/~r/pentlo~/es

Invent. math. 64, 89-118 (1981)

mathematicae 9 Springer-Verlag 1981

Sur la variation, par torsion, des constantes locales d'equations fonctionnelles de fonctions L P. Deligne 1 et G. H e n n i a r t 2 Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France 2 11 rue Ruhmkorff, F-75017 Paris, France

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Le cas de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Une variante du th6or6me de Brauer . . . . . . . . . . . . . 3. Normes et traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Le cas g~n6ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

89 91 93 101 102 108 118

Introduction Soit K un corps local non-archimSdien, fi corps r6siduel fini. Soient K une cl6ture alg6brique s6parable de K et W = W(K/K) le g r o u p e de W e i l corresp o n d a n t (cf. [3], Ap. II, ou [1], w L a th6orie du corps de classes local fournit un i s o m o r p h i s m e w a b - - K *, que nous n o r m a l i s e r o n s c o m m e dans [1], 2.3. N o u s utiliserons cet i s o m o r p h i s m e p o u r identifier s y s t 6 m a t i q u e m e n t classes d ' i s o m o r p h i s m e s de repr6sentations de d i m e n s i o n 1 de W et quasi-caractSres de K*. N o u s fixerons un caract6re n o n trivial r du g r o u p e a d d i t i f de K, et une mesure de H a a r dx sur ce groupe. Si U est une r e p r 6 s e n t a t i o n de W (continue et de d i m e n s i o n finie), on sait que p o u r chaque quasi-caract6re )~ de K* de c o n d u c t e u r a 0 0 suffisamment grand, la c o n s t a n t e locale e(U| r dx) (cf. [1], 4.1) a d m e t une description simple: notant vk la v a l u a t i o n normalis6e de K, il existe un 516ment a de K* tel que l'on ait X(1 +y)=O(ay) si y ~ K v6rifie 2vk(y)>aO0, et l'on a, en p o s a n t 7 = a -1,

(1)

E(U |

~],dx)=~()~, ~,dx) dimU. det U(7)

C'est d'ailleurs ce fait qui est h la base de la c o n s t r u c t i o n des constantes locales d o n n d e dans [ l J , w En termes de la r e p r 6 s e n t a t i o n virtuelle W = U - ( d i m U). 1, qui est de d i m e n s i o n 0 et de mSme d S t e r m i n a n t que U, la formule (1) s'6crit (2)

e(W|

Z, ~0)= det W(?).

90

P. Deligne et G. Henniart

Nous prouvons ici un r6sultat plus g6n6ral. Soit t un nombre r6el positif ou nul. Soit W une repr6sentation virtuelle de W, de dimension 0, suppos6e triviale sur le groupe de ramification W(t/2) i.e. dont t o u s l e s constituants (cf. 0.5) sont triviaux sur W(t/2) (il s'agit de groupes de ramification en num6rotation sup6rieure, cf. 0.4). Soit enfin V une repr6sentation de W, sans vecteur non nul fixe par W(t). Alors on a la formule suivante (4.6). (3)

e,(W| V, ~9)=det W()'),

ot~ 7 est un 616ment de K* ne d6pendant que de V e t qJ. Sa valuation est a(V)+(dimV)n(tp), o~ a(V) est l'exposant du conducteur de V, et n(O) l'ordre de ~, cf. 0.3. L'616ment 7 n'est bien d6fini qu'& multiplication pr6s par un 616ment du groupe U(t/2) des unit6s u de K v6rifiant VK(U--1)>t/2. Sa classe dans K*/U(t/2) est ddjg caract6ris6e par les 6galit6s (3), quand W parcourt l'ensemble des repr6sentations de la forme q - 1 , ot~ q est un quasi-caract6re de K* trivial sur U(t/2). Lorsqu'on suppose seulement que W e s t une repr6sentation virtuelle de W, de dimension 0 et triviale sur W(t), nous prouvons (4.2) que e ( W | V, O)/det W(y) est une racine de l'unit6 d'ordre une puissance de p. L'616ment 7 de K*/U(t/2) intervenant dans la formule (3) se calcule comme suit. Une variante du th6or6me de Brauer, donn6e au w permet d'6crire V, dans le groupe de Grothendieck des repr6sentations de W, comme combinaison lin6aire finie de repr6sentations induites de repr6sentations Zi de dimension 1 de sous-groupes ouverts (d'indice fini) H i de W, la repr6sentation gi 6tant non-triviale sur Hi c~W(t): V = Z n iInd(Zi), n i c Z; chaque H i correspond une extension L i de K, et Zi s'identifie g u n quasi-caract6re de L*; on choisit alors a i dans L* de fa~on que l'on air zi(l+y)=tpoTrr,m(aiY) si y ~ L i v6rifie 2vL(Y)>a(zi). Si a ( z i ) < l , cette condition signifie que v ( a i ) > - n ( O o TrL,m) , et on impose de plus que v(ai)= -(n(O o TrL,/K)+a(zi) ). Posant 7i=aF ~, on a 7 = n NL,/K(~i)"'.

