1
Le groupe du Rubik's Cube
2
Copyright
Titre: Le groupe du Rubik's Cube Auteur: Morphocode
© Mars-2017, Morphocode/createmybooks.com
ALL RIGHTS RESERVED. This book contains material protected under International and Federal Copyright Laws and Treaties. Any unauthorized reprint or use of this material is prohibited. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system without express written permission from the author.
3
Publications
Le dernier théorème de Fermat (la touche finale) C'est un livre qui démontre le dernier théorème de Fermat en s'appuyant sur deux théorèmes, le théorème de Ribet et le théorème de Wiles. Un document rare et exceptionnel. © Juin-2015, Morphocode/shopmybooks.com version pdf http://fan2cube.fr/livre/dernier_theoreme_fermat.pdf version papier https://www.shopmybooks.com/FR/en/book/morphoco de-8/le-dernier-theoreme-de-fermat-8
L' équation d'Einstein Une démontration de cette équation à partir du principe le moindre action, © Décembre-2016, Morphocode/shopmybooks.com version pdf http://fan2cube.fr/livre/equation_einstein.pdf version papier
4
https://www.shopmybooks.com/FR/fr/book/morphocod e-18/l-equation-d-einstein-6
Le Groupe du Rubik's Cube Le Rubik's Cube possède un groupe très riche en propriétés et si la partie mathématique du puzzle vous intéresse alors ce livre est pour vous © Mars-2017, Morphocode/shopmybooks.com version pdf http://fan2cube.fr/livre/le%20groupe%20du%20rubik% 20cube.pdf version papier https://www.shopmybooks.com/FR/fr/book/morphocod e-17/le-groupe-du-rubik-s-cube-1
5
PREFACE
J'ai découvert le Rubik's Cube dans une boutique à jouer, pendant les grandes vacances d'été 2007... Le Rubik's Cube dans la main ... par curiosité, pour voir comment ça marche, j'ai donc fait quelques rotations ... et puis j'ai essayé de le remettre en ordre, mais plus j'essayais plus je mélangeais le Cube ! plus j'éloignais de mon but !! et finalement il m'était impossible de le remettre à l'état origine, mon Cube était complétement mélangé ! C'est extraordinaire, impressionnant quelques rotations seulement et il est impossible de le restaurer !! J'ai donc dû acheter des livres de résolutions, un tas de livres .... et finalement j'ai réussi à remonter le Cube, tout ça grâce aux livres. Et je m'entrainais à résoudre le Cube sans les notes sous les yeux, sans les livres, j'apprenais les formules par coeur ... Et puis un jour j'ai remarqué quelque chose d'étrange et intrigante . Au dernier étage de la résolution, l'algorithme fonctionne comme suite: 1. On place les 4 arêtes Haut. 2. On pivote ces arêtes pour les bien orientées.
6
3. On place les sommets 4. On pivote les sommets pour bien orientés.
Ce que j'ai remarqué est la chose suivante: I. Dans l'étape (2): On pivote toujours deux arêtes, jamais une !! puorquoi ? II. A l'étape (3) , il y a 4 sommets déjà bien placés ou 3 sommets à placer , pourquoi jamais deux sommets à échanger comme dans l'étape (1) parfois on tombe sur deux arêtes à échanger ?. Pourquoi on tombe jamais sur deux sommets à échanger ?? III. A l'étape (4) on pivote toujours - soit deux sommets de sens contraire - soit trois sommets de même sens ? Pourquoi on ne pivote jamais un sommet ? Ca m'a vraiment intrigué, j'ai cherché des explications partout, ... peu de livres en parlent. Et beaucoup plus tard j'ai appris que ça provient des propriétés mathématiques du Cube, ce qui m'a beaucoup intéressé car j'aime beaucoup les maths. A partir de là j'ai beaucoup lu, un tas de livres, un tas d' articles traitant sur le côté mathématique du Cube ...
7
Le Rubik's Cube est célèbre non seulement c'est un cassetête redoutable mais aussi parce qu'il matérise physiquement une théorie mathématique abstrait: Les Groupes. Ce livre explique tout ce qui ce passe de la face cachée du Cube ... il vous explique pourquoi: 1. On ne peut pas pivoter une arête sans rien toucher les autres arêtes. 2. On ne peut pas pivoter un sommet sans rien toucher les autres sommets. 3. On ne peut pas permuter deux arêtes sans rien toucher les sommets. 4. On ne peut pas pivoter un centre à ±90° 5. ....
8
LES GROUPES
L'étude mathématique du Rubik's Cube s'appuie énormement sur la notion de groupe, donc il faut bien connaitre cette notion, mais il n'est pas question de refaire la théorie des groupes ici ! car il existe des livres pour ça. On va donc donner un résumé : les définitions, les théorèmes, les propriétés ... dont on a besoin. Mais je vous conseille vivement de faire un tour sur la théorie des groupes car c'est le bon moment, un bon prétexe pour connaitre cette théorie. Soit G un ensemble, muni une loi notée '.' on dit que (G,.) est un groupe si la loi '.' vérifie 4 propriétées suivante: 1. a,b dans G ⇒ a.b ∈G (loi interne) 2. il existe un élément e tel que a.e = e.a = a (e=élément neutre) 3. pour chaque a, il existe a' tel que a.a'=a'.a = e (a'=symétrique de a) 4. (a.b).c = a.(b.c) (associative) De plus si on a: a.b=b.a (commutative) On dit que G est un groupe commutatif ou abélien. Remarque : parfois on écrit: ab=a.b et a-1=a' et 1=e Attention !! '1' , 'a-1' ce sont des simples notations, des symboles, des caractères, rien à voir avec le nombre entier 1 1 , et les inverses: 3-1 = par ex. 3
9
Sous-groupe Soit H un sous ensemble d'un groupe G, H⊂G on dit que H est un sous groupe si: 1. e∈H 2. x,y ∈H ⇒ xy∈H 3. x∈H ⇒ x'∈H Un sous groupe est dit normal (ou distingué) si ∀h∈H, ∀g∈G ⇒ ghg'∈H Les sous groupes normaux sont très recherchés car ils permettent de 'diviser' G c'est-à-dire K=G/H , K est un groupe. Lorsque H n'est pas normal on ne peut pas diviser G par H par contre on peut former ce qu'on appelle les classes de H. Les classes de H Définition : Soit H un sous groupe de G (pas forcement normal) on appelle la classe (à droite, g à droite) g∈G de H l'ensemble : Hg = {x=hg , où h∈H} C'est donc les éléménts de la forme x=hg où h∈H, et g∈G donné. L'ensemble des classes (à droite,G à droite) est noté:
10
H\G = {Ha, Hb, Hc, .... } Les classes à gauche (g,G à gauche): gH = {x=gh , où h∈H} G\H = {aH, bH, cH, .... } * H est normal ⟺ H\G = G\H classes à droite = classes à gauche Trois propriétés importantes : 1. |H|=|Hg| , une classe a le même nombre d'éléments que H. 2. |H\G|=|G|/|H| ; 3. Les classes forment une partition de G. Homomorphisme ou morphisme Soient (E,.) et (F,.) deux groupes, on dit que f est un homomorphisme si f respecte les lois. f: E ⤍ F f(xy) = f(x)f(y) Propriétés : * f(e) = e en effet
11
f(x)=f(ex)=f(e)f(x) et f(x)=f(xe)=f(x)f(e) ce qui montre que f(e)=e * f(x') = f(x)' en effet f(xx') = f(x)f(x') f(e) = f(x)f(x') e = f(x)f(x') et f(x'x) = f(x')f(x) f(e) = f(x')f(x) e = f(x')f(x) d'où f(x') = f(x)' Attention !! soyez très prudent , il faut savoir qui et qui, où on met les pieds, on est dans où ? dans E où dans F ?? ... dans l'écriture f(e) = e , le 'e' à gauche c'est l'élément neutre de G et celui de droite c'est l'élément neutre de F, de même f(xy)=f(x)f(y)
12
f(x.y) = f(x).f(y) le '.' à gauche c'est la loi dans G et celui '.' de droite c'est la loi dans F. Dans l'écriture mathématique, parfois on écrit des abréviations, mais si on simplifie trop on ne comprend rien ! si on écrit tout c'est trop lour impossible à décoder ... Bref il faut savoir mesurer pas tout écrit, pas trop simplifier non plus ..... Si f est bijective on dit que f est un isomorphime. Un isomorphime de E dans E est un automorphisme, bref ce sont des vocabulaires à connaitre c'est tout. Noyau , Image de f Ker(f) = { x∈G / f(x)=e } * Ker(f) est normal. * Si H est normal, alors H est le noyau de quelqu'un H=Ker(f) * Ker(f) = e ⇒ f=injectif * Im(f) = f(G) = {y∈F /∃x∈G , f(x)=y} est un sous groupe de F * G/Ker(f) = Im(f) Sous groupe engendré X sous ensemble de G.
13
Le sous groupe engendré par X: < X > par définition: * Le plus petit sous groupe contenant X ou * L'intersection de tous les sous groupes contenant X * Les produits du type X⋃X' ex: (Z,+) est un groupe (abélien) (Q*,x) est un groupe, lui aussi abélien (Z7,+) est un groupe abélien (Sn,o) est un groupe etc .... il y a beaucoup de groupes en mathtématique.
Exo: 1. (N,.) où la loi ' . ' est définie par: a.b=ppcm(a,b) questions: a. la loi '.' est elle interne ? b. la loi '.' est elle associative ? c. y a t-il un élément neutre ? 2. (N,.) où la loi ' . ' est définie par: a.b=pgcd(a,b) questions: a. la loi '.' est elle interne ? b. la loi '.' est elle associative ? c. y a t-il un élément neutre ? 3. (R-{1},.) où la loi ' . ' est définie par: a.b=a+b-ab a. la loi '.' est elle interne ?
14
b. (R-{1},.) un groupe ? 4. (R,.) où la loi ' . ' est définie par: a.b=ln(ea+eb) questions: a. la loi '.' est elle interne ? b. la loi '.' est elle associative ? c. y a t-il un élément neutre ?
5. (]-1,1[,.) où la loi ' . ' est définie par: a.b=(a+b)/(1+ab) questions: a. un groupe ? 6. (G,.) un groupe, montrer que si on a : a²=e pour tout a, alors (G,.) est abélien
15
ACTION D'UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE
Soient G un groupe et X un ensemble, une action '•' (à droite) de G sur X est une loi externe de X x G ⤍ X vérifiant 2 propriétés: XxG⤍X (x,g) ⤍ x•g = x' 1.∀x ; x•e = x (e=élémentre neutre de G) 2. ∀x, g,h ; (x•g)•h = x•(gh) Attention aux notations , car parfois celà peut troubler l'esprit !!! par exemple certains auteurs notent : A+u ⃗ =B additionner un point à un vecteur pour donner un point c'est assez troublant ! car on sait seulement additionner deux vecteurs ... ⃗ + v⃗ = w u ⃗⃗⃗ il fallait noter A⦁u ⃗ =B ce serait plus clair, le vecteur u ⃗ agit sur le point A pour donner le point B car les vecteurs agissent sur les points.
16
fidèlement (librement) ∀x, x⦁g=x ⇒ g=e l'élément neutre e est le seul qui fixe tout le monde. transitivement ∀x,x' ∃g tel que x⦁g=x' On peut toujour passer de x à x'. simplement transitive ∀x,x' ∃!g tel que x⦁g=x' Il y a une seule façon de passer de x à x' on a: simplement transitive = transitif + fidèle (libre) Exemple : La définition d'un espace affine n'est pas très claire dans la plus part des livres, voici un rappel: Soit X un ensemble, et (E,+) les vecteurs, On dit que X est un espace affine si (E,+) agit simplement transitive sur X, autrement dit s'il existe une action '⦁' vérifiant: XxE⤍X (A,u ⃗ ) ⤍ A⦁u ⃗ =B ⃗ =A 1. A⦁0 2. (A⦁u ⃗ )⦁v⃗ = A⦁(u ⃗ + v⃗) 3. ∀ A,B ∃!u ⃗ tels que A⦁u ⃗ =B
17
Se donner une action '⦁' revient à se donner un morphisme ϕ de G dans Sx . ϕ: G ⤍ Sx ; Sx = l'ensemble des permutations de X (des bijections de X) g ⤍ ϕ(g) = pg ; pg=une permutation de X qui vérifie : 1) ϕ(e)=1=id 2) ϕ(gh)=pgph=ϕ(g)ϕ(h) Trois définitions importantes 1. orbite : soit a∈X un élément de X Xa = { x∈X / ∃g∈G , a•g = x} les x qu'on peut atteindre (à partir de a) par les éléments de G, Xa⊂X 2. Points fixes de g : soit g∈G un élément de G Fg = { x∈X / x•g = x} les points fixes de g , Fg⊂X Orbites, points fixes ⊂ X , ils sont dans X. 3. Stabilisateur : soit a∈X un élément de X Ga = { g∈G / a•g = a} les g qui ne bougent pas a, les g trop "faible" pour a ; Ga=les faibles de a , Ga⊂G ; Ga est un sousgroupe mais pas forcement normal. Stabilisateurs ⊂ G
18
Deux formules : 1. |Xa| = |Ga\G | = |G|/|Ga| 1 2. w = ∑ |Fg| |G| g
w = le nombre d'orbites
19
OPÉRATION MODULO
On se donne un nombre premier p , pour fixer les idées on va prendre p=7. Dans Z les nombres entiers on va définir une opération suivante nommée "modulo 7" et notée %7, 10%7 c'est le reste de la division 10 par 7 donc: 10%7 = 3 14%7 = 0 5%7 = 5 2%7=2 8%7 = 1 -1%7=6 -5%7=2 etc.... Note: au lieu de noter 10%7 = 3 on préfère noter 10 = 3 (mod 7) donc 14%7 = 0 ⇒ 14 = 0 (mod 7) etc ... Exo Calculer 21 = ? (mod 7) 15 = ? (mod 7) 7 = ? (mod 3) 6 = ? (mod 3) -1 = ? (mod 7) -5 = ? (mod 3)
20
CALCULE DANS (Z P ,+)
On note Zp l'ensemble des restes de la division d'un entier n par p, pour nous c'est Z7 = {0,1,2,3,4,5,6}. Sur Z7 on va définir une opération (l'addition) notée '+' de façon suivante: a+b=c où c vaut: a + b = c (mod 7) ex: 3 + 5 = 1 (dans Z7) car 3 + 5 = 1 (mod 7) 4 + 6 = 3 (dans Z7) 2 + 3 = 5 (dans Z7) 1 + 6 = 0 (dans Z7) ⇒ donc 6 est l'opposé de 1 (6=-1) etc ..... Exo 1. Dans Z7, quel est l'opposé de 4 ? càd -4 = ?? et -5 = ?? 2. Donner le tableau d'addition de Z2 , Z3 et Z5
21
CALCULE DANS (Z P ,X)
Dans le même ordre idée on va définir une autre opération (la multiplication) notée 'x' dans Z7 de façon suivante: axb=c où c vaut: a x b = c (mod 7) ex 2 x 5 = 3 (dans Z7) car 2 x 5 = 3 (mod 7) 3 x 6 = 4 (dans Z7) 3 x 4 = 5 (dans Z7) 1 2 x 4 = 1 (dans Z7) ⇒ donc 4 est l'inverse de 2 (4= ) 2
etc ..... Exo 1. Dans Z7, quel est l'inverse de 3 ? càd 1/3 = ?? et 1/6 = ?? 2. Donner le tableau de la multiplication de Z 2 , Z3 et Z5
22
PERMUTATIONS
On se donne n objets X={a,b,c,d, ....} et n trous, les objets sont dans les trous. Une permutation c'est un déplacement de ces objets (dans les trous, on ne déplace pas les objets à extérieur des trous !) et elle sera notée p=[p(a),p(b),p(c),p(d), ...] ex: X={1,2,3,4,5,6,7,8} p = [1,5,8,6,3,7,2,4] ça signifie: p(1)=1, p(2)=5, p(3)=8, p(4)=6, p(5)=3, p(6)=7, p(7)=2, p(8)=4 q = [2,5,7,4,1,8,6,3] ça signifie: q(1)=2, q(2)=5, q(3)=7, q(4)=4, q(5)=1, q(6)=8, q(7)=6, q(8)=3 r = [3,4,5,1,2,6,7,8] = [3,4,5,1,2] ça signifie: r(1)=3, r(2)=4, r(3)=5, r(4)=1, r(5)=2, r(6)=6, r(7)=7, r(8)=8 Note: lorsqu'il n'y a pas d'ambigu on peut supprimer les crochets et les virgules. [1,5,8,6,3,7,2,4]=15863724 On note Sn, ou Sx l'ensemble des permutations à n objets. Une permutation n'est rien d'autre qu'une bijection de X
23
(donc rien de compliqué). Sur Sn on définit une loi '.' p.q = q o p (o=rond=composition des fonctions) donc '.' c'est la loi des composition mais de gauche à droite. Propriétés de la loi '.' 1. p,q permutations ⇒ pq permutation 2. permutation identique id = (a) = (b) = ... 3. pour toute permutation p , il existe une permutation inverse p-1 : pp-1 = p-1p = id 4. (pq)r = p(qr) associatif NOTE : parfois on écrit p.q = pq (on supprime le '.' on est paresseux !!) , soit p une permutation , on note p(x) = x.p lire "p appliquer à x" , on fait de gauche à droite, ex pq(4)=4.pq = (4.p)q = 6.q = q(6) =8 pq(2)=2.pq = (2.p)q = 5.q = q(5) =1 on fait p puis q, on applique x à gauche
Les k-cycles k objets se déplacent en cycle se nomme un k-cycle et on le note: p = (a,b,c) ou encore a⤍b⤍c ça signifie: a va en b, b va
24
en c, et c va en a, autrement dit: p(a)=b, p(b)=c, p(c)=a . C'est un 3-cycle, sa longeur =3 p = (a,b) = a⤍b = a↔b un 2-cycle (permuter a,b ; échanger a,b ; transposer a,b ....) longueur = 2 (nombre de lettres) . On dit aussi une transposition (a,b) p = (a) = a⤍a = id=identité , un 1-cycle , longueur = 1
Cycles disjoints Déf: on dit que 2 cycles sont disjoints s' ils n'ont pas d'éléments en commun. Ex (a,b,c)(d,e)(f,g) disjoint (a,b,c)(c,a,d) non-disjoint Propriété : si p et q , 2 cycles disjoints alors: pq =qp ils se commutent
Théorème 1: Toute permutation p est décomposable en produits de cycles disjoints et la décomposition est unique. p = (a,p(a),p²(a), ...) (b,p(b),p²(b),...) (....) ex X={1,2,3,4,5,6,7,8} p = [3,2,4,1,8,5,6,7] est décomposé en produit des cycles
25
p = [3,2,4,1,8,5,6,7] = (1,3,4)(5,8,7,6) ; les cycles se notent entre les parenthèses. p=[3,4,5,1,2,6,8,7] et q=(3,4,5,1,2,6,8,7) [3,4,5,1,2,6,8,7]≠(3,4,5,1,2,6,8,7) car p(2)=4 et q(2)=6 Note: lorsqu'il n'y a pas d'ambigu on peut supprimer les parenthèses et les virgules. (3,4,5,1,2)=34512 [3,4,5,1,2]=[34512] Théorème 2 : Toute permutation est décomposable en produits de transpositions (2-cycles) et la décomposition n'est pas unique, mais la parité du nombre de transpositions est la même. Exo 1. Montrer que : (a,b,c) = (a,b)(a,c) ; distibutivité (a,b)(b,c) = (c,b,a) ; relation de Charles 2. Quelle est l'inverse (réciproque) de (a,b,c) ? Remarque : Soit à calculer (a,d)(a,b,c) on pose p=(a,d)(a,b,c) et on fait. p(a) = a. (a,d)(a,b,c) = d.(a,b,c) = d p(b) = b. (a,d)(a,b,c) = b.(a,b,c) = c
26
p(c) = c. (a,d)(a,b,c) = c.(a,b,c) = a p(d) = d. (a,d)(a,b,c) = a.(a,b,c) = b
Les cycles sont comme les filtres on passe ou on change. (a,d)(a,b,c) = (a,d,b,c)
SIGNATURE
Permutation paire, impaire On sait que toute permutation p est décomposable (non unique) en produit de transpositions (2-cycles). Soit t le nombre de transpositons dans la décomposition, on dit que p est pair si t est pair, impair si non. Pour des raisons pratiques dans les calculs on note pair=1 et impair=-1 Signature d'une permutation Par définition la signature d'une permutation p est : sig(p) = (-1)t , où t est le nombre de transpositions dans la décomposition. On définit la signature d'un k-cycle par: Si (k-1) est pair, la signature de ce k-cycle est pair , impair sinon par ex sig(4-cycle) = 4-1 = 3 = impair. sig(3-cycle) = 3-1 = 2 = pair. sig(2-cycle) = 2-1 = 1 = impair.
27
sig(1-cycle) = sig(id) = 1-1 = 0 = pair. etc .... Propriétés: 1. sig(pq) = sig(p) . sig(q) 2. sig(k-cycle) = (-1)k-1 3. sig(p-1)=[sig(p)]-1 4. sig(id)=1 ex: p = (a,b)(a,c)(d,e) ⇒ sig(p) = (-1)3 ⇒ sig(p)=-1 ; permutation impaire (on a 3 couples à permuter) q = (a,b,c) = sig(q)= (-1)3-1 = (-1)2 = 1 ; paire L'ensemble des permutations paire sera noté: An, le nombre de permutations sera noté |Sn| c'est le cardinal de Sn ou le nombre d'éléments de Sn. On a |Sn| = n! et |An| = n!/2 Théorème 3 : Les 3-cycles (a,b,c) engendre An Démontration Il suffit de décomposer (a,b)(c,d) en 3-cycles ¤ non-disjoint: (a,b)(b,c) = (c,b,a) ¤ disjoint: (a,b)(c,d)=(a,b)(b,c)(c,b)(c,d)=(a,b)(b,c)(b,c)(c,d) (a,b)(c,d)=(a,b)(b,c)(b,c)(c,d)=(c,b,a)(d,c,b)
28
LES COMMUTATEURS
Un commutateur est un truc comme ça : aba-1b-1 que l'on note [a,b] (lire crochet ab) , on va noter Sn′ l'ensemble engendré par des commutateurs. On appelle Sn′ la dérivée de Sn (rappel: Sn c'est l'ensemble des permutations à n objets) Sn′ = < [a,b] avec a,b ∈Sn > engendré par des commutateurs ou encore: Sn′ = { x=[a,b][c,d][e,f]... avec a,b,c,d,e,f... ∈Sn } produit des commutateurs Note : l'ensemble des commutateurs ne forme pas un groupe, car en général le produit de 2 commutateurs n'est pas un commutateur. C'est l'ensemble des produits de commutateurs qui est un groupe. Les permutations paires An forment un sous groupe de Sn . On veut montrer que: Sn′ = An Allons y ... ∗ Sn′ ⊂ An On a [Sn:An]=2 ça signifie que Sn/An n'a que 2 éléments (2 ̅n classes) qui sont An et son complémentaire A Or An est l'élément neutre "1" de Sn/An d'où ̅ n .1 = 1.A ̅ n donc Sn/An est commutatif. A
29
̅n Maintenant soit [a,b] et supposons que [a,b] ∈ A ̅n [a,b] = aba-1b-1 = k avec k∈A aba-1b-1 = k En passant par les classes, on a: Ana . Anb . Ana-1 . Anb-1 = Ank ̅n Ana . Anb . Ana-1 . Anb-1 ≠ 1 puisque k∈A Ana . Anb . Ana-1 . (Anb)-1 . Anb ≠ Anb Ana . Anb . Ana-1 ≠ Anb Ana . Anb ≠ Anb . Ana ce qui contredit Sn/An est commutatif donc [a,b] ∈ An // Il y a une autre façon assez simple de montrer que [a,b]∊An , en effet [a,b]=aba-1b-1 sig([ab]) = sig(aba-1b-1) = sig(a) sig(b) [sig(a)]-1[sig(b)]-1 sig([ab]) = (-1)t(-1)m(-1)-t(-1)-m = 1.1 = 1 // Un commutateur [a,b] est dans An , donc le produit des commutateurs est dans An Finalement Sn′ ⊂ An * An ⊂ S'n Il suffit de remarquer qu'on a la formule suivante: (a,b,c) = (c,b,a)(a,c)(c,b,a)-1 (a,c)-1 un 3-cycle (a,b,c) s'exprime en commutateur et comme les 3-cycles engendrent An les éléments de An s'exprimeront en commutateurs c'est-à-dire on a: An ⊂ Sn′ et finalement An = Sn′
30
Autrement dit les permutations paires sont engendrées par les produits des commutateurs.
31
LE RUBIK'S CUBE
FIXER LE CUBE
Prennez un Rubik's Cube à l'état résolu e c'est-à-dire une couleur par face, on va fixer le Cube autrement dit désigner qui est le Haut, le Bas, l'Avant, etc.. Tenez donc le Rubik's Cube en face de vous ou mieux encore posez le sur la table. Le Cube possède alors 6 faces nommées ainsi: (H)aut, (B)as, (A)vant, (P)ostérieur, (G)auche, (D)roite. Et pour nous les couleurs seront: Haut=blanc, Bas=jaune, Avant=vert, Postérieur=bleu, Gauche=orange, Droite=rouge
Nom des faces avec les couleurs standards
32
LES PIÈCES
La première chose à faire c'est de reconnaitre les pièces . Si vous observez bien, vous verrez que le Rubik's Cube possède 3 sortes de pièces. 1. Les pièces portant 3 couleurs: les sommets, ce sont les coins du Cube. Il y a 8 sommets: 4 en Bas et 4 en Haut.
un sommet (pièce)
Les 8 sommets
33
Un sommet avec ses 3 couleurs 2. Les pièces portant 2 couleurs: les arêtes, elles se trouvent entre deux sommets. Il y a 12 arêtes: 4 en Bas, 4 en équateur et 4 en Haut
Une arête (pièce)
34
Les 12 arêtes
Une arête avec ses 2 couleurs
3. Les pièces portant une seule couleur: les centres, se trouvent au centre de la face, et il déterminent la couleur des faces centre bleu ⇒ face bleu, centre rouge ⇒ face rouge etc ... . Il y a 6 centres
35
Les 6 centres
Un centre avec sa couleur
Une pièce c'est un objet à couleurs, elle a un nom les noms des couleurs qui la composent, ex (blanc,vert) c'est une arête, ou (blanc,rouge,vert) c'est un sommet , (blanc) c'est un centre ...
36
Les sommets, les arêtes, les centres, ces pièces restent dans leur camp, c'est-à-dire une arête reste toujours une arête elle ne devient jamais un centre ou un sommet, même chose pour les centres et les sommets. Toutes ces pièces sont distinctes (il y a 8+12+6=26) elles sont donc uniques. Pour le Rubik's Cube ce qui est important ce sont des arêtes et les sommets. Lorsqu'on fait la rotation de la face Avant par ex: Les sommets et les arêtes bougent, mais aucun sommet ne se met à la place d'une arête et inversement, les sommets restent dans le clan des sommets les arêtes restent dans le clan des arêtes.
LES EMPLACEMENTS
Il faut bien faire la distinction entre un emplacement (une position, un trou) et une pièce (arête, sommet, centre) : comme la maison et l’habitant. L’emplacement c’est la maison ; la pièce c’est l’habitant (l’habitant loge dans sa maison). Les emplacements portent des noms, l’initial des faces qui les composent et ils sont notés entre parenthèses, par ex: (HA) = emplacement Haut-Avant, (AD) = emplacement Avant-Droite ou encore (HDA) = emplacement HautDroite-Avant.
37
emplacement (HA) et pièce (jaune,bleu)
Emplacements
38
l'arête (vert,rouge) On peut placer l'arête (vert,rouge) dans (HA) ou (AD)
l' arête (vert,rouge) dans (HA)
39
l'arête (vert,rouge) dans (AD)
Chaque pièce du Rubik's Cube a un emplacement unique, son emplacement, il est repéré grâce aux centres
L'emplacement de l'arête (vert,rouge)
40
L'emplacement du sommet (blanc,rouge,vert)
Par commodité on dit l'arête (HA) au lieu de "le contenu de l'emplacement (HA)" de même on dit simplement le sommet (HDA) au lieu de "le contenu de l'emplacement (HDA)"
on dit: l'arête (HA)⇒(blanc,vert)
41
On dit : sommet (HDA)⇒(blanc,rouge,vert)
LES ROTATIONS
Les rotations de base Z={ H, B, A, P, G, D } A = tourner 90° la face (A)vant dans le sens des aiguilles d'une montre. A' = A-1 = tourner 90° la face (A)vant dans le sens contraire (-90°) A² = tourner la face (A)vant 180°
42
Rotations tranches {h,d,a} a = tourner 90° la tranche (a)vant-intérieur dans le sens des aiguilles d'une montre. a' = tourner 90° la tranche (a)vant-intérieur dans le sens contraire (-90°).
43
a² = tourner 180° la tranche (a)vant-intérieur dans le sens des aiguilles d'une montre.
Rotations bloc {H*, D*, A*} A* = tourner le bloc (Aa) 90° dans le sens des aiguilles d'une montre. A*' = tourner le bloc (Aa) 90° dans le sens contraire (-90°). A*² = tourner le bloc (Aa) 180° dans le sens des aiguilles d'une montre.
Rotation cube { tH, tD, tA } tA
= tourner le cube entier, dans le sens des aiguilles d'une montre, à 90° suivant la face Avant .
44
tA'
= tourner le cube entier, dans le sens contraire, à 90° suivant la face Avant (-90°) . tA²
= tourner le cube entier, dans le sens des aiguilles d'une montre, à 180° suivant la face Avant
Rotation étendue {Γ, Ψ, Ω} Démontons le Cube, mélangeons les pièces puis remontons-le, nous obtennons ainsi une sorte de "rotation" nommée rotation étendue. Rotation étendue Γ Pivoter une arête : rotation Γ . 1. On enlève l'arête (HA) 2. La pivote (180° ou -180°) 3. Puis on la remet
45
Rotation étendue Γ
Rotation étendu Γ=(HA)+=(HA)-=(HA)°
Par définition ce manoeuvre se nomme rotation étendue Γ qui a comme résultat , l'arête (HA) est pivotée (180° ou 180°) (HA)° = (HA)+ = (HA)- = Γ
46
Rotation étendues Ψ,Ψ² Pivoter un sommet : rotation Ψ . 1. On enlève le sommet (HDA) 2. Le pivote 1/3 tour dans le sens horaire (120°) 3. Puis on le remet
Rotation étendue Ψ
Résultat de la rotation étendue Ψ = (HDA)+
47
Ce manoeuvre , par définition , se nomme rotation étendue Ψ qui a comme résultat, le sommet (HDA) pivoté 1/3 de tour dans le sens horaire (120°) (HDA)+ = Ψ Pivoter un sommet: Ψ² 1. On enlève le sommet (HDA) 2. Le pivote 2/3 tour dans le sens horaire(240° ou -120°) 3. Puis on le remet
Rotation étendue Ψ
Résultat de la rotation étendue Ψ² = (HDA)++ = (HDA)-
48
Rotation étendue Ω Permuter deux arêtes : rotation Ω 1. On enlève les arêtes (HA), (HG) 2. Permute (HA)↔(HG) = (HA,HG) 3. Puis on les remet
Rotation étendue Ω
Résultat de la rotation étendue Ω = (HA)↔(HG) = (HA,HG)
49
Ce manoeuvre , par définition , se nomme rotation étendue Ω qui a comme résultat, les arêtes (HA) , (HG) sont permutées (HA)↔(HG) = (HA,HG) = Ω
LES ÉTATS
En Rubik's Cube la notion d'état (=configuration, =motif) . est très important sans lui impossible de construire la théorie. Un état est une configuration des étiquettes, un motif.
état résolu e une couleur par face
50
Voici 2 états (standards) obtenus par des rotations de base
Un état
Un autre état
51
Et voici 2 états étendus obtenus par des rotations étendues
Un état étendu
Un autre état étendu
L'ensemble des états (standards) sera noté G, et l'ensemble des états étendus sera noté G + et on a: G ⊂ G+
52
NOTE: les centres ne doivent pas être bougés !! centre (blanc)=Haut, centre (vert)=Avant, centre (rouge)=Droite, etc... parce que notre Cube est un cube fixé, on travaille sur un cube fixé.
