Solutions de viscositÃ© d'Ã©quations elliptiques et ... - CiteSeerX

contentons de donner ici l'Ã©quation obtenue pour le âmouvement par courbure moyenneâ. Cette Ã©quation est le prototype d'Ã©quation dÃ©gÃ©nÃ©rÃ©e et singuli`ere :.

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Solutions de viscosit´ e d’´ equations elliptiques et paraboliques non lin´ eaires

Pierre Cardaliaguet

Janvier 2004

Ces notes sont issues d’un cours de DEA enseigné à Rennes fin 2003.

1

Table des mati` eres 1 Introduction 1.1 L’équation eikonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Contrˆ ole optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Approche par lignes de niveau des équations géométriques 1.4 Quelques références sur les solutions de viscosité . . . . .

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3 3 4 5 5

2 D´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires 2.1 Le cas des équations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le cas d’une équation parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Stabilité, passage ` a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 9

3 Existence d’une solution par la m´ ethode de Perron 3.1 Solutions de viscosité discontinues . . . . . . . . . . . 3.2 Suprema de sous-solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 La méthode de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Existence d’une solution de viscosité continue . . . . .

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4 Preuve du principe de comparaison pour le premier ordre

12 12 12 13 14 16

5 Preuve du principe de comparaison pour le second 5.1 Semi-convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Inf- et sup-convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Preuve du théorème de comparaison . . . . . . . . .

ordre 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Quelques r´ esultats d’unicit´ e classiques 6.1 Equations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Equations de type stationnaire: ouvert borné 6.1.2 Equations de type stationnaire: cas de IRN . 6.1.3 Equations d’évolution . . . . . . . . . . . . . 6.2 Equations du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Le “lemme matriciel” d’Ishii . . . . . . . . . . 6.2.2 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Conditions au bord de type Neumann . . . . 6.2.4 Equations d’évolution . . . . . . . . . . . . .

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26 26 26 26 27 28 28 29 30 31

7 Evolutions g´ eometriques 7.1 Quelques rappels sur les évolutions régulières . . . . . 7.2 L’approche par lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . 7.3 Le principe de comparaison et applications . . . . . . 7.4 Lien entre solutions généralisées et solutions régulières

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32 32 32 33 36

8 R´ egularit´ e pour les probl` emes uniform´ ement elliptiques 38 8.1 Equations fortement elliptiques, opérateurs de Pucci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.2 L’inégalité de Harnack et la régularité Hölder des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.3 Régularité C 1,α intérieure de F (D2 u) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

1

Introduction

On s’intéresse dans ces notes aux solutions de viscosité d’équations d’ordre 1 ou 2 dites “elliptiques” ou “paraboliques”. Les équations elliptiques ont la forme générale H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0 x ∈ Ω

(1)

o` u Ω est un ouvert de IRN donné, u : Ω → IR est l’inconnue, Du(x) et D2 u(x) désignant le gradient et la matrice hessienne de u au point x et o` u H : Ω×IR ×IRN ×SN → IR est une application donnée (SN désignant l’ensemble des matrices symétriques de format N × N ). Nous supposerons systématiquement par la suite que l’équation est elliptique, c’est-` a-dire que la fonction H = H(x, s, p, X) est décroissante par rapport à la matrice X. L’équation peut être dégénérée : nous ne supposerons pas en général que H est “strictement” décroissante par rapport ` a X. En particulier, H peut très bien ne pas dépendre du tout de X, l’équation devenant alors d’ordre 1. Dans le cas parabolique, l’équation prend la forme (2)

ut (t, x) + H(t, x, u(t, x), Du(t, x), D2 u(t, x)) = 0 (t, x) ∈]0, T [×Ω

o` u Ω est un ouvert de IRN donné, u :]0, T [×Ω → IR est l’inconnue, ut (t, x) désigne la dérivée partielle de u par rapport ` a t, Du(t, x) et D2 u(t, x) étant le gradient et la matrice hessienne de u par rapport à la variable x. Enfin, H :]0, T [×Ω × IR × IRN × SN → IR. Comme pour le cas elliptique, nous supposerons toujours que H = H(t, x, s, p, X) est décroissante par rapport à X (H sera dite elliptique), mais pas forcément “strictement décroissante”. Les équations elliptiques et paraboliques non linéaires que nous étudierons dans ces notes interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques. L’étude des solutions de viscosité a été particulièrement motivée par la théorie du contrˆ ole optimal et des propagations d’interfaces. Nous poursuivons cette introduction par quelques exemples de telles équations.

1.1

L’´ equation eikonale

Considérons d’abord un exemple typique d’équation elliptique très dégénérée qu’est l’équation eikonale : kDu(x)k = 1

x∈Ω

o` u Ω est un ouvert de IRN et k · k est la norme euclidienne usuelle. C’est une équation du premier ordre, qui peut être vue comme une équation elliptique de la forme (1) en posant H(x, s, p, X) = kpk − 1

∀(x, s, p, X) ∈ Ω × IR × IRN × SN .

Pour fixer les idées on s’intéressera plus particulièrement au problème de Dirichlet “homogène” kDu(x)k = 1 pour x ∈ Ω (3) u(x) = 0 pour x ∈ ∂Ω et on supposera que Ω est borné. Notons d’abord que ce problème n’a pas de solution classique, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de fonction u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) solution de (3). En effet, comme Ω est borné et que u est constant sur ∂Ω, la fonction u possède forcément un point de maximum ou de minimum x0 dans Ω. Or en ce point, on doit avoir Du(x0 ) = 0, ce qui est en contradiction avec l’équation. On s’attend donc a ` ce que l’équation (3) possède une solution généralisée, disons, vu l’équation, dans W01,∞ (Ω). D’ailleurs, il est ` a peu près immédiat que la fonction distance au bord de Ω, définie par (4)

d∂Ω (x) = min ky − xk y∈∂Ω

3

est solution de (3) au sens presque partout. En effet, d∂Ω appartient à W01,∞ (Ω), car c’est une fonction lipschitzienne, et une fonction de W01,∞ (Ω) est presque partout différentiable (c’est le théorème de Rademacher, voir par exemple [9]). De plus, on montre sans difficulté qu’un point x ∈ Ω est un point de différentiabilité y−x de d∂Ω , si et seulement si, x possède une unique projection y sur ∂Ω. Alors Dd∂Ω (x) = ky−xk et est donc de norme 1. Notons que −d∂Ω est également solution presque partout. Malheureusement, l’équation (3) possède en fait une infinité de solutions au sens presque partout. La meilleure fa¸con de s’en convaincre est de travailler dans IR, avec Ω =] − 1, 1[. On peut montrer, en utilisant le théorème de Baire, que l’ensemble des solutions presque partout de (3) est un Gδ −dense dans l’ensemble {w ∈ W01,∞ (Ω) | kDwk∞ ≤ 1} . Cet ensemble de solutions est donc particulièrement gros. Pour le problème d’EDP qui nous occupe, cette situation est très désagréable. Elle peut cependant être utilisée pour construire des solutions pour des systèmes d’équations très dégénérées, lorsque l’on ne se préoccupe pas d’unicité. Voir en particulier la monographie de Dacorogna & Marcellini [8]. Nous verrons plus loin qu’un critère possible de sélection des solutions est de demander à la solution de vérifier l’équation “au sens viscosité”. Avec ce critère, d∂Ω sera l’unique solution de viscosité de l’équation (3).

1.2

Contrˆ ole optimal

L’étude des équations elliptiques ou paraboliques non linéaires est motivée en grande partie par des problèmes de contrôle optimal (voir en particulier les monographies [2] et [3] pour les problèmes déterministes, et [10] et [16] pour les problèmes stochastiques). Juste pour donner une idée du lien entre ces deux domaines, et montrer à quelle type d’équation on peut aboutir, nous décrivons maintenant le problème de Bolza. On considère un système stochastique contrôlé de dynamique dXt = f (t, Xt , αt )dt + σ(t, Xt , αt )dWt Xt0 = x0 o` u f : IR+ × IRN × A → IRN , σ : IR × IRN × A → IRN ×d , (Wt ) est un mouvement brownien standard d−dimensionnel sur une base stochastique (Ω, F, P ; (Fs,s∈[0,T ] )), et A est l’ensemble de contrôle (typiquement un sous-ensemble d’un IRP ). Enfin, x0 ∈ IRN est la position initiale du système à l’instant t0 . Le problème est le suivant : le contrˆ oleur du système cherche à minimiser, à travers le choix du processus adapté (αt ) ` a valeurs dans A, le coˆ ut ! Z T

J(t0 , x0 , (αt )) = E

L(s, Xs , αs )ds + g(XT )

,

t0

o` u T est un temps final fixé, L : [0, T ] × IRN × A → IR et g : IRN → IR. On associe alors au problème la fonction valeur u, définie par u(t0 , x0 ) = inf J(t0 , x0 , (αt )) , (αt )

o` u l’infimum est pris sur tous les processus adaptés (αt ) à valeurs dans A. Il se trouve que, lorsqu’elle est régulière, la fonction v(t, x) = u(T − t, x), est solution de l’équation parabolique (dite de Hamilton-Jacobi-Bellman) : vt + H(t, x, Dv, D2 v) = 0 dans ]0, T [×IRN (5) v(0, x) = g(x) dans IRN avec

1 T H(t, x, p, X) = sup − T r σ(t, x, a)σ (t, x, a)X − < f (t, x, a), p > −L(t, x, a) 2 a∈A 4

Cette équation est une équation parabolique de la forme (2), avec H décroissante par rapport à X. Lorsque cette équation est “uniformément elliptique”, on démontre, sous des hypothèses adéquates, qu’elle possède une solution régulière v (voir par exemple [14]). Le “théorème de vérification” affirme alors que la fonction valeur est liée ` a cette solution par la relation u(t, x) = v(T − t, x). En particulier, la fonction valeur est elle-même régulière. Lorsque σ est dégénérée (un cas extrême étant celui o` u σ = 0, l’équation (5) étant alors du premier ordre) la fonction valeur n’est en général plus que lipschitzienne, voire même seulement continue. L’équation (5) doit être interprétée en un sens adéquat : une définition convenable se trouve être celle de solution de viscosité. Soulignons pour finir que, dans le cas du contrôle optimal, H est convexe par rapport au couple (p, X). Cette structure est très utile pour montrer la régularité des solutions quand l’équation est uniformément elliptique (voir [5] et [14]). Par contre, lorsque l’on s’intéresse à la théorie des jeux différentiels, le hamiltonien prend la forme 1 H(t, x, p, X) = sup inf − T r σ(t, x, a, b)σ T (t, x, a, b)X − < f (t, x, a, b), p > −L(t, x, a, b) 2 a∈A b∈B et n’est plus convexe par rapport ` a (p, X).

1.3

Approche par lignes de niveau des ´ equations g´ eom´ etriques

Un autre exemple d’équation dégénérée est la classe d’équations donnée par l’approche par lignes de niveau d’un problème d’évolution géométrique. Nous détaillons cette question dans le chapitre 7. Nous nous contentons de donner ici l’équation obtenue pour le “mouvement par courbure moyenne”. Cette équation est le prototype d’équation dégénérée et singulière : ut − ∆u +

< D2 uDu, Du > =0. kDuk2

C’est bien une équation de la forme (2), avec H(t, x, p, X) = H(p, X) = −T r(X) +

< Xp, p > . kpk2

Cette équation est dégénérée, car, pour tout (p, X) ∈ IR∗N × SN , H(p, X + µppT ) = H(p, X) . De plus, H est manifestement discontinue en p = 0. Là encore, une définition satisfaisante de solution (pour laquelle on a des résultats d’existence, d’unicité et de stabilité) est donnée par la notion de solution de viscosité.

1.4

Quelques r´ ef´ erences sur les solutions de viscosit´ e

La notion de solution de viscosité a été introduite en 1981 par Crandall & Lions dans [6] pour traiter les équations d’Hamilton-Jacobi du premier ordre (par une une méthode de viscosité évanescente, d’o` u la terminologie). Les principales techniques pour l’étude des équations du second ordre sont dues à Jensen dans l’article [12] de 1988. La plupart des équations étudiées dans le cadre des solutions de viscosité sont issues de la théorie du contrôle optimal (ou des jeux différentiels). Dans ces domaines, la question de l’existence de solutions ne se pose généralement pas, puisqu’on sait ` a l’avance que la fonction-valeur doit être solution de l’équation ; on s’intéresse au contraire ` a la caractérisation de la fonction valeur, à sa stabilité, à son approximation numérique, ` a sa régularité. C’est pourquoi les principaux résultats de la théorie des solutions de viscosité sont des résultats d’unicité et de passage à la limite, ces deux questions étant d’ailleurs indissociables. Les résultats d’unicité sont toujours obtenus par des “théorèmes de comparaison”, dont les techniques de 5

démonstration constituent le coeur de la théorie. Voici maintenant quelques références, dont les notes qui suivent se sont très largement inspirées. Le livre de P.L. Lions [15], celui de Barles [3] et de Bardi & Capuzzo Dolcetta [2] sont consacrés aux équations du premier ordre et—surtout pour le dernier—en relation avec la théorie du contrôle optimal. Pour le second ordre, le “User Guide” de Crandall, Ishii & Lions [7] est une référence incontournable ; une autre référence générale est le polycopié de cours de Barles [4], disponible en ligne. L’ouvrage de Fleming & Soner [10] présente les solutions de viscosité pour les problèmes de contrôle optimal stochastique (voir aussi [16]). Pour la partie sur les évolutions géométriques, nous nous sommes inspirés des notes de cours d’Ambrosio [1]. Enfin, la dernière partie de ce polycopié est entièrement empruntée à l’ouvrage de Caffarelli & Cabré [5] sur la régularité des solutions de viscosité d’équations elliptiques.

6

2

D´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires

2.1

Le cas des ´ equations elliptiques

On s’intéresse ici ` a une équation de la forme (6)

H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0 x ∈ Ω

o` u Ω est un ouvert de IRN donné et H : Ω × IR × IRN × SN → IR. Dans toute la suite on supposera que H est “elliptique”, c’est-` a-dire que H est décroissante par rapport à la dernière variable : (7)

H(x, s, p, X) ≥ H(x, s, p, Y ) si X ≤ Y

∀(x, s, p, X, Y ) ∈ Ω × IR × IRN × SN × SN

(l’inégalité X ≤ Y étant comprise au sens des matrices symétriques). D´ efinition 2.1 (Sous-solutions, sur-solutions, solutions) On dit qu’une fonction u : Ω → IR est soussolution de viscosité de (6) si u est semi-continue supérieurement (SCS) dans Ω et si, pour toute fonction-test φ ∈ C 2 (Ω) telle que u − φ a un maximum local en un point x0 ∈ Ω, on a H(x0 , u(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ 0 . Symétriquement, on dit qu’une fonction u : Ω → IR est sur-solution de viscosité de (6) si u est semicontinue inférieurement (SCI) dans Ω et si, pour toute fonction-test φ ∈ C 2 (Ω) telle que u − φ a un minimum local en un point x0 ∈ Ω, on a H(x0 , u(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≥ 0 . Enfin, u : Ω → IR est solution de viscosité de (6) si u est sous- et sur-solution de (6). Soulignons que, par définition, une solution est toujours une fonction continue. Nous allons montrer que ces définitions ont bien un sens lorsque u est de classe C 2 ; on remarquera dans la preuve que la condition d’ellipticité sur H est cruciale pour cela : Proposition 2.2 Soit u de classe C 2 dans Ω. Alors u est sous-solution de viscosité si et seulement si u vérifie (8) H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) ≤ 0 ∀x ∈ Ω . Remarque : On vérifie immédiatement que les assertions symétriques sont également vraies pour les sur-solutions et pour les solutions. Preuve : La condition est nécessaire, car, si u est sous-solution de viscosité, et si l’on prend comme fonction-test la fonction φ = u, alors u − u admet un maximum local en tout point x ∈ Ω, et donc (8) doit être vérifié. La condition est également suffisante. En effet, si u vérifie (8), alors pour toute fonction-test φ ∈ C 2 (Ω) telle que u − φ a un maximum local en un point x0 , on a, d’après les conditions nécessaires d’optimalité, Du(x0 ) − Dφ(x0 ) = 0

et D2 u(x0 ) − D2 φ(x0 ) ≤ 0 .

