CALCUL INTÉGRAL
I) Définition Définition 1 Intégrale au sens de Newton Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Soient a et b deux réels dans I. Soit F une primitive de ƒ sur I. On appelle intégrale de a à b de ƒ le nombre réel noté b a
b
Notation pratique : a
b a
ƒ (t ) dt et défini par :
ƒ (t ) dt = F(b) − F(a)
ƒ (t ) dt = [ F (t )] a = F(b) − F(a) b
Exemples :
2 1
1 1 dx = − 2 x x
π 2
−
π
1
−
0
t
e dt = e t
1
lim
x →−∞
x
1 0
x n +1 x dx = 0 n +1
1 1 =− +1= . 2 2 1
2 π cost dt = [ sin t ] π = sin 2
2
2
π π − sin − =2 2 2
x →−∞
x 1
t
e
1 x
1
e 2
=
n
=e−1
e t dt = lim
1
1 dt = tn
0
1 n +1
x
t
−n
1
1 dt = x ln x
t 1− n dt = 1− n
x
1
1 1 = −1 n −1 1− n x
1 e e x dt = [ ln(ln t )] 2 = −ln(ln 2) ln x 2
= lim (e − e x ) = e x →−∞
(Cette limite existant, on la note alors
1
−∞
e t dt )
Commentaires : Le choix de la primitive F n'influe pas le résultat de l'intégrale. En effet, si F et G sont deux primitives d'une même fonction ƒ sur I, alors elles différent d'une constante. Les quantités F(b) − F(a) et G(b) − G(a) sont donc égales. La variable t (ou x) figurant dans l'intégrale est "muette" ; elle peut être notée par toute autre lettre. Le symbole dt (ou dx) ne joue, à notre niveau aucun rôle, son sens sera précisé ultérieurement. Remarque importante : soit I un intervalle [a ; b] et x0 ∈ I. x
Pour tout réel x de I, nous avons : x0
La fonction On a donc
définie sur I par
(x) =
x x0
ƒ (t ) dt = F(x) − F(x0)
ƒ (t ) dt est donc LA primitive de ƒ sur I qui s'annule en x0.
continue sur I (car dérivable sur I puisque
' = ƒ). Une primitive est donc une fonction continue,
dérivable à dérivée continue...
Calcul intégral
Page 1
G. COSTANTINI
x1
Exemple :
dt = [ lnt ]1 = ln x − ln 1 = ln x x
t
1
On retrouve ainsi le fait que la fonction ln est LA primitive de la fonction inverse s'annulant en 1.
II) Propriétés
Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Alors : a a
ƒ ( t ) dt = 0
a
b
b
a
ƒ (t ) dt = −
b
Relation de Chasles : pour tous réels a, b et c de I : a
ƒ ( t ) dt
b a
ƒ ( t ) dt +
c b
ƒ (t ) dt =
c a
dt = [ t ] a = b − a b
ƒ ( t ) dt
Démonstration : F(b) − F(a) + F(c) − F(b) = F(c) − F(a)
b
( ƒ ( t ) + g ( t ) ) dt = a
Linéarité :
b a
ƒ ( t ) dt +
b
g ( t ) dt
b
et
a
a
k ƒ ( t ) dt = k
b a
ƒ (t ) dt (k ∈
)
Démonstration : (F(b) + G(b)) − (F(a) + G(a)) = (F(b) − F(a)) + (G(b) − G(a)) et kF(b) − kF(a) = k(F(b) − F(a)) Positivité : Si ƒ est continue et positive sur [a ; b] avec a
b
b, alors :
a
ƒ ( t ) dt
0
Démonstration : Puisque ƒ est positive sur [a ; b], il en découle que F est croissante sur ce même intervalle, donc F(b) − F(a)
0.
