ESPACES VECTORIELS On utilisera le cours de LM125-1er semestre :Chapitre 3 Espaces Vectoriels et Applications Retour vers la page de garde

Plan : I Espaces Vectoriels A) Définition – Axiomes-Terminologie Exemples –Définition de la somme de n vecteurs B) Règles de calcul dans un espace vectoriel

II SEV Sous espaces vectoriel : Partie stable, Définition d’un s.e.v. Caractérisation d'un sous-espace par la notion de combinaison linéaire, Sous-espace engendré par une partie d'un espace vectoriel

DEFINITION

La définition suivante donne les objets mathématiques manipulés (un ensemble, un corps commutatif, deux lois) et les règles de fonctionnement lorsqu'intervient la notion d'espace vectoriel.

Définition d'un K-espace vectoriel Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide muni

d'une loi de composition interne c'est à dire une application de

dans E

d'une loi de composition externe de domaine d'opérateurs un corps commutatif K, c'est à dire une application de dans E

vérifiant trois groupes d'axiomes : 1) Axiomes relatifs à la loi interne 2) Axiomes relatifs à la loi externe 3) Axiomes liant les deux lois : double distributivité

AXIOMES

1) Axiomes relatifs à la loi interne a) Associativité, c'est à dire que pour tous éléments u, v et w de E

b) Il existe un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un élément de E, noté 0, vérifiant pour tout élément v de E

c) Tout élément v de E admet un symétrique, c'est à dire qu'il existe un élément v' de E tel que Cet élément v' est noté -v

d) Commutativité, c'est à dire que pour tous éléments u et v de E

Remarque 1 Les axiomes a, b, c et d ci-dessus, caractérisent les groupes abéliens. D’où les propriétés suivantes : -S'il existe un élément 0 vérifiant l'axiome b ci-dessus, il est unique. ( La démonstration a été donnée pour la structure de groupe) -De même, si v est un élément de E et s'il existe un élément de E vérifiant l'axiome c ci-dessus, il est unique ( propriété des groupes commutatifs)

2) Axiomes relatifs à la loi externe a) Pour tous éléments

et de K, pour tout élément v de E

b) Soit 1, l'élément neutre de la multiplication de K. Pour tout élément v de E

3) Axiomes liant les deux lois : double distributivité a) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : Pour tout et de K et pour tout élément v de E

b) Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : Pour tout élément de K et pour tous éléments u et v de E

La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire à 8 axiomes pour que E muni de ces lois soit un espace vectoriel.

Terminologie et notations

On dit aussi, au lieu de K-espace vectoriel, espace vectoriel sur K Les éléments du corps K sont appelés scalaires, notés en général avec des lettres grecques

, , , ... Le corps K est appelé le corps des scalaires.

Les éléments de l'espace vectoriel seront appelés vecteurs ou éléments de E et notés avec des lettres latines u, v, U, V, x, y, f, g... La loi de composition interne (notée usuellement +) est appelée couramment l'addition et v + v' est appelée somme des vecteurs v et v'. La loi de composition externe est appelée couramment multiplication par un scalaire ou produit par un scalaire. Le scalaire et le vecteur sont juxtaposés côte à côte sans notation particulière. Précision : Il est convenu d'écrire le scalaire avant le vecteur, soit, si est un scalaire et V un vecteur, . Donc écrire a un autre sens mathématique. Toutefois dans des exemples, d'autres notations peuvent être utilisées pour les lois. Attention : Abus de notations usuels L'élément neutre de la loi interne de E est noté 0 et appelé vecteur nul. Il pourrait y avoir confusion avec l'élément neutre 0 de K. Le contexte

permet d'éviter la confusion. Pour ne pas confondre " 0 " et " 0 ", s'il y a donc des risques d'ambiguïté, l'élément neutre de E peut être noté 0E et celui de K, 0K . De même pour le symbole " + " : dans l'égalité , le " + " du premier membre de l'égalité désigne l'addition dans le corps K, celui du deuxième désigne la loi interne de E. Pour ne pas confondre " + " et " + ", s'il y a des risques d'ambiguïté, ces lois seront notées avec des couleurs différentes. Remarque sur le corps K La théorie des espaces vectoriels est valable pour un corps K commutatif quelconque, mais dans une première lecture les corps K considérés seront le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. Usuellement la multiplication de deux éléments x et y de K se note en juxtaposant x et y ; dans certains cas, il sera utile d'employer le symbole .

