Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Comment concevoir un circuit de train miniature qui se reboucle toujours bien ? – Deux questions d’algèbre et de dénombrement Séminaire de la MMI Jérôme Bastien Centre de Recherche et d’Innovation sur le Sport – Université Lyon I
25 Mars 2015
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Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1
Problématique
2
Construction des pièces du circuit
3
Autres systèmes possibles ?
4
Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
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Résumé
Comment réaliser sans plan et au hasard, un circuit pour véhicule miniature de façon que les boucles se referment toujours parfaitement, sans heurt ni torsion des rails ? Une solution géométrique simple sera proposée, grâce à l’utilisation de six pièces de base, qui permettent de créer des circuits totalement modulables et extensibles à volonté. Cela sera d’abord l’occasion d’évoquer des questions, pour l’instant partiellement résolues (sur la systématisation algébrique des formes de rails, s’appuyant sur les groupes d’isométrie du polygone choisi, et sur la description exhaustive des circuits réalisables) mais aussi de jouer réellement sur le prototype d’un circuit !
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Sommaire
1
Problématique
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Construction des pièces du circuit
3
Autres systèmes possibles ?
4
Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
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Consignes
À partir des rails prototypes (cinq exemplaires par type de pièces, soit trente pièces en tout), réaliser au hasard une boucle avec les deux seules consignes suivantes : Le circuit doit se refermer ; Unique règle de connexion : les extrémités de deux rails contigus doivent être du même type (absence ou présence simultanée de pastille de couleur).
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Travail de « contre-facteur » !
Essayer de déterminer la nature géométrique des pièces et la règle d’assemblage. Explication du rôle des pastilles jaunes ? Pourquoi une des pièces est-elle dédoublée ?
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Brevet délivré
J. Bastien. “Circuit apte à guider un véhicule miniature”. Brevet FR2990627. Université Lyon I. Brevet publié sur le site de l’INPI http://bases-brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p=6&s=14 23127185056&cHash=cfbc2dad6e2e39808596f86b89117583
Voir aussi
[pct]. 15 mai 2012
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Le «Vario system»
Voir http://www.woodenrailway.info/track/trackmath.html
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Le «Vario system» « Note how the photograph from the BRIO 1996 catalog shows a perfect fit » :
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Le «Vario system» « But when you actually lay this track out usinng a CAD system, you get a much different story. The track doesn’t meet, and it’s also not aligned with the center of the viaduct. The Vario System is what makes this layout possible. » :
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Un exemple de plan de train existant
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Un exemple de circuit réalisé (A)
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Le plan associé (A) p1: 3, p2: 4, p3: 1, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3 5(b)
1
5
3
4
5
2
1
5(b)
5(b)
2 4
1
2
5
2
4
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Un exemple de circuit réalisé (B)
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Le plan associé (B) p1: 4, p2: 5, p3: 4, p4: 2, p5: 5, p5(b): 5 2
1
1
5(b)
2
2
5
4
3
3
5
3
5(b)
4
5
1
5(b)
5(b)
3
5
5
2
5(b)
1
2
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Un exemple de circuit réalisé (C)
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Le plan associé (C) 4p1: 1, p2: 2, p3: 3, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
5
2
3
5(b)
3
4
5(b)
4
5
3
5(b)
5
1
2
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Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage qui : permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à partir du même ensemble de pièces, utilise un minimum de pièces de guidage différentes, garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le circuit sur lui-même. Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits de petites voitures ou similaires.
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Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage qui : permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à partir du même ensemble de pièces, utilise un minimum de pièces de guidage différentes, garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le circuit sur lui-même. Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits de petites voitures ou similaires.
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Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage qui : permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à partir du même ensemble de pièces, utilise un minimum de pièces de guidage différentes, garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le circuit sur lui-même. Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits de petites voitures ou similaires.
