´ Ecole Doctorale Sciences et Ing´ enierie de l’Universit´e de Cergy-Pontoise

Th` ese pr´esent´ee pour obtenir le grade de docteur d’Universit´e en Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication

e Imagerie par rayonnement gamma diffus´ ` haute sensibilit´ e a

Cl´emence Driol

Laboratoire de Physique Th´eorique et Mod´elisation (LPTM) CNRS UMR 8089 / Universit´e de Cergy-Pontoise 2 rue Adolphe Chauvin, 95302 Cergy-Pontoise Cedex, France ´ Equipe Traitement de l’Image et du Signal (ETIS) CNRS UMR 8051 / ENSEA / Universit´e de Cergy-Pontoise 6 avenue du Ponceau, 95014 Cergy-Pontoise Cedex, France

Soutenue le 3 d´ecembre 2008

Devant le jury compos´e de : Pr. DR Pr. Pr. Pr.

Michel Paindavoine Vincent Comparat Habib Zaidi Mai K. Nguyen-Verger Tuong T. Truong

Universit´e de Bourgogne CNRS de Grenoble Universit´e de Gen`eve Universit´e de Cergy-Pontoise Universit´e de Cergy-Pontoise

Rapporteur Rapporteur Examinateur Co-directrice Co-directeur

R´ esum´ e et Abstract R´ esum´ e Cette th`ese d´eveloppe les fondements th´eoriques d’un nouveau concept d’imagerie tridimensionnelle, bas´e sur la d´etection multi-´energ´etique `a haute sensibilit´e du rayonnement ionisant issu de l’objet sous examen. Ce principe est en rupture avec l’imagerie conventionnelle, car il repose sur la d´etection des photons diffus´es `a l’int´erieur de l’objet par effet Compton `a l’aide d’une cam´era gamma, sans collimateur, qui ne n´ecessite plus de rotation autour de l’objet. La formation des images a ´et´e mod´elis´ee, d’abord pour la modalit´e par ´emission en vue d’applications en imagerie m´edicale, puis pour la modalit´e par transmission dans le cadre du Contrˆole Non Destructif, et enfin pour un syst`eme couplant ces deux modalit´es. Ces mod`eles directs ont ´et´e valid´es par des simulations de type Monte Carlo et les reconstructions men´ees `a partir de m´ethodes alg´ebriques montrent la faisabilit´e de ce nouveau principe d’imagerie.

Abstract This thesis describes the theoretical foundations of a new three-dimensional imaging principle based on high sensitivity detection of radiation emerging from an object under investigation. It represents a breakthrough in imaging science, as it makes use, not of primary radiation, but of Compton scattered radiation by the bulk of an object, which is subsequently registered by a non-moving gamma camera without mechanical collimation. Image formation is modelled by new integral transforms, first for emission imaging, in view of applications in medical imaging, next for transmission imaging, with possible applications in industrial non-destructive testing and finally for new bimodal imaging systems which combine the two previous modalities. Validation by Monte-Carlo simulations of the forward models and algebraic reconstructions of the inverse problems have clearly demonstrated the feasibility of this new imaging principle.

Remerciements Ce m´emoire pr´esente un travail de th`ese de nature multi-disciplinaire pr´epar´e dans le cadre d’un partenariat entre les laboratoires LPTM et ETIS de l’Universit´e de Cergy-Pontoise et de l’ENSEA, sous la co-direction des professeurs T. T. Truong et M. K. Nguyen-Verger. Je remercie les membres de ces deux laboratoires de m’avoir accueillie en me faisant d´ecouvrir le monde de la recherche universitaire. Je souhaite, tout d’abord, remercier M. Truong et Mai Nguyen-Verger pour la qualit´e de leur encadrement durant ces trois ann´ees. Ils m’ont guid´ee, encourag´ee et conseill´ee, tout en me laissant une grande libert´e dans la gestion de mon travail. Je leur suis tr`es reconnaissante pour la confiance et la sympathie qu’ils m’ont t´emoign´ee tout au long de cette th`ese. Je remercie M. Michel Paindavoine, professeur au laboratoire Le2i de l’Universit´e de Bourgogne, de m’avoir fait l’honneur d’ˆetre rapporteur et pr´esident du jury. Je remercie ´egalement M. Vincent Comparat, directeur de recherche au CNRS de Grenoble, d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteur. J’exprime aussi ma reconnaissance `a M. Habib Zaidi, directeur du laboratoire PIN des Hˆopitaux universitaires de Gen`eve, d’avoir port´e son expertise sur mon travail de th`ese. Je tiens `a remercier vivement les membres du jury de l’int´erˆet qu’ils ont port´e `a mes travaux de recherche. J’adresse un remerciement chaleureux `a toutes les personnes qui m’ont aid´ee `a relever l’association D.U.C, aussi bien l’administration de l’Universit´e de Cergy-Pontoise que les doctorants Seb, Julien, C´eline, Virginie, Khalid, et Hakim qui ont donn´e de leur temps, de leur motivation et de leur bonne humeur. Je remercie enfin tous mes proches de m’avoir soutenue (voire support´ee) et encourag´ee sans relˆache pendant ces trois ans. Je pense `a Antoine, mes parents, ma famille, et mes amis (( Strasbourgeois )). Je d´edie cette th`ese ` a mon grand-p`ere Pierre.

R´ esum´ e Grˆace `a leur propri´et´e de p´en´etration profonde dans la mati`ere les rayonnements photoniques ionisants (X ou gamma) s’imposent comme un des moyens privil´egi´es pour explorer la mati`ere (imager les structures internes des objets) de mani`ere non invasive dans de nombreux domaines tels que l’imagerie m´edicale, le contrˆole non-destructif, la surveillance environnementale, la s´ecurit´e du territoire, etc. L’imagerie gamma conventionnelle reste limit´ee par la faible qualit´e des images scintigraphiques. Les deux principaux facteurs de d´egradation des images sont dus aux ph´enom`enes physiques que sont l’att´enuation et la diffusion, inh´erentes au rayonnement traversant la mati`ere. La r´esolution de ces probl`emes reste `a l’heure actuelle un d´efi technique majeur. En rupture avec les m´ethodes conventionnelles pour lesquelles le rayonnement diffus´e est consid´er´e comme nuisible et donc est ´elimin´e, un nouveau concept d’imagerie qui propose d’exploiter judicieusement l’information contenue dans le rayonnement diffus´e est apparu. Le processus de formation d’images par rayonnement diffus´e au premier ordre sur une cam´era collimat´ee repose sur la Transformation de Radon (TR) Conique Compos´ee dont l’inversion analytique a ´et´e ´etablie en 2002. Ainsi, une s´erie d’images du rayonnement ´emanant de l’objet pour diff´erentes ´energies, correspondant `a diff´erents angles de diffusion Compton, fournit un ensemble complet de donn´ees suffisant pour une reconstruction tridimensionnelle de l’objet. Ce syst`eme d’imagerie n´ecessite donc une cam´era `a tr`es haute r´esolution ´energ´etique, mais poss`ede l’avantage ind´eniable de pouvoir fonctionner en position fixe. Cependant du fait de la faiblesse du flux des photons diffus´es, et de la pr´esence du collimateur qui ne laisse passer qu’un photon ´emis sur 10 000, la sensibilit´e des images est tr`es faible, c’est pourquoi nous proposons, dans le cadre de cette th`ese, d’´etudier la faisabilit´e d’un syst`eme d’imagerie gamma du diffus´e `a haute sensibilit´e sans collimation m´ecanique. La mod´elisation du rayonnement diffus´e `a l’int´erieur de la mati`ere a permis d’´etablir un mod`ele d´eterministe de formation des images sur une cam´era sans collimateur pour un milieu bidimensionnel puis tridimensionnel. Des simulations de type Monte Carlo ont permis, d’une part, de valider ces mod`eles et, d’autres part, de constater l’augmentation de la sensibilit´e pour une imagerie du diffus´e lorsqu’on retire le collimateur. La mod´elisation math´ematique de l’imagerie du diffus´e sans collimateur conduit `a une nouvelle transform´ee de Radon sur des cˆones d’axe pivotant. L’inversion analytique de cette transform´ee n’´etant pas encore connue ` a l’heure actuelle, la r´esolution du probl`eme inverse a ´et´e test´ee par des m´ethodes num´eriques de reconstruction telles que l’inversion par d´ecomposition en valeurs singuli`ere tronqu´ee, l’ART (Algebraic Reconstruction Technique) ou le gradient conjugu´e. Les bons r´esultats de ces reconstructions permettent de franchir une premi`ere ´etape dans l’´etude de la faisabilit´e de cette imagerie, mais nous sommes conscients des probl`emes qui restent `a r´esoudre, notamment pour corriger l’att´enuation et la diffusion d’ordre multiple. Les mod`eles de flux photonique diffus´e, ´etablis pour le principe d’imagerie par ´emission `a haute sensibilit´e, ont ´et´e utilis´es pour ´etendre ce principe `a la modalit´e d’imagerie par

viii transmission. Cette nouvelle imagerie permet de caract´eriser un objet par sa carte de densit´e ´electronique, qui repr´esente un certain avantage dans le cadre du contrˆole non-destructif. Sur le plan math´ematique, cette imagerie conduit `a d’autres g´en´eralisations de la TR : TR sur des arcs de cercles et TR sur des tores. Enfin, ces deux syst`emes d’imagerie, bas´es sur le rayonnement diffus´e au premier ordre recueilli par un d´etecteur sans collimateur `a grande r´esolution ´energ´etique, peuvent ˆetre coupl´es pour faire apparaˆıtre un appareil bimodal dans le domaine biom´edical, capable de d´eterminer la carte de la densit´e ´electronique avant de reconstruire l’activit´e radioactive dans le corps du patient. En termes de perspectives, la haute sensibilit´e et la bimodalit´e sont bien des performances `a atteindre par tout syst`eme d’imagerie du futur. Par contre, la demande sp´ecifique d’une haute r´esolution ´energ´etique de d´etection se distingue des am´eliorations g´en´eralement recherch´ees en r´esolution spatiale ou temporelle.

Table des mati` eres

Introduction

1

I

5

G´ en´ eralit´ es

1 Rayonnements photoniques ionisants 1.1 Nature et origine des rayonnements X et gamma . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Le rayonnement ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 La structure de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Production des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Production des radionucl´eides et des radiopharmaceutiques . . 1.2 Interactions des rayonnements photoniques ionisants avec la mati`ere . 1.2.1 Nature physique des interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Att´enuation des rayonnements X et gamma . . . . . . . . . . . 1.3 D´etection des rayonnements ionisants et dispositifs d´edi´es `a l’imagerie 1.3.1 Les diff´erents types de d´etecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Les diff´erents dispositifs d’imagerie . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 8 8 10 12 13 14 14 15 20 20 21

2 Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants 2.1 Principe des imageries par rayonnements ionisants directs . . . . . . . . . 2.1.1 Tomographie par rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Tomographie par ´emission monophotonique . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Tomographie par ´emission de positons . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Techniques de mod´elisation de la formation des images . . . . . . . . . . . 2.2.1 Formulation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Simulation de type Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 M´ethodes de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 M´ethodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 M´ethodes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Un exemple de reconstruction bidimensionnel en imagerie SPECT

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27 28 28 30 31 32 32 34 34 34 36 37

II

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Imagerie par rayonnement photonique diffus´ e

3 Vers une nouvelle imagerie par l’exploitation du rayonnement diffus´ e 3.1 Constat et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 D´egradations li´ees ` a la diffusion Compton . . . . . . . . . . 3.1.3 Exploitation du diffus´e en g´en´eral . . . . . . . . . . . . . .

41 . . . .

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43 43 43 44 45

x

Table des mati` eres 3.2

Concept et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4 Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e 4.1 Correction d’images scintigraphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Techniques existantes : s´eparation des photons primaires et des photons diffus´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 M´ethode innovante : restauration multi´energ´etique . . . . . . . . . . . . 4.2 Imagerie 3D par ´emission du rayonnement diffus´e du premier ordre . . . . . . . 4.2.1 Principe et avantage de l’imagerie gamma par rayonnement diffus´e . . . 4.2.2 Formation de l’image par le rayonnement diffus´e simplement et inversion analytique de la T RCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Estimation de la carte de l’att´enuation et reconstruction num´erique avec correction de l’att´enuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 49 50 51 51 52 55

III Imagerie par rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre ` a haute sensibilit´ e 59 5 Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 N´ecessit´e d’augmenter la sensibilit´e dans le cas du diffus´e . . . . . . . . 5.1.2 Concept technique de l’imagerie par rayonnement gamma diffus´e `a haute sensibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Imagerie par ´emission dans un milieu de deux dimensions (2D) . . . . . . . . . ´ 5.2.1 Etablissement du mod`ele de la formation d’images en 2D . . . . . . . . 5.2.2 Mod´elisation plus fine du P SF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Comparaison entre le mod`ele du P SF et la simulation Monte Carlo . . 5.2.4 Reconstructions d’une image par imageries du rayonnement diffus´e . . . 5.2.5 Reconstructions d’une image par imagerie du rayonnement diffus´e dans un milieu d’att´enuation constante et connue . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6 R´esultats des reconstructions `a partir des donn´ees simul´ees par Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Imagerie par ´emission dans un milieu de trois dimensions (3D) . . . . . . . . . 5.3.1 Formation de l’image dans un milieu 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.3.2 Etablissement de la r´eponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Validation des mod`eles directes par simulation Monte Carlo . . . . . . . 5.3.4 Reconstructions d’un objet tridimensionnel par l’imagerie du rayonnement diffus´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 R´esultats des reconstructions `a partir des donn´ees simul´ees par Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 61

6 Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transform´ee de Radon Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Une premi`ere configuration : sur des cercles passant par l’origine du plan (TRCirc1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 94

61 63 63 68 71 72 75 77 79 79 80 84 87 90

94

Table des mati` eres 6.2.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Une deuxi`eme configuration : sur des demi-cercles dont les centres d´ecrivent une droite (TRSCirc2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tomographie Compton reposant sur la transform´ee de Radon TRAC1 . . . . . Extension vers la tomographie Compton tridimensionnelle . . . . . . . . . . . . Une nouvelle tomographie Compton 2D (TRAC2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . Vers un nouveau concept d’appareil bimodal en imagerie m´edicale . . . . . . .

xi

Conclusion et perspectives

98 101 104 106 110 115

A Architecture logicielle 119 A.1 Structure du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 A.2 Liste des principales fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 B Simulation de Monte Carlo

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Bibliographie

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Publications

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Introduction Les techniques d’imagerie non-invasive permettent de visualiser les caract´eristiques internes d’un objet ou d’un milieu sans l’endommager. Le principe de l’imagerie interne consiste `a d´etecter une grandeur physique apr`es son interaction directe, ou apr`es l’interaction d’une substance chimique ou biologique qui lui est associ´ee, avec la mati`ere de l’objet sous examen. La grandeur physique peut ˆetre de nature ´electromagn´etique (lumi`ere, infrarouge, rayons X, gamma, champ magn´etique. . . ), de nature subatomique (neutrons), de nature sonore (ultra-sons), de nature ´electrique (courants de Foucault). . . Parmi les diff´erentes modalit´es d’imagerie qui d´ependent des grandeurs physiques cit´ees ci-dessus, nous nous int´eressons `a l’imagerie par rayonnements photoniques ionisants (rayons X et gamma). Les rayonnements X ou gamma correspondent `a des photons tr`es ´energ´etiques (suffisamment pour ioniser un atome ou une mol´ecule), qui sont donc peu absorb´es et peu d´evi´es par la mati`ere qu’ils traversent. C’est pourquoi l’imagerie par rayonnements photoniques ionisants (ou p´en´etrants) est devenue un instrument indispensable dans de nombreux domaines tels que le Contrˆole Non Destructif (CND) et l’imagerie biom´edicale. Le contrˆole non destructif est utilis´e pour surveiller la qualit´e d’une pi`ece lors de sa fabrication sans la d´egrader, ou pour v´erifier l’´etat d’usure d’une pi`ece lors de son utilisation sans la d´emonter. L’imagerie biom´edicale permet d’obtenir des informations anatomiques ou fonctionnelles des organes des ˆetres vivants in vivo, `a des fins d’aide au diagnostique, d’assistance visuelle a` la chirurgie, chimioth´erapie, ou radioth´erapie, mais aussi ` a des fins de recherches pr´e-cliniques. Il existe deux modalit´es d’imagerie couramment utilis´ees en imagerie par rayonnements p´en´etrants : – l’imagerie par transmission consiste `a placer l’objet entre une source de rayonnement et un d´etecteur. La mesure du rayonnement transmis contient l’information sur l’att´enuation ` a l’int´erieur de l’objet. Cette modalit´e est couramment utilis´ee en CND ou dans le domaine m´edical, pour obtenir soit une image 2D de la structure interne d’un objet tridimensionnel (radiologie), soit une reconstruction 3D de l’objet en effectuant plusieurs prises de vue autour de l’objet (scanner ou CT (computed tomography)). – l’imagerie par ´emission cherche `a localiser et quantifier un rayonnement ionisant dont l’origine se trouve ` a l’int´erieur de l’objet. La radioactivit´e `a l’origine des rayonnements peut se trouver intrins`equement dans l’objet (r´eacteur nucl´eaire, d´echets radioactifs, arme nucl´eaire. . . ), ou y ˆetre introduite, comme dans le cas de l’imagerie biom´edicale. Dans ce cas, le fonctionnement de l’organe est examin´e par l’interm´ediaire d’une substance (ligand) biologique. C’est pour contrˆoler le comportement de ce ligand dans le corps, qu’une source ´emettrice lui est attach´ee. Cette modalit´e est plus on´ereuse que la pr´ec´edente, elle est donc surtout utilis´ee en imagerie biom´edicale. On peut ´egalement obtenir des images

2

Introduction 2D de l’activit´e tridimensionnelle du patient (scintigraphie) ou obtenir une reconstruction tridimensionnelle bas´ee sur le principe de la tomographie (imageries SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) ou PET (Positron Emission Tomography)).

L’interaction entre le rayonnement et la mati`ere est caract´eris´ee par l’att´enuation du rayonnement qui d´epend des ´energies du rayonnement et de la nature du mat´eriau travers´e. Pour l’imagerie par rayonnement gamma, l’att´enuation est surtout compos´ee de la diffusion par effet Compton et de l’absorption par effet photo´electrique. L’att´enuation est le ph´enom`ene physique qui permet de caract´eriser l’objet en imagerie par transmission, mais devient un facteur nuisible en imagerie par ´emission. La diffusion du rayonnement introduit un flou ´etal´e dans l’image, une perte de contraste, et une mauvaise localisation voire une fausse d´etection des petites structures. Actuellement, dans l’imagerie nucl´eaire conventionnelle, le diffus´e est consid´er´e comme un facteur de bruit et plusieurs m´ethodes de correction sont propos´ees dans le but de le supprimer. Pourtant parall`element, plusieurs concepts d’imagerie utilisant la diffusion par effet Compton sont apparus avec l’´evolution de la technologie, notamment dans l’´electronique de d´etection. Ces concepts d’imagerie reposent sur la relation Compton qui relie l’angle de diffusion ` a la perte d’´energie du photon et proposent d’utiliser la diffusion Compton, soit dans le milieu ´etudi´e pour de l’imagerie par transmission, soit `a l’int´erieur mˆeme du d´etecteur pour de l’imagerie par ´emission. En 2001, une tactique radicalement nouvelle a ´et´e propos´ee en imagerie nucl´eaire par ´emission [NFET01, NT02]. Le processus de formation d’image par diffusion Compton sur un d´etecteur collimat´e multi´energique a ´et´e mod´elis´e par la transformation de Radon conique compos´ee (TRCC). Cette transform´ee est une version g´en´eralis´ee de la transform´ee de Radon, classiquement utilis´ee en tomographie standard, et poss`ede une inversion analytique. Cette imagerie poss`ede l’avantage ind´eniable de pouvoir fonctionner avec une cam´era fixe, mais la sensibilit´e des images est fortement r´eduite par rapport `a l’imagerie conventionnelle. L’id´ee soutenue dans ce m´emoire est d’´etendre ce principe d’imagerie pour une cam´era non collimat´ee afin d’augmenter la sensibilit´e d’une fa¸con significative. En effet, en pr´esence du collimateur, seul un photon est d´etect´e sur 10 000 photons ´emis par la source. Le travail, effectu´e dans le cadre de cet th`ese, a pour but de v´erifier la faisabilit´e de cette nouvelle imagerie. Les deux premiers chapitres de ce rapport, rassembl´es dans la partie (( G´en´eralit´es )), pr´esentent un ´etat de l’art concernant l’imagerie par rayonnements photoniques ionisants. Nous commen¸cons par rappeler les notions physiques intervenant dans cette imagerie, puis nous d´etaillons les diff´erents principes d’imagerie par rayonnements photoniques ionisants. Nous abordons dans la deuxi`eme partie du document l’id´ee de l’exploitation judicieuse du rayonnement diffus´e dans diff´erents domaines et plus sp´ecifiquement en imagerie gamma. La troisi`eme partie, consacr´ee au travail men´e pendant cette th`ese, d´ebute par l’´etablissement du mod`ele de formation des images par rayonnement gamma diffus´e au premier ordre par ´emission pour un milieu en deux dimensions. Ce mod`ele a ´et´e valid´e par des simulations de type Monte Carlo. Les r´esultats de reconstructions bas´ees sur m´ethodes alg´ebriques sont ensuite pr´esent´es et permettent de valider une premi`ere ´etape dans la faisabilit´e de cette imagerie. Ce travail sur l’´etude de cette imagerie par ´emission est ensuite ´etendu pour un milieu tridimensionnel et confirme sa faisabilit´e. Les mod`eles d´evelopp´es pour l’imagerie par ´emission sont ensuite utilis´es dans le cadre de l’imagerie par transmission. Ceci am`ene `a la Transforma-

Introduction

3

tion de Radon Circulaire (TRCirc) et nous d´ecrivons ses diff´erentes configurations. Finalement, nous proposons un syst`eme de tomographie Compton dans une g´eom´etrie circulaire bas´e sur une TRCirc non ´etudi´ee jusqu’`a pr´esent `a notre connaissance. Cette ´etude repr´esente la premi`ere pierre de l’imagerie par rayonnement gamma `a haute sensibilit´e, mais soul`eve de nouvelles questions d’ordre th´eorique, notamment sur la g´en´eralisation de l’inversion de la TRCirc, et technologique, principalement sur le concept de d´etecteur `a tr`es bonne r´esolution ´energ´etique. La conclusion et les perspectives font l’objet de la derni`ere partie.

Premi` ere partie

G´ en´ eralit´ es

1 Rayonnements photoniques ionisants Ce premier chapitre rassemble les diff´erentes notions physiques n´ecessaires pour la compr´ehension du travail pr´esent´e dans cette th`ese. Le but de cette partie n’est pas de s’interroger sur l’origine physique des ph´enom`enes, mais d’en donner une description ad´equate pour comprendre leur utilisation en imagerie. Le concept de l’imagerie interne non invasive repose sur l’interaction entre un objet (objet inanim´e ou ˆetre vivant) et un vecteur physique ou chimique (onde ´electromagn´etique, ultrasons, champ magn´etique, ligand biologique) afin d’´etudier la structure ou le fonctionnement interne de cet objet. L’imagerie par rayonnement photonique ionisant utilise des photons d’´energie suffisamment ´elev´ee pour qu’une partie de ces rayonnements puissent traverser l’objet : les rayonnements X et gamma. L’imagerie par transmission utilise l’information contenue dans l’interaction des rayonnements photoniques avec la mati`ere et apporte des informations sur la structure de l’objet. L’imagerie conventionnelle par ´emission utilise l’information contenue dans le positionnement et l’activit´e de sources de rayonnements introduites ou pr´esentes `a l’int´erieur de l’objet ´etudi´e. Dans le domaine m´edical, le positionnement des sources est r´ealis´e biologiquement grˆace `a des interactions m´etaboliques ou physiologiques. Cette imagerie permet d’obtenir des informations fonctionnelles sur les organes. Dans ce cas, les interactions des rayonnements avec la mati`ere n’apportent pas d’information, au contraire ils sont `a l’origine d’une partie du bruit pr´esent dans les images. Nous pr´esenterons en premier l’origine physique et la production des rayonnements X et gamma. Puis, nous d´ecrirons les interactions subies par ces rayonnements lors de leur travers´ee dans la mati`ere ` a l’´echelle du photon, puis `a l’´echelle du flux de photons. Enfin, nous verrons comment ces interactions entre la mati`ere et les photons sont mises `a profit pour d´etecter ces rayonnements.

8

Rayonnements photoniques ionisants

1.1 Nature et origine des rayonnements X et gamma 1.1.1 Le rayonnement ´ electromagn´ etique Le rayonnement ´electromagn´etique correspond `a un transfert d’´energie qui s’effectue en ligne droite avec une vitesse de 3.108 m.s−1 dans le vide. Lorsque les rayonnements ´electromagn´etiques traversent un milieu, leur vitesse est moins grande que celle dans le vide et leur trajectoire peut ˆetre modifi´ee par des interactions avec la mati`ere : le rayonnement peut subir une absorption qui se traduit par une perte d’´energie ou une diffusion qui correspond `a un changement de direction dans la trajectoire. Les diff´erents types de rayonnements ´electromagn´etiques tels que les ondes radio, les microondes, l’infrarouge, la lumi`ere visible, les ultraviolets, les rayons X et les rayons gamma qui constituent le spectre ´electromagn´etique se diff´erencient par leur longueur d’onde (λ), leur fr´equence (ν) et leur ´energie (E). Les propri´et´es du rayonnement ´electromagn´etique dans les diff´erents domaines de son spectre sont exploit´ees en imagerie (Fig. 1.1). En voici une liste d’exemples non exhaustive : les rayons gamma sont utilis´es pour imager une distribution de marqueurs radioactifs ; les rayons X permettent de reconstruire la densit´e d’un mat´eriau ; la lumi`ere visible donne acc`es ` a des observations directement visibles avec l’oeil ou `a l’aide d’instruments d’optiques ; les radiofr´equences sont utilis´ees pour la transmission et la r´eception du signal en imagerie par r´esonance magn´etique (IRM). Le rayonnement ´electromagn´etique est d´ecrit par deux aspects indissociables, l’aspect ondulatoire et l’aspect corpusculaire. Dans certaines situations, le rayonnement ´electromagn´etique se comporte comme une onde mais, dans d’autres, son comportement doit ˆetre d´ecrit `a l’aide de quanta d’´energie appel´es photons. Toutes les ondes (m´ecaniques et ´electromagn´etiques) sont caract´eris´ees par leur amplitude, leur longueur d’onde (λ), leur fr´equence (ν) et leur p´eriode. La vitesse de toute onde est reli´ee ` a sa longueur d’onde et sa fr´equence par : c = λν.

(1.1)

Comme la vitesse du rayonnement ´electromagn´etique est constante (dans le vide), sa fr´equence est inversement proportionnelle a` la longueur d’onde. L’´energie d’un photon est donn´ee par la formule de Planck : E = hν = hc/λ (1.2) o` u h est la constante de Planck (h=6,62.10−34 J.s=4,13.10−18 keV.s). Bien qu’il soit ´equivalent de d´ecrire un rayonnement ´electromagn´etique par sa longueur d’onde, sa fr´equence ou son ´energie, on pr´ef`ere caract´eriser les ondes radio par leur fr´equence, la lumi`ere proche infrarouge, visible et ultraviolette par sa longueur d’onde, et les photons X ou gamma par leur ´energie exprim´ee en keV. Le rayonnement ´electromagn´etique situ´e dans la partie du spectre des fr´equences sup´erieures aux ultraviolets a suffisamment d’´energie par photon pour ´ejecter des ´electrons hors de leur orbite atomique et produire ainsi des atomes et des mol´ecules ionis´es. Le rayonnement dans cette partie du spectre est dit ionisant et le rayonnement d’´energie inf´erieure est appel´e rayonnement non ionisant. Le seuil de l’´energie d’ionisation d´epend du type de mati`ere, par exemple, pour l’eau, le minimum d’´energie pour ´ejecter un ´electron est 12,6 keV.

M´ethodes d’imagerie

Energie

Longueur d’onde

Fr´equence

1012 Hz

Imagerie aux rayons T

Micro Onde

700 nm

Infrarouge

Ondes T´erahertz

450 nm

Imagerie acousto-optique

Tomographie optique de fluorescence

Tomographie a` ´emission de positons (PET)

Tomographie a` ´emission monophotonique (SPECT) Scanner X

70 - 511 keV Scintigraphie

20 - 150 keV

Rayons X durs

Rayons gamma

Radiographie

Ultraviolet

Rayons X mous

Rayonnements ionisants

Tomographie par coh´erence optique (OCT)

Visible

Fig. 1.1: Spectre ´electromagn´etique et m´ethodes d’imagerie internes non invasives.

Imagerie par r´esonance magn´etique

50.106 Hz

Onde Radio

Rayonnements non ionisants

1.1 Nature et origine des rayonnements X et gamma 9

10

Rayonnements photoniques ionisants

1.1.2 La structure de l’atome L’atome est par d´efinition la plus petite division de la mati`ere qui conserve l’identit´e chimique de l’´el´ement. Il est compos´e d’un noyau tr`es dense charg´e positivement, compos´e de neutrons et de protons, et d’un nuage d’´electrons charg´es n´egativement. L’atome, dans son ´etat fondamental, est ´electriquement neutre car il contient le mˆeme nombre de protons que d’´electrons. Le rayon d’un atome est de l’ordre de 10−10 m et celui du noyau est approximativement 10−15 m, l’atome contient donc en majeure partie du vide. En 1913, Niels Bohr a am´elior´e le mod`ele plan´etaire pour l’atome d’hydrog`ene en consid´erant que seules certaines orbites, obtenues par le principe de quantification, sont stables. Ce mod`ele de Bohr est le dernier mod`ele semi-classique de l’atome avant l’approche quantique que nous n’allons pas aborder dans le cadre de cette th`ese. 1.1.2.1 Structure ´ electronique de l’atome Les niveaux ´energ´etiques sur lesquels on trouve les ´electrons s’appellent les couches. Il existe sept couches concentriques nomm´ees K, L, M. . . la couche K ´etant la plus proche du noyau. Chaque couche ne peut contenir qu’un nombre limit´e d’´electrons : 2n2 avec n le nombre quantique associ´e aux couches. Donc la couche K (n=1) ne compte que 2 ´electrons, la couche L (n=2) en compte 8, etc. L’´energie n´ecessaire pour ´ejecter un ´electron hors d’un atome est appel´ee ´energie de liaison de l’´electron. Par convention, elle est prise nulle pour les ´electrons se trouvant la couche la plus ´eloign´ee du noyau (orbite de valence), puis augmente plus on se rapproche du noyau. L’´energie de liaison des ´electrons d’une orbite donn´ee augmente avec le num´ero atomique de l’atome. Un ´electron peut ˆetre ´eject´e hors de son orbite apr`es une interaction avec un photon ou une particule charg´ee d’´energie suffisante, il laisse alors un trou dans la couche. L’atome se trouve alors dans un ´etat excit´e instable, il va revenir dans son ´etat fondamental grˆace `a une transition d’un ´electron provenant d’une couche sup´erieure et qui peut conduire `a d’autres transitions ´electroniques. Ces transitions ´electroniques sont `a l’origine de l’´emission des photons de la lumi`ere visible, ultraviolets et des rayons X. L’´energie de ces rayonnements est caract´eristique de chaque atome. Les ´emissions produites par les transitions exc´edant 100 eV correspondent aux rayonnements X caract´eristiques (ou fluorescents). La restitution de l’´energie peut aussi se traduire par l’´emission d’un ´electron, appel´e ´electron Auger, appartenant g´en´eralement `a la mˆeme couche que l’´electron qui effectue la transition et cr´eant ainsi une ionisation suppl´ementaire. 1.1.2.2 Le noyau de l’atome A l’int´erieur du noyau, la force r´epulsive coulombienne qui s’exerce entre les protons est contr´ee par la force attractive provenant des ´echanges de pions entre les nucl´eons, appel´ee force forte. Comme la force forte est de courte port´ee (10−15 m), elle n’est pas suffisante pour assurer la coh´esion du noyau dans certains cas. Lorsque le noyau est instable, ce qui est dˆ u `a un exc`es de protons ou de neutrons ou des deux, il se transforme spontan´ement, en temps plus ou moins bref, en ´emettant des rayonnements [Eva55]. Les radionucl´eides qui ont une dur´ee de vie de plus de 10−12 s sont dit m´etastables et sont r´ef´erenc´es par la lettre m, c’est le cas du techn´etium (Tc-99m). La radioactivit´e peut se traduire soit par un changement de nature chimique de l’´el´ement fils, on parle alors de d´esint´egration nucl´eaire, soit par une simple transition ´energ´etique, appel´ee transition nucl´eaire. Il existe diff´erents modes de transformations nucl´eaires :

1.1 Nature et origine des rayonnements X et gamma -2,5 keV

-2,5 keV

-11 keV

-11 keV Rayon X caract´erisque E=67 keV

´electron de cascade -69,5 keV Vacance

11

´electron d’Auger E=64,5 keV

´electron de cascade -69,5 keV

´energie transf´er´ee

Vacance

(a)

L

K

M

(b)

K

L

M

Fig. 1.2: D´eexcitation de l’atome de tungst`ene : par ´emission de rayonnement X caract´erisque (a), par ´emission d’un ´electron d’Auger (b). D´ esint´ egration alpha : un noyau tr`es lourd peut ´ejecter une particule alpha, constitu´ee de deux protons et deux neutrons et se transformer en un noyau plus l´eger. Les particules alpha sont ´emises avec de tr`es grandes ´energies (>MeV) sp´ecifiques aux radionucl´eides. D´ esint´ egration bˆ eta moins : les atomes contenant trop de neutrons peuvent ´ejecter un ´electron, un des neutrons du noyau se transforme alors en proton. D´ esint´ egration bˆ eta plus : les atomes contenant trop de protons peuvent ´ejecter un positon, un proton se transforme alors en neutron. Radioactivit´ e gamma : l’´energie de la r´eorganisation des nucl´eons d’un noyau excit´e peut se traduire par l’´emission d’un photon gamma : Eγ = hν = Ei − Ef . L’´energie du photon gamma d´epend du radionucl´eide. ´ 1.1.2.3 Emission poissonnienne Le ph´enom`ene de d´esint´egration radioactive n’est pas r´egulier dans le temps mais correspond a` un processus poissonnien. Le nombre de d´esint´egrations observ´ees est la r´ealisation d’une variable al´eatoire X qui suit une distribution de Poisson de param`etre λm repr´esentant la valeur moyenne de X. La probabilit´e d’observer k d´esint´egrations pendant un intervalle de temps donn´e est : λk (1.3) P {X = k} = e−λm m k! 1/2

−1/2

La variance de X vaut λm et l’erreur relative moyenne en assimilant X `a λm est : λm Plus λm est petit, plus l’erreur est grande.

.

1.1.2.4 Mesures de la radioactivit´ e Le Becquerel (Bq) est l’unit´e de l’activit´e d’un ´echantillon, c’est-`a-dire du nombre de d´esint´egrations des noyaux radioactifs par seconde : 1 Bq = 1 d´esint´egration par seconde. L’ancienne unit´e de mesure de la radioactivit´e est le curie (Ci) 1 Ci = 37.109 Bq. Le gray (Gy) est l’unit´e permettant de mesurer la dose absorb´ee, c’est-`a-dire la quantit´e d’´energie re¸cue par l’objet expos´e aux rayonnements : 1 Gy = 1 joule par kilo de mati`ere irradi´ee.

12

Rayonnements photoniques ionisants

Et enfin le sivert (Sv) permet de mesurer les effets biologiques, ou dose ´equivalente, des rayonnements sur un organisme expos´e : ils d´ependent du type de rayonnements et des organes touch´es.

