ACADEMIE DE NANTES THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DU MAINE Specialite :

ACOUSTIQUE

Federico CRUZ BARNEY

EVALUATION DES PERFORMANCES D'UN ENVIRONNEMENT INFORMATIQUE D'ACOUSTIQUE PREVISIONNELLE

These soutenue le vendredi 17 decembre 1999, devant la commission d'examen composee de: G. DODD A. FARINA J.D. POLACK M. BRUNEAU X. MEYNIAL J. RAMIS SORIANO O. WARUSFEL

President Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur

Resume

Un environnement de simulation informatique dedie principalement aux applications de l'acoustique architecturale et de la realite virtuelle fait l'objet d'une etude de validation. Cet environnement est base sur un ensemble de modeles issus de l'acoustique geometrique et privilegie une representation energetique des phenomenes physiques de la propagation du son. Cette validation est menee a la fois en termes de coherence entre les modules repondant a dierentes hypotheses de re exions sur les parois, et en termes de performances par rapport a un ensemble de mesures eectuees dans dierentes salles de concerts. Une premiere phase est dediee a l'etablissement de methodes de mesure permettant de determiner les caracteristiques acoustiques des materiaux adaptees aux modeles utilises. Dans un second temps, la pertinence des modeles utilises pour representer ces phenomenes est evaluee en considerant les dierentes sections temporelles de la reponse d'une salle, ainsi que les principaux indices objectifs utilises en acoustique pour eectuer le diagnostic d'une salle. Au fur et a mesure des etapes de validation, des modi cations ou developpements speci ques ont ete realisees pour optimiser l'environnement de simulation informatique. Mots Cles : Acoustique Architecturale, Acoustique Previsionnelle, Simulation numerique, Modeles geometriques, Auralisation

Abstract

A computer simulation environment for room acoustic predictions and virtual reality applications has been evaluated on the basis of its performances. This environment is composed of a series of models issued from geometrical acoustics which use energy as the variable for describing sound propagation phenomena. This validation study concerns both the dierent models coherence which respond to dierent re exions hypothesis on the walls, and the models performances when compared to measurements done in a group of concert halls. A rst phase is dedicated to establishing measurement methods which allow to determine the acoustical characteristics of materials and which are adapted to the models used to represent sound propagation. At a second phase, the pertinence of those models is evaluated comparing the estimation of dierent time sections of a room response with the measurements themselves, and the calculation of objective criteria linked to the perception of room acoustical quality. During the evaluation phases, modi cations and speci c developments have been included into the models in order to optimize this simulation environment for room acoustics. Keywords : Architectural Acoustics, Digital Simulation, Geometrical models, Auralization

Remerciements Je veux exprimer ma gratitude a Monsieur Angelo Farina et Monsieur Jean-Dominique Polack qui, bien que fort sollicites par ailleurs, ont malgre tout accepte d'examiner mon travail et d'en ^etre les rapporteurs. La composition du jury de ma these evoque a elle seule la chance que le CONACYT (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa) m'a oerte en m'accordant, entre 1991 et 1996, les moyens de venir approfondir mes connaissances acoustiques en France et de rencontrer des personnalites qui ont determine l'evolution de mes etudes. Je pense ici tout d'abord aux professeurs du Laboratoire d'Acoustique de l'Universite du Maine : Monsieur Michel Bruneau qui m'a honore en dirigeant ma these et m'a apporte, au travers de ses cours, de nombreux conseils et enseignements me guidant depuis mes debuts d'acousticien ; Monsieur Xavier Meynial, qui, lors de mon stage de DEA, m'a ete d'une aide precieuse, et que je remercie d'avoir accepte de juger mon travail. Je pense aussi a Monsieur George Dodd, avec lequel j'ai pu apprendre, six mois durant, a l'Acoustics Research Centre de l'Universite d'Auckland (Nouvelle-Zelande), comment appliquer, sur des cas concrets, les principes acoustiques auxquels je m'etais initie. Monsieur Dodd s'est toujours interesse a mon parcours et le prouve encore en me faisant le plaisir de gurer parmi mes examinateurs. En n, je pense a Monsieur Jaime Ramis, de l'Ecole Polytechnique Superieure de Ganda (Espagne). Rencontre plus recemment, Monsieur Ramis m'a temoigne sa con ance en me proposant de rejoindre son equipe. Il me touche sincerement par sa presence au sein du jury. Il illustre ce que je dois aussi a l'Ircam : la faveur de c^otoyer la communaute scienti que internationale et par ces echanges, de bene cier d'une tres large information sur le domaine de l'acoustique. Je me tourne maintenant vers Monsieur Olivier Warusfel, qui m'a accueilli au laboratoire d'acoustique des salles qu'il dirige a l'Ircam. Prenant la responsabilite de guider mes travaux, Monsieur Warusfel m'a soumis ce sujet de recherche des mon arrivee a Paris. Il a su canaliser ma fougue estudiantine du depart et, genereusement, patiemment, jusqu'au bout, a mis a ma disposition son savoir et son temps. Je lui serai toujours reconnaissant de ce qu'il m'a fait partager au cours de ces annees et tiendrai compte de son exemple dans la carriere que je commencerai bient^ot. Mes remerciements ne s'arr^eteront pas la. Je ne pourrais me permettre en eet de ne pas mentionner ce que je dois a l'Ircam, a son directeur Laurent Bayle, et son directeur scienti que

Hugues Vinet : je suis conscient que gr^ace a eux, j'ai dispose de conditions privilegiees pour mener a bien mes recherches : moyens techniques et materiels de haute performance, contacts permanents et riches avec d'autres disciplines scienti ques et artistiques... sans oublier l'experience professionnelle que j'ai pu acquerir lorsqu'ils ont fait en sorte de me con er des missions de conseil en acoustique. . . Je garderai en memoire ce cadre chaleureux, attachant, solidaire qu'est l'Ircam et qui m'incite nalement a etendre mes remerciements a tous ceux qui m'ont entoure toutes ces annees. L'envie est grande de les citer tous, mais il faudra me limiter a quelques noms : je soulignerai donc les amities creees des mon arrivee (Richard Denayrou, Eckard Kahle), l'aide administrative bien s^ur, mais surtout l'accueil de Madame Sylvie Benoit-Stanek lors de mes debuts parisiens, je parlerai de Marcelo Wanderley et Carlos Augusto Agon, compa~neros del "exilio" ( !), de Veronique Verdier, Klaus-Peter Altekruse, Alain Nicolas, pour les detentes "badmintoniennes", de Veronique Larcher, Nicolas Misdariis et Patrick Susini, toujours la, enthousiastes, genereux, et... en memoire d'un certain 4 octobre... En n et surtout, ma plus profonde gratitude a Brigitte pour sa patience, pour son aide, pour son support. C'est a elle que je dedie ce memoire.

 RES TABLE DES MATIE

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Table des matieres 1 Introduction

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2 Caracterisation acoustique des salles

5

2.1 Le canal acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Caracterisation objective de la qualite acoustique d'une salle 2.2.1 Indices objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 5 . 7 . 8 . 14

3 Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

15

4 Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

69

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Modeles Physiques. Les maquettes acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Nouvelles perspectives de la simulation sur maquette : le systeme MIDAS 3.2.2 En guise de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Simulation numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Methodes basees sur la resolution de l'equation des ondes . . . . . . . . . 3.3.2 Methodes deterministes (modeles geometriques) . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Simulation numerique d'un champ dius : Approche statistique . . . . . . 3.3.4 Modeles hybrides de simulation numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Illustration des dierents procedes de simulation . . . . . . . . . . 4.2.1 Architecture generale des algorithmes de simulation . . . . 4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS . . . . . . . . 4.3.1 Modelisation de la diraction . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Modeles de propagation en ondes planes avec diusion . . . 4.3.3 Propagation du residu et calcul du Temps de reverberation 4.3.4 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Description algorithmique des procedes de simulation . . . . . . . . 4.4.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Gestion de la diraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Propagation en ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Prise en compte et propagation de la diusion . . . . . . . 4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation . . . . . . . . . . . 4.5.1 Saisie de la geometrie de la salle . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Caracterisation acoustique des surfaces . . . . . . . . . . . .

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15 16 18 20 20 21 30 52 62 66 69 70 71 71 71 74 77 79 80 80 80 80 81 84 85 86

 RES TABLE DES MATIE

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4.5.3 Mesure des coeÆcients d'absorption et de diusion . . . . . . . . . . . . . 86 4.5.4 Modelisation des transducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Presentation des donnees de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 La base des donnees de validation

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 La salle de la Philadelphia Academy of Music . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 La maquette physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Le modele informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 La campagne europeenne de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Selection des salles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Le protocole de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Les Round Robin for Room Acoustical Computer Simulations . . . . 5.4.1 Antecedents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Premier Round Robin des simulations informatiques (RRI) . 5.4.3 Deuxieme Round Robin des simulations informatiques (RRII)

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. 99 . 100 . 101 . 105 . 106 . 107 . 107 . 111 . 111 . 112 . 115

6 Validation d'un environnement de simulation informatique

121

7 Conclusion Generale

193

6.1 Principales phases de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.2 Reglage du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2.1 CoeÆcients acoustiques des parois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2.2 Evaluation du Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.2.3 Etude sur le temps de reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3 Evaluation du champ direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1 Prise en compte de la diraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.2 Etude sur la validite du modele de directivite de la source . . . . . . . . . 142 6.3.3 Prise en compte de l'incidence rasante dans les simulations informatiques 145 6.4 Etude sur la distribution de l'energie tardive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.4.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5 Les Round Robins des simulations informatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5.1 Le Round Robin I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5.2 Analyse des indices acoustiques par bande de frequence . . . . . . . . . . 164 6.5.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.6 Etude sur les indices acoustiques spatiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.6.1 La fraction d'energie laterale. LF et LFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.6.2 Obtention des informations spatiales pour la realisation des auralisations binaurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.6.3 Obtention de l'information spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.6.4 Validation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Annexes A Le champ acoustique en presence d'une paroi

195 195

A.1 Introduction. Notion d'impedance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 A.2 Re exion et absorption d'une onde, en incidence normale, sur un materiau plan et in ni caracterise par son impedance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

 RES TABLE DES MATIE

iii

A.3 Re exion, en incidence oblique, sur une surface a reaction localisee caracterisee par son impedance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 A.4 Re exion sur une surface a reaction localisee en incidence aleatoire . . . . . . . . 198 A.5 Modele de re exion diuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

B CoeÆcients acoustiques des materiaux des salles de la base des donnees B.1 Modeles informatiques de la Philadelphia Academy of Music . . . . . . . . B.2 Modeles informatiques des salles de la campagne europeenne des mesures B.3 Modeles informatiques des salles des Round Robin . . . . . . . . . . . . . B.3.1 Premier Round Robin des simulations informatiques . . . . . . . . B.3.2 Second Round Robin des simulations informatiques . . . . . . . . .

Bibliographie

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201

. 201 . 203 . 208 . 208 . 210

213

iv

 RES TABLE DES MATIE

Introduction

Chapitre 1

Introduction Dans pratiquement tous les domaines de connaissance, l'etude des phenomenes, des plus simples aux plus complexes, passe par des etapes de modelisation et de simulation. Si, pour les terrains applicatifs, la simulation permet de reproduire un evenement, ou l'interaction entre plusieurs evenements, elle permet egalement, sur le plan theorique, de confronter l'experience au modele et par consequent d'enrichir les connaissances. Par ailleurs, on ne peut esperer reproduire une situation determinee, si on ne possede pas des parametres d'entree susceptibles de garantir des resultats representatifs de la realite. La de nition de ces parametres d'entree etant elle-m^eme liee aux modeles utilises. La simulation represente alors en soi une etape dans un processus iteratif d'apprentissage et d'approfondissement des connaissances. Dans le domaine de l'acoustique des salles, les outils de simulation se sont surtout concentres sur 3 axes principaux : { l'etude du phenomene physique de la propagation du son en espace clos et des transformations apportees par l'environnement dans lequel il se propage, le canal acoustique ; { l'etude des relations entre les transformations subies par le son et leur perception auditive, et la caracterisation de ces relations par des grandeurs acoustiques, les indices objectifs ; { le traitement du signal qui vise a la reproduction d'un environnement sonore. Les terrains d'application sont principalement l'aide aux architectes et la realite virtuelle. C'est dans ce cadre applicatif qu'un environnement de simulation a ete developpe a l'Ircam. L'objet de cette etude est de valider la pertinence des modeles utilises pour representer les phenomenes physiques de la propagation du son, en de nissant leur domaine de validite, et en proposant, le cas echeant, des modi cations susceptibles de les completer ou d'ameliorer leurs qualites. Les applications visees par cet environnement comprennent, pour une grande part, le domaine de la realite virtuelle qui requiert un fort degre d'interactivite et la capacite a suivre, en temps reel, les modi cations du contexte. C'est pourquoi nous avons privilegie, dans nos modeles, des approches geometriques peu co^uteuses en temps de calcul, ainsi qu'une representation en energie, suÆsante dans la plupart des cas, pour acceder a la caracterisation perceptive de la qualite acoustique. Quelle que soit la simpli cation d'un modele, l'avantage de l'approche numerique est de pouvoir non seulement analyser le resultat de la simulation, mais d'acceder aussi aux causes par observation de grandeurs physiques, diÆcilement realisable dans la realite, ou a l'aide de la

1

2

Chapitre 1 : Introduction modelisation physique (par des maquettes acoustiques). L'utilisation de ces outils de simulation sera brievement aborde dans ce memoire. Cette capacite ouvre la voie aux processus d'optimisation, necessaires dans le cadre de l'aide a la conception architecturale d'une salle. Au cours de l'etude de validation, nous indiquerons quelques exemples d'informations livrees par les simulations qui permettent d'automatiser ou d'envisager l'automatisation de l'etape d'optimisation d'un projet architectural. Le chapitre 2 sert d'introduction aux aspects les plus pertinents de la caracterisation de la qualite acoustique des salles et justi e l'approche choisie pour eectuer l'etude de validation. Le chapitre 3 cherche, par une etude bibliographique, a faire un bilan des principaux moyens de simulation de la qualite acoustique des salles dont on dispose actuellement. Le paragraphe 3.2 introduit brievement la technique de mesure sur maquette a echelle reduite, pour se consacrer ensuite a la description des methodes numeriques de l'acoustique des salles. Les methodes basees sur la resolution de l'equation des ondes, vouees en priorite a l'analyse des phenomenes propagatifs en basses frequences, font l'objet d'un expose en premiere partie du paragraphe. Les methodes de l'acoustique geometrique, a priori plus adaptees a la description de la propagation du son dans les grandes salles et aux hautes frequences, seront par consequent analysees avec plus de details. L'approche statistique de l'acoustique geometrique est illustree par une methode qui permet de decrire la propagation de l'energie sonore entre les parois d'une salle par une equation integrale, ou methode de radiosite. Cette methode, employee couramment dans le domaine de l'image, est encore peu employee comme methode complementaire des modeles de sources images et des rayons pour la simulation des salles. Elle presente neanmoins des avantages importants, tant pour l'estimation du regime tardif de la salle, que pour sa capacite a decrire de maniere synthetique le comportement de la salle. Pour ces raisons, elle constitue l'un des noyaux de calcul des programmes de simulation developpes a l'Ircam. En n, un tableau recapitulatif de quelques-uns des logiciels les plus representatifs de l'etat de l'art en acoustique des salles est presente. Une conclusion generale sert d'epilogue au chapitre 3. L'analyse des dierents modeles physiques de la propagation acoustique etudies au chapitre 3, ont justi e la creation d'un environnement de simulation informatique hybride, qui cherche a tirer pro t des avantages des dierents modeles pour decrire les principaux parametres de la reponse de la salle. Le chapitre 4 expose de maniere detaillee les dierents noyaux de calcul qui constituent cet environnement ainsi que la facon dont ils s'articulent. Une re exion sur la saisie et la modelisation des donnees d'entree d'une simulation souligne l'importance d'une modelisation precise des caracteristiques acoustiques des surfaces d'une part, et de la modelisation des transducteurs, d'autre part. Le paragraphe 4.5.3 decrit une methode originale de mesure in situ des coeÆcients acoustiques d'absorption et de diusion des parois, adaptee a notre environnement de simulation, et mise en place par le laboratoire. La description de la base de donnees de validation est exposee au sein du chapitre 5. Cette base, constituee sur plusieurs annees, est composee de 3 groupes distincts, en fonction de leur origine historique et de leur utilisation dans notre etude. Le chapitre 6 est entierement consacre au rapport d'etude des performances de notre environnement de simulation informatique. Il est divise en 5 paragraphes organises en fonction des aspects de la simulation que l'on cherche a etudier. Nous commencons par l'etude des dierents

Introduction parametres de reglage du modele et nous proposons une methode alternative a celle exposee au paragraphe 4.5.3, pour estimer des coeÆcients acoustiques des surfaces a partir des reponses impulsionnelles mesurees dans la salle. L'in uence des donnees d'entree geometriques (volume et discretisation) d'un modele informatique pour chacun des algorithmes de base de l'environnement de simulation, fait l'objet du paragraphe 6.2.2. La capacite des algorithmes a gerer des volumes couples est mise en question. Une variante de la technique de calcul du temps de reverberation par un des programmes du noyau de cacul est alors proposee pour prendre en compte ces cas particuliers, utiles dans les applications de realite virtuelle. Dans cette m^eme section, une etude sur la coherence dans le calcul du TR de nos deux programmes de base est menee, ou nous essayons d'expliquer leur comportement respectif. Les paragraphes 6.3 et 6.4 sont consacres a une etude systematique des performances des programmes de simulation par module et par segment temporel comparativement aux resultats des mesures. L'analyse du champ direct nous amene a prendre en compte la diraction par masquage de l'onde directe, et a integrer un module permettant de traduire l'exces d'attenuation du son se propageant sous incidence rasante au-dessus des sieges dans les basses frequences. En n, sont testees les capacites du modele de radiosite pour predire la distribution spatiale de l'energie reverberee tardive dans les salles. Notre participation a une campagne internationale de validation des performances de logiciels de simulation (les Round Robins de simulations informatiques) nous permet d'etudier les capacites des programmes de simulation dans un cas pratique d'application : la simulation de la qualite acoustique d'une salle depuis sa saisie geometrique, jusqu'au calcul d'un ensemble d'indices acoustiques. Cette etape de la validation est presentee au paragraphe 6.5. L'importance des indices acoustiques binauraux dans la perception de l'impression d'espace, lorsque l'on cherche a eectuer des simulations auditives (auralisations), a motive l'implantation, dans notre environnement de simulation, d'une methode dediee a l'obtention de ces informations spatiales, laquelle est decrite et fait l'objet d'une validation dans la derniere section du chapitre 6.

3

4

Chapitre 1 : Introduction

Caracterisation acoustique des salles

Chapitre 2

Caracterisation acoustique des salles Dans ce chapitre, nous exposerons brievement les principaux aspects de la caracterisation de la qualite acoustique des salles. Nous nous interesserons ici a la description de la reponse d'une salle a une excitation : sa reponse impulsionnelle. Nous analyserons en particulier les raisons physiques (sous forme d'indices objectifs) et phsychoacoustiques (facteurs perceptifs), qui nous autorisent a considerer separement, dans l'eet apporte par la salle, celui des re exions precoces de celui de la reverberation tardive. La description des dierentes techniques de mesure de la reponse impulsionnelle sortant des objectifs de ce travail, nous nous contenterons de mentionner les techniques les plus communement utilisees, et proposerons au lecteur plusieurs references a consulter. L'ensemble des resultats exposes dans le cadre de la caracterisation objective de la qualite acoustique des salles, permettra de degager des grandeurs acoustiques, les indices objectifs, a partir desquels il sera possible de mener une evaluation des performances de l'environnement de simulation informatique developpe a l'Ircam.

2.1 Le canal acoustique Lors de sa propagation entre deux points, un signal sonore subit des transformations dues non seulement au milieu dans lequel il se propage, mais aussi aux divers obstacles presents sur son parcours. Le signal sonore est donc soumis a des phenomenes d'absorption, de re exion, de diusion et de diraction. Tous ces phenomenes sont causaux. Si le milieu de propagation du signal acoustique est l'air, les phenomenes physiques dependent des variations de pression, de temperature et d'humidite. Ces parametres variant tres lentement dans le temps par rapport a l'evolution du signal, ils peuvent ^etre consideres comme constants. La theorie du signal etablit que les transformations subies par le signal au cours de sa propagation peuvent ^etre representees par un ltre lineaire invariant dans le temps, appele aussi canal acoustique. Ce canal acoustique est parfaitement determine, dans le domaine temporel, par sa reponse impulsionnelle h(t). Pour caracteriser cette transformation, le signal de sortie (reception) y(t) est relie au signal d'entree (emission) x(t) apres propagation dans le canal acoustique par un produit de convolution :

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6

Chapitre 2 : Caracterisation acoustique des salles y(t) = x h(t) =

+1

Z

0

h( ) x(t  ) d

(2.1)

ou, dans le domaine frequentiel, par un simple produit :

 X (f )

(2.2)

h(t) e j2ft dt

(2.3)

Y (f ) = H (f ) La transformee de Fourier de h(t),

H (f ) =

+1

Z

0

est la fonction de transfert du canal acoustique. La paire h(t) et sa transformee de Fourier H (F ) caracterisent les modi cations subies par le signal entre emetteur et recepteur. A l'interieur d'une salle, au trajet direct emetteur recepteur (son direct), viennent se superposer un grand nombre de contributions reparties dans l'espace et dans le temps, en provenance des parois et en general de tout obstacle rencontre au cours de la propagation du signal sonore. L'ensemble de ces contributions constitue ce que l'on appelle l'eet de salle. Une reponse impulsionnelle etant unique pour un emplacement de source et de recepteur donnes, l'acoustique d'une salle est caracterisee par la donnee des reponses impulsionnelles des dierents canaux acoustiques, lesquels sont de nis par les parametres suivants : { la source : elle est caracterisee par sa reponse en frequence, sa directivite, sa position et son orientation; { la salle : elle est de nie par sa geometrie et par les caracteristiques acoustiques des materiaux la constituant; { le recepteur : il est caracterise par sa reponse en frequence, ses position et orientation et sa directivite. La gure 2.1 represente un exemple de re ectogramme-type d'une reponse impulsionnelle mesuree dans une salle pour un couple emetteur recepteur. On y distingue : { Premiere contribution : le son direct. Propagation directe depuis la source jusqu'au recepteur. Dans une salle de concerts, le son direct est perturbe principalement par des interferences provoquees par des phenomenes de diraction en propagation sous incidence rasante audessus des rangees de sieges. Cet eet, connu sous le nom d'eet d'absorption rasante (Seat-Dip eect), qui a la particularite de modi er le message sonore tant d'un point de vue physique que perceptif, sera analyse plus loin dans ce document (cf. 5:4:3); { Re exions precoces : premiere partie de l'eet de salle. Ensemble de contributions en provenance des parois et autres obstacles de la salle et dont la distribution spatio-temporelle depend des caracteristiques de la source et du recepteur ainsi que de la geometrie de la salle ; { Re exions tardives et queue de reverberation : apres un temps proportionnel a la racine carree du volume de la salle [Pol88], la densite des re exions est telle qu'il est impossible de distinguer les dierentes contributions. On dit qu'il y a etablissement d'un champ reverbere. Cette partie de l'eet de salle peut ^etre consideree comme etant surtout caracteristique de la salle elle-m^eme, et donc peu dependante des proprietes de la source et du recepteur.

2.2 Caracterisation objective de la qualite acoustique d'une salle

7

dB son direct eet de salle re exions precoces re exions tardives et queue de reverberation

Temps 0 Fig.

2.1 { Re ectogramme-type d'une reponse impulsionnelle mesuree dans une salle.

Dans le paragraphe suivant, un bref rappel sera fait de l'etat actuel des recherches en acoustique des salles sur les relations entre les proprietes perceptives de la qualite acoustique et les indices objectifs mesurables a partir de la reponse impulsionnelle. Nous chercherons ainsi a con rmer la validite de la decomposition simpli ee de l'eet de salle en re exions precoces, tardives et queue de reverberation. Nous tenterons de le simpli er encore par une serie d'indices degages des dernieres recherches menees sur ce sujet, en particulier par l'equipe acoustique des salles de l'Ircam.

2.2 Caracterisation objective de la qualite acoustique d'une salle Une reponse impulsionnelle contient en principe toutes les informations necessaires a l'evaluation acoustique d'une salle. Neanmoins, la vaste quantite de donnees qui la constitue peut ^etre redondante et diÆcile a interpreter. Aussi, il a semble plus adapte de simpli er la reponse impulsionnelle en la decrivant par des quantites mesurables a partir de celle-ci, capables de decrire et quanti er les relations existantes entre des proprietes physiques et des proprietes perceptives de l'acoustique d'une salle. L'inter^et de la caracterisation objective de la qualite acoustique ne reside donc pas uniquement dans la simpli cation des informations fournies par des mesures des dierents canaux acoustiques, mais surtout dans la determination de leur lien avec les aspects perceptifs qui gouvernent la perception de la qualite acoustique d'une salle. Le probleme ainsi pose souleve deux questions fondamentales : { lesquelles, de toutes les grandeurs acoustiques mesurables, traduisent le mieux la qualite perceptive des transformations operees par la salle sur le message sonore original? { quel nombre minimum de grandeurs acoustiques faut-il retenir pour caracteriser de maniere exhaustive la qualite acoustique d'une salle? Ces questions donnent lieu a de nombreuses recherches depuis plusieurs decennies. Au debut du siecle, Sabine introduit la notion de temps de reverberation dans son article \Reverberation" [Sab22]. C'est la premiere demarche scienti que aboutissant a l'etablissement d'un indice objectif determinant dans l'appreciation subjective de l'acoustique d'une salle. Depuis, de nombreuses etudes systematiques ont ete eectuees, qui visent a de nir un concept de qualite acoustique,

8

Chapitre 2 : Caracterisation acoustique des salles dont la description est independante des caracteristiques de la salle et du message sonore, sous forme d'indices objectifs. Parmi les plus importantes nous pouvons citer celles de Beranek, au debut des annees 60 ([Ber62]), premiere etude systematique degageant la necessite d'enrichir la description de la qualite acoustique en ajoutant de nouveaux indices en plus du temps de reverberation, ainsi que celles des equipes de Berlin, Gottingen, et Dresde ([Kah95]) au debut des annees 70, suivies des etudes de M. Barron et A. H. Marshall ([Bar71], [BM81]). Ces derniers ont mis en relief l'importance de la direction de provenance des re exions precoces. Plus recemment Barron a propose de faire des evaluations subjectives de salles en situation de concert a partir d'un questionnaire structure 1 ([Bar88],[Bar94]). Suite a l'etude et l'analyse de l'ensemble de ces travaux, l'equipe acoustique des salles de l'Ircam, alors sous la direction de Jean-Pascal Jullien et en collaboration avec le Cnet (Centre national d'etudes en telecommunications), a mis en uvre une serie de tests en laboratoire a n d'apporter des elements nouveaux a la connaissance des dierents parametres objectifs de l'information acoustique qui regissent notre perception ([WJ87]). L'etude a principalement ete eectuee dans le cadre de la these de Catherine Lavandier ([Lav89]), dont les resultats ont ete par la suite repris et reinterpretes par Jean-Pascal Jullien entre 1991 et 1994 ([JKWW92] et [Jul93]). Plus recemment encore, Eckhard Kahle, dans le cadre de sa these eectuee a l'Ircam, a mene une etude pour proposer un modele objectif de la perception de la qualite acoustique ([Kah95]), en transposant et adaptant les tests d'ecoute menes en laboratoire sur un groupe de salles de concerts et d'operas en Europe. Une analyse critique des travaux sur la caracterisation objective de la qualite acoustique des salles est presentee dans l'etude bibliographique realisee par Eckhard Kahle au chapitre 2 de sa these ([Kah95]). Dans cette partie, une explication detaillee des travaux du laboratoire d'acoustique des salles de l'Ircam sur ce sujet est egalement exposee. Cette etape de caracterisation objective, en liaison avec la perception, est importante pour notre etude dans la mesure ou elle permet de degager les grandeurs acoustiques a partir desquelles la validation des programmes de simulation sera principalement menee. Au dela de la veri cation des hypotheses physiques sur lesquelles sont basees les noyaux de simulation, ceux-ci seront juges sur leur capacite a predire les indices objectifs principaux utilises pour caracteriser la qualite acoustique des salles.

2.2.1 Indices objectifs Les diverses etudes sur la perception, citees au paragraphe precedent, et notamment celles de l'Ircam, ont permis de cerner le r^ole particulier de chacune des sections temporelles de la reponse impulsionnelle d'une salle, a savoir : le son direct, les premieres re exions, les re exions tardives et la queue de reverberation. Ces etudes ont conduit a considerer un decoupage de la distribution temporelle de l'energie sous forme de blocs, dont les bornes temporelles sont rappelees au tableau suivant : 1. En fait la premiere etude utilisant un questionnaire dans des situations de concert a ete celle de Hawkes & Douglas au debut des annees 70 ([HD71]). A l'heure actuelle neanmoins, le format de questionnaire le plus utilise pour ce genre d'experiences reste celui elabore par M. Barron.

2.2 Caracterisation objective de la qualite acoustique d'une salle Code plage temporelle formule Z t=5ms FOD 0 - 5 ms p2 dt t=0ms Z t=20ms p2 dt OD 0 - 20 ms t=0ms Z t=40ms p2 dt R1 20 - 40 ms t=20ms Z t=80ms R2 40 - 80 ms p2 dt t=40ms Z t=160ms p2 dt R3 80 - 160 ms t=80ms Z t=1 p2 dt R4 160 ms - 1 t=160ms Z t=xxms Oxx 0 - xx ms p2 dt t=0ms Z t=1 Rxx xx - 1 p2 dt t=xxms

nom onde directe onde directe etendue premieres re exions re exions tardives reverberation precoce reverberation tardive energie precoce energie tardive

2.1 { Decoupage temporel sous forme de blocs de la reponse impulsionnelle. Les frontieres temporelles ne sont pas abruptes, mais realisees par des ponderations d'une longueur temporelle de 5 ms

Tab.

Nous enumerons ci-dessous les indices objectifs decrivant les aspects les plus signi catifs de la perception connus a ce jour, accessibles, pour la plupart d'entre eux, a partir du modele decrit au tableau 2.1. Parmi ces indices objectifs, nous distinguons les indices monoraux, mesures avec un microphone omnidirectionnel, de ceux lies a la spatialisation ou binauraux, qui necessitent pour leur calcul plusieurs capteurs directifs, voire une t^ete arti cielle. Nous rappelons aussi qu'en raison de la variabilite de ces indices en fonction de la frequence, l'usage prevoit de les calculer au minimum par bandes d'octave 2 .

Indices monoraux 1. Lies a la courbe de decroissance (a) Temps de reverberation. En toute rigueur, c'est le temps au bout duquel l'energie sonore decro^t de 60 dB par rapport a sa valeur initiale, apres extinction de la source. Cette source genere un bruit blanc ayant atteint dans la salle le regime stationnaire avant l'arr^et de l'emission (NF S 31 012). Or il appara^t que dans la plupart des cas, une telle dynamique (60 dB) n'est jamais atteinte. De plus, les irregularites dans la linearite de la decroissance entre un point et un autre peuvent ^etre importantes. Pour ces raisons, on calcule tout d'abord la courbe de decroissance de l'energie a partir de la reponse impulsionnelle en utilisant la relation suivante ([Sch65]) : 2. Les frequences centrales des bandes d'octave dans l'intervalle audio (c'est a dire entre 20 et 20 000 Hz), sont donnees par les valeurs suivantes : 31, 63, 125, 250 et 500 Hz ; 1, 2, 4, 8 et 16 kHz.

9

10

Chapitre 2 : Caracterisation acoustique des salles Z +1 EDCh (t) = h2 ( ) d (2.4) t Le temps de reverberation TR est alors calcule par une regression lineaire sur la plage energetique [ 5 dB, 35 dB] ou [ 5 dB, 25 dB] de la courbe de decroissance integree, selon la dynamique de mesure. Perceptivement, cet indice vise a traduire la sensation de reverberance percue par l'auditeur. (b) Early decay time Designant le temps de reverberation calcule sur la courbe de decroissance generalement entre les points 0 et 10 dB, cet indice est lie a l'impression de reverberation courante (du terme en anglais running reverberance) percue par les auditeurs, c'est-a-dire la possibilite de percevoir le tra^nage de la salle pendant le discours musical (par opposition a l'impression de tra^nage de la salle percue lors de l'extinction du message musical mieux traduit par le TR). Plusieurs recherches (dont celles menees a l'Ircam) suggerent que le EDT soit mesure entre 0 et 15 dB, car une meilleure correlation avec l'impression de reverberation courante est obtenue.

2. Lies a la repartition de l'energie de la reponse impulsionnelle (a) De nition (\Deutlichkeit") Il s'agit d'une comparaison des energies precoces et tardives de la reponse impulsionnelle pour separer l'information \utile" de celle quali ee de \nuisible". Le \Deutlichkeit" est de ni comme le rapport de l'energie des 50 premieres millisecondes apres l'arrivee du son direct sur l'energie totale. Cet indice est lie a l'intelligibilite de la parole et s'exprime en pourcentage : 2Z

t=50ms

3

p2 dt 7

6

t=0ms D = 100  6 6 Z t=1 4 t=0ms

p2 dt

7 7 5

(2.5)

(b) Clarte Rapport entre l'energie precoce et l'energie tardive dans la salle, l'indice de clarte vise a traduire l'eet de precision d'ecoute des instruments ou de la transparence de la musique. Il s'exprime en dB. Il existe dierents calculs de la clarte suivant l'intervalle de temps choisi : 50 ms ou 80 ms. La forme generale a partir de la reponse impulsionnelle s'ecrit : 2Z

Cxx = 10 log10

t=xxms

6 6 t=0ms 6 Z t=1 4

t=xxms

3

p2 dt 7 7 7

5 p2 dt

(2.6)

En reference au modele de decoupage de l'energie en sections temporelles (tableau 2.1), la clarte a 80 ms peut s'exprimer par : 

(OD + R1 + R2) C80 = 10 log10 (R3 + R4)



(2.7)

2.2 Caracterisation objective de la qualite acoustique d'une salle

11

(c) Temps central C'est le moment d'ordre 1 de la reponse impulsionnelle. Le temps central, correle a l'indice de clarte, a l'avantage de ne pas ^etre base sur la de nition d'une limite temporelle precise, et donc d'^etre tres stable. Il est de ni par : Z

ts =

t=1

t  p2 dt

t=0ms Z t=1

t=0ms

(2.8)

p2 dt

Une formulation simpli ee permet de conna^tre le ts a partir du decoupage de la reponse impulsionnelle proposee dans le tableau (2.1) : (10ms  OD + 30ms  R1 + 60ms  R2 + 110ms  R3 + R4  (160 + T R=13:8)ms) (2.9) (OD + R1 + R2 + R3 + R4) Dans cette derniere expression il s'agit de \ponderer" les energies des plages temporelles par le \median" de la plage temporelle et de calculer un temps central sur la partie tardive de la reponse de la salle (en supposant une decroissance exponentielle). Il est en fait possible de calculer des temps centraux \precoces" pour les plages temporelles de OD, R1 ainsi que R2 et R3, nommes ECT0, ECT1 et ECT2 (ECT pour \early central time").

ts =

(d) Force sonore Loudness en anglais. La force sonore est le niveau d'energie totale de la reponse impulsionnelle parvenant a l'auditeur reference par rapport a la puissance acoustique de la source en un point situe a 10 m, mesuree sous conditions anechoques ([BL88]) : 2Z

1

t=0ms Z G = 10 log10 6 4 1 6

t=0ms

3

p2 dt 7 7

5 p2ref

(2.10)

Cet indice traduit le niveau sonore en un point de la salle. 3 (e) Perception de l'energie tardive. L'indice Rev Propose par J-.P. Jullien ([JKWW92],[Jul93]), cet indice traduit la presence de l'eet de salle. Il est base sur l'observation que des re exions parvenant de maniere precoce auront tendance a masquer la reverberation tardive. L'integration de l'energie d'une plage temporelle a l'energie reverberee percue s'eectue donc en fonction des regles de masquage. Le Rev se calcule par la somme energetique de l'energie du champ tardif, arrivant 280 ms apres l'arrivee du son direct (R280) et de l'energie non-masquee de la plage temporelle [80ms; 280ms] 4 (Rr80 280, r pour restante). L'application des regles de masquage donne la formule de l'energie non-masquee : 3. Recemment, Soulodre et Bradley ([SB95b]), lors d'une serie d'experiences pour evaluer l'importance subjective de quelques indices objectifs, ont trouve que la valeur ponderee A de cet indice (G(A)), etait mieux correlee avec la sensation subjective de force sonore. 4. Les conclusions issues de plusieurs etudes psychoacoustiques (voir [Kah95] x2:15:3), ont amene J.-P. Jullien a modi er la de nition de Rev, proposee dans un premier temps dans [JKWW92]. C'est cette nouvelle de nition que nous donnons dans ce paragraphe. L'intervalle choisi pour le calcul de Rr80 280 ([80ms; 280ms]) represente les 200 premieres ms de la reverberation statistique (dont le debut est suppose a 80 ms). Les demarches precises pour arriver a la de nition de cet idice sont decrites egalement dans les references donnees dans ce paragraphe.

