1 Stability of a cubically convergent method for generalized equations

Apr 5, 2006 - T ot h is end, we need t h e followin g L emma statin g t h at t h e concept of pseudo -. L ipsc h itzness is robust under t h e k ind of appro x ...
188KB taille 1 téléchargements 278 vues
        !#"$%!&')(*+ '! -,(./'0!- 1 2436587:9=@?BA/9DCFEBGHC   Z\[^]²ú¢ø ÷ ] l ô ])ø  ô þUù+nonoù ÿ l [  l ø ô k Z8ø l +ô ý ô ø  ù ] þUù+k ú ù+n l [    s H  H 0  J 0 q Y H 0  J 0 Y  J  Þ+q  kmù ý¦[ ù ÿ ù [/ÿ ô ú ô ø 



















 

 





.

-

!" $#&% "' %)(*,+



0/

,9

- 1/02

:

A9B _D6#7>YX q \ Y HH> _Dd#J> Y e`D$(A f  í  øFZ\úÀû ô-ô [Sú3 ù ÿ ô ]SøF Z8øÀø l úý ô ø ù ]L³ûFZ\ú ô ] ù [¼ø ô ú ô ü ù [^] ž] ô  k ô-ô ˆZ noù+k jNù+n !

h

J ï ô [^ü ô ¸L ø ô ð Z k ÷ ú3 ð ÷ ^ [ ÷ ü ô k k ú¢ø +ù k ] ô k)ù+j ø l ýÀZ nol øKü ù [^] l ø loù [^ú k ô Z\] \Z ú þUù+nonoù ÿú s  ð‘ð  ,+-!  #  /.0!  #  2143 #  n




"  

S

Þq+ =3~q,!o+  kj b   #>" 3X&\4 #>"  kj„# 7 " 3X q \ Y  #7"  kj„# 7 "  Y op qsrutwvyx{zT| op }2~P|€>„ *  D[" 2>" * )

kj n ¿ J S

X

|lp



 ô j^kmù"  # #1  3;  D  ! - zqs

|lp b|{}2q

„1| „qd\

`t,~ „

}2v Kps

{H

p

S

S

{HIX

lq|

`t7H

&v2oq „

!q

!r

qs| 5~ !v ~v v…t



}s1|{v

v



„

T~P|{}2~

`t

S

qpsr oov p q~ „

|lpTop qsrutwvyx{zT| op }2~P|€

`td‡

 1 #; #1'&

P„%

!Hˆ|lpg}2v 1| rvyrp

X

T~v p q

~ 5pg} lv p qt

D`  ~q $~q qŠq =|lpsuov ps|1| „q

psr}2~)~ „

  +  "!  _D

-

…v dq „q

(

q }2~qs ‘t„| iq q 1|

p q2}2v `tItwq !| !o~

 D

-#>" !# + _D"! ! %$ 

Y‹A

"! "! ! "

‡

" 

D w#7D

-#>" `t6D ! D ! ! (I( *D " )/T~q#1q

0 (I

 +    >   ¿ J 

kmù ý ô ýýÀZÀq  +  l ú j ú ô-÷ ] ù loj úmü l ø õ Z8ø*" 2>"  n ô ø FL Z\[^] ! û ô ø ô Z\úmú ù ü l Z8ø ô ]bü ù [^ú¢øzZ\[eø’ú  ù+k Z\[ +*'ú ÷ übøFZ8ø ! *-, q/. p ø ô k ô)ô l ú¢ø’ú 10 s‘ú ÷ üøFZ8ø Y H > Y H#>"  * þUù+k ô+ô k  32 -#>"   ˆZ ô ¸úmýÀZ non ô k l þ [ ô ü ô úmú’Z k ²ú ù øFZ8øê Z\[^] + 8Y 054  ù  J 2>" hZ\[^] ! !  J >  J 2>" :û ô noù [  ø ù *"   ô ø38:9%; !  J >  J >"  " ø  ô [ ! " 8:9%; H J   J > H J   J 2>"  

kj b

i

S

kjla YX

h

kj n

f

kh

D[  !

