C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 1069–1076, 2001 Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations
W1,p estimates for solutions to the Ginzburg–Landau equation with boundary data in H1/2 Fabrice BETHUEL a , Jean BOURGAIN b , Haïm BREZIS a,c , Giandomenico ORLANDI d a
Laboratoire d’analyse numérique, Université Pierre et Marie Curie (Paris-6), BC 187, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France b Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540, USA c Rutgers University, Dept. of Math., Hill Center, Busch Campus, 110 Frelinghuysen Road, Piscataway, NJ 08854, USA d Università di Verona, Dipartimento di Informatica, strada le Grazie, 37134 Verona, Italy (Reçu et accepté le 22 octobre 2001)
Abstract.
We consider complex-valued solutions uε of the Ginzburg–Landau on a smooth bounded simply connected domain Ω of RN , N 2 (here ε is a parameter between 0 and 1). We assume that uε = gε on ∂Ω, where |gε | = 1 and gε is uniformly bounded in H1/2 (∂Ω). We also assume that the Ginzburg–Landau energy Eε (uε ) is bounded by M0 | log ε|, where M0 is some given constant. We establish, for every 1 p < N/(N − 1), uniform W1,p bounds for uε (independent of ε). These types of estimates play a central role in the asymptotic analysis of uε as ε → 0. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Estimées dans W1,p des solutions de l’équation de Ginzburg–Landau Résumé.
Nous considérons des solutions à valeurs complexes uε de l’équation de Ginzburg–Landau sur un domaine borné régulier simplement connexe Ω de RN , N 2 (ici ε désigne un paramètre strictement compris entre 0 et 1). Nous faisons l’hypothèse uε = gε sur ∂Ω, où gε est une application donnée telle que |gε | = 1 et gε est uniformement bornée dans H1/2 (∂Ω). Nous supposons de plus que l’énergie de Ginzburg–Landau Eε (uε ) est bornée par M0 | log ε|, où M0 est une constante donnée. Nous montrons que pour tout p inférieur strictement à N/(N − 1), uε est bornée dans W1,p , uniformément en ε. Ce type de majoration joue un rôle crucial dans l’étude asymptotique de uε , lorsque ε → 0. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée Soient N un entier supérieur à deux, et Ω un domaine régulier, borné et simplement connexe de RN . Nous considérons, pour un petit paramètre 0 < ε < 1, les applications uε : Ω → C solutions de l’équation de Note présentée par Haïm B REZIS. S0764-4442(01)02191-7/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
1069
F. Bethuel et al.
Ginzburg–Landau, ayant pour données de Dirichlet gε dans H1/2 (∂Ω; S 1 ), non nécessairement régulière :
−∆uε = uε = gε
1 2 ε2 uε (1 − |uε | )
dans Ω, sur ∂Ω.
Nous supposons de plus qu’il existe des constantes positives M0 et M1 telles que 2 1 1 2 Eε (uε ) ≡ |∇uε | + 2 1 − |uε |2 M0 | log ε|, 2 Ω 4ε Ω |gε | = 1
sur ∂Ω,
gε 2H1/2 (∂Ω) M1 .
(1)
(2) (3)
Notre résultat principal est le suivant : T HÉORÈME 1. – Soit p tel que 1 p < NN−1 . Il existe une constante Cp ne dépendant que de M0 , M1 , Ω et p, mais indépendante de ε, telle que pour toute solution uε de (1) vérifiant (2), (3), on ait |∇uε |p Cp . (4) Ω
Ce type de majoration joue un rôle déterminant dans l’étude asymptotique des solutions lorsque ε tend vers zéro : en particulier les assertions du théorème 1 de [4] restent vraies si l’on remplace l’hypothèse (H2) de [4] par l’hypothèse (3). Cette majoration a été obtenue pour la première fois dans [2], lorsque N = 2 et gε ≡ g est fixée et régulière (voir aussi [1] pour d’autres références dans le cas N = 2). Elle a ensuite été généralisée sous diverses hypothèses restrictives sur N , gε et uε (voir [12,11,4] et [6]). Le cas où g est une application quelconque de H1/2 (∂Ω; S 1 ) et gε → g dans H1/2 , gε régulière, a été considéré dans [6], dont les résultats voisins du théorème 1 ont en particulier motivé ce travail. Notre preuve repose de manière cruciale sur un résultat récent de [10].
1. Introduction Let N be an integer larger than two, and let Ω be a smooth bounded, simply connected domain in RN . For 0 < ε < 1 a small parameter, we consider solutions uε : Ω → C of the Ginzburg–Landau equation with Dirichlet data gε in H1/2 (∂Ω; S 1 ), not necessarily smooth:
−∆uε = uε = gε
1 2 ε2 uε (1 − |uε | )
in Ω, on ∂Ω.