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Ce que permet le brevet
L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage qui : permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à partir du même ensemble de pièces, utilise un minimum de pièces de guidage différentes, garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le circuit sur lui-même. Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits de petites voitures ou similaires.
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Six types de rails
Deux rails droits ; Deux rails circulaires ; Deux rails non symétriques, donc non circulaires !
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Sommaire
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Problématique
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Construction des pièces du circuit
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Autres systèmes possibles ?
4
Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
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Idées de base forme 5
On se concentre sur la trajectoire décrite par la locomotive par exemple, soit encore sur la ligne médiane, tracée en pointillé sur la figure. 21/80
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Idées de base
On cherche à inscrire chacune de ces courbes dans une forme simple qui permette de paver le plan ; De plus, il est nécessaire qu’une fois le pavage réalisé, la courbe construite soit de classe C 1 .
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Idées de base
On cherche à inscrire chacune de ces courbes dans une forme simple qui permette de paver le plan ; De plus, il est nécessaire qu’une fois le pavage réalisé, la courbe construite soit de classe C 1 .
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Pourquoi C 1 ?
La ligne médiane est C 1 ce qui assure la continuité de la vitesse du véhicule empruntant le circuit. Mais aussi, les bords des rails sont perpendiculaires à cette ligne médiane, donc parallèles entre eux, ce qui assure l’encastrement parfait de deux rails contigus !
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Pourquoi C 1 ?
Raccord 5−4
Exemple de bon raccord. 24/80
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Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés
Si on représente le carré de base et ses huit voisins, huit points particuliers apparaissent : les quatre sommets du carrés et les quatre milieux de cotés. 25/80
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Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés
On imposera donc à chaque portion de la trajectoire : d’être contenue dans le carré, de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B, d’être tangente en A et en B aux droites reliant respectivement le centre du carré aux points A et B.
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Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés
On imposera donc à chaque portion de la trajectoire : d’être contenue dans le carré, de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B, d’être tangente en A et en B aux droites reliant respectivement le centre du carré aux points A et B.
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Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés
On imposera donc à chaque portion de la trajectoire : d’être contenue dans le carré, de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B, d’être tangente en A et en B aux droites reliant respectivement le centre du carré aux points A et B.
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Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés
Si on représente le carré de base et ses huit voisins, huit points particuliers apparaissent : les quatre sommets du carrés et les quatre milieux de cotés.
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Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés
Deux exemples de courbe Ainsi, si une boucle est refermée, la trajectoire est assurée d’être continue et dérivable au premier et dernier point et l’encastrement est donc parfait ! 27/80
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Nombre de courbes nécessaires
Chacun des huits points (sommets ou milieux) doit être relié une fois seulement aux autres ! Donc, il faut C82 = 28 courbes, ce qui est beaucoup trop élevé si elles sont toutes différentes. Si on enlève les 8 trajets reliant chaque point à son voisin immédiat, il ne faut plus que 28 − 8 = 20 courbes.
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Nombre de courbes nécessaires
Chacun des huits points (sommets ou milieux) doit être relié une fois seulement aux autres ! Donc, il faut C82 = 28 courbes, ce qui est beaucoup trop élevé si elles sont toutes différentes. Si on enlève les 8 trajets reliant chaque point à son voisin immédiat, il ne faut plus que 28 − 8 = 20 courbes.
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Six courbes quelconques
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Les six courbes choisies
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Les six courbes choisies
Deux segments de droites ; Deux quarts de cercles ; Deux autres courbes, définies par deux points et deux tangentes, qui ne sont pas du type précédent (puisque √ 2 6∈ Q !).
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Construction des pièces 5 et 6 (Hermite)
On utilise la théorie de l’interpolation d’Hermite : on cherche deux fonctions polynômiales de degré 3, x et y définies sur [0, 1] par leurs valeurs et dérivées au bord : x(0), x 0 (0), x(1) et x 0 (1) (idem en y ).
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Construction des pièces 5 et 6 (Hermite)
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de voiture ; Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ; Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez tout le temps ! Plus de détails sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013.
