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be8005 p2645 Spectrométrie deappliquée masse -- Premier Principe Thermodynamique principe. Énergie. Enthalpie et appareillage 10/01/2004 Date de publication : 12/09/2014 Par :
André LALLEMAND
Guy BOUCHOUX Ingénieur, Docteur ès sciences, Professeur des Universités à l'Institut national des sciences Professeur Paris XI (Orsay), École Polytechnique, DCMR, Palaiseau appliquées àdel’université Lyon
Michel SABLIER
Chargé de recherches au CNRS, École Polytechnique, DCMR, Palaiseau
Guy BOUCHOUX
Professeur à l’université Paris XI (Orsay), École Polytechnique, DCMR, Palaiseau
Michel SABLIER
Chargé de recherches au CNRS, École Polytechnique, DCMR, Palaiseau
Cet article fait partie de la base documentaire : Mesures - Analyseset énergétique Thermodynamique Dans le pack : Physique Mesures -énergétique Analyses Énergies et dans l’univers : Technolgies de l’information Cet article peut être traduit dans la langue de votre choix. Accédez au service Traduction à la demande dans votre espace « Mon compte ». (Service sur devis)
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Thermodynamique appliquée Premier principe. Énergie. Enthalpie par
André LALLEMAND Ingénieur, Docteur ès sciences Professeur des Universités à l’Institut national des sciences appliquées de Lyon
1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Définitions.................................................................................................. Système thermodynamique ....................................................................... État d’un système ........................................................................................ État d’équilibre et transformations d’un système..................................... Transformations réversibles et irréversibles ............................................. Représentation graphique des transformations .......................................
2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Premier principe....................................................................................... Principe d’équivalence ................................................................................ Principe de la conservation de l’énergie.................................................... Généralisation du premier principe de la thermodynamique ................. Propriétés des fonctions d’état................................................................... Différences entre travail, énergie mécanique échangée et variation d’énergie .................................................................................. 2.5.1 Cas d’un corps en chute libre ............................................................ 2.5.2 Changement d’altitude d’un objet..................................................... 2.5.3 Expérience de Joule ........................................................................... 2.5.4 Frottement d’un corps........................................................................
— — — — —
5 5 6 7 8
— — — — —
8 8 9 9 9
Étude des systèmes fermés .................................................................. Fluide globalement au repos ...................................................................... Fluides en mouvement permanent. Travaux des forces appliquées. Enthalpie....................................................................................................... 3.2.1 Expressions des travaux de forces quelconques............................. 3.2.2 Équation fondamentale de la dynamique ........................................ 3.2.3 Équations thermodynamiques. Enthalpie ........................................ 3.2.4 Compléments sur l’enthalpie.............................................................
— —
10 10
— — — — —
10 10 12 12 13
Étude des systèmes ouverts ................................................................. Bilan énergétique d’un système ouvert..................................................... Système ouvert en régime permanent. Bilan enthalpique ...................... Bilans d’énergie mécanique et d’énergie thermique (régime permanent).....................................................................................
— — —
13 13 14
—
15
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3. 3.1 3.2
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4. 4.1 4.2 4.3
BE 8 005 - 3 — 3 — 3 — 4 — 4 — 5
a thermodynamique est l’une des sciences fondamentales. Elle est applicable dans un très grand nombre de situations, que ce soit dans le domaine de la mécanique, celui de la physique ou celui de la chimie. Elle permet d’analyser les transformations de systèmes aussi divers que des moteurs ou des corps en réactions chimiques, voire même des êtres vivants, en relation avec leurs échanges de matière et d’énergie avec l’environnement. Plus particulièrement, il est possible d’affirmer que cette science est à la base de l’énergétique, puisqu’elle sert à décrire et à analyser le fonctionnement des systèmes énergétiques et d’en rechercher les fonctionnements optimisés. L’objectif des paragraphes qui lui sont consacrés dans cet article n’est pas d’en faire une présentation exhaustive, mais d’en décrire le formalisme utilisable pour analyser les problèmes en prise directe avec les systèmes énergétiques tels que les machines thermiques et les échangeurs de chaleur notamment, voire
L
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
leur accouplement. Cet objectif exclut, entre autres, les aspects chimiques de la thermodynamique pourtant utiles dans les études sur la combustion par exemple. Le lecteur qui s’intéresse à ces problèmes trouvera la présentation correspondante dans les articles « Thermodynamique chimique » du traité Génie des Procédés. Le premier principe de la thermodynamique est à la fois un principe d’équivalence et un principe de conservation. En effet, il stipule, d’une part, que toutes les énergies sont équivalentes sur le plan quantitatif, en particulier l’énergie thermique et l’énergie mécanique, d’autre part, que globalement l’énergie se conserve : elle ne peut ni être créée, ni être détruite, ce qui implique que tout échange d’énergie entre un système et son environnement doit se traduire par une variation en quantité égale de l’énergie contenue dans le système. En revanche ce principe autorise et permet d’étudier les transformations d’un type d’énergie en un autre type d’énergie à l’aide de systèmes particuliers que sont les machines électriques (moteur ou alternateur – énergie électrique/énergie mécanique), les machines thermiques (moteurs, turbines, machines frigorifiques, pompes à chaleur – énergie thermique/énergie mécanique ou électrique), etc. Par opposition au premier principe, le deuxième principe de la thermodynamique met en évidence une différence de qualité entre les diverses formes d’énergie. Après le rappel d’un certain nombre de définitions, indispensables à une bonne compréhension de l’exposé, cet article montre comment le principe de conservation de l’énergie découle du principe (plus ancien) d’équivalence et débouche sur un concept très large. Dans une troisième partie, on se concentre sur les transformations thermomécaniques des systèmes fermés (sans échange de matière avec l’environnement) et on s’attache, plus particulièrement, à associer des principes classiques en mécanique (principe de l’énergie cinétique) au principe de conservation de l’énergie. La notion d’enthalpie, capitale en matière de thermodynamique technique, est introduite. Enfin, la dernière partie traite des systèmes ouverts et des bilans d’énergie et d’enthalpie associés à ce concept qui est le fondement des études des systèmes thermiques.
Notations et symboles
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Symbole
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Unité
C
m
c
m · s–1
cp
J · kg–1 · K–1
d
J
Capacité thermique massique sous pression constante
h
J · kg–1
m
longueur
M, m
kg
Masse
ec
J · kg–1
Ed
J
Énergie dissipée
Ep
J
Énergie potentielle gravifique
ep
J · kg–1
Énergie potentielle gravifique massique
J J · kg–1
F
N
BE 8 005 − 2
N
Définition
g
Énergie cinétique Énergie cinétique massique
Énergie totale Énergie totale massique Force Force visqueuse, force due aux frottements
.
M
m·
s–2
H
Différentielle totale exacte
et
Unité
Vitesse
J
Et
Symbole
Charge du fluide
Ec
ƒ
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Définition
Notations et symboles
kg ·
Accélération de la pesanteur Enthalpie
s–1
n
Enthalpie massique
Débit massique Direction normale
P
Pa
Pression
P
N
Poids
Q
J
Chaleur ou énergie thermique échangée
Q
W
Puissance thermique
q
kg –1
Chaleur échangée par unité de masse
t
s
Temps
J
Travail d’une force
.
J·
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Notations et symboles Symbole
Unité
T
K
Température
T
N
Force de frottement
U
J
Énergie interne
u
J · kg –1
V
m3
v
m3 · kg –1
Wt
W
Puissance technique
W
J
Énergie mécanique échangée
wt
kg –1
Travail technique massique
x
m
Coordonnée selon la direction i
z
m
Altitude
Ω
m2
Aire d’une surface
.
