Université du 08 Mai 1945 Faculté des mathématiques et de l’informatique et des sciences de la matière Département des Sciences de la matière

Polycopie du cours d’ELECTRICITE destiné aux étudiants de 1ère année du tronc commun de mathématique et d’informatique (MI)

Elaboré par :

Année : 2013-2014

Dr DAOUDI MOURAD IBRAHIM

Université du 08 Mai 1945 Faculté des mathématiques et de l’informatique et des Sciences de la matière Département des Mathématiques et de l’Informatique Tronc commun / Module d’Electricité /2013-2014

Préface Ce polycopie qui traite de l’électricité est destiné aux étudiants de première année du tronc commun du domaine math-informatique. Ce cours prend donc en considération le programme spécifique à ces étudiants. Ce cours traite donc essentiellement de l’électrostatique avec une approche mathématique qui constitue en elle-même une initiation à la modélisation mathématique d’un phénomène physique. Le chapitre I, concerne la loi de Coulomb, le champ électrique et le potentiel électrique appliqués à des charges électriques statiques. Ce chapitre a été structuré de manière à amener les étudiants à s’imprégner doucement de ces notions simples mais qui comporte des applications très compliqués, qui demande la maitrise de l’outil mathématique. C’est dans ce sens qu’un effort a été fourni pour que les notions mathématiques nécessaires soient incluses dans le cours. Des exercices, pour la plupart originaux, ont été introduits pour faire comprendre aux étudiants la notion du compliqué qui se réduit au plus simple. Le simple ici est la loi de coulomb. Les deux derniers chapitres (II et III), qui traitent respectivement du flux du champ électrique et des capacités et l’influence des condensateurs, ont été pensés dans le même ordre d’idée que le chapitre I. Ces deux chapitres n’ont pas été suivis par des exercices pour la simple raison que leurs traitement a été fait par des exemples qui constituent en eux même des applications qui sont largement suffisantes en tenant compte du profil des étudiants. Un quatrième chapitre qui traitera du magnétisme est en préparation. Ce polycopie est clôturé par la proposition des solutions des exercices proposés.

Dr Daoudi Mourad I.

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Introduction : 1- Qu’est-ce qu’un électron ? L’électron est une particule qui intervient dans les phénomènes électriques. Il a été mis en évidence expérimentalement par J.J. Thomson en 1897. L’électron possède une charge électrique négative : –e. La masse me de l’électron au repos est très faible de l’ordre de 10-30 kg. Dans un métal comme le cuivre, à température ordinaire, un centimètre cube contient 1023 électrons environ. Dans un matériau, les électrons peuvent se balader et de ce fait de fréquents chocs sont observables. La durée entre deux chocs successifs est de l’ordre de 10-14s.

2- Qu’est-ce qu’un atome ? L’air que nous respirons est formé de molécules (78% d’azote et 21% d’oxygène). Ces molécules sont constituées d’atomes, formés eux-mêmes d’électrons et de noyaux. Les noyaux se composent de deux sortes de particules fortement liées entre elles : -

Les protons ayant une charge électrique positive ;

-

Les neutrons, qui, comme leur nom l’indique, sont électriquement neutres.

Il est commode d’imaginer un atome constitué d’électrons ‘’ tournant’’ autour d’un noyau. En fait, l’atome obéit aux lois physiques de la mécanique quantique. Ces lois indiquent que, dans un atome, la notion classique de trajectoire d’un électron n’a pas de sens….. A l’échelle atomique, l’unité de longueur est 10-10m. Le diamètre moyen du noyau est 10-15m.

≡

+

Figure 1 : Atome = Noyau (Protons + Neutrons) + Electrons (gravitants tout autour).

L’atome isolé est électriquement neutre (fig. 1) : la charge positive du noyau est strictement de valeur opposée à celle de l’ensemble des électrons. Dr Daoudi Mourad I.

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Un atome, auquel nous avons enlevé un ou plusieurs électrons devient un ion chargé positivement. Un noyau est donc un atome qui a perdu tout son cortège électronique. La masse de l’électron est environ 1836 fois plus faible que celle du proton ou du neutron constituant le noyau. On peut donc considérer que pratiquement toute la masse d’un atome est concentrée dans le noyau.

Un ensemble d’atomes peut mettre en commun des électrons pour constituer un solide. Les électrons mis en commun, sont souvent au nombre de deux, constituent la liaison (liaison covalente, liaison métallique et liaison ionique). C’est le cas dans certains métaux.

3- Qu’est-ce qu’un métal ? Le fer, le cuivre, l’aluminium sont des métaux très utilisés pour leurs propriétés mécaniques, thermiques et électriques.

D’un point de vue microscopique, un morceau de cuivre comporte deux types de particules : -

Des ions positifs fixes régulièrement répartis ;

-

Des électrons libres de se mouvoir dans le métal. Ces électrons ont un mouvement désordonné dû aux chocs avec les ions et les autres électrons.

4- Qu’est-ce l’électricité ? Ces particules chargées (négativement ou positivement) constituent donc ce qu’on appelle l’ELECTRICITE. Cette électricité est obtenue généralement par le domptage de ces particules en les regroupant et en les isolant et (ou) en les dotant d’une vitesse de mouvement.

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Chapitre 1 ELECTROSTATIQUE

I. La force électrique : Loi de COULOMB (Charles Augustin Coulomb, né à Angoulême le 14 Juin 1736) I.1- Loi de Coulomb. Soient dans le vide, deux charges ponctuelles fixes q1 et q2. La force  (en Newton) qui



q1



q2

r

s’exerce sur une charge q1 par suite de la présence d’une autre charge q2 placées à la distance r est proportionnelle au produit q1.q2 et inversement proportionnelle au carré de cette distance r (fig. 2).

•

Figure 2 : Forces de Coulomb entre deux charges ponctuelles.

 =

 

 4  

q1 q2 Sont les valeurs des charges ; elles s’expriment en Coulomb (Symbole C). Ces valeurs de charges peuvent être négatives ou positives. La charge électrique est une constante discontinue (discrète). Elle ne peut être égale qu’aux multiples de la charge d’un électron. q = n.e, n nombre entier. (Contrairement à la masse, la force, …. Qui sont des valeurs continues.

•

r est la distance en mètre.

•

ε0 est la permittivité du vide ; elle caractérise le fait que les charges sont dans le vide. Dans

le système d’unité international :  = .  . .  

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‖ ‖ = 



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N.B. : Pour mesurer la force d’interaction mutuelle entre deux charges q1 et q2, Coulomb a utilisé une ‘’balance’’. Une copie d’époque de cette balance se trouve au Musée du Conservatoire National des Arts et Métiers à Paris.

Analogie avec la Loi universelle de gravitation de Newton : Deux corps isolés de masses respectives m et M séparés par une distance d sont sujets à des forces d’interactions mutuelles de mêmes modules et de sens opposées. !" = # Où G est la constante de gravitation universelle. I.2- Réaction de la charge qui ‘’subit’’. Jusqu’à maintenant, nous avons considéré que c’est la charge q2 qui ‘’agit’’ sur la charge q1 en lui faisant

‘’ subir’’ une force  (fig. 3 ). En fait, la charge q1 ‘’réagit’’ également sur q2 avec une force de Coulomb

′. 



q1

 r

 ′

q2

Figure 3 : Effet de la charge q2 qui subit une force de la charge q1

EX : Deux électrons se repoussent mutuellement. Les forces de coulomb  et ′, qui s’appliquent sur chacune des charges sont indissociables : ce sont des forces d’interaction mutuelle.   =   =  −′   

EX : force de Coulomb entre un électron et un proton. Nous nous plaçons dans le cadre du modèle de Bohr, qui décrit le comportement d’un électron dans l’atome d’hydrogène. Le noyau constitué d’un proton de charge +e = 1,6 . 10-19C est supposé fixe et ponctuel. L’électron de charge –e = - 1,6 . 10-19C est animé d’un mouvement circulaire uniforme. Le rayon de cette trajectoire est r = 0,53 . 10-10m. I.3- Conclusions sur la force de Coulomb:

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 =

% %    

 est dite force répulsive. • Si q1 et q2 sont de mêmes signes la force  • Si q1 et q2 sont de signes contraires la force  est dite force attractive. Le modèle classique de Bohr considère que l’atome d’hydrogène est constitué d’un proton fixe

r

Proton (+e)

Electron (-e)

 -

(charge

+e)

et

d’un

électron

(charge

–e)

‘’tournant’’ autour du proton à une distance r fixe. La trajectoire circulaire est dans un plan. Le mouvement circulaire étant uniforme, le module de  (*) *) est constant (fig. 4). la vitesse )

Figure 4 : Atome d’hydrogène. La masse de l’électron au repos est m = 9.1 . 10-31 kg, lors de son mouvement circulaire uniforme, l’électron subit une force centrifuge  &'( .

