© 2008 - Gérard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre.

SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques représentations graphiques Annexe II : Quelques sommes de séries Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Préambule historique En 1746, D'Alembert étudie l'équation des cordes vibrantes : 1 ∂2 y ∂2 y = c2 ∂t2 ∂x2 dont il donne les solutions sous la forme F(ct+x) + G(ct–x) où F et G sont arbitraires. (c est la vitesse de propagation de l'onde). Vers 1750, Daniel Bernoulli pensait que toute solution peut s'obtenir ∞

comme superposition d'une série d'harmoniques, par exemple y(x,t) = ∑ bn sin n=1

nct nx cos dans le cas l l

où les deux extrémités de la corde sont fixées. Or dans le cas où la position initiale est donnée par une condition y(x,0) = ϕ(x), ceci implique que ϕ(x) puisse se développer en série trigonométrique ∞

. A l'époque, ceci paraissait impossible, l'argument principal étant par exemple qu'une ∑ bn sin nx l n=1 fonction non périodique ne pouvait se représenter par une série de fonctions périodiques. Qu'on songe par exemple à une formule telle que : ∞ 4π2 ∞ 4 4π + ∑ 2 cos(nx) – ∑ sin(nx) 3 n n=1 n=1 n

pour représenter la fonction x2, alors que celle-ci n'est pas périodique. L'égalité de la série et de la fonction est néanmoins valable sur ]0,2π[.

-1-

Le problème fut relancé en 1821 lorsque Fourier développa sa théorie analytique de la chaleur. ∂T ∂2 T L'équation de la chaleur s'écrit = D 2 , où T(x,t) est la température à l'instant t au point ∂t ∂x d'abscisse x et D le coefficient de diffusivité thermique. Si l'on maintient une température nulle aux extrémités, une solution formelle est donnée par : ∞

T(x,t) = ∑ bn sin n=1

avec là aussi l'obligation d'avoir ϕ(x) =

nx Dn2t exp(– 2 ) l l

∞

nx ∑ bn sin l si la température initiale est donnée par n=1

T(x,0) = ϕ(x). Fourier donne un certain nombre d'exemples et établit un lien de réciprocité entre les formules suivantes : 2π 2π 1⌠ 1⌠ an =  ϕ(x)cosnxdx, bn =  ϕ(x)sinnxdx π ⌡0 π ⌡0 et ϕ(x) =

∞ a0 ∞ + ∑ an cosnx + ∑ bn sinnx 2 n=1 n=1

Dès lors, les séries trigonométriques vont se trouver au cœur du développement de l'analyse au XIXème. La série dont les coefficients sont ainsi définis s'appelle série de Fourier associée à ϕ. Les questions qui se développeront alors portent sur les points suivants : • La fonction ϕ peut-elle être arbitraire ? Ce qui nécessite une réflexion sur la notion de fonction et de continuité. • Pour quelles fonctions ϕ les expressions an et bn sont-elles calculables ? Question liée au développement de la théorie de l'intégration. • Les séries convergent-elles, et si oui, est-ce vers ϕ ? Ce qui nécessite une théorie de la convergence. • ϕ étant donnée, y a-t-il unicité de la série trigonométrique qui converge vers ϕ (si tant est qu'il en existe une) ? Continuité, intégration, convergence. A l'époque de Fourier, aucune de ces notions n'est clairement précisée. Il faudra plus d'un siècle pour éclaircir la plupart des questions relatives aux séries trigonométriques, avec la notion de fonction développée par Dirichlet (1829), et celle d'intégrale par Riemann (1854) puis par Lebesgue (1902). Signalons enfin que c'est en réfléchissant sur un problème d'unicité des séries trigonométriques que Cantor développa sa théorie des ensembles . Les formules de Fourier entrent dans un cadre beaucoup plus général, celui de l'analyse ou de la décomposition d'un objet, puis celui de la synthèse ou de la reconstruction de l'objet à partir de ses éléments décomposés. Voici quelques exemples : • Dans un espace vectoriel euclidien muni d'une base (ei). Un procédé de décomposition d'un vecteur V consiste à calculer les produits scalaires . Ces informations sont redondantes si, à la place d'une base, on dispose d'un système générateur. Le procédé de reconstruction consiste à retrouver V à partir des (ei). Si la base est orthonormée, il suffit de calculer ∑ ei. Sinon, il faudra au préalable déterminer la base (εi) -2-

dite duale de la base (ei) et définie par les relations = 1 si i = j et 0 sinon. On a alors V = ∑ εi. (Le produit scalaire des deux membres avec chaque ei donne le même résultat) • Les séries de Fourier, objet de se chapitre. Il s'agit de décomposer un signal périodique ϕ de période 2π en la somme d'harmoniques de la forme cos(nx) ou sin(nx). Sous certaines hypothèses, on a : Procédé de décomposition : 2π 2π 1⌠ 1⌠ an =  ϕ(x)cosnxdx, bn =  ϕ(x)sinnxdx π ⌡0 π ⌡0 Procédé de reconstitution : ϕ(x) =

∞ a0 ∞ + ∑ an cosnx + ∑ bn sinnx 2 n=1 n=1

• La transformée de Fourier, qui n'est pas au programme de CPGE, mais que vous rencontrerez inévitablement dans la suite de vos études. On peut le voir comme cas limite du cas précédent si on considére une fonction f périodique de période 2T sur l'intervalle [–T,T], que l'on cherche à 2πnx 2πnx décomposer en harmonique de la forme cos( ) et sin( ), lorsque T tend vers +∞. On est T T amené à remplacer le paramètre discret n élément de par un paramètre continu ξ élément de . Sous certaines hypothèses : Procédé de décomposition : ∞ ^ f (ξ) = ⌠  f(t) exp(– 2iπξt) dt, ⌡– ∞ Si f est un signal dépendant du temps t, on cherche à détecter dans ce signal la densité de l'harmonique de la forme exp(2iπξt) de fréquence ξ. L'intégrale précédente fournira une information sur cette harmonique. Procédé de reconstruction : ∞^ f(x) = ⌠  f (ξ) exp(2iπξx) dξ ⌡– ∞ La symétrie des deux procédés est remarquable.





• La transformée de Fourier discrète (TFD ou DFT discrete Fourier transform), s'appliquant sur une suite de N valeurs s(0), s(1), ..., s(N–1) obtenues par exemple par échantillonnage d'une fonction. Procédé de décomposition : N–1 ^s(n) = 1 ∑ s(k) exp(– 2iπnk) N N k=0

Procédé de recomposition : N–1

s(n) =

) ∑ ^s(k) exp(2iπnk N

k=0

Si les séries de Fourier et la transformée de Fourier jouent des rôles importants sur le plan théorique, la DFT joue un rôle essentiel sur le plan pratique. En effet, un signal est en général connu non sous forme de définition fonctionnelle mathématique, mais sous forme de suites -3-

discrètes de valeurs obtenues par échantillonnage. Il est résulte que seule la DFT est applicable. Le calcul de tous les coefficients ^s(n) à partir des s(k) semble nécessiter a priori un nombre d'opérations (additions, multiplications) de l'ordre de O(N2), mais un algorithme performant a été mis au point vers Cooley et Tuckey en 1965. Cet algorithme, appelé transformée de Fourier rapide, (TFR ou FFT fast Fourier transform) nécessite seulement un nombre d'opérations de l'ordre de O(N lnN). Le gain est considérable. Il est fréquent qu'on ait à calculer un million de coefficients. Un algorithme en O(N2) demande de l'ordre de mille milliards de calculs, alors qu'un algorithme en O(N lnN) en demande de l'ordre de quelques millions. Dans le premier cas, le temps de calcul nécessaire se mesure en semaines, alors qu'il se mesure en secondes dans le second !! On estime qu'aujourd'hui, la moitié du temps des super-ordinateurs est consacré à calculer une FFT. • L'analyse par ondelettes, domaine d'étude qui n'existait pas il y a quinze ans et qui connaît depuis un développement foudroyant en particulier dans la compression des données. Le terme ondelettes est inconnu d'un de mes dictionnaire de mathématiques édité en 1993, mais apparaît dans un autre dictionnaire, édité en 1999. Un site Internet parmi bien d'autres lui est dédié (http://www.mathsoft.com/wavelets.html). Comparable à la transformée de Fourier, il s'agit d'obtenir une information sur une harmonique de fréquence ξ0, mais localisée au voisinage d'un instant t0. On introduit donc des fonctions de fréquence ξ0, mais tendant rapidement vers 0 au delà d'un certain voisinage de t0. Si (ψt0,ξ0) est une telle famille de fonctions, on a, sous certaines hypothèses : Procédé de décomposition : ∞ = ⌠  f(t)ψt0,ξ0(t) dt ⌡–∞ La quantité donne une information sur l'harmonique de fréquence ξ0, au voisinage de t0. Procédé de reconstruction : ∞ ∞ ⌠ ht ,ξ (t) dt0 dξ0 f(t) = ⌠ 0 0 0 0   ⌡–∞ ⌡–∞ pour certaines fonctions ht0,ξ0 qui jouent le rôle de base duale relativement aux ψt0,ξ0. I : Espace préhilbertion des fonctions 2π π -périodiques 1– Produit scalaire, norme On considère des fonctions sur 2π–périodiques, continues par morceaux, à valeurs complexes. On définit le produit scalaire de deux telles fonctions par : π 2π a+2π ⌠ –– ⌠ –– –– 1 1 1 ⌠  f(t) g(t) dt =  f(t) g(t) dt =  f(t) g(t) dt = 2π ⌡0 2π ⌡a 2π ⌡–π La norme euclidienne associée est : 

