1

L' Équation d'Einstein

2

Copyright

Titre: L'Équation d'Einstein Auteur: Morphocode

© Decembre-2016, Morphocode/createmybooks.com

ALL RIGHTS RESERVED. This book contains material protected under International and Federal Copyright Laws and Treaties. Any unauthorized reprint or use of this material is prohibited. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system without express written permission from the author.

3

Du même auteur

¤ Le dernier théorème de Fermat (la touche finale) C'est un livre qui démontre le dernier théorème de Fermat en s'appuyant sur deux théorèmes : le théorème de Ribet et le théorème de Wiles. Un document rare et exceptionnel. © Juin-2015, Morphocode/shopmybooks.com version pdf http://fan2cube.fr/livre/dernier_theoreme_fermat.pdf version papier https://www.shopmybooks.com/FR/en/book/morphoco de-8/le-dernier-theoreme-de-fermat-8

¤ L' équation d'Einstein La relativité générale et une démontration de cette équation à partir du principe le moindre action, © Décembre-2016, Morphocode/shopmybooks.com version pdf http://fan2cube.fr/livre/equation_einstein.pdf version papier

4

https://www.shopmybooks.com/FR/en/book/morphoco de-15/la-relativite-generale

¤ Le Groupe du Rubik's Cube Le Rubik's Cube possède un groupe très riche en propriétés et si la partie mathématique du puzzle vous intéresse alors ce livre est pour vous. © Mars-2017, Morphocode/shopmybooks.com version pdf http://fan2cube.fr/livre/le%20groupe%20du%20rubik% 20cube.pdf version papier https://www.shopmybooks.com/FR/fr/book/morphocod e-17/le-groupe-du-rubik-s-cube-1

PRÉFACE

Depuis longtemps je voudrais démontrer l'équation d'Einstein à partir du principe de moindre action. Certains disent :"On ne démontre pas l' équation d'Einstein, il s'est posé comme ça et ça marche , c'est tout !!" Mais je pense que si cette équation marche bien, on doit donc pouvoir l'en déduire à partir des principes de la physique , une si belle équation comme ça doit logiquement avoir une démontration... et il n'y a pas de livres qui démontrent clairement cette équation, c'est très confus, très flou ... C'est pourquoi j'ai décidé de retrouver le chemin qui mène à cette équation.

Slogan : On pose, on supprime... ce qu'on veut pourvu que ça marche !!

2

I. INTRODUCTION

1.UNE SIMPLE FORMULE

La mécanique newtonienne comporte 8 équations, la relativité restreinte a remplacé les 7 équations et il ne reste plus qu'une équation à remplacer, c'est l'équation qui donne la force gravitationnelle ⃗f entre deux masses M et m.

⃗f = −

GMm r²

⃗⃗r (I.1) u

r⃗⃗ r

⃗⃗r = , r = ||r⃗|| u On voit qu'il faut remplacer cette formule, en effet d'après la relativité restreinte aucune information ne peut aller plus vite que la lumière. Dans cette formule si on bouge M, m le sentit immédiatement puisque la force ⃗f change instantanément, même si M se trouve à des millons voir des milliards de km de m, ce qui contredit la relativité

3

restreinte: aucune information se propage plus vite que la lumière, il faut un certain temps pourque l'information va de M à m. Einstein est donc sensé de remplacer cette formule. On peut interpréter cette formule autrement. On dit que M crée autour de lui un champ g⃗⃗

g⃗⃗ = − (

GM )u ⃗⃗r r²

et la masse m plongée dans ce champ subit une force ⃗f ⃗f = m g⃗⃗ On voit que ce champ g⃗⃗ dérive d'un potentiel ϕ ϕ=−

GM r

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ϕ = - ϕ'(r) u g⃗⃗= - grad ⃗⃗r = −

GM r²

⃗⃗r u

Au lieu d'avoir une masse pontuelle M on a une distribution de masse µ, le potentiel engendré par cette distribution vaut ϕ = −G ∫V

µ dΩ r

4

ce qui montre ϕ est la solution de l'équation ∆ϕ = 4πGµ (I.2) donc la formule (I.1) équivaut à l'équation (I.2). Einstein a voulu remplacer cette équation par une autre et il a mis 8 ans (1907-1915) pour le faire !! et c'est Gij =

8πG c4

Tij

C'est simplement quels que symboles mais ça change complétement nos concepts du temps et d'espace.