We assume throughout that there exists positive constants M0 and M1 such that 2 1 1 2 Eε (uε ) ≡ |∇uε | + 2 1 − |uε |2 M0 | log ε|, 2 Ω 4ε Ω |gε | = 1
on ∂Ω,
gε 2H1/2 (∂Ω) M1 .
(1)
(2) (3)
The main result of this paper is the following: T HEOREM 1. – Let 1 p < NN−1 . There exists a constant Cp depending only on M0 , M1 , Ω and p, but independent of ε, such that for any solution uε of (1) verifying (2), (3), we have |∇uε |p Cp . (4) Ω
1070
W1,p estimates for solutions to the Ginzburg–Landau equation
This type of estimate plays a major role in the asymptotic analysis of solutions as ε tends to zero: in particular, the conclusions of Theorem 1 of [4] remain true if one replaces assumption (H2) in [4] by assumption (3). This estimate was first obtained in [2] for N = 2 and gε ≡ g is fixed and smooth (see also [1] for other references in case N = 2). It was generalized under various restrictive assumptions on N , gε and uε (see [12,11,4] and [6]). The case where g is a general map in H1/2 (∂Ω; S 1 ) and gε → g in H1/2 , gε smooth, is considered in [6], and the results there, closely related to Theorem 1, motivate this work. Our proof relies in a crucial way on a recent result of [10]. Remark. – The reader may wonder whether the restriction p < NN−1 is optimal. Here is a partial answer, at least for N = 3. (a) There are better estimates, away from the boundary. Namely, for any compact set ω Ω, and any uε satisfying (1)–(3), we have, for any q < 2 (see [7]), |∇uε |q C(q, ω). ω
(b) Up to the boundary, estimate (4) is essentially optimal in the following sense. For any t > 3/2 there is a g ∈ H1/2 (∂Ω; S 1 ) for which there exist solutions uε of (1)–(3) with gε ≡ g (in fact uε are minimizers) such that |∇uε |t → +∞ as ε → 0. (5) Ω α
Sketch of the proof. – Suppose ∂Ω is flat near 0 and choose g(r) = ei/r on ∂Ω, with α < 1, α close to 1. This g belongs to H1/2 (∂Ω) and satisfies L(g) = 0 in the sense of [6]. By Theorem 5 in [6] we know that minimizers uε of Eε converge in W1,p (Ω) ∀p < 3/2 to u∗ = eiφ where φ is the harmonic extension in Ω of 1/rα . If (5) fails we would have u∗ ∈ W1,t (Ω) and consequently φ ∈ W1,t (Ω). On the other hand the reader will check that the harmonic extension of 1/rα does not belong to W1,t (Ω) when α is close to 1 (depending on t). 2. Preliminary estimates Set u = uε . We start with the identity 2 4|u|2 |∇u|2 = 4|u × ∇u|2 + ∇|u|2 .
(6)
Note that in the case u = |u| exp(iϕ), then u × ∇u = |u|2 ∇ϕ; in particular, when |u| = 1, u × ∇u coincides with the gradient of the phase of u. We distinguish the regions |u| > 1/2 and |u| 1/2. Let A = {x ∈ Ω, |uε (x)| 1/2}, so that, in view of (6), setting ρε = |uε |, we obtain |∇uε | 2|uε × ∇uε | + |∇ρε | in Ω \ A. We split
|∇uε | = Ω
and therefore
|∇uε |p
p
A
|∇uε | +
p
(7)
Ω\A
2 1 3 , |∇uε |p Iε,p + Cp Iε,p + Iε,p
(8)
Ω
1071
F. Bethuel et al.
where
|∇uε |p ,
1 Iε,p =
∇|uε |p ,
2 Iε,p =
A
|uε × ∇uε |p .
3 and Iε,p =
Ω
Ω
1 2 3 , Iε,p , Iε,p separately. We will estimate each of the previous terms Iε,p
P ROPOSITION 1. – We have, for any solution uε to (1) verifying (2), (3), and any 1 p < 2,
∇uε p Cp ,
1 Iε,p =
(9)
A
where Cp is independent of ε. Proof. – Since, by (2), Ω (1 − |uε |2 )2 M0 ε2 | log ε|, then meas(A) Cε2 | log ε|, where C is some constant. Using Hölder’s inequality we deduce p/2
|∇uε |p A
|∇uε |2
(meas A)1−(p/2) Cε2−p | log ε|
Ω
and the conclusion follows. P ROPOSITION 2. – We have, for any solution uε to (1) verifying (2), (3), and any 1 p < 2, 2 Iε,p
∇|uε |p Cp ,
=
(10)
A
where Cp is independent of ε. The proof of Proposition 2 is similar (and even simpler) to the proof of Proposition VI.4 of [4], therefore we omit it. Finally the proof of Theorem 1 is completed using P ROPOSITION 3. – Let 1 p