Exemples Dans tous les exemples qui suivent, la vérification des axiomes se fait simplement et est laissée aux soins de l'étudiant. Seuls seront indiqués, dans chaque cas les valeurs de l'élément neutre de la loi interne et du symétrique d'un élément. Il est important de remarquer que les règles de calcul proviennent de l'addition et de la multiplication des éléments du corps K qui est sous jacent dans tous les exemples. Tous les résultats de cette partie sont considérés comme indispensables pour toute poursuite d'étude des espaces vectoriels.

Exemple 1 : Le R-espace vectoriel R2

Définition de l'ensemble Le produit cartésien R R est noté R2. C'est l'ensemble des couples (x, y) avec x élément de R et y élément de R. Ceci s'écrit :

Remarque : l'écriture (x, y) traduit un ordre sur les éléments x et y ; x est la première composante du couple (x, y), y est la seconde. Donc, si x est différent de y, le couple (x, y) est différent du couple (y, x).

Définition de la loi interne Si (x, y) et (x', y') sont deux éléments de R2,

Définition de la loi externe Si est un réel, et (x, y) un élément de R2

Elément neutre de la loi interne C'est le couple (0, 0), où 0 désigne le zéro de R. Symétrique d'un élément Le symétrique de (x, y) est le couple (-x, -y)

Exemple 2 : Le R-espace vectoriel Rn

Cet exemple généralise l'exemple précédent. Définition de l'ensemble Si n est un entier supérieur ou égal à 2, le produit cartésien de n ensembles égaux à R, R R ... R est noté Rn. C'est l'ensemble des n-uplets (x1, x2, ... , xn) avec x1, x2, ... , xn éléments de R. Ceci s'écrit :

Remarque 1 : De même que dans l'exemple précédent, l'écriture (x1, x2, ... , xn) traduit un ordre sur les éléments xi ; xi est la i-ème composante du n-uplet (x1, x2, ... , xn). Remarque 2 : Comme il est souvent impossible matériellement d'écrire tous les éléments d'un n-uplet (si n est grand), l'usage est de remplacer ceux que l'on n'écrit pas par trois points ' . . . '. Ainsi par exemple (x1, x2, ... , x5) désigne le 5-uplet (x1, x2, x3, x4, x5) ; c'est un élément de R5.

Définition de la loi interne Si (x1, x2, ... , xn) et (y1, y2, ... , yn) sont deux éléments de Rn

Définition de la loi externe Si est un réel, et (x1, x2, ... , xn) un élément de Rn,

Elément neutre de la loi interne C'est le n-uplet dont toutes les composantes sont égales au zéro de R, soit (0, 0, ... , 0). Symétrique d'un élément Le symétrique de (x1, x2, ... , xn) est le n-uplet (-x1, -x2, ... , -xn) Définition analogue pour C2 et plus généralement Cn, espaces vectoriels sur C.

Exemple 3 : le R-espace vectoriel F(R,R)

Définition de l'ensemble L'ensemble des fonctions de R dans R est noté F(R, R). Il peut être muni d'une structure de R-espace vectoriel de la manière suivante.

Définition de la loi interne ; ce doit Soient f et g deux éléments de F(R, R). On doit donner un sens à être un élément de F(R, R) c'est-à-dire une fonction de R dans R. L'application est donc définie en donnant l'image de tout élément réel x , soit : par

+ : loi interne de F(R, R) + : addition dans R Définition de la loi externe De même, si est un nombre réel et f un élément de F(R, R), doit être une fonction de R dans R. Elle est définie dès qu'est donnée l'image de tout élément de R soit :

Pour mieux comprendre le sens de cette définition, désignons par un point la loi externe de F(R, R) et par une croix la multiplication dans R :

Elément neutre de la loi interne C'est l'application de R dans R définie par :

C'est la fonction nulle, qu'il est difficile de noter 0 (car alors, on serait en droit d'écrire 0(0) = 0, ce qui est difficile à décoder !). Symétrique d'un élément f de F(R, R) C'est l'application g de R dans R définie par :

Elle est notée -f.