1.1.3 Production des rayons X Les rayons X sont produits quand des ´electrons hautement ´energ´etiques interagissent avec la mati`ere et convertissent leur ´energie cin´etique en rayonnement ´electromagn´etique. Le principe de l’appareil qui r´ealise ce processus est rest´e le mˆeme depuis la d´ecouverte des rayons X en 1895 par R¨ontgen. L’´el´ement principal de l’appareil est le tube a ` rayons X. Une grande diff´erence de potentiel est appliqu´ee entre deux ´electrodes plac´ees `a l’int´erieur d’une ampoule o` u r`egne un vide pouss´e. Les ´electrons sont c´ed´es par la cathode par effet thermoionique, ils sont ensuite acc´el´er´es par la tension pour acqu´erir une grande ´energie cin´etique, puis en percutant l’anode cible ils rendent leur ´energie majoritairement sous forme de chaleur par collision avec un ´electron des couches p´eriph´eriques de la cible, et plus rarement sous forme de rayonnement X par collision avec un ´electron des couches internes de la cible ou interaction avec un noyau de la cible. La cathode est constitu´ee d’un filament h´elico¨ıdal de tungsten. L’anode est ´egalement, le plus souvent des cas, en tungsten et tourne sur elle-mˆeme pour minimiser les risques de fusion. D’autres ´el´ements constituent l’appareil : l’enceinte qui assure le refroidissement du syst`eme, l’isolation ´electrique et la limitation du rayonnement de fuite, le collimateur qui sert `a restreindre le faisceau des rayons X, et le g´en´erateur qui fournit le voltage servant `a l’acc´el´eration des ´electrons. 1.1.3.1 Spectre de freinage (Bremsstrahlung) Une proportion tr`es faible des ´electrons acc´el´er´es va subir une interaction avec les noyaux de la cible. Lorsqu’un ´electron rentre dans la proximit´e d’un noyau, l’´electron va ˆetre attir´e par le noyau sous l’action de la force coulombienne, il va ralentir et ˆetre d´evi´e. Un photon X d’´energie ´egale ` a la perte d’´energie cin´etique du photon est ´emis (par conservation d’´energie). La distance subatomique entre l’´electron incident et le noyau d´etermine l’´energie perdue par l’´electron pendant l’interaction, car la force coulombienne augmente avec l’inverse du carr´e de la distance d’interaction. Pour une distance du noyau relativement grande, la force de Coulomb sera peu importante et le photon X sera de faible ´energie. Pour des distances plus petites, la force d’attraction augmente, l’´electron sera plus fortement d´evi´e et perdra plus d’´energie, le photon X aura une ´energie plus importante. Dans la situation rare d’un impact direct entre l’´electron et le noyau, l’´electron va c´eder toute son ´energie cin´etique au photon X. Du fait du continuum de la distance d’interaction, ce spectre des rayons X est continu de forme triangulaire avec un maximum de photons de basses ´energies et tr`es peu de photons d’´energie maximum se d´eduisant de la diff´erence de potentiel entre les deux ´electrodes. 1.1.3.2 Spectre caract´ eristique Quand l’´energie d’un ´electron incident est sup´erieure a` l’´energie de liaison d’un ´electron appartenant `a un atome de la cible, il est possible ´energ´etiquement d’´ejecter l’´electron li´e et d’ioniser l’atome. Un ´electron d’une couche p´eriph´erique viendra remplir le trou laiss´e par l’´electron ´eject´e, en ´emettant un photon caract´eristique d’´energie ´egale `a celle perdue par

1.1 Nature et origine des rayonnements X et gamma

13

l’´electron au cours de la transition ´electronique. Ce spectre est caract´eris´e par ses raies qui d´ependent du mat´eriau utilis´e pour construire la cible.

1.1.4 Production des radionucl´ eides et des radiopharmaceutiques

Iode 123 Techn´etium 99m Thallium 201 X´enon 127 Fluor 18 Yttrium 86 Iridium 192 Cobalt 60

13,2 h 6,02 h 3,05 j 36,4 j 108 min 14,7 h 74 j 5,3 ans

Types d’´emissions gamma gamma X, gamma X, gamma β+ β+ gamma gamma

´ Energies principales 160 keV 140 keV 170 keV 200 keV 630 keV 1,25 MeV 317 kev 1,17 Mev 1,33 Mev

Utilisation oncologie - neurologie oncologie cardiologie oncologie - pneumologie oncologie - neurologie outil de recherche gammagraphie gammagraphie

CND

P´eriode

M´edical

Radionucl´eide

Tab. 1.1: Propri´et´es physiques des ´el´ements radioactifs les plus utilis´es en imagerie par rayonnement ionisant. Les radionucl´eides sont les ´el´ements qui poss`edent un noyau instable et qui ´emettent des rayonnements lors de leur d´esint´egration. En imagerie nucl´eaire, on utilise des radionucl´eides artificiels qui ´emettent soit des photons gamma (par exemple en SPECT), soit des positons (en PET). En imagerie m´edicale, les radionucl´eides doivent ˆetre attach´es `a une substance biologique (mol´ecule, enzymes, anticorps, hormone, neurotransmetteur, peptides. . . ) qui pr´esente la propri´et´e de se fixer sur l’organe qu’on souhaite imager. L’ensemble constitu´e du traceur radioactif (ou marqueur) et du ligand biologique (ou vecteur) se nomme un radiopharmaceutique. Comme il est rarement possible de greffer directement le radioisotope sur le vecteur (cas de l’iode, et du fluor), les chimistes fixent les radioisotopes en les pi´egeant dans des cages organiques plus facilement manipulables chimiquement. ` La radioactivit´e artificielle a ´et´e d´ecouverte en 1934 par Ir`ene Curie et Fr´ed´eric Joliot. A l’heure actuelle, plus de 2 500 radionucl´eides artificiels sont produits de diff´erentes mani`eres. En imagerie (et plus particuli`erement en imagerie m´edicale), les radionucl´eides doivent satisfaire un certain nombre de crit`eres : courte dur´ee de vie, faible ´energie, coˆ ut de fabrication, etc. Leur fabrication s’effectue principalement par cyclotrons, par r´eactions nucl´eaires ou par g´en´erateurs de radionucl´eides [Zim06]. 1.1.4.1 Production par cyclotron Les cyclotrons ou les acc´el´erateurs lin´eaires produisent des radionucl´eides en bombardant des noyaux stables avec des particules charg´ees de tr`es grande ´energie. La cible irradi´ee est ensuite trait´ee par les chimistes pour en s´eparer les ´el´ements radioactifs. Cette op´eration est facilit´ee lorsque le radioisotope form´e est de nature diff´erente de l’isotope froid servant de cible. Par exemple, le fluor 18, ´emetteur de positons, est form´e `a partir de l’Oxyg`ene 18.

14

Rayonnements photoniques ionisants

1.1.4.2 Production par r´ eaction nucl´ eaire Il y a deux m´ethodes principales pour produire des radioisotopes dans des r´eacteurs : la fission nucl´eaire et l’activation neutronique. Les radioisotopes utilis´es en m´edecine nucl´eaire peuvent provenir soit d’un r´eacteur d´edi´e `a leur fabrication, soit du recyclage des (( d´echets )) radioactifs provenant de la fission de l’Uranium 235 utilis´e dans les centrales nucl´eaires. C’est le cas de l’Iode 131 utilis´ee en th´erapie, et du Molybd`ene 99. 1.1.4.3 Production par g´ en´ erateurs Un g´en´erateur est un syst`eme permettant de r´ecup´erer un radioisotope (( fils )) `a partir de son radioisotope (( p`ere )). L’isotope (( parent )) est fix´e sur une colonne d’alumine qui le retient pendant qu’une solution de pertechn´etate de sodium permet de soustraire la partie radioisotope (( fils )). Le Techn´etium 99m, l’´emetteur de photons gamma le plus utilis´e, est produit grˆace au g´en´erateur ` a partir du Molybd`ene 99.

1.2 Interactions des rayonnements photoniques ionisants avec la mati` ere 1.2.1 Nature physique des interactions Un photon peut interagir avec les ´electrons, les noyaux, ou les champs ´electromagn´etiques pr´esents `a l’int´erieur des atomes. Lors d’une interaction, le photon peut garder toute son ´energie (diffusion ´elastique), perdre une partie de son ´energie (diffusion in´elastique) ou perdre la totalit´e de son ´energie (absorption) [BS81]. 1.2.1.1 Diffusion ´ elastique (Thomson-Rayleigh) Diffusion Thomson La diffusion Thomson est la diffusion ´elastique d’un photon par un ´electron, elle ne concerne que les photons de basse ´energie qui sont absorb´es par un ´electron atomique. Celui-ci est ainsi mis en oscillation forc´ee et r´e´emet un photon de mˆeme ´energie que le photon incident mais pas forc´ement de mˆeme direction. Diffusion Rayleigh Lorsque la longueur d’onde du photon incident est du mˆeme ordre de grandeur que la dimension de l’atome, le photon incident interagit avec tous les ´electrons de l’atome qui se met ` a osciller en phase avant d’´emettre un photon de mˆeme ´energie que le photon incident. En g´en´eral, l’angle de diffusion augmente quand l’´energie du photon incident diminue. 1.2.1.2 Diffusion Compton L’effet Compton correspond ` a la collision entre un photon incident, d’´energie E0 , et un ´electron libre. Le photon c`ede une partie de son ´energie a` l’´electron qui se met en mouvement suivant une direction d’angle ϕ avec la direction du photon incident. Le photon diffus´e, qui n’a alors plus qu’une ´energie Eω , est d´evi´e d’un angle ω de sa direction incidente. L’´energie du photon diffus´e est donn´ee par la relation Compton [Com23] : Eω =

1+

E0 E0 me c2 (1 −

cos ω)

,

(1.4)

1.2 Interactions des rayonnements photoniques ionisants avec la mati` ere

15

140

Energie du photon diffus´e (keV)

135 130 125 120 115 110

Eπ/2 = 109,9 keV

105 100 95 Eπ = 90,4 keV 90 0

20

40

60 80 100 120 Angle de diffusion (deg)

140

160

180

´ Fig. 1.3: Energie d’un photon diffus´e par effet Compton en fonction de l’angle de diffusion dans le cas du Techn´etium 99m (E0 =140 keV). avec me c2 =511 keV ´etant l’´energie de l’´electron au repos. 1.2.1.3 Absorption photo´ electrique Lors d’un effet photo´electrique, le photon c`ede toute son ´energie `a un ´electron atomique. Le photon incident est donc absorb´e et l’´electron, appel´e photo´electron, est ´eject´e hors de l’atome. Pour qu’un effet photo´electrique se produise, il faut que l’´energie du photon incident soit sup´erieure ou ´egale ` a l’´energie de liaison. Le retour `a l’´etat d’´energie fondamentale s’effectue par l’´emission d’un photon caract´eristique ou d’un ´electron Auger. 1.2.1.4 Cr´ eation de paire La cr´eation de paire correspond a` la mat´erialisation d’une paire ´electron–positon lorsqu’un photon disparaˆıt au voisinage d’un noyau ou d’un ´electron atomique. Le positron va rapidement ˆetre frein´e par les collisions successives et perdre ainsi de l’´energie. Il va se lier avec un ´electron pour former un pseudo-atome appel´e positronium. Cette entit´e a une p´eriode de vie tr`es courte (10−10 s) et se transforme en deux photons par annihilation, qui sont ´emis dans des directions oppos´ees avec chacun une ´energie cin´etique de 511 keV.

1.2.2 Att´ enuation des rayonnements X et gamma Un faisceau de photons qui traverse la mati`ere est att´enu´e `a cause de toutes les interactions individuelles des photons. L’att´enuation d´ecrit donc de mani`ere macroscopique l’absorption

16

Rayonnements photoniques ionisants

K L

´electron ´eject´e M

Angle de diffusion ω

Photon incident (E0 )

Photon diffus´e (Eω )

Fig. 1.4: G´eom´etrie de la diffusion Compton : le photon incident d’´energie E0 c`ede une partie de son ´energie a` un ´electron et est d´evi´e d’un angle ω. et de la diffusion des photons. La variation de l’intensit´e d’un faisceau de photons monochromatiques pour la travers´ee d’un milieu homog`ene d’´epaisseur x est donn´ee par la loi de Lambert-Beer : I = I0 exp(−µx), (1.5) o` u µ est le coefficient d’att´enuation lin´eique (cm−1 ) du mat´eriau. Le coefficient d’att´enuation lin´eique d´epend de l’´energie des photons incidents, de la nature et de l’´etat physique du mat´eriau travers´e. C’est pourquoi les tables de coefficients d’att´enuation utilisent g´en´eralement le coefficient d’att´enuation massique (g.cm−2 ) d´efini par le rapport du coefficient d’att´enuation lin´eique et de la masse volumique µ/ρ. ´ Energie (keV) 80 90 100 110 120 130 140 150

Aluminium ρ= 2,699 Z=13 0,202 0,183 0,171 0,161 0,153 0,147 0,142 0,138

Plomb ρ=11,35 Z=82 2,316 7,200 5,540 4,357 3,553 2,899 2,383 2,016

Eau ρ=1

Muscle ρ=1,06

Os ρ=1,5 - 3

4,686 3,437 2,613 2,043 1,647 1,356 1,116 0,944

2,860 2,102 1,604 1,255 1,013 0,838 0,693 0,591

4,574 3,395 2,607 2,056 1,675 1,370 1,129 0,957

Tab. 1.2: Coefficients d’att´enuation massiques en cm2 .g−1 , masse volumique en g.cm−3 pour la plage d’´energie de 80 a` 150 keV.

1.2 Interactions des rayonnements photoniques ionisants avec la mati` ere

17

Photo´electron

Photon incident

K L M

Fig. 1.5: Effet photo´electrique : le photon incident est absorb´e par l’atome. 1.2.2.1 Section efficace σ La section efficace correspond a` la surface fictive que devrait avoir une particule cible pour reproduire la probabilit´e observ´ee de l’interaction avec le photon en supposant que ces collisions se produisent entre objets mat´eriels imp´en´etrables. La section efficace relie la probabilit´e de l’interaction aux positions possibles de l’interaction, par cons´equence la section efficace peut ˆetre sup´erieure ou inf´erieure a` la surface du disque de la section r´eelle de la particule. Une partie des photons d’un flux incident Φ, perpendiculaire a` une fine ´epaisseur dx du milieu, va interagir avec les particules att´enuantes contenues dans cette tranche du milieu. Si on consid`ere qu’il y a n∗ ´el´ements cibles par unit´e de volume, alors pour une surface S donn´ee, la fraction n∗ σdx des photons incidents va ˆetre att´enu´e de telle sorte qu’on obtient : −

dΦ = n∗ σdx. Φ

(1.6)

En int´egrant cette relation sur une longueur x, on retrouve la loi de Lambert-Beer (Eq. 1.5) a` condition de poser : µ = σ n∗ . (1.7) Pour des ´energies de l’ordre de la centaine de keV, le faisceau incident est att´enu´e dans un milieu par deux mani`eres pr´edominantes : – l’absorption photo´electrique due aux na atomes/cm3 de section efficace σ pe cm2 /atome, – la diffusion Compton due au ne ´electrons/cm3 de section efficace σ c cm2 /´electron. En faisant l’hypoth`ese que tous les ´electrons sont des ´electrons libres, la section efficace totale σ tot pour un atome est la somme des sections efficaces des deux ph´enom`enes : σ tot = σ pe + Zσ c ,

(1.8)

avec Z le num´ero atomique. On trouve exp´erimentalement que la section efficace de l’effet photo´electrique varie comme : σ pe ≈

Z5 . (hν)3

(1.9)

18

Rayonnements photoniques ionisants

β−

Photon incident E > 1022 keV

´electron

K L M

β+ positon e− β− e−

511 keV

511 keV

Fig. 1.6: Production de paire : le photon incident est absorb´e par l’atome, le positon se recombine avec un ´electron en cr´eant deux photons d’annihilation de 511 keV de directions oppos´ees. En utilisant l’´equation (1.7), on peut en d´eduire le coefficient d’att´enuation lin´eique µtot total, pour des ´energies de l’ordre de la centaine de keV : µtot = σ tot na = µpe + µc .

(1.10)

1.2.2.2 Section efficace totale de collision σ c de l’effet Compton La section efficace de collision σ c d´etermine la probabilit´e pour qu’un photon subisse une diffusion Compton. Dans une fine couche d’´epaisseur dx, on peut ´ecrire que la probabilit´e de diffusion est ´egale a` la fraction du faisceau qui est retir´ee du faisceau incident par les sites de diffusion : dΦ = ne σ c dx, (1.11) probabilit´e de diffusion = − Φ et le nombre de photons diffus´es par unit´e de volume dNS /dV : dNS dΦ =− = ne σ c Φ. dV dx

(1.12)

Klein et Nishina (1928) ont donn´e une formulation de la section efficace grˆ ace a` un mod`ele quantique. Cette relation fKN (ε) d´epend de l’´energie E0 du photon incident a` travers de la variable ε = E0 /me c2 :     3 2(1 + ε)2 ln(1 + 2ε) 1 1 + ε 1 + 3ε σc = fKN (ε) = + − 2 − , (1.13) σ0 4 ε2 (1 + 2ε) ε 2 ε (1 + 2ε)2 o` u σ0 = 8πre2 /3 est la section efficace pour la diffusion classique de Thomson, et re = e2 /me c2 = 2, 818.10−13 cm est le rayon classique de l’´electron.

1.2 Interactions des rayonnements photoniques ionisants avec la mati` ere

Φ0

19

Φ

S

S σ

dx Fig. 1.7: Att´enuation du flux incident par l’ensemble des sections efficaces σ entourant les particules diffusantes dans la section S du flux. On peut ´ecrire la densit´e ´electronique en faisait apparaˆıtre le nombre d’Avogadro NA : ne = NA ρ Z/A,

(1.14)

o` u ρ est la masse volumique, et Z/A est le rapport entre les nombre de protons et de nucl´eons de l’atome qui vaut 1/2 pour presque toute la mati`ere. Le coefficient d’att´enuation lin´eique Compton est donn´e par : µc = ne σ c = σ c ρNA Z/A. (1.15) 1.2.2.3 Section efficace diff´ erentielle pour la diffusion Compton La section efficace diff´erentielle d´ecrit la distribution angulaire de l’interaction. La section efficace diff´erentielle de collision (dσ c /dΩ)ω est d´efinie telle que dσ c est la probabilit´e pour qu’un photon incident soit d´evi´e dans l’angle solide ´el´ementaire dΩ faisant un angle ω avec la direction incidente du photon. On retrouve la section efficace totale en int´egrant sur tout l’espace : Z π  c dσ c σ = 2π sin ω dω. (1.16) dΩ ω 0

Le nombre de photons diffus´es ` a partir d’un faisceau incident de flux Φ par les particules diffusantes contenues dans l’´el´ement de volume dV dans une direction ω (Fig. 1.2.1.2) se calcule en prenant le diff´erentielle de 1.12 :   c  2 dσ d NS = Φne . (1.17) dV dΩ ω dΩ ω

La section efficace diff´erentielle de collision d´epend de l’angle de d´eviation ω et de l’´energie du photon incident E0 [Dav68] :  c dσ = re2 P (ω) dΩ ω (1.18)   1 + cos2 ω ε2 (1 − cos ω)2 re2 , 1+ = 2 (1 + cos2 ω)[1 + ε(1 − cos ω)] [1 + ε(1 − cos ω)]2

20

Rayonnements photoniques ionisants 100 90

E0 = 140, 1 keV Plomb

Num´ero atomique

80 70 Photo´electrique

60 50

Compton

40 30 20 10 0 101

Eau 102 Energie du photon incident (keV)

103

Fig. 1.8: Dominance des effets d’att´enuation suivant l’´energie du photon incident (autour de la centaine de keV) et le num´ero atomique du milieu. avec ε = E0 /me c2 .

1.3 D´ etection des rayonnements ionisants et dispositifs d´ edi´ es ` a l’imagerie 1.3.1 Les diff´ erents types de d´ etecteurs Tous les d´etecteurs de rayonnements ionisants reposent sur l’interaction du rayonnement avec la mati`ere. Le principe de la d´etection est fond´e sur l’observation et la mesure des effets des rayonnements sur un capteur. Il y a quatre principaux ph´enom`enes : les processus d’ionisation par chocs ; les processus d’excitation, suivis de l’´emission de photons ; les ph´enom`enes physico-chimiques ou chimiques (plaque photographique) ; l’´echauffement (calorim`etre) [Bla97]. Les photons X ou gamma sont principalement d´etect´es par ionisation : d´etecteurs d’ionisation `a gaz, d´etecteurs ` a semi-conducteur ou par scintillation. Le choix de l’utilisation d’un de ces diff´erents d´etecteurs d´epend de la plage d’´energie des photons, des r´esolutions spatiale et ´energ´etique, et de l’efficacit´e, requises par l’application. D’autres consid´erations comme le taux de comptage, la fiabilit´e dans le temps et le prix peuvent intervenir dans ce choix. Les d´etecteurs a ` gaz sont constitu´es d’un volume de gaz dans lequel se trouvent deux ´electrodes entre lesquelles on applique une diff´erence de potentiel. Suivant la valeur de la tension appliqu´ee entre les ´electrodes, le d´etecteur fonctionne dans le r´egime de la chambre d’ionisation, dans le r´egime proportionnel ou le r´egime de Geiger-Muller. Les d´etecteurs `a gaz ne sont plus utilis´es en imagerie nucl´eaire, mais ils sont utilis´es dans ce contexte pour la radioprotec-

1.3 D´ etection des rayonnements ionisants et dispositifs d´ edi´ es ` a l’imagerie

21

90 4e−026 120

60 3e−026

150

30

2e−026

dΩ 1e−026

E0

180

0

1000keV 300keV

ω 140keV

S

S σ

10keV 330

210

240

dx

300 270

Fig. 1.9: A gauche : g´eom´etrie de la section efficace diff´erentielle, `a droite : section efficace diff´erentielle en fonction de l’angle de diffusion ω pour quatre ´energies diff´erentes. tion (d´ebim`etre) ou pour mesurer les activit´es des radiopharmaceutiques (activim`etres). Les scintillateurs sont des mat´eriaux qui ´emettent une lumi`ere visible ou ultraviolette apr`es avoir subi l’interaction d’un rayonnement ionisant. Un photon gamma c`ede par effet photo´electrique ou Compton une partie ou la totalit´e de son ´energie dans le cristal scintillant. L’´electron de recul, ayant acquis une ´energie cin´etique, excite le milieu par choc ´electron-´electron produisant son ralentissement. Par d´esexcitation, le cristal ´emet des photons de longueur d’onde sp´ecifique. Ce ph´enom`ene produit un grand nombre de photons optiques id´ealement proportionnel `a l’´energie d´epos´ee. Un scintillateur doit avoir un grand coefficient d’att´enuation pour stopper un maximum de photons gamma tout en ´etant transparent `a ses propres ´emissions [Pid04]. Les d´etecteurs a ` semi-conducteur sont un type particulier de d´etecteurs `a ionisation. L’interaction du photon gamma dans le cristal cr´ee des paires d’´electron-trou quasi libres dans la bande de valence. Sous l’action d’un champ ´electrique, ces porteurs libres migrent dans le mat´eriau. Le transport des porteurs libres induit un signal de variation des charges aux ´electrodes du d´etecteur, proportionnel ` a l’´energie du photon incident [Sel03, LATL05].

1.3.2 Les diff´ erents dispositifs d’imagerie 1.3.2.1 Cam´ era d’Anger Depuis son d´eveloppement dans les ann´ees 50 [Ang58, Sim88], la cam´era d’Anger demeure toujours la solution standard pour la tˆete de d´etection des gamma-cam´eras utilis´ees en m´edecine nucl´eaire. Une cam´era d’Anger est constitu´ee d’un collimateur qui filtre les photons gamma, d’un cristal scintillant monobloc en NaI:Tl qui transforme les photons gamma en photons lumineux, d’un guide de lumi`ere qui assure l’´etanch´eit´e lumineuse, de tubes photomultiplicateurs qui transforment le signal lumineux en signal ´electrique et d’un syst`eme ´electronique qui estime la position et l’´energie du photon gamma incident. Collimation Le rˆole du collimateur est de former les images des projections de l’objet afin d’effectuer la reconstruction tomographique classique. Le collimateur est construit dans un

22

Rayonnements photoniques ionisants Electronique

Blindage

Anode

Photomultiplicateurs

Dynodes Photocathode Focalisation et acc´el´eration

Guide de lumi`ere Cristal

Collimateur

Fig. 1.10: Sch´ema d’une cam´era type d’Anger. mat´eriau pr´esentant une forte att´enuation aux photons gamma comme le plomb ou le tungst`ene, et il est perc´e des trous permettant de s´electionner la direction d’incidence des photons. Le collimateur ` a trous parall`eles permet aux photons ayant une direction perpendiculaire `a la surface du collimateur d’avoir la plus forte probabilit´e d’arriver `a hauteur du d´etecteur. Ce profil induit une d´egradation de la r´esolution spatiale proportionnellement `a la distance de l’objet source. Ce type de collimateur est utilis´e pour imager des organes de taille similaire `a celle du d´etecteur. D’autres types de collimateurs sont parfois utilis´es : le collimateur en ´eventail (divergent ou convergent) permettant d’augmenter ou de r´eduire le champ de vision et le collimateur st´enop´e permettant un agrandissement inversement proportionnel `a la distance de la source. Cristal scintillant Plusieurs mat´eriaux poss`edent la propri´et´e de convertir l’absorption d’un photon de haute ´energie en ´emission de photons de plus faible ´energie. Le cristal de NaI:Tl est le scintillateur le plus utilis´e en imagerie m´edicale car il poss`ede une densit´e de 3,67 avec un num´ero atomique de l’iode ´elev´e (ZI =53) qui favorise l’effet photo´electrique et sa transparence optique est correcte (index de r´efraction = 1,85). Les impuret´es de thallium ajout´ees dans le cristal NaI ´emettent les photons de fluorescence dans le domaine du bleu visible (3 eV). Le rendement de scintillation (nombre de photons ´emis par ´energie absorb´ee) demeure faible avec 38 photons/keV. Et le temps de d´ecroissance (ou temps de vie de scintillation) vaut 250 ns. Le cristal peut mesurer jusqu’`a 50×60 cm2 , son ´epaisseur doit ˆetre suffisamment importante pour arrˆeter un maximum de photons de hautes ´energies, et assez faible pour ne pas att´enuer les photons lumineux. L’´epaisseur optimale du cristal est de 6 mm pour le Tc-99m, 9,5 mm pour le I-131 et de 19 mm pour les photons de 511 keV. La r´ealisation d’un cristal de telles dimensions repr´esente des prouesses technologiques. Les cristaux r´ealis´es pour les gamma-cam´eras pr´esentent plusieurs inconv´enients pratiques : ils sont sensibles aux chocs, aux variations de temp´eratures, ` a l’humidit´e de l’air, et leur coˆ ut reste relativement ´elev´e (100 000 e). Guide de lumi` ere Le guide de lumi`ere est une plaque en lucite ou en quartz plac´ee entre le cristal scintillant et la fenˆetre d’entr´ee des tubes photomultiplicateurs. Il permet d’adapter l’indice de r´efraction entre ces deux milieux en limitant la r´eflexion totale des photons optiques lors des changements de milieux. Ils servent aussi `a ´eloigner les photomultiplicateurs afin qu’un

1.3 D´ etection des rayonnements ionisants et dispositifs d´ edi´ es ` a l’imagerie

23

plus grand nombre de tubes photomultiplicateurs re¸coivent une quantit´e mesurable de lumi`ere. Dans la construction des premi`eres gamma-cam´eras, les guides de lumi`ere assuraient aussi la protection des cristaux scintillants. Photomultiplicateurs Le tube photomultiplicateur sert `a produire `a partir de la d´etection des photons optiques une impulsion ´electronique exploitable pour le syst`eme ´electronique. Un photomultiplicateur est constitu´e d’un tube `a vide contenant une photocathode, plusieurs dynodes pr´esentant des potentiels croissants (environ 100 V entre chaque dynode), et une anode. Lorsque des photons incidents frappent le mat´eriau de la photocathode, des ´electrons sont ´emis par effet photo´electrique. Les ´electrons sont acc´el´er´es par le champ ´electrique vers la premi`ere dynode sur laquelle ils vont arracher des ´electrons secondaires plus nombreux, qui vont `a leur tour arracher des ´electrons tertiaires sur la dynode suivante et ainsi de suite. Les ´electrons recueillis par l’anode cr´eent une impulsion ´electrique tr`es br`eve de quelques dizaines de mV proportionnelle aux nombres de photons incidents. Syst` eme ´ electronique Le rˆole du syst`eme ´electronique qui relie les photomultiplicateurs entre eux est de d´eterminer l’´energie du photon gamma incident et sa position par un calcul de barycentre. Le syst`eme ´electronique permet aussi un premier filtrage du bruit en rejetant les photons gamma d’´energie inf´erieure au seuil fix´e par la r´esolution ´energ´etique du d´etecteur. Caract´ eristiques de la cam´ era d’Anger La gamma-cam´era type Anger a ´et´e progressivement am´elior´ee grˆace aux avanc´ees technologiques pour atteindre le compromis optimal entre sa sensibilit´e, sa r´esolution en ´energie, sa r´esolution spatiale et sa capacit´e de comptage. Elle arrive aujourd’hui aux limites de ses performances : 8 `a 9 mm de r´esolution spatiale pour un point source ` a 10 cm, 0,01 % d’efficacit´e de d´etection `a 140 keV, 9-10 % de r´esolution ´energ´etique ` a 140 keV, 200 kcoups.s−1 pour le taux de comptage. La cam´era d’Anger a trois facteurs limitants principaux : – le taux de comptage ne peut gu`ere ˆetre am´elior´e car la cam´era ne traite qu’un photon ` a la fois. Il d´epend de la rapidit´e du cristal et de la complexit´e de l’´electronique associ´ee, – la r´esolution en ´energie de la cam´era est limit´ee `a cause de la faible quantit´e de porteurs cr´e´es (environ 2500 charges pour un photon de 140 keV), – le collimateur r´eduit la r´esolution spatiale de la cam´era et l’efficacit´e de la cam´era car il arrˆete 99,99% des photons. 1.3.2.2 Nouvelle g´ en´ eration de gamma-cam´ era D`es les ann´ees 1970, l’id´ee de r´ealiser des images `a partir de d´etecteurs `a base de semiconducteur est envisag´ee. En effet, la conversion directe de l’´energie du photon incident en paires de porteurs dans le semi-conducteur pr´esente deux avantages. – Les charges cr´e´ees par l’interaction sont canalis´ees sous l’action d’un champ ´electrique en conservant l’information spatiale. Ainsi on peut avoir un d´etecteur ´epais pour obtenir un fort pouvoir d’arrˆet sans r´eduire la r´esolution spatiale. – Le nombre de charges cr´e´ees ` a la suite de l’interaction est bien plus important que dans le cas de l’ensemble scintillateur et photomultiplicateur (environ 10 fois plus), ce qui permet d’am´eliorer la r´esolution en ´energie. Les premi`eres tentatives d’utilisation du germanium Ge HP (haute puret´e) ont montr´e une am´elioration du contraste de l’image grˆace `a une meilleure r´esolution en ´energie (1,5 `a 2 %)

24

Rayonnements photoniques ionisants

a` 77 K. La n´ecessit´e de refroidir ce semi-conducteur rend d´elicat son utilisation en imagerie nucl´eaire. L’utilisation du cristal de tellurure de cadmium (CdTe) ou du CdZnTe pour l’instrumentation nucl´eaire est apparue au d´ebut des ann´ees 1990 [PMV99, Gd05]. Ce mat´eriau pr´esente un certain nombre d’avantages pour la d´etection gamma. Il fonctionne `a temp´erature ambiante car sa r´esistivit´e sup´erieure ` a 109 Ω.cm limite le courant d’obscurit´e. Les num´eros atomiques (ZCd =48 et ZTe =52) et la densit´e (d=6) ´elev´es du cristal permettent d’assurer un bon pouvoir d’arrˆet. Ses propri´et´es de transport de charges permettent d’atteindre une r´esolution en ´energie de 5 % ` a 140 keV.

gamma

anode

isolant cathode

pixel

Fig. 1.11: Sch´ema d’une cam´era `a base de semi-conducteur. Ces avanc´ees technologiques permettent de repenser compl`etement l’architecture des gammacam´eras. La cam´era devient pix´elis´ee, c’est-`a-dire qu’elle est form´ee d’une matrice de d´etecteurs ind´ependants. Les progr`es en ´electronique permettent d’envisager l’int´egration d’une chaˆıne de spectrom´etrie gamma au niveau de chaque pixel. Des nouvelles g´eom´etries pour le collimateur (slat, slit, `a trous plus larges) sont propos´ees afin d’am´eliorer de la sensibilit´e de la cam´era. 1.3.2.3 Cam´ era Compton L’id´ee de base de la cam´era Compton est de remplacer le collimateur m´ecanique de la cam´era d’Anger par un collimateur ´electronique utilisant l’effet Compton dans le but d’am´eliorer la sensibilit´e de la cam´era. Le principe de la cam´era Compton a ´et´e propos´e par Todd et Everett en 1976 puis repris par Singh en 1983 [TNE74, Sin83]. Une cam´era Compton est constitu´ee de deux d´etecteurs. Le premier d´etecteur est g´en´eralement une matrice de d´etecteurs en silicium. Comme le silicium est un semi-conducteur de num´ero atomique faible (ZCd =14), il n’a pas assez de pouvoir d’arrˆet pour absorber un photon gamma, mais suffisamment pour que ce photon incident subisse une diffusion Compton. La position et l’´energie de l’´electron de recul sont mesur´ees. Le second d´etecteur, constitu´e soit d’une matrice de d´etecteurs en germanium soit d’un dispositif du type Anger, d´etermine la position et l’´energie du photon diffus´e. Une ´electronique de co¨ıncidence permet de lier le photon gamma incident au photon diffus´e. On d´eduit l’´energie du photon incident grˆace aux deux mesures ´energ´etiques. La diff´erence des ´energies entre le photon incident et le photon diffus´e est reli´ee `a l’angle de la diffusion par la relation de Compton. La source du photon incident se trouve donc sur le cˆone d’angle au

1.3 D´ etection des rayonnements ionisants et dispositifs d´ edi´ es ` a l’imagerie

25

Cˆone de reconstruction sur lequel se trouve le point source

ω

(x1 , y1 , E0 )

D´etection synchrone (x2 , y2 , Eω )

Fig. 1.12: Sch´ema d’une cam´era Compton. sommet donn´e par la diff´erence ´energ´etique des deux photons, de sommet donn´e par la position du photon sur le premier d´etecteur et d’axe passant par les positions des photons donn´ees par les deux d´etecteurs. La reconstruction d’un point source s’effectue `a la suite de plusieurs mesures en cherchant l’intersection de tous les cˆones. Ce type de cam´era est principalement utilis´e en astronomie, mais il est aussi propos´e en imagerie m´edicale. 1.3.2.4 Cam´ era ` a´ emission de positons Ce type de cam´era est utilis´e par la tomographie `a ´emission de positons (PET-scan en anglais) qui est d´ecrite au paragraphe 2.1.3. Le principe du PET est la d´etection des deux photons d’´energie 511 keV ´emis dans des directions oppos´ees dus `a l’annihilation de la paire positon-´electron. Les syst`emes PET ne comportent pas de collimateurs m´ecaniques comme les cam´eras type Anger mais un syst`eme ´electronique de d´etection synchrone. La d´etection des photons d’´energie 511 keV n´ecessite l’utilisation de cristaux pr´esentant un meilleur pouvoir d’arrˆet que le cristal NaI:Tl. Actuellement, trois types de cristaux sont utilis´es : le germanate de bismuth BGO, l’oxyorthosilicate de lutetium LSO, l’ oxyorthosilicate de gadolinium GSO. Les syst`emes PET sont constitu´es d’anneaux de d´etecteurs ou de blocs de d´etection entourant le patient. Un bloc de d´etection est constitu´e d’un cristal monobloc coupl´e `a des tubes photomultiplicateurs. Les couronnes de d´etecteurs sont juxtapos´ees afin d’obtenir un champ de vue axial suffisant.

2 Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants Apr`es avoir pos´e les bases physiques permettant d’appr´ehender la nature, la production et la d´etection des rayonnements photoniques ionisants, cette partie pr´esente un ´etat de l’art de leur utilisation dans le domaine de l’imagerie. L’imagerie par rayonnements ionisants permet de connaˆıtre les caract´eristiques de la structure interne d’un objet de mani`ere non invasive. Il existe deux proc´ed´es : l’imagerie par transmission et l’imagerie par ´emission. La premi`ere consiste `a placer l’objet entre la source des rayonnements et le d´etecteur. L’information sur la structure interne de l’objet est obtenue grˆace aux interactions des rayonnements traversant la mati`ere de l’objet. Dans l’imagerie par ´emission, l’objet ´etudi´e est directement la source des rayonnements soit par nature, soit apr`es l’introduction d’un produit radioactif dans l’objet, et les rayonnements sont d´etect´es `a l’ext´erieur de l’objet. L’information est port´ee par la distribution des ´el´ements ´emetteurs de rayonnements `a l’int´erieur de l’objet. L’imagerie par rayonnements ionisants est une technique d’imagerie qui trouve ses applications aussi bien dans le domaine industriel que dans le domaine m´edical. Le contrˆole non destructif (CND) permet d’appr´ehender les d´efauts comme les fissures, la micro porosit´e, la non uniformit´e dans le m´etal, aussi bien sur des objets tr`es petits comme les circuits int´egr´es que sur des pi`eces tr`es grandes comme les ailes d’avion. Dans le domaine biom´edical, l’imagerie par rayonnements ionisants permet de diagnostiquer des anomalies morphologiques ou physiologiques in vivo. Dans le domaine de l’imagerie m´edicale, les gammes d’´energie des photons X et gamma sont plus faibles que celles utilis´ees en CND, et les num´eros atomiques des ´el´ements qui composent les mati`eres vivantes sont ´egalement plus faibles que ceux rencontr´es en CND. Le domaine de l’imagerie m´edicale regroupe plusieurs techniques d’imagerie reposant sur des principes physiques diff´erents (Tab. 2.1). Ces techniques permettent d’acc´eder `a des informations de natures diff´erentes et compl´ementaires class´ees en trois modalit´es : l’imagerie

28

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants

anatomique, l’imagerie fonctionnelle et l’imagerie mol´eculaire. L’imagerie anatomique a pour rˆole de visualiser l’´etat morphologique des organes, l’imagerie fonctionnelle permet d’´etudier des processus physiologiques, de sorte ` a anticiper les apparitions d’anomalies morphologiques. L’imagerie mol´eculaire est une branche nouvelle qui s’int´eresse `a la visualisation des substances ´emanant des g`enes et des prot´eines. La tomographie est une technique d’imagerie qui permet de visualiser tranche par tranche l’int´erieur d’un objet sans l’endommager. L’id´ee est d’acqu´erir `a l’ext´erieur de l’objet des informations sur un param`etre physique ou biologique qui caract´erise l’int´erieur de l’objet, puis de reconstruire la distribution de ce param`etre `a partir de la s´erie des mesures. Ainsi, le principe de la tomographie se d´ecompose en deux ´etapes : dans un premier temps, un mod`ele direct est ´etabli afin de pr´evoir le comportement et les mesures de la grandeur physique ; et dans un deuxi`eme temps, le mod`ele inverse doit ˆetre r´esolu pour reconstruire la carte de la grandeur physique recherch´ee. Cette derni`ere ´etape peut s’av´erer tr`es d´elicate du point de vue math´ematique. Nous allons d´etailler les trois m´ethodes tomographiques de l’imagerie par rayonnements ionisants : la tomodensitom´etrie (TDM) ou scanner X, la tomographie par ´emission monophotonique (SPECT) et la tomographie par ´emission de position (PET) [PGM96]. Puis nous pr´esenterons les m´ethodes classiquement utilis´ees pour le mod`ele direct et le probl`eme inverse. Et enfin, `a titre d’exemple, nous montrerons des reconstructions d’une objet 2D pour l’imagerie SPECT.