12

Chapitre 2 : Caracterisation acoustique des salles 2log10 (0; 08  O40) ) ;

log (R80 280) Rr80 280 = 10log2 (2 10

(2.11)

la formule de Rev s'ecrit donc, Rev = 10 log10 (Rr80 280 + R280)

(2.12)

Dans son etude, E. Kahle ([Kah95]) met en evidence la relation existante entre cet indice et le temps central ts. D'apres la base de donnees de la campagne europeenne de mesures (cf. x5.3), le taux de correlation entre Rev et ts atteint 75%. 3. Indices binauraux. Impression d'espace Des etudes recentes con rment le fait que la sensation d'impression d'espace est composee de plusieurs sous-aspects perceptuellement separes ([HOB92], [Bar94], [SB94], [BS95], [SB95a], [Bra98]). Parmi les multiples de nitions donnees a ces sensations auditives, un consensus existe pour en distinguer deux : largeur apparente de la source (\auditory source width", ASW), et enveloppement (\listener envelopment", LEV). 5 Ci-dessous nous rappelons brievement leurs implications dans la perception de l'impression d'espace et les indices objectifs qui sont censes mieux les predire. (a) Largeur apparente de la source La largeur apparente de la source ASW depend du niveau relatif des re exions laterales precoces. Elle est donc caracterisee par la fraction d'energie laterale LF (\lateral energy fraction"), qui mesure le rapport lineaire entre l'energie laterale precoce et l'energie totale precoce de la reponse impulsionnelle. Barron ([Bar71]) de nit la frontiere entre precoce et tardif a 80 ms apres l'arrivee du son direct. Theoriquement, LF est de nie comme suit : Z

t=80ms

p2 cos  ms LF = t=0 Z t=80ms p2 t=0ms

(2.13)

ou  est l'angle entre la direction d'arrivee de la re exion et la ligne traversant les deux oreilles de l'auditeur. Dans la pratique, on mesure l'eÆcacite laterale a l'aide de deux microphones, l'un en directivite \ gure 8" et l'autre omnidirectionnel : t=80ms

Z

LF =

p2fig8

t=0ms Z t=80ms t=0ms

p2

(2.14)

5. Soulodre et Bradley ([SB95a]) estiment que LEV est perceptivement le sous-aspect le plus important de l'impression d'espace. En eet, ils trouvent dans une serie de tests en laboratoire, que la perception de la variation de ASW est tres perturbee par la presence d'un fort niveau d'energie reverberee, de laquelle depend en bonne mesure la perception de LEV. Morimoto et Posselt ([MP89]) ont ete parmi les premiers a constater l'in uence tres importante de la reverberation sur l'impression d'espace m^eme si a l'epoque ils ne parlent pas encore de distinguer plusieurs eets separement.

2.2 Caracterisation objective de la qualite acoustique d'une salle

13

L'inconvenient de cette representation est qu'en procedant ainsi, on obtient une energie laterale qui est ponderee par un cosinus au carre et non pas par un cosinus. Kleiner propose une procedure pour s'approcher davantage du calcul theorique ([Kle89]) : t=80ms

Z

pomni  pfig8 LFC = (2.15) Z t=80ms p2 t=0ms Barron suggere que la limite temporelle inferieure de la mesure de l'energie laterale precoce (le numerateur dans les equations precedentes), commence 5 ms apres l'arrivee du son direct pour bien s'assurer que sa contribution ne soit pas prise en compte. Dans la pratique, une limite inferieure egale a 0 ms ou a 5 ms donne des resultats presque identiques, le rejet de l'onde directe par le positionnement du microphone \ gure 8" etant d'une facon generale suÆsant ([Bra94]). Un autre indice employe pour mesurer ASW est le coeÆcient de correlation interaurale IACC 6 ([DA72], [HOB92], [NYA93]). Cet indice est base sur la fonction de correlation interaurale CCF normalisee, mesuree a l'aide d'une t^ete arti cielle, entre les temps d'integration t1 et t2 : t=0ms

Z t2

CCFt ( ) =

t1 Z t2

s

t1

Pl (t)Pr (t +  )dt

Pl2 (t)dt

Z t2

t1

Pr2 (t)dt

(2.16)

ou Pl et Pr representent respectivement la pression acoustique sur les oreilles gauche et droite et  le retard interaural. IACC = j CCFt ( ) jmax

pour j 

j 1 ms

(2.17)

Les valeurs de cet indice sont comprises entre 0 et 1, la valeur minimale etant atteinte lorsqu'on se trouve dans un champ sonore dius (aucune direction n'est preponderante). Hidaka et al ([HOB92]) font la distinction entre un IACCE et un IACCL , respectivement un IACC dans les 80 premieres ms et un IACC apres 80 ms. De plus, ils distinguent plusieurs plages frequentielles et trouvent qu'un IACCE moyenne sur les 3 octaves centrees sur 500 Hz, 1 kHz et 2 kHz est le mieux correle avec ASW ([HBO95]). Morimoto et al ([MISM94a], [MISM94b]) constatent que seules les composantes frequentielles basses et moyennes des re exions laterales (jusqu'a 1:6 kHz d'apres leurs experiences en laboratoire) contribuent a la sensation de ASW, ce qui semble con rmer la necessite de distinguer plusieurs plages frequentielles. En n Bradley, lors d'une campagne de mesures dans 11 salles canadiennes, trouve des 6. Plusieurs etudes ont conclu que LF et IACC sont lies a l'impression d'espace ([And85], [Bra94]). Cependant, des correlations signi catives entre eux dans des salles n'ont pu ^etre mises en evidence que pour des frequences inferieures a 1 kHz et pour une moyenne de ces indices mesures a plusieurs emplacements du recepteur ([Bra94]). Cette etude a aussi montre l'in uence des deux indices LF et IACC en etablissant qu'ils ne traduisent pas les m^emes aspects acoustiques d'un champ sonore. L'auteur conclut qu'il est necessaire d'approfondir l'etude subjective de ces deux indices pour mieux cerner leur r^ole.

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Chapitre 2 : Caracterisation acoustique des salles correlations signi catives entre la valeur moyenne par salle d'un IACC large bande mesure entre 0 et 50 ms, et la largeur moyenne des salles ([Bra83]). (b) Enveloppement L'enveloppement LEV est de ni comme la sensation d'^etre entoure par le son. Il est in uence par le niveau total et par la distribution spatio-temporelle de l'energie tardive a la place du recepteur. Bradley et Soulodre ([BS95], [SB95a]) proposent une mesure unique qui prend en compte ces deux aspects (niveau et distribution spatiale), et qu'ils appellent le niveau sonore relatif lateral tardif (LG1 80 ), comme l'indice objectif le mieux adapte pour predire la sensation d'enveloppement : 2Z

1

6 t=80 Z 1 ms LG1 80 = 10 log10 6 4

t=0ms

3

p2fig8 7 p2ref

7 5

(2.18)

D'apres des experiences subjectives menees par les auteurs, un taux de correlation de l'ordre de 0; 99 entre la sensation d'enveloppement (LEV) et (LG1 80 ) est obtenu lorsqu'on exprime cet indice comme le resultat de la somme sur les 4 octaves inferieures ([125 Hz, 1 kHz]). 1 Les indices LF1 0 et [1 IACC0 ], moyennes sur les 3 bandes d'octave a 250 500 et 1000 Hz, bien que dans une moindre mesure, sont aussi tres bien correles avec LEV ([BS95]).

Mesure physique de la qualite acoustique d'une salle La caracterisation objective des salles est menee a partir des indices deduits de la mesure de la reponse impulsionnelle. De nombreuses techniques de mesure ont ete mises au point pour y arriver. Parmi les plus importantes, nous pouvons citer les sequences de longueur maximale ou MLS ([Sch79], [BA83]), les codes de Golay, methode similaire au MLS ([Fos86]), et la spectrometrie a ltrage decale (Time Delay-Spectrometry, TDS), basee sur un balayage lineaire en frequence ([VAN86], [Des96]). Le choix de la technique employee dans ce travail sort du cadre de ce rapport, mais le lecteur pourra consulter les etudes comparatives menees par ([Des96]) et ([Noe99]).

2.3 Conclusions Nous avons presente les grands traits de la caracterisation objective et perceptive de la qualite acoustique des salles. Les programmes d'acoustique previsionnelle ayant principalement pour objet d'evaluer cette qualite soit pour un projet architectural, soit pour une application de realite virtuelle, il est important de conna^tre les indices principaux sur lesquels, nalement, notre jugement perceptif se basera.

Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

15

Chapitre 3

Etude bibliographique: Simulation de la propagation acoustique dans les salles Par ce chapitre, nous dressons un bilan des methodes physiques et numeriques le plus couramment utilisees pour simuler la reponse impulsionnelle en un point recepteur d'une salle, en soulignant leurs principales caracteristiques, potentialites et limites. Bien qu'une attention particuliere soit accordee aux methodes numeriques, nous commencerons par exposer sommairement les principes des methodes physiques, les maquettes acoustiques. Ensuite, les principales methodes numeriques de simulation basees sur la resolution de l'equation des ondes : les elements nis FEM, les dierences nies FDM et les methodes des elements de frontiere BEM, seront brievement exposees. Les methodes classiques de l'acoustique geometrique, notamment les sources images, les rayons et les c^ones feront l'objet d'une description plus detaillee. En n, l'approche statistique de l'acoustique geometrique sera illustree par un modele de propagation peu souvent employe comme complement des sources images et rayons dans le cadre des simulations informatiques en acoustique des salles : la methode de Markov.

3.1 Introduction La reussite d'un projet architectural en acoustique des salles ne depend pas uniquement de la capacite a prevoir precisement un resultat acoustique a partir des objectifs acoustiques assignes au depart. En eet, sa reussite est etroitement liee a la pertinence du choix acoustique initial. Ainsi, dans le cas precis d'une salle de concerts, de la pertinence du choix depend (entre autres) la comprehension des relations complexes entre musiciens et chef d'orchestre, des relations entre musiciens m^emes, ou entre le public et l'espace architectural qui l'entoure. Il convient egalement d'ajouter le respect des contraintes esthetiques imposees par l'architecte et, d'une maniere generale, par les objectifs du projet. A l'evidence, il est primordial que le travail de conception acoustique soit mene en etroite collaboration avec architecte(s) et musiciens. Actuellement, les outils de simulation jouent un r^ole fondamental dans ces echanges et pour l'approfondissement des connaissances sur les liens entre mesures acoustiques et parametres geometriques, et/ou entre indices objectifs et facteurs perceptifs. L'etat des connaissances en

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

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acoustique des salles permet d'etablir des relations precises entre des elements mesurables ou predictibles et la perception auditive de la qualite acoustique. Ainsi, des systemes de simulation bases soit sur des modeles physiques (les maquettes), soit sur des modeles numeriques (les programmes informatiques) donnent acces a l'evaluation des performances acoustiques d'un projet architectural avec suÆsamment de detail, du moins pour des applications pratiques. Cependant, d'enormes progres sont encore a faire dans le domaine de la caracterisation des phenomenes physiques sonores, malgre le developpement impressionnant ces dernieres annees de la puissance de calcul d'ordinateurs qui permettent de simuler des phenomenes de plus en plus complexes. Nous commencons ce chapitre par une breve introduction des principes de base de la mesure sur maquette, en soulignant ses atouts et ses faiblesses. Ensuite, l'etude des methodes numeriques de simulation en acoustique des salles, depuis celles basees sur la resolution de l'equation des ondes jusqu'a l'approche statistique, en passant par les methodes de l'acoustique geometrique, seront etudiees.

3.2 Modeles Physiques. Les maquettes acoustiques L'utilisation actuelle des maquettes acoustiques tridimensionnelles fait suite a diverses tentatives de mise au point de simulation par modele physique ou analogique de la propagation en espace clos. En eet, c'est en 1913 que Sabine, (\Theater acoustics" [Sab22]), etudie la formation et la propagation d'echos en produisant des photographies de fronts d'onde en deux dimensions des sections horizontale et verticale des modeles reduits du New Theater (New York), du Scollay Square Theater (Boston) et du Harris Theater (Minneapolis), aux Etats-Unis. Il utilise une etincelle electrique comme source lumineuse. En 1928, Delasso et Knudsen ([Knu69]) ameliorent la technique photographique utilisee par Sabine pour mettre en evidence un grave probleme d'echo dans le Royal Hall de l'UCLA en Californie. Mais c'est nalement Spandock qui, en 1934, realise des mesures en 3 dimensions a une echelle de 1=5e. A la m^eme epoque, Dungen etablit les lois de similitude appliquees a l'acoustique. Ces lois ont ete analysees en detail par Polack et al ([PMD89]). Le principe peut s'expliquer de la facon suivante en faisant reference a deux relations fondamentales ([Bar83]) : Celerite =

Distance = frequence  longueur d'onde Temps

(3.1)

La vitesse du son est identique dans une salle reelle et dans sa maquette pour un m^eme milieu propagatif. Si ce milieu est l'air, la reduction de la distance par le facteur d'echelle (n) entra^ne une reduction du temps (T) par ce m^eme facteur. La longueur d'onde () est ainsi reduite du m^eme facteur, et donc la frequence (f) est transposee vers les ultrasons de ce m^eme facteur. Une frequence de 1 kHz pleine echelle est transposee a 50 kHz dans une maquette a 1=50e. La correspondance entre les principales grandeurs de la maquette (m) et de la salle (s) est donc exprimee comme suit :

 m = s n fm = fs  n T Tm = s n

(3.2) (3.3) (3.4)

3.2 Modeles Physiques. Les maquettes acoustiques

17

avec T = d=c, ou d represente une distance et c la celerite du son dans l'air. La transposition frequentielle genere les problemes suivants pour la mesure sur maquette : 1. Attenuation de propagation en hautes frequences. Bien que dans les maquettes les distances de parcours soient plus faibles qu'en pleine echelle, la nature viscothermique de l'air fait que l'attenuation par unite de longueur augmente avec la frequence. Ce surplus d'attenuation introduit dans les mesures un biais d'autant plus grand que l'echelle est reduite. Une solution classique a ce probleme consiste soit a assecher l'air, soit a le remplacer par de l'azote, permettant ainsi de compenser le phenomene jusqu'a environ 50 kHz ([BC79]). Outre le probleme d'accessibilite a la maquette pendant les mesures (les deux solutions necessitent de la fermer hermetiquement), il appara^t qu'au-dela de cette frequence, l'attenuation reste trop importante. Cette solution est donc insuÆsante pour les maquettes dont les frequences utiles sont superieures a 50 kHz. 2. Comportement acoustique des materiaux. L'absorption d'un materiau etant fonction de la frequence, il est necessaire d'utiliser des materiaux dont les performances a echelle soient equivalentes a celles en situation reelle. Or, un exces d'absorption au niveau des couches limites d^u aux eets viscothermiques, proportionnel a la racine carree de la frequence, est responsable d'une absorption supplementaire d'environ 5% a 100 kHz ([M+ 91]). En consequence, il est tres diÆcile d'obtenir des valeurs correctes du temps de reverberation en hautes frequences dans les maquettes. Dans certains cas, cet eet peut ^etre partiellement compense en choisissant des materiaux dont l'absorption a echelle soit inferieure a celle en situation reelle. Cependant, le cas des parois parfaitement re echissantes (par exemple celles d'une chambre reverberante) sera impossible a simuler. 3. Limitations imposees par les transducteurs. { La source sonore. Les hautes frequences mises en jeu requierent des sources possedant des largeurs de bande acceptables. Des haut-parleurs de petite dimension orent l'avantage de la repetabilite et de la reproductibilite de pratiquement tout type de signal. Cependant ils presentent une forte directivite et sont d'autant plus encombrants par rapport aux longueurs d'onde, que l'echelle est petite. La meilleure solution consiste a utiliser des etincelles, celles-ci generant des impulsions d'assez courte duree (30 a 40 s), etant quasi-omnidirectionnelles et d'assez bonne repetabilite. Ceci permet de realiser des moyennes coherentes et d'assurer un bon rapport signal sur bruit de mesure. Neanmoins, les etincelles sont diÆcilement manipulables, du fait de la presence de haute tension, d'un reglage delicat et d'un spectre frequentiel non plat contenant peu de basses frequences. Des mesures en regime permanent (Bruits blancs,. . . ) peuvent donc ^etre realisees a l'aide de transducteurs a lm piezopolymere (PVDF). M^eme si ces sources ont une reponse en frequence assez plate et une bonne repetabilite, elles ne descendent pas en-dessous de 2 a 3 kHz et ont une directivite (axiale) assez marquee. { Le recepteur. En reception, la seule solution possible est l'utilisation de microphones a condensateur 1=8 eme de pouce dont la particularite est d'avoir un rendement acceptable a hautes frequences (jusqu'environ 160 kHz). Cependant trop gros pour pouvoir assurer une omnidirectionnalite, et perturbant le champ sonore, ils necessitent l'application d'un c^one d'homogeneisation pour les rendre un peu moins directifs. En consequence des limitations imposees par la transposition frequentielle, l'usage d'une ma-

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Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

quette est conditionne par le choix de l'echelle. C'est pourquoi un classement global des maquettes en trois groupes est propose, en fonction des possibilites d'exploitation par rapport a l'echelle de construction : { echelles de 1=50e a 1=100e. Leur utilisation est limitee essentiellement a l'etude de la distribution spatio-temporelle des re exions precoces; { echelles de 1=20e a 1=50e. A ces echelles, le calcul de la plupart des indices objectifs de caracterisation de la qualite acoustique (cf. x2.2) est possible, a l'exception des indices binauraux, pour lesquels il n'existe pas de transducteurs adaptes aux contraintes imposees par l'echelle; { echelles de 1=5e a 1=20e. Certes plus interessantes par leurs possibilites d'application, elles exigent un investissement tres eleve en temps et nancement. Ces modeles donnent acces a une ecoute dans la maquette par convolution avec un message sonore anechoque (auralisation), ce qui permet d'acceder a une quali cation acoustique de la salle par des evaluations subjectives. Les premiers essais d'auralisation sont dus a Spandock et son equipe a Munich en 1934 ([XB93]). L'experience a consiste dans un premier temps a diuser dans une maquette a 1=5e , puis dans une maquette a 1=10e , un message sonore anechoque (la parole) a une frequence n fois superieure a celle en pleine echelle a l'aide d'un petit haut-parleur. Le signal recupere par un microphone a ensuite ete retransmis par casque a la frequence originale. Depuis, les techniques ont evolue et des t^etes arti cielles miniatures ont ete developpees a 1=10e pour pouvoir tenir compte des eets spatiaux des champs acoustiques en espace clos ([HYT89], [Tac97], [XB91]). Leur utilite dans la conception en acoustique des salles est illustree par divers exemples, dont notamment ([XB93], [Tac97]), ou l'auralisation par t^ete arti cielle a permis d'ecouter dierentes situations acoustiques dans une salle avant sa conception 1 . L'etude des proprietes perceptives de certains traitements acoustiques des surfaces dans une salle represente une autre application eÆcace de cette technique pour les evaluations subjectives ([KSD92]).

3.2.1 Nouvelles perspectives de la simulation sur maquette : le systeme MIDAS C'est dans l'optique d'etendre les performances de la modelisation physique des salles et des maquettes, que le Laboratoire d'Acoustique de l'Universite du Maine en collaboration avec l'Acoustics Research Centre de l'Universite d'Auckland en Nouvelle-Zelande, a developpe le systeme de mesure MIDAS (Methode Informatisee pour Decrire l'Acoustique d'une Salle [PMD89]). Ce systeme est base, comme la plupart des approches, sur la description de la qualite acoustique par des indices objectifs. Une attention particuliere a ete portee sur la validite pour un travail sur des maquettes de taille reduite, dont l'echelle (1=50e) est la plus frequemment adoptee par les architectes pour leurs modeles de salles. Les principales ameliorations apportees par MIDAS a la simulation sur maquette sont : { Compensation numerique de l'attenuation de propagation ([PN92],[P+ 92], [PMG93]), permettant ainsi son utilisation en air ambiant; 1. Au-dela d'une echelle a 1=10e , il est trop diÆcile d'envisager des auralisations de bonne qualite. Les raisons principales etant : 1. l'impossibilite d'enregistrer des reponses binaurales du fait de l'inexistence de transducteurs pour cet eet; 2. une trop forte absorption de propagation m^eme par la technique de l'air asseche ou de l'azote; 3. a tres hautes frequences, la bande passante de transducteurs les plus performants est insuÆsante pour l'auralisation d'extraits musicaux.

3.2 Modeles Physiques. Les maquettes acoustiques

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{ evaluation de l'indice binaural de l'eÆcacite laterale avec deux microphones omnidirectionnels a l'aide d'une methode developpee par Polack et Pelorson ([PP88]); { possibilite de faire des tests d'auralisation (monauraux) dans des maquettes a 1=50e gr^ace (entre autres) au developpement d'une methode d'extension de la bande passante des reponses impulsionnelles ([GMP95], [Gri95]); { contr^ole de la directivite des transducteurs employes pour les mesures a echelle reduite ([MMB97]). A present, l'experience acquise de l'utilisation de MIDAS dans le domaine de l'acoustique des salles (voir par exemple [PMDM92], [MPD92], [CB93], [MWD94]) montre que la qualite de la prediction des indices acoustiques depend exclusivement du soin apporte a la construction de la maquette. Une reproduction dele de sa geometrie est cruciale pour la determination des re exions precoces, tandis que l'absorption aecte principalement le temps de reverberation. Nous distinguons donc trois niveaux suivant la qualite de construction d'une maquette, qui correspondent a l'usage qu'on peut lui conferer. Ils sont schematises au tableau 3.1. Il faut cependant remarquer que l'absence d'une base de donnees sur le comportement acoustique des materiaux a dierentes echelles fait encore defaut, l'acces a ces donnees etant un facteur essentiel pour l'amelioration de la qualite des predictions acoustiques obtenues par cette methode.

Niveau

Echelle a 1=50e - Carton - Principaux traits de la salle - Quelques jours Echelle a 1=50e - Panneaux d'acrylique - Assez precis pour inclure des elements diusants complexes du type QRD a ou autres - Plusieurs semaines Echelle a 1=10e - Bois, metal, agglomere, acrylique,. . . - Elaboration detaillee des sieges, rideaux,. . . - Plusieurs mois

1

2

3

Tab.

Type de modele

Utilisation - Pedagogique - Stade de conception du design pour con rmation de la forme de base - Recherche des formes nouvelles - Stade de developpement avance de gros projets

- Evaluation precise de Cx ,TR,EDT,LF,. . . - Toutes les mesures requises dans la salle reelle

- Orchestre, sources et t^ete arti cielle en miniature pour evaluation subjective

3.1 { Classi cation et usage d'une maquette en fonction de sa qualite de construction. D'apres

([M+ 91])

a diuseurs

a residu quadratique (Quadratic Residu Diusers)

On retiendra egalement que le systeme MIDAS ne se limite pas aux applications en acoustique des salles mais evolue vers d'autres horizons. Des exemples concrets d'application pour la caracterisation des espaces ouverts ou semi ouverts (un hall de gare et une station de metro) sont illustres dans ([Orl94], [Kan98]). Dans le cadre du travail de validation de l'environnement de simulation informatique developpe a l'Ircam, pour la comparaison des performances des approches physiques et numeriques de

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Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

simulation, le systeme MIDAS a ete utilise sur un exemple pratique d'application, la salle de la Philadelphia academy of music en Pennsylvanie, aux Etats-Unis (cf. x5.2)

3.2.2 En guise de conclusion Quoique limitee par les problemes evoques precedemment, la modelisation acoustique sur maquette reste tres attractive. Elle constitue la seule technique de simulation capable de reproduire toute la complexite du phenomene acoustique sans avoir recours a des hypotheses simpli catrices : en caracterisant parfaitement les transducteurs et les surfaces du modele, les evenements acoustiques sont reproduits a une frequence plus elevee et avec une duree de propagation plus courte, de facon identique aux evenements pleine echelle. En revanche, du fait de leur co^ut et de l'importance des equipements qu'elles necessitent, les maquettes sont utilisees de facon restreinte, pour des projets de grande envergure a un stade deja avance de la conception. Elles interviennent donc comme complement des simulations informatiques. Elles sont aussi utilisees comme outil pedagogique et de recherche dans les universites. D'autres methodes sont mises au point pour la modelisation sur ordinateur des phenomenes acoustiques dans une salle, dont nous analyserons tout d'abord les apports et soulignerons leurs defauts. Nous nous arr^eterons ensuite brievement sur quelques-uns des logiciels de simulation les plus connus en acoustique des salles.

3.3 Simulation numerique Quasiment depuis l'apparition de l'acoustique des salles en tant que science, la complexite de la description exacte du phenomene de propagation du son en espace clos a motive la recherche de methodes de prediction. Dans un premier temps, des problemes evidents lies aux limitations technologiques ont favorise le developpement de methodes dites analogiques (les maquettes a deux, puis trois dimensions). Ce n'est qu'environ un demi-siecle plus tard que la simulation informatique est apparue, gr^ace a l'acces aux puissances importantes de calcul. A partir de ce moment, et surtout ces vingt dernieres annees, la modelisation numerique a connu un developpement tres fort, la rendant au moins aussi attractive que la simulation sur maquette et laissant esperer des perspectives d'evolution de simulation plus prometteuses, d'ou leur succes croissant en tant qu'outil de recherche ou pour des applications pratiques. Aujourd'hui, certains grands projets d'acoustique des salles utilisent les deux approches de maniere complementaire, l'etude globale de la salle etant faite par la modelisation numerique, et l'etude nale par la modelisation physique. Les recentes evolutions technologiques permettent d'obtenir des resultats tres encourageants quant a leurs possibilites d'application. En eet, couplee a des systemes d'auralisation, la simulation numerique devient un puissant outil de prediction depassant m^eme le cadre des applications classiques en acoustique des salles ([DKS96]). Ce chapitre est consacre a la description des methodes numeriques les plus representatives de la simulation physique de la propagation du son, sans oublier que la qualite d'une auralisation est directement liee aux performances du modele numerique quant a sa capacite d'approcher d'une facon plus ou moins dele la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique.

3.3 Simulation numerique

21

3.3.1 Methodes basees sur la resolution de l'equation des ondes Idealement, dans le domaine frequentiel, le champ sonore a l'interieur d'une salle est decrit par la superposition des dierentes solutions de l'equation des ondes. Ces solutions, appelees aussi modes propres, doivent satisfaire aux conditions aux limites particulieres imposees par les parois du domaine pour un intervalle frequentiel determine ([Kut91]). Or, la representation mathematique exacte du comportement acoustique des parois est extr^emement delicate. Ce comportement varie non seulement en fonction de la frequence, mais aussi de la taille des materiaux constituant la paroi, des conditions pratiques de montage, de la direction d'incidence de l'onde, etc. En n, en considerant que l'onde peut rencontrer des obstacles tout au long de son parcours de propagation, le probleme deviendra diÆcilement soluble de facon analytique, m^eme pour des formes a geometrie tres simple.

Salles petites et grandes Partant de ces constats, l'utilisation des methodes numeriques pour decrire le champ acoustique a partir des solutions de l'equation des ondes semble evidente. Neanmoins, les methodes numeriques actuellement disponibles ne donnent pas de resultats satisfaisants particulierement dans des delais acceptables sur tout le spectre frequentiel audible. En eet, leur utilisation est limitee au spectre basses frequences, ou les longueurs d'onde sont suÆsamment grandes pour que les modes soient peu nombreux et facilement identi ables. Encore faut-il savoir sous quelles conditions l'appellation basses frequences est valable. Aussi, pour lever cette ambigute, nous procedons a une classi cation des salles en fonction des liens entre leurs dimensions et la frequence. Ainsi, une salle est petite si la longueur d'onde a une frequence speci que est superieure ou du m^eme ordre de grandeur que ses dimensions. Dans ce cas donc, nous pouvons parler de basses frequences, la densite modale (nombre de modes propres par pas frequentiel) est faible. Lorsque la longueur d'onde est tres inferieure a ces dimensions, la salle est consideree comme grande. La densite modale moyenne est telle que de nombreux modes se superposent, rendant la recherche de chacun de ces modes a la fois impossible et inutile. La description du champ acoustique par des methodes geometriques ou statistiques est, dans ces conditions, plus adaptee (nous reviendrons plus tard sur ces methodes). Maintenant il est necessaire de determiner le seuil critique de superposition modale (et donc de densite modale) permettant d'identi er le domaine des basses frequences ou l'approche modale est opportune. Pour conna^tre ce seuil ou frequence critique, dite aussi frequence de Schroeder ([SK62]), un critere de superposition modale (m) est de ni en fonction de la largeur de bande moyenne des modes (B), B etant proportionnel a l'absorption des parois, et donc au taux d'amortissement Æ du mode. Elle peut ^etre exprimee par la relation suivante ([Ang97]) : B=

Æ 2:2 =  TRm

(3.5)

avec : TRm =

3 ln 10 , le temps de reverberation associe au mode (en secondes) 2. Puisqu'il n'est pas Æ

2. Le TRm depend de la distance entre les surfaces intervenant dans le mode, et de l'absorption par re exion associee a la structure modale. Le TR classique (en champ dius) est en revanche fonction de l'absorption

22

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

toujours possible de le calculer, il est remplace par le temps de reverberation TR de la salle : 2:2 (3.6) B= TR Il est clair que dans certains cas, cette approximation peut en fait donner des valeurs de B erronees puisque le TR est calcule sous l'hypothese du champ dius. La multiplication de cette derniere equation par la relation nous permettant d'estimer la densite de modes propres par Hz a la frequence f ([Kut91]) 3 :

dNf f2 = 4 V 3 (3.7) df c donne la de nition du critere de superposition modale a une frequence speci que : 8:8  f 2 V m= (3.8) TR c3 ou c est la celerite du son dans l'air (en m/s) et V le volume de la salle (en m3 ). La frequence a partir de laquelle un certain degre de superposition modal a lieu pour une largeur de bande du mode donnee, est deduite directement de cette expression : f =

s

m TR c3 8:8  V



(3.9)

La frequence critique peut alors ^etre de nie pour dierentes valeurs de m. La plus communement acceptee et veri ee experimentalement etant de 3 ([SK62]), on a alors, pour une valeur de c = 344 m/s :

fc

 2100

s

TR V



(3.10)

Bien qu'il ne faille pas prendre cette equation comme une limite exacte et rigide, elle donne cependant une idee de la transition entre un comportement modal et un comportement statistique et donc du type d'approche le mieux adapte a l'etude du champ acoustique a l'interieur d'une salle. Dans une salle petite, la frequence critique sera egale ou superieure a la plus basse frequence generee dans la salle. De la m^eme maniere, dans une salle grande, la frequence critique sera inferieure a la frequence la plus basse generee. Si nous prenons l'exemple d'une salle de concerts de 10000 m3 avec un TR moyen de 2 secondes, la frequence minimum a partir de laquelle il est raisonnable d'appliquer un traitement statistique aux modes est d'environ 30 Hz. D'autres frequences critiques peuvent ^etre de nies en modi ant le degre de superposition, ce qui a comme eet de decaler la limite frequentielle inferieure a partir de laquelle on appelle une salle grande. En acoustique des salles, la conception des studios d'enregistrement et de cabines de contr^ole (control rooms), ainsi que des studios de radio et de television, sont des exemples classiques de petites salles dans lesquelles le comportement modal en basses frequences aecte une partie non negligeable du spectre audible. Dans ces cas, une description geometrique de la propagation acoustique n'est pas appropriee. La recherche des solutions (approchees) du champ acoustique requiert donc l'utilisation de methodes numeriques de simulation adaptees pour resoudre moyenne des surfaces de la salle et du libre parcours moyen 4  VS ( =volume de la salle en 3 , =surface 2 V

m

S

de la salle en m ), ce dernier etant une mesure de la distance moyenne entre surfaces. 3. La validite de cette expression approchee suppose des valeurs de f suÆsamment grandes. On peut montrer que ces expressions se generalisent a des salles de forme quelconque ([Ang97]). Il existe, dans certains cas particuliers, des expressions plus exactes valables dans le domaine de basses frequences ([Kut91]).

3.3 Simulation numerique

23

l'equation des ondes. Outre les solutions basees sur la theorie modale ([Kut91]), peu utilisee car tres limitee, de nombreuses methodes existent telles que celles des \dierences nies (FDM)" et des \elements de frontiere (BDM)", la plus couramment appliquee etant celle des \elements nis (FEM)". Toutes sont egalement employees dans la caracterisation acoustique des habitacles automobiles et autres cabines. Nous etudierons, dans le paragraphe suivant, les principales caracteristiques de ces methodes numeriques de simulation, et nous nous interesserons a leurs principaux domaines d'application, leurs atouts majeurs et leurs points faibles.

Methode des elements nis (FEM) FEM est une methode numerique de simulation qui cherche a resoudre de facon approchee des modeles en equations aux derivees partielles de systemes physiques. Lorsqu'il s'agit du son se propageant a l'interieur d'une salle, le systeme physique peut ^etre decrit par l'equation des ondes satisfaisant aux conditions aux limites imposees par les frontieres du domaine (les murs de la salle). Pour ce faire, la geometrie du probleme (le volume occupe par la salle) est divisee en une serie de sous-espaces ou elements nis interconnectes en un nombre ni de points situes a leurs frontieres, les nuds. L'ensemble des elements constitue le maillage ou la grille. Le champ acoustique a l'interieur du domaine est de ni par la description des variables acoustiques (par exemple le champ de pression) a partir des fonctions de nies dans chaque element. Pour eectuer une bonne approximation du champ acoustique, il est important de retenir des elements nis de petite taille qui permettront une plus grande precision. Cela se repercutera bien s^ur sur la quantite des sous-espaces (et donc du nombre de nuds) qui se verra augmenter, d'ou un alourdissement de la charge de calcul. Par experience, un bon equilibre entre la qualite de la simulation et la charge de calcul est possible lorsque la relation h  =6 (h etant la taille de l'element, et  la longueur d'onde des frequences d'inter^et), est respectee ([Wal96], [PK97]). En m^eme temps, cette relation regle la limite frequentielle maximum de calcul en fonction de la taille des elements de la grille. La precision d'une simulation a l'aide de la methode FEM reside donc sur la taille (et la forme) des elements nis et des fonctions choisies pour approcher le champ acoustique dans chaque element. Plusieurs auteurs s'interessent aux dierentes approches de la methode FEM pour resoudre des problemes acoustiques, ainsi qu'aux etudes visant a l'optimiser et a ameliorer ses performances (voir par exemple [Jen96], [Coy98]). Des exemples concrets d'application du FEM aux petites salles sont illustres dans ([Cra83], [CT89], [EC96], [J+97], [Pie98], etc.). Nous presenterons ici la formulation generale du probleme dans le domaine temporel pour l'obtention de la reponse impulsionnelle (regime transitoire) d'un canal acoustique, la formulation dans le domaine frequentiel par resolution de l'equation d'Helmholtz (cf. eq. 1.77) (regime stationnaire) etant quasiment identique. Dans un uide suppose homogene, compressible et non dissipatif, l'equation des ondes est veri ee en tout point du uide par le champ de pression p ([Kut91]) : 1 @2p =0 (3.11) c2 @t2 ou c est la celerite du son. Dans l'optique d'une formulation du probleme par la methode FEM, la de nition du champ de pression a l'interieur de chaque element est assuree a l'aide de fonctions

4p

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

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d'interpolation. Ces fonctions permettent donc de calculer le champ de pression p(x; y; z; t) en tout point du domaine a partir des valeurs de pression dans chacun des nuds du modele en elements nis. L'interpolation est exprimee de la facon suivante :

p(x; y; z; t)

' N T (x; y; z )p(t)

(x; y; z )  ; t  [0; 1[

(3.12)

ou N (x; y; z ) est un vecteur de fonctions d'interpolation appele vecteur (ou matrice) d'interpolation. Les fonctions dans le vecteur d'interpolation ont la particularite de prendre la valeur de 1 dans le nud considere et de 0 hors de l'element considere. Chacune des fonctions de ce vecteur est donc nulle sur tout l'espace exterieur a l'element ni correspondant. p(t) est un vecteur contenant les valeurs de la pression dans chaque nud du modele en elements nis. En introduisant l'equation (3.12) dans (3.11) on obtient :

2 N T + @ 2 N T + @ 2 N T )p (@xx yy zz

c 2 N T @tt2 p = R(x; y; z; t)

'0

(3.13)

ou R(x; y; z; t) est l'erreur commise lorsque l'on utilise l'equation (3.12) pour estimer la pression. Pour la minimiser, on integre cette equation sur la totalite du domaine en utilisant un ensemble de fonctions de ponderation, identiques aux fonctions d'interpolation (critere de Galerkin [SC86]) : Z



N R dV = 0

(3.14)

En substituant (3.14) dans (3.13), et en appliquant le theoreme de Gauss ([Sku71]), on peut montrer que l'equation resultant peut s'ecrire sous la forme suivante : Z







@x N@x N T + @y N@y N T + @z N@z N T p dV + Z

S

N @~n (N T p) dS = 0

Z



c 2 N N T @tt2 p dV

(3.15)

S represente la frontiere du domaine , et ~n le vecteur (de composantes nx ; ny ; nz ) normal a la surface et dirige vers l'exterieur. Dans cette equation, les deux premiers termes decrivent le comportement du milieu, et le troisieme terme, les conditions aux frontieres du domaine. Le deuxieme terme consigne a la fois les mecanismes de production du son (une source acoustique de vitesse/acceleration), et l'absorption aux parois. Les source acoustiques sont representees par une distribution N T Y (t) contenant les accelerations particulaires forcees dans les nuds. L'eet des parois est represente a travers l'admittance de la paroi . L'equation (3.15) peut s'ecrire sous la forme d'une serie d'equations aux derivees partielles de second ordre (se reporter a la reference [Jen96] pour plus de details) : [K ] p(t) +  [C ] @t p(t) + [M ] @tt2 p(t) = X (t)

(3.16)

ou

X (t) est le vecteur d'excitation, [M ] la matrice de masse, [C ] la matrice d'amortissement, et [K ] la matrice de raideur.