Remarque : si ƒ est positive sur [a ; b] (avec a < b) et ne s'annule qu'en un nombre fini de points, on a alors F strictement croissante donc F(b) − F(a) > 0. Compatibilité avec l'ordre (intégration d'une inégalité) : Si ƒ et g sont continues sur [a ; b] avec a
b
sur [a ; b] alors a
ƒ ( t ) dt
g
g ( t ) dt g sur [a ; b], on a g − ƒ
0 sur [a ; b]. D'après la positivité, il vient
a
b
( g ( t ) − ƒ ( t ) ) dt a
b et si ƒ
b
Démonstration : Puisque ƒ
b
0. Puis, en utilisant la linéarité de l'intégrale, on obtient : a
ƒ ( t ) dt
b
g ( t ) dt .
a
Application : une démonstration de l'inégalité des accroissements finis : Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I. S'il existe un réel M tel que |ƒ '|
M sur I alors :
pour tous réels a et b de I, on a : |ƒ(b) − ƒ(a)|
M|b − a|
Pour a < b, on a :
|ƒ(b) − ƒ(a)| =
b a
b
ƒ ′(t ) dt
a
ƒ′(t ) dt
M(b − a)
M|b − a|
Pour a > b, on a : |ƒ(b) − ƒ(a)| =
a b
ƒ′(t ) dt
a
ƒ′(t ) dt
b
M(a − b)
Inégalité triangulaire : Si ƒ est continue sur [a ; b] avec a
Calcul intégral
Page 2
b
b, alors : a
ƒ (t ) dt
M|b − a|
b
a
ƒ (t ) dt
G. COSTANTINI
Démonstration : on utilise la propriété précédente avec : −|ƒ| (a
b), on obtient : −
b a
ƒ (t ) dt
b
a
ƒ ( t ) dt
b
ƒ
|ƒ| sur [a ; b]. En intégrant entre a et b
b
ƒ (t ) dt d'où :
a
a
ƒ (t ) dt
b
a
ƒ (t ) dt
(Pour une application de cette inégalité triangulaire, voir, par exemple, la démonstration de l'inégalité des accroissements finis dans la leçon sur le calcul différentiel) Exemple d'utilisation de la relation de Chasles : divergence de la série harmonique. On pose, pour tout n ∈
Soit n
un =
:
n
1 k k =1
1 est décroissante sur ]0 ; +∞[, on a, pour tout k t
2. Comme l'application t
k +1 1
t
k
dt
1:
1 k
En sommant, pour k allant de 1 à n, la relation de Chasles donne : n +1 1
t
1
dt
ln(n + 1)
n
1 k k =1 n
1 k k =1
Or, lim ln(n + 1) = +∞, donc la suite (un) diverge. n → +∞
III) Calcul d'aires
Soit ƒ une fonction continue et positive sur un intervalle
1 u.a. = une unité d'aire
[a ; b]. On s'intéresse aux point M(x ; y) dont les coordonnées sont telles que a
x
b et 0
y
y
ƒ(x).
L'ensemble des points M correspond au domaine
Cƒ
du
plan délimité par les deux droites verticales d'équations
1
x = a et x = b, la courbe Cƒ et l'axe des abscisses. Comment calculer l'aire A du domaine
O
a
?
1
x
b
Théorème 1 Soit ƒ une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. L'aire A du domaine défini par :
a
x
se calcule par :
b et 0 b a
y
ƒ(x)
ƒ (t ) dt u.a.
Exemple :
→
→
Dans un repère orthogonal (O, i , j ) (unités graphiques : 3 cm pour l'axe (O, i ) et 2 cm pour l'axe (O, j )), on considère la parabole Cƒ représentant la fonction ƒ définie sur
par ƒ(x) = x2.
Calculer l'aire A en cm2 du domaine suivant : D = {M(x ; y) tels que −1
Calcul intégral
x
2;0
y
ƒ(x)}
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G. COSTANTINI
y 5
D'après le théorème : A=
2 −1
3 2
x 3
x 2 dx =
4
=
−1
8 1 + = 3 u.a. 3 3
3 2
Or, l'aire unité mesure 3 × 2 = 6 cm2.
1
Nous avons donc A = 18 cm2.
→
–
–
–
O
→ 1
3x
2
Démonstration du théorème : Considérons le cas d'une fonction continue, croissante et positive sur un intervalle [a ; b] : Pour tout réel x0 de l'intervalle [a ; b], notons S(x) l'aire limitée par le domaine suivant : {M(x ; y) tels que a
x
y
x0 et 0
y
Cƒ
ƒ(x)} ƒ(x0+h) ƒ(x0)
Pour tout h > 0, étudions la quantité S(x0 + h) − S(x0).
