Partie V Annexes
219
Annexe A
Approximation d’une fonction non linéaire par une population de fonctions linéaires locales
Annexe A Approximation d’une fonction non linéaire par une population de fonctions linéaires locales Cette annexe est un résumé synthétique du principe d’approximation par population de fonctions linéaires locales. La motivation de cette méthode est l’approximation d’une fonction multidimensionnelle non linéaire
de
vers
(
constituant le vecteur des entrées de
et
'
le vecteur des sorties de ) par un filtre adaptatif
fournissant une approximation %
&
(
)
!
"
#
#
#
$
*
de cette fonction. Il
'
est possible de réaliser une approximation de
à l’aide de fonctions à bases radiales échantillonnant l’espace +
des entrées de . Dans ce cas, l’approximation est donnée par la relation ,
-
,
où de
et ?
@
et
lignes des valeurs des fonctions à base radiale lorsque l’entrée est égale à ( >
B
@
A
B
C
D
E
@
F
A
B
C
G
@
H
départ de
A
P
B
L
C
M
G
N
@
I
A
B
C
G
J
J
J
G
@
K
L
M
N
). Chacune des fonctions à base radiale est de même dimension que l’espace de O
. Le pavage de cette espace peut poser problème lorsque la dimension du vecteur des entrées est
élevée. Remarquons cependant que la fonction P
L
M
peut être linéaire ou approximativement linéaire pour un N
sous-ensemble des variables considérées. Par exemple, le système monodimensionnel dont le comportement est décrit par l’équation
Q
R
S
T
V
U
W
Y
X
W
Z
[
\
]
possède une dynamique linéaire par rapport aux variables
^
_
`
a
b
et c
d
a
b
, et non linéaire par rapport a f
e
d
a
b
.
Nous proposons d’utiliser une forme d’approximateur pour lequel le vecteur des variables d’entrée est séparé g
en deux sous ensembles: le sous ensemble h
i
j
k
i
l
m
i
n
m
i
o
m
p
p
p
m
i
q
r
des variables influençant linéairement (ou quasi linéairement) la
sortie de la fonction , s
t
le sous ensemble u
v
w
u
x
y
u
z
y
u
{
y
|
|
|
y
u
}
~
des variables qui ont une influence fortement non linéaire sur la
sortie de la fonction , variables dites «variables de contexte».
Cette représentation alternative de fonction. Dans ce cadre, l’approximateur
utilise une population d’approximations linéaires locales de cette peut s’écrire 220
(A.2)
où est le vecteur à valeurs réelles de dimension des variables de contexte du filtre
et
et
les
paramètres du modèle. L’équation (A.2) exprime donc une dépendance des coefficients de l’application linéaire par rapport à des variables pertinentes que sont les variables de contexte. Les coefficients (A.2) sont respectivement un «tenseur» et un vecteur dont les termes
)
*
+
,
-
.
/
0
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
:
;
?
@
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
#
$
et
%
et &
'
L
M
N
de l’équation "
sont (
Q
K
et !