3.3 Simulation numerique

25

Le systeme d'equations (3.16) constitue l'ensemble d'equations en elements nis a resoudre, ou les seules inconnues sont p, @t p et @tt2 p. La formulation dans le domaine frequentiel peut ^etre obtenue par une simple transformee de Fourier. Plusieurs algorithmes numeriques peuvent ^etre utilises pour resoudre ces equations, comme par exemple la methode d'Euler ou celle de Runge-Kutta. Des methodes speci quement concues pour resoudre des equations ordinaires de second ordre, telle la famille des methodes de Newmark ([Hug87]), sont aussi tres utilisees. La resolution de ces equations depasse l'objet de ce travail, mais est donnee dans les textes cites plus haut (dont notamment [Jen96] et [Hug87]). Nous observerons que la methode FEM permet d'etudier des salles de forme quelconque et accorde un libre choix dans la discretisation du volume. Ce second point est tres important, du fait que de ce choix depend en grand partie l'eÆcacite de la methode (voir plus haut). Par consequent, il est important de se pencher plus en detail sur la conception d'algorithmes puissants de discretisation en 3 dimensions (3D), la construction de grilles 3D etant encore une t^ache laborieuse. Certains auteurs dont ([Pie98]), utilisent des algorithmes performants de generation automatique de grilles en 2D pour creer leurs modeles en 3D : a partir du maillage du sol, une grille 2D est etablie, dont des copies sont superposees a intervalles reguliers jusqu'a obtention d'une grille en 3D. En n, Katayama et al ([KST97]) ont developpe une methode hybride FEM/analyse modale pour calculer la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique. Ce principe s'appuie sur la methode FEM pour discretiser le volume a etudier et decrire les conditions aux limites du domaine. Ensuite, la reponse impulsionnelle est estimee a l'aide de la theorie modale. La pression acoustique p(t) est exprimee comme la superposition des modes de la salle ponderes par des fonctions de ponderation. Une fois que les modes propres de la salle sont analyses, p(t) peut ^etre recalcule pour un autre couple source/recepteur ou pour un autre signal d'excitation en tres peu de temps, tant que les caracteristiques acoustiques des frontieres et la geometrie du domaine restent inchangees. Pour recalculer la pression, il suÆt de determiner le nouveau jeu de fonctions de ponderation correspondant a chaque mode propre. Les performances de la methode sont evaluees en estimant la reponse impulsionnelle sur plusieurs emplacements qu'il s'agisse d'une cavite rectangulaire aux parois parfaitement rigides, ou de l'interieur d'une cabine automobile. Dans un deuxieme temps, un morceau de materiau absorbant est colle a une des parois de la cavite rectangulaire. Les reponses impulsionnelles simulees sont ensuite comparees aux estimations faites par un logiciel hybride FEM/FDM et aux resultats experimentaux. La largeur de bande des simulations est limitee a 428 Hz pour la cavite rectangulaire et a 522 Hz pour la cabine automobile. Au-dela de la possibilite d'etudier des geometries relativement complexes, ces experiences mettent en avant la rapidite de calcul de cette methode, bien superieure a celle de la methode hybride FEM/FDM, pour une precision de simulations jugee equivalente. En revanche, cette methode part du principe que la de nition de la condition aux limites repose sur une notion d'impedances de parois constantes (independantes de la frequence), d'ou des erreurs importantes de calcul au bout de quelques ordres de re exions, si le nombre et la diversite d'elements absorbants augmentent.

Chapitre 3 : Etude bibliographique : 26 Simulation de la propagation acoustique dans les salles Methode des dierences nies (FDM) La methode des dierences nies ou FDM (Finite Dierence Method), est une methode de calcul numerique qui permet de resoudre l'equation des ondes en decrivant dans sa totalite une salle et les points d'emission de son dans son volume interieur par une discretisation des equations aux derivees partielles. Dans ce qui suit, la discretisation des equations ainsi que la caracterisation des conditions aux limites et des sources de son seront brievement exposees ([Ole97], [Bot94]). Considerons un volume rectangulaire que l'on discretise par un quadrillage regulier (x; y; z ). Soient 1=h m 1 et 1=k Hz les pas de discretisation respectivement dans l'espace et dans le temps. Dans la suite, nous ne procederons pas directement a une discretisation de l'equation des ondes. Nous traiterons separement les equations d'Euler en l'absence des forces exterieures v ~ p = 0 @~ d'une part : grad @t , et d'autre part de conservation de la masse en dehors des sources ([Bru83]) : div~v = c210 @p @t (0 etant la densite du milieu et c la celerite du son). De la sorte, nous pourrons acceder directement aux trois composantes de la vitesse particulaire (qui seraient cachees dans une description scalaire de l'equation des ondes) plus aisement. Les conditions aux limites et la source sonore seront ainsi plus faciles a modeliser. Une approximation de premier ordre des derivees premieres spatiale et temporelle de ces equations, peut ^etre obtenue gr^ace a la relation suivante :

df ( ) f ( + 4 ) f ( 4 )  (3.17) d( ) 24 ou f ( ) est une fonction. En introduisant (3.17) dans l'equation d'Euler et en eectuant un decalage temporel de k, nous obtenons une expression discretisee de ~v (pour la direction des x) : x (t) = v x (t 2k ) + k [p vx;y;z (t k) px+h;y;z (t k)] (3.18) x;y;z 0 h x h;y;z de m^eme pour les composantes vy et vz . De la m^eme maniere, la pression p est estimee a partir de l'equation de conservation de la masse :

px;y;z (t) = px;y;z (t 2k) + y vx;y h;z (t

k)

y vx;y +h;z (t

c2 0 k x [v (t k) h x h;y;z k) +

z vx;y;z h (t

k)

vxx+h;y;z (t k) + z vx;y;z +h(t

(3.19)

k)]

Les equations (3.18) et (3.19) sont utilisees pour calculer les grandeurs acoustiques ~v et p pas a pas, a partir de la connaissance de ces valeurs aux instants t k et t 2k. En ce qui concerne la caracterisation des conditions aux limites du domaine, la relation (3.17) suppose la connaissance des points suivant et precedent dans l'espace. Or, lorsque le point dans l'espace (de coordonnees x; y; z ), se trouve a la frontiere du domaine, les equations (3.18) et (3.19) ne peuvent plus ^etre utilisees. Dans ce cas, nous pouvons estimer la derivee ~ p) par une approximation similaire a (3.17), qui se sert spatiale dans l'equation d'Euler ( grad des points present et precedent :

df ( ) d( )

 f ( ) 4f ( 4 )

(3.20)

3.3 Simulation numerique

27

En appliquant 3.17 et 3.20 dans l'equation d'Euler nous obtenons (pour la direction des x) : x (t) = v x (t 2k ) + 2k [p vx;y;z (t k) x;y;z 0 h x h;y;z

px;y;z (t k)]

(3.21)

Si on considere que vx represente la composante de la vitesse particulaire perpendiculaire a la x (t k ), paroi, nous pouvons remplacer le dernier terme de l'equation 3.21 (inconnu) par Z  vx;y;z ou Z est l'impedance caracteristique de la paroi. Par souci de simplicite, Z est supposee reelle et peut ^etre approchee par la relation (cf. equation 1.48), rappelee ci-dessous : 1+R Z = 0 c 1 R

p

ou R est le coeÆcient de re exion (R = 1 ) et , le coeÆcient d'absorption. Lorsque ce dernier tend vers zero, Z tend vers l'in ni. Dans ce cas, remplacer px;y;z (t k) dans x (t k ) rend l'equation peu maniable. Pour contourner cette diÆculte, une (3.21) par Z  vx;y;z x (t k ) en fonction de v x aux temps t et interpolation lineaire est utilisee pour exprimer vx;y;z t 2k. L'equation (3.21) prend alors une autre forme et peut ^etre utilisee pour modeliser les conditions aux limites du probleme. En n, une source sonore peut ^etre de nie comme une source de debit volumique occupant un ou plusieurs points dans l'espace en fonction de sa taille. La mise a jour des composantes (x; y; z ) de la vitesse particulaire dependra de la direction de propagation de la vitesse acoustique produite par la source. Cette methode permet donc par approximation des equations dierentielles relativement simples (de 1er et de 2nd ordres), de calculer directement la reponse impulsionnelle d'une salle dans un point quelconque recepteur. Toutefois, certains facteurs limitant ses performances sont a souligner : { Une erreur numerique inherente a la discretisation des equations dierentielles est introduite. La magnitude de cette erreur en basses frequences est cependant negligeable. { Des fortes ressources en memoire de stockage des donnees sont necessaires, les valeurs de p et de v devant ^etre disponibles sur toute la grille a trois instants consecutifs. { La connaissance des caracteristiques de la source (volume velocity). { La bande passante des simulations est limitee par le nombre de cellules de la grille. Un accroissement de la densite de la grille entra^ne un alourdissement considerable de la charge de calcul. { Le quadrillage regulier restreint la methode a la simulation de geometries simples. Sur le dernier point, il est a noter toutefois que Botteldooren ([Bot94]) propose une formulation en FDM par laquelle la creation de grilles quasi regulieres est possible. Par ce biais, certains objets peuvent ^etre discretises de facon plus precise et, par consequent, le calcul de la reponse impulsionnelle peut ^etre ameliore. Des simulations de la propagation d'une impulsion a travers un conduit d'aeration montrent qu'avec ce genre de quadrillage, les performances obtenues sont superieures a celles rendues par un quadrillage regulier, pour un temps de calcul equivalent. Neanmoins, les deviations par rapport a une grille reguliere sont faibles, ce qui interdit pour l'instant de songer a simuler des geometries plus complexes.

28

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

Dans un autre ordre d'idee, dans ([Bot95]) l'auteur explore des moyens simples et eÆcaces de calcul de ltres numeriques pour representer la fonction de transfert entre la source et le recepteur en vue des simulations sonores (auralisations), a partir des simulations par une methode FDM. En n, Savijoa et al ([SRT94], [SBJT95]) utilisent une variante de FDM pour le calcul de la partie basses frequences d'un environnement de simulation hybride (combine a un autre type d'approche pour le calcul des hautes frequences). Leur systeme est base sur le principe de guides d'onde numeriques (waveguide mesh method). Les guides d'onde numeriques a une dimension (1D) sont une technique largement employee pour la simulation physique d'instruments de musique ([Smi92]). Pour modeliser les vibrations de l'air dans un espace clos, les auteurs proposent une extension en 3D de ce principe, et arrivent a une equation de guides d'onde equivalente a une equation aux dierences nies issue de l'equation d'Helmholtz (similaire a 3.18 et 3.19). Les perspectives d'utilisation de cette approche sont illustrees par des exemples graphiques en simulant la propagation d'une impulsion produite dans un coin donne d'une salle type. La salle, de forme rectangulaire, est divisee en trois espaces separes par des parois anechoques mais communiquant par des petites ouvertures (des portes). Dans chacun des espaces, le sol est anechoque, le plafond est assimile a une surface parfaitement re echissante (surface dure), et les surfaces restantes sont molles. Avec ces trois conditions aux limites extr^emes, plusieurs cas interessants de propagation/re exion acoustique sont testes : diraction par les ouvertures, absorption et re exions totales avec/sans inversion de phase respectivement par le sol, les murs et le plafond. La methode a ete validee en simulant une salle rectangulaire aux parois parfaitement re echissantes. Des grilles (regulieres) avec dierents espacements ont ete essayees de sorte a etudier leur in uence sur les simulations. En n les resultats (modes propres) ont ete compares a la solution analytique exacte ([Kut91]), et aux estimations fournies par un logiciel FEM du commerce (ABAQUS) 4 . Il resulte que la justesse des estimations par cette methode depend principalement de la densite de la grille, alors que la duree de la simulation aecte la largeur des modes detectes. A des frequences relativement elevees (de l'ordre de 150 Hz pour cet exemple), une duree de simulation trop courte rend la distinction de modes adjacents trop diÆcile. Doubler la densite d'une grille tout en gardant la m^eme duree de simulation multiplie le temps d'execution par 16 (!) On peut donc considerer qu'a condition de se limiter a une largeur de bande relativement etroite (0 150 Hz), les resultats obtenus pour l'exemple teste sont satisfaisants et calcules dans un temps raisonnable (non communique par les auteurs).

Methode des elements de frontiere (BEM) Tout comme la methode des elements nis (FEM) et celle des dierences nies (FDM), celle des elements de frontiere (Boundary Element Method [BEM]), est une methode numerique qui vise a resoudre des equations aux derivees partielles en partant d'une transformation de ces equations en une representation par des equations integrales, d'ou son nom, egalement, de boundary integral equation method. 4. Une liste non exhaustive des logiciels de simulation basses et hautes frequences est donnee sous forme de tableau en n de chapitre (cf. x3.3.4). Pour les logiciels disponibles dans le commerce, soit l'adresse postale du concepteur/distributeur, soit l'adresse du site sur Internet est indiquee.

3.3 Simulation numerique

29

Il reste que cette representation n'est valable que pour certaines classes d'equations aux derivees partielles. C'est pourquoi ses domaines d'application sont plus restreints que ceux de FEM et de FDM. Neanmoins, dans les cas ou la methode BEM est applicable, elle peut ^etre plus maniable et demander moins de ressources informatiques que les deux autres methodes ([Kir98]). De m^eme, alors que FEM et FDM exigent un maillage de l'integralite du domaine, la recherche des solutions dans un volume requiert, par la methode BEM, la discretisation des frontieres du domaine, ce qui se traduit par une diminution d'une dimension dans le probleme pose. En n, et consequence de cette remarque, les techniques fondees sur le principe des elements de frontiere peuvent s'appliquer tant pour des problemes exterieurs que pour des problemes interieurs. Deux approches fondamentales existent pour aboutir a une formulation integrale equivalente d'une equation aux derivees partielles : la methode dite directe (DBEM), a partir de l'application du deuxieme theoreme de Green, et la methode indirecte (IBEM), qui fait appel a une formulation variationnelle. Dans la suite de ce paragraphe, un apercu general de la methode DBEM sera expose 5. Considerons l'equation d'Helmholtz homogene (1.77) :

4(x) + k2 (x) = 0 valable a l'interieur d'un domaine limite par une surface S , ou la variable (x) designe soit la pression acoustique, soit le potentiel de vitesses au point x. En appliquant le theoreme de Green, en regime stationnaire cette equation peut ^etre remplacee par l'equation integrale suivante ([Bru83]) :

c(x)(x) =

Z

S

G(x; y)

@(y) dS @ny y

ou

c(x) =

8 > < > :

Z

@G(x; y) (y)dSy S @ny

1 x dans

1=2 x sur S 0 x exterieur a S

(3.22)

(3.23)

et ou G est la fonction de Green en 3 dimensions de l'espace libre : expjkr(x;y) (3.24) 4r(x; y) Le comportement des limites du domaine S peut ^etre decrit comme la superposition d'un eet monopolaire (G(x; y)) produit au point x par une source situee au point y sur la frontiere, et @G(x; y) d'un eet dipolaire ( ). L'onde acoustique renvoyee par les frontieres depend de ses @ny proprietes acoustiques ainsi que des caracteristiques de l'onde incidente.

G(x; y) =

La fonction de Green G(x; y) etant connue, l'acces a des solutions pour (x) dans un point quelconque a l'interieur du domaine devient possible gr^ace a l'equation (3.22), pourvu que @(y) (y) et soient connues sur la frontiere S . @ny 5. Les dierentes formulations ainsi que les champs d'application de cette methode sont presentes en detail dans les livres qui lui sont entierement consacres, tels ([Bre78], [BB81], [CB91] et [Kir98]).

30

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

Generalement, lorsque le probleme physique etudie est a geometrie simple, (y), ou sa derivee, ou encore une relation entre les deux sont donnees (3.22). Dans ce cas, il est possible d'obtenir la solution cherchee dans tout le domaine par evaluation des integrales, a condition de choisir une fonction de Green adaptee au probleme ([Bru83]) 6 . Dans des cas plus complexes, la solution sur la frontiere doit ^etre calculee. Diverses techniques numeriques existent pour y parvenir ([Bre78]). Parmi celles-ci, une des plus couramment employees se rapproche de celle decrite plus haut pour la methode des elements nis : la limite du domaine est discretisee par des elements nis de frontiere. La pression dans chacun des elements du modele est estimee a partir des valeurs inconnues dans les nuds a l'aide des fonctions d'interpolation, exprimees de facon similaire a (3.12). L'application de ce principe dans (3.22) pour chaque point nodal donne naissance a un systeme d'equations. Celui-ci comprend les valeurs inconnues dans les nuds et des coeÆcients composes des integrales des produits des fonctions d'interpolation et de la fonction de Green. Les variables acoustiques sont ainsi calculees sur toute la frontiere S dans chaque nud et pour chaque pas temporel. Pour conclure, il est important de rappeler que d'une facon generale, et independamment de la qualite de la prediction du champ acoustique de ce genre de methodes, la de nition de parametres objectifs dans le domaine de tres basses frequences et pour des petits espaces reste un domaine peu explore qui necessite d'^etre developpe ([Vor98]). Apres les experiences menees par Mc Dermott et Allen ([MA76]), dans lesquelles ils etudient les eets perceptifs des proprietes de la reverberation dans une petite salle, peu d'etudes ont ete publiees. Parmi ces publications, nous pouvons mentionner que tout recemment Griesinger a developpe une methode pour mesurer l'enveloppement (cf. x2.2) en basses frequences dans de petites espaces ([Gri99]). Egalement, Chesnokov et SooHoo ([CS98]) partent a la recherche des indices de quali cation acoustique des petites salles, a partir des mesures des rapports entre energie precoce et energie tardive (cf. x2.2) dans un ensemble representatif des diverses conditions acoustiques typiques des salons de maison.

3.3.2 Methodes deterministes (modeles geometriques) Dans la section precedente nous avons eu un apercu general des dierentes methodes numeriques existantes pour simuler la reponse impulsionnelle (ou la fonction de transfert) d'un canal acoustique en basses frequences, c'est-a-dire lorsque les longueurs d'onde en jeu sont du m^eme ordre de grandeur que les surfaces de la salle. Si l'on se place dans l'hypothese des hautes frequences, ou si la salle est grande, les longueurs d'onde deviennent inferieures aux dimensions de la salle et des obstacles presents. Dans ce cas, la densite modale est telle qu'il est impossible de decrire le champ sonore par l'acoustique ondulatoire, par la resolution de l'equation des ondes pour chacun des modes (x 2.3.1). De m^eme, en hautes frequences il n'est plus indispensable de rechercher des solutions pour cette equation, le poids relatif de chaque mode propre dans la reponse de la salle etant moindre. En revanche, la connaissance de la distribution spatio temporelle des re exions et de la reverberation tardive est primordiale. Sous ces conditions, nous pouvons songer a obtenir des informations concernant la reponse a des signaux transitoires avec suÆsamment de precision, en assimilant la propagation de l'energie acoustique, par analogie avec les rayons lumineux en optique geometrique, a des rayons sonores se propageant en ligne droite 6. C'est cette m^eme approche par des equations integrales qui est utilisee en holophonie (equivalent acoustique de l'holographie) pour la reproduction auditive des scenes sonores en 3 dimensions ([NE99]).

3.3 Simulation numerique

31

et portant chacun une fraction de l'energie totale emise. La solution du probleme acoustique consiste alors a determiner des rayons issus d'une source en connaissant les proprietes du milieu et les eventuels obstacles ([Ros86]). Il s'agit du principe de l'acoustique geometrique. Bien que l'implantation informatique des methodes geometriques soit plus aisee que celle des methodes de l'acoustique ondulatoire, et que les resultats soient plus simples a interpreter, les methodes de l'acoustique geometrique ne sont qu'une approximation du phenomene de la propagation du son. En consequence, il est impossible de faire une etude rigoureuse des problemes de propagation. En eet, le caractere ondulatoire de la propagation des ondes acoustiques est neglige : l'existence d'ondes stationnaires ainsi que les phenomenes speci ques au champ proche des sources ne sont pas pris en compte. Quant aux eets dus a la diusion et a la diraction, il est impossible de les evaluer directement. Cependant, moyennant quelques approximations et sous certaines conditions, ces derniers peuvent ^etre pris en compte, comme on le verra dans la suite. L'utilisation de l'acoustique geometrique dans le cadre de la prediction en acoustique des salles est conditionnee aux suppositions suivantes ([Kut91], [CM82a]) : { les dimensions des obstacles sont beaucoup plus grandes que les longueurs d'onde () considerees; { les irregularites des surfaces sont inferieures aux () considerees; { on suppose des surfaces a reaction localisee (cf. xA) : un rayon n'est aecte que par l'absorption de la surface au point d'impact ; { la source sonore est placee loin des surfaces relativement aux () considerees; La plupart des contraintes imposees a l'application des methodes de l'acoustique geometrique est particulierement bien adapte a la description des trajets acoustiques dans des grands volumes, comme c'est le cas des salles de concert. Pour cette raison, ce sont ces methodes, notamment les methodes des sources images, des rayons et des c^ones, qui sont les plus communement utilisees pour simuler la propagation du son en acoustique des salles. Cependant, la contrainte sur la dimension des irregularites des surfaces correspondant aux  est loin d'^etre respectee, d'autant que par souci de simpli cation, on sera le plus souvent amenes a \eacer" ces details dans la discretisation de la maquette informatique. Ces irregularites etant nalement traduites sous forme d'un coeÆcient de diusion. Dans ce qui suit, nous abordons l'etude des principales caracteristiques de ces methodes de simulation. Nous faisons ensuite une description des problemes communs a ces methodes pour la representation de certains phenomenes physiques (diusion, diraction), et de representation geometrique (surfaces non-planes). Nous soulignons, comme pour les methodes basses frequences, leurs principaux atouts et defauts.

Methode des Sources Images a. Le champ acoustique en espace semi-ini ni : la source image

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

32

Une source ponctuelle omnidirectionnelle (S) emet une onde spherique de pulsation harmonique w = 2f . Le champ de pression acoustique cree en un point quelconque recepteur (R) est exprime par ([Bru83]) : r P (w) (3.25) P (r; w) = 0 ejw(t cs ) rs ou r represente les coordonnees au point recepteur (R) et rs , la distance qui separe (R) de (S). La m^eme source est maintenant placee a une distance (B) d'une paroi plane in nie, rigide et parfaitement re echissante (que nous supposons a l'origine O d'un systeme des coordonnees). Le rayonnement est alors limite a un demi espace. Pour satisfaire aux conditions aux limites a l'interface (vitesse particulaire normale a la paroi vn nulle ainsi que la composante normale du gradient de pression @r P ), une source virtuelle identique et symetrique a la premiere (S0 ) est introduite ( gure 3.1).

R rs S

S0

O B

Fig.

rs0

r



B

3.1 { Creation d'une source image

Le champ acoustique resultant est alors exprime comme la superposition des contributions de la source originale (S) et de la source virtuelle (S0 ) :

avec

 r0  r 1 1 P (r; w) = P0 ejw(t cs ) + 0 ejw(t cs ) rs rs

p

(3.26)

r2 + B 2 2rBcos r2 + B 2 + 2rBcos ou rs0 represente la distance qui separe (R) de (S0 ).  Sur la frontiere, ou  =  et rs = rs0 , le champ sonore atteint sa valeur maximale et 2 vaut le double qu'en absence de la paroi, d'apres la relation (3.26). rs = rs0 =

p

3.3 Simulation numerique

33

Cette analyse montre que pour ce cas particulier, le champ acoustique peut ^etre represente comme la superposition de deux ondes spheriques emises par une source et par son image, symetrique a celle-ci par rapport au plan de re exion. Suivant ce m^eme raisonnement, le cas general d'un probleme a multiples surfaces peut ^etre rede ni comme un probleme equivalent ou les surfaces sont remplacees par un ensemble de sources images. b. Formulation generale : la salle rectangulaire En reprenant le raisonnement du paragraphe precedent, il est possible de suivre le trajet d'un rayon acoustique emis par une source tout au long de son parcours dans une salle : chaque fois que le rayon rencontre une surface, la re exion speculaire qui s'ensuit est remplacee par une source image. S'il s'agit de la premiere re exion sur les parois de la salle, on l'appelle source image de premier ordre; les images de deuxieme ordre, celles que l'on obtient a partir de celles du premier ordre, et ainsi de suite. Ce procede est repete jusqu'a ce que l'intensite portee par le rayon tombe en-dessous d'un certain seuil, ou bien jusqu'a ce qu'un certain ordre de re exions ait ete atteint. De cette maniere, la reponse impulsionnelle de la salle est construite. Cependant, en espace clos, les parois ne sont plus in nies, le calcul des images n'est valable qu'a partir d'un certain rapport entre la longueur d'onde () et les dimensions des surfaces de la salle. Une valeur limite approchee est exprimee par la relation  = 31 (V)1=3 , ou V est le volume de la salle ([Bru98]). Pour une salle de concerts moyenne (notre salle de 10 000m3, par exemple), cette relation donne une frequence limite de 50 Hz, ce qui peut justi er l'application de cette methode pour toute l'etendue du spectre audible dans ce genre d'espace. Le calcul des sources images devient, pour le cas du parallelepipede rectangle, particulierement interessant : en eet, les images de la salle par rapport aux parois remplissent l'espace en formant un reseau dont la maille est la salle elle-m^eme ([JS73]). De ce fait, toutes les sources images sont visibles par le recepteur independamment de la position de ce dernier dans la salle, et leurs coordonnees cartesiennes sont particulierement aisees a calculer; elles peuvent ^etre decrites analytiquement ( gure 3.2).

Y

6

Fig.

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

-X

3.2 { Construction des sources images dans un parallelepipede rectangle.

34

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles Il est donc possible a partir d'une source ponctuelle dans une salle de forme rectangulaire, d'obtenir la reponse impulsionnelle exacte par la superposition des contributions de toutes les sources images calculees jusqu'a l'in ni. Ce resultat represente la solution exacte de l'equation des ondes obtenue par la theorie modale ([AB79]). Suivant le modele simple d'emission d'ondes spheriques decrit precedemment, le champ sonore en un point quelconque de l'espace a l'interieur de la salle s'ecrit :

e jkri (3.27) ri i ou ri est la distance qui separe la source image i du recepteur et P0 (w), la pression sonore de pulsation w emise par la source reelle. P (r; w) = P0 (w)ejwt

X

La reponse impulsionnelle, contribution de la source et de chacune des sources images calculees, est donc la repetition d'une impulsion emise par la source avec attenuation et retard. L'attenuation est proportionnelle au chemin separant chaque source image, tandis que le retard equivaut au temps de parcours entre la source image et le recepteur. Au temps t = ri =c, la pression acoustique en un point de l'espace vaut :

p(r; t) = p0

Æ(t ri =c) ri i

X

(3.28)

Nous rappelons que l'obtention de la reponse impulsionnelle exacte oblige a considerer les sources comme ponctuelles (et donc omnidirectionnelles), et les parois de la salle planes et parfaitement re echissantes. Ces m^emes contraintes imposent, en principe, de negliger tout phenomene de diraction et de diusion. Or, dans la pratique, les parois ne sont jamais parfaitement re echissantes et rarement planes, sauf en regard de tres hautes frequences. Elles presentent egalement des irregularites, qui ajoutent un certain degre de diusion, selon les relations entre leurs dimensions et les longueurs d'onde des signaux. Les phenomenes de diraction, consequences des dimensions nies des parois et en general de toute surface dans une salle, peuvent avoir une in uence importante sur la propagation sonore. Tel est le cas du son se propageant sous incidence rasante au-dessus des sieges, ou bien lorsqu'il est produit dans les fosses d'orchestre, typiques des salles d'opera. Sous certaines conditions, la diusion peut ^etre prise en compte. Nous en parlerons lors de la description de la methode des rayons. Quant a la diraction, il est impossible de la modeliser a l'aide de la methode des images. Elle sera introduite brievement lors de la description de la methode des rayons et plus en detail au chapitre suivant, consacre a l'environnement de simulation developpe a l'Ircam. Quant aux sources reelles, elles sont plus ou moins directives, l'allure de leur rayonnement etant fonction de la frequence. Dans ces conditions, la solution en termes de sources images ponctuelles n'est alors plus exacte. Certaines approximations permettront d'adapter la methode a des situations plus \realistes", en prenant en compte ces deviations du cas ideal. Dans cette partie, nous traiterons le cas des sources directionnelles et d'impedances de paroi nies. Nous aborderons le probleme de la simulation des surfaces non planes lorsque

3.3 Simulation numerique

35

nous etudierons le cas des salles a geometrie complexe. En toute rigueur, des que les surfaces de la salle presentent une certaine absorption, les sources images generees par la re exion d'une onde ne sont plus ponctuelles. Neanmoins, en placant source et recepteur suÆsamment loin des parois, et pour l'etendue frequentielle des applications qui nous interessent, nous pouvons considerer en premiere approximation que les ondes issues des re exions sur les parois sont planes. Ceci nous autorise a garder notre modelisation par des sources images, et a modeliser la re ectivite de la paroi par le modele de re exion decrit en annexe A (equation A.13) :

R(w; ) =

 cos r 1  cos r + 1

Z avec  = , l'impedance acoustique speci que de la paroi (de nie au paragraphe 1.3.3), 0 c ou Z est l'impedance du materiau et 0 c l'impedance caracteristique de l'air (c etant la celerite du son dans le milieu de propagation). r est l'angle forme entre l'onde incidente et la normale a la paroi. Quant a la source sonore, la plupart d'entre elles ne sont pas omnidirectionnelles. La pression ainsi que l'intensite ne dependent pas uniquement de la distance r mais aussi de la direction, laquelle peut ^etre caracterisee par un angle polaire  et un azimut . Pour un point quelconque eloigne de la source, on de nit alors une fonction de directivite s (w; s ; s ) ([Kut91]). Le champ sonore dans un point de l'espace va donc s'ecrire dans le domaine frequentiel comme suit : P (r; w) = P0 (w)

X

i

s (w; s ; s )

e jkri Y R (w; rij ) ri j=1 ij

(3.29)

avec : { ri : distance de la source image i au recepteur { ij : surface j traversee par le rayon i issu de la source image i. Il est possible de tenir compte de la directivite du recepteur et d'inclure un terme exponentiel pour modeliser l'absorption de propagation dans l'air ([CM82a]), en les integrant comme facteurs multiplicatifs dans la somme de l'equation (3.29). La reponse impulsionnelle au point r resulte donc de la modelisation de chaque membre de cette derniere equation sous la forme d'une fonction de transfert ou, dans le domaine temporel par transformee de Fourier inverse, d'une reponse impulsionnelle associee ([Eme95]). La resolution de l'equation (3.29) passe par la connaissance des valeurs des impedances des parois et des directivites des transducteurs (source et/ou recepteur) en bande etroite. Mais nous retrouvons le m^eme probleme que pour les methodes basses frequences (cf. x3.3.1) : il est impossible, dans la pratique, d'avoir acces a une telle quantite de donnees. Pour cette raison, on exprime ces valeurs par bandes d'octaves. De plus, les donnees acoustiques des materiaux sont la plupart du temps exprimees comme coeÆcients d'absorption () relies a l'energie absorbee en champs dius (dits de Sabine) (cf. eq. 1.56). Les variations du coeÆcient d'absorption en fonction de l'angle d'incidence ne sont donc pas prises

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles en compte. La validite de ces simpli cations peut ^etre contestee 7, mais celles-ci orent

36

neanmoins l'avantage de reduire substantiellement la charge de calcul. L'expression pour le module du coeÆcient de re exion est donc, d'apres l'equation (1:50) :

j R j=

p

1



(3.30)

Ce coeÆcient est reel. Il traduit la fraction d'energie renvoyee a la salle lors de la re exion de l'onde sur la paroi (cf. xA). Des approximations supplementaires permettent d'obtenir une phase et d'acceder ainsi au coeÆcient complexe de re exion en pression ([Eme95]). De la m^eme maniere, un coeÆcient de diusion d(w) par bande d'octave peut ^etre introduit. L'energie re echie est alors partagee en deux processus dierents : l'un simule la re exion speculaire, l'autre la re exion diuse (selon la loi de Lambert). D'autres precisions sur ce sujet seront donnees au paragraphe suivant consacre a la description de la methode des rayons. c. Extension de la methode a une geometrie quelconque Dans la pratique, la plupart des salles de concert ont une forme qui diere plus ou moins du parallelepipede rectangle. Le calcul des positions des sources images devient alors plus complexe, il est impossible de le faire de facon analytique. D'autre part, il faut prendre en compte qu'une source image n'est pas forcement \visible" en tout point de la salle. Aussi, il est necessaire de recourir a des tests de visibilite ( gure 3.3) et de validite, par exemple en veri ant que des sources images ne soient pas crees par le demi espace exterieur a une surface ( gure 3.4). Ces tests doivent ^etre eectues pour chaque source image potentielle, ce qui entra^ne une augmentation importante du temps de calcul.

S

S0 c^one de visibilite

3.3 { Pour que la source virtuelle soit valide, le recepteur doit se trouver a l'interieur du c^one de visibilite (d'apres [Bor84]). Fig.

Ainsi, soit i l'ordre maximum des sources images d'une salle composee de np parois, le nombre de sources images potentielles cro^t exponentiellement avec l'ordre de re exion ([Kut91]) : 7. En eet, en pratique, l'absorption de la plupart des surfaces augmente avec l'angle d'incidence (cf. xA et [CM82b])

3.3 Simulation numerique

37

s" s"'

2 1

s'

s 3.4 { Test de validite: la source image s"' est invalide, car creee par le c^ote exterieur a la surface 1 (d'apres [Bor84]).

Fig.

Nis =

np

np 2

[(np

1)i

1]

(3.31)

D'apres des estimations faites par M. Vorlander ([Vor89]), pour calculer une reponse impulsionnelle d'une duree tmax = 400 ms dans une salle contenant np = 30 parois, d'un volume V = 15 000 m3 , et avec un nombre moyen de re exions par seconde n = 25; 5 s 1 , il est necessaire de tester des sources images jusqu'a un ordre i = n tmax = 10. Le nombre total de sources images generees Nis est de  4:5  1014 , parmi lesquelles seul un petit nombre contribue a la reponse impulsionnelle de la salle : il est eectivement possible, dans une salle rectangulaire, de conna^tre le nombre moyen de sources images visibles entre les instants t et (t+
t) parmi le nombre total calcule, a l'aide de la relation suivante ([Bar73]) :

Nisv =

4c3 3 t 3V

Ce qui donne, pour l'exemple illustre, un nombre de sources images visibles Nisv Le rapport Nis =Nisv etant de l'ordre de 1012 !

(3.32)

 700.

La derivee temporelle de l'equation (3.32) donne acces au nombre moyen d'echos par unite de temps parvenant au recepteur 8 :

dNisv 4c3 2 = t dt V

(3.33)

Cet exemple met en evidence que l'application de la methode des sources images telle qu'elle a ete decrite au paragraphe precedent est restreinte aux salles de forme simple contenant peu de parois, et aux ordres de re exion faibles pour des hautes resolutions temporelles ([Vor89]). Il est donc necessaire, comme il a ete dit plus haut, d'eectuer dierents types de tests de facon a construire recursivement toutes les sources images jusqu'a un ordre donne, et ceci independamment de la geometrie de la salle. 8. Les equations (3.32) et (3.33), valables strictement en champ dius et pour des valeurs de t suÆsamment grandes, peuvent ^etre appliquees a des salles de forme quelconque ([Pol88])

38

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles Il reste en n un dernier \critere" a preciser : il s'agit de la distance maximale entre les sources images et le recepteur dans le calcul de la reponse impulsionnelle. En d'autres termes, il s'agit de preciser l'ordre maximum de sources images a calculer et par consequent le temps de calcul. Etant donne que le nombre de re exions par seconde cro^t comme le carre du temps t, tandis que le nombre de sources images potentielles cro^t en fonction de l'ordre de re exion i d'apres les relations (3.33) et (3.31), d'un point de vue purement pratique il faut limiter l'ordre maximum de re exions si l'on souhaite rester dans un temps de calcul raisonnable. Mais ce procede est aussi justi e sur le plan physique. En eet, il existe une frontiere entre une partie precoce, pour laquelle les details d'amplitude, temps et direction d'arrivee d'un rayon sont des donnees indispensables, et une partie tardive, pour laquelle ces details ne sont plus perceptivement signi catifs ([Kut93]). Comme nous l'avons indique au chapitre precedent (1.1), au-dela d'un certain temps, la densite de re exions est telle qu'il est impossible de percevoir une direction preponderante d'incidence, un champ \perceptivement dius" s'etablit ([Pol88]). Un calcul aussi precis (re exion par re exion) de la partie tardive de la reponse impulsionnelle n'est donc pas indispensable, une reponse impulsionnelle pouvant ^etre calculee en deux parties : une partie precoce par la methode des sources images, et une partie tardive a l'aide des methodes statistiques 9 . Un dernier phenomene incite a limiter la fraction d'une reponse impulsionnelle simulee par la methode des images : celui de la diraction sur les bords des parois. Ainsi, m^eme lorsque la propagation sonore concerne une salle avec des parois tres grandes, planes et rigides, des re exions ayant lieu pres des bords sont estimees de facon erronee par l'acoustique geometrique. Les contributions diractees sont pourvues par les images \cachees" ([Kut95b]), lesquelles augmentent rapidement avec l'ordre de re exion. La complexite dans le calcul des temps d'arrivee et des phases des rayons diractes rendent l'ordre de grandeur de cette erreur diÆcilement quanti able ([Pol93]). Limiter l'ordre maximum des sources images peut donc diminuer la magnitude de l'erreur commise par negligence des contributions diractees.

La methode des sources images peut servir comme un puissant outil de simulation de la propagation du son dans des salles de forme complexe a condition de trouver les moyens de calculer le nombre de sources images visibles dans un temps raisonnable et en se limitant a des ordres de re exion faibles. La mise en place des systemes de preselection des chemins acoustiques permet d'ecarter un certain nombre de sources images invalides et par consequent de reduire legerement le temps de calcul, par exemple en eliminant d'entree des series de re exions m^elant des surfaces coplanaires ([GS83]). Certains chercheurs proposent des modeles plus complets en eectuant un deuxieme test de preselection de chemins acoustiques ([LL88]). 9. La frontiere entre la partie precoce (comportement principalement deterministe) et la partie tardive (comportement statistique) n'est en realite pas abrupte mais s'etend sur une certaine duree pendant laquelle ces deux types de comportement cohabitent. Le temps de transition est fonction de la geometrie de la salle et des caracteristiques acoustiques de ses parois. D.V. Maercke et Martin ([MM93]) proposent de tenir compte de cette partie intermediaire qu'ils appellent \pseudo-statistique" dans le logiciel de simulation developpe par le CSTB (Centre Scienti que et Technique du B^atiment) appele Epidaure. L'approche statistique de l'acoustique geometrique sera developpee un peu plus loin dans ce chapitre.

