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Exercices et problèmes corrigés par

Jimmy Roussel Professeur agrégé de physique

PR EV IE

http://femto-physique.fr

Transferts moléculaire et thermique

F

EMTO - La physique enseignée

PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT

B

! °v B/A

b

A

! °v A/B

© 2016-06

AVANT-PROPOS Ce recueil d’exercices et problèmes corrigés est destiné aux étudiants du 1er cycle universitaire et à ceux des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (CPGE). Il traite des phénomènes de transport : la diffusion moléculaire et le transfert thermique. Chaque thème commence par quelques rappels de cours. Pour plus de détails, on renvoit le lecteur au site de l’auteur :

http://femto-physique.fr/physique_statistique/ Les énoncés sont assortis d’un niveau de difficulté allant d’un astérisque à quatre. Bien que subjective, cette classification tente de suivre la règle suivante : Exercice ou QCM évaluant l’acquisition des connaissances. Exercice simple demandant un minimum de calcul et de formalisation. Exercice plus technique. Problème souvent inspiré des Concours aux Grandes Écoles demandant un esprit de synthèse et de recherche.

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Enfin, les solutions des exercices sont regroupés en fin d’ouvrage. Un soin tout particulier a été fourni pour proposer des solutions entièrement rédigées. Précisons tout de même que chaque correction propose un exemple de traitement d’un exercice lequel peut parfois se résoudre d’une autre manière. En vous souhaitant bonne lecture. J IMMY R OUSSEL

Jimmy Roussel

PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT : Exercices et problèmes corrigés

Table des matières ÉNONCÉS

3 . . . . . . . .

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5 . 5 . 6 . 6 . 6 . 6 . 7 . 8 . 8 . 9 . 9 . 10 . 10

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1 TRANSPORT DE PARTICULES RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 1 Temps de diffusion * . . . . . . . . . . . . . . Ex. 2 Évaporation terrestre *** . . . . . . . . . . . Ex. 3 Nuage interstellaire *** . . . . . . . . . . . . Ex. 4 Transport d’oxygène ** . . . . . . . . . . . . Ex. 5 Diffusion à travers une membrane *** . . . Ex. 6 Mesure d’un coefficient de diffusion *** . . Ex. 7 Vitesse d’évaporation *** . . . . . . . . . . . Ex. 8 Bilan respiratoire en dioxyde de carbone *** Ex. 9 Alimentation des organes *** . . . . . . . . Ex. 10 Réacteur nucléaire *** . . . . . . . . . . . . Ex. 11 Relation d’Einstein *** . . . . . . . . . . .

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2 TRANSFERT THERMIQUE RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 12 Résistance thermique d’un mur ** . . . . . . . . . Ex. 13 Coût du confort thermique ** . . . . . . . . . . . . Ex. 14 Cylindre creux *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 15 Epaisseur critique d’isolation *** . . . . . . . . . Ex. 16 Échangeur thermique tubulaire ** . . . . . . . . Ex. 17 Efficacité d’un échangeur *** . . . . . . . . . . . . Ex. 18 Fusible *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 19 Mesure de la conductivité thermique d’un gaz *** Ex. 20 Conduction à symétrie cylindrique *** . . . . . .

12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15

3 PROBLÈMES INSPIRÉS DES CONCOURS 17 Ex. 21 Masse critique **** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ex. 22 Problème de Stefan **** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

SOLUTIONS DES EXERCICES

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ÉNONCÉS DES EXERCICES

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PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT : Exercices et problèmes corrigés

TRANSPORT DE PARTICULES

RÉSUMÉ DE COURS Libre parcours moyen ` – Dans un gaz de sphères dures de rayon a et de densité volumique n, le libre parcours moyen vaut 1 `= p ~ (1) 2æ n où æ = 4ºa2 est la section efficace de collision.

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Fréquence de collision ∫ c – Nombre de collisions par unité de temps. C’est l’inverse du temps moyen ø entre deux collisions : 1 ` ∫c = et ø = ø v où v est la vitesse moyenne des molécules.