1
C'est une aire encadrée par les aires de deux rectangles : h ƒ(x0)
ƒ(x0)
S(x0 + h) − S(x0) S ( x 0 + h ) − S ( x0 ) h
h ƒ(x0 + h)
O
1
a
x0
x0+h
b
x
ƒ(x0 + h)
Nous avons ainsi un encadrement de l'accroissement moyen de S en x0. Passons à la limite lorsque h tend vers 0 : ƒ(x0)
lim
h→0 h>0
S ( x 0 + h ) − S ( x0 ) h
ƒ(x0)
Si h < 0, on a en fait le même encadrement : En effet : −h ƒ(x0)
S ( x 0) − S ( x 0 + h )
En divisant par −h > 0 : ƒ(x0) D'où :
−h ƒ(x0 + h) (faire une figure pour s'en convaincre)
S ( x 0 + h ) − S ( x0 ) h
ƒ(x0)
lim
h→0 h 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I : (|x − x0|
η
|ƒ(x) − ƒ(x0)|
ε)
Définition : Une application ƒ : I
→
est continue sur I sur elle est continue en tout x0 ∈ I.
Définition : Une application ƒ : I
→
est k-lipschitzienne sur I si : ∃k > 0,∀x, y ∈ I : |ƒ(y) − ƒ(x)|
Propriété : toute application ƒ : I
→
k|y − x|
k-lipschitzienne sur I est continue sur I.
Démonstration : Soit ε > 0. Soit x0 ∈ I. Par hypothèse : ∃k > 0,∀x ∈ I : |ƒ(x) − ƒ(x0)| Choisissons η
0, ∃h ∈
( x + h) − h
tel que x + h ∈ I
*
On en déduira que le taux d'accroissement
( x + h) − h
( x)
( x)
− ƒ( x)
ε
tend vers ƒ(x) lorsque h tend vers 0.
Soit ε > 0. Cas 1 : si h > 0. x+h
Nous avons, pour tout h > 0 tel que x + h ∈ I : x+h
x
En outre, ƒ(x) =
( x)
=
x
1 h
x+h
ƒ ( t ) dt h
ƒ ( x ) dt .
h
( x + h) − h
Donc :
( x + h) − h
( x)
1 h
− ƒ( x) =
x +h
x
( ƒ ( t ) − ƒ ( x ) ) dt
x
ƒ ( t ) − ƒ ( x ) dt
Or, ƒ est continue sur I donc en x : ∃η > 0, ∀t ∈ I : (|t − x| Or, t ∈ [x ; x + h], donc |t − x|
x+h x
ƒ ( t ) − ƒ ( x ) dt
|ƒ(t) − ƒ(x)|
ε)
h.
Donc pour h < η, on a : |ƒ(t) − ƒ(x)| D'où :
η
ε
( x + h) − h
εh et
( x)
− ƒ( x)
ε.
Cas 2 : si h < 0
Nous avons, pour tout h < 0 tel que x + h ∈ I :
En outre, ƒ(x) =
x+h x
( x + h) − h
( x)
=
x+h x
ƒ ( t ) dt h
ƒ ( x ) dt .
h
Donc : ( x + h) − h
( x)
1 h
− ƒ( x) =
x +h
x
( ƒ ( t ) − ƒ ( x ) ) dt =
1 h
x x +h
( ƒ ( t ) − ƒ ( x ) ) dt
1 h
x x+h
ƒ ( t ) − ƒ ( x ) dt
Or, ƒ est continue sur I donc en x : ∃η > 0, ∀t ∈ I : (|t − x| Or, t ∈ [x + h ; x], donc |t − x|
x x+h
ƒ ( t ) − ƒ ( x ) dt
η
|ƒ(t) − ƒ(x)|
ε)
|h|.
Donc pour |h| < η, on a : |ƒ(t) − ƒ(x)| D'où :
ε|h| et
ε ( x + h) − h
( x)
− ƒ( x)
ε.
( x + h) − ( x ) tend vers ƒ(x) lorsque h tend vers 0. h est dérivable en tout x ∈ I et que ' = ƒ sur I.
Bilan : dans tous les cas l'accroissement moyen On en déduit que
En outre, comme ƒ est continue sur I,
l'est également donc
est de classe C1 sur I.
