(1 ) ).
;.
a
20132013 (p N-2
que Q
On suppose
:
(mesure bornée) il existe
préciser (1),
...
sens
IR
exprime qu’il
’f :: positif
résultat 1
on a un
(3).
il
’
;
N-2
bien
résultat local :
obstruction locale à l’existence d’une solution de
une
p
un
pour les
liés à
ces
la démonstration des Théorèmes 1
questions. Au § 3
on
présente,
problèmes paraboliques.
EXISTENCE, NON-EXISTENCE ET SINGULARITES ELIMINABLES POUR
LE PROBLEME
(1).
Démonstration du Théorème 1 Je commence par en
forme). Supposons que
Au
voisinage
et donc
de
u(x)
x =
u
une
E
preuve
vérifie
loc
0 la fonction
intégrable
(1)
conséquent
qui implique
(3) ,
très
simple (qui peut être
en
particulier
que
mise
et donc
est
"négligeable"
(solution élémentaire de - d ) .
~
X - O ’ Par
heuristique
devant 6
XX.3 N-l
r1 r1
r
o
r
p N-1 (N Jo r
-
2)
00 dr = dr
(à (a ’
cause
N
N--- -
s’applique plus si p
ne
de chercher à mettre
en
’ de 1 p > l’hypothèse hypothese ’ p
ce t On notera que cet
"
ar g ument argument
est cohérent avec le Théorème 2. Au lieu
qui
ce
N- 2
N N-2
forme cette idée, j’indique maintenant
un
résultat de
régularité (dû essentiellement à Brézis-Veron [6] ) qui implique directement Théorème 1
:
3
:
j Théorème
p >
On suppose que
2013
Alors
u
C2(0.)
E
(et même
Démonstration du Théorème 3
pas essentiel ! ) u
L3loc (Q N
E
1ère
{0}) ’
on
E
Lploc (
Q B {0} ) vérifiant
entier) .
simplifier Q =
la
présentation (mais ceci n’est
{ X E IR3 ; lxi 11 .
Autrement dit
étape
D’où l’on déduit,
grâce
et donc
u E
un
u
vérifie
L’inégalité
(1)
Pour
:
fixe N = 3, p = 3 et
Démonstration :
D’où
(avec N > 3 ) . Soit
si p est
E
u
~2 N-2
le
Au
lui1 E
est
l’envers
dans
r2 B
L~loc (HB{0}),
que
~0} .
Par
conséquent
u
E
Lloc (r2 B {0} )
etc...
"bootsrap"
L1loc(r2B !).
[8] exprime
(5), que
sous-harmonique
On notera que le
L3loc
à
de Kato
usuel
{ 0} ) =>
ne
u E
s’applique loc
pas ici. En effet
Vq
3
(on marche à
(1)
XX.4
2ème
On
étape ::
a
Démonstration : Soit
x o
E:IR3
On
applique
_212
1 x0 1
0
avec
une
technique introduite par Loewner-Nirenberg [10].
et soit R
~1 0x 1 .
On considère la fonction
Un calcul aisé montre que U vérifie :
et d’autre
part
Comparant (5)
on
et
a
(8) à l’aide du principe du maximum-appliqué
sur
B R (x 0 ),
il
vient
En
) particulier u (x o
Avec le même
U (x ) - R3 o
argument pour
3ème éta e ::
20132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013201320132013JE201320132013201320132013
On
Démons tration :
a
-u
u E L3
On choisit
on
pour tout R
~ lx01. o
obtient (7).
(2).
une
suite de fonctions
que
où ~
est
une
fonction fixée indépendante de k :
(
k ))
B {o1) telle
XX.5
Grâce à
(6)
Appliquant
on
a
la 2ème
étape
on
cn
déduit que
On conclut par Fatou que
4ème
étape ::
On
Démonstration :
a
On choisit une suite
(sk)
de fonctions
régulières telles
que
XX.6
~ E
Etant donnée
D’après (5)
Par
on
Lebesgue
5Î’(Q)
il
s’agjt de vérifier que
sait que
et la 3ème
étape
on
a
et
Il reste donc à vérifier que
et que
Par Hôlder
(et grâce à l’étape 3)
on
a
XX.7
on a u E C 2
5èmé éta e ::
Démonstration :
Remarque 1 pour
Le théorème 3
:
exprime
[4]) .
Par
si N = 3, p =
alors
on
ou
a
seulement trois
bien u(x)
-
ou
bien u(x)
-
ou
bien u (x)
Principe
on
est
C
et si
u
en
x =
singularité isolée
N
isolées des singularités isolées N-2 (voir Véron [111 et Brezis-Lieb
{o}) ,
( S2 B
E
u > 0 vérifie
avec C
>
0 0 constante arbitraire
14 4
-
.
de la démonstration du Théorème 2
Supposons pour simplifier que Q fonctions
régulières
On résoud le
Plus
est borné.
Soit
(f )
une
suite de
n
telles que
problème
-_.
(1)
toute
,
possibilités
régulière
~.,
p 20132013 N-2
{o}).
Lorsque p
.