3.3 Simulation numerique

39

Le developpement d'algorithmes de detection et de selection des sources images basees sur le lance des rayons ou des c^ones (extension de ce dernier) ont permis de reduire davantage le temps de calcul, en s'aranchissant de la loi exponentielle liee a leur accroissement ([Vor89], [MM93], [Nay93]). C'est le principe de fonctionnement de ces methodes (rayons et c^ones) qui va maintenant ^etre expose.

Methode des rayons a. Principe Cette methode est basee sur le principe que l'energie d'une impulsion emise par une source (ponctuelle) directive ou pas, peut ^etre representee par un nombre ni de rayons sonores se propageant en ligne droite et portant chacun une fraction de cette energie, les directions de propagation etant distribuees de facon aleatoire ou reguliere. A la dierence de la methode des sources images conventionnelle, la methode des rayons est adaptee a la simulation des salles de forme quelconque. Elle permet en outre de prendre en compte, quoique de maniere peu commode, les phenomenes de diusion et de diraction. Dans cette approche, il ne s'agit pas de chercher l'ensemble des sources virtuelles decrivant tous les chemins possibles de propagation entre deux points, mais de suivre le parcours de chaque rayon tout au long de la propagation. Chaque fois que le rayon rencontre une paroi, il est re echi de facon speculaire selon les lois de l'acoustique geometrique: le rayon re echi repart suivant la loi de Descartes, l'angle d'incidence etant egal a l'angle de re exion. Lorsque le rayon rencontre un recepteur, considere transparent (les caracteristiques du rayon ne subissent aucune modi cation), son energie, son temps de passage et eventuellement sa direction sont comptabilises et memorises. Ce procede est repete jusqu'a ce qu'un certain seuil (energetique, temporel, etc) prealablement xe, soit franchi. A la n, une representation approximative de la reponse impulsionnelle en energie de la salle est obtenue sous la forme d'un histogramme. b. La source et le recepteur Le caractere discret de la modelisation de la propagation du son sous forme de rayons a deux consequences fondamentales sur l'eÆcacite de la methode. Premierement, le recepteur doit avoir des dimensions nies. Il ne peut pas ^etre de taille in nitesimale comme c'est le cas dans la methode des sources images. Deuxiemement, puisque tous les rayons sont issus du m^eme point, et que l'angle entre rayons adjacents reste a peu pres constant, cette representation devient de moins en moins precise a mesure que la longueur du rayon augmente : la proportion d'images lointaines atteintes par un rayon diminue, ainsi que les chances pour un rayon d'^etre detecte par le recepteur ([KSmr68]). L'erreur que cette methode presente est en fait une erreur d'echantillonnage spatial. Cette erreur peut cependant ^etre reduite par l'accroissement des dimensions du recepteur et du nombre de rayons emis par la source ([JS73]). Pour une source omnidirectionnelle 10 , les rayons generes doivent ^etre autant que possible 10. Dans le cas d'une source directive, il suÆt de ponderer l'energie de chaque rayon au moyen d'un coeÆcient

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

40

uniformement repartis sur la surface spherique de la source sonore. Comme la generation d'un nombre arbitraire de vecteurs unitaires equidistribues a partir d'un point n'a pas de solution exacte, plusieurs auteurs ont propose des approximations. Krokstad et al ([KSmr68]) partagent la sphere en rectangles spheriques de m^eme aire, sur des cercles paralleles. Mais ce type de division de la sphere ne permet pas de la couvrir dans son integralite et la variance des angles entre rayons adjacents est tres grande. Benedetto et Spagnollo ([BS84]) ont propose une technique aleatoire de generation de rayons. Pour chaque rayon emis, trois cosinus directeurs sont generes a l'aide d'une methode de \Monte Carlo", suivant une procedure de moyenne des angles solides entourant la sphere. Plus recemment, Farina ([Far95b]) a propose de modi er legerement cette procedure car conduisant a la generation d'un \cube de rayons". Il a prefere employer un generateur \semi-probabiliste" en utilisant deux generateurs aleatoires, dans lesquels la surface de la sphere est divisee en un certain nombre de \facettes" de m^eme aire, quoique de formes dierentes. Cette methode a montre son eÆcacite lors d'une etude comparative des performances des divers algorithmes de simulation informatique organisee en 1992 par Verbandt & Jonckheere ([VJ93]). Deux parametres caracterisent la modelisation du recepteur : sa forme et sa taille. La forme conditionne sa directivite, la sphere etant la seule a garantir une sensibilite omnidirectionnelle. Dans ce cas, on considere qu'un recepteur est frappe par un rayon si le segment normal au rayon passant par le centre de la sphere est inferieur au rayon de la sphere. En n, l'erreur commise dans la detection d'un rayon est inversement proportionnelle a la taille du recepteur (considere dorenavant comme spherique). En eet, soit N le nombre de rayons emis par la source et d la distance entre la source et le centre du recepteur de rayon r. Le nombre k de rayons touchant la sphere est calcule approximativement par la relation suivante ([BS84]) :

k=

Nr2 4d2

(3.34)

Cette relation permet egalement de conna^tre le nombre minimum de rayons Nmin pour que, pendant une certaine periode tmax , la methode de rayons nous assure qu'au moins un rayon touche encore le recepteur. En eet, en supposant que d = ct represente la distance totale qu'un rayon a parcourue a une vitesse c depuis son emission par la source au temps t = 0, d'apres la relation (3.34) ceci est vrai si la source libere : 4(c tmax)2 (3.35) r2 rayons ([Vor89]). Pendant la periode tmax, chacune des Nmin particules subit un nombre de re exions i = n tmax (ou n est le nombre moyen de re exions par seconde); le temps total tc de calcul necessaire pour achever cette t^ache est donc proportionnel a tc  Nmin i, ce qui donne, en remplacant Nmin par l'expression (3.35) :

Nmin =

tc ou d'un indice de directivite.

2 3  4 n cr2tmax

(3.36)

3.3 Simulation numerique

41

Mais revenons a present a la relation (3.34). D'apres elle, il est toujours possible d'accro^tre le nombre des rayons et d'augmenter le rayon de la sphere pour minimiser l'erreur de detection. Mais il appara^t d'une part qu'un accroissement du nombre de rayons nit par entra^ner des augmentations importantes du co^ut de calcul, limitant ainsi son inter^et, surtout en vue des applications pratiques. D'autre part, au-dela d'une certaine limite (comparable par exemple aux dimensions de la salle), le recepteur est touche par le rayon a chaque re exion de celui-ci sur une paroi, detectant ainsi un bon nombre de chemins acoustiques invalides. Un exemple typique de detection erronee, consequence des dimensions nies du recepteur, est illustre sur la gure (3.5). R

S 3.5 { Detection d'un rayon cree par une source invisible depuis le centre du recepteur (d'apres ([Leh93]).

Fig.

M^eme en supposant que l'on trouve un equilibre entre le nombre de rayons tires et la taille du recepteur, la methode des rayons introduit toujours des biais. Pour cette raison, plusieurs modi cations de l'algorithme ont ete proposees, qui permettent de les limiter. Nous en decrivons brievement ci-dessous quelques-unes des plus eÆcaces : 1. Veri er l'existence du chemin acoustique par retropropagation, en tracant en sens inverse le trajet du rayon a partir du centre de la sphere representant le recepteur jusqu'a la source, ce qui revient a valider l'ensemble des sources images ayant genere ce chemin ([Vor89], [Hei93], [Nay93]). Dans ce cas, les rayons ne portent aucune information (energetique ou temporelle). Ils servent uniquement a trouver les chemins de propagation valides. L'application de cette technique dans la methode des sources images pour detecter les sources images valides a le gros avantage de reduire considerablement le temps de calcul. Ainsi, la croissance exponentielle du temps de calcul liee a l'accroissement du nombre de sources images est remplacee par un temps qui augmente proportionnellement au cube du temps maximum de l'echogramme (cf. eq. 3.36). Un environnement de simulation se servant de plusieurs algorithmes (en l'occurrence les sources images et les rayons) pour calculer la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique, est appele hybride. 2. Prendre en compte la longueur eective du trajet du rayon traversant la sphere representant le recepteur ([FCGS92]). La contribution energetique d'un rayon est

42

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles maximale lorsque celui-ci traverse la sphere par son centre. L'erreur de calcul est ainsi considerablement diminuee, l'energie ponderee resultante pouvant dans certains cas (voir gure 3.5) ^etre attribuee a une contribution par diraction. 3. Pour un nombre de rayons N , rendre le rayon r du recepteur variable en fonction de la longueur l de chaque rayon au moment de l'impact ([Leh93]) : r

r=l

2 N

(3.37)

Les resultats obtenus en modelisant le recepteur comme sphere a rayon croissant relativement a la longueur du rayon sont equivalents a ceux obtenus par la methode des c^ones, qui sera etudiee dans la section suivante. c. Modelisation de l'absorption des parois D'une maniere generale, nous pouvons distinguer deux approches pour la prise en compte de l'absorption des parois : 1. L'absorption de la paroi est modelisee suivant une methode de \Monte Carlo" : elle est consideree comme une \probabilite d'absorption" independante de l'angle d'incidence ([BS84], [DS98]). Le rayon incident sur la paroi j est soit absorbe, soit re echi speculairement suivant la loi de Descartes, l'angle d'incidence etant egal a l'angle de re exion (auquel cas son energie reste inchangee), suivant la condition q1  j (w) ou q1 > j (w), ou q1 est un numero aleatoire prenant des valeurs entre 0 et 1 genere a chaque collision et j (w), le coeÆcient absorption en energie de la paroi j . Suivant ce principe, l'intensite recueillie par le recepteur est proportionnelle au nombre de rayons non-absorbes. La diusion peut ^etre prise en compte d'une maniere similaire, comme nous le verrons au paragraphe d ci-dessous. 2. Chaque fois qu'un rayon rencontre une paroi, son energie est diminuee proportionnellement a l'absorption qui lui a ete assignee. En considerant des surfaces a reaction locale, l'impedance des parois ne depend pas de l'angle d'incidence  (cf. xA). Sous cette hypothese, l'indice de re exion R en depend et vaut :

j Rj (w; ) j =

q

1

j (w; )

(3.38)

Comme pour la methode des images, on utilise dans la plupart des cas des coeÆcients d'absorption  de Sabine (et donc independants de ) par bande d'octave 11. 11. D'apres des experiences menees par Santon et Daumas ([SD82]) a l'aide d'un logiciel de lance des rayons sur des parallelepipedes de diverses dimensions aux parois lisses (sans diusion), il resulte que pour le cas des re exions speculaires, une distribution quasi-symetrique des angles d'incidence autour d'une valeur moyenne est obtenue. En plus, celle-ci reste stable lorsque la forme de la salle ou la distribution des absorptions varie. Ces resultats conduisent les auteurs a la conclusion que l'utilisation d'un coeÆcient d'absorption moyen par rapport a un coeÆcient variable en fonction de l'angle d'incidence, n'amene pas de dierences notables dans le calcul des divers parametres d'une reponse impulsionnelle. Cependant, aucun calcul illustrant l'in uence de la distribution

3.3 Simulation numerique

43

Sachant que l'energie elementaire initiale portee par le rayon Ej (w) depend de la puissance acoustique de la source W a l'octave consideree, du coeÆcient de directivite s (w) (cf. page 35) associe, et du nombre N de rayons tires :

W s (w) (3.39) N L'energie Ej0 (w) portee par le rayon au bout d'un nombre j de re exions sur les parois de la salle vaut : Ej ( w ) =

Ej0 (w) = Ej (w)

Y

j

(1

j (w))

(3.40)

A l'instant ti , l'intensite acoustique recueillie par le recepteur est egale a :

I (t; w) =

Ej0 (w) Æ(t Sr j

nj XX i

ti )

(3.41)

ou Sr est la surface du recepteur et nj le nombre de rayons traversant le recepteur a l'instant ti . Dans cette section nous avons fait une description des principales caracteristiques de la methode des rayons. Nous avons constate comme atouts principaux de cette methode, sa facilite de mise en uvre informatique, son adaptabilite a des geometries de forme complexe et sa rapidite de calcul de la reponse impulsionnelle (en energie) d'un canal acoustique au regard de la methode des images. En contrepartie, le caractere discret de la simulation de la propagation sonore par des rayons introduit des erreurs d'echantillonnage spatial. En eet, cette methode n'assure pas que tous les chemins possibles de propagation soient detectes, l'erreur devenant de plus en plus importante a mesure que le temps de calcul augmente. Pour diminuer cette erreur, les solutions proposees au xb (page 59), bien qu'eÆcaces, restent limitees et ne garantissent pas qu'au dela d'un certain ordre de re exion, l'integralite des sources images soit trouvee. Il est toujours possible d'augmenter inde niment le nombre de rayons de facon a stabiliser l'erreur autour d'une valeur raisonnable, le nombre de rayons necessaires etant fonction de la duree de la reponse impulsionnelle, ce qui limite l'inter^et de son utilisation aux ordres de re exion \faibles" du fait de l'accroissement tres important du temps de calcul. Des etudes recentes sur l'in uence de nombreux parametres de calcul d'une reponse impulsionnelle (nombre des rayons, resolution temporelle, etc.) sur le temps de reverberation T R ([Emb98b]), mettent en evidence la fragilite et la dependance de cet indice vis-a-vis de ces spatiale des absorptions sur des parametres energetiques (C80 , D,. . . ), ou sur le temps de reverberation d'une reponse impulsionnelle n'est reporte dans l'etude. Sachant que l'absorption de la plupart des surfaces augmente avec l'angle d'incidence ([CM82a]), il para^t quelque peu premature d'arriver a cette conclusion en s'appuyant sur les donnees presentees. Un peu plus tard, Benedetto et Spagnolo ([BS85]), se servant egalement d'un logiciel de lance de rayons, realisent des experiences similaires sur une salle rectangulaire a deux dimensions, dans laquelle dierentes distributions des absorptions sont testees. Ils modelisent l'absorption et la diusion des parois avec une methode de \Monte-Carlo" (voir paragraphe c ci-dessus et d ci-apres). Ils analysent l'in uence de la diusion et de l'absorption des parois et l'impact de leur distribution dans la salle sur le temps de reverberation. D'apres les resultats obtenus pour l'ensemble de con gurations testees, la prise en compte de l'angle d'incidence sur le coeÆcient d'absorption a un eet non negligeable sur la decroissance du champ acoustique qui s'avere d'autant plus marquee que la composante speculaire des re exions sur les parois predomine.

44

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

parametres. Ici encore, une methode est proposee pour separer la partie \precoce" de la partie \tardive" de la reponse impulsionnelle et remplacer cette derniere par une decroissance lineaire (faisant donc appel a une methode statistique), a n de s'aranchir des uctuations provoquees par les erreurs d'echantillonnage. En conclusion, malgre l'existence des environnements de simulation bases sur une certaine complementarite des deux methodes des images et des rayons (la premiere pour le calcul des re exions precoces, la seconde pour le calcul des re exions tardives, [MF92]), celle des rayons reste une methode dont l'eÆcacite est limitee principalement aux ordres de re exion faibles, la partie tardive pouvant ^etre estimee par des methodes statistiques. Dans le cas des geometries complexes, il est possible de decouper le calcul d'un echogramme en trois parties pour mieux tirer pro t de leurs avantages respectifs : le debut de la reponse (deux ou trois premiers ordres de re exion) est calcule a l'aide de la methode des sources images, suivie de la methode des rayons pour une partie intermediaire. La derniere partie est estimee par une approche statistique. Pour nir, nous ajouterons qu'il existe d'autres pratiques pour compenser les faibles densites de re exions obtenues pour des longs temps de calcul. Ces \astuces", qui reposent en general sur des bases statistiques, seront exposees au paragraphe suivant.

Methode des c^ones Dans la methode des c^ones ([Mae86], [MM93]), l'energie emise par la source (ponctuelle) est repartie uniformement sur N angles solides egaux, au centre de chacun desquels un rayon est construit. L'energie Er contenue dans chacun de ces angles solides, pour un laps de temps unitaire dt, est :

Er = I s r dt

(3.42)

W est l'intensite calculee sur une sphere de rayon unite entourant la source de puissance ou I = 4 acoustique W et de directivite s . Au centre de chacun des angles solides est construit un rayon, repere par les deux angles polaires  et , par rapport a un triedre de reference ( gure 3.6).

La propagation et la re exion se passent de la m^eme maniere que dans la methode des rayons, en assimilant chaque c^one a son axe de symetrie. Cette methode permet aussi de veri er l'existence des trajets acoustiques par retropropagation (cf gure 3.7).

3.3 Simulation numerique

45 r

z

r =

cos 

 S

x



y Fig.

3.6 { Modele de discretisation de la source. Calcul de l'angle solide .

R

S

S00

Fig.

S0 3.7 { Validation d'une source image par retropropagation.

Le recepteur est ponctuel, comme dans la methode des images. Le test recepteur consiste ici a calculer la distance entre le segment normal du rayon passant par le point recepteur et le recepteur a un instant donne. Si ce segment est inferieur au rayon du c^one Rr , le rayon est detecte ([Mal86]) : r

r d (3.43)  r ou dr represente la distance totale parcourue par le rayon depuis la source jusqu'au point de reception. L'intensite recue au point recepteur est proportionnelle a l'energie Er portee par le rayon divisee par la surface du c^one Sr a l'instant de passage :

Rr =

IR =

Er Sr

ou Sr = r d2r

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

46

l'attenuation est donc proportionnelle au carre de la distance parcourue. Il est impossible de couvrir l'integralite de la surface spherique de la source par des c^ones. Une source omnidirectionnelle ne peut ^etre simulee qu'approximativement. Il s'avere necessaire de recourir a un chevauchement des c^ones. Pour que la source reste omnidirectionnelle, l'intensite sur la surface des c^ones ne doit pas ^etre uniforme. D'ou quelques problemes pour l'estimation de la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique : d'une part, un risque de detection multiple du m^eme trajet acoustique ; d'autre part une sous-estimation de la partie \tardive" de la reponse impulsionnelle. Le premier point peut ^etre corrige par ponderation de l'energie des c^ones par une fonction en cos2 ( gure 3.8), ce qui permet de simuler une source omnidirectionnelle avec une precision de l'ordre de 5% (0:5 dB) ([Mae86]) et de reproduire (en moyenne) des niveaux sonores corrects en un point recepteur. La methode des c^ones ponderes permet egalement de fournir un nombre de sources images par ordre de re exion plus important qu'avec la retropropagation ([Eme95]).

cos2 (x)

R 

S

0

Fig.

S

3.8 { Ponderation des c^ones pour recouvrement spatial (d'apres ([Mae86])

L'echogramme est alors calcule en faisant la somme des contributions ponderees de chaque c^one touchant le recepteur. Cependant, il peut arriver que le c^one soit simultanement intercepte par plusieurs surfaces, ce qui risque d'entra^ner des erreurs dans l'estimation des intensites recues au point recepteur. L'amplitude de cette erreur, qu'on peut attribuer a une forme de diraction des bords des parois nies, peut ^etre limitee en augmentant le nombre de c^ones tires ou en eclatant le c^one en plusieurs faisceaux, chaque fois qu'il y a re exion sur plusieurs surfaces simultanement. Toutefois, il appara^t que ces deux solutions ont un eet considerable d'accroissement du temps de calcul. Les limitations de cette methode liees a la representation d'une source par des c^ones ont amene plusieurs chercheurs a remplacer la forme conique des faisceaux par des pyramides ([Lew93], [Far95a], [SK95]). En eet, les pyramides couvrent parfaitement la surface de la sphere entourant la source, ce qui resout le probleme de la modelisation des sources omnidirectionnelles. La propagation s'eectue comme dans le cas de c^ones, a ceci pres que le test de reception est adapte a la forme pyramidale de la surface du faisceau. Un recepteur est touche si les directions des

3.3 Simulation numerique

47

normales aux trois plans qui forment la surface pyramidale s'eloignent du recepteur. L'existence du chemin acoustique ayant genere une re exion peut ^etre veri ee par retropropagation. L'utilisation des techniques de modelisation de la propagation sonore par des rayons divergents (rayons, c^ones, pyramides) devient, comme il a ete explique dans la section precedente, de moins en moins precise lorsque la longueur du trajet du rayon augmente. Il appara^t que pour un nombre N de rayons tires depuis la source, la densite de re exions cro^t approximativement en t2 , d'apres la courbe theorique donnee par l'expression (3.33), uniquement jusqu'a un temps tc, ou pendant que l'ouverture des faisceaux est inferieure aux dimensions des parois (ou de maniere analogue tant que les dimensions du recepteur restent inferieures aux dimensions de la salle). Audela, l'ensemble des recepteurs est touche a chaque re exion, la densite des re exions \stagne", le nombre de detections par seconde approche une valeur constante donnee par l'expression :

cN Nm =  (3.44) l ou c est la celerite du son et l, le libre parcours moyen des faisceaux. Le comportement predit par ces formules n'est que partiellement veri e, car leur validite est conditionnee a des temps suÆsamment longs et a l'existence d'un champ dius (cf. x suivant). Nous pouvons alors de nir le \temps critique" tc ([MM93]), comme le temps au bout duquel la courbe theorique (3.33) intercepte la valeur constante Nm . La faible densite d'echos detectes au-dela du temps tc a pour consequence de sous-estimer la densite totale d'energie. Il est possible de compenser cette sous-estimation en appliquant un facteur energetique multiplicatif variable dans le temps fisv (t). Ceci consiste a multiplier l'energie de chaque image detectee au dela du temps critique tc par le rapport des equations (3.33) et (3.44). En pratique, des contraintes liees a la charge de calcul ont amene plusieurs chercheurs a supposer que les conditions de propagation existantes a partir du temps tc sont atteintes plus t^ot. En d'autres termes, une limite entre la partie precoce et la partie tardive (reverberee) de la reponse impulsionnelle, donnee par un temps to est etablie (ou generalement to < tc ). Au-dela, toute contribution energetique est \corrigee" par le facteur fisv (t) et imputee a la queue de reverberation. Pour justi er ce traitement, il est necessaire d'assimiler la propagation des rayons aux conditions du champ dius. Ceci implique, entre autres, que les details des re exions (direction, temps de passage, amplitude) peuvent ^etre negliges, et que les caracteristiques du champ acoustique en un point sont representatives de celles existantes en tout point de la salle. L'application de cette correction va se traduire par un saut abrupt dans la densite des re exions au moment du passage de la partie precoce a la partie tardive. Pour pallier cet inconvenient, Naylor ([Nay93]) propose d'appliquer une loi de probabilite dans l'intervalle temporel ou le rapport des equations (3.33) et (3.44) est inferieur a 1. A l'interieur de cet intervalle, la probabilite d'accepter une re exion arrivant au temps t est donnee par ce m^eme rapport. De cette facon, une transition douce entre parties precoce et tardive est assuree. Farina ([Far95a]) a mis au point un algorithme correcteur quelque peu dierent de celui propose par Naylor. Puisque dans son logiciel de lance de pyramides (RAMSETE 12 ) il n'y a pas de distinction entre une partie precoce et une partie tardive, son point de depart est le temps critique tc, duquel il introduit des legeres modi cations a la de nition mathematique donnee originalement par Maercke & Martin ([MM93]) : 12. Voir note de bas de page 3 en ce m^eme chapitre

48

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles l tc = c

s

N 4

(3.45)

ou est un coeÆcient numerique qui depend de la largeur de la surface du faisceau et qui vaut 0:3 (lorsqu'il s'agit de pyramides) sous l'hypothese de champ dius. L'expression traduisant le nombre d'echos detectes par unite de temps devient alors :

Nisvm (t) =

4  c3 t2 1 V 

e

t2c t2



(3.46)

Le facteur correcteur applique etant le rapport des equations (3.33) et (3.46). Ceci garantit une evolution temporelle progressive de la densite de re exions. Cette correction est appliquee recepteur par recepteur sans faire de suppositions quant aux caracteristiques du champ acoustique, ce qui permet d'eectuer des simulations dans des espaces ayant un comportement acoustique non-homogene, comme c'est le cas des volumes couples. De plus, cet algorithme permet d'avoir une approche purement deterministe tant que la longueur totale de la reponse impulsionnelle estimee est inferieure au temps critique. Dans ce cas la, l'ensemble des contributions energetiques parvenant au recepteur est representatif de la totalite des sources images existantes dans le modele informatique pour la duree de calcul. Ceci est possible a condition de tirer un nombre suÆsant de faisceaux, ce qui entra^ne en contrepartie une augmentation sensible du temps de calcul. Il faut signaler en n que bien que ne faisant pas de distinction entre partie \deterministe" et partie \statistique", au-dela du temps critique, le comportement du champ acoustique n'est calcule qu'avec une fraction du nombre total de re exions predites par l'equation (3.33). En realite, l'utilisation des pyramides ne presente des avantages vis-a-vis des c^ones que pour la modelisation de la source. Cet avantage est m^eme mis en question des que l'on utilise la methode des c^ones ponderes. Ceci dit, il serait interessant de comparer les deux algorithmes sous des conditions identiques pour se faire une idee plus precise des performances de l'un et de l'autre. Quant a leur utilisation pour le calcul de l'integralite de la reponse impulsionnelle, les m^emes commentaires que pour les methodes des images et de rayons sont ici applicables en ce qui concerne leur eÆcacite pour le calcul de la partie tardive. La methode des \faisceaux" (c^one et pyramides), et donc la plupart du temps utilisee pour l'estimation de la partie precoce des echogrammes. Des approches statistiques sont par consequent utilisees pour prolonger la duree des reponses impulsionnelles, dont les conditions de validite seront analysees dans la section consacree a l'approche statistique de l'acoustique geometrique. Nous avons deliberement opte pour une description des principes generaux des methodes les plus representatives de l'acoustique geometrique, avant d'introduire la prise en compte des surfaces de forme irreguliere et des phenomenes physiques tels que la modelisation des re exions diuses et de la diraction. Ceci est justi e par le fait que la facon d'aborder ces problemes et par consequent leur resolution est, pour la majorite des cas, equivalente.

Gestion des surfaces de forme irreguliere, des re exions diuses et de la diraction a. Gestion des surfaces non-planes

3.3 Simulation numerique

49

Dans une salle, les details interieurs, tant architecturaux que decoratifs tels des colonnes, des sculptures, des arrondis des balcons, etc, contribuent a deformer les parois en les rendant non planes. Les contraintes liees a l'application des methodes de l'acoustique geometrique interdisent la simulation de ce genre de surfaces. Il est neanmoins possible de les prendre en compte en les discretisant sous forme d'ensembles de surfaces planes ([Bor84], [Kir84]). Dans le cas particulier des surfaces courbes, cette approximation introduit des zones de re exion totale et des zones sans re exion, a la dierence du front d'onde divergent cree par la surface courbe ( gure 3.9). Decomposer la surface en un plus grand nombre de surfaces planes limite l'etendue des zones d'ombre mais risque de trop accro^tre le temps de calcul a cause de l'augmentation du nombre de sources images et par consequent de la serie de tests lies au recensement de chacune d'entre elles. En plus, cette solution n'est valide que pour une etendue frequentielle limitee : dans la pratique, pour des longueurs d'onde superieures aux dimensions de la surface originale, elle est \vue" comme etant plane. Il serait peut-^etre plus judicieux alors de construire un modele informatique dierent par groupe de frequences (basses, moyennes et hautes, par exemple). En n, il est toujours possible de rendre les surfaces un peu diusantes, ce qui peut contribuer a diminuer l'etendue des zones d'ombre. La validite de cette solution n'est cependant pas pour l'instant veri ee d'un point de vue physique.

S01

S03

2

S02

3

1

R1

R2 S1

3.9 { Discretisation d'une surface courbe par des surfaces planes. Les recepteurs R1 et R2 se trouvent en dehors des \zones de re exion" provoquees par l'approximation en 3 parties discretes.

Fig.

b. Prise en compte de la diraction Le phenomene de diraction represente la propriete d'une onde de \contourner" un obstacle sous certaines conditions, contredisant ainsi les lois de l'optique geometrique classique. Comme il a ete mentionne plus haut, les dimensions nies des parois, le masquage provoque par les fosses d'orchestre dans les salles d'opera, ainsi que la propagation rasante au-dessus des sieges, representent les cas les plus recurrents de diraction en acoustique des salles. L'eet de la diraction sur les bords des parois nies est en general assimile a un processus de diusion pris en compte comme tel dans des logiciels de simulation. La complexite du phenomene d'absorption rasante fait qu'il neest modelise en pratique que par des solutions approchees, comme nous le verrons au x6.3.3 de ce document. A cause de son importance tant physique que perceptive, c'est le phenomene de masquage de l'onde directe par les fosses d'orchestre qui a ete l'objet des recherches les plus poussees pour

50

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles trouver des solutions pour sa modelisation dans des logiciels de prediction en acoustique des salles. Ces recherches se sont principalement concentrees sur le phenomene de diraction sous trois perspectives. La premiere derive directement de la theorie de la diraction de Keller ([Kel62]), la deuxieme s'appuie sur des abaques ([Mae68]), et la troisieme est une methode de resolution integrale s'inspirant des hypotheses de Kirchho ([SKS85], [AKS89]). Concernant l'application de ces theories aux programmes de simulation, nous nous limiterons tout simplement a dire que d'une part, Benedetto et Spagnolo ([BS84]) ont propose, a partir de la theorie de Keller, \d'eclater" chaque rayon incident s'approchant de moins d'une longueur d'onde d'un bord d'ecran, en un nombre n de rayons diractes. D'autre part, des chercheurs tels que Stephenson ([Ste92]), ont etudie la possibilite d'etendre la modelisation des phenomenes de diraction aux ordres de re exion superieurs dans un logiciel de lance des rayons. En n, le laboratoire d'acoustique des salles de l'Ircam a implante une methode issue des etudes sur la diraction sur les bords des ecrans ([IRC90]), en vue de la modelisation de ce phenomene dans les programmes de prediction developpes par le laboratoire. Nous aborderons ce point au chapitre 4. c. Prise en compte de la diusion La methode des rayons permet de prendre en compte les re exions diuses sur les parois modelisees la plupart du temps selon la loi de Lambert (cf. xA), l'energie re echie etant repartie sur tout le demi-espace, independamment de la direction d'incidence d'un rayon sur la paroi. Plusieurs approches sont utilisees pour la modeliser. Nous en donnons ci-apres une vue generale: { Certains considerent qu'au contact de la paroi diusante, le rayon incident \eclate" en un nombre important de rayons, dans toutes les directions et portant tous la m^eme intensite. Cette solution n'est pas tres suivie car elle signi e une augmentation considerable du temps de calcul. { D'autres se basent sur une methode de \Monte-Carlo". Cela suppose que le rayon qui n'est pas absorbe, suit soit une re exion speculaire, soit une re exion diuse, selon, par exemple, une loi de re exion combinant lineairement les re exions speculaire et aleatoire ([BS85]) :

d(w) = (1

s(w))

(3.47)

ou s(w) represente la fraction d'energie re echie de facon speculaire et d(w), la fraction d'energie re echie de facon diuse a l'octave consideree. Un numero q2 entre 0 et 1 est genere au hasard chaque fois qu'il y a re exion : si q2  s(w) la re exion est speculaire, si q2 < s(w), le rayon est re echi de maniere diuse. Dans ce cas, la probabilite p que le rayon incident sous un angle  (a la normale a la paroi) se re echisse sous un angle compris entre 0 et 0 +
0 est donnee par : 0 Z 0 1  +
 p= cos 0 d0 2 0

(3.48)

3.3 Simulation numerique

51

Un troisieme numero q3 entre 0 et 1 est genere au hasard pour chaque re exion diffuse, de telle facon que l'angle 0 = arcsin(2q3 1) satisfasse la loi de probabilite. { Une troisieme approche consiste a considerer que la re exion d'un rayon sur une paroi est la somme ponderee d'une partie speculaire et d'une partie diuse, ce qui revient a \diviser" le rayon en deux. De la m^eme maniere que pour l'absorption deterministe, ou l'energie du rayon est diminuee par \reduction multiplicative" en fonction du coeÆcient d'absorption de la paroi (w), un coeÆcient de diusion d(w) par bande d'octave est introduit dans le modele. Ainsi, l'energie sonore portee par un rayon est separee en deux quantites : { la fraction d'energie (1 (w))(1 d(w)), correspond a l'energie re echie de maniere speculaire; { la fraction d'energie d(w)(1 (w)), correspond a celle re echie de maniere diuse. Pour qu'il y ait conservation de l'energie, la relation suivante doit ^etre veri ee : (1

(w))(1

d(w)) + d(w)(1

(w)) + (w) = 1

(3.49)

La propagation de ces deux energies dans la salle est simulee par deux processus dierents, et la balance energetique explicitee a l'aide du coeÆcient de diusion d(w). Cette variante est celle qui a ete retenue par bon nombre d'environnements de simulation, dont certains sont disponibles dans le commerce ([Dal92], [Hei93], [MM93]). C'est egalement celle qui est utilisee dans l'environnement de simulation informatique developpe a l'Ircam ([Mal86]), a la seule dierence que la propagation sous forme de rayons a ete remplacee par des c^ones, que nous avons etudies precedemment. Quant a la propagation de l'energie diuse, nous verrons comment elle peut ^etre rajoutee au chapitre 4. En n, cette variante de la gestion de la diusion peut aussi ^etre adaptee aux modeles de simulation bases sur la methode des images. { Une variante du modele qui vient d'^etre decrit, a ete proposee par Ahnert et Feistel ([AF95]). Ce modele considere egalement une propagation energetique par des rayons et inclut trois \types" de diusion (dependante de la frequence mais independante de l'angle d'incidence des rayons) : isotropique, loi de Lambert (en cos ) et en cos2 . La fraction d'energie re echie de maniere diuse se fait a partir d'une methode de \Monte Carlo" laquelle sert a selectionner le type de diusion. { Recemment, Embrechts ([Emb98a]) a propose de modeliser les re exions diuses sur les parois de facon plus \realiste" qu'avec le modele base sur la loi de Lambert, par la resolution d'une equation integrale basee sur la theorie de Kirchho. Dans ce modele, la diusion depend de l'angle d'incidence des rayons sur la paroi, les directions des re exions diuses des rayons etant etablies a partir d'une methode de Monte Carlo par la generation de deux numeros aleatoires. Pour l'instant, des simulations a l'aide

52

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles de ce modele n'ont ete eectuees que sur des surfaces parfaitement rigides et les resultats compares a des solutions theoriques. Malgre la complexite du modele, la diusion est independante de la frequence et seule la propagation energetique est consideree, ce qui exclut tout eet de phase lors des re exions. En fait il appara^t que seule une approche par la theorie ondulatoire est capable de decrire avec precision le phenomene de diusion des parois dans toute sa complexite. En consequence, il n'est pas surprenant d'apprendre que les methodes basees sur la resolution des equations integrales, comme le BEM (cf. x3.3.1) fassent des predictions precises du champ acoustique cree par une paroi diusante et ceci pour une large plage frequentielle (jusqu'a 6 kHz pour une paroi plane) ([CL93]). Cependant, l'importante charge de calcul necessaire pour aboutir aux resultats limite les possibilites d'application de ce genre de methodes. D'une maniere generale la prise en compte de la diusion des parois dans des algorithmes de simulation informatique est confrontee aux problemes derives du manque de donnees et de protocoles de mesure ables et precis pour la caracteriser. Une methode de mesure in situ des coeÆcients d'absorption et de diusion est exposee au x4.5.3.

3.3.3 Simulation numerique d'un champ dius : Approche statistique Le comportement dit de champ dius est une des notions les plus importantes en acoustique des salles, et dont la description remonte aux premiers travaux de Sabine ([Sab22]), d'ou decoule la celebre formule de prediction du temps de reverberation (T ) en espace clos, qui relie le volume (V ) de la salle a l'absorption de ses parois :

V (3.50) Sa ou S represente la surface totale des parois de la salle et a, le coeÆcient d'absorption moyenne sur toute la surface S . La notion de champ dius permet, outre l'estimation de la duree de reverberation (en fonction de la frequence), d'avoir acces au niveau d'energie reverberee en regime stationnaire. Cette notion repose sur deux hypotheses fondamentales : T = 0:163

{ toutes les directions de propagation sont equiprobables ; { la densite instantanee d'energie acoustique est la m^eme dans toute la salle. La validite de ce dernier point requiert une densite temporelle des re exions tres importante, ce qui limite le domaine de validite de la notion du champ dius a la partie tardive de la reponse impulsionnelle. En plus, la rapidite avec laquelle les conditions de champ dius sont reunies depend de la geometrie de la salle ainsi que des caracteristiques acoustiques des parois. On peut montrer qu'un champ dius est realise au bout d'un certain temps, dans une salle aux parois parfaitement re echissantes et diusantes ([Pol88]). Dans le domaine frequentiel, les conditions de diusion sont acquises lorsque tous les modes sont excites de facon egale et qu'ils sont statistiquement independants. En realite, ces conditions ne sont que rarement atteintes dans une salle car, d'une part, les modes sont excites de facon inegale et d'autre part, la presence de la moindre absorption des parois se traduit par un amortissement selectif des modes ([Bru98]).