|| f ||2 =

1 ⌠  2π ⌡



π

f(t) 2 dt

–π

1 Le facteur est choisi de façon que la fonction constante 1 soit de norme 1. Pour définir une 2π fonction périodique de période 2π, il suffit de la définir sur un intervalle de longeur 2π. Les valeurs aux points de discontinuité ne changent pas la valeur de l'intégrale. -4-

On note que :

π

⌠ || f ||2 = 0 ⇔  f(t) 2 dt = 0 ⇒ f = 0 ⌡–π seulement si f est continue. Si f est continue par morceaux, f peut être non nulle aux points de discontinuités, sauf si on a convenu que la valeur en un point de discontinuité est la moyenne entre la limite à droite et à gauche de ce point. C'est donc ce que nous supposerons dorénavant. On remarque que || f ||2 ≤ || f ||∞, de sorte que si une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers g, a fortiori, elle converge vers g pour la norme || ||2. La réciproque est fausse. 2– Famille orthonormale Pour le produit scalaire précédent, la famille (einx)n∈ forme une famille orthonormale. En effet : 1 ⌠ π –inx ipx = e e dx = 1 si n = p et 0 sinon 2π  ⌡–π Regardons ce qu'il en est pour la famille {cos(nx) | n ∈ } ∪ {sin(nx) | n ∈ *}. On a : = 1 Pour n différent de 0 π 1 ⌠ 1 2 =  cos (nt) dt = 2 2π ⌡ –π 1 de même, = 2 Pour n et m quelconques : = 0 Pour n différent de m : = 0 et = 0 Ainsi, la famille est orthogonale, mais pas normée. Les résultats précédents peuvent également se einx – e–inx einx + e–inx et sin(nx) = , en utilisant retrouver au moyen des formules cos(nx) = 2 2i l'orthonormalité des exponentielles. 







 

PROPOSITION : La famille des (einx) forme un système orthonormé maximal, ce qui signifie qu'il n'existe aucune fonction continue orthogonale au sous-espace vectoriel engendré par les exponentielles, en dehors de la fonction nulle. Autrement dit : π ⌠ ∀ n ∈ ,  f(t) eint dt = 0 et f continue ⇒ f = 0 ⌡–π ou encore : π π ⌠ ⌠ ∀ n ∈ ,  f(t) cos(nt) dt =  f(t) sin(nt) dt = 0 et f continue ⇒ f = 0 ⌡–π ⌡–π inx puisque {e | n ∈ } engendre le même sous-espace vectoriel que {cos(nx) | n ∈ } ∪ {sin(nx)}. 













Démonstration 1 En effet, en séparant f en sa partie réelle et imaginaire, on peut supposer que f est à valeurs réelles. Supposons donc que f est non nulle. Il existe donc x0 tel que f(x0) > 0 par exemple, et ε > 0 et π > δ > 0 tel que : ∀ x ∈ ]x0 – δ, x0 + δ[, f(x) > ε -5-

Soit T(x) = 1 + cos(x – x0) – cos(δ) et Tn = Tn. On a alors : T ≥ 1 dans l'intervalle I = [x0 – δ, x0 + δ] T ≥ 1 + cos(δ) – cos(δ) > 1 dans l'intervalle J = [x0 – δ, x0 + δ] et donc : 2 2 2 δ Tn ≥ (1 + cos – cosδ)n sur cet intervalle. 2 T ≤ 1 à l'extérieur de l'intervalle et donc Tn est bornée En développant Tn et en le linéarisant, on a : π ⌠ ∀ n ∈ ,  f(t) Tn(t) dt = 0 ⌡–π

⇒



⌠ ⌠ ∀ n, ⌠ ⌡J f(t) Tn(t) dt + ⌡I–J f(t) Tn(t) dt +  ⌡

f(t) Tn(t) dt = 0 

I

Or la première intégrale est minorée par εδ × (1 + cosδ – cosδ)n qui tend vers +∞, la seconde est 2 positive et la troisième est bornée. Il est donc impossible que la somme des trois reste constamment nulle. Dans le cas d'une fonction f continue par morceaux orthogonale aux (en), la même démonstration prouve que f est nulle là où elle est continue. Si on a convenu que la valeur en un point de discontinuité est la moyenne entre la limite à droite et à gauche de ce point, alors f est identiquement nulle. Début de partie réservée aux PSI/PSI* Démonstration 2 Dans le cas où f est continue, on sait (théorème de Weierstrass) que f est limite uniforme de polynômes trigonométriques (combinaisons finies des einx). Soit (Pk)k∈ une telle suite. On a :



π

⌠ –––– ∀ k,  f(t) Pk(t) dt = 0 ⌡–π En passant à la limite (légitime puisque la convergence est uniforme), on obtient : π π ⌠ ––– ⌠ =  f(t) f(t) dt = 0 =  f(t) 2 dt ⌡–π ⌡–π D'où f = 0. Pour f continue par morceaux, la démonstration est plus difficile. f n'est pas limite uniforme de polynômes sinon, f serait continue. Cependant, f est limite de polynômes pour la norme || ||2. En effet, pour cette norme, on peut approximer f d'aussi près que l'on veut par une fonction continue g ayant des pentes assez raides au voisinage des points de discontinuité de f ( || f – g ||2 mesure en effet, non des différences de valeurs, mais des différences d'aires), et g peut s'approximer d'aussi près que l'on veut par un polynôme pour la norme || ||∞ , et donc pour la norme || ||2. (On exprime cette propriété en disant que les polynômes trigonométriques forment un sous-espace vectoriel dense dans l'espace des fonctions continues par morceaux pour la norme || ||2). Si (Pk) est une suite de polynômes convergeant vers f pour la norme || ||2, on a, sachant que = 0 : = ≤ || f – Pk ||2 || f ||2 qui tend vers 0 -6-

Donc = 0 et on conclut que f est nulle. Fin de la partie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la partie commune PSI/PC 3– Coefficients de Fourier Soit une fonction continue f par morceaux 2π-périodique. On cherche à développer f sous la forme : f(x) =

N a a0 ∞ + ∑ ancos(nx) + bnsin(nx) = 0 + lim ∑ ancos(nx) + bnsin(nx) 2 n=1 2 N→+∞ n=1

La raison pour laquelle le terme constant est

(*)

a0 et non simplement a0 est la suivante. Si on utilise les 2

exponentielles complexes, on a : einx + e–inx einx – e–inx et sin(nx) = 2 2i La somme partielle SN(x) de la série vaut : cos(nx) =

SN(x) =

N a0 N a a – ibn inx an + ibn –inx + ∑ ancos(nx) + bnsin(nx) = 0 + ∑ n e + e 2 n=1 2 n=1 2 2 N

∑ cn einx

=

n = –N

a – ibn a + ibn 1 a0 , et, pour n > 0, cn = n et c–n = n . Le facteur apparaît dans chaque 2 2 2 2 expression. On note alors : avec c0 =

∞

S(x) =

∑ cn einx n = –∞

∞

ce qu'on écrira encore S =

∑ cn en où en est la fonction x → einx. (Nous notons S(x) et non f(x) car n = –∞

nous ignorons encore si la série que l'on va calculer ci-après converge, et si elle converge vers f). Si on fait le produit scalaire entre f écrite sous forme de série comme dans (*) et respectivement les fonctions 1, cos(nx), sin(nx), einx, et si on avait une somme finie au lieu d'une série, on aurait (compte tenu de l'orthogonalité des fonctions cos et sin vue au I-2 et en utilisant la linéarité du produit scalaire) : a = 0 2 a = n 2 b = n 2 inx = cn Malheureusement la somme n'est pas une somme finie, mais une série, et sortir une somme infinie d'un produit scalaire ne relève plus de la linéarité du produit scalaire, mais de l'intervertion entre symbole ∑ et ⌠  qui relève du théorème d'intégration d'une série terme à terme, théorème dont les ⌡ hypothèses doivent être scrupuleusement vérifiées. -7-

