DEUX TRIANGLES SEMBLABLES ADJACENTS PAR UN SOMMET ET UN TRIANGLE VARIATIONS ET GÉNÉRALISATIONS
Le thème d'un problème de Géométrie est le motif qui a inspiré le problémiste.
Jean-Louis AYME 1
y
x
z
x
y
1
z
Résumé.
L'auteur présente un thème intitulé Deux triangles semblables adjacents…et un triangle sous la forme d'une progression… Les situations envisagées proviennent de la banque de données de l'auteur. Des variations suivies de généralisations agrémentent cette recherche. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract.
The author presents a theme entitled Two similar adjacent triangles… and a triangle in the form of a progression... Envisaged situations come from the database of the author. Variations followed by generalizations adorn this research. The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.
Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 28/02/2014
2
Sommaire
1. 2. 3. 4. 5.
A. Le motif
3
B. Résumé des figures
4
C. Deux triangles semblables adjacents par un sommet et un triangle Le point de vue de l’auteur Cas : extérieur - extérieur Cas : intérieur - intérieur Cas : extérieur – intérieur Note historique
8
D. Le parallélogramme de Hendricus Hubertus van Aubel 1. Relativement au triangle 2. Relativement au quadrilatère
14
E. Les points de Bourget, Conway, Greitzer, Grinberg Le point de Justin Bourget Le point de John Horton Conway Le point de Greitzer Le point de Darij Grinberg
21
1. 2. 3. 4.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
F. Deux triangles isocèles, semblables, adjacents par un sommet de leur base et un triangle I. Joseph Neuberg Le triangle rectangle-isocèle de Neuberg Deux droites perpendiculaires de Neuberg Trois droites concourantes de Neuberg II. Édouard Collignon La figure de Collignon III. L'auteur Le triangle rectangle-isocèle de l'auteur Deux droites perpendiculaires La variante de Darij Grinberg L'auteur Une généralisation de H.H. van Aubel Une généralisation de Virgil Nicula
1. 2. 3. 4.
G. Ludwig Kiepert Un triangle jacobien Le théorème de Jacobi Le théorème de Kiepert L'auteur
1. 2. 3. 1.
35 38
48
H. Divers
I.
30 30
Trois triangles semblables
53 53
1. Un triangle équilatéral 2. L'auteur II. USA TST 2006 Problem 6 1. Deux segments égaux 2. Un milieu - Quatre points cocycliques 3. Problem 6 III. Khazakhstan NMO (2010) 10 grade Problem 5 1. Le parallélogramme de l'auteur 2. Problem 5 3. Une généralisation de Virgil Nicula IV. Russie (1999) 1. Cercle passant par le centre d'un cercle 2. Un triangle rectangle 3. IMO Shortlist V. 41st IMO TST VI. PCHP from WenWuGuangHua 1. Le problème 2. L'auteur VII. Grand oral X (1963) 1. Le théorème de Petersen-Schoute 2. Grand oral X (1963)
56
62
67
77 80
83
2
3
A. LE MOTIF
Un triangle et trois triangles équilatéraux
Au printemps 1644, le père Marin Mersenne 2 entreprenait un pèlerinage à Rome. Aux étapes de Bologne, puis de Florence, il montrait aux savants de l'époque, ''le problème de Fermat'' qu'il emmenait avec lui dans ses bagages : étant donné un triangle, rechercher le point tel que la somme de ses distances aux trois sommets, est minimale. C'est ainsi que Bonaventure Cavalieri 3, Evangelista Torricelli 4 et Vincenzo Viviani 5 en prendront connaissance. La solution de Torricelli publiée en 1659 par son élève Viviani, avait pour point de départ la considération des trois triangles équilatéraux construits à l'extérieur sur les côtés du triangle et de leurs trois cercles circonscrits.
2 3 4 5
Mersenne M. (1588-1648) Cavalieri B. (1598-1647) Torricelli E. (1608-1647) Viviani V. (1622-1703)
3
4
B. RÉSUMÉ DES FIGURES
La réalisation d'un thème passe par la fusion harmonieuse des éléments qui le compose. Les forces émises entre les différents éléments doivent s'équilibrer pour façonner un thème. 6
y x x
z y
z
K
1b
J
z
1c
A
y
x x 1c
B
C
A
K
R
x
x
y
x y
x
B
B
Q
y C
C
y
1b x
O
y
1q
A 1r
y
1c
z
y
J
P
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A
y
B'
y
x
C
x
y
x S
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A' x
y
A
Q
a c
b
a B
2
a
O
c b
R
A y
z
q
3 A
z O
C
Q
x
3
R b
P
C
Q
A
B
x
y B
c
y
x
y
3
x
2
x
R
2 3'
1'
r
y
Q
2' A
x
B
y
C
B
C
1
B
z
p
1 P
6
R
P
1
C P
P
Monica A. R.
4
5
A
A
A
J x
x
K
K
J
J x
x
x
x K
x
x B
x
x
x
x
B
C
x
x
C
x
x B
C
I
I
I
K C x
x
D
J
x
x
L
x
x x
A
x
B
I J
J
J A K
x
x
A
A
B'
x
x
K
K
C'
B'
x
x
B"
C'
J A K
x
x B
x
x
B
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x
x
x
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x
x
x
C
x
x
B
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x
x
M
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x B
I
I
C
I
I
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3
K 4
D C
D
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A
B
B
1 I
M P
J
x
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A
A
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x
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K C"
C' x
z B
y B
y
z
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x
B"
C'
x x
x
x B
x x
x
C
C
C A'
I
5
6
Y A
B' R
Z
J A
Q B
K
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3
x
x
x B
X
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z
y
yz
y
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z
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x x
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P
X
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y
y Q
B
A
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C
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3
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1
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P
x
x
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K
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x
x
x
x
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x
C
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L
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x
x
C
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J
D
J
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x
Q
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I
I
4
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B' y C' 1
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2
3
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C
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2
3
P
A
y
4 O
B A
B
Y
X
1
D
x
4
A
x
z
z
1
2 B
C 3
5
6
7
V C
A
F D
x K P
Q
N
D
0
A
x
M
x x
D
Y
M
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E
y B
C
X
C
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J
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J
y
y
E
B
B' z
A
Q
y z
z R C'
y
y
x
x B
y
x
z
C
P x A'
7
8
C. DEUX TRIANGLES SEMBLABLES ADJACENTS PAR UN SOMMET ET UN TRIANGLE
1. Le point de vue de l'auteur
y
x
x
z
y
z
Deux triangles adjacents par un sommet et qui seront posés par adjacence par deux côtés sur un triangle
2. Cas : extérieur - extérieur
VISION
Figure : J y 1c A
K
x
1b
x
z
O y B
z C
8
9
Traits :
et
ABC ABK, AJC 1b, 1c O
un triangle, deux triangles semblables, extérieurs à ABC, les cercles circonscrits resp. à ABK, AJC le second point d'intersection de 1b et 1c.
B, O et J sont alignés. 7
Donné :
Commentaire : par ''semblable'', nous sous-entendons ''directement semblable''. Les sommets de ABK et AJC se correspondent dans cette relation. Ces deux triangles semblables sont adjacent par le sommet A. Par rapport à ABC, ils sont extérieurs.
VISUALISATION J y 1c A
K
x
1b
x
z
O y
z
B
C
1d
D
Notons
D
le point d'intersection de (KB) et (JC).