Exemple 4 : le R-espace vectoriel des suites réelles

Définition de l'ensemble Ensemble des suites réelles, noté S = F(N, R), c'est l'ensemble des applications de N dans R. Définition de la loi interne et

Soient

deux éléments de S,

est la suite

définie par :

où + désigne l'addition dans R. Définition de la loi externe De même, si suite

est un nombre réel et

un élément de S,

, définie par :

où désigne la multiplication dans R. Elément neutre de la loi interne C'est la suite réelle dont tous les termes sont nuls, c'est-à-dire la suite définie par :

Symétrique d'un élément C'est la suite réelle

Elle est notée -U.

définie par :

est la

Exemple 5 : le R-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles (ou fonctions polynomiales réelles)

Définition de l'ensemble Une fonction polynôme sur R est une fonction f de R dans R telle qu'il existe un entier k, et éléments a0, a1, ... , ak de R tels que :

On note P l'ensemble des fonctions polynômes sur R. Définition des lois La définition de la loi interne et de la loi externe est la même que dans l'exemple 3. Elément neutre de la loi interne C'est la fonction nulle, définie dans l'exemple 3, qui est la fonction polynôme pour laquelle tous les coefficients ai sont nuls. Symétrique d'un élément f de P C'est l'application -f définie dans l'exemple 3. Si f est définie par les coefficients ai :

-f est la fonction polynôme définie par les coefficients -ai :

REMARQUE IMPORTANTE : ATTENTION Soit E l'ensemble des applications de R dans R de la forme : avec a non nul. La somme, au sens de l'exemple 3, de deux éléments de E peut ne pas être un élément de E . 2

2

2

2

Par exemple soit f et g deux éléments de E définis respectivement par : 2

Alors, la fonction est la fonction qui n'appartient pas à E (le coefficient de x est nul). On ne peut donc pas définir sur l'ensemble E une structure d'espace vectoriel avec les lois de l'exemple 3. 2

2

2

Exemple 6 : Structures d'espaces vectoriels de R et C

Sur un même ensemble, il est possible de mettre plusieurs structures d'espace vectoriel, soit en changeant les lois, soit en changeant de corps des scalaires , les cas les plus simples : R (resp. (C)) comme espace vectoriel sur le corps R (resp. (C));

Le R-espace vectoriel C avec

Définition de la somme de N vecteurs

Il est possible de définir, par récurrence, l'addition de n vecteurs,

.

La structure d'espace vectoriel permet de définir l'addition de deux vecteurs, ce qui démarre la démonstration. Si la somme de n-1 vecteurs est définie, alors la somme de n vecteurs V1 , V2 , ... , Vn , est définie par :

Notation :

Cette définition découle donc de la propriété d'associativité.

B-Règles de Calcul

Enoncés des propriétés

Règles de calcul dans un espace vectoriel Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Les propriétés suivantes sont satisfaites : 1) L'addition est régulière : Si u, v, et w sont des vecteurs tels que

2) Pour tout vecteur v de E, 3) Pour tout scalaire

,

4) Pour tout vecteur v de E, 5) L'opération s'appelle la soustraction ; le vecteur est noté . Les propriétés suivantes sont satisfaites : a) Pour tout scalaire

et tous vecteurs v et w,

b) Pour tous scalaires

et et tout vecteur v,

6) Si est un scalaire et v un vecteur tels que soit

, alors

, soit

SYNTHESE : Les propriétés 2, 3, et 6 peuvent être résumées par le résultat fondamental et incontournable suivant : si et seulement si

ou

Remarque 1 : Les démonstrations de ces propriétés sont un excellent exercice de manipulation des axiomes d'espace vectoriel. Elles sont donc traitées intégralement dans ce qui suit. Remarque 2 : Pour la clarté des démonstrations , et pour ne pas les confondre, 0E désigne l'élément neutre de l'addition de E et 0K l'élément neutre de K. Dans la suite, ces contraintes de notations seront abandonnées chaque fois qu'il n'y aura aucune ambiguité