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de voiture ; Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ; Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez tout le temps ! Plus de détails sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013.
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de voiture ; Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ; Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez tout le temps ! Plus de détails sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013.
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de voiture ; Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ; Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez tout le temps ! Plus de détails sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013.
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Courbes de Bézier définie par n + 1 points de contrôle du plan, P0 à Pn . (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin. −−−→ −−−−→ P0 P1 est tangent à la courbe en P0 et Pn−1 Pn est tangent à la courbe en Pn . Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi .
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Courbes de Bézier définie par n + 1 points de contrôle du plan, P0 à Pn . (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin. −−−→ −−−−→ P0 P1 est tangent à la courbe en P0 et Pn−1 Pn est tangent à la courbe en Pn . Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi .
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier)
Courbes de Bézier définie par n + 1 points de contrôle du plan, P0 à Pn . (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin. −−−→ −−−−→ P0 P1 est tangent à la courbe en P0 et Pn−1 Pn est tangent à la courbe en Pn . Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi .
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Exemple de Courbes de Bézier pour une lettre Le « J » Cyrillique (Merci à Matthieu Cortat, www.nonpareille.net, Musée de l’imprimerie, Lyon)
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Construction des pièces 5 et 6 (Bézier) P2
P1
P1
P0
P0
P2
Courbe de Bézier d’ordre n = 2, définie par trois points de contrôle P0 , P1 et P2 , passant par P0 et P2 , dont les dérivées en ces points −−−→ −−−→ sont portées par P0 P1 et P1 P2 . 37/80
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Construction des pièces 5 et 6 (Parabole)
En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et égales à une parabole. Il existe une unique parabole, définie par deux points et deux droites tangentes (aux points donnés). Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997. passer la construction
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Construction des pièces 5 et 6 (Parabole)
En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et égales à une parabole. Il existe une unique parabole, définie par deux points et deux droites tangentes (aux points donnés). Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997. passer la construction
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Construction des pièces 5 et 6 (Parabole)
En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et égales à une parabole. Il existe une unique parabole, définie par deux points et deux droites tangentes (aux points donnés). Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997. passer la construction
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Construction de la parabole Rappels de la définition et tangente
P
La parabole de foyer F et de directrice D est l’ensemble des points M tels que MH = MF .
∆
Tout rayon perpendiculaire à la directrice passe par le foyer, après « réflexion ».
M
D
F H
La tangente ∆ à la parabole en M est la médiatrice de [FH].
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Construction de la parabole Rappels de la définition et tangente
P
La parabole de foyer F et de directrice D est l’ensemble des points M tels que MH = MF .
∆
Tout rayon perpendiculaire à la directrice passe par le foyer, après « réflexion ».
M
D
F H
La tangente ∆ à la parabole en M est la médiatrice de [FH].
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Construction de la parabole Rappels de la définition et tangente
P
La parabole de foyer F et de directrice D est l’ensemble des points M tels que MH = MF .
∆
Tout rayon perpendiculaire à la directrice passe par le foyer, après « réflexion ».
M
D
F H
La tangente ∆ à la parabole en M est la médiatrice de [FH].
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
∆1 et ∆2 sécantes. ∆
α
∆1 (resp. ∆2 ) est la médiatrice de [FF1 ] (resp. [FF2 ]).
1
=⇒
O
F
A
F1 = s∆1 (F ),
2α
F2 = s∆2 (F ),
P
F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1 ) = r(O,2α) (F1 ). F1
F
2
D 40/80
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
∆1 et ∆2 sécantes. ∆
α
∆1 (resp. ∆2 ) est la médiatrice de [FF1 ] (resp. [FF2 ]).
1
=⇒
O
F
A
F1 = s∆1 (F ),
2α
F2 = s∆2 (F ),
P
F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1 ) = r(O,2α) (F1 ). F1
F
2
D 40/80
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
∆1 et ∆2 sécantes. ∆
α
∆1 (resp. ∆2 ) est la médiatrice de [FF1 ] (resp. [FF2 ]).