]

" \



!H

 K#‘\ 

=

h

 (I



uD

uD



D

h

" D

#d



#

D

a X

"

#Ž

X



" H



†



i#

(





T#7



Y‹)













dD





  T#

a

"

X

#d

D

" H

5f



 

 





‡

_D

a X

a YX

n

†

‘

D w#7

" D





D

(

dD

Š‰



 (I





(I



"i



%



†



sH

X

Š%

b

‹A

 !f



a X



 

 

" f

"



T#7



f

t i [^]cø ô ü ù [eø l [ ÷ l ø ù\þ Y Z8ø "  l ô n ]^ú 8:9%;  * J Y *q J " Y  l [^ü ô ë* Y ô ô  û loù ÷ ú n +L+ø ô  " " q  ÿ  ø : 8 % 9 ;  J J q ú’Z\ý ô l [ ô-öD÷ Z nol ø  ù+n ]^ú þUù+k 8:9%; ;   ô [Tø ô j ú ô-÷ ] ù loj úmü l ø õ [ ô úmú ù\þ +  l ý j^nol ô ú øFZ8øø  ô k ô‘ ô l ú¢ø’ú Y 7+  "! !  J >  J 2>"  #7"  l ô L "! !  J >  J >"   Y 2>"   Y  ú ÷ ü ²ø FZ8ø ! "! "! !  s Y J  kmù ü ô-ô ] l [ /û  l [^] ÷ ü ø loù [LNÿ ô ú ÷ j^jNù ú ô ø FZ8ø¸ø  ô k ô˜ ô l ú¢ø‘Z\[ l [eø ô  ô k 04qZ\[^] jNù+l [eø’ú Y  ú ÷ ü Àø FZ8ø ! !   ¿ J >   ¿ J 2>"    27"      Z\[^] p ! "! "! !  p ! +*   ¿ Y  q  +   ¿J q q ô[  ' " ¿ J J "  ( Y  +q  p !  '   pq ! +*  ¿ Y ( p !  Y q  p ! */.++q  ï ô [^ü ô  7+   ! !   ¿ J >   ¿ J >"   +#>" hZ\[^]û 0ø  ô ú’Z\ý ô ý ô ø  ù ] Z\ú l [)ø  ô û ô  l [^[ l [  ù\þ ø  ô j^kmù   2>"  Z\[^] ! !   >   >" >û ô noù [ ˜ø ù *"    ô [²ø  ô k ô‘ ô l ú¢ø’ú \

" #

"i

" #

" X



H





" #

"Š

" 

wX



y

[X





(

D

D

[( 



a



a YX

#7

…f…f…f a

"



a T#Ž

"

D

‡

"5

 `#7

" 

X



y

#



"

† f

kh

w#7



"

#0



  YX

"5

‡

( 

"







"





‹AŠŒ

S

  YX

D #ŽD

"

a #‘



 !



!

f

  PXA

‡

"

D w#7D

 



T

S

 n  PX

P…f…f…f 



f



"



#

"





"





‡

(

D

#6



#

a …X8

"

X



#

‡

X

‡



 





‹ŠŒ

y

#7



a YX



l ô L



" 

^

#7





"Š

(

[( 

‡

 

Š‰

J 7+   "! !  D

"! !  D

ú ÷ ü²øFZ8ø  J

^







>





>

a YX

 T#

H#>" 3   ¿ J

\;H



%f

#Ž



a X&



 



   >" %$ 

  2 >" YX   

a T#Ž

!  H > " {\;H

w#7

D





)D

)D

"



X

‡





"

#7



#J

J 2>"  ^



  YX

aX

#7" !

‹AŠŒ

S

 

^

J

 í

î q Y H > 3  ¿ J > Y   ù+k Z non  "& H >>Z\[^] ÿ ô ü Z\[²ü  ù Y T# q \ Y HH#>"  3  ¿ J # >"  Y #    # >"  Y  " f $"&L \Y!HH>  #G> Z k ô ü ù [eø l [ ÷ ù ÷  ú Z8øh" L  ! !  ù+k ô-öD÷ l Z n ô e[ ø n  ! ! 7 +  ! !  l [^ü ô J 7 +  ! ŽL " 

J

^

‡

"i

#7

" D #ŽD



(

_D

!f



"

(





( 

!!

P#J

J

"5



nol ý  ú ÷ j

 '

^

!! J #.

nol ý  ú ÷ j

"5

^

S

a 5X

'



‡

"

D

"

#0D





 [  #7 "

Y

)(

p ! ! !!  p )(  Y q Z\[^])ø ÷ ú  kmù+jNù ú l ø loù [²q   ù+n ]^ú ÿ l ø q 





!

_D

ÿ ô ù ûÁøzZ l [ "



[Z TD



‡

"

‡

i#

!*  ¿ Y q

p ! p !* ‡

‡

¿J 



" 

p ! q p !* ‡

Š#

‡

" D

! !!