2.1 Principe des imageries par rayonnements ionisants directs 2.1.1 Tomographie par rayons X Le principe physique utilis´e en tomographie par rayons X est la transmission des rayons X `a travers la mati`ere. L’objet, plac´e entre la source et le d´etecteur, est travers´e par un faisceau de rayons X monochromatiques. Pour la gamme d’´energies et la mati`ere consid´er´ees en imagerie biom´edicale, l’interaction entre les photons et la mati`ere se manifeste par la diffusion Rayleigh, par la diffusion Compton et par l’effet photo´electrique qui retire individuellement des photons du faisceau, et qui se traduit globalement par l’att´enuation du faisceau. L’att´enuation totale du faisceau est la somme des att´enuations de tous les points sur le trajet du faisceau. Il s’agit du point de vue math´ematique de la projection int´egrale de l’att´enuation des rayons X le long du segment rectiligne partant de la source et aboutissant au d´etecteur. La tomographie par rayons X consiste `a reconstruire la fonction repr´esentant la distribution du coefficient d’att´enuation lin´eique li´ee `a la densit´e de l’objet en connaissant la fonction de l’intensit´e du rayonnement mesur´e par l’ensemble des d´etecteurs, c’est-`a-dire sur un ensemble de droites traversant l’objet. La transformation qui relie ces deux fonctions est connue sous le nom de transformation de type rayons X. Son inversion est ´etroitement li´ee `a l’inversion de la transformation de Radon introduit en 1917 par J. Radon. Les travaux de Cormack et Hounsfield, r´ecompens´es en 1979 par le prix Nobel de m´edecine, ont montr´e qu’un ensemble discret de projections acquises sous des incidences angulaires r´eguli`erement reparties autour de l’objet peut servir ` a reconstruire la distribution recherch´ee.

2.1 Principe des imageries par rayonnements ionisants directs

29

Nom de la technique

Ph´enom`ene physique utilis´e

Organes examin´es

Informations obtenues

R´esolution spatiale

Radiographie 1895 ´ Echographie ´ Echo-Doppler 1955

Onde EM : Rayons X Ultrasons

Anatomiques

millim`etre

Anatomiques et fonctionnelles

centim`etre

Scintigraphie 1958

Onde EM : Rayons γ

Fonctionnelles

quelques millim`etres

TDM scanner X 1972

Onde EM : Rayons X

Anatomiques

millim`etre

IRM 1973-1982

R´esonance magn´etique nucl´eaire Onde EM : Rayons γ

Os, Poumons Fœtus, Organes abdominaux, Organes pelviens Os, Poumons, Cœur Cerveau, Poumons, Cœur, Organes abdominaux et pelviens Coeur, Poumons, Cerveau Cerveau, Cœur, Organes abdominaux Cerveau, Cœur, Organes abdominaux

Anatomiques et fonctionnelles Anatomiques et fonctionnelles

inf´erieure au millim`etre

SPECT : tomographie gamma 1977-1980 PET-scan : tomographie par ´emission de positons 1988

Onde EM : ´emission simultan´ee de deux photons d’annihilation

Fonctionnelles

Tab. 2.1: Les principales techniques en imagerie m´edicale.

quelques millim`etres

quelques millim`etres

30

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants

Source rayons X

rotation

anneau de d´etecteurs

Fig. 2.1: Syst`eme (( Fan Beam )) de scanner X Depuis le premier prototype de scanner propos´e en 1972 par Hounsfield, les avanc´ees technologiques ont permis l’am´elioration du calibrage du faisceau et de la qualit´e des d´etecteurs permettant de r´eduire le temps d’acquisition `a quelques secondes. La figure 2.1 repr´esente un scanner 2D (( Fan-Beam )) de quatri`eme g´en´eration : le tube `a rayons X ´emet un faisceau en ´eventail qui irradie tout la section de l’objet, et tourne a` l’int´erieur de l’anneau des d´etecteurs dispos´es autour de l’objet.

2.1.2 Tomographie par ´ emission monophotonique Le SPECT (Single Photon Emission Computerized Tomography), introduit en 1963 par Kuhl et Edwards utilise le principe de l’imagerie par ´emission. On cherche `a reconstruire la distribution des traceurs radioactifs qui ´emettent des photons gamma mono´energ´etiques `a l’int´erieur de l’objet. L’´emission des photons ´etant isotrope, on place un collimateur devant la cam´era pour s´electionner la direction entrante des photons et on fait tourner une gammacam´era type Anger autour de l’objet pour obtenir diff´erentes projections. On mesure ainsi la somme pond´er´ee de toutes les contributions radioactives le long de la droite passant par le point du d´etecteur consid´er´e et de direction donn´ee par l’axe du collimateur. Le coefficient de pond´eration de chacune de ces valeurs est donn´e par la distribution de l’att´enuation de l’objet. L’att´enuation qui est le param`etre physique sur lequel repose l’imagerie par transmission devient ici un facteur nuisible. La transformation qui relie la distribution d’´emission et la distribution de l’att´enuation aux projections int´egrales att´enu´ees mesur´ees sur le d´etecteur est connue sous le nom de transformation de type rayons X att´enu´ee. La qualit´e de la reconstruction d´epend en premier lieu de la qualit´e des images. Or, les images prises par les gamma-cam´era type Anger ont une tr`es faible sensibilit´e. Une premi`ere cause de la faible sensibilit´e des images est l’att´enuation du milieu, plus de 80% des photons ´emis sont, soit diffus´es par effet Compton, soit absorb´es par le milieu. La deuxi`eme raison est due aux d´efauts intrins`eques du collimateur qui d´egradent les images. D’une part, le collimateur peut laisser passer des photons non souhait´es : les trous du collimateur acceptent en plus des photons dans l’axe du trou, tous les photons situ´es `a l’int´erieur d’un cˆ one qui d´epend du diam`etre des trous et de l’´epaisseur du collimateur (principe g´eom´etrique du st´enop´e) ; de plus,

2.1 Principe des imageries par rayonnements ionisants directs

(a)

(b)

(c)

31

rotation

Cam´era Anger Fig. 2.2: Syst`eme d’imagerie par ´emission monophotonique. Image form´ee par les photons primaires (b), et le bruit dˆ u aux photons diffus´es (c) et aux photons non absorb´es par le collimateur (a). la mati`ere du collimateur peut diffuser certains photons au lieu de les absorber compl`etement. Et d’autre part, le collimateur peut arrˆeter une part significative de photons qui devraient th´eoriquement ˆetre d´etect´es, cette perte de photon est importante et est prise en compte dans la sensibilit´e du collimateur. En plus de ces d´efauts intrins`eques, le filtrage m´ecanique du collimateur n’empˆeche pas la d´etection des photons qui ont ´et´e diffus´es par le milieu par effet Compton et qui arrivent au niveau du collimateur avec la bonne direction d’entr´ee. La prise en compte de ces photons conduit ` a des erreurs importantes de reconstruction. Actuellement, une partie des photons diffus´es est ´elimin´ee directement au niveau de la cam´era grˆace `a un filtrage ´energ´etique, puis une correction est ajout´ee au niveau algorithmique.

2.1.3 Tomographie par ´ emission de positons Le PET-scan (Positron emission tomography), bas´e sur les travaux pionniers de Ter-Pogossian, est la technique d’imagerie m´edicale la plus r´ecente. Il s’agit aussi d’une imagerie par ´emission, mais contrairement au SPECT le marqueur n’´emet pas directement des photons mais des positons. Un positon, apr`es avoir lib´er´e son ´energie cin´etique lors d’un court trajet autour de son point d’´emission se d´esint`egre avec un ´electron en ´emettant deux photons d’annihilation de 511 keV `a 180° l’un de l’autre. Ces photons sont d´etect´es par deux d´etecteurs oppos´es en co¨ıncidence. Quand une co¨ıncidence est d´etect´ee, le syst`eme d´etermine la ligne traversant l’objet qui connecte les deux d´etecteurs, cette ligne est appel´ee la ligne de r´eponse. Ainsi, la direction des photons n’est plus d´etect´ee m´ecaniquement mais ´electroniquement ce qui permet d’augmenter la sensibilit´e du syst`eme, et l’ensemble des projections de la distribution de l’´emission ne s’obtient plus en tournant une cam´era mais en captant suffisamment de lignes de r´eponse. Aujourd’hui, les avanc´ees technologiques sur la rapidit´e des cristaux et de l’´electronique des d´etecteurs permettent d’estimer la zone du point de l’´emission des photons grˆace `a la mesure de la diff´erence des temps de vol des deux photons. Le PET a une r´esolution plus grande que le SPECT mais le syst`eme demeure tr`es on´ereux et n´ecessite des radiotraceurs produits par un cyclotron dans son voisinage. C’est pourquoi les syst`emes PET sont utilis´es seulement dans

32

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants

anneau de d´etecteurs

Fig. 2.3: Syst`eme d’imagerie par ´emission de positons. le domaine m´edical essentiellement dans des buts de recherche. Dans la suite de ce document, nous n’allons plus consid´erer l’imagerie PET.

2.2 Techniques de mod´ elisation de la formation des images Un probl`eme direct consiste ` a mod´eliser les ph´enom`enes physiques impliqu´es dans le processus ´etudi´e. En imagerie, il s’agit de d´eterminer les images form´ees sur les d´etecteurs connaissant la configuration du milieu. En imagerie par rayons X, on ´evalue les projections obtenues sur chaque d´etecteur en connaissant les caract´eristiques de la source et de syst`eme de d´etection, mais surtout en connaissant la densit´e de l’objet. Dans le cas de l’imagerie par ´emission, les images form´ees par la gamma-cam´era sont ´evalu´ees en connaissant les caract´eristiques du radionucl´eide utilis´e, la carte d’att´enuation du milieu travers´e, les performances du syst`eme de d´etection mais surtout en connaissant la distribution de l’activit´e nucl´eaire dans l’objet. La r´esolution du probl`eme direct commence souvent par l’´etude de la r´eponse impulsionnelle ou PSF (Point Spread Function), qui consiste `a ´etudier l’image obtenue pour un point source. Le mod`ele direct ne se r´eduit pas ` a un outil plus ou moins performant de simulation, mais constitue une ´etude indispensable pour aborder la r´esolution du probl`eme inverse.

2.2.1 Formulation analytique En tomographie, la m´ethode la plus utilis´ee pour mod´eliser la formation des images consiste `a appliquer une transformation de type rayons X, c’est-`a-dire de projeter l’objet suivant un angle d’observation θ. Dans le cas de l’imagerie par rayons X en deux dimensions, la transformation de type rayons X est ´equivalente ` a la transformation de Radon : Z fX (x, y)dl, (2.1) R f (L) = gX (r, θ) = L(r,θ)

avec fX le coefficient d’att´enuation de l’objet et gX les projections.

2.2 Techniques de mod´ elisation de la formation des images Param`etres du syst`eme connus

33 Estimation des mesures

Probl`eme direct

Syst` eme d’imagerie f (x, y)

g(r, θ) ´emission, transport, d´etection. . .

Reconstruction des param`etres du syst`eme

Probl`eme inverse

Mesures connues

Fig. 2.4: Probl`eme direct et probl`eme inverse d’un syst`eme d’imagerie. Dans le cas de l’imagerie SPECT en 2D, c’est la transformation de Radon att´enu´ee qui mod´elise la formation d’images : # " Z Z l(x,y) µ(x′ , y ′ )dl ds, (2.2) fγ (x, y) exp − R µ f (L) = gγ (r, θ) = 0

L(r,θ)

o` u fγ est la distribution de l’activit´e du radiotraceur, µ est le coefficient d’att´enuation de l’objet et gγ correspond ` a l’intensit´e de l’image form´ee par la gamma-cam´era. r y

d´e te ct eu r

g(r, θ)

r θ x µ(x, y) f (x, y)

Fig. 2.5: Coupe 2D sch´ematique d’un objet ´emissif au sein d’un milieu att´enuant Le mod`ele direct peut devenir plus pr´ecis si on prend en compte d’autres ph´enom`enes physiques comme l’´emission poissonnienne et la d´ecroissance exponentielle de l’intensit´e de la

34

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants

source, le bruit des images dˆ u aux photons diffus´es, et les processus rencontr´es lors de d´etection du photon (filtrage du collimateur, conversion du photon gamma en photons lumineux, diffusion dans le cristal, conversion en courant ´electronique. . . ). La r´esolution du probl`eme direct est un compromis entre le temps de calcul du mod`ele et l’erreur entre les images r´eelles et les images synth´etiques.

2.2.2 Simulation de type Monte Carlo Les m´ethodes de Monte Carlo sont des techniques de simulation statistique qui poss`edent des applications tr`es vari´ees [Jam80]. Elles sont notamment tr`es utilis´ees quand le probl`eme direct ne peut pas ˆetre mod´elis´e avec des m´ethodes d´eterministes ou quand les donn´ees exp´erimentales sont difficilement r´ealisables. En imagerie nucl´eaire, les m´ethodes de Monte Carlo permettent d’´etudier les syst`emes d’imagerie en simulant les processus al´eatoires pr´esents lors de l’´emission, du transport et de la d´etection des photons [Zai99, Mor07]. Chaque processus al´eatoire est d´ecrit par une variable al´eatoire caract´eris´ee par sa fonction de r´epartition ou par sa fonction de distribution qui sont simul´ees par tirages de nombres pseudo al´eatoires uniform´ement distribu´es entre 0 et 1. L’avantage de la m´ethode de Monte Carlo est de suivre l’histoire de chacun des photons pendant la travers´ee du milieu, ce qui permet de comptabiliser les diff´erents types d’interactions ou de s´electionner certains photons particuliers. Malgr´e les progr`es informatiques, cette m´ethode reste coˆ uteuse en m´emoire et en temps de calcul.

2.3 M´ ethodes de reconstruction La reconstruction de la structure interne de l’objet `a partir des observations ext´erieures correspond au probl`eme inverse de la tomographie. Il consiste `a retrouver la r´epartition et l’intensit´e du param`etre physique li´e ` a l’objet `a partir de l’ensemble des projections mesur´ees de ce param`etre. Nous allons pr´esenter les m´ethodes utilis´ees couramment pour la r´esolution de ce probl`eme inverse [Bru02].

2.3.1 M´ ethodes analytiques Les m´ethodes analytiques consid`erent une approche continue du probl`eme inverse de reconstruction. Elles aboutissent ` a une formule d’inversion explicite et leur utilisation num´erique est rendue d´elicate par le fait de devoir trouver une discr´etisation convenable de la solution continue. 2.3.1.1 Imagerie par rayons X en deux dimensions Transformation de Radon On d´efinit la transform´ee de Radon en deux dimensions de la fonction f pour la droite L comme ´etant l’int´egrale de cette fonction le long de L. Si la g´eom´etrie d’acquisition est parall`ele, la transform´ee de Radon est ´egale `a la transform´ee rayons X (Eq. 2.1) [Gra02]. Le probl`eme de l’inversion de la transform´ee de Radon a ´et´e r´esolu dans le cas g´en´eral d`es 1917 [Rad17] : il existe plusieurs formules d’inversion analytiques permettant d’exprimer f en fonction de g, parmi lesquelles celle qui utilise le th´eor`eme de la coupe centrale est la plus utilis´ee.

2.3 M´ ethodes de reconstruction

35

Th´ eor` eme de la coupe centrale La transformation de Fourier de la projection g(r, θ) d’une fonction f (x, y) correspond ` a une coupe de la transform´ee de Fourier bidimensionnelle de la fonction f : F1D {g(r, θ)} = F2D {f (x, y)} (2.3) R

f (x, y)

g(r, θ)

R −1 −1 F1D

F2D −1 F2D

fˆ(u, v)

F1D

Fig. 2.6: Th´eor`eme de la coupe centrale. R´ etroprojection filtr´ ee Soit fˆ(u, v) la transform´ee de Fourier bidimensionnelle de f (x, y) : f (x, y) =

Z

+∞ Z +∞

−∞

fˆ(u, v) e2πi(ux+vy) dudv,

en appliquant le th´eor`eme de la coupe centrale, on obtient : Z +∞ Z +∞ gˆ(w, θ) e2πi(ux+vy) dudv, f (x, y) = −∞

(2.5)

−∞

ce qui devient en coordonn´ees polaires u = w cos θ et v = w sin θ : Z π Z +∞ gˆ(w, θ) e2πiw(x cos θ+y sin θ) |w|dwdθ, f (x, y) = 0

(2.4)

−∞

(2.6)

−∞

La r´etroprojection filtr´ee consiste ` a appliquer le filtre rampe (|w|) `a la transform´ee de Fourier des projections, puis d’´epandre les projections filtr´ees le long des supports des projections. Le filtre rampe amplifie de mani`ere tr`es importante les hautes fr´equences, ce qui fait ressortir les d´etails de l’image, mais en pratique, il rend le bruit pr´epond´erant. Par cons´equence, on pr´ef`ere utiliser un filtre de type lissant comme le filtre de Hamming, de Parzen ou ceux de Shepp, Logan et Butterworth. 2.3.1.2 Imagerie SPECT D´ efinition de la transformation de Radon att´ enu´ ee La transformation de Radon att´enu´ee est d´efinie par l’´equation 2.2. Lorsque le coefficient d’att´enuation µ est suppos´e constant ` a l’int´erieur d’un objet de forme convexe, la transformation de Radon att´enu´ee est r´eduite `a une forme plus simple appel´ee la transform´ee de Radon exponentielle et son inversion analytique a ´et´e ´etablie par Tretiak en 1982 [TM80]. Le probl`eme inverse de la transformation de Radon att´enu´ee est beaucoup plus d´elicat et n’a ´et´e r´esolu, que bien plus r´ecemment, par Novikov [Nat01, Nov02, Kun01].

36

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants

2.3.2 M´ ethodes alg´ ebriques Contrairement aux m´ethodes analytiques, o` u la discr´etisation des formules est op´er´ee en fin de proc´edure, les m´ethodes alg´ebriques se basent sur une discr´etisation initiale du probl`eme inverse. La fonction f de la distribution inconnue et les mesures g sont consid´er´ees comme des fonctions discr`etes de l’espace. Le probl`eme inverse se met sous la forme d’un syst`eme d’´equations lin´eaires : g = Rf, (2.7) o` u f est le vecteur des valeurs approch´ees sur une base de fonctions indicatrices des voxels (´el´ements de l’objet) de la distribution continue, g est le vecteur des mesures et R est la matrice de projection ou matrice (( poids )) du milieu. Ce syst`eme peut ˆetre r´esolu suivant deux points de vues : on peut consid´erer les mesures {gi } et les inconnues {fi } comme des variables d´eterministes ou comme des variables stochastiques. En pr´esence de mesures bruit´ees, ce probl`eme d’inversion constitue, quelle que soit la m´ethode, un probl`eme inverse mal pos´e qui n´ecessite des techniques de r´egularisation afin de stabiliser la solution. 2.3.2.1 Approches d´ eterministes Les m´ethodes directes correspondent `a la r´esolution du syst`eme par l’inversion directe de la matrice de projection. Parmi ces m´ethodes, la technique de la d´ecomposition en valeurs singuli`eres (SVD) permet de r´egulariser le probl`eme par la troncature des valeurs singuli`eres trop petites (TSVD). Les valeurs singuli`eres σi d’une matrice M sont les racines carr´ees des valeurs propres de la matrice carr´ee M t M . Les valeurs propres sont li´ees aux directions invariantes par la transformation M , tandis que les valeurs singuli`eres contiennent l’information (( m´etrique )) sur cette transformation. La d´ecomposition en valeurs singuli`eres permet de factoriser la matrice Mm×n sous la forme : t M = Um×m Sm×n Vn×n , (2.8) o` u U est la matrice des vecteurs singuliers, V est la matrice des vecteurs dont les images de M sont les vecteurs singuliers et S est la matrice diagonale qui contient les valeurs singuli`eres. Cette d´ecomposition permet d’obtenir la matrice pseudo-inverse de M : M −1 = V S −1 U t .

(2.9)

La d´ecomposition en valeurs singuli`eres d’une matrice permet aussi de calculer le conditionnement K de la matrice qui correspond, en norme euclidienne, au rapport de sa plus grande valeur singuli`ere par sa plus petite. K(M ) = ||M ||2 ||M −1 ||2 =

σ1 (M ) . σn (M )

(2.10)

Le nombre de conditionnement d’une matrice est une indication de la difficult´e du calcul num´erique du probl`eme associ´e ` a cette matrice. Une matrice poss´edant un nombre de conditionnement ´elev´e (≥ 1010 ) est dite mal conditionn´ee. Les m´ethodes it´eratives permettent de trouver une solution par une succession d’estimations [DKM98]. Pour chaque estimation de l’objet, les projections correspondantes sont calcul´ees et

2.3 M´ ethodes de reconstruction

37

compar´ees aux projections mesur´ees, et le r´esultat de la comparaison est utilis´e pour modifier l’estimation. Les algorithmes it´eratifs se diff´erencient dans leur mani`ere de comparer les projections calcul´ees et mesur´ees et de modifier `a l’estimation courante. La m´ethode la plus r´epandue en tomographie est l’ART (algebraic reconstruction technique) [Gor74], issue de la m´ethode de Kaczmarz. L’arrˆet d’une m´ethode it´erative en choisissant judicieusement le nombre d’it´erations permet de r´egulariser la m´ethode. La m´ethode ART additive a pour expression : fin+1 = fin +

gk − Rk f n Rki , ||Rk ||2

(2.11)

pour chaque it´eration n + 1, on r´etroprojette suivant la droite k la valeur de la diff´erence entre les mesures gk et la projection de l’objet `a l’it´eration n, pour chaque voxel de l’objet index´e par i. En imagerie conventionnelle, les matrices de projection sont tr`es creuses car un rayon coupe un nombre limit´e de voxels, ce qui accentue la rapidit´e de cette m´ethode. 2.3.2.2 Approches statistiques Les approches statistiques se basent sur un mod`ele direct qui consid`ere les mesures gi du flux de photons arrivant sur le d´etecteur d´ependant de ph´enom`enes stochastiques (bruit poissonnien, bruit gaussien. . . ). Le probl`eme de reconstruction devient l’estimation probabiliste des valeurs de fi . On r´esout g´en´eralement ce probl`eme d’estimation par des m´ethodes de maximum de vraisemblance [MST85, LC84] bas´ees par exemple sur l’algorithme Expectation Maximisation (EM) [SV82]. La majeure partie de ces m´ethodes incorpore une r´egularisation bay´esienne [Gre90], servant `a introduire une mod´elisation a priori de l’objet. Le principe de l’approche stochastique est de construire des distributions de probabilit´e pour mod´eliser le type de solution attendue et le processus de formation des projections. On note p(f ) le mod`ele a priori de l’objet, et p(g|f ) le mod`ele du processus de mesure qui tient compte du bruit. L’application du th´eor`eme de Bayes fournit alors la solution qui est la loi a posteriori p(f |g) donn´ee par : p(f |g) =

p(g|f )p(f ) . p(g)

(2.12)

Parmi les diff´erents mod`eles de l’objet introduit par le terme de probabilit´e p(f ), on trouve – le mod`ele gaussien – le mod`ele de maximum d’entropie [Kem80] – le mod`ele markovien qui conserve les contrastes entre les diff´erentes structures de l’objet afin de d´eceler des d´efauts.

2.3.3 Un exemple de reconstruction bidimensionnel en imagerie SPECT Afin d’illustrer les propos th´eoriques ci-dessus, nous pr´esentons pour conclure ce chapitre les reconstructions suivant diff´erentes m´ethodes d’un objet en imagerie SPECT. Nous consid´erons qu’il s’agit d’un objet physique bidimensionnel1 discr´etis´e par 64 × 64 voxels d’activit´e 1

Cette remarque prend son importance au niveau de la mod´elisation du flux de photons : dans un milieu physique bidimensionnel, le flux de photons est proportionnel ` a 1/d avec d la distance entre le point source et le point de d´etection du flux de photons, tandis que dans un milieu tridimensionnel le flux de photons est en 1/d2 . On choisit ici de prendre un milieu en 2D (et non une tranche de milieu 3D) pour pouvoir comparer ces r´esultats avec ceux de la partie 5.2.

38

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants

radioactive repr´esent´ee ` a la figure 2.7. Nous pouvons consid´erer en simulation que le d´etecteur lin´eaire de 64 pixels reste immobile sur l’axe Ox, tandis que l’objet effectue 64 rotations sur lui-mˆeme r´epartie entre 0° et 360°rep´er´ees par l’angle θ. Le d´etecteur est muni d’un collimateur d’ouverture αcoll =2°. 100 60

90 80

50

70 40

60 50

30

40 20

30 20

10 10 10

20

30

40

50

60

Fig. 2.7: Objet originel inspir´e du fantˆome de Jaszczak

2.3.3.1 Mod` ele direct consid´ er´ e Le mod`ele direct consiste ` a d´ecrire les ph´enom`enes physiques pr´epond´erants qui interviennent dans le principe de l’imagerie, de mani`ere `a obtenir une mod´elisation r´eutilisable sur diff´erents objets mˆeme si ceux-ci ne pr´esentent pas tous les mˆemes caract´eristiques physiques. Les autres ph´enom`enes physiques in´eluctables sont alors consid´er´es comme du bruit. Le mod`ele direct, que nous utilisons ici pour l’imagerie SPECT, comprend la propagation sans att´enuation du photon et de la r´eponse du collimateur. Posons : • S = (xS , yS ), un point source d’´emission isotrope et d’activit´e f (S), • D = (xD , 0), un site de d´etection situ´e sur l’axe Ox. La r´eponse impulsionnelle, ou Point Spread Function (PSF) en anglais, qui correspond `a l’image d’un unique point sur le d´etecteur, s’´ecrit alors : P SF (D, θ | S) = φ(S → D) δ(collimateur), (2.13) q o` u φ(S → D) = f (S)/2π/ (xS − xD )2 + yS2 correspond au flux de photons issus de S et arrivant au point de d´etection D, et δ(collimateur) correspond `a la r´eponse du collimateur d’ouverture αcoll : √ √ (xS −xD )2  (xS −xD )2 si yS tan(αcoll ) ≤ 1 (2.14) δ(collimateur) = yS tan(αcoll ) 0 sinon

2.3 M´ ethodes de reconstruction

39

` partir du mod`ele direct, nous pouvons construire la matrice de projection du syst`eme : A pour chaque point du maillage de l’objet, la r´eponse impulsionnelle est calcul´ee puis rang´ee dans la matrice de projection. Ainsi, les dimensions de cette matrice correspondent aux nombres de donn´ees (64 pixels × 64 angles de rotation de l’objet) par le nombre de points du maillage (´equivalent au nombre d’inconnues du syst`eme). Les diff´erents ph´enom`enes physiques tels que la nature poissonnienne de l’´emission photonique, l’att´enuation pendant le transport photonique dans le milieu, et la d´etection `a l’int´erieur du d´etecteur ne sont pas pris en compte dans le mod`ele direct. Ils sont alors consid´er´es comme du bruit et doivent ˆetre corrig´es successivement avant ou pendant la reconstruction. Notre intention n’est pas de tester ces m´ethodes de corrections et nous garderons des donn´ees et une matrice de projection issus du mˆeme mod`ele pour illustrer les deux m´ethodes de reconstruction cit´ee au paragraphe 2.3.2.1. 2.3.3.2 R´ esultats des reconstructions alg´ ebriques L’erreur relative quadratique moyenne, d´efinie par : n

1X ERQM = n i=1



O∗ (i) − O(i) O(i)

2

,

(2.15)

avec O(i) et O∗ (i) les intensit´es du i`eme voxel de l’objet originel et reconstruit et n le nombre de voxels, permet de constater la pr´ecision de la m´ethode de reconstruction utilis´ee.

0.14

0.12

Valeurs singulières

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

500

1000

1500 2000 2500 3000 Nombre de colonnes de R

3500

4000

Fig. 2.8: Valeurs singuli`eres de la matrice de projections et leur troncature en rouge Les reconstructions sont men´ees pour un syst`eme pr´esentant le mˆeme nombre d’´equations que d’inconnues. Le conditionnement important K = 4, 52.1010 de la matrice R4096×4096 peut ˆetre r´eduit en augmentant le nombre d’´equations, c’est-`a-dire le nombre de donn´ees. La troncature lors de la d´ecomposition en valeurs singuli`eres de R s’av`ere n´ecessaire pour reconstruire correctement l’objet. Le rang de la troncature est calcul´e en fonction de la pr´ecision des calculs

40

Imagerie conventionnelle par rayonnements photoniques ionisants Inversion directe par SVD

Inversion directe par SVD tronqu´ee 4

x 10 6 60

60

100 90

4 50

50

80

2

70

40

40 60 0

30

50

30

40

−2 20

20

30

−4

20

10

10

10

−6 0 10

20

30

40

50

60

10

20

30

40

50

60

Fig. 2.9: R´esultats des reconstructions pour l’imagerie SPECT conventionnelle par SVD et SVD tronqu´ee. num´eriques. Cette troncature est repr´esent´ee `a la figure 2.8 : on ne garde que les 3948 valeurs singuli`eres sup´erieures ` a tol = 2, 27.10−13 . La figure 2.9 pr´esente les reconstructions par d´ecomposition en valeurs singuli`eres non tronqu´ee (`a gauche) et SVD tronqu´ee (` a droite). L’erreur relative quadratique moyenne vaut 4.104 % pour la SVD et seulement 6% pour la SVD tronqu´ee.

60 100 50 80 40 60 30 40 20 20

10

10

20

30

40

50

60

0

Fig. 2.10: R´esultats des reconstructions pour l’imagerie SPECT conventionnelle par ART. La figure 2.10 montre la reconstruction obtenue par ART. Le crit`ere d’arrˆet le plus simple de l’ART consiste ` a arrˆeter l’algorithme lorsque la diff´erence des reconstructions entre deux it´erations successives devient suffisamment petite. Ici, pour 17 it´erations, on atteint une erreur des reconstructions successives inf´erieure `a 0.1% et une erreur relative quadratique moyenne avec l’objet originel de 13%.

Deuxi` eme partie

Imagerie par rayonnement photonique diffus´ e

3 Vers une nouvelle imagerie par l’exploitation du rayonnement diffus´ e 3.1 Constat et motivations 3.1.1 G´ en´ eralit´ es Le principe des imageries d´ecrites au chapitre pr´ec´edent repose sur la propri´et´e de p´en´etration des rayonnements photoniques ionisants. Les interactions subies par les rayonnements pendant la travers´ee de l’objet peuvent ˆetre `a l’origine du principe d’imagerie, ou au contraire `a l’origine de bruit dans une autre m´ethode d’imagerie. C’est le cas, par exemple, de l’att´enuation qui est mesur´ee en imagerie CT, mais qui participe `a la d´egradation du signal en imagerie SPECT. Dans ces deux modalit´es d’imagerie, le rayonnement ´emergent fournit une mesure globale dans laquelle, pour chaque direction, la contribution de tous les points est int´egr´ee et pond´er´ee par un noyau d’int´egration. Le processus de formation d’image est d´ecrit par une transformation projective, et l’inversion analytique s’appuie sur l’op´erateur de r´etroprojection filtr´ee. Or, l’op´eration d’inversion est d´elicate en pratique `a causes des ph´enom`enes physiques intrins`eques qui interviennent dans le processus d’imagerie. Dans le cas de l’imagerie SPECT, on doit prendre en compte : – la diffusion du rayonnement lors de sa propagation dans le milieu, – l’att´enuation du rayonnement par le milieu travers´e, – les fluctuations statistiques de l’´emission du rayonnement et des interactions rayonnementmati`ere, – les performances physiques, m´ecaniques et ´electroniques limit´ees du d´etecteur, – les donn´ees incompl`etes dues aux limitations impos´ees par le fonctionnement du scanner. Des approches de r´egularisation du traitement des donn´ees, qui offrent de nombreux sujets d’´etude, permettent de rem´edier `a certains de ces probl`emes dans le cadre de l’imagerie

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Vers une nouvelle imagerie par l’exploitation du rayonnement diffus´ e

conventionnelle. Dans la suite de ce travail, nous n’allons nous int´eresser qu’au ph´enom`ene de la diffusion Compton.

3.1.2 D´ egradations li´ ees ` a la diffusion Compton En imagerie conventionnelle, le ph´enom`ene de la diffusion Compton d´egrade ´enorm´ement la qualit´e des images acquises sur le d´etecteur (gamma cam´era ou plaque photographique). D’une part, la diffusion Compton participe `a l’att´enuation du flux incident, en faisant perdre au rayonnement une partie de ses photons. D’autre part, la diffusion Compton rajoute au rayonnement direct des photons qui sont d´evi´es dans la direction du faisceau incident direct. Le rayonnement diffus´e apparaˆıt comme ayant perdu sa direction d’origine et ne semble plus provenir du point source, ce qui entraˆıne le probl`eme de la d´elocalisation. Le rayonnement diffus´e forme donc un fond diffus (ou flou) diminuant fortement le contraste de l’image. Ainsi, `a cause de l’effet Compton la qualit´e des images peut ˆetre tr`es m´ediocre, pouvant mener `a des fausses d´etections et par cons´equence ` a des erreurs de diagnostic. La r´esolution du probl`eme de la diffusion Compton reste un d´efi technologique et math´ematique majeur en image gamma1 . Jusqu’`a maintenant, les m´ethodes existantes consid`erent les rayonnements diffus´es comme du bruit et cherchent `a les ´eliminer ou `a les s´eparer des rayonnements non diffus´es responsables de la formation des images. Or, des travaux, r´ealis´es dans le but d’am´eliorer l’imagerie gamma conventionnelle, ont amen´e les trois constatations suivantes : 1. La sensibilit´e et la qualit´e des images sont tr`es faibles. Le diffus´e est s´epar´e du rayonnement primaire soit par soustraction au rayonnement total, soit par filtrage par une fenˆetre ´energ´etique ´etroite centr´ee sur l’´energie incidente (appel´ee photopic). L’image est alors form´ee uniquement par les rayons gamma qui ne subissent aucune collision Compton et qui arrivent parall`element ` a l’axe du collimateur, ce qui ne repr´esente qu’environ 10−4 du rayonnement incident total2 . Cette image, malgr´e sa bonne correspondance avec l’image attendue, reste bruit´ee ` a cause des fluctuations statistiques, du bruit des mesures, de la diffusion dans le collimateur, etc. Sa qualit´e est tr`es moyenne et son am´elioration s’av`ere donc n´ecessaire. De nombreuses m´ethodes de traitement d’images, dans ce domaine, sont consacr´ees ` a l’am´elioration des images du rayonnement gamma primaire. 2. Le rapport signal sur bruit est tr`es faible. A l’heure actuelle, il n’est pas possible d’avoir une s´eparation parfaite des rayonnements diffus´e et primaire : de 30 `a 40 % du rayonnement d´etect´e correspond ` a du rayonnement diffus´e qui aurait dˆ u ˆetre rejet´e. De plus, 70 `a 80 % du rayonnement ´emis est rejet´e par la fenˆetre ´energ´etique du photopic des cam´eras gamma actuelles. La technique de s´eparation par filtrage, conduit donc `a une perte importante d’intensit´e et produit un mauvais rapport signal sur bruit. Cet effet est tr`es p´enalisant pour la d´etection des petites structures dans le domaine m´edical dans lequel une faible dose de radioactivit´e est impos´ee. 1

Nous allons nous concentrer sur l’imagerie gamma bien que dans les chapitres pr´ec´edents nous avons cit´e l’imagerie par rayons X. En effet, l’´energie des rayons X, utilis´ee en imagerie, est g´en´eralement moins ´elev´ee et la diffusion Rayleigh peut ˆetre plus importante que la diffusion Compton. 2 Cette proportion est la valeur moyenne donn´ee par les constructeurs pour des cam´eras munies de collimateur. Cette valeur peut ˆetre retrouv´ee par le calcul du rapport du nombre de photons compris dans l’angle solide d´elimit´e par un trou du collimateur par le nombre total de photons ´emis dans toutes les directions.

3.1 Constat et motivations

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3. Le diffus´e contient de l’information (voir chapitre 4). Mˆeme si les rayons diffus´es portent moins d’information sur la source que les rayons primaires, ils peuvent ˆetre utiles pour l’am´elioration des images. La prise en compte des rayons r´etrodiffus´es (diffusion avec un angle de 180°), par exemple, peut contribuer `a am´eliorer le rapport signal sur bruit. Ces constations et raisonnements montrent qu’il est plus avantageux, mˆeme dans le domaine m´edical, de r´ecup´erer et d’exploiter le rayonnement diffus´e que de le rejeter. L’utilisation du rayonnement gamma diffus´e par effet Compton est apparue dans les ann´ees 60. Parall`element, avec l’arriv´ee du laser, des imageries utilisant des rayonnements moins p´en´etrants sont apparues, et ont d´evelopp´e des syst`emes utilisant le rayonnement diffus´e. Le paragraphe suivant passe en revue diff´erents cas d’exploitation du rayonnement photonique diffus´e, pas n´ecessairement Compton, propos´es dans la litt´erature.