  &'(. = +

,   

Dans le modèle de Bohr, l’électron est en équilibre grâce à deux forces dont la 

résultante est nulle : la force centrifuge  &'(

et la force Coulomb  (fig. 5).

Bien que l’électron soit en mouvement, la loi de Coulomb s’applique….Niels Bohr

r

 Electron (-e)

./01

Proton (+e)

(1885-1962) a suggéré que l’électron subissait : Figure 5 : Forces appliquées sur l’électron de l’atome d’hydrogène.

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La force centrifuge  &'( :

-

  &'(. = +

,   

 = −

La force attractive de Coulomb 

-

De l’équilibre ‘’dynamique entre ces deux forces de sens opposé     &'(. +  = 

  donc, * &'(. * = **

    

* et le rayon de la trajectoire de l’électron : On en déduit une relation entre le module de la vitesse *) +,  =   

Avec les données numériques précédentes, on peut calculer la vitesse de l’électron: V = 2,2 . 106m.s-1

En conclusion de cet exemple important, on peut remarquer que les lois de l’électrostatique ne s’appliquent pas uniquement aux charges immobiles…bien au contraire. I.4- Force de coulomb entre plus de deux charges : principes de superposition.

En structure de la matière, on montre que dans un cristal ionique comme le chlorure de sodium (NaCl), les forces électrostatiques jouent un très grand rôle. La distance entre un ion positif Na+ (ponctuel) et un ion négatif Cl- (ponctuel) est de : a = 2,81 .10-10 m. Imaginons un électron (charge –e) se trouvant sur la médiatrice MH de la droite joignant ces deux ions Na+ (charge +e) st Cl- (charge –e) (fig. 6).  



-e

 



-e

 

M

M

r  

r

H

d

H

-e M  

H

+

Na

Cla/2

 

a/2

Na+

Cl-

Figure 6 : Forces appliquées sur un électron se trouvant sur la médiatrice de la droite joignant les ions Na+et Cl- du chlorure de sodium. Dr Daoudi Mourad I.

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 des forces électrostatiques s’exerçant sur La résultante  l’électron sera :

 =   +   =

  −  ) (    

 est portée par la normale à la médiatrice.  est dirigée comme l’indique la figure.

 a pour module : 

  * = |&>?@| * =    

α d

A 

A  BCD + E F

α

G 

a Figure 7 : Force résultante

EX : lorsque d = 0 (l’électron se trouve entre les deux cristaux Na+ et Cl-), on a r = a/2 (fig. ). L’électron subit une force électrostatique dont le module est : 2I  . 4   ** = = 6,6 . 108N O 4   On peut généraliser ceci au cas d’un nombre quelconque N de charges ponctuelles q1, q2, q3, …, qN. La  force de Coulomb  3 qui s’applique sur la charge qN est :

 II . Le champ électrique 4

 3 =

38 %  %3 6 7 5   69 6

Toute distribution de charges électriques dans le vide ‘’modifie’’ les propriétés de l’espace qui l’entoure. Cette modification se traduit par l’existence d’un VECTEUR CHAMP ELECTRIQUE 4 en tout point M de l’espace.

II.1. Cas d’une charge ponctuelle.  créé en un point M situé à une distance r d’une charge ponctuelle q dans Le vecteur champ électrique 4 le vide est : • • • • •

q est la charge électrique en Coulomb. r est la distance OM = r en mètre.  est la permittivité du vide. 4 s’exprime en Volt par mètre : V/m. ‖ =  dirigé de la charge q Le vecteur unitaire ‖ (placée en O) vers le point M où l’on évalue le champ.

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: =



 4  

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 :

+e

Figure 8 : Champ électrique produit par une charge (+ e) à une distance r.

r

 :

-e

Champ électrique  4 produit à une distance r d’une charge positive (+ e) (fig. 8).



 produit à une Champ électrique 4 distance r par un électron (- e) (fig.9).

r Figure 9 : Champ électrique produit par un électron -e à une distance r. Il est important de noter la symétrie sphérique du champ électrique produit par une charge ponctuelle ;  à symétrie sphérique qui ne varie Une charge ponctuelle q créé, dans l’espace, un champ électrique 4

Champ électrique

qu’en fonction de la distance r (fig. 10 et 11).

Figure 10 : Variation du champ électrique en fonction de la distance r. 0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

r en m

II.2 Lignes de champ :

Les lignes qui sontdules courbes Figure 10de : champ, Variation champ tangentes en chaque point au champ 4 , sont ici des droites passant par la de charge ponctuelle électrique en fonction la distance r. Q placée en M. Sur la figure 11 est représenté en rouge des droites qui passent par le centre de la charge se sont les lignes de champ d’une charge Q. Pour une charge positive (Q > 0) le vecteur champ part de la charge. Ces lignes sont orientées centrifuges ou centripètes suivant que Q est respectivement positif ou négatif. Son intensité diminue lorsque r augmente. Les cercles concentriques à la charge montrés sur la figure indiquent les points où l’intensité du champ est constante, on les appelles cercles equi-champ.

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Figure 11 : Ligne d’un champ électrique créée par une charge électrique Q

Q

Conclusion: Lorsqu’une charge ponctuelle est placée en un point M, les lignes de champ sont les droites passant par M: • elles partent de M si la charge est positive (Q > 0); • elles se dirigent vers M si la charge est négative (Q < 0 ).

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 sur une charge q.  et la force de Coulomb  II.3. Relation entre le champ 4 On peut reprendre le cas des deux charges ponctuelles q1 et q2 évoqué en I.1. On considère maintenant  = %    que la charge q1 crée en M, où se trouve q2, un champ 4 : 4   

D’où la force de Coulomb  sur q2 %  = %   = % 4    

Dans le cas de (N-1) charges ponctuelles q1, q2,…., qN-1 dans le vide, grâce au principe de superposition,

on en déduit que le champ électrique

4 ;38

38

 %6 = 5   7  6 69

Si on place en M une charge qN , elle subira une force de Coulomb  3 , telle que :

 ;38 3 = %3 4

 peut aussi être exprimé par N.B. : De cette dernière relation, on peut voir que le champ électrique 4 Newwton/Coulomb (N/C) comme unité. Définition du champ électrique : , qui se manifeste par une Toute charge électrique Q créée autours d’elles même champ électrique 4 force  qui agit sur toute autre charge q placée au voisinage de la première. III.

La variation d’énergie potentielle d’une charge ponctuelle

Force de Coulomb

Electron (-e)

Considérons maintenant des charges mobiles. Si deux charges de signe opposé ((- e) et (+ e), par exemple) sont libres de se mouvoir, la force attractive de Coulomb les fera se rencontrer (fig. 12). Dans le vide, la force attractive de Coulomb peut

Proton (+e)

conduire à la collision entre un électron et un proton.