Comme H(x0 , u(x0 ), Du(x0 ), D2 u(x0 )) ≤ 0 par hypothèse et comme H est elliptique (c’est-à-dire vérifie (7)), on en déduit que H(x0 , u(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ H(x0 , u(x0 ), Du(x0 ), D2 u(x0 )) ≤ 0 . QED

7

Exemple : Soit Ω =] − 1, 1[⊂ IR et H(x, s, p, X) = |p| − 1. Alors u(x) = 1 − |x| est solution de viscosité de |Du(x)| − 1 = 0 dans Ω. D’autre part, la fonction −u n’est pas solution de viscosité, alors qu’elle est solution au sens presque partout. Plus généralement, on montre que, si Ω est un ouvert de IRN , alors la fonction distance au bord de Ω, d∂Ω , définie par (4), est solution de viscosité. Le lecteur pourra s’amuser à chercher les cas o` u −d∂Ω est également solution de viscosité (Indication : remarquer que tous les points de Ω doivent avoir une unique projection sur ∂Ω). Nous allons maintenant montrer que la notion de solution de viscosité est “plus forte” que de demander que l’équation (6) soit satisfaite en tout point o` u la fonction admet un développement limité d’ordre 2. Lemme 2.3 On suppose ici que H est continue dans toutes ses variables. Soit u une sous-solution de viscosité de (6) admettant un développement limité d’ordre 2 en un point x. Alors H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) ≤ 0. Remarque : Par “ u admet un un développement limité d’ordre 2 en un point x” nous voulons dire qu’il existe un vecteur p ∈ IRN et une matrice X ∈ SN tels que u(y) = u(x)+ < p, y − x > +

1 < X(y − x), y − x > +ky − xk2 (y − x) . 2

Par abus de notation, nous noterons Du(x) = p et D2 u(x) = X. Preuve du lemme : Fixons > 0. Alors, comme u admet un DL d’ordre 2 en x, la fonction y → u(y) − [u(x)+ < Du(x), y − x > + 12 (< (D2 u(x) + IN )(y − x), (y − x) >] possède un maximum local en x. Donc H(x, u(x), Du(x), D2 u(x) + In ) ≤ 0. On obtient le résultat désiré en laissant tendre vers 0. QED Proposition 2.4 Soit u sous-solution de (6). Alors −u est sur-solution de ˜ H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0

x∈Ω

o` u ˜ H(x, s, p, X) = −H(x, −s, −p, −X)

∀(x, s, p, X) ∈ Ω × IR × IRN × SN .

˜ est également elliptique. Remarque : On notera que H Preuve : Il est clair que −u est SCI. Soit φ ∈ C 2 telle que (−u) − φ a un minimum local en un point x0 de Ω. Alors u − (−φ) possède un maximum local en x0 et donc, puisque u est sous-solution de (6), on a ˜ 0 , (−u)(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) = −H(x0 , u(x0 ), −Dφ(x0 ), −D2 φ(x0 )) ≥ 0 . H(x QED

2.2

Le cas d’une ´ equation parabolique

Pour la commodité de la lecture, nous répétons les définitions de solutions de viscosité dans le cas d’une équation parabolique. On considère un problème de la forme (9)

ut (t, x) + H(t, x, u(t, x), Du(t, x), D2 u(t, x)) = 0

(t, x) ∈]0, T [×Ω

o` u Ω est un ouvert de IRN donné et H :]0, T [×Ω × IR × IRN × SN → IR. On supposera toujours que H est elliptique, c’est-` a-dire décroissante par rapport à cette dernière variable.

8

D´ efinition 2.5 (Sous-solutions, sur-solutions, solutions) On dit qu’une fonction u :]0, T [×Ω → IR est sous-solution de viscosité de (9) si u est SCS dans ]0, T [×Ω et si, pour toute fonction-test φ ∈ C 2 (]0, T [×Ω) telle que u − φ a un maximum local en un point (t0 , x0 ) ∈]0, T [×Ω, on a φt (t0 , x0 ) + H(t0 , x0 , u(t0 , x0 ), Dφ(t0 , x0 ), D2 φ(t0 , x0 )) ≤ 0 . Symétriquement, on dit qu’une fonction u :]0, T [×Ω → IR est sur-solution de viscosité de (9) si u est SCI dans ]0, T [×Ω et si, pour toute fonction-test φ ∈ C 2 (]0, T [×Ω) telle que u − φ a un minimum local en un point (t0 , x0 ) ∈]0, T [×Ω, on a φt (t0 , x0 ) + H(t0 , x0 , u(t0 , x0 ), Dφ(t0 , x0 ), D2 φ(t0 , x0 )) ≥ 0 . Enfin, u :]0, T [×Ω → IR est solution de viscosité de (9) si u est sous- et sur-solution de (9). On notera qu’une équation parabolique est juste une équation elliptique en N + 1 variables, d’un type un peu particulier. C’est pourquoi tous les résultats de la partie précédente restent vrais pour les équations paraboliques, avec la même démonstration.

2.3

Stabilit´ e, passage ` a la limite

Soient Hn , H : Ω × IR × IRN × SN → IR des applications données. Th´ eor` eme 2.6 (Stabilit´ e) On suppose que (un ) est une suite de sous-solutions continues de (10)

Hn (x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0

x∈Ω

qui converge uniformément vers une fonction u : Ω → IR dans tous les compacts de Ω et que (Hn ) converge uniformément vers H sur tous les compacts de Ω × IR × IRN × SN . Alors u est encore une sous-solution de (6). Remarque : Un résultat symétrique est aussi vrai pour les sur-solutions et pour les solutions. Noter qu’un tel résultat est assez étonnant, puisqu’il affirme que l’on peut passer à la limite dans une équation avec seulement une hypothèse de convergence uniforme. La démonstration nécessite quelques remarques préliminaires. Lemme 2.7 On peut remplacer “maximum local” (respectivement “minimum local”) par “maximum local strict” (resp. “minimum local strict”) dans la définition de sous-solution (resp. sur-solution). Preuve : On ne fait la preuve que dans le cas des sous-solutions, le cas des sur-solutions pouvant être traité de fa¸con identique. On suppose que u est SCS et que, pour toute fonction-test φ ∈ C 2 telle que u−φ a un maximum local strict en un point x0 ∈ Ω, on a H(x0 , u(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ 0. Pour montrer que u est sous-solution, supposons que u−φ a un maximum local en un point x0 ∈ Ω. Posons φ1 (x) = φ(x)+kx−x0 k4 . Alors u − φ1 a un maximum local strict en x0 , et donc H(x0 , u(x0 ), Dφ1 (x0 ), D2 φ1 (x0 )) ≤ 0 par hypothèse. Or Dφ1 (x0 ) = Dφ(x0 ) et D2 φ1 (x0 ) = D2 φ(x0 ). D’o` u H(x0 , u(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ 0. QED Le lemme suivant est pratiquement ` a la base de tous les arguments de stabilité et de perturbation, et connaˆıtra de multiples variantes par la suite. Lemme 2.8 Si une fonction continue v : Ω → IR possède un maximum local strict en un point x0 et si une suite de fonctions continues (vn ) converge localement uniformément vers v, alors il existe une suite (xn ), avec xn maximum local de vn , qui converge vers x0 .

9

Preuve : Puisque la fonction continue v possède un maximum strict en x0 , il existe r > 0 tel que B2r (x0 ), la boule ouverte centrée en x0 et de rayon 2r, est contenue dans Ω, et telle que v(x0 ) = max v > Br (x0 )

max v . ∂Br (x0 )

Comme (vn ) converge localement uniformément vers v, il existe un indice n0 tel que vn (x0 ) > max∂Br (x0 ) vn pour tout n ≥ n0 . Mais alors vn possède un maximum local en un point xn de Br (x0 ). Reste à prouver que (xn ) converge vers x0 . Soit y un point d’adhérence de la suite bornée (xn ). Comme, pour tout z ∈ Br (x0 ), vn (xn ) ≥ vn (z), et comme vn converge localement uniformément vers v, on a, en passant à la limite, v(y) ≥ v(z). Donc y est un point de maximum de v dans Br (x0 ), ce qui prouve que y = x0 puisque x0 est le seul point de maximum de v dans Br (x0 ). La suite bornée (xn ) n’ayant qu’un seul point d’adhérence, x0 , elle converge vers x0 . QED Preuve du th´ eor` eme 2.6 : Soit une fonction-test φ ∈ C 2 telle que u − φ possède un maximum local strict en un point x0 . Alors, comme un − φ converge localement uniformément vers u − φ, il existe une suite (xn ) qui converge vers x0 , et telle que xn est un maximum de un − φ pour tout n. Comme un est une sous-solution de (10), on a Hn (xn , un (xn ), Dφ(xn ), D2 φ(xn )) ≤ 0. La suite (Hn ) convergeant localement uniformément vers H, on peut passer ` a la limite pour obtenir H(x0 , u(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ 0. QED On utilise généralement ce résultat de la fa¸con suivante. On considère une suite de problèmes—pour fixer les idées des problèmes de Dirichlet par exemple : Hn (x, u, Du, D2 u) = 0 dans Ω u = gn sur ∂Ω On suppose que (un ) sont des solutions de ces problèmes, que les données au bord convergent uniformément, et que les Hn convergent localement uniformément vers une fonction H. Sous certaines hypothèses sur les (Hn ), on démontre que les (un ) sont localement uniformément continus (par exemple équi-Lipschitziens) dans Ω. On extrait une sous-suite convergente convergente vers une limite u. Le théorème 2.6 affirme alors que u est une solution de viscosité de H(x, u, Du, D2 u) = 0 dans Ω u=g sur ∂Ω Le point-clé de la démonstration consiste ` a prouver que u est l’unique solution de cette équation. Nous nous attacherons par la suite ` a donner des hypothèses de structure sur H pour que ce soit bien le cas (voir les théorèmes de comparaison plus loin). Alors, toute sous-suite convergente de la suite (un ) convergera vers u, ce qui prouvera la convergence de la suite. En fait, pour obtenir le théorème 2.6 ainsi que faire la démarche décrite au-dessus, l’hypothèse de convergence uniforme de un vers u est inutilement forte. On peut en effet se contenter d’une borne uniforme sur les solutions. Pour expliquer cela, nous introduisons la technique des “semi-limites relaxées” de Barles & Perthame. Soit (un ) une suite de fonctions localement uniformément majorées (resp. minorées) dans Ω. On définit la semi-limite relaxée supérieure (resp. inférieure) par u∗ (x) = lim sup un (xn )

∀x ∈ Ω

xn →x

(resp. u∗ (x) = lim inf un (xn ) xn →x

∀x ∈ Ω ) .

Il est aisé de prouver que u∗ est SCS tandis que u∗ est SCI. Le théorème de stabilité 2.6 s’adapte très bien à ce type de convergence : 10

Th´ eor` eme 2.9 (Stabilit´ e par semi-limites relax´ ees) On suppose que (un ) est une suite de sous-solutions localement uniformément majorées de (10), et que (Hn ) converge uniformément vers H sur tous les compacts de Ω × IR × IRN × SN . Alors u∗ est encore une sous-solution de (6). De même, si (un ) est une suite de sur-solutions localement uniformément minorées de (10), et si (Hn ) converge uniformément vers H sur tous les compacts de Ω×IR ×IRN ×SN , alors u∗ est encore une sur-solution de (6). La démonstration suit celle du théorème (2.6), à condition de remplacer le lemme 2.8 par le lemme suivant, dont on laisse la preuve en exercice. Lemme 2.10 Si une fonction SCS v : Ω → IR possède un maximum local strict en un point x0 et si (vn ) est une suite de fonctions SCS telle que v(x0 ) = lim supzn →x0 vn (zn ), alors il existe une suite (xn ), avec xn maximum local de vn , qui converge vers x0 et telle que (vn (xn )) tend vers v(x0 ).

11

3

Existence d’une solution par la m´ ethode de Perron

Nous expliquons dans cette partie comment construire une solution de viscosité d’une équation lorsque l’on en connait une sur- et une sous-solution et que l’on sait que l’équation possède un “principe de comparaison”. Cette méthode est connue sous le nom de méthode de Perron (voir [11]), et a été adaptée aux solutions de viscosité par Ishii. En fait, le procédé très général décrit ici permet, pratiquement sans hypothèse, de construire des solutions “très faibles” : des solutions dites discontinues. Dans cette partie, nous nous contentons de travailler dans le cas des équations elliptiques, l’adaptation au cas parabolique étant immédiate.

3.1

Solutions de viscosit´ e discontinues

Soit Ω un ouvert de IRN et u : Ω → IR une fonction. On appelle enveloppe SCS sup´ erieure la plus petite fonction SCS supérieure ` a u. Cette fonction est notée u∗ et est donnée par u∗ (x) = lim sup u(x0 ) . x0 →x

Symétriquement, on appelle enveloppe SCI inf´ erieure la plus grande fonction SCI inférieure à u. Cette fonction est notée u∗ et est donnée par u∗ (x) = lim inf u(x0 ) . 0 x →x

Notons que u∗ = −(−u)∗ et qu’une fonction u est continue, si et seulement si, u∗ = u∗ . On s’intéresse ` a nouveau à l’équation H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0 x ∈ Ω

(11)

o` u, dans toute cette partie, Ω est un ouvert de IRN et H : Ω × IR × IRN × SN → IR est supposée elliptique et continue. D´ efinition 3.1 On dit qu’une fonction u : Ω → IR est une solution de viscosité discontinue de (11) si u∗ est une sous-solution de (11) tandis que u∗ est une sur-solution de cette équation. Remarque : continue (!).

3.2

Il ne manque donc ` a une solution discontinue que la continuité pour être une solution

Suprema de sous-solutions

Soit (uα )α∈A une famille localement majorée de fonctions de Ω dans IR. Posons u(x) = sup uα (x) . α∈A

Lemme 3.2 Supposons que, pour tout α ∈ A, (uα )∗ est une sous-solution de l’équation (11). Alors u∗ est encore une sous-solution de (11). Preuve : Soit φ de classe C 2 telle que u∗ − φ possède un maximum local strict en un point x0 ∈ Ω. Cela implique qu’il existe r > 0 et η > 0 tels que (u∗ − φ)(x0 ) ≥ max (u∗ − φ) + η . ∂Br (x0 )

(Rappelons que Br (x0 ) désigne la boule ouverte de centre x0 et de rayon r). Par définition de u∗ , il existe une suite (xn ) qui converge vers x0 telle que u(xn ) tend vers u∗ (x0 ). De plus, par définition de u, il existe αn ∈ A tel que uαn (xn ) ≥ u(xn ) − n1 . Notons alors que (uαn )∗ (xn ) tend vers u∗ (x0 ) puisque u∗ (x0 ) ≥ lim sup u∗ (xn ) ≥ lim sup(uαn )∗ (xn ) ≥ lim inf(uαn )∗ (xn ) ≥ lim inf uαn (xn ) ≥ lim u(xn ) = u∗ (x0 ) . 12

Donc, pour tout n assez grand, on a ((uαn )∗ − φ)(xn ) ≥ max ((uαn )∗ − φ) + η/2 , ∂Br (x0 )

ce qui prouve que (uαn )∗ − φ possède un maximum local en un point yn de Br (x0 ). Comme (uαn )∗ est une sous-solution de (11), on a (12) H(yn , (uαn )∗ (yn ), Dφ(yn ), D2 φ(yn )) ≤ 0 . Reste à prouver que (yn ) tend vers x0 et que (uαn )∗ (yn ) tend vers u∗ (x0 ). C’est en effet le cas car (u∗ − φ)(x0 ) ≥ (u∗ − φ)(yn ) ≥ ((uαn )∗ − φ)(yn ) ≥ ((uαn )∗ − φ)(xn ) avec le membre de droite de l’inégalité qui tend vers (u∗ − φ)(x0 ). Donc toute valeur d’adhérence de la suite bornée (yn ) est égale ` a l’unique point de maximum de la fonction u∗ − φ dans Br (x0 ), c’est-à-dire à x0 . De plus, la série d’inégalités prouve aussi la convergence de (uαn )∗ (yn ) vers u∗ (x0 ). Par continuité de H, on peut alors passer à la limite dans (12) pour obtenir l’inégalité désirée : H(x0 , u∗ (x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ 0 . QED

3.3

La m´ ethode de Perron

Nous décrivons maintenant la méthode de Perron. Bien plus que le résultat–qui est assez formel–, il convient de retenir de cette partie la technique de construction d’une solution, expliquée au début de la preuve. Th´ eor` eme 3.3 On suppose que u : Ω → IR est une sous-solution de (11) tandis que v : Ω → IR est une sur-solution de cette équation. On suppose de plus u ≤ v dans Ω. Alors il existe une solution de viscosité discontinue w : Ω → IR telle que u ≤ w ≤ v. Preuve : Soit E = {z : Ω → IR | z ∗ est une sous-solution de (11) et u ≤ z ≤ v} . Notons que E 6= ∅ puisque u ∈ E. Posons w(x) = sup z(x)

∀x ∈ Ω .

z∈E

Nous allons montrer que w est bien la solution cherchée. Remarquons d’abord que w ∈ E puisque u ≤ w ≤ v et w∗ est une sous-solution de (11) grâce au lemme 3.2. Reste à prouver que w∗ est une sur-solution de (11). Pour cela on raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe un point x0 ∈ Ω et une fonction-test φ ∈ C 2 tels que w∗ − φ a un minimum local strict en x0 et (13)

H(x0 , w∗ (x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) < 0 .