Démonstration des propriétés Propriété 1 L'addition est régulière : Si u, v, et w sont des vecteurs tels que

Preuve de la propriété 1 : En ajoutant aux deux membres de l'égalité -u, on obtient l'égalité

le symétrique de u, soit

Ce qui, en utilisant l'associativité de l'addition des vecteurs, permet d'obtenir l'égalité

Or

d'où

d'après la définition du symétrique, l'égalité devient donc

d'après la définition de l'élément neutre de l'addition.

Remarque destinée aux étudiants connaissant la notion de groupe : Ceci est une propriété du groupe abélien

Propriété 2 : Pour tout vecteur v de E, Preuve : Le point de départ de la démonstration est l'égalité dans K

D'où, pour tout vecteur v de E, l'égalité :

Soit en utilisant la distributivité de la loi externe par rapport à la loi interne et la définition de l'élément neutre

Ce qui permet d'obtenir l'égalité souhaitée

grâce à la propriété 1

Propriété 3 : Pour tout

élément de K,

La preuve est semblable en partant de l'égalité

.

Propriété 4 : Pour tout vecteur v de E, Preuve : Compte tenu de la définition du symétrique pour l'addition d'un élément de E il suffit, pour justifier la propriété, de calculer l'expression . (propriété de la multiplication par 1) d'où

(distributivité de l'addition des scalaires)

d'où

car dans K,

ce qui donne en utilisant la propriété 2, Le vecteur

est donc ainsi le symétrique du vecteur v.

Propriété 5 : L'opération est noté

s'appelle la soustraction ; le vecteur . Les propriétés suivantes sont satisfaites :

a) Pour tout scalaire

et tous vecteurs v et w,

b) Pour tous scalaires

et et tout vecteur v,

Preuve : Les outils essentiels de la preuve de ces deux propriétés sont : la définition du symétrique d'un vecteur, les propriétés d'associativité de l'addition et de distributivité par rapport à la loi externe. Preuve du a : Avec la notation introduite dans l'énoncé, Alors,

est égal à

.

(distributivité) (associativité de l'addition dans E) (définition du symétrique) d'où

(définition de l'élément neutre)

ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique . de Preuve du b : Elle est du même type. Le point de départ en est le calcul de

.

Remarque 1 : La relation 5a écrite avec

donne la relation :

De même la relation 5b, écrite avec

.

donne la relation :

.

Remarque 2 : La soustraction n'est ni associative ni commutative.

Propriété 6 : Si est un scalaire et v un vecteur tels que

alors soit

, soit

Remarque sur la méthodologie de ce type de propriétés En désignant par (P) la propriété "

", par (Q) la propriété "

" et

par (R) la propriété "

", le schéma logique de l'énoncé 6 est : (P) implique (Q) ou (R)

Une méthode, pour démontrer ce type d'énoncé, est de montrer que (P) et non (Q) implique (R) On pourrait, bien sûr aussi, montrer que (P) et non (R) implique (Q) Le choix dépend du contexte et de la facilité à traduire non (Q) ou non (R). Ici, on va se placer dans la première situation. Soit donc un scalaire et v un vecteur vérifiant et Alors, est un élément inversible pour le produit dans le corps K ; soit les deux membres de l'égalité, il vient : inverse. En multipliant par

son

d'où en utilisant les propriétés de la multiplication par un scalaire

et donc

d'où avec la propriété de la multiplication par 1

Combinaisons linéaires d'éléments dans un espace vectoriel

Définition d'une combinaison linéaire de n vecteurs Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et

n vecteurs d'un K-

espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme

où

sont des éléments de K, est appelé combinaison linéaire des vecteurs Les scalaires linéaire.

.

sont appelés coefficients de la combinaison

Remarque : Si , on dit aussi que w est colinéaire à v1.