J·
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Système (∑ )
B A
Milieu extérieur (ME)
C
Énergie interne massique Volume Volume massique
δ
Différentielle quelconque Différence
τ
J · kg–1
Énergie massique dissipée par les frottements
ρ
kg · m–3
Masse volumique
ϖ
N · m–3
Poids volumique
φ
N·m
Fonction potentielle
Liste des indices
tiwekacontentpdf_be8005
Frontière (F )
Définition
∆
1
État initial, entrée
2
État final, sortie
c
Contact
d
Distance
e
Extérieur
ƒ
Frottement
i
Intérieur, ouverture quelconque
p
À pression constante
rév
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
Figure 1 – Système quelconque avec sa frontière le séparant de son milieu extérieur
1.1 Système thermodynamique Un système thermodynamique ( ∑ ) est un corps, ou un ensemble de corps de masse déterminée, ou encore plus généralement une portion de l’Univers parfaitement déterminée, où se produisent les transformations à étudier (figure 1). Tout ce qui n’appartient pas au système est appelé milieu extérieur (ME). La frontière (F ) entre le système (∑) et le milieu extérieur (ME) peut être matérielle ou virtuelle. La thermodynamique étudie les transformations ou évolutions, qui ont lieu à l’intérieur du système, par l’intermédiaire d’un examen attentif des échanges d’énergie, et éventuellement de matière, sous quelque forme que ce soit (mécanique, thermique, chimique, électrique...), entre le système et le milieu extérieur. Selon la nature des échanges avec le milieu extérieur, on distingue trois types de systèmes : — échanges nuls : système isolé. Un excellent vase de Dewar fermé et contenant un fluide est un système isolé à condition qu’il soit au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme. Notons cependant qu’il est pratiquement impossible de réaliser des systèmes parfaitement isolés. Cette notion n’a ainsi qu’une valeur relative ; — échanges d’énergie seule : système fermé. Un moteur électrique, par exemple, peut être considéré comme tel ; — échanges d’énergie et de matière : système ouvert. Un être humain ou un liquide en ébullition sont des systèmes ouverts.
1.2 État d’un système L’état d’un système est défini par les valeurs d’un certain nombre de grandeurs mesurables dites variables ou paramètres thermodynamiques ou variables ou paramètres d’état (exemple : volume, température, pression, intensité, tension électrique, densité, indice de réfraction, viscosité, etc.).
Réversible
1. Définitions Comme toute discipline scientifique, la thermodynamique s’appuie sur un certain nombre de définitions précises. L’essentiel de ces définitions est rappelé dans ce paragraphe.
Il est évident qu’entre le nombre de paramètres relativement grand que l’on peut trouver pour définir l’état d’un système quelconque, il existe des liens. Il apparaît alors la notion de paramètres indépendants. Il suffit ainsi, pour définir strictement l’état du système de connaître ou de fixer ces paramètres indépendants. A priori, les paramètres indépendants peuvent être quelconques ; seul leur nombre est fixé pour un type de système dans une situation donnée. Ce nombre est la variance du système. Cependant, afin de simplifier au maximum les études à réaliser, le choix des paramètres indépendants doit être fait judicieusement.
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
Exemple : l’étude des transformations d’un fluide se fera en prenant a priori comme variables indépendantes et selon le type de problème à traiter : la pression et la température ou le volume et la température ou encore le volume et la pression. B
Dans beaucoup de problèmes classiques de thermodynamique technique, il n’y a que deux variables indépendantes. Cependant, cela n’est qu’un cas particulier et il peut en exister davantage selon le type de problème à résoudre. Exemple : dans le cas de l’analyse du comportement d’un solide soumis à des efforts mécaniques, on dénombre sept variables indépendantes : par exemple les six contraintes du tenseur des contraintes et la température.
a transformation cyclique
Exemple : si M est la masse du système de volume V, la masse spécifique, appelée dans ce cas masse volumique ρ est : M ρ = ------V
b transformation ouverte
Figure 2 – Transformation cyclique et transformation ouverte
●
Les variables qui définissent l’état d’un système peuvent être classées en deux catégories : — variables intensives : ce sont des grandeurs indépendantes de l’étendue du système ; par exemple, la température, la pression, la contrainte, le potentiel électrique, la vitesse, la viscosité, etc. Elles sont définies ponctuellement ; — variables extensives : ce sont des grandeurs proportionnelles à l’étendue du système ou à sa quantité ; par exemple, la masse, la longueur, le volume, la capacité thermique, etc. Ces variables donnent lieu à des variables spécifiques, c’est-à-dire rapportées à une quantité de système bien définie, comme l’unité de masse, l’unité de volume, etc.
A
A
Équilibre thermique
L’équilibre thermique d’un système exige l’égalité de la température de toutes les particules macroscopiques du système. Pour qu’un système possédant des zones à températures différentes soit en équilibre thermique, il faut que ces zones soient séparées par des parois parfaitement étanches à la chaleur, c’est-à-dire adiabatiques. ■ D’une façon générale, l’équilibre d’un système n’est atteint que lorsque toutes les variables intensives ont la même valeur en tout point du système. Tout gradient, associé à ces variables, crée un déséquilibre et un flux d’énergie. Cette notion est reprise lors de l’étude du deuxième principe de la thermodynamique. En résumé, toute transformation d’un système qui, en thermodynamique classique sera considérée comme le passage d’un état d’équilibre à un autre état d’équilibre, s’accompagne d’un échange d’énergie, voire de matière, avec le milieu extérieur.
Le volume massique est : 1 V v = --------- = -----ρ M
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Pour les variables intensives on utilisera toujours des lettres majuscules (par exemple : la pression P, la température T ). Les variables extensives seront aussi notées par des lettres majuscules (par exemple : le volume V, la masse M ). Pour ces mêmes variables, mais affectées à une quantité bien définie de système, dites encore spécifiques, on utilisera les lettres minuscules (exemple : la masse volumique ρ, la capacité thermique massique c, le volume massique v, etc.).
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1.3 État d’équilibre et transformations d’un système Un système est dit en état d’équilibre (EE) lorsqu’il ne se produit aucune modification du système au cours du temps. L’équilibre est stable si, après une évolution fortuite faible du système, celui-ci revient à l’équilibre spontanément sans intervention extérieure. En thermodynamique classique, on ne s’intéresse pratiquement qu’à ce type d’équilibre et aux échanges ayant lieu entre le système et le milieu extérieur lors du passage du système (∑ ) d’un état d’équilibre à un autre état d’équilibre.
Une transformation est dite cyclique ou fermée, si le système évolue d’un état d’équilibre A pour revenir dans ce même état à la fin de la transformation (figure 2). Une transformation est dite ouverte lorsque l’état d’équilibre final B est différent de l’état initial A (figure 2).
1.4 Transformations réversibles et irréversibles Soit une transformation réelle ouverte qui fait passer le système d’un état d’équilibre 1 à un état d’équilibre 2 (figure 3). Généralement les états successifs, par lesquels passe le système au cours de la transformation, tels que a et b, ne sont pas des états d’équilibre. Cependant, en thermodynamique, on utilise des transformations théoriques qui font passer le système de l’état 1 à l’état 2 par une succession d’états d’équilibre. Ces transformations sont dites transformations réversibles puisqu’on passe indifféremment d’un état à un état infiniment proche dans un sens ou dans l’autre avec des variations infiniment petites des paramètres d’état. Cela a comme corollaire qu’une transformation n’est totalement réversible que, si la transformation inverse peut être réalisée en passant rigoureusement par les mêmes états d’équilibre intermédiaires aussi bien pour le système que pour le milieu extérieur.
■ Exemples de conditions d’équilibre ●
Équilibre mécanique
Dans le cas d’un système solide indéformable, l’équilibre mécanique est réalisé si le torseur des efforts appliqués au solide est nul
R
= 0 et M 0 = 0 .
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De telles transformations ne peuvent avoir lieu que de manière infiniment lente. Contrairement à ce cas, on peut affirmer que toutes les transformations réelles sont irréversibles, car effectuées avec des déséquilibres plus ou moins importants pour avoir une cinétique de
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Transform
P
le
ation réel
a
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
2
b
A Transformation irréversible
1 Transform
ation réve
rsible
Transformation réversible
B
Figure 3 – Schématisation de deux transformations entre deux états d’équilibre 1 et 2
v
transformation non nulle. Cependant, comme nous le verrons aux paragraphes 2.2 et 2.4 avec la notion de fonctions d’état, le calcul de certaines fonctions relatives à des transformations irréversibles peut se faire à partir de transformations réversibles. Cela constitue l’intérêt pratique des transformations réversibles pour résoudre un grand nombre de problèmes. Dans la pratique, une transformation peut approcher la réversibilité si elle est effectuée aussi lentement que possible (puisque l’état d’équilibre doit être réalisé à tout moment) et si les frottements sont négligeables, et si les écarts de température, comme tous les gradients des variables intensives, restent faibles. En effet, les frottements constituent une cause essentielle d’irréversibilité car, quel que soit le sens de la transformation, leurs effets ne changent pas de signe. Exemple : dans le cas de la détente ou de la compression d’un gaz par un piston, les frottements produisent une élévation locale de température quel que soit le sens de la transformation. De même, comme cela sera souligné dans l’étude du deuxième principe de la thermodynamique, tous les gradients, notamment thermiques, sont la cause d’un transfert dans un sens imposé, donc sont le signe d’irréversibilités.