FORMULES
Une autre notion très importantes à comprendre: la notion de formule (=mouvement, =mélange, =manoeuvre), Mélangez le Cube avec les rotations de base {H,B,A,P,G,D}, on obtient ainsi une formule, c'est une suite finie de rotations de base: * On convient d'éviter de faire AA' , A'A, BB',B'B, etc ... (car c'est idiot!!) * Quand on ne fait rien, par définition c'est la rotation vide et on la note I. par ex: AHB'P²DG' ; ok GBHH'D²BP ; interdit I ;ok (rotation vide, on ne fait rien) HDH'D' ; ok
53
D²GB'B²HD'PA ; interdit Une rotation de base est donc une formule par ex la rotation A
rotation A
la rotation A engendre cet état
54
A = (HA)→(AD)→(BA)→(AG). (HDA)→(BAD)→(BGA)→(HAG) = (HA,AD,BA,AG) (HDA,BAD,BGA,HAG) Une formule engendre un état. On notera e⦁U=s pour dire que la formule U engendre l'état s, on applique la formule U sur l'état e (état résolu) pour obtenir s. On peut remarquer tout de suite que 2 formules peuvent donner un même état par ex A4 et D4 ou encore (H²D²)3(B²D²)3 et (H²G²)3(B²G²)3 dans ce cas nous dirons que ces formules sont identiques et que nous écrivons A4 = D4 (H²D²)3(B²D²)3 = (H²G²)3(B²G²)3 A'=A3 B = (DG'A²P²DG') H (DG'A²P²DG') A²P²G²D² = D²G²P²A² A'B²AH²A'B²AH² = H²DBD'H²DB'D' AD'A'D = H'DHD'A'HAH' L'Ensemble des formules formées à partir des rotations de base {H,B,A,P,G,D} sera noté M = < H, B, A, P, G, D > , on dit que M est engendré par les
55
rotations de base, et on considère que deux formules donnant un même état seront identiques.
FORMULES ÉTENDUES
Un formule étendue est une suite finie de rotations contenant au moins une rotation étendue. du genre AHΓPΩ'BΨ² ... Autrement dit on démonte le Cube, mélange un peu les pièces puis on le remonte, on obtient ainsi, par définition une formule étendue. Là aussi il est interdit de faire AA', A'A , ΓΓ', Γ'Γ, ... Une rotation étendue est donc une formule étendue par ex la rotation étendue Γ. Rotation Γ : pivoter l'arête (HA) 1. On enlève l'arête (HA) 2. La pivote (180° ou -180°) 3. Puis on la remet
56
Rotation étendue Γ
Rotation étendue Γ=(HA)+=(HA)-=(HA)°
Voici une autre formule étendue ΩΓ: 1. On enlève les arêtes (HA), (HG) 2. Permute (HA)↔(HG) 3. Pivote (HA) 4. Puis on les remet
57
Formule étendue ΩΓ
formule étendue ΩΓ = (HA)+↔(HG) = (HA+,HG) (HA+,HG) = ΩΓ On note M+ l'ensemble des formules étendues M+ = < H, B, A, P, G, D ,Γ, Ψ, Ω > , M + est donc engendré par les 6 rotations de base et les 3 rotations étendues. Rappel : deux formules donnant le même état seront considèrées comme identiques.
58
on a évidemment M ⊂ M+ Note: G est donc, par définition ce sont des états provenantt de M et G+ , par définition ce sont des états provenantt de M+
LA LONGEUR D'UNE FORMULE
La longeur d'une formule U c'est le nombre de rotations qu'elle contient et on la note |U| , par ex: |I|=0 il n'y a aucune rotation dans I |A|=1, |A²| = 2 , U=AD3A'D'H²P'² , V=Γ²ΩD3GA' |U|=10, |V|=8 On dit qu'on a utilisé la métrique "quart" , (q-rotation) Parfois on écrit |U|=10q pour bien préciser. On rencontre dans la litérature du Rubik's Cube une autre façon de compter la longeur , on compte |A²|=1 on dit dans ce cas on utilise le métrique "face" (f-rotation) et on le précise avec un 'f'. |I|=0f
59
|A²|=1f |U|=7f , |V|=6f Pour nous on utilise toujours la métrique "quart". Remarque : Lorsqu'on dit la résolution se fait en 20 mouvements. 1. il faut d'abord préciser de quelle métrique qu'on utilise, la métrique f-rotation ou q-rotation? 20f, ou 20 ??!!!! 2. et puis les gens confrondent entre rotations (coups) et mouvement, un mouvement est une suite de rotations... Bref , la plus part des gens qui parle du Rubik's Cube utilisent un vocabulaire non adoptés, n'importe quoi ! ... , parce qu'ils confondent les notions, les concepts ... Alors méfiez vous ...
60
LE GROUPE (M, .)
L'ensemble des formules M muni le produit (la concaténation) de deux formules forme un groupe (M, .) , en effet on a: 1. Le produit UV (on fait U puis V) d'une formule U par une formule V, est encore une formule (loi interne). 2. La formule I consiste à rien faire, on l'appelle formule neutre (élément neutre). 3. Chaque formule U a un inverse U' (noté aussi parfois U-1): UU'=U'U=I (symétrique) U=AB'H'DP ⇒ U'=P'D'HBA' 4. Faire (UV) puis W c'est la même chose que faire U puis (VW): (UV)W=U(VW) (associative) (M,.) est donc un groupe , le groupe des formules du Rubik's Cube. On fait la même chose avec M+ , donc (M+,.) est aussi un groupe, le groupe des formules étendues du Rubin's Cube . On a évidemment M est un sous groupe de M+. Mais ce n'est ni M ni M+ ce sera ce qu'on appelle le groupe du Rubik's Cube !, contrairement à beaucoup de gens y croient .
61
(M+ , . ) est donc le groupe des formules étendues du Rubik's Cube , et (M , . ) le groupe des formules du Rubik's Cube. N'oubliez pas que deux formules donnant un même état sont identiques. Finalement : il y a 2 concepts importants il faut bien comprendre et maitriser et ne pas confondre. * concept: formule = mouvement = manoeuvre = mélange * concept: état = motif = configuration Remarque ΓA signifie on fait la rotation Γ puis la rotation A, et ΓA≠AΓ
ΓA
AΓ
Formules célèbres M = < H,B,A,P,G,D > On peut avoir 5 générateurs M = < H,A,P,G,D > où B = (DG'A²P²DG')H(DG'A²P²DG') (Roger Penrose)
62
On peut avoir 2 générateurs M = < T,K > où T = HPGHG'H'P' et K = D²AGB'D' (Frank Barnes) DH²B'PB' , cette formule possède l'ordre maximal 1260 (DH²B'PB')1260 = I Superflip φ: φ = APH²DA².D²P²H'BA.H²D'G'HP².BD²HP²H (Dik .T. Winter,1992) |φ|= 28 |φ|= 20f (plus courte formule en 'f', Michael Reil, 1995) φ = D'H²PG' .AH'PBA .HB'GB² .A'DP'BA' .H'P'HB' (Michael Reid ,1995, par ordinateur) |φ| = 24 (plus courte formule, Jerry Bryan, 1995) |φ| = 22f φ = (HA)+(HP)+(HG)+(HD)+ .(AD)+(PG)+(AG)+(PD)+ (BA)+(BP)+(BG)+(BD)+ (12 arêtes flippées) Flipspot π : π= H²B²G A² .H'BD² PH'B'D. GA²D HB' D'GHA'P' (Mike Reid, par ordinateur) |π| = 26 (plus courte formule, Mike Reid) |π|=21f π = A DG'PB .A D'HBP .D' B'D'PH² .B²P²DGB²DG |π|=26 |π|=22f π = H²AH²D' .G A²HA' .P'DGH² .DHB'DG' .BD'G'B² |π|=26 |π|=22f
63
π = (HA+,HP+)(HG+,HD+) (AD+,PG+)(AG+,PD+) (BA+,BP+)(BG+,BD+) (HDA,HGP) (HAG,HPD) (BAD,BPG) (BGA,BDP)
Flipspot * 6 couples arêtes sont échangés * Toutes les arêtes sont flippées * 4 couples sommets sont échangés
Superflip * 12 arêtes flippées
64
PERMUTATIONS DES ÉTIQUETTES
Soit X = {1,2,3, ..., 48} l'ensemble des étiquettes (stickers) du Rubik's Cube numérotées 1,2,... ,48 comme indique la fig ci-dessous
L'ensemble des étiquettes X
ACTION DU GROUPE M + SUR X
D'un côté on a un Rubik's Cube monochrome, de l'autre côté les étiquettes numérotés éparpillées sur la table, physiquement rien ne lie entre ces deux objets. Imaginez
65
lorsqu'on fait une rotation A par ex, une force mystérieuse déplace ces étiquettes ....
Rotation A
étiquettes déplacées On appelle ceci "action" de A sur X, x⦁A = x' ⇒ pA(x) = x⦁A = x' Ce n'est pas A qui déplace les étiquettes mais une permutation pA de X, un élément de Sx , pA∈Sx , la rotation
66
A ordonne à pA de déplacer les étiquettes. Au lieu de prendre la rotation A, on peut prendre n'importe quel élément de M+, on dit que M+ agit sur X. X x M+⤍X (x,U)⤍x⦁U=x' 1. x⦁I=x 2. (x⦁U)⦁V=x⦁(UV) 3. ∀x,x' , ∃U tels que x⦁U=x' (transitivement) 4. ∀x , x⦁U=x ⇒ U=I (axiome, fidèlement) pU : X⤍X x⤍ pU(x) = x⦁U = x' ;permutation Donc à chaque formule U∈M+ on associe une permutation pU de Sx en particulier à chaque rotation de base {H,B,A,P,G,D} on associe une permutation (étiquettes) {pH, pB, pA, pP, pG, pD} de Sx et soit Λ l'ensemble des permutations engendrées par {pH, pB, pA, pP, pG, pD} Λ = < pH, pB, pA, pP, pG, pD > et Λ+ = < pH, pB, pA, pP, pG, pD, pΓ, pΨ, pΩ > Permutations standards pH = (19,35,27,43)(41,17,33,25)(8,6,1,3)(18,34,26,42) (7,4,2,5) pB = (22,46,30,38)(40,24,48,32)(9,11,16,14)(23,47,31,39) (10,13,15,12) pA = (6,41,11,40)(35,8,46,9)(17,19,24,22)(7,44,10,37) (18,21,23,20) pP = (3,33,14,48)(43,1,38,16)(25,27,32,30)(2,36,15,45) (26,29,31,28) pG = (6,22,14,27)(17,9,32,1)(35,40,38,33)(4,20,12,29) (34,37,39,36)
67
pD = (8,25,16,24)(19,3,30,11)(41,43,48,46)(5,28,13,21) (42,45,47,44) Permutations étendues pΓ = (7,18) pΨ = (8,41,19) pΩ = (7,4)(18,34) Permutations tranches ph = (21,37,29,45)(44,20,36,28) pd = (7,26,15,23)(18,2,31,10) pa = (4,42,13,39)(34,5,47,12) Le GAP Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gapsystem.org/Releases/index.html Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin C:\gap4r7\bin>gap gap> Ici on colle le text gap_rubikcube.txt gap_rubikcube.txt Note: on peut dire si pU = pV ⇒ U=V, deux formules donnant la même permutation sont identiques. Remarque important Une remarque importante sur M (ou M+) , on a considéré que deux formules donnant un même état sont identiques, pourquoi ne seront-elles pas différentes ? Si deux formules
68
différentes donnent un même état, c'est qu'elles donnent un même état c'est tout en quoi celà nous gène ? dans ce cas il y aura beaucoup de formules pour un état, par ex: I=AAAA=AAAAAAAA= .... pour l'état résolu e et même une infinité !! or on sait que le groupe du Rubik's Cube est fini, et on aimerait donc que M lui aussi soit fini, et avoir le même nombre d'éléments que le groupe du Rubik's Cube. C'est pourquoi on considère que deux formules seront identiques si elles donnent le même état. De façon plus précise on passe par ce qu'on appelle le groupe libre .... Groupe libre On se donne 2 ensembles finis Z={a,b,c,d,...}, Z'={a',b',c',d',...} disjoints et en bijection a⤍a', b⤍b' ... et un élément 1 non dans Z et Z'. On forme alors les mots de Z c'est-à-dire les suites finies d'éléments de Z et Z' avec la règle: aa', a'a, bb', b'b, cc', c'c, ... interdits du genre u = abd'bbc ; OK v = c'dab'bd² ; interdit (cause b'b) Soit Fz =< a, b, c, d, ... > l'ensemble des mots de Z , muni la loi concaténation, on a: 1. Loi interne (évident) 2. 1=élément neutre (par déf) 3. a' ⇒ symétrique de a (par déf) aa'=a'a=1 et u=adb'c ⇒ u'=c'bd'a' symétrique de u
69
4. (uv)w = u(vw) (à démontrer) Fz forme alors un groupe nommé groupe libre engendré par Z. Le problème du groupe libre est suivant: comment reconnaitre deux mots "identiques" ? , comment savoir si deux mots sont équivalents (des mots synonymes). ab²ac'd² ~ bc'da² ?? autrement dit donner un sens aux mots ... Pour celà on doit donner un autre groupe, on prend K un sous-groupe (d'un groupe L fini) engendré par les p,q,r,s, ... c'est-à-dire K = < p,q,r,s, ... > ⊂ L et un morphisme f, à chaque mot de Fz on associe un élément de K f: Fz → K 1. f(a)=p , f(b)=q, f(c)=r, f(d)=s, .... 2. f(abcd...) = f(a)f(b)f(c)f(d) .... x∈Fz , α∈K x ⤍ f(x)=α Soit α = pq-1r ∈K par exemple, posons u=ab'c f(u) = f(ab'c) = f(a)f(b')f(c) = f(a)f(b)'f(c) = pq-1r = α f(u) = α
70
ce qui montre f est surjective. on dit que x~y quand f(x)=f(y) x,y ∈Fz , x~y ⟺ f(x)=f(y) La relation '~' est compatible avec la loi '.' de Fz en effet a~x ⇒ f(a) = f(x) } ⇒ f(a)f(b) = f(x)f(y) b~y ⇒ f(b) = f(y) ⇒ f(ab)=f(xy) ⇒ ab~xy autrement dit on a : a~x b~y} ⇒ a. b~x. y Ce qui nous permet de définir la loi quotient (Fz/~, .) x . y = x. y on a définit alors ϕ: ϕ: FZ/~ ⤍ K x ⤍ ϕ(x) = f(x) ϕ(x) = ϕ(y) f(x) = f(y) ⇒ x~y ⇒ x = y Ce qui montre que ϕ est injectif Soit y∈K ⇒ ∃x∈Fz tel que f(x) = y car f est surjective
71
ϕ(x) = f(x) = y ⇒ ϕ surjectif et finalement on a une bijection entre Fz/~ = K (fini) car K⊂ L fini Pour nous Z = {H,B,A,P,G,D} K = Λ = < pH, pB, pA, pP, pG, pD > ⊂ S48 f: Fz → Λ 1. f(H) = pH, f(B) = pB, f(A) = pA, ... ∈ S48 2. f(HBA...) = f(H)f(B)f(A)... U,V ∈Fz , U~V ⟺ f(U)=f(V) Et la loi quotient : U . V= U. V dans FZ/~ ϕ: FZ/~ ⤍ Λ U ⤍ ϕ(U) = f(U) et M = FZ/~ = Λ donc |M|=|Λ| . il est plus simple, et plus compréhensible de définir M = < H, B, A, P, G, D > ; avec la convention U=V si U et V donnent le même état que de définir M par M = FZ/~ Comme on considère que deux formules donnant un même état sont identiques , on dira alors qu'une formule possède des différentes écritures (de représentants, des synonymes, ... ) comme par ex: I = A4 = A8 = [HD]6
72
D' = D3 HB = BH (H²D²)3(B²D²)3 = (H²G²)3(B²G²)3 (A²P'D'H'B)² = (HDA²PB')² ..... comme pour les nombres, l'inverse de 2 a plusieurs l'écriture : 1/2 = 3/6 = 0,5 ...
* On a un seul vecteur u ⃗ mais on a plusieurs écritures ⃗⃗⃗⃗⃗ = GB ⃗⃗⃗⃗⃗ = FC ⃗⃗⃗⃗ = ED ⃗⃗⃗⃗⃗ = ... ⃗ = HA u
73
74
Finalement une formule c'est une classe d'équivalence de mots (d'écritures, ...) mais comme on ne manipule les formules que par ses représentants , c'est pourquoi par abuse de langage on applle l'écriture, le repréentant, le mot ... 'formule'. En pratique, on oublie les classes d'équivalence, les représentants ... on considère simplement * formule (resp. étendue) ⇒ une suite de rotations (resp. étendue) de base. * deux formules sont identiques si elle donnent le même état.
75
RETROUVER G + ,G
G est, par définition ce sont des états provenant de M c'està-dire les états qu'on peut atteindre à partir de e(=état résolu , une couleur par face) par M . G = {x, ∃U∈M / e⦁U=x}
un état et G+ est, par définition ce sont des états provenant de M+ c'est-à-dire les états qu'on peut atteindre à partir de e (=état résolu , une couleur par face) par M+ . G+ = {x, ∃U∈M+ / e⦁U=x}
76
états étendus Dans l'écriture 'e⦁U=x' on dit que x provient de U, on atteint x (à partir de e) par U, il y a une étonnante analogie avec la géométrie ... ⃗⃗⃗⃗⃗ = u AB ⃗ on peut changer la notation, changer l'écriture A⦁u ⃗ = B , on a le droit c'est simplement une notation, avec cette nouvelle écriture c'est beaucoup mieux, car on voit que u ⃗ agit sur A pour donner B !! on dit que les vecteurs agissent sur les points, et ⃗ = A ; (AA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗) A⦁0 ⃗⃗⃗⃗⃗ on voit que AA = ⃗0 est un axiome, donc demander de démontrer que ⃗⃗⃗⃗⃗ AA = ⃗0 n'a pas de sens !!! de même (A⦁u ⃗ )⦁v⃗ = A⦁(u ⃗ + v⃗) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ = u A⦁u ⃗ = B ; (AB ⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗ = v⃗) B⦁v⃗ = C ; (BC
77
A⦁(u ⃗ + v⃗) = C ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = C A⦁(AB d'où ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ AC Ce qui montre que la relation de Chasles est un axiome et que demander de démontrer que ⃗⃗⃗⃗⃗ AC = ⃗⃗⃗⃗⃗ AB + ⃗⃗⃗⃗⃗ BC n'a pas de sens. ⃗⃗⃗⃗⃗ AB = ⃗⃗⃗⃗⃗ CD signifie que ⃗⃗⃗⃗⃗ AB, ⃗⃗⃗⃗⃗ CD représentent un même vecteur, de même pour nous U=V signifie que U,V représentent un même état. Lorsqu'on fixe un point dans le plan par ex O, la relation: ⃗⃗⃗⃗⃗ = u O⦁u ⃗ = A ; (OA ⃗) montre qu' on a une bijection entre les pointes du plan et les vecteurs (on dit que les vecteurs opèrent (=agissent) transitivement et fidèlement sur les points) O⦁u ⃗ =A e⦁U = s c'est la même écriture O⟺e, u ⃗ ⟺U et A⟺s Donc logiquement on doit avoir a une bijection entre les états et les formules.
78
Visuellement on voit ce que c'est un état, c'est une sorte de motif ... mais comment est mathématiquement un état ? comment exprimer un état mathématiquement ? autrement dit comment "coder" un état ? On peut voir qu' un état étendu c'est le résultat d'un mouvement étendu, autrement dit c'est le résultat de l'action de M+ sur X et un état (standard) c'est le résultat de l'action de M sur X. Les permutations pH, pB, ... ∈Sx ne sont pas quelconque de X mais elles sont très particulières pour voir celà il suffit de suivre le mouvement des étiquettes, par ex l'étiquette '6' ne peut pas se placer en '44' , ou encore à chaque fois que '6' bouge , l'étiquette '17' bouge aussi... le '6' a un mouvement de S8 et de rotation R120° (isomorphe à Z3) autour d'un triangle équilatérale (le '6' peut se placer en '35' ou '17'). Les pH, pB, ... ont deux effects : ils déplacent les pièces et ils pivotent les pièces. Ainsi on peut les décomposer en 4 morceaux que l'on nomme 'état' s: s = (u,x,v,y) avec u∈S12, x∈Z212 , v∈S8, y∈Z38 u=permutation des arêtes x=vecteur orientation arête v=permutation des sommets y=vecteur orientation sommet pour voir celà il suffit de renommer les étiquettes comme indiquent les fig ci-dessous:
79
étiquette-arête
étiquette-sommet Voyons pour la rotation A,
80
pA = (6,41,11,40)(35,8,46,9)(17,19,24,22)(7,44,10,37) (18,21,23,20) * (18,21,23,20)=(x1,x5,x9,x6)=u * (7,44,10,37) indique l'orientation des arêtes 7⤍44 ⇒ x1⤍x5+ ⇒ l'orientation de x1=1 44⤍10 ⇒ x5⤍x9+ ⇒ l'orientation de x5=1 10⤍37 ⇒ x9⤍x6+ ⇒ l'orientation de x9=1 37⤍7 ⇒ x6⤍x1+ ⇒ l'orientation de x6=1 x=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) * (17,19,24,22)=(y1,y5,y6,y2)=v * 8⤍46 ⇒ y1⤍x5- ⇒ l'orientation de y1=2 (-1=2 (mod 3) * 11⤍40 ⇒ y5⤍x6+ ⇒ l'orientation de y5=1 * 9⤍35 ⇒ y6⤍x2- ⇒ l'orientation de y6=2 * 6⤍41 ⇒ y2⤍x1+ ⇒ l'orientation de y2=1 y=(2,1,0,0,1,2,0,0) pA ⇒ (u,x,v,y) On trouve G+ est: G+ = (S12 x Z212 ) x (S8 x Z38 )
81
On peut retrouver G+ par le raisonnement suivant, sans entrer en détaille (sans passer par l'action de M+ sur X) : 1. Les arêtes et les sommets forment deux clans bien distigues , ils ne se mélangent jamais, une arête ne se met pas à la place d'un sommet et inversement (c'est normal, car physiquement ces pièces sont différentes). 2. On peut permuter ces 12 arêtes entre elles comme on veut, donc on a affaire à S12 (le groupe des permutations à 12 objets) et chaque arête possède 2 orientations, par exemple, l'arête (vert,orange) peut se placer en (HA) avec (H=orange, A=vert) ou (H=vert, A=orange), donc l'orientation des arêtes est codée par un vecteur à 12 composantes à valeur dans {0,1}, c'est donc on a affaire à Z212 , finalement pour les arêtes on a S12 x Z212 3. Même chose pour les sommets On peut permuter les 8 sommets entre eux comme on veut, donc on a affaire à S8 et chaque sommets possède 3 orientations, par exemple, le sommet (blanc,rouge,vert) peut se placer en (HDA) avec (H=blanc, D=rouge, A=vert) ou (H=rouge, D=vert, A=blanc), ou (H=vert, D=blanc, A=rouge), donc l'orientation des sommets elle aussi est codée par un vecteur à 8 composantes à valeur dans {0,1,2}, c'est donc on a affaire à Z38 , pour les sommets on a S8 x Z38 Finalement l'ensemble de tous les états (produits par M +) est: G+ = (S12 x Z212 ) x (S8 x Z38 )
82
Ce sont tous les états du Cube (produit par tous les mélanges du Cube y compris le démontage/montage du Cube) Quand on mélange le Cube normalement avec les rotations de base {H,B,A,P,G,D}, on obtient un état (standard) , mais ce mélange a des contraintes ! Et ces contraintes sont bien visibles. En effet, prenons un exemple: mélangeons le Cube avec la rotation A. On voit qu'on permute les arêtes mais on permute aussi les sommets !! A chaque fois qu'on bouge les arêtes on est obligé de bouger aussi les sommets quand on mélange avec les rotations de base. G est donc l'ensemble des états provenant des mélanges avec des contraintes. En résumé : Chaque mouvement (formule) gènère une permutations des étiquettes qui produit ensuite un état du Cube. par exemple rotation A∈M ⇒ permutation pA∈SX ⇒ état eA =(u,x,v,y)∈G (configuration, motif)
Rotation A
83
état eA Il est donc important de faire la distinction entre: mouvement, permutation, état. G+ c'est l'ensemble de tous les états du Cube produits par tous les mouvements (mélanges) y compris le démontage/remontage du Cube, G c'est l'ensemble des états produits par les rotations de base {H,B,A,P,G,D}, c'est un sous ensemble de G+ G = l'ensemble des états (provenant de M) G+ = l'ensemble des états étendus (provenant de M+) G+ = (S12 x Z212 ) x (S8 x Z38 ) G ⊂ G+ J'insiste sur la différence entre ses objets: A, p A, eA A=formule (rotation) pA=permutation (des étiquettes) eA=état (configuration, motif du Cube)
84
ORIENTATION DES ARÊT ES Lorsqu'on place une pièce dans son emplacement, elle peut être bien placée ou mal placée on dira qu'elle est bien orientée ou mal orientée. Bien orientée signifie que ses couleurs correspondent avec celle du centre
l'arête bien orientée
l'arête mal orienté
85
sommet bien orienté
sommet mal orienté
Mais alors, comment savoir si une pièce est bien ou mal orientée quand elle est dans un autre emplacement que le sien ??
86
bien orientée ou mal orientée ?
bien orienté ou mal orienté ?
87
Pour répondre à cette question on doit passer par un système de marquage On a d'une part, des emplacements-arêtes à 2 facettes marquées 0, 1 et d'autre part des arêtes (les pièces) ayant 2 couleurs dont l'une est dominante. Lorsqu'une arête se loge dans un emplacement-arête et que sa couleur dominante est sur 1 on dit que l'orientation de cette arête vaut 1, de même si sa couleur dominante est sur 0 son orientation vaut 0 on dit dans ce cas qu'elle est bien orientée.
LE MARQUAGE
Le marquage des facettes est 0, ou 1, car les arêtes n'ont que 2 possibilités pour pivoter . * marquage horaire=(0,1): on marque 0 sur une facette, puis on marque 1 pour l'autre facette. Donc pour chaque emplacement-arête on n'a que 2 possiblilités : (0, 1), (1, 0) Nous décidons de marquer le Cube comme indique la fig ci-dessous: 0 sur H,B puis 0 sur A et P, ce marquage respecte l'ordre des faces H≤B≤A≤P≤G≤D
88
emplacements-arêtes avec les facettes marquées 0=bien orienté
Lorsqu'on écrit l'emplacement (AB) , on ne tient pas compte l'ordre des lettres (AB) = (BA) Mais si on tient compte des marquages on écrit d'abord H,B puis A,P Voici les 12 écritures correctes des arêtes en tenant compte des marquages. L'ordre des faces: H ≤ B ≤ A ≤ P ≤ G ≤ D (HA), (HG), (HP), (HD) (AD), (AG), (PG), (PD) (BA), (BG), (BP), (BD)
89
L'ARBRE DE MARQUAGE DES EMPLACEMENTSARÊTES
Il y a plusieur marquages possibles mais ils sont tous équivalants (dans le sens qu'ils donnent les même lois du Rubik's Cube) pour voir dessinons l'arbre de marquage des emplacements-arêtes. Lorsqu'on fait une rotation de base, il n'y a que 4 arêtes disons a⤍b⤍c⤍d qui se déplacent, l'arbre a donc 4 niveaux. comme chaque emplacement-arête a 2 possibilités et on a 4 niveaux donc l'arbre a 24 = 16 branches.
90
* = les couleurs dominantes (* placé sur 0)
91
Voyons sur un chemin de l'arbre a=(*,1) ⤍ b=(*,1) ⤍ c=(*,1) ⤍ d=(1,*) ⤍ a=(*,1) ⇒ orientation = 2 on passe de a⤍b la couleur dominante '*' est sur 0 (sur '*') on passe de b⤍c la couleur dominante '*' est sur 0 on passe de c⤍d la couleur dominante '*' est sur 1 on passe de d⤍a la couleur dominante '*' est sur 1 total = 2 a=(1,*) ⤍ b=(*,1) ⤍ c=(1,*) ⤍ d=(*,1) ⤍ a=(1,*) ⇒ orientation = 4 on passe de a⤍b la couleur dominante '*' est sur 1 on passe de b⤍c la couleur dominante '*' est sur 1 on passe de c⤍d la couleur dominante '*' est sur 1 on passe de d⤍a la couleur dominante '*' est sur 1 total = 4 etc ... De même on va calculer le nombre total des marquages possibles n. l'arbre a 16 branches, il faut choisir 3 branches (3x4=12 arêtes) parmi 16 n = (16 ) = 16x15x14/3! = 560 3 L'arbre de marquage nous montre qu'une rotation de base, apporte 0 ou 2 ou 4 au nombre de flips
92
LA COULEUR DOMINANTE D'UNE ARÊTE
On va numéroter les arêtes comme indique la fig cidessous x1=(blanc, vert) , x2=(blanc,orange) , x3=(blanc,bleu) , ....
Les arêtess numérotés: xi Pour une arête, quelle est sa couleur dominate ? et pourquoi ? Une fois le marquage est donné, à l'état résolu, la couleur dominante c'est la couleur qui est sur zéro 0. Parce que à l'état résolu tous les arêtes sont en bonne orientation
93
* = les couleurs dominantes (* placé sur 0) Donc, pour les arêtes les couleurs dominantes sont : blanc ≥ jaune ≥ vert ≥ bleu ≥ orange ≥ rouge voici les 12 arêtes xi avec leur couleur dominante en premier: x1=(blanc,vert), x2=(blanc,orange), x3=(blanc,bleu), x4=(blanc,rouge), x5=(vert,rouge), x6=(vert,orange), x7=(bleu,orange), x8=(bleu,rouge), x9=(jaune,vert), x10=(jaune,orange), x11=(jaune,bleu), x12=(jaune,rouge). Au départ les emplacements contiennent les x i comme suite:
94
(HA)=x1, (HG)=x2, (HP)=x3, (HD)=x4 (AD)=x5, (AG)=x6, (PG)=x7, (PD)=x8 (BA)=x9, (BG)=x10, (BP)=x11, (BD)=x12 Les arêtes xi se baladent d'emplacements en emplacements pour se loger dans des emplacementsarêtes (HA), (HD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur la facette marquée 1 sa orientation vaut 1 (1 flip), sinon elle vaut zéro (0=bien orienté), Par exemple l'arête (vert,rouge)=x5 se place en (HA) avec H=vert, A=rouge alors x5 vaut 0 (0 flip, bien orienté) car la couleur dominante (vert) est sur la facette marquée 0, De même, si l'arête (blanc,bleu)=x3 est dans (AD) avec A=bleu, D=blanc alors x3 = 1 (1 flip) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1
95
ORIENTATION DES SOMMETS Ici on fait la même chose comme pour les arêtes, d'une part il y a des emplacements-sommets à 3 facettes marquées 0, 1, 2 et d'autre part les sommets ayant 3 couleurs dont l'une est dominante. Lorsqu'un sommet se loge dans un emplacement-sommet et que sa couleur dominante est sur la facette marquée 2 on dit que l'orientation de ce sommet vaut 2, de même si sa couleur dominante est sur 1 son orientation vaut 1, sur 0 son orientation vaut 0 dans ce cas on dit que le sommet est bien orienté.
LE MARQUAGE
La grande question est : comment marquer ces facettes ?? Eh bien , examinons le problème de plus prés Les sommets pivotent dans le sens horaire ou dans le sens contraire ce qui signifie que les étiquettes des sommets doient faire des cycles, par ex le sommet (blanc,rouge,vert) se place en (HDA) avec D=blanc alors on a nécessairement A=rouge et H=vert mais pas A=vert et H=rouge. Donc le marquage des facettes doit être "cyclique". il n'y a que 2 types de marquage pour les emplacementssommets
96
*marquage dans le sens horaie (0,1,2): on marque 0 sur une facette, puis dans le sens horaire on marque 1 puis 2. *marquage anti-horaire (2,1,0): on marque 0 sur une facette, puis dans le sens anti-horaire (trigonométrie) on marque 1 puis 2. Donc pour chaque emplacement-sommet on n'a que 3 possiblilités (pas 6) quelque soit le type de marquage: *dans le sens horaire: (0,1,2), (2,0,1), (1,2,0) . *dans le sens trigonométrie : (2,1,0), (1,0,2) ,(0,2,1). Nous décidons de marquer le Cube de façon suivant: 0 sur le Haut et le Bas (comme dans le cas des arêtes) puis dans le sens horaire 1, 2. C'est le marquage le plus usuel.
emplacements-sommets avec les facettes marquées dans le sens horaire 0 = bien orienté Lorsqu'on écrit l'emplacement (ABD) on ne tient pas compte l'ordre des lettres
97
(ABD) = (ADB) = (DAB) = (DBA) = (BAD) = (BDA) Mais si on tient compte des marquages on écrit les faces H, B en premier puis les autres dans l'ordre de marquage. Voici les 8 écritures correctes des sommets en tenant compte des marquages (on commence par H ou B puis on tourne le sommet dans les sens horaire). (HDA), (HAG), (HGP), (HPD) (BAD), (BGA), (BPG), (BDP)
L'ARBRE DE MARQUAGE DES EMPLACEMENTSSOMMETS
Il y a plusieurs marquages possibles, mais ils sont tous équivalents (dans le sens où ils donnent les même lois du Rubik's Cube) , pour voir , il suffit de dessiner les arbres de marquages. I. On a 2 types de marquages: horaire=(0,1,2) et antihoraire=(2,1,0), donc 2 arbres II. Lorsqu'on fait une rotation de base, il n'y a que 4 sommets disons a⤍b⤍c⤍d qui se déplacent, donc chaqu' arbre a 4 niveaux. III. Chaque emplacement-sommet a 3 possibilités et on a 4 niveaux, l'arbre a 34 = 81 branches On va simplement dessiner une partie de l'arbre horaire.