Figure 12 : rencontre de deux charges mobiles de signes opposées, sous l’effet de la force d’attraction.

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 ./01

-e

Force de Coulomb

+e

Dans le modèle atomique de Bohr, c’est la force centrifuge due au mouvement circulaire de l’électron autour du proton qui ″équilibre″ la force de Coulomb (fig. 13). Mais n’oublions pas qu’il a fallu amener cet électron sur cette trajectoire circulaire et c’est là qu’intervient l’énergie potentielle.

Figure 13 : Equilibre de la force de Coulomb par la force centrifuge dans le modèle atomique de Bohr.

Force d’équilibre

-e  #U



 +e Figure 14 : Force qui équilibre la force de Coulomb.

 /V

Considérons maintenant qu’une des charges est fixe (+e, par exemple). Pour maintenir l’autre charge, un électron de charge (– e), par exemple, à une distance fixe de la charge (+ e), il faut qu’il soit ″ maintenu ″ par quelque chose….disons une ″main mystérieuse″ qui applique à l’électron une  de % qui équilibre la force  force  Coulomb (fig. 14).   % = −

Si la ″main mystérieuse″ veut déplacer de  EQ  (vecteur déplacement infinitésimal, REQR en mètre) l’électron, il devra effectuer un travail dw donné par le produit scalaire : ES =  % ∙  EQ

Par définition, dw représente la variation d’énergie potentielle électrostatique de l’électron entre les deux positions infiniment rapprochées. Cette variation d’énergie potentielle s’exprime en joule et a pour expression :  ∙  ES = − EQ

avec ;  force de Coulomb et  EQ déplacement élémentaire.

Dans le cas de plusieurs charges ponctuelles immobiles q1, q2, …qN, d’après le principe de superposition, la variation d’énergie potentielle d’une charge qN, lors d’un déplacement, sera la somme algébrique des variations d’énergie potentielle calculées par rapport à chacune des charges q1, q2, …qN-1. Il est très important de remarquer que la variation d’énergie potentielle électrostatique d’une charge entre deux positions ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement, du point de départ et de celui d’arrivé. En électricité, on parle souvent de ″différence de potentiel″, nous allons voir que cette notion est directement liée à celle de variation d’énergie potentielle. Dr Daoudi Mourad I.

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IV.

La variation de potentiel entre deux points de l’espace où règne un champ

Nous avons pris conscience qu’une charge (+ e), immobile dans le vide, crée en un point M de l’espace,  (en Volt.m-1). un champ électrique statique 4 Le champ électrique 4 créé en un point M, situé à une distance r d’un électron 8  dans le vide (fig. 15), est : 4 =  



M1 +

 

Si à présent le champs électrique 4 se met en mouvement, que représente la , 4  ∙  circulation du vecteur champ 4 EQ ?

M

ur dl

+ :

 -e



ur dl



+

M2

Figure 15 : Potentiel crée entre deux points de l’espace où règne un champ.

, lors d’un déplacement infiniment petit  EQ de son point La circulation du vecteur champ électrique 4    d’application, est donnée par le produit scalaire : 4 ∙ EQ  ∙  Par définition la variation de potentiel dV au cours de ce déplacement est : E) = −4 EQ La variation de potentiel est donc, au signe prés, égale à la circulation du vecteur champ électrique. Dans le cas d’un déplacement fini du point M1 (distance r1) au point M2 (distance r2), la variation de potentiel est donnée par : )(' W ) − )(' W ) = X

9

Cette variation de potentiel s’exprime en Volt.

V.

9

4  ∙  EQ

Représentation des potentiels et des énergies potentielles des charges ponctuelles.

V.I. Origine du potentiel et de l’énergie potentielle. Dans toute cette partie nous travaillons sur une charge négative (– q) placée dans le vide. 4 

-q

 produit à une distance r d’une charge Champ 4 ponctuelle (– q) placée dans le vide (fig. 16).

r Figure 16 : Champ électrique produit à une distance r d’une charge ponctuelle q) placée dans Le potentiel à une distance r d’une charge ponctuelle fixe (– négative (– q) danslelevide. vide se calcule à partir  = −|4| ∙ |E|&>? = |4| ∙ |E|  ∙ E E) = −4 La relation ci-dessus montre que le potentiel augmente quand on s’éloigne de la charge négative. de :

Dr Daoudi Mourad I.

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D’après tout ce qui précède, on semble ″condamné″ à ne pouvoir calculer que des variations ∆) = ) − ) de potentiel entre deux points. Que se passe-t-il si on veut connaître le potentiel V(r) à la distance r de la charge (– q) ?

, on peut écrire mathématiquement :  ∙ E En intégrant la relation E) = −4 % )() = − + &>'?(A'(  

Cette expression n’est pas satisfaisante du tout d’un point de vue physique car, ayant travaillé en intégrale indéterminée, on voit apparaître une constante arbitraire ! A partir de là, utilisons notre ″ bon sens ″ pour tenter astucieusement de se débarrasser de cette constante : • la variation de potentiel est inversement proportionnelle à la distance r ; ) , qui est finalement à l’origine de la notion de potentiel (E) = −4  ∙ E • le champ électrique 4  varie en  .  sera très faible ; ce qui suggère le choix du Ainsi, à très grande distance r de la charge, le champ 4 potentiel tendant vers zéro quand r tend vers l’infini. (Attention : si la distribution de charge s’étend jusqu’à des distance infinies, ce choix n’est plus possible !). Ce choix de ″ bon sens ″ étant fait, la constante mathématique, qui apparaissait dans l’expression du potentiel, devient nulle. Ainsi, le potentiel V(r) à une distance r d’une charge négative (– q) est (fig. 17) : % )() = −  avec : )( → +∞) → .  Distance [m]

0

2

4

6

8

10

0

Figure 17: Evolution du potentiel V(r) produit par une charge ponctuelle négative (– q) placée en 0.

Potentiel [V]

-4

-8

V.2. Energie potentielle d’une charge ponctuelle (+ q′′) placée dans le champ d’une autre charge (– q) Le potentiel étant choisi nul à l’infini, le potentiel V(r), en volt, d’une charge négative (– q) est de la forme : )() = −  %



Maintenant, nous considérons une autre charge positive (+ q′′), par exemple, dont la distance r, par rapport à la première charge négative (– q), peut varier. L’énergie potentielle U(r), en Joule, de cette charge (+ q), placée dans le champ créé par la charge négative (– q) sera de la forme : Dr Daoudi Mourad I.

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\() = %] )() = − 

%%]



Dans ce cas, l’énergie potentielle est choisie nulle à l’infini (\( → +∞) → . On aura donc de nouveau une variation hyperbolique en 1/r. On peut remarquer que U(r) est une énergie mutuelle qui vient du rapprochement de deux charges et disparaît quand on les éloigne. L’énergie potentielle U(r) est l’énergie qu’il a fallu fournir pour amener l’une des charges (l’autre étant fixe) de l’infini à sa position r.

V.3. Relation entre le potentiel et le champ électrique : Le gradient

() De façon générale, à partir d'un champ scalaire V(r), il est possible de construire un champ vectoriel 4 dont les composantes en coordonnées cartésiennes sont données par les relations:

4^ = −

_) _^

,

4` = −

_) _`

,

4a = −

_) _a

V  = − cdef Un vecteur défini ainsi est appelé (au signe près) un gradient: b

VI. Distribution des charges, du champ et du potentiel dans le cas d’un conducteur à l’équilibre électrostatique Dans un conducteur neutre à l’équilibre électrostatique, la vitesse moyenne des électrons est nulle. On en déduit qu’ils (les électrons) ne subissent aucune force et que le conducteur n’est le siège d’aucun champ électrique. Que se passe-t-il si on apporte des charges électriques à un conducteur à l’équilibre ?