3.1.3 Exploitation du diffus´ e en g´ en´ eral Le ph´enom`ene physique de la diffusion est propre aux ondes et aux rayonnements. Il est ` a la fois une cause de perturbation et de d´egradation, mais il peut ˆetre aussi exploit´e utilement pour la reconstruction comme on peut le constater dans une large gamme de fr´equences. Dans le domaine de l’optique visible, les propri´et´es de la propagation de la lumi`ere `a travers un milieu diffusant sont utilis´ees pour la d´etection `a distance dans la haute atmosph`ere terrestre (remote sensing), l’´etude des poussi`eres stellaires, le suivi de la production industrielle, le diagnostic m´edical, etc. L’imagerie optique `a haute r´esolution du LIDAR (version laser du radar, Light Detection and Ranging) est fortement affect´ee par l’atmosph`ere. Dans les ph´enom`enes ondulatoires, on arrive ` a extraire des renseignements sur un syst`eme en observant le rayonnement diffus´e dans toutes les directions lors d’une diffusion. Une m´ethode de d´etection et d’utilisation du rayonnement optique LIDAR diffus´e a ´et´e propos´ee et d´emontr´ee faisable [Bis92]. Dans le domaine des rayonnements ionisants, plusieurs exploitations du rayonnement gamma diffus´e par effet Compton sont apparues dans des domaines diff´erents. En imagerie m´edicale, le trait´e de H.H. Barrett et W. Swindel, r´ef´erence dans le domaine, consacre un chapitre entier (chapitre 11 [BS81]) ` a l’´etude du rayonnement diffus´e. Ces auteurs d´eclarent, `a l’´epoque, que la d´etection des photons diffus´es n’apporte pas d’information utile `a la formation de l’image, et qu’au contraire elle r´eduit le contraste et augmente le niveau de bruit de l’image. Mais, peu apr`es, des m´ethodes de d´etection automatique du contour de l’objet de forme convexe ont ´et´e d´evelopp´ees ` a partir de l’exploitation des projections de l’objet dans la fenˆetre de la diffusion Compton [BMB88, MDD88, WMK95]. Et plus r´ecemment, la diffusion Compton a ´et´e utilis´ee pour diff´erentier les tissus normaux et malades, en oncologie [RFF05]. Dans le domaine des rayonnements ionisants, plusieurs exploitations du rayonnement gamma diffus´e par effet Compton sont apparues dans des domaines diff´erents. En imagerie m´edicale, le trait´e de H.H. Barrett et W. Swindel, r´ef´erence dans le domaine, consacre un chapitre entier (chapitre 11) ` a l’´etude du rayonnement diffus´e. Les auteurs d´eclarent, `a l’´epoque, que la d´etection des photons diffus´es n’apporte pas d’information utile `a la formation de l’image, et qu’au contraire elle r´eduit le contraste et augmente le niveau de bruit de l’image. Depuis, la diffusion Compton a ´et´e utilis´ee r´ecemment pour diff´erentier les tissus normaux et malades,

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Vers une nouvelle imagerie par l’exploitation du rayonnement diffus´ e

en oncologie [RFF05]. En contrˆole non destructif, des modalit´es d’imagerie appel´ee (( radiographie Compton )) sont apparues d`es les ann´ees 60 et continuent `a ˆetre ´etudi´ees. Ces m´ethodes fournissent la carte de la section efficace de l’effet Compton qui est proportionnelle `a la densit´e ´electronique. Cette carte, coupl´ee avec la carte de l’att´enuation obtenue par radiographie X classique, permet de mieux caract´eriser l’objet examin´e. En astronomie gamma ` a tr`es hautes ´energies, la diffusion Compton est utilis´ee pour imager les supernovae produisant un rayonnement gamma. Ces rayons gamma tr`es ´energ´etiques produisent par effet Compton des ´electrons de recul relativistes lors de leur travers´ee de l’atmosph`ere. Au lieu de d´etecter directement ces rayons gamma tr`es ´energ´etiques, des cam´eras ultrasensibles enregistrent la lumi`ere ´emise par les rayonnements de Cherenkov de ces ´electrons. En imagerie gamma, rappelons l’id´ee de la cam´era Compton qui utilise le principe de la collimation ´electronique : le rayonnement primaire traverse une couche planaire diffusante et y subit une diffusion Compton avant d’ˆetre capt´e par un d´etecteur gamma conventionnel. Actuellement, seuls les t´elescopes Compton (Comptel) utilise ce principe [Sin83].

3.2 Concept et applications L’utilisation du rayonnement gamma diffus´e trouve diff´erentes applications en imagerie non invasive. Les premi`eres applications, ` a l’origine de ce travail de th`ese, seront d´etaill´ees au chapitre suivant. L’id´ee g´en´erale, en amont des applications, est de mod´eliser le processus de diffusion Compton ` a l’int´erieur de l’objet afin de suivre le parcours des photons diffus´es et en tirer des informations sur les propri´et´es internes de l’objet.

(a)

(b)

Fig. 3.1: Principe de l’imagerie par ´emission : avec le rayonnement direct (a), avec le rayonnement diffus´e au premier ordre (b). En imagerie par ´emission, la fusion des informations contenues dans les images du rayonnements diffus´es prises ` a diff´erentes ´energies permet de restaurer les images scintigraphiques utilis´ees pour la tomographie conventionnelle. Le rapport signal sur bruit est consid´erablement augment´e, et le probl`eme de d´elocalisation des sources est r´eduit. Un autre r´esultat tr`es int´eressant obtenu ensuite est que les images form´ees par le diffus´e fournissent un ensemble complet de donn´ees pouvant servir ` a la reconstruction tridimensionnelle de l’objet. La reconstruction analytique tridimensionnelle, ` a partir des images du diffus´e, est prouv´ee th´eoriquement faisable par la transform´ee de Radon conique compos´ee (TRCC). Ainsi, les images du diffus´e

3.2 Concept et applications

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peuvent servir ` a renforcer les images directes de l’imagerie conventionnelle, mais elles peuvent aussi constituer des images sous-jacentes ind´ependantes pour une imagerie tridimensionnelle nouvelle. L’avantage ind´eniable qui se d´egage de ces r´esultats th´eoriques est que la proc´edure d’acquisition des mesures ne n´ecessite plus la rotation de la cam´era gamma autour de l’objet, mais l’acquisition peut s’effectuer par des d´etecteurs fixes. Ceci implique un d´eveloppement important de la technologie des d´etecteurs car la r´esolution de cette imagerie d´epend directement de la r´esolution ´energ´etique des d´etecteurs.

(a)

(b)

(c) Fig. 3.2: Principe de l’imagerie par transmission : avec le rayonnement direct (a), avec le rayonnement diffus´e au deuxi`eme ordre (b) et avec le rayonnement diffus´e au premier ordre (c). En imagerie par transmission, l’exploitation du rayonnement diffus´e Compton permet de caract´eriser un objet par sa densit´e ´electronique. En contrˆole non destructif, la carte de la densit´e ´electronique apporte une information plus pr´ecise sur l’objet que la carte de l’att´enuation. En imagerie m´edicale, cette carte aura un rˆole analogue dans l’imagerie par rayonnement diffus´e ` a la carte de l’att´enuation dans l’imagerie SPECT. On peut concevoir et mettre en place ais´ement des syst`emes utilisant le rayonnement diffus´e au deuxi`eme ordre. La configuration du syst`eme est la mˆeme que celle des syst`emes d’imagerie gamma par transmission conventionnelle : une source gamma collimat´ee ´emet un rayonnement qui traverse l’objet et est d´etect´e par une cam´era collimat´ee. La cam´era peut d´etecter le rayonnement primaire (figure 3.2 (a)) ou un rayonnement deux fois diffus´e (figure 3.2 (b)). On peut aussi imaginer des syst`emes utilisant le diffus´e au premier ordre (figure 3.2 (c)). Ces deux cas sont les plus importants en imagerie gamma, les diffusions d’ordre sup´erieur, ayant une probabilit´e tr`es faible de r´ealisation pour les objets et les ´energies envisag´ees, seront n´eglig´ees.

4 Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e 4.1 Correction d’images scintigraphiques En imagerie nucl´eaire, il existe de nombreuses techniques pour am´eliorer la qualit´e des images scintigraphiques. Ces m´ethodes ont diff´erents objectifs : d´ebruiter les images, am´eliorer le contraste, effectuer un segmentation, ´evaluer quantativement la concentration d’activit´e radioactive. . . dans le but, soit de restaurer l’image pour son examen direct, soit d’am´eliorer la qualit´e de la reconstruction. Parmi toutes ces techniques, nous n’allons aborder que les m´ethodes de correction de la diffusion. Dans un premier temps, nous allons voir les m´ethodes qui consistent ` a rejeter le rayonnement diffus´e, puis nous verrons comment la qualit´e des images scintigraphiques peut ˆetre augment´ee si, au contraire, on exploite le diffus´e.

4.1.1 Techniques existantes : s´ eparation des photons primaires et des photons diffus´ es La m´ethode la plus courante consiste `a ne consid´erer que les photons dont l’´energie est proche du photopic (pic d’´energie correspondant aux photons gamma ´emis par le traceur). La fenˆetre spectrom´etrique la plus commun´ement utilis´ee est sym´etriquement centr´ee sur le photopic avec une largeur de 20%. Pour le techn´etium 99m, cette fenˆetre est centr´ee sur 140 keV et s´electionne les photons d’´energie comprise en 126 et 154 keV, mais la proportion du diffus´e demeure de 30% ` a 40% dans cette fenˆetre. Cette largeur peut donc ˆetre r´eduite `a 15%-10% pour r´eduire la d´etection des photons diffus´es. Le choix de la largeur de cette fenˆetre est certes limit´e par les caract´eristiques physiques du d´etecteur, mais correspond surtout `a un compromis entre la statistique de comptage et la discrimination des photons diffus´es. D’autres m´ethodes reposent sur la capacit´e d’enregistrer simultan´ement plusieurs fenˆetres ´energ´etiques. La m´ethode de soustraction de Jaszczak [JGF84] utilise deux fenˆetres ´energ´etiques : la fenˆetre 20% classique et une fenˆetre Compton d’´energie plus faible. Pour le techn´etium 99m, ce (( palier Compton )) est compris entre 92-125 keV. L’image acquise dans cette

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Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e

fenˆetre est soustraite ` a l’image de la fenˆetre du photopic, avec un facteur empirique de pond´eration de l’ordre de 0,5. La m´ethode de triple fenˆetrage en ´energie [OHI+ 91] requiert trois fenˆetres ´energ´etiques : la fenˆetre 20% classique et deux fenˆetres ´etroites de l’odre de quelques keV positionn´ees de part de d’autre du photopic (pour le techn´etium 99m, 124-128 keV et 152-156 keV). Les images correspondant aux deux fenˆetres ´etroites sont ajout´ees et pond´er´ees par un facteur d´ependant de la largeur des trois fenˆetres, puis l’image r´esultante est soustraite `a l’image de la fenˆetre 20%. Cette op´eration consiste ` a estimer le nombre de photons diffus´es dans la fenˆetre 20% par la surface d’un trap`eze. La m´ethode Compton Free Imaging [MBC+ 91] n´ecessite un enregistrement multi´energ´etique : une s´equence de 16 images de fenˆetre de 3,5 keV, de 105 `a 161 keV pour le techn´etium 99m. Pour chaque pixel, le spectre est d´ecompos´e en un spectre des photons primaires et en plusieurs spectres de photons diffus´es (photons ayant subi une seule diffusion, photons ayant diffus´e une fois ou deux, etc) par une approche it´erative. Les spectres des photons diffus´es sont pr´e´etablis `a partir des formulations de Klein-Nishina de la probabilit´e de diffusion (Eqs. (1.13) et (1.18)) et de la r´esolution ´energ´etique de la s´erie d’images.

4.1.2 M´ ethode innovante : restauration multi´ energ´ etique D`es les ann´ees 90, l’id´ee de mod´eliser le rayonnement diffus´e par effet Compton est apparue, mais toujours dans le but initial de le soustraire `a l’image primaire par des m´ethodes de traitement d’images [BBaRDP94, BG97]. En 2002, Luc Eglin propose, dans sa th`ese [Egl02], une mani`ere nouvelle de restaurer les images scintigraphiques ` a partir des images du rayonnement diffus´e. L’id´ee est de mod´eliser le processus de formation d’images de l’imagerie m´edicale gammagraphique incluant la diffusion Compton, puis de r´esoudre un probl`eme inverse visant `a am´eliorer la qualit´e de l’image scintigraphique. Comme pour tout probl`eme d’inversion, la qualit´e de ce traitement d’image d´epend en partie de la pertinence du mod`ele direct. C’est pourquoi le mod`ele propos´e prend en compte diff´erents ph´enom`enes : la diffusion au premier ordre, l’absorption des photons, la d´ependance de la r´eponse spatiale du collimateur avec la distance de l’objet `a la cam´era, la r´eponse spatio-´energ´etique de la cam´era, le bruit poissonien li´e au processus d’´emission photonique. Ce mod`ele permet de simuler la s´erie d’images index´ees en ´energie grˆace `a une succession d’op´erations de convolution et de projection dans l’espace joint spatio-´energ´etique. L’analyse en Composantes Principales de la s´equence d’images permet d’une part de r´eduire la dimension de l’espace de travail sans perte sensible d’information, et d’autre part de reconstruire, en ´eliminant les composantes correspondant aux valeurs propres n´egatives, une image comportant moins de bruit et ayant un meilleur contraste des zones d’int´erˆet. Il est clair qu’une restauration de cette nature n’est pas suffisante, mais elle peut n´eanmoins servir d’initialisation pour une autre technique puisqu’elle concentre l’information. La m´ethode choisie pour r´esoudre ce probl`eme inverse est une approche bay´esienne par maximum a posteriori. Le terme de vraisemblance permet de fusionner l’information aux diff´erentes ´energies tout en incorporant le mod`ele physique et la statistique poissonnienne du bruit. Sous

4.2 Imagerie 3D par ´ emission du rayonnement diffus´ e du premier ordre

51

100

150

Fig. 4.1: Scintigraphie osseuse. A gauche : clich´e statique au photopic standard, `a droite : restauration bay´esienne muti´energie [Egl02]. les hypoth`eses d’un objet d’´epaisseur mince (devant la distance des sources radioactives et la cam´era) et de profondeur constante, la m´ethode est plus robuste au bruit que les m´ethodes traditionnelles tout en pr´eservant les discontinuit´es de l’image. La figure 4.1 montre le r´esultat ` a partir d’images repr´esentant une vue ant´erieure de l’ensemble bassin/rachis/gril costal. On constate une notable am´elioration de la d´etectabilit´e des zones int´eressantes. Le bruit dˆ u` a la diffusion a ´et´e pratiquement supprim´e dans l’abdomen et la zone intercostale et les deux zones susceptibles d’ˆetre malignes sont mieux restitu´ees.

4.2 Imagerie 3D par ´ emission du rayonnement diffus´ e du premier ordre 4.2.1 Principe et avantage de l’imagerie gamma par rayonnement diffus´ e Un nouveau concept d’imagerie gamma par rayonnement simplement diffus´e par effet Compton a ´et´e propos´e en 2002 dans [NT02]. Ce principe d’imagerie poss`ede, d’une part, son probl`eme direct, qui conduit ` a d´ecrire la formation des images d’un objet tridimensionnel `a partir du rayonnement diffus´e et, d’autre part, son probl`eme inverse qui consiste `a reconstruire l’image tridimensionnelle de cet objet ` a partir des images bidimensionnelles du diffus´e. Les principaux r´esultats analytiques et num´eriques, d´evelopp´es dans [Del05], de cette imagerie sont pr´esent´es dans cette section. L’id´ee de ce concept est d’enregistrer des images de l’objet sur une gamme tr`es large d’´energies, correspondant aux ´energies du rayonnement diffus´e, en dessous de l’´energie du photopic. Ces images, index´ees par l’´energie, constitue un ensemble d’images ind´ependantes qui permet de reconstruire la distribution tridimensionnelle de l’activit´e radioactive `a l’int´erieur de l’objet. C’est comme si l’angle de diffusion, reli´e `a l’´energie du photon diffus´e par la relation Compton (Eq. (1.4), page 14), rempla¸cait l’angle de rotation de la cam´era en tomographie gamma conventionnelle. Ainsi, la n´ecessit´e de faire tourner la cam´era autour de l’objet est supprim´ee, ` mais la r´esolution ´energ´etique de la cam´era d´etermine celle de l’imagerie par le diffus´e. A l’heure actuelle, la r´esolution ´energ´etique des d´etecteurs gamma ne permet pas d’atteindre la

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Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e

r´esolution spatiale de l’imagerie conventionnelle. Ce concept d’imagerie ne cherche pas `a am´eliorer la tomographie gamma conventionnelle. Il propose une imagerie radicalement diff´erente, qui est actuellement en avance sur la technologie, mais qui offre l’avantage ind´eniable d’utiliser un d´etecteur immobile. Ceci ouvre des perspectives sur de nouvelles applications : une imagerie en temps r´eel pendant une op´eration chirurgicale, une imagerie pour des objets de grandes dimensions (scanner pour les personnes en surcharge pond´erale, surveillance des d´echets nucl´eaires enfouis, contrˆole du contenu des valises, des conteneurs et des camions aux fronti`eres).

4.2.2 Formation de l’image par le rayonnement diffus´ e simplement et inversion analytique de la T RCC La mod´elisation math´ematique de la formation d’images conduit `a une transformation int´egrale T , appel´ee (( Transformation de Radon Conique Compos´ee )) T RCC, car elle peut ˆetre consid´er´ee comme une somme pond´er´ee de transformations de Radon-Conique. Cette transformation a ´et´e d´emontr´ee inversible et une formule explicite de la transformation inverse a ´et´e ´etablie. Pla¸cons un d´etecteur collimat´e sur le plan xOy, et un milieu diffusant d’att´enuation constante µ `a une distance l du d´etecteur ; consid´erons une source isotrope d’activit´e radioactive f . On cherche `a d´eterminer le nombre de photons simplement diffus´es d’´energie Eω qui sont d´etect´es au point D, c’est-`a-dire le nombre de photons qui, apr`es avoir ´et´e diffus´es avec un angle ω, arrivent sur le d´etecteur dans la direction s´electionn´ee par le collimateur. Le nombre de photons arrivant au site M dans l’angle solide dΩM , apr`es avoir ´et´e ´emis par l’´el´ement de volume dVS de la source plac´ee en S, est : f (S) dVS dΩM . 4π

(4.1)

La densit´e de flux de photons att´enu´es en M (par unit´e de temps et de surface) est donc : f (S)dVS e−µSM . 4π SM 2

(4.2)

La proportion de photons, qui sont diffus´es au point M dans la direction faisant un angle ω avec la direction d’incidence, d´epend de la section efficace diff´erentielle d’une collision Compton et du nombre d’´electrons au site M donn´e par ne (M) dVM (Eq. (1.18)). Par cons´equent, le flux de photons diffus´es en M en direction de D par unit´e de temps et d’angle solide est donn´e par : f (S)dVS e−µSM ne (M) re2 P (ω) dVM . (4.3) 4π SM 2 La densit´e de flux de photons, att´enu´es entre le point M et la sortie du milieu localis´ee au point L, arrivant sur le point de d´etection D est donc : f (S)dVS e−µSM e−µM L 2 n (M) r P (ω) dV . e M e 4π SM 2 M D2

(4.4)

4.2 Imagerie 3D par ´ emission du rayonnement diffus´ e du premier ordre

53

z S

ω

r

zM

dΩM dVM

M ϕ

L

Face sup´erieure du milieu diffusant

yD l xD

y

dΩD D

D´etecteur collimat´e

x Fig. 4.2: Syst`eme des coordonn´ees utilis´e pour le calcul de la diffusion simple. Ainsi, l’expression de l’image du diffus´e sur le plan du d´etecteur g(D, ω) est obtenue en sommant les contributions de tous les points sources S, situ´es sur un cˆone d’axe parall`ele ` a Oz, d’angle d’ouverture ω et dont le sommet M se trouve sur la ligne verticale M D : Z dzM g(D, ω) = dxM dyM 2 δ(xD − xM )δ(yD − yM )ne (M)e−µ(zM −l) zM (4.5) Z f (S)dVS δ(cˆone)e−µSM 2 re P (ω), × 4π SM 2 o` u δ(cˆone) repr´esente le domaine limite de l’int´egration sur S. En utilisant un syst`eme de coordonn´ees sph´eriques centr´e en M, les coordonn´ees de S deviennent alors : xS = xD + r sin ω cos ϕ, yS = yD + r sin ω sin ϕ,

(4.6)

zS = zM + r cos ω, le volume ´el´ementaire autour de S s’´ecrit dS = r 2 dr sin αdαdϕ et δ(cˆone) = r −1 δ(ω − α) ce qui conduit ` a: Z Z 2π rdrdφ. (4.7) δ(cˆone)dS = sin ω 0

54

Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e

Apr`es int´egration sur xM et yM , l’´equation (4.5) s’´ecrit sous sa forme appel´ee ´equation fondamentale de l’imagerie par le rayonnement diffus´e au premier ordre : Z ∞ dzM −µ(zM −l) g(D, ω) =K(ω) 2 ne (xD , yD , zM )e z l M (4.8) Z ∞ Z 2π dr −µr e f (xD + r sin ω cos ϕ, yD + r sin ω sin ϕ, zM + r cos ω), dϕ r 0 0 o` u le facteur K(ω) = re2 P (ω) sin(ω)/4π contient des termes d´ependants de ω. L’´equation (4.8) est la transform´ee de Radon conique compos´ee de f (S), elle correspond `a la somme pond´er´ee des transform´ees de Radon coniques de f (S) (termes de la deuxi`eme ligne de l’´equation (4.8)) sur une ligne. Il s’agit d’une g´en´eralisation de la transform´ee de Radon : on int`egre une fonction de R3 sur la surface d’un cˆone au lieu de celle d’un plan. L’imagerie du rayonnement simplement diffus´e filtr´e par un collimateur, d´efinit donc une transform´ee int´egrale T qui relie la fonction f (S) `a g(D, ω) : T : f (S) −→ g(D, ω),

(4.9)

qui peut ˆetre r´ecrite en faisant apparaˆıtre le noyau1 p(D, ω|S) de la transformation : Z g(D, ω) = dVS p(D, ω|S) f (S).

(4.10)

Nous allons maintenant pr´esenter les principales ´etapes de l’inversion analytique de T sans entrer dans les subtilit´es des calculs. Les lecteurs int´eress´es pourront se rapporter `a [NTBD04] pour l’´etablissement et la d´emonstration de cette inversion.

1) Hypoth` eses : Pour nous concentrer seulement sur les effets de la diffusion Compton, nous supposons que la densit´e ´electronique du milieu est constante : ne (M) = ne , et que l’att´enuation du milieu est nulle : µ = 0. ´ 2) Etapes de la r´ e´ ecriture de l’´ equation 4.8 : Dans l’espace de Fourier 2D par rapport aux premi`eres variables de g, l’int´egration par rapport `a ϕ et un changement de variables : R

Changement

dϕ F2D On pose : de variables g(D, ω) −x−− − → G(u, v, ω) − − − −→ G(u, v, ω) −− −−−−−− → G(u, v, t) −−−−−−−−−−−−−−→ ↔u D

yD ↔v

r cos ω→ζ tan ω→t

R∞ l

1

H(u,v,ω)= F (u,v,zM +ζ)

dzM z2 M

Le noyau d’une transformation int´egrale est l’image d’un point source, appel´ee r´eponse impulsionnelle ou Point Spread Function (PSF).

4.2 Imagerie 3D par ´ emission du rayonnement diffus´ e du premier ordre permettent de faire apparaˆıtre : Z ∞ p H(u, v, ζ) G(u, v, t) ζdζJ0 (2πζ u2 + v 2 t) = 2π K(t) ζ2 0 = la transform´ee d’Hankel d’ordre z´ero de

55

(4.11) H(u, v, ζ) ζ2

et en d´erivant par rapport ` a t, on obtient : Z ∞ p p H(u, v, ζ) ∂ G(u, v, t) 2 2 2 ζdζJ1 (2πζ u2 + v 2 t) = (−4π ) u + v ∂t K(t) ζ 0 H(u, v, ζ) = la transform´ee d’Hankel d’ordre un de ζ

(4.12)

´ 3) Etapes de l’inversion de T : L’inversion de T repose sur l’inversion de la transform´ee d’Hankel, puis du retour dans l’espace d’origine par deux transform´ees de Fourier successives : Changement de variables

H(u, v, ω) −−−−−−−− → zM −l→s ζ+l→σ

R∞ 0

−1 F1D 1D ds F (u, v, s + σ) −−F −−−→ F (u, v, w) −x−−↔u −→ f (xS , yS , zS ) s+σ↔w D (s + l)2 y ↔v D

zD ↔w

4) Conclusion : Ces r´esultats th´eoriques permettent d’affirmer que l’image tridimensionnelle d’une distribution radioactive peut ˆetre reconstitu´ee `a partir de l’acquisition du rayonnement diffus´e par le milieu dans lequel se trouve cette distribution. Pour cela, l’image du diffus´e doit ˆetre connue pour la totalit´e des angles de diffusion (du rayonnement direct au rayonnement r´etrodiffus´e). Tout cet espace de donn´ees est suffisant pour la reconstruction tridimensionnelle de l’objet, il en r´esulte que le d´eplacement du d´etecteur autour de l’objet n’est plus n´ecessaire. La possibilit´e de garder le d´etecteur fixe ouvre des possibilit´es nouvelles mais l’exploitation de la T RCC n´ecessite un d´etecteur ayant une r´esolution ´energ´etique ´elev´ee, ce qui demande l’´elaboration de nouveaux d´etecteurs. L’att´enuation n’est pas prise en compte dans l’´etude analytique et reste un probl`eme totalement ouvert, notamment si elle n’est pas constante. Rappelons que l’inversion de la transformation de type rayons X att´enu´ee n’a ´et´e trouv´ee qu’en 2002 [Nov02] alors que la transformation de Radon inverse exacte depuis 1917 [Rad17].

4.2.3 Estimation de la carte de l’att´ enuation et reconstruction num´ erique avec correction de l’att´ enuation La reconstruction correcte de la structure interne d’un objet en imagerie par ´emission n´ecessite la d´etermination de deux grandeurs distinctes : la densit´e volumique d’activit´e f (S) de radioisotope ` a l’int´erieur de l’objet et la carte d’att´enuation de l’objet µatt (r, E), qui d´epend ´evidement de la position dans l’objet mais aussi de l’´energie. Actuellement, les syst`emes d’imagerie conventionnelle utilisent une imagerie bimodale ou mˆeme multimodale : la carte d’att´enuation est obtenue par des mesures ind´ependantes (par tomodensitom´etrie, par scintigraphie. . . ), puis la reconstruction de f (S) s’effectue `a partir des donn´ees de l’imagerie par

56

Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e

´emission avec att´enuation connue. La principale difficult´e de ce probl`eme est le recalage des images, c’est-`a-dire de faire correspondre son coefficient d’att´enuation `a chaque voxel de l’objet. Pour la mati`ere des objets et la plage d’´energies consid´er´ees dans l’imagerie gamma, l’att´enuation photonique d´epend principalement de la diffusion Compton dont le coefficient lin´eique d’att´enuation est donn´e par : µc (r, E) = ne (r)σ c (E), o` u σ c est la section efficace de l’effet Compton, l’absorption photo´electrique ´etant n´egligeable (Fig. 1.8, page 20). Par cons´equent, la d´etermination de l’att´enuation revient `a d´eterminer la densit´e ´electronique au sein de l’objet. Depuis plus de 30 ans, la d´etermination de la carte de la densit´e ´electronique est un champ de recherche actif [CMD76, Hus89]. La m´ethode propos´ee dans [Del05] est une imagerie par transmission du diffus´e. Une source de rayonnement gamma est plac´ee `a l’ext´erieur de l’objet, une cam´era gamma collimat´ee est positionn´ee de mani`ere `a avoir une disposition perpendiculaire avec la source (Fig. 4.2.3). Sous les hypoth`eses d’une diffusion simple et d’une att´enuation nulle pour les rayonnements, la densit´e ´electronique du milieu peut ˆetre d´etermin´ee `a partir d’un ensemble d’images du diffus´e.

z att´enuation ? ne ? M

r

ζ

ω

ρ

S

Milieu diffusant

zS l k

xD

yD D

O

x

D´etecteur collimat´e

y

Fig. 4.3: G´eom´etrie d’acquisition pour la reconstruction 3D de la densit´e ´electronique ne du milieu avec une source gamma S ponctuelle et un d´etecteur plan collimat´e. La densit´e de flux de photons, ´emis par la source de position S et d’activit´e f0 connues, re¸cue par le point M′ situ´e ` a une distance r de la source est : f0 4πr 2

(4.13)

La densit´e de flux diffus´e en M′ qui arrive au point de d´etection D d´epend de la densit´e ´electronique ne (M′ ) dans le volume ´el´ementaire entourant M′ , de la section efficace diff´erentielle

4.2 Imagerie 3D par ´ emission du rayonnement diffus´ e du premier ordre

57

de l’effet Compton, et de la distance entre les points de diffusion et de d´etection : f0 1 ne (M′ )dM′ re2 P (ω) ′2 2 4πr zM

(4.14)

L’expression de l’image du diffus´e sur le d´etecteur collimat´e g(D, ω) est obtenue en sommant l’expression ci-dessus sur l’ensemble des lieux de diffusion possibles, qui se r´eduisent `a un unique point M : Z f0 1 g(D, ω) = ne (M′ )dM′ re2 P (ω) ′2 δ(M − M′ ), 2 4πr zM (4.15) 2 f0 re P (ω) 1 1 = 2 ne (M), 4π r 2 zM q avec r = ρ/ sin ω, zM = zS − ζ = zS − ρ/ tan ω et ρ = x2D + (k + yD )2 . L’´equation (4.15) est inversible de mani`ere exacte et permet d’obtenir une estimation de la carte de la densit´e ´electronique ne dans le milieu, mais cette formule ne prend pas en compte l’att´enuation du milieu. Cette carte de la densit´e ´electronique ne permet alors d’´evaluer la carte de l’att´enuation du milieu, mais cette estimation est fauss´ee par l’att´enuation elle-mˆeme. Une m´ethode it´erative est alors propos´ee qui consiste `a corriger l’att´enuation avant chaque it´eration ` a partir de l’estimation de ne de l’it´eration pr´ec´edente.

` titre illustratif, la figure 4.4 pr´esente les reconstructions num´eriques des imageries par A transmission et par ´emission du rayonnement simplement diffus´e. Ce principe d’imagerie bimodale pourra permettre une acquisition simultan´ee des images anatomiques et fonctionnelles r´eduisant ainsi les probl`emes pos´es par le recalage lorsque l’objet n’est pas parfaitement immobile (respiration, battement du cœur. . . ). Cette imagerie offre aussi l’avantage d’utiliser un mˆeme d´etecteur pour les deux imageries, qui reste `a une position fixe.

58

Illustrations pour l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e

(a)

(c)

Fig. 4.4: (a) Objet radioactif (encercl´e de rouge) dans un milieu d’att´enuation non constante ; (b) Superposition des reconstructions des images par transmission par le diffus´e (att´enuation) et par ´emission par le diffus´e (densit´e d’activit´e radioactive) avec prise en compte de l’att´enuation du milieu [Del05].

Troisi` eme partie

Imagerie par rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre ` a haute sensibilit´ e

5 Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre 5.1 Introduction 5.1.1 N´ ecessit´ e d’augmenter la sensibilit´ e dans le cas du diffus´ e Nous avons vu dans le chapitre pr´ec´edent que les images obtenues par le rayonnement diffus´e, d´etect´ees par une cam´era collimat´ee et index´ees par l’´energie, forment un ensemble d’images ind´ependantes permettant de reconstruire la densit´e d’activit´e tridimensionnelle du produit radioactif ` a l’int´erieur d’un objet. La proportion de rayonnement diffus´e par rapport au rayonnement primaire d´epend de l’´energie initiale des photons, des caract´eristiques du milieu travers´e (densit´e ´electronique et coefficient d’att´enuation lin´eaire) et des dimensions du milieu. Dans les conditions de l’imagerie m´edicale, le rayonnement diffus´e pour les diff´erentes ´energies de diffusion est bien inf´erieur au rayonnement primaire. De plus, nous avons vu que le collimateur ` a trous parall`eles r´eduit fortement la sensibilit´e des images. L’id´ee propos´ee dans ce travail de th`ese est donc de supprimer le collimateur afin d’augmenter la sensibilit´e des images en r´ecoltant les rayonnements diffus´es provenant de toutes les directions de l’espace. On pose ainsi le probl`eme de savoir si l’information contenue dans les rayonnements diffus´es index´es par diff´erentes ´energies, sans le filtrage de la direction incidente du rayonnement diffus´e, permet de reconstruire tridimensionnellement de la densit´e d’activit´e `a l’int´erieur de l’objet.

5.1.2 Concept technique de l’imagerie par rayonnement gamma diffus´ e` a haute sensibilit´ e Dans ce chapitre, nous allons commencer l’´etude de la faisabilit´e d’une imagerie par rayonnement gamma diffus´e ` a haute sensibilit´e dans la modalit´e de l’imagerie par ´emission. L’objet correspond ` a un milieu diffusant dans lequel se trouve une distribution radioactive que l’on

62

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

cherche `a reconstruire. On consid`ere une surface de d´etection quasi-ponctuelle pouvant mesurer le flux de photons du rayonnement incident la traversant pour diff´erentes ´energies. Ces surfaces de d´etection peuvent ˆetre consid´er´ees comme les pixels d’un d´etecteur gamma de nouvelle g´en´eration ou des petits d´etecteurs gamma ind´ependants dispos´es dans l’espace. La d´etection des photons gamma, dans la suite de ce travail, n’est pas mod´elis´ee et est suppos´ee parfaite. Nous allons ´etablir un mod`ele pour le rayonnement diffus´e `a l’ordre 1 et arrivant sur la surface de d´etection sans filtrage d’incidence ce qui permet d’augmenter le nombre de photons d´etect´es. Dans ce syst`eme d’imagerie, les donn´ees d´ependent de la forme du milieu diffusant. Nous commencerons notre ´etude par diff´erentes configurations en deux dimensions : un milieu semi-infini avec un d´etecteur lin´eaire en-dessous, un milieu rectangulaire avec un d´etecteur lin´eaire en-dessous, un milieu circulaire avec un d´etecteur circulaire tout autour. L’´etude 3D se limitera `a un milieu de forme parall´el´epip´edique (ou slab). Dans notre syst`eme d’imagerie, nous souhaitons r´ecup´erer la partie du rayonnement photonique qui a subi une unique diffusion Compton dans le milieu diffusant avec l’angle correspondant `a l’´energie requise par le d´etecteur. Mais lors du transport photonique dans le milieu diffusant, le rayonnement subit d’autres ph´enom`enes physiques, que peuvent s’av´erer nuisibles pour notre syst`eme d’imagerie. On doit donc les identifier, les mod´eliser et les corriger sur les donn´ees avant ou pendant la reconstruction. Ces ´etapes de correction ne seront pas franchies dans le cadre de cette th`ese. Aux bruits qui pourront ˆetre corrig´es avec des traitements analogues `a ceux de l’imagerie conventionnelle comme l’´emission photonique de nature poissonnienne, la d´ecroissance exponentionnelle de l’activit´e de la source, les caract´eristiques de d´etections. . . , s’ajoutent des ph´enom`enes physiques qui entrainent des manifestations nouvelles dans les donn´ees : une densit´ e´ electronique non-uniforme qui modifie la quantit´e de rayonnement diffus´e, l’att´ enuation qui intervient, avec un coefficient d´ependant de l’´energie des photons, dans la somme int´egrale des diff´erents parcours des photons contraints par une unique diffusion d’angle fix´e dans le milieu diffusant, la diffusion d’ordre multiple qui correspond aux photons diffus´es plus d’une fois et qui arrivent sur le d´etecteur avec l’´energie de d´etection. Il est pr´ef´erable de proc´eder par ´etape : ´etablir un mod`ele direct pour cr´eer une matrice (( poids )) r´eutilisable puis d’appliquer des corrections sur les donn´ees une par une suivant les caract´eristiques plus sp´ecifiques de l’objet. Le probl`eme inverse de l’imagerie du diffus´e d’ordre 1 sans collimateur ne poss`ede pas encore de solution analytique. Nous allons donc r´esoudre ce probl`eme par des m´ethodes alg´ebriques. On peut se rendre compte de la difficult´e de cette inversion au vue de la matrice (( poids )) du syst`eme qui est non sym´etrique, non creuse et qui poss`ede un grand conditionnement. Dans ce chapitre, nous allons ´etablir, puis valider un mod`ele direct pour cette imagerie en 2D et en 3D. Nous allons tester la faisabilit´e de ces imageries en testant leur inversion pour des m´ethodes de reconstruction classiquement utilis´es en imagerie conventionnelle, et nous allons

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D)

63

comparer les reconstructions avec l’imagerie du rayonnement diffus´e au premier ordre avec collimateur.

