3 mathématiques
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Les équations
Une équation mathématique est une égalité algébrique qui contient des inconnues. En science, ces égalités algébriques sont représentées par des formules définies selon différentes variables en relation les unes avec les autres. Par exemple, la relation entre l’énergie cinétique (Ek ), la masse (m) et la vitesse (v) se traduit par l’équation : Ek = 1 mv 2 2 Lorsqu’on cherche la valeur d’une variable inconnue, on doit résoudre l’équation. Parfois, il est nécessaire d’isoler cette variable dans l’équation. Si, en tentant d’isoler la variable, on obtient une équation de ce type : y = ax2 + bx + c il faut alors suivre la procédure établie pour résoudre une équation du second degré.
COMMENT ISOLER
une variable ?
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Étapes à suivre
Exemple : On veut isoler C de la formule suivante : A + BC = D
1. Écrire la formule mathématique.
A + BC = D
2. Identifier la variable à isoler.
A + BC = D
3. Pour chaque terme à éliminer, faire l’opération mathématique inverse de chaque côté de l’égalité. Répéter cette opération jusqu’à ce que la variable soit isolée, c’est-à-dire jusqu’à ce qu’elle soit seule d’un côté du signe d’égalité. Note : –L’addition est l’inverse de la soustraction, et vice versa. –La multiplication est l’inverse de la division, et vice versa. –Le carré est l’inverse de la racine carrée, et vice versa.
Pour éliminer A : A − A + BC = D − A
4. Écrire la formule mathématique avec la variable isolée. Indiquer les unités de mesure, s’il y a lieu.
Donc : BC = D − A Pour éliminer B : BC = D − A B B
C=D−A B
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LE CAS D’UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ Étapes à suivre
Exemple 4x2 − 5x + 3 = 2x2 + 5x − 5
2. Regrouper tous les termes de l’équation d’un seul côté du signe d’égalité.
4x2 − 5x + 3 − (2x2 + 5x − 5) = ↔
1. Écrire l’équation.
2x2 + 5x − 5 − (2x2 + 5x − 5) 4x2 − 5x + 3 − 2x2 − 5x + 5 = 0
2x2 − 10x + 8 = 0
4. Déterminer la valeur de a, de b et de c.
a=2
5. Calculer les expressions suivantes :
Pour x1 :
x1 = −b +
b2 − 4ac 2a
x2 = −b −
b2 − 4ac 2a
Les deux valeurs recherchées sont données par x1 et x2.
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4x2 − 2x2 − 5x − 5x + 3 + 5 = 0
3. Simplifier l’équation pour qu’elle prenne la forme suivante : ax2 + bx + c = 0
b = − 10
x1 = −(−10) + = 10 +
c=8
(−10)2 − (4 × 2 × 8) 2×2
100 − 64 4
= 10 + 36 4 = 10 + 6 4 =4 Pour x2 : x2 = −(−10) − = 10 −
(−10)2 − (4 × 2 × 8) 2×2
100 − 64 4
= 10 − 36 4 = 10 − 6 4 =1 6. Vérifier la plausibilité de x1 et de x2, et ne retenir que la ou les valeurs pertinentes.
Selon le problème à résoudre, vérifier la plausibilité de x1 (x1 = 4) et de x2 (x2 = 1). Par exemple, si la valeur à trouver doit être plus petite que 3, alors seule la valeur de x2 est plausible.
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COMMENT RESPECTER
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la priorité des opérations ? Lorsqu’on doit résoudre une équation contenant plusieurs opérations arithmétiques, il est important de respecter l’ordre de priorité des opérations. Cet ordre de priorité est le suivant : • en tout premier lieu, effectuer les opérations placées entre parenthèses ; • en deuxième lieu, effectuer les multiplications et les divisions, dans l’ordre, soit de gauche à droite ; • en troisième lieu, effectuer les additions et les soustractions, dans l’ordre, soit de gauche à droite.
Étapes à suivre
Exemple x = 9,3 − 3,1 ÷ 4 × 6 + (5,8 − 6,23) × 7,7
2. Effectuer les opérations entre parenthèses.
x = 9,3 − 3,1 ÷ 4 × 6 + (5,8 − 6,23) × 7,7 ←
1. Écrire l’équation.
—0,43 = 9,3 − 3,1 ÷ 4 × 6 — 0,43 × 7,7 ←
x = 9,3 − 3,1 ÷ 4 × 6 — 0,43 × 7,7 0,775 ←
= 9,3 − 0,775 × 6 — 0,43 × 7,7 4,65 ←
= 9,3 − 4,65 — 0,43 × 7,7 3,311 = 9,3 − 4,65 — 3,311 x = 9,3 − 4,65 — 3,311 ←
4. Effectuer les additions et les soustractions, dans l’ordre.
4,65 = 4,65 — 3,311 ←
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3. Effectuer les multiplications et les divisions, dans l’ordre.
= 1,339
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