98
* = les couleurs dominantes (* placé sur 0) Voyons sur un chemin de l'arbre a=(*,1,2) ⤍ b=(*,1,2) ⤍ c=(1,2,*) ⤍ d=(2,*,1) ⤍ a=(*,1,2) ⇒ orientation = 3 on passe de a⤍b la couleur dominante '*' est sur 0 (sur '*') on passe de b⤍c la couleur dominante '*' est sur 1 on passe de c⤍d la couleur dominante '*' est sur 1 on passe de d⤍a la couleur dominante '*' est sur 1 total = 3 a=(1,2,*) ⤍ b=(*,1,2) ⤍ c=(2,*,1) ⤍ d=(1,2,*) ⤍ a=(1,2,*) ⇒ orientation = 6
99
on passe de a⤍b la couleur dominante '*' est sur 2 on passe de b⤍c la couleur dominante '*' est sur 2 on passe de c⤍d la couleur dominante '*' est sur 2 on passe de d⤍a la couleur dominante '*' est sur 0 (sur '*') total = 6 etc ... Il n'est pas difficile de calculer le nombre total des marquages possibles n. En effet un arbre a 81 branches, une branche représente le marquage de 4 emplacementssommets comme on a 8 emplacements-sommets il nous faut 2 branches, càd il faut choisir 2 branches parmi 81, et on a 2 arbres donc n = 2 x (81 ) = 81 x 80 = 6480 2 L'arbre de marquage des emplacements-sommets nous montre qu'une rotation de base, apporte 0 ou 3 ou 6 au nombre de twists
LA COULEUR DOMINANTE D'UN SOMMET
Pour ne pas alourdir les écritures on va numéroter les sommets comme indique la fig ci-dessous y1=(blanc,rouge,vert), y2=(blanc,vert,orange), y3=(blanc,orange,bleu), ...
100
Les sommets numérotés: yi Pour un sommet, quelle est sa couleur dominate ? et pourquoi ? Pour savoir la couleur dominante d'un sommet c'est très simple une fois le marquage est donné. A l'état résolu, la couleur dominante c'est la couleur qui est sur zéro 0. Parce que à l'état résolu tous les sommets sont en bonne orientation
101
* = les couleurs dominantes (* placé sur 0) Donc, pour les sommets, les couleurs blanc et jaune sont des couleurs dominantes (* placé sur 0) voici les 8 sommets yi avec leur couleur dominante en premier: y1=(blanc,rouge,vert), y2=(blanc,vert,orange), y3=(blanc,orange,bleu), y4=(blanc,bleu,rouge), y5=(jaune,vert,rouge), y6=(jaune,orange,vert), y7=(jaune,bleu,orange), y8=(jaune,rouge,bleu). Au départ les emplacements contiennent les y i comme suite: (HDA)=y1, (HAG)=y2, (HGP)=y3, (HPD)=y4 (BAD)=y5, (BGA)=y6, (BPG)=y7, (BDP)=y8
102
Les sommets yi se baladent pour se placer dans les emplacements-sommets, à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur la facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 twist) , sur 2 son orientation vaut 2 (2 twists) , sur 0 son orientation vaut zéro (0 twist, 0=bien orienté). Par exemple, le sommet y6=(jaune,orange,vert) se place en (HDA) avec H=orange, D=vert, A=jaune, alors y6 vaut 2 (2 twists) car la couleur dominante jaune est sur la facette 2, de même pour le sommet y1=(blanc,rouge,vert) dans (HAG) avec H=vert, A=blanc, G=rouge alors y1=1 (1 twist) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1 .
Pour se souvenir les marquages, on utilise le principe dominant Pour les arêtes : L'ordre des faces : H ≤ B ≤A ≤ P ≤G ≤ D L'ordre des couleurs : blanc ≥ jaune ≥ vert ≥ bleu ≥ orange ≥ rouge
103
Pour les sommets : L'ordre des faces : On commence par H ou B puis on tourne le sommet dans le sens horaire: (HDA), (HPD), (BAD), ... L'ordre des couleurs : blanc ≥ jaune ≥ ...
104
LOI DE COMPOSITION DANS (G + ,.)
Rappel :
Orientation
Les arêtes, sommets numérotés
105
Comment va-t- on définir la loi de composition '.' dans G+ ? Il faut la définir de telle sorte que ça décrit exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube quand on fait des rotations ... autrement dit la loi '.' doit être liée avec M, sinon ça sert à rien d'avoir une loi sur G+ !! Voyons ce qui se passe pour la rotation de base A. Soit donc (p,a,q,b) l'état associé à la rotation A : I) Pour les arêtes : La rotation de base A gènère une permutation p et une orientation a : A ⇒ (p,a). D'après le marquage on a: (HA)=(x1,x1+1), (AD)=(x5,x5+1), (BA)=(x9,x9+1), (AG)=(x6,x6+1)
Orientation des arêtes
106
Avant la rotation A
Après la rotation A x'1 = 1+x5 x'2 = x2 x'3 = x3 x'4 = x4 x'5 = 1+x9 x'6 = 1+x1 x'7 = x7
107
x'8 = x8 x'9 = 1+x6 x'10 = x10 x'11 = x11 x'12 = x12 ce qui donne: Permutation: p = 1⤍5⤍9⤍6 = (1,5,9,6) Orientation: a = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) on a bien a = 0 (mod 2) on a: x' = a + p(x) ce qui suggère la loi dans (G, .) (p,a)(u,x) = (pu, a+p(x)) où p(x) = (xp(1), xp(2), xp(3),..., xp(12)) II) Pour les sommets : De même la rotation de base A gènère une permutation et une orientation A ⇒ (q,b) . D'après le marquage on a: (HAG)=(y2,y2+1,y2+2), (HDA)=(y1,y1+1,y1+2), (BGA)=(y6,y6+1,y6+2), (BAD)=(y5,y5+1,y5+2).
Orientation des sommets
108
Avant la rotation A
Après la rotation A
y'1 = 2+y5 y'2 = 1+y1 y'3 = y3 y'4 = y4 y'5 = 1+y6 y'6 = 2+y2 y'7 = y7 y'8 = y8
109
ce qui donne: Permutation: q = 1⤍5⤍6⤍2 = (1,5,6,2) Orientation: b = (2,1,0,0,1,2,0,0) on a bien b = 0 (mod 3) on a: y' = b + q(y) ce qui suggère la loi dans (G, .) (q,b)(v,y) = (qv, b+q(y)) où q(x) = (xq(1), xq(2), xq(3),..., xq(8)) On va donc définir la loi dans G+ comme suite: s,s' ∈G+ s=(u,x,v,y) et s'=(u',x',v',y') ss' = (u,x,v,y)(u',x',v',y') = (uu', x+u(x'), vv', y+v(y')) où u(x) = (xu(1), xu(2), xu(3),..., xu(12)) v(y) = (yv(1), yv(2), yv(3),..., yv(8))
VÉRIFICATION
Les arêtes , sommets baladent partout, en baladant ils peuvent changer leur orientations, Il faut donc vérifier si la loi correspond bien avec le mouvement commposé. Par ex AD
110
Vérification pour les arêtes.
Numérotation des sommets et des arêtes
flèche bleue: x'1 = x5+1
111
Suivons le mouvement des flèches bleues (flèche partant), le x1 arrive (il bouge) à la facette x5+1 et prend cette valeur c'est-à-dire x'1 = x5+1 x1 représente l'arête (blanc,vert) car il bouge x'1 = 1+x5 x'5 = 1+x9 x'9 = 1+x6 x'6 = 1+x1 x' = a + p(x) avec p=(1,5,9,6) et a=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) Vérifions si ça correspond bien Pour D on a: D ⇒ (p',a') avec p' = (4,8,12,5) a' = 0 AD ⇒ (p,a)(p',a') = (pp', a + p(a') ) pp' = (1,5,9,6)(4,8,12,5) = (4,8,12,5,9,6,1) p(a') = 0 a + p(a') = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) AD ⇒ (u,x) avec u=(4,8,12,5,9,6,1) et x=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) c'est exactement ce qui se passe pour les arêts sur le Rubik's Cube !!! Vérification pour les sommets: A ⇒ (q,b) D ⇒ (q',b')
112
AD ⇒ (q,b)(q',b') = ?? Il faut donc vérifier que '.' correspond bien avec le résultat des rotations AD Observons la fig ci-dessous
flèche bleue: y1' = y5+1
Suivons le mouvement des flèches bleues (flèche partant), le y1 arrive (il bouge) à la facette y5+2 et prend cette valeur c'est-à-dire y'1 = y5+2 y1 représente le sommet (blanc,rouge,vert)) car il bouge y'1 = 2+y5 y'2 = 1+y1 y'5 = 1+y6 y'6 = 2+y2 y' = b + q(y) avec q=(1,5,6,2) et b=(2,1,0,0,1,2,0,0)
113
Pour D on a: D ⇒ (q',b') avec q' = (1,4,8,5) b '= (1,0,0,2,2,0,0,1) AD => (q,b)(q',b') = (qq', b + q(b') ) qq' = (1,5,6,2)(1,4,8,5) = (2,4,8,5,6) b = (2,1,0,0,1,2,0,0) , et q(b') = (2,1,0,2,0,0,0,1) b + q(b') = (1,2,0,2,1,2,0,1) AD ⇒ (v,y) avec v=(2,4,8,5,6) et y=(1,2,0,2,1,2,0,1) c'est exactement ce qui se passe, pour les sommets sur le Rubik's Cube !!! La loi '.' est bien: (u,x,v,y)(u',x',v',y') = ( uu',x+u(x'),vv',y+v(y') ) Remarque importante Certains auteurs définissent la loi '.' dans G+ comme suite: (u,x,v,y)(u',x',v',y') = ( uu',x+u-1 (x'), vv',y+v-1 (y') ) Voyons ce qui se passe, par ex pour les sommets, dans ce cas. Les mouvements des flèches rouges (flèche arrivant), une valeur y2+2 arrive en y1 (y1 ne bouge pas) et il a un nouveau contenu c'est-à-dire y'1 = y2+2 y1 représente l'emplacement (HDA) car il ne bouge pas (un emplacement ne bouge pas) y'1 = 2+y2 y'2 = 1+y6
114
y'5 = 1+y1 y'6 = 2+y5 y' = b + q-1(y) avec q-1 =(2,6,5,1) et b=(2,1,0,0,1,2,0,0) Mais dans ce cas le vecteur b, et b + q-1(y) représentent le contenu des emplacements (HDA), (HAG), etc .... Ces deux lois sont valables pour décrire le Rubik's Cube. En effet dire que la somme des orientations y1+y2+ ... est un multiple de 3 c'est la même chose de dire que la somme des contenus dans les emplacements (HDA)+(HAG)+... est un multiple de 3, puisque toutes les sommets sont dedans !!! Mais notre définition est mieux car il correspond exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube. Les pièces se baladent et changent leur orientation durant le voyage et non le contenu des emplacements changent de valeur !! Pour résumer : (u,x,v,y)(u',x',v',y') = ( uu',x+u(x'),vv',y+v(y') ) décrit le changement d'orientation des pièces en mouvement. Quant à (u,x,v,y)(u',x',v',y') = ( uu',x+u-1 (x'), vv',y+v-1 (y') ) décrit le changement du contenu des emplacements.
115
L'ÉTAT ASSOCIÉ AUX ROTATIONS DE BASE
Voici les états associés aux rotations de base H,B,A,P ... e⦁H = eH = (p,a,q,b) p = (1,2,3,4) a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) q = (1,2,3,4) b = (0,0,0,0,0,0,0,0) e⦁B = eB = (p,a,q,b) p = (9,12,11,10) a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) q = (5,8,7,6) b = (0,0,0,0,0,0,0,0) e⦁A = eA = (p,a,q,b) p = (1,5,9,6) a = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) q = (1,5,6,2) b = (2,1,0,0,1,2,0,0) e⦁P = eP = (p,a,q,b) p = (3,7,11,8) a = (0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0) q = (4,3,7,8) b = (0,0,2,1,0,0,1,2)
116
e⦁G = eG = (p,a,q,b) p = (2,6,10,7) a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) q = (3,2,6,7) b = (0,2,1,0,0,1,2,0) e⦁D = eD = (p,a,q,b) p = (4,8,12,5) a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) q = (1,4,8,5) b = (1,0,0,2,2,0,0,1)
NOTE: 1. Avec notre marquage: * les rotations H,B,G,D ne modifient pas les orientations des arêtes seules les rotations A,P les modifient, elles apportent 4 flips, * les rotations H,B, ne modifient pas les orientations des sommets seules les rotations A,P,G,D les modifient elles apportent 6 flips. 2. e⦁A =eA= (p,a,q,b) et e⦁D =eD = (p',a',q',b') On a bien e⦁(AD)=eAD = eA eD = (p,a,q,b)(p',a',q',b')=( pp', a+p(a'), qq', b+q(b') )
117
LES LOIS DU RUBIK'S CUBE
Le Rubik's Cube possède 3 lois: deux sur l'orientation et une sur les permutations. Soit s=(u,x,v,y)∈G , rappelle que G provient de M=< H,B,A,P,G,D >
1. LOI DES FLIPS: LA SOMME DES ORIENTATIONS DES ARÊTES EST UN MULTIPLE DE 2 (UN NOMBRE PAIR)
∑ xi = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,x3,...,x12) on dit qu'il y a une conservation des flips . Démontration1 : On passe d'un état-arête (u,x) à l'autre (u',x') par une rotation de base X ⇒ (p,a) On a (u',x') = (u,x)(p,a) D'où x' = x + u(a) d'autre part on a aussi u(a) = 0 (mod 2) car une rotation de base apporte un nombre d'orientations a = 0,2,4 (voir l'arbre de marquage) ⇒ a = 0 (mod 2) et que la permutation u ne change rien sur le modulo.
118
Donc si x = 0 (mod 2) on a aussi x' = 0 (mod 2). comme au départ, à l'état résolu l'orientation des arêtes vaut 0 (x=0 (mod 2) ), donc quelque soit l'état du Cube l'orientation des arêtes est toujours un multiple de 2. Démontration2 : On peut démontrer directement, sans passer par la loi '.' de (G,.) on calcule le nombre de flips qu'apporte chaque rotation de base. Pour A elle apporte 4 flips, on notera A=4 comme A et P joue le même rôle (symétrie) donc P=4 aussi clairement on a: H=0, B=0 puis G=0,D=0 au départ on a flips=0 toutes les arêtes sont bien orientées, à chaque fois on applique une rotation de base A,P,H,B,G,D on ajoute un nombre pair donc au final flips=2k un nombre pair la 1er loi est ainsi démontrée.
119
2. LOI DES TWISTS : LA SOMME DES ORIENTATIONS DES SOMMETS EST UN MULTIPLE DE 3
∑ yi = 0 (mod 3) ou en abrégé y = 0 (mod 3) avec y = (y1,y2,y3,...,y8) on dit qu'il y a une conservation des twists . Démontration1 : La démontration est assez simple. On passe d'un étatsommet (v,y) à l'autre (v',y') par une rotation de base X ⇒ (q,b) On a (v',y') = (v,y)(q,b) D'où y' = y + v(b) d'autre part on a aussi v(b) = 0 (mod 3) car une rotation de base apporte un nombre d'orientation b = 0,3,6 (voir l'arbre de marquage) ⇒ b = 0 (mod 3) et que la permutation v ne change rien sur le modulo. Donc si y = 0 (mod 3) on a aussi y' = 0 (mod 3). comme au départ, à l'état résolu l'orientation des sommets vaut 0 (y=0 (mod 3) ), donc quelque soit l'état du Cube l'orientation des sommets est toujours un multiple de 3.
120
Démontration2 : On peut démontrer directement, sans passer par la loi '.' de (G,.) on calcule le nombre de twists qu'apporte chaque rotation de base. Pour A elle apporte 6 twists, on notera A=6 , comme D,P,G jouent le même rôle (symétrie) donc D=6,P=6,G=6 aussi clairement on a: H=0, B=0 au départ on a twists=0 toutes les sommets sont bien orientés, à chaque fois on applique une rotation de base A,P,H,B,G,D on ajoute un multiple de 3 donc au final twists=3k un multiple de 3 la 2ème loi est ainsi démontrée.
3. LOI DE PARITÉ: LE S PERMUTATIONS DES ARÊTES ET DES SOMMETS ONT LA MÊME SIGNATURE
Remarque: Une rotation de base gènère une permutation t sur les pièces, cette permutation déplace 4 arêtes et 4 sommets en cycles . donc t=pq avec p = permutation arêtes un 4-cycle q = permutation sommets un 4-cycle on a donc sig(p)=sig(q) pour une rotation de base Démontration : On passe d'un état (u,x,v,y) à l'autre (u',x',v',y') par une
121
rotation de base X ⇒ (p,a,q,b) On a (u',x',v',y') = (u,x,v,y)(p,a,q,b) D'où u' = up v' = vq ça donne sig(u') = sig(u).sig(p) sig(v') = sig(v).sig(q) Donc si sig(u)=sig(v) on a aussi sig(u')=sig(v') d'apès la remarque ci-dessus comme au départ, à l'état résolu personne ne bouge u=id et v=id ⇒ sig(u)=sig(v), donc quelque soit l'état du Cube (k,.,m,.) on a sig(k)=sig(m). La 3ème loi est ainsi démontrée. Application : 1. Vous avez deux Rubik's Cube mélangés l'un d'eux est pipé, comment peut-on savair lequel est pipé ? (sans les résoudre bien sûr) .
122
Rubik's Cube1
Rubik's Cube2 Solution: Un Rubik non-pipé est un Rubik's Cube qui vérifie les 3 lois. On peut pousser la scénario plus loi .... Deux Rubik's Cubes mélangés reliés à une bombe, l'un d'eux est un vrai c'est-àdire qu'il pemet de déamorcer la bombe en le résolvant, mais l'autre est un faux il fait exploser la bombe dès qu'on tourne l'une de ses faces !!!!
123
Alors sans la connaissance des 3 lois du Rubik's Cube on a 1/2 de faire explore la bombe !! .... On peut maintenant répondre à nos questions dans le Préface. Q1. A la fin de la résolution pourquoi on pivote toujours deux arêtes, jamais une ? R1. Parce qu' on violerait la loi des flips , en effet supposons qu'on ait une arête à pivoter, ça signifie que les 11 autres sont bien orientées donc leur somme vaut zéro 0, et une arête à pivoter la somme de vient 1, ∑ xi = 1 (mod 2) ceci contredit la loi des flips. Q2. Au dernier étage, il y a souvent 3 sommets à placer, pourquoi on tombe jamais sur deux sommets à échanger ?? R2. Parce qu'on violerait la loi de parité, en effet quand on arrive à ce stade, les arêtes sont bien placées (permutation=identité) leur signature vaut 1, sig(u)=1, si on a un couple de sommets à échanger on aurait sig(v)=-1 (parmutation impaire) donc ça viole la loi de parité. Q3. A la fin on pivote tojours : -soit deux sommets de sens contraire. -soit trois sommets de même sens ? Pourquoi on ne pivote jamais un sommet ? R3. Si on pivote un seul sommet , on viole la loi des twists
124
∑ yi = 1,2 (mod 3) ceci contredit la loi des twists. donc -soit on pivote deux sommets de sens contraire: 1-1=0 (mod 3) -1+1=0 (mod 3) -soit trois sommets de même sens: 1+1+1=3=0 (mod 3) -1-1-1=-3=0 (mod 3).
125
LE GROUPE G DU RUBIK'S CUBE D'après ce qui précède tous les éléments de G vérifient les 3 lois. On va voir si les éléments de s∈G+ vérifiant les 3 lois sont dans G.
CONNEXION ENTRE G ET M
Soit donc un élément s de G+ s=(u,x,v,y)∈G+ u ∈S12, x ∈Z212 , v ∈S8, y ∈Z38 qui vérifie: 1. ∑ xi = 0 (mod 2) 2. ∑ yi = 0 (mod 3) 3. sig(u)=sig(v) Il faut maintenant trouver une formule dont s provient. La preuvre est constructive, c'est-à-dire on construit petit à petit la formule On va faire ça en plusieurs étapes. On coupe (u,x,v,y) en deux morceaux (u,x,v,y) = (1,x,1,y)(u,0,v,0) Cas 1: (u,0,v,0) L'état (u,0,v,0) signifie que les sommets et les arêtes sont mal placés mais bien orientés. Soient les 3 formules suivantes:
126
F1 = D².H'D'H'.(DH)².DH'D ⇒ déplacer 3 arêtes sans toucher les autres pièces, un 3-cycle arêtes F2 = [HD]G'[DH]G ⇒ déplacer 3 sommets sans toucher les autres pièces, un 3-cycle sommets F3 = [D'H²]D'AD. HD'H'D'.A'D²H' ⇒ permuter un couple d'arêtes et un couple de sommets sans toucher les autres pièces. - Si sig(u)=sig(v)=1 On utilise F1 (et la conjugaison) , pour placer toutes les arêtes, c'est possible car F1 est un 3-cycle , et que A12 (sig(u)=1 paire) est engendré par les 3-cycles même chose pour les sommets on utilise F2 (et la conjugaison) , pour placer tous les sommets. - Si sig(u)=sig(v)= -1 On utilise F3 (et la conjugaison), on revient alors au cas précédent Cas 2: (1,x,1,y) L'état (1,x,1,y) signifie que les sommets et les arêtes sont bien placés mais pas orientés. Soient 2 formules suivantes: F4 = AH²A² .B' [H'G' ]B .A²H' A' H' ⇒ pivoter 2 arêtes sans toucher les autres pièces F5 = [HD]²G'[DH]²G ⇒ pivoter 2 sommets sans toucher les autres pièces On utilise F4 (et la conjugaison) , pour pivoter toutes les arêtes, la dernière sera automatiquement bien orientée à cause de x=0 (mod 2) On utilise F5 (et la conjugaison) , pour pivoter tous les sommets, le dernier sera automatiquement bien orienté à cause de y=0 (mod 3) Finalement pour trouver une formule pour l'état (u,x,v,y)
127
on fait simplement : - Utiliser les formules F1,F2,F3 pour placer les arêtes et les sommets ⇒ (1,x,1,y) - Utiliser la formule F4,F5 pour orienter les arêtes et les sommets ⇒(u,0,v,0) Donc l'état (u,x,v,y) = (1,x,1,y)(u,0,v,0) correspond bien à une formule. G possède une propriété qui lui est caractéristique. Ce sont des éléments de G+ qui vérifient les 3 lois. G+ = S12 x Z212 x S8 xZ38 G ={ s=(u,x,v,y)∈G+ tel que 1. ∑ xi = 0 (mod 2) 2. ∑ yi = 0 (mod 3) 3. sig(u)=sig(v) } Voyons si G est un sous groupe de G + 1. e =(1,01,0) ∈ G car e vérifie ces 3 lois 2 soient s=(u,x,v,y)∈G et s-1 =(u',x',v',y') symétrique de s x=0 (mod 2) ⇒ -x=0 (mod 2) ⇒ x'= u-1(-x)=0 (mod 2) x' = 0 (mod 2) de même pour y'=0 (mod 3) sig(u) . sig(u' )=1 sig(v) . sig(v' )=1 comme sig(u) = sig(v) ⇒ sig(u' ) = sig(v' )
128
finalement s-1 ∈G 3. s=(u,x,v,y), s'=(u',x',v',y') ∈G ss' = (uu',x+u(x'), vv',y+v(y') ) x=0 (mod 2) x'=0 (mod 2) ⇒ x+u(x')=0 (mod 2) y=0 (mod 3) y'=0 (mod 3) ⇒ y+v(y')=0 (mod 3)
sig(u)=sig(v) sig(u')=sig(v') sig(u)sig(u') =sig(v)sig(v') ⇒ sig(uu')=sig(vv') Ce qui prouve que ss'∈G, G est bien un sous groupe de G+ G ⊂ G+ , G est un sous groupe de G+
129
3 ANTAGONISMES M, Λ, G
L'étude mathématique du Rubik's Cube fait intervenir 3 antagonismes M, Λ, G . M = ,formules Λ = (Λ ⊂ S48), permutations G = les états On peut se poser la question si ces groupes sont isomorphes et si oui, quel sont ces isomorphismes ? la réponse est affirmative. ρ: M ⤍ Λ A ⤍ ρ(A) = pA ρ(I) = id, ρ(H) = pH ... etc ρ est clairement un morphisme, en effet quand on fait AB on permute d'abord pA puis pB ρ(AB)=pApB=ρ(A)ρ(B) ρ injective (par définition en fait) en effet pU=pV ⇒ U=V deux formules donnant une même permutation sont identiques. ρ est surjective par ex p = p2A pB p−1 H soit U=A²BH' on a ρ(U) = ρ(A²BH') = ρ(A²)ρ(B)ρ(H') = ρ²(A)ρ(B)ρ-1 (H) = p2A pB p−1 H =p donc M et Λ isomorphe.
130
Pour M et G c'est la même chose σ: M ⤍ G U ⤍ σ(U)= e⦁U =s on a: σ(I) = e, σ(A) = eA, σ(H) =eH ... etc σ est clairement un morphisme, en effet pour les rotations de base, quand on fait AB on multiplie eA puis eB σ(AB)=eAeB=σ(A)σ(B) donc pour U=A² et V=BH' par ex σ(UV) = σ(A²BH')= σ(A)σ(A)σ(B)σ(H') = σ(A²)σ(BH') =σ(U)σ(V) ρ injective (par définition en fait) en effet e⦁U=e⦁V ⇒ U=V deux formule donnant un même état sont identiques. σ est surjective Soit s un état , il provient donc une formule U e⦁U=s ça signifie σ(U)=s donc M et G isomorphe. Note: 1. Les élément de M, Λ, G ont les même propriétées. 2. |M|=|Λ|=|G|
131
L'un des plus grand difficulté lors qu'on étude mathématiquement le Rubik's Cube c'est définir son groupe. Il y a là beaucoup de confusion, on lit souvent c'est M, puis parfois c'est Λ. Tout ceci provient la confusion entre une rotation, une permutation et un motif. Mélangez votre Rubik's Cube et prennez des photos de ses 6 faces elles forment ainsi un motif nous dirons un état, ce sont ces états qui décrivent vraiment le Rubik's Cube.
Voici un état Le problème comment "codé" ces états mathématiquement ? Nous avions mis du temps pour construire G le groupe du Rubik's Cube. Pour arriver il fallait utiliser tout un
132
technique ... Action d'un groupe, marquage, couleur dominante etc ... M ne peut pas décrire le Cube puisque ce sont des suites finies de rotations AHBPD'H² ... on ne voit ni arêtes, ni sommets , ni orientation des pièces or si vous tenez le Rubik's Cube en main vous voyez bien qu'il a des arêtes et des sommets, et les pièces sont orientées ! Λ non plus ne peut pas décrire le Cube pour les même raisons. Λ sont des permutations "brute" des étiquettes qui sont éparpillés sur la table là non plus on ne voit ni arêtes ni sommets, ni orientation , il n'y a que des numéros qui bougent. Donc ni les rotations, ni les permutation des éttiquettes décrire le Cube seules les états décrivent le Cube en effet dans s = (u,x,v,y) on voit les arêtes 'u', l'orientation des arêtes 'x', les sommets 'v' et l'orientation des sommets 'y' Bien que ces trois groupes M,Λ,G sont isomorphes mais on ne peut pas les identifiés c'est-à-dire dire M=Λ=G, puisqu'ils ne jouent pas la même rôle, M agit sur X mais ni Λ ni G agit sur X. M agit sur X, donne ainsi Λ, et à son tour Λ gènère G
133
M: Les formules (rotations)
Λ : Les permutations (des stickers)
134
G: Les états (configuration ,motif ) On a: M+ ⇒ Λ+ ⇒ G+ M⇒Λ⇒G Note : Dans l'écriture "a=b" certaine c'est de vraie l'égalité, certaine c'est une simple abréviation par ex: φ = APH²DA².D²P²H'BA.H²D'G'HP².BD²HP²H c'est une abréviation, ça signifie: pour obtenir l'état φ on applique la formule, où la formule donne l'état φ (HP)⤍(HD)⤍(AD) = [HD] (abréviation) Pour déplacer ces arêtes on applique la formule [HD], ou [HD] déplace ces arêtes ainsi. e⦁U=s (vraie égalité) A'=A3 (égalité car A4=I l'ordre 4) (H²D²)3(B²D²)3 = (H²G²)3(B²G²)3 (abréviation '~')
135
B = (DG'A²P²DG') H (DG'A²P²DG') (abréviation '~') A²P²G²D² = D²G²P²A² (abréviation '~') A'B²AH²A'B²AH² = H²DBD'H²DB'D' (abréviation '~') AD'A'D = H'DHD'A'HAH' (abréviation '~')
VÉRIFICATION DES LOIS
G+ = S12 x Z212 x S8 xZ38 = L'ensemble des les états produits par tous les mouvements y compris le démontage/remontage du Cube. G+ est le groupe étendu du Rubik's Cube G = Le groupe du Rubik's Cube (seulement les états engendrés par les rotations de base {H,B,A,P,G,D} ) Vérifions ces 3 lois sur [AH]
[AH] = AHA'H'
136
Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est pair x1=(blanc,vert)=0,x4=(blanc,rouge)=1,x6=(vert,orange)=1 on a bien: 0+x1+x4+x6=0 (mod 2) Loi des twists: la somme des orientations des sommets est un multiple de 3 y1=(blanc,rouge,vert)=0,y4=(blanc,bleu,rouge)=2,y6=(jaun e,orange,vert)=2,y2=(blanc,vert,orange)=2 on a bien: 0+y1+y4+y6+y2=0 (mod 3) Loi de parité: les permutations des arêtes et des sommets ont la même signature arêtes: u=1⤍4⤍6 sig(u) = (-1)3-1 = 1 sommets: v=(1,4)(6,2) sig(v) = (-1)2 = 1 d'où sig(u)=sig(v) c'est magique non ? !!! :-) :-) Remarque: I. Ne pas confondre un emplacement-arête avec une arête, un emplacement-arête est un objet fixe à 2 facettes, tandis qu'une arête est un objet mobile à 2 couleurs, qui se déplace d'emplacement en emplacement !! (même remarque pour les emplacements-sommets et les sommets). II. Si les centres sont orientés (avec des images par ex) alors le Rubik's Cube devient un SuperRubik's Cube. On voit que le centre (H) a la même signature que les arêtes (ou sommets) en effet si m = le nombre de rotations 90° des centres, on pose
137
sig(c) = (-1)m et sig(u)=sig(v)=sig(c) Autrement dit si c est pair alors u doit être une permutation paire. A l'état résolu, la signature des arêtes est paire (sig(u)=1) donc la signature des centres aussi c'est-à-dire sig(c) = (-1)2k , la somme des centres doit être un multiple de 2x90° = 180° (k180). Ceci explique pourquoi on ne peut pas tourner un centre à ±90° tout seul, mais toujours deux centres l'un 90°, et l'autre -90° ou bien un centre à 180° . On a 46/2 = 2048 ( divisé par 2 à cause de la loi sig(c)=sig(u)=sig(v) ) de nombres de positions en plus qui faut multiplier avec le nombres d'états.
138
LE NOMBRE D'ÉTATS POSSIBLES
La première idée est se demander combien y-a-t-il d'éléments dans G ?, c-à-d combien y-a-t-il d'états possibles? Avec les 3 loi qu'on vient de découvrir, on peut alors répondre à cette question: 1. La loi des twists dit ∑ yi = 0 (mod 3) donc si 7 sommets sont bien orientés alors le 8ème aussi, sinon on aura ∑ y i = 1 ou 2 (mod 3) donc on n'a besoin que Z37 au lieu de Z38 2. Même choses pour les arêtes, la loi des flips dit que ∑ x i = 0 (mod 2) donc si 11 arêtes sont bien orientées alors la 12ème aussi, sinon on aura ∑ xi = 1 (mod 2) donc on n'a besoin que Z211 au lieu de Z212 finalement G est contenu dans G ⊂ S12 x Z211 x S8 x Z37 3. La loi de parité dit s=(u,x,v,y) avec sig(u)=sig(v) posons: K= S12 x Z211 x S8 x Z37 et considèrons la fonction suivante: f: K → {-1,1} s=(u,x,v,y) → f(s) = sig(u).sig(v) |K| / |Ker(f)| = |Im(f)| or sig(u) = sig(v) ⇒ f(s)=1 ⇒ Ker(f) = G d'où |G| = |K|/2 = 12!.211.8!.37/2 et ummuumumbalalala ....et hup !!!