Exemples : , espace vectoriel sur R. Soient les vecteurs

,

et

. Une combinaison

linéaire de V1, V2 et V3 est un élément de la forme

où

sont des nombres réels, c'est-à-dire, tous calculs faits, le triplet

, espace vectoriel sur R. Soit

. Le vecteur

n'est pas combinaison linéaire du vecteur V1.

En effet, s'il l'était, il existerait un réel tel que l'égalité et , or 2 est différent de 1 dans R. soit

ce qui équivaudrait à

E est le R-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles. Soient f0 la fonction polynôme : f1 la fonction polynôme :

f2 la fonction polynôme : f3 la fonction polynôme : Alors les fonctions f et g définies par

puisque il est possible

sont des combinaisons linéaires des fonctions d'écrire :

et

Par contre, la fonction fonctions

n'est pas une combinaison linéaire des .

En effet s'il existait

dans R4 tel que cette égalité équivaudrait à la propriété :

pour tout x dans R, soit pour tout x dans R, D'où, en dérivant quatre fois, il viendrait

. ce qui est faux dans R.

considéré comme un R-espace vectoriel. Tout élément de C s'écrit d'une manière unique sous la forme avec a et b réels. Cette propriété bien connue peut être interprétée de la manière suivante : Tout élément de C est combinaison linéaire à coefficients réels des deux vecteurs 1 et i de C

C-SOUS ESPACES VECTORIELS

Partie stable pour une loi Définition de la stabilité pour une loi interne Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne, notée +, et F un partie non vide de E ; F est dite stable pour la loi interne si pour tout couple d'éléments de F la somme appartient à F. Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

Définition de la stabilité pour une loi externe Soit E un ensemble muni d'une loi de composition externe de domaine d'opérateurs K et F une partie non vide de E ; F est dite stable pour la loi externe si pour tout élément de K et pour tout élément u de F, appartient à F. Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

Exemple : Soit : c'est une partie de R2 stable pour l'addition usuelle, mais elle n'est pas stable pour la loi externe (la multiplication par un réel).

Sous-espace vectoriel

Théorème et définition d'un sous-espace vectoriel Soit E un K-espace vectoriel, et soit F une partie de E telle que : • • •

F est non vide F est stable pour l'addition : F est stable pour la multiplication par un scalaire :

Alors la partie F, munie de ces deux lois, a une structure de K-espace vectoriel : F est appelée sous-espace vectoriel de E. Preuve : La stabilité de F pour les deux lois permet de munir cet ensemble d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe à opérateurs dans K, en restreignant à F les opérations définies dans E. Les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition, ainsi que les quatre axiomes relatifs à la loi externe sont vérifiés, car ils sont satisfaits dans E donc en particulier dans F, qui est inclus dans E. Il reste à montrer l'existence d'un élément neutre, et d'un symétrique pour tout élément de F : L'espace vectoriel E possède un élément neutre . Cet élément appartient à F car pour u élément de F (l'hypothèse F non vide est ici essentielle) appartient à F (stabilité de F pour la loi externe), or , donc appartient à F. De plus F étant inclus dans E, cet élément est tel que : . L'élément neutre de l'addition dans F est donc . De même F étant inclus dans E, pour tout élément u de F, il existe un ; il faut donc montrer que élément de E, noté , tel que appartient à F. appartient à F, d'après la stabilité de F pour la loi u étant élément de F, externe.

Or . Donc le symétrique de u dans F est égal au symétrique de u dans E. Pour les étudiants connaissant la notion de groupe, on peut noter ici que est un sous groupe de

.

Remarques : 1- La démonstration précédente fait ressortir les deux points suivants : • •

Le symétrique de u calculé dans E est le même que le symétrique de u calculé dans F. et E sont des sous-espaces vectoriels de E.

2-

3- Un sous-espace vectoriel de E contient nécessairement . Ceci donne une méthode simple pour prouver qu'un sous-ensemble n'est pas un sous-espace vectoriel : si de E.

n'appartient pas à F alors F n'est pas un sous-espace vectoriel

Méthodologie et exemples Méthodologie 1- Pour répondre à une question du type " le sousensemble F de l'espace vectoriel E est-il un sous-espace vectoriel de E ? ", il est judicieux de vérifier que appartient à F : •

Si appartient à F, cela prouve que F est non vide et on peut poursuivre en étudiant la stabilité de F pour

les lois de E. Sinon on peut alors affirmer que F n'est pas un sousespace vectoriel de E.