3.3 Simulation numerique

53

Cependant, dans des salles a faible absorption et pour une densite de re exions suÆsante, l'approximation de champ dius reste valide. Elle permet ainsi de formuler de maniere generale les lois qui gouvernent le phenomene de reverberation de facon relativement simple. Ainsi, certains des resultats obtenus dans le cadre de l'acoustique geometrique pour un parallelepipede rectangle, peuvent ^etre generalises a des salles de forme quelconque. En particulier, la propriete d'ergodicite permet de de nir le libre parcours moyen, ou distance moyenne parcourue entre deux re exions successives, aussi bien comme une moyenne locale (ou d'ensemble), que comme une moyenne temporelle : l = 4 V (3.51) S et ainsi de generaliser la formule d'Eyring a des salles de forme quelconque en utilisant la moyenne des coeÆcients d'absorption i des parois de la salle ponderes par leurs surfaces Si respectives, comme coeÆcient d'absorption ([Kut91]) : l V = 0:163 c ln(1 ) S ln(1 ou c est la celerite du son dans l'air, et ou :

T = 6 ln10

 =

)

(3.52)

1X S S i i i

Il est bien s^ur possible de completer cette equation en ajoutant le terme 4mV dans le denominateur pour tenir compte de l'attenuation de propagation dans l'air. La formule d'Eyring se revele en pratique plus precise que celle proposee par Sabine (eq. 3.50), car etant moins restrictive. Neanmoins, pour des formes de salle complexes (des volumes couples, par exemple), ou dans des situations ou la distribution de l'absorption n'est pas uniforme, comme c'est le cas d'une salle de concerts pleine, les resultats fournis par les formules d'Eyring et de Sabine peuvent s'averer faux ([Sch70], [Kut97]). En eet, dans ces deux formules la geometrie de la salle n'est prise en compte que par son volume et par sa surface totale et la position exacte des dierents materiaux absorbants est negligee: l'absorption est au mieux representee par une moyenne ponderee des absorptions des parois. Dans un premier temps, Kuttru ([Kut91]) a propose alors de prendre en compte la forme de l2 l2 la salle en introduisant la \variance relative" du libre parcours moyen ( 2 = 2 ), dont la l loi de probabilite est consideree comme gaussienne dans l'hypothese de champ dius. 2 peut ^etre estimee par des simulations basees sur des methodes de \Monte Carlo". Joyce ([Joy78]) met en cause la validite des approximations proposees par Kuttru pour quelques cas speci ques, notamment dans des salles spheriques peu diusantes. Gilbert ([Gil88]) propose une variante de la formule proposee par Kuttru dans laquelle, entre autres modi cations, il remplace le coeÆcient d'absorption moyen pondere  par le coeÆcient d'absorption  de chaque surface prise individuellement. Ceci permet de tenir compte aussi de salles dont la distribution de l'absorption est non-uniforme. Cependant, la formule issue de ces dernieres modi cations ne donne pas de resultats precis dans des salles aux formes etranges avec des parois tres absorbantes.

Chapitre 3 : Etude bibliographique : 54 Simulation de la propagation acoustique dans les salles Equation integrale de Kuttru Il existe une autre approche pour prendre en compte la forme de la salle, dans laquelle la propagation de l'energie en regime stationnaire et sa decroissance (exponentielle) sont decrites par une equation integrale. Cette equation, initialement etablie par Kuttru ([Kut91]), permet d'eectuer un bilan de l'energie du champ sonore presente sur les parois de la salle. L'inter^et de cette description est qu'elle ne fait aucune hypothese sur l'homogeneite du champ sonore : son application n'est pas restreinte au champ dius. Seules les parois de la salle sont considerees comme etant parfaitement diusantes, suivant la loi de Lambert. Soit I (x0 ; t) la puissance acoustique recue en un point x0 de la surface interne d'une salle au temps t ( gure 3.10). L'energie re echie par unite de temps est exprimee par :

I (x0 ; t)(1

(x0 )) dS 0

(3.53)

ou (x0 ) represente le coeÆcient d'absorption au point x0 de l'element de surface dS 0 . L'intensite acoustique recue en un point situe en x a une distance r de x0 s'ecrit :

K (x; x0 ) I (x0 ; t r=c)(1

(x0 )) dS 0

(3.54)

La fonction K decrit la propagation d'energie entre les elements de paroi. Dans le cas d'une paroi idealement diuse, K est de nie par la loi de Lambert : cos() cos(0 ) (3.55)  r2 ou  et 0 sont les angles entre le vecteur x x0 de longueur r et les normales a la paroi aux points x et x0 . Pour s'assurer que lors de la re exion en x0 il n'y aura pas de creation d'energie, la loi de conservation de l'energie oblige K a satisfaire la condition :

K=

Z

S

K (x; x0 ) dS = 1

(3.56)

L'intensite totale recue en un point x est alors exprimee en fonction des intensites emises par tous les autres points x0 :

I (x; t) =

Z

S

K (x; x0 ) I (x0 ; t

r=c)(1

(x0 )) dS 0

(3.57)

L'eet de l'attenuation de propagation peut ^etre facilement inclus en ajoutant un facteur e mr dans l'integrale, ou m represente la constante d'attenuation dans l'air ([CM78]). Une fois que l'intensite dans toute la surface est connue, il est possible de calculer le niveau du champ reverbere en regime stationnaire en un point interieur quelconque. La resolution de l'equation (3.57) en regime exponentiel decroissant permet d'acceder au temps de reverberation. Une methode numerique originale de resolution de cette equation basee sur un processus de

3.3 Simulation numerique

55 x0 0

dS 0

r x

 dS

Fig.

3.10 { Notations utilisees pour deriver l'equation integrale dite de Kuttru

Markov a ete proposee par Malcurt ([Mal86]). Cette methode s'inspire des travaux realises auparavant par ([CM78], [KF82], [Mil84] et [Gil81]). Nous le decrivons dans la suite.

Resolution numerique : processus de Markov Un processus est dit \Markovien" si l'etat d'un phenomene physique ne depend que de son etat precedent. L'equation derivee au paragraphe precedent (3.57) illustre clairement cette notion. En eet, l'intensite presente au temps t en un point x d'un element de surface dS , ne depend que des intensites emises par tous les autres points x0 des elements de surface dS 0 aux instants t diminues des temps de parcours r=c. L'evolution temporelle de la propagation de l'energie entre chaque element de surface est ainsi suivie, constituant ce que l'on appelle une cha^ne de Markov ([Ger75]). La modelisation de la propagation par cette methode suppose egalement que les re exions sur les parois sont mutuellement incoherentes et donc que des phenomenes d'interference ne peuvent pas avoir lieu. L'intensite totale recue en un point x de la surface au temps t resulte de la somme d'une contribution reverberee et d'une contribution directe Id(x; t) : Z 1 cos() cos(0 ) 0 I (x; t) = I (x0 ; t r(x; x0 )=c)(1 (x0 )) dS + Id(x; t)  S r2 ou r(x; x0 ) represente la distance entre les points x et x0 .

(3.58)

La resolution de cette equation passe par la discretisation de la surface S de la salle en panneaux elementaires Sj , caracterises chacun par un coeÆcient d'absorption j , que l'on considere independant de l'angle d'incidence :

Ii (t) =

1 X I (t  j j

rij =c)(1

j )

cos(ij ) cos(ji ) Sj + Idi (t) rij2

et ( ) cos( ) Idi (t) = w(t rsi =c) s si 2 is 4rsi

(3.59)

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

56

ou s (si ) decrit la directivite de la source pour la direction d'emission entre la source et la surface Si , caracterisee par is , l'angle forme par le trajet direct entre le centre de la source et la normale a la surface Si . w(t) s (si ) est l'intensite emise par la source dans la direction de la surface Si . L'expression (3.59) reste valide sous l'hypothese que l'intensite est constante sur chacune des surfaces Sj et que celles-ci sont suÆsamment petites pour que chacune d'entre elles puisse alors ^etre caracterisee par son centre et par sa normale. La connaissance des Ii (t) permet de calculer l'intensite dans un point recepteur interieur a la surface :

Ir (t) =

1X I (t  i i

rri =c)(1

i )

cos(ri ) r (ir ) Si + Idr (t) 2 rri

(3.60)

et ( ) ( ) Idr (t) = w(t rrs =c) s rs 2r sr 4rrs represente l'intensite de l'onde directe en provenance de la source captee au point recepteur au temps t. r (ir ) et r (sr ) decrivent la directivite du recepteur dans les directions de la surface Si et du centre de la source respectivement. a. La matrice descriptive Suivant le raisonnement selon lequel la reverberation tardive peut ^etre decrite par une cha^ne de Markov, l'equation (3.59) peut se mettre sous la forme suivante :

Ii (t) =

X

j

aij (1

j ) Ij (t

rij =c) + Idi (t)

(3.61)

Cette equation fait appara^tre une matrice descriptive A des coeÆcients aij :

aij =

cos(ij ) cos(ji ) Sj rij2

et aii = 0

Cette matrice decrit la propagation de l'intensite acoustique entre chacun des panneaux elementaires Si . Elle est symetrique si les surfaces des Si sont toutes egales. Ici, la loi de conservation de l'energie lors d'une re exion implique que la somme de chacune des colonnes de la matrice de passage A est egale a 1. Comme nous l'avons mentionne au paragraphe precedent, la resolution de l'equation (3.61) en regime stationnaire permet de calculer le niveau du champ reverbere dans la salle (sur la surface et ensuite dans tout point interieur). Il est ensuite possible d'estimer le temps de reverberation en supposant une decroissance exponentielle uniforme de l'energie en fonction du temps. C'est ce que nous illustrons dans la suite.

3.3 Simulation numerique

57

b. Regime stationnaire En regime stationnaire, la variable descriptive intensite est independante du temps. L'equation (3.61) devient :

Ii =

X

j

aij (1

j ) Ij + Idi

(3.62)

ou la m^eme notation que celle utilisee dans (3.59) pour decrire le terme son direct a ete gardee (en eliminant le parametre temps). Cette equation est la base de ce que l'on appelle la \methode de radiosite", et qui a ete implantee dans plusieurs logiciels hybrides de simulation numerique ([Lew93], [Mal86], [SK95]). L'equation (3.62) peut maintenant se mettre sous forme matricielle : (II

A) I = Id

(3.63)

ou : { { { { {

A est la matrice de passage (symetrique) ; I , le vecteur colonne des intensites recues Ii ; Id, le vecteur colonne des intensites directes Idi ; , la matrice diagonale des absorptions, ou ii = (1 i ) et ij = 0 ; II est la matrice identite.

Le systeme d'equations (3.63) est compose d'un nombre N d'equations egal au nombre des surfaces discretisant la salle. A est par consequent une matrice carree de dimensions N  N . Les inconnues etant les intensites presentes sur les surfaces Ii . Ce systeme peut se resoudre par inversion de la matrice (Ii A). Une fois que ce systeme d'equations a ete resolu pour les Ii , il est possible de faire un bilan energetique en un point recepteur (interieur a la salle). On obtient ainsi le niveau sonore globale :

Ir =

X

i

ari (1

i ) Ii + Idr

(3.64)

avec :

ari =

cos(ri ) r (ir ) Si 2 rri

et arr = 0

(3.65)

La m^eme notation que celle utilisee dans (3.60) pour decrire le terme son direct Idr a ete gardee (en eliminant le parametre temps). Il est important de rappeler que pour arriver a l'equation integrale (3.58), nous avons suppose que les parois de la salle sont parfaitement diusantes, ce qui est en realite une simpli cation du comportement complexe des surfaces, lequel se rapproche davantage

58

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles d'une situation de re exion mixte (cf. annexe A), ou l'energie re echie est composee d'une fraction speculaire et d'une fraction diuse (le terme diuse inclut en fait la diusion due aux irregularites des surfaces et la diraction provoquee par ses dimensions nies). Un modele hybride tenant compte du comportement mixte des surfaces, ou encore l'utilisation d'un modele supplementaire pour traiter les re exions speculaires separement (comme celui decrit pour la methode des rayons en page 51), peuvent ^etre adoptes pour decrire la propagation d'energie a l'interieur d'une salle. c. Regime transitoire : decroissance exponentielle Les hypotheses retenues pour deriver l'equation (3.58) s'adaptent particulierement bien au calcul de la decroissance de l'energie sonore tardive. En eet, celle-ci est conformee majoritairement par des re exions d'ordre superieur, dans lesquelles la fraction d'energie diuse est preponderante (le processus d'emigration d'energie speculaire vers energie diuse etant irreversible). Ceci veut dire qu'a chaque re exion le rapport de l'energie diuse sur l'energie speculaire augmente jusqu'a ce que la fraction speculaire devienne negligeable. En d'autres termes, la condition de re exion parfaitement diuse n'est pas atteinte immediatement mais au bout d'un certain nombre de re exions. Une autre caracteristique de la reverberation tardive est qu'on peut tres vite l'assimiler a une decroissance exponentielle (cf. x2.1). Sous cette hypothese, l'equation (3.59) prend la forme suivante (avec Idi (t) = 0) :

Ii (t) =

X

j

aij (1

j ) Ij e( 0 (t rij =c))

(3.66)

ou 0 est la constante de decroissance qui est reliee au temps de reverberation par la relation ([Kut91]) :

0 = 13:8=T Nous pouvons mettre la dependance temporelle e 0t en facteur :

Ii =

X

j

aij (1

j ) Ij e( 0 rij =c)

(3.67)

Nous verrons maintenant comment, a l'aide d'une methode iterative sur la matrice de passage A, nous pourrons acceder au temps de reverberation et a la repartition spatiale de l'intensite acoustique en un point recepteur quelconque a l'interieur de la salle. c.1. Calcul iteratif du temps de reverberation La constante de decroissance 0 ne peut pas ^etre estimee directement a partir de l'equation (3.67) car elle est en fait \cachee" dans l'integrale et multipliee par une fonction des variables d'integration (la distance rij entre surfaces emettrice et receptrice). Pour remedier a ce probleme, Gilbert ([Gil81]) propose un processus d'iteration base sur la solution simultanee de l'equation (3.67) et d'une equation integrale supplementaire pour 0 . Cette equation est etablie directement a partir de la relation suivante qui relie cette constante a la puissance dissipee par les parois ( dE (t)=dt) et a l'energie interieure de la salle E (t) :

3.3 Simulation numerique

59 ( dE (t)=dt) E (t)

0 =

(3.68)

D'ou

dE (t)=dt =

X

i

i Si Ii e( 0 t)

(3.69)

Remplacer Ii par l'expression (3.67) donne :

dE (t)=dt =

X

i

2

i Si

X

4

j

3

aij (1

j ) Ij e( 0 rij =c) 5 e( 0 t)

(3.70)

L'energie interieure de la salle est exprimee par :

E (t) =

X

i

Si

X

j

aij (1

j ) Ij

e( 0 rij =c) 1 0 t e 0

(3.71)

L'equation (3.67) et le rapport des equations (3.70) et (3.71) sont utilises dans le processus d'iteration propose. Soit k l'ordre d'iteration, nous commencons par donner des valeurs tentatives Ii (k) et 0 (k) des Ii et de 0 respectivement, qui peuvent ^etre celles calculees dans le cas du regime permanent pour les Ii et pour 0 (k), le resultat du calcul de la methode de Sabine. Inserer ces valeurs dans (3.67) et dans le rapport de (3.70) sur (3.71) produit des nouvelles approximations Ii (k + 1) et 0 (k + 1), lesquelles sont utilisees dans l'iteration suivante pour produire des nouvelles approximations, et ainsi de suite. Le processus est repete jusqu'a ce que la valeur correcte de la constante de decroissance soit atteinte. La methode iterative de calcul du temps de reverberation qui vient d'^etre exposee a ete validee dans l'espace de projection (salle a acoustique variable) de l'Ircam, dans le cadre de la these eectuee par C. Malcurt ([Mal86]). Recemment, Kuttru ([Kut95a]) a propose une methode iterative tres proche de celle mise en uvre par Gilbert mais dans laquelle il se sert uniquement de l'equation integrale (3.67). Les performances de ces deux methodes sont equivalentes d'apres les resultats reportes par Kuttru. c.2. Calcul de la decroissance integree Il est possible egalement de calculer la decroissance integree en un point quelconque de la salle a l'aide des equations (3.59) et (3.60). Il faut pour cela resoudre d'abord l'equation (3.59) numeriquement en prenant comme conditions initiales les resultats du regime stationnaire. En supposant que la source est coupee en t = 0, le systeme d'equations est resolu numeriquement par pas temporels. Pour un temps t inferieur au temps de parcours entre la source et la surface tsi , la composante son direct Idi vaut Idi (eq. 3.60). Pour des temps superieurs, Idi = 0. Quant a la partie reverberee, pour tout temps t inferieur au temps de parcours entre surfaces tij , Ij (t rij =c) = Ij . Ou Ij est solution de l'equation (3.63).

60

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles Une fois que les intensites acoustiques sont connues sur toutes les surfaces a tout instant t, il est possible de calculer la distribution des intensites en tout point interieur r, d'apres l'equation (3.60). Comme conditions initiales, nous utilisons egalement celles determinees par le regime stationnaire et les valeurs des intensites trouvees precedemment. Les m^emes contraintes temporelles sont ici appliquees, en remplacant tsr par tsi , et tij par tri . Ii est solution pour la surface i de l'equation (3.63).

Quelques remarques concernant la validite des modeles dius Nous venons de decrire un certain nombre de modeles simpli es qui permettent de modeliser la partie tardive de la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique dans une salle, en faisant comme hypothese celle du champ dius. Nous avons aussi mentionne qu'en realite les conditions de champs dius ne sont jamais atteintes dans une salle dans laquelle les parois presentent une certaine absorption. Cependant, tout d'abord Schroeder dans le domaine frequentiel ([Sch54]), et plus recemment Polack ([Pol88]) dans le domaine temporel, ont developpe les theories qui justi ent la description statistique des proprietes des fonctions de transfert et des reponses impulsionnelles. Selon les recherches menees par Schroeder, l'approche statistique dans le domaine frequentiel n'est justi ee que lorsqu'il y a un recouvrement modal suÆsant. Ceci n'est possible qu'a partir d'une certaine frequence appelee frequence de Schroeder (et derivee au x 2:3:1) :

fc

 2100

s

T V



ou T et le temps de reverberation de la salle et V son volume. Nous sommes arrives a cette expression en utilisant un taux de recouvrement modal egal a 3. Polack a apporte une condition supplementaire de validite pour l'acoustique statistique. Il a pu demontrer que, a partir d'une modelisation geometrique (par des rayons) de la propagation du son dans la salle, il existe une condition supplementaire dans le domaine temporel pour que l'application de la theorie statistique soit valable. En eet, il existe un temps tm a partir duquel la reponse impulsionnelle peut ^etre consideree comme aleatoire. Le temps tm , qu'il appelle temps de melange, est le temps a partir duquel dix echos au moins se superposent a tout instant. Ce temps depend de l'etalement temporel de l'impulsion emise et de l'echelle temporelle d'observation (ou duree d'integration consideree). Polack ([Pol88]) prend cette duree d'integration egale a 24 ms (duree d'integration de l'oreille). Sachant que le nombre moyen d'echos N par unite de temps parvenant au recepteur est donnee par l'expression (3.33) :

dN 4c3 2 = t dt V une approximation pour le temps de melange est donnee par la valeur : tm =

p

V ms

(3.72)

En pratique, cette expression doit ^etre consideree comme une surestimation car, d'une part, la dependance frequentielle de l'absorption des parois entra^ne un accroissement de l'etalement

3.3 Simulation numerique

61

temporel des echos a chaque re exion. D'autre part, le caractere diusant des parois conduit a un melange plus rapide en raison de l'augmentation du taux d'accroissement du nombre d'echos recus par unite de temps dans la reponse impulsionnelle. La gure (3.11) illustre graphiquement le domaine de validite dans l'application des modeles dius decrits au paragraphe precedent. Leur application est donc conditionnee d'une part aux frequences superieures a la frequence de Schroeder, et d'autre part aux temps superieurs au temps de melange (justi ant ainsi la distinction physique entre re exions precoces et reverberation tardive dans le domaine temporel).

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

62

dB son direct

re exions precoces Reverberation tardive temps

0

0

T V frequence de Schroeder (en Hz)

V

temps de melange (en ms)

temps

2100

domaine de validite du modele statistique

frequence Fig.

3.11 { Domaine de validite du modele statistique. Plan temps-frequence. D'apres ([Jot92])

3.3.4 Modeles hybrides de simulation numerique Comme nous avons pu le constater, chaque methode de simulation possede ses propres atouts et ses faibleses. Pour cette raison, des modeles hybrides de simulation numerique ont vu le jour ces dernieres annees. Ces environnements de simulation, en fonction des applications auxquelles ils sont voues, vont faire un melange des dierents modeles de simulation de la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique. Parmi les exemples les plus representatifs de l'assemblage des modeles de simulation basses frequences avec des modeles haute frequence, nous pouvons citer les experiences menees par Granier et al. ([GKDS96]). Dans cet etude, les auteurs se sont servi de la methode FEM pour eectuer des experiences pratiques d'auralisation large bande a l'interieur des cabines automobiles, dont le but etait de developper des moyens d'aide au design et a la veri cation des performances des systemes de reproduction de haute delite dans les voitures. Pour pallier les limitations de l'approche geometrique (cf. x3.3.2), la partie basses frequences (limitee a 350 Hz pour cette experience) des fonctions de transfert entre la source et le recepteur a ete simulee a l'aide d'un logiciel du commerce (le module FEM du logiciel SYSNOISE). Quant

3.3 Simulation numerique

63

aux hautes frequences, un logiciel de tire de rayons et de sources images (CATT 13 ), a ete employe. Le processus de couplage de la reponse impulsionnelle synthetisee entre la partie basses frequences et hautes frequences pour creer un environnement de simulation hybride large bande, est decrit en detail tant par une approche temporelle que frequentielle. Quelques tests perceptifs pour valider les auralisations par simulation ont ete eectues. Les commentaires exprimes au sujet des resultats des tests, malgre leur caractere hypothetique (les tests etaient trop simplistes pour pouvoir en tirer des conclusions solides), soulignent le fait qu'a l'heure actuelle, le manque d'informations precises sur le comportement acoustique des materiaux ainsi que l'enorme co^ut informatique que represente la description geometrique detaillee d'un espace, interdisent l'usage des auralisations (a partir des simulations) comme un outil able de veri cation de la qualite des systemes de sonorisation dans les automobiles. Cependant, l'etat actuel de developpement des methodes de simulation par FEM est suÆsament avance pour ^etre d'utilite dans le processus de conception de ces systemes haute delite. Farina et Ugolotti ([FU98]) ont recement implante un environnement de simulation informatique qui avait comme objectif de servir en tant qu'outil d'aide a la conception des systemes de sonorisation de haute delite a l'interieur des voitures. Il s'agit en fait de \fabriquer" des echantillons sonores large bande avec grand detail, a partir des reponses impulsionnelles binaurales simulees, de maniere a pouvoir evaluer perceptivement la qualite des systemes audio dans des cabines des voitures avant que le systeme lui-m^eme soit physiquement concu. Pour ce faire, les auteurs utilisent un logiciel de simulation du commerce base sur les elements de frontiere (BEASY 14 ) pour recueillir la reponse a une impulsion dans un point donne jusqu'a une frequence de 400 Hz. Dans cette premiere partie du spectre, les auteurs considerent que les composantes gauche et droite de la reponse impulsionnelle simulee sont identiques. Les valeurs des impedances complexes des materiaux simules sont obtenues par intervalles de 2 Hz, par mesure en tube d'ondes stationnaires. Quant aux simulations en hautes frequences, elles sont eectuees a l'aide du logiciel RAMSETE ([Far95a]), base sur le principe de l'acoustique geometrique (cf. x3.3.2). Deux capteurs separes par une sphere diractante simulent la t^ete et les oreilles de l'auditeur. Comme cette methode simule la propagation sonore sous forme d'energie, il est necessaire de convertir les reponses energetiques en reponses en pression par une procedure qui passe par l'obtention de la racine carree de la reponse energetique. A la n, les reponses impulsionnelles ainsi obtenues sont ltrees dans la region de recouvrement frequentiel par des ltres passe-bas (partie basses frequences) et passe-haut (partie hautes frequences). Les reponses impulsionnelles large bande sont convoluees avec un signal anechoque. Ce m^eme signal est convolue avec des reponses impulsionnelles mesurees dans une maquette a une echelle de 1=5e a l'aide d'une t^ete arti cielle a la m^eme echelle. Une premiere etape de validation a consiste a demander a un groupe de 5 sujets s'ils etaient capables de distinguer les auralisations issues des mesures de celles issues des simulations. Comme tous les sujets ont ete capables de distinguer les unes des autres, d'autres tests subjectifs ont ete mis en place de facon a mieux comprendre les raisons qui ont guide les choix des sujets. Les resultats de ces tests n'ayant pas encore a notre connaissance ete publies, nous ne pouvons pas en dire plus sur l'eÆcacite et les perspectives de cette methode hybride de simulation informatique. 13. Voir note de bas de page 3 en ce m^eme chapitre 14. Voir note de bas de page 3 en ce m^eme chapitre

64

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

Dans le domaine de l'acoustique de \grandes" salles, nombreuses sont les equipes de chercheurs qui se sont penche sur la conception des environnements de simulation bases sur la complementarite des dierents modeles de l'acoustique geometrique : sources images et/ou rayons pour des ordres faibles de re exion, des methodes statistiques pour le calcul de la propagation des re exions diuses et de la reverberation tardive. La maniere d'utiliser et de combiner les dierents modeles de la propagation acoustique utilises, varie de logiciel en logiciel. Aussi, nous avons cru convenable de dresser une liste (non exhaustive), sous forme de tableau, des principaux logiciels de simulation numerique representatifs de l'etat de l'art en acoustique des salles. Les algorithmes qui composent chaque logiciel sont indiques, ainsi que l'adresse postale du concepteur/distributeur, ou l'adresse du site Internet, lorsque cela est possible. Des references bibliographiques de certains logiciels sont egalement donnees. Le lecteur interesse peut ainsi consulter ces references pour avoir des informations plus completes.

3.3 Simulation numerique Nom

65

Algorithmes implantes

Concepteurdeveloppeur

Site Internet/ Pays d'origine

References biblio

ABAQUS

FEM

HKS a

|

ANSYS

FEM

ANSYS, Inc.

BEASY

BEM

CI-BEASY b

RADIOSS

FEM

MECALOG

SYSNOISE

FEM/BEM

NIT c

http://www.hks.com/ USA http://www.ansys.com/ USA http://www.beasy.com/ UK http://www.radioss.com/ France http://www.i-deas.com/ Belgique

SI d , Rayons/ RTC e

CATT/B.I. Dalenback

[Dal92], [Dal95]

dBRay

|

|

http://www.netg.se/catt Suede

|

|

EPIDAURE

C^ones ponderes/ C^ones aleatoires/ Bruit blanc ltre SI par retropropagation/ Source secondaire

CSTB f

|

[MM93], [MVMV93] [Eme95]

BF | | | |

MF & HF CATT-Acoustic

France G. Naylor, TUD g

http://www.dat.dtu.dk/ odeon/ Danemark

[Nay93], [Rin97]

Pyramides/ponderation apres tc

A. Farina

[Far95a]

RAY

|

|

http://pcfarina.unipr.it/ Italie

|

|

RAYNOISE

SI, C^ones Rev tardive statistique

NIT

|

RAYPID

|

|

http://www.i-deas.com/ Belgique

|

|

RAYON/DIFFUS

SI, c^ones ponderes/ Markov Pyramides/ Radiosite SI, Rayons/ Rev tardive statistique

IRCAM

|

[Mal86] et x3

ODEON

RAMSETTE

| |

France T. Lewers

|

R. Heinz

|

3.2 { Liste, non-exhaustive, des environnements de simulation numerique de developpement recent. On indique pour chacun le type d'algorithme(s) implante(s), le nom du (des) concepteur(s) et le pays d'origine. D'autres informations d'ordre general sont egalement fournies.

Tab.

a Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc. b Computational mechanics BEASY c I-DEAS Numerical Integration Technologies d Sources Images e Randomize Tail-Corrected Cone-Tracing f Centre Scieti que & Technique du B^ atiment g Technical University of Denmark

[Lew93]

UK [Hei93]

66

3.4 Conclusions

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

Nous avons etudie tout au long de ce chapitre dierentes manieres de modeliser la propagation du son en espace clos. Premierement, nous avons eu un bref apercu de la modelisation physique, a l'aide des maquettes a echelle reduite. Ces methodes orent l'avantage de ne faire aucune hypothese simpli catrice pour reproduire toute la complexite du phenomene de la propagation acoustique. Elles representent egalement un puissant outil pedagogique : en eet, elles sont bien adaptees pour illustrer des relations cause/eet. Ainsi, toute transformation du champ acoustique due aux modi cations geometriques, ou des materiaux dans le modele, est en principe facilement decelable. En revanche, des contraintes liees aux co^uts de construction (tant nanciers que de temps), aux limites pratiques d'utilisation imposees par les transducteurs, et le manque de donnees ables sur le comportement acoustique des materiaux a echelle reduite, restreignent les possibilites d'application et d'evolution de cette technique se simulation. Ensuite, les methodes numeriques de simulation en acoustique des salles ont fait l'objet d'une description plus detaillee. Nous avons choisi de separer l'etude de ces methodes en deux grandes familles, valides chacune dans des bandes de frequences dierentes : 1. Les methodes basses frequences. Cette famille de methodes, basees sur la resolution numerique de l'equation des ondes, inclut les methodes des elements nis (FEM), des dierences nies (FDM) et des elements de frontiere (BEM). 2. Les methodes moyennes et hautes frequences. Ce sont les methodes de l'acoustique geometrique. A savoir : la methode des sources images, des rayons et des faisceaux a section c^onique ou pyramidale. Les methodes statistiques de description de la propagation de la reverberation tardive, telle la methode de Markov en font aussi partie. Les avantages et inconvenients de chacune des methodes numeriques exposees ont ete soulignes. Il appara^t que les methodes basees sur la resolution de l'equation des ondes orent la possibilite d'avoir acces a une description precise du champ acoustique a l'interieur d'une salle. Des phenomenes ondulatoires de la propagation des ondes acoustiques, telle la formation d'ondes stationnaires entre les parois de la salle, peuvent ^etre modelises avec precision. Dans l'intervalle de frequences audibles (20 a 20 000 Hz), la prise en compte des phenomenes ondulatoires est primordiale dans le spectre basses frequences, de ni, dans un espace clos, comme celui pour lequel la densite modale est faible (cf. x3.3.1). Au-dela, la densite modale devient trop importante pour songer, dans le domaine frequentiel, a resoudre l'equation des ondes. Le poids relatif de chaque mode dans la reponse de la salle est beaucoup moins important. Dans ce cas, ce sont les methodes de l'acoustique geometrique qui orent des solutions moins co^uteuses et plus eÆcaces pour modeliser le champ acoustique. De plus, la charge de travail requise pour eectuer des simulations avec les methodes basses frequences, liee a la caracterisation acoustique des materiaux en bande ne, devient vite trop importante a mesure que la frequence augmente, ce qui est une raison suplementaire pour limiter l'etendue frequentielle des applications de ce genre de methodes. Dans le domaine temporel, la densite de re exions dans un point recepteur augmente proportionnellement au carre du temps (equation 3.33). Il existe donc un seuil temporel au dela duquel la representation de la propagation du son par des rayons ou avec des sources images devient extr^emement lourde a mettre en uvre. Cette frontiere temporelle constitue, tant du point de vue de l'eÆcacite de ces methodes que de celui de la psychoacoustique, la justi cation essentielle pour eectuer une distinction entre les re exions precoces et la reverberation tardive, cette

3.4 Conclusions

67

derniere etant le plus souvent estimee par des methodes statistiques. L'analyse des domaines de validite de chacune des familles des methodes numeriques de simulation a amene chercheurs et acousticiens a proposer des environnements de simulation hybrides, dans lesquels il s'agit de tirer pro t des avantages de chaque methode implantee. De cette maniere, l'approche ondulatoire est utilisee pour la simulation des basses frequences, tandis que les sources images et/ou les rayons modelisent la propagation sonore en moyennes et hautes frequences. Dans le domaine temporel, ces modeles peuvent ^etre couples avec des modeles statistiques pour la representation de la propagation de l'energie tardive. La partie la plus delicate a mettre en uvre consiste justement a coupler, dans le domaine frequentiel, les solutions obtenues avec les modeles basses et hautes frequences. La limite entre basses frequences et hautes frequences etant en quelque sorte arbritaire, celle-ci est adaptee en fonction de l'espace a simuler. En general, une combinaison des ltres passe haut et passe bas est appliquee dans la region de recouvrement frequentiel des deux modeles. La reponse impulsionnelle large-bande est obtenue par addition des deux reponses impulsionnelles (obtenues par transformee de Fourier des fonctions de transfert) apres l'application du ltrage approprie. Cette operation est d'autant plus delicate que le resultat des simulations est a utiliser pour des experiences d'auralisation par convolution avec un signal anechoque. Le couplage des methodes basses frequences avec des methodes hautes frequences est surtout utilise dans la simulation acoustique des habitacles automobiles et en general des petits espaces (studios d'enregistrement,. . . ), dans lesquels les phenomenes ondulatoires aectent une partie non negligeable du spectre audible ([SBJT95], [GKDS96], [FU98]). En n, dans le domaine temporel, le choix le plus delicat concerne d'une part la limite entre l'approche deterministe et l'approche statistique et d'autre part, le couplage entre ces deux approches. Nous avons mentionne a l'occasion les solutions proposees dans dierents environnements de simulation, lesquelles consistent soit a inclure une region de transition ([MM93]), soit a etablir une frontiere arbitraire basee sur des considerations statistiques issues des proprietes acoustiques et geometriques de l'espace etudie, ou psychoacoustiques ([Dal92], [Hei93], [Nay93]). D'autres encore decident d'eviter d'etablir une frontiere de passage entre une approche et une autre, et choisissent soit de ponderer l'energie des contributions arrivant au recepteur a partir d'un certain temps ([Far95a]), soit de tirer des rayons jusqu'a un temps egal a la duree totale de la reponse impulsionnelle et de propager l'energie re echie de maniere diuse avec une autre methode ([Lew93]). Au chapitre suivant (3), nous decrirons en detail l'environnement de simulation informatique developpe a l'Ircam, lequel peut ^etre classe dans la categorie d'environnement hybride. Nous aborderons egalement avec attention le sujet relatif au couplage entre les dierents modules qui y interviennent et nous justi erons nos choix.

68

Chapitre 3 : Etude bibliographique : Simulation de la propagation acoustique dans les salles

Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

69

Chapitre 4

Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam Ce chapitre est consacre a la description de l'ensemble des noyaux de calcul qui constituent l'environnement de simulation informatique developpe a l'Ircam par JeanPascal Jullien et Olivier Warusfel en 1992. Premierement, un apercu des principes mathematiques sur lesquels reposent les modeles utilises dans le processus de prediction de la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique, est expose. Ces modeles, issus des methodes de l'acoustique geometrique, sont au nombre de 3 : un modele en ondes planes et re exions speculaires, un modele de diraction, un modele de re exion diuse et de calcul des caracteristiques de la reverberation tardive et du temps de reverberation. Ensuite, nous illustrons de facon algorithmique l'ensemble de procedes intervenant dans le processus de simulation de la reponse impulsionnelle, et expliquons la maniere dont ils interagissent. En n, lors de la description des parametres d'entree d'une simulation informatique, une methode originale de mesure in situ des coeÆcients d'absorption et de diusion developee a l'Ircam fait l'objet d'une presentation detaillee.

4.1 Introduction Au chapitre 2 nous avons evoque la possiblite de decrire la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique par un modele simpli e decompose en sections, lesquelles faisaient la distinction entre son direct, re exions precoces, tardives et queue de reverberation. Nous avons ensuite veri e la validite de cette approche gr^ace aux derniers travaux relatifs a la relation entre la caracterisation objective en acoustique des salles et la perception. Ceci nous a permis d'apprehender l'importance relative de chacune de ces sections dans la perception de la qualite acoustique et de degager une serie d'indices capables d'evaluer le comportement acoustique d'une salle. Le chapitre 3 nous a donne un apercu general des diverses techniques de simulation (tant analogiques que numeriques) disponibles actuellement pour estimer la reponse impulsionnelle d'un canal acoustique, permettant ainsi d'acceder a la description de la qualite acoustique d'une salle gr^ace au calcul des indices objectifs issus de ces reponses impulsionnelles. L'application de chacune des methodes de simulation exposees est contrainte a un certain

70

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

nombre d'hypotheses qui restreignent leurs possibilites d'utilisation. En eet, nous avons vu par exemple que l'utilisation des methodes de simulation des sources images ou de rayons est conditionnee, entre autres, par un modele de re exion purement speculaire. En revanche, des methodes telles que celle de Markov supposent que les re exions sur les parois sont parfaitement diuses. Or, la realite est souvent beaucoup plus complexe que la seule description apportee par l'une ou l'autre des hypotheses de re exion. Ces modeles, bases sur des hypotheses contradictoires, peuvent ^etre consideres comme etant representatifs des comportements extr^emes du phenomene de re exion. Egalement, chaque famille de methodes est adaptee a l'etude des dierents aspects de l'evolution temporelle de l'energie de la reponse impulsionnelle. Ainsi, les sources images et les rayons modelisent, de maniere plus precise, l'evolution spatio-temporelle de l'energie des re exions precoces, tandis que la methode de Markov est mieux adaptee pour decrire la decroissance de l'energie reverberee tardive. L'analyse des speci cites des dierents modeles physiques de la propagation acoustique etudies au chapitre precedent, a motive tout naturellement la creation d'un environnement hybride de simulation informatique capable de tirer pro t des avantages respectifs de chacun des modeles utilises pour sa conception. Le choix de ces modeles a ete dicte par des travaux prealables ([Mal86], [IRC90]) qui ont montre leur complementarite pour l'estimation des dierentes grandeurs liees a la qualite acoustique d'une salle.

4.2 Illustration des dierents procedes de simulation L'environnement de simulation informatique decrit ci-apres est entierement base sur les methodes de l'acoustique geometrique. Pour realiser une simulation, la geometrie de la salle est prise en compte sous forme de facettes planes. Chaque facette est caracterisee par un coeÆcient d'absorption et par un coeÆcient de diusion en fonction du materiau qui la compose. La propagation du son a l'interieur de la salle est geree par une combinaison des methodes de sources images et de la methode des c^ones (lance de rayons) jusqu'a un temps maximal de calcul choisi. Les c^ones sont supposes issus d'une source ponctuelle dont la directivite, ainsi que celle du (des) recepteur(s) sont prises en compte par des modeles simples respectant leurs caracteristiques de rayonnement et de puissance mesurees en fonction de la frequence. Un modele de diraction est applique en cas de masquage geometrique de l'onde directe. La diusion ainsi que la propagation du son apres l'arr^et des c^ones sont simulees a l'aide d'un processus de Markov. L'ensemble de ces parametres constitue le processus general de prediction (cf. gure 4.1). Chacun des parametres d'entree et des algorithmes de prediction est decrit dans ce qui suit. Les donnees de sortie seront decrites et analysees a la n du chapitre.