139
|G| =
12! 8! 212 38 = 43 252 003 274 489 856 000 2 2 3 = 227 314 53 72 11
|G| =
12! 8! 212 38 |G+ | = 2 2 3 12
|G+| = 12|G| NOTE : On a |G| - 1 = 43252003274489856000 - 1 = 43252003274489855999 est un nombre premier !!!, il est vraiment remarquable que |G| - 1 est premier car plus un nombre est grand moins il a de chance d'être premier ! Le GAP Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gapsystem.org/Releases/index.html Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin C:\gap4r7\bin>gap gap> Ici on colle le text gap_rubikcube.txt gap_rubikcube.txt: pH := (19,35,27,43)(41,17,33,25)(8,6,1,3)(18,34,26,42)(7,4,2,5); pB := (22,46,30,38)(40,24,48,32)(9,11,16,14)(23,47,31,39)(10,1 3,15,12); pA := (6,41,11,40)(35,8,46,9)(17,19,24,22)(7,44,10,37)(18,21,2 3,20);
140
pP := (3,33,14,48)(43,1,38,16)(25,27,32,30)(2,36,15,45)(26,29, 31,28); pG := (6,22,14,27)(17,9,32,1)(35,40,38,33)(4,20,12,29)(34,37,3 9,36); pD := (8,25,16,24)(19,3,30,11)(41,43,48,46)(5,28,13,21)(42,45, 47,44); pGamma := (7,18); pPsi := (8,41,19); pOmega := (7,4)(18,34); pph := (21,37,29,45)(44,20,36,28); ppd := (7,26,15,23)(18,2,31,10); ppa := (4,42,13,39)(34,5,47,12); rubikplus := Group( pH, pB, pA, pP, pG, pD, pGamma, pPsi, pOmega ); Srubikplus := Size( rubikplus ); rubik := Group( pH, pB, pA, pP, pG, pD ); Srubik := Size( rubik ); indice := Srubikplus / Srubik ; Le GAP nous donne bien |G| = 43 252 003 274 489 856 000 |G+| = 519 024 039 293 878 272 000 |G+|/|G| = 12
141
LES FACTEURS DE JORDAN-HOLDER DE G
Rappel: On dit qu'un groupe H est simple s'il ne possède pas des sous-groupes nornaux (autre que 1 et H bien sûr). G n'est pas 'simple' du tout !!!! Un groupe qui n'est pas simple est "fabriqué" en quelque sort, par des groupes simples!! comme un nombre est composé par des nombres premiers. Précisons un peu plus: Soit H un groupe non simple, alors il existe une suite (appellée de décomposition) de sous groupes H0=1 ⊂ H1 ⊂ H2 ... ⊂ Hn = H avec Hk-1 normal dans Hk , tel que 1. Hk / Hk-1 = Lk simple Remarque: - Hk-1 doit être normal dans Hk, sinon on ne peut pas "diviser" les groupes !!! - La condition: Lk est simple ⟺ Hk-1 est maximal Les Lk sont des facteurs Jordan-Holder de H, qu'on notera JH(H)=L1.L2.... Note Le théorème de Jordan-Holder dit que toute suite de décomposition ayant la propriété 1. ci-dessus donne les même Lk, ce qui fait que H ne dépend pas des suites de décomposition mais seulement les L k, les Lk sont donc les caractéristiques de H. Exemple de groupes simples: 1. Groupe modulo: Zp (p=premier) simple; en particulier
142
Z2,Z3 2. Groupe Alterné: An (n>4) simple et d'autres .... Remarque 1. Si G1,G2 sont simples alors ⇒ on a : JH(G1 x G2)=G1.G2 2. JH(G) = JH(Ker(f)) . JH(Im(f)) où f est un morphisme On a posé: K= S12 x Z211 x S8 x Z37 mais on peut regrouper autrement par exemple =(S12 x S8) x (Z211 x Z37 ) si on considère le morphisme g g: S12 x S8 ⤍ {-1,1} (u,v) ⤍ g(u,v)=sig(u).sig(v) on voit que G = Ker(g) x Z211 x Z37 et si on considère encore une autre morphisme h h: T ⤍ {-1,1} avec T=Ker(g) (u,v) ⤍ h(u,v) = sig(u) d'où Ker(h)=A12 x A8 finalement T/Ker(h) = Z2 ⇒ Ker(g)/(A12 x A8) = Z2 on a alors une suite JH de Keg(g) 1 ⊂ A12 ⊂ A12 x A8 ⊂ Ker(g) D'où les facteurs JH de Ker(g) est JH(T)=A12.A8.Z2 (on peut dire aussi: JH(T) = JH(Ker(h)).JH(Im(h)) ) et finalement les facteurs JH de G vaut JH(G)=A12.A8. Z212 . Z37 (G est fabiqué à partir de A12.A8. Z212 . Z37 ) d'où: |G| = (12! . 8! . 212 . 37)/4 = 43 252 003 274 489 856 000 = 227 314 53 72 11
143
Résumons: 1. Définition de G: G=l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D}. 2. G ⊂ S12 x Z212 x S8 x Z38 (u,x,v,y) vérifiant a. ∑ xi = 0 (mod 2) b. ∑ yi = 0 (mod 3) c. sig(u)=sig(v) 3. G = Ker(g) x Z211 x Z37 où g: S12 x S8 -> {-1,1} (u,v) → g(u,v)=sig(u).sig(v) 4. Les facteurs de Jordan-Holder: JH(G)=A12.A8. Z212 . Z37 5. |G| =
12! 8! 212 38 = 43 252 003 274 489 856 000 2 2 3 = 227 314 53 72 11
144
LE CENTRE DE G: Z(G)
Le centre de G est des s' tels que ss'=s's pour tout s, on cherche donc s' qui a ainsi cette propriété. Voyons donc un peu ce qui donne: (u,x,v,y)(u',x',v',y') = (u',x',v',y')(u,x,v,y) (uu',x+u(x'),vv',y+v(y')) = (u'u,x'+u'(x),v'v,y'+v'(y)) d'où: uu' = u'u ∀u ⇒ dans S12 le seul élément qui commute avec tout le monde c'est u' = 1 = id (identité) x + u(x') = x' + u'(x) x - u'(x) = x' - u(x') comme c'est vrai pour tout x, on prend x=(0,0,...,0) d'où x' = u(x') pour tout u, on cherche x' un vecteur qui soit invariant pour toutes les permutations, donc x'=(0,0,...,0) ou x'=(1,1,...,1) (on n'a pas d'autre choix pour x') on fait exactement le même raisonnement pour v et y d'où vv' = v'v ∀v ⇒ dans S8 le seul élément qui commute avec tout le monde c'est v' = 1 = id(identité) y - v'(y) = y' - v(y') comme c'est vrai pour tout y, on prend y=(0,0,...,0) d'où y' = v(y') pour tout v donc y'=(0,0,...,0) ou y'=(1,1,...,1) ou encore y'=(2,2,...,2) (on n'a pas d'autre choix pour y') et on doit avoir ∑ x'i = 0 (mod 2) ⇒ x'=(0,0,...,0) ou x'=(1,1,...,1) car 12=0 (mod 2) et
145
∑ y'i = 0 (mod 3) ⇒ seul y'=(0,0,...,0) convient car y=(1,1,...,1) ⇒ 8=2(mod 3) et y=(2,2,...,2) ⇒ 16=1(mod 3) ne conviennent pas finalement on a 2 solutions: x'=(0,0,...,0), y'=(0,0,...,0) ou x'=(1,1,...,1), y'=(0,0,...,0) c'està-dire s'=(1,0,1,0)=1 élément neutre du groupe G, et s'=(1,1,1,0)=φ Superflip (tout reste invariant, seules les arêtes changent de l'orientation) Z(G) = {1,φ} il n'y a que 2 éléments, en fait un seul élément φ car l'identité 1 c'est évident qu'il est dans le centre. et umumummuumbalallala et hop !!!!
φ = D'H²PG' .AH'PBA .HB'GB² .A'DP'BA' .H'P'HB' (Mike Reid par ordinateur)
Note: En 1992 Dik T. Winter a trouvé le Superflip Φ de longeur 20f φ = APH²DA².D²P²H'BA.H²D'G'HP².BD²HP²H
146
|φ|= 20f (face-rotation) et (1995) Michael Reid démontre c'est le minimum pour la métrique face-rotation (|A²|=1) Michael Reid a trouvé (1995) φ par ordinateur φ = D'H²PG' .AH'PBA .HB'GB² .A'DP'BA' .H'P'HB' et Jerry Bryan (1995) démontre que c'est la plus courte formule du Superflip |Φ| = 24 pour la métrique quartrotation (|A²|=2) Résummons : |φ| = 24, ou |φ| = 20f
147
LES QUATERNIONS
Ici vous arivez au pays des merveilles ... Comment un quaternion peut-il entrer dans un truc comme ça ? ... dans un Rubik's Cube !!! mais je rêve ..... Voyons de plus près, rappelons ce que c'est un quaternion. C'est un monbre complexe "généralisé" , en fait c'est un corps non commutatif contenant C découvert par Hamilton (le dernier corps construit à partir de Rn). Un quarternion c'est quelque chose comme ça: q = a + bi + cj +dk où a,b,c,d sont des rélles et i,j,k vérifiantt les relations suivantes:
On appelle le groupe quaternion c'est: Q = { 1, i, j, k, -1, -i, -j, -k } Ce groupe est caractérisé par les propriétés suivantes: Q = < i,j / i4 = 1, i² = j² , iji = j (*) >
148
NOTE par définition i² vaut -1, i²=-1 Soit maintenant les 2 états suivants a = (u,x,1,0) où u = (1,4)(2,3) et x=(0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0) b = (p,z,1,0) où p = (1,3)(2,4) et z=(0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) On a: -x = (-x1,-x2,...,-x12) et soit l'état (1,1,1,0) où on a noté: • • • •
1=ida identité-arête 1=(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) vecteur orientation d'arêtes 1=ids identité-sommet 0=(0,0,0,0,0,0,0,0) vecteur orientation des sommets
cet état qu'on peut noter -1 en effet on a 1 = (1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) = (-1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0) = (1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0)= -1 (dans Z2 l'opposé de 1 est lui même car 1+1=0) Pour ne pas alourdir les écritures on prend seulement le début de a et b la partie "arête" a = (u,x) où u = (1,4)(2,3) et x=(0,1,0,1) b = (p,z) où p = (1,3)(2,4) et z=(0,0,1,1) a² = (u,x)² = (u²,x+u(x)) = (1,1) ≝ - 1 (mini flip) détaillons pour le calcul a² permutation: u²=1=id c'est clair orientation: x + u(x) x1+x4 = 0+1=1 x2+x3 = 1+0=1 x3+x2 = 0+1=1
149
x4+x1 = 1+0=1 c'est bien ce qu'on a trouvé. On fait la même chose pour b b² = (p,z)² = (p²,z+p(z)) = (1,1) = - 1 et a4 = 1 (1 représente donc bien l'état résolu) aba = (u,x)(p,z)(u,x) permutation: u([1234])=[4321] ⇒ p([4321])=[2143] ⇒ u([2143])=[3412]=(1,3)(2,4) donc upu = p (up, x+u(z)) permutation: up=(1,2)(3,4)) orientation: x + u(z) x1+z4 = 0+1=1 x2+z3 = 1+1=0 x3+z2 = 0+0=0 x4+z1 = 1+0=1 (upu, x'+up(x)) permutation: upu=p orientation: x' + (up)(x) x'1+x2 = 1+1=0 x'2+x1 = 0+0=0 x'3+x4 = 0+1=1 x'4+x3 = 1+0=1 = (p,z) = b (wwoaaowwww !! ) d'où aba=b a et b vérifient toutes les relations (*), l'ensemble Q° = < a,b > est alors isomorphe à Q avec isomorphisme f défini par f : Q° → Q
150
f(a) = i f(b) = j Autrement dit on identifie a = i et b = j, nul ne peut soupçonner que les motifs suivants représentent le groupe des quaternions Q = { 1, i, j, k, -1, -i, -j, -k } c'est-à-dire l'entier -1 le nombre comple i, le quaternion j ... !!!!
i=(HA,HD°)((HG°,HP)
j=(HA°,HP)(HG°,HD)
k=(HA°,HG)(HP,HD°)
-1=(HA)°(HD)°(HP)°(HG)°
151
entier -1, nombre complexe i, quaternion j, quaternion k Remarque : Le programme Cube Explorer fournit la formule lorsqu'on lui donne le motif. C'est avec ce programme que j'ai pu trouver a=i et b=j i = D P' A D' P A' H P H P' A D' A' D' j = P H G H'² G' P' H' D' H'² D k = G' P' D' H D P D H P' H' P G D' H' -1 = A' H' G' H P' H² P G H A H' D H² D' Résumons: Seule la partie d'arête i = (u,x) où u=(1,4)(2,3) et x=(0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0) i² = -1 = (1,x) , et x=(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) , 4 arêtes Haut flipées (Miniflip)
152
DROITE PROJECTIVE F5 On rappelle que la droite projective de F5 est:
F5 = { 0,1,2,3,4,∞ } en plus les opérations dans F5 on
ajoute les opérations suivantes:
1 1 =∞; =0 0 ∞ ou encore 0 x ∞ = ∞ x 0 = 1 et on peut dresser les tables '+' et 'x' de F5
addition
153
multiplication
On définit alors 2 fonctions suivantes sur F5 : f : F5 → F5 x+4 f(x) = x+1 g : F5 →F5 g(x) = 3x + 3 et calculons les valeurs des ces fonctions (n'oubliez pas qu'on est dansF5 ) f(0) = 4 f(1) = 0 f(2) = 6/3 = 2
154
f(3) = 7/4 = 2/4 = 1/2 = 3 (2.3=6=1 (mod 5) , donc 3 est l'invers de 2) (4) = 8/5 = 3/0 = ∞ 4 4 x(1 + ) (1 + ) x x f(x) = = 1 1 x(1 + ) (1 + ) x x 4 (1 + ) ∞ =1 f(∞) = 1 (1 + ) ∞ x = 0, 1, 2, 3, 4, ∞ f(x) = 4, 0, 2, 3, ∞, 1 et g(0) = 3 g(1) = 3+3 = 6 = 1 (mod 5) , on est dans F5 g(2) = 4 (6+3=9=4 (mod 5) g(3) = 2 g(4) = 0 g(∞) = ∞ x = 0, 1, 2, 3, 4, ∞ g(x) = 3, 1, 4, 2, 0, ∞ On associe f(x) comme la rotation H et g(x) à la rotation D et voyons comment placer les éléments de F5 sur le Cube. On a f(2)=2, f(3)=3 ça signifie que 2,3 ne sont pas perturbés par la rotation H, donc ils sont sur Bas-Droite On a g(1)=1, g(∞) = ∞ ça signifie que 1,∞ ne sont pas perturbés par la rotation D, donc ils sont sur Haut-Gauche Donc 0, et 4 sur Haut-Droite. * 1,∞ sur Haut-Gauche et f(∞) = 1 ⇒ (HAG)=∞ ⇒ (HGP)=1
155
* 0,4 sur Haut-Droite et f(1) = 0 ⇒ (HPD)=0 ⇒ (HDA)=4 * 2,3 sur Bas-Droite et g(0) = 3 ⇒ (BDP)=3 ⇒ (BAD)=2 Ainsi les éléments de F5 sont sur les sommets comme indique la fig ci-desous
(HAG)=∞ et (HPD)=0 Observons bien, f(x) agit exactement comme la rotation H agit sur les sommets du Rubik's Cube !!! g(x) aussi , elle agit exactement comme la rotation D agit sur les sommets !!! ce n'est pas merveilleur ça ? on peut regarder l'effet de H et D sur les sommets comme des fonctions homographiques sur F5 ou des matrices !!! x+4 x+1 D → g(x) = 3x + 3 H ⤍ f(x) =
156
T= (
1 1
3 3 4 ) ; Q= ( ) 1 0 1
p=(∞,1,0,4) permutation associée à la rotation H q=(0,3,2,4) permutation associée à la rotation D comment pourrait-on soupçonner que l'emplacement (HAG) représente ∞ : (HAG) = ∞ et (HPD) = 0 !!!
157
LE GROUPE < H,D >
Voyons ce que c'est le groupe engendré par deux rotations adjacentes comme H,D. Soit a b ) a,b,c,d ∈F5 / ad-cb ≠ 0 } c d et son centre GL2(F5) = {(
k 0 ) k∈F5 / k ≠ 0 } 0 k PGL2(F5) = GL2(F5)/Z(GL2(F5)) Z(GL2(F5)) = {(
En gros, ça signifie que dans GL2(F5) on a comprimé le centre en un point!
celà veut dire aussi qu'on considère les multiples (par un scalaire k≠0) sont les même:
158
comme pour les fractions on a 1/7 = 2/14 = 3/21 ... puis a b SL2(F5) = {( ) a,b,c,d ∈F5 / ad-cb = 1 } c d et son centre k 0 ) k∈F5 / k² = 1 } 0 k PSL2(F5) = SL2(F5)/Z(SL2(F5)) Z(SL2(F5)) = {(
Rappel les formules: |PGLn(Fp)| =
(pn −pn−1 )(pn −pn−2 )…(pn −1) p−1
|PSLn(Fp)| = p
n(n−1) 2
(p2 −1)(p3 −1)…(pn −1) pgcd(n,p−1)
|PGL2(Fp)| = p(p²-1) |PSL2(Fp)| =
p(p2 −1) pgcd(2,p−1)
|GL2(Fp)| = (p²-1)(p²-p) |SL2(Fp)| = p(p²-1)
Soit K un sous groupe de M, les mouvements gènèrent des permutations sur les sommets et les arêtes, K gènère donc en deux sous groupes: un sous groupe de S8 (pour les sommets) qu'on va noter Ks , et un sous groupe de S12 (pour les arêtes ) qu'on notera Ka.
159
Considèrons maintenant le sous-groupe < H,D > de M, engendé par les rotations H et D. Le but de ce paragrhaphe est de démontrer que < H,D >s = PGL2(F5) (D. Singmaster) < H,D >a = S7 (D. Singmaster)
1. Formule H ordonne à p (permutation) de bouger les éléments de F5 2. Matrice T ordonne à f(x) (fonction) de bouger les éléments de F5 Lorsqu'on fait une rotation H ou D , on permute les sommets (par p et q) comme les fonctions f(x) et g(x) agissent sur les sommets , Mais les fonctions f(x) et g(x) ne sont rien d'autres que les matrices T et Q. On a donc: < H,D >s = < p,q > = < T,Q > Quelques rappels On sait que: 1. |PGL2(F5)| = 5(5²-1) = 120 et |PSL2(F5)| = 5(5²-1)/pgcd(2,5-1) = 60
160
2. PSL2(F5) est engengré par les matrices de transvections(°) 1 a 1 0 ( ) et ( ) 0 1 a 1 (°)NOTE: définition de la matrice de tranvection: c'est une matrice dont 1 sur le diagonale, un seul a≠0 quelque part et 0 ailleurs 1 a 0 1 0 (0 1 0) ; ( a 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0) ; (0 1 1 a 0
0 0) … 1
Démontration : I. < T,Q > ⊂ PGL2(F5) évident II. PSL2(F5) ⊂ < T,Q > Pour cela il suffit d'exprimer les matrices 1 a 1 0 ( ) et ( ) 0 1 a 1 en fonction de T et Q On rapelle que dans PGL2(F5) on a ka kb a b ( )= ( ) (mod 5) kc kd c d 2 0 ) 1 1 2 0 1 0 TQ3 = ( )=( ) 2 2 1 1 1 4 1 0 −2 T2 ( )T = ( )=K 1 1 0 1 1 1 K9 = ( ) 0 1 ça y est on a gagné car les matrices s'expriment en fonctions de T et Q Q3 = (
161
III. On a : PSL2(F5) ⊂ < T,Q > ⊂ PGL2(F5) on sait que entre PSL2(F5) et PGL2(F5) il n' a rien (car l'indice=2), donc soit < T,Q > = PGL2(F5) soit < T,Q > = PSL2(F5) pour montrer que < T,Q > ≠ PSL2(F5) il suffit de trouver un élémént de < T,Q > et qui n'est pas dans PSL 2(F5). Prenons T par exemple, on a dét(T) = 1-4 = -3 = 2 (mod 5) et sous sa forme générale dét(T) = 2.k² ( on n'a pas simplifié la fraction f(x) par k) si T ∈PSL2(F5) dét(T)=1 ⇒ 2.k² = 1 ⇒ k² = 1/2 = 3 (mod 5) imopssible, car les carrés dans F5 sont : 0² = 0 , 1²=1 , 2²=4 , 3²=9=4, 4²=16=1 (mod 5) il n'y a pas de k2 qui vaut 3 dans F5, donc T n'est pas dans PSL2(F5) on a forcement < T,Q > = PGL2(F5) Et voila ..... < H,D >s = PGL2(F5) (D. Singmaster)
On a < H,D >a ⊂ S7 , pour montrer < H,D >a = S7 , analysons un peu la situation : * Les sommets et les arêtes sont en phase (loi de parité) * H,D ne pivotent les arêtes, donc Z2 n'intervient pas, * L'orientation des sommets est fixé dèsqu'il y a 5 sommets bien orientés (loi des twists). * < H,D > = < H,D >a x PGL2(F5)/2 x 36/3 D'autre part le programme GAP ( .::download GAP ici::. ), nous donne le cardinal de |< H,D >| = 73483200 finalement nous avons
162
|< H,D >a| = x |PGL2(F5)| = 120 || = 73483200 =
x.120 36 2 3
On divise par 2 (arêtes, sommets en phase) et 3 (loi des twists) . ( Rappelez vous pour |G| |G| =
12!.8! 38 212 2 3 2
on divise par 2 à cause de la loi sig(u)=sig(v) on divise par 3 à cause de la loi ∑ yi = 0 (mod 3) on divise par 2 à cause de la loi ∑ xi = 0 (mod 2) ) d'où x = (73483200 x 6)/(120 x 729) = 5040 = 7! = |S7| d'où < H,D >a = S7 (D. Singmaster)
on a donc: < H,D > = S7 x PGL2(F5) x Z36 / (2x3) et on a bien || =
7! .120 36 2 3
= 73483200
163
LE GROUPE < XY' >
On sait qu'il existe un seul groupe simple (non trivial=non commutatif=non Zp) à 168 éléments. C'est le deuxième dans son genre, après le groupe alterné A5. Le GS168 est vraiment extraordinaire car on le trouve pratiquement partout ..... - La quartique de Klein: E: x3y + y3z + z3x = 0 Le groupe des automorphismes qui laissent invariant E est GS168 Aut-inv(E) = GS168 - L'équation de degré 7: P(x) = x7 - 7x + 3 = 0 Le groupe de Galois de P, est GS168 Gal(P) = GS168 - Dans A7: a=(124)(346) ; b=(17)(26) < a,b > = GS168 - Groupe des matrices: GL3 (F2)= GS168 - Projective: PSL2 (F7)= GS168 et ... et .... vous avez deviné ... il se trouve aussi dans le Rubik's Cube !!!!!
164
Considèrons le sous groupe suivant < XY' > de M , engendré par les mouvements de la forme: XY avec X,Y ∈ {H,B,A,P,G,D}. Ce goupe gènère le goupe des sommets < XY' >s sous groupe de S8, par exemple les 3 mouvements suivants BD'AG' , AB'GP' , HA'HA' gènèrent 3 éléments de < XY' >s . Avec le programme GAP ( .::download GAP ici::. ), l'ordinateur calcule le cardinal de ce groupe et nous founit un joli nombre: |< XY' >s| = 168 éléments Comme dans le chapitre précédent, la droite projective de F7 est définie par: F7 = { 0,1,2,3,4,5,6,∞ } en plus les opérations dans F7 on ajoute comme d'habitude les deux opérations suivantes: 1 1 =∞; =0 0 ∞ On peut dresser les tables '+' et 'x' de F7 comme ça les opérations serons plus claires
165
addition
multiplication
166
On sait que (HAG)=∞ et (HPD)=0 , plaçons maintenant les éléments de F7 sur les sommets de Rubik's Cube de façon suivante: A→(∞,1,3,5) et P→(0,6,2,4) permutation associées comme la fig ci-desous
(HAG) = ∞ et (HPD) = 0 On définit ensuite 3 fonctions suivantes sur F7 f : F7 → F7 f(x) = 2x g : F7 → F7 g(x) = 2x + 1 et h : F7 → F7 1 x calculons les valeurs des ces fonctions (n'oubliez pas qu'on est dans F7 x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞ h(x) = −
167
f(x) = 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, ∞ x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞ g(x) = 1, 3, 5, 0, 2, 4, 6, ∞ x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞ = ∞, -1, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5, -1/6, 0 = ∞, 6, -4, -5, -2, -3, -6, 0 h(x) = ∞, 6, 3, 2, 5, 4, 1, 0 Prennons les 3 mouvements suivants: AB'GA' → m permutation associée x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞ A = 0, 3, 2, 5, 4, ∞, 6, 1 AB' = 0, 5, 4, 2, 3, ∞, 6, 1 AB'G = 0, 2, 4, 6, 3, 5, ∞, 1 AB'GA' = 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, ∞ → m=(1,2,4)(3,6,5) BD' → n x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ∞ B = 0, 1, 5, 4, 2, 3, 6, ∞ BD' = 1, 3, 5, 0, 2, 4, 6, ∞ → n=(0,1,3)(2,5,4) BH'BH' → q x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞ BH'BH' = ∞, 6, 3, 2, 5, 4, 1, 0 → q=(0,∞)(1,6)(2,3)(4,5) m fait exactement la même chose que f(x), de même pour g(x)⇔n, h(x)⇔q Les 3 fonctions ci-dessus fournissent les 3 matrices de déterminant=1 à coefficiences dans F 7
168
W=( S=(
2 0
0 10 )=( 1 0
2 1 10 )=( 0 1 0
T=(
0 1
0 ) det(W) = 50 = 1 mod (7) 5 5 ) det(s) = 50 = 1 mod (7) 5
−1 ) det(s) = 1 0
1. Formule Q ordonne à q (permutation) de bouger les éléments de F7 2. Matrice T ordonne à h(x) (fonction) de bouger les éléments de F7
On démontre que m,n,q engendrent < XY' >s et W,S,T engendrent PSL2(F7)
169
on définit maintenant la fonction z: z : < XY' >s → PSL2(F7) de façon suivate: z(m)=W , z(n)=S et z(q)=T si c'est m, je dis que ça vaut W, si c'est n, je dis que ça vaut S, .... d'où u=mnq → z(u)=WST a). Montrons d'abord que c'est bien un homomorphisme En effet un élémént de < XY' >s s'écrit comme un produit des m,n,q par exemple v = m²qn3 et par défitition on a z(m²qn3) = W²TS3 qui vaut = z(m)²z(q)z(n)3 = c'est bien un homomorphisme b). z est évidement surjectif : en effet, un élémént de PSL2(F7) s'écrit comme un produit des W,S,T par exemple K = T²W²S4 = z(q)²z(m)²z(n)4 = z(q²m²n4) mais |PSL2(F7)| = 7(7²-1)/pgcd(2,7-1) = 168 |< XY' >s| = |PSL2(F7)| , donc z est bijectif !!!! on a bien un bel isomorphisme entre < XY' >s et PSL2(F7) < XY' >s = PSL2(F7) = GS168
170
Remarque, on peut démontrer que < XY ' >a = A12
171
L'ORBITE Si vous jouez l'Helicopter ou récemment Curvy Copter vous savez en gros ce que c'est une "orbite". Dans l'Helicopter, il y a 4 orbites pour les centres, chaqu' orbite contient 6 centres et les rotations de l'Helicopter déplacent ces centres dans leur orbite. En Rubik's Cube vous avez aussi les orbites !! mais il est assez rare et peu d'articles en parlent sur ce sujet Commençons par quelques observations Voici deux états du Cube: l'état r1=e (formule I) c'est l'état résolu , l'état r7 (rotation étendue Γ) on a enlevé (HA), pivotée puis la remet
l'état r1 = résolu
l'état r7
Prenons l'état r1, à partir de cette état on mélange le Cube avec les 6 rotations de base {H,B,A,P,G,D} on obtient un
172
nouveau état disons s, l'ensemble de tous les états formés à partir de r1, forme ce qu'on appelle l' orbite G1 (il y a 43252003... états dans cette orbite) On fait de même pour état r7, à partir de cette état on mélange le Cube avec les 6 rotations de base {H,B,A,P,G,D} on obtient un nouveau état disons t, l'ensemble de tous les états formés à partir de r7, forme ce qu'on appelle l' orbite G7 (il y a aussi 43252003... états dans cette orbite) On peut toujours passer d'un état à un autre dans la même orbite, mais on ne peut pas passer 2 états dans des orbites différentes , on peut passer de s à r1 et de t à r7 mais pas de sàt. Par ex l'état w est dans l' orbite 1 car on peut passer de w à r1
l'état r1
l'état w est dans l' orbite G1
La question vient naturellement à l'esprit c'est combien d'
173
orbites en a -t- on ? La réponse se trouve dans les 3 lois fondamentales du Rubik's Cube, on sait qu'on ne peut pas passer d'une orbite à une autre comme par exp on ne peut pas passer l'état r 7 à l'état r1, donc il suffit de violer les lois du Rubik's Cube pour trouver les orbites!! On note rftp l'état ou l' orbite (ftp) f=flip, t=twist, p=parité r111 signifie: 1. On enlève l'arête (HA), pivote puis la remet ; (f=1) 2. On enlève le sommet (HDA), pivote 1/3 tour dans le sens horaire puis le remet ; (t=1) 3. On enlève (HA) et (HG), permute puis les remet ; (p=1)
174
l'arbre des orbites
175
1. Violer la loi des flips: Somme des flips = impair
l'état r7 (rotation étendue Γ) 2. Violer la loi des twists: Somme des twists = 1,2 (mod 3)
l'état r3 (rotation étendue Ψ)
l'état r5 (rotation étendue Ψ²)
176
3. Violer la loi de parité: signature(sommets) ≠ signature(arêtes)
l'état r2 (rotation étendue Ω) A partir de ces états on fait des combinaisons et on trouve exactement 12 orbites pour le Rubik's Cube.
l'état r1 = résolu orbite G1
l'état r2 orbite G2
177
l'état r3 orbite G3
l'état r4 orbite G4
l'état r5 orbite G5
l'état r6 orbite G6
178
l'état r7 orbite G7
l'état r8 orbite G8
l'état r9 orbite G9
l'état r10 orbite G10
179
l'état r11 orbite G11
l'état r12 orbite G12
UN RAPPEL SUR L'ACTION D'UN GROUPE M+ agit sur G+ (G+•M+) e∈G+ (e=état résolu) Ge+ = { x∈G+ /∃F∈M+ , e•F=x } = G+ en effet avec : e•M , e•ΓM, e•ΨM, e•Ψ²M, e•ΩM on atteint G+ |G+| = |Me+ \M+| = |M+|/|Me+| Me+ = {F∈M+ tels que e•F = e } = {I}
180
|G+| = |M+| g∈M+ w = 1/|M+| . ∑g |Fg| FI = { x∈G+ / x•I = x} = G+ tous les autres g n'ont pas de points fixes w = 1/|M+| . |G+| w=1 On peut prendre M agit sur G (G•M) e∈G (e=état résolu) Ge = { x∈G /∃F∈M , e•F=x } = G |G| = |Me\M| = |M|/| Me| Me = {F∈M tels que e•F = e } = {I} et on trouve |G| = |M| g∈M w = 1/|M| . ∑g |Fg| FI = { x∈G / x•I = x} = G tous les autres g n'ont pas de points fixes w = 1/|M| . |G| w=1 On va montrer |G+| = 12|G| On va définir une relation d'équivalence suivante:
181
x,y ∈G+, x~y ⇔ ∃F∈M tel que x•F=y '~' est visiblement une relation d'équivalence 1. x~x car on a x•I=x 2. x~y ⇒ x•F=y ⇒ (x•F)•F' =y•F' x•(FF') =y•F' x•(I) =y•F' y•F' =x ⇒ y~x 3. x~y ⇒ x•F=y y~z ⇒ y•Q=z (x•F)•Q=z x•(FQ)=z ⇒ x~z on a 12 classes cl(rk) k=1,2,..,12 et comme chaque classe possède le même nombre d'éléments |G| d'où |G+| = 12|G| On peut prendre M agit sur G+ (G+•M) g∈M w = 1/|M| . ∑g |Fg| pour g=I FI = { x∈G+ / x•I = x} = G+ (tous les autres g n'ont pas de points fixes, g≠I, Fg=∅) w = 1/|M| . |G+| = = 12|G|/|M|
182
w = 12 NOTE: Suivant l'action on trouve le nombre des orbites différents: M+ agit sur G+ ⇒ 1 orbite M agit sur G ⇒ 1 orbite M agit sur G+ ⇒ 12 orbites
G+ possède 12 orbites de même taille
on a M+ = < H,B,A,P,G,D,Γ,Ψ,Ω > M = < H,B,A,P,G,D > |M+| = |G+|
183
|M| = |M+|/12 |M| = |G| |G| = |G+|/12
184
L'ALGORITHME MINIMAL
La question ... Il y a bien longtemps que je me pose la question suivante: "Existe-t-il un algorithme "minimal" permettant de restaurer le Cube en un temps fini ? " . Le terme minimal signifie qu'on utilise le moindre de formules possibles. Il est clair que cet algorithme n'est pas fait pour le speedcubing, mais la question est intéressante du point de vu théorique. Précisons un peu Soit F un ensemble de formules et Alg son algorithme associé. A chaqu'étape de la résolution (l'exécution de l'algirithme) on peut utiliser l'inverse Q', la puissance Qn , et la conjugaison XQX' Condition: 1. Chaque ligne on a une seule action: déplacer ou pivoter 2. Chaque ligne n'utilise que des formules dans F BUT : Trouver F ayant le moindre formules possibles. L'étude théorique du Rubik's Cube, montre que:
185
1. Le groupe du Rubik's Cube comporte 4 composants (4 morceaux) divisant en deux clans: le clan des arêtes et le clan des sommets . 2. sig(u) = sig(v) , u=permutation arêtes, v=permutation sommets 3. Si on trouve une formule qui déplace 3 arêtes (un 3-cycle): u=(a,b,c), et qu'on est dans un état localement(°) pair alors, avec les conjugués de u on est capable de reconstituer tout le clan d'arêtes !!! (même chose pour le clan des sommets) (°)NOTE : état localement pair sig(u)=sig(v)=1 état pair sig(p)=1 ; p=permutation total , p=uv (1) Nous montre qu'on a 4 étapes de résolution (2) Nous montre qu'il suffit d'occuper les états localement pair (sig(u) = sig(v) = 1). Pour passer de l'état localement impair (sig(u) = sig(v) = -1) en état localement pair on fait un H (3) Quand on est en état localement pair, il suffit de trouver un 3-cycle-arête (resp. sommets) pour placer toutes les arêtes (resp. sommets), Voyons de plus près ......