-e

-e

Il s’agit d’un exemple tout à fait théorique d’un conducteur chargé, qui aurait deux électrons en trop (charge globale -2e) (fig. 18). On peut facilement imaginer que les électrons vont se placer sur la surface latérale du cylindre pour être le plus loin possible l’un de l’autre.

Figure 18 : conducteur chargé, qui aurait deux électrons en trop (charge globale -2e) On peut aussi ‘’enlever’’ des électrons à un conducteur qui, à l’équilibre électrostatique, sera chargé positivement. Le résultat de cette expérience imaginaire, avec deux électrons, est généralisable : la charge d’un conducteur à l’équilibre électrostatique est répartie sur sa surface externe. Il n’y a donc pas de densité volumique de charge dans un conducteur à l’équilibre électrostatique. Jusqu'ici, nous avons admis que les charges étaient ponctuelles, c'est-à-dire localisées en des points de dimension "infiniment petite".

Dr Daoudi Mourad I.

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Cela est correct lorsque l'on considère la charge de particules élémentaires telles que l'électron ou le proton. Cela reste raisonnable lorsque les objets chargés sont de dimension petite comparée à la distance qui les sépare de l'observateur. L'approximation devient médiocre lorsqu’au moins une des dimensions de l'objet portant la charge électrique devient significative devant la distance objet-observateur. Elle devient totalement irréaliste lorsque cette dimension est plus grande que la distance objetobservateur. Nous allons examiner les effets d'extension spatiale de l'objet portant la charge électrique en procédant en trois étapes: 1) La taille de l'objet est importante dans une seule des dimensions et reste faible dans les deux autres dimensions. L'objet est typiquement un fil, linéaire ou curviligne. Les charges sont distribuées suivant une ligne. 2) L'objet est étendu suivant deux directions. C'est une feuille plane ou "ondulée". Les charges sont distribuées sur une surface. 3) L'objet est étendu dans les trois directions. C'est un volume au sein duquel les charges sont continûment réparties.

VI.1. Répartition des charges sur un objet filiforme

VI.1.1. Densité de charge linéique:

Q P’

A P

B (L) l+dl

Considérons un fil AB, rectiligne ou curviligne, de longueur L portant une charge électrique Q uniformément répartie (fig.19).

l Figure 19 : Fil de longueur L portant une charge électrique Q uniformément répartie. On appelle densité de charge linéique ou charge par unité de longueur la quantité λ = Q / L Ex : Un fil de 5m chargé uniformément d'une charge de 10-3C, aura une distribution de charge linéique de 2. 10-4C/m.

Dans le cas général, la charge n'est pas uniformément répartie et la densité de charge linéique varie de point en point. Sur un tel fil, un point P est repéré par sa coordonnée curviligne l. Soit un point P', voisin de P, de coordonnée curviligne l+dl. L'élément de fil PP' de longueur dl porte un élément de charge dq. On appelle densité de charge linéique en l la limite lorsque P' se rapproche de P de la grandeur de dq/dl.

Dr Daoudi Mourad I.

E% h(Q) = ijk l m EQ→ EQ

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La densité de charge linéique s'exprime en Coulombs par mètre. Il est bien clair que dans l'expression cidessus, dq et dl tendent vers 0 simultanément mais que le rapport des deux tend vers une limite finie.

λ(l) Pour déterminer la charge totale connaissant λ(l), découpons le fil en éléments de longueurs ∆li situés entre les cotes (li) et (li+1) (fig.20). Affectons une densité de charge uniforme λ(li) à l'élément de fil compris entre (li) et (li+1). L'élément de charge ∆qi portée par l'élément de longueur ∆li = (li+1- li) est égal au produit λ(li).∆ ∆li c'est-à-dire à l'aire du rectangle grisé sombre. La charge totale portée par le fil est alors égale à la somme des aires de tous les rectangles.

λ(li)

lA

li li+1

lB

l

n = 5 ∆%6 = 5 h(Q6 )rQ6

Figure 20: Charge totale Q d’un fil ayant une densité de charge λ(l),

6

6

Cette valeur n'est qu'approximative puisqu' on a affecté la même densité de charge entre li et li+1. Elle devient plus proche de la réalité si on affine le pas de la découpe. Elle tend vers l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe λ(l) et les deux droites verticales élevées en A et B Comme vous l'avez vu, cette aire est égale à l'intégrale de λ(l) entre lA et lB, abscisses curvilignes des points A et B. Qo

n = X h(Q)EQ = X Qp

o

h(Q)EQ

p (q)

La deuxième notation signifie intégrale curviligne effectuée en suivant la ligne (L).

VI.1.2. Calcul du potentiel électrique créé par un fil chargé VI.1.2.1. Approximation par discrétisation

Considérons un fil curviligne AB (fig.21a). Ce fil est chargé avec une densité linéique λ(l). Notre objectif est de calculer le potentiel créé par les charges portées par ce fil en un point quelconque M de l'espace. Pour cela, divisons le fil AB en segments AA1, A1A2, …, Ai-1Ai, etc. assez petits pour que l'on puisse considérer: a) que tous les points appartenant au même segment élémentaire Ai-1Ai sont à la même distance ri de M. b) que la densité de charge linéiqueλ λi dans l'intervalle Ai-1Ai est uniforme. Dans ces conditions, la charge portée par le segment AA1 est λ1∆l1. La charge portée par le segment Ai1Ai est λi ∆li. Dr Daoudi Mourad I.

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B

A7



a)

A6

b)

r7

A5 A4 A3

M

r2

A2

4 1

A1

2

3

5 6

7

8

r1 A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 B

A

Figure 21 : Calcul du potentiel électrique d’un fil chargé avec une densité linéique λ(l). L'élément de potentiel créé par le segment ∆l1 = AA1 est: r) =

 h rQ  

 h6 rQ6  6 Traçons un diagramme faisant figurer en abscisse les distances ∆li, et en ordonnée les grandeurs Le potentiel créé par le segment ∆li = Ai-1 Ai est:

r)6 =

etc. (fig.21b). Le potentiel ∆Vi peut être considéré comme l'aire du rectangle i, de largeur ∆li et de hauteur s

 h6 rQ6  6





h6

 6 h6

 6

,

.

En vertu du principe de superposition, le potentiel total est la somme des aires de tous les rectangles soit: )=5

VI.1.2.2. Limite continue

69

Le calcul ci-dessus ne constitue qu'une première approximation. Pour effectuer un calcul plus précis, il nous faut de nouveau affiner le maillage et faire tendre la courbe en escalier vers une courbe continue.  Le potentiel total est l'aire sous la courbe représentant  λ /r en fonction de l (fig.22). 

CG D h/

B

dl



Figure 21 : Calcul du potentiel en effectuant l’approximation par le calcul de la limite continue.

r P

M

A Soit : )W = tp

o

 h(Q)EQ (q)  (Q)

Dr Daoudi Mourad I.

l A

B

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L'intégration est alors plus ou moins facile à effectuer selon la forme de λ(l) et de r(l). On peut donc dire que l'élément de potentiel dV créé en M par la charge électrique dq=λ(l) dl localisée au voisinage du point P entre les abscisses curvilignes l et l+dl et située à la distance r(l) s'écrit (fig.21):  h(Q)EQ E) =  (Q) et que le potentiel total est la somme (au sens de l'intégrale) des éléments dV. C'est un type de calcul infinitésimal que nous serons très souvent amenés à répéter en physique. VI.1.2.3. Exemple de calcul de potentiel Examinons le fil rectiligne de longueur L = 2a, uniformément chargé, centré en 0 et dirigé le long de l'axe 0y (fig.23). Calculons le potentiel en un point M situé sur l'axe 0x à la distance x du fil. Les coordonnées de P sont (0,y,0) et celles de M sont (x,0,0). Considérons un élément de longueur dy compris entre y et y+dy. La charge portée par cet élément est égale à λdy. La distance entre cet élément de longueur et le point M est égale à (x2 + y2) 1/2. La contribution dV de cet élément dy au potentiel en M est donc: E) =