2.LE PRINCIPE D'ÉQUIVALENCE

La gravitation newtonienne dit que deux masses M et m s'attirent par une force ⃗f donnée par la formule de Newton ⃗f = −

GMm r²

⃗⃗r u

et le principe fondamental de la dynamique dit que cette force ⃗f est proportionnelle à l'accélération a⃗⃗ et dans le même sens que ⃗f ⃗f = k a⃗⃗ = - k au ⃗⃗r (car a⃗⃗ a le même sens que ⃗f ) d'où −

GMm r²

⃗⃗r = - k au u ⃗⃗r

5

(

GM ) r²

m = ka

gm = ka Il n'y a aucune raison que m soit égale à k, m=k en effet k est un coefficient provenant de la dynamique qui mesure la résistance au mouvement alors que m est un coefficient provenant de la gravitation qui mesure l'attraction du champ, il n'y a aucune raison que ces deux coefficients soient égaux. Et Einstein stupile effectivement que m=k !! dans cette hypothèse on aura g=a Autrement dit tout corps tombe de la même façon !! une feuille de papier tombe aussi vite qu'une bille !!! deux corps plongés dans un champ gravitationnel auront la même accélération !! leur mouvement ne dépendent pas de leur masses. En pratique on voit qu'une feuille tombe moins vite qu'une bille ! ... mais parce qu'il y a la résistance de l'air qui empêche la feuille tombe plus vite !!! il faut que tout ce passe dans le vide bien sûr . On voit donc que l'accélération = gravitation ! Imaginez qu'on est dans une cabine isolée de l'extérieur et que la cabine est accélérée vers le haut (on distingue le haut et le bas par la différence de couleurs peintes sur le plafond et le plancher par exemple). On est collé sur le

6

plancher et si on lache une bille elle tombe vers le bas , le plancher , impossible de savoir si on est accéléré ou si on est dans un champ de gravitation.

Les effets de l'accélération sont les même effets que le champ gravitationnel. Mais cette équivalence n'est que locale , c'est-à-dire dans une petite portion de l'espace. En effet si on lache 2 billes dans une cabine accélérées les billes tombent parallèlement, par contre elle tombent en s'aprochant l'une de l'autre si la cabine est plongée dans un champ gravitationnel.

7

Le principe d'équivalence est suivant: Le mouvement d'une particule dans un référentiel galiléen en présence d'un champ gravitationnel c'est le même mouvement d'une particule libre par rapport à un reférentiel non-galiléen. autrement dit étudier une particule dans un champ gravitationnel c'est la même chose d'étudier la particule par rapport à un référentiel accéléré (non-galiléen) C'est pourquoi la relativité générale est une extension de la relativité restreinte car la relativité restreinte étudie les mouvement dans des référentiels galiléens et la relativité générale étudie les mouvements dans tous les référentiels galiléens ou non.

8

II.LE CALCUL TENSORIEL

1.RAPPEL, DÉFINITION ET CONVENTION

1. La sommation * indice-bas = indice-haut → la sommation * indice de sommation (indice muet, indice 'sum') ils bougent * indice fixe = le rang, la position aibi = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 (convention d'Einstein) ∂mFmi = ∂0F0i + ∂1F1i + ∂2F2i + ∂3F3i = µ0ji (le 2ième groupe d'équations de Maxwell)

2. Vecteur Dans ℝ3 on a une base orthonormée (i,j,k) , donc un repère cartésien r = (x, y, z) ; r=xi+yj+zk A = = (A1, A2, A3) = (Ax , Ay , Az) ; A=Axi + Ayj + Azk x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z Ai = (A0, A1, A2, A3)

9

3. Matrice i = lig Aij , Aij , Aij avec { j = col Lij la matrice de Lorentz (Hendrik) et ℓij = (Lij)-1 l'inverse de Lij γ −γβ 0 0 −γβ γ 00 Lij = ( ) 0 0 10 0 0 01 γ γβ 0 0 γβ γ 00 ℓij = ( ) 0 0 10 0 0 01 où β =