" 

#0D

 f

ù ÿ‘L þUkmù ý  mk ù+jNù ú l ø loù [¼q  ÿ ô ] ô kml +ô ø ô þUù+nonoù ÿ l [ƒú¢øzZ\û lonol ø k ô ú ÷ n ø þUù+k ø ô ú ù+n ÷ ø loù [ ù\þ ô-öD÷ Z8ø loù [    

7:9DCrGH9  ?     8$Uê  1  #  3 / 36 1 BA 3; # DC )  ¿ J  6s    

zqs3`m

~q ~q

{HX

S

…v

lv b|

!q

qdq

6p v rP|

rP1|{v Iv

…v

lq 

0|lpop qsrutwvyx{zT| op }2~P|€

„

Ka`m

D

s"  Y | \

 3



!H7|lp,}2v 1| rvyrp,v

W

) = #1  0 s - - 1 #; #1'& 3 3 , 5 76 - 1 8 #1 4 D1 36 1 ,  .; #1(6 36 :  / # #; #1   3~q q,q =|lpsp4

$psr}2~$~ „ …v 0q „q

[ƒ$| Gp v ;q ps

!1|

qs| 5~ !v ~v v…tAv i`m;~q q8|lp

v

[ƒ

" $#J[ƒ "i

`tG}2v

4 " D6#7D„ƒ "

„q

T~q

„|

, 9 76 - 1 8 s   BA #  0  ' & 36  p )  8 U ê*)  1 #1 , 1 #  8  Uê   1 )

.D | gp v ;q

)nv

gp q

‘p v

q „q [ƒ8|lp

qs| 5~ !v ~v v…tv

rq

}2q

rP1|{v 

p v

[Z ,p „1|lp

v

`t

y|

3r !~q

rP1|{v *v

…v D

;v q

D„ƒ



*BH? ô ø ø  ô l [^] ÷ ü ø loù [ú¢ø ô jl úBü ù ý j^n ô ø ô Z\[^]ø ô k ô%ô l ú¢ø’ú>Z:4 Z ÷ ü Àú ô-öD÷^ô [^ü ô  0 ü ù [ +ô k  l [ ¸ø ù ú ù ý ô Z\[^]ú’Z8ø l ú þ  l [ Þq8ê   ˆZ\úmú l [%ø ù ø ô nol ý l ø l [ k ô n Z8ø loù [ Þq8ê ŽLÁÿ ô  ô ø 7 +    H > H >  > q Y H >  > Y   ¿ J   Þq\t  ÿ  l ü  l ú ô-öD÷ l Z n ô [eø³ø ù 2  ¿ J   Þq++î  ø k ô ýÀZ l [^ú%ø ù 3ú  ù ÿæø FZ8ø ÿ  ô [ ô +ô k l ú‘Zú ù+n ÷ ø loù [ ù\þ Uê  þUù+k  ô ø

6s ˜Z\[^]   ¿ J       ô [  +-  -   kmù ý j^kmù+jNù ú l ø loù [©q  Lhø  ô k ôÀ ô l ú¢ø J  +- ¸ú ÷ ü  øFZ8ø J   k ô j ô Z8ø l [ /ø  ô Z k  ÷ ý ô [eø  7Þq p ŽLø  ô k ô

ô l ú¢ø’úcZ/ú ô-öD÷^ô [^ü ô  0¸ü ù [ +ô k  l [ )ø ù Z)ú ù+n ÷ ø loù [ ù\þ Uê ¸Z\[^]@ú’Z8ø l ú þ  l [  Þq8ê  " D

"i

" 

†X

"

#J



" 

†X

#7[ƒ "



=f





" 

" 

^

^

"i

#7

"i

#7

" D

‡

^

(

#ŽD

"

" 



_D

" H

c‡



T#7

"i

#7





a

" 

" 

#J[ƒ " f



[Z

 (A

 (

_D b

{H

 YX]\;H



 (

{HX

" ‘#&[ƒ "

D]?D„ƒ ]h

[ƒ$(

D„ƒI(:Š‰

_D„ƒ ‹* [ƒ

" 

#][ƒ "$

‡

[Z

\

kj#7 YX

S

H



S

X

4 " D#]D„ƒ "

_D

[ƒG(

[ƒ

{HAX

S

_D„ƒ

‹Ž

,

D„ƒ "

kj

_D !f

‘

" D#

kj#7

`m

(

_D

W





&

+ Z\[^] Þq p   ô FZ +ô Z n ú ù 

" 





 

{‡ */.+q+  $

 '

"  `  #J

J

)(

J q q q

)(





ˆZ\úmú

 '

#J[ƒ "

*

i#&‡

l [ø ù ø ô nol ý l ø Z\[^])ú ô ømø l [

i#

" ;#7[ƒ "Š

¿J "