R
O
S
T
U
V
W
X
P
soit plus explicitement : YZ
a
lm
Z
a
m
{
lm
Z
`
a
m
z
{
m
{
lm
Z
a
m
~
z
{
p
o
\
p
q
r
q
s
t
o
p
q
r
v
s
t
]
o
z
{
m
{
m
q
s
t
{
q
e
f
k
u
u
u
u
u
u
e
f
{
k
{
m
e
f
k
{
j
^
^
^
h
o
p
s r
u
u
u
u
u
u
u
u
t
x s
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
w
^
^
^
^
^
^
n
[
b
c
d
e
f
g
h
g
i
g
i
j
k
c
e
f
k
n
h
|
b
u
}
b
n
u b
v
u
u
u
~
\
_ p r o
p
r
q
t
o
v
p
t
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
o
u
s
t
u
y y
y
h
u
e
f
k
u
e
f
k
e
f
k
j
Les paramètres du filtres sont donc rassemblés dans une population de
vecteurs de dimension
}
e
k
(le nombre total de paramètres est donc
). Un changement de notation nous permet de proposer
}
e
k
une autre écriture de la relation (A.2), plus proche de l’expression (A.1). On peut en effet écrire
(A.3) e
h
k
c
d
e
h
g
où encore
¡
¡
¢
¢
¤
£
£
¡
¡
¡
On voit apparaître explicitement dans les termes de la matrice
les ¥
¦
§
combinaisons linéaires à
paramètres constituant la population de fonctions linéaires associée à . Chacune de ces fonction corª
¨
©
respond à une approximation linéaire locale de la fonction
au point correspondant au centre de la fonction «
à base radiale associée à la fonction. Supposons par exemple que le vecteur de contexte soit situé exactement
¬
au maximum
®
®
¯
°
±
²
³
de la fonction à base radiale
®
°
±
²
³
et qu’en ce point les autres fonctions à bases ra-
µ
diales aient des valeurs négligeables devant
®
°
±
²
³
. Alors l’estimateur
±
´
¶
³
sera localement (au point ) linéaire ²
221
Annexe A
Approximation d’une fonction non linéaire par une population de fonctions linéaires locales
puisque l’on peut écrire
$
%
%
%
%
!
!
!
"
"
&
!
!
!
#
#
Il reste à préciser les conditions dans lesquelles la méthode (A.3) est préférable à la version classique (A.1). Le premier cas se présente lorsque la fonction ,
-
.
/
0
1
2
,
3
-
.
/
,
,
ou
'
est linéaire «paramétrisée» par et du type )
(
3
-
et
*
sont des fonctions non linéaires. Dans ce cas, les termes ,
-
.
/
,
de (A.2) doivent donner respectivement une approximation de
3
-
.
5
6
.
/
-
et 4
'
)
+
5
(
3
6
.
/
7
/
et de
. Mais la motivation plus
générale est de proposer un développement de (A.1) à l’ordre 1. En effet, on peut d’une manière générale écrire (développement de taylor au premier ordre)
I
8 -
1
/
= 8
9
-
1
/
2
:
?
@
A
B
=
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
J
K
L
M
P
Q
K
L
R
S
T
U
;
3
>
V K
O
où V
est un point où X
U
X V
et Y
^
_
`
\
a
b
T
V
X
Y
Z
[
V
(A.4)
W
sont connus. La méthode (A.1) revient à obtenir une estimation c
]
W
de la valeur de
`
d
a
c
à partir de toutes les valeurs de la fonction
à base radiale (le terme
`
a
dans l’équation A.4, où c
b
d
a
`
a
aux points c
d
situés au centre des fonctions a
correspond au centre d’une des fonctions à base b
radiale). La méthode (A.2) permet d’obtenir une approximation à partir de ces valeurs, mais utilise également ^
des informations sur le gradient local de Enfin, dans le cas particulier où
`
a
(représentées par le terme c
d
_
`
a
dans l’équation A.4). c
b
]
, la méthode (A.2) se rapproche d’un approximateur utilisant une a
e
^
f
gamme d’ondelettes. Supposons par exemple que les fonctions à base radiale impliquées soit des gaussiennes et que l’on se limite à l’approximation d’une fonction de o
g
dans . On peut alors écrire h
g
r
i m
n
o
p
q
m
o
p
s
t
u
v
w
x
w
y
z
{
z
u
|
t
}
x
u
`
a
v
w
y
z
{
~
w
(A.5)
c
d
f
j
k
l
q
or si
est centrée sur
et du type
alors
¢
¢
£
¡
¤
£
¥
¦
§
¨
©
ª
«
¬
®
¯
°
¯
±
²
³
µ
´
¶
¯
·
«
¬
®
¯
°
222
Il est donc possible de réécrire l’équation (A.5) sous la forme
où
et
représentent les coefficients associés respectivement à deux ondelettes ayant la forme d’une
gaussienne et de sa dérivée.