Il est néanmoins naturel dans le cas général de définir les coefficients de Fourier par les formules précédentes, puis de se poser la question de savoir si la série obtenue converge bien vers f. Les choses, malheureusement, ne sont pas toujours aussi simples... DEFINITION On appelle coefficients de Fourier de f continue par morceaux 2π–périodique, les nombres suivants : π 1⌠ an =  f(t) cos(nt) dt pour n ≥ 0 π⌡ –π π

bn =

1⌠  f(t) sin(nt) dt pour n > 0 π⌡ –π

ou encore

π

1 ⌠ –int cn =  f(t) e dt = pour tout n élément de 2π ⌡



–π

où en est la fonction x → einx. On utilise plutôt an et bn pour une fonction f à valeurs réelles et cn pour f à valeurs complexes. Les sommes partielles d'une série de Fourier ne sont autres que les projectés orthogonaux d'une fonction f sur le sous-espace vectoriel engendré par les (einx)–N≤n≤N. En effet : SN =

N

N

n=–N

n=–N

∑ cn(f)einx = ∑ einx

est l'expression du projeté de f sur ce sous-espace. On notera ces coefficients an(f), bn(f) et cn(f) s'il y a lieu de préciser la fonction à laquelle ils s'appliquent. On remarque que, si f est paire, bn est nul pour tout n, et si f est impaire, an est nul pour tout n. On a toujours : a – ibn a + ibn ∀ n ∈ , cn = n et c–n = n 2 2 ^ ^ On note parfois c = f (n) de sorte que f désigne la suite des coefficients c . 



n

La série

n

∞ a0 ∞ + ∑ ancos(nx) + bnsin(nx) = ∑ cn einx s'appelle série de Fourier associée à f. On se pose 2 n=1 n = –∞

la question de savoir : ❑ Pour quelles fonctions f y a–t–il convergence ? ❑ Et y a–t–il convergence vers f ? ❑ De quel type de convergence s'agit–il : a) de la convergence pour la norme || ||2 ? b) de la convergence simple ? Et dans ce cas, pour quels x y a–t–il convergence ? c) de la convergence uniforme ? Et dans ce cas, sur quel ensemble ? On peut remarquer que la convergence uniforme entraîne nécessairement les deux autres. C'est la convergence la plus forte. Ces questions sont délicates et ont grandement conduit au XIXème siècle au développement de la théorie des ensembles d'une part en ce qui concerne le point b), de l'intégrale de Lebesgue d'autre part, en ce qui concerne le point a). Dans le cas général, la série de Fourier peut converger ou non, et -8-

si elle converge, elle peut converger vers f ou non. On a donc cherché à préciser des hypothèses sur f assurant la convergence vers f. EXEMPLES : ❑ coefficients de Fourier de la fonction sg(x) = 1 pour x ∈ ]0,π[ = –1 pour x ∈ ]–π,0[ cette fonction étant impaire, an est nul pour tout n. π 2⌠ 2 4 bn =  sin(nt) dt = (1 – (–1)n) = 0 si n est pair et si n est impair. π ⌡0 nπ nπ La série de Fourier associée à sg(x) est donc

sin(nx) 4 ∑ n . On ne se prononce pas pour le moment π n impair

sur le fait de savoir si cette série converge et si elle est égale à sg(x). On aurait pu aussi calculer : 0 π π π 1 ⌠ –int 1 ⌠ 1 ⌠ –int 1 ⌠ –int int –int cn =  e sg(t) dt =  – e dt +  e dt =  e – e dt 2π ⌡ 2π ⌡–π 2π ⌡0 2π ⌡0 –π π

=–

i ⌠ i 2i (1 – (–1)n) = 0 si n est pair et – si n est impair.  sin(nt) dt = – π ⌡0 nπ nπ

❑ coefficients de Fourier de la fonction x sur [–π,π] π

π

π

1⌠ 2⌠ 2 ⌠ a0 =  t dt = π et an =  tcos(nt) dt = –  sin(nt) dt en intégrant par parties π⌡ π ⌡0 nπ ⌡0 –π

2 4 [(–1)n – 1] = 0 si n est pair et – 2 si n est impair. n2π nπ 4 cos(nx) La série de Fourier associée à x est π – . ∑ 2 π n impair n2 =

❑ coefficients de Fourier de la fonction x sur ]–π,π[ π 2⌠ (–1)n bn =  tsin(nt) dt = – 2 en intégrant par parties n π ⌡0 ∞

La série de Fourier associée est 2 ∑

n=1

(–1)n+1 sin(nx) n

❑ coefficients de Fourier de la fonction x2 sur ]–π,π[ π π 1⌠ 2 2 2 2⌠ 2 a0 =  t dt = π et an =  t cos(nt) dt 3 π⌡ π ⌡0 –π π

2 ⌠  2t sin(nt) dt en intégrant par parties nπ ⌡0 4 = (–1)n 2 n =–

-9-

La série de Fourier associée à x est

∞ (–1)n π2 +4∑ cos(nx). n2 3 n=1

Voici quelques propriétés des coefficients de Fourier : PROPOSITION i) cn(λf) = λcn(f) et cn(f+g) = cn(f) + cn(g) ii) Si f et g sont continues, f = g ⇔ ∀ n, cn(f) = cn(g) 2π 1 ⌠ iii) La suite ^f est bornée et || ^f ||∞ = Sup { cn | n ∈ } ≤  f(t) dt = || f ||1 2π ⌡0 iv) lim cn(f) = 0 (lemme de Riemann-Lebesgue) n→ ± ∞ 



Démonstration : i) évident. Découle de la linéarité de l'intégrale. ii) ∀ n, cn(f) = cn(g) ⇒ ∀ n, cn(f – g) = 0 ce qui signifie que f – g est orthogonale à toutes les exponentielles, or nous avons déjà vu que cela signifiait que la fonction considérée, ici f – g, était nulle. Si f et g sont continues par morceaux, f = g sauf éventuellement en un nombre fini de points. Les deux propriétés peuvent se résumer en disant que l'application f → ^f est une application linéaire injective. En particulier, une fonction continue possédant des coefficients de Fourier tous nuls est nécessairement nulle. Nous montrerons plus loin que ^f appartient à l2, espace vectoriel des suites (c ) n

∞

telles que

∑ cn 2 converge. n=–∞

[Réciproquement, si on se donne une telle suite c, existe-t-il une fonction f dont les coefficients de Fourier soient ^ justement la suite c (autrement dit, l'application f → f est-elle surjective ?). La réponse est au-delà de ce qu'on peut faire en CPGE. Disons simplement qu'une telle fonction existe, mais qu'elle n'est pas continue par morceaux ; elle est de carré intégrable, mais au sens de l'intégrale développée par Lebesgue au début du siècle, plus complète que l'intégrale de Riemann.]

iii) évident. iv) Début de partie réservée aux PSI/PSI* Démonstration non exigible Démonstration 1 : Au moyen de la relation de Chasles, on se ramène à des intervalles [a,b] où f est continue. On commence par montrer cette propriété pour les fonctions en escaliers. Par linéarité, il suffit même de la montrer pour les fonctions constantes égales à 1 sur un intervalle [c,d] quelconque : d ⌠ –int 1 –ind –inc  e dt = – in(e – e ) qui tend vers 0 quand n tend vers ± ∞. ⌡c Soit f continue. f est limite uniforme de fonctions en escaliers (fk). Alors : b b b ⌠ ⌠ ⌠ –int –int –int dt = (f(t) – f (t)) e dt + f(t)e k    fk(t)e dt ⌡a ⌡a ⌡a Soit ε > 0 et k tel que || f – fk ||∞ < ε . On a alors : b–a - 10 -

b

b

⌠ ⌠ –int –int  f(t)e dt ≤ ε +  fk(t)e dt ⌡a ⌡a b

⌠ Pour ce k, il existe N tel que, pour tout n ≥ N,  fk(t)e–int dt < ε ⌡a b

⌠ donc, pour n ≥ N,  f(t)e–int dt < 2ε . ⌡a Démonstration 2 : Soit f continue par morceaux : π π 1 ⌠ 1 ⌠ π –inu –int cn =  f(t) e dt = –  f(u + n ) e du 2π ⌡ 2π ⌡ –π