" Dd#7D„ƒ " ‡

‡

4 " D6#ŽD„ƒ " f

B *H? kmù ý ø ô ú ô ü ù [^] Z\úmú ô k ø loù [ ù\þ

Þq W 

" D6#ŽD„ƒ "

* LÁÿ ô ù ûÁøzZ l [



q

;4



Þq\ë 

 ô ù+k ô ý q  ø  ô k ôô l ú¢ø jNù ú l ø l +ô [ ÷ ýû ô k ú.%²Z\[^]I†ú ÷ ü øFZ8ø Uþ ù+k Z non DA(ŽŠ‰ 6s Z\[^]A[ƒ,(7ŠŒ+ `m ³ø ô k ôô l ú¢ø’ú¸Z ú ô-öD÷^ô [^ü ô [Z0³ú’Z8ø l ú þ  l [  p ³ú¢øzZ k ø l [ þUkmù ý [ƒZ\[^]²ü ù [ +ô k  l [À ø ù Zú ù+n ÷ ø loù [g ù\þ Uê  h ô ø)D J D Y ( Š‰6 s  Z\[^]  J ( { HGX S  ¿ J _ D J  ‹]ŠŒ `m  ø ô [ ø ô k ôƒô l ú¢ø’ú²Z ú ô-öD÷^ô [^ü ô  [Z0 ú¢øzZ k ø l [ þUkmù ý  J Z\[^]²ú ÷ üT  øF Z8ø[Z.LF Y ( { HX S  ¿ J _ D Y !  l  ô  L D Y (ˆHH  Y b X S   Y   l [^ü ô  J l úZ²ú ù+n ÷ ø loù [ ù\þ U ê þUù+k DJ D J L!Z\úmú ô k ø loù [ Þ q+ $

 l ô n ]^ú
û ô ü ù ý ô ú

s

H a>3X

(GH

ó l +ô [

>!f S

í s 

L^ÿ ô Z\úmú ù ü l Z8ø ô ø ù  í s ¯ø ô þUù+nonoù ÿ l [ j ô k ø ÷ k û ô ] ô-öD÷ Z8ø loù [

)D$(I

H a>3X

D$(GH

>! S

ÿ  l ü²ü Z\[²û ô k ô ÿ kml ømø ô [ s

(GH

J

>

D`a 3X

S

>!

í 

q ÿ  ôkô J

ô ] ô[ ùøô û   & 3 3 s J  >  > ø ô ú ù+n ÷ ø loù [¸ýÀZ j^j^l [ ù\þ  í x Z\[^]ÿ ô Z\úmú ÷ ý ô ø FZ8øXø ô k ô!ô l ú¢ø’ú 3  3  ù ÿ‘L n ô ø ] ô [ ù ø ô Z\[ ƒúmý ù

m D m a m YX]\

ˆH

YX   a[ƒ 

" D6#

!

"Š

H

t

" $#J[ƒ "



 ô [ þUkmù ý   jNù ø ô ú ô ú lol >Z\[^]  lolol ÿ ô  ô ø



! 

X&†



t    14s†bX

X&† f

 í+í  q  kmù ý l [ -ô öD÷ Z nol ø í+í ŽL H >   ( 6s   l [^ü ô   - ³Z\[^]   ¿ J l ú j ú ô-÷ ] ù loj úmü l ø õ Z8 ø 6s   kmù+jNù ú l ø loù [²q   l ô n ]^ú H>YX   a[ƒ

" D6#&H





 `m

{HX

D6#ŽH

 3XŽ

S

q

"i

X

[ƒ(I

‹A  m !



" ;#7



 (I

(



_D

" 

‡



H>

a[ƒ #

" f

H

_D

"Š

" 

‡

" 

‰ `m

`m

Ka`m

   +0  -  # +0 %$  ÷ ú-Lrø ô k ô‘ô l ú¢ø’ú J 7 +0 >ú ÷ ü²øFZ8ø   H > J t l [^ü ô  ³Z\[^] J J



=f

a[ƒ (I

kh

-



a[ƒ T#&H

#7`m "Š

"Š



" $#J

"

X

‡

!