1
=⇒
O
F
A
F1 = s∆1 (F ),
2α
F2 = s∆2 (F ),
P
F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1 ) = r(O,2α) (F1 ). F1
F
2
D 40/80
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
Soit I = m([AB]). I
∆
α
(OI ) parallèle à (AF1 ). 1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,−α) ((OI )).
O F
A
−α α
F = s∆1 (F1 ), unique.
P
D = (F1 F2 ), unique. F1
F
2
D 41/80
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
Soit I = m([AB]). I
∆
α
(OI ) parallèle à (AF1 ). 1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,−α) ((OI )).
O F
A
−α α
F = s∆1 (F1 ), unique.
P
D = (F1 F2 ), unique. F1
F
2
D 41/80
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
Soit I = m([AB]). I
∆
α
(OI ) parallèle à (AF1 ). 1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,−α) ((OI )).
O F
A
−α α
F = s∆1 (F1 ), unique.
P
D = (F1 F2 ), unique. F1
F
2
D 41/80
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
Soit I = m([AB]). I
∆
α
(OI ) parallèle à (AF1 ). 1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,−α) ((OI )).
O F
A
−α α
F = s∆1 (F1 ), unique.
P
D = (F1 F2 ), unique. F1
F
2
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Construction de la parabole Condition nécessaire
∆
B
2
Soit I = m([AB]). I
∆
α
(OI ) parallèle à (AF1 ). 1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,−α) ((OI )).
O F
A
−α α
F = s∆1 (F1 ), unique.
P
D = (F1 F2 ), unique. F1
F
2
D 41/80
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Construction de la parabole Condition suffisante
B
∆
∆
2
1
Soient A, B et ∆1 , ∆2 , sécantes. A
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Construction de la parabole Condition suffisante
B
I
α
O
∆
∆
2
1
Soient O = ∆1 ∩ ∆2 , \ I = m([AB]) et α = ∆ 1 , ∆2 .
A
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Construction de la parabole Condition suffisante
B
I
α
O A
F1
∆
∆
2
1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,−α) ((OI )).
−α
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Construction de la parabole Condition suffisante
B
I
α
∆
∆
2
1
F = s∆1 (F1 ) O F
A
F1
−α
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Construction de la parabole Condition suffisante
∆
B
I
∆
α
2
1
F2 = s∆2 (F ) O F
A
F1
−α
F
2
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Construction de la parabole Condition suffisante
∆
B
I
∆
α
D
A
F1
1
Soit D = (F1 F2 ). De plus (AF1 ) ⊥ D et (BF2 ) ⊥ D
O F
2
−α
F
2
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Construction de la parabole Condition suffisante
∆
B
I
∆
α
A
1
P est la parabole de foyer F et de directrice D.
O F
2
−α
P
D
F1
F
2
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Construction de la parabole (pièce 5)
∆
2
B α −α I
O
π α=− , 4 O = ∆1 ∩ ∆2 ,
I = m([AB])
A ∆ 1
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Construction de la parabole (pièce 5)
∆
2
B α −α I
O
F1
F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI ) passant par A et de ∆ = r(O,π/4) ((OI )).
A ∆ 1
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Construction de la parabole (pièce 5)
∆
2
B α −α
F1
F = s∆1 (F1 )
I
O
A ∆
F
1
43/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
∆
F
2
2
B α −α
F1
F2 = s∆2 (F )
I
O
A ∆
F
1
43/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 5)
D ∆
F
2
2
B α −α
P est la parabole de foyer F et de directrice D = (F1 F2 ).