Loi de Fick – Un gradient de concentration produit un courant de diffusion moléculaire de densité : ° ! ! ° j n = °D r n

~

(2)

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avec n la densité moléculaire (en molécules.m°3 ou en mol.m°3 ).

Interprétation microscopique – Dans un fluide, la diffusion est liée à la marche aléatoire des molécules suite aux collisions moléculaires. L’ordre de grandeur du coefficient de diffusion est donné par

D ' ` 2 /ø = ` v

Équation de diffusion – La densité de molécules n(~r, t) se transporte par diffusion si elle obéit à l’équation :

D

µ

@2 n @ x2

+

@2 n @ y2

+

@2 n @ z2

∂

=

@n @t

~

(3)

En régime permanent l’équation devient

@2 n @ x2

+

@2 n @ y2

+

@2 n @ z2

=0

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Ex. 1 – Temps de diffusion * 1. Rappeler la relation qui donne l’ordre de grandeur du temps caractéristique de diffusion d’une molécule sur une longueur L. 2. Le coefficient de diffusion du saccharose dans l’eau à 20°C est D = 6.10°6 cm2 .s°1 . Donner une estimation du temps nécessaire pour que les molécules de sucre, situées au fond d’une tasse de café, remontent à la surface, sachant que la hauteur de la tasse est d’environ 5 cm 3. On considère une macromolécule de coefficient de diffusion dans l’eau est D = 7.10°7 cm2 .s°1 . Estimer le temps nécessaire à cette macromolécule pour traverser de part en part, sur un diamètre, une cellule vivante, assimilée à une sphère de rayon R = 0, 5 µm, et constitué essentiellement d’eau.

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Ex. 2 – Évaporation terrestre *** Dans la haute atmosphère terrestre, la température vaut environ T = 800 K. A cette altitude l’atmosphère est essentiellement composée d’oxygène et d’azote sous forme moléculaire et à l’état dissocié ainsi que d’hydrogène H, l’espèce majoritaire étant l’atome d’oxygène. A 400 km d’altitude (l’exosphère) la densité de particules vaut environ n e = 1, 5.107 cm°3 .

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1. Calculer la vitesse moyenne des différentes particules à 400 km. Comparer à la vitesse de libération p vlib = 2 gR T 2. La section efficace de collision entre un atome H et un atome O vaut æ = 10°15 cm2 . Calculer le libre parcours moyen de l’atome H. Discuter le phénomène d’évaporation atmosphérique.

Ex. 3 – Nuage interstellaire ***

Un nuage interstellaire est un milieu constitué de gaz et de poussières d’où naissent les systèmes stellaires. On considère un nuage interstellaire de température T = 10 K, formé majoritairement de dihydrogène de densité n = 104 molécules.cm°3 ainsi que de grains de poussière de diamètre d = 1 µm et de masse volumique µ = 3 g.cm°3 . 1. Calculer la vitesse moyenne des molécules de dihydrogène et des grains de poussière en supposant le nuage en équilibre thermique. Indication : La vitesse moyenne d’une molécule d’un gaz thermalisé à la température T vaut s 8RT v= ºM où M est la masse molaire et R la constante des gaz parfaits.

2. On assimile les molécules de dihydrogène à des sphères dures de diamètre 0,1 nm. Estimer le libre parcours moyen `1 correspondant aux collisions H2 ° H2 ainsi que le temps moyen ø1 entre deux chocs. Commenter. 3. Sachant que les grains de poussières représentent 1% de la masse totale du nuage interstellaire, donner une estimation du libre parcours moyen associé à la collision entre deux grains de poussières.

Ex. 4 – Transport d’oxygène **

Une des fonctions du sang est le transport d’oxygène vers les organes. On note D air le coefficient de diffusion du dioxygène dans l’air et D eau celui du dioxygène dans un milieu aqueux (on assimilera le sang à un milieux aqueux).