QUATRE FORMULES PROPRES
L'idée c'est d' avoir 4 formules pour les 4 étapes de la résolutions Avec le programme Cube Explorer (Cube.exe) on trouve
186
les 4 formules suivantes, qui permettent de restaurer le Cube quand il est en état localement pair. On passe de l'état localement impair en état localement pair par H. L'ensemble F contient donc 5 formules Alg1 1. Si (sig(u) = -1) alors H Sinon (HG)⤍(HD)⤍(HP) = P²H'G'D.P²GD'H'.P² 2. (HA)°(HD)° = AH²A² .B' [H' G' ]B. A²H' A' H' 3. (HDA)⤍(HPD)⤍(HGP) = D² .P²DAD'. P²DA' D 4. (HAG)°(HDA)° = HAB'A²H .G²H'G². AH'A²BA²
Ces formules sont propres, elles permettent de restaurer le Cube dans l'ordre comme on veut: arêtes puis sommets (ou l'inverse) Pour les arêtes: placer puis pivoter (ou l'inverse) Pour les sommets: placer puis pivoter (ou l'inverse) Ces formules sont minimales en face-métrique (et propres) mais n'ont aucune structure !! on ne comprend rien ce que fait la formule !!! On a donc un algorithme de longeur 5
187
Première réduction On peut supprimer le H, en utilisant K pour placer les arêtes K = G'H'DB'D'.H'DBGD'.H'G'H'GH' = (HG,HP)(HAG,HDA) Alg2 1. 2. 3. 4.
(HG)↔(HP)=K (HA)°(HD)° = AH²A² .B' [H' G' ]B. A²H' A' H' (HDA)⤍(HPD)⤍(HGP) = D² .P²DAD'. P²DA' D (HAG)°(HDA)° = HAB'A²H .G²H'G². AH'A²BA²
On a un algorithme de longeur 4. Deuxième réduction On peut faire un peu mieux, on utilise ce même K pour placer les arêtes puis les sommets. Ce qui est possible parce qu'une fois les arêtes sont bien placées , on aura un nombre pair de couples de sommets à placer (loi de parité) donc on ne dérange pas les arêtes qui sont déjà bien placées. Alg3 1. 2. 3. 4.
(HG)↔(HP) = K (HAG)↔(HDA) = K (HA)°(HD)° = AH²A² .B' [H' G' ]B. A²H' A' H' (HAG)°(HDA)° = HAB'A²H .G²H'G². AH'A²BA²
188
Algorithme de longeur 3 . Troisième réduction On voit que les deux dernières lignes pivotent les pièces, on se demande si on peut les remplacer par une seule formule ? la réponse est affirmative. Q = GA[HA'] H'A'G'[P'H']P'HP = (HG)°(HP)°(HAG)°(HDA)° Alg4 1. 2. 3. 4.
(HG)↔(HP) = K (HAG)↔(HDA) = K (HG)°(HP)° = Q (HAG)°(HDA)° = Q²
Algorithme de longeur 2 !! C'est vraiment pas mal mais on se demande si on peut faire mieux ? et puis si on peut rendre les formules plus compréhensives ? plus structurées ?? la réponse est "oui" .
189
LE CROCHET [HD]
Le problème de ces algorithmes c'est qu'ils utilisent des formules qui n'ont aucune structure, on ne voit rien ce que fait la formule. On voudrait donc avoir des formules structurées pour comprendre ce qui se passe, ce que fait la formule... Si on sait restaurer le Cube quand il est en localement pair, alors on peut restaurer le Cube à partir de n'importe quel état (en ajoutant H). Les états localement pairs sont gérés par les 3-cycles et comme les commutateurs produisent des 3-cycles c'est pourquoi on va examiner le comutateur [HD], on veut construire un algorithme autour de [HD] c'est-à-dire chaque ligne de l'algorithme doit apparaitre le chrochet [HD]. Observons bien ce que fait ce commutateur. [HD] agit sur le Cube comme une sorte de 'Z' et nous le notons ζ = [HD]
[HD]
190
[HD] agit sur le Cube: Arêtes: (HD)⤍(AD)⤍(HP) = (HD,AD,HP) notation moins lourde ! Sommets: (HDA)↔(BAD).(HPD)↔(HGP) = (HAD,BAD)(HPD,HPG) [HD] = (HD)⤍(AD)⤍(HP) . (HDA)↔(BAD).(HPD)↔(HGP) [HD] = (HD,AD,HP)(HDA,BAD)(HPD,HGP) Nous allons construire un algorithme autour du commutateur [HD]. L'idée c'est d'avoir 4 formules qui correspondent aux 4 étape de la résolution : Et voilà, si on observe bien on a tout ce qui faut!!! A partir de [HD] si on veut que tout se passe sur la face Haut il suffit de faire A[HD]A' c'est plus clair et plus propre. A[HD]A' déplace donc 3 arêtes de face Haut
(HA)⤍(HP)⤍(HD) = A[HD]A' Pour orienter les arêtes il suffit de bien observer U=A[HD]A', U laisse une seule bonne arête, on ramène la 2ème bonne arête par H', car on veut seulement avoir 2 mauvaises arêtes c'est-à-dire on prend A[HD]A'.H' = θ .
191
Cette formule permute 2 arêtes (a,b) de façon suivante: θ(a,b) = (b°,a) ; a,b permutés et b pivoté donc il suffit de faire θ² et on aura ce qu'il faut : θ(a,b) = (b°,a) ⇒ θ²(a,b) = θ(b°,a) = (a°,b°) a et b sont donc pivotés On va prendre θ = (A[HD]A'.H') et θ² pivote bien 2 arêtes.
θ = A[HD]A'.H'
(HG)°(HA)° = (A[HD]A'.H')²
NOTE: La formule θ permute 2 arêtes et 2 sommets θ = (HG,HA)(HAG,HPD) Voyons maintenant pour les sommets [HD] permute deux pair de sommets: (HDA,BAD)(HPD,HGP) on peut donc fabriquer un 3-cycle comme ceci: (HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) = [HD].G'[DH]G qui nous permet de placer tous les sommets c'est-à-dire V = [HD].G'[DH]G Pour orienter les sommets , obsevons [HD]²:
192
[HD]² [HD]² pivote (HPG) mais perturbe le Cube, il suffit de placer le sommet (HAG) en (HGP) et appliquer l'inverse de ([HD]²)'=[DH]² donc W=[HD]².G'[DH]²G On a donc F = {H, U, θ, V, W} Et l'algorithme Alg5 associé: •
Si (sig(u)=-1) alors H Sinon (HA)⤍(HP)⤍(HD) = U
• • •
(HG)°(HA)° = θ² (HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) = V (HGP)°(HAG)° = W
L'Alg5 a le même style, même longeur que Alg1 mais c'est beaucoups plus clair car les formules sont structurées donc facile à mémoriser et on voit ce que fait une formule
193
(HA)⤍(HP)⤍(HD) = A[HD]A' (HG)°(HA)° = (A[HD]A'.H')²
(HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) = [HD] .G'[DH]G
(HGP)°(HAG)° = [HD]² .G'[DH]²G Remarque : A partir de U, θ, V, W on peut adapter pour avoir un algorithme de résolution tout à fait raisonnable, c'est ce que j'ai fait: l'algorithme "des 6+" .
194
1. Placer les arêtes * Bas: (HA)⤍(BA) = A² * Equateur: (HD)⤍(AD) = [HD] * Haut: (HA)⤍(HP)⤍(HD) = A[HD]A' 2. Pivoter les arêtes: (HG)°(HA)° = (A[HD]A'.H')² 3.
Placer les sommets: (HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) =[HD].G'[DH]G Pivoter les sommets: (HGP)°(HAG)° = [HD]² .G'[DH]²G
QUATRE ÉQUATIONS DE LA RÉSOLUTION
Comme tout à heure on va débarrasser le H. On peut prendre: T = [DH]D'A.D²H'.[D'H']D'A' = (HG,HD)(HDA,HPD) Avec T on peut débarrasser H, en effet on peut placer toutes les arêtes par T, et une fois les arêtes sont bien placées les sommets sont en état pair (loi de parité) donc on peut les placer par les 3-cycles On a donc F={T, θ, V, W} Et l'algorithme Alg6 associé: • • • •
(HG)↔(HD) = T (HG)°(HA)° = θ² (HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) = V (HGP)°(HAG)° = W
195
On dira aussi les 4 équations de la restauration. Voilà, on remonte le Cube avec un algorithme construit autour du commutateur [HD], chaque ligne on voit apparaitre [HD] (dans T on voit [HD]'=[DH] ): 1. Un principe simple à comprendre: On place les arêtes puis les oriente. On place des sommets puis les oriente. 2. 4 formules 3. Les formules sont structurées donc facile à comprendre
ENCORE UNE RÉDUCTION On a trouvé un algorithme "structuré" de longeur 4, récemment j'ai apperçu qu'on peut encore aller plus loin... La formule θ = A[HD]A'H' est vraiment intéressante, on effet : 1. θ permute 2 arêtes et 2 sommets 2. θ2 (ou θ6) pivote 2 arêtes 3. θ4 pivote 3 sommets
(A[HD]A'.H' )4 Comme θ permute 2 sommets on peut donc placer tous les sommets grâce à θ, et θ4 pivote 3 sommets ce qui permet
196
d'orienter tous les sommets. et on connait déjà θ2 (ou θ6) qui pivote 2 arêtes, une seule formule pour ces 3 acts vraiment merveilleur ... Il nous reste maintenant une seule chose à faire: déplacer les arêtes. Pour déplacer les arêtes on utilise ζ = [HD] qui déplace bien les arêtes, on prend donc: F = {θ = A[HD]A'.H' , ζ = [HD]} Et l'algorithme Alg7 associé: • • • •
(HAG)↔(HPD) = θ (AD)⤍(HD)⤍(HP) = ζ² (HG)°(HA)° = θ² (HAG)°(HDA)°(HPD)° = θ4
(HAG)↔(HPD) = A[HD]A'.H'
(HP)⤍(AD)⤍(HD) = [HD]²
197
(HG)°(HA)° = (A[HD]A'.H')2
(HAG)°(HDA)°(HPD)° = (A[HD]A'.H')4
Et voilà, nous avons maintenant un algorithme ayant 2 formules θ et ζ construites autour d'un seul commutateur et de plus ces formules sont reliées par: θ = ζA H' !! C'est incroyable non ?
198
L'ALGORITHME MINIMAL
1. θ permute 2 arêtes et 2 sommets 2. θ2 (ou θ6) pivote 2 arêtes 3. θ4 pivote 3 sommets Dans Alg7 , θ tout seul peut faire 3 actions, on se demande si on peut supprimer ζ et utiliser seulement θ pour placer les pièces ? à première vue ce n'est pas possible, en effet θ permute 2 arêtes et 2 sommets donc soit on l'utilise pour placer les arêtes, soit on l'utilise pour placer les sommets. Une fois utilisé θ pour placer les arêtes par ex, si on l'utilise une deuxième fois pour placer les sommets on pertubera les arêtes !!! Mais le Rubik's Cube possède une loi qui va nous sauver la vie! la loi des phases (la loi de parité) . La loi des phases dit "les sommets et les arêtes sont en phases" c'est-à-dire sig(u)=sig(v) . Autrement dit quand toutes les arêtes sont bien placées, on aura un nombre pair de couples de sommets à placer, donc on ne perturbera pas les arêtes !. * On commence par placer toutes les arêtes par θ * Après avoir placer toutes les arêtes, on place alors les sommets grâce à θ aussi ! on place (HAG)⤍(HPD) (avec la conjugaison) en veillant de ne pas toucher les arêtes (HG) et (HA) c'est-à-dire ne pas utiliser les rotations G et A, c'est possible parce que les sommets sont maintenant en état pair (sig(u)=1=sig(v)).
199
* On pivote les arêtes par θ2 (ou θ6), * on pivote les sommets par θ4 Alléluia !! une seule formule pour restaurer le Cube !!! ... F = {θ = A[HD]A'.H'} Et l'algorithme Alg8 associé: • • • •
(HG)↔(HA) = θ (HAG)↔(HPD) = θ (HG)°(HA)° = θ² (ou θ6) (HAG)-(HDA)-(HPD)- = θ4
(HG)↔(HA) = A[HD]A'.H'
(HAG)↔(HPD) = A[HD]A'.H'
200
(HG)°(HA)° = (A[HD]A'.H')2
(HAG)-(HDA)-(HPD)- = (A[HD]A'.H')4
Et voilà, il est vraiment extraordinaire qu'on puisse restaurer le Cube avec seulement une formule construite autour d'un seul commutateur [HD] !! C'est incroyable n'est ce pas ? Cet algorithme n'est peut-être pas fait pour le speedcubing mais il a le mérite d'être cité pour la beauté des choses ... Remarque : θ4 et θ6 sont propres donc indépendants (l'ordre d'exécution n'intervient pas) Donc l'algorithme minimal est: • • • •
Permuter 2 arêtes Permuter 2 sommets Pivoter 2 arêtes Pivoter les sommets
Finalement on a 4 équations pour restaurer le Cube , ces équations n'utilise qu'une seule formule θ
201
• • • •
(HG,HA) = θ (HAG,HPD) = θ (HG)-(HA)- = θ² (HAG)-(HDA)-(HPD)- = θ4
Il est vraiment frappant qu'il y a une analogie avec les 4 équations de Maxwell en électromagnétique
•
div(B) = 0 ∂B rot(E) = −
•
div(E) =
•
rot(B) = µj + εµ
•
ρ
∂t
ε
∂E ∂t
NOTE : On pourrait dire que θ et ζ sont les deux constantes de la structures M, et elles sont reliées par θ = ζA H' Application: Suivons la scénario suivante : Une équipe d'explorateurs se trouve sur Mars, suite à une explosion tout le système de communication est hors circuit, il ne reste plus que le canal SMS pour communiquer avec la Terre. Le système d'oxygène est endommagé et il n'y a plus que 45 minutes pour respirer . Heureusement l'équipage a découvert un système d'oxygène installé par des extraterrestres mais pour le déclancher il faut résoudre un Rubik's Cube !!! aucun membre de l'équipe sait le résoudre, sauf le Robot R18, bien que le programme de résolution est intact mais le
202
Robot a perdu une partie de ses données , plus présisement l'entrée d'une formule du Rubik's Cube ... -Allo! Allo ! la Terre .... Au secours .... OK, il faut envoyer au Robot une formule ? mais quelle formule ? et puis la communication coûte chère un caractère envoyé coûte 100.000€ !!! Alors comment faire pour sauver l'équipage en minimum de coût ? Solution: On envoie au Robot par SMS la formule A[HD]A'H' !!! 9 caractères ... ou ζAH' , seulement 4 caractères si le Robot est équipé la dernière version de l'algorithme de résolution !!
203
LE RUBIK'S CUBE ET LES PARTICULES
Un quark est une particule élémentaire ayant une charge fractionnaire, par ex: le quark u = 2/3 (up) et le quark d = -1/3 (down) les antiquarks ont les charges opposées, par ex u = -2/3 antiquark up et d= 1/3 antiquark down. Une des propriétés étranges des quarks c'est qu'ils ne peuvent exister tout seul! mais toujours en couple ou en triple ! Un couple de quarks se nomme méson et un triplet de quarks se nomme baryon Avec les quarks et antiquarks on fabrique les particules, par ex un proton p est composé de deux quarks up et un quark down p = uud, un neutron n de deux quarks down et un quark up n = ddu. On vérifie aisément que, pour un proton p sa charge vaut 1, en effect: p = uud ⇒ 2/3 + 2/3 - 1/3 = 1 de mêne pour un neutron n n = ddu ⇒ - 1/3 - 1/3 + 2/3 = 0 sa charge vaut bien 0 Un baryon est une particule à 3 quarks , le proton et le neutron sont des baryons. Un méson est une particule formée par une paire de (quarks, antiquark) comme π = ud = (Pion)
204
Avant tout on va convenir que les rotations des sommets Haut (up) seront comptés toujours positive, et celle du Bas (down) toujours négative, ça signifie que les rotations par exemple (HDA) comptent 1/3 ou 2/3 (toujours dans le sens horaire) par contre les rotations par ex (BAD) comptent -1/3 ou -2/3 (dans le sens contraire).
Sommet Haut: compté 1/3 ou 2/3 , Bas -1/3 ou -2/3
Rotation 1/3
Rotation 2/3
205
Rotation -1/3
Rotation -2/3
On voit donc que le Haut produit les quarks u et d et le Bas les quarks d et u , en effect les sommets Haut pivote 1/3 ou 2/3 de tour, et les sommet Bas pivote -1/3 ou -2/3 de tour d'après notre convention. Il n'est pas difficile de fabriquer des particules avec le Rubik's Cube !! Voyons par ex pour un proton p, on sait que p = uud il suffit donc (par ex) de pivoter (HDA) 2/3 de tour, (HAG) 2/3 de tour, et (BAD) -1/3 de tour c'est-à-dire (HDA) = 2/3 , (HAG) = 2/3 et (BAD) = -1/3 De même pour un neutron n = ddu (BGA) = -1/3 , (BAD) = -1/3 et (HDA) = 2/3
206
Un proton: p = uud proton = B'GBD'BD'BG'B² D²HA²H'
Un neutron: n = ddu neutron = D(HG')²HD'H²G²B A²B'H' Il est vraiment mystérieux que ces états représentent un proton et un neutron !!! Voici une formule V = [HD]².G'[DH]²G qui donne le Pion Π+=ud composé d'une paire de quarks-antiquark (u,d) et avec les rotations Cube tH,tD ... (notation anglais CU,CR...), vous pouvez obtenir tous les autres Pions !! (quark de première génération u,d)
207
(u, d) (u, u) (d, d) (d, u)
Un méson: Pion Π+ = ud (HDA) = u, (HAG) =d
Un méson: Pion Π- = ud (BGA) =u , (BAD) = d
REMARQUE La rotation cube tD' transforme d en u et u en d: tD': d → u et u → d, de même on peut tourner le Cube pour obtenir le neutron à partir du proton et vis-versa, tA²: proton→neutron. Les rotations cube jouent donc le rôle l'interaction faible !! En résumé : Un sommet pivoté représente un quark, comme un quark ne peut exister tout seul, on ne peut pas pivoter un sommet tout seul !!! Finalement notre cher Rubik's Cube contient des Pions, des protons, neutrons, l'interaction faible ... et le nombre complexe i²=-1 ,... incroyable non ?
208
Si le Cube n'est plus orienté c'est-à-dire il n'y a plus ni le Haut ni le Bas, ni l'Avant .... un sommet a donc deux rotations: soit 1/3 de tour soit 2/3 de tour (comme dans le marquage). Dans ce cas, votre Rubik Cube ne produit que 3 particules : un méson (quark-antiquark) = Π+ = ud = 2/3 + 1/3 = 1 un baryon (3 quarks) = Δ++ = uuu = 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2 ̅− = d d d = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 un anti-baryon =Δ (hypotétique)
Avec un Rubik's Cube : -à 2 sommets pivotés. ou -à 3 sommets pivotés. nul ne peut imaginer que vous baladez avec une particule élémentaire dans la poche !!!
209
LE GROUPE SIMPLE MAT HIEU M 1 2
Ce qui est vraiment remarquable c'est que le Rubik's Cube contient un objet mathématique extrêmement rare : le groupe simple sporadique de Mathieu M12 !!! Un groupe simple c'est un groupe qui ne contient pas de sous groupes normaux (à par 1 et G bien sur) , par exemple Zp avec p = premier, et les An avec n ≥ 5 La classification des groupes finis simples s'est terminée en 1983 (légère correction en 2004) , il y a 18 familles et 26 groupes non classables nommés sporadiques . Le groupe M12 est l'un des sporadiques découvert par Mathieu dans les années 1860 (Mathieu en a découvert cinq) Le groupe M12 est assez simple à construire Soit: E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Soient i (inverser) et m (mélanger) , deux fonctions suivantes: i(x) = 13 - x et
210
2x − 1 si 1 ≤ x ≤ 6 f(x) = { 26 − 2x si 7 ≤ x ≤ 12 ce qui donne comme permutations: i = (1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7) m = (2,3,5,9,8,10,6,11,4,7,12) Et M12 c'est l'ensemble des permutations de E engendrées par i et m M12 = < i, m > On a: |M12| = 12!/7! = 95.040 Remarque : les permutations i et m sont paires donc M12 est un sous groupe de A12
LE RUBIK'S CUBE ET M 12
On va noter les arêtes comme indique la fig ci-dessous (HA)=1,(HG)=2,(HP)=3,(HD)=4 (AD)=5,(AG)=6,(PG)=7,(PD)=8 (BA)=9,(BG)=10,(BP)=11,(BD)=12
211
1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 Posons I = DGH²AD² .G²H²B²AP² .H²D'G' (longeur = 13) M = H²BAPG' .BA'P²GP' .DB'G'H²B .DH' (longeur = 17)
I
212
M Les mouvements I et M engendrent exactement M12, il est remarquable que le Rubik's Cube contient M12 car c'est un groupe simple sporadique, les groups simples sporadiques il n'y en a que 26. Une question se pose naturellement: si on mélange le cube avec I et M comment le restaurer avec seulement I et M ?
RÉSOUDRE LE PUZZLE M 12
213
Voici une question intéressante: si on mélange le cube uniquement avec I et M comment le restaurer avec seulement I et M ? Il est clair qu'on ne peut pas le faire manuellemnt car les formules I et M sont trop longues .... mais imaginez qu'il y a une machine, ou un programe qui fait I et M pour vous alors comment s'en sortir ? La solution provient d'une propriété mathématique du groupe M12 il est 5-transitif c'est à dire s'il y a 5 nombres bien placés alors les autres seront automatiquement bien placés !! La stratégie est donc de placer les nombres 1,2,3,4,5 Rappel: I = (1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7) M = (2,3,5,9,8,10,6,11,4,7,12) Concidèrons les 6 formules suivantes: F3 = IM2IM5IM4 = (3,10,4,5)(6,7,11,12) G3 = IMIM3IM2 = (4,9)(3,11,10,5,8,7,12,6) F4 = IMIM3IM2IM9IM7IM8 = (4,7,6,12)(5,10,8,9) G4 = IM3IM6IMIM9IM7IM8 = (4,7)(5,6)(8,12)(9,11) F5 = IM9IM7IM8IM7IMIM5 = (5,10,12,7)(6,8,11,9) G5 = IMIM3IM2IM7IMIM5 IM7IMIM5 = (5,11,12,6)(7,9,10,8) Placer 1, 2 - Si 1 est en bonne place, alors rien à faire sinon on le déplace avec M en 12 puis le place avec I
214
- Pour 2: on le place avec M . Placer 3 - Si 3 en 4: utilisez F3 - Sinon: utilisez G3 Placer 4 - Si 4 en 6,7,12: utilisez F4 - Si 4 en 5,9,10: utilisez F4 pour le mettre en 8 - Si 4 en 8,11: utilisez G4 pour le mettre en 12 ou 9 Placer 5 - Si 5 en 7,10,12: utilisez F5 - Si 5 en 8,9,11: utilisez F5 pour le mettre en 6 - Si 5 en 6: utilisez G5 .::M12 en ligne ici::.
215
ACTION, OPÈRER, AGIR....
Il est vraiment important de distinguer deux choses: formule (rotation, mouvement, manoeuvre, mélange, ...) et état (motif, configuration, ...) - Une formule transforme un état en un autre état. - Un état est un élément qui décrit le Cube Voyons qu'est qu'on a dans la main ? - D'un côté, on a un ensemble de formules M formé par des rotations de base {H,B,A,P,G,D}, et deux formules considérées comme identiques si elles donnent le même état. - De l'autre côté, un ensemble d'états G qui décrit le Cube. - On selecte l'état "résolu" (une couleur par face) e . Et voilà les données. Comme nous avons déjà dit, une formule transforme un état en un autre, celà se voit facilement ... à partir de l'état résolu e on fait une rotation A par exemple, et le Cube se trouve donc en un autre état, au lieu de faire la rotation A , on peut faire avec n'importe quelle formule par exemple [HD], ... Donc, soit U une formule quelconque , on applique U sur e et on se trouve sur un autre état s, qu'on va noter: e•U = s (lire: on applique U à e)
216
On voit bien maintenant la différence entre U et s (formule et état). Cette oppération '•' possède 2 propriétés: 1. x•I = x (I=formule Identique, x=état) ⇒ On ne fait rien, donc rien ne change !!!! 2. (x•U)•V = x•(UV) où U, V sont des formules On dit que M (formule) agit (opère, ...) sur G (état)
BIJECTION ENTRE M ET G
Il y a une bijection entre M et G , voyons ... Soit f: M ⤍ G U ⤍ f(U) = e•U Le but est donc de montrer que f est bijective. 1. f est injective f(U) = f(V) e•U = e•V (e•U)•V' = (e•V)•V' e•(UV') = e•(VV') propriété 2 e•(UV') = e•I e•(UV') = e propriété 1 La seule formule I laisse invariant e donc UV' = I d'où U=V f est donc injective
217
2. f est surjective On prend donc un élément s de G , et il faut trouver une formule dont il provient s=(u,x,v,y)∈G et on a: 1. ∑ xi = 0 (mod 2) 2. ∑ yi = 0 (mod 3) 3. sig(u)=sig(v) La preuvre est constructive, c'est-à-dire on construit petit à petit la formule On va faire ça en plusieurs étapes. On coupe (u,x,v,y) en deux morceaux (u,x,v,y) = (1,x,1,y)(u,0,v,0) Cas 1: (u,0,v,0) L'état (u,0,v,0) signifie que les sommets et les arêtes sont mal placés. Soit: θ = A[HD]A'H' . - On utilise θ (et la conjugaison) , pour placer les arêtes. - On utilise aussi θ (et la conjugaison) , pour placer les sommets. c'est possible car une fois les arêtes sont bien placées on a un nombre pair de couple-sommets à permuter (sig(u)=sig(v)) donc on ne dérange pas les arêtes (HA) , (HG). Cas 2: (1,x,1,y) L'état (1,x,1,y) signifie que les sommets et les arêtes sont bien placés .
218
- θ² pivote 2 arêtes sans déplacer pièces , on peut donc orienter arête par arête avec θ², la dernière arête sera automatiquement bien orientée car on a ∑ x i = 0 (mod 2) - θ4 pivote 3 sommets sans toucher les autres pièces , on peut donc orienter sommets par sommet avec θ4, le dernier sommet sera automatiquement bien orienté car on a ∑ yi = 0 (mod 3) Donc l'état (u,x,v,y) = (1,x,1,y)(u,0,v,0) correspond bien à une formule. f est surjective. Finalement on a une bijection entre M et G. Une formule ⟺ un état , une formule gènère un état et un seul, un état provient d'une formule unique . il y a donc une seule formule pour un état donné mais cette formule a des différentes écritures, par ex: (H²D²)3(B²D²)3 = (H²G²)3(B²G²)3 D'=D3 De même à l'état résolu e: il y a une seule formule I pour l'état e mais il y a plusieurs l'écriture de cette formule A4 = [HD]6 = I C'est exactement quand vous écrivez: * 1/2 = 0,5 = 3/6 l'inverse de 2 est unique mais il y a plusieurs l'écriture
219
- Les rôles de M et G sont très différents , un éléments de M possède plusieurs l'écriture, alors que ce n'est pas le cas pour un élément de G . M agit sur G et non à l'inverse, et M agit sur X mais pas G . - Beaucoup de gens pensent que la rotation A par exemple fait bouger les sommets (parce que visuellement c'est ça). MAIS NON !!! la rotation A "ordonne", à la permutation de bouger les sommets, c'est la permutation qui bouge les sommets (elle exécute l'orde de A). Mais pourquoi ça ? c'est simple c'est dans l'écriture de la permutation !!! Nommons les sommets par exemple a, b, c quand on écrit: p = (a,b,c) c'est bien p(a)=b, p(b)=c et p(c)=a ⇒ p déplace a en b , b en c etc ... mais jamais A(a)=b, A(b)=c et A(c)=a !!! On voit donc bien que p bouge a en b ( p(a)=b ) Un algorithme de résolution d'entrée F est une suite finie de lignes L1, L2, ... où 1. Chaque ligne a une seule action: Soit placer soit pivoter 2. Chaque ligne utilise des formules dans F. Autrement dit à chaqu'étape de la résolution on utilise les produits des conjugués des éléments de F (XTX')(YQY')'(WLW')... où T,Q,L dans K et X,Y,W formules Posons-nous la question suivante: Combien de formules qu'utilise un algorithme ? Donc il est raisonnable de dire que le nombre de formules qu'utilise l'algorithme c'est le nombre de formules dans l'entrée pour faire fonctionner l'algorithme.
220
Exemples T=[DG'], Q=[GD'] Algo A: * placer des sommets, c'est intuitif, pas besoin de formules * placer des centres = T² * pivoter les sommets = T3 Q3 L' entrées T=[DG'], Q=[GD'] Algo A utilise 2 formules θ=A[HD]A'.H' , ζ=[HD] Algo B: * placer des sommets = θ * placer des arêtes = ζ² * pivoter les arêtes = θ² * pivoter les sommets = θ4 L' entrées θ , ζ Algo B utilise 2 formules Algo C : Si (sig(u)=-1) alors H Sinon * placer les arêtes = P²H'G'D.P²GD'H'.P² * pivoter les arêtes = AH²A² .B' [H' G' ]B. A²H' A' H' * placer des sommets = D² .P²DAD'. P²DA' D * pivoter les sommets = HAB'A²H .G²H'G². AH'A²BA² 5 entrées Algo C utilise 5 formules
221
θ=A[HD]A'.H' , ζ=[HD], G Algo D : * placer les arêtes = θ * pivoter les arêtes = θ² * placer des sommets = ζG'ζ'G * pivoter les sommets = θ4 L' entrées θ , ζ, G Algo D utilise 3 formules
222
L'INDICATRICE
Prenons le Pyraminx et posons nous 2 questions suivantes: - Combien de Pyraminx différents si on le peint avec seulement 3 couleurs, ou 4 couleurs (une couleur par face et une couleur peut être utilisée plusieurs fois) ? - Combien de Pyraminx différents si on le peint avec 1 face rouge, 2 faces blanches, et 1 face verte ? Analyser le problème Voyons comment on dit 2 Pyraminx sont identiques ...
Ces 2 Pyraminx sont identiques
223
On passe de a à b par la rotation S(120°) En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la différence, pour nous c'est un Pyraminx à 3 couleurs rouge-vert et blanc. Il n'y a pas d'Avant, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Pyraminx "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Pyraminx fixe il y a un Avant, un Bas .... Pour un Pyraminx "mobile", on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation S(120°)=d'axe sommet-centre à 120°: La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Pyraminx ?