A

hE`   v^ + ` A

A  hE` h E` h )(^, ) = X = X = wq' C` + v^ + ` Dx  v^ + `  v^ + `  8A 8A 8A

)(^) =

h A + √A + ^ q'  −A + √A + ^

a Y+dy y

P r M

O

Figure 23 : Calculm du potentiel en un point situé sur un axe perpendiculaire au fil conducteur.

x

-a

VI.1.2.4. Examen du comportement asymptotique Il est toujours heureux, après un tel calcul, d'examiner si le comportement à grande distance, ou à petite distance, ou encore en des points particuliers de haute symétrie, sont physiquement raisonnables. Ainsi, dans l'exemple précédent, on s'attend à ce que l'expérimentateur placé à grande distance du fil (comparé à sa longueur 2a) ne se rende plus tout à fait compte de son extension spatiale et le voie comme une charge ponctuelle Q = 2aλ λ dont il serait à la distance de x. Ainsi on attend à grande distance un comportement du potentiel de la forme: Dr Daoudi Mourad I.

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Ah  ^ On retrouve effectivement ce comportement en écrivant: )(^, ) ≈

q'

A + √A + ^

−A + √A + ^

= q' | +



^

 − q' | −



^



} +  } +  { { A ~ A ~ En tenant compte du développement limité (pour ε petit) du logarithme au voisinage de l'unité: q'( + ) ≈   Où ici :  =  }€^ A

et en tenant compte du fait que (x2/a2) >>1 On obtient pour x>>a : )(^, ) ≈

h

A

 ^

≈

n

 ^

Il est clair que nous avons négligé a devant x aux moments "opportuns". Vous allez sans doute vous demander ce que sont ces moments opportuns. Pour les déceler, il y a deux conditions: 1) Il faut connaître les développements limités les plus courants, 2) Il faut pratiquer et faire un certain nombre de telles approximations. VI.1.3. Champ électrique créé par un fil VI.1.3.1. Champ électrique, dérivée du potentiel Le calcul du champ électrique en un point r à partir du potentiel électrique nécessite en principe la connaissance du potentiel au voisinage de ce point et cela dans toutes les directions (suivant x, y et z). On V utilise alors la relation:  b = − cdef Toutefois, par des arguments de symétrie, la détermination du champ électrique en des points, le long de lignes ou sur des plans particuliers peut ne nécessiter qu'une connaissance partielle du potentiel. C'est le cas dans l'exemple du fil uniformément chargé, si l'on veut déterminer le champ électrique en des points situés sur l'axe 0x ou plus généralement dans le plan x0z. Par symétrie, il est clair qu'en tout point M du plan bissecteur du fil, le champ électrique est dirigé dans la direction 0M. Cela signifie que si M est sur l'axe 0x, le champ électrique n'a de composante ni suivant y _) ni suivant z. La seule composante du champ est donc: 4^ = − _^ qui ne requiert que la connaissance de la variation de V en fonction de la variable x. Ex : Montrer que la composante Ex du champ électrique en un point de l'axe ox s'écrit: ƒ 2„ : (0, ‚) = 4  ‚√„ + ‚  Discuter son comportement à grande distance

VI.1.3.2. Formule générale du champ électrique créé par un fil Reprenons la découpe du fil curviligne et déterminons le champ électrique ∆Ei créé par chaque élément de longueur ∆li compris entre Ai-1 et Ai et placé à la distance ri du point M (fig.23).

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B

A7

 ∆4

A6

r7

A5

 ∆4

M

A4 A3 A2 A1

r2 r1

 ∆4…

Chaque élément de fil Ai-1Ai crée en M un élément de champ qui est un vecteur (fig. 24): h6 rQ6   ∆47 = 7  6 7 est le vecteur unitaire joignant le où  milieu du segment de droite Ai-1Ai au  est point M. Le champ électrique total 4 la somme vectorielle des champs élémentaires

A Figure 24 : Détermination du champ électrique total généré par un fil conducteur chargé par une densité de charge électrique λ(l).

 = 5  4 ∆47 = 5

h6 rQ6  7  6

Ce qui signifie que composante par composante: (nous écrivons ici la composante cartésienne x, nous pourrions le faire sur toute autre composante): 4^ = 5

h6 rQ6 6,^  6

Par passage à la limite continue on obtient pour Ex 4^ =

o  h(Q)EQ X  (Q)  p  (Q) ^

Le même calcul peut être répété pour les deux autres composantes: ce que nous récapitulons formellement par: o  h(Q)EQ   4W = X (Q)  p  (Q) Cette équation entre vecteur est formelle en ce sens qu'on ne peut pas intégrer directement. Il faut faire la somme vectorielle des éléments de champ électrique. Cette relation ne fait que synthétiser trois intégrales scalaires définissant chacune les composantes du champ électrique. VI.1.3.3. Exemple de calcul d’un champ électrique créé par un fil Reprenons le calcul du champ électrique E(x,0) créé par un fil de longueur 2a, uniformément chargé (fig.25).

Dr Daoudi Mourad I.

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a Y+dy y

 #:

P r θ -θ

M

 #:

 #:

x

-a

Figure 25 : Exemple de calcul d’un champ électrique crée par un fil chargé uniformément par une densité de charge λ. L’élément de fil de longueur dy compris entre y et y +dy, situé à la distance (^ + ` ) G de M, porte ^ ^ du vecteur unitaire a pour module : ^ = &>?† =   une charge λdy (fig.25). La composante  

4^ (^, ) =

h^



t8A

€A



‡ (^ €` ) G

E` , soit: 4^ (^, ) =

En tenant compte de n = Ah : 4^ (^, ) =

n



∙



h^

B

`

`9A

F

v^ €`

 ^ v(^ €` ) `98A

^vA €^

VI.2. Charge surfacique VI.2.1. Densité de charge surfacique Considérons une surface S (non nécessairement plane) portant une charge Q uniformément répartie. On appelle densité de charge surfacique la quantité σ = Q/S. Tout comme le fil, la surface peut ne pas être chargée uniformément. Dans ce cas il faut préciser la charge surfacique en chaque point de la surface, à l'aide d'un repère adapté à la forme de la surface. Si la surface est plane, on choisira un repère cartésien ou polaire. Si la surface est en forme de calotte sphérique, on penchera plutôt pour un repère sphérique. Si la surface est gauche..., ce sera beaucoup plus complexe et il faudra se tourner vers des méthodes numériques.

VI.2.2. Densité de charge surfacique en coordonnées cartésiennes

Le repère cartésien est particulièrement bien adapté lorsque la surface est rectangulaire et plane (fig.26). Dans le repère (x0y), un élément de surface, dont l'abscisse est compris entre x et x+dx, et l'ordonnée entre y et y+dy, présente un élément d'aire dS = dx dy (couleur foncée sur la figure ci-avant) et porte un élément de charge d2q(x,y)= σ(x,y) dx dy. Dr Daoudi Mourad I.