Nous ne connaissons pas de d6monstration directe de ce que la classe, dans

K*/U(t/2), de la quantit6 7=7(V, ~9) d6finie par cette formule, ne d6pend pas de la d6composition choisie de V en repr6sentations induites. Si ~ est une repr6sentation de dimension 1 de W, on peut pr6ciser la d6finition de 7=?(Z, 0) en exigeant que l'on ait

pour y dans K v6rifiant pv~(y)>a(z ). On peut de mame pr6ciser 7(V, 0), pour une repr6sentation quelconque V de W, en la d6composant comme plus haut, en d6finissant un 616ment 7i de L* par l'6galit6 p--1

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L

91

pour tout y dans L i v6rifiant pvL,(y)>a(zi) , et en d6finissant 7(V, 4 ) = 7 par la formule (4). Si a(xi)< 1, on impose de plus l'6galit6

V('Yi)= n (4 o TrL,/K) + a(zi)" Grfice fi une interpr6tation en termes de la function Ww-~e(W| V, tp, dx), nous m o n t r o n s que l'616ment ainsi d6fini ne d6pend pas des choix effectu6s (de la d6composition de V et des 616ments ~'i),/t multiplication pr6s par un 616ment de U ( ( 1 - 1 / p ) t ) ( c f . 4.11 fi 4.13). Pour le formalisme auquel 7(V, 4) ob6it, voir la fin du chapitre 4 (4.16 et sq.).

O. Notations 0.1. Si K est un corps valu6 complet, on note v sa valuation et (9 l'anneau de valuation correspondant. Pout tout n o m b r e r6el t, on note A(t) le sous-groupe additif de K form6 des 616ments de valuation au moins t, et, s i t est positif ou nul, on note U(t) le sous-groupe des unit6s x de (9 v6rifiant v ( x - 1 ) > t . Si n6cessaire, on pr6cise par un indice K. On fixe un n o m b r e premier p, et les corps valu6s consid6r6s sont de caract6ristique r6siduelle p. 0.2. Nous noterons E l'exponentielle tronqu6e: p--1

e(x) = y~ xl/i !, i=0

et L l e logarithme tronqu6 p--1

L(x) = ~ ( - 1)' +' ( x - 1)'/i. i=1

Pour t positif ou nul, ces applications induisent des isomorphismes inverses Fun de l'autre:

A (t)/A (t9t) ~

E

U (t)/U {p t).

L

0.3. Soit K un corps local non-archim6dien, i.e. un corps valu6 complet ~ corps r6siduel fini, fix6 dans toute la suite. C o m m e dans [1], nous noterons 4: K --* II~* un caract6re additif non trivial de K, n(~) l'ordre de 4, i.e. le plus grand entier rn tel que ~ soit trivial sur A ( - m ) , dx une mesure de H a a r sur K, K une cl6ture alg6brique s6parable de K et W ( K / K ) = W le groupe de Weil (absolu) correspondant. 0.4. Si G est le groupe de Galois d'une extension galoisienne finie L/K, et t u n h o m b r e rdel positif ou nul, on note G(t) le groupe de ramification d'indice t e n num6rotation supdrieure (cf. [2], IV, w 3). Rappelons que, c o m m e fonction de t, G(t) est d6croissant, saute en un n o m b r e fini de valeurs, et qu'entre deux sauts successifs t I e t t2, G(t) est constant, 6gal ~ G(t2).

92

P. Deligne et G. Henniart

La raison d'~tre de la num6rotation supdrieure est sa compatibilit6 au passage au quotient: si H est un sous-groupe distingu6 de G, (G/H)(t) est l'image de G(t) dans G/H. Si L e s t maintenant une extension galoisienne infinie de K et G le groupe Gal(L/K), on d6finit les groupes G(t) par la formule G(t) = lim proj Gal (E/K)(t), ofJ la limite est prise suivant les extensions galoisiennes finies E de K dans L. La compatibilit6 pr6c6dente est conserv6e. Le groupe d'inertie de G n'est autre que G(0) et le groupe d'inertie sauvage, son p-groupe de Sylow, est l'adh6rence de la r6union des G(t) pour t > 0 . Si L contient une extension non ramifi6e maximale de K, on d6finit comme dans [3], App. II, le groupe de Weil W(L/K). I1 contient le groupe d'inertie de G, et ceci permet de poser W(L/K)(t)= G(t) pour t positif ou nul. Nous noterons I le groupe d'inertie de Gal (K/K): I = W ( 0 ) , et P son pro-psous-groupe de Sylow (groupe d'inertie sauvage). 0.5. Par repr6sentation (d'un groupe topologique), nous entendrons toujours repr6sentation continue dans un espace vectoriel complexe de dimension finie. Dans une repr6sentation de W, le groupe d'inertie I agit & travers un groupe fini. Une repr6sentation de W sera dite non ramifi6e si 1 agit trivialement, et ramifi6e dans le cas contraire. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, i.e. un 616ment du groupe de Grothendieck de la cat6gorie des reprdsentations de W. Elle s'6crit de fa~on unique V=~n(V')V', ofa V' parcourt les repr6sentations irr6ductibles de W e t n(V') est un entier, la multiplicit6 de V' dans V. Les V' de multiplicit6 non nulle sont en nombre fini; ce sont les constituants de V. Pour la d6finition de la constante locale ~(V, ~, dx), nous renvoyons & [1] 4.1. Rappelons que pour V de dimension 0 (resp. de dimension 0 et de d6terminant trivial), elle est ind6pendante de dx (resp. de dx et de 0); en ce cas nous la noterons simplement e(V, tp) (resp. e(V)). On note a(V) l'exposant du conducteur d'Artin de V e t Sw(V) l'exposant de son conducteur de Swan. On a a(V)=dim V-dim