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1. Rappeler la définition du coefficient de diffusion. On a D eau ' 10°9 m2 .s°1 et D air ' 2.10°5 m2 .s°1 . Commenter ces valeurs. 2. On fait l’hypothèse que les organes sont alimentés en oxygène grâce à la diffusion des molécules de dioxygène de l’air à travers la peau. Donner une estimation du temps de diffusion. L’hypothèse vous paraît-elle plausible ? capillaire ! °v 0µ

10

m

air

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3. En réalité, les organes sont alimentés en oxygène grâce à la circulation sanguine. Le sang se charge en oxygène par diffusion de l’oxygène depuis les alvéoles du poumon vers le capillaire périphérique de l’alvéole. On représente une alvéole pulmonaire comme un sac sphérique rempli d’air de R alv ' 100 µm, entouré d’un capillaire d’épaisseur e = 10 µm dans lequel le sang s’écoule à la vitesse moyenne v ' 10°3 m.s°1 . Estimer le temps de contact T1 du sang avec l’alvéole.

4. Estimer le temps de diffusion T2 de l’oxygène dans le sang (on considérera que l’oxygène doit diffuser du centre de l’alvéole vers le centre du capillaire). Comparer T2 et T1 et dire si l’échange d’oxygène entre l’alvéole et le sang a maintenant le temps de s’établir.

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Ex. 5 – Diffusion à travers une membrane ***

On considère le dispositif représenté ci-dessous. Les deux compartiments, séparés par une membrane verticale poreuse, contiennent une même solution moléculaire mais à des concentrations différentes c 1 et c 2 . Le compartiment 1 contient une solution plus concentrée que le compartiment 2 ( c 1 > c 2 ). Leurs volumes sont maintenus constants et sont notés respectivement V1 et V2 .

x

e

Concentration

Concentration

c1

c2

Volume

Volume

V1

V2

Membrane poreuse

e

x

Membrane vue de face

La membrane poreuse se caractérise par une aire A et une épaisseur e. Par ailleurs elle est constituée de pores identiques cylindriques de rayons r et d’axe horizontal normal à la paroi. À une date t, les concentrations, maintenues homogènes sur les volumes V1 et V2 , sont donc c 1 ( t) et c 2 ( t). On notera ¢ c = c 1 ( t) ° c 2 ( t). 1. Dans un pore s’établit un flux macroscopique de molécules suivant O x. On note JD la densité de courant moléculaire exprimé en mol.m°2 .s°1 et c( x, t) la concentration de la solution en x et à l’instant t exprimée en mol.m°3 . Donner la relation entre JD ( x), c( x) et le coefficient de diffusion moléculaire D , d’après la loi de Fick.

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2. On suppose que, dans un pore, la concentration suit une loi du type

c( x, t) = a( t) £ x + b( t) Exprimer, le flux molaire qui traverse un pore (en mol.s°1 ) en fonction de ¢ c, e, D et r . 3. La membrane a pour épaisseur e = 10 µm. Les pores ont pour rayon r = 1 µm et sont au nombre de n = 106 pores par cm2 de membrane. Sachant que le coefficient D = 10°9 m2 .s°1 , montrer que le flux molaire surfacique (en mol.s°1 .m°2 ) qui traverse toute la membrane s’écrit

Jtotal = K £ ¢ c avec K une constante que l’on déterminera.

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4. À l’aide d’un bilan de matière, montrer que ¢ c vérifie l’équation différentielle linéaire d ¢c ¢c + =0 dt ø où ø est un paramètre que l’on déterminera.

