hapitre 8: fon tion exponentielle
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Chapitre 8
Fon tion exponentielle Les fon tions exponentielles ont un vaste hamps d'appli ation : en partant de l'ele tronique pour les régimes transitoires jusqu'à la ompression d'images et le fameux" JPEG.
Comme pour les fon tions logarithmes, on a plusieurs dé nitions équivalentes : une appli ation de
R
vers
R∗+
qui transforme une somme en produit,
la ré iproque d'une fon tion logarithme . . .. . . (exponens = exposant)
I De nition et premières propriétés I.1 Dé nition On a vu dans le hapitre 7, que l'équation
ln(x) = m admet
une unique solution pour tout
m∈R
et ette
solution est un réel stri tement positif (voir le paragraphe sur les équations). Autrement dit, pour tout
Dé nition 1
y
véri ant
y>0
tel que
x = ln(y). R
qui, à haque réel
x = ln(y).
exp.
L'exponentielle d'un nombre
Exemple 1 On a ln(1) = 0
don
ln(e) = 1
don
On a
il existe un unique
La fon tion exponentielle est la fon tion dé nie sur
stri tement positif On la note
x ∈ R,
x∈R
est noté
exp(0) = e0 = 1. exp(1) = e ≈ 2, 718
exp(x)
ou
ex
par onvention.
x
asso ie le réel
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I.2 Première propriété Ave la dé nition, on a
Propriété 1 l'ensemble de dé nition de la fon tion
exp
x ∈ R, ex > 0, x tout y > 0, e = y si et seulement x tout x ∈ R, on a ln (e ) = x. ln(x) = x. tout x > 0, on a e
est
R.
pour tout Pour Pour Pour
si
x = ln(y).
II Etude de la fon tion exp Propriété 2
Dans un repère orthonormal,
les ourbes représentatives des fon tion logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'equation
y = x.
II.1 Représentation
x
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0, 5
1
1, 5
f (x)
0, 1
0, 2
0, 35
0, 6
1
1, 65
2, 7
7, 4
2
PSfrag repla ements
II.2 Limites On remarque que
Propriété 3 lim exp(x) = 0
x→−∞ La droite
y=0
et
lim exp(x) = +∞
x→+∞
est asymptote horizontale à la ourbe représentative.
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II.3 Dérivée Propriété 4
La dérivée de la fon tion exponentielle sur
R
est elle-même. Pour tout
x ∈ R,
on a
exp′ (x) = exp(x) > 0 don la fon tion exponentielle est stri tement roissante sur
R.
III Propriétés algébriques Propriété 5 a+b e
Pour tout
a
et
b
stri tement positif :
a b e e
= 1 = e−a eaa e = ea−b eba n (e ) = ena
Les fon tions exponentielles ont la parti ularité de transformer les sommes en produits, les diéren es en quotients et les multipli ations en puissan es.
Exemple 2 Transformations d'expressions numériques :
e2 × e3 = e6 . 1 = e−5 . e5 e7 = e5 . e2 (e−2 )−3 = e6 .. eln(3) = 3
Transformations d'expressions algébriques (sur les intervalles où elles sont dé nies) :
ex+3 × e2x+1 = e(x+3)+(2x+1) = e3x+4 . e3x−2 × e−4x+2 2 2 = e(3x−2)+(−4x+2)−(x ) = e−x−x . 2 x e (ex−2 )2 = e2x−4 .
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IV Equation et inéquation ave exp Propriété 6 e
a
e
a
e
a
= eb si et seulement si a = b. ≤ eb si et seulement si a ≤ b. = b si et seulement si a = ln(b).
Exemple 3 On veut résoudre
ex = 1
x = ln(1) = 0
On veut résoudre
ex = 4
x = ln(4)
On veut résoudre
ex−3 < 1
x − 3 < ln(1)
x < 3 + ln(1)
x