VZ+Sw(V).

0.6. Soit V une repr6sentation irr6ductible ramifi6e de W. Notons W(V) le quotient de W qui agit fid61ement sur V; on d6finit c~(V) comme le dernier saut de la fltration de W(V): par d6finition, on a vWt'~v))=0

et

vWt'~v)+~)=V

pour tout e > 0 .

Si V est non ramifi6e, on pose , ( V ) = 0 . Avec ces conventions, repr6sentation irr6ductible V de W satisfait 5. la formule

toute

Sw(V)=a(V) dim V. Soit V une repr6sentation virtuelle de W. On note ~(V) (resp./?(V)) la borne inf6rieure (resp. sup6rieure) des ~(V'). quand V' parcourt les constituants de V. Que r o n air ~(V)>c~ signifie que les constituants de V n'ont pas de vecteur non nul fixepar W(c~): VW~')=0. Que l'on ait/~(V) 0 ) signifie que V provient par inflation d'une repr6sentation virtuelle de W/W(/~).

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L

93

Une extension finie s6parable L de K d6finit un ensemble galoisien H o m K ( L , K ). On pose e(L/K)=~(U), off U est la repr6sentation de permutation de W sur H o m K (L, K). Si M est une extension galoisienne de K contenant L, c~(L/K) est la borne inf&ieure des indices e tels que GaI(M/L) contienne aal(M/K)(cO. 0.7. On sait (cf. [2], XV.w que l'isomorphisme de la th6orie du corps de classes local: wab~--K * identifie wab(t) g U(t). Si X est un quasi-caract&e ramifi6 de K* (correspondant fi une repr6sentation de W de dimension 1), c~(X) est donc le plus grand entier n > 0 tel que Z soit non trivial sur UK(n). Si )~ est un quasi-caract&e de K*, non ramifi~ ou mod6r6ment ramifi6, on a c~(Z)=0. On dit que Z e s t sauvagement ramifi6 si l'on a e(X)>0. 0.8. dre une fini,

On note Qp/7Zp(1) le sous-groupe.de I12" form6 des racines de l'unit6 d'orune puissance de p. On note par mod* une congruence multiplicative, i.e. congruence dans le groupe multiplicatif d'un corps. Si X est un ensemble on note IXI son cardinal.

1. Le cas de dimension 1

1.1. Proposition. Soient Z et tl deux quasi-caraetOres de K*, vJrifiant ~(q)< ~(Z). Soit m l e plus petit entier tel que l'on ait 2m > ~(Z) et soit a un OlOment de K tel que l'on ait Z(1 + y)=~b(ay) dos que l'Ol~ment y de K est de valuation au moins m. On a alors vK(a)=-(n(~b)+ l +~(Z)) e t a est unique mod* U(~(Z)/2 ). De mdme, soit b u n ~l~ment de K v&ifiant q(l + y)=tp(by) dos que l'on a vK(y)>o~(Z)/2. Si l'on a ~(~/)>0~(Z)/2, alors v(b) vaut -(n(~b)+l+~(~/)) et b est unique mod* U(~(~l)-~(Z)/2 + 1); sinon, b e s t n'importe quel ~l~ment de K de valuation au moins -(n(~b) + 0~(Z)/2). On a (1.1.1)

e((q- 1)Z, ~b)=q(a-1) 9(gt/)- 1(1 +b/a). ~b(b).

1.2. Les assertions concernant la valuation et l'unicit6 de a ou b sont faciles/t d6montrer et laiss6es au lecteur (cf. [1], w Prouvons l'6galit6 (1.1.1). La constante locale e(Z, ~b, dx) est la valeur de l'int6grale

S ~-l(x)O(x)dx=Y K*

~ z-'(x)0(x)dx.

ne2~ v ( x ) = n

Cette formule s'obtient formellement ~t partir de la formule de d~finition ([1] 3.3.1) (l'6quation fonctionnelle locale de Tate) en prenant pour f la fonction de Dirac en 1. On peut la prouver en prenant pour f la fonction caract&istique de U(n), n &ant assez grand. Rappelons que si on calcule rint~grale en la brisant selon les classes lat&ales m o d * U(m) et que r e x p o s a n t a ( D = ~ ( D + 1 est pair, un seul terme subsiste: e(~,lp, d x ) = j X-i(x)lp(x)clx; la fonction aU(m)

int~grer est d'ailleurs constante. Si a(D est impair, on a

~(z, O, dx)=

j aU(m -

)~-~(x)O(x)dx, 1)

et la fonction/t int6grer ne d6pend que de la classe de x mod* U(m).