Quitte à remplacer φ par φ − φ(x0 ) + w∗ (x0 ), on peut supposer que φ(x0 ) = w∗ (x0 ). Montrons d’abord que w∗ (x0 ) < v(x0 ). En effet, sinon, comme w ≤ v, cela impliquerait que w∗ (x0 ) = v(x0 ) et donc que v − φ possèderait un minimum local en x0 . Mais alors (13) contredirait l’hypothèse que v est une sur-solution de (11). Donc w∗ (x0 ) < v(x0 ). Choisissons maintenant r > 0 et > 0 tels que Br (x0 ) ⊂ Ω et i) H(x, φ(x) + , Dφ(x), D2 φ(x)) ≤ 0

∀x ∈ Br (x0 )

(ce qui est possible d’après (13) et par continuité de H) 13

ii) (w∗ − φ)(x) >

∀x ∈ ∂Br (x0 ) .

(ce qui est possible car w∗ − φ possède un minimum local strict en x0 et φ(x0 ) = w∗ (x0 )) iii) φ(x) < v(x) −

∀x ∈ Br (x0 )

(ce qui est possible puisque v est SCI et φ(x0 ) = w∗ (x0 ) < v(x0 )) On pose z(x) =

w(x) si x ∈ Ω\Br (x0 ) max{w(x), φ(x) + } si x ∈ Br (x0 )

On affirme que z ∈ E. En effet, d’après (iii), z ≤ v. De plus, u ≤ w ≤ z, et donc u ≤ z ≤ v. Montrons que z ∗ est une sous-solution de (11). Soit ψ une fonction-test telle que z ∗ − ψ possède un maximum local en un point x1 ∈ Ω. Si z ∗ (x1 ) = w∗ (x1 ), alors w∗ − ψ possède aussi un maximum local en x1 , et donc H(x1 , z ∗ (x1 ), Dψ(x1 , D2 ψ(x1 )) ≤ 0 puisque w∗ est sous-solution. Supposons maintenant que z ∗ (x1 ) > w∗ (x1 ). Alors, d’après la définition de z, on a x1 ∈ Br (x0 ). Notons que, dans Br (x0 ), z ∗ = max{w∗ , φ + }. Donc z ∗ (x1 ) = φ(x1 ) + , et (ii) implique que x1 ∈ Br (x0 ). Par conséquent, φ + − ψ possède un maximum local en x1 , ce qui entraˆıne que Dφ(x1 ) = Dψ(x1 ) et

D2 φ(x1 ) ≤ D2 ψ(x1 ) .

D’après (i) et l’ellipticité de H, on aura alors 0 ≥ H(x1 , φ(x1 ) + , Dφ(x1 ), D2 φ(x1 )) ≥ H(x1 , z ∗ (x1 ), Dψ(x1 ), D2 ψ(x1 )) . Nous avons donc prouvé que z ∗ est une sous-solution de (11), et que z ∈ E. Prouvons finalement que z 6= w. Soit (xn ) une suite qui converge vers x0 et telle que w(xn ) tend vers w∗ (x0 ). Alors z(xn ) ≥ φ(xn ) + . De plus (φ(xn ) + ) converge vers φ(x0 ) + , avec φ(x0 ) + > w∗ (x0 ). Donc, pour n assez grand, z(xn ) > w(xn ). Nous avons donc prouvé que z ∈ E, z ≥ w et z 6= w. Ceci est en contradiction avec la construction même de w. L’hypothèse de départ (13) est donc impossible. Ceci montre que w est une sur-solution, et donc une solution, de (11). QED

3.4

Existence d’une solution de viscosit´ e continue

Afin de récupérer la continuité de la solution, nous allons supposer que l’équation vérifie un principe de comparaison : D´ efinition 3.4 On dit que l’équation (11) vérifie un principe de comparaison dans Ω si, pour toute soussolution u et pour toute sur-solution v de (11), si u ≤ v dans ∂Ω, alors u ≤ v dans Ω. Remarque : Dans toute la suite, l’inégalité u ≤ v dans ∂Ω signifie par abus de notation : lim sup u(x0 ) ≤ x0 →x , x0 ∈Ω

lim inf

x0 →x , x0 ∈Ω

v(x0 )

∀x ∈ ∂Ω .

Nous étudions maintenant le problème de Dirichlet pour l’équation (11). Soit g : ∂Ω → IR une fonction continue. Corollaire 3.5 Supposons que l’équation (11) vérifie un principe de comparaison dans Ω. Supposons également qu’il existe deux applications u et v telles que • u est une sous-solution de (11) et lim

u(x0 ) = g(x)

∀x ∈ ∂Ω

lim

v(x0 ) = g(x)

∀x ∈ ∂Ω

x0 →x , x0 ∈Ω

• v est une sur-solution de (11) et x0 →x , x0 ∈Ω

14

Alors il existe une unique solution de viscosité w de l’équation (11) telle que w = g dans ∂Ω. Autrement dit, le problème de Dirichlet H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0 x ∈ Ω u=g x ∈ ∂Ω possède une unique solution de viscosité. Preuve : Par la méthode de Perron, on construit une solution discontinue w telle que u ≤ w ≤ v. Montrons d’abord que w∗ = w∗ = g sur le bord de Ω. En effet, pour tout x ∈ ∂Ω, on a g(x) =

lim

x0 →x , x0 ∈Ω

u(x0 ) ≤

lim inf

x0 →x , x0 ∈Ω

w(x0 ) ≤ w∗ (x) ≤ w∗ (x) ≤ lim sup w(x0 ) ≤ x0 →x , x0 ∈Ω

lim

x0 →x , x0 ∈Ω

v(x0 ) = g(x) .

D’o` u w∗ = w∗ sur ∂Ω. Comme w∗ est une sur-solution tandis que w∗ est une sous-solution, et comme w∗ = w∗ sur ∂Ω, le principe de comparaison affirme que w∗ ≥ w∗ . L’inégalité inverse étant toujours vraie, cela prouve que w∗ = w∗ , et donc que w est en fait une solution de viscosité continue. L’unicité est une conséquence directe du principe de comparaison car, si w1 et w2 sont deux solutions du problème de Dirichlet, alors w1 = w2 sur le bord de Ω, et, comme w1 est une sous-solution et w2 une sur-solution, on a w1 ≤ w2 . L’inégalité inverse est obtenue en intervertissant les rôles de w1 et w2 . QED

15

4

Preuve du principe de comparaison pour le premier ordre

Nous avons vu dans les parties précédentes le rôle central joué par le principe de comparaison pour prouver la stabilité et l’existence de solutions. Dans les trois parties qui suivent, nous étudions des conditions sous lesquelles une équation vérifie un tel principe de comparaison. Nous commen¸cons par expliquer comment un tel principe se démontre, d’abord dans le cas des équations du premier ordre, puis, au chapitre suivant, dans le cas des équations du second ordre. Nous compléterons cette étude par un bref survol des résultats de comparaison classiques. Dans cette (courte) partie, nous démontrons le principe de comparaison pour l’équation du premier ordre (14)

H(x, u(x), Du(x)) = 0

x∈Ω

o` u Ω est un ouvert borné et o` u H : Ω × IR × IRN → IR satisfait les hypothèses suivantes : il existe des constantes γ > 0 et C ≥ 0 telles que i) H(x, s1 , p) − H(x, s2 , p) ≥ γ(s1 − s2 )

t≥s

si

∀(x, s1 , s2 , p) ∈ Ω × IR × IR × IRN

∀(x, y, s, p) ∈ Ω × Ω × IR × IRN

ii) |H(x, s, p) − H(y, s, p)| ≤ C(1 + |p|)|y − x| Voici le résultat que nous allons démontrer :

Th´ eor` eme 4.1 Si u est une sous-solution de (14) et v une sur-solution de (14), et si u ≤ v dans ∂Ω, alors u ≤ v dans Ω. Remarque : Nous verrons au chapitre 6 comment cet énoncé–plutôt rudimentaire–se généralise à un grand nombre de situations. L’intérêt de cette partie est la démonstration du théorème 4.1, qui contient plusieurs arguments que l’on retrouve dans toutes les preuves de principes de comparaison. Preuve du th´ eor` eme 4.1 : La démonstration d’un principe de comparaison se fait (presque toujours) par l’absurde. On suppose donc qu’il existe un point x ∈ Ω tel que u(x) > v(x). On considère alors M = sup(u − v)(x) > 0 . x∈Ω

Notons que le sup est en fait un max puisque l’ouvert Ω est borné, que la fonction u − v est SCS et négative sur le bord de Ω. Remarquons également que, si u et v sont des fonctions régulières (de classe C 1 par exemple), la démonstration est pratiquement immédiate. En effet, en tout point x0 de maximum de u − v, on a Du(x0 ) = Dv(x0 ) et u(x0 ) > v(x0 ). Or u et v étant respectivement sous- et sur-solution, cela implique que 0 ≥ H(x0 , u(x0 ), Du(x0 )) − H(x0 , v(x0 ), Dv(x0 )) ≥ γ(u(x0 ) − v(x0 )) d’après l’hypothèse (i), ce qui est absurde. La seule difficulté du résultat est donc que les fonctions u et v ne sont pas régulières. Afin de surmonter cette difficulté, nous introduisons maintenant la méthode de dédoublement des variables. Cette technique, qui apparaˆıt dans toutes les démonstrations de théorèmes de comparaison, est directement issue d’un travail de Kruzkov sur les lois de conservations [13]. Pour tout > 0, on pose w (x, y) = u(x) − v(y) −

1 |x − y|2 2

(x, y) ∈ Ω × Ω .

Notons que w est SCS dans Ω × Ω. Nous la prolongeons à Ω × Ω en posant w (x, y) =

lim sup

w (x0 , y 0 )

∀(x, y) ∈ (Ω × Ω)\(Ω × Ω) .

(x0 ,y 0 )→(x,y) , (x0 ,y 0 )∈Ω×Ω

Le lemme suivant affirme que la fonction w , au voisinage de son maximum et lorsque → 0+ , se comporte comme la fonction u − v. 16

Lemme 4.2 Soit (x , y ) un maximum de w dans Ω × Ω. Alors 1. lim→0+ w (x , y ) = M , 2. lim→0+ 2 |x − y |2 = 0 3. Il existe θ > 0 et 0 > tels que, pour tout ∈]0, 0 [, d∂Ω (x ) ≥ θ et d∂Ω (y ) ≥ θ. Preuve du lemme : Posons M = maxΩ×Ω w = w (x , y ). D’après la définition de w , M croˆıt avec , et M ≥ M . Comme Ω est borné, que u et v sont respectivement SCS et SCI dans Ω, u est majoré tandis que v est minoré dans Ω. Soit K une constante telle que u ≤ K et v ≥ −K dans Ω. Notons que 1 1 M ≤ M = u(x ) − v(y ) − 2 |x − y |2 ≤ 2K − 2 |x − y |2 . Cela prouve que 12 |x − y |2 est borné, et donc que x − y tend vers 0 lorsque → 0+ . Soit x une valeur d’adhérence commune ` a x et y . On a (15) M ≤ lim inf M ≤ lim sup M ≤ lim sup[u(x ) − v(y )] ≤ u(x) − v(x) ≤ M , + →0

→0+

→0+

puisque u est SCS et v est SCI. Nous venons donc de prouver que M tend vers M . De plus, toute valeur d’adhérence de la suite (x , y ) est de la forme (x, x), avec x maximum de u − v. En particulier, x ∈ Ω. Par compacité, cela implique l’existence d’un réel θ > 0 tel que d∂Ω (x ) ≥ θ et d∂Ω (y ) ≥ θ pour tout > 0 assez petit. Enfin, la série d’inégalités (15) prouve aussi que u(x ) tend vers u(x), tandis que v(y ) tend vers v(x). Donc, comme M = u(x ) − v(y ) − 12 |x − y |2 tend vers M = u(x) − v(x), le terme 12 |x − y |2 tend nécessairement vers 0. QED Preuve du th´ eor` eme : Comme la fonction w a un maximum au point (x , y ) ∈ Ω×Ω, la fonction x → u(x) − [v(y ) + 12 |x − y |2 ] a un maximum au point x . En utilisant la fonction-test φ(x) = v(y ) + 12 |x − y |2 , et le fait que u est une sous-solution de (14), on obtient (16)

H(x , u(x ),

De même, la fonction y → v(y) − [u(x ) − sur-solution,

1 2 |y

2 (x − y )) ≤ 0 . 2

− x |2 ] a un minimum en y , et donc, comme v est une

2 (x − y )) ≥ 0 . 2 On fait la différence entre (16) et (17) et on utilise l’hypothèse (i) pour parvenir à (17)

H(y , v(y ),

0 ≥ H(x , u(x ), 22 (x − y )) − H(y , v(y ), 22 (x − y )) ≥ γ(u(x ) − v(y )) + H(x , v(y ), 22 (x − y )) − H(y , v(y ), 22 (x − y )) ≥ γM − C(1 + 22 |x − y |)|x − y | Lorsque → 0+ , on obtient, grˆ ace au lemme, que 0 ≥ γM , ce qui est impossible. QED

17

5

Preuve du principe de comparaison pour le second ordre

Cette partie est consacrée ` a la démonstration du principe de comparaison pour le problème elliptique (18)

H(u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0

x∈Ω

Nous suivons ici (pratiquement) la preuve originale de Jensen [12]. Nous mettrons ainsi en évidence les principales techniques employées dans le cas du second ordre : pénalisation, régularisation par inf- et supconvolution, conditions nécessaires d’optimalité pour les fonctions semi-convexes. Lorsque, dans le chapitre suivant, nous reviendrons ` a des énoncés plus généraux du principe de comparaison, ces idées seront cachées dans le “lemme matriciel” d’Ishii. Dans toute cette partie, nous supposerons que Ω est un sous-ensemble ouvert et borné de IRN , que H est elliptique et continue, et qu’il existe γ > 0 tel que (19)

H(t, p, X) − H(s, p, X) ≥ γ(t − s) si t > s

∀(s, t, p, X) ∈ IR × IR × IRN × SN .