4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS DONNEES D'ENTREE

PROCESSUS

Caracteristiques des transducteurs

Diraction

Caracteristiques des materiaux

Sources Images ordre  2 C^ones Propagation diuse directe

Geometrie de la salle

71 DONNEES DE SORTIE

Distribution spatio-temporelle de l'energie

Indices acoustiques

Propagation diuse indirecte

4.1 { Description schematique du processus general de prediction par notre environnement de simulation informatique.

Fig.

4.2.1 Architecture generale des algorithmes de simulation Les modules de prediction contenus dans notre environnement de simulation informatique sont regroupes dans deux programmes de base, appeles RAYFRAC et DIFFUS. Ils ont comme r^ole general la prediction des premieres re exions et la prise en compte des phenomenes de diusion et de diraction, et des caracteristiques de la reverberation tardive (temps, energie, repartition spatiale). Le programme RAYFRAC inclut plusieurs processus distincts comme la propagation des c^ones, la recherche des sources images et la propagation de la diusion. Il permet d'avoir acces a des reponses impulsionnelles (en energie), ou a des courbes de decroissance de l'energie a partir desquelles les indices acoustiques sont calcules. Il utilise en particulier des representations matricielles derivees des calculs eectues par le programme DIFFUS. Le programme DIFFUS construit les matrices de propagation par diusion parfaite selon la loi de Lambert (cf. 1.3.3), a partir des donnees architecturales. Nous illustrerons plus loin la maniere dont ces matrices (directe et inverse) sont calculees. Ce programme permet d'avoir acces aux dierentes valeurs \classiques" du temps de reverberation et de calculer par optimisation numerique la repartition energetique du champ reverbere dius.

4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS 4.3.1 Modelisation de la diraction Au chapitre 3, nous avons mentionne que des phenomenes de diraction se produisent lors de situations de masquage geometrique entre deux points. En acoustique des salles, il existe une situation traditionnelle de masquage : la presence d'une fosse d'orchestre. En eet, dans cette situation, il y a masquage geometrique de la source pour certains recepteurs situes dans la salle ou sur la scene. Le masquage acoustique n'etant pourtant pas absolu, des phenomenes com-

72

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

plexes de diraction se produisent, qui dependent de la frequence des signaux et ne peuvent pas ^etre traites en \tout ou rien". Une etude theorique et experimentale a donc ete entamee par le laboratoire d'acoustique des salles de l'Ircam pour tenter d'evaluer l'importance acoustique et perceptive de ce phenomene et pour proposer un modele de gestion de la diraction ([IRC90]). L'etude experimentale menee par l'equipe a eu pour but de choisir parmi les dierentes theories de la diraction analysees 1, celles qui semblent adaptees a l'acoustique des salles et aux programmes de prediction. Cette etude a consiste a reproduire des conditions variees de diraction dans la salle a acoustique variable de l'Ircam, l'espace de projection. Des conditions de masquage par un prisme simple, par un ecran et par un prisme double ont ete testees en mesurant la reponse impulsionnelle entre la source (un haut-parleur directif) et le recepteur pour plusieurs positions microphoniques de maniere a etudier l'in uence de l'angle de reception par rapport au bord diractant. L'analyse des resultats experimentaux a conduit a la conclusion selon laquelle l'in uence des phenomenes d'interference entre onde directe et onde diractee, importante dans une zone d'ombre (masquage geometrique du recepteur), devient mineure des que le recepteur s'ecarte de quelques degres de la frontiere zone d'ombre/zone eclairee. En consequence, le modele de gestion de la diraction introduit dans les noyaux de calcul ne concerne que les bords diractants masquant l'onde directe emise par une source pour un recepteur donne. Dans cette section, nous nous limitons a decrire le modele de prediction propose. La demarche experimentale conduisant a l'etablissement du modele ainsi qu'a la validation de celui-ci, sera illustree dans le chapitre 6, traitant de la validation de notre environnement de simulation informatique.

Description du modele de gestion de la diraction Avant d'en faire la description pas a pas, nous rappelons que le modele retenu pour la gestion de l'attenuation par diraction est base sur les hypotheses suivantes : { La validite du modele est contrainte au respect des conditions de Fresnel ([Mae68]). Ceci suppose que la hauteur eective de l'obstacle (Æ) est grande devant la longueur d'onde. Ces hypotheses sont exprimees par le nombre de Fresnel (N) ( gure 4.2). Ces approximations etant respectees pour N > 1. Pour N < 1, l'attenuation converge vers une limite inferieure pratique de 5 dB, constante en fonction de la frequence (basses frequences ou limite de l'ombre geometrique).

a S

d

b R

Æ=a+b d Æ N=2  4.2 { Calcul du nombre de Fresnel (N) pour un ecran plan semi-in ni. Æ represente la hauteur eective de l'obstacle et , la longueur d'onde. Fig.

1. Pour un expose des theories de la diraction etudiees, voir les references donnees au x3.3.2, page 49 consacre a la prise en compte de la diraction dans les methodes deterministes de l'acoustique geometrique.

4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS

73

{ Si l'obstacle masquant ne peut pas ^etre assimile a un ecran plan semi-in ni ( gure 4.2), il est decrit sous forme de prisme ( gure 4.3), car cette description est bien adaptee aux applications de prediction acoustique, la geometrie des salles etant decrite sous forme de facettes. L'energie est propagee de bord diractant en bord diractant. Le coeÆcient de diraction nal est obtenu par une loi de composition des fonctions de diraction rasantes pour chaque bord. La validite de cette loi a ete veri ee experimentalement en calculant le coeÆcient de diraction (en fonction de la frequence) du second bord diractant d'un prisme double en prenant comme reference le signal d'onde rasante mesuree en presence uniquement du premier bord diractant (un ecran des m^emes dimensions et a la m^eme position que ce bord). Les m^emes valeurs que pour la diraction simple ont ete retrouvees. 2 S

1

3

R

4.3 { Approximation d'un obstacle diractant par un prisme equivalent compose de 3 facettes.

Fig.

Detection des bords diractants. Dans un premier temps, le programme determine la liste

des bords diractants. Il s'agit d'etablir la liste exhaustive des saillies rentrantes formees par le c^ote commun de deux facettes constitutives de l'enveloppe de la salle. Le programme determine ensuite une liste restreinte de bords ne conservant que ceux provoquant un masquage de l'onde directe pour un ou plusieurs recepteurs de la con guration etudiee.

Detection des chemins diractants. Cette etape est justi ee par l'emploi d'un modele de

prisme pour decrire les phenomenes de diraction. Le modele propage donc l'energie de bord diractant en bord diractant tant que le recepteur n'est pas vu depuis le bord atteint. Les bords concernes sont toujours ceux se trouvant dans la zone d'ombre creee par le precedent. Un coeÆcient de diraction est calcule sur chaque bord en fonction de l'angle forme entre la direction du rayon incident et celle du rayon diracte. Si plusieurs bords sont mis en jeu dans un chemin de diraction, les attenuations sont cumulees pour former l'attenuation globale.

Estimation du coeÆcient d'attenuation L'attenuation estimee pour chaque bord depend

a la fois de la frequence et de l'angle d'incidence du rayon parvenant directement de la source ou bien d'un precedent bord diractant, comme le montre la gure (4.4). Sur cette gure, le rayon incident (1) issu de la source (S), forme un angle  avec le bord diractant (2). Le rayon diracte est le rayon (4). L'attenuation en energie (lineaire) vaut alors ([BS84]): "

1 1 D= p cos(  0 ) 2 2k sin  2

#

(4.1)

74

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

Avec : { k = 2= est le nombre d'onde. {  0 est l'angle forme par les projections orthogonales (5) et (6) des rayons incident et diracte dans le plan (3) perpendiculaire au bord diractant.

R 3

4

0



6



5

2

1

S Fig.

4.4 { Calcul du coeÆcient d'attenuation.

Lorsque le nombre de Fresnel (N) est inferieur a 1, l'attenuation calculee est ponderee et astreinte a une valeur limite de 6 dB de facon a respecter le comportement reel observe lors de l'etude experimentale : D = (D

0; 5)  N + 0; 5

(4.2)

4.3.2 Modeles de propagation en ondes planes avec diusion L'importance des toutes premieres re exions dans le calcul de la reponse impulsionnelle a motive l'utilisation d'une methode approchee de celle des sources images pour les deux premiers ordres de re exion. Au-dela, la methode des c^ones ponderes gere la propagation de l'energie dans la salle.

Modele approchee aux sources images La methode de calcul de la propagation de l'energie pour les deux premiers ordres de re exion est une methode qui cherche a tirer pro t des avantages inherents aux methodes des sources images et des c^ones (cf. x3.3.2, pages 31 a 44), en minimisant les erreurs de detection des chemins de propagation, tout en conservant la rapidite de calcul de la methode des c^ones. L'algorithme de calcul procede tout d'abord par la classi cation des surfaces en fonction du plan d'appartenance. Pour un recepteur donne on interdit que plusieurs c^ones ayant frappe des surfaces appartennant a un m^eme plan soient comptabilises. Le premier c^one valide bloque la prise en compte de la contribution d'autres c^ones ayant ayant frappe, a l'ordre 1, le m^eme plan pour ce recepteur. Ainsi, on evite les erreurs de detection de la methode de c^ones conventionnelle

4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS

75

dans le cas ou le recepteur se trouve a l'interieur de la zone de superposition de plusieurs c^ones, lorsque des c^ones adjacents sont re echis par une m^eme surface ou par des surfaces appartenant a un m^eme plan. Les rayons n'ayant pas ete comptabilises par ce recepteur poursuivent neanmoins leur parcours. Pour le deuxieme ordre de re exion, on procede de maniere similaire : une liste de couples de plans d'incidence est dressee, dans laquelle l'indice des deux plans et leur ordre sont enregistres. L'ensemble des rayons de second ordre touchant un recepteur ayant parcouru le m^eme couple de plans d'incidence dans le m^eme ordre, n'est comptabilise qu'une seule fois. Cette technique leve partiellement les erreurs liees a la methode des rayons ou des c^ones par rapport a la methode des images. La methode traditionnelle des c^ones induit des erreurs sur l'intensite du rayon (discretisation de la directivite de la source), sur le temps de propagation (distance projetee du recepteur sur le rayon) et en n le risque de superposition lie au recouvrement des c^ones. Cette derniere, de loin la plus importante, est donc evitee par la technique presentee ci-dessus.

Propagation des c^ones et diusion d'ordre 1 Etant donne que le modele de re exion employe dans notre environnement de simulation est un modele mixte, les re exions sur les parois resultent de la somme ponderee d'une partie re echie speculairement (selon la loi de Descartes), et d'une partie re echie de maniere idealement diuse (loi de Lambert). Les facteurs de ponderation, donnes par les coeÆcients d'absorption () et de diusion (d) determinent la fraction d'energie transferee aux dierents processus de simulation de la propagation : la methode des c^ones pour les re exions speculaires, la methode de Markov pour les re exions diuses. La partie diuse est propagee selon 2 processus distinctes : { au premier ordre, la contribution est impute aux recepteurs en tenant compte du point d'impact exacte du rayon qui y a donne naissance ; { pour les ordres suivants, les contributions recues par les surfaces sont ramenees au centre de gravite de celles-ci. Soit un c^one r issu d'une source discretisee suivant le modele propose au x3.3.2, page 44, propageant une energie Er elementaire :

Er = s W r dt 4 ou s est la directivite de la source dans la direction de propagation du rayon r et W , la puissance de la source dans l'octave etudiee. r est l'angle solide entourant le rayon. Lorsque le rayon tombe sur une paroi i, il est \divise" en deux apres re exion. La fraction d'energie transferee a chaque processus de re exion est la suivante : { La fraction Es = Er (1 )(1 d) est re echie speculairement ; { La fraction Erd = Er (1 )d est re echie de maniere idealement diuse. ou (Es) est l'energie contenue dans le c^one du rayon re echi et (Erd), la fraction d'energie transmise au processus de diusion. La contribution au recepteur R de la partie speculaire et de la partie diuse d'ordre 1 s'exprime alors de la maniere suivante :

76

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

IR (t) = IsR (t) + Id1R (t)

(4.3)

avec comme expression pour IsR (t) : IsR (t) =

X

Er

Q

jr (1

r

jr )(1 djr ) Sr

(4.4)

ou r represente le rayon frappant la surface i au temps t, jr la derniere surface frappee par le rayon r dans son parcours entre la source et le recepteur et Sr , la surface du c^one du rayon au temps t. L'expression pour Id1R est donnee par la relation : Id1R (t) =

X

aRi (1

i

i ) Irdi (t

rri =c)

(4.5)

ou la matrice aRi traduit le couplage entre la surface i et le recepteur R et ou Irdi (t) vaut : Irdi (t) =

X

Er di

Q

jr (1

r

jr )(1 djr )

Si

(4.6)

ou r represente le rayon frappant la surface i au temps t, jr la derniere surface frappee par le rayon r dans son parcours avant d'atteindre la surface i et Si , la surface du panneau i.

Propagation de la diusion directe La maniere dont l'energie transferee au processus de Markov est propagee, est determinee par la matrice DIRECTE, calculee lors d'une etape prealable par le programme speci que DIFFUS. Cette matrice calcule le couplage entre les dierentes facettes de la salle, en supposant que celles-ci sont reliees entre elles par leurs centres. Elle determine donc, de maniere approchee, la facon dont se produisent les echanges d'energie diuse entre facettes. Une fois l'ensemble des rayons arr^ete, on va proceder a la propagation diuse directe. Elle est regie par l'equation (3.59). On ne va s'interesser, pour l'instant, qu'au processus d'echange et d'ampli action de l'energie \inter-surfaces". Dans notre cas, c'est l'ensemble des contributions laissees sur les surfaces par les rayons qui joue le r^ole de terme source. La propagation se fait par progression temporelle avec un pas d'echantillonnage que l'on peut xer a 1 ms. L'equation (3.59) peut alors ^etre reecrite de la maniere suivante :

Ii (t) =

X

j

aij (1

j ) Ij (t

rij =c) + Erdi (t)

(4.7)

ou aij , la matrice descriptive vaut :

aij =

cos(ij ) cos(ji ) Sj rij2

aii = 0

Cette propagation n'est suivi que jusqu'a un temps Tt limite, au dela duquel toute contribution est comptabilisee dans un terme residuel Ires .

4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS

77

4.3.3 Propagation du residu et calcul du Temps de reverberation Cette derniere etape consiste a supposer desormais qu'on se situe dans le regime exponentiel decroissant. On cherche a obtenir la distribution de l'intensite dans la salle ainsi que le TR. Le principe general de la methode est expose au x3.3.3, en page 58. Nous detaillerons, dans le xsuivant, dierentes methodes d'evaluation pratique du TR. Une fois connu le TR et l'ampli cation residuelle, il reste a imputer aux recepteurs l'ensemble des contributions diuses d'ordre superieur a 1 (celles de l'ordre 1 ayant deja ete comptabilisees a l'aide de l'equation 4.3). C'est l'equation (3.60) qui va nous permettre de calculer l'intensite totale recue au recepteur au temps t :

IR (t) =

X

i

ari (1

i ) Ii (t

rRgi =c)

(4.8)

ou rRgi , la distance surface/recepteur, est evaluee a partir du centre de gravite de la surface i.

Calcul du temps de reverberation TR A partir des equations decrivant les relations de couplage geometrique et acoustique entre les dierentes parois de la salle, il est possible d'acceder au calcul du Temps de Reverberation selon dierentes methodes et hypotheses. Nous les decrivons ci-dessous.

Evaluation a partir du regime stationnaire Dans la formulation de Sabine, on utilise

la loi de conservation de l'energie et l'hypothese d'une distribution uniforme et isotrope de l'intensite I dans l'espace. On accede a la constante de temps  du processus par le rapport entre l'energie E presente dans la salle et la variation de cette energie dE=dt liee au ux absorbe par les parois. Cette constante de temps fait appara^tre la relation principale entre les grandeurs geometrique et acoustique de la salle.

E=

4V I c

dE X 1 = Si i I = E dt  i 4V P (4.9) c i Si i On peut reprendre les principes de cette formulation, sans supposer cependant l'isotropie et l'uniformite de l'intensite dans l'espace, et en s'appuyant sur la discretisation numerique spatiale de la salle. L'energie EM est exprimee comme la somme des contributions de chaque surface X delivrant une part d'energie dans le volume \vu" par cette surface aij rij Si .

=

j

2

EM =

0

13

X 1 X4 Ii (1 i ) @ aij rij Si A5 c i j

dEM X 1 = Si i Ii = E dt  i

78

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

Pour resoudre l'equation on peut donner comme vecteur d'intensite les intensites correspondant a une excitation uniforme des parois. Ces intensites peuvent ^etre evaluees a partir de l'equation (3.62) utilisee pour le regime stationnaire et ici decrite sous forme matricielle. Is represente le vecteur d'intensite d'excitation uniforme et I le vecteur d'intensites resultantes.

A ) 1 Is

I = (II

(4.10)

Evaluation en regime libre En regime libre, on va observer la puissance totale recue par les parois en l'exprimant sous la forme : P=

P=

X

i

X

i

Ii Si

2 4[Ii (1

i )

X

j

rij aij e c0

3

Si 5

Pour une distribution donnee d'intensite (par exemple : uniforme ou issue d'une excitation uniforme) et une constante de temps initiale 0 on peut calculer l'erreur
E , et exprimer l'evolution de cette erreur en fonction de 0 . La valeur initiale de 0 peut ^etre fournie par l'etape precedente.
E = P

X

i

2 4Ii (1

i )

X

j

rij aij e c0

2

3

Si 5 3

rij X dE 1 X4 = 2 Ii (1 i ) rij aij e c0 Si 5 d 0 c i j

Cette derivee permet d'evaluer la correction a apporter a la valeur 0
E  = 0 + dE d

(4.11)

Correction sur la distribution des puissances Pour completer la demarche precedente, on peut, pour une valeur de  , corriger la distribution des puissances, la encore pour minimiser la dierence
E . De maniere analogue a la formulation du transfert d'intensite entre les surfaces, on peut decrire le transfert de puissance entre les surfaces par l'equation matricielle :

P = BP

Bij =

cosi cosj si sj crij0 (1 i ) e rij2 si

Pour une valeur de  donnee, le bilan des puissances s'exprime sous la forme :

4.3 Modeles de propagation dans RAYFRAC et DIFFUS

P s = (II

B) P

79

(4.12)

ou II est la matrice identite X

i

P s2i = P st P s = P t (II

B t )(II

B )P

P s peut s'interpreter comme un vecteur de puissance correspondant a des sources virtuelles reparties devant les dierentes surfaces et qu'il faudrait compenser pour retablir l'equilibre de puissances. P 0 = P + dP (II B )P 0 = 0 L'erreur quadratique P st P s permet d'evaluer l'ecart par rapport a la distibution optimale. Les valeurs de la distribution P initiales sont alors optimisees pour minimiser cette erreur. Une fois optimisee cette distribution peut servir de base a une nouvelle evaluation de la constante de temps  , en utilisant la procedure decrite au paragraphe precedent.

4.3.4 Commentaires L'ensemble des operations liees a l'etude de la salle sous hypothese de re exion diuse, est realise au debut de la simulation avant m^eme de lancer les c^ones. Sont calcules notamment les matrices directe et inverse ainsi que le Temps de reverberation de la salle. Cette procedure est avantageuse, dans la mesure ou ces dierentes entites permettent de representer globalement le comportement de la salle sans necessiter la connaissance de la position des sources et des recepteurs. Ces matrices sont ensuite exploitees par le programme de lancer de c^ones, en observant comment la(es) source(s) eclaire(nt) les parois de la salle et en propageant ensuite l'energie de surfaces en surfaces ou de surfaces vers les recepteurs. Dans le cadre d'applications de realite virtuelle ou on desire auraliser une scene sonore dans laquelle evoluent des sources et des recepteurs en mouvement, ce pre-calcul du comportement de la salle est precieux pour respecter les contraintes du temps reel. Cependant, il a ete vu dans les paragraphes precedents que le Temps de reverberation etait calcule en fonction d'une hypothese sur la distribution initiale de l'intensite, hypothese eventuellement modulee au cours du calcul du temps de reverberation. Cependant, dans certaines salles, cette hypothese peut n'^etre veri ee qu'approximativement ou atteinte tardivement. Le chapitre 6 nous donnera l'occasion d'etudier des exemples ou cette methode d'evaluation prealable du Temps de reverberation n'est pas valide. Ces cas necessitent d'utiliser des conditions initiales speci ques a la con guration de salle, voire a la position des sources.

80

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

4.4 Description algorithmique des procedes de simulation Ce paragraphe presente chronologiquement les dierentes etapes constitutives d'une simulation.

4.4.1 Initialisation L'etape d'initialisation consiste a calculer les matrices de couplage DIRECTE et INVERSE ainsi que le temps de reverberation TR. Ces donnees, independantes du positionnement des transducteurs, peuvent ^etre calculees et stockees prealablement.

4.4.2 Gestion de la diraction En presence d'une fosse d'orchestre ou dans les loges d'opera, il y aura masquage geometrique de l'onde directe a certains endroits de la salle. En presence des surfaces masquantes les modeles de propagation speculaire et diuse, considerant qu'il y a masquage complet du demi-espace arriere, vont renvoyer l'energie sur le demi-espace incident. L'importance de l'onde directe pour la perception de la qualite acoustique a motive l'introduction d'un modele de diraction pour tenir compte de ce phenomene. Le fonctionnement general de l'algorithme de prise en compte de la diraction est resume dans les lignes suivantes.

Initialisation. Reperage des bords diractants Detection. Propagation de bord diractant en bord diractant. Estimation d'un coeÆcient

d'attenuation dans les zones d'ombre.

Donnees de sortie. Contribution sur le recepteur.

4.4.3 Propagation en ondes planes La propagation en ondes planes est simulee par un algorithme qui combine la methode des sources images pour des re exions d'ordre inferieur a 2, a une methode de c^ones pour la prediction des ordres superieurs. Ainsi, l'introduction d'une methode de recherche des sources images par selection des rayons pour les toutes premieres re exions permet une estimation exacte de ces re exions en evitant les problemes de l'indetermination energetique, inherente a la discretisation du rayonnement de la source sous forme de rayons (cf. 2:3:2). Des experiences sur l'eÆcacite de cette methode combinee ont montre que pour les ordres superieurs a 2, c'est la prise en compte de la diusion des parois qui devient predominante pour ameliorer les performances de prediction. La propagation de chaque c^one emis par la source est suivie jusqu'a un temps maximal (Tt ) choisi. Au dela, l'energie se propageant dans la salle est supposee evoluer en regime exponentiel decroissant, et est estimee a l'aide d'un processus de Markov (cf. 2:3:3). Les dierentes etapes du processus de propagation en ondes planes sont enumerees ci-dessous et schematises sur la gure (4.5) :

Initialisation. Decoupage de la source en angles solides (c^ones) et calcul de l'intensite initiale

de chaque c^one en fonction de la directivite de la source. En n, correction liee au recouvrement des angles solides (ponderation energetique).

4.4 Description algorithmique des procedes de simulation

81

Suivi du rayon. Pour chaque rayon se propageant entre l'ordre de re exion i et i + 1 les informations suivantes sont extraites :

{ reperage de la surface frappee d'ordre i + 1 et du point d'impact ; { reperage des recepteurs traverses pendant la propagation entre deux ordres successifs i et i + 1 (test recepteur, cf. x3.3.2, page 45)

Donnees de sortie.

{ recepteur traverse : imputation de la partie speculaire (intensite du rayon d'ordre i) ; { tous les recepteurs : imputation de la partie diuse d'ordre 1 de la surface j (j dj ) avec respect des temps de propagation, puisque depuis le point d'impact ; { surface : contribution diuse du rayon stockee provisoirement avant d'^etre propagee suivant la methode de Markov (cf. x3.3.3, page 55) ; { rayon : apres re exion sur la surface j , le rayon part avec une intensite diminuee du facteur (1 j ) (1 dj )

Resultat a chaque iteration

Donnees de sortie

Surface k

Tt j

Tt

k

Tt

i

Recepteur R1 S d Recpteur R2

R1

Tt

R2

Tt Tt RI spec + di-1 recepteur

d

Tt

Tt

4.5 { Propagation de l'energie speculaire (s) et de la diusion \exacte" d'ordre 1 (d), et imputation aux recepteurs.

Fig.

4.4.4 Prise en compte et propagation de la diusion A n de rendre compte du caractere non parfaitement speculaire des re exions, les surfaces de la salle sont caracterisees a la fois par un coeÆcient d'absorption et par un coeÆcient de diusion. Le premier est generalement un coeÆcient de \Sabine", lequel possede l'avantage d'^etre facilement accessible par mesure en chambre reverberante. De plus, des bases de donnees sous forme d'abaques permettent de conna^tre les coeÆcients d'absorption d'un bon nombre de types de materiaux. En contrepartie, la validite d'un tel coeÆcient est conditionnee a l'existence d'un champ dius, ce qui est en general diÆcilement realisable au bout de toutes premieres re exions. Le manque de donnees d'absorption en fonction des conditions autres que celles du

82

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

champ dius (en fonction des directions d'incidence, par exemple), fait que la plupart du temps on se contente de decrire l'absorption des surfaces par un coeÆcient de \Sabine" donne par bandes d'octave. Les coeÆcients de diusion sont etablis par des considerations geometriques ou mesures experimentalement. Ces coeÆcients permettent de coupler la propagation diuse au processus des c^ones : a chaque re exion d'un c^one, une fraction de sa puissance est distribuee exactement sur les recepteurs (diusion d'ordre 1, matrice directe) et excite le processus markovien de propagation de la diusion qui utilise la matrice de propagation (matrice inverse) calculee par le programme DIFFUS, d'apres la discretisation dans le temps et dans l'espace de l'equation integrale de Kuttru (cf. 2:3:3). Nous schematisons ci-dessous chacun des procedes de propagation de la diusion.

Propagation de la diusion \directe" entre surfaces. { Donnees d'entree : distribution temporelle de l'energie des re exions issues du processus de c^ones (echogramme) de chaque surface consignant les contributions diuses d'ordre 1 ; { iteration temporelle { propagation entre surfaces : imputation sur chaque surface j (dans son centre Gj ) de la contribution diuse en provenance du centre Gi de la surface i, via les coeÆcients de couplage aij ; { donnees de sortie : echogrammes de surface consignant les contributions cumulees de tous les ordres de diusion superieurs a 1. { stockage du residu : une case speciale consigne le cumul de toute l'energie parvenant au dela du temps maximum de tire de rayons (Tt pour \temps de transition").

Donnees d'entree Diusion d'ordre 1

Resultat RI diuse d'ordre > 1 j

Surface i

Surface j

Tt

aij

ajk

k

Tt

i

Tt

Tt

[Matrice directe]

4.6 { Propagation de l'energie diuse d'ordre superieur a 1 entre surfaces. Les coeÆcients aij traduisent le couplage geometrique entre les elements de paroi. Fig.

Propagation diuse \indirecte". Calcul de l'ampli cation residuelle. Apres le temps

de transition (Tt), les energies residuelles presentes dans les surfaces de la salle sont utilisees pour calculer la distribution de l'energie tardive. En supposant que l'energie decro^t de maniere

4.4 Description algorithmique des procedes de simulation

83

exponentielle, on applique aux residus l'ampli cation liee a ce regime decroissant, a l'aide de la matrice inverse. La gure (4.7) illustre ce procede. Donnees d'entree Diusion d'ordre > 1

Surface i

Ampli cation Regime exponentiel

Tt

Tt

[Matrice inverse]

Surface j

Tt

Tt

4.7 { Ampli cation du residu a l'aide de la matrice inverse en supposant une decroissance exponentielle de l'energie.

Fig.

Imputation de la diusion au recepteur. Toutes les contributions diuses emmagasinees sur les surfaces a la n des processus decrits precedemment (diusion directe > 1, diusion indirecte [ampli cation du residu]) sont imputees au recepteur ( gure 4.8).

RI totale recepteur

j

i

RI spec + di-1 recepteur arj

k

ark

+

Tt

RI diuse recepteur

=

Tt

RI totale recepteur

Tt

4.8 { Ajout des contributions energetiques des parois vers le recepteur suivant le couplage geometrique (ari ) entre les elements de paroi et le recepteur. Obtention de la reponse impulsionnelle (RI) totale.

Fig.

En n, la gure recapitulative (4.9), illustre l'ensemble de procedes de propagation de la diusion.

84

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

Echogramme Dius ordre 1 surface (resultat rayons)

Dius direct (propagation "markovienne")

i

T

t

T

t

Dius indirect (ampli cation du residu)

t

T

Ey j

y

t

ty = tx + GkcGj Ey = Ex aik

Ex k

x

t

Imputation au recepteur a partir du point d'impact

Transmission entre surfaces de centre G a centre G

Imputation au recepteur a partir du centre de gravite G

4.9 { Illustration par etapes de l'ensemble des procedes de propagation de la diusion. Ex represente l'energie du rayon au temps tx , T t est le temps de transition ou temps maximal de lance de rayons. c es la celerite du son Fig.

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation Les parametres d'entree d'une simulation informatique representent l'ensemble des donnees decrivant la con guration soumise a evaluation acoustique. Ils peuvent ^etre classes en deux groupes en fonction de leur caracteristiques: Parametres geometriques :

{ saisie de la geometrie de la salle ; { positionnement et orientation des transducteurs (source(s) et recepteur(s)).

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation

85

Parametres non-geometriques :

{ Description acoustique des materiaux (coeÆcients d'absorption et de diusion) ; { Caracterisation acoustique des sources et recepteur. Le degre de precision dans la caracterisation de ces parametres est un aspect tres important dans le processus de prediction acoustique, car il conditionne la qualite des resultats d'une simulation. C'est pourqoui il est important de proceder a une etude attentive de ces dierents parametres.

4.5.1 Saisie de la geometrie de la salle La saisie de la geometrie de la salle part du principe que le modele informatique resultant se doit de reproduire le plus delement possible la forme de l'espace qu'il represente. La geometrie est saisie le plus souvent directement a partir des plans de l'architecte et des informations sur les materiaux constitutifs de la salle. Cette t^ache est accomplie dans notre environnement de simulation a l'aide d'un logiciel de simulation acoustique annexe, appele Nexocaad. Ce logiciel, gr^ace a son interface graphique, permet un suivi \visuel" de la construction du modele informatique. Ainsi, les parois de la salle sont discretisees par un ensemble de polygones plans convexes dont les orientations sont caracterisees par des normales 2. Les surfaces internes, tels les garde-corps des balcons ou les re ecteurs au-dessus de la scene, sont representees par des surfaces doubles, ayant des coordonnees identiques mais des normales orientees en direction opposee. Le logiciel employe pour saisir la geometrie ne reconna^ssant pas des surfaces gauches, cellesci doivent ^etre discretisees par des successions de segments de plans (cf. 2:3:2). On voit par la qu'une discretisation precise des surfaces de formes tres irregulieres requiert un nombre important de facettes. Or, nous avons vu au chapitre 3 qu'un des parametres in uencant le temps de calcul est precisement le nombre de facettes du modele informatique. La qualite nale d'une simulation est en fait le resultat d'un compromis entre temps investi, facilite d'utilisation, charge de calcul et precision des resultats naux. Cette remarque s'applique a l'ensemble des parametres d'une simulation, comme nous aurons la possibilite de le veri er plus loin. En eet, dans le but d'analyser l'in uence de la discretisation de la salle et d'autres parametres propres aux algorithmes, nous avons realise une serie d'experiences de validation, qui seront decrites au chapitre 6. A ce chier viendront s'ajouter une serie de chiers decrivant la directivite, l'orientation et le positionnement de transducteurs, ainsi que des chiers decrivant les caracteristiques acoustiques de chaque materiau employe, et des facettes auxquelles elles sont aectees. Nous verrons cidessous comment decrire chacun des parametres d'entree restants.

2. Une procedure automatique de calcul des normales basee sur les couplages entre surfaces (cf. 2:3:3) est utilisee dans le programme DIFFUS, lequel veri e la coherence geometrique du modele avant de proceder a une simulation. L'explication de cette demarche est exposee dans ([IRC90]).

86

Fig.

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

4.10 { Discretisation de la salle du Concertgebouw d'Amsterdam par le logiciel Nexocaad.

4.5.2 Caracterisation acoustique des surfaces Chacune des facettes du modele informatique de la salle est caracteristisee par un coeÆcient d'absorption et par un coeÆcient de diusion par bande d'octave. Les coeÆcients d'absorption sont la plupart du temps issus de mesures, soit en tube de Kundt, soit en chambre reverberante, auxquels cas ils sont donnes sous la forme des coeÆcients d'absorption de Sabine (en champ diffus). L'utilisation d'un coeÆcient determine ainsi a l'inconvenient de n'^etre strictement valide que dans des hypotheses acoustiques impliquees par le principe de mesure. La formalisation de Sabine suppose l'etablissement d'un champ dius. Le coeÆcient d'absorption obtenu est donc independant de l'angle d'incidence. Par consequent, on peut d'ores et deja entrevoir une approximation dans l'utilisation d'un tel coeÆcient lorsqu'il est applique aux hypotheses de re exion speculaire. Par ailleurs, les caracteristiques acoustiques d'un materiau varient selon ses conditions particulieres de montage, son positionnement, etc. En ce qui concerne la determination des coeÆcients de diusion, il n'existe pas de vrai consensus quant a leur de nition precise, et au protocole de mesure a employer. Le modele mixte de re exion utilise dans notre environnement de simulation considere que l'energie re echie par une surface est repartie sous la forme d'une contribution speculaire et d'une contribution idealement diuse, l'energie totale etant diminuee proportionnellement au coeÆcient d'absorption. D'apres ces constats, il etait important de se donner les moyens de trouver un protocole de caracterisation acoustique des materiaux qui soit coherent avec le modele de re exion utilise. Ceci a conduit l'equipe acoustique des salles de l'Ircam a mettre au point une methode de mesure in situ de ces parametres : un coeÆcient d'aaiblissement () et un coeÆcient de diusion (d) qui gere la repartition entre les processus speculaire et dius. Cette methode originale de mesure est exposee ci-apres.

4.5.3 Mesure des coeÆcients d'absorption et de diusion Les performances d'un environnement de simulation informatique dependent fortement de la connaissance du comportement acoustique des parois du modele utilise. Il est donc necessaire

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation

87

d'avoir acces a des procedures permettant de caracteriser ces frontieres. Leur description acoustique sous la forme d'un coeÆcient d'absorption estime en chambre reverberante, base sur la theorie de Sabine (NF S 31 003), risque de ne pas ^etre parfaitement adaptee a notre environnement de simulation informatique. Par ailleurs il y a peu de donnees sur les coeÆcients de diusion. Ces constatations ont conduit l'equipe acoustique des salles de l'Ircam a developper une methode de mesure des coeÆcients acoustiques d'absorption () et de diusion (d) des parois dans une salle, plus coherente avec les modeles utilises dans les programmes de simulation.

Principe de la methode de mesure Le principe de cette methode repose sur la comparaison entre la courbe de decroissance de l'energie re-emise par une paroi avec celles correspondant aux modeles theoriques de re exion speculaire ou diuse. Pour mesurer l'energie re echie, l'element de paroi est excite par une source, pour divers angles d'incidence, et les reponses impulsionnelles sont enregistrees a l'aide de microphones places dans les directions supposees par le modele speculaire. Du point de vue pratique, la mesure exacte des angles microphone/incidence frontale est possible gr^ace a un dispositif de positionnement qui, a partir d'un faisceau laser re echi par un jeu de miroirs, veri e les angles d'incidence et de re exion theoriques pour l'hypothese speculaire. Un \fen^etrage" des reponses impulsionnelles ainsi mesurees permet de dissocier le signal re echi du son direct et des re exions provenant de l'environnement (parois voisines, eet de salle). Lorsque la surface analysee est suÆsamment grande il est ainsi possible d'eectuer cette mesure in situ. L'energie incidente (appelee reference) est mesuree en champ libre a l'aide de microphones places aux positions des recepteurs image correspondantes. Les courbes energie/temps (\Energy Time Curves" ETC) sont alors analysees apres ltrages dans dierentes bandes de frequences.

Modeles ideaux La deduction des coeÆcients suppose que l'energie totale re echie est composee d'une contribution speculaire et d'une contribution diuse, repondant a la loi de Lambert (cf. x1.3.3), et mutuellement decorrelees. C'est donc a l'aide des modeles mathematiques representant ces deux cas ideaux de re exion, que nous allons etablir les relations qui nous permettront ensuite de deduire les coeÆcients d'absorption et de diusion a partir des resultats des mesures in situ. Nous etablissons ci-dessous les expressions mathematiques qui decrivent les energies des ondes re echies de maniere speculaire et diuse en considerant que la source sonore est ponctuelle, et traiterons ensuite le cas d'un modele mixte.

Re exion speculaire. Nous commencons par supposer une paroi, situee en x = 0, plane,

in nie et caracterisee par son coeÆcient de re exion R. La paroi est eclairee sous incidence normale par une source supposee a une distance suÆsante pour que l'on puisse assimiler l'onde a une onde plane. Le recepteur, positionne entre la source et le mur a une distance l de celui-ci, est caracterise par sa sensibilite omnidirectionnelle M . Un signal impulsionnel est emis par la source de maniere a ce que celui-ci atteigne la paroi au temps t = 0. Les expressions generales des intensites de reference Iref et re echie Ispec recueillies respectivement par le micro en champ libre (position image) et en presence de la paroi Ispec s'ecrivent :

88

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam p20 2 x x M Æ (t ) = Io M 2 Æ (t ) 0 c c c x p2 ) = Io M 2 R 2 Æ ( t Ispec = 0 M 2 R2 Æ (t 0 c c Iref =

x ) c

L'energie totale au recepteur est: Z

1

x )dt = Io M 2 R2 = Eref (4.13) c 1 L'energie totale speculaire re echie est egale a l'energie de reference ponderee par le coeÆcient de re exion R2 .