94

P. Deligne et G. Henniart

Remptacer Z par Zq ne change pas le conducteur, et m6ne h remplacer a par a + b , de m6me valuation. Si a(z) est pair, on a donc: .,

e(tlZ, 6, dx)

~((,1-1)Z, V,~= ~(~, g , ~

-

(Ztl)-l(a+b)~(a+b)

Z-'(a)0(a)

'

d'ofi ((q - 1) Z, 0) = t/- 1(a) (Z q)- 1 (1 + b/a) 0 (b). Pour montrer que le m6me r6sultat subsiste si a(z) est impair, il suffit de v6rifier qu'en ce cas le rapport R (u) = (Zq)- l ((a + b) u) qJ((a + b) u)/z - a(au) r

est indSpendant de u variant dans U ( m - 1 ) . Or on a R (u)/R(1) = ()~rl)-'(u) O ((a + b)(u - 1))/Z - ' ( u ) ~ (a(u - 1)) = t l - l ( u ) t~(b(u - 1)),

et, puisque a(z) est impair, l'in6galit6 2m>~(Z) entraine (m-1)>=~(Z)/2, et la ddfinition de b assure que R(u)/R(1) vaut 1. C.Q.F.D. 1.3. Corollaire. Conservons les hypotheses et notations de 1.1. (i) On a e ( ( q - 1)Z, ~ ) - - q ( a - 1) rood* (l)p/77p(1). (ii) Si de plus on a 2~(t/)(1-1/n)ct(X ). Dans tous les cas, l'hypoth~se c~(~/) a()0, entraine nv(b/a)>e()O; elle assure que Z e s t trivial sur U(v(b"/a")) et q, sur A(v(b"/a"-l)). Puisque n vaut au plus p, on a en particulier

l+b/a-EL(l+b/a)=E d'od

(7•

(-1)~-li-lbi/d

p-1

)

mod* U(c~(X)+I)

)

()(t/)-1(1 + b/a)= t/., (a + b) ~ ( - 1)ibi/iai . i=1

98

P. D e l i g n e et G. H e n n i a r t

On calcule ais6ment p-I (a+b)

~

p-1 E ( - 1)i((1/i) - 1 / ( i - 1))bi/a i - 1

( - - 1)ibi/ia i = - b +

i=1

i=2

+t(_ltp

1/(p_mt)bP/a~ 1

Comme le dernier terme, et tous ceux d'indice i>n, sont n6gligeables sous le signe ~b, la formule (1.10.1) r6sulte de (1.1.1). 1.11. La fin de ce n~ ne servira plus dans la suite de l'article. Nous y donnons nne g6n6ralisation commune de 1.7 et 1.10. 1.11. Lemme. On conserve les notations du lemme 1.6. Pour chaque famille finie d'entiers naturels n-=(ni)i~i, on posera I n l = f ni, n ! = I ~ n i ! et tn=I-[t~ ', et on iEl

i~l

i~l

notera J(n) l'ensemble des indices i tels que n i soit non nul. On appelle N le cardinal de I. (i) Dans Z[]-t~, l-[ (1 +t(J)) ~tJ) est somme de 1 - ( N - 1 ) ! V[ t i e t de termes de Jcl

iEl

degr~ (total) au moins N + 1. (ii) Dans Zr on a

(1.11.1)

L ( H ( l + t ( J ) ) ~ t s ) ) = ~ ([nl-1)!- . ( - 1 ) u+l"l-1 9t" rood 1~ tP, J=l

n !

i~l

la somme portant sur les familles d'entiers naturels n telles que n~ > 0 pour tout i et qu'au moins un des n i soit strictement inf&ieur fi p.

D6montrons ce lemme. I1 suffit de prouver (i) dans Ql[t]], off l'on a log I~ ( l + t ( J ) ) ~lJ)=- ~, e(S) Z ( - 1 ) " - i t ( J ) " ~ n j=l

J=l

n>0

= Z (-1) "-1n-I Z e(J)t(Jf J=l

n>0

D6veloppons t(J)" selon la formule du multin6me. Alors le coefficient du mon6me t" (off Inl=n) darts ~ e(J)t(J)" vaut ~ e(J)n!/n!, nul si J(n) est distinct de I. jet J(n)cdcl On a donc

Z e(J)t(J)"= ( -

1)u ~ tan !/n !,

J=l

off la somme porte sur N-uples n v6rifiant In[ = n e t J ( n ) = I . On en tire (1.11.2)

log I ] ( l + t ( S ) ) ~tJ,= J=l

~

( - 1 ) u+lnl-1 (In[-1)! tn n!