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D) ´ 5.2.1 Etablissement du mod` ele de la formation d’images en 2D Afin de familiariser le lecteur avec notre mod´elisation de la formation d’images par le rayonnement simplement diffus´e ` a haute sensibilit´e, nous allons commencer cette ´etude dans un milieu `a l’int´erieur duquel les photons ne peuvent ´evoluer que sur deux dimensions mais o` u les quantit´es physiques (coefficients lin´eiques, section efficace diff´erentielle, densit´e ´electronique) correspondent ` a celles d’un milieu tridimensionnel. Ainsi, ce milieu ne correspond pas exactement `a une tranche de milieu 3D. De plus, pour ne faire ressortir que les points importants du calcul, nous posons des hypoth`eses simplificatrices suivantes : – l’´emission primaire du rayonnement est isotrope, – la densit´e ´electronique du milieu est uniforme, – l’att´enuation du milieu est n´eglig´ee (dans un premier temps), – les diffusions d’ordre multiple sont ´egalement n´eglig´ees, ce qui permet d’affirmer qu’un photon d’´energie Eω a ´et´e diffus´e qu’une seule fois avec un angle ω. 5.2.1.1 Formation de l’image dans un milieu 2D On cherche ` a calculer le nombre de photons arrivant sur un pixel du d´etecteur apr`es avoir ´et´e diffus´es une unique fois sous l’angle de diffusion ω. Posons : • S = (xS , yS ), un point source de densit´e d’activit´e f (S), • M = (xM , yM ), un site de diffusion `a l’int´erieur du milieu diffusant autour duquel la densit´e ´electronique vaut ne (M), • D = (xD , yD ), un site de d´etection qui enregistre les photons d’´energie Eω . θ D

dΩ′ S dSS

dΩ

η

px ω

M ξ dS M

Fig. 5.1: G´eom´etrie de la diffusion Compton : point source S, site de diffusion M de largeur ξ, point de d´etection D de dimension px . La densit´e de flux de photons qui atteint le site M est le nombre de photons ´emis `a l’int´erieur de l’ouverture angulaire dΩ par unit´e de longueur et unit´e de temps : f (S)dSS φ(S → M), 2π

(5.1)

64

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

o` u φ(S → M) repr´esente l’ouverture angulaire qui d´epend de la distance |SM | entre les site S et M et de la largeur ξ du site M. Dans une premi`ere approximation, on peut ´ecrire : φ(S → M) =

dΩ 1 = , ξ |SM |

(5.2)

cette expression a l’avantage d’ˆetre lin´eaire, par contre elle diverge quand le point M se rapproche de la source S. En deuxi`eme approximation, on peut prendre :   dΩ ξ 2 φ(S → M) = = arctan . (5.3) ξ ξ 2|SM | La proportion de photons qui sont diffus´es en faisant un angle ω avec la direction incidente c (ω) et de la densit´ d´epend de la section efficace diff´erentielle σ2D e ´electronique au point M (sous l’hypoth`ese : ne (M) = ne ). Dans ce milieu en deux dimensions, la section efficace diff´erentielle s’´ecrit comme : 1 c (5.4) σ2D (ω) = πre2 P (ω), 2 avec P (ω) la probabilit´e de Klein-Nishina, re le rayon classique de l’´electron. Le facteur 1/2 indique qu’un photon a la mˆeme probabilit´e d’aller sur l’une ou l’autre branche du cˆone 2D d’angle au sommet ω qui s’apparente ` a un (( V )). La densit´e de flux des photons diffus´es arrivant sur le site D est donn´ee par : f (S)dSS c φ(S → M)σ2D (ω)ne dSM φ(M → D), 2π o` u φ(M → D) est d´efini de la mˆeme mani`ere que φ(S → M). dΦ(D, ω|S, M) =

(5.5)

La densit´e de flux de photons totale arrivant au site D pour un angle ω s’obtient en int´egrant sur l’ensemble des points sources et sur l’ensemble des sites de diffusion tels que l’angle de diffusion soit ω. Cette contrainte s’exprime par une distribution δ telle que : Z Z \ Φ(D, ω) = dΦ(D, ω|S, M) δ(SM D − (π − ω)), (5.6) \ o` u SM D est l’angle au point M dans le triangle SMD. ´ 5.2.1.2 Etablissement de la r´ eponse impulsionnelle La r´eponse impulsionnelle, ou Point Spread Function (P SF ) en anglais, est par d´efinition l’image d’un unique point source, d’intensit´e f0 , situ´e au site S0 `a l’int´erieur du milieu diffusant. L’introduction du P SF dans l’´equation (5.6) permet d’´ecrire : Z g(D, ω) = dSS f (S) P SF (D, ω|S0 ), (5.7) o` u g(D, ω) est le nombre de photons re¸cus sur le d´etecteur au site D et `a l’´energie Eω . Le P SF , pour un point source S0 , pour un point de d´etection D et pour une ´energie Eω correspondant ` a l’angle de diffusion ω, s’exprime comme : c (ω) Z f0 ne σ2D φ(S0 → M)φN (M → D)dSM , (5.8) P SF (D, ω|S0 ) = 2π M(ω)

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D)

65

o` u φN (M → D) est le nombre de photons ´emis par la source secondaire M et d´etect´es par le pixel D, en premi`ere approximation : φN (M → D) =

px cos θ , |M D|

(5.9)

o` u px cos θ est la largeur effective du d´etecteur vu par le flux arrivant avec un angle θ par rapport `a la normale du d´etecteur. Le P SF d´epend donc de la position des lieux de diffusion M `a l’int´erieur du milieu diffusant. Pour mettre en ´evidence cette d´ependance, nous allons calculer analytiquement le P SF dans deux configurations g´eom´etriques diff´erentes. Milieu diffusant semi-infini et d´ etecteur lin´ eaire (Fig. 5.2) En plus des quatre hypoth`eses faites en introduction, on suppose que le d´etecteur est situ´e sur l’axe des abscisses D = (xD , 0) et que le milieu diffusant remplit le demi espace y > 0. On consid`ere un point source S = (xS , yS ) plac´ee dans le milieu diffusant. On appelle ζ la distance entre la source S et le d´etecteur D et α l’angle entre l’axe des abscisses et la droite (SD) (0 < α < π). Les sites de diffusions sont situ´es sur les arcs de cercle soutenant l’angle (π − ω) se trouvant ` a l’int´erieur du milieu (trait plein de C1 et C2 sur la figure 5.2). y

ω

C2

M2

Milieu diffusant dl dSM ξ S

ζ

r′ γ′ D O

α

γ

M1

r L1

θ θ′

C1

x D´etecteurs plac´es lin´eairement

Fig. 5.2: G´eom´etrie du probl`eme pour un d´etecteur sur l’axe des abscisses sans collimateur. Les distances entre le point source (ou le point de d´etection) et les sites de diffusion M s’´ecrivent en fonction des param`etres polaires (r = M1 D, γ) et (r ′ = M2 D, γ ′ ) qui parcourent les cercles C1 et C2 : ζ sin γ sin ω ζ M1 D = sin(ω − γ) sin ω SM1 =

ζ sin γ ′ sin ω ζ sin(ω − γ ′ ) M2 D = sin ω SM2 =

(5.10)

66

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

Les coordonn´ees des points M1 et M2 s’obtiennent par des relations trigonom´etriques :   ζ ζ   x1 =  x2 = sin(ω − γ) cos(α − γ) + xD  sin(ω − γ ′ ) cos(α + γ ′ ) + xD sin ω sin ω (5.11)    y = ζ sin(ω − γ) sin(α − γ)  y = ζ sin(ω − γ ′ ) sin(α + γ ′ ) 1 2 sin ω sin ω La longueur ´el´ementaire d’arc de cercle est donn´ee par : dl =

p ζ ζ dr 2 + r 2 dθ 2 = − dγ = dγ ′ sin ω sin ω

(5.12)

Lorsque le point M1 se rapproche de la source ou du d´etecteur, les distances |SM1 | ou |M1 D| tendent vers z´ero, il en est de mˆeme pour le point M2 . On doit donc consid´erer des points de diffusion suffisamment loin de la source S ou du d´etecteur D, cette limitation s’effectue grˆace `a un cutoff ε dans le calcul du P SF . On doit aussi ne consid´erer que les parties des arcs `a l’int´erieur du milieu diffusant cela revient `a calculer les limites des cercles C1 et C2 rep´er´es grˆace aux param`etres γ et γ ′ : pour le cercle C1

et pour le cercle C2

( ε ≤ γ ≤ ω − ε = γl ε ≤ γ ≤ α = γl ( ε ≤ γ ′ ≤ ω − ε = γl′ ε ≤ γ ′ ≤ π − α = γl′

si α ≥ ω si α < ω,

(5.13)

si α ≤ π − ω si α > π − ω.

(5.14)

En reprenant l’´equation (5.8) et les premi`eres approximations de la densit´e de flux et du nombre de photons (Eqs. (5.2) et (5.9)), et en consid´erant que dSM = ξ × dl (Fig. 5.2), on poursuit le calcul : Z c (ω) f0 ne σ2D 1 1 \ ξpx cos θδ(SM D − (π − ω))dl, P SF (D, ω|S0 ) = 2π M(ω) |SM | |M D| (Z ε sin ω π = K(ω) cos( − α + γ) dγ+ ζ sin γ sin(ω − γ) 2 γl ) Z γ′ l sin ω π cos( − α − γ ′ ) dγ ′ , ′ ′ 2 ε ζ sin γ sin(ω − γ ) ( K(ω) tan γl /2 tan(ω − ε)/2 = ln sin α + ln sin(α − ω)+ ζ tan ε/2 tan(ω − γl )/2 ) tan γl′ /2 tan(ω − ε)/2 ln sin α + ln sin(α + ω) . tan ε/2 tan(ω − γl′ )/2 c (ω)ξp /2π. avec K(ω) = f0 ne σ2D x

(5.15)

(5.16)

(5.17)

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D)

67

Milieu diffusant cylindrique et d´ etecteur circulaire (Fig. 5.3) Nous consid´erons maintenant un milieu diffusant limit´e par le cercle de rayon R et de centre O. Le point source, se trouvant `a l’int´erieur du milieu diffusant, est rep´er´e par ses coordonn´ees polaires S = (ρ, θ), le d´etecteur de largeur pθ se trouve sur la limite du milieu S = (R, ϕ). On peut reprendre les calculs pr´ec´edents avec : p (5.18) ζ = R2 + ρ2 − 2Rρ cos(θ − ϕ), et ρ−R θ−ϕ π ϕ−θ − arctan( cot ). (5.19) α= + 2 2 ρ+R 2 y

S

M1

ρ

Milieu diffusant O

L1 ζ

θ ϕ

α x

r R

M2

γ

ω D

D´etecteurs plac´es circulairement autour du milieu diffusant

Fig. 5.3: G´eom´etrie du probl`eme pour des d´etecteurs autour d’un milieu diffusant circulaire. La configuration du milieu implique de calculer les nouvelles limites de l’int´egrale portant sur γ : ( ε ≤ γ ≤ γl si 0 ≤ γl ≤ ω (5.20) ε ≤ γ ≤ ω − ε sinon, avec

γl = arctan

sin ω(R2 − ρ2 ) 2Rρ cos(ω + ϕ − θ) − (R2 + ρ2 ) cos ω

(5.21)

Remarques Les deux exemples pr´ec´edents montrent que le P SF d´epend de la g´eom´etrie du milieu diffusant, et plus particuli`erement, cette d´ependance est port´ee par la limite calcul´ee en γl . Et on remarque que cette limite lie les variables de position de la source par rapport au d´etecteur

68

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

et de l’angle de diffusion. La mod´elisation, pr´esent´ee ci-dessus, permet d’avoir une id´ee de la forme du P SF mais elle n’est pas satisfaisante pour une ´etude quantitative, notamment pour une comparaison des P SF pour des d´etecteurs avec et sans collimateur, `a cause de la pr´esence du cutoff. Le paragraphe suivant d´ecrit une mod´elisation plus pr´ecise, mais dont le calcul int´egral ne peut s’effectuer que num´eriquement.

5.2.2 Mod´ elisation plus fine du P SF La mod´elisation du transport photonique dans le milieu diffusant peut ˆetre am´elior´ee en prenant en compte la largeur spatiale du pixel ainsi que la largeur ´energ´etique du d´etecteur. Nous allons consid´erer un milieu diffusant d´elimit´e par un rectangle, et des d´etecteurs plac´es sur une ligne ` a une distance l du milieu (Fig. 5.5). D’autre part, l’att´enuation, qui d´epend de l’´energie des photons, n’est plus n´eglig´ee, mais est suppos´ee uniforme et connue. Le coefficient d’att´enuation lin´eique pour l’´energie des photons E0 est not´e µ0 , puis µω pour les photons d’´energie Eω . Le P SF s’´etablit sous l’hypoth`ese que la source est un point ponctuel : c (ω) Z f0 ne σ2D e−µ0 |SM | φ(S0 → M)e−µω |M N | φN (M → D)dSM , (5.22) P SF (D, ω|S0 ) = 2π M(ω) o` u l’on retrouve les diff´erents ´el´ements intervenant dans la mod´elisation : •

f0 −µ0 |SM | φ(S0 2π e

→ M) est la densit´e de flux de photons att´enu´es, ´emis par la source S0 et arrivant sur le site M,

c (ω)dS • ne σ2D etermine la proportion des photons qui sont diffus´es avec l’angle ω (dans M d´ la direction du d´etecteur),

• e−µω |M N | φN (M → D) permet de connaˆıtre le nombre de photons d’´energie Eω qui arrivent sur le d´etecteur : |M N | est la distance entre le point M et le point N sur la limite du milieu diffusant dans la direction de D. Pour ne plus avoir ` a utiliser un cutoff autour du point source, l’ouverture angulaire φ(S0 → M) est calcul´ee ` a l’aide d’une fonction born´ee : φ(S0 → M) =

σ 2 arctan( ), σ 2|S0 M |

(5.23)

o` u σ repr´esente l’ouverture du faisceau en M, qui est calcul´ee en fonction de dSM . La largeur non nulle du pixel va d´elimiter les sites de diffusion entre les deux arcs de cercle soutenant l’angle (π − ω) passant par le point S0 et les extr´emit´es du pixel. La surface ´el´ementaire dSM entourant un site M de diffusion est alors le produit dξ × dl o` u dξ correspond ′′ ′ `a la distance entre les deux arcs de cercle C1 et C1 au niveau du point M. Cette distance est calcul´ee en cherchant l’intersection de ces deux cercles avec la droite ∆ passant par M et par le centre du cercle m´edian ΩC1 . La droite ∆ a pour ´equation : ∆ : y = cot(ω − 2γ − α)(x − xΩC1 ) + yΩC1 ,

(5.24)

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D)

69

S C1′′ C1′ ζ

dξ M

ΩC1

ω δω C1

π−α D1 D D2

dl

θ

∆px px

Fig. 5.4: D´etails de la mod´elisation du P SF lorsque les largeurs spatiale et ´energ´etique du d´etecteur sont prises en compte (proportions exag´er´ees). avec les coordonn´ees du centre du cercle C1 donn´ees par : ( ζ xΩ = ζ cos α + 2 sin ω sin(α − ω) + xD ΩC1 : ζ yΩ = − 2 sin ω cos(ω + α) Les ´equations des cercles C1′ et C1′′ s’´ecrivent en consid´erant les distances ζ α correspondants : q ′ ′′ ζ = (xD ± px /2 − xS )2 + yS2 , et ′ ′′ yS α = arctan , xS − xD ± px/2  x ′ ′′ = ζ ′ ′′ sin(ω − γ) cos(α′ ′′ − γ) + x − p D x C1 ′ ′′ sin ω C1 , C1 : ′ ′′ y ′ ′′ = ζ sin(ω − γ) sin(α′ ′′ − γ)

(5.25) ′ ′′

et les angles

′ ′′

C1

(5.26)

(5.27)

sin ω

p

La distance dξ = (x′∩ − x′′∩ )2 + (y∩′ − y∩′′ )2 s’obtient en r´esolvant le syst`eme d’´equations de l’intersection de la droite ∆ avec le cercle C1′ puis le cercle C1′′ .

La largeur ´energ´etique du d´etecteur entraˆıne la d´etection des photons d’´energies comprises entre Eω − δE ≤ Eω ≤ Eω + δE. Ceci peut se traduire par le fait de r´ecup´erer les photons compris dans l’angle δω(ω) autour de la direction donn´ee par l’angle ω. Cette quantit´e intervient dans le calcul de φN (M → D) :   ∆px (δω) cos θ φN (M → D) = 2 arctan , (5.28) 2|M D| et la quantit´e ∆px (δω) cos θ peut s’obtenir analytiquement : cos θ =

yM = sin(α − γ), |M D|

(5.29)

70

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

∆px correspond ` a la distance entre les points D1 et D2 : ( xD2 = −yM tan(π/2 − α + γ + δω/2) + xM xD1 = −yM tan(π/2 − α + γ − δω/2) + xM

(5.30)

alors

2ζ sin(δω) sin(ω − γ) sin2 (α − γ) . sin(ω) cos δω − cos(2(α − γ)) En reprenant les calculs des distances |SM | et |M D| et en calculant |M N | : ∆px (δω) cos θ =

|M N | =

(5.31)

l ζ sin(ω − γ) − , sin ω sin(α − γ)

(5.32)

on peut donner une nouvelle expression du P SF qui n´ecessite d’ˆetre calcul´ee num´eriquement : P SF (D, ω|S0 ) = f0 ne re2 P (ω)

X ζ σ sin ω

2 Arcs

Z

γl (ω)

e−µ0 |S0 M | e−µω |M N | arctan(

0

σ ∆px (δω) cos θ ) arctan( ) dξ(γ) dγ. (5.33) 2|SM | 2|M D|

L’int´egration porte sur les sites de diffusion `a l’int´erieur du milieu. Les limites de cette int´egrale, qui correspondent aux intersections des arcs de cercle avec les limites du milieu diffusant, doivent ˆetre calcul´ee pr´ealablement. y

y

ω

M

M ω

S

S ω ζ

ω N l O

D

ζ

ω ω D´etecteurs x

l O

D px

D´etecteurs collimat´es x

Fig. 5.5: Contribution des sites de diffusions pour un d´etecteur sans collimateur (`a gauche) et avec collimateur (` a droite). Lorsque le d´etecteur est muni d’un collimateur, les sites possibles de diffusion sont r´eduits sur l’espace situ´e ` a l’intersection entre les arcs de cercle du diffus´e et le champ de vue du collimateur (Fig. 5.5 ` a gauche). Pour simplifier ce probl`eme de g´eom´etrie, le collimateur est suppos´e s´electionner tous les photons arrivant perpendiculairement au d´etecteur sur la largeur 1 , γ 2 ] de l’int´ edu pixel. Le calcul g´eom´etrique des intersections donne l’intervalle limite [γcol col gration qui contient l’angle γcol correspondant `a la perpendiculaire au d´etecteur passant par le centre du pixel : π (5.34) γcol = − α. 2

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D)

71

Ainsi l’expression du P SF pour un d´etecteur muni d’un collimateur est : ζ P SF (D, ω|S0 ) = f0 ne re2 P (ω) σ sin ω Z γ2 col e−µ0 |S0 M | e−µω |M N | arctan( 1 γcol

σ ∆px (δω) cos θ ) arctan( ) dξ(γ) dγ. (5.35) 2|SM | 2|M D|

5.2.3 Comparaison entre le mod` ele du P SF et la simulation Monte Carlo Angle du diffusion 10°

Angle du diffusion 30°

Nombre de photons

6000

Angle du diffusion 50°

5000

4000

4000 4000

3000

3000 2000 2000

2000

1000

1000 0 −15

−10

−5 0 5 10 Position des détecteurs

15

0 −15

−10

Angle du diffusion 70°

−5

0

5

10

15

0 −15

−10

Angle du diffusion 90°

2500 2000

−5

0

5

10

15

10

15

10

15

Angle du diffusion 110°

2000

2000

1500

1500

1000

1000

500

500

1500 1000 500 0 −15

−10

−5

0

5

10

15

0 −15

−10

Angle du diffusion 130°

−5

0

5

10

15

0 −15

Angle du diffusion 150° 2000

2000

1500

1500

1500

1000

1000

1000

500

500

500

−10

−5

0

5

10

15

0 −15

−10

−5

0

5

−5

0

5

Angle du diffusion 170°

2000

0 −15

−10

10

15

0 −15

−10

−5

0

5

Fig. 5.6: Comparaison des P SF calcul´es par le mod`ele d´eterministe 2D (ligne) et simul´es par Monte Carlo (points) pour un d´etecteur avec (bleu) et sans (rouge) collimateur. Pour valider notre mod`ele du diffus´e `a l’ordre 1 pr´esent´e pr´ec´edemment, on compare le P SF issu de cette mod´elisation d´eterministe avec les r´esultats d’une simulation probabiliste de type Monte Carlo. La simulation Monte Carlo est un outil puissant, utilisant des suites de nombres pseudo al´eatoires, permettant de simuler finement les processus al´eatoires. Il existe de nombreux packages d´edi´es ` a l’imagerie nucl´eaire par ´emission, mais nous avons choisi d’´ecrire notre propre code pour ´etudier les effets d’une att´enuation limit´ee `a l’absorption photo-´electrique et `a la diffusion Compton. Notre simulation Monte Carlo permet de v´erifier la validit´e du mod`ele direct en comptabilisant les photons diffus´es `a l’ordre 1, de comparer les sensibilit´es de l’imagerie du diffus´e avec ou sans collimateur, mais permet aussi de simuler des images plus r´ealistes en prenant en compte le diffus´e d’ordre multiple. L’annexe B d´ecrit la m´ethode et

72

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

l’algorithme utilis´e.

Energies (keV) 140 120 100 80

Coefficient d’att´enuation (cm− 1) 0.1538 0.1614 0.1706 0.1833

Coefficient de diffusion (cm− 1) 0.1511 0.1574 0.1646 0.1728

Coefficient d’absorption (cm− 1) 0.0028 0.0040 0.0060 0.0105

Coefficients lin´eiques (cm−1 )

0.2

Eau (ne =3,34 × 1023 ´electrons/cm3 )

0.15

0.1

0.05

0

80

100 120 ´ Energie (keV)

140

Fig. 5.7: Valeurs des coefficients lin´eiques d’att´enuation (rouge), de diffusion Compton (vert) et d’absorption photo´electrique (bleu) pour l’eau sur une plage d’´energie de 66,8 keV a` 140 keV. Nous avons choisi une configuration avec un unique point source pour tester notre mod`ele du P SF . Le milieu diffusant, de forme rectangulaire de dimensions 30×15 cm2 situ´e a` l=1 cm du d´etecteur lin´eaire, est homog`ene et pr´esente les caract´eristiques de l’eau pour la densit´e ´electronique (ne = 3, 34.10−23 ´electrons/cm3 ) et pour les coefficients lin´eiques d’att´enuation (Fig. 5.7). Les 256 d´etecteurs de longueur 0,11 cm sont plac´es le long de l’axe Ox. Le point source, plac´e dans le milieu diffusant de mani`ere centr´ee a` une distance de 6 cm du d´etecteur, ´emet des photons d’´energie 140 keV. La simulation a ´et´e lanc´ee pour un nombre total de 109 photons, ce qui correspondrait a` une densit´e d’activit´e d’environ 27 10−3 Ci/cm3 en choisissant un intervalle de temps d’une seconde. La figure 5.6 pr´esente les r´esultats de la simulation Monte Carlo d’ordre 1. Le nombre de photons re¸cus par les d´etecteurs est repr´esent´e en fonction de la position du d´etecteur (cm) et de l’angle de diffusion (degr´es). L’erreur relative quadratique moyenne pour le P SF sans collimateur entre le mod`ele direct et la simulation Monte Carlo est de 4%. Pour le P SF avec collimateur, l’erreur relative quadratique moyenne est de 12%.

5.2.4 Reconstructions d’une image par imageries du rayonnement diffus´ e Apr`es avoir valid´e le mod`ele direct, on peut alors tester des m´ethodes de reconstruction existantes pour estimer la sensibilit´e du probl`eme inverse. Nous allons comparer deux m´ethodes de reconstruction alg´ebrique pour l’imagerie par le rayonnement diffus´e pour un d´etecteur plan muni d’un collimateur et l’imagerie par le rayonnement diffus´e sur un d´etecteur sans collimateur. L’objet, identique a` celui utilis´e lors de l’exemple de reconstruction en imagerie conventionnelle dont la densit´e d’activit´e est repr´esent´ee a` la figure 2.7 page 38, est plac´e a` l’int´erieur d’un milieu diffusant de mˆeme taille, d’att´enuation nulle et de densit´e ´electronique constante. Le rayonnement primaire est suppos´e isotrope, et les diffusions d’ordre multiple sont

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D) Inversion directe par SVD

73

Reconstruction it´erative par ART 100

60

90 80

50

120 60 100 50

70 40

60 50

30

80 40 60

30

40 20

30

40

20

20 10

20

10 10 10

20

30

40

50

60

10

20

30

40

50

60

0

Fig. 5.8: R´esultats de reconstruction pour l’imagerie par le diffus´e avec collimateur par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique. n´eglig´ees. Nous utilisons, ici, le mod`ele de transport photonique en arctan exprim´ee aux ´equations (5.33) et (5.35) avec µ0 = µω = 0. On cherche `a reconstruire la densit´e d’activit´e de l’objet discr´etis´e par 64×64 points distants d’une unit´e de longueur (udl) l’un de l’autre. On place lin´eairement 64 points de d´etection, distants d’une udl les uns des autres, `a une udl en-dessous de l’objet, qui enregistrent chacun 64 ´energies diff´erentes Eω correspondantes aux angles de diffusion ω repartis de mani`ere uniforme sur l’intervalle ]0°; 180°[. Le vecteur des donn´ees g est calcul´e comme ´etant la contribution de tous les points de l’objet sur un site de d´etection D pour une ´energie Eω : il s’agit donc de le somme des P SF , calcul´es avec le mod`ele ad´equat, pond´er´ee par la valeur de la densit´e d’activit´e de l’objet. On construit ensuite la matrice (( poids )) R du milieu : pour chaque point du maillage du milieu, on calcule le P SF pour tous les sites de d´etection D et toutes les ´energies Eω que l’on place dans la matrice R. La matrice R a donc pour dimensions le nombre de donn´ees par le nombre de points du maillage. La reconstruction alg´ebrique consiste ` a r´esoudre le syst`eme : Rf =g

(5.36)

o` u f est la densit´e d’activit´e inconnue de l’objet sous forme de vecteur. La matrice R et les donn´ees g, que nous gardons non bruit´ees lors de la reconstruction, sont calcul´ees avec le mˆeme mod`ele. Le but des reconstructions, pr´esent´ees dans cette section, est de v´erifier la faisabilit´e du principe de l’imagerie en examinant le comportement de la r´esolution du syst`eme (5.36) avec deux m´ethodes de reconstruction classiquement utilis´ees en imagerie conventionnelle : l’inversion directe de la matrice R par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres et la r´esolution it´erative du syst`eme d’´equations (5.36) par l’algorithme Algebraic Reconstruction Technique. Pour le cas de l’imagerie par rayonnement diffus´e au premier ordre avec collimateur, la matrice R a un conditionnement de K = 8, 03.106 et toutes les valeurs singuli`eres sont sup´erieures `a la tol´erance num´erique. La reconstruction par SVD donne donc un tr`es bon r´esultat avec une

74

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre Inversion directe par SVD

Reconstruction it´erative par ART 100

60

90

70 60 60

80

50

50 50

70 40

60 50

30

40 40 30 30

40 20

30

20

20

20 10

10

10

10 10

20

30

40

50

60

10

20

30

40

50

60

Fig. 5.9: R´esultats de reconstruction pour l’imagerie par le diffus´e sans collimateur par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique. erreur relative quadratique moyenne entre l’image reconstruite et l’image originelle inf´erieure `a 0,1%. L’ART atteint 60 it´erations lorsque la diff´erence entre deux reconstructions successives est inf´erieure ` a 0,1. Les deux techniques d’inversion donnent correctement la forme g´en´erale de l’objet. Pour le cas de l’imagerie par rayonnement simplement diffus´e sans collimateur, le conditionnement de la matrice R est un peu plus ´elev´e K = 3, 69.109 et toutes les valeurs singuli`eres sont ´egalement sup´erieures ` a la tol´erance num´erique. Par contre seule l’inversion par SVD restitue l’objet (Fig. 5.9), son erreur relative est inf´erieur `a 0.1%. L’ART va converger tr`es ` l’it´eration 20, l’erreur entre les deux reconstructions successives lentement vers la solution. A est inf´erieure ` a 0.1, par contre l’erreur relative quadratique moyenne avec l’image originelle vaut encore 60%, et l’objet est tr`es mal restitu´e. Cette derni`ere reconstruction fait ressortir les difficult´es dans l’inversion dans cette imagerie. La connaissance d’une formule analytique de l’inversion de l’imagerie du diffus´e sans collimateur pourrait permettre d’am´eliorer la qualit´e des reconstructions en d´eveloppant des algorithmes d’inversions d´edi´es.

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D) Inversion directe par SVD

75

Reconstruction it´erative par ART 100

60

90 80

50

60

50

70 40

60 50

30

40

30

40 20

30

20

20 10

10 10 10

20

30

40

50

60

10

20

30

40

50

60

Fig. 5.10: R´esultats de reconstruction en pr´esence de l’att´enuation pour l’imagerie par le diffus´e avec collimateur par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique.

5.2.5 Reconstructions d’une image par imagerie du rayonnement diffus´ e dans un milieu d’att´ enuation constante et connue Avant d’arriver aux reconstructions `a partir des donn´ees simul´ees par Monte-Carlo, nous pr´esentons dans cette partie des reconstructions pour un milieu diffusant d’att´enuation uniforme et connue. On utilise les mod`eles des ´equations (5.33) et (5.35) pour une att´enuation ´equivalente ` a celle de l’eau. On se ram`ene donc au syst`eme : Ra · f = ga

(5.37)

avec Ra la matrice (( poids )) pour l’image par le rayonnement diffus´e au premi`ere ordre dans un milieu uniform´ement att´enu´e. Les configurations du milieu, des d´etecteurs et l’objet sont les mˆemes que celles du paragraphe pr´ec´edent. Pour le cas du d´etecteur avec collimateur (Fig. 5.10), la matrice Ra poss`ede un conditionnement K = 9, 55.1011 plus important que dans le cas d’une att´enuation nulle. Toutes les valeurs singuli`eres sont sup´erieures ` a la tol´erance num´erique et l’erreur relative quadratique moyenne pour la reconstruction par SVD est inf´erieure `a 0,1%. Par contre, l’ART, arrˆet´e au bout de 30 it´erations pour une diff´erence inf´erieure `a 0,1 entre deux it´erations successives, donne une tr`es mauvaise reconstruction avec une erreur relative quadratique moyenne de 123%. Pour le d´etecteur sans collimateur (Fig. 5.11), la matrice Ra poss`ede un conditionnement K = 6, 96.1013 ´egalement plus important que dans le cas d’une att´enuation nulle. Trois valeurs singuli`eres sont inf´erieures ` a la tol´erance num´erique mais l’erreur relative quadratique moyenne pour la reconstruction par SVD est inf´erieure toujours `a 0,1%. L’ART donne un r´esultat tr`es mauvais quand on l’arrˆete pour diff´erence inf´erieure `a 0,1 entre deux it´erations successives atteint pour 33 it´erations. Son erreur relative quadratique moyenne vaut 126%. Le tableau 5.1 donne un r´ecapitulatif des r´esultats de l’ensemble des reconstructions men´ees pour le fantˆ ome de Jaszczak. Malgr´e le grand conditionnement dans le cas de l’imagerie SPECT dˆ u `a la rotation du maillage de l’objet par rapport au d´etecteur, les deux reconstructions

76

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre Inversion directe par SVD

Reconstruction it´erative par ART 100

60

90 80

50

45 60 40 50

35

70 30 40

60

40 25

50

30

30

20

40 20

30

15

20

10

20 10

10 5

10 10

20

30

40

50

60

10

20

30

40

50

60

Fig. 5.11: R´esultats de reconstruction en pr´esence de l’att´enuation pour l’imagerie par le diffus´e sans collimateur par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique. redonnent correctement l’objet originel. Nous avons choisi d’avoir une matrice R carr´ee pour toutes ces reconstructions, mais en augmentant judicieusement le nombre de donn´ees par rapport au nombre d’inconnues, la qualit´e des reconstructions peut ˆetre am´elior´ee.

5.2 Imagerie par ´ emission dans un milieu de deux dimensions (2D)

K Tol´erance Rang ERQM TSVD it´erations ERQM ART

SPECT

DAC

DSC

1, 20.1019 2, 27.10−13 3948 6%

8, 03.106 8, 88.10−16 4096 7, 53.10−9 %

17 13%

60 35%

77

3, 69.109 4, 55.10−13 4096 3, 95.10−6 %

DAC uniform´ement att´enu´e 9, 55.1011 4, 44.10−16 4096 4, 08.10−5 %

DSC uniform´ement att´enu´e 6, 96.1013 7, 11.10−15 4093 7, 04.10−3 %

20 60%

30 123%

33 125%

Tab. 5.1: Tableau r´ecapitulatif du conditionnement K de la matrice (( poids )), de la tol´ erance num´erique pour la troncature des valeurs singuli`eres, du Rang de valeurs singuli`eres sup´erieures ` a la tol´erance num´erique, de l’ERQM de la reconstruction par SVD Tronqu´ee, et du nombre d’it´erations et de l’ERQM de la reconstruction par ART pour les reconstructions SPECT, DAC (du Diffus´e Avec Collimateur) avec att´enuation nulle, DSC (du Diffus´e Sans Collimateur) avec att´enuation nulle, DAC avec prise en compte d’une att´enuation constante, et DSC avec prise en compte d’une att´enuation constante.

5.2.6 R´ esultats des reconstructions ` a partir des donn´ ees simul´ ees par Monte Carlo Nous pr´esentons pour conclure l’imagerie bidimensionnelle du diffus´e une derni`ere s´erie de reconstructions ` a partir des donn´ees issues de la simulation Monte Carlo pr´esent´ee au paragraphe 5.2.3. La simulation Monte Carlo introduit un bruit blanc uniforme dans les donn´ees qu’elle g´en`ere ` a cause du tirage des variables al´eatoires. Nous utilisons l’algorithme du Gradient Conjugu´e avec une contrainte de positivit´e pour mener la reconstruction car il est relativement robuste au bruit uniforme et gaussien.

8

x 10 16

14

10

12 8

10

6 8

6

4

4 2

2

−10

−5

0

5

10

0

Fig. 5.12: Reconstruction du point source `a partir des donn´ees simul´ees par Monte Carlo pour un d´etecteur avec collimateur.

78

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

8

x 10 16

9

14

8

7 12

6 10 5 8 4

6

3

2

4

1 2

−10

−5

0

5

10

0

Fig. 5.13: Reconstruction du point source `a partir des donn´ees simul´ees par Monte Carlo pour un d´etecteur sans collimateur. Le milieu poss`ede une densit´e ´electronique et une att´enuation uniformes et connues. Il est discr´etis´e avec 41 points sur l’axe Ox et avec 22 points sur l’axe Oy. Le d´etecteur est r´eduit `a 86 sites de d´etection, de longueur 0,11 cm, distants les uns des autres de 0,35 cm. Le d´etecteur enregistre 44 images pour des ´energies allant de 139 keV `a 90,5 keV. Le point source, positionn´e de mani`ere centr´ee ` a 6 cm au dessus de la ligne de d´etection, est plac´e sur un des points du maillage du milieu. Les donn´ees, issues de la simulation Monte Carlo du diffus´e du premier ordre, sont mises sous forme d’un vecteur de dimension 3784×1. Dans cette configuration, les matrices (( poids )) pour l’imagerie du diffus´e avec et sans collimateur ont donc pour dimension 3784×902, ce qui donne environ 4 fois plus d’´equations que d’inconnues. Les conditionnements des matrices (( poids )) sont donc r´eduits : K = 1, 03.104 pour l’imagerie avec collimateur et K = 6, 51.104 pour l’imagerie sans collimateur. Les figures 5.12 et 5.13 pr´esentent les r´esultats des reconstructions. La m´ethode du Gradient Conjugu´e donne une reconstruction acceptable `a partir de 50 it´erations, et doit ˆetre r´egularis´ee en limitant le nombre d’it´eration. Dans les deux cas, la densit´e d’activit´e de la source est assez bien retrouv´ee (environ 109 photons par seconde). Dans le cas du d´etecteur avec collimateur, la position du point source sur l’axe Ox est correcte mais sa position sur l’axe Oy est d´ecal´ee d’une unit´e de maillage vers le haut. Lorsque le collimateur est enlev´e, on observe un point d’activit´e dominante `a l’endroit attendu pour le point source et d’autres points source d’activit´e plus faible plac´es autour de ce point. En augmentant le nombre d’it´erations, ces points prennent des valeurs pour leur activit´e de plus en plus importantes.