" g#J[ƒ "

" ;#7`m "

 f

ÿ ô ôø

  14s†bX   X&4s†   X t q q  5 ø ÷ ú. J (&-`m  dh ô ø ÷ úú ÷ j^jNù ú ô øF Z8ø¸ÿ ô FZ +ô j^kmù +ô ]ƒø ôô l ú¢ø ô [^ü ô ù\þ  J L  Y …f…f…f [Z 6Z nonÁù\þ ø ô ý l [-`m 3ˆ ú’Z8ø l ú þ  l [ k ô n Z8ø loù [  p    ô Z k ô  ù+l [%ø ù ú3 ù ÿ øFZ8ø>ÿ ô ü Z\[ [^];[Z2^ J ÿ l øø ô ú’Z\ý ô j^kmù+j ô k ø+  lok ú¢ø L ÷ ú l [   jNù ø ô ú l ú  lol ŽL l ø l ú ô Z\ú/ø ù ú ô-ô øF Z8ø "  m

#J

J

" ;#7



øzZ k ø l [˜ÿ l ø ÿ ô FZ +ô

"i

t    Tq !

‡

14s†X

Te



  

f

g[Z

7 +  H >  - -  ÷ k ø ô k ý ù+k ô LÁøFZ\[ úø ù  lool l ¯Z\[^])ø ô l [^] ÷ ü ø loù [ k ô n Z8ø loù [LYX   a[Z0

#&H

!

‡

"

 t FZ8ø  l +ô ú¯ø ô l [ ô-öD÷ Z nol ø ù\þ ø ô ø ô ù+k ô ý¦Z8ø>ø ô ú¢ø ô j  Z\[^]/Z\úmú ô k ø loù [  í q+ l úú’Z8ø l ú Fô ] þUù+k Z\[    ! .\t  ù ü ù ý j^n ô ø ô ø ô j^kmù™eš— •f‡z”Žº >€K›œ€8“f‡z”¢‰ž‡/–±™D€D’‹› ŒH€ ‹Še‡zŒf”‹‡Ž –oŒf”‰ž‡z (8“ —fŸœ™e‡Ž ‘— ´‡z”Žµº . *0*eºÁ´rµ 8+„ .(80„ *\µ ‚  … µ ½:7µ &>ŒH€8‹¢Še‡z“Áº µ D³µ BŒ+ — –o‡ŽŸœŸœ— ”ŽHº ŠD— ”¢—f’ž‡z”¢› £Ž— ‹› ŒH€D‰%Œf–¯‰žž”‹ŒH€e•”‹‡z•H™DŸœ— ”¢› 6·/–oŒf” “ — ”¢›œ— ‹› ŒH€D—fŸ>›œ€e‡Ž¤\™D—fŸœ› ‹› ‡Ž‰0Œ “f‡z”´^ŒHŸ ·+Še‡Že”¢—fŸ¯’ŒH€8“f‡ K‰ž‡z‹‰zº B\ > ¹ eµŒf´D‹›œ˜º \!º eº ª . *0*H¬¢ºÁ´r)µ .z¥H „ ( .0.z-¥ /\µ ‚ / … µ ½:µ &>ŒH€8‹¢Še‡z“Á"º µ D³µ BŒ+ — –o‡ŽŸœŸœ— ”Ž>º >´´D‹›œ˜5µ . J\º ¯Œeµ . >º .,-¥ ( .Ž-„ ,À9ª J ¥f¥ . ¬¢µ ‚  … µ ½:µ &>ŒH€8‹¢Še‡z“˜—f€D$ µ D³µ BŒ+ — –o‡ŽŸœŸœ— ”Ž%º B‡z•H™DŸœ— ”¢› 6·c—f€D’ŒH€DD› ‹› ŒH€D›œ€e•Œf–‰žŒHŸœ™e‹› ŒH€ ‘— ´D´€D—fŸ¾µ . J09ª J ¥f(¥ \¬¢ºe€eŒeµ .m¡ J\º ,* ( .z-¥ *\µ ‚ ,Ž…0¹²µ >µ\Âe‡z”‹”¢›œ‰h—f€D) eµ BÁµ 1—f€e•e+º 6h€e•H›œ€e‡z‡z”¢›œ€e•—f€D‘‡Ž’ŒH€eŒH‘›œ¯— ´D´ŒH€8‹¢Še‡z“ ‰¯› ž‡z”¢— ‹› “f‡‡z‹ŠeŒ+–oŒf”B‰žŒHŸ “+›œ€e•¸“ — ”¢›œ— ‹› ŒH€D—fŸF›œ€DzŸœ™D‰‹› ŒH€D‰zº+B\‡z”¢D›œz—¸¹À— ‹ŠFµ eµ º J0*\º9ª J ¥f-¥ KH¬¢ºÁ´rµ  / (+/eµ ‚ * … F>µ BÁµx¹Œf”¢D™ +ŠeŒ “+›œ¢ŠF;º ˆŒH´