2 2 ETSpec ot = Io M R

Æ (t

Re exion diuse. Les proprietes de diusion d'une paroi dependent de sa taille et de ces

irregularites au regard des longueurs d'onde du son incident. Pour representer le caractere diusant de la paroi, nous faisons l'hypothese que l'energie se re echit de maniere idealement diuse, selon la loi de Lambert qui, dans le cadre des m^emes hypotheses enoncees precedemment, est exprimee par la relation suivante : cos() r dS Æ(t ) r2 c Z 1 cos() r cos() dEr (t) = M 2 R2 Io dS Æ (t )dt = M 2 R2 Io dS 2 r c r2 1 ou Ir (t) represente l'intensite reue par le recepteur au temps t depuis l'element de surface dS et dEr l'energie correspondante. L'energie totale ETDif ot est calculable en integrant cette expression sur la surface de la paroi. Le probleme etant a symetrie axiale, l'integration s'eectue sur des anneaux in nitesimaux d'aire dS = 2 r dr ( gure 4.11).

Ir (t) = M 2 R2 Io

Z Z 1 M 2 R2 Io cos() l 2 2 = dS = 2 Io M R (4.14) 2 2 dr  r r S l D'apres cette expression, et compte tenu de la relation lineaire entre t et r, la courbe energie/temps (ETC) lue sur le recepteur adopte un pro l decroissant en 1=t2.

ETDif ot

ETDif ot

= 2 Io M 2 R2

Z

1 l dt l c t2 c

(4.15)

En presence d'une paroi in nie et parfaitement diusante, le microphone recueille deux fois plus d'energie que dans le cas de la surface speculaire de m^eme coeÆcient de re exion, comme le montre l'equation 4.16.

2 2 ETDif ot = 2 Io M R = 2 Eref

(4.16)

Lorsque la paroi est nie, l'energie totale diuse recueillie au point recepteur est toujours inferieure a celle obtenue par la relation (4.16), la limite superieure de l'integrale dans (4.14) etant, dans ce cas, nie. Dans ce cas l'energie re echie prend la forme generale:

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation

89

a dr

r l

Fig.



4.11 { Notation employee pour le calcul de l'energie totale diuse

x E : (4.17)  ref La quantite x, qui a valeur d'angle solide, depend de la taille et de la forme de l'element de paroi, et ne peut ^etre evaluee que numeriquement a partir d'un modele de l'echantillon, en sommant Dif de la les angles solides elementaires d i representes sur gure 4.12. La valeur maximale EMax decroissance energetique depend du pas de discretisation spatio-temporel choisi. Elle est liee a l'intensite incidente par la relation : ETDif ot =

Dif = I M 2 R2 y avec y = d

EMax o 0

(4.18)

dSi d i d 0

4.12 { Schema illustrant le calcul des coeÆcients geometriques x et y. x est calcule en cos  balayant l'element de paroi d i = 2 dSi et y en considerant l'element d'angle solide d 0 . r

Fig.

Modele mixte. Pour un modele mixte on va considerer que la courbe de decroissance de

l'energie observee au point recepteur est la superposition d'une contribution speculaire et d'une

90

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

contribution idealement diuse ( gure 4.13) ponderees respectivement par 1 d et d. Le coeÆcient d est appele coeÆcient de diusion. D'apres les relations 4.13 et 4.17 l'expression de l'energie totale est donnee par : 8 > > > > > > < > > > > > > :

ETSpec ot

= Eref [(1 ) (1 d)]

ETDiff = Eref x [(1 ) d] ot ET ot

(4.19)

Diff = ETSpec ot + ET ot = Eref [ (1 )(1 d) + x(1 )d]

De m^eme nous pouvons decomposer l'energie maximale observee sous la forme : 8 > > > > > > < > > > > > > :

Spec = E Spec = E [(1 ) (1 d)] EMax ref T ot Diff = E y [(1 ) d] EMax ref

EMax

(4.20)

Spec + E Diff = E = EMax ref [ (1 )(1 d) + y (1 )d] Max

Les equations (4.19) et (4.20) permettent d'obtenir l'expression du coeÆcient de diusion d et du coeÆcient d'absorption : 8 > > > > < > > > > :

d =

ET ot EMax EMax (x 1) + ET ot (1 y)

 = 1

ETC mesuree totale

=

(4.21)

EMax Eref [1 + d(1 y)]

contribution speculaire

+

contribution diuse

Fig. 4.13 { Pro l de la courbe  energie/temps (ETC) mesuree, resultant de la superposition d'une contribution speculaire et d'une contribution diuse.

Considerations d'ordre pratique Nous enoncons ci-dessous dierents parametres ou precautions d'ordre pratique qui in uent directement sur la precision des resultats. { Fen^etrage des reponses impulsionnelles L'une des diÆcultes majeures est d'isoler correctement la re exion du son direct, en particulier lorsque la paroi est eclairee sous faible

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation

91

incidence, cas ou la dierence de marche entre son direct et son re echi est petite. Il est alors necessaire d'employer une procedure de pre ltrage de la source pour reduire de maniere optimale son support temporel. { Taille de l'element a caracteriser et immunite contre l'environnement. Lorsque l'element de paroi a caracteriser est de dimension reduite ou se trouve pres d'autres parois, des re exions parasites peuvent recouvrir la re exion en provenance de la paroi. De m^eme, lorsque l'element de paroi est de taille reduite la frequence d'echantillonnage d'observation de la decroissance energetique doit ^etre suÆsamment ne pour distinguer la decroissance liee a la contribution diuse eventuelle.

4.5.4 Modelisation des transducteurs La source acoustique Les caracteristiques acoustiques de la source sont un parametre d'entree primordial pour l'ef cacite du processus de prediction. En eet, il existe une dependance de la qualite acoustique avec le type de source utilise. En particulier le spectre de puissance emis aura une incidence sur le champ reverbere tardif, tandis que le detail du diagramme de directivite modi era le son direct et les premieres re exions. Classiquement, les sources sont caracterisees, dans chaque bande d'octave, par un ensemble de couples direction/niveau. Cependant la plupart des sources utilisees pour eectuer des mesures acoustiques (haut-parleurs) peuvent ^etre caracterisees plus simplement. Parmi ces modes simples de caracterisation, il existe les \angles d'ouverture" a une attenuation donnee, generalement a 3 dB ou a 6 dB (les angles pour lesquels l'energie decro^t de ces valeurs par rapport a l'axe de la source) ; ou encore des procedures normalisees donnant acces a des indices de directivite globaux (rapport de la pression quadratique dans une direction sur la puissance moyenne emise). De m^eme, seules ces donnees sont fournies par le constructeur. Dans le but d'etablir des modeles de directivite utilisables dans les simulations et adaptes aux valeurs fournies par les constructeurs des haut-parleurs, un module specialise a ete concu a n d'harmoniser ces dierentes descriptions et de permettre les conversions entre elles. Les donnees d'entree peuvent prendre l'un des 7 modeles suivants, constitues, pour chaque bande d'octave, du niveau d'emission pour la direction de reference de la source (I0 ) et d'une ou plusieurs caracteristiques de directivite : les angles d'ouverture verticale et horizontale a 3dB et/ou -6dB (A3V , A3H , A6V , A6H ), ainsi que, le cas echeant, l'indice de directivite (DI). Dans les calculs, les angles d'ouverture A3V et A6V (resp. A3H et A6H ) sont remplaces par leur demi-angle correspondant 3V et 6V (resp. 3H et 6H ), comme indique sur la gure 4.14.

nÆ 0 1 2 3 4 5 6

type omni Indice de directivite (DI) Angles a -3dB (vert. et horiz) Angles a -3dB et DI Angles a -3dB et a -6dB Angles a -6dB Angles a -6dB et DI

caracteristiques acoustiques

I0 I0 DI I0 A3V, A3H I0 DI A3V, A3H I0 A3V, A3H A6V, A6H I0 A6V, A6H I0 DI A6V, A6H

92

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

6V 3V

Fig.

A 3V

x

A6V

4.14 { Correspondance entre les angles A3V et 3V , et A6V et 6V dans le plan vertical

Le modele uni e repose sur une dependance de l'attenuation, lineaire par morceaux, en fonction du cosinus de l'angle entre la direction d'emission consideree et la direction de reference de la source. Ce modele est symbolise, pour le plan vertical, par la gure 4.15. On peut exprimer alors le niveau d'emission pour une direction quelconque par la relation 4.22. 8 > > > > > > > < > > > > > > > :

cos() 1 I () = I0 2 1 cos(3 )

pour cos() 2 ] cos(3 ); 1[

I cos() cos(3) I () = 0 2 cos(3 ) cos(6 ) pour cos() 2 ] cos(6 ); cos(3 )[ 2 6(1+cos())+Attmax(cos(6) cos()) 10(cos(6 )+1) pour cos() 2 ] 1; cos(6 )[ I () = I0  10

(4.22)

Attenuation (dB) I0 I0

I0

I0

3dB 6dB

Attmax -1

cos(6 ) cos(3 ) d6

Fig.

d3

1

4.15 { Dependance du niveau d'emission de la source en fonction de cos()

Lorsque les angles d'ouverture verticale et horizontale dierent, les courbes d'iso-attenuation deviennent elliptiques ( gure 4.16). Dans ce cas, le niveau d'emission se calcule par ponderation geometrique des attenuation verticale (AttV ) et horizontale (AttH ), chacune etant evaluee selon la relation 4.22. La ponderation  est egale au cosinus de l'angle ' entre la direction z et la projection de la direction d'emission dans le plan perpendiculaire a la direction de reference de la source, comme indique sur la gure 4.16.

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation (

) I () = I0  Att(V)  Att(1 H ou  = cos(')

'

93

(4.23)

z

cos(3V ) cos(3H ) y

Fig. 4.16 { Courbe d'iso-att enuation pour des angles d'ouverture verticale et horizontale dierents

En n, pour assurer la coherence du modele il convient de poser une contrainte supplementaire. En eet, lorsque les angles d'ouverture horizontale et verticale sont inegaux, la valeur d'attenuation maximale obtenue pour  = 180Æ sera dierente selon que l'on applique la relation 4.22 avec les parametres verticaux ou horizontaux. Dans ce cas on impose une attenuation maximale Attmax commune, creant ainsi une derniere pente de decroissance. Ce modele etant pose, il reste a de nir un ensemble de regles de conversions permettant de determiner l'ensemble des parametres necessaires quel que soit le mode d'entree des donnees. Ces regles de conversion sont exposees ci-apres.

Principes de conversion a. Relation entre les angles a 3dB et a 6dB En l'absence de donnee d'un couple d'angles d'ouverture, on suppose une loi de decroissance constante en fonction du cosinus de l'angle . Selon l'absence de l'angle d'ouverture a 3dB ou a 6dB on applique la regle 4.24 ou 4.25. Le cas echeant, ces valeurs sont ensuite contraintes dans l'intervalle ]0Æ ; 180Æ[. cos(6V;H ) = 2  cos(3V;H ) 1 2 ] 1; 1[ cos(3V;H ) = 0:5  cos(6V;H ) + 0:5 2 ]0; 1[

(4.24) (4.25)

b. Determination de l'indice de directivite a partir des angles Connaissant les angles d'ouverture et la loi de dependance du niveau d'emission en fonction de l'angle il est possible de calculer la puissance de la source P et, par consequent son facteur de directivite Q.

94

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

P=

Z



I ()dS = 2

Z



0

I ()sin()d

et,

Q= avec,

4I0 4Ln(2) = d3 P d3 + (d6 d3 )[1 2 d6

d3 = (2 cos(3V 2) cos(3H ))

2 ]0; 2[

d6 = (2 cos(6V 2) cos(6H ))

2 ]0; 2[

2

d3 ]

(4.26)

c. Determination des angles a 3dB et 6dB { Connaissant Q et d3 ou d6 Si l'on conna^t Q et les angles a 3dB (resp. 6dB ), les angles a 6dB peuvent ^etre determines (resp. 3dB ) a partir de l'equation 4.26 et de l'evaluation par encadrement de la valeur de d6 (resp. d3 ). { Connaissant uniquement Q Si l'on ne conna^t que la valeur de Q on fait l'hypothese supplementaire que la pente de decroissance est constante (d6 = 2d3 ), et l'on procede comme au point precedent.

Exemple d'un modele de directivite cardiode La gure 4.17 montre un exemple de modelisation d'une gure cardiode avec un facteur de cardiocite de 0.8. Le modele a ete genere avec des angles d'ouverture a 3dB et a 6dB , respectivement de 70Æ et 97Æ. L'indice de directivite resultant du modele est de 4:18dB au lieu de 4:27dB theorique.

4.5 Saisie des parametres d'entree d'une simulation

95

4.17 { Comparaison entre une directivite cardiode theorique (M=0.8) avec le modele genere avec les angles d'ouverture a 3dB et a 6dB , respectivement de 70Æ et 97Æ

Fig.

Le recepteur Le calcul de certains indices acoustiques fait intervenir des ponderations spatiales et temporelles des re exions. Pour ces indices, il est necessaire d'avoir acces a des reponses impulsionnelles issues des microphones aux dierentes sensibilites : omnidirectionnelle, gure 8 et cardiode. D'une maniere generale, on exprime la sensibilite d'un microphone par sa directivite, laquelle traduit la variation de la sensibilite selon la direction d'incidence du rayon (donnee par un angle ), de nie par rapport a un axe de reference ( = 0Æ), pris comme l'axe du lobe principal. Les types de directivite sont de nis a l'aide des fonctions de ponderation suivantes : { omnidirectionel : { gure 8 : { unidirectionnel :

1 cos 2 [(1 ) + cos ]2

Ou = 0; 5 donne la directivite cardiode. Ces trois directivites sont prises en compte de maniere automatique dans chaque simulation, laquelle genere un chier \simulation" pour chacune d'entre elles. D'autres fonctions de directivite peuvent ^etre de nies en fonction des besoins de calcul.

96

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

4.6 Presentation des donnees de sortie A la n d'une simulation, les donnees de sortie sont presentees, pour chaque source et recepteur, sous trois formes : { sous forme de donnees relatives a l'evolution de l'energie dans le temps ( chier ENR), { en tant qu'historique des trois dernieres surfaces frappees par chaque rayon, de la direction et des intensites incidentes au recepteur ( chier LOG). { graphique, sous forme d'echogramme, avec une resolution de la milliseconde ( chier SIM). Les tableaux et gures suivants montrent des extraits des chiers ENR et LOG, et une representation graphique d'un echogramme ( chier SIM) pour un couple source recepteur donne. Donnees relatives a la repartition temporelle de l'energie Micro T0 FOD OD R1 R2 R3 R4 Res ETOT

0-O 0-C 0-1 1-O 1-C 1-1

24 24 24 34 34 34

-48.9 -58.8 -52.1 -24.6 -24.6 -71.3

-44.7 -52.3 -48.0 -24.6 -24.6 -51.2

-35.5 -38.9 -39.4 -34.6 -42.9 -36.9

-30.3 -34.2 -35.5 -32.0 -36.1 -38.2

-27.4 -32.2 -31.4 -27.7 -31.7

-23.6 -27.6 -27.7 -23.4 -27.1 -32.1 -27.5

-27.1 -31.0 -31.1 -27.2 -30.9 -31.3

-21.3 -25.5 -25.5 -19.7 -21.9 -25.6

Tab. 4.1 { Extrait des 10 premi eres colonnes d'un chier ENR ou l'on montre, pour chaque sensibilite (O,C,1) du recepteur (Micro) : le temps d'arrivee de l'onde directe en provenance de la source (T0) ; le cumul temporel des energies, en dB, de la reponse impulsionnelle (F OD = [0; 5]ms, OD = [0; 20]ms, R1= [20; 40]ms, R2=[40; 80]ms, R3=[80; 160]ms, R4= [160; 1]ms) ; l'energie residuelle, en dB, imputee aux recepteurs apres arr^et du processus des c^ones sous l'hypothese du regime exponentiel decroissant (Res); l'energie totale, en dB, de la reponse impulsionnelle (ETOT)

Baricentres (ECT) en millisecondes et ecarts-types (TSD) par tranche temporelle Micro ECT TSD ECT0 TSD0 ECT1 TSD1 ECT2 TSD2 tm

0-O 0-C 0-1 1-O 1-C 1-1

101.7 97.4 106.1 106.4 106.0 111.7

36.1 36.5 34.6 33.8 32.3 32.4

10.5 14.2 10.3 0.1 0.0 19.0

6.9 7.0 6.8 1.4 0.7 2.7

34.9 35.2 34.3 32.4 31.9 32.6

5.0 4.8 4.9 4.4 4.8 3.4

60.2 59.8 61.7 64.0 67.4 62.7

12.4 12.6 12.3 11.7 10.0 13.3

194.0 206.0 200.0 130.0 131.1 209.0

4.2 { Extrait des 9 colonnes suivantes du chier ENR ou l'on montre, pour chaque sensibilite (O,C,1) du recepteur (Micro) : le barycentre temporel (ECT) de l'energie precoce de la reponse impulsionnelle et son ecart-type (TSD) associe pour les cumuls temporels : O = [0; 20]ms, 1 = [20; 40]ms et 2 = [40; 80]ms. Lorsqu'il n'y a pas d'indice, l'intervalle temporel correspond au cumul de [0; 80]ms. Tab.

4.6 Presentation des donnees de sortie

97

Vecteurs unitaires d'incidence moyenne (S) et norme (NS). Temps central (ts) Micro S1x S1y S1z NS1 S2x S2y S2z NS2 Sx Sy Sz NS ts [ms]

0-O 0-C 0-1 1-O 1-C n 1-1

0.6 0.2 0.4 0.4 0.3 0.4

0.6 0.8 0.8 -0.6 -0.7 -0.7

0.1 0.1 0.1 -0.2 -0.3 -0.1

0.8 0.8 0.9 0.8 0.8 0.8

-0.1 -0.5 0.0 -0.0 -0.5 0.0

-0.1 0.2 -0.2 -0.0 0.1 -0.2

-0.3 -0.3 -0.1 -0.3 -0.3 -0.0

0.3 0.6 0.2 0.3 0.6 0.2

-0.1 -0.5 0.1 -0.7 -1.0 0.2

-0.0 0.2 -0.1 -0.1 -0.0 -0.5

-0.4 -0.3 -0.1 -0.1 -0.0 -0.1

0.4 0.7 0.2 0.8 1.0 0.5

261.1 267.4 267.3 185.6 131.1 275.9

4.3 { Extrait des 13 dernieres colonnes du chier ENR ou l'on montre, pour chaque sensibilite (O,C,1) du recepteur (Micro) : les vecteurs unitaires d'incidence moyenne de l'energie precoce (S) et leur norme (NS), pour les intervalles temporels : 1 = [20; 40]ms et 2 = [40; 80]ms. Lorsqu'il n'y a pas d'indice, l'intervalle temporel correspond au cumul de [0; 80]ms. Est donnee egalement la valeur du barycentre temporel de l'energie de la reponse impulsionnelle (ts). Tab.

Rcv Src Time

0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0

23.7 88.8 98.3 34.1 66.7 94.9

Int

1.4425e-02 6.5427e-05 9.4209e-07 3.4654e-03 1.4926e-04 4.3214e-05

Order LstSurf PrvSurf AntePSurf

0 1 2 0 1 1

-1 24 32 -1 24 1

-1 -1 10 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1

4.4 { Extrait des 8 premieres colonnes d'un chier LOG qui consigne l'historique recente du parcours de chaque rayon traversant un recepteur. Les informations donnees sont : le numero de recepteur (Rcv) ; le numero de source (Src) ; le temps exact d'impact d'un rayon dans le recepteur (Time) ; l'intensite du rayon, en lineaire, lors de la traversee du recepteur (Int) ; le nombre de re exions subies par le rayon avant d'atteindre le recepteur (Order) ; le numero de chacune des 3 dernieres surfaces frappees avant d'atteindre le recepteur (LstSurf, PrvSurf, AntePSurf). La valeur 1 signi e qu'il n'y a pas eu de surface frappee.

Tab.

Rcv Src Rcvx Rcvy Rcvz SrcPhi SrcTheta DistRas AngRas

0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0

-0.72 0.47 0.01 -1.00 0.38 -0.52

-0.69 -0.87 -0.16 -0.00 -0.91 -0.01

-0.11 -0.15 0.99 -0.02 -0.15 -0.85

0.23 1.30 1.34 0.80 1.20 1.30

3.14 1.64 0.00 1.85 1.66 0.26

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4.5 { Extrait des 9 dernieres colonnes du chier LOG. Sont indiques, pour chaque couple source/recepteur (Rcv, Src) : les composantes dans les trois directions (x,y,z) du vecteur unitaire associe au rayon traversant le recepteur ; les angles  et  de depart du rayon vu depuis le recepteur.

Tab.

98

Chapitre 4 : Description des logiciels de prediction developpes a l'Ircam

a)

b)

4.18 { Echogramme simule ( chier SIM) dans le modele informatique de la salle Pleyel. La source, placee sur scene, est omnidirectionnelle. Le recepteur se trouve au centre du parterre a une distance approximative de 7; 5 metres. Le nombre de rayons lances est de 10 000 pendant une duree Tt de 300 ms. a) : uniquement re exions speculaires, b) : re exions speculaires avec diusion. Fig.

La base des donnees de validation

99

Chapitre 5

La base des donnees de validation En raison de son etendue et de son heterogeneite, un chapitre entier est consacre a la base des donnees utilisee pour l'etude systematique de validation de notre environnement de simulation informatique. Lorsque la validation m^eme sera traitee (cf. chapitre 6), nous pourrons faire reference simultanement a plusieurs elements de cette base qui, construite sur plusieurs annees, provient de sources tres diverses. Elle est organisee en 3 groupes. Le premier correspond a des mesures faites dans la salle Phildalephia Academy of Music et dans sa maquette physique, complete par des modeles informatiques. Une campagne de mesures dans 9 salles europeennes constitue le deuxieme groupe des donnees. Le troisieme groupe est issu d'une campagne internationale de validation des performances des logiciels de simulation : les \Round Robins for room acoustical computer simulations". Lorsque l'etude de validation sera abordee au chapitre 6, nous serons eventuellement amenes a rajouter des elements d'usage ponctuel qui n'auront pas ete decrits dans cette base des donnees.

5.1 Introduction Dans cette presentation, nous ferons une description precise de chacun des elements composant la base des donnees, a n de modeliser de facon plus adequate les parametres d'entree (transducteurs, surfaces. . . ) d'une simulation, et de veri er ensuite l'eÆcacite des algorithmes de calcul de l'environnement informatique d'acoustique previsionnelle developpe a l'Ircam. Les elements concernes seront etudies par groupes correspondant aux sources dont les donnees sont extraites. Le tableau (5.1), qui retrace cette etude, respecte ce schema.

100

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

Groupe Philadelphia

Elements

Buts

Campagne Europeenne

- Mesures dans des nombreuses salles - Modeles informatiques

- Comparer performances - Calcul du volume par section temporelle - Validation des modeles - Coherence des algorithmes implantes - Coherence Rayfrac/Dius

Round Robins

- Mesures dans les salles - Modeles informatiques

- Fiabilite des predictions - Prediction d'indices - Evaluation des in uences acoustiques sur resultats naux - Indices spatiaux - Coherence des algorithmes

- Mesures dans la salle - Comparer performances - Mesures dans modeles reduits maquette/modele - Modeles informatiques - Qualite des informations fournies

Utilisation

- Exemple volumes couples - Qualite des simulations maquette/modele - EÆcacite des algorithmes

5.1 { Presentation globale de la base des donnees de validation de notre environnement de simulation informatique. Elements constitutifs, buts poursuivis et utilisation des donnees dans le cadre de la validation. Tab.

5.2 La salle de la Philadelphia Academy of Music La salle de la Philadelphia academy of music (Phildadelphie, USA), salle d'opera prestigieuse, a ete construite suivant le modele du Teatro alla Scala de Milano. Classee monument historique, cette salle ( gure 5.1) a ete inauguree en 1857 pour que Philadelphie puisse pro ter des diverses expressions de l'art lyrique, tres en vogue a l'epoque. Depuis, la programmation s'est elargie aux concerts de musique symphonique, d'ou la necessite de readapter la con guration du lieu. Le principal trait architectural de cette salle, mis a part sa forme, est le nombre important de sieges par metre carre : avec une surface allouee par siege d'a peine 0; 5 m2 , soit, pour un volume approximatif de 15 700 m3 , un nombre total de 3 000 sieges en con guration de concert. Le faible rapport du volume au nombre de sieges represente egalement la principale limitation de son comportement acoustique. Pour cette raison, la Philadelphia academy of music a fait l'objet d'importantes critiques lors de concerts symphoniques. La salle a ete quali ee de \seche", \pas assez vivante" ou encore possedant un \tout petit son", par un groupe de chefs d'orchestre et de critiques musicaux a l'occasion d'une serie d'entretiens organises par l'acousticien Leo Beranek au debut des annees 1960 ([Ber62]). En 1992, une etude acoustique a ete demandee au cabinet de conseil neo-zelandais Marshall & Day associates, a n d'analyser les defauts et de proposer des modi cations capables d'ameliorer les conditions d'ecoute de musique symphonique dans ce lieu. Une caracterisation acoustique de la salle (vide) a ete menee par le biais de la mesure de la reponse impulsionnelle pour 12 emplacements du recepteur et 3 emplacements de la source. Les donnees recueillies par un microphone de mesure, utilise en sensibilite omnidirectionnelle et en \ gure 8", ont ete analysees par le systeme de mesure MIDAS (cf. 2:2:1). Un pistolet a servi de source impulsive. Des tests subjectifs, realises a l'aide d'un questionnaire structure, ont complete cette phase de l'etude.

5.2 La salle de la Philadelphia Academy of Music

Fig.

101

5.1 { Vue interne de la salle de la Philadelphia Academy of Music, d'apres ([Ber62]).

Sans surprise, les resultats de l'etude preliminaire ont revele que la principale defaillance de la salle etait sa faible reverberance percue. Les valeurs du temps de reverberation et du early decay time (cf. x 1:2:1), ses correles objectifs, etaient de l'ordre de 1; 4 sec en salle vide, aux frequences moyennes. La solution au probleme etait claire : diminuer l'absorption ou augmenter le volume de la salle. Toute proposition acoustique etant contrainte a respecter les elements materiels d'origine, les acousticiens ont opte pour des solutions visant a augmenter le volume sans modi er l'harmonie visuelle de l'ensemble.

5.2.1 La maquette physique Une maquette a une echelle de 1=25e en agglomere de haute densite a ainsi ete construite a partir des dessins fournis par l'administration de la salle ( gure 5.2). Les sieges ont ete modelises avec de la mousse absorbante, dont l'absorption a ete calculee dans un modele a l'echelle 1=50e d'une chambre reverberante, selon la norme NF S 31 003. La mousse choisie a ete celle dont les coeÆcents d'absorption etaient les mieux adaptes aux valeurs proposees par Beranek pour

102

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

des conditions de salle vide ([Ber69]). Du fait de la grandeur de l'echelle choisie, la maquette a ete fabriquee en trois sections. De cette maniere, l'acces en son interieur a ete facilite pendant les tests.

a)

b)

5.2 { Vues internes de la maquette : a) vers la scene : on apercoit l'eclateur utilise comme source impulsive ; b) vers la salle : de la mousse absorbante a ete employee pour simuler l'absorption des sieges. Fig.

Materiel de mesure Les m^emes conditions de mesure pleine echelle ont ete transposees a la maquette a ceci pres que pour des raisons pratiques, seule une position de source (au milieu de la scene) a ete reproduite. Les mesures ont ete eectuees et analysees par le systeme de mesures MIDAS, qui permet de realiser des mesures en air ambiant gr^ace a sa capacite a compenser numeriquement l'exces d'absorption de propagation resultant de la transposition frequentielle imposee par l'echelle de mesure 1 . Le recepteur etait un microphone B & K 4135 de 1=400 avec une ogive de protection. La reponse du transducteur en champ libre est illustree dans la gure (5.3). 1. Au chapitre 3, nous avons expose le principe de mesure sur maquette ainsi qu'une introduction au logiciel de mesures MIDAS (cf. x 2:2:1). Les references qui ont ete donnees renvoient aux informations detaillees sur cette technique de mesure et ce logiciel.

5.2 La salle de la Philadelphia Academy of Music

Fig.

103

5.3 { Courbe de reponse en frequence du microphone B&K 4135 de 1=400 avec ogive.

La source utilisee etait une etincelle generant une impulsion de tres courte duree (cf. x 2:2:1). Ce genre de source presente l'avantage d'avoir un rayonnement quasi-omnidirectionnel jusqu'a environ 160 kHz et une assez bonne repetabilite. Cela permet de realiser des moyennes coherentes qui ameliorent le rapport signal sur bruit de mesure. Une premiere comparaison des moyennes sur les 10 places mesurees et sur trois indices, le temps de reverberation (TR), le early decay time (EDT10 ) et la clarte (C80 ) a permis de modi er certains parametres de la maquette telle la quantite d'absorption pour caler au mieux les mesures faites dans la maquette avec celles realisees dans la salle. La con guration de mesure qui a permis la plus grande similitude acoustique entre salle et maquette a ete celle pour laquelle un morceau de mousse circulaire a ete place derriere l'etincelle ( gure 5.4). La mousse, en rendant l'etincelle un peu plus directive 2 , a tres probablement contribue a rapprocher sa gure 2. Des mesures en champ libre de l'ensemble mousse/etincelle ont ete eectuees en placant le microphone de mesure a une distance de 0; 40 m (10m equivalent plein echelle) de l'etincelle. Une representation de la directivite horizontale de l'ensemble a ainsi ete obtenue en mesurant la reponse tous les 15Æ . Ces mesures, repertoriees dans

104

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

de rayonnement a celle du pistolet.

5.4 { Source a etincelle utilisee pour les mesures sur maquette. Le morceau de mousse la rend plus directive. Fig.

L'in uence des propositions pour modi er l'acoustique de la salle a ete veri ee dans la maquette a partir de la con guration qui vient d'^etre decrite. Dans l'esprit de preserver intacte l'integralite architecturale de ce b^atiment historique, les modi cations proposees se sont surtout appuyees sur l'utilisation des espaces \invisibles" situes entre la structure externe du b^atiment et le plafond de la salle (mansarde). Il a donc ete propose dans un premier temps de soulever le d^ome situe au centre du plafond, de facon a coupler salle et mansarde. Pour ameliorer le couplage, des perforations sur le plafond au-dessus des sieges du dernier balcon, ont ete eectuees. Les resultats de cette campagne de mesures, qui inclut des modi cations supplementaires apportees a la maquette (notamment des variations de la con guration scenique), et dont les donnees de mesures n'ont pas ete utilisees pour realiser la comparaison simulation informatique/maquette, ont ete repertories dans ([CB93]). Nous avons retenu pour notre etude comparative, en complement des mesures realisees dans la salle, les donnees sur deux maquettes : 1. La maquette \originale" ; 2. la maquette comportant le d^ome du plafond sureleve, de maniere a coupler la salle avec un espace reverberant (la mansarde) ; L'etape suivante consistait en la construction des modeles informatiques de ces deux maquettes physiques, dont sont donnees ci-dessous les caracteristiques principales. ([CB93]), ont montre que l'in uence de la mousse sur la directivite de l'etincelle se faisait sentir a partir d'une frequence de 500 Hz en equivalent pleine echelle.

5.2 La salle de la Philadelphia Academy of Music

105

5.2.2 Le modele informatique La saisie de la geometrie des deux modeles a ete possible a partir des photos du modele que nous possedions et des plans de la salle que le Professeur Harold Marshall avait mis a notre disposition. Le tableau (5.2) fait un recapitulatif des modeles informatiques realises pour cette campagne de validation, tandis que les gures (5.5 a 5.6) montrent deux vues en perspective du modele de la salle originale (Philad), dans lesquelles les positions de la source et des recepteurs sont indiquees. Une vue en perspectives de la mansarde au-dessus du plafond de la salle est montree gure (5.7). La caracterisation acoustique des surfaces de la salle a ete menee a partir des plans de la salle, des photos de la salle et de la maquette, et des renseignements transmis par le professeur Marshall lors de son sejour a l'Ircam. Pour se rapprocher des proprietes d'absorption des materiaux de la maquette, le choix des surfaces a ete restreint principalement a deux types : des sieges tres absorbants et des murs tres re echissants, sauf pour les fonds des loges et les toits des balcons ou les coeÆcients d'absorption ont varie quelque peu suivant les conseils de M. Marshall. En n, a partir des photos, nous avons de ni quels coeÆcients de diusion imputer aux surfaces du modele. Les tableaux recapitulatifs des coeÆcients acoustiques des materiaux du modele informatique sont repertories a l'annexe B.

Nom Philad Mansarde Phildom

Description

No de surfaces Vol connu (m3 ) Vol estime (m3 )

Salle d'origine 548 Volume superieur 175 D^ome souleve 726

15715 2550 18265

17230 5600 22854

5.2 { Description des modeles informatiques construits a partir des maquettes de la salle Philadelphia Academy of Music.

Tab.

5.5 { Modele informatique (\philad") de la salle du Philadelphia Academy of Music montrant l'emplacement de la source et les 10 positions du recepteur testees. Vue en perspectives.

Fig.

106

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

R9 R10

R8

R7 R6

R5 S R1

R2

R3

R4

5.6 { Vue en coupe du modele. Positionnement de la source (S) et des 10 recepteurs (R1 - R10). Fig.

5.7 { Vue du modele informatique de la mansarde dans la partie superieure de la salle, au-dessus du plafond en forme de \chapeau", que l'on apercoit sur la gure. Fig.

5.3 La campagne europeenne de mesures Debut 1989, dans le cadre d'une commande du Ministere de la Culture, le laboratoire d'acoustique des salles de l'Ircam a mene, dans un ensemble de salles de concert parisiennes et europeennes, une campagne de mesures et de tests d'ecoute bases sur un questionnaire elabore par le laboratoire ([IRC90], [WJ92]). En acoustique previsionnelle, des modeles informatiques des salles testees ont ete construits, a n d'eectuer des simulations acoustiques. L'inter^et de cette campagne etait d'une part de veri er la validite des modeles perceptifs issus

5.3 La campagne europeenne de mesures

107

des travaux anterieurs de l'equipe (cf. x1:2 et [Kah95], chapitre 3) et, d'autre part, de confronter systematiquement les parametres acoustiques mesures in situ avec les resultats issus des simulations informatiques eectuees a l'aide de l'environnement de simulation decrit au chapitre 4.

5.3.1 Selection des salles A n de constituer une base de donnees able, le laboratoire a recherche une grande diversite de salles (variation des partis architecturaux, salles de conception recente permettant la caracterisation de formes ou de materiaux contemporains).

Auditorium

Salle de concert

Salle d'opera

Musee du Louvre Concertgebouw d'Amsterdam Palais Garnier Musee d'Orsay Musikvereinsalle a Vienne Scala de Milan Philarmonie de Berlin Th^eatre des Champs Elysees Pleyel Tab.

5.3 { Liste des salles de la campagne europeenne de mesures.

5.3.2 Le protocole de mesures Le travail de caracterisation objective des salles est mene a partir d'indices deduits de la mesure de la reponse impulsionnelle. De maniere a conduire des comparaisons rigoureuses entre les salles, un protocole experimental a ete adopte pour l'ensemble de la campagne. A cette n, le laboratoire d'acoustique des salles de l'Ircam s'est servi du logiciel de mesure AMS (Apia Measurement System, developpe par la societe APIA en collaboration avec le CNET [JGS84]). La technique de mesure sur laquelle ce logiciel est base, est celle des sequences de longueur maximale ou MLS, dont le principe de fonctionnement est decrit dans ([Sch79], [BA83]).

Distribution spatiale des sources et des recepteurs Une distribution systematique des transducteurs est appliquee a toutes les salles, de facon a pouvoir analyser la dependance de la qualite acoustique des positions des sources et des recepteurs. Des reponses impulsionnelles sont mesurees pour chaque couple source/recepteur. Le pas du reseau spatial (4 m), superpose au plan de la salle ( gure 5.8), a ete etabli en fonction de l'ordre de grandeur des criteres temporels utilises en acoustique, de la surface des salles et de leur complexite geometrique. Pour les salles possedant un axe de symetrie, le balisage de l'auditoire a ete limite a une moitie, a n de limiter le nombre de mesures necessaires. L'origine du systeme de coordonnees est xe a la position du chef d'orchestre (point nomme \S0"). Une intersection sur deux du reseau spatial, est occupee par une source ou un recepteur. Le point \S0" est considere comme point recepteur.

Il est important de signaler que le fait d'avoir considere la symetrie des salles s'est traduit par le

108

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

A J

C

5.8 { Reseau spatial regulier superpose au plan de la salle Pleyel. La distance qui separe chaque intersection de la grille est de 4 mt. Le point \T0", situe sur scene, est un emplacement typique de la source. Sont indiquees les directions d'emission Jardin, Cour et Arriere. Fig.

placement des sources ainsi que des recepteurs dans l'axe (ceux et celles ayant le suÆxe 0). Dans le cas ou source et recepteur se trouvaient sur l'axe de la salle, des phenomenes d'interferences ont des fortes chances de se produire (sutout en basses frequences), et peuvent, d'une part, modi er notoirement les valeurs de certains indices acoustiques, d'autre part, ^etre ignores lors des simulations des salles discretisees, car notre environnement de simulation considere que les signaux s'ajoutent en energie et non pas en pression. Malheureusement, ce probleme n'a ete detecte qu'au cours de la campagne, et la necessite de recueillir des donnees comparables dans les dierentes salles a rendu impossible la modi cation du protocole de mesures au cours de l'experimentation.