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1.5 Représentation graphique des transformations
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Habituellement, on représente les transformations subies par un système sur un diagramme. Ces diagrammes sont très diversifiés selon les coordonnées choisies qui, d’ailleurs et généralement, correspondent aux variables d’état indépendantes. Pour de nombreux systèmes thermodynamiques, il n’y a que deux variables indépendantes ; le diagramme est binaire et donne lieu à une représentation bidimensionnelle. D’autres systèmes nécessitent trois variables indépendantes : le diagramme est ternaire... Dans le cas d’un fluide pur homogène, système à deux variables indépendantes, le diagramme peut se construire en prenant comme coordonnées la pression P et le volume massique v (figure 4). C’est le diagramme de Clapeyron. Dans un tel diagramme, les états d’équilibre correspondent à un point figuratif. Une transformation réversible peut être suivie sur le diagramme et être représentée par une ligne continue puisqu’elle correspond à une succession d’états d’équilibre infiniment voisins les uns des autres. En revanche, il n’est pas possible de représenter sur un tel diagramme une transformation irréversible puisqu’une telle transformation ne nécessite pas des paramètres identiques dans tout le système à un instant donné. Seuls les états d’équilibre initial A et final B peuvent être représentés. On conviendra cependant de relier A et B par une ligne en tiretés sachant bien que ce trajet n’a aucune signification réelle.
Figure 4 – Représentation d’une transformation quelconque et d’une transformation réversible
2. Premier principe Historiquement, le premier principe de la thermodynamique a été appelé principe d’équivalence car il stipulait l’équivalence entre deux formes d’énergie : l’énergie mécanique et l’énergie thermique. Plus généralement, ce principe est encore celui de la conservation de l’énergie. En mécanique rationnelle par exemple, ce principe est utilisé sous une forme particulière. Ainsi, si un mobile n’est soumis qu’à un champ de forces dérivant d’un potentiel, la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique est constante. Il y a conservation de l’énergie globale.
2.1 Principe d’équivalence Énoncé du principe d’équivalence : si, au cours d’une transformation cyclique, un système quelconque ne peut échanger avec le milieu extérieur que du travail et de la chaleur, la somme du travail et de la chaleur reçus par le système est nulle. Dans cet énoncé classique, le terme « échanger » a une très grande importance. En effet, le « travail » n’est pas le travail effectué par les forces appliquées au système, mais en réalité l’énergie mécanique échangée entre le système et le milieu extérieur. Ces deux notions sont parfois différentes. Exemple : considérons un système constitué par une personne qui monte des escaliers. Cette personne effectue un travail mais elle n’échange aucune énergie mécanique avec le milieu extérieur. Il suffit pour s’en convaincre de constater que le milieu extérieur n’a fourni, ni reçu aucune énergie mécanique au cours de l’ascension de cette personne. Ce point étant précisé, si on note par W l’énergie mécanique échangée (souvent appelée travail par abus de langage) et par Q la quantité de chaleur ou énergie thermique échangée entre le système et le milieu extérieur, au cours du cycle, le principe d’équivalence s’exprime par : W+Q=0
(1)
Ce principe montre bien l’équivalence entre la chaleur et le travail puisque si, au cours du cycle, le système a reçu par exemple du travail (ou de l’énergie mécanique), il faut qu’il cède une même quantité de chaleur (énergie thermique) au milieu extérieur.
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
Pour les applications numériques de l’équation (1), travail et chaleur doivent être exprimés dans la même unité (joule par exemple). Si, comme il est courant de le faire, la chaleur est exprimée en unités thermiques, il y a lieu de modifier cette équation : W + JQ = 0
y B
(2)
2
où J = 4,185 J/cal, si W est en joules (J) et Q en calories (cal), ou W est en kJ et Q en mth.
1
A
1 calorie (cal) = 4,185 joules (J)
x
1 millithermie (mth) = 1 000 cal = 1 kcal = 4,185 kJ Par convention, en thermodynamique : Q et W sont positifs si ces énergies sont reçues par le système, Q et W sont négatifs si ces énergies sont fournies par le système.
Figure 5 – Transformations ouvertes ou cycliques réversibles ou réelles
De ces deux relations, on déduit :
2.2 Principe de la conservation de l’énergie
B
Le principe d’équivalence, traduit par la relation (1), ne s’applique pas aux transformations ouvertes. Exemple : considérons une transformation ouverte qui fait passer de l’eau d’un état A, température θA , à un état B, température θB (figure 5). Cette transformation peut être réalisée en apportant uniquement de la chaleur par chauffage, sans aucune contrepartie mécanique. Dans ce cas, Q est positif et W est nul, on a nécessairement W + Q ≠ 0. Ainsi, si un système quelconque passe d’un état A à un état B selon un trajet réversible ou irréversible le bilan énergétique (si les seules énergies échangées sont de type thermique et/ou mécanique) s’écrit : B
B
WA+ QA≠0
B
— soit par transformation d’une énergie mécanique en chaleur par frottements à l’intérieur du système (par exemple : hélice action-
B
B
trajet 1
trajet 2
(6)
B
B
cas les quantités W A et Q A sont différentes, par contre la somme B
( W + Q ) A est une constante : elle ne dépend pas du chemin suivi mais seulement de l’état initial A et de l’état final B. Elle représente la variation entre A et B d’une fonction d’état notée U : l’énergie interne. On écrit : B
W + Q A
= UB – UA
(7)
Ou plus généralement : W + Q = ∆U avec
W
Q ∆U
(8)
énergie mécanique échangée entre le système (∑ ) et son milieu extérieur (ME) entre l’état initial et l’état final de la transformation, énergie thermique échangée entre ∑ et ME au cours de la même transformation, variation de l’énergie interne du système (∑ ) entre ces mêmes états.
L’équation (8), issue du principe d’équivalence entre la chaleur et le travail lors d’une transformation cyclique traduit le principe de la conservation de l’énergie.
née par un moteur placé à l’extérieur du bain). Dans ce cas, W A est positif et l’extérieur.
B QA
négatif du fait des échanges thermiques avec
Supposons maintenant que la transformation B → A soit possible (figure 5). À la transformation cyclique A → B → A, on peut appliquer le principe d’équivalence. La relation (1) s’écrit : B
B
A
Énoncé du principe de la conservation d’énergie : la somme des énergies mécanique et thermique reçues du milieu extérieur (ou fournies au milieu extérieur) par un système au cours d’une transformation quelconque (réversible ou irréversible) est égale à la variation de son énergie interne.
A
WA+ QA + WB+ QB = 0
(4)
trajet 1
Comme on l’a souligné, la somme W + Q est attachée à une fonction d’état. Il n’en est pas de même pour chacun des deux terB
Considérons une nouvelle transformation cyclique, comportant une transformation A → B différente de la précédente (trajet 2 – figure 5) et la même transformation de retour B → A. On a : B WA
+
B QA
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Q A > 0 et W A = 0
tiwekacontentpdf_be8005
B
Ainsi, on constate que, quel que soit le processus utilisé ou le chemin suivi pour passer d’un état A à un état B, si dans chaque
(3)
Dans la plupart des cas, il y a plusieurs possibilités pour passer de l’état d’équilibre A à l’état d’équilibre B. Ainsi, dans l’exemple de la transformation précédente (chauffage de l’eau), le passage de A à B peut se faire : — soit par chauffage direct : B
B
WA+ QA = WA+ QA
trajet 2
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+
A WB+
A QB
= 0
(5)
B
mes pris séparément. Ainsi W A et Q A dépendent du chemin suivi par la transformation et si : B
W + Q A
= 0
on a en général : B
WA≠0
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Ce résultat est utilisé dans toutes les machines thermiques. En effet, comme beaucoup de ces installations effectuent des transformations cycliques, si W était attaché à une fonction d’état, le travail produit ne pourrait être que nul, ce qui, bien évidemment, n’est pas le cas. Physiquement, l’énergie interne d’un système représente, à l’échelle microscopique, la somme de toutes les formes d’énergie, cinétique et potentielle, attachées aux molécules (ou aux atomes) du système : — énergie cinétique de translation ; — énergie cinétique de rotation ; — énergie cinétique de vibration ; — énergie potentielle d’interaction moléculaire ou atomique. Cette énergie interne, qui manifestement est une grandeur extensive, dépend très fortement de la température, mais dans le cas général, n’est pas fonction que de la température. La variation de l’énergie interne d’un système quelconque est due à des modifications plus ou moins complexes de sa structure interne. Pour la thermodynamique classique qui ne s’intéresse qu’à l’état macroscopique des choses, l’énergie interne représente une entité indivisible, analogue à une énergie potentielle propre à la structure du système. Comme pour toute grandeur extensive, on utilisera souvent sa valeur spécifique u qui est l’énergie interne massique. Si un système est isolé, aucun n’échange d’énergie n’est possible : W=Q=0 D’après l’équation (8), l’énergie interne du système ne peut pas évoluer : ∆U = 0 Ainsi, le premier principe indique que, pour un système isolé, l’énergie interne ne peut pas varier. Il s’agit donc bien d’un principe de conservation de l’énergie qui exclut le mouvement perpétuel de première espèce. S’il existait, ce phénomène permettrait à une machine (système) de fournir indéfiniment du travail sans emprunter une autre forme d’énergie au milieu extérieur. En effet : = – W = Q – ( UB – UA )
Le système ne peut fournir du travail qu’au détriment de son énergie interne. Le fonctionnement d’une telle machine ne peut évidemment pas être éternel. ■ Cas des transformations infiniment petites
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Dans ce cas, on écrit l’équation (8) sous forme différentielle.