5. Au bout de combien de temps, la différence de concentration ¢ c est-elle égale au dixième de sa valeur initiale ?

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Données : V1 = 2 L, V2 = 1 L et A = 200 cm2

Ex. 6 – Mesure d’un coefficient de diffusion ***

Un long tube vertical ouvert de section s = 1 cm2 , est maintenu sur une cuve à eau à la température µ = 35 °C pour laquelle la pression de vapeur saturante (pression de vapeur d’eau immédiatement au dessus de la surface) est p sat = 4, 2 cm de mercure. L’extrémité supérieure du tube est à une hauteur h = 90 cm au-dessus de la surface libre de l’eau. Lors de l’évaporation de l’eau à travers le tube, avec une densité de courant de molécules j n , on supposera qu’il s’établit le long du tube un régime stationnaire de diffusion de la vapeur d’eau dont on désignera par D le coefficient de diffusion (qui sera considéré comme une constante). Donnée : 1 atm = 1, 013.105 Pa = 76 cm de mercure.

1. Faire un dessin. Résoudre l’équation de diffusion et déduire la concentration moléculaire (nombre de molécules par unité de volume) n( h) au sommet du tube en fonction de h, D , j n et de la concentration n(0) au niveau z = 0 de contact liquide-vapeur.

Un courant d’air sec permet d’éliminer complètement les molécules d’eau évaporée au sommet du tube en ˙ = maintenant un état stationnaire de diffusion. La masse d’eau évaporée par unité de temps est alors m 5, 0 mg.h°1 . 2. Exprimer la concentration moléculaire n(0) au niveau z = 0. On fera l’hypothèse que la vapeur d’eau vérifie la loi des gaz parfaits. 3. Exprimer et calculer la densité de courant de molécules j n dans le tube. 4. En déduire la valeur numérique du coefficient de diffusion D de la vapeur d’eau à µ = 35 °C.

Ex. 7 – Vitesse d’évaporation *** Un tube à essai de section s contient de l’éthanol, la surface du liquide se trouvant à h = 10 cm du haut du tube ouvert à l’air libre.

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1. Déterminer, en régime permanent, l’expression de n( z), la densité volumique de molécules d’éthanol dans l’air, en admettant que cette densité est nulle en haut du tube. Donnée : La pression de vapeur saturante de l’alcool à la température ambiante T0 = 293 K vaut p 0 = 5, 9.103 Pa.

2. Exprimer alors la densité de courant j n de molécules sortant du tube puis le nombre de particules qui s’échappe en un temps ± t. 3. En déduire l’expression de la vitesse ve à laquelle la surface du liquide descend dans le tube. Faire le calcul pour h = 10 cm. Données : On donne Vm = 60 cm3 .mol°1 le volume molaire de l’éthanol liquide et D = 0, 1 cm2 .s°1 le coefficient de diffusion de l’alcool dans l’air.

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4. La hauteur h augmente au cours du temps du fait de l’évaporation. Relier ve et h et en déduire l’évolution de h( t). Sachant que le tube était initialement à moitié rempli, déterminer le temps ø correspondant à une évaporation complète. 5. Dans cet exercice, on a négligé la durée du régime transitoire pendant lequel les molécules diffusent sur une hauteur h avant que le régime permanent s’établisse. Donner une estimation de cette durée. Commenter.

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Ex. 8 – Bilan respiratoire en dioxyde de carbone ***

On se propose d’évaluer la quantité de carbone évacué par la respiration, sous forme de CO2 . On suppose que l’air inspiré et l’air expiré sont à la même pression p 0 = 1 bar et à la même température T = 300 K. L’air expiré contient du CO2 gazeux à la pression partielle p 1 = p 0 /20, l’air inspiré n’en contient pratiquement pas. Tous deux sont assimilables à des gaz parfaits. Enfin on fait l’hypothèse que les poumons ne sont pas le siège de mouvements respiratoires et que le CO2 est évacué par diffusion le long des bronches. On modélise donc le système respiratoire ainsi

Poumon

Volume V

Bronche : longueur L, section s

x

1. On suppose que la pression partielle en CO2 dans le poumon est maintenue constante et égale à p 1 . Les molécules de CO2 , de densité n, diffusent le long de la bronche. On note D le coefficient de diffusion de CO2 dans l’air. Exprimer la densité moléculaire en CO2 dans les poumons en fonction de p 1 .