V c

et γ =

1 √1−V²

, V=vitesse du repère R' par rapport

c²

àR x ′0 = γx 0 −γβx1 ′1 0 1 {x = −γβx +γx ′2 2 x =x x ′3 = x 3 système inverse x 0 = γx ′0 +γβx ′1 1 ′0 ′1 {x = γβx +γx 2 ′2 x =x x 3 = x ′3 ηij (êta) matrice de Minkowski , métrique plat

10

10 0 0 0−1 0 0 ηij = ( ) 0 0 −1 0 0 0 0 −1 ηij = diag(1,-1,-1,-1) La matrice du champ électromagnétique 0 −Ex /c −Ey /c −Ez /c E By x /c 0 −Bz F ij = (E /c B ) y 0 z −Bx Bx Ez /c −By 0 0 Ex /c Ey /c Ez /c −Ex /c 0 −Bz By Fij = (−E /c B ) y 0 −Bx z −Ez /c −By Bx 0 4. Dérivée ∂V ∂xi

= ∂i V où V(x0, x1, x2, x3)

∂ij = ∂i∂j = ∂2ij 1 c

∂0 = ∂t , ∂1 = ∂x , ∂2 = ∂y , ∂3 = ∂z exemples Fij = ∂iAj - ∂jAi = [∂iAj] ∂(k Fij) ≝ ∂k Fij + ∂i Fjk + ∂j Fki ;permutation circulaire (kij)

11

1 K 2

* Les mouvements pour la lumière On a l'équation de mouvement pour la lumière : K h2 r r²

ṙ 2 + (1 − )

− c 2 k² = 0

La potentielle effective pour la lumière est Veff =

h2 h2 GM − 2r² c²r3

141

et il y a un mouvement si 1 2 ṙ 2

= E0 − Veff ≥ 0 où E0 = c 2 k 2 /2

E0≥Veff

(a): La lumière venant de l'infini va spiraler puis finir en r=0 . (b): La lumière venant de l'infini va faire un mouvement circulaire r=3K/2 mais instable (max Veff) (c): La lumière venant de l'infini va finir par rebondir vers l'infini. Mouvement circulaire pour un photon : d²u 3GM +uu² = 0 dϕ² c²

1-

3 K 2r

=0

142

r=

3 K 2

la seule orbite possible !!

Trou noir de Schwazschild On veut savoir combien de temps une particule met pour aller au centre de trou noir dans le mouvement radial.

L'équation du mouvement est: K h2 r r²

ṙ 2 + (1 − ) dr dτ

K r

− c 2 k² = −c 2 (1 − )

K h2 r r²

( )² + (1 − )

= c 2 (k 2 − 1) +

pour un mouvement radial on a

dϕ dτ

c²K r

[4]

= 0 → h=0

de plus on considère que la particule est lachée depuis l'infini avec une vitesse nulle → k=1 en effet K dt

r→∞ ⟹ (1 − ) r

dτ

=k→

dt dτ

= k → (γ=k et v=0) → k=1

143

il reste: dr dτ

( )² =

c²K r

d'où dr dτ

c²K

= −√

r

on a le signe '-' parce que c'est un mouvement "entrant" , le signe '+' pour un mouvement "sortant" de l'astre. C'est une équation différentielle à variables séparées. −√r dr = c√K dτ −r1/2 dr = c√K dτ 2 3

[− r 3/2 ]rr0 = = c√K(τ − τ0 ) 2 3/2 (r 3 0

− r 3/2 ) = c√K(τ − τ0 )

on prend τ0 = 0 et r(0) = r0 τ=

2 3c√K

3/2

(r0

− r 3/2 )

2 r03 r3 √ τ= ( −√ ) 3c K K

144

On voit qu'on tombe dans le centre de trou noir (r=0) en un temps propre fini, donc on est sûr de mourir !!!