224
LE GROUPE DES DÉPLACEMENTS DU PYRAMINX D(P)
2 types de rotations
Rotation S: Axe sommet-centre
225
Rotation A: Axe arête-arête Il y a deux types de rotations sur le Pyraminx: les rotations d'axe sommet-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), mais avant tout introduisons-nous une notation: Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments Rotation S: Axe sommet-centre - il y a 4 rotations S(120°) ⇒ 1 orbite à 3 éléments, 1 orbite à 1 élément ce qui donne 4T3T1 - il y a 4 rotations S(-120°) ⇒ 1 orbite à 3 éléments, 1 orbite à 1 élément ce qui donne 4T3T1 Rotation A: Axe arête-arête - il y a 3 rotations A(180°) ⇒ 2 orbites à 2 éléments, ce qui donne 3T22 Et bien sûr
226
L'identité id - il y a un id ⇒ 4 orbites à 1 élément, ce qui donne T14 Soit au total: 8+3+1(identité) = 12 rotations, ces rotations forment un groupe D(P) (identique à A4 = D(P) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Pyraminx. il laisse invariant le Pyraminx. La fonction définie par: K = (8T3T1 + 3T22 + T14 )/12 se nomme l'indicatrice du Pyraminx ou l'indicateur des cycles de D(P). Pourquoi des 'cycles' ?? En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: Tkn , signifie on a: n cycles de longeur k voyons pour: Rotation S: Axe sommet-centre - il y a 4 rotations S(120°) ⇒ les faces bougent ⇒ (D,A,G)(B) ⇒ un 3-cycle, un 1-cycle ce qui donne 4T3T1 - il y a 4 rotations S(-120°) ⇒ les faces bougent ⇒ (G,A,D)(B) ⇒ un 3-cycle, un 1-cycle ce qui donne 4T3T1 Rotation A: Axe arête-arête - il y a 3 rotations A(180°) ⇒ les faces bougent ⇒ (A,B)(G,D) ⇒ deux 2-cycle, ce qui donne 3T22
227
L'identité id - il y a un id ⇒ (A)(B)(G)(D) ce qui donne T14 Remarque importante: Pour (D,A,G)(B) on pourait dire on a: D=A=G, B on a identifié les faces D=A=G on a donc en fait que 2 faces D et B aulieu de 4, ce genre d'identification arrive très souvent comme par exemple les modulo , on identifie 3=6=9=12=..... c'est comme si vous avez plusieurs feuilles (faces) et elles sont collées (en dessous) ensemble pour former en une seule feuille!
L'INDICATRICE DU PYRAMINX
On rappelle que ça vaut: K = (8T3T1 + 3T22 + T14 )/12 Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments ou encore Tkn , signifie on a: n x k-cycles, n cycles de longeur k
FONCTION COLORIAGE µ, µ*
A partir de l'indicatrice K, et grâce au lemme de Burnside et le théorème de Polya on a 2 fonctions de coloriage du Pyraminx
228
La fonction µ définie par: µ = dans K, on remplace Tk = c où c=le nombre de couleurs (lemme de Burnside) µ = (8c.c + 3c2 + c4)/12 µ = (11c2 + c4)/12 Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X1, X2, X3 La fonction µ* définie par: µ* = Dans K , on remplace Tk = (X1k+X2k+X3k) (théorème de Polya) µ* = 8(X13+X23+X33)(X1+X2+X3) +3(X12+X22+X32)2 +(X1+X2+X3)4 Réponse à nos questions - Combien de Pyraminx différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ? µ = (11c2 + c4)/12 pour c=3 µ = (11.32 + 34)/12 µ = 15 !!!! - Combien de Pyraminx différents si on le peint avec a couleurs X1, b couleurs X2, c couleurs X3? Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X1a Xb2 Xc3 , dans notre cas c'est X1 X22 X3 , bien sûr on ne développe pas µ* à la main, il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous.
229
Commentaire Pour trouver l'indicatrice du Pyraminx on est obligé de passer par le groupe de déplacement du Pyraminx , une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ µ = (11c2 + c4)/12
230
INDICATRICE DU RUBIK'S CUBE
Prenons le Rubik's Cube et posons nous 2 questions suivantes: - Combien de Cubes différents si on le peint avec seulement 3 couleurs, ou 6 couleurs (une couleur par face et une couleur peut être utilisée plusieurs fois) ? - Combien de Cubes différents si on le peint avec 1 face jaune, 2 faces rouges, et 3 faces bleues ? ANALYSER LE PROBLÈME
Voyons comment on dit 2 Cubes sont identiques ...
Ces 2 Cubes sont identiques
231
On passe de a à b par la rotation C(90°) En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la diférence, pour nous c'est un Cube à 4 couleurs orangerouge-vert et blanc. Il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Cube "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Cube fixe il y a un Haut, un Bas .... Un Cube fixe c'est comme votre chambre: il y a le plafond, le plancher, .... Pour un Cube mobile, on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation C(90°)=d'axe centre-centre à 90°: La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Cube ?
232
LE GROUPE DES DÉPLACEMENTS DU RUBIK'S CUBE D(R)
3 types de rotations
Rotation C: Axe centre-centre
Rotation A: Axe arêtearête
Rotation S: Axe sommetsommet
233
Il y a trois types de rotations sur le Cube: les rotations d'axe centre-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), les rotations d'axe sommet-sommet , mais avant tout on va introduire une notation: Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments Rotation C: Axe centre-centre - il y a 3 rotations C(90°) ⇒ 2 orbites à 1 élément, 1 orbites à 4 éléments ce qui donne 3T12 T4 - il y a 3 rotations C(-90°) ⇒ 2 orbites à 1 élément, 1 orbites à 4 éléments ce qui donne 3T12 T4 - il y a 3 rotations C(180°) ⇒ 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 2 éléments ce qui donne 3T12 T22 Rotation A: Axe arête-arête - il y a 6 rotations A(180°) ⇒ 3 orbites à 2 éléments ce qui donne 6T23 Rotation S: Axe sommet-sommet - il y a 4 rotations S(120°) ⇒ 2 orbites à 3 éléments ce qui donne 4T32 - il y a 4 rotations S(-120°) ⇒ 2 orbites à 3 éléments ce qui donne 4T32 Et bien sûr L'identité id
234
- il y a un id ⇒ 6 orbites à 1 élément, ce qui donne T16 Soit au total: 9+6+8+1(identité) = 24 rotations, ces rotations forment un groupe D(R) (identique à S4 = D(R) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Cube. il laisse invariant le Cube. La fonction définie par: K = (6T12 T4 + 3T12 T22 + 6T23 + 8T32 + T16 )/24 se nomme l'indicatrice du Rubik ou l'indicateur des cycles de D(R). Pourquoi des 'cycles' ?? En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: Tkn , signifie on a: n cycles de longeur k voyons pour: Rotation C: Axe centre-centre - il y a 3 rotations C(90°) ⇒ les faces bougent ⇒ (H)(B)(D,A,G,P) ⇒ deux 1-cycle, un 4-cycle ce qui donne 3T12 T4 - il y a 3 rotations C(-90°) ⇒ les faces bougent ⇒ (H)(B)(D,P,G,A) ⇒ deux 1-cycle, un 4-cycle ce qui donne 3T12 T4 - il y a 3 rotations C(180°) ⇒ les faces bougent ⇒ (H)(B)(A,P)(G,D) ⇒ deux 1-cycle et deux 2-cycle ce qui donne 3T12 T22 Rotation A: Axe arête-arête - il y a 6 rotations A(180°) ⇒ trois 2-cycles ⇒ (H,P)(A,B)(G,D) ce qui donne
235
6T23 Rotation S: Axe sommet-sommet - il y a 4 rotations S(120°) ⇒ deux 3-cycles ⇒ (H,G,P)(A,B,D), ce qui donne 4T32 - il y a 4 rotations S(-120°) ⇒ deux 3-cycles ⇒ (P,G,H)(D,B,A), ce qui donne 4T32 Et bien sûr L'identité id - il y a un id ⇒ six 1-cycles ⇒ (H)(B)(A)(P)(G)(D), ce qui donne T16
L'INDICATRICE DU RUBIK
On rappelle que ça vaut: K = (6T12 T4 + 3T12 T22 + 6T23 + 8T32 + T16 )/24 Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments ou encore Tkn , signifie on a: n , k-cycles , n cycles de longeur k
FONCTION COLORIAGE µ, µ*
236
On a 2 fonctions de coloriage du cube La fonction µ définie par: µ = dans K, on remplace Tk = c où c=le nombre de couleurs µ = (6c2c + 3c2c2 + 6c3 + 8c2 + c6)/24 µ = (12c3 + 3c4 + 8c2 + c6)/24 Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X1, X2, X3 La fonction définie par: µ* = Dans K , on remplace Tk = (X1k +Xk2 +Xk3 )
RÉPONSE À NOS QUESTIONS
- Combien de Cubes différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ? µ = (12c3 + 3c4 + 8c2 + c6)/24 pour c=3 µ = (12.33 + 3.34 + 8.32 + 36)/24 µ = 57 !!!! - Combien de Cubes différents si on le peint avec a couleurs X1, b couleurs X2, et c couleurs X3, ? Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X1a Xb2 Xc3 , bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous. Commentaire Pour trouver l'indicatrice du Cube on est obligé de passer par le groupe de déplacement, une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais
237
seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ µ = (12c3 + 3c4 + 8c2 + c6)/24 Noubliez pas qu'on peut utiliser une couleur plusieurs fois. Par ex si on prend c=6 ⇒ µ =2226 et non µ=30 (une couleur utilisée une seule fois)
238
INDICATRICE DU FTO
Prenons le FTO et posons nous 2 questions suivantes: - Combien de FTO différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ou 8 couleurs (une couleur par face et une couleur peut être utilisée plusieurs fois) ? - Combien de FTO différents si on le peint avec 1 face jaune, 2 faces rouges, et 3 faces bleues ?
ANALYSER LE PROBLÈME
Voyons comment on dit 2 FTO sont identiques ...
Ces 2 FTO sont identiques
239
On passe de a à b par la rotation C(120°) En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la diférence, pour nous c'est un FTO à 3 couleurs rouge-vert et blanc. Il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un FTO "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un FTO fixe il y a un Haut, un Bas .... Pour un FTO mobile, on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation C(120°)=d'axe centre-centre à 120°: La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le FTO ?
240
LE GROUPE DES DÉPLACEMENTS DU FTO D(O)
3 types de rotations
Rotation C: Axe centre-centre
Rotation A: Axe arêtearête
Rotation S: Axe sommetsommet
241
Il y a trois types de rotations sur le FTO: les rotations d'axe centre-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), les rotations d'axe sommetsommet , mais avant tout on va introduire une notation: Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments Rotation C: Axe centre-centre - il y a 4 (8 centres/2 = 4) rotations C(120°) ⇒ 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 3 éléments ce qui donne 4T12 T32 - il y a 4 (8 centres/2 = 4) rotations C(-120°) ⇒ 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 3 éléments ce qui donne 4T12 T32 Rotation A: Axe arête-arête - il y a 6 (12 arêtes/2 = 6) rotations A(180°) ⇒ 4 orbites à 2 éléments ce qui donne 6T24 Rotation S: Axe sommet-sommet - il y a 3 (6 sommets/2 = 3) rotations S(90°) ⇒ 2 orbites à 4 éléments ce qui donne 3T42 - il y a 3 (6 sommets/2 = 3) rotations S(-90°) ⇒ 2 orbites à 4 éléments ce qui donne 3T42 - il y a 3 (6 sommets/2 = 3) rotations S(180°) ⇒ 4 orbites à 2 éléments ce qui donne 3T24
242
Et bien sûr L'identité id - il y a un id ⇒ 8 orbites à 1 élément, ce qui donne T18 Soit au total: 8+6+9+1(identité) = 24 rotations, ces rotations forment un groupe D(O) (identique à S4 = D(O) = D(R) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du FTO. il laisse invariant le FTO. La fonction définie par: K = (8T12 T32 + 9T24 + 6T42 + T18 )/24 se nomme l'indicatrice du FTO ou l'indicateur des cycles de D(O). Pourquoi des 'cycles' ?? En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: Tkn , signifie on a: n cycles de longeur k voyons par ex pour: Rotation A: Axe arête-arête - il y a 6 (12 arêtes/2 = 6) rotations A(180°) ⇒ les faces bougent ⇒ quatre 2-cycles ce qui donne 6T24
L'INDICATRICE DU FTO
On rappelle que ça vaut: K = (8T12 T32 + 9T24 + 6T42 + T18 )/24
243
Tkn Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments ou encore Tkn , signifie on a: n , k-cycles , n cycles de longeur k
FONCTION COLORIAGE µ, µ*
On a 2 fonctions de coloriage du FTO La fonction µ définie par: µ = dans K, on remplace Tk = c où c=le nombre de couleurs µ = (8c2c2 + 9c4 + 6c2 + c8)/24 µ = (17c4 + 6c2 + c8)/24 Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X1, X2, X3 La fonction définie par: µ* = Dans K , on remplace Tk = (X1k +Xk2 +Xk3 )
RÉPONSE À NOS QUESTIONS
- Combien de FTO différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ? µ = (17c4 + 6c2 + c8)/24 pour c=3 µ = (17.34 + 6.32 + 38)/24 µ = 333 !!!! - Combien de FTO différents si on le peint avec a couleurs X1, b couleurs X2, et c couleurs X3, ?
244
Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X1a Xb2 Xc3 , bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous. Commentaire Pour trouver l'indicatrice du FTO on est obligé de passer par le groupe de déplacement, une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ µ = (17c4 + 6c2 + c8)/24
245
INDICATRICE DU MÉGAMINX
Prenons le Mégaminx et posons nous 2 questions suivantes: - Combien de Mégaminx différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ou 12 couleurs (une couleur par face et une couleur peut être utilisée plusieurs fois) ? - Combien de Mégaminx différents si on le peint avec 1 face jaune, 2 faces rouges, et 3 faces bleues ?
ANALYSER LE PROBLÈME
Voyons comment on dit 2 Mégaminx sont identiques ...
Ces 2 Mégaminx sont identiques
246
On passe de a à b par la rotation C(72°) En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la diférence, pour nous c'est un Megaminx à 3 couleurs rouge-vert et blanc. Il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Mégaminx "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Mégaminx fixe il y a un Haut, un Bas .... Pour un Mégaminx mobile, on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation C(72°)=d'axe centre-centre à 72°: La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Mégaminx ?
247
LE GROUPE DES DÉPLACEMENTS DU MÉGAMINX D(M)
3 types de rotations
Rotation C: Axe centre-centre
Rotation A: Axe arêtearête
Rotation S: Axe sommetsommet
248
Il y a trois types de rotations sur le Mégaminx: les rotations d'axe centre-centre, les rotations d'axe arêtearête (axe passe par les milieux d'arêtes), les rotations d'axe sommet-sommet , mais avant tout on va introduire une notation: Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments Rotation C: Axe centre-centre - il y a 6 (12 faces/2=6) rotations C(72°) ⇒ 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 5 éléments et +6 rotations C(2x72°)+6 rotations C(3x72°)+6 rotations C(4x72°) ce qui donne 24T12 T52 Rotation A: Axe arête-arête - il y a 15 (30 arêtes/2=15) rotations A(180°) ⇒ 6 orbites à 2 éléments ce qui donne 15T26 Rotation S: Axe sommet-sommet - il y a 10 (20 sommets/2=10) rotations S(120°) ⇒ 4 orbites à 3 éléments, ce qui donne 10T34 - il y a 10 (20 sommets/2=10) rotations S(-120°) ⇒ 4 orbites à 3 éléments, ce qui donne 10T34 Et bien sûr L'identité id - il y a un id ⇒ 12 orbites à 1 élément, ce qui donne T112 Soit au total: 24+15+20+1(identité) = 60 rotations, ces
249
rotations forment un groupe D(M) (identique à A5 = D(P) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Mégaminx. il laisse invariant le Mégaminx. La fonction définie par: K = (24T12 T52 + 15T26 + 20T24 + T112 )/60 se nomme l'indicatrice du Mégaminx ou l'indicateur des cycles de D(M). Pourquoi des 'cycles' ?? En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: Tkn , signifie on a: n cycles de longeur k voyons par ex pour : Rotation C: Axe centre-centre - il y a 6 (12 faces/2=6) rotations C(72°) ⇒ deux 1-cycle, deux 5-cycles, et +6 rotations C(2x72°)+6 rotations C(3x72°)+6 rotations C(4x72°) ce qui donne 24T12 T52 ... etc ...
L'INDICATRICE DU MÉGAMINX
On rappelle que ça vaut: K = (24T12 T52 + 15T26 + 20T24 + T112 )/60 Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments ou encore Tkn , signifie on a: n , k-cycles , n cycles de longeur k
250
FONCTION COLORIAGE µ, µ*
On a 2 fonctions de coloriage du Mégaminx La fonction µ définie par: µ = dans K, on remplace Tk = c où c=le nombre de couleurs µ = (24c2c2 + 15c6 + 20c4 + c12)/60 µ = (44c4 + 15c6 + c12)/60 Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X1, X2, X3 La fonction définie par: µ* = Dans K , on remplace Tk = (X1k +Xk2 +Xk3 )
RÉPONSE À NOS QUESTIONS
- Combien de Mégaminx différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ? µ = (44c4 + 15c6 + c12)/60 pour c=3 µ = (44.34 + 15.36 + 312)/60 µ = 9099 !!!! - Combien de Mégaminx différents si on le peint avec a couleurs X1, b couleurs X2, et c couleurs X3, ? Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X1a Xb2 Xc3 , bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous.
251
Commentaire Pour trouver l'indicatrice du Mégaminx on est obligé de passer par le groupe de déplacement, une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ µ = (44c4 + 15c6 + c12)/60
252
LA CONJUGAISON
En manipulant votre Rubik's Cube, vous utilisez peutêtre sans le savoir le principe de conjugaison.
PRINCIPE DE CONJUGAISON
Le Principe de Conjugaison (PC) stipule que si on peut faire quelque chose à un point alors on peut le faire en tout point ! On va prendre un ex pour bien comprendre. Voici une formule T = AH²A².B'[H'G']B.A²H'A'H' qui pivote deux arêtes (HA) et (HD) et laisse intactes les autres pièces du Cube (on dira que le reste du Cube est invariant) donc d'après le PC on peut pivoter toutes les arêtes ! par ex si on veut pivoter (AD) et (HP) comment faire ? Eh bien c'est très simple, il suffit d'ammener (AD) en (HA) et (HP) en (HD) puis apliquer la formule ensuite remettre les arêtes (AD) et (HD) dans leur emplacement initial c'est tout !! voyons de plus prés:
253
1. (AD,HA)(HP,HD) = A'P'D' 2. Appliquer la formule: T 3. Remettre les pièces (AD) et (HP) dans leur emplacement initial: DPA Autrement dit pour pivoter (AD) et (HP) on fait: (AD)°(HP)° = (A'P'D') .(AH²A².B'[H'G']B.A²H'A'H') .(DPA) Ainsi on peut pivoter toutes les arêtes.
T = AH²A².B'[H'G']B.A²H'A'H' (AD)°(HP)° = (A'P'D')T(DPA) Le PC s'écrit toujours dans le format : XYX' comme vous avez remarqué sur l'exemple ci-dessus (A'P'D').T.(A'P'D')'. C'est pourquoi l'écriture XYX' s'applle conjugaison. par ex : ABA' c'est une conjugaison Rappel l'inverse d'une formule X = ABH'GD'P²G'H X' = H'GP²'DG'HB'A' (lire à envers et prime↔non-prime) Parfois on trouve dans la litérature les notations YX=XYX' Y ou = XYX' , pour la simple raison que ces notations X
conserve une propriété de la conjugaison , en effet . * (YX)Z = (XYX')Z = Z(XYX')Z' = (ZX)Y(X'Z') = (ZX)Y(ZX)' = YZX autrement dit on a la
254
relation (YX)Z = YZX ce qui correspond bien une propriété des puissances. Y de même pour la notation * Y ZX
Y X
Z
X
=
XYX′ Z
= Z(XYX′ )Z ′ = (ZX)Y(X ′ Z ′ ) = (ZX)Y(ZX)′ =
ce qui correspond bien une propriété de la division:
Y X= Y Z ZX
LES K-FORMULES
Une K-formule c'est une formule qui modifie une seule pièce de la face K laissant ainsi intactes les autres pièces de la face K, elle peut bien sûr modifier les autres faces. Par ex: F = D'BDABA' est une H-formule car elle modifie une seule pièce (HDA) de la face Haut. ζ = [HD] est une B-formule car elle modifie une seule pièce (BAD) de la face Bas, mais c'est aussi une G-formule car elle modifie une seule pièce (HGP) de la face Gauche.
255
FORMULES PROPRES
Une formule propre est une formule qui rélalise un travail visé et laisse le reste du Cube invariant, la formule T est propre. Les formules propres sont très recherchées car elles permettent d'appliquer le Principe de Conjugaison sans aucune précaution à prendre. Mais comment trouve-t-on les formules propres ? comment fabrique-t-on les formules propres ??. Eh ! bien, on les fabrique à partir des K-formule !! Supposons qu'on aie une G-formule qui modifie un sommet-Gauche et laisse autres pièces de la face Gauche invariantes (elle peut modifier les autres faces bien sûr) alors on peut construire une formule propre. Voyons sur un ex Voici une G-formule ζ = [HD] qui modifie le sommet (HGP) et laisse la face G invariante, on va construire une formule propre à partir de ζ Il suffit de prendre L = [ζG] = ζGζ'G' Explication 1. On applique ζ : le sommet (HGP) est échangé, mais le reste du Cube est perturbé 2. On amène le sommet (BPG) -sommet cobay- en (HGP): G 3. On applique ζ' : qui échange le sommet (BPG) et répare le reste du Cube en même temps . 4. On remet le sommet (BPG) dans son emplacement
256
initial: G' La formule L = ζGζ'G' déplace 3 sommets (HGP)→(BPG)→(HPD) et laisse le reste du Cube invariant.
ζ = [HD]
L = [ζG] = ζGζ'G'
[HD].G[DH]G' = (HGP)→(BPG)→(HPD) Dans le même ordre idée Soit ζ² = [HD]² qui pivote le sommet (HGP) et laisse la face G invariante, on va construire une formule propre à partir de ζ² Comme dans l'exemple précédant on prend L = [ζ²G] = ζ²Gζ²'G' Explication 1. On applique ζ² : le sommet (HGP) est pivoté, mais le reste du Cube est perturbé 2. On amène le sommet (BPG) -sommet cobay- en (HGP): G 3. On applique ζ²' : qui pivote (BPG) à l'inverse et répare le reste du Cube en même temps.
257
4. On remet le sommet (BPG) dans son emplacement initial: G' La formule L = ζ²Gζ²'G' pivote ainsi 2 sommets (HGP),(BPG) et laisse le reste du Cube invariant.
ζ² = [HD]²
L = [ζ²G] = ζ²Gζ²'G'
La façon de construire une formule propre comme cidessus s'appelle Pricipe de Commutation. Le Pricipe de Commutation s'écrit toujours dans le format: XYX'Y' en abrégeant [XY], c'est pourquoi l'écriture XYX'Y' s'appelle commutation En Rubik's Cube on utilise 2 principes: La Conjugaison: XYX' = YX et La Commutation: XYX'Y'=[XY] XYX' s'appelle un conjugué de Y
258
L'ORDRE MAXIMAL D'UN ÉLÉMENT DE G
Le but de ce paragraphe c'est démontrer mathématiquement l'ordre maximal dmax d'un élément de G (ou l'ordre maximal d'une formule) est 1260 , c'est-àdire trouver une formule mathématique donnant dmax . Beaucoup de gens en parlent , mais souvent c'est vague, pas de démontration et on ne sait toujours pas pourquoi ça vaut 1260. Il existe des algorithmes qui calculent tous les ordres de G, et on trouve évidemment le plus grand c'est 1260. Mais ce qu'on veut c'est une démontration mathématique ... DÉFINITIONS ET NOTATIONS
Rappel G+ = S12 x Z212 x S8 x Z38 le groupe étendu de G Le groupe du Rubik's Cube G est l'ensemble des éléments (u,x,v,y) de G+ vérifiant: 1. ∑ xi = 0 (mod 2) où x = (x1,x2,...,x12) 2. ∑ yi = 0 (mod 3) où y = (y1,y2,...,y8) 3. sig(u)=sig(v)
259
L'ordre L'ordre d'une permutation v , c'est le plus petit entier positif d tel que vd = 1 (ici 1 représente l'identité=id) et on le note |v| = d NOTE : Si v est composé de cycles disjoints son ordre vaut le ppcm des cycles v = (a-cycle)(b-cycle)(c-cycle) alors |v| = d = ppcm(a,b,c) Théorème central : On pose: m=ppcm(a,b) et A = { m'=ppcm(a',b') où a'│a et b'│b } B = { x / x│m } alors on a: A=B L'ensemble des diviseurs de ppcm est égal à l'ensemble des ppcm des diviseurs. Div(ppcm(a,b))={ppcm(Div(a),Div(b)) } où Div(a)=l'ensemble des diviseurs de a, ces deux ensemble sont égaux. Démontration La démontration se fait par la décomposition de ces nombre en facteurs premiers, et la façon de calculer le ppcm. Pour bien voir le déroulement de la démontration on va raisonner sur un exemple. a = p3q2 b = p2r3
260
Div(a) = {(1+p+p2+p3) (1+q+q2)} = {1,q,q2, p,pq,pq2, p²,p²q,p² q², p3,p3q,p3q² } = {a'=piqj avec 0≤i≤3, 0≤j≤2} Div(b) = {(1+p+p2) (1+r+r2+r3)} = {1,r,r²,r3, p,pr,pr²,pr3, p²,p²r,p²r²,p²r3 } = {b'=pkrt avec 0≤k≤2, 0≤t≤3} m=ppcm(a,b)=p3q²r3 (tout et plus grande puissance) Div(m) = {(1+p+p2+p3) (1+q+q2) (1+r+r2+r3)} = {x=pfqgrh, avec 0≤f≤3, 0≤g≤2, 0≤h≤ 3 } * a'∈Div(a) a'=piqj avec 0≤i≤3, 0≤j≤2 * b'∈Div(b) b'=pkrt avec 0≤k≤2, 0≤t≤3 m'=ppcm(a',b')= piqjrt en supposant que i absorbe k (i>k) On voit donc que m'=piqjrt et x= pfqgrh un diviseur de m x∈Div(m) ont exactement la même forme et les puissances (i,j,t) et (f,g,h) varient de la même façon (c'est la même écriture) donc ces deux ensemble sont égaux A=B m'∈A ⇒ m'=piqjrt ⇒ m'∈Div(m) ⇒ m'∈B ⇒ A⊂B x∈B ⇒ x=pfqgrh ⇒ x=ppcm(a',b') ⇒ x∈A ⇒ B⊂A finalement A=B .