223
Annexe B
Introduction au contrôle par surfaces glissantes
Annexe B Introduction au contrôle par surfaces glissantes Dans cette annexe, nous proposons une introduction courte et simplifiée au contrôle par surfaces glissantes [230, Slotine et Li, 1991] . Le but de ce court chapitre est de montrer que la minimisation d’une variable intermédiaire (la variable ’’glissante’’) peut simplifier le contrôle d’un système d’ordre élevé (linéaire ou non) et peut conduire au développement de stratégies de contrôle très efficaces utilisant une combinaison de commandes en boucle ouverte et en boucle fermée. Considérons ainsi un système d’ordre n dont la dynamique est décrite par l’équation suivante
où
est la dérivée d’ordre i de la sortie du système et
son entrée. La fonction
est supposée
inconnue, mais on suppose également que l’on peut borner son écart à une estimation par une fonction positive
telle que %
!
"
"
"
"
"
#
Si l’on définit l’erreur de poursuite instantanée
$
#
(
)
*
"
+
&
'
,
-
)
*
+
.
-
/
0
1
2
( 3
/
0
1
2
représentant la trajectoire
désirée), alors on peut choisir, plutôt que de contrôler simultanément les dérivées successives de imiser une seule variable scalaire 4
5
6
7
3
0
1
2
, de min-
définie comme
9
:
;
doivent être choisis tels que l’équation différentielle ci-dessus soit stable. L’erreur
>
de poursuite @
5
6
7
peut en effet être considérée comme la sortie d’un filtre linéaire dont le signal d’entrée est
Par conséquent, si un algorithme de contrôle parvient à une minimisation de 4
5
6
7
4
5
6
7
.
, alors l’erreur de poursuite
et ses dérivées successives seront également bornées.Pour cette minimisation, un critère simple et intuitif de minimisation est E
F
G
H
I
J
K
F
G
H
M
L
Cette fonction est positive par définition et sa dérivée temporelle est 224
D’après la théorie des fonctions de Lyapunov, si il est possible de construire un algorithme de contrôle assurant un signe négatif à
,
alors
est une fonction de Lyapunov et
tend vers une limite
finie. D’après l’équation (B.1) ,
%
%
$
$
&
$
$
&
&
$
!
"
#
!
"
#
!
"
#
!
"
#
!
'
!
(
)
!
*
(B.2) #
La meilleur approximation
d’une loi de contrôle telle que
(
+
%
est
$
$
#
!
(
!
*
)
!
# "
)
!
'
+
,
+
Si cette loi de contrôle est introduite dans (B.2) alors,
et 3
4
5
!
-
.
/
.
0
(B.3) 1
dépend seulement des incertitudes concernant la fonction f décrivant la dynamique du système. 6
2
De plus, si l’on ajoute un terme supplémentaire h(t) à la commande
3
9
:
;
?
>
:
1
;
?
>
1
7
est inconnu et seulement
. B
Ainsi, une stratégie très efficace consiste à introduire un terme discontinu à la commande continue pour obtenir C
. Si D
C
E
F
G
H
I
J
K
L
est une fonction de M
N
O
P
Q
R
N
O
S
Q
T
T
T
R
N
O
U
V
S
Q
W
et X
Y
Z
4
5
6
8
7
la fonction signe, et si l’on
G
écrit 225
Annexe C
La régression biplanaire
alors (B.3) devient
et
Posons ensuite !
"
#
$
%
, avec
&
'
(
et, par conséquent, l’inégalité
)
5
*
positif et '
(
6
5
&
+
3
,
4
-
8
,
9
.
:
/
;
-
positif et suffisamment grand, alors %
4
0
(
1
*
1
2
3
-
&
'
est vérifiée et
(
*
%