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Cependant, afin de différencier les variations des fonctions d’état de celles des quantités qui ne le sont pas (telles W ou Q), les premières grandeurs sont précédées d’un « d » et on utilise un « δ » pour les secondes. Ainsi, on écrit :
δW + δQ = dU
(9)
dU, correspondant à la variation d’une fonction d’état, est une différentielle totale exacte. Cela est très important pour la résolution de certains problèmes en thermodynamique car, à l’équation (9), ce fait permet d’ajouter une autre relation mathématique. En général, U est fonction de plusieurs variables indépendantes, très souvent deux. Supposons que U ne soit effectivement fonction que de deux variables x 1 et x 2 : U = f (x 1, x 2) ∂U ∂U dU = -------------- d x 1 + -------------- d x 2 = a 1 d x 1 + a 2 d x 2 ∂x 1 ∂x 2
Pour que U soit une fonction d’état ou, ce qui est équivalent, dU une différentielle totale exacte, il faut et il suffit que : ∂a 1 ∂a 2 ∂2 U ∂2 U -------------------------- = -------------------------- ou -------------- = ------------∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2
(10)
Dans certaines transformations particulières, le travail et la chaleur sont associés à des fonctions d’état : — transformation adiabatique : δQ = 0. Le travail échangé correspond alors à une variation de fonction d’état : dW = dU — transformation sans échange de travail mécanique : W = 0. C’est alors la chaleur qui correspond à une variation de fonction d’état : dQ = dU
2.3 Généralisation du premier principe de la thermodynamique Pour une transformation cyclique, le principe d’équivalence, énoncé sous la forme W + Q = 0, est valable à condition que les seules formes d’énergie échangée avec le milieu extérieur soient de nature mécanique et/ou thermique. Mais il peut y avoir d’autres formes d’énergie échangée. Exemple : — l’énergie électrique : c’est le cas des moteurs électriques considérés comme système thermodynamique ; — l’énergie lumineuse : radiomètre ; — l’énergie nucléaire, etc. Dans ces conditions, le principe d’équivalence s’écrit : W + Q + e + + n + ....... = 0 avec
si Q = 0 → = – ( U B – U A )
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
W
l’énergie mécanique échangée,
Q
l’énergie thermique,
e
l’énergie électrique,
l’énergie lumineuse,
n
l’énergie nucléaire.
(11)
Dans le cas d’une transformation ouverte, l’énergie interne du système évolue. Si on conserve à l’énergie interne la signification physique donnée précédemment, il faut tenir compte, dans l’évolution du système, de la variation d’autres formes d’énergie propres au système telles que : — l’énergie potentielle externe due à la gravitation terrestre (l’énergie interne étant également une énergie potentielle, il convient de préciser externe pour l’énergie potentielle gravifique). Elle varie lorsque le système change de position par rapport à la verticale du lieu où il se trouve (altitude) ; — l’énergie électrique. Elle provient par exemple d’une variation de la charge électrique dans un condensateur ; — l’énergie cinétique externe. Elle est due à un mouvement d’ensemble du système, mais ne tient pas compte de l’énergie cinétique individuelle des molécules qui est comptabilisée dans l’énergie interne ; — l’énergie nucléaire ; — l’énergie magnétique, etc. Énoncé du premier principe dans sa généralité : l’énergie totale d’un système quelconque ne peut évoluer que si ce système échange de l’énergie sous quelque forme que ce soit avec le milieu extérieur.
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BE 8 005 − 7
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
Ce qui s’écrit : W + Q + e + ...... = ∆U + ∆Ep + ∆Ec + ∆Ee + ... avec
W Q e ∆U ∆ Ep ∆ Ec ∆Ee
(12)
énergie mécanique échangée, énergie thermique échangée, énergie électrique échangée, variation d’énergie interne, variation d’énergie potentielle externe = Mg ∆ z (avec M la masse du système, g l’accélération de la pesanteur, z l’altitude à laquelle se trouve le système), variation d’énergie cinétique externe = M ∆ c 2 / 2 (avec c la vitesse du système), variation d’énergie électrique.
Le membre de gauche de l’équation (12) correspond à l’énergie échangée, entre ∑ et ME, le membre de droite à la variation de l’énergie totale de ∑. Il est à noter que, dans le membre de gauche de l’équation (12), les différents termes ne sont généralement pas des fonctions d’état alors que ceux du membre de droite correspondent toujours à des variations de fonctions d’état. Pour un système thermomécanique évoluant entre un état 1 et un état 2, l’équation (12) se simplifie. Elle devient : W 12 + Q 12 = ∆U 12 + ∆Ep12 + ∆Ec12 = ∆Et12
(13)
avec Et = U + Ec + Ep l’énergie totale du système (∑ ). Pour l’unité de masse de système, on écrit : w 12 + q 12 = ∆u 12 + ∆ep12 + ∆ec 12 = ∆et 12
(14)
et = u + (c 2/2) + gz
(15)
avec :
Pour une transformation élémentaire : δw + δq = du + dep + dec = det
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Comme leur nom le rappelle, les fonctions d’état correspondent à des grandeurs physiques qui ne dépendent que de l’état du système considéré, c’est-à-dire des variables (ou paramètres) caractérisant l’état d’un système, que celles-ci soient intensives ou extensives. Ainsi, par exemple les fonctions d’état rencontrées dans les problèmes courant d’énergétique seront fonctions de variables comme : la température, la pression, le volume, la vitesse, la position, etc. Comme cela a été souligné dans le paragraphe 1.2, la définition des fonctions d’état se fera à partir de variables indépendantes seulement. Il y aura donc lieu, pour tout type de problème, de déterminer la variance du système puis de choisir les variables indépendantes les plus adaptées à la résolution du problème considéré. De cette caractéristique, il découle (comme cela a déjà été souligné dans les paragraphes 1.4 et 2.2) que la variation d’une fonction d’état au cours d’une évolution du système d’un état défini 1 à un autre état défini 2 ne dépend pas du chemin suivi, c’est-à-dire de la manière dont le système passe de l’état 1 à l’état 2. Cette propriété capitale est utilisée de manière courante en thermodynamique. En effet, dans la plupart des cas, le calcul des variations de fonctions d’état se fera à partir de transformations hypothétiques (réversibles) pour remplacer le calcul impossible à faire (ou pour le moins plus délicat) avec les transformations réelles associées (même état initial et même état final). Par ailleurs, il est aussi important de noter que, en pratique, seules les variations des fonctions d’état seront mises en œuvre. Ainsi, la connaissance de la valeur de référence d’une fonction d’état n’a aucune importance. Elle pourra être prise arbitrairement.
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2.5 Différences entre travail, énergie mécanique échangée et variation d’énergie L’une des premières difficultés en thermodynamique provient de la différenciation qu’il convient de faire entre les divers termes énergétiques de type mécanique qui sont, d’une manière générale, des travaux de forces. En effet, il est essentiel de bien classer chaque énergie soit dans le cadre des énergies mécaniques échangées entre le système (∑ ) et son milieu extérieur (ME), soit parmi les facteurs qui contribuent à la variation de l’énergie totale du système. Lorsqu’une difficulté surgit dans cette classification, elle peut souvent être résolue en étudiant l’évolution du milieu extérieur au lieu de celle du système. Quelques exemples d’attribution du travail des forces appliquées au système soit à l’énergie échangée, soit à la variation d’énergie totale du système sont donnés ci-dessous.