J(n)=I

et cette expression est bien somme de - ( N - l ) !

H t~ et de termes de degr6s iel

sup6rieurs. Prenant l'exponentielle, on obtient (i), et une nouvelle d6monstration du lemme 1.6.

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L

99

Pour dSmontrer (ii), on note tout d'abord que les deux membres de (1.9.1) sont bien/t coefficients dans 7Z(p); fi droite, on a en effet, pour chaque indice i,

(Inl-1)!/n!=(1/ni). ((Inl - 1 ) !/[(n i - 1)! 1~ nj!])e(1/ni)Tl; j ~ l ".

{i}

si on choisit i de sorte que n~ soit au plus p - 1, on obtient

(Inl- 1)!/n! e 7/(p). I1 suffit d o n c / t nouveau de v6rifier la congruence dans Q~t]]. Grfice au lemme 1.6, on a, dans Q [[t]] L( l-[ (1 + t(J)) ~(J))-= log ( 1-[ (1 + t(J)) "(J)) rood l~ tf. J~l

Jcl

On utilise alors (1.11.1).

iel

C.Q.F.D.

1.11. Proposition. Soit Z un quasi-caractOre sauvagement ramifiO de K*. On f i x e un dlOment a de K* tel que l'on air z ( E y ) = q / ( a y ) dos que y 6 K vOrifie pv(y)>~(Z). On se donne une famille finie (rli)i~1 de quasi-caractdres de K*, et une famille finie (cti)i~l de nombres rods. On suppose que pour chaque indice i, on a

je I \

{,}

et ~(~i) ~ . Avec les notations du lemme 1.11, on a alors iel

n [

'

la somme portant sur les families n = (ni)~ ~ telles que chaque n~ soit > 0 eat qu'au moins deux des ni soient strictement inf~rieurs fi p. Remarque. Cette proposition permet de donner une autre d6monstration de la proposition 1.7. Sous les hypoth6ses de 1.7 et avec les m6mes notations, on peut poser ai=c~(rh) et appliquer (1.11.1). Les termes de la somme de droite sont de valuation au moins celle de a~I(bi/a ). Les b i vdrifiant v(bi/a)>= i~1

e(X)-c~(r/i), X est trivial sur U(v(~I(bi/a)) ) , d o n c

0 l'est sur A(v(a.lq(bi/a)) ).

iEl

iEl

Le membre de droite de (1.11.1) est donc trivial. 1.12. D~montrons la proposition 1.11. Les hypotheses entrainent qu'il y a au moins deux caract6res qi. On a v(bi/a)>c~(Z)-a i, et d'apr6s le lemme 1.6 [ ] (1 +b(J)/a)'('t)~ U ( ~ (a(Z)-c~i)) Jcl

1~ Jcl\{i}

i~l

(1 +b(J)/a)~(J) ~ U( ~ jEl\{i}

(c~(Z)--c~/)).

100

P. Deligne et G. Henniart Pour toute partie I o de I, posons

T(Io)=L( l-I (1 +b(J)/a) "(J). J=Io

Par hypoth6se, on a P ~ (~(X)- ~i)> ~(Z) iEI

et

p E (~(x)-~)>~i; j e I \ {i}

on peut donc 6crire la formule (1.4.1) sous la forme e()~ l-[ (1 - r h ) ) = O ( - ( a + E b,) T(I)+ E b,T(I\{i})). i~l

C o m m e on a p

~

iel

i~l

(~(X)-~)>c~i, on peut, sous le signe ~, n6gliger pour cha-

j e l ".. {i}

que i les multiples de

b, 1-I (b/a) p, je I '- .{i}

i.e. n6gliger les multiples des m o n 6 m e s b"/a I'1-1 lorsque J ( n ) = l et qu'au plus un des n i v6rifie hi< p. On peut donc utiliser la congruence (1.9.t) pour remplacer T(I), sous le signe ~,, par T = S ( - 1)N-I"1-1 (In] - 1)! b,,/aln[' n!

o6 la s o m m e porte sur les n tels que J ( n ) = I , soient strictement inf6rieurs ~ p. De m~me, on peut remplacer T(l\{i}) par

et qu'au moins deux des nj

Si= S ( _ 1)N_I=I (Inl~ 1)~ bn/alnl o6 la s o m m e porte sur tes n tels que J(n)=I\{i}, et qu'au moins deux des nj soient strictement inf6rieurs ~ p. R e g r o u p a n t T et Si, et changeant nl en n~+ 1, on volt qu'on peut remplacer bi(T+ Si) par - 2)! bn/aln I_ 1 S(--1)N-Inl-Xnl ([nl n[ off la s o m m e porte sur les n tels que J ( n ) = I , et que deux au moins des n~ v6rifient

njct(M/L), la pente de t~M/L en t e s t l'indice de ramification e de M/L. Si t < e ( M / L ) , c'est un entier de la forme e/p k, k>=l. En consequence, on a t~M/L(C~(M/L)) < (e/p) c~(M/L).