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dx b y + dy dy y

0

x

x + dx

a

Figure 26 : Calcul de la densité de charge surfacique d’une plaque chargée. Le calcul de la charge totale de la plaque peut alors s'effectuer en deux étapes : 1) Détermination de l'élément de charge dq portée par un élément rectangulaire de longueur a et de largeur dy (couleur claire) compris entre y et y+dy. Cet élément de charge est une fonction de la variable y et s'obtient en faisant la somme des éléments de charge dq selon x (dans ce calcul y est une constante). E%(`) = X

^9A

^9

E%(^, `) = X

^9A

^9

ˆ‰(^, `)E`ŠE^ = E` X

^9A

^9

‰(^, `)E^ = h(`)E`

Il s'agit d'un calcul tout à fait équivalent à celui de la charge d'un fil rectiligne de longueur a, portant la charge linéique σ(x,y) dy. Nous avons sorti dy de l'intégration car il ne dépend pas de x. dq(y) prend la forme t(y) dy et représente l'élément de charge apporté par les tranches dont l'ordonnée est comprise entre y et y+dy. 2) Sommation des contributions de charge dq apportée par chaque tranche dy: n=X

`9‹

`9

E%(`) = X

`9‹

`9

((`)E`

Nous avons intégré sur x puis intégré sur y. Nous aurions pu faire l'inverse, c'est à-dire intégrer sur les y puis sur les x. Nous aurions alors fait la somme de contributions de bandes verticales d'épaisseur dx. Bien sûr, le résultat est indépendant de l'ordre d'intégration et l'on note: ^9A

n= X X ^9

Ceci est appelé intégrale double. Dr Daoudi Mourad I.

`9‹

`9

‰(^, `)E^E` = X

`9‹

`9

X

^9A

^9

‰(^, `)E^E`

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N.B. : Note sur les infiniment petits • dx ou dy sont des infiniment petits du premier ordre. • une expression renfermant le produit de deux infiniment petits du premier ordre est un infiniment petit du deuxième ordre; elle se note en principe d2 S = dx dy ou d2 q = σ (x,y) dx dy. • une expression renfermant le produit de trois infiniment petits du premier ordre est un infiniment petit du troisième ordre. Par exemple, l'élément de volume d3τ = dx dydz. L'exposant (2 ou 3) indiquant l'ordre de l'infiniment petit est généralement omis lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté et l'on note souvent dS pour d2 S ou dττ pour d3τ.) VI.2.3. Exemple de charge portée par une surface rectangulaire Considérons une surface rectangulaire dont les abscisses sont situées entre x = a et x = b et les ordonnées entre y = c et y = d. Supposons que cette surface soit chargée avec une densité surfacique σ (x,y) fonction de x et de y, σ (x,y) = A (x2+y2). Déterminons la charge totale de la plaque. Procédons comme ci-avant et intégrons tout d'abord suivant les x: ‹‡ − A‡ E%(`) = pE` Œ + ` (‹ − A) ‡ E%(`) = E` X

^9‹

^9A

p(^ + ` 

 )E^

‹‡ − A‡ ^‡  = pE` Œ + ` (‹ − A) = pE` Œ + ` ^ ‡ ‡ ^9A ^9‹

C'est la charge apportée par le rectangle clair situé entre y et y+dy. Par intégration sur les y, on obtient la charge totale soit: n = pX

`9E

`9&

‹‡ − A‡ ‹‡ − A‡ E‡ − &‡  (E Œ + ` (‹ − A) E` = p − &) + p(‹ − A) ‡ ‡ ‡

VI.2.4. Densité de charges surfaciques en coordonnées polaires Les coordonnées polaires sont les coordonnées naturelles d'objets circulaires (fig.27). Un point M est repéré par la distance r = 0M qui la sépare du centre 0 et l'angle orienté θ que fait la direction OM avec l'axe des x. Les coordonnées polaires sont équivalentes aux coordonnées cylindriques à la cote z = 0. Une surface élémentaire du deuxième ordre est représentée en noir sur la figure 27. Dans la limite de dr et de dθ θ petits, cette surface est un petit rectangle de cotés dr et r dθ θ. L'élément de surface d2 S s'écrit: 2 d S = r dr dθ θ Si l'on fait l'intégrale (somme) de cette expression sur tous les angles θ compris entre 0 et 2π π, on obtient un nouvel élément de surface représenté en gris. Ce nouvel élément de surface (maintenant infiniment petit du premier ordre) s'écrit: E = X

†9

†9

Dr Daoudi Mourad I.

†9

EE† = E X

†9

E† = Eˆ†Š†9 †9 = E

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dθ θ dr rdθ θ

θ

r

dr 2π πr Figure 27 : Calcul de la densité de charges surfaciques en coordonnées polaires dS est bien l'aire d'un rectangle de largeur dr et de longueur 2πr = périmètre du cercle de rayon r. On obtient ce petit rectangle en déroulant l'aire colorée. Vous allez dire que dérouler une couronne de cercle n'a jamais donné un rectangle. Cela tend vers un rectangle dans la limite des dr petits, c'est-à-dire dans la limite où nous travaillons. D'ailleurs nous pouvons nous convaincre du bien-fondé de la méthode en terminant le calcul de l'aire S du cercle. Il reste à faire pour cela la somme de couronnes de rayons r, c'est à dire intégrer dS sur la variable r entre 0 et R: =X

9Ž

9

E = Ž

ce qui est bien l'aire du cercle de rayon R. En coordonnées polaires, la densité surfacique σ (r,θ) ( ,θ) est une fonction de r et de θ. Dans certains cas particuliers, elle n'est fonction que de θ. Dans des cas plus particuliers encore, elle ne dépend d'aucune de ces variables et est uniforme. Par un raisonnement tout à fait similaire à celui que nous avons suivi pour les coordonnées rectangulaires, nous avons: n=X

†9

†9

E† X

9Ž

9

‰(, †)E = X

9Ž

9

†9

E X

†9

‰(, †)E†

On peut intégrer dans l'ordre que l'on veut. Ce n'est pas très compliqué, il faut juste un peu de pratique.

Dr Daoudi Mourad I.

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VI.2.5. Exemple de charge portée par un disque Considérons un cercle de rayon R chargé avec une densité de charge σ(r,θ θ) = A r cos2θ . n=X

†9

†9

E† X

9Ž

9

p &>? † E = X

†9

†9

p

Ž‡ Ž‡ &>? † E† = p ‡ ‡

∗∗∗Rappel mathématique :  j  t &>?  E =  +  VI.2.6. Potentiel électrique créé par une surface

VI.2.6.1. Expression générale

dS’ . r M  E4

Un élément de surface dS' portant une charge d2 q = σdS' placé à la distance r du point M produit en ce point une contribution au potentiel (fig.28):  ‰E]  E )=   nous avons représenté deux éléments dS'. Le potentiel total créé en M est la somme de toutes les contributions élémentaires et s'écrit formellement:  ‰E] )W = XX  

Figure 28 : Champ électrique créé par une surface de forme quelconque portant une charge d2 q= σdS'. où les deux signes intégral signifient qu'il faut faire une intégrale double. Il s'agit d'un calcul souvent difficile puisque les éléments de surface ne sont pas en général sur un même plan. Il faut paramétrer l'élément de surface (c'est-à-dire l'exprimer en fonction de variables), exprimer r et σ en fonction de ces paramètres puis intégrer sur ces paramètres VI.2.6.2. Expression du potentiel créé par un rectangle chargé Considérons le rectangle ABCD placé dans le plan (y0z), chargé avec une densité de charge surfacique dont la valeur dépend des paramètres naturels du problème y' et z' (ici x' = 0) (fig.29). Un élément de surface dS'= dy' dz' localisé au point (y', z') porte une charge élémentaire dq= σ(y', z') dy' dz'. Cet élément de surface est placé à une distance r (y', z') d'un point M (x,y,z) dont on veut connaître le potentiel. r s'exprime en fonction de y et z selon la relation:

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Z

(`] , a] ) = v^ + (` − `] ) + (a − a] )

D

′

‰l`′ ,a′m E`′Ea  E) =  }^ €(`8`‘ ) €(a8a‘ )

L'élément de potentiel en x, y, z s'écrit: B

Y

W

C M A X

Figure 29 : Potentiel créé par un rectangle chargé électriquement par une densité surfacique σ. et le potentiel total en M : )(^, `, a) =

` 9`’ a 9ao  ‰(`] , a] ) E`] Ea] X X  `‘ 9`p a‘ 9ap v^ + (` − `] ) + (a − a] ) ‘

‘

Le calcul peut être plus ou moins complexe mais il est en principe faisable. VI.2.6.3. Potentiel créé par un disque en un point de son axe

Les coordonnées naturelles d'un disque chargé sont les coordonnées polaires. Un élément de surface du disque rdr dθ placé en (r,θ) (élément en noir) porte une charge d2 q= σ(r,θ) rdr dθ (fig.30). Il est placé à la distance d = (r2 + x2)1/2 du point M. Sa contribution au potentiel est donc:

d

r O

E ) = M

x





‰(, †) E E†

√ ^ +  

Reste à intégrer en θ ( entre 0 et 2π) pour avoir la contribution au potentiel due à la couronne en gris de rayon r et d'épaisseur dr. Puis en r (entre 0 et R) pour avoir la contribution de toutes les couronnes, c'est-à-dire la contribution totale.