I
O P
F1
A ∆
F
1
43/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction de la parabole (pièce 6)
O α
−α
F2
α=
π 4
F
1
F B A ∆
I 1
∆
2
revenir au début de la construction 44/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO Une propriété bien connue des Grecs (par Archimède, selon [Per]) est la suivante (voir [LH97, p. 351]) M’
N’
P
A
J
N
M
Soient PM et PM 0 deux tangentes. J = m([MM 0 ]), N = m([PM]), N 0 = m([PM 0 ]). Alors la droite (NN 0 ) est tangente à la parabole et son point de contact A est le mileu de [PJ] et de [NN 0 ]. 45/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO Une propriété bien connue des Grecs (par Archimède, selon [Per]) est la suivante (voir [LH97, p. 351]) M’
N’
P
A
J
N
M
Procédé itératif !
45/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau)
Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Bezier_quadratic_anim.gif, voir Bezier_quadratic_anim.gif Définition récurente (De Casteljau) : P11 (t) = (1 − t)P0 + tP1 , P21 (t) = (1 − t)P1 + tP2 , et P22 (t) = (1 − t)P11 + tP21 . Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) : ∀t ∈ [0, 1],
P(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t 2 P2 . 46/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau)
Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Bezier_quadratic_anim.gif, voir Bezier_quadratic_anim.gif Définition récurente (De Casteljau) : P11 (t) = (1 − t)P0 + tP1 , P21 (t) = (1 − t)P1 + tP2 , et P22 (t) = (1 − t)P11 + tP21 . Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) : ∀t ∈ [0, 1],
P(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t 2 P2 . 46/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau)
Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Bezier_quadratic_anim.gif, voir Bezier_quadratic_anim.gif Définition récurente (De Casteljau) : P11 (t) = (1 − t)P0 + tP1 , P21 (t) = (1 − t)P1 + tP2 , et P22 (t) = (1 − t)P11 + tP21 . Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) : ∀t ∈ [0, 1],
P(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t 2 P2 . 46/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO P2
1
P2
2
P2 P1
1
P1
P0
En particulier, pour t = 1/2, P11 est le milieu de [P0 P1 ],, P21 est le milieu de [P1 P2 ],, P22 est le milieu de [P11 P21 ],, et c’est la même propriété de la parabole ! 47/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Preuve complète de façon analytique, ou mieux, par densité ! Autrement dit, les Bézier de degré 2 sont les paraboles.
48/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les Grecs et la CAO
Preuve complète de façon analytique, ou mieux, par densité ! Autrement dit, les Bézier de degré 2 sont les paraboles.
48/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les isométries laissant invariant le carré
Le groupe d’isométries laissant invariant le carré ABCD est C = I, r , r 2 , r 3 , s∆1 , s∆2 , s(AC ) , s(BD) où ∆1 et ∆2 , sont les médiatrices respectives de [AB] et de [AD] et r est la rotation de centre O, le centre du carré et d’angle π/2. Engendré par{r , s∆2 }.
49/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Les isométries laissant invariant le carré
Le groupe d’isométries laissant invariant le carré ABCD est C = I, r , r 2 , r 3 , s∆1 , s∆2 , s(AC ) , s(BD) où ∆1 et ∆2 , sont les médiatrices respectives de [AB] et de [AD] et r est la rotation de centre O, le centre du carré et d’angle π/2. Engendré par{r , s∆2 }.
49/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ensemble des courbes retenues
passer les figures 50/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 1
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 1
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 2
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 2
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 2
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 2
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 3
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 3
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 4
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 4
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 4
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 4
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 5
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Images de ces courbes par les isométries pièce 6
51/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ensemble des courbes possibles
=⇒ 28 courbes possibles ! 52/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Ensemble des courbes possibles
En enlevant les 8 pièces 6, restent 28 − 8 = 20 courbes possibles ! revenir au début des figures
52/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ? Les courbes sont définies par deux points appartenant à l’ensemble des milieux et des sommets. Pour chacun de ces couples, les deux points peuvent être opposés ou adjacents. En reprenant la dénomination du texte du brevet, on a les possibilités suivantes : 1
deux milieux opposés ;
2
deux milieux adjacents ;
3
deux sommets opposés ;
4
deux sommets adjacents ;
5
un milieu et un sommet opposés ;
6
un milieu et un sommet adjacents.