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L

103

Soit N une extension galoisienne finie de L contenant M ; posons G = Gal (N/L) et H = Gal (N/M). Par d6finition, on a ~N/L= ~N/M o #JM/L, de sorte que la d6riv6e h gauche de ~PM/Len VL(t) est

[c [o3 : ~ It]] (3.2.1)

[G [o3 :H [o33

~9M/L(VL(t))=[H [0] : H [t]] = [O It] : H [ t ] ] '

C o m m e on a H[t]=G[t]r~H, l'indice au d6nominateur vaut encore [G : G It] HI. La d6riv6e de ~PM/Lcroit donc avec t, et #JM/L est convexe, d'ofi (i). L'indice (3.2.1) est constant, de valeur e = [ G [ 0 ] : H I 0 ] ] , d6s que G It] est inclus dans H. C o m m e G It] est distingu6 dans G, cela signifie que G[t] agit trivialement dans la repr6sentation de permutation de G sur G/H. Mais cette derni6re est 6quivalente b, la repr6sentation de G sur H o m L ( M , N ) . On en d6duit que H contient G[t] si et seulement si on a VL(t)>~(M/L) cf. 0.6; cela prouve (ii) et la premi6re assertion de (iii). Enfin, puisque G [ t ] est un p-groupe pour t non nul, l'indice [ G [ t ] : H i t ] ] est une puissance de p, n o n triviale si tC~(L/K), puisqu'alors W(K/L) contient W(c~(Z)). Soient d(L/K) la valuation de l'idOal diffOrente de L sur K et 0L~K la fonction affine de lit dans ~ , de pente e, et prenant la valeur - d ( L / K ) - 1 en - 1 . La diffOrente inverse 6tant le plus grand idOal fractionnaire de L que la trace envoie dans CK, cette fonction joue pour la trace le rOle que OL/K joue pour la norme: pour tout rOel t, on a TrL/K (A L(0N K(t))) = A K(t). De la formule N(1 + x ) = 1 + T r ( x ) + R , off R e s t un reste de valuation VK(R) au moins 2VL(X)/e (Ocrire la norme comme un produit de conjuguOs), on dOduit alors que 0L~K est la fonction linOaire qui coincide avec ~bL/K pour les grandes valeurs de t, donc pour t valant au moins ~(L/K). On a donc, en particulier, (3.3.2)

~bL/r(ct(L/K)) + d(L/K) + 1 = e(e (L/K) + 1).

3.4. Nous dirons que t ~ T esr grand, rel. M/L, si VL(t)>c~(M/L), i.e., avec les notations de 3.2, si t > 0 et G[t] cH. I1 est c o m m o d e de transporter cette

104

P. Deligne et G. Henniart

terminologie fi TL e t / t TM. En particulier, regardant la valuation de (9M comme &ant /t valeurs dans TM, on dira que y e M * est de grande valuation, rel. M/L, si vM(y) > tpM/L(a(M/L)). Dans le cas particulier d'une extension mod6rhe, t e s t grand d6s que t >0, et OM/L relie la valuation de x e Ca ~ celle de son image dans (9M. Nous nous proposons de comparer NL/K(1 + y ) fi 1 +TrL/K(y ) pour y dans L, de grande valuation rel. L/K. Par exemple, pour tout entier n > c~(L/K), on peut d'apr4s 3.3 considhrer le diagramme suivant, o6 les fl6ches N et T sont dhduites de NL/r et TrEK respectivement, et les flhches verticales ddduites de y~--*l + y :

AL(~L/K(n))/AL(OL/K(n ) + 1) (3.4.1)

1

UL(OL/K(n))/UL(OL/K(n)+ 1)

r , A~(n)/AK(n + 1)

1

N , UK(n)/U~(n + 1)

Nous verrons que ce diagramme est commutatif. Le raisonnement de 3.3 (resp. la proposition 3.5 ci-dessous) le montre lorsque Oc/K(n)>(e/2)n (resp. OL/K(n)>(e/p)n, ce qui, par le cas (iii) de la proposition 3.2, implique

n > ~ (L/K)). On obtient des r6sultats plus pr6cis en remplaqant la fonction y ~ 1 + y par la fonction E. S'il le d6sire, le lecteur pourra repasser au premier point de rue en posant 1 + y = E y . Ez, off z e s t de valuation au moins 2v(y). La proposition suivante, de d6monstration tr6s simple, sera pr6cis6e par 3.8, prouv6 par d6vissage et r6duction au cas d'une extension cyclique de degr6 p. Cette am61ioration de 3.5 ne nous servira que dans les preuves de 4.2 (via la commutativit6 du diagramme 3.4.1) et 4.15.3. 3.5. Proposition. Soit y un ~l~ment de l'id~al maximal de (YL. On a

NL/~(E y ) - E( TrLm y) mod* UK((p/e) VL(Y)). Plongeant L dans une extension galoisienne M de K, on peut 6crire la norme (resp, la trace) d'un 616ment x de L comme produit (resp. somme) de conjugu6s x ~ de cet 616ment. On trouve alors que NL/r(Ey)= H E S est congru E(TrLmy ) modulo des 616ments de M de valuation au moins celle de yP. La proposition en r6sulte aussit6t.