Figure 30 : Potentiel créé par un disque en un point de son axe

Dr Daoudi Mourad I.

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VI.2.6.4. Potentiel créé par un disque uniformément chargé, en un point de son l'axe Si le disque est uniformément chargé, σ(r,θ) = σ0 9Ž †9 ‰ E ‰ 9Ž E )= X X E† = X  9 √^ +  †9  9 √^ +  ∗∗∗Rappel mathématique : “”“ t √“• €–• = √  + „

Alors,

)=

‰ CvŽ + ^ − |^|D 

VI.2.7. Champ électrique créé par une surface VI.2.7.1. Calcul à partir du potentiel Vous pouvez reprendre mot à mot le paragraphe consacré au calcul du champ électrique créé par un fil à partir du potentiel. Ici aussi, nous tirerons au maximum avantage des symétries du problème. Calculer le champ électrique créé en un point M de l'axe d'un disque uniformément chargé.

VI.2.7.2. Expression formelle De façon tout à fait similaire à ce que nous avons fait pour le calcul direct du champ électrique créé par un fil chargé, nous pouvons écrire formellement le champ électrique créé par une surface chargée. Chaque élément de surface dS', de charge surfacique σ, placé à la distance r de M et dont la direction le joignant à M est repérée , apporte une par le vecteur unitaire    contribution E 4 au champ électrique:  ‰E]   E 4 =   

Dr Daoudi Mourad I.

Le champ électrique total s’écrit :  4W =

 ‰E]  XX    

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Le champ électrique total, est la somme sur toute la surface S des champs électriques élémentaires créés par les éléments de surface dS' portant des charges d2 q= σ dS' Cette relation se décompose en trois nouvelles relations valables pour chacune des composantes: 4^ =

 ‰E] X X  ^  

Comme précédemment pour le potentiel, il est possible d'effectuer le calcul de Ex en paramétrant σ, r, ux et dS' à l'aide de coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques ou sphériques.

EX : Calculer par méthode directe le champ produit en un point M de l'axe d'un disque chargé uniformément.

VI.3. Densité de charge volumique VI.3.1. Distribution de charge volumique Si un solide de volume τ′ porte une charge Q uniformément répartie, la densité de charge volumique est ρ = Q /τ′. EX : Quelle est la densité de charges volumiques dans une sphère de 1cm3 uniformément chargée portant 10-6 C ? Dans le cas général, la charge n'est pas uniforme et la densité volumique ρ (r') dépend du point r' que l'on considère. L'élément de charge dans le volume dτ′ localisé autour du point r' est d3q= ρ (r') dτ′. VI.3.2. Distribution de charges volumiques en coordonnées cartésienne En coordonnées cartésiennes, un élément de volume s'écrit: dτ′ = dx' dy' dz'. La densité de charge ρ (x',y',z') est fonction de x', y' et z'. L'élément de charge contenu dans un volume dτ′ entourant le point r' est: d3q = ρ (x', y', z') dx' dy' dz' La charge totale Q est une intégrale triple sur les trois variables, prises dans l'ordre que l'on veut. Elle s'écrit: n = ∭ ρ (^′, `′, a′) E^′ E`′ Ea′

EX : Déterminer la charge électrique portée par un cube de côté a centré à l'origine des axes et dont la densité de charge volumique s'écrit ρ (x', y', z')' = A(x'2+y'2+z'2)

VI.3.3. Distribution de charges volumiques en coordonnées cylindriques. Comme leur nom l'indique, les coordonnées cylindriques sont particulièrement bien adaptées à un solide cylindrique de rayon R et de hauteur H. Dans un tel repère, l'élément de volume s'écrit dr rdθ θ dz. Reprenons le trièdre en coordonnées cylindriques (fig.31): et . L'élément de volume dτ est un parallélépipède dont les axes sont selon , ˜  ™  š

Dr Daoudi Mourad I.

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 

z

 †

  y

M

o r

θ x

M’

Figure 31 : Calcul d’une charge distribuée dans un volume, en coordonnées cylindrique.

Passer de r à r + dr (à θ et z constants) déplace le point M de dr le long de . ˜ dr est le premier coté du parallélépipède élémentaire.  Passer de θ à θ +dθ déplace le point M le long de  ™ . Le déplacement est de rdθ, qui. représente le second côté du parallélépipède élémentaire. . Passer de z à z +dz déplace M de dz le long de  š dz représente le troisième côté. L'élément de volume dτ est donc dττ = rdr dθ θ dz. Reste à intégrer selon les trois coordonnées, dans l'ordre que l'on veut. L'ordre le plus naturel consiste à intégrer tout d'abord selonθ de 0 à 2π π, ce qui génère un volume sous forme de couronne de rayon r (et donc de périmètre 2πr) d'épaisseur dr et de hauteur dz. La deuxième intégration porte, selon r, de 0 à R. Cette intégration génère un disque de rayon R et de hauteur dz. La troisième intégration selon dz génère le cylindre dans son entier. La charge totale est donc:

n = › œ(, †, a)EE†Ea EX : Déterminer la charge portée par un cylindre de hauteur H de rayon R, d'axe de révolution 0z, posé sur le plan x0y et dont la densité de charge est ρ(r,θ, z)= A r VI.3.4. Distribution de charges volumiques en coordonnées sphériques Les coordonnées naturelles d'un corps apparaissant sous forme de sphère sont les coordonnées sphériques (fig.32). Les coordonnées sont r, θ, ϕ . L'élément de volume est dτ = r2dr sinθ dθdϕ. Plus encore ici, vous ne serez convaincus que si vous-mêmes, vous dessinez l'élément de volume dτ et les volumes engendrés par les intégrations successives.  

z M

θ

 †

r

o

 ž

y

ϕ x

M’

L'élément de volume dττ est le parallélépipède rectangle dont les et . côtés sont selon , ˜  ™  Ÿ Passer de r à r+dr déplace le point M . de dr le long de l'axe  ˜ dr est le premier côté du parallélépipède. Passer de θ à θ +dθ déplace M de r dq dans la direction de . ™ r dθ est le second côté du parallélépipède. Passer de ϕ à ϕ +dϕ déplace les points M' et M dans la direction  Ÿ de 0M'dϕ.

Figure 32 : Calcul d’une charge distribuée dans un volume, en coordonnées cylindrique. Dr Daoudi Mourad I.

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 θ dϕ ϕ. Or 0M'= r sinθ. Le déplacement dans la direction de  Ÿ est donc rsinθ 2 L'élément de volume est : dτ = r dr sinθ dθdϕ. L'élément de charge porté par le volume dt situé au voisinage du point de coordonnées (r, θ, ϕ) s'écrit : d3 q = ρ(r, θ,ϕ ϕ) r2dr sinθ dθdϕ. Et la charge totale s'écrit: n = ∭ ρ(d, θ, ϕ)  E ?6'θ  EθEϕ Si on intègre successivement selon ϕ, θ, r, ce qui est la façon naturelle de procéder: L'intégration selon ϕ ( de 0 à 2π) engendre une couronne d'axe 0z, située à la cote r cosθ, de rayon r sinθ et dont les deux autres dimensions sont r dθ et dr. L'intégration selon θ, engendre une couronne sphérique de rayon r et d'épaisseur dr. L'intégration selon r (de 0 à R) engendre la sphère tout entière. EX : Représenter les surfaces engendrées successives. Déterminer par intégrations successives la charge portée par une sphère de rayon R chargée uniformément avec la densité volumique ρ0.