•

2- Pour montrer qu'un ensemble F est un espace vectoriel sur K, on peut chercher un espace vectoriel E qui contient F, puis prouver que F est un sous-espace vectoriel de E. Exemples immédiats :

L'ensemble F défini par est un sousespace vectoriel de R . L'ensemble F défini par n'est pas un sous-espace vectoriel de R . L'ensemble des fonctions continues sur R est un sousespace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de R dans R. L'ensemble des suites réelles convergentes est un sousespace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles. 2

2

Caractérisation d'un sous-espace par la notion de combinaison linéaire Théorème Soit E un K-espace vectoriel et F une partie de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : •

F est non vide

•

Toute combinaison linéaire de deux éléments de F appartient à F :

Preuve du théorème : Il suffit de démontrer que la deuxième propriété est équivalente à la stabilité de F pour les deux lois. Il est clair que si F est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire alors toute combinaison linéaire de deux vecteurs de F est dans F. Pour établir la réciproque il suffit de choisir convenablement les coefficients et

: donne la stabilité de F pour l'addition.

quelconque, élément de K, et externe.

donne la stabilité de F pour la loi

Corollaire Une partie non vide F d'un K-espace vectoriel E est sous-espace vectoriel de E si et seulement si elle est stable par combinaison linéaire. C'est-à-dire : toute combinaison linéaire d'éléments de F appartient à F; ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

Remarque : La stabilité de F par combinaison linéaire de deux vecteurs est équivalente à la stabilité de F par combinaison linéaire (d'un nombre quelconque de vecteurs).

Exemples :

L'ensemble P des fonctions polynômes de R dans R

est un sous-espace vectoriel de , l'espace vectoriel des applications de R dans R. L'ensemble P des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n est un sous-espace vectoriel de P, donc de . En revanche, pour , l'ensemble des fonctions polynômes de degré exactement égal à n n'est pas un sous-espace vectoriel de P. En effet ce n'est pas un ensemble stable pour l'addition des fonctions : par exemple les fonctions f et g définies par et sont des fonctions polynômes de degré 1, mais leur somme ne l'est pas. n

Sous-espace engendré par une partie finie Théorème de structure de l'ensemble des combinaisons linéaires Soit

une partie finie du K-espace vectoriel E, alors

l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs est un sous-espace vectoriel de E ; c'est le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l'inclusion) contenant les vecteurs est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant

: autrement dit, il .

Preuve On appelle F l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs . Cet ensemble est non vide, car il contient la combinaison linéaire particulière

qui vaut

.

On peut également vérifier que

appartiennent à F, en effet pour

(il suffit tout k compris entre 1 et p, est combinaison linéaire de de considérer la combinaison linéaire où tous les coefficients sont nuls sauf le kième qui vaut 1). Il s'agit maintenant de prouver que F est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs. Soit u et w deux vecteurs de F et deux scalaires

et . tels que

Comme u est élément de F, il existe des scalaires

tels que

De même, w étant élément de F , il existe des scalaires

D'où

En utilisant les règles de calcul dans un espace vectoriel, on obtient :

C'est une combinaison linéaire des vecteurs

donc un élément de F.

Si G est un sous-espace vectoriel contenant alors il est stable par combinaison linéaire ; il contient donc toute combinaison linéaire des vecteurs

. Par conséquent F est inclus dans G : F est le plus petit

sous-espace (au sens de l'inclusion) contenant Notation

.

Ce sous-espace vectoriel est appelé sous-espace engendré par est noté : ou

ou

, il

ou

Exemples E étant un K-espace vectoriel, et u un élément quelconque de E, est le sous-espace vectoriel de E engendré par l'ensemble Il est souvent noté . Soit E l'espace vectoriel des applications de R dans R et applications définies par :

.

les

est l'espace vectoriel des Le sous-espace vectoriel de E engendré par fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2, c'est-à-dire de la forme

Méthodologie On peut démontrer qu'une partie non vide F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E en montrant que F est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de E. Exemple Soit

.