2.5.1 Cas d’un corps en chute libre (16)
2.4 Propriétés des fonctions d’état
BE 8 005 − 8
Il conviendra seulement dans le calcul de la variation de la fonction d’état considérée de conserver la valeur de référence choisie et de prendre en compte l’intégralité des phénomènes qui se déroulent au cours de la transformation, notamment par exemple, les changements de phases (au cours d’une évaporation par exemple) ou de structure et les changements de nature chimique (cas d’une combustion). Dans certains cas, on utilise des fonctions d’état qui dépendent d’autres fonctions d’état (c’est le cas de l’enthalpie qui sera définie au paragraphe 3.2). Dans ce cas, la référence de l’une des fonctions d’état doit bien évidemment prendre en compte la référence de l’autre fonction d’état.
Soit un système particulier (∑) constitué par un corps de poids P en chute libre (figure 6). Pour une telle transformation (changement de position du système), le milieu extérieur (ME) n’échange aucune énergie avec ∑. En effet, l’environnement du corps ne subit aucun déplacement (au moins si on considère un référentiel lié à la Terre). Le travail de la force P ne correspond donc pas à de l’énergie mécanique échangée entre le système et son milieu extérieur. Ce travail intervient dans la variation d’énergie potentielle P ∆z. Le premier principe s’écrit (équation (13)) : 0 = ∆Ec + ∆Ep On retrouve bien l’un des théorèmes de base de la mécanique rationnelle. Il convient cependant de remarquer que cette écriture provient de notre concept de « terrien » qui suppose la Terre immobile. En réalité, la chute du corps entraîne un déplacement (extrêmement petit) du système « Terre » (le centre de gravité de l’ensemble Terre-corps devant rester fixe). Dans cette réalité, il y a bien échange d’énergie entre la Terre et le corps, mais alors, la notion d’énergie potentielle n’a plus de sens. L’équation a une autre écriture, mais le résultat, bien évidemment, demeure le même.
P
Figure 6 – Corps en chute libre soumis à son poids P
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
(le travail du poids P ∆z représente encore ici la variation d’énergie potentielle ∆Ep du système). ■ Le système Σ est constitué par la totalité du dispositif moins le poids suspendu
∆z
Le poids qui appartient au milieu extérieur (ME), exerce un effort sur le système, donc fournit du travail qui est récupéré par le système. Il y a bien, dans ce cas échange d’énergie entre le milieu extérieur et le système. On peut écrire :
P
W = – P ∆z Figure 7 – Corps de poids P déplacé vers une altitude supérieure
W = ∆U + ∆Ec
et :
(18)
(la variation d’énergie potentielle du système est nulle). Comme ∆Ep (équation (17)) est équivalent à – W (équation (18)), les deux solutions conduisent évidemment au même résultat.
2.5.4 Frottement d’un corps Soit un corps solide animé d’un mouvement rectiligne uniforme sur un plan (figure 9). Les forces appliquées au système (solide seul) sont : Calorimètre
— la force de traction F ; — le poids du corps P (non représenté) ; — la réaction du plan qui se décompose en une composante
P
normale (non représentée) et une composante tangentielle ƒ (force due aux frottements). Le mouvement étant rectiligne et uniforme, le torseur des forces appliquées doit être nul, en particulier
Figure 8 – Expérience de Joule
ƒ = – F . La force de traction F et la force due aux frottements ƒ dont les points d’application sur le système se déplacent, effectuent un travail (figure 9b) F dx, d’une part, et – ƒ dx = – F dx, d’autre part.
2.5.2 Changement d’altitude d’un objet Soit un corps de poids P qui passe d’une altitude 0 (état 1) à une altitude ∆z > 0 (état 2) (figure 7). Ce déplacement nécessite l’intervention du milieu extérieur qui échange avec le corps une énergie : ∆W = P ∆z
Mais, seul le travail de la force F est à compter au titre de l’énergie mécanique échangée puisque le plan sur lequel s’exerce, par réciprocité, la force de frottement, est fixe (pas d’échange). Alors : δW = F dx Le premier principe s’écrit : F dx + δQ = ∆U
La variation d’énergie cinétique étant nulle (corps immobile dans l’état 2 comme dans l’état 1), le premier principe s’écrit ici :
Si la température du système est constante, ∆U = 0, on en déduit
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P ∆z = ∆Ep
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(19)
que le travail effectué par la force ƒ est dissipé sous forme de chaleur : δQ = – ƒdx
2.5.3 Expérience de Joule Pour montrer l’équivalence entre chaleur et travail, Joule fit une expérience au moyen de l’installation schématisée sur la figure 8. On élève la température de l’eau d’un calorimètre en fournissant du travail : les pales d’un agitateur sont mises et maintenues en mouvement par la chute d’un corps de poids P suspendu à un câble.
Ce résultat est conforme à l’observation : les frottements « produisent » de la chaleur. On dit que l’énergie mécanique des frottements est « dissipée » en chaleur vers le milieu extérieur. On note aussi, selon la relation (19) que les frottements peuvent élever l’énergie interne du système, donc sa température. Ce résultat est aussi du domaine des observations courantes.
L’expression du premier principe sera différente selon le système considéré. ■ Le système Σ est constitué par la totalité du dispositif
0 = ∆U + ∆Ep + ∆Ec
F
F
Dans ce cas, le milieu extérieur ne fournit aucun travail : il ne peut donc pas y avoir d’échange d’énergie mécanique (W = 0). En supposant que l’ensemble est adiabatique (on néglige les frottements au niveau des poulies), on a : (17)
a
f
b
Figure 9 – Frottement d’un corps sur un plan
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
3. Étude des systèmes fermés (ME)
Une des applications de la thermodynamique est l’étude de la transformation d’énergie thermique en énergie mécanique (ou vice versa) au cours de transformations cycliques d’un système fermé. Dans le cas d’une transformation ouverte d’un système fermé, ce sont les relations entre les échanges énergétiques et les variations des fonctions d’état qui sont analysées. En pratique, dans les systèmes énergétiques, ces transformations ont lieu par l’intermédiaire d’un fluide compressible ou incompressible (ou réputé comme tel). C’est cette masse de fluide qui constitue le système fermé à étudier.
P (Σ ) ( Σ' )
Pe A
α dF dΩ d
n A'
Figure 10 – Déplacement de la frontière d’un système. Expression de l’énergie mécanique échangée
3.1 Fluide globalement au repos Considérons un fluide (∑ ), limité par une frontière quelconque et dont le volume évolue de V à V ′ (figure 10). C’est le cas par exemple d’un fluide retenu dans un capsulisme, qui est un mécanisme étanche réalisant des volumes variables (système cylindre-piston) L’énergie mécanique échangée entre ce système et le milieu extérieur correspond à l’opposé du travail des forces de pression du fluide contre la frontière pendant la variation de volume. La force s’exerçant sur l’élément de surface d Ω est :
3.2 Fluides en mouvement permanent. Travaux des forces appliquées. Enthalpie On a déjà examiné la différence qu’il peut y avoir entre le travail d’une force et l’énergie mécanique échangée entre un système (∑ ) et son milieu extérieur (ME). Dans ce paragraphe, on se propose de généraliser cette étude.
dF = P d Ω n Au cours de la transformation du fluide, le point A se déplace en A′, après avoir parcouru la distance d . Ce déplacement entraîne, à ce niveau, un échange d’énergie mécanique entre ∑ et ME égal à (compte tenu des conventions de signe) :
Afin de préserver la différence entre travail et énergie mécanique échangée (qui contient toujours un travail), le travail d’une force quelconque sera noté par , alors qu’il sera noté par W lorsque l’énergie associée correspond à une énergie mécanique échangée.
δ 2 W = – P d cos α d Ω
3.2.1 Expressions des travaux de forces quelconques
Pour l’ensemble de la surface, le travail est :
On classe les forces appliquées à un système (∑ ) en forces intérieures et forces extérieures. Examinons le travail associé à ces deux types de forces.
δW = – P d cos α d Ω Si la pression P est uniforme dans le système, on a :
δW = – P d cos α d Ω = – P dV
3.2.1.1 Travaux des forces intérieures (20) Les forces intérieures d’un système quelconque (solide ou fluide) sont de deux types :
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avec dV la variation du volume de fluide.