Rappel: le temps propre c'est le temps mesuré par une horloge "collée" sur la particule, c'est comme si on se met à cheval sur la particule avec notre montre au poignet. Note: P' a traversé la surface de Schwazschild R =

2GM c²

sans problème, il ne s'est même pas rendu compte !!

Voyons maintenant que se passe-t-il si on passe au temps "usuel" t, c'est-à-dire on va chercher r=r(t) ou t=t(r) . On a: dr dτ

c²K

= −√

r

K dt

(1 − ) r

dτ

= k=1

145

d'où dr dr dτ c²K K = == −√ (1 − ) dt dτ dt r r r r1/2 dr = −cdt r − K K1/2 r 1/2 K r r 1/2 dr = −cdt −1K K r K

dr K

si on pose x= → dx= K

ça donne

x 3/2 dx = −cdt x−1

il faut maintenant calculer ∫

x 3/2 dx x−1

allons y, on pose u = x1/2 → 2du = x-1/2dx x3/2

2u4

∫ x−1 dx =∫ u²−1 du puis on décompose en éléments simples u4 −1+1 = u2 −1 du

u2 + 1 − 1

1+u

1 1−u2

∫ 1−u2 = 2 ln| 1−u |

146

2K 3 u 3c

[

+

2K u c

K c

− ln|

1+u u0 |] = t 1−u u

t=

2K 3 2K K u0 − 1 u + 1 (u0 − u) + ln| (u0 − u3 ) + | 3c c c u0 + 1 u − 1

t=

2 r03 r3 2K r0 r (√ − √ ) + (√ − √ ) 3c K K c K K +

K √r0 /K − 1 √r/K + 1 ln| | c √r0 /K + 1 √r/K − 1

c'est horrible comme expression !!! On voit qu' il y a une singularité en r=K

Il y a quelque chose un peu étrange. Ici on voit que pour un observateur P très loin du trou noir la particule ne

147

traverse pas l'horizon, alors que pour un observateur P' (sur la particule) , la particule traverse l'horizon !! En fait il n'y a pas de contradition simplement on a utilisé un mauvais système de coordonnées (t,r,θ,ϕ) c'est tout !

* Pour un photon on a: K h² r r2

ṙ 2 + (1 − )

− c 2 k 2 = 0 , la lumière

Et comme le mouvement est radial → h=0 donc ṙ 2 = c 2 k 2 ṙ = ±ck le signe moins '-' = entrant, '+'=sortant or K dt r dσ

(1 − )

=k

d'où dr dr dt dr K = = k(1 − )−1 dσ dt dσ dt r dr K k(1 − )−1 = ±ck dt r dr K

1− r

= ±cdt [5]

148

on pose x=r/K → Kdx=dr Kxdx = ±cdt x−1 K

(x − 1 + 1)dx = ±cdt x−1

Kdx + K

dx = ±cdt x−1

[Kx]xx0 + K.[ln|x − 1|]xx0 = ±ct , on a choisi t0 = 0 et t(0) = r0 r K

[r]rr0 + K.[ln | − 1|]rr0 = ±ct r K

r + K.ln| − 1| + a0 = ±ct , où a0=constante Là aussi il y a une singularité en r=K de dt 1 =± K dr 1− r on trouve les rayons entrants et sortants K r

K r

K r

K -1⇒ r

* signe '+' : r>K ⇒ 1 > ⇒ 1-1 < 1- ⇒ 0< * signe '-' : r>K ⇒ 1 > ⇒ 1-1 >

donc pour un rayon entrant -ct .

0>

dt dr dt dr

⇒ sortant ⇒ entrant

149

r K

ct = a0 - r - K.ln| − 1| pour un rayon sortant +ct. r K

ct = a0 +r + K.ln| − 1| [6] Ces relations sont très importantes car elles nous permettent de faire un changement de coordonnées qui décrient la métrique beaucoup mieux que les coordonnées de Schwazschild (t,r,θ,ϕ) .