Un triplet de R3 est élément de F si et seulement si c'est-à-dire si et seulement si . Donc u est élément de F si et seulement si u peut s'écrire :

,

Or on a l'égalité :

, c'est donc Donc F est l'ensemble des combinaisons linéaires de un sous-espace vectoriel : c'est le sous-espace vectoriel engendré par .

Propriété de transitivité Soit F un sous-espace engendré par n vecteurs On suppose qu'il existe p vecteurs pour tout i,

. appartenant à F tels que

, vi soit une combinaison linéaire de

Alors F est engendré par

.

.

La démonstration est laissée à titre d'exercice...

Sous-espace vectoriel engendré par une partie quelconque d'un espace vectoriel

Une construction analogue peut être faite en prenant une partie A quelconque non vide de E au lieu d'une partie finie.

Définition d'un sous-espace engendré par une partie Soit A une partie non vide d'un K-espace vectoriel E. On définit le sousespace vectoriel engendré par A, comme étant l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A :

On démontre que c'est bien un sous-espace vectoriel de E et que c'est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A (au sens de l'inclusion). Exemple Pour k élément de

, si on note ek la fonction définie sur R

et e0 la

, le sous-espace vectoriel engendré par la partie fonction est l'ensemble des fonctions polynômes réelles. Remarque : Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors

.

Conséquence : pour toute partie A de E, on a :

.

Cas de deux sous-espaces Structure de l'intersection de deux sous-espaces Soit E un K-espace vectoriel ; l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E. Preuve Soit F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. L'intersection vide car

n'est pas

appartient à F1 et F2 (car ce sont des sous-espaces vectoriels de E).

Il suffit de montrer que vecteurs :

est stable par combinaison linéaire de deux

Soient u et v deux vecteurs de et , deux scalaires. u et v sont appartient éléments de F1, et F1 est un sous-espace vectoriel de E, donc à F1. De même .

appartient à F2. Le vecteur

appartient donc à

Exemple Soit F le sous-ensemble de R3 défini par :

L'ensemble F est l'intersection de F1 et F2, les sous-ensembles de R3 définis par : et Ce sont des sous-espaces de R3 donc de R3.

est un sous-espace vectoriel

Attention ! La réunion de deux sous-espaces vectoriels de E n'est pas en général un sous-espace de E (cf. la ressource "Somme - Somme directe").

Cas général Structure de l'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de E est un sous espace vectoriel de E. Preuve

Soit S une famille de sous-espaces vectoriels de E, l'intersection des éléments de S est notée

.

Si cette famille est indexée par l'ensemble d'indices I, elle est alors notée et l'intersection des éléments de S est notée

La démonstration précédente se généralise aisément.

.

est non vide car, pour

est élément de Fi.

tout i de I,

et , deux scalaires ; on a, pour tout indice i Soient u, v des éléments de de I : u et v appartiennent à Fi, Fi est un sous-espace vectoriel de E donc appartient à Fi. Par conséquent appartient à sous-espace vectoriel de E.

, et on a ainsi établi que

est un

La démonstration, dans le cas où la famille n'est pas indexée, s'écrit de manière encore plus simple : elle est laissée à titre d'exercice.

Lien avec la notion de sous-espace vectoriel engendré par une partie Construction d'un sous-espace vectoriel engendré par une partie Soit A une partie quelconque d'un espace vectoriel E. Il existe des sousespaces vectoriels contenant A, par exemple E lui-même. Soit S l'ensemble des sous-espaces vectoriels contenant A. Alors le sousespace vectoriel engendré par A est égal à l'intersection des éléments de S, soit Preuve

.

est un sous-espace vectoriel de E, il contient A, il est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant A : c'est donc le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. Cette caractérisation du sous-espace vectoriel engendré par une partie, est semblable à celle qui a été vue pour le sous-groupe engendré par une partie.

|Leçon Précédente |Retour en Haut de Page |Leçon Suivante|