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D)

79

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D) 5.3.1 Formation de l’image dans un milieu 3D On cherche maintenant ` a ´etablir le nombre de photons qui arrivent sur un pixel du d´etecteur apr`es avoir ´et´e diffus´es une fois, lorsque les photons peuvent ´evoluer dans un espace en trois dimensions. On garde les mˆemes hypoth`eses simplificatrices : – l’´emission primaire des photons est isotrope, – l’att´enuation du milieu est n´eglig´ee, – les diffusions d’ordre multiple sont ´egalement n´eglig´ees, – la densit´e ´electronique est uniforme. D px

dΩ′ S

dΩ

dVS

M

dη

θ py

ω

dρ dξ dVM

Fig. 5.14: G´eom´etrie de la diffusion Compton pour un milieu en trois dimensions. La densit´e du flux de photons ´emis par le point source S et atteignant un point M de l’espace est : f (S)dVS φ(S → M), (5.38) 4π o` u φ(S → M) = dΩ/dξdρ devient pour un milieu 3D : 1 |SM |2 dξdρ 4 arctan = dξdρ 4|SM |2

φ(S → M) =

(premi`ere approximation)

(5.39)

(seconde approximation)

(5.40)

De mani`ere similaire que pour l’imagerie 2D, on peut ´ecrire la densit´e de flux de photons, qui arrivent sur le site D de d´etection apr`es avoir ´et´e diffus´es d’un angle ω au point M : dΦ(D, ω|S, M) =

f (S)dVS c φ(S → M) σ3D (ω) ne dVM φ(M → D), 2π

(5.41)

puis la densit´e de flux total des photons diffus´es avec l’angle ω, provenant de tout l’espace, qui est re¸cu par le site de d´etection D : Z Z \ Φ(D, ω) = dΦ(D, ω|S, M) δ(SM D − (π − ω)). (5.42)

80

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

´ 5.3.2 Etablissement de la r´ eponse impulsionnelle Le P SF pour le milieu en 3D peut s’exprimer de la mˆeme sorte que l’´equation (5.8) : c (ω) Z f0 ne σ3D φ(S0 → M)φN (M → D) dVM . (5.43) P SF (D, ω|S0 ) = 4π M(ω) z S M ψ

~k′′ θS

ω S r ~ ~ Ok j ~i

γ

φS

ζ y

D

x

\ Fig. 5.15: Surface S des points M satisfaisant la condition δ(SM D − (π − ω)) \ Les sites de diffusion M satisfaisant la contrainte δ(SM D − (π − ω)) se trouvent sur la surface engendr´ee par la r´evolution autour de l’axe joignant les points S et D de l’arc de cercle soutendant l’angle π − ω. Cette surface S peut ˆetre param´etris´ee dans un rep`ere de coordonn´ees sph´eriques d’origine D :  ′′  xM = r sin γ cos ψ ′′ = r sin γ sin ψ (5.44) : yM S8 > :0≤ψ≤2π

avec r la distance |M D| :

ζ sin(ω − γ) (5.45) sin ω La surface S est inclin´ee dans le rep`ere Oxyz en fonction de la position de S(ϕS , θS ). Pour obtenir les coordonn´ees des points M sur la surface S dans le rep`ere Oxyz, on doit donc faire subir deux rotations aux points M′′ : r=

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D) Premi`ere rotation autour de ~k avec l’angle ϕS

Seconde rotation autour de ~j ′ avec l’angle θS

(~i, ~j, ~k) → (~i′ , ~j ′ , ~k′ )

(~i′ , ~j ′ , ~k′ ) → (~i′′ , ~j ′′ , ~k′′ )

1 Mrot



cos ϕS =  sin ϕS 0

− sin ϕS cos ϕS 0

 0 0  1

2 Mrot



cos θS = 0 − sin θS

81

 0 sin θS 1 0  0 cos θS

Lorsqu’on consid`ere que le site de d´etection D correspond `a une surface (et non `a un point), les sites de diffusions M sont alors situ´es `a l’int´erieur d’une (( ´ecorce )) entourant la surface S (figure 5.16). Pour des raisons de sym´etrie, nous choisissons de consid´erer un pixel de forme circulaire de rayon pr . L’´el´ement ´el´ementaire de volume dVM , sur lequel porte l’int´egration dans le P SF , peut se d´ecomposer sur trois axes orthogonaux : dVM = dl dξ dρ,

(5.46)

avec dl en vert, dξ en rouge et dρ en bleu sur la figure 5.16. Les ´el´ements de longueurs ´el´ementaires dl et dξ sont les mˆemes qu’en 2D, dρ est donn´e par : dρ = ρdψ =

ζ sin(ω − γ) sin(γ)dψ. sin ω

(5.47)

S

dVM

ψ ρ ζ

D

pr

Fig. 5.16: Sch´ema du volume ´el´ementaire entourant le point M. c est diff´ Dans un espace en trois dimensions, la section efficace σ3D erente de celle ´etablie pour un milieu en 2D ` a l’´equation (5.4), car les photons sont diffus´es sur un cˆone (et non plus sur un (( V ))). On doit donc d´eterminer quelle est la proportion des photons de ce cˆone ∆ψc /2π c devient : qui sont re¸cus par le d´etecteur, et la section efficace σ3D c (ω) = σ3D

∆ψc 2 πre P (ω), 2π

(5.48)

82

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

z θM S

ϕM θS

ζ

M V y

φS D ∆ψc 2π

x

Fig. 5.17: Sch´ema du l’intersection du cˆone de diffusion et du pixel. La surface du cˆ one V peut ˆetre consid´er´ee de la mˆeme mani`ere que la surface S en ´ecrivant d’abord les coordonn´ees du cˆ one dans un rep`ere li´e au cˆone puis dans le rep`ere Oxyz :   xc = ρ sin ω cos ψc 8 (5.49) : V> yc = ρ sin ω sin ψc :0≤ψ≤2π

Le cˆone est inclin´e dans le rep`ere Oxyz en fonction de la position de M(ϕM , θM ) avec les deux rotations suivantes : Premi`ere rotation

M 1rot

cˆ one



cos ϕM  = sin ϕM 0

− sin ϕM cos ϕM 0

Seconde rotation  0 0  1

M 2rot

cˆ one



cos θM  = 0 − sin θM

Alors les coordonn´ees des points sur la surface du cˆone sont      x xc  y  = M 1rot M 2rot  yc  +  cˆ one cˆ one z zc

 0 sin θM  1 0 0 cos θM

:  xM yM  zM

(5.50)

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D)

83

Par d´efinition, l’intersection entre le plan de d´etection et le cˆone de diffusion est une conique. On cherche ` a d´eterminer la proportion angulaire ∆ψc de cette conique qui se trouve `a l’int´erieur du pixel de rayon pr . Pour simplifier le probl`eme en le rendant sym´etrique, on ne va consid´erer que les coniques qui passent par le centre du pixel, ce qui revient `a prendre un point M situ´e sur la surface S (et non dans l’´ecorce). Lorsque la conique est de nature elliptique, l’ellipse peut ˆetre enti`erement comprise dans le pixel, tangente ou s´ecante avec le pixel. Dans ces deux premiers cas, ∆ψc vaut 2π. Lorsque la conique est s´ecante avec le pixel, quelque soit sa nature (ellipse, parabole, hyperbole), on constate que les coordonn´ees du point d’intersection que l’on ´etudie sont les mˆemes : p 
2 2 2 2 2  x = ζ cos θM + |SM | sin ω + cos ω ζ + pr − |SM | sin ω ∩ sin θM (5.51) Cˆconique ∩ Cpixel q   y = p 2 − x2 ∩ r M L’expression de la conique s’obtient en cherchant l’intersection du cˆone et du plan z = 0 :   xM − x∩ + cos φM cos θM xc (ρ0 ) + sin φM yc (ρ0 ) + cos φM sin θM zc (ρ0 ) = 0 (5.52) yM − y∩ + sin φM cos θM xc (ρ0 ) − cos φM yc (ρ0 ) + sin φM sin θM zc (ρ0 ) = 0   zM ρ0 = sin θM sin ω cos φ−cos θM cos ω

en prenant φM = 0, on peut extraire cos ψc de ce syst`eme :

p ζ 2 2 cot θM |SM | sin ω + cos θM + cos ω ζ 2 + p2r − |SM |2 sin ω p cos ψc = sin ω ζ 2 + p2r − |SM |2 sin2 ω − |SM | cos ω

(5.53)

Les calculs pr´ec´edents ont ´et´e men´es avec une configuration telle que l’axe (SD) soit perpendiculaire au plan (x0y). Lorsque la surface S est inclin´ee, une bonne approximation est de remplacer l’aire du pixel (au travers son rayon) dans l’expression ci-dessus par l’aire du pixel vue depuis S : pr ⇒ pr cos θS (5.54) Lorsque le d´etecteur est muni d’un collimateur, la r´eponse impulsionnelle est ´egalement donn´ee par l’´equation (5.43), mais la contrainte M(ω) sur l’int´egration de cette ´equation est diff´erente de celle d’un d´etecteur sans collimateur. Il s’agit alors de l’intersection du volume du cˆone de d´etection du collimateur avec l’´ecorce de la surface S des lieux de diffusion. Pour simplifier les calculs, nous avons remplac´e, dans les calculs num´eriques de notre mod`ele direct, le cˆone de d´etection du collimateur par un cylindre de mˆeme rayon pr que le pixel. A titre d’illustration, la figure 5.18 montre, par l’´energie correspondante `a l’angle de diffusion de 60° , la forme du P SF re¸cu par un d´etecteur muni ou non d’un collimateur. Le P SF pour un d´etecteur avec collimateur a une forme de chapeau mexicain, avec une d´ecroissance tr`es rapide. La forme du P SF du d´etecteur sans collimateur est plus lorentzienne. Ces courbes ont ´et´e calcul´ees pour un point source de mˆeme densit´e d’activit´e : il est int´eressant de remarquer l’´ecart tr`es important du nombre de photons re¸cus par le d´etecteur sans collimateur par rapport `a celui du d´etecteur avec collimateur. Ce r´esultat va ˆetre confirm´e par les simulations Monte Carlo.

84

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre Angle de diffusion 60°

Angle de diffusion 60°

300 Nombre de photons

Nombre de photons

8 6 4 2 0

250 200 150 100 50 0

10

10 5

5

10 5

0 −10 Axe Y

10 5

0

0

−5

0

−5

−5

−10

−10

Axe Y

Axe X

−5 −10 Axe X

Fig. 5.18: Repr´esentation du P SF , calcul´e avec la mod´elisation d´eterministe 3D, pour un d´etecteur muni d’un collimateur ` a gauche et sans collimateur `a droite.

15 10 5 0 15

10 10

5

0

0 -5

-10

-15

-10

Fig. 5.19: Configuration retenue par la simulation Monte Carlo dans un milieu en trois dimensions.

5.3.3 Validation des mod` eles directes par simulation Monte Carlo La simulation Monte Carlo, pour un milieu 3D, fournit des donn´ees plus exploitables pour une ´etude r´ealiste du rayonnement diffus´e que celles pour un milieu 2D de la section 5.2.3. Nous allons, comme pour le cas 2D, utiliser les donn´ees issues de l’approche Monte Carlo pour valider notre mod`ele d´eterministe de formation des images, et pour v´erifier la possibilit´e de reconstruire un point source, mais nous pouvons en plus ´evaluer l’importance des photons diffus´es plusieurs fois par rapport ` a ceux diffus´e une fois, et comparer la sensibilit´e de l’imagerie du diffus´e avec et sans collimateur. Un unique point source est plac´e dans un milieu diffusant de forme parall´el´epip´edique et un d´etecteur plan enregistre le nombre de photons pour diff´erentes ´energies (Fig. 5.19). La largeur et la longueur du milieu diffusant sont ´egales `a 30 cm et la hauteur vaut 15 cm. L’att´enuation, choisie constante, ` a l’int´erieur du milieu est semblable `a celle de l’eau (Tableau 5.7 de la page

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D) Angle de diffusion 10°

Angle de diffusion 30°

Angle de diffusion 50°

Angle de diffusion 10°

85

Angle de diffusion 30°

Angle de diffusion 50°

−10

−10

−10

−10

−10

−10

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

0

0

0

0

0

5

5

5

5

5

5

10

10

10

10

10

10

−10

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 70°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 90°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 110°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 70°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 90°

−10

−10

−10

−10

−10

−10

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

0

0

0

0

5

5

5

5

5

10

10

10

10

10

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 130°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 150°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 170°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 130°

−5

0

5

10

−10

Angle de diffusion 150°

−10

−10

−10

−10

−10

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

0

0

0

0

5

5

5

5

5

5

10

10

10

10

10

10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

5

10

−5

0

5

10

Angle de diffusion 170°

−10

−10

0

0

5 10 −10

−5

Angle de diffusion 110°

0

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

10

Fig. 5.20: Images multi-´energ´etiques re¸cues par un d´etecteur sans collimateur `a gauche (´echelle logarithmique des fausses couleurs), et par un d´etecteur avec collimateur `a droite (´echelle lin´eaire). 72). Le d´etecteur, plac´e sur le plan xOy, est distant de 1 cm du milieu diffusant. Il est compos´e de 128×128 pixels de surface 1×1 mm2 distants deux-`a-deux de 2 mm sur les deux directions, ce qui donne donc une surface de d´etection de 25,7×25,7 cm2 . Le collimateur, lorsqu’il est pr´esent, a une ouverture de 0,05 rad. La source, isotrope et ponctuelle, est plac´ee dans le milieu `a une distance de 6 cm du d´etecteur de mani`ere centr´ee sur Ox et Oy. Les r´esultats pr´esent´es ici correspondent `a 109 photons simul´es. Le programme de la simulation permet de connaˆıtre les pourcentages de photons primaires, diffus´es une ou n fois qui sortent du milieu, et les photons qui restent dans le milieu soit parce qu’ils ont ´et´e absorb´es, soit parce qu’ils obtiennent apr`es plusieurs diffusions une ´energie plus faible que celle du seuil de d´etection. On choisit de prendre Emin = 90, 5 keV qui correspond ` a l’´energie d’un photon r´etrodiffus´e. Les figures 5.20 et 5.21 pr´esentent la diff´erence des allures du P SF pour un d´etecteur avec ou sans collimateur issus de la simulation Monte Carlo. Les formes des P SF avec et sans collimateur de la simulation Monte Carlo sont en accord avec celles des P SF calcul´es avec notre mod`ele d´eterministe ainsi que leur sensibilit´e. La sensibilit´e de l’image du rayonnement diffus´e sans collimateur est bien plus importante que celle avec collimateur. Prenons par exemple le pixel situ´e juste en dessous de la source, dans les deux cas ce pixel re¸coit des photons pour tous les angles de diffusion. En moyenne sur l’ensemble des angles de diffusions, le d´etecteur sans collimateur re¸coit 25 fois plus de photons que celui poss´edant le collimateur, mais ce rapport d´epend de l’angle de diffusion et de la position du pixel sur le d´etecteur. La courbe de la figure 5.22 pr´esente le rapport des sensibilit´es en fonction de l’angle pour le pixel central. Jusqu’`a pr´esent, nous avons pr´esent´e des r´esultats en supposant l’´equivalence entre l’´energie et l’angle du photon diffus´e. Le principe d’imagerie par le rayonnement simplement diffus´e n’est valable que si le nombre de photons diffus´es `a l’ordre multiple est faible devant celui des photons diffus´es une fois pour une ´energie donn´ee. Pour la configuration choisie (´energie des photons primaires, dimensions du milieu, coefficients d’att´enuation du milieu. . . ), le rapport

86

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

Angle de diffusion 10°

Angle de diffusion 30°

Angle de diffusion 50°

Nombre de photons

400 500

600

400

400

300

300

200

200

200

100

100 0

−10

−5 0 5 Axe X des détecteurs

10

0

−10

Angle de diffusion 70°

−5

0

5

10

0

−10

Angle de diffusion 90°

300

−5

0

5

10

Angle de diffusion 110°

200

200

150

150

100

100

50

50

200

100

0

−10

−5

0

5

10

0

−10

Angle de diffusion 130°

−5

0

5

10

0

Angle de diffusion 150° 200

200

150

150

150

100

100

100

50

50

50

−10

−5

0

5

10

0

−10

−5

0

5

−5

0

5

10

Angle de diffusion 170°

200

0

−10

10

0

−10

−5

0

5

10

Fig. 5.21: Comparaison des P SF calcul´es par le mod`ele d´eterministe 3D (ligne) et simul´es par Monte Carlo (points) pour un d´etecteur avec (bleu) et sans (rouge) collimateur.

180 160

Rapport des PSF

140 120 100 80 60 40 20 0

0

20

40

60

80 100 Angle de diffusion [deg]

120

140

160

180

Fig. 5.22: Rapport des nombres de photons re¸cus par le pixel juste en dessus de la source du d´etecteur sans collimateur sur celui du d´etecteur avec collimateur.

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D) Photons reçus par le pixel central du détecteur avec collimateur pour une unique diffusion (courbe bleue) pour toutes les diffusions (courbe rouge)

Photons reçus par le pixel central du détecteur sans collimateur pour une unique diffusion (courbe bleue) pour toutes les diffusions (courbe rouge)

120

800

700 Nombre de photons reçus

Nombre de photons reçus

100

80

60

40

20

0 140

87

600

500

400

300

200

135

130

125

120 115 110 105 Energie détectée [keV]

100

95

100 140

135

130

125

120 115 110 105 Energie détectée [keV]

100

95

Fig. 5.23: Comparaison de la sensibilit´e de la diffusion `a l’ordre multiple et `a l’ordre un pour un d´etecteur avec collimateur (` a gauche) et sans collimateur (`a droite). des P SF d’ordre 1 et multiple d´epend de l’´energie pour l’imagerie avec et sans collimateur (Fig. 5.23). L’erreur relative pour le cas du d´etecteur avec collimateur reste inf´erieure `a 20% quelque soit l’´energie d´etect´ee, l’erreur peut paraitre importante car la sensibilit´e est tr`es faible mais on voit bien que les deux courbes sont presque confondues. Par contre, dans le cas du d´etecteur sans collimateur, l’erreur relative reste inf´erieure `a 5% jusqu’`a une ´energie correspondant ` a un unique angle de diffusion de 10° mais elle devient ensuite tr`es importante : par exemple pour 93 keV, on a deux fois plus de photons qui arrivent sur le d´etecteur que ce que pr´evoit le mod`ele de la diffusion ` a l’ordre un. Finalement dans cette configuration, on constate que, sur la totalit´e des photons, 16% des photons sortent du milieu sans ˆetre diffus´es, 17,5% sortent en ayant subi une seule diffusion, 18,5% subissent au moins deux diffusion et sortent avec une ´energie sup´erieure `a 90,5 keV, et le reste est soit absorb´e par le milieu, soit sortant mais avec une ´energie inf´erieure au seuil de d´etection. On constate aussi que l’imagerie du diffus´e sans collimateur a une bien meilleure sensibilit´e que l’imagerie du diffus´e avec collimateur, mais que les images r´eelles seront plus bruit´ees par la diffusion multiples que dans le cas de l’imagerie avec collimateur.

5.3.4 Reconstructions d’un objet tridimensionnel par l’imagerie du rayonnement diffus´ e On cherche ` a reconstruire la distribution radioactive `a l’int´erieur d’un milieu diffusant d’att´enuation n´egligeable. Le milieu diffusant est un cube discr´etis´e par 16×16×16 voxels de volume 1 udl3 . La densit´e d’activit´e ` a l’int´erieur du cube est repr´esent´ee sur des vues plan par plan `a la figure 5.24. Un d´etecteur de 16×16 pixels de surface 1 udl2 est situ´e `a 1 udl en-dessous du milieu diffusant, il enregistre les images pour 16 ´energies diff´erentes correspondantes aux angles repartis uniform´ement entre 0° et 180°. Pour l’imagerie du diffus´e avec collimateur (Fig. 5.25), la matrice (( poids )) a un conditionnement ´egal ` a K = 1, 18.107 et toutes ses valeurs singuli`eres sont sup´erieures `a la tol´erance num´erique. La reconstruction par d´ecomposition en valeurs singuli`eres donne un tr`es bon r´esultat avec une ERQM inf´erieure ` a 0.1%. Mais, la reconstruction par l’ART, arrˆet´ee au bout

88

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre

Z = 1 udl

Z = 2 udl

5

Z = 3 udl

5

Z = 4 udl

5

5

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 5 udl

0

5

−5

0

Z = 6 udl

5

−5

5

5

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 9 udl

0

5

5

−5

0

Z = 10 udl

5

−5

Z = 11 udl

5

5

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 13 udl

0

5

−5

0

Z = 14 udl

5

−5

Z = 15 udl

5

5

0

0

0

−5

−5

−5

−5

5

−5

0

5

0

5

Z = 16 udl

0

0

5

5

5

−5

0 Z = 12 udl

5

−5

5

Z = 8 udl

5

−5

0

Z = 7 udl

5

−5

0

5

−5

0

5

Fig. 5.24: Objet originel inspir´e du fantˆ ome de Shepp-Logan en 3D, pr´esent´e coupe par coupe.

Inversion directe par SVD Z = 1 udl

Z = 2 udl

5

Reconstruction it´erative par ART

Z = 3 udl

5

Z = 4 udl

5

Z = 1 udl

5

Z = 2 udl

5

Z = 3 udl

5

Z = 4 udl

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 5 udl

0

5

−5

Z = 6 udl

0

5

−5

Z = 7 udl

0

5

−5

Z = 8 udl

0

5

−5

Z = 5 udl

0

5

−5

Z = 6 udl

0

5

−5

Z = 7 udl

5

5

5

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 9 udl

0

5

−5

Z = 10 udl

0

5

−5

Z = 11 udl

0

5

−5

Z = 12 udl

0

5

−5

Z = 9 udl

0

5

−5

Z = 10 udl

0

5

−5

Z = 11 udl

5

5

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 13 udl

0

5

−5

Z = 14 udl

0

5

−5

Z = 15 udl

5

0

5

−5

Z = 16 udl

5

0

5

−5

Z = 13 udl

5

0

5

−5

0

5

−5

Z = 15 udl

5

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

5

5

0

0

0 Z = 16 udl

5

−5 −5

5

5

Z = 14 udl

5

0 Z = 12 udl

0

−5

5

5

5

5

0 Z = 8 udl

−5

0

5

−5

0

Fig. 5.25: R´esultats de reconstructions tridimensionnelles pour l’imagerie par le diffus´e avec collimateur par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique.

5

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D) Inversion directe par SVD Z = 1 udl

Z = 2 udl

5

Reconstruction it´erative par ART

Z = 3 udl

5

Z = 4 udl

5

89

Z = 1 udl

5

Z = 2 udl

5

Z = 3 udl

5

Z = 4 udl

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 5 udl

0

5

−5

Z = 6 udl

0

5

−5

Z = 7 udl

0

5

−5

Z = 8 udl

0

5

−5

Z = 5 udl

0

5

−5

Z = 6 udl

0

5

−5

Z = 7 udl

5

5

5

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

Z = 9 udl

0

5

−5

Z = 10 udl

5

0

5

−5

Z = 11 udl

5

0

5

−5

Z = 12 udl

5

0

5

−5

Z = 9 udl

5

0

5

−5

0

5

−5

Z = 11 udl

5

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

0

5

−5

Z = 14 udl

0

5

−5

Z = 15 udl

0

5

−5

Z = 16 udl

0

5

−5

Z = 13 udl

0

5

−5

Z = 14 udl

0

5

−5

Z = 15 udl

5

5

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

−5

0

5

0

5

Z = 16 udl

5

−5

5

5

0

Z = 13 udl

0 Z = 12 udl

5

−5 −5

5

5

Z = 10 udl

5

0 Z = 8 udl

5

−5

0

5

−5

0

Fig. 5.26: R´esultats de reconstructions tridimensionnelles pour l’imagerie par le diffus´e sans collimateur par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique. de 36 it´erations pour une diff´erence des reconstructions entre deux it´erations inf´erieure `a 0,1, restitue assez mal l’objet originel et poss`ede une ERQM de 203%. Pour l’imagerie du diffus´e sans collimateur (Fig. 5.26), la matrice (( poids )) a un conditionnement ´egal ` a K = 5, 81.109 et toutes ses valeurs singuli`eres sont sup´erieures `a la tol´erances num´eriques. La reconstruction par d´ecomposition en valeurs singuli`eres donne donc ´egalement un tr`es bon r´esultat avec une ERQM inf´erieure `a 0.1%. La reconstruction par l’ART, arrˆet´ee au bout de 10 it´erations pour une diff´erence des reconstructions entre deux it´erations inf´erieure `a 0,1, ne redonne pas l’objet originel et poss`ede une ERQM de 256%. Cette reconstruction montre la difficult´e de r´esoudre ce probl`eme inverse lorsque le nombre d’inconnues est ´egal au nombre d’´equations.

5

90

Imagerie par ´ emission par le rayonnement gamma diffus´ e du premier ordre Z = 3 cm

Z = 4.5 cm 10

10

5

5

5

0

0

0

−5

−5

−5

−10

−10

−10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

Z = 7.5 cm

0

5

10

−10

10

10

5

5

0

0 −5

−5

−10

−10

5

10

−10

−5

Z = 12 cm

0

5

10

−10

10

5

5

0

0

0

−5

−5

−5

0

5

10

0

5

10

5

10

10 5

−10 −5

10

Z = 15 cm

10

−10

−5

Z = 14 cm

−10

5

0

−5 −10 0

0 Z = 11 cm

5

−5

−5

Z = 9 cm

10

−10

Vue 3D

Z = 6 cm

10

−10 −10

−5

0

5

10

−10

−5

0

Vue plan par plan

Fig. 5.27: R´esultats de la reconstruction `a partir des donn´ees du diffus´e a ` l’ordre 1 simul´ees par Monte Carlo pour un d´etecteur avec collimateur. Vue 3D `a gauche, vue plan par plan `a droite.

5.3.5 R´ esultats des reconstructions ` a partir des donn´ ees simul´ ees par Monte Carlo Le milieu diffusant est discr´etis´e avec 13×13 points sur les directions Ox et Oy, et avec 9 points sur la directions Oz de telle sorte que la source se trouve sur un point du maillage. Le nombre de pixels du d´etecteur est r´eduit `a 13×13 pixels et on ne consid`ere que 18 images d’´energies comprises entre 98 et 143 keV. Les deux matrices (( poids )) sont calcul´ees `a partir des mod`eles d´eterministes, et les reconstructions sont men´ees avec les donn´ees issues de la simulation Monte Carlo. Dans un premier temps, nous v´erifions, qu’`a partir des images correspondantes au rayonnement simplement diffus´e, on retrouve bien le point source. Les reconstructions sont men´ees avec l’algorithme du Gradient Conjugu´e avec 50 it´erations pour le syst`eme avec collimateur et 800 it´erations pour le syst`eme sans collimateur. Les r´esultats de ces reconstructions sont pr´esent´es aux figures 5.27 et 5.28. On remarque que la reconstruction est de meilleure qualit´e pour le syst`eme du d´etecteur avec collimateur. Puis, pour tester la robustesse des reconstructions, on utilise les donn´ees pour l’ensemble du rayonnement diffus´e d´etect´e pour une ´energie donn´ee. On constate (Fig. 5.29 et 5.30) que le syst`eme avec collimateur redonne la position correcte de la source, et que, par contre, le syst`eme sans collimateur ne permet pas de restituer la position de la source. On obtient, dans ce cas l`a, une densit´e d’activit´e ´etendue positionn´ee sur un plan plus haut que pr´evu. On pouvait s’attendre effectivement ` a ce r´esultat d’apr`es la figure 5.23 : l’imagerie sans collimateur laisse entrer de mani`ere importante le diffus´e d’ordre multiple qui devra ˆetre estim´e et corrig´e avant d’effectuer la reconstruction.

5.3 Imagerie par ´ emission dans un milieu de trois dimensions (3D)

Z = 3 cm

91

Z = 4.5 cm

10

Z = 6 cm

10

5

10

5

5

0

0

0

−5

−5

−5

−10

−10

−10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

Z = 7.5 cm

0

5

10

−10

10

10

5

5

5

0

0 −5

−5

−10

−10

0

5

10

−10

−5

Z = 12 cm

0

5

10

−10

10

10

5

5

5

0

0 −5

−5

−10

−10

0

5

10

0

5

10

5

10

0

−5 −10 −5

10

Z = 15 cm

10

−10

−5

Z = 14 cm

Vue 3D

5

0

−5 −10 −5

0 Z = 11 cm

10

−10

−5

Z = 9 cm

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

Vue plan par plan

Fig. 5.28: R´esultats de la reconstruction `a partir des donn´ees du diffus´e a ` l’ordre 1 simul´ees par Monte Carlo pour un d´etecteur sans collimateur. Z = 3 cm

Z = 4.5 cm

10

Z = 6 cm

10

5

10

5

5

0

0

0

−5

−5

−5

−10

−10

−10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

Z = 7.5 cm

0

5

10

−10

5

5 0

0

−5

−5

−10

−10

−10

5

10

−10

−5

Z = 12 cm

0

5

10

−10

10

10

5

5

5

0

0 −5

−5

−10

−10

0

5

10

5

10

5

10

0

−5 −10 −5

0 Z = 15 cm

10

−10

−5

Z = 14 cm

Vue 3D

10

5

0

0

5

10

−5

−5

0 Z = 11 cm

10

−10

−5

Z = 9 cm

10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

Vue plan par plan

Fig. 5.29: R´esultats de la reconstruction `a partir des donn´ees du diffus´e a ` l’ordre multiple simul´ees par Monte Carlo pour un d´etecteur avec collimateur. Z = 3 cm

Z = 4.5 cm

10 5

10

5

5

0

0

0

−5

−5

−5

−10

−10 −10

−5

0

5

10

−10 −10

−5

Z = 7.5 cm

0

5

10

−10

10

5

5

0 −5

−10

−10

−10

10

−10

−5

Z = 12 cm

0

5

10

−10

10

5

5

0 −5

−10

−10

−10

5

10

10

5

10

5

0 −5

0

5

10

0

−5

0 Z = 15 cm

−5

−10

−5

Z = 14 cm

10

10

5

0 −5

5

5

10

0

0

0 Z = 11 cm

−5

−5

−5

Z = 9 cm

10

−10

Vue 3D

Z = 6 cm

10

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

Vue plan par plan

Fig. 5.30: R´esultats de la reconstruction `a partir des donn´ees du diffus´e a ` l’ordre multiple simul´ees par Monte Carlo pour un d´etecteur sans collimateur.

6 Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission 6.1 Introduction Le but de ce chapitre est d’´etendre le principe de l’imagerie du diffus´e par ´emission au cas de l’imagerie du diffus´e par transmission. L’imagerie par transmission trouvent des applications fr´equentes en Contrˆole Non Destructif (CND). Le CND regroupe l’ensemble des techniques permettant d’inspecter sans endommager des pi`eces industrielles. Ces m´ethodes reposent sur l’utilisation de ph´enom`enes appartenant `a diff´erents champs de la physique comme l’´electromagn´etisme, la m´ecanique, l’optique. . . et on retrouve aussi les m´ethodes par rayonnements ionisants. Les m´ethodes CND par rayonnements ionisants actuelles utilisent surtout le rayonnement primaire soit par ´emission soit par transmission, mais l’id´ee d’exploiter le rayonnement diffus´e Compton est apparue ` a la fin des ann´ees 70 et a conduit `a plusieurs concepts, bas´es sur la r´etro-diffusion ou le rayonnement doublement diffus´e, et enfin la tomographie Compton. Le principe de la tomographie par diffusion Compton consiste `a ´eclairer un objet avec une source mono-´energ´etique de caract´eristiques connues et de d´etecter le rayonnement diffus´e `a diff´erentes ´energies. Plusieurs configurations entre la source et des d´etecteurs, collimat´es ou non, ont ´et´e propos´ees dans la litt´erature depuis le d´ebut des ann´ees 80 [BB81, HCJ84, AH95, EMBR98]. Norton est le premier ` a ´etudier analytiquement la tomographie par diffusion Compton dans [Nor94]. La tomographie Compton permet de restituer directement la densit´e ´electronique de l’objet contrairement aux techniques conventionnelles qui reconstruisent la carte d’att´enuation de l’objet. Ceci pr´esentent plusieurs avantages : d’une part, la densit´e ´electronique est plus pertinente dans le cadre du CND, ensuite la densit´e ´electronique ne d´epend pas de l’´energie du rayonnement p´en´etrant, et enfin, elle ne varie pas lorsque le mat´eriau vieillit contrairement ` a sa carte d’att´enuation. Ces avantages peuvent ˆetre ´egalement utilis´es dans le cadre de l’imagerie biom´edicale.

94

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission

La tomographie par diffusion Compton repose math´ematiquement sur l’inversion de la transform´ee de Radon circulaire (TRCirc). La TRCirc peut prendre diverses g´eom´etries, et d´eboucher sur diff´erentes applications en imagerie. Nous allons commencer par d´ecrire deux configurations de TRCirc, avant de d´etailler la tomographie Compton propos´ee par Norton, et enfin proposer une nouvelle configuration de syst`eme tomographique.

6.2 Transform´ ee de Radon Circulaire 6.2.1 Une premi` ere configuration : sur des cercles passant par l’origine du plan (TRCirc1 ) Cormack dans [Cor81] a rassembl´e et propos´e les g´en´eralisations de la transform´ee de Radon pour des courbes du plan, notamment pour les cercles passant par l’origine du plan. Il s’int´eresse aux aspects math´ematiques du probl`eme et n’aborde les applications que dans les r´ef´erences. Consid´erons des coordonn´ees polaires (r, θ) dans le plan. On peut rep´erer un cercle passant par l’origine du plan par son diam`etre p et par l’angle ϕ de son diam`etre avec l’axe des abscisses, et l’´equation du cercle en coordonn´ees polaires s’´ecrit alors : r = p cos(θ − ϕ),

|θ − ϕ| ≤ π/2

(6.1)

y f (r, θ) p

ϕ x

Fig. 6.1: Sch´ema de la configuration pour la TRCirc1 pour des cercles passant par l’origine du plan. La transform´ee de Radon d’une fonction f (r, θ) le long du cercle rep´er´e par (p, ϕ) s’´ecrit : Z g(p, ϕ) = f (r, θ)ds, (6.2)

6.2 Transform´ ee de Radon Circulaire

95

avec ds = p dθ l’´el´ement de longueur du cercle. Cette transform´ee de Radon, appel´ee Transform´ee de Radon Circulaire (TRCirc), peut ˆetre invers´ee en passant par une d´ecomposition en composantes circulaires de f (r, θ) : f (r, θ) =

∞ X

ilθ

fl (r)e ,

l=−∞

1 avec fl (r) = 2π

Z

2π

f (r, θ)e−ilθ dθ,

(6.3)

0

alors, avec un premier changement de variable ψ = θ − ϕ, on obtient : ∞ X

g(p, ϕ) = p

l=−∞

ilϕ

e

Z

π/2

fl (p cos(ψ))eilψ dψ,

(6.4)

−π/2

qu’on peut r´e´ecrire en effectuant une d´ecomposition en composantes circulaires de g : g(p, ϕ) =

∞ X

l=−∞

ilϕ

gl (p)e

,

o` u gl (p) = p

Z

π/2

fl (p cos(ψ))eilψ dψ.

(6.5)

−π/2

En revenant ` a la variable r = p cos(ψ), on obtient finalement : Z p cos(l cos−1 (r/p)) dr. fl (r) p gl (p) = 2 1 − (r/p)2 0

(6.6)

On peut d´ej`a constater qu’on retrouve ce r´esultat num´eriquement par deux chemins distincts : soit en calculant directement gl par la formule (6.6) propos´ee par Cormack, soit en obtenant g d’apr`es l’´equation (6.2) puis en le d´ecomposant. Les figures 6.2 etp6.3 pr´esentent ces calculs num´eriques pour une fonction f (r, θ), d´efinie sur un carr´e de cˆot´e 1/2 udl, nulle partout sauf sur un disque de rayon 0,1 udl plac´e sur l’axe des ordonn´ees `a 0,4 udl du centre. Cette fonction est discr´etis´ee par un maillage r´egulier de 64×64 points et est repr´esent´ee sur la figure 6.4 ` a gauche. L’inversion est possible sous l’hypoth`ese que fl (r) d´ecroˆıt rapidement. La d´emarche est de multiplier l’´equation (6.6) par : cosh(l cosh−1 (r/p)) p , (6.7) p (r/p)2 − 1

et de r´earranger les int´egrales pour obtenir une expression de fl en fonction de gl : Z r dgl (p) cosh(l cosh−1 (r/p)) 1 p pdp fl (r) = πr 0 dp r 2 − p2

(6.8)

Pour r donn´e, le terme en cosh augmente avec l extrˆemement rapidement lorsque p → 0. Cormack dans [Cor84] donne une solution stable du probl`eme pratique en d´ecomposant la fraction contenue dans l’´equation 6.8 grˆace aux propri´et´es de la fonction polynomiale de Tchebychev : √ (x − x2 − 1)l Tl (x) √ √ = + Ul−1 (x), (6.9) x2 − 1 x2 − 1

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 p [udl]

p [udl]

96

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 −60

−40

−20

0 l

20

40

60

0

50

Calcul de gl (p) suivant l’´equation (6.6)

100

150 200 phi [deg]

250

300

350

Recomposition de g(p, ϕ)

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 p [udl]

p [udl]

Fig. 6.2: TRCirc pour la fonction f nulle sauf sur un petit disque situ´e sur l’axe des ordonn´ees (Fig. 6.4 `a gauche). Calcul de g en passant par sa d´ecomposition donn´ee par l’´equation (6.6).

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 −60

−40

−20

0 l

20

40

60

gl (p) par la d´ecomposition de g(p, ϕ)

0

50

100

150 200 phi [deg]

250

300

350

Calcul de g(p, ϕ) par l’´equation (6.2)

Fig. 6.3: TRCirc pour la fonction f nulle sauf sur un petit disque situ´e sur l’axe des ordonn´ees (Fig. 6.4 `a gauche). Calcul direct de g par l’int´egrale de f sur les cercles, puis d´ecomposition en composantes circulaires de g pour v´erifier l’´equation (6.6).