53/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ? Les courbes sont définies par deux points appartenant à l’ensemble des milieux et des sommets. Pour chacun de ces couples, les deux points peuvent être opposés ou adjacents. En reprenant la dénomination du texte du brevet, on a les possibilités suivantes : 1
deux milieux opposés ;
2
deux milieux adjacents ;
3
deux sommets opposés ;
4
deux sommets adjacents ;
5
un milieu et un sommet opposés ;
6
un milieu et un sommet adjacents.
53/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ?
Ainsi, trois choix possibles des couples points (SS, SM, MM) et deux choix possibles pour leur lien (adjacent ou opposé), ce qui fait donc 3 × 2 = 6 possibilités totales. Généralisation ? Voir plus loin.
54/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Pourquoi six courbes a priori ?
Ainsi, trois choix possibles des couples points (SS, SM, MM) et deux choix possibles pour leur lien (adjacent ou opposé), ce qui fait donc 3 × 2 = 6 possibilités totales. Généralisation ? Voir plus loin.
54/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Construction des passages et des bords
forme 5
Une fois les six courbes construites, il faut définir les passages (des roues) et éventuellement les bords. 55/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Élaboration des modèles 3D (CA0)
Deux étudiants du département Génie Mécanique et Conception de l’INSA de Lyon ont ensuite élaboré les modèles 3D des pièces. 56/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Fabrication finale des prototypes
Enfin, les prototypes en bois (bois massif certifié PEFC à 100 %) ont été réalisés par l’entreprise AS’Bois à Saint-Julien sur Suran (Jura, http://www.as-bois.fr). 57/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan A p1: 3, p2: 4, p3: 1, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
5(b)
1
5
3
4
5
2
1
5(b)
5(b)
2 4
1
2
5
2
4
58/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan A
Ainsi, il faut partir d’un point, choisir les pièces pour revenir à ce point et lors de la pose de la dernière pièce, correctement choisie, la trajectoire est assurée d’être continue et dérivable en ce point et l’encastrement est donc parfait !
59/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan B p1: 4, p2: 5, p3: 4, p4: 2, p5: 5, p5(b): 5 2
1
1
5(b)
2
2
5
4
3
3
5
3
5(b)
4
5
1
5(b)
5(b)
3
5
5
2
5(b)
1
2
60/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Retour sur le plan C p1: 1, p2: 2, p3: 3, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3
4
5
2
3
5(b)
3
4
5(b)
4
5
3
5(b)
5
1
2
61/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1
Problématique
2
Construction des pièces du circuit
3
Autres systèmes possibles ?
4
Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
62/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Le carré initialement choisi
n est le nb de points ; p = Cn2 est le nb de courbes ; q est le nb de courbes conservées ; s est le nb d’isométries ; I est l’ensemble des angles.
n = 8, p = 28, q = 6, s = 8, I = {0, π/4, π/2, 3π/4}. 63/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Le carré initialement choisi
n est le nb de points ; p = Cn2 est le nb de courbes ; q est le nb de courbes conservées ; s est le nb d’isométries ; I est l’ensemble des angles.
n = 8, p = 28, q = 6, s = 8, I = {0, π/4, π/2, 3π/4}. 63/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Triangle équilatéral
Milieux seuls
n = 3, p = 3, q = 1, s = 6, I = {π/3, 2π/3}.
64/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Triangle équilatéral
Milieux et sommets
n = 6, p = 15, q = 4, s = 6, I = {0, π/3, 2π/3}.
64/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Octogone régulier
Milieux seuls
n = 6, p = 15, q = 3, s = 12, I = {0, π/3, 2π/3}.
65/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Octogone régulier
Milieux et sommets =⇒ Impossible !