–π

π et en profitant de la périodicité des fonctions. n π 1 ⌠ π –int cn =  [f(t) – f(t + n )] e dt 4π ⌡ –π

en posant t = u + ⇒ ⇒

1 ⌠ cn ≤  4π ⌡

π

f(t) – f(t + π) dt n

–π

La suite de fonctions ϕn : t → f(t) – f(t + π) que l'on intègre converge simplement vers la fonction n nulle sauf éventuellement aux points t où f est discontinue et qui sont en nombre fini. En outre, f étant bornée, il en est de même de la suite (ϕn). On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée pour conclure que l'intégrale, et donc (cn), converge vers 0. Démonstration 3 : Soit f continue par morceaux et ε > 0. On peut approximer f par une fonction continue g aux points de discontinuité de f en prenant pour g des pentes assez raides, de façon que || f – g ||1 < ε, où l'on π 1 ⌠ pose || f – g ||1 =  f(t) – g(t) dt. On sait par ailleurs (théorème de Weierstrass) que toute 2π ⌡ –π fonction g continue sur un segment est limite uniforme de polynômes trigonométriques Pk. Soit K entier tel que || g – PK ||∞ < ε. On a a fortiori || g – PK ||1 ≤ || g – PK ||∞ < ε, donc || f – PK ||1 < 2ε. On a alors, pour n supérieur en valeur absolue au degré de PK : π π 1 ⌠ 1 ⌠ –int –int cn =  f(t) e dt =  (f(t) – PK) e dt car = 0 2π ⌡ 2π ⌡ –π

–π

donc cn < 2ε. Démonstration 4 : Par la relation de Chasles, on se ramène à des intervalles où f est continue. Sur cet intervalle, on approxime f par un polynôme P uniformément à moins de ε (Théorème de Weierstrass). Pour ce polynôme, on a, en intégrant par parties : - 11 -

b

b

P(b)e–inb P(a)eina 1 ⌠ ⌠ –int P(t)e dt = – + +  P'(t)e–int dt  in in ⌡a in ⌡a expression qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Pour n assez grand, on a donc : b

⌠ –int  P(t)e dt < ε ⌡a et donc : b

b

b

⌠ ⌠ ⌠ –int –int –int  f(t)e dt ≤  (f(t) – P(t))e dt +  P(t)e dt ⌡a ⌡a ⌡a ≤ (b–a) || f – P ||∞ + ε < (b – a + 1) ε. Démonstration 5 : Cette dernière démonstration est réservée aux étudiants de la filière MP Au moyen de la relation de Chasles, on se ramène à des intervalles [a,b] où f est continue. Sur un tel intervalle, f est uniformément continue, c'est à dire : ∀ ε, ∃ α, ∀ x, ∀ y, x – y < α ⇒ f(x) – f(y) < ε On subdivise l'intervalle [a,b] en N intervalles [tk, tk+1], 0 ≤ k < N, de longueur strictement inférieure à α. On a alors : π

1⌠ 1 N–1 ⌠ tk+1 –int ∑  f(t)e–int dt  f(t)e dt = 2π⌡ 2π k=0 ⌡tk –π =

1 N–1 ⌠ tk+1 1 N–1 ⌠ tk+1 –int (f(t) – f(t )) e dt + ∑ ∑  f(tk)e–int dt k 2π k=0 ⌡tk 2π k=0 ⌡tk

La deuxième somme vaut

1 2π

tk+1 –int 1 N–1 1 [exp(–intk+1) – (exp(–intk)], qui ∑ f(tk) ⌠ ∑ f(tk) in  e dt =

N–1

2π k=0 ⌡tk tend vers 0 quand n tend vers ± ∞ (le numérateur est borné et le dénominateur contient n en facteur). On peut donc le rendre inférieur à ε pour n assez grand. k=0

En ce qui concerne la première somme, les f(t) – f(tk) sont majorés en module par ε, puisque, sur chaque intervalle [tk, tk+1], t – tk est inférieur à α et on applique l'hypothèse de continuité uniforme. Il en résulte que la première somme est majorée en module par ε et que

π

1⌠ –int  f(t)e dt est majorée 2π⌡ –π

par 2ε pour n assez grand. Fin de la partie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la partie commune PSI/PC Plus généralement, on notera que si f est C1, la démonstration est beaucoup plus simple. Il suffit en effet d'effectuer une intégration par parties, en posant u(t) = f(t) et v'(t) = e–int. On obtient alors : π π ⌠ f(π)e–inπ f(–π)einπ 1 ⌠ –int +  f '(t)e–int dt  f(t)e dt = – in + in in ⌡ ⌡ –π

π

=

–π

1 ⌠ f '(t)e–int dt car f(π)e–inπ = f(–π)einπ à cause de la périodicité. in  ⌡ –π

- 12 -

⇒

cn(f) =

1 1 cn(f ') produit d'une quantité qui tend vers 0 par une quantité cn(f ') qui est in in

bornée. La formule ci-dessus est encore valable si f est continue et C1 par morceaux (i.e. f est continue, et il existe une subdivision –π = x0 < x1 < ... < xn = π telle que la restriction de f à tout intervalle ]xk, xk+1[ se prolonge en une fonction C1 à [xk, xk+1]). La formule d'intégration par partie est en effet valide pour les fonctions continues C1 par morceaux. Cette formule repose sur le fait que uv est une 1 ⌠ primitive de ⌠  u'v + uv' =  (uv)'. Or, si u et v sont continues C par morceaux, avec une subdivision ⌡ ⌡ adaptée –π = x0 < x1 < ... < xn = π, on a : π ⌠ (uv)' = ∑ ⌠ k+1 (uv)' = ∑ (uv)(xk+1–) – (uv)(xk+)   k=0 k=0 ⌡–π ⌡x n–1

x

n–1

k

n–1

= ∑ (uv)(xk+1) – (uv)(xk) en utilisant la continuité de uv k=0

= (uv)(xn) – (uv)(x0) = (uv)(π) – (uv)(–π) La formule est fausse si uv est simplement C1 par morceaux, (i.e. seulement continue par morceaux ainsi que sa dérivée et pas nécessairement continue), car les termes (uv)(xk+) et (uv)(xk–) ne se simplifieront pas dans la somme. Il n'y a donc pas de formule d'intégration par parties pour les fonctions seulement C1 par morceaux. ∞

La relation cn(f ') = incn(f) s'interprête en remarquant que, si

∑ cn einx est la série de Fourier associée

n = –∞ ∞

à f, alors

∑ incn einx (obtenue en dérivant terme à terme) est la série de Fourier associée à f ', ce qui

n = –∞

est somme toute fort raisonnable. Par récurrence, si f est Ck, alors cn(f(k)) = (in)k cn(f), autrement dit, cn(f) = o(1/nk) quand n tend vers ± ∞. Plus f est régulière, plus ses coefficients de Fourier convergent vite vers 0. Si f est C∞, ses coefficients sont dits à convergence rapide. Ils sont négligeables devant 1 toute puissance de . n π π ⌠ ⌠ La propriété iv) énonce également que les suites  f(t)cos(nt) dt et  f(t)sin(nt) dt tendent vers 0. ⌡–π ⌡–π EXEMPLE : 4 cos(nx) La série de Fourier de la fonction x sur [–π,π] vaut π – . On remarque bien que la ∑ 2 π n impair n2 fonction est C1 par morceaux et que les coefficients sont de l'ordre de

1 1 , négligeables devant . n2 n

II : Convergence des séries de Fourier Contrairement à ce qu'on a longtemps cru, la continuité par morceaux pas plus que la continuité de f ne suffit pas à assurer la convergence de la série de Fourier vers f, qu'elle soit simple ou normale. Il est possible que la série de Fourier d'une fonction continue diverge en une infinité de points. - 13 -

Cependant, en renforçant les hypothèses, on obtient des résultats satisfaisants. Voici quelques étapes de l'histoire de cette longue quête : • En 1821, Fourier publie son Traité analytique de la chaleur. Pour lui, il ne fait pas de doute que la série permet de reconstituer la fonction. Il donne plusieurs exemples mais pas de démonstration, ce qui lui sera beaucoup reproché. • En 1829, Dirichlet donne une première démonstration, pour les fonctions continues par morceaux et monotones. La démonstration que nous donnons plus bas dans le cadre du programme s'inspire directement de la démonstration de Dirichlet. • En 1873, Du Bois-Reymond donne l'exemple d'une fonction continue pour laquelle la série de Fourier diverge en un point, réduisant à néant les espoirs de montrer que la somme de toute série de Fourier d'une fonction continue est égale à cette fonction. On se donne alors pour objectif d'une part d'affaiblir les hypothèses données par Dirichlet, d'autre part de préciser la nature des ensembles sur lesquels une série de Fourier peut diverger. • En 1881, Jordan étend le théorème de Dirichlet aux fonctions dites à variations bornées. • En 1922, Kolmogorov donne un exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge en tout point. • En 1966, Kahane et Carleson prouve que la série de Fourier de toute fonction continue converge vers cette fonction sauf sur un ensemble de mesure nulle (i.e. ensemble éventuellement infini mais qu'on peut inclure dans une réunion d'intervalles dont la longueur est arbitrairement petite. Les rationnels forment un ensemble de mesure nulle). 1– Convergence en moyenne quadratique Il s'agit de la convergence pour la norme || ||2. PROPOSITION : Soit f continue par morceaux, 2π-périodique. Alors les sommes partielles convergent vers f pour la norme || ||2. En outre, on dispose des formules suivantes (Parseval) où an et bn sont supposés réels : ∞