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En fait, ce résultat n’est valable que pour une transformation réversible où la pression est identique en tout point du système. Dans ces conditions, l’expression du premier principe est : dU = (δQ)rév – P dV
(21)
Pour une transformation irréversible, cette équation n’est généralement pas valable car la pression P du système est inconnue (elle diffère d’un point à l’autre du système) et que les frottements internes induisent la présence d’un terme complémentaire (voir paragraphe 3.2.4). Mais, si le milieu extérieur est à une pression Pe constante, on peut écrire : δW = – Pe dV
(22)
Ces expressions ne sont valables que si le fluide est « globalement au repos » et pratiquement utilisables dans le seul cas des transformations réversibles. L’équation (21) est la forme la plus connue du premier principe. En particulier, c’est une équation de ce type qui est utilisée lors de la détente ou de la compression d’un fluide dans une machine à piston.
BE 8 005 − 10 Ce document a été délivré pour le compte de 7200092269 - cerist // 193.194.76.5
— forces élastiques (ou de cohésion) ou forces de pression ; — forces de viscosité ou de frottement interne. Dans le cas d’un fluide (qui constitue le système thermodynamique le plus utilisé techniquement), les forces élastiques sont remplacées par les forces développées par la pression P du fluide. Elles s’exercent normalement aux surfaces dΩ considérées. Comme cela a été mentionné dans le paragraphe 3.1, les travaux de ces forces sont de la forme : δ 2 = P d Ω d
(23)
avec d le déplacement de la surface dans le sens de sa normale extérieure. À l’intérieur même du système la pression s’exerce des deux côtés de la surface considérée et pour chacune des deux forces d est alors positif et négatif respectivement, ce qui donne un travail global nul. Par contre, à la frontière entre ∑ et ME, la pression n’est à considérer que du côté intérieur. Ainsi tout élément de surface soumis à cette pression donne lieu à un travail conforme à l’expression (23). Pour la totalité de la surface frontière, le passage
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
T (1)
(ME)
(2)
(ME)
F
(Σ )
N
(F )
Σ
Figure 11 – Évolution de la frontière (F) d’un système en mouvement
d’une position (1) à une position (2) (figure 11) correspond à un travail : ip =
2
P dV
(24)
1
Σ
Figure 12 – Forces de contact entre un système et son milieu extérieur
ME) et qui peut être décomposée en deux forces orthogonales : N et T . Cette dernière correspond à la force de frottement définie par la relation : T=ƒN
force de viscosité et N est dû à la pression. On peut alors considérer deux cas.
– iƒ
avec P ) aura évolué en P Σ′ par rapport à ME. La vitesse de déplace-
i =
2
1
P dV – iƒ
avec ƒ le coefficient de frottement entre les matériaux constituant le système (∑ ) et le milieu extérieur (ME). Dans le cas où le système est un fluide, T est simplement la
■ Si l’on suppose que le milieu extérieur en contact avec le système est immobile et qu’il y a glissement entre les deux corps, la position du point P ∑ appartenant au corps ∑ et qui était en contact avec le point P ME de ME à l’instant t (ces deux points étant confondus alors
ment relative étant notée par V g (vitesse de glissement), la force de frottement T appliquée à ∑ a effectué le travail :
(25)
δ eƒ = – TV g d t
(26)
δ eƒ = F V g dt
(27)
Remarque : dans le cas d’un système solide, il y aurait lieu de considérer les forces élastiques d’interaction entre particules voisines. Mise à part la différence de signe, l’étude du travail de telles forces est similaire à celle du travail des forces de viscosité.
ou encore :
3.2.1.2 Travaux de forces extérieures
On obtient alors le travail total de ce type de force par intégration de ces équations. Ce travail, toujours négatif sera noté :
Les forces extérieures, qui ont une action sur les systèmes, sont Ce document a été délivré pour le compte de 7200092269 - cerist // 193.194.76.5
P'
Les forces de viscosité (voir l’article [BE 8151] Écoulement des fluides. Étude physique et cinématique ) sont produites par le déplacement relatif des particules d’un système ou plus exactement par la vitesse de ce déplacement relatif. Leur sens étant toujours opposé à celui du déplacement, le travail produit par de telles forces est toujours négatif. De plus, leur origine étant due au déplacement relatif de deux points quelconques à l’intérieur du système, le déplacement d’une force ne sera jamais équivalent au déplacement de la force adjacente. Il en résulte que, contrairement aux travaux des forces de pression, les travaux des forces intérieures de viscosité ont une résultante non nulle. Compte tenu du caractère négatif du travail de ces forces, cette résultante sera notée :
Au total, les forces intérieures produisent un travail résultant donné par la relation :
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P
eƒ = – eƒ
soit des forces de contact Fc , soit des actions à distance Fd . 3.2.1.2.1 Forces de contact Ce type de forces contient les forces de frottement extérieures. On notera, a priori : — par c le travail résultant de toutes les forces de contact qui agissent sur le système hormis les forces de frottement ; — par eƒ le travail des forces de frottement au niveau des contacts. Ce dernier travail est soit nul, soit négatif, soit positif. Il est nul lorsqu’il y a frottement sans glissement (cas le plus fréquent lorsque le contact a lieu avec une surface matérielle au niveau d’un élément de frontière immobile). Lorsqu’il y a glissement ou déplacement de la surface frontière (matérielle en général), on peut évaluer eƒ de la manière suivante. Considérons deux corps ∑ et ME en contact en un point P (figure 12). L’interaction entre ces deux corps est caractérisée par la force F que ME exerce sur ∑ (évidemment, ∑ exerce – F sur
■ Si l’on suppose qu’il n’y a pas de glissement du fluide, mais que le milieu extérieur se déplace, à l’endroit du contact avec une vitesse V d d’orientation quelconque par rapport à T , dont le sens est défini par le mouvement relatif du fluide par rapport au support matériel, le travail de T est donné par une relation analogue à (27) dans laquelle on doit conserver le produit scalaire, le travail pouvant être positif ou négatif selon le signe de ce produit scalaire :
δ eƒ = T V d dt
(28)
Comme ces forces de frottement à glissement nul, mais à déplacement dû au milieu extérieur agissent, sur le plan du travail, comme d’autres forces de contact, leur travail, qui correspond à un échange d’énergie entre le système et le milieu extérieur, sera, dans la suite, compté dans la globalité de c .
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
3.2.1.2.2 Forces à distance Les actions à distance, ou forces de champ, sont en pratique fonction d’un potentiel φ sous la forme : 1
Fd = – grad φ
1
Wt
1'
2
2
c1
Dans la plupart des applications techniques le potentiel à considérer est celui de la gravitation terrestre :
P1
2' c2
P2
φ = Mg z z1
avec z l’altitude du lieu.
∫ δQ
Alors, le travail lié à ce type de force a pour expression : d = – Mg ∆z
(29)
indice a : arbre indice b : technique
Compte tenu de ces particularismes, le travail des forces extérieures appliquées à un système quelconque a pour résultante : e = c + eƒ – Mg ∆z
(30)
Wa
Figure 13 – Transfert d’un fluide à travers une machine thermique
où (avec les remarques faites dans le paragraphe 3.2.1.2.1) eƒ est très souvent nul ou négatif. Loi de la dynamique : la variation de l’énergie cinétique d’un système est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu’extérieures, appliquées au système.
3.2.1.3 Bilan des énergies mises en jeu par les forces de contact Lorsque le système thermodynamique considéré – fluide en général – traverse une machine quelconque (moteur ou générateur) le travail des forces de contact c prend une forme particulière. En effet, les forces extérieures, qui agissent sur le système (fluide compris entre 1 et 2 – figure 13), sont appliquées sur différentes zones. ■ Sur la surface des canalisations et les surfaces statiques du corps de la machine Ces surfaces étant immobiles, le fluide s’écoulant sans glissement du fait de sa viscosité, les forces de contact ont un travail nul ; dans le cas où on admet un glissement, celui-ci est pris en compte dans le terme eƒ (§ 3.2.1.2). ■ À la frontière entre le fluide et les éléments mobiles de la machine Le travail réalisé par ces forces est noté δ m (travail moteur) ; il comprend toutes les formes de forces, y compris celles de frottement, et est équivalent à une énergie échangée entre le système et la machine. Il sera noté par δWt et appelé travail technique (ou quelques fois travail de transvasement). On a, compte tenu des conventions de signe thermodynamiques et après intégration :
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m = Wt
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■ À la frontière entre le fluide faisant partie du système (Σ ) et le fluide faisant partie du milieu extérieur (ME) En respectant le sens d’écoulement du fluide (de 1 vers 2) et pour le fluide qui évolue en se déplaçant de 1 à 1′ et de 2 à 2′, les travaux de ces forces sont :
À noter que cette expression suppose que les valeurs de la pression sont constantes dans les sections 1 et 2.