Soit Z un quasi-caract&e sauvagement ramifi~ de K*, v&ifiant OL/K(a(Z))>(e/p)c~O0. Soient a un OlOment de K tel que l'on ait )~(Ey) = O(ay) pour y dans K de valuation plus grande que e(Z)/P, eta' un OlOment de L tel que l'on ait Z o NLm(Ey)=t~o TrL/K(a' y ) pour y darts L de valuation plus grande que ~(ZO NL/r)/p. AIors on a 3.6. Proposition.

a - a ' m od* UL(OL/K(~ (Z))- (e/p) ~ 00). Notons d'abord que l'hypoth6se implique aO0>a(L/K) et a(ZONL/K) =0L/K(a(Z)). Prenons un 616ment y de L, de valuation VL(y)>ea(x)/p. La proposition 3.5 donne alors

Z ~ NLm(EY) = x(E(TrL/K Y))"

V a r i a t i o n des c o n s t a n t e s locales d ' e q u a t i o n s functionelles des f o n c t i o n s L

105

Mais, d'apr6s 3.3, on a ~(Z o NL/K) = O L/K(O~(Z)) vL(Y) d'ofl

OLm(a(7))),

VK(TrL/K y) > a (Z)/p + (1/e)(e ~(Z)-et

vK( Tr Lm y) > ot(Z)/p. On en tire l'6galit6 z(E(TrL/Ky))=O(aTrL/Ky). v6rifiant VL(y)>e~(z)/p, on a donc o TruK((a'--a)y)=

Pour tout 616ment y de K

1,

ce qui implique

v r (a , - a) >= - n (tp o TrLm ) - (e ~ (Z)/P) -- 1. C o m m e a' est de valuation --n(OoTrL/K)--~Lm(~(Z))--I a - a' mod* UL(~kL/K(~ (X))-- (e/p) c~O~)).

,

on

a

bien

3.7. La proposition 3.6 nous servira sous la forme suivante. 3.7. Corollaire. Soient Z un quasi-caract&e sauvagement ramifiO de K * et tl un quasi-caractOre de IY. On suppose que, posant u=sup(~(tl) , tpLm(~(L/K)) , on air OK,L(U) OK, L(u) > ~(L/K), puis

=(z) + (u- 4'z/K(=(z)))/e < (1 - O/p)) =(z)," d'ofl

u t o. Prenons y dans L*, de valuation vL(t ). I1 s'agit de prouver la congruence

NLm(E y ) - E( Tr Lm y) mod* UK(vK(to) + p(vK(t ) -- VK(to))).

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L

107

Soit K ' une extension mod6r6ment ramifi6e de K. D 6 c o m p o s o n s K ' | produit des corps L i. N o t a n t Yl l'image dans Li de l'616ment y de K, on a

en

Nt.m(E Y) = [I NL,m'(E Yi)" i

Les extensions Li/L sont moder6es. Les fonctions 0L,/L et 0K'/K sont donc lin6aires. Puisque 0L,,/~, n'est autre que 0L,,LO 0L,~o 0K, K,, on a vK,(to)=~(Li/K'). Supposons la proposition vraie pour les extensions Li/K'. Chaque y~ 6tant de valuation vL,(t), on a alors

NL,m, (E Yi) ==-E ( Tra,/K, y) m o d * UK, (v K, (to) + p (v K, (t) - v K, (to))). et

E( TrL,/K,y) =--E ( ~ TrL,/K,y) = E( TrL/K y) m o d * Ur,(pvK,(t)). i

i

Les deux m e m b r e s de cette derniare congruence ~tant dans K, on a

NL/K(E y) =-E ( Tr Lm y) rood* U~(vK (to) + p(VK(t)-- vK(t0))). Mais, c o m m e on sait, on peut choisir K' de faqon que les extensions Li/K' v6rifient la condition de 3.11. La proposition 3.8 est vraie pour les L j K ' donc pour L/K. (i) Pour tout entier n>~(L/K), le diagramme (3.4.1) est commutatif (ii) Soit Z un quasi-caractdre sauvagement ramifiO de K*, vdrifiant c~(Z)>7(L/K ). D~finissons to~ T par l'Ogalit~ VK(to)=c~(L/K ) et t e T par vK(t ) =~(Z)- Soient a un ~lOment de K tel que l'on ait z ( E y ) = O ( a y ) pour y e K 3.12. Corollaire.

1

vdrifiant vK(y)--vK(to)>~(vr(t)--vK(to) ) et

a'

un Olkment de L tel que l'on ait

F

zoNL/K(Ey)= O o TrL/K(a' y ) pour y ~ L Ces conditions dOterminent a m o d * U K a' mod* UL

((

1-p

1

vdrifiant VL(y)--vL(tO)>p(VL(t)--vL(to)). 1-~

(vK(t)--VK(to)) ,

t

(VL(t)--vL(to)) , et l'on a a=a'mod*UL((1--~)(vL(t)--VL(to))).