Remarque : si ƒ n'est que continue par morceaux sur [a ; b] alors une primitive dérivable sur [a, b]. (Considérer ƒ définie sur [−1 ; 1] par : ƒ(x) = 1 si x Calcul intégral
Page 13
de ƒ n'est pas nécessairement
0 et ƒ(x) = 0 si x < 0. La fonction G. COSTANTINI
définie sur [−1 ; 1] par
(x) = x si x
avec x0 ∈ [−1 ; 0] mais
n'est pas dérivable en 0)
(x) = 0 si x < 0 est la primitive de ƒ qui s'annule en 0 (ou en x0
0 et
Corollaire Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Soit x0 ∈ I et
l'application définie sur I par :
(x) =
x
ƒ (t ) dt . (L'application
x0
est une primitive de ƒ).
Soit F une primitive quelconque de ƒ. b
Alors : a
ƒ (t ) dt = F(b) − F(a)
Démonstration : On sait que deux primitives diffèrent d'une constante donc : il existe k ∈ On a donc : F(b) − F(a) =
Calcul intégral
(b) −
(a) =
b x0
ƒ ( t ) dt −
a x0
Page 14
ƒ ( t ) dt =
tel que : F = b a
+ k sur I.
ƒ (t ) dt (d'après Chasles)
G. COSTANTINI
Intégrales de Riemann
Soit α un nombre réel quelconque. Soit ε > 0 et A > 1. On considère les intégrales suivantes : Iα(ε) =
1 α dt et Jα(A) = εt
1 dt tα
A
1
1
Le but du problème est de déterminer : • les valeurs de α pour lesquelles Iα admet une limite finie lorsque ε tend vers 0. • les valeurs de α pour lesquelles Jα admet une limite finie lorsque A tend vers +∞.
Étude de Iα
1. Étude du cas α = 1 a) Démontrer que I1(ε) = −ln ε. b) En déduire lim I1(ε). ε→ 0
2. Étude du cas α ≠ 1 1 ε 1− α − . 1− α 1− α = e (1−α ) ln ε , déterminer les valeurs du réel α pour lesquelles ε1− α admet une limite finie
a) Démontrer que Iα(ε) = b) En écrivant ε1− α
lorsque ε tend vers 0. c) Conclure : Iα admet une limite finie lorsque ε tend vers 0 si et seulement si ............................ 1 α dt cette limite et on a donc 0t 1
Remarque : on note dans ce cas
1
1
0t
α
dt =
1 1− α
Étude de Jα
1. Étude du cas α = 1 a) Démontrer que J1(A) = ln A. b) En déduire lim J1(A). A →+∞
2. Étude du cas α ≠ 1 A1− α 1 − . 1− α 1− α = e (1−α ) ln A , déterminer les valeurs du réel α pour lesquelles A1−α admet une limite
a) Démontrer que Jα(A) = b) En écrivant A1−α
finie lorsque A tend vers +∞. c) Conclure : Iα admet une limite finie lorsque A tend vers +∞ si et seulement si ............................ +∞
Remarque : on note dans ce cas 1
1 dt cette limite et on a donc tα
+∞
1 1 dt = tα α −1
1
RÉSUMÉ
1 α dt existe si et seulement si α < 1. (On dit alors que l'intégrale 0t 1
+∞
1
1 dt existe si et seulement si α > 1? (On dit alors que l'intégrale tα
Calcul intégral
Page 15
1 α dt converge) 0t 1
+∞
1
1 dt converge) tα
G. COSTANTINI
Fonction Γ +∞
On considère la fonction Γ définie pour x ∈ ]0 ; +∞[ par : Γ(x) =
+∞
1. Justification de l'écriture
t x −1e − t dt
0
t x −1e − t dt
0 1
a) On considère la fonction Ix définie pour ε > 0 par : Ix(ε) = i) Démontrer que pour tout t ∈ [ε ; 1], on a : 0
t x −1e − t
ε
t x −1e − t dt . 1
t
1− x
.
ii) En déduire (en utilisant les résultats sur les intégrales de Riemann) que Ix admet une limite finie lorsque ε tend vers 0. 1
t x −1e − t dt cette limite.
On note 0
A
b) On considère la fonction Jx définie pour A > 1 par : Jx(A) = i) Démontrer que pour tout t ∈ [1 ; A], on a : 0
t x −1e − t
t x −1e − t dt .