2
1
P dV – iƒ
(33)
Dans le cas d’une application thermodynamique à une machine, on sait que eƒ = 0 et que c est donné par l’équation (31). De plus, au cours de l’évolution considérée, le fluide compris entre les sections 1′ et 2′ n’évolue pas (pour un régime permanent). Tout se passe comme si la masse M de fluide correspondant au volume V1 ou V2 passait de 1 en 2 après avoir échangé avec la machine le travail Wt12 . Pour cette masse M de fluide, on peut écrire : ∆E c12 = W t12 + P 1 V 1 – P 2 V 2 – Mg ∆z 12 +
soit :
∆E c12 = W t12 – Mg ∆z 12 –
2
1
P dV – iƒ
2
1
V dP – iƒ
w t12 =
(34)
2
1
v dP + ∆e c12 + g ∆z 12 + τ iƒ 12
(35)
C’est l’équation dynamique encore appelée équation de la quantité de mouvement qui donne l’expression du travail technique de l’unité de masse de fluide en mouvement dans un système quelconque entre une entrée 1 et une sortie 2 du système.
Le premier principe généralisé aux énergies mécanique et thermique s’écrit (équation (13)) : W + Q = ∆Et = ∆U + ∆Ec + ∆Ep
■ Ainsi le travail des forces de contact s’écrit : (31)
3.2.2 Équation fondamentale de la dynamique Les lois de la dynamique s’appliquent quels que soient les systèmes considérés, donc en particulier à tout système thermodynamique. L’une de ces lois implique ce qui suit.
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∆E c = c – eƒ – Mg ∆ z +
(32)
3.2.3 Équations thermodynamiques. Enthalpie
P1 Ω1 1 – P2 Ω2 2 = P1 V1 – P2 V2
BE 8 005 − 12
∆E c = e + i
Rapportée à l’unité de masse cette relation devient :
Il faut noter que la transmission de cette énergie mécanique vers l’extérieur Wa (travail sur l’arbre de sortie de la machine) n’est pas totale à cause des frottements divers entre les parties mobiles et statiques de la machine.
c = W t + P 1 V 1 – P 2 V 2
On écrit ainsi :
(36)
Comme précisé dans le paragraphe 2, l’énergie mécanique échangée ne correspond qu’au travail des forces de contact [y compris (§ 3.2.1.2) les forces de frottement si celles-ci s’exercent sur une surface en mouvement]. On a : c = W
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________________________________________________________________________________________________________
Ainsi, le premier principe s’écrit, avec l’équation (33) (où eƒ = 0) : ∆E t = Q + c = Q + ∆E c + Mg ∆z –
P dV + iƒ
ce qui, compte tenu de l’expression de l’énergie potentielle gravifique : ∆Ep = Mg ∆z donne :
Q–
P dV + iƒ = ∆U
(37)
avec iƒ le travail des forces de frottement interne. En notant que :
P dV = ∆ ( PV ) –
3.2.4 Compléments sur l’enthalpie La définition de l’enthalpie (relation (35)) fait apparaître sa propriété de fonction d’état. En effet, elle est constituée par la somme d’une fonction d’état U et d’un produit de deux variables d’état P et V. Ainsi, comme toute fonction d’état, elle ne dépend que des variables d’état du système. Par ailleurs, si on considère le cas d’un système fluide globalement au repos (§ 3.1), la transformation de la relation (21) permet d’écrire : dU = (δQ)rév – P dV = dH – d (PV ) d’où :
dH = (δQ rév)p
(38)
Dans cette expression, H est l’enthalpie du fluide qui vaut, par définition : H = U + PV (39)
Dans de nombreux cas d’application, la variation d’enthalpie ne dépend que de la variation de la température. En particulier, c’est le cas lorsque le fluide est un gaz parfait (voir [B 8 020] Propriétés thermodynamiques des fluides ) pour lequel on a :
ou encore :
V dP + iƒ = ∆U + ∆ ( PV )
Q+
V dP + iƒ = ∆H
L’expression (38) et l’expression dynamique (34) conduisent à l’équation « technique » du premier principe : Q + W t = ∆H + ∆Ec + ∆Ep
(40)
Pour l’unité de masse de fluide qui évolue d’un état 1 à un état 2 en traversant une machine thermique (figure 13), on peut écrire : wt 12 + q 12 = ∆h 12 + ∆ec 12 + ∆ep 12
(41)
Cette relation est fondamentale en thermodynamique technique. On note que, contrairement à l’équation de la quantité de mouvement (35), elle ne fait pas intervenir le terme relatif aux forces de frottement, terme qui caractérise essentiellement des irréversibilités. Son intérêt pratique vient de sa simplicité. En effet, les systèmes techniques (énergétiques en particulier) sont souvent, par exemple, les suivants. ■ Des échangeurs de chaleur pour lesquels : wt = 0
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(42)
Ainsi, on constate que, lorsque la pression est constante, la quantité de chaleur échangée correspond à la variation d’enthalpie du fluide ; elle a dans ces conditions un comportement de fonction d’état. C’est la raison pour laquelle, l’enthalpie est encore appelée chaleur totale ou chaleur sous pression constante.
Q+
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dH = (δQ rév) + VdP
À pression constante :
V dP
l’équation (37) s’écrit :
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
(pas d’éléments mobiles avec lesquels le fluide peut échanger de l’énergie mécanique) et : ∆ ec = ∆ e p = 0 La chaleur échangée est alors donnée par : q 12 = ∆h 12 Pour un gaz, ou un liquide, dont la valeur de l’enthalpie ne dépend que de la température (§ 3.2.4), l’échange thermique est alors obtenu par une simple mesure de différence de température entre l’entrée et la sortie de l’échangeur. ■ Des machines fonctionnant de manière adiabatique avec des variations nulles des énergies cinétique et potentielle. Le travail technique massique et la puissance échangée entre le fluide et la machine sont alors donnés par :
.
.
.
dh = cp dT avec cp la capacité thermique massique du gaz. Pour un gaz ayant un comportement de type réel, l’enthalpie dépend d’une deuxième variable d’état, par exemple la pression. L’expression de h est alors plus complexe. En revanche, pour les liquides, la situation est analogue à celle des gaz parfaits : en première approximation, le lien entre enthalpie et température est le même.
4. Étude des systèmes ouverts Les résultats de l’étude qui suit coïncident avec ceux des systèmes en mouvement dont un cas particulier a été présenté dans le paragraphe 3.2.1.3 (cas de la machine thermique à une entrée et une sortie). Seul le point de vue de l’étude est différent. Alors que, dans le cas précédent, on suivait une frontière et son système de masse quelconque dans son déplacement, on considère ici une frontière fixe traversée par un (ou plusieurs) flux de fluide. Le système considéré est alors ouvert sur le milieu extérieur par l’intermédiaire d’une frontière perméable en plusieurs endroits. En pratique, cette perméabilité a lieu dans des canalisations (figure 14). Les résultats correspondent à une généralisation de ceux obtenus au paragraphe 3.
4.1 Bilan énergétique d’un système ouvert
w t12 = ∆h 12 et W t = M ∆h 12
avec M le débit massique du fluide à travers la machine. Dans ce cas également, la mesure du travail technique peut être réduite à la mesure d’une différence de température, la puissance nécessitant de connaître en plus le débit massique.
Pour un système fermé, évoluant entre les états 1 et 2 et éventuellement en déplacement, le principe de la conservation de l’énergie (équation (14)), s’écrit : w 12 + q 12 = ∆u 12 + ∆ec12 + ∆ep12 = ∆et12
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(43)
BE 8 005 − 13
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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
δw
δq
Vapeur
θ
δQ Flux de Pi matière
Σ fermé
i
u , ec , ep
Eau
Σ ouvert
δW t
Eau
Réchauffeur
θ1
u , ec , ep
θ2
--Q Figure 15 – Bilan enthalpique d’un réchauffeur à mélange
Figure 14 – Schématisation d’un système fermé et d’un système ouvert
Les échanges énergétiques d’origine mécanique et thermique entraînent une variation d’énergie propre du système ou d’énergie totale ∆et . Lorsque le système est ouvert, pour les flux à travers la frontière (échanges), il y a lieu de tenir compte de l’énergie accompagnant la matière qui entre ou sort du système (figure 14) par les diverses canalisations i. Cette énergie se présente sous trois formes (dans les études habituelles de thermoénergétique) qui, pour un laps de temps t s’écrivent : — énergie interne = Σ u i m i 1 2 — énergie cinétique = Σ ------m i c i 2 — énergie potentielle = Σ m i g z i
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où m i est la masse de fluide correspondant au flux de matière dans la canalisation i durant le temps t ; elle est comptée positivement si le fluide entre dans le système ; u i , c i , z i sont respectivement l’énergie interne massique, la vitesse et l’altitude du fluide lorsque celui-ci traverse la frontière entre le système et le milieu extérieur. Le fait de prendre une valeur unique pour u, e et z revient à supposer que la température, la pression, la vitesse et l’altitude sont constantes à l’endroit où le fluide traverse la frontière. C’est une hypothèse simplificatrice, justifiée dans la plupart des applications. Il convient aussi de noter que dans le cas où le fluide est un gaz, la variation d’énergie potentielle est toujours négligeable devant les autres termes.