∑ cn

2

n = –∞

1 ⌠ =  2π ⌡

π

f(t) 2 dt =

–π

a02 1 ∞ + ∑ (an2 + bn2) 4 2 n=1

π

∞ –– 1 ⌠ a a' 1 ∞  f(t)g(t) cn = dt = 0 0 + ∑ (anan' + bnbn') ∑ dn–– ⌡ 4 2

n = –∞

2π

n=1

–π

où dn, an' et bn' sont les coefficients de Fourier de la fonction g. Les formules de Parseval se résument également sous la forme : ^ = || ^f || = || f || et 2

2

où le produit scalaire et la norme des membres de gauche est défini dans l'espace l2 des séries de carrés sommables à savoir || c ||2 =

∞

∞

n = –∞

n = –∞

cn dn. ∑ cn 2 et = ∑ ––

- 14 -

Démonstration 1 : cn = est le produit scalaire de f par en. Ce nombre est la composante de la projection N

orthogonale de f sur la droite engendrée par en. Plus généralement SN(x) =

∑ cn einx est la projection

n = –N

de f sur le sous-espace vectoriel EN engendré par {en | –N ≤ n ≤ N}. Il est en effet facile de vérifier que, pour tout n, en et f – SN sont orthogonaux, en rappelant que les en sont orthonormés : = – = cn – cn = 0 Il en résulte également que || f ||22 = || SN ||22 + || f – SN ||22 (théorème de pythagore). On a en particulier : || SN ||22 ≤ || f ||22 soit encore : N

∑ cn

n = –N

2

1 ⌠ ≤  2π ⌡

π

f(t) 2 dt (inégalité de Bessel)

–π

Quand N tend vers l'infini, on obtient : π

∞ ⌠ ∑ cn 2 ≤ 1  f(t) 2 dt 2π

n = –∞

⌡–π

∞

ce qui prouve que la série

∑ cn 2 est convergente, (et donne une dernière démonstration du fait que n = –∞

cn tend vers 0 quand n tend vers ± ∞). Il en sera de même de la série

∞

∑ dn 2 relative à la fonction g, n = –∞

cn2 + dn2 –– –– et de la série ∑ cn dn puisque cn dn ≤ . 2 n = –∞ ∞

π

–– 1 ⌠  f(t)g(t Considérons maintenant la fonction auxiliaire h(x) = + x) dt. Que f et g soient ⌡ 2π –π continues ou non, h est continue. En effet, en prenant une suite quelconque convergeant à droite vers 0, on montre (théorème de convergence dominée, l'hypothèse de domination étant vérifiée par une fonction constante puisque f et g sont bornées) que la limite de h à droite de x est π –– 1 ⌠  f(t)g(t + x +) dt; où l'on a noté g(t + x +) la limite de g à droite de t + x. La différence entre 2π ⌡–π –– –– t → f(t)g(t + x +) et t → f(t)g(t + x) est une fonction en escalier, nulle sauf en un nombre fini de point. La différence des intégrales est donc nulle, de sorte que h(x) = h(x +). On montre de même que la limite à gauche est égale à h(x). Cherchons les coefficients de Fourier de h : π π π ⌠ –– 1 ⌠ 1 ⌠ –inx = f(t)g(t + x) dt e–inx dx  h(x) e dx = 2   ⌡ 4π ⌡–π –π 2π ⌡ –π

- 15 -

⌠ –– 1 ⌠ –inx  dxdt où D est le carré [–π,π]2 2 ⌡ f(t)g(t + x) e 4π ⌡ D 1 ⌠⌠ –– int f(t) e g(t + x) e–in(t+x) dxdt = 2  4π ⌡⌡D =

π

π ⌠  1 ⌠ –– = 2  f(t) eint  g(t + x) e–in(t+x) dx dt 4π ⌡–π ⌡–π  π π ⌠  1 ⌠ –– = 2  f(t) eint  g(x) e–inx dx dt en utilisant la périodicité de g 4π ⌡–π ⌡–π  π –– int 1 ⌠  f(t) = e dt × dn = –– cn dn 2π ⌡–π ∞

La série de Fourier associée à h est donc

cn dn einx mais cette série est normalement convergente. ∑ ––

n = –∞

Elle est donc continue et possède les mêmes coefficients de Fourier que h. Elle est donc égale à h. Nous avons donc prouvé que : π

∞ 1 ⌠ –– inx ––  f(t)g(t + x) dt = ∑ cn dn e 2π ⌡ n = –∞ –π

Pour x = 0, on obtient la deuxième formule de Parseval. Pour f = g, on obtient la première. Enfin, cette première formule de Parseval exprime que lim || SN ||2 = || f ||2 N→+∞ puisque || SN ||22 n'est autre que la somme partielle

N

∑ cn 2. La relation || f ||22 = || SN ||22 + || f – SN ||22

n = –N

permet donc de conclure que lim || f – SN ||2 = 0

N→+∞

autrement dit, SN converge vers f au sens de la norme || ||2. Nous rappelons que cela ne signifie nullement que SN converge vers f pour la convergence simple ou uniforme. Concluons en remarquant que || f – SN ||2 n'est autre que la distance de f au sous-espace vectoriel EN des polynômes trigonométriques engendrés par les einx, –N ≤ n ≤ N. En effet, pour g élément de EN, SN – g est encore orthogonal à f – SN, de sorte que le théorème de Pythagore s'applique encore : || f – g ||22 = || SN – g ||22 + || f – SN ||22 ≥ || f – SN ||22 ⇒ || f – g ||2 ≥ || f – SN ||2 avec égalité si et seulement si g = SN. Démonstration 2 : Le théorème de Weierstrass permet de montrer que f est limite de polynômes trigonométriques Pk N

pour la norme ||

||2. On remarque par ailleurs que SN(x) =

∑ cn einx est la projection de f sur le

n = –N

sous-espace vectoriel EN engendré par {en | –N ≤ n ≤ N}. Il est en effet facile de vérifier que, pour tout n entre –N et N, en et f – SN sont orthogonaux, en rappelant que les en sont orthonormés : - 16 -

= – = cn – cn = 0 On a donc || f ||22 = || SN ||22 + || f – SN ||22 (théorème de Pythagore), et en particulier : || SN ||22 ≤ || f ||22 ce qui s'exprime par : N

∑

cn 2 ≤

n = –N

1 ⌠  2π ⌡

π

f(t) 2 dt (inégalité de Bessel)

–π

Par ailleurs, si Pk appartient à EN, il en résulte que || f – Pk ||22 = || SN – Pk ||22 + || f – SN ||22 (à nouveau le théorème de Pythagore puisque SN – Pk élément de EN est orthogonal à f – SN) et donc que || f – SN ||2 ≤ || f – Pk ||2. Pour tout ε > 0, il existe k tel que || f – Pk ||2 < ε et si Pk appartient à EN, EN étant inclus dans En pour n ≥ N, on en conclut que : ∀ n ≥ N, || f – Sn ||2 < ε autrement dit, lim Sn = f pour la norme || ||2. n→+∞ De l'inégalité, || f ||2 – || Sn ||2 ≤ || f – Sn ||2, on en déduit également que lim || Sn ||2 = || f ||2 ou n→+∞ encore, en prenant les carrés des normes : π

n 1 ⌠ 2 lim ∑ ck 2 =  f(t) dt 2π k = –n n→+∞ ⌡–π

et l'on reconnaît la première formule de Parseval. Sachant que || ^f ||2 = || f ||2, on en déduit la seconde égalité , en utilisant la formule de polarisation : 1 = ( || f + g ||22 – || f – g ||22 – i || f + ig ||22 + i || f – ig ||22 ) 4 1 ⇒ = ( || ^f + g^ ||22 – || ^f – g^ ||22 – i || ^f + ig^ ||22 + i || ^f – ig^ ||22 ) 4 ^ ⇒ = La formule de Parseval permet d'obtenir des séries difficiles à sommer en général. EXEMPLES : ❑ Soit f(x) = sg(x). Sa série de Fourier associée est 8 π2