6.2 Transform´ ee de Radon Circulaire

97 Image reconstruite

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

y

y

Image originelle

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6 −0.6

−0.4

−0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

Fig. 6.4: Repr´esentation de la fonction f (r, θ) servant d’exemple `a gauche et sa reconstruction par TRCir inverse ` a droite. avec Tl et Ul polynˆomes de Tchebychev de premi`ere et deuxi`eme esp`eces : ( Tl (cos x) = cos(lx), sin((l + 1)x) . Ul (cos x) = sin x Alors la solution stable devient :  1 fl (r) = πr

(6.10)



p  Z r Z ∞   dgl (p) ((r/p) − (r/p)2 − 1)l dgl (p)  p Ul−1 (r/p)dp −   dp dp (r/p)2 − 1  0 |r {z } =0 si

dgl (r) =0 dr

(6.11)

pour r grand

La figure 6.4 pr´esente ` a droite une reconstruction num´erique pour la fonction f (r, θ) correspondante ` a l’image de gauche. La reconstruction a ´et´e effectu´ee avec la solution stable propos´ee par Cormack, pourtant on est oblig´e de tronquer l’ordre des composantes circulaires. Ici, on s’est arrˆet´e ` a l’ordre 10 au lieu de 64. C’est pourquoi le disque n’est pas correctement localis´e angulairement. Dans de telles conditions, il semble difficile de reconstruire une image avec des d´etails plus fins.

98

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission

6.2.2 Une deuxi` eme configuration : sur des demi-cercles dont les centres d´ ecrivent une droite (TRSCirc2 ) La transform´ee de Radon circulaire peut avoir d’autres g´eom´etries de cercles que celle que nous avons vu au paragraphe pr´ec´edent. Nous allons maintenant ´etudier le cas o` u les centres des cercles sont situ´es sur une droite du plan. La g´eom´etrie de cette transform´ee de Radon circulaire est pr´esent´ee sur la figure 6.5. Cette transform´ee admet ´egalement une inversion analytique et poss`ede des applications dans plusieurs principes d’imagerie [RN01, RP03, Nor80]. y r

f (x, y)

x

(0, u)

Fig. 6.5: Sch´ema de la configuration pour la transform´ee de Radon sur des demi-cercles dont les centres sont situ´es sur l’axe des abscisses. Cette transform´ee de Radon circulaire s’´ecrit alors comme : Z Z ∞ p f (x, y)δ(r − (x − u)2 + y 2 )dxdy g(u, r) = =

Z

−∞ 2π

(6.12)

f (u + r cos θ, r sin θ)rdθ 0

et peut ˆetre invers´ee analytiquement en utilisant l’inversion de la transform´ee de Hankel qui apparaˆıt lorsqu’on prend la transform´ee de Fourier 1D de g/r par rapport `a la premi`ere variable. La figure 6.5 pr´esente, en fait, la configuration de la transform´ee de Radon semi-circulaire (TRSCirc2 ) : la fonction f (x, y) n’est non-nulle que sur un demi-espace. La TRSCirc2 s’´ecrit simplement : Z π

g(u, r) =

f (u + r cos θ, r sin θ)rdθ

(6.13)

0

La figure 6.6 pr´esente la TRSCirc2 pour la f (x, y) du paragraphe pr´ec´edent (nulle partout sauf sur un disque de rayon 0,1 udl situ´e sur l’axe des ordonn´ees `a 1,1 udl de l’axe des centres

6.2 Transform´ ee de Radon Circulaire

99

−0.6

−0.4

u [udl]

−0.2

0

0.2

0.4

0.6 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

r [udl]

Fig. 6.6: Transform´ee de Radon demi-circulaire p pour la fonction f de la figure 6.7 `a gauche : l’axe des centres des cercles est situ´e `a y = − 1/2. des cercles). Lorsque u = 0, le centre des cercles est situ´e juste en-dessus de l’objet, il faut un rayon du cercle r minimum pour atteindre le disque ; tandis que lorsque u s’´eloigne de l’axe des ordonn´ees, il faut des cercles de plus en plus grands pour toucher le disque. Inversion par la transform´ ee de Hankel : Soit : Z 2π g(u, r) f (u + r cos θ, r sin θ)dθ. = g0 (u, r) = r 0

(6.14)

Commen¸cons par prendre la transform´ee de Fourier 1D de g0 par rapport `a la premi`ere (F ,I ) variable, qu’on note g0 : (F ,I ) g0 (v, r)

= = =

Z

∞

−∞ Z ∞

−∞ Z 2π 0

=

Z

2π

e2πivu g(u, r)du

(6.15)

2πiv(u+r cos θ−r cos θ)

e

e−2πivr cos θ

Z

∞

Z

2π

f (u + r cos θ, r sin θ)dθdu

(6.16)

0

e2πiv(u+r cos θ) f (u + r cos θ, r sin θ)dudθ

(6.17)

−∞

e−2πivr cos θ f (F ,I ) (v, r sin θ)dθ.

(6.18)

0

En remarquant que le terme f (F ,I ) s’exprime en fonction de la transform´ee de Fourier 1D inverse de f (F ,F ) par rapport ` a sa seconde variable, on obtient :

100

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission

(F ,I ) g0 (v, r)

=

Z

2π

−2πivr cos θ

e

0

=

Z

∞

f (F ,F ) (v, ρ)

= 2π

∞

−∞ Z 2π

f

(F ,F )

−2πiρr sin θ

(v, ρ)e



dρ dθ

e−2πir(v cos θ+ρ sin θ) dθdρ

(6.19) (6.20)

0

−∞

Z

Z

∞

f (F ,F ) (v, ρ)J0 (2πr

−∞

p

v 2 + ρ2 )dρ,

(6.21)

o` u J0 (·) est la fonction de Bessel de premi`ere esp`ece d’ordre z´ero. Finalement, en effectuant le changement de variables σ = σdσ dρ = √ , σ2 − v2

p v 2 + ρ2 , avec

on obtient, en remarquant la parit´e de la fonction `a int´egrer : √ Z ∞ f (F ,F ) (v, σ 2 − v 2 ) (F ,I ) √ σdσ. J0 (2πrσ) g0 (v, r) = 4π σ2 − v2 0 Or, la transform´ee de Hankel d’ordre z´ero d’une fonction h s’´ecrit : Z ∞ h(t)J0 (2πqt)tdt, hH0 (q) = 2π 0 Z ∞ hH0 (q)J0 (2πqt)qdq, h(t) = 2π

(6.22)

(6.23)

(6.24)

0

ce qui permet d’obtenir l’inversion de la TRC : f (F ,F ) (v, ρ) = avec |ρ| =

√

σ2 − v2 .

|ρ| (F ,H0 ) p 2 g (v, ρ + v 2 ), 2 0

(6.25)

Inversion par l’op´ erateur de r´ etro-projection : Une deuxi`eme inversion peut ˆetre exprim´ee `a l’aide de l’op´erateur de r´etro-projection : Z ∞ p † g0 (u, (x − u)2 + y 2 )du. (Rc g0 )(x, y) = (6.26) −∞

On peut montrer que la transform´ee de Fourier 2D de Rc† g correspond `a la transform´ee de Hankel de la transform´ee de Fourier de g : 1 (F ,H0 ) p 2 (6.27) g (v, v + ρ2 ). (Rc† g0 )(F ,F ) (v, ρ) = 2π 0 On a alors : f (F ,F ) (v, ρ) = π|ρ|(Rc† g0 )(F ,F ) (v, ρ). (6.28) L’inversion de la fonction f a ´et´e effectu´ee par la m´ethode de l’op´erateur de r´etro-projection a` titre d’illustration. On calcul num´eriquement (Rc† g0 ), on prend sa transform´ee de Fourier 2D `a laquelle on applique le filtre rampe. Pour obtenir l’image reconstruite, on effectue une transform´ee de Fourier 2D inverse. La figure 6.7 pr´esente les r´esultats de cette reconstruction. On obtient une image reconstruite de meilleure qualit´e que dans le paragraphe pr´ec´edent.

6.3 Tomographie Compton reposant sur la transform´ ee de Radon TRAC1 Image reconstruite

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

y

y

Image originelle

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6 −0.6

−0.4

−0.2

0 x

0.2

101

0.4

0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

Fig. p 6.7: Repr´esentation de la fonction f (r, θ) avec l’axe des centres des cercles situ´e `a y = a gauche et sa reconstruction par l’op´erateur de r´etro-projection `a droite. − 1/2 udl `

6.3 Tomographie Compton reposant sur la transform´ ee de Radon TRAC1

Dans [Nor94], Norton propose une configuration avec une source fixe et un ensemble de d´etecteurs plac´es lin´eairement en-dessous du milieu diffusant. Le rayonnement isotrope mono´energ´etique ´emis par la source subit des diffusions Compton dans le milieu diffusant en fonction de la densit´e ´electronique du milieu. Le d´etecteur `a une position xD et pour une ´energie fix´ee Eα r´ecup`ere le rayonnement qui subit une diffusion ayant lieu sur l’arc de cercle passant par \ S et D tel que l’angle SM D=α (Fig. 6.8). Cette configuration revient `a reprendre la TRCirc1 de Cormack d´etaill´ee au paragraphe 6.2.1 avec une fonction nulle sur les trois quarts du plan. Ainsi, la mesure du d´etecteur D(xD , Eα ) associ´ee au cercle C (ρ, φ) est reli´ee `a la densit´e ´electronique du milieu diffusant ne (r, θ) : Z π Z ∞ dr ne (r, θ) w(r, θ|ρ, φ) δ(r − 2ρ cos(θ − φ)), (6.29) dθ g(ρ, φ) = 0

0

o` u w(r, θ|ρ, φ) est une fonction de pond´eration qui contient la mod´elisation des ph´enom`enes physiques qui interviennent dans cette imagerie : w(r, θ|ρ, φ) =

a r s(θ) P (α) , 4π(2ρ)3 sin2 (θ)

(6.30)

avec a l’aire d’un ´el´ement de d´etection, s(θ) une fonction d’anisotropie de la source, P (α) la probabilit´e de Klien-Nishina. L’´equation (6.29) est ´equivalente a` la transform´ee de Radon mais, son support est un arc de cercle (TRAC1 ) au lieu d’ˆetre une droite. Norton propose l’´etablissement d’une formule inverse analytique ` a la TRAC en n´egligeant l’att´enuation :   Z ∞ Z 2π g(ρ, φ) 1 ρdρ dϕ h(r − 2ρ cos(θ − φ)). (6.31) ne (r, θ) = 2 π 0 w(r, θ|ρ, φ) 0

102

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission ne (r, θ) y

M(r, θ)

α r O ρ θ

ϕ D(xD , Eα ) x

S

Fig. 6.8: Sch´ema de la configuration pour la transform´ee de Radon sur des arcs de cercle propos´ee par Norton (TRAC1 ). o` u l’on retrouve le filtre rampe de la r´etroprojection filtr´ee de la TR classique dans l’expression de h : Z ∞ e−iζx |ζ|dζ, (6.32) h(x) = −∞

En gardant cette configuration d’un d´etecteur lin´eaire propos´ee par Norton, nous effectuons une reconstruction num´erique de la densit´e ´electronique dans un milieu sans att´enuation. Le mod`ele direct utilis´e correspond ` a celui de l’´equation (6.29), mais l’inversion est effectu´ee de mani`ere alg´ebrique. On construit la matrice (( poids )) du syst`eme avec le mod`ele direct pour un milieu discr´etis´e par 55×55 points. L’unique point source est plac´e sur l’axe des d´etecteurs `a l’origine du milieu diffusant, les d´etecteurs sont situ´es en dessous du milieu diffusant de mani`ere `a recevoir le rayonnement diffus´e couvrant la totalit´e du milieu diffusant. Nous testons cette reconstruction pour un objet poss´edant une densit´e ´electronique correspondante au fantˆome de Shepp-Logan, repr´esent´e `a la figure 6.9. La figure 6.10 pr´esente les r´esultats des reconstructions par SVD (`a gauche) et par ART (`a droite). Bien que la matrice (( poids )) de dimension 3025×3025 soit tr`es mal conditionn´ee K = 1, 29.1023 , la reconstruction par SVD donne un r´esultat correct sauf dans la partie haute de l’image car il y a moins de rayonnement diffus´e d´etect´e qui recouvre cette partie. L’erreur relative entre l’objet reconstruit et l’objet original vaut 12%. La reconstruction par ART ne converge pas rapidement : au bout de 10 000 it´erations, l’erreur entre deux reconstructions successives est toujours sup´erieure ` a 0,1 et l’ERQM vaut 25%.

6.3 Tomographie Compton reposant sur la transform´ ee de Radon TRAC1

103

23

55

x 10 10

50

9

45

8

40

7

35

6

30 5 25 4 20 3

15

2

10

1

5 10

20

30

40

50

Fig. 6.9: Densit´e ´electronique de l’objet original inspir´ee du fantˆome de Shepp-Logan.

Inversion directe par SVD

Reconstruction it´erative par ART 23

23

x 10 10

55 50

x 10 55

10

50 8

45 40

9

45

8

40 6

35

7 35 6

30

30 4

25 20

5 25 4

20 2

15

3

15

10

2

10 0

5

1

5 10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

0

Fig. 6.10: R´esultats de reconstructions 2D pour la tomographie Compton dans la configuration de Norton par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique.

104

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission

6.4 Extension vers la tomographie Compton tridimensionnelle Le principe de la tomographie Compton peut ˆetre ´etendu pour un milieu en trois dimensions. Nous reprenons la configuration de Norton en pla¸cant une source de rayonnement gamma sur un mˆeme plan qu’un ensemble de d´etecteurs, le milieu diffusant est au-dessus de ce plan (Fig. 6.11). Les sites de d´etection r´ecup`erent le rayonnement diffus´e de diff´erentes ´energies. Pour un angle ω donn´e correspondant ` a une ´energie de d´etection et pour le couple de points source S - site de d´etection D, l’ensemble des lieux de diffusion possibles, repr´esent´e par les lignes rouges sur la figure, correspond ` a la surface engendr´ee par la demi-rotation de l’arc de cercle soutenant l’angle (π − ω) autour de la droite (SD). Le mod`ele direct de cette imagerie peut ˆetre facilement ´etabli ` a partir de l’´equation (5.43) de la page 80 : Z f0 c ne (M)φ(S0 → M)φN (M → D) dVM , (6.33) σ3D (ω) g(D, ω|ne (M)) = 4π M(ω) avec les quantit´es φ(S0 → M) et φN (M → D) parfaitement connues, qui d´ependent de l’approximation du flux photonique choisie mais qui ne pr´esentent pas de probl`eme de divergence car le point M reste suffisamment loin des points S et D. Le domaine d’int´egration correspond `a l’intersection g´eom´etrique de la surface des lieux de diffusion avec le volume du milieu diffusant.

10

9

8

7

Z axis

6

5

4

3

2

1

0 4 8 2

6 4

0 2

−2

0 −4

Y axis

−2 X axis

Fig. 6.11: Configuration de la tomographie Compton tridimensionnelle : une source fixe (´etoile rouge), les d´etecteurs (croix bleues) plac´es en dessous du milieu diffusant (maillage vert). Les cercles rouges repr´esentent les sites de diffusion possibles pour un d´etecteur `a une ´energie. L’´equation (6.33) ne poss`ede pas encore d’inversion analytique donnant la quantit´e ne (M). Ce probl`eme correspond ` a une nouvelle transform´ee de Radon sur des demi-tores, en effet les surfaces engendr´ees par la rotation d’un arc de cercle autour d’un axe peuvent s’apparenter `a la surface externe de tores crois´es.

6.4 Extension vers la tomographie Compton tridimensionnelle Z = 1.9 udl

Z = 2.8 udl

Z = 3.7 udl

4

4

4

2

2

2

0

0

0

−2

−2

−2

−4

−4 2

4

6

8

−4 2

Z = 4.6 udl

4

6

8

2

Z = 5.5 udl 4

4

2

2

2

0

0

0

−2

−2

−2

−4 2

4

6

8

4

6

8

2

Z = 8.2 udl 4

4

2

2

2

0

0

0

−2

−2

−2

−4 4

6

8

8

4

6

8

6

8

Z = 9.1 udl

4

2

6

−4 2

Z = 7.3 udl

−4

4

Z = 6.4 udl

4

−4

105

−4 2

4

6

8

2

4

Fig. 6.12: Objet originel 3D (Vue plan par plan). On m`ene une reconstruction de ce principe d’imagerie en construisant une matrice de (( poids )), pour un milieu discr´etis´e par 9×9×9 points, et pour un d´etecteur de 9×9 pixels pour 9 ´energies diff´erentes. Le conditionnement de cette matrice est tr`es important K > 1023 . Pour les deux reconstructions, pr´esent´ees `a la figure 6.13, on retrouve la forme de l’objet originel (Fig. 6.12), par contre les ERQM sont ´elev´ees : 114% pour l’inversion par SVD et 103% pour l’ART au bout de 1000 it´erations. La partie de l’objet la plus proche du d´etecteur est mieux reconstruite que la partie en haut de l’objet, car elle est mieux balay´ee par le rayonnement diffus´e pour diff´erents d´etecteurs et diff´erents angles de diffusion.

106

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission Inversion directe par SVD Z = 1.9 udl

Z = 2.8 udl

Reconstruction it´erative par ART Z = 3.7 udl

Z = 1.9 udl

Z = 2.8 udl

Z = 3.7 udl

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

−2

−2

−2

−2

−2

−2

−4

−4 2

4

6

8

−4 2

Z = 4.6 udl

4

6

8

−4 2

Z = 5.5 udl

4

6

8

−4 2

Z = 6.4 udl

4

6

8

−4 2

Z = 4.6 udl

4

6

8

2

Z = 5.5 udl

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

−2

−2

−2

−2

−2

−2

−4

−4 2

4

6

8

−4 2

Z = 7.3 udl

4

6

8

−4 2

Z = 8.2 udl

4

6

8

−4 2

Z = 9.1 udl

4

6

8

4

6

8

2

Z = 8.2 udl

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

−2

−2

−2

−2

−2

−2

−4 4

6

8

−4 2

4

6

8

−4 2

4

6

8

−4 2

4

6

8

8

4

6

8

6

8

Z = 9.1 udl

4

2

6

−4 2

Z = 7.3 udl

4

−4

4

Z = 6.4 udl

−4 2

4

6

8

2

4

Fig. 6.13: R´esultats de reconstructions 3D pour la tomographie Compton dans la configuration de Norton par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique.

6.5 Une nouvelle tomographie Compton 2D (TRAC2) Nous allons maintenant d´ecrire la configuration que nous proposons pour la tomographie Compton. Un couple source/d´etecteur tourne autour du milieu diffusant, ainsi les arcs de cercle des lieux de diffusion, servant de support `a cette TRAC2 , passent par les deux points S et D, distants d’un ´ecartement fixe 2p, d´ecrivant un cercle. La droite g´en´er´ee (SD) par ces deux points est rep´er´ee par son angle ϕ avec l’axe des abscisses. La figure 6.14 pr´esente la configuration pour la TRAC2 . Le point M, rep´er´e par les cordonn´ees polaires (r, θ) par rapport `a l’origine O du plan, est situ´e sur un arc de cercle sous-tendant l’angle ω et passant par les points S et D. Pour chaque couple de points (SD), on ne consid`ere qu’un seul arc de cercle, l’arc de cercle sym´etrique est pris en compte lorsque les points S et D sont intervertis. Ce cercle a pour centre Ω et pour rayon p/ sin ω. L’´equation de ce cercle se d´eduit d’une relation dans le triangle OMΩ : \ ΩM2 = OΩ2 + OM2 − 2 OΩ OM cos(ΩOM).

(6.34)

En posant τ = cot ω et γ = θ − ϕ, on obtient :  p 2 = (pτ )2 + r 2 + 2pτ r sin γ, sin ω

 p 2 − (pτ )2 = r 2 + 2pτ r sin γ, sin ω p2 = (r + pτ sin γ)2 − p2 τ 2 sin2 γ. On retient la solution positive en r, correspondante au probl`eme :  q 2 2 1 + τ sin γ − τ sin γ . r=p

(6.35)

(6.36)

6.5 Une nouvelle tomographie Compton 2D (TRAC2 )

ω

M(r, θ) ne (r, θ)

107

D

r p

γ θ ϕ

x

O p

S

p cot ω

p sin ω

ω

Ω

Fig. 6.14: Sch´ema des param´etrisations utilis´ees dans le calcul de la TRAC2 . pLa longueur ´el´ementaire de l’arc de cercle autour du point M s’obtient en calculant ds = dr 2 + r 2 dγ 2 : ! 1 1 p 2τ 2 sin γ cos γ − τ cos γ dγ dr = p 2 1 + τ 2 sin2 γ (6.37) r dγ, = −τ cos γ p 1 + τ 2 sin2 γ alors, r2 ds2 = dr 2 + r 2 dγ 2 = τ 2 cos2 γ + r 2 dγ 2 , 1 + τ 2 sin2 γ (6.38) 1 + τ2 2 2 = r dγ . 1 + τ 2 sin2 γ On peut alors d´efinir la TRAC2 de mani`ere analytique suivante : Z g(ϕ, ω) = f (r, θ)ds √ Z π (6.39) 1 + cot2 ω dθ f (r(θ), θ)r(θ) p = 1 + cot2 ω sin2 (θ − ϕ) 0

La figure 6.15 pr´esente la transform´ee de la fonction f nulle sauf sur un disque plac´e sur l’axe des ordonn´ees (Fig. 6.16 ` a droite). La rotation de la droite (SD) se fait autour de l’origine O du plan et pour origine de l’angle ϕ de rotation l’axe des abscisses. Les arcs de cercles, qui parcourent le demi-plan, correspondent `a des angles ω allant de 0 (la droite (SD)) `a π/2 (le demi cercle). Lorsque l’angle ϕ = 0, seuls les arcs de cercles des angles ω compris entre 35° et 53° traversent l’objet. Lorsque l’angle ϕ = π/2, seuls les arcs pour des petites valeurs de l’angle ω vont toucher l’objet.

108

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission

0

50

phi [deg]

100

150

200

250

300

350 10

20

30

40 50 w [deg]

60

70

80

90

Fig. 6.15: TRAC2 de la fonction f repr´esent´ee `a la figure 6.16. Image reconstruite

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

y

y

Image originelle

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6 −0.6

−0.4

−0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

Fig. 6.16: R´etro-projection non filtr´ee ` a partir des donn´ees de la TRAC2 de la fonction f (x, y). Actuellement, la TRAC2 ne poss`ede pas de formule analytique inverse. A titre d’illustration de la faisabilit´e de son inversion, nous pr´esentons `a la figure 6.16 une r´etro-projection simple, qui consiste juste ` a ´epandre les donn´ees g correspondantes aux arcs de cercles sur le plan. Et nous constatons que la forme de l’objet est bien retrouv´ee.

6.5 Une nouvelle tomographie Compton 2D (TRAC2 )

109

Nous allons consid´erer un syst`eme de tomographie par diffusion Compton bas´e sur la TRAC2 que nous avons d´ecrite. On place une source S de rayonnement gamma mono-´energ´etique diam´etralement oppos´ee ` a un d´etecteur D collimat´e de mani`ere `a ne recevoir que le rayonnement photonique provenant d’un seul des demi-espaces d´elimit´es par la droite (SD). Pour une ´energie Eω de d´etection, on r´ecup`ere les photons qui ont interagi avec les ´electrons situ´es sur l’arc de cercle sous-tendant l’angle ω. Et, en faisant tourner le couple source-d´etecteur tout autour de l’objet, on obtient diff´erentes donn´ees permettant de reconstruire la densit´e ´electronique par recoupement des arcs de cercle. Le point source, de position S(p, π + ϕ) et de densit´e d’activit´e f0 connue, ´emet des photons mono-´energ´etiques qui vont ˆetre diffus´es par la densit´e ´electronique au point M avec la probabilit´e de Klein et Nishina. Avec un raisonnement similaire qu’au chapitre 5.2.1, on d´etermine le nombre de photons re¸cus par le d´etecteur pour un milieu en deux dimensions : g(ϕ, ω) =

f0 c σ (ω) 2π 2D

Z

θ(L2 ) θ(L1 )

e−µ0 L1 M e−µω M L2 ne (r(θ), θ) px cos α ds, SM MD

(6.40)

o` u le point L1 (respectivement L2 ) correspond `a l’intersection entre la droite (SM) (resp. (MD)) et le bord du milieu diffusant, et α l’angle de la droite (MD) avec la normale du d´etecteur. Dans ce rep`ere de coordonn´ees, on d´etermine les distances SM et M D, et l’angle α: p SM = r 2 + p2 − 2rp cos γ p M D = r 2 + p2 + 2rp cos γ (6.41)   γ r−p γ α = − arctan cot 2 r+p 2 On n´eglige l’influence de l’att´enuation et de l’orientation du d´etecteur, et simplifie l’expression du probl`eme : √ Z π r 1 + τ2 f0 c p ne (r, γ)dγ. (6.42) px σ2D (ω) g(ϕ, ω) = p 2π 0 r 4 + p4 − 2r 2 p2 cos 2γ 1 + τ 2 sin2 γ

Afin d’´eviter le point mort ` a l’origine du plan, on choisit d’introduire un ´ecart entre la droite (SD) et l’origine du plan mais de garder le centre de la rotation en O, de telle sorte que les arcs de cercle puissent recouvrir la zone proche de l’origine du plan. Les r´esultats des reconstructions, a` partir de m´ethodes alg´ebriques, sont pr´esent´es `a la figure 6.17. Le conditionnement de la matrice (( poids )) du syst`eme est du mˆeme ordre de grandeur que dans la configuration de Norton K = 2, 53.1023 , pourtant la reconstruction par SVD donne une EQRM inf´erieure ` a 0,1%, et la reconstruciton pour ART donne au bout de 420 it´erations une EQRM inf´erieur ` a 0,1%. Cette configuration permet recevoir du rayonnement diffus´e couvrant unifrom´ement l’ensemble de l’objet, ce qui donne de meilleures reconstructions que la configuration de Norton, par contre on perd l’avantage de la source et du d´etecteur immobile.

110

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission Inversion directe

M´ethode de reconstruction it´erative 23

23

55

x 10 10

55

x 10 10

50

9

50

9

45

8

45

8

40

7

40

35

6

30

7

35

6

30 5

25

5 25

4 20

4 20

3

15

2

10

1

5 10

20

30

40

50

0

3

15

2

10

1

5 10

20

SVD

30

40

0

50

ART

Fig. 6.17: R´esultats de reconstructions 2D pour notre configuration de tomographie Compton par la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres, et par l’Algebraic Reconstruction Technique.

6.6 Vers un nouveau concept d’appareil bimodal en imagerie m´ edicale Nous proposons dans cette partie un appareil bimodal permettant, dans un premier temps, d’estimer la densit´e ´electronique ne interne d’un objet, puis de reconstruire, `a partir de cette estimation, la distribution radioactive de l’objet, not´ee f , dans une tranche 2D de l’objet. La reconstruction 3D de l’objet (non pr´esent´ee ici) peut ˆetre obtenue `a partir de plusieurs tranches 2D, comme dans le cas de la tomographie conventionnelle.

ω

ω ϕ O

S

O′

ne ?

D, Eω D, Eω S f ?, ne

Fig. 6.18: Configuration d’un appareil bimodal d’estimation de la densit´e ´electronique ne par transmission (` a gauche), puis de reconstruction de la distribution radioactive f par ´emission (`a droite).

6.6 Vers un nouveau concept d’appareil bimodal en imagerie m´ edicale

111

30

20

10

0

−10

−20

−30

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Fig. 6.19: Configuration de la simulation de l’imagerie bimodale : discr´etisation du milieu (points bleus), position de l’objet (croix vertes), distribution radioactive (croix rouges) et positions du d´etecteur (croix bleues). L’appareil, pr´esent´e ` a la figure 6.18, reprend les ´el´ements pr´esent´es aux deux chapitres pr´ec´edents. D’abord, un couple form´e d’une source S et d’un d´etecteur D, collimat´e de mani`ere `a ne recevoir que le rayonnement provenant d’un demi-espace, tourne autour de l’objet. A chaque position, le d´etecteur enregistre le rayonnement diffus´e `a diff´erentes ´energies Eω qui correspondent aux angles de diffusion ω, sous l’hypoth`ese que le rayonnement diffus´e sup´erieur `a l’ordre 1 est n´egligeable. Cette configuration permet de reconstruire la carte de la densit´e ´electronique ne , dont d´epend la proportion des photons diffus´es par l’effet Compton. Et ensuite, seul le d´etecteur, non collimat´e, tourne autour de l’objet en enregistrant les rayonnements diffus´es `a diff´erentes ´energies Eω provenant de la densit´e d’activit´e f interne `a l’objet. La reconstruction de la distribution radioactive s’obtient en tenant compte de la carte de la densit´e ´electronique pr´e-´etablie.

112

Extension ` a l’imagerie du diffus´ e par transmission Image originelle de la densit´e ´electronique

Image reconstruite de la densit´e ´electronique

1

25

25 0.9

20

1.2

20

15

0.8

15

10

0.7

10

5

0.6

5

0

0.5

0

−5

0.4

−5

1

0.8

−10

0.3

−15

0.6

−10

0.4

−15 0.2

−20

0.2

−20 0.1

−25

−25 −20

−10

0

10

20

0

−20

−10

0

10

20

Fig. 6.20: R´esultat de la reconstruction de la densit´e ´electronique `a l’int´erieur de l’objet. Nous avons choisi de travailler avec le fantˆome (( Shepp-Logan modifi´e )) propos´e par Matlab pour simuler la densit´e ´electronique (Fig. 6.20 `a gauche). La distribution radioactive `a l’int´erieur de l’objet est situ´ee ` a l’endroit des trois petites structures du fantˆome (Fig. 6.21 `a gauche). La figure 6.19 montre la configuration de la simulation. Le milieu est discr´etis´e avec 55×55 points, la valeur de densit´e ´electronique en chaque point du maillage est donn´ee par le fantˆome (( Shepp-Logan modifi´e )) : elle est nulle `a l’ext´erieur des croix vertes et non-homog`ene dessus. Les sources radioactives de mˆeme intensit´e sur les trois petits structures pr´esentes sur le fantˆome sont repr´esent´ees par les croix rouges. Pour les deux imageries, on simule 55 d´etections ´energ´etiques correspondantes aux angles de diffusion de 5° ` a 90° pour les 55 positions angulaires du d´etecteurs. On commence ensuite par construire la matrice (( poids )) pour l’imagerie par transmission : on obtient donc une matrice de dimensions 3025×3025. Ensuite, on g´en`ere les donn´ees pour ce probl`eme en ajoutant un bruit poissonnien qui introduit un rapport signal sur bruit de 33dB. La reconstruction est effectu´ee `a l’aide de l’algorithme ART avec 1000 it´erations (Fig. 6.20 `a droite). On obtient une erreur quadratique importante entre l’image du fantˆome d’origine et l’image reconstruite de 42%, pourtant la qualit´e de cette reconstruction suffit pour ˆetre ensuite utilis´ee comme carte de la densit´e ´electronique pour l’imagerie par ´emission. On calcule la matrice (( poids )) du syst`eme pour l’imagerie par ´emission en se servant de la carte reconstruite de la densit´e ´electronique pour simuler la diffusion Compton dans l’objet. On utilise les mˆeme positions angulaires et les mˆeme ´energies pour le d´etecteur. Ainsi la matrice (( poids )) a aussi pour dimensions 3025×3025. Les donn´ees sont simul´ees `a partir de la carte de densit´e ´electronique originelle puis elles sont bruit´ees de mani`ere ´egalement poissonnienne qui introduit un rapport signal sur bruit de 100 dB. La figure 6.21 `a droite pr´esente l’image reconstruite avec l’algorithme ART pour 5000 it´erations. Les trois petites structures sont bien reconstruites en position et en intensit´e.

6.6 Vers un nouveau concept d’appareil bimodal en imagerie m´ edicale

Image originelle de l’activit´e

Image reconstruite de l’activit´e

1

25

113

25 0.9

20

0.9

20

0.8

15

0.8

10

0.7

10

0.7

5

0.6

5

0.6

0

0.5

0

0.5

0.4

−5

0.4

−5 −10

0.3

15

−10

0.3

−15

−15

0.2

0.2

−20

−20

0.1

0.1

−25

−25 −20

−10

0

10

20

0

−20

−10

0

10

20

Fig. 6.21: R´esultat de la reconstruction de la densit´e d’activit´e avec estimation pr´ealable de la densit´e ´electronique dans l’objet.

Conclusion et perspectives Cette th`ese a pour but d’explorer un nouveau principe d’imagerie bas´e sur le rayonnement gamma diffus´e et ` a haute sensibilit´e, grˆace `a l’´elimination de la collimation m´ecanique de la cam´era gamma. L’imagerie par rayonnement diffus´e, qui est en totale rupture avec les principes d’imagerie nucl´eaire conventionnelle, pr´esente l’avantage d’offrir une reconstruction tridimentionnelle d’images sans besoin de rotation du d´etecteur autour de l’objet. Mais elle souffre de la faiblesse inh´erente du flux de photons diffus´es, d’o` u la n´ecessit´e imp´erative d’augmenter la sensibilit´e de la d´etection. Cette n´ecessit´e fait partie des objectifs des syst`emes d’imagerie du futur, afin de r´eduire la dose radiopharmaceutique `a injecter au patient en m´edecine nucl´eaire ou bien de d´etecter des sources radioactives de tr`es faible intensit´e dans le domaine de la s´ecurit´e du territoire. Nos principales contributions, originales et novatrices, sont d’ordres th´eorique, technique et technologique : 1. Nous avons ´etabli, dans la modalit´e d’imagerie par ´emission, le mod`ele de formation d’images (mod`ele direct) des photons diffus´es `a diff´erentes ´energies sur une cam´era gamma sans collimateur, en 2D puis 3D. – Ces mod`eles ont ´et´e valid´es par simulations Monte Carlo, qui ont pris en compte des consid´erations r´ealistes de r´esolutions spatiale et ´energ´etique non nulles du d´etecteur et de l’att´enuation des photons dans le milieu. – En comparant avec l’imagerie du diffus´e avec collimateur, le nombre de photons, dans le cas sans collimateur, est consid´erablement augment´e (`a titre indicatif, dans la configuration choisie pour notre simulation Monte Carlo, on re¸coit en moyenne 25 fois plus de photons par image sans collimateur). 2. La mod´elisation math´ematique de ce processus de formation d’image conduit `a une transformation de Radon sur des cˆones dont l’axe de sym´etrie pivote autour d’un point (TRCC2 ). Elle est consid´er´ee comme une nouvelle g´en´eralisation de la TR classique sur des droites ou plans, qui est ` a approcher de la transform´ee de Radon Conique Compos´ee (Fig. 6.22 (a) et (b)). L’inversion analytique de la TRCC2 n’´etant pas connue `a l’heure actuelle, nous avons effectu´e la reconstruction d’images par voie num´erique avec des r´esultats encourageants, qui d´emontrent la faisabilit´e de cette nouvelle imagerie. 3. Nous avons ´etendu ce nouveau principe d’imagerie `a haute sensibilit´e `a la modalit´e d’imagerie par transmission, qui trouve des applications a` la fois en imagerie biom´edicale et en CND. Dans le contexte du CND, l’imagerie du diffus´e permet de caract´eriser un d´efaut (inclusion, faille, fissure, trou, etc) par sa densit´e ´electronique au lieu de sa carte d’att´enuation, qui est obtenue, `a l’heure actuelle, par radiographie rayons X. C’est

116

Conclusion une alternative tr`es attractive, en particulier pour les mat´eriaux m´etalliques dont l’att´enuation varie selon leur vieillissement alors que leur densit´e d’´electrons reste inchang´ee. Sur le plan th´eorique, la mod´elisation de la formation d’images du diffus´e par transmission et sans collimateur m`ene ` a d’autres g´en´eralisations de la TR : TR sur des cercles ou arcs de cercle en CND-2D, et la TR sur des tores en CND-3D (Fig. 6.22 (c)). S S?

S? ne ?

D (a) TRCC

D (b) TRCC2

D (c) TRT

Fig. 6.22: (a) Configuration de la Transform´ee de Radon Cˆonique Compos´ee ; (b) configuration de la Transform´ee de Radon sur Cˆones Pivotant ; (c) configuration de la Transform´ee de Radon Torique. 4. Du fait qu’il est possible de r´ealiser `a partir du rayonnement diffus´e une imagerie par ´emission et une imagerie par transmission, un nouveau concept d’imagerie bimodale est propos´e dans la section 6.6, qui permet d’obtenir `a la fois la carte de la densit´e ´electronique (image anatomique) et la distribution radioactive (image fonctionnelle). 5. L’imagerie du diffus´e ` a haute sensibilit´e ouvre la voie `a une nouvelle conception de d´etecteur ` a tr`es grande r´esolution ´energ´etique permettant de mesurer les photons diffus´es `a base ´energie ainsi que d’acqu´erir les donn´ees sans besoin de rotation du d´etecteur autour de l’objet ´etudi´e. Rappelons que depuis quelques ann´ees, un effort consid´erable a ´et´e fait sur le plan international pour concevoir, par la voie de plusieurs innovations, des syst`emes d’imagerie plus performants (haute sensibilit´e, multimodalit´e, l´eg`eret´e de construction, rapidit´e, facilit´e d’utilisation, etc). Ces progr`es visent ` a am´eliorer le confort du patient tout en r´eduisant le coˆ ut de l’examen. Les nouveaux concepts d’imagerie propos´es dans cette th`ese r´epondent donc aux exigences des syst`emes d’imagerie du futur. N´eanmoins, ceci repr´esente ` a l’heure actuelle un d´efi interdisciplinaire majeur puisque la mod´elisation de ces syst`emes fait appel `a une comp´etence pluridisciplinaire (regroupant les math´ematiques, la physique, les probl`emes inverses et le traitement d’image) et en particulier fait intervenir des transform´ees de Radon g´en´eralis´ees (sur des surfaces cˆoniques et toriques) non abord´ees encore dans la litt´erature actuelle. Une autre difficult´e per¸cue par l’imagerie du

Conclusion

117

diffus´e sans collimateur est qu’elle d´epend fortement de la forme du milieu diffusant. Ensuite, l’att´enuation du rayonnement devient plus difficile `a corriger car elle intervient sous forme de deux facteurs multiplicatifs, d´ependant des ´energies des photons primaire et diffus´e, `a l’int´erieur mˆeme de la somme int´egrale d´ecrivant l’ensemble des sites de diffusion. Et enfin, les diffusions d’ordre sup´erieur, qui ne sont plus majoritairement filtr´ees par le collimateur, devront ˆetre mod´elis´ees et filtr´ees, ce qui pourra se r´ev´eler coˆ uteux en temps de calcul. Ce travail de th`ese m`ene donc potentiellement `a de nouvelles perspectives de recherche passionnante tant sur le plan th´eorique que sur le plan applicatif.