3/2
H B
(au lieu de
sait même les classifier
et
exemple
que si
(1)
(1) est elimmable l’équation .....
peuvent appraître
-
1 sur ,q
Reprendre l’étape
--
-
généralement
d est éliminable pour
Véron
[12]
l’équation ;1 )
prouve si
p >
qu’une
variété d N- - 2 N
T d 2 2013
. *
singulière de dimension
XX.8
[grâce
à la méthode variationnelle, par
exemple :
On établit les estimations :
(ces estimations
quand
la
somme
On
)Lemme
1
sont naturelles :
reste
chaque
terme de
(11) reste borné dans
L1
bornée).
applique
alors
un
résultat de
compacité :
L’ ensemble :
:
est relativement
A
compact dans
l’aide du Lemme 1
pour chaque q
on
peut extraire
une
*
N-2
sous-suite
(encore notée u ) n
telle que
(on utilise ici de façon essentielle l’hypothèse p
N iiN --2))
XX. 9
On
en
déduit que
vérifie
u
en
particulier :
Ceci est la définition d’une solution faible de admet
au
plus
Remarque 2 mais
en
Lorsque f E
utilisant
un
Par
faire appel
sans
argument de suite de Cauchy. Soit (f )
L 1( )
(fortement). Soit
(12) mais de plus
on
au une
Lemme de
compacité,
suite de fonctions
la solution de
un
(11).
n
a
plus
(sans hypothèse
3.
(13)
conséquent :
et de
§
conclut
on
les estimations
a
on
L (H)
que fn - f dans
régulières telles Bien entendu,
montre enfin que
on
solution.
une
:
(1) ;;
LE CAS
sur
p) .
PARABOLIQUE
Considérons maintenant le
avec
1
ment est
une
p
problème
00i la donnée initiale f(x) appartient à
mesure.
Lorsque
f E
L 1 (~)
on
a
le
:
L1(~)
ou
plus générale-
XX.10
Théorème B :
L1 (S~)
Alors pour tout f E à
que Q
On suppose
est borné
il existe
u
E
ou
S1 =
bien que
unique solution
de
(14)
(en
un
sens
préciser). Pour établir le Théorème B
(voir Remarque 2)
A
ou
Yosida dûe à Crandall-
Lorsque f
Théorème 4 :
E
Lploc(Q)
peut adapter la démonstration du Théorème
on
bien utiliser la version
linéaire du Théorème de Hille-
non
Liggett [7] .
est
la situation est
une mesure
On suppose que
p >
plus complexe.
Les résultats
[3] .
suivants sont dûs à Brezis-Friedman
u
régulier
N+2 N
(N > 1).
Alors il n’existe pas de fonction
vérifiant
telle que
Donc, par exemple (N = 1, p = 3) il n’existe pas de solution locale du
problème
N+2N ,
Par contre si p
Théorème 5 p
N+2*
: . ,
on
On suppose
Alors pour tout f
solution de
(14)
(en
un
a
un
que Q
sens
en
particulier
u
est
positif.
est borné
E
Comme pour le cas
(1)
résultat
régulier
bien
ou
(mesure bornée)r il existe à
préciser
elliptique
régulière
sur
~~ ~ ))
RN . Soit L (Q) unique
que u
E
.
le théorème 4
]o,T[
se
et
déduit d’un résultat
XX.11
concernant l’élimination des
1
Théorème 6 :
Alors
u
E
singularités :
On suppose que
C2 (
Q
x
p >
N+2
(N > 1) .
.
N
Soit
E (x,t)
mais
Remarque 3
avec
u
la solution élémentaire
puisque
est
singulière
au
Lorsque p
régulière
Théorème 5, par
en
Lplac(Q)
vérifiant
tout
exemple
avec
la situation linéaire
E(x,t) de l’équation de la chaleur vérifie :
point (0,0) .
N+2 :
E
[o, T [ ) .
On notera que le Théorème 6 contraste
usuelle
u
N
il existe des fonctions u(x,t)
point (x,t) ~ (0,0)
et
u
6).
ne
sait pas
avec
f =
singularités (voir Remarque 1).
Mais
on
singulière
en
encore
vérifiant
(0,0)
(appliquer
classifier les
le
XX.12
REFERENCES ________
[1]
_
Ph.
Benilan,
Some variational
Brezis :
H.
of the Thomas-Fermi
problems
type, in Variational inequalities, Cottle, Gianessi, Lions ed., Wiley (1980) p.
[2]
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Ph. Benilan, H. Brezis, M. Crandall :
L1 (RN) , [3]
[4]
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H.
Brezis,
H.
H.
M.
Brezis,
Math.
J.
Brezis,
T.
E.
[10]
C.
[11]
L.
B.
Simon :
23
L.
singularities
for
some
non
linear
non
linear transfor-
elliptic
(1980) p. 1-6 .
75
Generation of
with
semi-groups
J.
Amer.
Math.
of
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p.
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Israel J. Math.
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Nirenberg :
Partial differential
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or
equations invariant
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Véron :
Singular solutions
J. Non linear
[12]
in
135-148.
p.
Loewner,
Press
Removable
Schrödinger operators
in Math.
conformal
p.
Liggett :
elliptic equations
565-590.
25 (1973)
général Banach spaces,
Kato :
Adv.
T.
measures
(à paraître).
Appl.
Semi linear, second order
Archive Rat. Mech. Anal.
on
Lieb,
Japan
Véron :
L.
Crandall,
13 (1972) [9]
Soc.
parabolic equations involving
231-246.
p.
Strauss :
W.
in
Long range potentials in Thomas-Fermi theory, Comm.
Physics 65 (1979)
mations
[8]
Lieb :
E.
equations,
[7]
Non linear
Friedman :
A.
elliptic equation
p. 523-555.
Brezis,
L1, [6]
Pisa 2 (1975)
Norm.
H.
Math.
[5]
Sc.
Ann.
A semi-linear
Analysis, 5 (1981)
L.
Véron :
Singularités
J.
Diff. Eq.
41
of
p.
some
linear
elliptic equations,
225-242.
éliminables
(1981) p. 87-95.
non
d’équations elliptiques
non
linéaires,