Rappelons d’abord le théorème que nous allons prouver : Th´ eor` eme 5.1 Si u et v sont respectivement une sous- et une sur-solution de (18), et si u ≤ v dans ∂Ω, alors u ≤ v dans Ω. La démonstration débute exactement comme la démonstration dans le premier ordre. On raisonne par l’absurde, en supposant qu’il existe un point x tel que u(x) > v(x). On considère alors M := sup(u − v)(x) > 0 . x∈Ω

Puis, comme dans le premier ordre, on introduit un dédoublement de variables : w (x, y) = u(x) − v(y) −

1 kx − yk2 . 2

Le lemme 4.2 du chapitre précédent affirme alors que, pour > 0 assez petit, on peut trouver un point de maximum (x , y ) de w dans Ω × Ω, et que w (x , y ) converge vers M . Essayons de poursuivre la démonstration comme dans le premier ordre : comme la fonction x → u(x) − [v(y ) + 12 kx − y k2 ] possède un maximum en x , on se sert de la fonction φ(x) = v(y ) + 12 kx − y k2 comme fonction-test pour obtenir, puisque u est sous-solution, (20)

H(u(x ),

2 2 (x − y ), 2 IN ) ≤ 0 . 2

Symétriquement, la fonction y → v(y) − [u(x ) − 12 ky − x k2 ] possède un minimum en y , et donc, comme v est sur-solution, 2 2 (21) H(v(y ), 2 (x − y ), − 2 IN ) ≥ 0 . Contrairement ` a ce qui se passe dans le premier ordre, faire la différence entre (20) et (21) ne donne rien : il est impossible de se débarrasser du terme d’ordre 2. L’idée centrale de la démonstration de Jensen est de régulariser les fonctions u et v de sorte que celles-ci deviennent “presque” 2 fois dérivables. La bonne régularisation est ici l’inf- et la sup-convolution, et la régularité obtenue est la semi-convexité. Nous discutons de ces notions dans les parties suivantes, avant de compléter la preuve du théorème.

18

5.1

Semi-convexit´ e

D´ efinition 5.2 On dit qu’une fonction w est semi-convexe dans un ouvert Ω ⊂ IRN s’il existe une constante M ≥ 0 telle que, pour tout x, y ∈ Ω, tel que [x, y] ⊂ Ω, on a w(λx + (1 − λ)y) ≤ λw(x) + (1 − λ)w(y) + M λ(1 − λ)kx − yk2

∀λ ∈ [0, 1] .

Une fonction w est semi-concave si −w est semi-convexe. Lorsque w est semi-convexe, toute constante M vérifiant l’inégalité ci-dessus est appelée “constante de semi-convexité”. Lorsque M = 0, on retrouve naturellement la notion classique de convexité. Remarquons le lien suivant avec la convexité, dont la démonstration est immédiate : Lemme 5.3 Une fonction w est semi-convexe de constante M dans un ouvert Ω, si et seulement si, la fonction x → w(x) + M kxk2 est convexe dans Ω. En particulier la sommee de deux fonctions semi-convexes est semi-convexe. (Par convexe dans Ω, nous voulons dire : convexe dans tous les sous-ensembles convexes de Ω) Nous aurons besoin plus loin du théorème d’Alexandrov, qui affirme qu’une fonction convexe (ou semiconvexe) est deux fois dérivable presque partout. Th´ eor` eme 5.4 (Alexandrov) Soit w une fonction semi-convexe de constante M dans un ouvert Ω. Alors il existe un ensemble négligeable (pour la mesure de Lebesgue) A tel que, pour tout x ∈ Ω\A, w possède un DL d’ordre 2 en x, i.e, il existe (p, X) ∈ IRN × SN tel que w(y) = w(x)+ < p, y − x > +

1 < X(y − x), (y − x) > +o(ky − xk2 ) 2

De plus X ≥ −2M IN . Voir par exemple [9]. Par abus de notation, nous noterons toujours Dw(x) = p et D2 w(x) = X. La clé de la preuve du théorème de comparaison est le théorème 5.5 suivant, appelé “principe du maximum de Jensen”. Afin d’énoncer ce résultat, nous devons introduire quelques notations. Soit w une fonction semiconvexe de constante M dans une boule ouverte Br (x0 ) (de centre x0 ∈ IRN et de rayon r > 0), continue dans la boule fermée Br (x0 ). On suppose que α := w(x0 ) − max w > 0 . ∂Br (x0 )

Pour tout δ > 0, on pose (22)

Eδ = {x ∈ Br (x0 ) | ∃p ∈ IRN , kpk ≤ δ, w(y) ≤ w(x)+ < p, y − x >

∀y ∈ Br (x0 )} .

Notons que si x ∈ Eδ et si w possède un DL d’ordre 2 en x, alors (23)

kDw(x)k ≤ δ ,

D2 w(x) ≤ 0 et

w(y) ≤ w(x)+ < Dw(x), y − x >

∀y ∈ Br (x0 ) .

En effet, comme x ∈ Eδ , il existe p ∈ IRN tel que kpk ≤ δ et w(y) = w(x)+ < Dw(x), y − x > +

1 < D2 w(x)(y − x), (y − x) > +o(ky − xk2 ) ≤ w(x)+ < p, y − x > 2

pour tout y ∈ Br (x0 ). Ceci implique que p = Dw(x) et D2 w(x) ≤ 0, et les relations (23) s’ensuivent immédiatement. Th´ eor` eme 5.5 Pour tout δ ∈]0, αr [, l’ensemble Eδ a une mesure strictement positive. Plus précisément, |Eδ | ≥

ωN δN (2M )N

∀δ ∈]0,

α [, r

o` u |Eδ | désigne la mesure de Lebesgue de Eδ , ωN le volume de la boule unité de IRN . 19

Mentionnons tout de suite pourquoi ce résultat nous intéresse. Corollaire 5.6 Si une fonction semi-convexe w possède un maximum local strict en un point x0 , alors il existe une suite de points (xn ) qui converge vers x0 , telle que w possède un DL d’ordre 2 en xn , avec Dw(xn ) → 0

et

D2 w(xn ) ≤ 0 .

Preuve : Puisque x0 est un point de maximum strict de w, il existe r > 0 tel que x0 est l’unique point de maximum de w dans Br (x0 ). Posons α = maxx∈∂Br (x0 ) (w(x0 ) − w(x)) > 0. Pour δ > 0, définissons Eδ par (22). Soit A un ensemble de mesure nulle tel que w possède un DL d’ordre 2 en tout point n’appartenant pas à A. Pour tout n > 0, il existe xn ∈ E1/n \A car E1/n est de mesure positive et A de mesure nulle. D’après (23), on a que kDw(xn )k ≤ 1/n, D2 w(xn ) ≤ 0 et w(y) ≤ w(xn )+ < Dw(xn ), y − xn >

∀y ∈ Br (x0 ) .

Cette dernière relation implique que, lorsque n → +∞, toute valeur d’adhérence de la suite bornée (xn ) converge vers un maximum de w sur Br (x0 ). Or x0 est l’unique point de maximum de w dans Br (x0 ), ce qui prouve que (xn ) tend vers x0 . QED Il sera utile par la suite de relaxer l’hypothèse de maximum “strict” : Corollaire 5.7 Si une fonction semi-convexe w possède un maximum local en un point x0 , alors il existe une matrice X ∈ SN et une suite de points (xn ) qui converge vers x0 , telles que w possède un DL d’ordre 2 en xn , avec Dw(xn ) → 0 et D2 w(xn ) → X ≤ 0 . Preuve : On applique le corollaire précédent à la fonction semi-convexe wk (x) = w(x) − k1 kx − x0 k2 qui possède un maximum local strict en x0 : il existe une suite de points xnk qui converge vers x0 lorsque n → +∞, et telle que wk possède un DL d’ordre 2 en xnk , avec Dwk (xnk ) → 0 et D2 wk (xnk ) ≤ 0. Alors w possède aussi un DL d’ordre 2 en xnk , et Dw(xnk ) = Dwk (xnk ) + k2 (xnk − x0 ) → 0 tandis que D2 w(xnk ) ≤ k2 In . Comme, par semi-convexité, D2 wk (xnk ) ≥ −2M In , la suite (D2 w(xnk )) est bornée. On utilise maintenant un procédé diagonal pour trouver une matrice X ∈ SN et une suite (xk = xnk k ) qui converge vers x0 , telle que w possède un DL d’ordre 2 en xk , avec Dw(xk ) → 0

et

D2 w(xk ) → X ≤ 0 . QED 2

Preuve du th´ eor` eme 5.5 : Supposons dans un premier temps que w est de classe C . L’hypothèse de semi-convexité se traduit alors par D2 w(x) ≥ −2M IN pour tout x ∈ Br (x0 ). Soit x ∈ Eδ . Comme w est de classe C 2 , les relations (23) donnent que kDw(x)k ≤ δ. En particulier, Dw(Eδ ) ⊂ Bδ (0). Nous affirmons que, pour δ ∈]0, αr [, Dw(Eδ ) = Bδ (0). En effet, soit δ ∈]0, αr [, p ∈ IRN , kpk ≤ δ. Considérons un point de maximum x de la fonction y → w(y)− < p, y > dans Br (x0 ). Si on avait x ∈ ∂Br (x0 ), alors 0 ≤ (w(x)− < p, x >) − (w(x0 )− < p, x0 >) ≤ −α + kpkkx − x0 k ≤ −α + δr ce qui est impossible puisque δ < α/r. Donc x ∈ Br (x0 ) et la fonction y → w(y)− < p, y > possède un maximum en x, et donc x ∈ Eδ . Ceci entraˆıne que Dw(x) = p, et donc que p ∈ Dw(Eδ ). Nous avons donc montré que Dw(Eδ ) = Bδ (0), pour tout δ ∈]0, αr [, . Comme w est de classe C 2 dans Br (x0 ), on applique le théorème de l’aire (Voir [9] par exemple) pour obtenir, Z ωN δ N = |Bδ (0)| = |Dw(Eδ )| ≤

|det(D2 w(x))|dx .

Eδ

Or, pour tout x ∈ Eδ , −2M IN ≤ D2 w(x) ≤ 0. Donc |det(D2 w(x))| ≤ (2M )N , ce qui donne ωN δ N ≤ |Eδ |(2M )N . 20

En conclusion, |Eδ | ≥ ωN δ N /(2M )N , ce qui est le résultat désiré lorsque w est de classe C 2 . On revient maintenant au cas général, o` u w est continue dans Br (x0 ) et semi-convexe dans Br (x0 ) de constante M . Fixons r0 ∈]0, r[ suffisament proche de r pour que α0 = w(x0 ) − max w > 0 . ∂Br0 (x0 )

On régularise de classe C ∞ , positive et à support dans la boule unité, R w par convolution : soit φ une fonction N et telle que φ = 1. Posons φ (x) = φ(x/)/ . Pour tout < r − r0 , on définit w = w ∗ φ . Alors w est semi-convexe de constante M car, pour tout x, y ∈ Br0 (x0 ) et pour tout λ ∈ [0, 1], on a R w (λx + (1 − λ)y) = R w(λ(x − z) + (1 − λ)(y − z))φ (z)dz ≤ [λw(x − z) + (1 − λ)w(y − z) + M λ(1 − λ)kx − yk2 ]φ (z)dz = λw (x) + (1 − λ)w (y) + M λ(1 − λ)kx − yk2 . Comme w converge uniformément vers w dans Br0 (x0 ), α := w (x0 ) − max∂Br0 (x0 ) w tend vers α0 qui est strictement positif. Donc α est strictement positif pour tout > 0 suffisament petit, et on peut appliquer à w le résultat de la première partie : si on pose Eδ, = {x ∈ Br0 (x0 ) | ∃p ∈ IRN , kpk ≤ δ, w (y) ≤ w (x)+ < p, y − x >

∀y ∈ Br0 (x0 )} ,

on a |Eδ, | ≥ ωN δ N /(2M )N pour tout δ ∈]0, αr0 [. On affirme maintenant que (24)

\[

Eδ, n1 ⊂ Eδ0 := {x ∈ Br (x0 ) | ∃p ∈ IRN , kpk ≤ δ, w(y) ≤ w(x)+ < p, y − x > ∀y ∈ Br0 (x0 )}

k n≥k

T S En effet, soit x ∈ k n≥k Eδ, n1 . Pour tout k > 0, il existe n ≥ k et pn ∈ IRN tel que kpn k ≤ δ et w1/n (y) ≤ w1/n (x)+ < pn , y − x > pour tout y ∈ Br0 (x0 ). On peut extraire une sous-suite de (pn ) qui converge vers un certain p tel que kpk ≤ δ, et on a alors w(y) ≤ w(x)+ < p, y − x > pour tout y ∈ Br0 (x0 ), puisque w1/n tend uniformément vers w. Donc (24) est prouvé. De (24) on déduit que α0 |Eδ0 | ≥ ωN δ N /(2M )N ∀δ ∈]0, 0 [ . r 0 0 Lorsque r → r, Eδ tend en décroissant vers Eδ , et donc on a le résultat voulu puisque α0 → α. QED

5.2

Inf- et sup-convolutions

Soit K un sous-ensemble compact de IRN et u : K → IR une application SCS sur K. Pour tout α > 0, on définit la sup-convolution uα de u comme uα (x) = sup{u(y) −

1 kx − yk2 α

| y ∈ K}

∀x ∈ K .

De même, si v : K → IR est SCI, alors on définit l’inf-convolution de v par, pour tout α > 0, vα (x) = inf{v(y) +

1 kx − yk2 α

| y ∈ K}

∀x ∈ K .

Notons que vα = −(−v)α , ce qui nous permet par la suite de restreindre notre étude au cas de la sup-convolution. Lemme 5.8 Pour tout α > 0, uα est lipschitzienne dans K et semi-convexe de constante de K. 21

1 α

dans l’intérieur

Preuve : uα étant le supremum de la famille de fonctions {x → u(y) + α1 kx − yk2 | y ∈ K} qui est équilichitzienne puisque K est compact, on en déduit que uα est lipschitzienne dans K. De plus, uα est semi-convexe dans l’intérieur de K parce que uα (x) +

1 1 kxk2 = sup{u(y) − (kyk2 − 2 < x, y >) | y ∈ K} α α

qui est convexe, comme supremum de fonctions affines. QED Lemme 5.9 Pour tout α > 0, uα ≥ u et uα converge ponctuellement dans K vers u lorsque α tend vers 0+ . Plus précisément, pour tout x ∈ K, lim sup uα (xα ) = u(x) . α → 0+ xα → x Preuve : Le fait que uα ≥ u vient directement de la définition (prendre y = x). Fixons maintenant x ∈ K et xα → x. Nous allons montrer d’abord que lim supα→0+ uα (xα ) ≤ u(x). Comme u est SCS dans K compact, u est majoré par une constante M . De plus, pour tout α > 0, il existe yα ∈ K tel que uα (xα ) = u(yα ) − α1 kyα − xα k2 . Choisissons une suite αn telle que la suite extraite (yαn ) converge vers un certain y ∈ K. On peut aussi supposer, sans perte de généralité, que lim sup uαn (xαn ) = lim uαn (xαn ) > −∞. Alors 1 1 kyαn − xαn k2 ≤ M − kyαn − xαn k2 . uαn (xαn ) = u(yαn ) − αn αn Comme limn uαn (xαn ) > −∞, vers x. Alors

1 αn kyαn

− xαn k2 est borné, ce qui prouve que yαn tend vers x puisque xα tend

lim sup uαn (xαn ) ≤ lim sup u(yαn ) ≤ u(x) . Nous avons donc montré que lim sup uα (xα ) ≤ u(x). Pour prouver la convergence ponctuelle de uα vers u, on prend xα = x et on considère αn → 0+ et yαn tel que uαn (x) = u(yαn ) − α1n kyαn − xk2 . Alors u(x) ≤ lim inf uαn (x) ≤ lim sup uαn (x) ≤ lim sup u(yαn ) ≤ u(x) . Donc uα (x) tend vers u(x). Cela prouve finalement que lim sup uα (xα ) = u(x). QED On suppose maintenant que K = Ω, o` u Ω est un ouvert borné de IRN . Soit F : IR × IRN × SN → IR une application continue, elliptique et croissante par rapport à la première variable. Lemme 5.10 Soit u : Ω → IR une application SCS, sous-solution de l’équation F (u, Du, D2 u) = 0 dans Ω. Alors, pour tout k > 0 et pour tout α > 0, uα est encore une sous-solution de F (uα , Duα , D2 uα ) = 0 dans l’ouvert 1 O = {x ∈ Ω | uα (x) > −k, d∂Ω (x) > (α(M0 + k)) 2 } , o` u M0 = maxΩ u et d∂Ω (x) = inf y∈∂Ω ky − xk est la distance du point x au bord de Ω. Remarque : Le résultat symétrique est également vrai pour l’inf-convolution (utiliser le lien entre la sup- et l’inf-convolution et la proposition 2.4). Preuve : effet, comme

Soit x ∈ O et y ∈ Ω tel que uα (x) = u(y) − −k < uα (x) = u(y) −

1 α ky

− xk2 . Montrons d’abord que y ∈ Ω. En

1 1 ky − xk2 ≤ M0 − ky − xk2 α α

1

1

on a ky − xk < (α(M0 + k)) 2 , ce qui implique que y ∈ Ω, puisque d∂Ω (x) > (α(M0 + k)) 2 .