Orientation et directivite des transducteurs Comme il a ete dit au chapitre 4, le calcul de certains indices acoustiques necessite la ponderation temporelle et/ou spatiale des re exions. Pour cette raison, les mesures sont eectuees avec les sensibilites microphoniques omnidirectionnelle, en \ gure 8" et cardiode. En plus, les particularites de directivite des sources instrumentales qui privilegient l'excitation de certaines parois de la salle, ont motive l'emploi d'une source directionnelle (une enceinte Yamaha NS 1000). Plusieurs orientations de cette source ont ainsi ete systematiquement utilisees pour etudier l'in uence de la direction d'emission sur les indices acoustiques : { F : emission frontale { C : emission vers \cour" { J : emission vers \jardin"

5.3 La campagne europeenne de mesures

109

{ P : emission vers le plafond { A : emission vers l'arriere. La caracterisation acoustique de la source a ete eectuee en chambre anechoque, selon la methode decrite au x 3:3:3 ([Dam91]). Plusieurs methodes de caracterisation de la source ont ete essayees (angles d'ouverture verticaux et horizontaux pour une attenuation donnee et par un indice de directivite DI, exprime en dB). Le tableau (5.4) donne les valeurs du DI de l'enceinte de mesures pour les dierentes bandes d'octave, tandis que la gure (5.9) illustre les caracteristiques de sa reponse en frequence mesurees en face.

Octave DI [dB] 63 Hz 125 Hz 250 Hz 500 Hz 1 kHz 2 kHz 4 kHz 8 kHz

2:15 2:39 5:12 7:18 6:00 5:42 7:91 8:80

5.4 { Indice de directivite DI, en dB, de l'enceinte de mesures Yamaha NS1000, par bande d'octave.

Tab.

0

-3

-6

-9

-12

-15

-18 X: Hz, Y: dB

25 31 40 50 63 80 100125 160 200250 315 400 500 630 800 1K1.25K

2K 2.5K

4K

8K

16K

5.9 { Reponse frequentielle en face de l'enceinte de mesures YAMAHA NS 1000 mesuree en champ proche.

Fig.

Le nombre important de directions d'emission testees, les trois sensibilites microphoniques utilisees, ainsi que la taille de certaines salles de concert, comme par exemple la Philarmonie de Berlin, ou 8 emplacements de sources et 23 emplacements de recepteurs ont ete retenus, ont impose la multiplication de couples sources/recepteurs. Par consequent le nombre total de mesures eectuees est tres important (tableau 5.5).

110

Chapitre 5 : La base des donnees de validation Salle Louvre Orsay Pleyel Garnier Champs-Elysees Musikverein ConcertGebouw Scala Philarmonie

Mesures objectives

Simulations

Nombre de Couples Src-rec / mesures Nombre de facettes 95 couples / 195 mesures 89 couples / 177 mesures 420 couples / 816 mesures 323 couples / 643 mesures 419 couples / 881 mesures 300 couples / 600 mesures 341 couples / 630 mesures 361 couples / 764 mesures 484 couples / 919 mesures

209 219 242 non discretisee 504 248 254 non discretisee non discretisee

5.5 { Tableau recapitulatif du nombre de couples sources/recepteurs mesures par salle et du nombre de surfaces pour les salles discretisees par nos outils de simulation informatique. Tab.

Analyse des mesures, calcul des indices acoustiques et modeles informatiques Le logiciel de mesures AMS, en plus du calcul automatique de quelques indices classiques comme le temps de reverberation, eectue un decoupage energetique de la reponse impulsionnelle par segments temporels, identique a celui realise par nos programmes de simulation (cf. x4.6, tableau 2.1), a partir desquels la plupart des indices de quali cation en acoustique des salles sont calcules. Toutes les valeurs des indices et des energies par sections temporelles sont donnees en valeurs pleine bande et par bandes d'octaves. La gure (5.10) donne un exemple de modele informatique d'une des salles etudiees lors de la campagne de mesures. La liste complete des salles discretisees est repertoriee dans le tableau (5.5). Les coeÆcients acoustiques aectes aux surfaces des dierents modeles informatiques du tableau (5.5), se trouvent a l'annexe B.

5.10 { Vues en perspectives et en plan du modele informatique de la salle Pleyel. Disposition de quelques transducteurs d'apres le reseau spatial utilise pour les mesures. Fig.

5.4 Les Round

Robin for Room Acoustical Computer Simulations

111

5.4 Les Round Robin for Room Acoustical Computer Simulations

5.4.1 Antecedents Depuis plusieurs annees, la prediction informatique en acoustique des salles a atteint un niveau suÆsant de developpement pour pretendre devenir non seulement un outil able de conception, mais aussi un puissant outil de recherche. Cependant, l'evolution de cette branche de l'acoustique est limitee le plus souvent a des groupes de recherche de petite taille et assez isoles, d'ou la diÆculte de realiser des echanges constructifs. Au debut des annees 1990, quelques chercheurs, dont J. H. Rindel au Danemark et M. Kleiner en Suede, ont compris qu'il etait necessaire de faire un bilan de l'etat d'avancement de la modelisation numerique de la propagation sonore dans les salles. Ils ont pour cela organise en 1991, dans les villes de Lyngby (Danemark) et Gothenburg (Suede), le colloque \Computer Modelling and Prediction of Objective and Subjective Properties of Sound Fields in Rooms" dont les conclusions ont ete publiees dans ([RN92]). L'objectif de ce colloque etait de discuter ensemble des diÆcultes liees, parmi d'autres, a la conception des algorithmes et a la representation des dierents phenomenes physiques, et de re echir sur les orientations a donner au travail futur. Suite a cette reunion, il est apparu qu'une des diÆcultes majeures dans un processus de simulation etait le manque de donnees (en nombre et en abilite) pour veri er la validite des resultats obtenus. Il a alors ete convenu qu'il etait imperatif de creer des bases de donnees pour les confronter aux simulations. Le premier eort de realisation a niveau international d'une confrontation entre simulations informatiques et mesures physiques a eu lieu en 1992 et se doit a Verbandt & Jonckheere ([VJ93]). Deux annees plus tard, en 1994, le professeur Michael Vorlander, du \laboratory of building acoustics" au PTB (Physikalisch-Technische Bundesanstalt) a Braunschweig, en Allemagne, a organise une campagne de validation des performances des logiciels de simulation par comparaison avec des mesures dans une salle ([Vor95]). Le succes du premier Round Robin (RRI) a motive la realisation d'une deuxieme experience du m^eme type qui vient de s'achever (le RRII). Vu le nombre important de participants (16 de 6 pays au RRI et 16 en provenance de 9 pays au RRII), cette experience a ouvert la possibilite d'analyser les resultats sur des perspectives tres diverses, comme par exemple : { Veri er la abilite des simulations dans des cas pratiques d'application ; { Veri er la coherence des algorithmes tant a l'interieur d'un logiciel qu'entre les logiciels ; { Detecter des comportements systematiques des logiciels pour permettre de determiner des causes d'erreurs possibles (cela inclut aussi des comportements atypiques de certains logiciels) ; { Quanti er l'in uence de l'utilisateur dans les performances d'un logiciel donne. Ceci est possible car en eet, plusieurs participants (consultants, concepteurs, etc.) se sont servis d'un m^eme logiciel. Le laboratoire d'acoustique des salles de l'Ircam n'a pris connaissance de l'organisation des Round Robins qu'apres la n du premier. Mr Vorlander a neanmoins accepte de nous envoyer les informations necessaires et de nous laisser, malgre l'echeance oÆcielle passee, mener le travail de confrontations/validations, tout en respectant les m^emes reglement et protocole. Nous

112

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

avons suivi le deuxieme Round Robin en m^eme temps que les autres participants.

5.4.2 Premier Round Robin des simulations informatiques (RRI) Cette experience consiste a comparer les performances des logiciels de simulation sur la base d'un ensemble d'indices de quali cation acoustique (voir tableau 5.8) issus des mesures eectuees dans une salle. Les comparaisons s'eectuent uniquement dans la bande d'octave centree autour de 1 kHz. De facon a s'assurer de la abilite des donnees des mesures, celles-ci ont ete prises par 7 equipes. Une moyenne des resultats a ensuite ete etablie. Une methode de quali cation des resultats proposee par l'equipe organisatrice a permis de synthetiser les performances de chaque logiciel en octroyant une note globale en fonction des resultats obtenus par chacun d'entre eux.

Salle et conditions de mesure La salle choisie pour cette etude est l'auditorium du PTB, salle de taille relativement modeste et utilisee principalement pour des conferences (tableau 5.6). Un des murs lateraux comprend plusieurs fen^etres dans sa partie superieure, et des panneaux absorbants dans sa partie inferieure. L'autre mur lateral ainsi que le mur du fond sont fabriques en beton tres rigide. Le tableau (5.7) decrit les principales caracteristiques de son modele informatique. 2 positions d'une source omnidirectionnelle (S) ainsi que 5 positions du recepteur (R) (un microphone en sensibilite omnidirectionnelle et en \ gure 8") ont ete testees. La gure (5.11) montre le modele informatique de la salle, ainsi que les positions des sources et des recepteurs. Les conditions atmospheriques de reference pendant les mesures etaient : temperature ambiante 20Æ, humidite relative 50% et une pression atmospherique de 1000 hPa.

Salle

Volume TR 1kHz Simulations Positions Positions 3 estime [m ] spectateurs [S ] source recepteur

1 800

274

1; 15  0; 09

2

5

Tab. 5.6 { Tableau r ecapitulatif des principales caracteristiques de la salle test. Le temps de reverberation (TR) est la moyenne des mesures sur les 10 couples source/recepteur realisees par 7 equipes. Est donne egalement le nombre de positions de la source omnidirectionnelle et du recepteur.

Modele informatique Volume Simulations estime [m3 ] Nombre de facettes

1 657

318

5.7 { Volume estime des modeles informatiques de l'Auditorium du PTB. Nombre de facettes par modele. Tab.

5.4 Les Round

Robin for Room Acoustical Computer Simulations

113

R5 R4

R3 R2 S1

R1 S2

S2

S1

R1 R2 R5 R4

R3

R3

S2

R2 R1 S1

R5

R4

5.11 { Vues en perspectives, laterales et en plan du modele informatique de l'auditorium du PTB. Positions de la source (S) et du recepteur (R).

Fig.

Organisation du projet Chaque participant a recu une vue de plan et une vue longitudinale de la salle a une echelle de 1=100e. Les plans etaient accompagnes de 6 photos montrant des details divers des sieges, murs et plafond. Des descriptions verbales de certains materiaux ainsi que des precisions concernant le positionnement des sources et des recepteurs completaient les renseignements de base donnes aux participants. A partir de ces informations, chacun devait construire son propre modele de salle et attribuer des proprietes acoustiques aux parois en fonction des donnees disponibles. Les modeles informatiques ainsi construits etaient ressemblants mais non identiques. Il fallait ensuite calculer les indices acoustiques du tableau (5.8) uniquement pour l'octave centree autour de 1 kHz. La determination de ces parametres devait se faire en deux etapes : a. Suivant les descriptions verbales et les photos ; b. en se basant sur les donnees acoustiques estimees a partir des mesures in situ eectuees

114

Chapitre 5 : La base des donnees de validation par 7 equipes. Les coeÆcients d'absorption () correspondent soit a des calculs faits en chambre reverberante, soit mesures in situ. Les coeÆcients de diusion (d), de nis comme la fraction d'energie re echie de facon non-speculaire par rapport a l'energie totale, ont ete estimes par les organisateurs a partir de leur propre experience. Les valeurs de ces coeÆcients sont exposees dans un tableau a l'annexe B.

Indice a / unite T30 / [S] EDT10 / [S] D50 / [%] C80 / [dB] TS / [S] G / [dB] LF / [%] LFC / [%]

Nom

Seuil

Temps de Reverberation Early Decay Time De nition ou Deutlichkeit Clarte Temps central Force sonore ou Loudness Fraction d'energie laterale ponderee en cos2 Fraction d'energie laterale ponderee en cos

5% 5% 5% 0; 5 dB 10 ms 1 dB 5% 5%

5.8 { Indices objectifs de quali cation acoustiques a calculer (d'apres la norme ISO/DIS 3382). Ordres de grandeur des seuils dierentiels de perception par indice (d'apres des experiences menees par Cox et al publiees dans [CDL93]). Tab.

a Pour

une de nition precise des indices, consulter le x1:2:1.

Apres chaque etape, les participants devaient envoyer leurs resultats aux organisateurs qui se sont charges du depouillement des donnees. A la n, chaque participant a recu ses propres resultats et ceux de tous les autres \concurrents" (de maniere anonyme). Nous verrons au chapitre 5 l'analyse de nos calculs et leur comparaison avec ceux des autres participants.

Methodologie d'evaluation proposee Mr Vorlander a propose une methodologie d'evaluation des resultats qui permet de noter les performances de chaque logiciel par un seul chire. Il s'agit de calculer tout d'abord la dierence entre les resultats des simulations et les resultats des mesures pour chaque couple source/recepteur (un total de 10 couples a ete mesure) et pour chaque indice calcule. Les dierences (par indice) sont ensuite moyennees et les resultats divises par la magnitude des seuils dierentiels de perception aectes a chaque indice (tableau 5.8). Ce procede a ete applique egalement aux mesures. Le chire resultant par indice et par participant est enregistre. Si la valeur de ce chire se trouve entre 0 et 1, on considere que la simulation de l'indice represente est bonne. Si le resultat tombe entre 1 et 2, on considere que la simulation est dans la limite de l'acceptable. Au-dela, la simulation n'a plus de valeur. On procede alors a la somme des indices estimes pour chaque intervalle. La \note" nale est obtenue en faisant la moyenne du nombre d'indices appartenant a chaque intervalle. La valeur de cette note est un chire entre 0 et 100 (une sorte de pourcentage de precision).

5.4 Les Round

Robin for Room Acoustical Computer Simulations

115

5.4.3 Deuxieme Round Robin des simulations informatiques (RRII) L'experience aquise lors du premier Round Robin a ete de grande utilite pour la conception de la campagne de validation suivante. Pour cette campagne, il a ete convenu de modi er certains points et notamment d'elargir le nombre de donnees a comparer, de maniere a mieux pro ter de cette deuxieme experience. Les nouveautes du deuxieme Round Robin par rapport au premier sont les suivantes : { Choisir une salle dont les conditions acoustiques dierent de la premiere ; { que la salle choisie n'ait pas ete l'objet d'une caracterisation acoustique par aucun des participants ; { proceder au calcul des indices acoustiques dans les 6 bandes d'octave centrees autour de : 63, 125, 250 et 500 Hz, 1, 2 et 4 kHz. { ajouter a la liste des indices a calculer, le coeÆcient de correlation interaural IACC80 3 (calcule entre un temps t1 = 0 ms et un temps t2 = 80 ms), considere par certains comme un parametre fondamental de description de la qualite acoustique. La structure generale de l'organisation du projet, quant a elle, a ete concue de maniere identique a celle du premier Round Robin. Cependant, les circonstances particulieres dans lesquelles le debut de l'experience s'est deroule, ont legerement modi e son contenu, comme nous aurons l'occasion de le voir dans les paragraphes suivants.

Salle et conditions de mesure La salle choisie est la salle des concerts d'ELMIA, dans la ville de Jonkoping, en Suede. Cette salle, dotee d'une capacite d'accueil de 1100 spectateurs, est equipee d'un ensemble de 40 panneaux acoustiques pivotants sur les murs lateraux, ainsi que d'elements mobiles au plafond permettant de modi er son acoustique. Pour le Round Robin, la con guration de concert, soit la con guration la plus re echissante, a ete retenue. La salle possede un parterre a deux niveaux avec des pentes legerement dierentes. La separation entre les sieges au premier et au deuxieme niveaux est de 1; 1 m et 0; 9 m respectivement. Elle est composee aussi de deux balcons qui longent les murs lateraux. Les parois et les nez des balcons sont fabriques en pl^atre de 9 mm recouvert d'une couche de bois. Les cavites a l'arriere sont remplies de laine minerale. Les murs de la scene et de la salle sont en beton recouvert d'une a deux couches de pl^atre de 13 mm selon l'emplacement. Les cavites arriere sont remplies de laine minerale. Certains des murs, specialement ceux entourant la scene, sont aussi recouverts d'une couche de bois. Un groupe de re ecteurs mobiles sur la scene complete l'ensemble. 2 positions d'une source omnidirectionnelle (S) ainsi que 6 positions du recepteur (R) ont ete etudiees. Les conditions atmospheriques de reference pour les mesures etaient identiques aux conditions precedentes: temperature de 20Æ , 50% d'humidite relative, et une pression atmospherique de 1000 hPa. Les caracteristiques generales de la salle sont rappelees au tableau (5.9) ci-dessous. 3. Une description de cet indice est detaillee au x 1:2:1.

116

Chapitre 5 : La base des donnees de validation Volume estime Nombre de TR 1kHz Positions Positions [m3 ] spectateurs [S ] source recepteur 10 700

1100

2; 175

2

6

5.9 { Tableau recapitulatif des principales caracteristiques de la salle test. Le temps de reverberation (TR) est la valeur moyenne mesuree sur les 12 couples source/recepteur par une des equipes. Est donne egalement le nombre de positions de la source omnidirectionnelle et du recepteur. Tab.

Organisation du projet 20 plans d'architecte a une echelle de 1=100e ainsi qu'une dizaine de photos ont ete envoyes a chaque participant. Des descriptions verbales des materiaux constituant la salle ont egalement ete fournies. Puisque les plans fournis etaient en suedois, sur reclamation des equipes, les organisateurs ont d^u ajouter une liste de \mots-cles" traduits en anglais. Comme nous l'avons deja dit, le deuxieme Round Robin etait programme de facon identique au premier : calcul des parametres acoustiques a partir des descriptions verbales des materiaux et reprise des calculs avec donnees mesurees. Lorsque nous etions dans la phase de construction du modele, un des participants a propose de \pr^eter" le modele informatique qu'il avait realise avec Autocaad (en format DXF) aux autres participants pour que les simulations soient faites sur le m^eme modele. Une etape intermediaire a donc ete ajoutee a cette experience. Il a fallu alors adapter la geometrie du nouveau modele a nos algorithmes de simulation, et corriger certaines erreurs du modele d'origine. L'organisation du projet s'est donc modi ee comme suit : a. Determination des parametres acoustiques de nis au tableau (5.8) plus le IACC80 avec le modele construit par nous-m^emes (modele \IRCAM") a l'aide des descriptions verbales et des photos ; b. idem mais en utilisant le modele DXF ; c. Calcul des parametres a l'aide des coeÆcients d'absorption () et de diusion (d) fournis par les organisateurs pour les deux modeles informatiques. Les valeurs de ces coeÆcients sont donnees a l'annexe B. Le tableau (5.10) montre les donnees geometriques generales des deux modeles informatiques employes lors de la campagne de simulation. Les gures (5.12 et 5.13) illustrent successivement deux vues internes de la salle et des deux modeles informatiques. La gure (5.14) est une vue de plan montrant le positionnement des sources et des recepteurs pour cette experience.

Modele Volume estime Simulations 3 [m ] Nombre de facettes IRCAM 10 846 744 DXF 10 120 571 5.10 { Volume estime des modeles informatiques de la salle des concerts de ELMIA. Nombre de facettes par modele. Tab.

5.4 Les Round

Robin for Room Acoustical Computer Simulations

117

a)

R2 S1

S2

R1

5.12 { Vue interne, du fond de la salle vers la scene, de la salle des concerts ELMIA, a Jonkoping, et des deux modeles informatiques concus respectivement par nos soins et par un des participants a l'aide d'Autocaad. Vue partielle du positionnement des transducteurs. Le rideau que l'on apercoit au fond de la scene a ete plie pour cette experience.

Fig.

118

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

5.13 { Vue interne, de la scene vers la fond de la salle des concerts ELMIA, a Jonkoping, et des deux modeles informatiques concus respectivement par nos soins et par un des participants a l'aide de Autocaad. Fig.

5.4 Les Round

Robin for Room Acoustical Computer Simulations

119

S2 S1 R2 R1 R3

R5

R4

R6 5.14 { Vue en plan du modele informatique \Ircam" de la salle Elmia. On montre la distribution spatiale des deux sources (S1 et S2) et des six recepteurs (R1-R6). Les recepteurs R2 et R5 se trouvent sur le balcon. Fig.

Methodologie d'evaluation Il n'y a pour l'instant pas de methodologie speci que d'evaluation. Nous avons recu il y a quelques mois les resultats globaux et par participant des diverses etapes de ce Round Robin. Jusqu'a present, la base des donnees de mesures de la salle est encore incomplete car seule une equipe a pu se deplacer pour faire des mesures. Le calcul des parametres acoustiques issus de ces mesures a ete con e a trois equipes (les organisateurs, une equipe participante et nous-m^emes). Actuellement, les organisateurs ne nous ont pas encore rendu de conclusions ou d'analyses sur les resutats des simulations. Recemment, lors du congres conjoint de JASA et de la European Acoustics Association, Mr Ingolf Bork a fait une presentation generale de cette campagne ainsi qu'une premiere analyse des resultats d'un des couples source/recepteur essayes ([Bor99]).

120

Chapitre 5 : La base des donnees de validation

Validation d'un environnement de simulation informatique

121

Chapitre 6

Validation d'un environnement de simulation informatique Ce chapitre presente l'ensemble des etapes de validation de notre environnement de simulation informatique d'acoustique des salles, qui ont ete menees a partir des dierents elements qui composent la base de donnees exposee au chapitre 5. Il s'organise en dierentes phases reprenant chacune les aspects de la simulation que l'on cherche a etudier. Pour chaque etape, nous nous appuyons sur plusieurs elements de la base des donnees dont la richesse des composantes permet d'apprehender tant les aspects externes conditionnant la qualite d'une simulation, que la coherence et la complementarite des dierents modules qui constituent l'environnement de simulation. A partir de la, nous pouvons de nir le domaine de validite de ces modules, leurs points faibles, les con gurations les plus eÆcaces. Le cas echeant, les observations des resultats nous conduisent a entreprendre des modi cations des noyaux de calcul pour pallier les defauts. Avant de les exposer en detail, nous commencons par un bref descriptif de chacune des etapes de validation retenues.

6.1 Principales phases de validation Reglage du modele. Il s'agit ici du reglage des donnees d'entree indispensables a la simu-

lation. Nous parlons notamment de la saisie geometrique des salles et de l'importance d'une caracterisation correcte des proprietes acoustiques des surfaces. La methode de mesure des coeÆcients acoustiques exposee au x4.5.3, para^t delicate a exploiter in situ car ses conditions d'application sont rarement respectees. Une procedure alternative d'estimation des coeÆcients acoustiques des surfaces a partir des reponses impulsionnelles mesurees dans la salle a donc ete mise en place.

Evaluation du volume et du temps de reverberation. Cette etape est consacree a

l'etude de l'in uence des donnees d'entree geometriques dans le calcul du volume d'un modele, l'in uence du volume sur le niveau et la duree de reverberation faisant de ce parametre une donnee d'entree essentielle. Notre environnement de simulation etant compose de deux programmes (DIFFUS et RAYFRAC) bases sur des hypotheses de propagation dierentes, il nous a paru interessant de regarder la coherence entre le parametre de volume reel du modele, et celui eectivement \explore" par les dierents algorithmes qui gerent la propagation acoustique dans nos noyaux de calcul. Nous terminons l'etude du volume par un exemple d'estimation de

122

Chapitre 6 : Validation d'un environnement de simulation informatique

deux espaces couples. En conclusion nous verrons que l'evaluation du temps de reverberation est etroitement liee a l'interpretation, par les programmes de simulation, des aspects geometriques du modele informatique explore.

Analyse parametrique. La campagne de mesures des salles europeennes (cf. x5.3) constitue

l'essentiel de la base de donnees de validation des performances de notre environnement de simulation. Nous avons decide de conduire cette evaluation en considerant une a une dierentes sections temporelles de l'echogramme livre, pour chaque recepteur, par le programme de simulation. Ce choix est justi e par la possibilite de decrire la majeure partie des indices perceptifs de la qualite acoustique des salles a partir d'une description simpli ee de la distribution energetique de la reponse. Cette description se traduit par un decoupage temporel en quatre sections : OD, R1, R2, R3 et R4, dont les limites temporelles sont indiquees au tableau (2.1). Dans un premier temps, nous etudions la qualite de la modelisation d'une source directive en fonction de la frequence et de l'estimation du son direct. Nous ressortons ses atouts et ses faiblesses contre lesquels nous proposons quelques solutions. Nous presentons egalement une methode de prise en compte de la diraction par masquage de l'onde directe, et une methode de correction de l'exces d'attenuation du son se propageant sous incidence rasante dans les basses frequences. Dans un second temps, une etude est consacree a l'estimation du niveau et de la distribution spatiale de l'energie reverberee tardive, ou l'on teste notamment les capacites du modele de Markov pour predire la distribution spatiale de l'energie tardive dans les salles.

Evaluation des indices acoustiques monoauraux. L'evaluation d'un ensemble d'indices

de caracterisation acoustique des salles, dans le cadre des Round Robins, a comme objet principal de valider les performances de nos noyaux de calcul vis-a-vis des parametres acoustiques lies a l'estimation des re exions precoces. Les caracteristiques particulieres qui ont entoure les experiences des Round Robins nous apportent des informations sur les limites des methodes de l'acoustique previsionnelle dans des cas pratiques d'application.

Indices acoustiques lies a la spatialisation. Cette section est consacree a la prediction

des indices acoustiques lies a la perception de l'impression d'espace. Leur importance dans la caracterisation globale de l'eet de salle et leur utilite pour la realisation des simulations auditives realistes (auralisations) ont motive l'implantation, dans notre environnement de simulation, d'une methode simple d'obtention de ces informations spatiales.

6.2 Reglage du modele

123

6.2 Reglage du modele 6.2.1 CoeÆcients acoustiques des parois Objectif L'objectif de l'etude est d'etudier les performances de notre systeme de simulation. Au cours du travail comparatif entre valeurs mesurees des dierents indices acoustiques et valeurs estimees par le modele, nous serons amenes a rechercher l'origine des dierences observees. Celles-ci peuvent ^etre imputables, soit aux modeles, soit au non respect de leur domaine de validite, soit egalement aux donnees d'entree. Cependant nous souhaitons centrer l'analyse sur l'evaluation des performances des modeles physiques. Il convient donc de s'assurer, autant que possible, de l'exactitude des donnees d'entree. Les sources d'erreur peuvent relever de la geometrie (non respect du volume de la salle ou discretisation sommaire), ou de la caracteristation acoustique des parois (coeÆcients d'absorption et de diusion). Nous avons vu egalement au x4.5 que la notion de donnee d'entree n'est cependant pas independante du modele choisi. Si l'on considere la formulation de Sabine, qui etablit une relation entre un indice objectif de la qualite aoustique (temps de reverberation) et certaines grandeurs geometriques (volume) et acoustiques (quantite d'absorption), on s'apercoit qu'elle implique un mode particulier de caracterisation du coeÆcient d'absorption des parois. Aussi, l'exploitation d'un coeÆcient d'absorption mesure en chambre reverberante n'est legitime que dans le cadre de l'utilisation du modele predictif de Temps de reverberation de Sabine et du respect de ses hypotheses de calcul. La validite de ce modele ne peut donc ^etre etablie qu'en analysant sa coherence, par exemple en veri ant experimentalement les notions de proportionalite inscrites dans la formulation. Dans ce paragraphe nous nous inspirons de ce principe en tentant de retrouver les coeÆcients caracteristiques des materiaux a partir des reponses impulsionnelles mesurees dans la salle. Cette demarche est complementaire de la methode de mesure presentee dans le paragraphe 4.5.3 et en palie certains inconvenients pratiques. En eet, il a ete observe que cette methode de mesure requiert des dimensions minimales pour s'aranchir des contributions des parois voisines. Pour des raisons evidentes, ces conditions ne pouvaient se trouver respectees dans les salles constituant la base de donnees. Par exemple, si l'on desire evaluer le coeÆcient d'absorption du materiau constituant le dessous d'un balcon, il sera diÆcile d'isoler dans la reponse impulsionnelle les contributions de cette paroi de celles immediatement voisines (fond de balcon ou sieges situes en vis-a-vis). La methode exposee dans le paragraphe suivant tente de contourner cette diÆculte en eectuant une estimation des caracteristiques acoustiques des parois a partir de l'observation d'un ensemble de reponses impulsionnelles mesurees dans la salle.

Principe La methode appliquee pour caler les parametres d'entree des dierents modeles de salle est issue des travaux sur l'inversion des modeles de prediction presentes notamment dans ([War95]). Nous en rappelons ci-dessous le principe. L'idee est de s'appuyer sur un modele inverse permettant d'estimer les parametres architecturaux repondant de maniere optimale a un objectif donne sous forme de valeurs d'indices acoustiques pour dierentes positions de recepteurs. Ce travail appelle deux remarques prealables : { Dans la formule de Sabine les parametres architecturaux (volume et absorption moyenne) sont relies a l'indice acoustique (temps de reverberation) par une fonction analytique inversible. Cette fonction peut donc ^etre utilisee soit sous forme de predicteur du temps de

124

Chapitre 6 : Validation d'un environnement de simulation informatique reverberation soit sous forme de determination d'une grandeur architecturale pour respecter un cahier des charges acoustiques donne. En revanche, les modeles geometriques de l'acoustique des salles reposent sur une construction iterative de la reponse de la salle et ne livrent pas de formulation analytique reliant directement les grandeurs geometriques et acoustiques. { Par ailleurs, une inversion globale du probleme est illusoire puisqu'elle signi erait tenter de \reconstruire" la salle a partir de la seule donnee d'un cahier des charges acoustique. En revanche, il est envisageable de mener une optimisation, sous contrainte, d'un sous-ensemble de parametres architecturaux. Dans notre cas, il s'agit, apres avoir xe la geometrie de la salle, d'estimer les caracteristiques acoustiques des parois a n d'approcher un jeu d'indices acoustiques mesures sur un ensemble de points recepteurs.

L'idee est de construire, a partir de l'observation du modele, une formulation analytique approchee reliant un jeu d'indices acoustiques et les coeÆcients d'absorption et de diusion des parois soumises au travail d'optimisation. Le choix de ces indices acoustiques est, d'une part, la distribution precoce de l'energie observee sur un nombre limite de recepteurs et, d'autre part, le temps de reverberation. La formulation candidate pour le temps de reverberation est celle de Sabine. Celle-ci gere l'estimation de la quantite d'absorpion globale. L'analyse de la distribution precoce de l'energie doit permettre, quant a elle, d'acceder a la distribution des materiaux dans la salle puisque les sections temporelles precoces sont composees de re exions discretes qui ne font intervenir, pour chaque recepteur, qu'un nombre limite de surfaces.

Formulation analytique approchee. On considere un ensemble de recepteurs repartis dans la salle. Les variables d'observations sont les quantites d'energie cumulees dans plusieurs sections temporelles precoces de l'echogramme et recueillies a chaque recepteur. Ces sections peuvent ^etre de nies arbitrairement. Dans notre cas, nous avons considere les trois plages temporelles [0; 20]; [20; 40]; [40; 80] ms. La formulation analytique reliant ces variables acoustiques aux caracteristiques acoustiques des materiaux est construite a partir de l'observation des re exions speculaires d'ordre inferieur ou egal a 3 et des re exions diuses d'ordre 1. L'equation 6.1 decrit, pour un recepteur r et une section temporelle k, l'energie estimee Eestrk comme la somme des I , DII et DIII correspondant, respectivement, aux re exions d'ordre 1,2 et 3 et contributions Drk rk rk d'un terme residuel Rrk regroupant toutes les contributions speculaires d'ordre superieur et les contributions diuses d'ordre superieur a 1 (celles qui sont engendrees par le modele Markovien direct comme expose au x4.4.4). I + DII + DIII + R Eestrk = Drk rk rk rk

(6.1)

III est la somme des contributions elementaires E spec qui ont ete Par exemple, le terme Drk rklmn re echies speculairement par un triplet ordonne [l; m; n] de materiaux et de contribution diuse diff emise par la derniere surface n du triplet (equation 6.2). Les energies E spec et d'ordre 1 Erklmn rklmn diff designent l'energie cumulee des c^ones ayant subi chacun, initialement, une attenuation Erklmn liee a la fonction de directivite selon leur direction d'emission speci que et ayant frappe le triplet de materiaux [l; m; n]. Il convient de preciser la distinction entre triplet de materiaux et triplet de parois : les coeÆcients  et Æ ne dependant pas, dans notre modele, des conditions de

6.2 Reglage du modele

125

re exion (angle d'incidence), nous pouvons regrouper toutes les parois de la salle constituees d'un m^eme materiau. III = Drk

X

lmn

spec (1  )(1 Æ )(1  )(1 Æ )(1  )(1 Æ ) + [ Erklmn l l m m n n diff (1  )(1 Æ )(1  )(1 Æ )(1  )(Æ ) Erklmn l l m m n n

i

(6.2)

I et DII , se decrivent de maniere identique en reduisant les triplets Les termes d'ordre 1 et 2, Drk rk de materiaux [l; m; n] respectivement, a des materiaux isoles l ou a des couples de materiaux [l; m].

Munis de cette formulation analytique, nous introduisons une fonction d'erreur J entre les variables observees Eobjrk et les energies estimees Eestrk . Comme indique dans l'equation 6.3, l'erreur J peut egalement faire intervenir un jeu de ponderations wrk pour les dierents recepteurs et sections temporelles ainsi qu'un terme lie a la quantite totale d'absorption.

J=

X

rk

[wrk (Eobsrk

Eestrk )2 ] + wT R (T Robs

0:16 V 2 ) m Sm m

P

(6.3)

Les coeÆcients caracteristiques des materiaux sont optimises par une methode classique de gradient pour minimiser la fonction d'erreur J . Le processus general d'optimisation suit la logique suivante : 1. Execution du programme de prediction - Estimation des energies Eestrk 2. Construction de la formulation analytique et de la fonction d'erreur 3. Optimisation des  et Æ par methode de gradient L'ensemble des etapes 1 a 3 est repete regulierement a n de veri er la consistance de la formulation analytique, ce jusqu'a convergence .

Utilisation pratique Dans l'article ([War95]) un exemple est donne, a titre de validation, dans lequel les coeÆcients  et Æ sont initialises a une valeur commune a tous les materiaux. Apres quelques iterations, les coeÆcients d'absorption et de diusion convergent vers des valeurs conformes aux materiaux reels de la salle. Cet exemple symbolise une situation extr^eme ou l'utilisateur n'a aucune idee preconcue sur les caracteristiques des materiaux de la salle. Cependant, nous ne pouvons ^etre assures de converger toujours vers des valeurs realistes. La diÆculte majeure de cette methode tient, en eet, a l'utilisation de la methode du gradient pour conduire l'etape de minimisation de la fonction d'erreur J . Cette fonction presente un ensemble de minima locaux et l'on n'est pas assure de converger vers la meilleure solution. L'integration du terme lie a l'absorption totale ainsi que la remise a jour reguliere de la formulation analytique permettent, en partie seulement, de restreindre la zone de convergence. Aussi, pour le calage des modeles de la base de donnees, l'algorithme d'optimisation a toujours necessite une intervention de l'utilisateur, a n de contraindre les coeÆcients a evoluer dans des

126

Chapitre 6 : Validation d'un environnement de simulation informatique

plages realistes. Dans le cadre de notre etude, l'utilisation de cette methode est restreinte a la determination des coeÆcients des materiaux absents de la litterature (notamment les coeÆcients de diusion) ou pour lesquels la mise en oeuvre particuliere peut conduire a des ecarts par rapport aux valeurs indicatives trouvees dans les bases de donnees. En n, certaines surfaces aux geometries complexes (corages, diuseurs) ont ete representees, dans le modele, par des surfaces planes equivalentes. Celles-ci doivent ^etre dotees d'un coeÆcient de diusion permettant de s'ecarter de l'hypothese de re exion speculaire.

6.2.2 Evaluation du Volume Le volume d'une salle est un parametre essentiel dans son comportement acoustique, car il a une incidence sur la duree et sur le niveau de la reverberation. Aussi, il est important, lorsque l'on eectue des simulations de l'acoustique d'une salle, d'estimer precisement l'erreur sur le volume du modele. Nous pouvons distinguer deux niveaux d'erreur : { La dierence entre le volume reel de la salle et celui du modele, { la maniere dont l'algorithme de propagation \explore" le volume du modele informatique. Nous parlons, dans ce dernier cas, du volume explore par l'algorithme de simulation, par opposition au volume vrai, geometrique. Bien que la comparaison avec le volume reel de la salle soit importante dans le cadre de la confrontation entre indices acoustiques estimes et mesures, cette comparaison est delicate car la valeur reelle n'est connue le plus souvent qu'approximativement. Pour cette raison, il nous para^t plus interessant d'evaluer la coherence entre le volume eectif du modele et celui sous-jacent a la representation algorithmique de la propagation acoustique. Dans notre cas, cette evaluation est d'autant plus importante que le programme de simulation est constitue de deux noyaux de calcul reposant sur une conduite de la propagation dierente. Bien que les coeÆcients de diusion aectes aux parois realisent une transition continue et progressive entre les deux noyaux, cette continuite apparente peut masquer des dierences notables. Nous commencons par exposer la methode de calcul du volume geometrique eectif du modele, puis les parametres qui permettent d'estimer le volume explore par les deux noyaux de calcul.

Calcul du volume vrai La methode de calcul du volume consiste, dans un premier temps, a inscrire le modele a l'interieur d'un parallelepipede. Ce parallelepipede est graduellement parcouru par des tubes de section carree et de c^ote Æ en reperant les lieux ou ce tube entre dans la salle ou en sort (cette methode s'apparente au remplissage d'une maquette par du sable). Les sources d'erreur etant limitees aux frontieres (tube partiellement a l'interieur) nous pouvons evaluer la tolerance sur le volume estime, ou encore, choisir la section des tubes en fonction de la precision p souhaitee :

 Æ  100 V ou S represente la surface exterieure du parallelepipede circonscrit. p(%)