261
Un sommet est repésenté par (v,y)∈S8 x Z38 et la loi de compsition donne (v,y)(v',y') = (vv', y + v(y') ) donc pour (v,y)² = (v², y + v(y) ) (v,y)3 = (v3, y + v(y) + v²(y) ) .... (v,y)b = (vb, y + v(y) + v²(y) + ...+vb-1(y) ) par définition on note y + v(y) + v²(y) + ...+vb-1(y) = yb d'où (v,y)b = (vb, yb) On appelle l'ordre du vecteur y, c'est le plus petit entier positif b tel que y + v(y) + v²(y) + ...+vb-1(y) = 0 et on le note |y| = b Big théorème. On a le théorème suivant Théorème L'ordre du vecteur d'orientation y est un diviseur de 3|v| . |y| │3|v| de même pour les arêtes L'ordre du vecteur d'orientation x est un diviseur de 2|u| . |x| │2|u| Remarque 3|v| ⇒ '3' parce qu' un sommet a 3 orientations
262
2|u| ⇒ '2' parce qu' une arête a 2 orientations L'ordre de l'orientation ne dépend que de l'ordre de la permutation. On va faire la démontration pour les sommets (v,y)∈S8 x Z38 , pour les arrêtes c'est pareil. Mais avant on va étudier un polynôme nécessaire à la démontration. Posons: Pd(v) = 1 + v + v² + ...+vd-1 un polynôme en v et P0(v) = 0 Commençons par avoir quelques propriétés de ce polynôme P1. Pab(v) = Pa(vb) Pb(v) P2. Pab+r(v) = vrPab(v) + Pr(v) P3. P3|v|(v) = 3P|v|(v) Démontration P1 Posons w = vb Pa(w) = 1 + w + w² + ...+wa-1 Pb(v) = 1 + v + v² + ...+vb-1 j=a−1 i=b−1
Pa (w)Pb (v) = ∑ ∑ w j v i j=0 i=0 j=a−1 i=b−1
= ∑ j=0
1 + v + v² + ...+ vb-1
j=a−1 i=b−1
∑ v jb v i = ∑ ∑ v jb+i i=0
j=0
i=0
263
+vb + vb+1 +...+ v2b-1 +v2b + v2b+1 +...+ v3b-1 +v3b + v3b+1 +...+ v4b-1 ... +v(a-1)b + v(a-1)b+1 +...+ vab-1 = Pab(v) Démontration P2 Pab+r(v) - Pr(v) = vr + vr+1 + vr+2...+ vab+r - 1 = vr(1 + v + v2...+ vab-1) = vr( Pab(v) ) Démontration P3 P3|v|(v) = P3(v|v|) P|v|(v) ; d'après P1 = P3(1) P|v|(v) ; car |v| est l'ordre de v = 3P|v|(v) Démontration de théorème L'ordre du vecteur y est un diviseur de 3|v| donc soit d = l'ordre de y c'est-à-dire le plus petit entier tel que y + v(y) + v²(y) + ...+vd-1(y) = 0 (*) il faut donc démontrer que d divise 3|v| on divise 3|v| par d donc 3|v|=kd+r avec 0 ≤ r < d P3|v|(v) = Pkd+r(v) 3P|v|(v) = vrPkd(v) + Pr(v) 3P|v|(v) = vr( Pk(vd) Pd(v) ) + Pr(v) appliquons à y
264
3P|v|(v)(y) = vr( Pk(vd) Pd(v)(y) ) + Pr(v)(y) 3P|v|(v)(y) = P|v|(v)(3y) = 0 car y∈Z38 Pd(v)(y) = 0 car d est l'ordre de y d'où Pr(v)(y) = 0 mails alors comme d est le plus petit entier qui verifie (*) donc ça force r=0 finalement on a donc P3|v|(v) = Pkd+0(v) d'ou 3|v|=kd ca signifie que d divise 3|v|
L'ORDRE DANS G +
Le but est de montrer que l'ordre maximal dans G+ est 1260 , puis trouver un élément de G + ayant l'ordre maximal et ensuite montrer qu'il appartient à G (u,x,v,y)∈G+ |(u,x,v,y)| = d = ordre de (u,x,v,y) ⇒ (u,x,v,y)d = (1,0,1,0) |(u,x)| = p = ordre de (u,x) ⇒ (u,x)p = (1,0) |u| = q = ordre de u ⇒ uq = 1 |x| = a = ordre de x ⇒ xa = x + u(x) + u²(x) + ...+ua-1(x) = 0 Relation sur les ordres |(u,x,v,y)| = ppcm(|(u,x)|,|(v,y)|) |(u,x)| = ppcm(|u|,|x|) |(v,y)| = ppcm(|v|,|y|)
265
On a la chaine (u,x,v,y)d ⇒ (u,x)p(v,y)q ⇒ (u|u|,x|x|)(v|v|,y|y|) avec d = ppcm(p,q) p = ppcm(|u|,|x|) q = ppcm(|v|,|y|) on pose: |x|=a, |y|=b. on note Ou,v les ordres "provenant" de u,v Ou,v = { d∈N , d = ppcm( ppcm(|u|,a),ppcm(|v|,b) ) où a│2|u| et b│3|v| } et tous les ordres de G+ c'est la réunion des Ou,v O = ⋃ Ou,v (u,v)
avec u∈S12 et v∈S8 Pour avoir un ordre d de G+ on fixe u et v puis on fait varier a et b ensuite on fait varier u et v NOTE Les ordres ne dépendent que les permutations pas d'orientation On fixe |u| et |v|, et l'ordre d provenant de u,v est: T+ ={d=ppcm( ppcm(|u|,a),ppcm(|v|,b) ) où a│2|u| et b│3|v|} on pose A={p=ppcm(|u|,a) , |u|│2|u| et a│2|u|}
266
B={k / k│m}={k / k│2|u|} avec m=ppcm(2|u|,2|u|)=2|u| A'={p'= ppcm(|v|,b) , |v|│3|v| et b│3|v|} B'={k' / k'│m'}={k' / k'│3|v|} avec m'=ppcm(3|v|,3|v|)=3|v| Le théorème central nous dit que A=B et A'=B' on peut donc remplacer: ppcm(|u|,a) ⤍ k│2|u| ppcm(|v|,b) ⤍ k'│3|v| d'où: T+ ={d=ppcm(k,k') , k│2|u| et k'│3|v|} Puis on recommence le même raisonnement A={d=ppcm(k,k' ), k│2|u| et k'│3|v|} h=ppcm(2|u|,3|v|) B={q / q│h} = T+ T+ ={d ; d│ppcm(2|u|, 3|v|) } d'où le
267
Théorème L'ordre d d'une formule dans G+ est: T+ ={ d ; d│ppcm(2|u|, 3|v|) }
Donc l'ordre maximal d'une formule dans G+ est: max { d ; d│ppcm(2|u|, 3|v|) }
D'où l'ordre d dans G est: T={ d ; d│ppcm(2|u|, 3|v|) avec sig(u)=sig(v) } Donc l'ordre maximal d'une formule dans G est: max { ppcm(2|u|, 3|v|) avec sig(u)=sig(v) }⇒ dmax =
max
{ppcm(2|u|, 3|v|)}
sig(u)=sig(v)
Maintenant il faut trouver u et v avec sig(u)=sig(v) tels que ppcm(2|u|,3|v|) soit maximal. Attention !! On a: a│2|u| et b│3|v| , une erreur de raisonnement c'est remplacer directement a=2|u| et b=3|v| (valeur maximale) dans Max {d = ppcm( ppcm(|u|,a),ppcm(|v|,b) ) }⇒
268
Max {d = ppcm( ppcm(|u|,2|u|),ppcm(|v|,3|v|) ) }⇒ Max {d = ppcm(2|u|, 3|v|) } pour trouver le Maximal. C'est une erreur car le ppcm(a,b) n'augmente pas forcement quand a ou b augmente ! a=2.32 =18 b=2.5=10 ppcm(18,10)=2.3².5=90 a=2.32 =18 b=2².3=12 ppcm(18,12)=2².3²=36 a=2.32 =18 b=2².5=20 ppcm(18,20)=2².3².5=180
PARTITION DE 12 ET 8 Soit u∈S12 pour calculer l'orde de u , |u|=d il serait plus facile de décomposer u en cycles disjoints alors l'ordre de u c'est le ppcm de l'ordre des cycles. La décomposition de u en cycles disjoints revient à partitionner l'entier 12 , par ex la partition
269
5+4+2+1 revient à dire u = (5-cycle)(4-cycle)(2-cycle)(1-cycle) |u|=ppcm(5,4,2,1)=20 On va donc chercher les partitions de 12 (il y a p(12)=77) partition paire (donc u est pair) a+b+c ⇒ ppcm(a,b,c) 1. 11+1 ⇒11 2. 10+2 ⇒ 10 3. 9+3 ⇒ 9 4. 8+4 ⇒ 8 5. 7+5 ⇒ 35 6. 6+6 ⇒ 6 7. 9+1+1+1 ⇒ 9 8. 8+2+1+1 ⇒ 8 9. 7+3+1+1 ⇒ 21 10. 6+4+1+1 ⇒ 12 11. 5+5+1+1 ⇒ 5 12. 7+2+2+1 (*) ⇒ ppcm(7,2,2,1)=14 13. 6+3+2+1 ⇒ 6 14. 5+4+2+1 ⇒ 20 15. 5+3+3+1 ⇒ 15 16. 4+4+3+1 ⇒ 12 17. 6+2+2+2 ⇒ 6 18. 5+3+2+2 ⇒ 30 19. 4+4+2+2 ⇒ 4 20. 4+3+3+2 ⇒ 12 21. 3+3+3+3 ⇒ 3 22. 7+1+1+1+1+1 ⇒ 7 23. 6+2+1+1+1+1 ⇒ 6 24. 5+3+1+1+1+1 ⇒ 15
270
25. 4+4+1+1+1+1 ⇒ 4 26. 5+2+2+1+1+1 ⇒ 10 27. 4+3+2+1+1+1 ⇒ 12 28. 3+3+3+1+1+1 ⇒ 3 29. 4+2+2+2+1+1 ⇒ 4 30. 3+3+2+2+1+1 ⇒ 6 31. 3+2+2+2+2+1 ⇒ 6 32. 2+2+2+2+2+2 ⇒ 2 33. 5+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 5 34. 4+2+1+1+1+1+1+1 ⇒ 4 35. 3+3+1+1+1+1+1+1 ⇒ 3 36. 3+2+2+1+1+1+1+1 ⇒ 6 37. 2+2+2+2+1+1+1+1 ⇒ 2 38. 3+1+1+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 3 39. 2+2+1+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 2 40. 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 1 P12 = {11,10,9,8,35,6,21,12,5,14,20,15,30,4,3,7,2,1} partition impaire (donc u est impair) a+b+c ⇒ ppcm(a,b,c) 1. 12 ⇒ 12 2. 10+1+1 ⇒ 10 3. 9+2+1 ⇒ 18 4. 8+3+1 ⇒ 24 5. 7+4+1 ⇒ 28 6. 6+5+1 ⇒ 30 7. 8+2+2 ⇒ 8 8. 7+3+2 ⇒ 42 9. 6+4+2 ⇒ 12 10. 5+5+2 ⇒ 10 11. 6+3+3 ⇒ 6 12. 5+4+3 ⇒ 60
271
13. 4+4+4 ⇒ 4 14. 8+1+1+1+1 ⇒ 8 15. 7+2+1+1+1 ⇒ 14 16. 6+3+1+1+1 ⇒ 6 17. 5+4+1+1+1 ⇒ 20 18. 6+2+2+1+1 ⇒ 6 19. 5+3+2+1+1 ⇒ 30 20. 4+4+2+1+1 ⇒ 4 21. 4+3+3+1+1 ⇒ 12 22. 5+2+2+2+1 ⇒ 10 23. 4+3+2+2+1 ⇒ 12 24. 3+3+3+2+1 ⇒ 6 25. 4+2+2+2+2 ⇒ 4 26. 3+3+2+2+2 ⇒ 6 27. 6+1+1+1+1+1+1 ⇒ 6 28. 5+2+1+1+1+1+1 ⇒ 10 29. 4+3+1+1+1+1+1 ⇒ 12 30. 4+2+2+1+1+1+1 ⇒ 4 31. 3+3+2+1+1+1+1 ⇒ 6 32. 3+2+2+2+1+1+1 ⇒ 6 33. 2+2+2+2+2+1+1 ⇒ 2 34. 4+1+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 4 35. 3+2+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 6 36. 2+2+2+1+1+1+1+1+1 ⇒ 2 37. 2+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 2 I12 = {12,10,18,24,28,30,8,42,6,60,4,14,20,2}
De même cherchons les partitions de 8 (il y a p(8)=22) partition paire (donc v est pair) a+b+c ⇒ ppcm(a,b,c)
272
1. 7+1 ⇒ ppcm(7,1)=7 2. 6+2 ⇒ ppcm(6,2)=6 3. 5+3 (*) ⇒ ppcm(5,3)=15 4. 4+4 ⇒ ppcm(4,4)=4 5. 5+1+1+1 ⇒ ppcm(5,1,1,1)=5 6. 4+2+1+1 ⇒ ppcm(4,2,1,1)=4 7. 3+3+1+1 ⇒ 3 8. 3+2+2+1 ⇒ 6 9. 2+2+2+2 ⇒ 2 10. 3+1+1+1+1+1 ⇒ 3 11. 2+2+1+1+1+1 ⇒ 2 12. 1+1+1+1+1+1+1+1 ⇒ 1 P8 = {7,6,15,4,5,3,2,1} partition impaire (donc v est impair) a+b+c ⇒ ppcm(a,b,c) 1. 8 ⇒ 8 2. 6+1+1 ⇒ 6 3. 5+2+1 ⇒ 10 4. 4+3+1 ⇒ 12 5. 4+2+2 ⇒ 4 6. 3+3+2 ⇒ 6 7. 4+1+1+1+1 ⇒ 4 8. 3+2+1+1+1 ⇒ 6 9. 2+2+2+1+1 ⇒ 2 10. 2+1+1+1+1+1+1 ⇒ 2 I8 = {8,6,10,12,4,2}
On va montrer que ces deux partitions (*) donneront la solution de notre problème
273
L'ORDRE MAXIMAL On a vu que l'ordre d , d'un élément (u,x,v,y) de G est un diviseur de m=ppcm(2|u|,3|v|) : d│m où m= ppcm(2|u|,3|v|) avec sig(u)=sig(v) T ={d │ppcm(2|u|,3|v|) avec sig(u)=sig(v)} Pour trouver dmax il suffit de calculer l'ensemble T puis regarde son élément maximal. On trouve |T|=73 , il y a 73 ordres, et parmi ces ordres il y a un maximal=1260. Voici la liste de ces ordes d'après le javasript http://fan2cube.fr/javascript/ordre_tout.html avec les formules associées, les longeurs sont minimales 01: 1 → I 02: 2 → H² 03: 3 → H D H' B' D B 04: 4 → H 05: 5 → H D H D' 06: 6 → [HD]=H D H' D' 07: 7 → H D H' A 08: 8 → H D² B 09: 9 → H D A² 10: 10 → H' D H A 11: 11 → (H D A² P B')² ; pas facile à trouver! longeur=12, c'est la plus longue parmi les 73 ordres
274
12: 12 → H D A B' 13: 14 → H' D H D' A B 14: 15 → H D² H D² 15: 16 → H D H' A B 16: 18 → H D H' D' A 17: 20 → H D H' G² 18: 21 → H² D H² A 19: 22 → H D A² P B' 20: 24 → H D² B' 21: 28 → H D H' G 22: 30 → H D² 23: 33 → H D A' B' 24: 35 → H² D H² G' 25: 36 → H² D' A' 26: 40 → H D H² G 27: 42 → H D² H² D' 28: 44 → H' D A' B 29: 45 → H D H G 30: 48 → H² D H A 31: 55 → H D A' H' B' G 32: 56 → H² D A' B 33: 60 → H D' A' 34: 63 → H D' 35: 66 → H D H A² G' 36: 70 → H D H' D A B' 37: 72 → H D H A' 38: 77 → H D' A' G' 39: 80 → H' D' A' 40: 84 → H D A 41: 90 → H D B 42: 99 → H D² A G² 43: 105 → H D
275
44: 110 → D' H D A B' B' G' 45: 112 → H D' H A' D B 46: 120 → H D A G' 47: 126 → H' D A' G' 48: 132 → H D A' G 49: 140 → H D' H A' 50: 144 → H D' A' B² 51: 154 → H D H A G B' 52: 165 → H D' H A² G' 53: 168 → H D B² 54: 180 → H D B' 55: 198 → H² D A B² 56: 210 → H D' B G' 57: 231 → H D A' B 58: 240 → H' D A' G² 59: 252 → H D A G 60: 280 → H' D' H' A G' 61: 315 → H D B G 62: 330 → H² D A' B' G' 63: 336 → H D H A B² 64: 360 → H D A' 65: 420 → H D B G' 66: 462 → H' D A' B² G' 67: 495 → H D² H A' G' 68: 504 → H D² A G' 69: 630 → H' D' H' A' G² 70: 720 → H' D' H' A' B² 71: 840 → H² D' A' B 72: 990 → H' D' H' A' G B 73: 1260 → H D' H A' B²
276
Par ex la formule U=(HDA²PB')² , U est l'ordre 11, U11=I On peut aussi trouver dmax par : dmax = max T = max {ppcm(2|u|,3|v|)} dmax =
max
{ ppcm(2|u|, 3|v|) }
sig(u)=sig(v)
on doit trouver u,v avec sig(u)=sig(v) tel que ppcm(2|u|,3|v|) soit maximal. Pour ça on calcule |u|,|v|, avec sig(u)=sig(v) et on regarde si ppcm(2|u|,3|v|) est maximal. P12 = {11,10,9,8,35,6,21,12,5,14,20,15,30,4,3,7,2,1} I12 = {12,10,18,24,28,30,8,42,6,60,4,14,20,2} P8 = {7,6,15,4,5,3,2,1} I8 = {8,6,10,12,4,2} comme sig(u) = sig(v) on prend donc u,v toutes les deux paires ou impaires voyons quelques valeurs u∈I12 , v∈I8 (30,12) ⇒ ppcm(2x30,3x12)=180 (18,10) ⇒ ppcm(2x18,3x10)=180 (12,8) ⇒ ppcm(2x12,3x8)=24 (42,10) ⇒ ppcm(2x42,3x10)=420 ... ... u∈P12 , v∈P8 (7,15) ⇒ ppcm(2x7,3x15)=630
277
(14,15) ⇒ ppcm(2x14,3x15)=1260 (30,7) ⇒ ppcm(2x30,3x7)=420 (35,6) ⇒ ppcm(2x35,3x6)=630 ... ... Les calculs nous montre que le maximal 1260 est atteint par des permutations paires sig(u)=sig(v)=1 et que u et v vallent u = (7-cycle)(2-cycle)(2-cycle)(1-cycle) v = (5-cycle)(3-cycle) |u| = ppcm(7,2,2,1)=14 |v| = ppcm(5,3)=15 ppcm(2x14,3x15)=1260
L'ORDRE MAXIMAL DANS G
Sommets et arêtes
278
C'est pratiquement fini, il suffit de prendre un élément de G+ d'ordre maximal et montrer qu'il est dans G On prend (u,x,v,y)∈G+ u=(1,7,12,5,2,4,3)(8,10)(9,11)(6) et x=(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0) v=(4,6,5,8,7)(1,2,3) et y=(1,1,0,2,1,1,2,1) x4=(blanc,rouge)=1, x5=(vert,rouge)=0,... y2=(blanc,vert,orange)=1, y4=(blanc,bleu,rouge)=2,... (u,x,v,y) vérifie tous les conditions pour être dans G, (u,x,v,y)∈G et son ordre 1260 NOTE: On a la formule associée DH²B'PB' , et (DH²B'PB')1260 = I On peut noter aussi que (D tH)1260 = I donne aussi l'ordre maximal , mais évidemment ce n'est pas un élément de G ni de G+ Résumons 1. L'ordre ne dépend pas de l'orientation 2. Un ordre d, est donné par : d│m où m=ppcm(2|u|,3|v|) avec sig(u)=sig(v) 3. L'ordre maximal dmax est donné par dmax =
max
{ppcm(2|u|, 3|v|)}
sig(u)=sig(v)
279
4. L'ordre maximal est atteint par: u = (7-cycle)(2-cycle)(2-cycle)(1-cycle) ; permutation paire v = (5-cycle)(3-cycle) ; permutation paire Rappel la formule qui donne l'ordre 1260: DH²B'PB' (J. B. Butler) Il est remarquable que l'ordre maximal du Rubik 4!+4
( 4 )! , il 4
est un quadrix (un 4444) !! 1260 = de remarquer que 1260=35.36=7.5.6.6=7.6.5.3.2=7!/4
suffit
Voici un javascript pour caculer l'ordre maximal et l'ordre d'un élement. http://fan2cube.fr/javascript/ordre_maxi.html http://fan2cube.fr/javascript/ordre_calcul.html
280
LE NOMBRE D'ÉLÉMENTS D'ORDRE DE 2
Il est intétessant de calculer le nombre d'éléments de G d'ordre 2, celà nous permet de voir comment ça marche dans G .... Un élément s de G d'ordre 2 si s2=1, voyons combient il yt-il ce genre d'états. Soit O2 l'ensemble d'éléments d'ordre 2 de G. On peut partager cet ensemble en trois ensembles. 1. V+ seulement les sommets bougent 2. E+ seulemnt les arêtes bougent 3. T les deux, sommets et arêtes bougent. Voyons sur V+ s∈V+ ça signifie que les arêtes sont invariantes ⇒ u=1 et x=0 il reste s=(v,y)∈S8xZ38 , v bouge un certain nombre de sommets et peut-être laisse fixes certain d' autres. Propriété1 : v ne modifie pas l'orientation des sommets fixes . démontration : suppons que v modifie l'orientation du sommet fixe y5 par exemple, alors on aura donc: v: y5 ⤍ y5+1
281
v²: y5 ⤍ y5+2 v3: y5 ⤍ y5+3 = y5 (mod 3) Quand on applique v trois fois , les sommets fixes reviennent à l'état initial, si les sommets mobiles mettent k fois pour revenir à l'état initial alors v met d=ppcm(k,3) pour revenir à l'état initial c'est-à-dire d est l'ordre de v, vd=1 mais d=ppcm(k,3) ≥ 3 , donc v est d'ordre 3 (minimum) ce qui contredit que v est d'ordre 2. * v est pair car les arêtes ne bougent pas sig(u)=sig(id)=1=sig(v). (ce qui justifie la notation V+) v est composé donc de transpositions (disjoints, en Rubik les cycles sont toujours disjoints) en nombre pair c'est-àdire v est de la forme: v=(a,b)(c,d) ou v=(a,b)(c,d)(e,f)(g,h) On est maintenant en mesure de compter V+ . * selectionner un nombre p de couples (a,b) à échanger. * sachant que chaque couple (disjoint) apporte 3 orientations: en effet dans un k-cycle disjoint à 3 orientations on a 3k orientations mais le cycle doit vérifier la loi des twists: si l'orientation des (k-1) sommets sont connus alors le dernier sera automatiquement connu, on aura donc
3k =3k-1 aulieu de 3
3k orientations. Finalement un
k-cycle disjoint apporte 3k-1 orientations. Dans notre cas k=2.
282
* Une fois choisi p couples on peut les placer comme on veut, par ex pour p=3, on a: c1c2c3, c1c3c2, c2c1c3, ... il y a p! de placements mais c'est la même permutatuin u=c 1c2c3= c1c3c2= c2c1c3= ... puisque ce sont des cycles disjoints donc ils sont permutables. Chaque parquet de p! couples c'est en réalité une seule permutation, donc il faut diviver par 1 p! ⇒ p!
cas: (a,b)(c,d) ⤍
1 8 6 2 ( )( )3 2! 2 2
= 1890
explication : (a,b)⤍(82) on choisit 2 sommets parmi 8 (il reste donc 6) (c,d)⤍(62) on choisit 2 sommets parmi 6. 1 2!
⤍ diviser par 2! car on a 2! placements identiques.
32 ⤍ 3 orientations et 2 couples cas: (a,b)(c,d)(e,f)(g,h) ⤍
1 8 6 4 2 4 ( )( )( )( )3 4! 2 2 2 2
= 8505
donc au total |V+| =
1 8 6 2 ( )( )3 2! 2 2
+
1 8 6 4 2 4 ( )( )( )( )3 4! 2 2 2 2
= 10395
On fait la même chose pour E+ . Un état-arête est s=(u,x)∈S12xZ212 , v=1,y=0. Contrairement à v, u peut pivoter les arêtes fixes, rien ne lui est interdit.
283
Et puis comme les sommets ne bougent pas la signature de u vaut 1, sig(u)=1 , u est pair (d'où notation E+) . On va donc sélectionner des couples comme pour V+ . * 0 couple: Aucun couple-arête à échanger, mais les arêtes peuvent pivoter (
1 12 0 212 ( )2 − 1) 0! 0 2
dans 212 on a compté le vecteur nul (0,0,...,0) c'est-à-dire identité u=1 et x=0 c'est pourquoi il faut enlever 1. * 2 couples à échanger: +
1 12 10 2 28 ( )( )2 2! 2 2 2
Contrairement à V+ on doit traiter les arêtes fixes qui peuvent pivoter. Les 8 arêtes restant doivent aussi vérifier la loi de flips: 28/2 * 4 couples à échanger: +
1 12 10 8 6 4 24 ( )( )( )( )2 4! 2 2 2 2 2
* 6 couples à échanger: +
1 12 10 8 6 4 2 6 ( )( )( )( )( )( )2 6! 2 2 2 2 2 2
= 8080447 = |E+| Pour v impair on a:
284
|V-| =
1 8 1 ( )3 1! 2
+
1 8 6 4 3 ( )( )( )3 =11424 3! 2 2 2
Pour u impair on a: 1 12 1 210 1 26 ( 2 )2 + (12 )(10 )(82)23 2 2 1! 2 3! 2 1 12 10 8 6 4 5 22 ( 2 )( 2 )(2)(2)(2)2 5! 2
|E-| =
+
= 7607424 finalement |O2| vaut: |O2| = |V+| + |E+| + |V+| |E+| + |V-| |E-| |O2| = 10395 + 8080447 + (10395 x 8080447) + (11424 x 7607424) = 170911549183 wwwoooaa ....
285
QUELQUES SOUS GROUPES DE G
Un théorème à connaitre - Le groupe G du Rubik's Cube contient au moins un groupe d'ordre ≤ 12 - Le groupe G du Rubik's Cube contient au moins un groupe non-abélien d'ordre ≤ 25 * Le groupe cyclique : Zn =
c'est le groupe modulo n. |Zn| = n * Le groupe diédral : Dn avec n ≥3, c'est le groupe des isométries qui conservent le polygône régulier à n côtés. Dn = {1, a, a², ..., an-1, b, ba, ba², ...,ban-1} où a=rotation
2π n
b=une réflexion (symétrie orthogonale) . Dn = < a,b / an=1 , b²=1, aba=b > , |Dn| = 2n * Le groupe quaterion généralisé : Qn = < a,b / an=1 , b²=an/2 , aba=b > , |Qn| = 2n Q = Q4 ⊂ G Il est intéressant de trouver l'ordre d'un certain sous groupe de M. En effet par exemple on mélange le Cube avec un certain type de rotations, est ce qu'on peut restaurer le Cube avec le même type de rotations ?? et combien y a-t-il de nombre de configurations ?
286
Par exemple on mélange le Cube avec seulement les rotations H,D peut on restaurer le Cube uniquement avec ces deux rotations H,D ?? si oui dans ce cas il faut trouver une nouvelle formule qui pivote deux sommets mais composée uniquement en H,D, pas évident !!
|< H,D >| = 73 483 200 ; le groupe Siamois |< H²,D² >| = 12 |< H,D,A >| = 170 659 735 142 400 ; le groupe Fused 4!
|< H²,D²,A² >| = 2 592 (=( )4 √4) 4 |< H,B,A,P,G²,D² >| = 216 314 53 72 11 |< H,B,A²,P²,G²,D² >| = (8!)2.12 = 216 35 52 72; le groupe Domino * Pour un sommet, si on est en Haut on peut aller partout en Haut (avec H) , si on est en Bas on peut aussi aller partout en Bas (avec B) , on passe de Haut en Bas par D² par ex. Donc pour un sommet on peut aller partout c'est donc c'est S8 * Même raisonnement pour une arête Haut/Bas elle peut aller partout en 8 positions donc c'est aussi S8 * Pour les arêtes-équateur on a affaire à S4 mais le mouvement a une contrainte il doit être déphasé avec les sommets en effet quand
287
sig(sommets) = −1 rotation H: { sig(arêtes_équateur) = 1 sig(sommets) = 1 rotation D2 : { sig(arêtes_équateur) = −1 donc S8S4/2 donc finalement on a |< H,B,A²,P²,G²,D² >| = 8!. 8!4!/2
|< H²,B²,A²,P²,G²,D² >| = 213 34 ; le groupe Carré On pose K = < H²,B²,A²,P²,G²,D² > , On va raisonner comme pour le cas M agit sur les étiquettes=X, le résultat de cette action donne G, ce sont des éléments de G + qui vérifient les 3 lois, et on a |M|=|G|. Ici c'est pareil. K agit sur X pour donner disons K+ ⊂ G+ et K' = {K+ + vérifié les 3 lois } ; on a: |K|=|K'| K+ = E x V ; E=états-arêtes, V=états-sommets voyons ce que c'est K+ . On sait que seules les rotations A, P modifient l'orientation des arêtes, mais A², P² ne modifient pas non plus l'orientation des arêtes donc pour les arêtes Z 2 n'intervient pas.
288
Pour les sommets c'est pareil, les H,²B²,A²,P²,G²,D² ne modifient pas l'orientation des sommets donc Z2 n'intervient pas non plus dans les sommets. D'autre part E est divisé en 3 morceaux (3 orbites) α, β, γ et V divisé en 2 morceaux (2 orbites) δ, λ . α={(AD),(AG),(PG),(PD)} β={(HA),(HP),(BP),(BA)} γ={(HG),(HD),(BD),(BG)} δ={(HDA),(HGP),(BGA),(BDP)} λ={(HAG),(HPD),(BPG),(BAD)} et K+ = Sα x Sβ x Sγ x Sδ x Sλ Dans α les arêtes se baladent où qu'elles veulent donc on a Sα=S4 , même chose pour les autres orbites. K+ = S4 x S4 x S4 x S4 x S4 d'où |K+| = (4!)5 ⇒ |K'|=|K+|/2.2.3 |K| = |K'| = (4!)5/2.2.3 on divise par (2.2.3) pour respecter les 3 lois du Rubik's Cube. |K| = (4.3.2.1)5/2.2.3 = 215 35/2.2.3 = 213 34
289
finalement l'ordre du groupe Carré vaut : |< H²,B²,A²,P²,G²,D² >| = 213 34 = 663552 ( (4!)4 quadrix !! )
4 √4
un
Voici un autre groupe intéressant On pose Bs = BH' Gs = GD' Ps = PA' On appelle Ϩ = < Bs , Gs , Ps > le groupe Slice c'est un sous groupe de M. Pour étudier ce groupe on va plutôt étudier le groupe défini par: < h,d,a > qui n'est pas un sous groupe de M mais on démontre qu'il est isomorphe à < Bs , Gs , Ps >. Allons-y On pose T = < h,d,a > T agit sur les arêtes E et sur les centres C, ce qui nous donne un morphisme f: f: T → SE x SC On on pose T+ = f(SE) x f(SC) Mais f(SE) est divisé en 3 morceaux (3 orbites) α={(AD),(AG),(PG),(PD)} β={(HA),(HP),(BP),(BA)}
290
γ={(HG),(HD),(BD),(BG)} et Sα=Z4 , Sβ=Z4 , Sγ=Z4 , car les arêtes font des 4-cycles c'est-à-dire des rotations 90° d'un carré. On a 6 centres qui se déplacent on a donc affaire à S6 , mais il est clair qu'on n'a pas S6 tout entier pour la simple raison que les centres sont collés dans le core, on n'a pas la permutation (H,A) par exemple, on a moins de permutations , mais moins de combien ???
Le core Oublions les arêtes, regardons seulement les centres, ils sont collés dans le core. Faire la rotation d revient à faire tD, on tourne le Cube entier, h ⤍ tH , a ⤍ tA ..., ce sont des rotations qui conservent le Cube c'est donc D(R) le groupe de déplecement du Cube, or D(R)=S 4 il y a 24 rotations de ce type |SC|=24 T+ = Sα x Sβ x Sγ x SC
291
d'autre part on a signature(arête) = signature(centre) car pour les rotations h,d,a on a, par ex : d = uc = (4-cycle-arête)(4-cycle-centre) T= {T+ et sig(u)=sig(c)} d'où [T|=|T+|/2 |T| =43 4! /2 on divise par 2 pour respecter la loi sig(u)=sig(c) . |T| = 43 (4.3.2.1)/2 = 29 3/2 = 28 3 = 768 |< h,d,a >| = 28 3 = 768 < h,d,a > est isomorphe à < Bs , Gs , Ps > l'isomorphime est donné par les relations: tHB
s
= BstH = h
s
= GstD = d
tAP s
= Ps tA = a
tDG
donc |< Bs , Gs , Ps >| = 768 (= 4x4x4!√4 , un quadrix) La définition du groupe Slice est: Ϩ = < XX' / X=face opposée de X et X rotation de base > Exemple le Slice de Mégaminx
292
|Ϩ| =
15! 14 10! 9 4 6 3 2 2
Le goupe Slice donne des motifs assez jolis ... * Spot, X, +
Et on observe que la motif de chaque face est de la forme:
une face
face opposée
* Les sommets ont la même couleur x * Les arêtes opposées ont la même couleur y, z * La face opposée a des couleurs opposées x',y',z',t'
293
MÉTHODE DE THISTLETHWAITE Position du problème: En résovant le Rubik's Cube, on se pose deux questions naturelles suivantes: 1- On se donne un nombre a, et se pose la question suivante: -Existent-ils des situations (des états) dont on n'a aucun espoir de restaurer le Cube avec un nombre de rotations moindre que a ? autrement dit il faut au minimum a rotations pour s'en sortir. exemple si on prend a = 2, il est clair qu'il y a des états qu'on ne peut pas s'en sortir avec une seule rotation ! Les états dont on peut s'en sortir avec une seule rotation sont des états simples. il est donc naturelle de se demander s'il y des états plus compliqués ?, on augmente donc a, par exp a=10,11,... nous montrerons par un raisonnement simple qu'il y a des états dont on ne peut pas s'en sortir avec 17 rotations donc il faut au minimum 18 rotations... 2- Une autre question aussi intéressante: On se donne un nombre b et se pose la question suivante: -Quelque soit l'état, est-il toujours possible de s'en sortir avec b rotations (au maximum) ?? par exemple si on prend b=36540, peut on toujours s'en sortir avec b=36540 rotations ? la réponse est sûrement 'oui', on a donc l'intérêt de diminuer b Pour a : on augmente a pour atteindre les états plus compliqués. Pour b : on diminue b pour avoir le maximum de rotations
294
necesssaire. Soit m le nombre de rotations de la restauration, le problème revient donc à minorer et majorer m: a ≤ m ≤ b Il y a deux façons de compter les rotations: Si on compte A² vaut 2 , on note |A²| = 2 exp: |H| = 1, |H'| = 1, |H3| = 3, |I| = 0 Si on compte A² vaut 1 on dit, dans ce cas qu'on utilise la métrique "face" ou f-rotation et on note |A²|=1f ou |A²|f =1 exp: |H| = 1f, |H'| = 1f, |H3| = 2f, |H4| = 2f , |I| = 0f donc pour chaque formule F on associe à une longeur |F| ou |F|f exemple F = HB²PA'D3G'² |F| = 10 |F| = 7f Attention!! U = V n'implique pas |U| = |V| !!!
LE NOMBRE MINIMUM DE ROTATIONS Dans ce qui suit nous utilisons la métrique face, donc |A²| = 1 Un raisonement simple permet de trouver qu'il y a des états qu'on ne peut pas s'en sortitr avec 17f rotations (a=18f) - Le 0eme coup neutre, il n'y a rien à faire : 1 - Le 1eme coup on a 3 choix pour une face par ex: A, A', A² et comme il y a 6 faces donc: 3x6=18 - Le 2eme coup on a: 18x18=182 - Le 3eme coup on a: 18x18x18=183 Le nombre d'états en n rotations vaut donc: S = 1 + 18 + 182 + 183 ... + 18n-1 (il y a n ternes)
295
S = (18n-1)/(18-1) ≈ 18n/17 18n/17 ≈ 4,3x1019 18n ≈ 73,1x1019 En passant par ln n ≈ [ln(73,1)+19ln(10)]/ln(18) n ≈ (4,29 + 43,74)/2,8 n ≈ 48,03/2,8 n ≈ 17,15 d'où n = 18f la borne inférieure est donc a = 18f autrement dit il existe des états dont on n'a aucun espoir de les restaurer avec 17f rotations ! on a 18f ≤ m ≤ b En 1995 Michael Reid démontre qu'il existe des états dont on ne peut pas s'en sortir avec 19f rotations (a=20f), par ex le Superflip φ (toutes les arêtes sont renverées), on a donc 20f ≤ m ≤ b. Il nous reste maintenant à trouver un majorant b de m.
LE NOMBRE MAXIMUM DE ROTATIONS
Thistlethwaite est la première personne qui a donné un majorant de m (la valeur de b). Il a utilisé les classes pour compter les rotations c'est vraiment génial comme l'angle d'attaque.
296
Pour ne pas alourdir les écritures on va nommer les pièces comme indique la fig ci-dessous, les xi sont des arêtes et les yi sont des sommets.
Pour fixer les idées on va raisonner sur un algorithme de résolution. On part d'un état quelconque s de G et soit Q la formule associée à s, c'est-à-dire e⦁Q=s 1. Soit A1 l'ensemble des arêtes Bas, A1 = {x9, x10, x11, x12} on pose E1=A1 Considèrons Δ1 l'ensemble des formules qui laissent E1 invariant. Δ1 est un sous groupe de M, car l'ensemble des formules qui laissent invariant un ensemble forme un
297
groupe. Remarque Δ1 n'est pas forcement normal. Δ1 étant donné on peut donc construire ses classes Δ1R, Δ1S, Δ1T , .... et l'ensemble des classes de Δ1 (dans M) est Δ1\M = { Δ1R, Δ1S, Δ1T, ... } ; R,S,T ,... ∈M
Une classe a un nombre fini d'éléments, donc parmi ces éléments on choissit celui qui a une longeur minimale (pour représenter la classe) disons L1 pour la classe Δ1R, L2 pour la classe Δ1S, L3 pour la classe Δ1T, .... Δ1\M = { Δ1L1 , Δ1L2 , Δ1L3 , ... } ; L1,L2,L3, ... ∈M et posons l1 = Max { |L1| , |L2| , |L3| , ... } la plus grande longeur des Li. NOTE : Il est clair qu'on ne cherche pas les Li∈M à la main !! , les ordinateurs sont là pour ça ... En effet le nombre d'éléments d'une classe est fini, souvenez vous il vaut |Δ1|. Donc on peut très bien faire un programme qui cherche le plus court élément d'une classe.