22

Soit φ une fonction-test telle que uα − φ possède un maximum local en un point x ∈ O, et y ∈ Ω tel que u (x) = u(y) − α1 ky − xk2 . Notons que z → u(z) − φ(z − y + x) possède un maximum local en y car, pour tout z suffisamment proche de y, on a α

u(z) − φ(z − y + x) = ≤ ≤ =

u(z) − α1 kz − (z − y + x)k2 + α1 ky − xk2 − φ(z − y + x) uα (z − y + x) + α1 ky − xk2 − φ(z − y + x) uα (x) − φ(x) + α1 ky − xk2 u(y) − φ(x) .

Comme u est une sous-solution de F (u, Du, D2 u) = 0 dans Ω, on obtient que F (u(y), Dφ(x), D2 φ(x)) ≤ 0. Or uα (x) ≤ u(y) et F est croissante par rapport à la première variable. Donc F (uα (x), Dφ(x), D2 φ(x)) ≤ 0, ce qui est le résultat désiré. QED Enfin nous aurons besoin plus loin d’une remarque qui a peu à voir avec la sup-convolution, quoique... Soit wα et w des fonctions SCS sur un compact K. Malgré l’ambiguité des notations, wα n’est pas nécessairement la sup-convolution de w. On suppose que wα ≥ w

∀α > 0 ,

et

lim sup wα (xα ) = w(x) . α → 0+ xα → x

Lemme 5.11 Pour tout > 0, il existe α0 > 0 tel que, pour tout α ∈]0, α0 [, pour tout point de maximum xα de wα , il existe x point de maximum de w tel que kxα − xk ≤ . De plus, lim max wα = max w .

α→0+

K

K

Preuve : En effet, si xα est un point de maximum de wα et xαn tend vers un point x, alors max w ≤ max wαn = wαn (xαn ) , K

K

et donc max w ≤ lim inf max wαn ≤ lim sup max wαn ≤ lim sup wαn (xαn ) ≤ w(x) . K

K

K

n

Ceci montre que x est un point de maximum de w et que maxK w vient alors juste de la compacité de K.

αn

tend vers maxK w. La preuve du lemme QED

5.3

Preuve du th´ eor` eme de comparaison

Nous complétons maintenant la preuve du théorème 5.1. Soit u et v, respectivement sous- et sur-solutions de F (u, Du, D2 u) = 0 dans l’ouvert borné Ω, avec u ≤ v dans ∂Ω. On cherche à montrer que u ≤ v dans Ω. Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant que M := sup(u − v)(x) > 0 . x∈Ω

On introduit le dédoublement de variables : w (x, y) = u(x) − v(y) −

1 kx − yk2 . 2

D’après le lemme 4.2, pour tout > 0 suffisament petit, maxΩ×Ω w est strictement positif et il existe θ > 0 (indépendant de ) tel que, pour tout point de maximum (x , y ) de w , on a d∂Ω (x ) ≥ θ et d∂Ω (y ) ≥ θ. A partir de maintenant, on fixe un tel > 0.

23

Introduisons une nouvelle régularisation : pour tout α > 0, on pose w,α (x, y) = uα (x) − vα (y) −

1 kx − yk2 , 2

o` u uα et vα sont respectivement les sup- et inf-convolutions de u et v dans Ω. Alors, d’après le lemme 5.8, w,α est semi-convexe dans Ω × Ω. D’après le lemme 5.9, w,α ≥ w

et

lim sup w,α (xα , yα ) = w (x, y) . α → 0+ xα → x, yα → y

Enfin, le lemme 5.11 implique que, si (xα , yα ) est un point de maximum de w,α dans Ω × Ω, alors (xα , yα ) est proche d’un point de maximum (x , y ) de w pourvu que α > 0 soit suffisament petit. En particulier, d∂Ω (xα ) > θ/2 et d∂Ω (yα ) > θ/2 pour tout α > 0 suffisament petit. De plus, lim max w,α = max w > 0 .

α→0+ Ω×Ω

Ω×Ω

Montrons maintenant que (uα (xα )) et (vα (yα )) sont bornés indépendamment de α → 0+ . Comme u est SCS dans Ω et v SCI dans Ω, il existe une constante M0 telle que u ≤ M0 et v ≤ −M0 dans Ω. Alors uα ≤ M0 et vα ≥ −M0 dans Ω. Comme, pour α > 0 suffisament petit, uα (xα ) − vα (yα ) −

1 kxα − yα k2 = max w,α > 0 , 2 Ω×Ω

on a uα (xα ) > −M0 et vα (yα ) < M0 , ce qui prouve (uα (xα )) et (vα (yα )) sont bornés indépendamment de α → 0+ . Donc, pour α assez petit, xα appartient à Oα = {x ∈ Ω | uα (x) > −M0

et

1

d∂Ω (x) > (2M0 α) 2 }

tandis que yα appartient ` a Oα = {y ∈ Ω | vα (y) < M0

et

1

d∂Ω (y) > (2M0 α) 2 } .

Par conséquent nous venons de montrer que, pour α > 0 assez petit, la fonction w,α possède un maximum strictement positif dans l’ouvert Oα × Oα . A partir de maintenant, on fixe un tel α > 0 et on note (¯ x, y¯) un tel point de maximum. Comme w,α est semi-convexe, le corollaire 5.7 affirme qu’il existe une suite ((xn , yn )) qui converge vers (¯ x, y¯) et telle que w,α possède un DL d’ordre 2 en (xn , yn ), avec Dw,α (xn , yn ) → 0

et

D2 w,α (xn , yn ) → A ≤ 0

o` u A ∈ S2N . Notons que, vu la structure de w,α , uα et vα ont également un DL d’ordre 2 respectivement en xn et en yn avec Dw,α (xn , yn ) = (Duα (xn ) − et 2

D w,α (xn , yn ) =

2 1 (xn − yn ), −Dvα (yn ) + 2 (xn − yn )) 2

D2 uα (xn ) 0 0 −D2 vα (yn )

2 − 2

IN −IN

−IN IN

.

Comme Dw,α (xn , yn ) tend vers 0 quand n → +∞, Duα (xn ) et Dvα (yn ) tendent vers 22 (¯ x − y¯). De plus, comme D2 w,α (xn , yn ) tend vers A quand n → +∞, les matrices D2 uα (xn ) et D2 vα (yn ) convergent respectivement vers une matrice X et Y avec 2 X 0 IN −IN A= − 2 ≤0 0 −Y −IN IN Cela implique en particulier que X ≤ Y (le vérifier en testant A contre des vecteurs de la forme (z, z)). 24

D’après le lemme 5.10, uα est une sous-solution de (18) dans Oα . Comme uα possède un DL d’ordre 2 en xn qui appartient ` a Oα , le lemme 2.3 donne que H(uα (xn ), Duα (xn ), D2 uα (xn )) ≤ 0 . Lorsque n → +∞, cela implique que H(uα (¯ x),

(25)

2 (¯ x − y¯), X) ≤ 0 . 2

De même, vα étant une sur-solution de (18) dans Oα , H(vα (yn ), Dvα (yn ), D2 vα (yn )) ≥ 0 , ce qui implique, lorsque n → +∞, que (26)

H(vα (¯ y ),

2 (¯ x − y¯), Y ) ≥ 0 . 2

Calculant la différence entre (25) et (26), on obtient, en tenant compte de l’hypothèse (19) et du fait que X ≤Y, x − y¯), X) − H(vα (¯ y ), 22 (¯ x − y¯), Y ) 0 ≥ H(uα (¯ x), 22 (¯ 2 α ≥ γ(u (¯ x) − vα (¯ y )) + H(vα (¯ y ), 2 (¯ x − y¯), X) − H(vα (¯ y ), 22 (¯ x − y¯), Y ) α ≥ γ(u (¯ x) − vα (¯ y )) ≥ w,α (¯ x, y¯) > 0 d’o` u une contradiction. QED

25

6

Quelques r´ esultats d’unicit´ e classiques

L’objet de ce chapitre est d’indiquer (sans démonstration) quelques résultats de comparaison typiques que l’on peut trouver dans la littérature sur les solutions de viscosité. Les résultats cités sont—hélas—loin d’être optimaux : chacun fait l’objet de mille variantes, suivant le problème à étudier... Les références données visent seulement ` a indiquer au lecteur des ouvrages généraux dans lesquels on peut trouver ces résultats. Dans tout ce qui suit, il sera sous-entendu que la fonction H = H(x, u, Du, D2 u) (ou H = H(t, x, Dx u, Dx2 u)) est elliptique, au sens o` u H(x, u, Du, X) ≥ H(x, u, Du, Y ) si X ≤ Y .

6.1 6.1.1

Equations du premier ordre Equations de type stationnaire: ouvert born´ e

L’équation est H(x, u, Du) = 0

dans Ω

o` u Ω est un ouvert born´ e de IRN et H : Ω × IR × IRN → IR vérifie les conditions • (H1) Pour tout R > 0 il existe γR > 0 tel que H(x, u, p) − H(x, v, p) ≥ γR (u − v) pour tout x ∈ Ω, −R ≤ v ≤ u ≤ R et p ∈ IRN • (H2) Pour tout R > 0, il existe un module1 mR tel que |H(x, u, p) − H(y, u, p)| ≤ mR (|x − y|(1 + kpk)) pour tout x, y ∈ Ω, −R ≤ u ≤ R et p ∈ IRN Th´ eor` eme 6.1 ([3], th´ eor` eme 4.2) Sous les hypothèses (H1) et (H2), si u est une sous-solution dans Ω et v est une sur-solution, et si u ≤ v dans ∂Ω, alors u ≤ v dans Ω. De plus, le résultat reste vrai si H est continue et si l’hypothèse (H2) est remplacée par u ou v est dans W 1,∞ (Ω). La preuve de ce résultat est identique à celle donnée dans la partie 4. Une variante possible est la suivante (c’est toujours le théorème 4.2 de [3]) : le résultat reste vrai si on suppose que H = H(x, p) vérifie (H2), si H(x, u, ·) est convexe en p, et s’il existe une fonction φ ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) avec H(x, Dφ(x)) ≤ −α < 0 pour tout x ∈ Ω (i.e., s’il existe une sous-solution classique stricte). 6.1.2

Equations de type stationnaire: cas de IRN

L’équation est la même que précédemment, mais avec Ω = IRN . Bien noter qu’alors on ne peut espérer avoir des résultats de comparaison sans hypothèses additionnelles sur u et v. Par exemple, pour l’équation, pourtant très “gentille” : −|u0 | + u = 0 dans Ω = IR, les fonctions 0, ex et e−x sont toutes trois des solutions classiques. La solution ` a cette difficulté est de se restreindre a` des solutions qui ont un certain type de croissance : Th´ eor` eme 6.2 ([3], th´ eor` eme 4.3) On suppose que H vérifie (H1), (H2) et que H est uniformément continue dans IRN × [−R, R] × BR pour tout R > 0. Soit u une sous-solution major´ ee et v est une sur-solution minor´ ee. Alors u ≤ v dans IRN . 1 C’est-` a-dire

une fonction de IR+ dans IR+ qui tend vers 0 en 0+ .

26

Ce théorème n’est qu’un exemple de résultat dans un ouvert non borné : lorsque Ω n’est pas égal à IRN tout entier, il faut naturellement ajouter des conditions au bord (de type Dirichlet par exemple). Pour prouver le théorème 6.2, on utilise toujours l’idée de dédoublement des variables, mais cette fois avec un terme de pénalisation de l’infini : soit > 0, α > 0 et w,α (x, y) = u(x)−v(y)− 12 kx−yk2 −α(kxk2 +kyk2 ). Alors w,α possède un point de maximum (x,α , y,α ) sur IRN . Le point-clé de la démonstration consiste à montrer l’équivalent du lemme 4.2 dans ce cas. Lemme 6.3 On peut trouver des suites n → 0+ , αn → 0+ telles que 1. lim wn ,αn (xn ,αn , yn ,αn ) = supΩ (u − v) 2. lim 12 kxn ,αn − yn ,αn k2 = 0 n

3. lim αn (kxn ,αn k2 + kyn ,αn k2 ) = 0 L’idée pour cela est de faire tendre d’abord , puis α, vers 0. L’uniforme continuité est utilisée pour palier aux difficultés engendrées par la non bornitude des suites (xn ,αn , yn ,αn ). 6.1.3

Equations d’´ evolution

Pour en finir avec le premier ordre, on considère une équation de la forme : ut + H(t, x, u, Du) = 0

dans (0, T ) × Ω

o` u Ω est un ouvert born´ e de IRN et H : (0, T ) × Ω × IR × IRN → IR. On suppose que H est continue et vérifie les hypothèses suivantes : • (H1bis) Pour tout R > 0 il existe γR ∈ IR tel que H(t, x, u, p) − H(t, x, v, p) ≥ γR (u − v) pour tout t ∈ [0, T ], x ∈ Ω, −R ≤ v ≤ u ≤ R et p ∈ IRN • (H2bis) Pour tout R > 0, il existe un module mR tel que |H(t, x, u, p) − H(t, y, u, p)| ≤ mR (kx − yk(1 + kpk)) pour tout t ∈ [0, T ], x, y ∈ Ω, −R ≤ u ≤ R et p ∈ IRN Th´ eor` eme 6.4 ([3], th´ eor` eme 4.8) Si u une sous-solution et v est une sur-solution, et si u ≤ v dans ({0} × Ω) ∪ ([0, T ] × ∂Ω]), alors u ≤ v dans [0, T ] × Ω. Bien noter que l’hypothèse (H1) exclut le cas des équations de transport comme l’équation de Burger. Lorsque l’on travaille dans Ω = IRN (par exemple), le résultat reste vrai à condition de supposer de plus que H est uniformément continu dans [0, T ] × IRN × [−R, R] × BR pour tout R > 0, et que u(0, x) ≤ u0 (x) ≤ v(0, x), avec u0 bornée et uniformément continue. La preuve du théorème 6.4 est sensiblement identique à celle esquissée pour le théorème 6.1. Il y a cependant 3 idées supplémentaires : la première est que l’on n’a pas besoin de mettre de condition en t = T , car u (respectivement v) est une sous-solution (resp. sur-solution) sur ]0, T ] × Ω. Ensuite on note qu’en faisant un changement de fonction u → e−λt u pour un λ > 0 assez grand, on se ramène à un H vérifiant (H1) avec γR > 0. Enfin, comme les rˆ oles du temps et de l’espace ne sont pas symétriques, on est conduit à considérer des termes de pénalisation de la forme w,η (s, x, t, y) = u(x) − v(y) − 1 kx − yk2 − η1 |t − s|2 avec η très petit devant .

27

6.2

Equations du second ordre

Nous nous tournons maintenant vers les équations d’ordre 2, en étudiant successivement les problèmes avec conditions au bord de type Dirichlet dans un ouvert borné, dans un ouvert non borné, les problèmes avec conditions au bord de type Neumann, et enfin les équations d’évolution. Auparavant, nous énon¸cons un résultat-clé dans les démonstrations de principe de comparaison. Ce résultat, appelé parfois ”lemme matriciel”, explique largement les hypothèses de structure que nous ferons par la suite sur les équations. 6.2.1

Le “lemme matriciel” d’Ishii

Avant de formuler le lemme en question, nous devons expliquer ce que sont les sur- et sous-différentiels d’ordre 2. Soit u une fonction SCS. Le sur-différentiel d’ordre 2 de u au point x est l’ensemble J 2,+ u(x) défini par J 2,+ u(x) = {(p, X) ∈ IRN × SN | u(y) ≤ u(x)+ < p, y − x > +

1 < X(y − x), (y − x) > +o(ky − xk2 ) } . 2

On définit aussi sa fermeture comme étant J

2,+

u(x) = {(p, X) ∈ IRN × SN | ∃xn → x , ∃(pn , Xn ) ∈ J 2,+ u(xn ) avec (pn , Xn ) → (p, X) } .