La partie (i) est imm6diate, si on r e m a r q u e que l'on a

(L/K) + p (n - ~ (L/K)) > n. 1

Pour prouver (ii) prenons un 616ment y de L v6rifiant VL(Y)--VL(tO)>~(VL(t )

--VL(tO)); on a donc RK, L(VL(y))>vK(t)=c~O0 et, par cons6quent z oNL/~(Ey) =z(E(TrL/Ky)). On a aussi VK( TrL/KY) >=OK, L (vL(Y)) > VK(to) + 1 (Vr(t) _ vr(to))" P

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P. Deligne et G. Henniart

On en d6duit l'6galit6 zoNL/K(Ey)=Oo TrLm(ay), c'est-/i-dire que a v6rifie la propri6t6 caract6ristique de a'.

4. Le cas g6n6ral

4.1. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, et soit 7 un 616ment de K* de valuat ion a (V) + dim V- n (0). Si t/est un quasi-caractare non ramifi6 de K*, on a (4.1.1)

e(q | V, 0, dx) = e(V, tp, dx). q(7).

Plus g6n6ralement, si W e s t une repr6sentation virtuelle de W, non ramifi6e et de dimension 0, on a (cf. [1] 5.5.3)

e(W|

(4.1.2)

V, ~ ) = det W(y).

Les r6sultats annonc6s dans l'introduction sur le calcul de e(W| quand W est de dimension 0 et m o i n s ramifi6 que V, g6n6ralisent cette formule (4.1.2) et, c o m m e le lecteur le v6rifiera ais6ment, s'y r6duisent si l'espace v e d e s points fixes par P des points fixes par P est non trivial, ce qui, avec les notations de l'introduction, impose t = 0 . Pour prouver ces gdn6ralisations, nous supposerons donc d6sormais que l'espace V e est trivial, i.e. que la repr6sentation V n'a pas de constituant moddr6. Le sch6ma de d6monstration de ces r6sultats est le suivant. On suppose d ' a b o r d V de dimension 1. Si W e s t de la forme q - l , o~ r/ est un quasicaract6re de K*, le r6sultat a 6t6 vu au chapitre 1. Le th6or6me de Brauer en dimension 0 et les propri6t6s d'induction des facteurs e permettent d'en d6duire le cas off W e s t quelconque. On r a m a n e enfin le cas g6n6ral au cas off V e s t de dimension I en appliquant "/i V l a variante du th6orame de Brauer donn6e dans le chapitre 2. 4.2. Th6or~me. Soit V une representation virtuelle de W, sans constituant modOr~. (i) Il existe un OlOment y de K*, d~fini de far unique rood* U(1), tel que pour toute reprOsentation virtuelle W de W, de dimension 0 et vOrifiant fl(W)o~(Z)/2. Alors ~ = a -1 v6rifie (4.6.1). Si l'on a fl(W) ~(Xi)/P. I1 s'agit de p r o u v e r la c o n g r u e n c e

NM/ra = ~[ NM,/La i rood* UL((1 -- (l/p)) e(a(V) -- a(L/K))) i~l

Soit t o e T v6rifiant vK(to)= ~(L/K) et, p o u r c h a q u e i, soit ti E T v6rifiant vM(t ) = ~(Mi/M ). O n a t i to} , les fonct i o n s ~L/r et ~u,/M s o n t toutes lin6aires, de p e n t e l'indice de r a m i f i c a t i o n corr e s p o n d a n t . Le c o r o l l a i r e 3.12(ii) f o u r n i t la c o n g r u e n c e a - a i mod*

UM,((1 -

(1/p)) (VM,(t) -- VM,(ti))).

Cette c o n g r u e n c e v a u t a f o r t i o r i m o d * UM,((1 -- (I/p)) (VM,(t)- VM,(to) ). P r e n a n t la n o r m e de M~ /~ L, et u t i l i s a n t le fait q u e p o u r t o u t e e x t e n s i o n N/R, o n a NN/a UN(k ) = R c~ UN(k) = UR (k/eN m) o n t r o u v e la c o n g r u e n c e

NM,/L(a) =--N~,/L(ai) m o d * UL((1 -- (l/p)) (v L (t)-- vL(to))). O n c o n c l u t e n n o t a n t q u e NM/K(a ) est le p r o d u i t des NM,/L(a ).

Bibliographie 1. Deligne, P.: Les constantes locales des 6quations fonctionnelles des fonctions L, in Modular functions of one variable II Lectures in Math. n ~ 349, pp. 501-597. Springer Verlag 1973 2. Serre, J-P.: Corps locaux. Public. Inst. Math. Nancago, Paris: Hermann 1962 3. Weil, A.: Basic number theory. In: Grundlehren der Math. Wiss., Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag 1973 Received November 10, 1980