Diagramme Schwazschild Note : On peut retrouver [5] à partir de la métrique ds², avec ds=0, θ=π/2 et ϕ=constante (trajectoire radiale de la lumière) , en effet :

150

K r

ds² = (1 − ) c 2 dt 2 − K r

0 = (1 − ) c 2 dt 2 −

dr² K r

1−

− r²dθ² − r²dΩ²

dr² K

1− r

dt 1 =± K dr (1 − ) c r

2.COORDONNÉES EDDINGTON-FINKELSTEIN

On va faire un changement de coordonnées suivants : ct ′ = a0 − r (1) r { ct = a0 − r − K. ln | − 1| (2) K Ces coordonnées se nomment EF (Eddington-Finkelstein), (t',r,θ,ϕ) , voyons que vaut la métrique de Schwazchild en coordonnées EF . Pour ça on va utiliser la relation (2) r K

ct = a0 - r - K.ln| − 1| r

ct = ct' - K.ln| − 1| K

cdt =cdt' - K

1 dr r K −1 K

= cdt' -

K dr r K 1− r

151

K

c²dt² = c²dt'² - 2c r

dt′ dr

K 1− r

K r

K

+

( r )²dr² K

(1− r )²

K r

K

K r

(1 − )c²dt² = (1 − )c²dt'² - 2c dt ′ dr +

( r )²dr² K

(1− r )

d'autre part. K

( r )²dr² K

(1− r )

-

dr² K

(1− r )

K 2

=

( r ) −1 K

(1− r )

K

dr² =

K

( r −1)( r +1) K

(1− r )

K r

dr² = -( + 1)dr²

finalement la métrique de Schwazschild ds² en coordonnées Eddington-Finkelstein (t',r) est : K r

K r

K r

ds²=(1 − )c²dt'² - 2c dt ′ dr - ( + 1)dr²- r²dΩ² quand r=K il n'y a plus de singularité !!! Le coefficient de dt'² vaut zéro 0 quand r=K mais ce n'est pas grave.

152

Diagramme EF: décrit le tou noir On traverse l'horizon, et le cône de lumière tourne de plus en plus vers la gauche , et il n'y a donc aucune possibilité de sortir du trou noir !! Une fois traversé l'horizon tout tombe vers le centre de trou noir r=0, là il y a une vraie singularité. On peut faire le même manipulation pour un rayon sortant c'est-à-dire changer les coordonnées en EF' (l',r) cl′ = a0 + r (1′) r { ct = a0 + r + K. ln | − 1| (2′) K

153

On voit que la lumière sort de l'astre, une sorte de trou blanc !!!

Diagramme EF': décrit le tou blanc

3.COORDONNÉES KRUSKAL

Pour arriver aux coordonnées Kruskal on passe par plusieurs étables. * De (t,r) → (p,q) : A partir de [6] on forme 2 expressions suivantes :

154

r p = ct + r + K. ln | − 1| K { r q = ct − r − K. ln | − 1| K et voici quelques égalités utiles : 1

r

2

K

(q - p) = −r − K. ln | − 1| (1)

1 (p 2

r K

- q) = r + K. ln | − 1| (2)

1

(p + q) = ct (3)

2

On doit exprimer les (dp,dq) en fonctions des (dt,dr) dr

dr

Kdr r−K

dp = cdt + dr + K. r K = cdt+dr+ r−K = cdt+dr+ −1 K

K

Kdr rdr = cdt+ r−K r−K

dp = cdt+dr+

dp = cdt + dq = cdt -

dr K

1− r dr K

1− r

dp dq = c²dt² -

dr² K

(1− r )²

K

K

dr²

r

r

(1− r )

(1 − )dp dq = (1 − )c²dt² -

K

(4)

155

* De (p,q) → (a,b) : posons p

2K { a=e q b = −e−2K

On doit exprimer les (da,db) en fonctions des (dp,dq) 1 p e2K dp 2K { 1 −q db = e 2K dq 2K da =

1 p−q e 2K 4K²

da db = r

dpdq

r K

4K²e−K ( − 1) da db =dpdq r

4K²e−K (

K

) da db =dpdq

r−K

K3 − r 1 e K ( K) da r 1− r

4

K3 − r e Kda r

4

db =dpdq K

db =(1 − )dpdq (5) r

* De (a,b) → (v,u) : posons 2v = a + b { 2u = a − b On doit exprimer les (dv,du) en fonctions des (da,db) 2dv = da+db ⇒ 4dv² = da²+2da db +db²