65/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Carré
Milieux seuls c ! =⇒ Déjà existants (Brio )
66/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Carré
Milieux et sommets =⇒ Déjà vus !
66/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Pavage à deux tuiles
Par exemple, carrés et octogones. Difficulté : deux types de pièces
67/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles Pavage à deux tuiles
Par exemple, carrés et octogones. Difficulté : deux types de pièces
67/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Autres pavages possibles
Question : Peut-on formaliser le système choisi, en fonction du ou des polygones et des points, et en déduire les valeurs de n, p, q, s, .... ?
68/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Sommaire
1
Problématique
2
Construction des pièces du circuit
3
Autres systèmes possibles ?
4
Énumeration exhaustive des circuits réalisables ?
69/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces (les 40 possibilités)
70/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces (seules 10 possibilités)
71/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 7 pièces (les 560 possibilités)
72/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 7 pièces (seules 140 possibilités)
73/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 4 pièces
2
2
2
2
74/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 4 pièces
2
2
2
2
74/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 4 pièces
4
4
4
4
74/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 4 pièces
4
4
4
4
74/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
4
5
2
4
5(b)
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
4
4
5(b)
5
2
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
5
4
2
5(b)
4
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
2
5(b)
5
4
4
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
5(b)
4
2
5
4
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
2
5
5(b)
4
4
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
4
5
2
4
5(b)
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
4
5(b)
2
4
5
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
4
4
5
5(b)
2
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces
5
4
2
5(b)
4
75/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces
2
2
1
2
2
5
5(b)
4
4
76/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces
5(b)
5
2
2
5
2
2
4
5(b)
76/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces
4
5
2
5(b)
5
5(b)
4
5
5(b)
76/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces
4
4
3
3
5
5(b)
2
1
2
76/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces
4
5(b)
5
2
1
5(b)
2
2
5
76/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces
4
4
5
5(b)
5(b)
2
4
1
5
76/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Un grand nombre de boucles possibles
Nombre de rails utilisés 1à3 4 5 6 7 8 9 10 11
Système Easy Loop théorique 4 rails 0 0 2 2 1 1 5 5 7 6 33 28 74 63 304 244 986 753
Système traditionnel théorique 12 rails 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 4 4 0 0 7 7 0 0
On constate donc le nombre élevé de possibilités offertes par notre système par rapport aux systèmes traditionnels ! 77/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Problèmes des aiguillages et autres
78/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Informations, contact
[email protected] http://easyloop.toys/ http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/detail_brevet_rails.html
Le programme permettant de faire des plans sera bientôt en ligne.
79/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
Informations, contact
[email protected] http://easyloop.toys/ http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/detail_brevet_rails.html
Le programme permettant de faire des plans sera bientôt en ligne.
79/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
80/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
80/80
Problématique Construction des pièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références
[bre]
J. Bastien. “Circuit apte à guider un véhicule miniature”. Brevet FR2990627. Université Lyon I. Brevet publié sur le site de l’INPI http: //bases-brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p= 6&s=1423127185056&cHash=cfbc2dad6e2e39808596f86b89117583 Voir aussi [pct]. 15 mai 2012.
[HM13]
F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013.
[LH97]
C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997.
[pct]
J. Bastien. “Circuit suitable for guiding a miniature vehicle [Circuit apte à guider un véhicule miniature]”. Brevet WO2013171170. Université Lyon I. Demande internationale publiée en vertu du traité de coopération en matière de brevets (PCT). Voir http://bases-brevets.inpi.fr/fr/document/WO201317117 0.html?p=6&s=1423127405077&cHash=6947975351b6d1cf7dd56d 4e749a98bb. 13 mai 2013.
[Per]
D. Perrin. “Les courbes de Bézier”. notes pour la préparation au CAPES de mathématiques disponibles sur http://www.math.u-psud.fr/ ~perrin/CAPES/geometrie/BezierDP.pdf. 80/80