1
1 . t2
ii) En déduire (en utilisant les résultats sur les intégrales de Riemann) que Jx admet une limite finie lorsque A tend vers +∞. +∞
On note
t x −1e − t dt cette limite.
1
2. Propriétés de la fonction Γ a) Calculer Γ(1). b) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x) c) Démontrer, par récurrence, que pour tout n ∈
Calcul intégral
, Γ(n) = (n − 1)!
*
Page 16
G. COSTANTINI
INTÉGRALES DE WALLIS
Il s'agit, pour n ∈
, des intégrales suivantes : π 2
In =
Jn =
(cos t )n dt
0
π 2
Kn =
(sin t )n dt
0
1 −1
1
(1 − t 2 )n dt
Ln =
−1
(t 2 − 1)n dt
Calcul de In par IPP π
π 2 cos t dt = 1. et I1 = 0 2 n+1 0, on a par IPP : (u(t) = (cos t) et v'(t) = cos t)
On a immédiatement : I0 = Pour tout n
π 2
In+2 =
0
(cos t )n +1 cos t dt = (cos t ) n +1 sin t
π 2
0
+ (n + 1)
π 2
(cos t )n (sin t )2 dt
0
In+2 = (n + 1)(In − In+2) In+2 = (Variante : In = On en déduit immédiatement : I2 =
n +1 In n+2
n −1 I n − 2 pour tout n n
2)
1 π 2 2 3 3π I0 = ; I3 = I1 = ; I4 = I2 = 4 2 4 3 3 16
Formule générale : Si n pair (n = 2p)
1 2 p −1 2 p − 3 × × ... × I0 2 2p 2p − 2
I2p =
C2pp π (2 p)!π = 2 2 p +1 ( p!) 2 2 2 p +1
I2p = Si n impair (n = 2p + 1)
2 2p 2p − 2 × × ... × I1 3 2 p +1 2 p −1
I2p+1 =
I2p+1 =
2 2 p ( p!) 2 (2 p + 1)!
Calcul de Jn en se ramenant à In π En posant u = − t, on obtient : 2 π 2
Jn =
0
π (sin( − u ))n (−du ) = π −2 2 0
(sin t )n dt =
π 2
0
(cos u )n du = In
Calcul de Kn en se ramenant à I2n+1
π π ; ]). On a donc : t = sin u. 2 2 π 2 2 n +1 (n!) 2 2 (cos u )2 n cos u du = 2 I2n+1 = π −2 (2n + 1)!
En posant u = Arcsin t. (Bijection de [−1 ; 1] dans [−
Kn =
1
−1
(1 − t 2 )n dt =
Calcul de Ln en se ramenant à Kn
Ln =
Calcul intégral
1
−1
(t 2 − 1)n dt = (−1) Kn = n
Page 17
(−1) n 2 2 n +1 (n!) 2 (2n + 1)!
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Équivalent des intégrales de Wallis lorsque n tend +∞
On raisonne avec la suite (In). On a, pour tout n ∈
et tout t ∈ [0,
En intégrant pour t allant de 0 à
π ]: 2
0
cosn+1 t
π : 2
0
In+1
cosn t
In
En conséquence, la suite (In) est décroissante. On a donc :
0
Et comme In+2 > 0 :
1
In+2
I n +1 In+2
In
Or, on a vu que :
I n+ 2
D'où :
Par encadrement, on en déduit que
1
In+1
In
I n+ 2 n+2 n +1
=
I n +1 In+2
In
(1)
n+2 n +1
I n +1 admet une limite égale à 1 en +∞. In+2
Autrement dit :
In ~ In+1
(2)
+∞
Montrons enfin que la suite (un) définie par un =(n + 1)In In+1 est constante : (1)
un+1 = (n + 2) In+1 In+2 = (n + 1) In In+1 = un. La suite (un) est donc bien constante. Et comme u0 = I0 I1 =
π , on a : ∀n ∈ 2
, un =
π . 2
En multipliant l'équivalent (2) par (n + 1)In : (n + 1) I n2 ~ un ~ +∞
D'où :
+∞
π ~ 2(n + 1) + ∞
In ~
+∞
π 2 π 2n
On retiendra ce résultat très utile : π 2
(cos t ) n dt ~
+∞
0
Calcul intégral
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π 2n
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