∑

n impair

π

1 1 ⌠ dt = 1 ⇒ 2 = n 2π  ⌡ –π

∑

n impair

4 sin(nx) . La formule de Parseval donne : ∑ π n impair n

1 π2 = n2 8

On en déduit d'ailleurs une autre sommation : ∞

∑

n=1

⇒

1 = n2

∑

n impair

1 + ∑ n2 n pair

1 π2 ∞ 1 π2 1 ∞ 1 π2 1 ∞ 1 = +∑ = + ∑ = + ∑ n2 8 p=1 4p2 8 4 p=1 p2 8 4 n=1 n2

∞ 2 ∑ n12 = π6 p=1

- 17 -

cos(nx) 4 ❑ Soit f(x) = x . Sa série de Fourier associée est π – . La formule de Parseval donne : ∑ 2 π n impair n2 π2 8 + 4 π2

∑

n impair

π

1 1 ⌠ 2 π2 1 π4  t dt = ⇒ ∑ 4 = 4 = 3 96 n 2π ⌡ n impair n –π

Un raisonnement comparable au précédent donne alors : ∞ π4 ∑ n14 = 90 n=1

∞

❑ Soit f(x) = x. Sa série de Fourier est 2 ∑

n=1

∞

2

∑

n=1

(–1)n+1 sin(nx) . La formule de Parseval donne : n

π

∞ 1 1 ⌠ 2 π2 1 π2  t dt = ⇒ ∑ 2 = formule déjà vue plus haut. 2 = 3 6 n 2π ⌡ n=1 n –π

❑ Soit f(x) = x2. Sa série de Fourier est

∞ π2 (–1)n +4∑ cos(nx). La formule de Parseval donne : 3 n2 n=1

π

∞ ∞ π4 1 ⌠ 4 π4 1 1 π4 +8∑ 4= t dt = d'où ∑  4 = 9 5 90 2π ⌡ n=1 n n=1 n –π

❑ La formule de Parseval correspondant à f(x) = x et g(x) = sg(x) donne : π π 2 4 1 ⌠ 1⌠ 1 ∑ n2 =  t sg(t) dt =  t dt = π2 ⇒ ∑ n12 = π8 déjà rencontrée π n impair 2π ⌡ π⌡ n impair 0

–π

2- Convergence normale PROPOSITION : Soit f continue de classe C1 par morceaux. Alors la série de Fourier converge normalement vers f. En effet, nous savons que cn(f) =

1 c (f ') 1 cn(f ') et donc que cn(f) = cn(f ') = n in in n

1 1 a2 + b2 ( 2 + cn(f ') 2 ) en utilisant l'inégalité ab ≤ 2 n 2 1 Or les deux séries de terme général 2 et cn(f ') 2 sont toutes deux convergentes. Il en est donc de n ⇒

cn(f) ≤

∞

même de la série de terme général cn(f) , ce qui signifie que la série de Fourier

∑ cn einx est n = –∞

normalement convergente vers une fonction continue S. Or les coefficients de Fourier de S sont : = n = –∞

- 18 -

∞

=

∑ (intégration terme à terme d'une série normalement convergente n = –∞

sur un segment) = cn S a donc les mêmes coefficients de Fourier que f. Les deux fonctions étant continues, elles sont égales. EXEMPLES : Les hypothèses du théorème s'appliquent à la fonction x ou x2 sur [–π,π]. On a donc : 4 cos(nx) ∀ x ∈ [–π,π], x = π – ∑ 2 π n impair n2 et x2 =

∞ (–1)n π2 +4∑ cos(nx) 3 n2 n=1

Pour x = 0, les deux formules donnent respectivement ∞

la deuxième donne ∑

n=1

∞ 1 π2 (–1)n+1 π2 ∑ n2 = 8 et ∑ n2 = 12. Pour x = π, n impair n=1

1 π2 = . n2 6

3- Convergence simple Une hypothèse plus faible est contenue dans le théorème suivant : THEOREME DE DIRICHLET : Soit f de classe C1 par morceaux (mais non nécessairement continue). Alors la série de Fourier converge simplement vers f, aux points x en lesquels f est continue. Aux points x où f est f(x+) + f(x–) des limites à gauche et à discontinue, la série de Fourier converge vers la moyenne 2 droite de f en x. Si f est discontinue, il est impossible qu'il y ait convergence uniforme vers f (puisque les sommes partielles sont continues et pas f) ; ci-dessous la trentième somme partielle de la série de Fourier de la fonction signe(x) :

- 19 -

Démonstration non exigible Démonstration : Dirichlet donna en 1829 une première démonstration de convergence des séries de Fourier. Dirichlet supposait les fonctions monotones, mais nous pouvons adapter sa démonstration à nos propres hypothèses. Soit SN une somme partielle de la série de Fourier d'une fonction de classe C1 par morceaux. On a : N

∑ cn einx

SN(x) =

n = –N

=

1 2π

N

⌠

π

∑ einx  f(t) e–int dt

n = –N

⌡–π

π

=

N 1 ⌠  f(t) ∑ ein(x–t) dt 2π  n = –N ⌡–π

Arrêtons-nous à cette expression. Elle est de la forme

N 1⌠π f(t) s (x–t) dt avec s (u) = einu. On ∑ N N 2π n = –N ⌡–π

1⌠π f(x–t) sN(t) dt en faisant le changement de variables x–t → t et 2π ⌡–π en tenant compte de la périodicité des fonctions pour se ramener à un intervalle d'intégration [–π, π]. 1 ⌠π Il s'agit d'une intégrale de f pondérée par une fonction sN. On parle de produit de convolution. 2π  ⌡–π sN vaut 1. Par ailleurs, sN(t) prend la valeur 2N+1 lorsque t = 0, valeur d'autant plus grande que N est grand. Calculons plus précisément sN(t) : peut aussi l'écrire sous la forme

N

sN(t) =

–i(2N+1)t

∑ e–int = eiNt 1 –1 e– e–it pour t ≠ 0

n = –N

- 20 -

1 e–i(N + 1/2)t 2i sin(N + )t 2 = eiNt t e–it/2 2i sin 2 1 t sin(N + )t sin(Nt) cos( ) 2 2 = = + cos(Nt) t t sin sin( ) 2 2 Voici le graphe de sN(t) :

sN approxime une distribution de Dirac, impulsion ponctuelle en t = x. On peut comprendre pourquoi 1⌠π f(x–t) sN(t) dt a de bonnes chances de donner une valeur proche de f(x). En effet, sN(t) prend 2π ⌡–π 1 ε des valeurs importantes au voisinage de 0, de sorte que l'intégrale doit valoir approximativement ⌠ 2π ⌡–ε f(x–t) sN(t) dt avec ε petit, de sorte que f(x–t) est proche de f(x) sur l'intervalle [–ε, ε]. On obtient 1 ε 1⌠ε 1⌠ε donc comme valeur approchée ⌠ f(x)s s sN(t) dt vaut à peu N(t) dt = f(x) N(t) dt. Or 2π 2π 2π ⌡–ε ⌡–ε ⌡–ε π 1 près ⌠ sN(t) dt = 1, d'où la valeur finale f(x). Il nous reste à affiner ce raisonnement empirique. 2π ⌡–π Commençons par tenir compte du fait que f peut être discontinue en x, mais admet néanmoins une limite à gauche et à droite de x. Pour cela, coupons l'intégrale en deux :

- 21 -

0

sin(N + )t 2 1 ⌠ SN(x) = f(x–t) dt t 2π  sin 2 ⌡–π 1

π

1 ⌠ + 2π  ⌡0

1 sin(N + )t 2 f(x–t) dt t sin 2

Considérons la première intégrale (respectivement la deuxième). Notons f(x–) la limite à gauche de x (respectivement f(x+) sa limite à droite). On a : 0 0 1 1 sin(N + )t sin(N + )t ⌠ ⌠ 2 2 1 1 f(x–t) dt = (f(x–t) – f(x+)) dt   t t 2π 2π sin sin 2 2 ⌡ ⌡ –π

–π

0

1 ⌠ f(x+) +  2π

⌡–π

0

1 sin(N + )t 2 dt t sin 2

sin(N + )t 2 1 1 ⌠ + dt sous la forme (au facteur Ecrivons (f(x–t) – f(x )) près) : t 2π 2π  sin 2 ⌡–π 1