De même on pose, pour toute fonction v SCI et pour tout x, J 2,− v(x) = {(p, X) ∈ IRN × SN | v(y) ≥ v(x)+ < p, y − x > + et J

2,−

1 < X(y − x), (y − x) > +o(ky − xk2 ) } 2

v(x) = {(p, X) ∈ IRN × SN | ∃xn → x , ∃(pn , Xn ) ∈ J 2,− v(xn ) avec (pn , Xn ) → (p, X) } .

Notons que J 2,− v(x) = −J 2,+ (−v)(x) ainsi que J

2,−

v(x) = −J

2,+

(−v)(x).

L’intérêt des sur- et sous-différentiels est de remplacer les fonctions-test dans les définitions de sur– et sous-solution de viscosité. En effet, Lemme 6.5 On suppose que H : Ω × IR × IRN × SN → IR est une application continue. Soit u une fonction SCS dans un ouvert Ω. Alors u est sous-solution de l’équation H(x, u(x), Du(x), D2 u(x)) = 0 dans Ω, si et seulement si, pour tout x ∈ Ω, ∀(p, X) ∈ J 2,+ u(x) ,

H(x, u(x), p, X) ≤ 0 .

Preuve : Par continuité de H, il suffit de montrer que u est sous-solution, si et seulement si, pour tout x ∈ Ω, ∀(p, X) ∈ J 2,+ u(x), H(x, u(x), p, X) ≤ 0. La preuve de cette assertion est exactement la même que celle du lemme 2.3. QED Nous sommes maintenant prêts ` a énoncer le lemme matriciel. L’intérêt de ce lemme est de contenir toute la partie de régularisation par inf- et sup-convolution que nous avions dˆ u faire dans la démonstration du principe de comparaison. Th´ eor` eme 6.6 ([7], Theorem 3.2) Soit Ω un ouvert de IRN , u SCS dans Ω, v SCI dans Ω et φ : Ω × Ω → IR une fonction de classe C 2 . On suppose que la fonction w(x, y) = u(x) − v(y) − φ(x, y) possède un maximum local en un point (¯ x, y¯) ∈ Ω × Ω. Alors, pour tout η > 0, il existe X ∈ SN , Y ∈ SN tels que 2,+ 2,− (Dφx (¯ x, y¯), X) ∈ J u(¯ x), (−Dφy (¯ x, y¯), Y ) ∈ J v(¯ y ), et 1 X 0 − + kAk I2N ≤ ≤ A + ηA2 , 0 −Y η o` u A = D2 φ(¯ x, y¯) et kAk est la plus grande valeur propre de A en valeur absolue. On peut trouver une démonstration de ce résultat dans [7], o` u il est établi sous une forme plus générale. La preuve utilise comme ingrédient essentiel le principe du maximum de Jensen et la régularisation par sup-convolution. 28

6.2.2

Probl` eme de Dirichlet

L’équation est de la forme H(x, u, Du, D2 u) = 0

dans Ω

o` u Ω est un ouvert born´ e de IRN et H : Ω × IR × IRN × SN → IR vérifie les conditions • (H1’) Il existe γR > 0 tel que H(x, u, p, X) − H(x, v, p, X) ≥ γR (u − v) pour tout x ∈ Ω, v ≤ u, p ∈ IRN et X ∈ SN • (H2’) Il existe un module m(·) tel que | H(y, u, α(x − y), Y ) − H(x, u, α(x − y), X) | ≤ m(αkx − yk2 + kx − yk) pour tout α > 0, x, y ∈ Ω, u ∈ IR, X, Y ∈ SN tels que IN 0 X 0 IN −3α ≤ (27) ≤ 3α 0 IN 0 −Y −IN

−In IN

.

Th´ eor` eme 6.7 ([7], th´ eor` eme 3.3) Sous les hypothèses (H1’) et (H2’), si u est une sous-solution dans Ω et v est une sur-solution, et si u ≤ v dans ∂Ω, alors u ≤ v dans Ω. Preuve : Nous donnons une preuve rapide de ce résultat afin d’illustrer l’utilisation du lemme matriciel et d’expliquer l’hypothèse (un peu curieuse) (H2’). Comme toujours, on raisonne par l’absurde en supposant que maxΩ (u−v) > 0. On utilise le dédoublement de variables habituel w (x, y) = u(x) − v(y) − 12 kx − yk2 . Le lemme 4.2 affirme que, pour > 0 suffisament petit, il existe (x , y ) ∈ Ω×Ω point de maximum de w et que w (x , y ) tend vers maxΩ (u−v). On applique alors le lemme matriciel 6.6 ` a w : pour η = 2 /2, il existe X ∈ SN , Y ∈ SN tels que ( 22 (x − y ), X) ∈ J

2,+

u(x ), ( 22 (x − y ), Y ) ∈ J

2,−

− o` uA=

IN −IN

−IN IN

v(y ), et 1 X + kAk I2N ≤ 0 η

, et donc A2 =

deviennent

4 2 A

−3αI2N ≤

X 0

et kAk = 0 −Y

0 −Y 4 2 .

≤ A + ηA2 ,

Si on pose α = 2/2 , les inégalités précédentes

≤ 3α

IN −IN

−IN IN

.

Nous venons donc de montrer que X et Y vérifient (27). L’hypothèse (H2’) affirme alors que (28)

2 2 2 | H(y , v(y ), (x − y ), Y ) − H(x , v(y ), (x − y ), X) | ≤ m( 2 kx − y k2 + kx − y k)

Mais, d’autre part, comme u est une sous-solution et v est une sous-solution, 2 2 0 ≥ H(x , u(x ), (x − y ), X) − H(y , v(y ), (x − y ), Y ) . On utilise maintenant l’hypothèse (H1’) et l’inégalité (28) pour obtenir 0 ≥ γ(u(x ) − v(y )) + H(x , v(y ), 2 (x − y ), X) − H(y , v(y ), 2 (x − y ), Y ) ≥ γ(u(x ) − v(y )) − m( 22 kx − y k2 + kx − y k) . Lorsque tend vers 0+ , les termes 22 kx − y k2 et kx − y k tendent vers 0 d’après le lemme 4.2, et (u(x ) − v(y )) tend vers maxΩ (u − v) qui est strictement positif. D’o` u une contradiction. 29

QED Voici quelques exemples de fonctions H vérifiant les hypothèses du théorème. Exemples : (voir aussi la discussion dans [4]) • Equations semilin´ eaires : Un terme de la forme H(x, u, p, X) = −T r(σ(x)σ T (x)X) vérifie (H2’) N ×P dès que σ : Ω → IR est lipschitzienne dans Ω. En effet, si α, X et Y vérifient (27), en multipliant les deux membres de droite de cette inégalité par la σ(x)σ T (x) σ(x)σ T (y) matrice positive et en prenant la trace des deux matrices ainsi obtenues, σ(y)σ T (x) σ(y)σ T (y) on trouve T r(σ(x)σ T (x)X − σ(y)σ T (y)Y ) ≤ 3αT r[(σ(x) − σ(y))(σ T (x) − σ T (y))] , ce qui donne l’inégalité désirée lorsque σ est lipschitzienne. • Equations quasilin´ eaires : un autre exemple de fonctions vérifiant (H2’) est la classe des fonctions de la forme H(x, u, p, X) = −T r(a(p)X)), o` u a : IRN → IRN ×N vérifie < a(p)ξ, ξ >≥ 0 pour tout N ξ ∈ IR . • Equations quasilin´ eaires g´ en´ erales : les fonctions de la forme H(x, u, p, X) = −T r[A(x, p)X] + F (x, u, p), o` u A(x, p) + AT (x, p) = σ(x, p)σ T (x, p) 2 avec σ continue, Lipschitzienne en x uniformément en p, et o` u F satisfait (H1) et (H2), vérifient toutes les conditions (H1’) et (H2’). • Le cas uniform´ ement elliptique : On dit H = F (X) − f (x) est uniformément elliptique s’il existe deux constantes λ > 0 et Λ > 0 telles que F (X) − ΛkN k ≤ F (X + N ) ≤ F (x) − λkN k pour toute matrice X ∈ SN et toute matrice positive N ∈ SN . Le principe de comparaison est vrai pour cette classe d’opérateurs, sans autre hypothèse sur H que la continuité et l’uniforme ellipticité. En effet, on remarque d’abord que uα,β (x) = u(x)+αkxk2 −β est une sous-solution de F (D2 w)−f (x)−2λα = 0 pour tout α > 0 et que l’on peut choisir β de sorte que uα,β ≤ v sur ∂Ω. Puis une adaptation directe de la preuve du théorème 6.7 montre que uα,β ≤ v dans Ω, et on conclut la démonstration en laissant α → 0, puis β → 0. 6.2.3

Conditions au bord de type Neumann

On considère une équation de la forme H(x, u, Du, D2 u) = 0 (29) ∂u ∂nx + f (x, u) = 0

dans Ω sur ∂Ω

o` u Ω est un ouvert borné de bord régulier, nx est la normale extérieure à Ω en x ∈ ∂Ω, o` u f : Ω × IR → IR est continue, croissante en u, et o` u H satisfait (H1’), H est uniformément continue dans un voisinage de ∂Ω × IR × IRN × SN et vérifie • (H2”) Il existe un module m(·) tel que H(y, u, p, Y ) − H(x, u, p, X) ≤ m(αkx − yk2 + kx − yk(1 + kpk) ) pour tout α > 0, x, y ∈ Ω, u ∈ IR, p ∈ IRN , X, Y ∈ SN tels que (27) est vérifié. Expliquons d’abord ce que signifie la condition au bord.

30

D´ efinition 6.8 On dit que u est une sous-solution de (29) si u est SCS dans Ω, u est sous-solution de H(x, u, Du, D2 u) = 0 dans Ω et si, pour toute fonction φ de classe C 2 telle que u − φ a un maximum local en un point x ∈ ∂Ω, on a min{< Dφ(x), nx > +f (x, u(x)) , H(x, u(x), Dφ(x), D2 φ(x))} ≤ 0. De même, u est une sur-solution de (Neumann) si u est SCI dans Ω, u est sur-solution de H(x, u, Du, D2 u) = 0 dans Ω et si, pour toute fonction φ de classe C 2 telle que u − φ a un minimum local en un point x ∈ ∂Ω, on a max{< Dφ(x), nx > +f (x, u(x)) , H(x, u(x), Dφ(x), D2 φ(x))} ≥ 0. Th´ eor` eme 6.9 ([7], th´ eor` eme 7.5) Sous les hypothèses ci-dessus, si u est une sous-solution dans Ω et v est une sur-solution, alors u ≤ v dans Ω. Une extension de ce résultat pour des conditions de Neumann beaucoup plus générales peut être trouvée dans [4], théorème 7.1. 6.2.4

Equations d’´ evolution

L’équation est de la forme ut + H(t, x, u, Du, D2 u) = 0

dans (0, T ) × Ω

Th´ eor` eme 6.10 (Partie 4.4 de [4]) On suppose que H : [0, T ] × Ω × IR × IRN × SN → IR est continue, vérifie (H1’) avec γR ∈ IR, (H2’) pour tout t fixé avec le même module m(·). Si u est une sous-solution et v une sur-solution, et si u ≤ v dans ({0} × Ω) ∪ ([0, T ] × ∂Ω), alors u ≤ v dans ]0, T [×Ω. Le point-clé pour cela est une extension du “lemme matriciel” au cas parabolique : voir théorème 8.3 de [7].

31

7

Evolutions g´ eometriques

Dans cette partie nous décrivons l’approche par lignes de niveau d’évolutions géométriques, telles que le mouvement par courbure moyenne. Toute cette partie est largement inspirée de [1].

7.1

Quelques rappels sur les ´ evolutions r´ eguli` eres

On rappelle d’abord la définition d’évolutions régulières d’une famille d’hypersurfaces Σt de IRN évoluant suivant une loi de la forme Vx = h(νx , Ax ), o` u Vx est la vitesse normale d’un point x de l’hypersurface Σt , νx est la normale extérieure ` a Σt en x et Ax la courbure, avec convention de signe qu’un convexe a une courbure négative. Soit (Σt )t∈I une famille d’hypersurfaces orientées de IRN indexée par le temps t, avec t ∈ I o` u I est un intervalle ouvert de [0, +∞[. On supposera qu’à chaque instant Σt est le bord d’un ouvert Ot de IRN , ce qui permettra plus loin de parler deSnormale extérieure. On dit que la famille (Σt ) évolue régulièrement en temps sur l’intervalle I si l’ensemble t∈I {t} × Σt est une sous-variété de ]0, T [×IRN de classe C 2 (et de dimension N ) et si la normale extérieure (nt , nx ) ` a cet ensemble en tout point (t, x) de cet ensemble (i.e., x ∈ Σt ) vérifie nx 6= 0. La vitesse normale Vx de ce point x ` a l’instant t sera alors donnée par Vx = −nt /knx k. De fa¸con équivalente, Vx est le réel tel que x + hV νx + o(h) ∈ Σt+h

pour tout h petit

o` u νx = nx /knx k est la normale unitaire extérieure à Σt en x. Soit h : S N −1 ×SN −1 → IR une loi d’évolution (ici S N −1 est la sphère unité de IRN et SN −1 est l’ensemble des matrices symétriques réelles de format N − 1). On dira que la famille (Σt )t∈I est une solution régulière de l’équation Vx = h(νx , Ax ) si cette égalité est satisfaite en tout point x de ∂Ot et pour tout t ∈ I. Mentionnons quelques résultats connus pour le mouvement par courbure moyenne (MCM), c’esta`-dire lorsque h(νx , Ax ) = T r(Ax ) (voir par exemple la monographie [17]). Il y a existence locale (en temps) d’une unique solution régulière pour une donnée initiale régulière fixée. De plus, on sait décrire le comportement des solutions dans certains cas. Lorsque la donnée initiale est convexe, la solution existe sur un intervalle maximal [0, τ [, reste convexe et régulière sur [0, τ [, et converge vers un point lorsque t tend vers τ − . De plus, la solution convenablement renormalisée converge vers la sphère lorsque t tend vers τ − . Dans le cas particulier du plan (N = 2), la solution ayant pour donnée initiale une courbe de Jordan régulière, non nécessairement convexe, devient convexe en temps fini, puis évolue comme indiqué ci-dessus. Par contre, en dimension supérieure ` a 3, l’évolution peut développer des singularités en temps fini. L’objet de ce chapitre est d’expliquer comment l’approche par lignes de niveau permet de définir les solutions après l’apparition des singularités.

7.2

L’approche par lignes de niveau

Supposons que (Σt = ∂Ot ) soit une solution régulière d’un problème d’évolution Vx = h(νx , Ax ) et qu’à chaque instant t, Σt puisse être décrite comme la ligne de niveau d’une fonction régulière. Plus précisément, on suppose qu’il existe une fonction u = u(t, x), régulière, telle que Ot = {x ∈ IRN | u(t, x) < 0} et Σt = ∂Ot = {x ∈ IRN | u(t, x) = 0} . On suppose de plus que Du(t, x) 6= 0 si u(t, x) = 0. Alors un calcul élémentaire montre que Vx = −

ut (t, x) , kDu(t, x)k

νx =

Du(t, x) kDu(t, x)k

32

et

Ax = −

D2 u(t, x)|Du⊥ kDu(t, x)k

(la dernière assertion signifie que Ax est égale à la restriction à Du⊥ , au sens des matrices symétriques, de D 2 u(t,x) la matrice − kDu(t,x)k ). Comme Vx = h(νx , Ax ) pour tout x ∈ ∂Ot et pour tout t, on a ! D2 u|Du⊥ Du (30) ut + kDukh ,− =0. kDuk kDuk Cela conduit naturellement ` a poser, pour tout p ∈ IRN \{0} et pour tout X ∈ SN , ! X|p⊥ p (31) ,− . H(p, X) = kpkh kpk kpk Par exemple, pour le mouvement par courbure moyenne, i.e., lorsque h(νx , Ax ) = T r(Ax ), cela donne H(p, X) = −T r(A) +

< Xp, p > kpk2

et l’équation (30) devient alors ut − ∆u +

< D2 uDu, Du > =0. kDuk2

L’idée de l’approche par ligne de niveau est la suivante (dans toute la suite, BU C(IRN ) signifie borné et uniformément continu dans IRN ) : 1. Pour une donnée initiale Σ0 = ∂O0 , on fixe une fonction auxiliaire u0 ∈ BU C(IRN ) telle que O0 = {x ∈ IRN | u0 (x) < 0} et

∂O0 = {x ∈ IRN | u0 (x) = 0} .