156

2du = da - db ⇒ 4du² = da² -2da db +db² dv² - du² = da db (6) C'est la dernière étable, il faut maintenant exprimer (v,u) en fonction de (t,r), allons y: On a d'une part: 4v² = a²+2ab +b² 4u² = a² -2ab +b² p−q

v² - u² = ab =−e 2K r K

r

v² - u²=(1 − )eK et d'autre part : v+u =a { v−u=b p+q v+u a = = −e 2K v−u b ct v+u = eK u−v

Maintenant on peut définir les coordonnées de Kruskal (v,u) , par définition :

157

r r u2 − v 2 = ( − 1) eK (1) K { ct u+v = e K (2) u−v

(v,u)=coordonnées de Kruskal v=genre temps, u=genre espace. Il faut trouver la métrique ds² en coordonnées de Kruskal maintement. de (5), (6), (4) on trouve K3 − r e Kda r

4

K r

db =(1 − )dpdq

dv² - du² = da db ça donne K3 − r e K(dv²- du²) r

4

K r

=(1 − )dpdq

K3 − r e K(dv² - du²) - r²dΩ2 r

4

K r

= (1 − ) dpdq - r²dΩ2 = ds²

Finalement la métrique de Kruskal en (v,u) est ds² = 4

K3 − r e K r

(dv² - du²) - r²dΩ2 (3)

158

Diagramme Kruskal

Il n'est pas facille de décoder le diagramme de Kruskal, en effet il y a deux systèmes de coordonnées (t,r) et (v,u) sur le diagramme contrairement aux autres diagrammes il n'y a qu'un seul système de coordonnées .

159

Décodons le diagramme de Kruskal. Pour r * r=Cte ⇒ (1) ⇒ u²- v²= ±a² (a=constante) ⇒ hyperbole u2 a2

−

v2 a2

= ±1

* r=0 ⇒ (1) ⇒ u²- v²= -1 ⇒ hyperbole vertical * rK ⇒ (1) ⇒ u²- v²= a² ⇒ hyperbole

u2 a2

−

v2 a2

=1

Pour t t=Cte ⇒ (2) ⇒

u+v u−v

= C te ⇒

v u

= a ⇒ v = au ; droite passant

par origine et ct ct u+v = e K ⇒ u + v = (u − v)e K ⇒ u−v ct

lim (u − v)e K = 0 ⇒ v = −u

t→−∞

ct ct u+v = e K ⇒ (u + v)e− K = (u − v) ⇒ u−v ct

lim (u + v)e− K = 0 ⇒ v = u

t→∞

160

Pour les cônes de lumière , dans (3) on prend θ=ϕ=Cte (mouvement radial) et ds² = 0 (genre lumière) (3) ⇒ 0=dv² - du² ⇒ dv = ±du ⇒ v = ±u les cônes de la lumière sont ±45°

Et voilà, maintenant on est en mesure de comprendre le diagramme de Kruskal Le diagrame est divisé en 4 zones: A, A', B, B'. Regardons les cônes de la lumière dans chaque zone on trouve: 1. de A on peut entrer dans B, on ne peut pas aller ni dans A', ni dans B'. 2. de B on va obligatoirement au centre r=0 3. de A' on peut entrer dans B, on ne peut pas aller ni dans A, ni dans B'. 4. de B' on sort, rien ne rentre. La zone A est décrite par les coordonées de Schwazschild (t,r) à partir de ces coordonnées on fait un changement de coordonnées EF (t',r) et on arrive à la zone B qui est dans le trou noir (personne ne sort), mais on peut aussi fait un

161

autre changement de coordonnées EF' (l',r) on arrive à la zone B' qui est un trou blanc (personne ne rentre). Puis finalement on passe aux coordonnées de Krukal (v,u) là on a une région en plus A' "symétrique" de A, comme si A' est un univers parallèle à A. Les changements de coordonnées permettent de trouver de nouvelles zones, celà ressemble beaucoup au prolongement analytique d'une fonction.

Voyons de plus près ces zones Zone A : Les coordonnés de Schwazschild (t,r) -∞