0

+ + 0 0 + ⌠ f(x–t) – f(x ) sin(N + 1)t dt = ⌠ f(x–t) – f(x ) cos t sin(Nt) dt + ⌠  (f(x–t) – f(x )) cos(Nt) dt   2 t 2 t ⌡–π sin sin   2 2 ⌡–π ⌡–π f(x–t) – f(x+) t La première intégrale fait intervenir la fonction qui, à t, associe cos . Cette fonction t 2 sin 2 admet une limite finie quand t tend vers 0–, à savoir –2f '(x+). Elle est donc continue par morceaux sur [–π,0]. La fonction intervenant dans la deuxième intégrale, qui à t associe f(x–t) – f(x +) est également continue par morceaux. Quitte à prolonger ces fonctions par la fonction nulle sur [0,π], on peut se ramener à une intégrale entre –π et π et appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue vu en I-3. Ce lemme permet de conclure que les deux intégrales tendent vers 0 quand N tend vers l'infini. 0

1 Quant à 2π

⌠ + sin(N + 2)t  f(x ) sin t dt, 2 ⌡–π 1

une fois mis f(x+) en facteur, il suffit de revenir aux

exponentielles pour voir que : 0 1 0 N ⌠ sin(N + 2)t ⌠  ∑ e–int dt = π dt =  t  n = –N sin ⌡–π 2 ⌡ –π

0

sin(N + )t 2 1 ⌠ Cela montre donc que f(x–t) dt t 2π  sin 2 ⌡–π 1

tend vers

- 22 -

f(x+) quand N tend vers +∞. 2

On procède de même pour l'autre moitié et l'on montre ainsi que SN(x) tend vers

f(x+) + f(x–) quand 2

N tend vers +∞. Si la fonction est seulement continue, il se peut que la série de Fourier diverge. Des contre-exemples sont cependant difficiles à élaborer. L'épreuve CCP 2004 MP en donne un, à savoir, la fonction paire f définie sur [0,π] par : ∞

f(x) = ∑

n=1

1 x n3 2 sin((2 + 1) ) 2 n

On montre que la série de Fourier de f diverge en 0. Cela n'est pas en soi un défaut des séries de Fourier, mais plutôt un défaut du procédé de sommation choisi, à savoir la limite usuelle des sommes partielles. Il existe en effet d'autres procédés de sommation permettant de donner un sens à des séries de Fourier qui divergent au sens usuel. Par exemple, Fejer a montré peu après 1900 que, si f est f(x+) + f(x–) continue par morceaux, la moyenne arithmétique des sommes partielles converge vers , et 2 que, si f est continue, cette moyenne converge uniformément (cette dernière propriété constituant d'ailleurs un démonstration du théorème de Weierstrass). On dit que les sommes partielles convergent au sens de Cesaro. Le procédé de sommation de Cesaro est donc mieux adapté que le procédé usuel puisqu'il nécessite moins d'hypothèses, mais il est plus compliqué à mettre en œuvre. On peut enfin montrer que, si f est continue, f est égale à sa série de Fourier en tout point où celle-ci converge. 4– Cas des fonctions T–périodiques 2π t la pulsation. La fonction F(t) = f( ) = f(x) est T ω alors périodique de période 2π et on peut lui appliquer les résultats précédents. On revient à f en posant f(x) = F(ωx) = F(t), où t = ωx. On prend comme base eint = eiωnx, sin(nt) = sin(nωx) et cos(nt) = cos(nωx) sur un intervalle de longueur T, par exemple [0,T]. Le produit scalaire est donné par : T 2π 2π ⌠ –––– ⌠ ––– ––– 1 ⌠ 1 1  F(t) G(t) dt =  f(t/ω) g(t/ω) dt =  f(x) g(x) dx avec x = t ⌡ T ⌡0 2π 0 2π ⌡0 ω Les coefficients de Fourier sont : T 1 ⌠ –inωx iωnx cn = =  e f(x) dx T ⌡0 Si T est la période de la fonction f, on note ω =

T

2⌠ a0 =  f(x) dx T ⌡0 T

an =

2⌠  cos(nωx) f(x) dx T ⌡0 T

2⌠ bn =  sin(nωx) f(x) dx T ⌡0 En particulier, pour une fonction périodique de période 1, on a : 1 ⌠ –2iπnx 2iπnx cn = =  e f(x) dx ⌡0 - 23 -

La série de Fourier associée à f est

∞

∞

n = –∞

n=1

∑ cn ein ωx = a20 + ∑ ancos(nωx) + bnsin(nωx). Celle-ci converge

vers f pour la norme || ||2. Si f est continue C1 par morceaux, la série converge normalement vers f. f(x+) + f(x–) Si f est non continue mais C1 par morceaux, alors la série converge simplement vers . On 2 dispose de la formule de Parseval : ∞

T

∞

1⌠ a 1 ∑ cn 2 = T  f(x) 2 dx = 40 + 2 ∑ (an2 + bn2) ⌡ n=1 n = –∞ 0 2

T

1 ⌠ –– a0 a0' 1 ∞ cn dn =  f(x)g(x) dx = + ∑ (anan' + bnbn') ∑ –– T ⌡0 4 2 n=1 n = –∞ ∞

a0 est la valeur moyenne de f sur une période. 2 La formule de Parseval possède une interprétation physique. Si f représente une intensité de courant Le terme constant

par exemple, la formule f(x) =

a0 + 2

∞

∑ ancos(nωx) + bnsin(nωx)

obtenue dans les cas favorables

n=1

exprime le fait qu'une intensité périodique peut s'obtenir comme superposition de courant T 1⌠ sinusoïdaux.  f(x) 2 dx est proportionnel à la puissance moyenne au cours d'une période, alors T ⌡0 2 a 1 que 0 est proportionnel à la puissance du courant continu, an2 est proportionnel à la puissance 4 2 1 moyenne du courant en cos(nωx), bn2 est proportionnel à la puissance moyenne du courant en 2 sin(nωx). Ainsi, la formule de Parseval exprime que la puissance totale est la somme des puissances de chaque harmonique. Annexe I : Quelques représentations graphiques On représente ci-dessous les trois types de fonctions les plus courantes qu'on puisse rencontrer, ainsi que la somme partielle des séries de Fourier limitée aux dix premières harmoniques, pour x variant de –π à π. On trace également à droite la différence des deux (dans ce cas, on ne prend pas de repère orthonormé) : ❑ sg(x) et

4 4 sin((2k+1)x) ∑ 2k+1 π k =0

La fonction est C1 par morceaux. Il y aura convergence simple sans convergence uniforme, et la série 1 converge lentement (terme général en ). L'approximation est médiocre. Augmenter le nombre de n termes ne fait pas disparaître les oscillations au voisinage du point de discontinuité (phénomène de Gibbs) :

- 24 -

1

–1

❑ x et

4 π – 2 π

4

∑

k=0

cos((2k+1)x) . La convergence de la série est normale, donc uniforme. (2k+1)2

L'approximation est bonne sur tout l'intervalle, même avec peu de termes. On notera que, dans le deuxième graphique, la différence y entre fonction et somme partielle varie de – 0,06 à 0,06 alors qu'il variait de –1 à 1 ci-dessus. 0,06

– 0,06 ❑ exp(cos(x)) et

a0 10 + ∑ an cos(nx). La fonction est C∞ donc les coefficients de Fourier tendent vers 2 n=1

0 très rapidement. Les valeurs approchées des an sont, à partir de n = 0 : 2.532131755 1.130318208 0.2714953395 0.04433684985 0.005474240438 0.0005429261447 0.00004497732298 0.000003198436413 0.0000001992125295 0.00000001103672340 0.0000000005506384482 La convergence de la série est normale et l'approximation excellente. On ne voit qu'un seul graphique dans le premier dessin. La différence des deux fonctions est inférieure à 10–10 et n'est pas visualisée - 25 -

par MAPLE. On se limite donc aux cinq premières harmoniques pour le deuxième graphique, avec une différence très faible. 0,00004

–0,00004

Annexe II : quelques séries 1 ∞ n 1 1 – r2 + ∑ r cos(nx) = 2 2 r – 2rcosx + 1 2 n=1

pour r < 1, x ∈

∞

– rcosx ∑ rncos(nx) = r2 –1 2rcosx +1























pour r < 1, x ∈



n=0 ∞

2

–r ∑ rncos(nx) = r2 –rcosx 2rcosx + 1

pour r < 1, x ∈

n=1 ∞

rsinx ∑ rnsin(nx) = r2 – 2rcosx +1

pour r < 1, x ∈

∞ n 1 1 = ln 2 ∑ r cos(nx) n 2 r – 2rcosx + 1 n=1

pour r < 1, x ∈

∞ n rsinx = arctan ∑ r sin(nx) n 1 – rcosx n=1

pour r < 1, x ∈

n=1

∞

∑

n=1

cos(nx) 1 = ln n 2 sin(x/2)

x∈

 