298
Pour trouver l1 là aussi, il y a un nombre fini de classes (de Li) , il vaut |M|/|Δ1| donc on peut toujours trouver l1 = Max {|L1|, |L2|, |L3|, ...} par ordinateur. Δ1 est donné , donc l1 est donné. Q étant un élément de M, mais comme les classes forment une partition de M donc Q se trouve quelque part dans Δ1L1 , Δ1L2 , Δ1L3 , ... disons Q∈Δ1L3 ça signifie Q = αL3 où α∈Δ1
d'où e⦁Q=s e⦁(αL3) = s (e⦁α)⦁L3 = s (e⦁α) = s⦁L′3 s⦁L′3 = t , où on a posé e⦁α = t
299
t est un état où les 4 arêtes Bas sont bien rangées. On passe donc de l'état s à l'état t , au maximum l 1 rotations. 2. Puis on recommence avec Δ1 à la place de M .... Soit A2 l'ensemble des sommets Bas. A2 = { y5, y6, y7, y8} et posons E2 = E1⋃A2 = {x9, x10, x11, x12, y5, y6, y7, y8} et considèrons Δ2 l'ensemble des formules qui laissent E2 invariant . Δ2 laisse E2 invariant ⇒ Δ2 laisse E1 invariant ⇒ Δ2 est un sous groupe de Δ1 , on peut donc constuire ses classes Δ2R, Δ2S, Δ2T , .... et l'ensemble des classes de Δ2 dans Δ1 est Δ2\ Δ1 = { Δ2R, Δ2S, Δ2T, ... } ; R,S,T,... ∈Δ1 les classes sont finies, pour chaque classe on choissit un élément celui qui a une longeur minimale disons M1 pour la classe Δ2R, M2 pour la classe Δ2S, M3 pour la classe Δ2T, .... Δ2\Δ1 = { Δ2M1 , Δ2M2 , Δ2M3 , ... } ; M1,M2,M3, ... ∈Δ1 et posons l2 = Max { |M1| , |M2| , |M3| , ... } la plus grande longeur des Mi . e⦁α = t
300
α étant dans Δ1, α∈Δ1, elle se trouve donc dans une des classes de Δ2 car les classes de Δ2 forment une partition de Δ1 , disons α∈Δ2M1 ça signifie α = βM1 où β∈Δ2 d'où e⦁α = t e⦁(βM1) = t (e⦁β)⦁M1 = t (e⦁β)= t⦁M1′ t⦁M1′ = q où q=e⦁β On passe de l'état t à l'état q au maximum l2 rotations. Ainsi de suite .... jusqu'à il n'y a plus de pièces à ranger. Remarque : 1. on passe donc de l'état s à l'état q au maximum (l1+l2) rotations, en effet : s⦁L′3 = t (s⦁L′3 )⦁M1′ = t⦁M1′ s⦁(L′3 M1′ ) = t⦁M1′ s⦁(L′3 M1′ ) = q
301
2. Voyons le rôle de la formule L′3 elle "range" A1 de même M1′ range A2 ... autrement dit un représentant de la lasse c'est quelqu'un qui "range" le pièces Ai , il est le "mieux" à le faire. Un algorithme est une suite A1, A2, A3, ... de pièces à ranger, on pose E1=A1 E2=E1⋃ A2 E3=E2⋃ A3 etc.... On voit donc, à chaqu'algorithme on a une suite d'inclusion de Ei (nous dirons une tour Ei) ∅ ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ ... ⊂ En = Cube résolu (une tour Ei) correspond à une tour Δi de sous groupes de M M ⊃ Δ1 ⊃ Δ2 ⊃ ... ⊃ Δn = I (une tour Δi) Et inversement une tour Δi de sous groupes de M correspond à un algorithme de résolution qui range les pièces Ei petit à petit jusqu'à l'état résolu du Cube.
302
ALGORITHME ASSOCIÉ À UNE TOUR
Rappel les vocabulaires : * Ranger = placer + orienter * Fixer = ne bouger pas mais peut être pivoté * Invariant = ne bouge pas et ne pivote pas. On part donc d'un état s de G et Q la formule associée à s, c'est-à-dire e⦁Q=s 1. Soient A1 = les 12 arêtes bien placées, on pose E1=A1 et Δ1 l'ensemble des formules qui laissent fixe E1 . Soit Q1 une formule telle que Q′1 place A1, alors QQ′1 = T1 ∈ Δ1 ⊂ M (arêtes placées) 2. Soient A2 = l'ensemble des 8 sommets bien placés , E2 = E1∪A2 , E1 ⊂ E2 et Δ2 l'ensemble des formules qui laissent fixe E2 . Soit Q2 une formule telle que Q′2 place A2 mais laisse fixe E1, alors T1 Q′2 = T2 ∈ Δ2 ⊂ Δ1 (arêtes placées, sommets placés) 3. Soient A3 = l'ensemble des 12 arêtes bien orientées, E3 = E2∪A3 , E2 ⊂ E3 et Δ3 l'ensemble des formules qui laissent invariant E3 . Soit Q3 une formule telle que Q′3 oriente A3 mais laisse fixe E2, alors T2 Q′3 = T3 ∈ Δ3 ⊂ Δ2 (arêtes rangées, sommets placés)
303
4. Soient A4 = l'ensemble des 8 sommets bien orientés, E4 = E3∪A4 , E3 ⊂ E4 et Δ4 l'ensemble des formules qui laissent invariant E 4 , Δ4 = I Soit Q4 une formule telle que Q′4 oriente A4 mais laisse invariant E3, alors T3 Q′4 = T4 ∈ Δ4 ⊂ Δ3 (arêtes rangées, sommets rangés) QQ′1 Q′2 Q′3 Q′4 = I Q = Q4Q3Q2Q1 Ou en passant par les états e⦁(QQ′1 Q′2 Q′3 Q′4 ) = e⦁I (e⦁Q)⦁(Q′1 Q′2 Q′3 Q′4 ) = e⦁I s⦁(Q′1 Q′2 Q′3 Q′4 ) = e On passe de l'état s à l'état résolu e, on a bien un algorithme de résolution, à chaqu ' étape i on utilise la formule Q′i , mais l'algorithme n'est pas minimal car les Q′i ne sont pas les plus courts repésentant de la classe Δi\Δi-1 On peut donner un résumer ainsi: On se donne un sous groupe Δ de M ⇒ E = l'ensemble des pièces invariantes de Δ. ⇒ ΔL1, ΔL2 ΔL3, .... les classe de Δ où les Li sont des représentants les plus courts.
304
* Il y a |Δ| éléments de chaque classe (|ΔL i| = |Δ|) * Il y a |M|/|Δ| classes ( |Δ\M| = |M|/|Δ| ) * Li = les formules qui "rangent" E. Li∈M * Δ = les formules qui laissent E invariant .
MÉTHODE DE THISTLETHWAITE Thistlethwaite a proposé la suite Δi des sous groupes de M suivante Δ0 = M = < H,B,A,P,G,D > Δ1 = < H²,B²,A,P,G,D> ⇒ E1 ⇒ l1 Δ2 = < H²,B²,A²,P²,G,D > ⇒ E2 ⇒ l2 Δ3 = < H²,B²,A²,P²,G²,D² > ⇒ E3 ⇒ l3 Δ 4 = I ⇒ E 4 ⇒ l4 on a |Δ0| = 227 314 53 72 11 |Δ1| = 216 314 53 72 11 |Δ0 | |Δ1 |
= 2048 classes
* Pour chaque classe, on cherche la plus courte formule (parmi |Δ1| = 216 314 53 72 11 formules) comme représentant ⇒ Li
305
* Parmi
|Δ0 | |Δ1 |
= 2048 classes , on selecte la plus grande
représentant |Li| ⇒ l1 ..... Et il démontre que pour ranger E1 le nombre maximum de rotations utilisées vaut: l1=7 E2 ⇒ l2=13 rotations E3 ⇒ l3=15 rotations E4 ⇒ l4=17 rotations Soit au total 52 rotations , 18f ≤ m ≤ 52f Le travail de Thistlethwaite est important car il prouve deux choses: - on est sûr de s'en sortir ! - et au maximum 52f rotations . Note: on peut utiliser quelques astuces pour diminuer 52f à b=45f. Durant des années on diminue le majorant métrique face |A²| = 1f Juillet, 1981 : Morwen Thistlethwaite 18f ≤ m ≤ 52f Décembre, 1990 : Hans Kloosterman 18f ≤ m ≤ 42f Mai, 1992 : Michael Reid 18f ≤ m ≤ 39f Mai, 1992 : Dik Winter 18f ≤ m ≤ 37f Janvier, 1995 : Michael Reid 20f ≤ m ≤ 29f Décembre, 2005 : Silviu Radu 20f ≤ m ≤ 28f April, 2006 : Silviu Radu 20f ≤ m ≤ 27f Mai, 2007: Dan Kunkle and Gene Cooperman 20f ≤ m ≤ 26f Mars, 2008 : Tomas Rokicki 20f ≤ m ≤ 25f
306
April, 2008:Tomas Rokicki and John Welborn 20f≤ m ≤23f Août, 2008:Tomas Rokicki and John Welborn 20f ≤ m ≤ 22f Juillet, 2010 : Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, et John Dethridge 20f ≤m≤ 20f Autrement dit le nombre de Dieu pour le Rubik's Cube est exactement 20f en métrique face (|A²| = 1f) . Il fallait 30 ans pour répondre à cette question. Note : Voici quelques états les plus difficiles: les Superdur (20f) Superflip φ = AH'A²B'P. HD'A'GB'. D'H'GHP'. B²D'AH²B² (|φ|=20f) X = DGH²AH'. BA²D²P²G. H²A'P'HD². BA²HD²H Y = AH'A²B'P. HD'A'GB'. D'H'GHP'. B²D'AH²B² Il y a environ 490.000.000 états Superdur Remarque Il est naturel de poser la question: quel est le nombre de Dieu pour la métrique quart (|A²|=2) ? La réponse est 26 (Août 2014) métrique quart |A²|=2 Janvier, 1981 : Dan Hoey montre qu'il y a des états qui demandent au minimum 21 rotations 21 ≤ m ≤ 140 Juillet, 1981 : Morwen Thistlethwaite montre que b=104 rotations suffisent 21 ≤ m ≤ 104 Mai, 1992 : Michael Reid montre b=56, 21 ≤ m ≤ 56 Janvier, 1995 : Michael Reid 21 ≤ m ≤ 42 Janvier, 1995 : Michael Reid 22 ≤ m ≤ 42 Août, 1998 : Michael Reid a=26 Superflip 26 ≤ m ≤ 42 Novembre, 2005 : Silviu Radu 26 ≤ m ≤ 40 Janvier, 2006 : Bruce Norskog 26 ≤ m ≤ 38 Janvier, 2006 : Silviu Radu 26 ≤ m ≤ 36
307
Mars, 2006 : Silviu Radu 26 ≤ m ≤ 35 Juillet, 2007 : Silviu Radu 26 ≤ m ≤ 34 Janvier, 2009 : Tomas Rokicki 26 ≤ m ≤ 32 Janvier, 2009 : Tomas Rokicki 26 ≤ m ≤ 31 Février, 2009 : Tomas Rokicki 26 ≤ m ≤ 30 Juin, 2009 : Tomas Rokicki 26 ≤ m ≤ 29 Août, 2014 : Tomas Rokicki et Morley Davidson démontrent finalement que le nombre de Dieu pour la métrique quart est 26. huuff !! 33 ans de galère !!... Superflip φ = D'H²PG' AH'PBA HB'GB² A'DP'BA' H'P'HB' (Mike Reid trouvé par ordinateur, et on démontre c'est la plus courte |φ|=24) Flipspot π= H²B²G A² H'BD² PH'B'D GA²D HB' D'GHA'P' (Mike Reid trouvé par ordinateur, prouvé par Mike Reid c'est la plus courte formule |π|=26) π = A DG'PBA D'HBPD' B'D'PH² B²P²D GB²DG |π| = 26
Résumons : Superflip: |φ|=24 , |φ|=20f Flipspot: |π|=26 Nombre de Dieu: 26 , 20f
308
L'ALGORITHME [HD] X
Il y a plusieurs façons de résoudre le Rubik's Cube: 1. On peut résoudre en basant sur la vitesse, c'est-àdire on le résout de plus en plus vite peu importe le nombre de formules utiliser, peu importe la forme des formules, le but c'est finir la résolution le plus vite possible. 2. On peut aussi le résoudre en fermant les yeux !! 3. On le résoud en une seule main ! 4. Ou encore en restreignant le nombre de rotations, par ex: on mélange le Cube avec les rotations H,D et on le résout uniquement avec H,D 5. Durant le résolution , on utilise une seule formule. 6. etc ... Ici nous allons attaquer la résolution sous un autre angle, c'est aussi un nouveau défi bien étrange... On veut que la résolution utilise uniquement les formules de la forme [HD]X=X[HD]X' où X est une formule X∈M
309
Allons y ......
ANALYSE
* Les états du Cube forment un groupe G dans un truc comme ça G ⊂ G+ = S12 x Z212 x S8 x Z38 G est composé de 4 morceaux donc l'algorithme de résolution comporte 4 phases ou 4 étapes * Le Rubik's Cube possède la loi de parité sig(u)=sig(v) ; u=permutation des arêtes, v=permutation des sommets donc il suffit d'étudier les états sig(u)=sig(v)=1, et on passe les états sig(u)=sig(v)=-1 par la simple rotation H * sig(u)=1 signifie que la permutation u est pair, or les permutations paires sont engendrées par les 3-cycles, donc il suffit de trouver un 3-cycle particulier t et on aura tous les 3-cycles par les conjugués de t Désormais on suppose que le Cube est en état localement pair sig(u)=sig(v)=1
310
LES ÉGALITÉS
Quelques égalités 1. 2. 3. 4. 5. 6.
[HD] = I[HD]I' [HD]n = (I[HD]I') (I[HD]I') (I[HD]I')... ; n fois [HD]' = [HD]-1 = [HD]5 car [HD]6=I [HD]-2 = [HD]4 X[HD]nX' = (X[HD]X') (X[HD]X') (X[HD]X')... ; n fois X(V[HD]V')(W[HD]W')X' = X(V[HD]V')X' . X(W[HD]W')X' = (XV)[HD](XV)' . (XW)[HD](XW)'
PLACER LES ARÊTES
Observons ce que fait le commutateur [HD], il agit sur le Cube comme une sorte de 'Z' c'est pourquoi nous le notons ζ=[HD]
311
ζ = [HD]
[HD] = (HP)⤍(HD)⤍(AD)
[HD] agit sur les arêtes: [HD] = (HP)⤍(HD)⤍(AD) c'est un 3-cycle-arête donc avec les conjugués de [HD], X[HD]X' on peut placer toutes les arêtes puisqu'on est en état localement pair.
ORIENTER LES ARÊTES
Ici c'est le point le plus difficile. Au début j'ai utilisé [D'A] pour pivoter 2 arêtes, puis H'[HD]H pour remettre les pièces, mais là on a introduit le crochet [D'A] et je me demande s'il est possible de pivoter 2 arêtes avec le crochet [HD] ? j'ai mis beaucoup de temps à chercher, très déspèré et sur le point d'abordonner et hup d'un seul coup j'ai trouvé cette formule A[HD]A'.(H'GA²)[HD]5(H'GA²)'=(HA)°(HD)° qui est construite sur le même principe que [D'A]. H'[HD]H = (HA)°(AD)°
312
A[HD]A' ⇒ pivote 2 arêtes (H'GA²)[HD]5(H'GA²)' ⇒ remet les pièces en place
A[HD]A'.(H'GA²)[HD]5(H'GA²)'=(HA)°(HD)°
LES SOMMETS
Pour placer les sommets on a le 3-cycle ci-dessous [HD]3.G'[HD]3G = (HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) Pour pivoter les sommets on a la formule suivante [HD]2.G'[HD]-2G = (HGP)+(HAG)-
313
[HD]3.G'[HD]3G = (HPG)⤍(HAG)⤍(HPD)
[HD]2.G'[HD]-2G = (HPG)+(HAG)-
L'ALGORITHME [HD] X
Et voilà , nous avons notre algorithme exigé !! • • • •
On place les arêtes à l'aide de : [HD] (et H si le Cube est en état localement impair) On pivote les arêtes par A[HD]A'.(H'GA²)[HD]5(H'GA²)' On place les sommets par [HD]3.G'[HD]3G Pour pivoter les sommets on utilise [HD]2.G'[HD]4G
C'est vraiment étonnant qu'on peut remonter le Cube seulemnt avec H, [HD] (sous entendu bien sûr avec les conjugués de [HD], car [HD] agit sur les emplacements
314
fixes, ses conjugués permettent de varier les emplacements)
COMMENTAIRE
C'est extraordinaire, celà signifie que pour toute formule F on peut la décomposer en produit des conjugués de [HD] !! F= H
1−sig(u) 2
∏[HD]X X
1−sig(u) 2
Le coefficient H est là pour dire quand on est en état localement impair sig(u)=-1 on fait un H avant d'appliquer l'algorithme [HD] joue le rôle des nombres premiers dans les nombres entiers : tout entier est décomposable en produit des nombres premiers On pourrait aussi dire qu' à partir de l'état résolu e , pour arriver à l'état s il y a toujours un chemin plus "propre", plus "joli" ou plus "sécurisé" que le chemin F
315
316
LES FORMULES PREMIÈRES
En cherchant l'algorithme minimal nous avons trouvé la formule θ = A[HD]A'H' de longeur 7 , |θ| = 7 il est vraiment extraordinaire que cette formule contient tout ce qui faut pour restaurer le Cube à elle toute seule !. On pourrait se demander s' il existe d'autres formules du même genre et que θ est - elle de longeur mimimale (f-rotation) ? UNE REMARQUE
Quand on écrit A[HD]A' = (HA)⤍(HP)⤍(HD) ou A[HD]A' = (HA,HP,HD) on voit que les pièces se déplacent mais on ne voit pas qu'elles se pivotent ! il faut donc trouver une notation qu'on voit aussi les pièces se pivotent en déplacant. Si on écrit A[HD]A' = (HA)+⤍(HP)+⤍(HD) ou plus simple A[HD]A' = (HA+,HP+,HD) là on voit que (HA) et (HP) pivotent de même pour les sommets A[HD]A' = (HGP)↔(HPD) . (HAG)↔(HDA) ou plus simple A[HD]A' = (HGP,HPD)(HAG,HDA) n'est pas précis, on ne voit pas les sommets pivotent, comme pour les arêtes on écrit A[HD]A' = (HGP)+↔(HPD) . (HAG)-↔(HDA) ou plus simple
317
A[HD]A' = (HGP+,HPD)(HAG-,HDA) là , on voit le sommet (HGP) pivote dans le sens horaire et (HAG) pivote dans le sens contraire Finalement la notation A[HD]A' = (HA+,HP+,HD)(HGP+,HPD)(HAG-,HDA) sera beaucoup plus précise, elle décrit exactement l'état du Cube. Si on n'a pas besoin de l'orientation mais simplement les déplacements on écrira simplement A[HD]A' = (HA,HP,HD)(HGP,HPD)(HAG,HDA) comme d'habitude
A[HD]A' = (HA+,HP+,HD)(HGP+,HPD)(HAG-,HDA)
FORMULE PREMIÈRE
Définition : On dit qu'une formule F est première si elle peut restaurer le Cube tout seule. Par exemple θ est première car on peut restaurer le Cube avec seulement θ.
318
1. 2. 3. 4.
(HG)↔(HA) = θ (HAG)↔(HPD) = θ (HG)+(HA)+ = θ² (HAG)-(HDA)-(HPD)- = θ4
θ = A[HD]A'.H' Il est donc naturel de se demander s'il existe d'autres formules du même genre ? et quelle est la plus courte ?
ANALYSE DE Θ
Rappelle θ = A[HD]A'H' . Nous allons examiner minutieusement θ et essayer de comprendre sa structure, comment se fait-il qu'elle peut restaurer le Cube à elle toute seule. [1]- θ permute un couple d'arêtes (HG)+↔(HA) ou plus simple (HG+,HA) celà permet de placer toutes les arêtes.
319
[2]- Mais en permutant elle pivote l'une des arêtes (HG)+, la loi des flips exige qu'on doit pivoter aussi une autre arête (HD)+ extérieure de la permutation - Si on regarde de plus près , tout celà permet de pivoter un couple d'arêtes, en effet θ = (HG+,HA)(HD)+ θ² = (HA+,HG+)(HD)++ = (HA+,HG+) ; donc θ² pivote bien le couple d'arêtes (HA),(HG) - si θ pivote 2 arêtes en les permutant, ça ne va pas marcher, on ne peut pas pivoter les arêtes, en effet si θ = (HG+,HA+) ⇒ θ² = (HA,HG) on ne pivote pas !! - si θ pivote 2 arêtes extérieures de la permutation, ça ne va pas marcher non plus, en effet si θ = (HG,HA)(HD)+(HP)+ (par ex) => θ² = (HA,HG) on ne pivote rien !! Il y a un seul cas qui marche c'est quand θ pivote une arête dans la permutation et une autre arête à l'exterieure de la permutation θ = (HG+,HA)(HD)+ [3]- Pour les sommets tout se passe exactement comme les arêtes - θ permute 2 sommets en pivotant l'un d'eux (HAG +,HPD), la loi des twists l'oblique de pivoter un autre sommet (HAD)- à exterieur de la permutation finalement θ est de type θ = (HG+,HA)(HD)+(HAG+,HPD)(HDA)-
320
D'AUTRES TYPES
Pour ne pas alourdir les notations on va noter: x,y,z les 3 arêtes X,Y,Z,K,T les 5 sommets
Analyse I. Pour pouvoir déplacer, et pivoter toutes les arêtes d'après ce qui est dit plus haut on doit avoir (x+,y)z+ en effet (x,y) permet de déplacer toutes les arêtes car toute permutation est décomposée en transpositions. Et la loi de parité du Rubik's Cube impose qu'on doit aussi permuter deux sommets (X,Y) c'est-à-dire on doit avoir: (x+,y)z+(X,Y) II. La loi des twists impose qu'on doit pivoter: Soit 2 sommets en sens opposés (1,-1)
321
Soit 3 sommets dans le même sens:(1,1,1) ou (-1,-1,-1) on a donc: (X,Y)Z+K(X,Y)Z+K+T+ (X,Y)Z-K-T(X+,Y)Z(X+,Y)Z+K+ etc ... et on prend seulement les F4 pivotent les sommets
Voici les types ν = (x+,y)z+(X,Y)Z+Kν+ = (x+,y)z+(X,Y)Z+K+T+ ν- = (x+,y)z+(X,Y)Z-K-Tθ = (x+,y)z+(X+,Y)Zθ+ = (x+,y)z+(X+,Y)Z+K+ θ̅ = (x+,y)z+(X-,Y)Z+ ; l'anti-θ θ- = (x+,y)z+(X-,Y)Z-KΔ+ = (x+,y)z+(X+,Y+)Z+ Δ- = (x+,y)z+(X-,Y-)ZIl y a donc 9 formules premières divisées en 3 groupes, et d'après Cube Explorer θ a la longeur minimale 7, |θ|=7, et les auttres ont une longeur plus grande ν=H' D H D² A' G' A' G B' P' G P A' B D A' ; |ν|=17 ν+= D² P' B P' G' B' P' D' A D H P' D' H A' H D' H' ; |ν+|=19 ν-= A' D A B P' B G P' H G' P' H' D P' D' B² ; |ν-|=17
322
θ=A H D H' D' A' H' ; |θ|=7 θ+= H' D P' D B' P H P' B P² H' P' R² ; |θ +|=15 θ̅=D' A' H A G' H P' A' H' A H P H' G D U² ; |θ̅|=17 θ-= H G D H A H² P' H A' H' P D' H G' U² ; |θ-|=17 Δ+ = A H A' H' D' H G' H' D P' H' P G ; |Δ+|=13 Δ- = P² D B' D' H' D H P H' P' B D' P² ; |Δ-|=15 en f-rotation ν = A' D' H' D² P H P' D² B' A² B H D A H² ; |ν|=15f ν+ = B A D' A' H' D² H D' P² H P² B' D' H' D' H ; |ν+|=16f ν- = G' D P² A' B G² B' A H² P² H² P² D' H G ; |ν|=15f θ = A[HD]A'H' ; |θ| = 7f θ+ = H' D P' D B' P H P' B P² H' P' D² ; |θ +|=13f θ̅ = A² D² P' D A B' A' B D' P D² A² H' ; |θ̅|=13f θ- = H' D H² P H² P' A' H' A H' A' H² A D' ; |θ-|=14f Δ+ = A H A' H' D' H G' H' D P' H' P G ; |Δ+|=13f Δ- = P² D B' D' H' D H P H' P' B D' P² ; |Δ-|=13f NOTE : l'algorithme minimal est donc • • • •
(x,y) = F (X,Y) = F x+y+ = F² V°= F4
où F est une formule première , x,y , 2 arêtes , X,Y ,2 sommets et V°=pivoter les sommets
323
SOLUTION DU RUBIK'S CUBE
Un livre sur le Rubik's Cube sans algorithme de résolution n'est pas un livre sur le Rubik's Cube ! il est donc raisonnable de fournir un algorithme de résolution dans ce dernier chapitre.
L'algorithme [HD] Auteur: morphocode Année: 2011
Cette méthode se divise en 5 étapes, et chaqu'étape utilise 2 formules donc en tout 10 formules pour restaurer le Cube. La strtégie est très classique, étage par étage. On finit d'abord le Bas (1ère étage) puis l'équateur (2ère étage) puis le Haut (3ème étage)
324
• • •
Finir le Bas: ranger les arêtes puis les sommets Finir l' équateur Finir le Haut: ranger les arêtes puis les sommets
Pour fixer les idées on va prendre un Rubik's Cube standard avec: Haut=blanc, Bas=jaune, Avant=vert, Postérieur=bleu, Gauche=orange, Droite=rouge .
I- RANGER LES ARÊTES BAS
On va ranger (placer et orienter) les arêtes Bas c'est-à-dire on fait la croix en Bas. Trouve une arête-Bas, c'est-à-dire une arête ayant la couleur jaune puis place-la juste au dessus et le centreAvant doit avoir la même couleur que la pièce, c'est-à-dire le jaune=Haut (voir fig), puis on fait un A² pour descendre l'arête
(HA)⤍(BA) = A²
325
Si l'arête a une mauvaise orientation, on la pivote par la formule: (HA)° = A.DHD'
(HA)° = A.DHD' Si l'arête se trouve à l' équateur, on la remonte vers le Haut par DHD'.
(AD)⤍(HA) = DHD'
326
II- RANGER LES SOMMETS BAS
On va ranger (placer et orienter) les sommets Bas c'est-àdire on va finir le Bas. Trouve un sommet-Bas , c'est-à-dire un sommet ayant la couleur jaune puis place-le juste au dessus et la couleur jaune doit être à l'Avant (voir fig), puis on applique la formule: [HD]=HDH'D'
(HDA)⤍(BAD)=[HD]=HDH'D' Si le jaune n'est pas à Avant, la pièce est en mauvaise orientation, alors on le pivote (2 fois si nécessaire) par la formule: (HDA)° = HDH'²D'
327
(HDA)° = HDH'²D' Mémo: HDH'D': Dégager(H)/Monter(D)/Placer(H')/Descendre(D') HDH'²D': Dégager(H)/Monter(D)/Positionner(H'²)/Descendre(D') Remarque : Si un sommet se trouve dans un mauvais emplacement, on le déloge en y mettant n'importe quoi !! .
III- RANGER LES ARÊTES-EQUATEUR
Trouvez une arête-équateur, c'est-à-dire une arête qui n'a pas de couleur Haut=blanc, puis positionne la bien comme il le faut: Suivant le cas on applique la formule correspondante: √ centre-Avant même couleur avec la pièce:
328
(HA)⤍(AD)=[HD][H'A'] (on pourrait dire: [HD]=préparer et [H'A']=placer) √ centre-Droite même couleur avec la pièce: (HD)⤍(AD)=[H'A'][HD] (on pourrait dire: [H'A']=préparer et [HD]=placer)
(HA)⤍(AD)=[HD][H'A']
(HD)⤍(AD)=[H'A'][HD]
Remarque : Si une arête se trouve dans un mauvais emplacement, on la déloge en y mettant n'importe quoi !! .
IV- PLACER LES ARÊTES HAUT
On place les arêtes Haut grâce à la formule: A[HD]A' (HA)⤍(HP)⤍(HD) = A[HD]A' Mais on tient le Cube de façon différente suivant le cas: 1 bonne arête, 2 bonnes arêtes etc ...
329
Voyons il y a plusieurs cas: a) 1 bonne arête
Une bonne: (HA)⤍(HP)⤍(HD) = A[HD]A' b) 2 bonnes arêtes
Deux bonnes adjacentes: H' ⇒ Une bonne
330
Deux bonnes oppoées: A[HD]A' ⇒ Deux bonnes adjacentes c) 3 bonnes arêtes ⇒ Impossible , la 4ème est forcement bonne ! d) 4 bonnes arêtes ⇒ Rien à faire !! vous avez de la chance ...
V- ORIENTER LES ARÊTES HAUT
Les arêtes Haut sont bien placées maintenant, on va les orienter. Pivoter 2 arêtes adjacentes : (HG)°(HA)° = (A[HD]A' H' )²
331
(HG)°(HA)° = (A[HD]A' H' )² REMARQUE IMPORTANT : Si on a 2 arêtes opposées à pivoter, on applique simplement la même formule (A[HD]A' H' )² et on revient au cas 2 arêtes adjacentes à pivoter. Il ne faut surtout pas utiliser les conjugaisons car la formule n'est pas propre (ça détruira le Bas!!) ⌺ C'est à cette étape que la loi des flips du Rubik's Cube intervient !!! Il est impossible de pivoter une seule arête sans casser le Cube !!! , on pivote toujours 2 arêtes. En effet la loi des flips dit que la somme des flips est un nombre pair. Si on pivote une seule arête le nombre de flip vaut 1 donc impair ce qui est impossible.
VI- PLACER LES SOMMETS HAUT
On va placer les sommets Haut avec la formule:
332
(HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) = [HD] .G'[DH]G
(HGP)⤍(HAG)⤍(HPD) = [HD] .G'[DH]G ⌺ C'est à cette étape que la loi de parité du Rubik's Cube intervient !!! Il est impossible de permuter deux sommets, c'est-à-dire un couple de sommets sans casser le Cube !!! . En effet la loi de parité dit que la signature des sommets doit être égale à la signature des arêtes sig(sommets) = sig(arêtes) . Or si on permute deux sommets la signature des sommets est impair sig(sommets)=impair tandis que la signature des arêtes est paire car toutes les arêtes sont bien placées, pas de permutation ou permutation identique id, sig(arêtes)=pair. donc c'est impossible
VII- ORIENTER LES SOMMETS HAUT
On oriente les sommets avec la formule: Descendre 2 couleurs Haut sur la face Gauche (HGP)+(HAG)- = [HD]² .G' [DH]²G
333
(HGP)+(HAG)- = [HD]² .G' [DH]²G
Remarque : Cette formule est propre, donc on peut utiliser la conjugaison sans prendre des précautions. ⌺ C'est à cette étape que la loi des twists du Rubik's Cube intervient !!! Il est impossible de pivoter un seul sommet 1/3 ou 2/3 de tour sans casser le Cube !!! , on pivote toujours 2 sommets ou 3 sommets. En effet la loi des twists dit que la somme des twists est un multiple de 3. Si on pivote un seul sommet 1/3 ou 2/3 de tour le nombre de twists vaut 1 ou 2 ce n'est pas un multiple de 3 donc c'est impossible.
334
- FORMULES SUPLÉMENTAIRES: PIVOTER LES CENTRES
Voici deux formules supplémentaires pour pivoter les centres, si jamais vos centres sont orientés du genre: Hello Kitty Cube , Fisher Cube... Pivoter le centre Haut à 180°: (H)2+ = (HDG.H²D ' G ' )² Pivoter le centre Haut à 90° et Gauche à -90°: (H)+(G)- = Hd ' h ' d . H ' d ' h d Ou encore : (H)+(G)- = GD' PA' HB' .G' .BH' AP' DG' .H Remarque : certains auteurs notent: Gs = GD' (G,D même direction) , Ga = GD (G,D direction contraire) (H)2+ = (HDaH²D'a)² (H)+(G)- = GsPsHs. G’ . BsAsDs .H
(H)2+ = (HDG .H²D ' G ' )²
335
(H)+(G)- = Hd ' h ' d . H ' d ' h d
(H)+(G)- = GD' PA' HB' .G' .BH' AP' DG' .H Et voilà, maintenant le Rubik's Cube n'a plus de secrets pour vous ......
336
BIOGRAPHIE
* Cube Explorer (Herbert Kociemba) : On donne un état, il trouve une formule correspodant en face-métrique ou quart-métrique. http://kociemba.org/cube.htm * Voici les javascripts pour calculer l'ordre maximal et l'ordre d'un élément. http://fan2cube.fr/javascript/ordre_maxi.html http://fan2cube.fr/javascript/ordre_calcul.html * GAP, est un programe qui permet de calculer, l'ordre d'un groupe de permutations, ... https://www.gap-system.org/Releases/index.html * Les quiz pour tester vos connaissances http://fan2cube.fr/certificat/mc1.html * Un simulateur des cubes http:/pMetro.su/pCubes.zip
337
1