2. On résout l’équation (30) (au sens viscosité) pour la donnée initiale u0 : il existe une unique fonction continue u = u(t, x) vérifiant (30) au sens viscosité avec u(0, ·) = u0 (·). 3. La solution généralisée de l’équation Vx = h(νx , Ax ), avec pour donnée initiale Σ0 = ∂O0 sera alors la famille d’ensembles (Σt ) définie par Σt = {x ∈ IRN | u(t, x) = 0} pour tout t ≥ 0 . Le point-clé de cette approche est que l’ensemble (Σt ) ainsi construit est indépendant de la fonction auxiliaire u0 choisie initialement. Cet ensemble n’est pas nécessairement régulier—c’était le but de la démarche ! Nous verrons cependant que, lorsqu’il existe une solution régulière, il co¨ıncide avec cette solution. Il peut être vide après un instant t > 0 (appelé temps d’extinction), comme c’était déjà le cas pour les évolutions régulières convexes pour le mouvement par courbure moyenne.

7.3

Le principe de comparaison et applications

Soit H : IRN \{0} × SN → IR une application continue sur son domaine. Nous devons d’abord définir une notion de solution de viscosité pour l’équation ut + H(Du, D2 u) = 0 lorsque que H n’est pas définie en p = 0. Introduisons pour cela les notations H ∗ et H∗ : H ∗ (p, X) =

lim sup

H(p0 , X 0 )

et

(p0 ,X 0 )→(p,X), p0 6=0

H∗ (p, X) =

lim inf

(p0 ,X 0 )→(p,X), p0 6=0

H(p0 , X 0 )

D´ efinition 7.1 On dit qu’une fonction SCS u est une sous-solution de l’équation ut + H(Du, D2 u) = 0 si, pour toute fonction test φ de classe C 2 , telle que u − φ possède un maximum local en un point (t, x), avec t > 0, on a φt (t, x) + H∗ (Dφ(t, x), D2 φ(t, x)) ≤ 0 . De même, une fonction SCI u est une sur-solution de l’équation ut + H(Du, D2 u) = 0 si, pour toute fonction test φ de classe C 2 , telle que u − φ possède un minimum local en un point (t, x), avec t > 0, on a φt (t, x) + H ∗ (Dφ(t, x), D2 φ(t, x)) ≥ 0 . Une fonction continue u sera une solution si u est une sur- et une sous-solution. 33

Dans toute la suite on supposera que H est continue sur IRN \{0} × SN , bornée sur les ensembles bornés, elliptique et vérifie H∗ (0, O) = H ∗ (0, O) . On supposera aussi que H est géométrique, c’est-à-dire vérifie H(λp, λX + µppT ) = λH(p, X)

pour tout λ > 0, µ ∈ IR.

Lorsque H est défini ` a partir d’une loi d’évolution h à travers l’égalité (31), ces hypothèses seront satisfaites dès que h est continue, croissante par rapport à la matrice courbure, et si |h| est à croissance au plus linéaire par rapport ` a cette matrice. Le fait que H soit géométrique est une conséquence directe de sa définition. Sous ces hypothèses, on démontre l’existence et l’unicité des solutions de l’équation ut + H(Du, D2 u) = 0

(32)

pour une donnée initiale fixée. Plus précisément, on a le Th´ eor` eme 7.2 ([1], th´ eor` eme 10.1) Sous les hypothèses précédentes, soient u une sous-solution et v une sur-solution de l’équation, avec • (i) |u(t, x)| + |v(t, x)| ≤ K(1 + |x|) • (ii) u∗ (0, x) ≤ v∗ (0, x) • (iii) u∗ (0, ·) ou v∗ (0, ·) est uniformément continue dans IRN . Alors u(t, x) ≤ v(t, x) pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × IRN . La preuve repose sur les même idées que celle du cas o` u H est régulière. Une différence cependant est que le terme de pénalisation en 12 kx − yk2 doit être remplacé par 12 kx − yk4 de fa¸con à tenir compte de la singularité en (0, O) (voir par exemple [1]). Corollaire 7.3 Pour toute donnée initiale u0 dans BU C(IRN ), il existe une unique solution continue bornée sur [0, +∞) de (32) avec pour donnée initiale u0 . Noter que les constantes sont solutions de l’équation (32). Cela explique pourquoi les solutions restent bornées pour tout temps t. La construction d’une solution repose sur la méthode de Perron (Voir encore [1].) Proposition 7.4 (Propri´ et´ es d’invariance) Si u est solution (ou une sous-solution, ou une sur-solution) de (32) et θ : IR → IR est continue et croissante, alors θ ◦ u est encore une solution de (32) (respectivement une sous-solution, ou une sur-solution). Preuve : On va le montrer d’abord pour θ de classe C 1 avec θ0 > 0 sur IR. Posons σ = θ−1 . Alors, si v = θ ◦ u, on montre facilement que v est solution de σ 0 (v)vt + H(σ 0 (v)Dv, σ 0 (v)D2 v + σ”(v)Dv(Dv)T ) = 0 Comme σ 0 > 0 et H est géométrique, on a, au sens viscosité, vt + H(Dv, D2 v) = 0 , ce qui prouve le résultat dans ce cas. Lorsque θ est une fonction croissante générale, on approche θ par des fonctions θ comme ci-dessus, et on passe à la limite en utilisant le théorème de stabilité 2.9. QED

34

Th´ eor` eme 7.5 Soient u10 et u20 deux données initiales dans BU C(IRN ), u1 et u2 deux solutions continues bornées de (32) avec données initiales u10 et u20 respectivement. Si {u10 < 0} = {u20 < 0}

et

{u10 = 0} = {u20 = 0}

alors ces inégalités se préservent au cours du temps : {u1 (t, ·) < 0} = {u2 (t, ·) < 0}

et

{u1 (t, ·) = 0} = {u2 (t, ·) = 0}

∀t ≥ 0 .

Ce résultat signifie que, dans l’approche par lignes de niveau, le choix initial de la fonction u0 n’importe pas. Preuve : Posons O0 = {u1 < 0}. On peut supposer, sans perte de généralité, que u20 (x) = (d¯O0 (x) ∧ M ) ∨ (−M ), o` u M = ku1 k∞ et o` u d¯ est la distance signée à ∂O0 , c’est-à-dire que dO0 (x) si x ∈ / O0 ¯ d(x) = −d∂O0 (x) si x ∈ O0 Posons θ(s) = sup{u10 (x) | dO0 (x) ≤ s}

∀s ≥ 0 .

Comme u10 est BUC, la fonction θ est uniformément continue et croissante sur IR+ avec θ(0) = 0. On prolonge θ par 0 sur IR− . Les propriétés d’invariance de l’équation impliquent que θ(u2 ) est encore une solution avec donnée initiale vérifiant u10 (x) ≤ θ(u20 ) . Par comparaison, cela implique que u1 ≤ θ(u2 ). D’o` u {x ∈ IRN | u2 (t, x) ≤ 0} ⊂ {x ∈ IRN | u1 (t, x) ≤ 0} . Pour montrer l’inclusion inverse, on considère la fonction w qui vaut 0 sur {(t, x) | u1 (t, x) ≤ 0} et M ailleurs. Comme w est SCI et égale ` a la limite des solutions w = (M ∧ (u1 /)) ∨ 0, w est encore une sur-solution (d’après le théorème 2.9). Or u20 ≤ w(0, ·). Donc on a u2 (t, x) ≤ w(t, x), ce qui prouve finalement que (33)

{x ∈ IRN | u1 (t, x) ≤ 0} = {x ∈ IRN | u2 (t, x) ≤ 0} .

On montre l’inclusion {x ∈ IRN | u1 (t, x) ≥ 0} = {x ∈ IRN | u2 (t, x) ≥ 0} . en remarquant que l’équation satisfaite par −u1 et −u2 est également géométrique et en appliquant (33) à ces deux fonctions. QED Une application de ce résultat est que l’évolution géométrique respecte l’inclusion. En fait nous établissons un résultat un peu plus fort, qui dit que l’écart entre les bords de deux ensembles inclus l’un dans l’autre ne fait qu’augmenter au cours du temps. Th´ eor` eme 7.6 (Principe d’inclusion) Soient Σ10 = ∂O01 et Σ20 = ∂O02 deux données initiales, et (Σ1t ) et 2 (Σt ) les deux évolutions de données initiales Σ10 et Σ10 . Si ` a l’instant initial on a (34) O01 ⊂ O02 et inf kx − yk | x ∈ Σ10 , y ∈ Σ20 = γ > 0 alors, pour tout temps t ≥ 0, on aura inf kx − yk | x ∈ Σ1t , y ∈ Σ2t ≥ γ .

35

Preuve : Soient u0 une fonction bornée, lipschitzienne de constante 1 dans IRN et telle que {u0 < 0} = O01 , {u0 = 0} = Σ10 , {u0 < γ} = O02 et {u0 = γ} = Σ20 . L’hypothèse (34) rend possible la construction d’une telle fonction. Soit u la solution de (32) avec donnée initiale u0 . Alors, par définition des solutions généralisées et du fait que u − γ est aussi solution de (32), on a {u(t, ·) = 0} = Σ1t et {u(t, ·) = γ} = Σ2t . Notons maintenant que, pour tout δ ∈]0, γ[, la fonction w(t, x) = sup u(t, x + z) . kzk≤δ

est une sous-solution de (32), car égale au supremum des solutions (t, x) → u(t, x + z). De plus, comme u0 est 1-lipschitzienne, w(0, x) ≤ u0 (x) + δ ∀x ∈ IRN . On déduit du principe de comparaison que w(t, x) − δ ≤ u(t, x) ∀(t, x) ∈ [0, +∞[×IRN . D’o` u {u(t, ·) ≤ 0} ∩ {w(t, ·) > δ} = ∅. Or Σ1t ⊂ {u(t, ·) ≤ 0} tandis que l’ensemble {w(t, ·) > δ} contient l’ensemble des points x dont la distance ` a Σ2t est inférieure ou égale à δ puisque u(t, x) = γ > δ sur Σ2t . Le résultat est donc prouvé. QED

7.4

Lien entre solutions g´ en´ eralis´ ees et solutions r´ eguli` eres

Nous avons vu pour le mouvement par courbure moyenne que, lorsque la donnée initiale de l’évolution géométrique est régulière, alors il existe une solution régulière sur un petit intervalle de temps. L’objet de cette partie est de montrer qu’alors solutions régulières et solutions généralisées coincident. On suppose que la famille d’hypersurfaces (Σt = ∂Ot ) est une solution classique de l’équation Vx = h(νx , Ax ) sur un intervalle de temps [0, T ] avec T > 0. Soit H défini par (31) et vérifiant les hypothèses de la partie précédente. On notera en particulier que cela implique que h = h(p, X) est croissante par rapport à la matrice X. ¯ x) la distance signée à Σt : Soit d(t, x) = dOt (x) la distance ` a Ot , et d(t, dOt (x) si x ∈ / Ot ¯ d(x) = −dΣt (x) si x ∈ Ot Lemme 7.7 d est une sur-solution de l’équation (32) sur (0, T ). Preuve : Soit φ une fonction test telle que d − φ a un minimum local en un point (t0 , x0 ). Sans perte de généralité on peut supposer que d(t0 , x0 ) = φ(t0 , x0 ) et donc que d(s, y) ≥ φ(s, y) pour tout (s, y) dans un voisinage de (t0 , S x0 ). On suppose d’abord que d(t0 , x0 ) = 0. Cela implique que φ a un maximum local sur l’ensemble K = t {t} × Ot en (t0 , x0 ). Soit νx et Ax la normale extérieure et la courbure à Σt0 en x0 et Vx0 la vitesse normale extérieure de Σt0 en x0 . Comme (−Vx0 kνx0 k, νx0 ) est une normale à l’ensemble K, les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre de φ sur K s’écrivent : il existe λ ≥ 0 tel que D2 φ(t0 , x0 )|ν ⊥ x0 (φt , Dφ) = λ(−Vx0 kνx0 k, νx0 ) et − ≥ Ax , kDφk o` u toutes les expressions sont prises en (t0 , x0 ) et o` u la seconde inégalité n’a lieu que si Dφ(t0 , x0 ) 6= 0. Si λ > 0, alors Dφ(t0 , x0 ) 6= 0 et on a   D2 φ(t0 , x0 )|ν ⊥ φt Dφ x0  Vx0 = − = h(νx , Ax ) ≤ h  ,− kDφk kDφk kDφk 36

D’o` u le résultat désiré : φt + H(Dφ, D2 φ) ≥ 0. Si λ = 0, alors φt = 0. Montrons que D2 φ(t0 , x0 ) ≤ 0. En effet, pour tout vecteur v ∈ IRN tel que < v, νx0 > < 0, le point x0 + hv appartient à Ot0 pour h > 0 petit et donc φ(t0 , x0 + hv) ≤ 0. Ceci entraˆıne que < D2 φ(t0 , x0 )v, v >≤ 0 pour tout vecteur v tel que < v, νx0 > < 0, et donc, par densité et parité, pour tout vecteur v de IRN . On en déduit que D2 φ(t0 , x0 ) ≤ 0, et donc φt + H∗ (Dφ, D2 φ) ≥ H∗ (0, O) = 0 . On suppose maintenant que d(t0 , x0 ) > 0. Soit y0 appartenant à la projection de x0 sur Σt0 . On affirme alors que z(s, y) = d(s, y) − φ(s, y − y0 + x0 ) a un minimum local en (t0 , y0 ). En effet, pour tout (s, y) proche de (t0 , y0 ), on a z(s, y) ≥ d(s, y − y0 + x0 ) − ky0 − x0 k − φ(s, y − y0 + x0 ) ≥ d(t0 , x0 ) − φ(t0 , x0 ) − ky0 − x0 k = z(t0 , y0 ) puisque d(t0 , x0 ) = ky0 − x0 k et que d(t0 , y0 ) = 0. On peut donc appliquer à la fonction test φ(s, y − y0 + x0 ) le résultat ci-dessus, pour obtenir φt + H(Dφ, D2 φ) ≥ 0 en (t0 , x0 ). QED Lemme 7.8 Pour tout T > 0, il existe des constantes c > 0 et σ > 0 telles que la fonction (e−ct d) ∧ σ est une sous-solution de (32). S ¯ x) < 0} = Ot Preuve : Comme d¯ est une fonction régulière dans un voisinage de t Σt , que {x | d(t, ¯ x) = 0} = Σt pour tout t, la fonction d¯ vérifie l’équation ut + H(Du, D2 u) = 0 sur d¯ = 0 par et que {x | d(t, ¯ définition S même de la méthode par lignes de niveau. Par conséquent, sur un voisinage {|d| < } de l’ensemble Σ = t Σt , la fonction d¯ est de classe C 2 et on a ¯ D2 d) ¯ ≤ c|d| ¯ d¯t + H(Dd, pour une certaine constante c > 0. Notons qu’alors la fonction w = e−ct d¯ est sous-solution (classique) de l’équation ut +H(Du, D2 u) dans ce voisinage. Or la fonction nulle étant sous-solution de cette même équation ¯ ∨0 est sous-solution (de viscosité cette fois) de dans IR+ ×IRN (car H∗ (0, O) = 0), la fonction e−ct d = (e−ct d) cette équation dans {d¯ < }. Montrons finalement que, si l’on pose σ = /2, alors w = (e−ct d) ∧ σ est encore une sous-solution. C’est une sous-solution dans {d¯ < } par la propriété d’invariance de l’équation (prendre θ(s) = s ∧ σ). Mais w est solution aussi sur {d¯ > 2/3}, puisque localement constante sur cet ensemble et que F∗ (0, O) = 0. QED En application nous avons le Th´ eor` eme 7.9 Si u est une solution de viscosité de (32) avec une condition initiale u0 vérifiant (35)

{u0 < 0} = O0

et

{u0 = 0} = Σ0 ,

{u(t, ·) < 0} = Ot

et

{u(t, ·) = 0} = Σt .

alors, pour tout t ∈ [0, T ], on a

Preuve : On sait que la solution généralisée est indépendante du choix de u0 , pourvu que u0 satisfasse (35). Choisissons u0 = (d¯∧ σ) ∨ (−σ). Comme u0 ≤ d et que d est une sur-solution, on a u(t, ·) ≤ d pour tout t ∈ [0, T ]. D’autre part, on sait que u ∨ 0 est encore une solution. La fonction (e−ct d) ∧ σ étant sous-solution, on a donc (e−ct d) ∧ σ ≤ u(t, ·). Ces deux inégalités impliquent le résultat voulu. QED

37

8

R´ egularit´ e pour les probl` emes uniform´ ement elliptiques

Dans toute cette partie, on considère un problème uniformément elliptique de la forme F (D2 u) = f (x)

(36)

dans Ω

Notre objectif est de donner un bref aper¸cu des techniques employées pour démontrer la régularité des solutions de viscosité d’une telle équation. Toute cette partie est empruntée ` a [5].