– 2π

∞

x = ln (2 cos ) ∑ (–1)n+1 cos(nx) n 2

sur ]–π,π[

n=1 ∞

1 x = – ln tan ∑ cos((2n+1)x) 2n+1 2 2 n=0

sur ]0,π[

∞

cos((2n+1)x) π = ∑ (–1)n 2n+1 4

sur ]– π, π[ 2 2

n=0

- 26 -

 

∞

sin((2n+1)x) 1 x ∑ (–1)n 2n+1 = – 2 ln tan (π4 – 2)

sur ]– π, π[ 2 2

∞ π–x = ∑ sin(nx) 2 n n=1

sur ]0,2π[

= π signe(x) ∑ sin(nx) 4 n n impair

sur ]–π,π[

x =π– ∑ sin(nx) 4 2 n n pair

sur ]0,π[

n=0

∞

sin(nx) x ∑ (–1)n+1 n = 2

sur ]–π; π[

∞ 3x2 – 6πx + 2π2 = ∑ cos(nx) 12 n2

sur [0,2π]

cos(nx) π2 – 2πx ∑ n2 = 8 n impair

sur ]0,π[

cos(nx) 6x2 – 6πx + π2 ∑ n2 = 24 n pair

sur ]0,π[

∞ π2 – 3x2 = ∑ (–1)n+1 cos(nx) n2 12

sur [–π,π]

n=1

n=1

n=1 ∞

1 =– ⌠ ∑ (–1)n cos((2n+1)x) (2n+1)2 2

⌡0

n=0

π–4 2 π

π/2 – x

sur [– π, π] 2 2

t ln (tan ) dt 2

= x ∑ cos(nx) n2

sur [–π,π]

x ∞ t =–⌠ ln (2sin ) dt ∑ sin(nx) 2  n 2 n=1

sur [0,2π]

n impair

⌡0

x

sin(nx) 1 t =– ⌠ ln (tan ) dt 2  2⌡ 2 n impair n

sur [0, π]

1⌠ = –  ln (2sint) dt ∑ sin(nx) 2 n 2 ⌡0 n pair

sur [0, π]

∑

0 x

∞

x

sin(nx) t ∑ (–1)n+1 n2 = ⌠  ln (2cos2) dt

n=1

sur [–π, π]

⌡0

∞

sin((2n+1)x) πx ∑ (–1)n (2n+1)2 = 4

sur [– π, π] 2 2

n=0

- 27 -

∞

sin2(nx) πx – x2 = n2 2

∑

n=1

sur [0, π]

2 πx = ∑ sinn(nx) 2 4

sur [0, π] 2

n impair

∑

n pair

sin2(nx) πx – 2x2 = 4 n2

∞

sur [0, π] 2

πx = ∑ sinn(nx) 2 4

π sur [0, ] 2

4

n=1 ∞

π sur [0, ] 2

sin4(nx) 2πx3 – 3x4 = 6 n4 n=1

∑

∞

∑ n = –∞ ∞

∑

n=1

einx = π ei(π–x)α n + α sin(πα)

sur ]0, 2π[

sin(nh)sin(nk) k(π–h) = n2 2

cos(αx) =

pour 0 ≤ k ≤ h ≤ π de façon que h+k ≤ π

sin(πα) ∞ 2α sin(πα) + ∑ (–1)n 2 cos(nx) πα (α – n2)π n=1

cotan(απ) =

sur [–π,π]

∞ 1 2α ∞ + ∑ 2 1 2 ou cotan x = 1x + ∑ 2 2x 2 2 πα π n=1 α – n n=1 x – π n

sin(x) =

2 4 ∞ cos(2nx) – ∑ 2 π π n=1 4n – 1

pour 0 < x < π

cos(x) =

8 ∞ ∑ 4n2n– 1 sin(2nx) π n=1

pour 0 < x < π

∞ 1 1 = ∑ 2 sin (x) n = –∞ (x + nπ)2

sur ]0,π[

∞ x3 – π2x = ∑ (–1)n sin(nx) n3 12

sur [–π,π]

∞ x3 – 3πx2 + 2π2x = ∑ sin(nx) 3 n 12

sur [0,2π]

n=1

n=1

π2x – πx2 = ∑ sin(nx) 3 n 8

sur [0,π]

n impair

2x3 – 3πx2 + π2x = ∑ sin(nx) 3 n 24

sur [0,π]

n pair

- 28 -

∞

∑

n=0 ∞

∑

n=1

sin((2n+1)x) 1 ⌠ (–1) =  (2n+1)3 2⌡

π/2 – x

n

0

p

1 ⌠ ln(tan t ) dt dp + ∑ 3 sur [0,π]  2 n impair n ⌡0

∞ cos(nx) ⌠ ⌠ t 1 =   ln(2 sin ) dt dp + ∑ 3 3 2 n n ⌡0 ⌡0 n=1 x

p

x

sur [0,2π]

1⌠ t 1 =  ⌠ ln(tan ) dt dp + ∑ ∑ cos(nx) 3 3  2 ⌡0 ⌡ 2 n n impair n impair n 0 ∞

p

cos(nx) ∞ (–1)n+1 ⌠ ⌠ t =∑ –   ln(2 cos ) dt dp sur [0,2π] 3 3 n n 2 n=1 ⌡0 ⌡0 x

∑ (–1)

n+1

n=1

p

∞ 3 2 cos((2n+1)x) ∑ (–1)n (2n+1)3 = π –324πx

π π sur [– , ] 2 2

n=0 ∞

∑

n=1

1 π2 = n2 6

∞ 2 ∑ (2n 1+ 1)2 = ∑ n12 = π8 n=0 n impair

∑

n pair

1 π2 = n2 24

∞ n+1 π2 = ∑ (–1) n2 12

n=1

∞ π3 (–1)n = ∑ (2n+1) 3 32 n=0 ∞

π4

1

∑ 4 = 90 n=1 n ∞

1

π4

∑ 4 = 96 n impair n ∞

π6

1

∑ 6 = 945 n=1 n ∞

1

sur [0,π]

π4

∑ 6 = 960 n impair n

- 29 -

Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Présentation de deux cas particuliers A

2 Soit f une fonction C1 par morceaux sur un intervalle [–A, A], telle que ⌠  f(t) dt = 1. f peut ⌡–A avoir plusieurs interprétations : ❑ f peut représenter l'amplitude d'un signal lorsque le temps t varie dans [–A, A]. A 2 2 ❑ Comme ⌠  f(t) dt = 1, f(t) définit aussi une densité de probabilité sur l'intervalle [–A, A], ⌡–A permettant de définir les valeurs moyennes de variables aléatoires définies sur [–A, A]. ❑ Par exemple, en mécanique quantique, f(x) 2 représente la densité de probabilité qu'une particule b

2 se situe à l'abscisse x. La probabilité que la particule se situe dans l'intervalle [a, b] vaut ⌠  f(x) dx. ⌡a A

2 La position moyenne de cette particule est ⌠  x f(x) dx. ⌡–A

Dans tous les cas, A représente un nombre suffisamment grand pour que l'intervalle [–A, A] englobe les phénomènes observables intéressants. On pourra ainsi supposer que f(A) = f(–A) = 0. Potentiellement, on peut faire tendre A vers l'infini. Si on pose ω = π , l'application du théorème de Dirichlet permet de représenter f(t) sous la forme de A série de Fourier (aux points où f est continue) : ∞

∀ t ∈ [–A, A], f(t) = ∑ cn ein ωt –∞

Il suffit pour cela d'imaginer qu'on prolonge f par périodicité de période 2A au-delà de l'intervalle [–A,A]. A la fonction f, on peut donc associer son spectre de fréquences, à savoir la suite des nω affectée des coefficients (cn).

- 30 -

Exemple 1 : 1 2A 1 c0 = et ∀ n ≠ 0, cn = 0 2A L'onde f est un signal constant, non localisé, infiniment étalé, et correspond à un spectre réduit à une unique fréquence nulle. f(t) =

Exemple 2 : Soit –A < α < β < A et : f(t) = 0 si t < α ou si t > β 1 f(t) = si α < t < β β–α β–α , et pour n ≠ 0 : 2A 1 1 ⌠ β –in ωt 1 1 1 –inαω –inβω cn = e dt = (e –e ) 2A β – α  2A β – α inω ⌡

Alors c0 =

α

=

1 1 –in ω(α+β)/2 (β – α)nω 1 e sin( ) 2 A β – α nω

On remarque que

cn (β – α)nω sin(x) = sinc( ) où la fonction sinc(x) vaut dont voici le graphe : c0 2 x

π

–π

La partie essentielle du graphe sinc se situe entre –π et π, de sorte que les fréquences les plus (β – α)nω 2π 2π représentatives de f sont telles que – π < < π, ou encore –