A Architecture logicielle A.1 Structure du programme La structure des programmes pour les imageries par ´emission 2D/3D et par transmission 2D/3D suit le mˆeme d´eroulement d´ecrit ci-dessous. Le code, ´ecrit en Matlab, est compos´e un fichier principal qui appelle des fonctions r´eparties sur diff´erents r´epertoires : les fonctions (( outils ))utilis´ees quelque soit l’imagerie comme les fonctions de maillage, de reconstructions, de visualisations sont regroup´ees dans un unique r´epertoire et les fonctions plus sp´ecifiques sont r´eparties dans d’autres r´epertoires. Tout au long du programme des sauvegardes r´eguli`eres sont effectu´ees et les donn´ees sont plac´ees dans des r´epertoires sp´ecifiques. 1. Initialisation La phase d’initialisation met en place la configuration pour le syst`eme d’imagerie. On commence par donner une forme au milieu : rectangulaire ou circulaire en 2D, parall´el´epip´edique en 3D ; puis on discr´etise le milieu avec un maillage rectangulaire r´egulier en choisissant le nombre de points. On d´ecide ensuite de la nature du milieu : on choisit en premier lieu un milieu th´eorique sans att´enuation avec une densit´e ´electronique constante donnant lieu ` a des diffusions Compton uniques. Suivant l’imagerie qu’on consid`ere, on place dans le milieu l’objet qui correspond `a une carte de l’activit´e radioactive (imagerie par ´emission) ou une carte de la densit´e ´electronique (imagerie par transmission). Ces cartes correspondent ` a des images pour un milieu 2D et a une superposition d’images pour un milieu 3D. Ces images peuvent ˆetre cr´ees soit en cr´eant une matrice `a la main, soit ` a partir de la fonction phantom de Maltab ou de son extension phantom3d en 3D, soit en utilisant un logiciel de dessin de type paint. On peut ensuite rajouter d’autres cartes dans le milieu pour obtenir un milieu plus r´ealiste (densit´e ´electronique non constante pour l’imagerie par ´emission, att´enuation, absorption, diffusion. . . ). La prise en compte de ces ph´enom`enes physiques modifie les donn´ees en introduisant du bruit par rapport au mod`ele direct.

120

Architecture logicielle On place ensuite les points de d´etection qui sont vus soit comme un ensemble de d´etecteursgamma ind´ependants, soit comme un ensemble de pixels appartenant `a la mˆeme cam´eragamma. On choisit le nombre de d´etecteurs, la forme du pixel (ponctuelle, circulaire ou rectangulaire), la g´eom´etrie de l’ensemble des d´etecteurs (en ligne ou sur un cercle `a l’ext´erieur d’un milieu 2D, en matrice pour un milieu 3D), la r´esolution spatiale du d´etecteur, et enfin les diff´erentes ´energies du d´etecteur et la r´esolution ´energ´etique du d´etecteur. Les ´energies mesur´ees sont choisies en fonction de l’´energie des photons primaires, soit en prenant un pas r´egulier dans le domaine ´energique (cas r´ealiste), soit en prenant un pas r´egulier pour les angles de diffusion au premier ordre (cas pratique pour la simulation). Enfin, dans le cas de l’imagerie par transmission, on place une ou plusieurs sources `a l’ext´erieur du milieu suivant la configuration retenue. La configuration choisie est v´erifi´ee par des fonctions de visualisation qui repr´esentent par convention le milieu diffusant (bordures et maillage) en vert, les d´etecteurs en bleu, et les points sources en rouge.

2. Calcul de la matrice R (( Poids ))du syst`eme On calcule pour chaque point du maillage le P SF pour le syst`eme d’imagerie consid´er´e sur l’ensemble des d´etecteurs pour toutes les ´energies consid´er´ees. for imesh=1:Nmesh R(idet,iw;imesh)=psf(idet,iw;imesh | ´ emission, transmission, densit´ e electronique, att´ ´ enuation, collimateur...) end Les formulations des diff´erents P SF , contenues dans diff´erentes fonctions, prennent en compte les dimensions du milieu, la position et les r´esolutions des d´etecteurs, la pr´esence ou non du collimateur et peuvent prendre en compte une att´enuation constante dans le milieu. Suivant la finesse du mod`ele utilis´e et le nombre du point du maillage du milieu, le temps de calcul de cette matrice peut devenir tr`es important et peut ˆetre r´eduit en consid´erant les sym´etries du milieu. 3. Calcul du vecteur g des donn´ees Si on consid`ere le mˆeme maillage pour l’objet et pour le milieu, le vecteur g peut ˆetre obtenu tr`es rapidement en multipliant la matrice R avec le vecteur f repr´esentant l’objet. On peut toujours recalculer le vecteur g des donn´ees (si par exemple le maillage de l’objet ne correspond pas ` a celui du milieu) en sommant les P SF de chaque point de l’objet sur les d´etecteurs. Une fois qu’on obtient le vecteur g correspondant au mod`ele direct, on peut lui rajouter du bruit gaussien ou poissonnien dans le but de tester la robustesse des algorithmes de reconstruction. Les donn´ees peuvent ˆetre aussi obtenues par la simulation de Monte Carlo. 4. Reconstruction La reconstruction peut ˆetre men´ee par diff´erentes m´ethodes plac´ees dans des fonctions diff´erentes. SVD L’inversion par d´ecomposition en valeurs singuli`eres est effectu´ee par la fonction svd de Matlab. Le seuil de la troncature des petites valeurs singuli`eres est calcul´e

A.2 Liste des principales fonctions

121

en fonction de la pr´ecision num´erique sur la plus grande des valeurs singuli`eres et de la taille de la matrice. ART L’algorithme Algebraic Reconstruction Technique sous sa forme additive s’exprime comme : gk − Rk f n Rki . fin+1 = fin + ||Rk ||2 GC L’algorithme du gradient conjugu´e qui calcule it´erativement la solution des moindres carr´es s’´ecrit : Initialisation : A = Rt R b = Rt g x0 p0 = r 0 = b − Ax0 n-i`eme it´eration : n || 2 αn = pt||r n A pn xn+1 = xn + αn pn r n+1 = r n − αn A pn n+1 β n+1 = ||r||rn||||2 2 pn+1 = r n+1 + β n+1 pn Les fonctions o` u se trouvent ces deux algorithmes laissent la possibilit´e de rajouter des contraintes sur la valeur des voxels, le choix de l’arrˆet des it´erations soit au bout d’un certain nombre d’it´erations, soit pour une certaine erreur entre deux it´erations successives, et m´emorise les ERQM entre l’objet originel et les objets reconstruits pour chaque it´eration. 5. Visualisation des reconstructions Enfin, les r´esultats des reconstructions sont visualis´es grˆace `a des fonctions qui peuvent repr´esenter le r´esultat soit plan par plan, soit en 3D en s´eparant les valeurs reconstruites. L’ERQM est calcul´ee pour terminer la proc´edure.

A.2 Liste des principales fonctions Nom de la fonction Description de la tˆache Programmes principaux MAIN 2D tomo d´efinit la configuration d’un milieu 2D (caract´eristique du milieu, cr´eation de l’objet (position et intensit´e des sources dans le milieu) soit par lecture d’une image soit par l’interm´ediaire des fonctions, cr´eation de l’ensemble de d´etection) ; construit la matrice (( poids )) pour l’imagerie SPECT ; cr´ee des donn´ees pour l’imagerie SPECT ; reconstruit l’objet par diff´erentes m´ethodes et visualise les r´esultats.

122 MAIN 2D

Architecture logicielle

d´efinit la configuration d’un milieu 2D rectangulaire ; construit la matrice (( poids )) ; cr´ee des donn´ees ; reconstruit l’objet par diff´erentes m´ethodes et visualise les r´esultats pour l’imagerie avec ou sans collimateur (choix laiss´e ` a l’utilisateur dans l’appel des fonctions d.c 2D g ou d.c 2D psf) MAIN 2D circ d´efinit la configuration d’un milieu 2D circulaire ; construit la matrice (( poids )) ; cr´ee des donn´ees ; reconstruit l’objet par diff´erentes m´ethodes et visualise les r´esultats pour l’imagerie sans collimateur (choix impos´e) MAIN 2D MC dac m`ene les reconstructions `a partir des donn´ees de la simulation Monte Carlo pour l’imagerie 2D du diffus´e avec collimateur MAIN 2D MC dsc m`ene les reconstructions `a partir des donn´ees de la simulation Monte Carlo pour l’imagerie 2D du diffus´e sans collimateur MAIN 2D trans emis m`ene la reconstruction de la densit´e ´electronique pour un milieu circulaire ; puis m`ene la reconstruction de l’activit´e en connaissant la carte de la densit´e ´electronique MAIN 3D d´efinit la configuration d’un milieu 3D en forme de pav´e ; construit la matrice (( poids )) ; cr´ee des donn´ees ; reconstruit l’objet par diff´erentes m´ethodes et visualise les r´esultats pour l’imagerie avec ou sans collimateur (choix laiss´e `a l’utilisateur dans l’appel des fonctions d.c 3D g ou d.c 3D psf) MAIN 3D MC dac m`ene les reconstructions `a partir des donn´ees de la simulation Monte Carlo pour l’imagerie 3D du diffus´e avec collimateur MAIN 3D MC dsc m`ene les reconstructions `a partir des donn´ees de la simulation Monte Carlo pour l’imagerie 3D du diffus´e sans collimateur MAIN Cormack g´en`ere et inverse la Transform´ee de Radon Circulaire bas´ee sur l’article de Cormack MAIN Redding g´en`ere et inverse la Transform´ee de Radon Circulaire bas´ee sur l’article de Redding MAIN Norton g´en`ere des donn´ees pour la tomographie Compton 2D propos´ee par Norton ; et conduit la reconstruction alg´ebrique de l’objet MAIN 2D CND g´en`ere des donn´ees pour la tomographie Compton 2D pour notre configuration (TRAC2 ) ; et conduit la reconstruction alg´ebrique de l’objet MAIN 3D CND g´en`ere des donn´ees pour la tomographie Compton 3D dans une configuaration proche de la tomographie Compton 2D de Norton ; et conduit la reconstruction alg´ebrique de l’objet Fonctions calculant les mod`eles directs dac 2D g calcul du vecteur des donn´ees pour l’imagerie 2D du diffus´e avec collimateur ` a partir du mod`ele en 1/r dac 2D psf calcul de la matrice (( poids )) pour l’imagerie 2D du diffus´e avec collimateur ` a partir du mod`ele en 1/r dac 2D g atan calcul du vecteur des donn´ees pour l’imagerie 2D du diffus´e avec collimateur ` a partir du mod`ele en atan dac 2D psf atan calcul de la matrice (( poids )) pour l’imagerie 2D du diffus´e avec collimateur ` a partir du mod`ele en atan

A.2 Liste des principales fonctions dsc 2D g dsc 2D psf dac 2D g atan dac 2D psf atan dac 3D g w dac 3D psf w dsc 3D g w dsc 3D psf w Fonctions outils DG init2D DG init3D DG mesh DG linspace vect DG nrg E DG nrg w DG src2D DG src3D DG phantom2D DG phantom3D DG svd DG DG DG DG DG DG

art add art mult cg sirt gauss seidel icd

123

calcul du vecteur des donn´ees pour l’imagerie 2D du diffus´e sans collimateur `a partir du mod`ele en 1/r calcul de la matrice (( poids )) pour l’imagerie 2D du diffus´e sans collimateur `a partir du mod`ele en 1/r calcul du vecteur des donn´ees pour l’imagerie 2D du diffus´e sans collimateur `a partir du mod`ele en atan calcul de la matrice (( poids )) pour l’imagerie 2D du diffus´e sans collimateur `a partir du mod`ele en atan calcul du vecteur des donn´ees pour l’imagerie 3D du diffus´e avec collimateur `a partir du mod`ele en atan avec sauvegarde `a chaque ´energie calcul de la matrice (( poids )) pour l’imagerie 3D du diffus´e avec collimateur `a partir du mod`ele en atan avec sauvegarde `a chaque ´energie calcul du vecteur des donn´ees pour l’imagerie 3D du diffus´e sans collimateur `a partir du mod`ele en atan avec sauvegarde `a chaque ´energie calcul de la matrice (( poids )) pour l’imagerie 3D du diffus´e sans collimateur `a partir du mod`ele en atan avec sauvegarde `a chaque ´energie cr´eation de la structure contenant l’ensemble des variables utilis´ees dans le programme ; d´efinition d’un milieu 2D, et d’un d´etecteur 1D par d´efaut cr´eation de la structure contenant l’ensemble des variables utilis´ees dans le programme ; d´efinition d’un milieu 3D, et d’un d´etecteur 2D par d´efaut cr´eation du maillage d’un milieu 2D ou 3D similaire a` la fonction linspace de matlab mais pour des vecteurs (de mˆeme longueur) en argument discr´etise l’´energie du d´etecteur avec un pas sur l’´energie constant et donne les angles de diffusion correspondants discr´etise l’´energie du d´etecteur avec un pas sur les angles de diffusion constant et donne les ´energies correspondantes g´en`ere un fantˆome `a base de cercles et de rectangles sur le maillage du milieu 2D g´en`ere un fantˆome `a base de sph`eres et de pav´es sur le maillage du milieu 3D routine phantom de matlab qui g´en`ere un fantˆome `a base d’ellipses g´en`ere un fantˆome 3D `a base d’ellipso¨ıdes de mani`ere similaire `a la routine phantom inversion bas´ee sur la routine svd de matlab, troncature des valeurs propres et sauvegarde des matrices U,V,S et pseudo-inverse algorithme Algebraic Reconstruction Technique additif algorithme Algebraic Reconstruction Technique multiplicatif algorithme du Gradient Conjugu´e algorithme Simultaneous Iterative Reconstruction Technique algorithme Gauss-Seidel algorithme Iterative Coordinate Descent

124 DG MAP icd DG em DG ERQM DG poisson VISU angle VISU 2D recons VISU 3D recons xy VISU 3D recons 3d suptitle laprint

Architecture logicielle algorithme ICD avec estimation du Maximum a posteriori algorithme Expectation-Maximisation calcul de l’erreur relative quadratique moyenne entre un vecteur et un vecteur de r´ef´erence rajoute un bruit poissonnnien sur les donn´ees Visualisation de la correspondance des angles de diffusion pour les ´energies de d´etection choisies Visualisation de la reconstruction pour un milieu 2D Visualisation plan par plan des r´esultats de la reconstruction 3D Visualisation en 3D des r´esultats de la reconstruction 3D Rajoute un titre sous chaque figure dans un (( subplot )) Exporte une figure matlab en un fichier .eps pour l’image et un fichier .tex pour le texte `a l’int´erieur de la figure pour l’ins´erer dans un rapport en LATEX

B Simulation de Monte Carlo La m´ethode de Monte Carlo permet de simuler les ph´enom`enes al´eatoires en utilisant des suites de nombres pseudo-al´eatoires. Elle est devenue un outil important en l’imagerie nucl´eaire pour le d´eveloppement des syst`emes d’imagerie, et plus r´ecemment, pour la correction des donn´ees (estimation du diffus´e) ou pour la reconstruction tomographique (calcul de la matrice (( poids ))). Bien que de nombreux logiciels de simulation soient d´evelopp´es pour l’imagerie nucl´eaire depuis une dizaine d’ann´ee, nous avons d´ecid´e d’impl´ementer notre propre code afin de cibler notre ´etude. La simulation de Monte Carlo, appliqu´ee `a une source radioactive ponctuelle dans un milieu diffusant, permet grˆace au mˆeme programme de : – valider les P SF des mod`eles directs d´eterministes pour l’imagerie par rayonnement diffus´e d’ordre 1 avec et sans collimateur, – comparer la sensibilit´e des deux syst`emes d’imagerie, – obtenir des images plus proche d’images r´eelles en incluant la diffusion d’ordre multiple. Le principe de l’algorithme, illustr´e `a la figure B.1, consiste `a faire interagir un grand nombre de photons, trait´es individuellement, avec le milieu diffusant suivant les lois physiques et de r´ecup´erer l’histogramme des photons d´etect´ees par la cam´era suivant leur ´energie.

Initialisation Le programme commence par une phase d’initialisation dans laquelle on d´efinit le milieu diffusant : forme du milieu (parall´el´epip`ede, cylindre, sph`ere), dimensions du milieu, nature du milieu (densit´e ´electronique et att´enuation) ; puis on place le point source `a l’int´erieur du milieu et on d´ecide de l’´energie des photons primaires ; enfin on place l’ensemble des d´etecteurs en d´efinissant la forme (circulaire, rectangulaire ou carr´e) et les dimensions des pixels, et on fixe les ´energies et la r´esolution ´energ´etique du d´etecteur.

126

Simulation de Monte Carlo

´ Emission isotrope La probabilit´e que la direction du vecteur Ω soit comprise dans l’´el´ement de surface sin θp dθp dϕp de la sph`ere de rayon unit´e et de centre le point source est : 1 sin θp dθp dϕp p(Ω)dΩ = 4π    1 1 sin θp dθp dϕp = 2 2π Ceci permet de mettre en ´evidence la fa¸con d’´echantillonner la direction initiale (θp , ϕp ) des photons pour obtenir une ´emission isotrope : – ϕp est tir´ee suivant la loi uniforme r´epartie entre [0; 2π[, Rθ – et pour θp , on introduit la fonction de r´epartition F (θ) = 0 12 sin θ ′ dθ ′ = 21 (1 − cos θ) et on r´esout F (θp ) = r avec r une variable al´eatoire uniform´ement r´epartie sur [0; 1].

Interactions avec le milieu diffusant Que ce soit apr`es l’´emission du photon par la source ou apr`es une ou plusieurs diffusions, le photon poss`ede une direction, une position et une ´energie. On calcule d’abord la distance dlim dans la direction du photon entre sa position et le bord du milieu. Puis on tire une distance d’att´enuation datt en suivant la probabilit´e que le photon traverse le milieu d’une distance d : Z d µatt (E) exp(−µatt (E) r)dr = 1 − exp(−µatt (E) d) p(d) = 0

o` u µatt (E) est le coefficient lin´eique d’att´enuation du milieu `a l’´energie E du photon. Pour ´echantillonner la distance d’att´enuation, on tire une variable al´eatoire r r´epartie sur [0; 1] et on la substitue ` a p(d) dans la relation pr´ec´edente : datt = −

log(1 − r) . µatt (E)

Si la distance datt est sup´erieure ` a dlim , le photon sort du milieu et on passe `a l’´etape suivante. Sinon, il faut d´eterminer si l’att´enuation est caus´ee par une absorption due `a l’effet photo´electrique ou ` a une diffusion Compton. On tire une variable al´eatoire r uniform´ement r´epartie sur [0; 1], l’att´enuation est une diffusion si µdiff /µatt >r. Si le photon subit une diffusion, on doit tirer la nouvelle direction du photon qui suit la loi c de probabilit´e de Klein-Nishina : fk ∝ dσ ech. . dΩ (ωk ) avec ω l’angle de diffusion et k = 1, 2,. . . ,N´ On tire une variable al´eatoire uniform´ement r´epartie sur [0; 1], puis on cherche l’indice k corc respondant `a cumsum( dσ ee norm´ee des probabilit´es dΩ (ωk ))=r, avec cumsum la somme cumul´ de Klein-Nishina pour chaque angle ωk . La direction de photon diffus´e est donn´ee par l’angle ω(r) d´ependant de la probabilit´e de Klein-Nishina et de l’angle ϕ tir´e suivant la loi uniforme r´epartie entre [0; 2π[. Le photon a alors une nouvelle direction qui doit ˆetre recalcul´ee dans le rep`ere du milieu et une nouvelle ´energie E = Ediff . Les coefficients µatt (E), µdiff (E) et µabs (E) du milieu doivent ˆetre recalcul´es en fonction de cette nouvelle ´energie. Tant que l’´energie du photon est sup´erieure `a l’´energie minimum de d´etection et que le photon se trouve dans le milieu, on recommence les ´etapes d’interaction. Un compteur est mis en place pour comptabiliser le nombre de diffusions subies le photon.

127

D´ etection Le programme permet d’obtenir les histogrammes des photons d´etect´es par la cam´era dans quatre configurations ` a la fois : – d´etection sans collimateur du diffus´e `a l’ordre 1, – d´etection avec collimateur du diffus´e `a l’ordre 1, – d´etection sans collimateur du diffus´e multiple, – d´etection avec collimateur du diffus´e multiple. Le collimateur est simul´e avec le mod`ele d´eterministe traduit en relation probabiliste : pc (θ) = (1 −

tan θ ), tan αmax

avec αmax l’angle d’ouverture du collimateur. La d´etection a l’int´erieur de la cam´era n’est pas simul´ee et est suppos´ee parfaite.

128

Simulation de Monte Carlo

Nom de la fonction Description de la tˆache Programmes principaux MAIN 2D MC m`ene la simulation de Monte Carlo pour un milieu 2D homog`ene MAIN 3D MC m`ene la simulation de Monte Carlo pour un milieu 3D homog`ene VISU 2D MC permet de visualiser les trajectoires des photons dans le milieu 2D pendant la simulation VISU 3D MC permet de visualiser les trajectoires des photons dans le milieu 3D pendant la simulation MAIN 2D MC CND m`ene la simulation de Monte Carlo pour un milieu 2D avec des d´efauts circulaires Fonctions outils Distance2D calcule la distance entre un point `a l’int´erieur du milieu 2D et le bord du milieu pour un angle donn´e Distance3D calcule la distance entre un point `a l’int´erieur du milieu 3D et le bord du milieu pour une direction donn´ee SectionEfficace calcule la somme cumul´ee des probabilit´es de Klein et Nishina pour la discr´etisation des ´energies MuAir calcule les coefficients d’att´enuation, de diffusion et d’absorption pour les ´energies consid´er´es dans l’air MuEau calcule les coefficients d’att´enuation, de diffusion et d’absorption pour les ´energies consid´er´es dans l’eau MuMuscle calcule les coefficients d’att´enuation, de diffusion et d’absorption pour les ´energies consid´er´es dans les muscles MuFat calcule les coefficients d’att´enuation, de diffusion et d’absorption pour les ´energies consid´er´es dans la graisse MuBone calcule les coefficients d’att´enuation, de diffusion et d’absorption pour les ´energies consid´er´es dans les os Visu result2D permet de visualiser les r´esultats de la simulation Monte Carlo 2D sous diff´erents crit`eres Visu result3D permet de visualiser les r´esultats de la simulation Monte Carlo 3D sous diff´erents crit`eres Tab. B.1: Liste des fonctions intervenant dans les simulations Monte Carlo

129 ´ Emission isotrope d’un photon d’´energie E = E0 µatt (E0 ), µdiff (E0 ) et µabs (E0 )

Calcul de la distance dlim entre le point d’´emission (primaire ou diffusion) et le bord du milieu

Photon att´enu´e ?

non

oui Photon absorb´e

non

Photon diffus´e ?

oui Diffph++ C Calcul de ( dσ dΩ )ω (E) Tirage de l’angle de diffusion et de l’´energie du photon diffus´e E Calcul de µatt (E), µdiff (E) et µabs (E).

Photon non d´etect´e

non

E > Emin ?

oui

Champ de la cam´era ? non

oui Diffph=1 ? g1 (ipx,iE)++

D´etermination pixel g(ipx,iE)++

Diffph=1 ? 1 (ipx,iE)++ gcoll

Acceptance collimateur ? gcoll (ipx,iE)++

Photon non d´etect´e

Fig. B.1: Sch´ema de l’algorithme de Monte-Carlo

Bibliographie [AH95]

N. V. Arendtsz and E. M. A. Hussein. Energy-spectral Compton scatter imaging-part i: Theory and mathematics. IEEE transactions on nuclear science, 42(6):2155–2165, 1995.

[Ang58]

Hal O. Anger. Scintillation camera. Review of Scientific Instruments, 29(1):27– 33, 1958.

[BB81]

J. J. Battista and M. J. Bronskill. Compton scatter imaging of transverse sections: An overall appraisal and evaluation for radiotherapy planning. Physics in Medicine and Biology, 26:81–99, 1981.

[BBaRDP94] I. Buvat, H. Benali, and A. Todd-Pokropek ans R. Di Paola. Scatter correction in scintigraphy: the state of the art. European Journal of Nuclear Medicine, 21:675–694, 1994. [BG97]

V´eronique Bouchard-Gilanton. Mod´elisation et correction de l’effet Compton dans la reconstruction d’images tomoscintigraphiques. PhD thesis, Universit´e Joseph Fourier - Grenoble 1, 1997.

[Bis92]

L. R. Bissonnette. Imaging through fog and rain. 31(5):1045–1052, 1992.

[Bla97]

Daniel Blanc. Les Rayonnements ionisants : d´etection, spectrom´etrie, dosim´etrie. Paris, Masson, 1997.

[BMB88]

R. Ben Younes, J. Mas, and R. Bidet. A fully automated contour detection algorithm the preliminary step for scatter and attenuation compensation in SPECT. European Journal of Nuclear Medicine and Molecular Imaging, 14:586–589, 1988.

[Bru02]

Philippe P. Bruyant. Analytic and Iterative Reconstruction Algorithms in SPECT. J Nucl Med, 43(10):1343–1358, 2002.

[BS81]

Harrison H. Barrett and William Swindell. Radiological Imaging: The Theory of Image Formation, Detection, and Processing. San-Diego Boston New-York, Academic press, 1981. Appendix C.

[CMD76]

R.L. Clarke, E.N. Milne, and G. Van Dyk. The use of compton scattered gamma rays for tomography. Investigative Radiology, 11:225–235, 1976.

[Com23]

Arthur H. Compton. A quantum theory of the scattering of X-rays by light elements. Phys. Rev., 21(5):483–502, May 1923.

[Cor81]

A. M. Cormack. The Radon transform on a family of curves in the plane. Proceedings of the American Mathematical Society, 83(2):325–330, October 1981.

[Cor84]

A. M. Cormack. Radon’s problem - old and new. SIAM-AMS Proceedings, 14:33–39, 1984.

[Dav68]

C.M. Davidson. Alpha-, Beta- and Gamma-Ray Spectroscopy, volume 1. K. Siegbahn, 1968.

Optical Engineering,

132

Bibliographie

[Del05]

Jean-Luc Delarbre. Imagerie d’´emission gamma : Nouvelles m´ethodes d’exploitation du rayonnement diffus´e. PhD thesis, Universit´e de Cergy-Pontoise, 2005.

[DKM98]

J. Darcourt, P.M. Koulibaly, and O. Migneco. M´ethodes it´eratives de reconstruction. Revue de l’ACOMEN, 4(2):100–107, 1998.

[Egl02]

Luc Eglin. Imagerie scintigraphique : mod´elisation et restauration multi´energie. PhD thesis, Universit´e de Cergy-Pontoise, 2002.

[EMBR98]

B. L. Evans, J. B. Martin, L. W. Burggraf, and M.C. Roggemann. Nondestructive inspection using compton scatter tomography. IEEE Transactions on Nuclear Science, 1:386–390, 1998.

[Eva55]

Robley D. Evans. The atomic nucleus. McGraw-Hill, 1955.

[Gd05]

Eric Gros d’Aillon. Etude des performances spectrom´etriques des d´etecteurs gamma CdZnTe/CdTe monolithiques. PhD thesis, universit´e Joseph Fourier - Grenoble 1, 2005.

[Gor74]

R. Gordon. A tutorial on ART (algebraic reconstruction techniques). IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-21:78–93, 1974.

[Gra02]

Pierre Grangeat. La tomographie : fondements math´ematiques, imagerie microscopique et imagerie industrielle. Hermes Science Publications, 2002.

[Gre90]

P.J. Green. Bayesian reconstruction from emission tomography data using a modified em algorithm. IEEE Transactions on Medical Imaging, 9:84–93, 1990.

[HCJ84]

R. S. Holt, M. J. Cooper, and D. F. Jackson. Gamma-ray scattering techniques for nondestmctive testing and imaging. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A221:98–104, 1984.

[Hus89]

E.M.A. Hussein. Radiation scattering methods for non destructive testing and ˝ imaging. Int. Adv. Nondestr. Test., 14:301U321, 1989.

[Jam80]

F. James. Monte Carlo theory and practice. Reports on Progress in Physics, 43(9):1145–1189, 1980.

[JGF84]

R. Jaszczak, K. L. Greer, and E.C. Floyd. Improved SPECT quantification using compensation for scattered photons. The Journal of the Nuclear Medicine, 25:893–900, 1984.

[Kem80]

M. C. Kemp. Maximum Entropy reconstruction in emission tomography. Medical Radionuclide Imaging, 1:313–323, 1980.

[Kun01]

Leonid A. Kunyansky. A new SPECT reconstruction algorithm based on the novikov’s explicit inversion formula. Inverse Problems, 17:293–306, 2001.

[LATL05]

P. N. Luke, M. Amman, C. Tindall, and J. S. Lee. Recent developments in semiconductor gamma-ray detectors. Journal of Radioanalytical and Nuclear Chemistry, Volume 264, Number 1:145–153, mars 2005.

[LC84]

K. Lange and R. Carson. EM reconstruction algorithms for emission and transmission tomography. Journal of Computer Assisted Tomography, 8:306–316, 1984.

[MBC+ 91]

D. Maor, G. Berlad, Y. Chrem, A. Voil, and A. Todd-Pokropek. Klein-nishina based energy factors for compton free imaging (cfi). Journal of Nuclear Medicine, 32:1000, 1991.

Bibliographie

133

[MDD88]

D. J. Macey, G .L. DeNardo, and S.J. DeNardo. Comparison of three boundary detection methods for SPECT using compton scattered photons. Journal of Nuclear Medicine, 29:203–207, 1988.

[Mor07]

Christian Morel. La simulation Monte Carlo en m´edecine nucleaire. 9e Conference Internationale de l’ACOMEN - L’instrumentation en Medecine Nucleaire, 31(4):160–164, April 2007.

[MST85]

M.I. Miller, D.L. Snyder, and T.R.Miller. Maximum-likelihood reconstruction for single photon emission computed tomography. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-32:69–778, 1985.

[Nat01]

F. Natterer. Inversion of the attenuated Radon transform. Inverse Problems, 17(1):113–119, 2001.

[NFET01]

M. K. Nguyen, C. Faye, L. Eglin, and T. T. Truong. Apparent image formation by Compton scattered photons in gamma-ray imaging. IEEE Signal Processing Letters, 8:248–251, 2001.

[Nor80]

S.J. Norton. Reconstruction of a reflectivity field from line integrals over circular paths. Journal of the Acoustical Society of America, 67(3):853–863, 1980.

[Nor94]

S. J. Norton. Compton scattering tomography. Journal of applied physics, 76:2007–2015, 1994.

[Nov02]

Roman G. Novikov. An inversion formula for the attenuated x-ray transformation. Arkiv f¨ or Matematik, 40(1):145–167, avril 2002.

[NT02]

M.K. Nguyen and T.T. Truong. On an integral transform and its inverse in nuclear imaging. Inverse Problems, 8:265–277, 2002.

[NTBD04]

M.K. Nguyen, T.T. Truong, H.D. Bui, and J.L. Delarbre. A novel inverse problem in gamma-ray emission imaging. Journal of Inverse Problems in Science and Engineering, 12(2):225–246, 2004.

[OHI+ 91]

K. Ogawa, Y. Harata, T. Ichihara, A. Kubo, and S. Hashimoto. A practical method for position-dependent compton-scatter correction in single photon emission ct. IEEE transactions on medical imaging, 10:408–412, 1991.

[PGM96]

Fran¸coise Peyrin, Line Garnera, and Isabelle Magnin. Introduction `a l’imagerie tomographique 2D et 3D reposant sur la propagation en ligne droite. cas de la tomographie par rayon x, par ´emission et par ultrasons. Traitement du Signal, 13(4-SUP):381–413, 1996.

[Pid04]

Ludivine Pidol. Scintillateurs denses et rapides pour la d´etection de rayonnement gamma : Monocristaux a ` base de silicates de Lut´ecium dop´es Ce3+. PhD thesis, Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris VI, 2004.

[PMV99]

O. Peyret, C. Mestais, and L. Verger. Vers les gamma-cam´eras `a semiconducteurs. Acomen, 5(129):129–136, 1999. ¨ J. Radon. Uber die bestimmung von funktionnen durch ihre integralwerte l¨ angs gewisser mannigfaltikeiten. Berichte u aschsischen ¨ber die Verhandlungen der S¨ Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, 69:262–277, 1917.

[Rad17]

[RFF05]

E. A. Ryan, M. J. Farquharson, and D. M. Flinton. The use of Compton scattering to differentiate between classifications of normal and diseased breast tissue. Physics in Medicine and Biology, 50:3337–3348, 2005.

134

Bibliographie

[RN01]

N. J. Redding and G. N. Newsam. Inverting the circular radon transform. Technical report, Australian Government, Department of Defence, DSTO, 2001.

[RP03]

N. J. Redding and T. M. Payne. Inverting the spherical Radon transform for 3D SAR image formation. In Proceedings of the International Radar Conference, pages 466–471, 2003.

[Sel03]

Paul J. Sellin. Recent advances in compound semiconductor radiation detectors. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, Volume 513, Issues 1-2:332– 339, November 2003.

[Sim88]

G. H. Simmons. The scintillation camera. New York: Society of Nuclear Medicine, 1988.

[Sin83]

Manbir Singh. An electronically collimated gamma camera for single photon emission computed tomography - part 1: theoretical considerations and design criteria. Medical Physics, 10(4):421–427, 1983.

[SV82]

Larry Shepp and Y. Vardi. Maximum likelihood reconstruction for emission tomography. IEEE Transactions on Medical Imaging, MI-1:113–122, 1982.

[TM80]

Oleh Tretiak and Charles Metz. The exponential radon transform. SIAM Journal on Applied Mathematics, 39(2):341–354, 1980.

[TNE74]

R. W. Todd, J. M. Nightingale, and D. B. Everett. A proposed gamma camera. Nature, 251(5471):132–134, 1974.

[WMK95]

J. W. Wallis, T. R. Miller, and P. Koppel. Attenuation correction in cardiac spect without a transmission measurement. Journal of Nuclear Medicine, 36:506–512, 1995.

[Zai99]

Habib Zaidi. Relevance of accurate Monte Carlo modeling in nuclear medical imaging. Medical Physics, 26(4):574–608, 1999.

[Zim06]

Richard Zimmermann. La m´edecine nucl´eaire : la radioactivit´e au service du diagnostic et de la th´erapie. EDP Sciences, 2006.

Publications Articles dans des revues internationales [1] C. Driol, M.K. Nguyen and T.T. Truong. Modeling and simulation results on high sensitivity scattered gamma-ray emission imaging, Simulation Modelling Practice and Theory, 16(8):1067-1076, September 2008. [2] M. K. Nguyen, C. Driol, T. T. Truong and H. Zaidi. Towards a new concept for high sensitivity Compton scatter emission imaging, Journal of the European Optical Society Rapid Publications, 3:08010, 2008.

Actes de congr` es internationaux avec comit´ e de lecture [3] M. K. Nguyen, C. Driol and T. T. Truong. Scattered gamma ray imaging without collimation, in the 5th workshop on Physics in Signal and Image Processing (PSIP), OS5-P11, Mulhouse, France, January 2007. [4] C. Driol, M. K. Nguyen and T.T. Truong. On high sensitivity emission imaging by scattered gamma radiation, in the 29th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Conference (EMBC), 2.10.3-4, Lyon, France, August 2007. [5] C. Driol, M. K. Nguyen and T.T. Truong. Modelling and simulation results on high sensitivity scattered gamma-ray imaging, in EUROSIM on Modelling and Simulation, 1:225, Ljubljana, Slovenia, September 2007. [6] C. Driol, M. K. Nguyen and T.T. Truong. New concept for scattered gamma ray imaging, in the 3rd EOS Topical Meeting on Advanced Imaging Techniques, 108-109, Lille, France, September 2007. [7] M.K. Nguyen, G. Fourreau, T.T. Truong and C. Driol. New Concept of Scattered Radiation Imaging with High Sensitivity, in the IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), 4:IV-157-160, San Antonio, Texas, USA, September 2007.

Acte de congr` es national avec comit´ e de lecture [8] C. Driol, M. K. Nguyen and T. T. Truong. Imagerie d’´emission gamma par rayonnement ´ diffus´e ` a haute sensibilit´e, dans le 21-i`eme Colloque du Groupe dSˇEtudes du Traitement du Signal et des Images (GRETSI), Troyes, France, septembre 2007.

Proceeding d’´ ecole d’´ et´ e [9] C. Driol. Modeling and Simulations on Scattered Gamma-tay Imaging without collimator, in the 4th International summer school on nuclear physics methods and accelerators in Biology and Medicine, Prague, Czech Republic, July 2007.