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Dans le bilan énergétique d’un système ouvert, on considère à part l’échange d’énergie mécanique δWt du système avec l’extérieur hormis les canalisations d’apport ou de départ de fluide (δWt correspond à l’énergie récupérée ou produite sur les parties mobiles du système ; c’est le travail technique, cf. § 3.2.1.3). Il y a donc lieu d’introduire par ailleurs dans le bilan, l’énergie produite par l’effet piston du fluide en transit dans les canalisations. Cette énergie a pour expression : Σ Pi Ωi i ou, en notant que Ω i i = v i m i :
Si on note par : c2 h t = h + ---------- + g z l′enthalpie totale de l′unité de masse de fluide 2 E t = U + E c + E p l′énergie totale du système l’équation (44) devient : δWt + δQ + Σ hti dmi = dEt
(45)
L’équation (45) est valable quel que soit le nombre de flux de matière (ou de canalisations), que le régime soit permanent ou transitoire. On peut lui donner une écriture en puissance en la divisant par le laps de temps dt :
.
avec
.
Wt
.
Q
.
mi
.
Et
.
.
.
W t + Q + Σ h ti m i = E t
(46)
la puissance technique du système ou puissance mécanique échangée entre le fluide et les éléments mobiles de machines se trouvant à l’intérieur de la frontière, la puissance thermique échangée entre le système et le milieu extérieur, le débit massique du fluide à travers la canalisation i (positif si le fluide entre dans le système), la variation de l’énergie totale du système pendant l’unité de temps.
L’équation (46) est très certainement la plus importante de toutes les relations attachées au premier principe de la thermodynamique présenté sous sa forme technique.
4.2 Système ouvert en régime permanent. Bilan enthalpique Si le système, délimité par sa frontière fixe, est en régime permanent (pas de variation en un lieu donné de ses propriétés au cours du temps) son énergie totale est constante :
.
E t = dE t = 0
Σ m i P i vi Ainsi, pour une évolution dans un laps de temps infiniment court dt, le premier principe de la thermodynamique s’écrit : 1 2 Σ dm i P i v i + Σ dm i u i + Σ ------ dm i c i + Σ dm i g z i + δW t + δQ 2 = dU + dE c + dE p
Alors, en prenant les modules des masses de fluide entrant ou sortant du système, l’équation (45) s’écrit : δWt + δQ = (Σ hti dmi )sortant – (Σ hti dmi )entrant
(47)
C’est l’équation du bilan enthalpique que l’on peut appliquer, par exemple, à un réchauffeur à mélange (figure 15). En admettant que ce réchauffeur ait une perte thermique – |δQ |, on écrira : – |δQ | = (ht2 dm 2)eau – (ht1 dm 1)eau – (ht dm)vap
ou encore : 2
ci δW t + δQ + Σ h i dm i + Σ ---------- dm i + Σ g z i dm i = dU + dE c + dE p (44) 2
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L’équation (47) est très souvent utilisée dans sa forme relative aux puissances. En effet, tous les termes étant relatifs à une
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1
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
La relation (51) peut être séparée en deux parties : une partie ne comprenant que des termes d’énergie mécanique, l’autre ne contenant que des termes d’énergie thermique. On écrit :
2
.
.
entrée
.
sortie
.
.
M g C sortie + W t = M u entrée – Q = E d Figure 16 – Système à une entrée (1) et une sortie (2)
.
énergie considérée dans un certain laps de temps dt, comme pour l’équation (46), on peut les diviser par ce terme. On obtient :
.
.
.
.
W t + Q = ( Σh ti M i ) sortant – ( Σh ti M i ) entrant
avec
.
le flux enthalpique,
Mi
la valeur absolue du débit massique dans la canalisation i.
.
Dans de nombreuses applications, le système n’est ouvert que grâce à deux canalisations correspondant à l’arrivée 1 et au départ 2 du fluide (figure 16). On a alors, en prenant en considération le principe de conservation de la masse dm 1 = dm 2 = dm : δ Wt + δQ = (ht2 – ht1) dm En notant par wt et q les échanges d’énergie mécanique et thermique rapportés à l’unité de masse qui entre ou qui sort du système : (49) wt12 + q 12 = ∆ht12 Cette expression est analogue à l’équation (41) démontrée au paragraphe 3.2.3 en considérant un système fermé en déplacement à travers une machine.
. . c2 W t + M P v + ---------- + g z 2
.
.
.
(50)
.
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M u + P v + ---------- + gz 2 ou :
.
.
sortie + Wt + Q =
entrée
.
.
M u + gC sortie + W t + Q = 0
entrée
.
.
(55)
.
puissance E d correspond à une puissance utilisée pour dilater le fluide : P.div v (cf. [BE 8 153] § 4.4). En effet, selon l’équation (37) :
.
M u
entrée sortie
.
+Q =
. d ƒ dV P ------------ – ------------------- = – Ed dt dt
Ainsi, la puissance mécanique transformée est égale à :
avec
d ƒ ------------------dt
. d ƒ -– E d = ------------------dt
dV P -----------dt
(56)
la puissance mécanique dissipée par les frottements (irréversibilité interne),
dV P ------------ la dilatation. dt
Pour un système ouvert à une entrée et une sortie, l’équation du bilan enthalpique (48) peut s’écrire, pour un système avec deux canalisations :
.
(54)
.
0 (51)
entrée ( 1 ) sortie ( 2 )
.
w Ed = – ---------t- + ----------. - = – H e + J 12 g Mg
(57)
La relation (57) est l’équation de Bernoulli dans laquelle : — la hauteur effective qui correspond à l’énergie mécanique échangée entre l’unité de poids de fluide et les éléments mobiles de la machine est : w H e = ---------tg — la perte de charge est :
P c2 C = ----------- + ------- + z 2g ω
entrée
.
= Ed
Le terme E d , appelé aussi puissance dissipée en chaleur, ne correspond à une irréversibilité (dégradation) que lorsque le fluide est incompressible. Si le fluide est compressible, une partie de cette
P c2 -------- + z + ----------2g ω
Ces trois termes sont contenus dans l’enthalpie totale du fluide. En hydraulique ([BE 8 153] Écoulement des fluides. Équations de bilans § 3.4.2), la somme de ces trois termes rapportés à l’unité de poids de fluide est appelée charge du fluide C ( avec ω = ρg ) :
c2
entrée
sortie
Pour l’unité de poids de fluide, l’équation (54) devient :
Pour un fluide, l’énergie mécanique comporte : 1 — l’énergie cinétique : ------ mc 2 ; 2 — l’énergie potentielle de pression : m P v ; — l’énergie potentielle de position (ou gravifique) : m g z.
.
.
M u sortie + Q = – E d
4.3 Bilans d’énergie mécanique et d’énergie thermique (régime permanent)
(53)
L’équation du bilan d’énergie thermique a pour expression :
Pour l’unité de temps, on écrit : Wt + Q = ( ht 2 – ht 2 ) M
.
C’est l’équation du bilan d’énergie mécanique dans laquelle E d est la puissance mécanique transformée en puissance thermique. Cette équation s’écrit encore :
(48)
( Σh ti M i )
.
entrée
M g C sortie + W t = E d
soit :
(52)
2
P dV τƒ 1 - – -----------------------J 12 = -----------g g On retrouve bien dans l’expression de J 12 , qui représente l’énergie mécanique de l’unité de poids du fluide transformée en énergie thermique, que cette quantité est uniquement de l’énergie dissipée par frottements internes lorsque le fluide est incompressible (dv = 0). Dans cette relation, τ ƒ est le travail des forces de frottements internes rapportés à l’unité de masse de fluide.
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