8.1

Equations fortement elliptiques, op´ erateurs de Pucci

On dit que F : Sn → IR est uniforment elliptique s’il existe deux constantes 0 < λ ≤ Λ telles que (37)

F (M ) − ΛkN k ≤ F (M + N ) ≤ F (M ) − λkN k

∀M ∈ SN , ∀N ∈ SN , N ≥ 0 .

Fixons 0 < λ < Λ. On définit maintenant les opérateurs de Pucci M+ (·, λ, Λ) et M− (·, λ, Λ) : si X est une matrice de SN , de valeurs propres e1 , . . . , eN , X X M− (X, λ, Λ) = −λ ei − Λ ei ei 0

On remarque que M− (X, λ, Λ) = inf{T r(−XA) | A ∈ SN , λIN ≤ A ≤ ΛIN } , tandis que M+ (X, λ, Λ) = sup{T r(−XA) | A ∈ SN , λIN ≤ A ≤ ΛIN } . En particulier, M− (X, λ, Λ) ≤ M+ (X, λ, Λ) pour toute matrice X ∈ SN et M+ (X, λ, Λ) = −M− (−X, λ, Λ) .

(38)

Voici quelques autres remarques utiles par la suite : Lemme 8.1 Si F vérifie (37), alors • L’application G : SN → IR défini par G(X) = −F (−X) vérifie aussi (37). • On a, pour tout X, Y ∈ SN , M− (X − Y,

λ λ , Λ) ≤ F (X) − F (Y ) ≤ M+ (X − Y, , Λ) . N N

Preuve : Le premier point est immédiat. Pour démontrer le second, notons e1 , . . . , eN les valeurs propres de X − Y et écrivons X − Y sous la forme X − Y = A − B, avec A ≥ 0 et B ≥ 0. Les valeurs propres de A sont max{e1 , 0}, . . . , max{eN , 0} tandis que celles de B sont max{−e1 , 0}, . . . , max{−eN , 0}. Alors, d’après (37), F (X) = F (Y + A − B) ≥ F (Y ) + λkBk P − ΛkAk P λ ≥ F (Y ) − N ei 0 ei λ ≥ F (Y ) + M− (X − Y, N , Λ) La dernière inégalité se démontre de même. QED

38

L’intérêt d’introduire les opérateurs de Pucci est le suivant : supposons que u soit une solution d’un problème de la forme F (D2 u) = f , avec F uniformément elliptique au sens de (6). Alors, d’après le lemme 8.1, u est également une sur-solution de M+ (D2 u, λ, Λ) + |f (x)| + |F (0)| = 0, et une sous-solution de M− (D2 u, λ, Λ) − |f (x)| − |F (0)| = 0. Donc u est une sur- et une sous-solution d’équations qui ne dépendent plus de F , mais uniquement des constantes λ et Λ et de f . Cela conduit tout naturellement ` a introduire la classe S ∗ (λ, Λ, f ) des fonctions u continues sur Ω telles + 2 que u est une sur-solution de M (D u, λ, Λ)+|f (x)| = 0 et une sous-solution de M− (D2 u, λ, Λ)−|f (x)| = 0. Soulignons que, si u appartient ` a cette classe de fonctions, alors −u et u+c aussi pour toute constante c ∈ IR. Nous avons montré le lemme : Lemme 8.2 Si u est une solution de (36) avec F vérifiant (37), alors u appartient ` a S ∗ (λ, Λ, |F (0)| + |f |).

8.2

L’in´ egalit´ e de Harnack et la r´ egularit´ e H¨ older des solutions

Les inégalités de Harnack expriment le fait que le maximum dans un ouvert d’une solution d’une EDP elliptique est contrˆ olé par l’infimum de cette solution dans l’ouvert. Par exemple, dans le cas des fonctions harmoniques dans un ouvert Ω, cette inégalité s’exprime de la fa¸con suivante : pour tout ouvert Ω0 ⊂⊂ Ω, il existe une constante C telle que, pour toute fonction harmonique positive dans Ω, on a sup u ≤ C inf0 u . Ω

Ω0

Dans toute la suite, Qr désigne le cube centré en 0 et de côté de longueur r et, pour tout z ∈ IRN , Qr (z) = z + Qr . Voici l’inégalité de Harnack pour les solutions de viscosité : Th´ eor` eme 8.3 (In´ egalit´ e de Harnack) Si u ∈ S ∗ (λ, Λ, f ) dans Q1 , avec f continue bornée et u ≥ 0, alors sup u ≤ C inf u + kf kLN (Q1 ) , Q1/2

Q1/2

o` u la constante C ne dépend que de N , de λ et Λ. La preuve de ce théorème repose sur une inégalité due à Caffarelli (inégalité dite d’Alexandroff-BackelmanPucci), combinée ` a des arguments de Krylov et Safanov (voir la partie 9.8 de [11]). Cette démonstration est est trop longue et trop technique pour être reproduite ici, et peut être trouvée dans [5]. La conséquence principale—et très classique—de l’inégalité de Harnack est la régularité C α des solutions de F (D2 u) = f (x). Montrons d’abord un résultat intermédiaire, exprimé en termes d’oscillations de la fonction u. Rappelons que l’oscillation oscE u d’une fonction u dans un ensemble E est la différence entre le supremum et l’infimum de cette fonction dans l’ensemble E. Corollaire 8.4 On suppose que u ∈ S ∗ (λ, Λ, f ) dans Q1 , avec f continue bornée. Il existe une constante µ ∈]0, 1[, qui ne dépend que de N , λ et Λ, telle que oscQ1/2 u ≤ µ oscQ1 u + 2kf kLN (Q1 ) . Preuve : Posons, pour tout r ∈ [0, 1], mr = inf Qr u et Mr = supQr u. On applique l’inégalité de Harnack aux deux fonctions positives u − m1 et M1 − u qui appartiennent encore à S ∗ (λ, Λ, f ) : M1/2 − m1 ≤ C m1/2 − m1 + kf kLN (Q1 ) et M1 − m1/2 ≤ C M1 − M1/2 + kf kLN (Q1 )

On additionne les deux inégalités pour obtenir : (1 + C)(M1/2 − m1/2 ) ≤ (C − 1)(M1 − m1 ) + 2Ckf kLN (Q1 ) ce qui est le résultat annoncé, avec µ = (C − 1)/(C + 1), puisque oscQr u = Mr − mr . 39

QED Du corollaire 8.4, on déduit la régularité Hölder d’une solution u : Th´ eor` eme 8.5 Sous les hypothèses du corollaire 8.4, u ∈ C α (Q1/2 ) pour une certaine constante α ∈]0, 1[ et kukC α (Q1/2 ) ≤ C kukL∞ (Q1 ) + kf kLN (Q1 ) . o` u la constante C ne dépend que de N , λ et Λ. Preuve : Soit z ∈ Q1 et r > 0 tels que Qr (z) ⊂ Q1 . En appliquant l’inégalité du corollaire 8.4 à la fonction u(z + r·) qui appartient ` a S ∗ (λ, Λ, r2 f (z + r·)) de Q1 , on obtient : oscQr/2 (z) u ≤ µ oscQr (z) u + 2rkf kLN (Qr ) . Pour conclure, il suffit alors d’utiliser le lemme suivant : Lemme 8.6 (Voir [11], Lemme 8.23 p. 201) Si une fonction continue positive croissante ω vérifie une inégalité du type ω(r/2) ≤ µ ω(r) + 2Cr dans [0, 1] avec µ ∈]0, 1[, alors, pour tout r ∈ [0, 1], ω(r) ≤ C1 (ω(1) + C) rα , o` u les constantes α ∈]0, 1[ et C1 ne dépendent que de µ. On applique le lemme précédent ` a ω(r) = oscQr (z) u et C = kf kLN (Q1 ) , et en utilisant le fait que ω(1) ≤ 2kukL∞ (Q1 ) . Cela donne oscQr (z) u ≤ C kukL∞ (Q1 ) + kf kLN (Q1 ) rα . Ceci prouve que u est dans C α dans Q1/2 , avec une constante proportionnelle à kukL∞ (Q1 ) + kf kLN (Q1 ) . QED

8.3

R´ egularit´ e C 1,α int´ erieure de F (D2 u) = 0

Dans cette partie, nous montrons que les solutions de F (D2 u) = 0 sont de classe C 1,α dès que F vérifie la condition d’ellipticité (37). Notre premier objectif est d’établir une équation satisfaite par u(· + he) − u(·) pour une solution u de F (D2 u) = 0. Pour cela, nous aurons besoin du Lemme 8.7 Soit u une sous-solution continue de F (D2 u) = 0 dans un ouvert Ω et v une sur-solution λ continue de cette équation dans Ω. Alors u − v est une sous-solution de M− (D2 u, N , Λ) = 0 dans l’ouvert Ω. Preuve : Soit une fonction test φ telle que u(x) − v(x) − φ(x) a un maximum en un point x0 . Sans perte de généralié, on peut supposer que ce maximum est strict. Considérons alors une pénalisation de la forme w (x, y) = u(x) − v(y) − φ(y) − 12 kx − yk2 . Par des arguments standards, il existe une suite de maxima locaux (x , y ) de w avec x et y qui convergent vers x0 lorsque → 0+ . Le lemme matriciel 2,+ affirme que, pour tout η > 0, il existe des matrices Xη ∈ SN et Yη ∈ SN avec ( 22 (x − y ), Xη ) ∈ D u(x ) et (−Dφ(y ) +

2 2 (x

− y ), Yη ) ∈ D

o` u

2,−

A=

v(x ) et avec Xη 0 ≤ A + ηA2 0 −Yη 0 0 0 D2 φ(y )

2 + 2

40

IN −In

−In In

.

L’inégalité ci-dessus implique que Xη ≤ Yη + D2 φ(y ) + O(η). Or u étant une sous-solution, on a F (Xη ) ≤ 0, tandis que, v étant une sur-solution, on a F (Yη ) ≥ 0. D’o` u 0 ≥ F (Xη ) − F (Yη ) ≥ F (Yη + D2 φ(y ) + O(η)) − F (Yη ) ≥ M− (D2 φ(y ) + O(η),

λ , Λ) , N

la dernière inégalité venant du lemme 8.1. Lorsque η → 0+ , puis que → 0+ , on obtient l’inégalité désirée : λ M− (D2 φ(x0 ), N , Λ) ≤ 0. QED Corollaire 8.8 Soit u une solution de F (D2 u) = 0 dans un ouvert Ω. Soit e ∈ IRN avec kek ≤ 1 et h > 0. Alors u(· + he) − u(·) appartient ` a S ∗ (λ/N, Λ, 0) dans l’ouvert Ωh = {x ∈ Ω | d∂Ω (x) > h}. Preuve : Le fait que u(· + he) − u(·) soit une sous-solution de M− (D2 v, λ/, Λ) = 0 est une conséquence directe du lemme 8.7 car u(· + he) est une solution de F (D2 v) = 0 dans Ωh . Comme u est solution de F (Du) = 0, la proposition 2.4 affirme que −u est une solution de G(D2 v) = 0 dans Ω, avec G(X) = −F (−X) qui vérifie encore (37). On en déduit que (−u(· + he)) − (−u(·)) est sous-solution de M− (D2 v, λ/N, Λ) = 0 dans Ωh . Appliquant à nouveau la proposition 2.4, ceci implique que u(· + he) − u(·) est sur-solution de M+ (D2 v, λ/N, Λ) = 0 dans Ωh , puisque, pour toute matrice X, M+ (X, λ/N, Λ) = −M− (−X, λ/N, Λ). En conclusion, u(· + he) − u(·) appartient à S ∗ (λ/N, Λ, 0). QED Ensuite nous avons besoin du résultat technique suivant sur les fonctions hölderiennes et leur taux d’accroissement : Lemme 8.9 (Voir Lemme 5.6 de [5]) Soit β > 0 et u une fonction continue sur l’intervalle I = [−1, 1] vβ,h (x) =

u(x + h) − u(x) hβ

∀x ∈ Ih ,

o` u Ih = [−1, 1 − h] si h > 0 et Ih =] − 1 − h, 1[ si h < 0. On suppose que vβ,h appartient ` a C α (Ih ) et qu’il existe une constante K telle que kuk∞ ≤ K, kvβ,h kC α (Ih ) ≤ K pour tout h. Alors • si α + β < 1, alors u ∈ C α+β (I) et kukC α+β (I) ≤ CK • si α + β > 1, alors u ∈ C 0,1 (I) et kukC 0,1 (Ih ) ≤ CK o` u C est une constante qui ne dépend que de α et β. Nous sommes maintenant près ` a démontrer le Th´ eor` eme 8.10 Soit u une solution de F (D2 u) = 0 dans B1 . Alors u ∈ C 1,α (B1/2) et kukC 1,α (B1/2 ) ≤ C kukL∞ (B1 ) + |F (0)| , o` u α et C sont des constantes qui ne dépendent que de N , de λ et de Λ. Remarque : Lorsque F est convexe ou concave, il est prouvé dans [5] que u est en fait C 2,α . Preuve : Definissons vβ (x) = u(x+he)−u(x) dans Ωh . On remarque que vβ est dans S ∗ (λ/N, Λ, 0) puisque hβ + − les opérateurs M et M sont homogènes. Donc, d’après le théorème 8.5, on a, pour tout 0 < r < s < 1, (39)

kvβ kC α (Br ) ≤ Ckvβ kL∞ (B(r+s)/2 ) ≤ CkukC β (Bs )

o` u C = C(r, s). Notons maintenant que, comme u appartient à S ∗ (λ/N, Λ, |F (0)|), le théorème 8.5 dit aussi que kukC α (B7/8 ) ≤ C(kukL∞ (B1 ) + |F (0)|)

41

Combinant cette inégalité avec l’inégalité (39) pour β = α donne alors que kvα kC α (Br ) ≤ CkukC α (Bs ) C(kukL∞ (B1 ) + |F (0)|) . Cette inégalité étant vraie quel que soit e, le lemme 8.9 implique que u ∈ C 2α (Br ), avec kukC 2α (Br ) ≤ C(kukL∞ (B1 ) + |F (0)|) . L’inégalité (39) nous a donc permis de passer d’une régularité C α à une régularité C 2α pour u, le prix à payer étant une réduction de la boule sur laquelle cette régularité a lieu. En appliquant un nombre fini de fois ce 0 procédé, dans des boules de plus en plus petites, on prouve la régularité C 1,α de u (pour un certain α0 > 0). QED

42

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