2. Relier, à l’aide de la loi de Fick, la densité de courant en CO2 et la densité n( x). 3. Un régime permanent s’établit dans la bronche. On suppose n = 0 à l’autre extrémité de la bronche. En déduire n( x). 4. Exprimer, d’une part, j en fonction de n 1 , D et L et, d’autre part, ¡m le nombre de moles CO2 qui s’échappent à l’extérieur par unité de temps, en fonction de p 1 , des paramètres géométriques et des constantes physiques. 5. Calculer la masse de carbone évacuée par minute de cette façon avec L = 6 cm, s = 10 cm2 et D = 1, 4.10°5 m2 .s°1 . Selon vous la quantité réellement évacuée est-elle proche ou éloignée de cette estimation ?

Ex. 9 – Alimentation des organes ***

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PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT : Exercices et problèmes corrigés

L’alimentation d’un organe en un nutriment transporté par le sang s’effectue par échange entre le sang et l’organe, à travers les parois des capillaires. Ces capillaires sont des tubes cylindriques de rayon R et de longueur L, joignant une artériole à une veinule. On note C c ( z) la concentration molaire (mol.m°3 ) d’un nutriment dans le capillaire et C o ( z) celle du nutriment dans l’organe à proximité du capillaire. Le capillaire cède à l’organe le nutriment avec une densité de courant molaire

Capillaire

Artériole

j 0 = ∞ [C c ( z) ° C o ( z)]

Organe

où ∞ est un paramètre constant.

Organe

z

Veinule

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1. On considère le régime stationnaire et on néglige le phénomène de diffusion axial (le transport de nutriment dans le capillaire est uniquement dû à l’écoulement sanguin à la vitesse v). Montrer à l’aide d’un bilan de matière en nutriment entre les cotes z et z + d z que C c ( z) vérifie l’équation différentielle dC c 2∞ =° [C c ( z) ° C o ( z)] dz vR

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2. On admet ici que la concentration en nutriment dans l’organe reste constant : C o ( z) = K . La solution s’écrit alors C c ( z) = a + b e° cz Déterminer les paramètres a, b et c en fonction de K , C c (0), v, ∞ et R .

3. On considère que l’organe est correctement alimenté si Ø Ø Ø C c (L) ° K Ø Ø Ø Ø C (0) ° K Ø ∏ 30% c

Déterminer la valeur maximale du coefficient ∞ pour que cette relation soit satisfaite en prenant v = 2, 8.10°5 m.s°1 , R = 10 µm et L = 1 mm.

Ex. 10 – Réacteur nucléaire ***

On étudie un réacteur nucléaire à une dimension : on note n( x, t) la densité volumique de neutrons. La probabilité par unité de temps qu’un neutron soit absorbé par la matière fissile vaut P = 1/ø. Pour chaque neutron absorbé, K > 1 neutrons sont produits en moyenne. Le réacteur est situé entre les plans x = °a et x = a et les conditions aux limites sont n(a, t) = n(°a, t) = 0 1. À l’aide d’un bilan de matière et de la loi de Fick (on notera D le coefficient de diffusion), déterminer l’équation aux dérivées partielles vérifiée par n( x, t). 2. Déterminer n( x) en régime permanent sachant que n(0) = n 0 .

3. On se place en régime non permanent. On cherche une solution de la forme n( x, t) = f ( x) g( t). Déterminer n( x, t) et discuter de la stabilité du réacteur suivant les valeurs de la longueur L = 2a du réacteur.

Ex. 11 – Relation d’Einstein ***

On disperse N particules de masse m, de masse volumique µ dans un récipient rempli d’un liquide de masse volumique µ0 < µ. L’ensemble est en équilibre thermique maintenu à la température T = 293 K. On notera O z l’axe vertical ascendant et g le champ de pesanteur terrestre.

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