VI.3.5. Potentiel et champ créés par un volume chargé. VI.3.5.1. Potentiel électrique L'élément de volume dt' entourant le point r' et portant l'élément de charge ρ(r') dτ' crée au point M situé en r un élément de potentiel d3V: œ(] )E¢] E‡ ) = ¡ | − ] | Le potentiel total en M est la somme de ces contributions soit : œ(] )E¢] | − ] | Comme précédemment, il faut paramétrer chacune des grandeurs et intégrer sur les paramètres. )() = ¡ ›

VI.3.5.2. Champ électrique V  = − cdef Il peut être déduit du potentiel par dérivation à l'aide de la relation b Alternativement, on peut déterminer l'élément de champ  E4 créé en M par la relation: œ( )E¢  ‡4 = ¡  E  ( − ] ) ]

]

 est porté par la direction joignant l’élément de volume portant la charge dq au Où le vecteur unitaire  point M. œ£ ¤E¢  Soit en intégrant le volume :  4() = ¡ ∭ ‘   ‘

(8 )

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‘

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Exercices Quelques Objectifs à atteindre :

• Habituer les étudiants à travailler avec des vecteurs. • Savoir qu’un vecteur possède 4 caractéristiques qu’il faut déterminer simultanément (Point d’Application, Direction, Sens, et module). • Un vecteur est différent d’un scalaire. • Savoir calculer le module d’un vecteur en calculant le produit de ce vecteur par soit même. • Savoir que le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire. • Savoir, faire une projection d’un vecteur. • Se rappeler l’importance de la trigonométrie. • Faire le calcul numérique en dernier. • Savoir que, quelque soit la charge électrique sa quantité est un multiple de la charge élémentaire (1.6 10-19C). • Comparer la force électrique avec la force d’attraction universelle. Exercice 1 : Trouver la résultante des vecteurs  (4 unité SI) et    (3 unité SI) montrés sur la figure.  * = 4 ¥¦§é ¨© Applications numériques (A.N.) : *  * = 3 ¥¦§é ¨© pour α = 90° et α = 30° respectivement. *

Rappel : La résultante  est caractérisée par quatre caractéristiques : Un Point d’application, une Direction, un Sens et un Module.

@

 

 

 ,   Exercice 2 : Trois forces agissent au même point sont   = 7 − « + ‡¡  = −7 + ‡« + ¡ . Trouver les intensités et les directions de    +  ‡ ,   −   +  ‡ et ‡ = −7 + « − ¡  +   +   −  ‡ . 

et

Exercice 3 : Combien de temps 1 cm3 de Cu peut faire fonctionner électriquement un ordinateur portable ? Sachant qu’il faut environs 5A pour qu’un ordinateur portable fonctionne. Rappel : Q = I.t (Q est la charge électrique et I l’intensité électrique). La concentration atomique du cuivre est 8.45 1022 atome/cm3. La valence du cuivre est deux. On suppose qu’on n’a aucune perte de charge. Exercice 4 : Q1 : Combien, il y a d’électron dans 1 Coulomb ? Q2 : Quelle est la force électrique entre deux charges positives de 1C, situées à 1 km l’une de l’autre ? Quelle est la masse de cette charge, sachant qu’elle est constituée par des protons ? Ces deux charges sont isolées dans l’espace. Quelle est la force de gravitation universelle s’exerçant mutuellement sur ces charges ? Q3 : Quelle est la force électrique entre deux charges positives de 1C, situées à 1 cm l’une de l’autre ? Dr Daoudi Mourad I.

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Quelle est la force de gravitation universelle s’exerçant mutuellement sur ces charges ? La constante de gravitation universelle G = 6.67 10-11 Nm2/kg2,  = !. "G# , mp= 1.67 10-27 kg. Exercice 5 : Trois charges Q1, Q2, et Q3 sont placées respectivement sur les sommets A, B et C d’un triangle. Q1, et Q2 sont négatives alors que Q3 est positive. 1. Déterminer schématiquement la force résultante appliquée sur Q3. 2. Application Numérique : AB = AC = BC = 1 cm, les charges sont égales en valeur absolue à 1 x 10-3C.

C

A

B

H

Exercice 6 : Le sel de table (Chlorure de Sodium) est un cristal à structure cubique avec des ions Na+ et Cl- positionnés d’une manière alternés sur les sommets du cube. La distance entre ions est a = 2.82 x 10-10 m. 1- Quelle est la force qu’exerce un ion Cl- sur un ion Na+ voisin ? 2- Quelle est la force qu’exerce un ion Na+ sur un ion Cl- voisin ? 3- Quelle est la force que subit un ion Na+, placé à l’origine (0,0,0) du cube, de la part des deux ions Cl- voisins placés en (a, 0,0) et (0,a,0) ? Exercice 7: Une charge q1 = + 4 µC (1 µC = 10-6C) est positionnée à l’origine. Une charge q2 = + 9 µC est positionnée sur l’axe des x, à x = 4m. Où doit-on placer une charge négative q3, sur l’axe des x, pour que la force qu’elle subisse soit nulle ? Exercice 8 : Deux sphères de polystyrène identiques, ayant une masse chacune de 0.03O kg, sont suspendues à des fils liés au même point, de longueur 30 cm. Chaque sphère est chargée par une charge q. Ces deux charges se repoussent et chaque fil forme avec la verticale un angle de 7 degrés. Quelle est la charge électrique de chaque sphère ? Exercice 9 : Q1 : Déterminer le champ crée par une charge de 1C au point M situé: • A 1 Km de la charge. • A 1 cm de la charge. Que peut-on conclure ? Q2 : Reprenez la Q1 avec cette fois-ci une charge de (-1C).

Exercice 10 : Un dipôle électrique est défini comme étant ; deux charges égales en valeur absolu et de signes opposés séparées par une distance de 2a (Fig. 1). Trouver le champ électrique à une distance r le long de la bissectrice du segment séparant les deux charges.

r θ +q

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a

θ a

-q

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Exercice 11 :

Soit un triangle rectangle ABP (¯° angle droit). On place, en A une charge  = 4.0 × 108± ® et en B une charge  = −3.0 × 108± ®. Calculer le champ électrique crée par ces deux charges au point P. AB = BP = 3.0 m.

P

q1 Exercice 12 :

q2 A

Trouver l’expression du champ électrique du à une collection de charge d’égale magnitude, toute placées sur une même ligne et séparées l’une de l’autre d’une distance d. Ces charges ont des signes alternés, et le champ à calculer est sur une droite normale à la ligne contenant les charges. L’intersection de ces deux lignes est une charge positive considérée comme centrale. Evaluer l’expression de ce champ à une grande distance de la ligne des charges.

B

+q 3 d -q

2 d

+q 1 d -q

4 d

+q 5

Exercice 13 :

Q1. Dans une expérience un champ électrique de 2.0 × 10­ O/®, est nécéssaire pour séparer deux plaques parallèles distantes de 0.0020!. Quel est le voltage que produit ce champ ? Q2. Un électron placé entre deux plaques parallèles séparées par une distance de 2.0 x 10-2 m, est accéléré à 5.0 x 1014 m/s2. Quel est le voltage entre les plaques ? Q3. Quel est le potentiel à 0.20m d’une charge de 1.0 x 10-6C ? Q4. Quel est le potentiel à 0.50m d’une charge de 1.0 x 10-6C ? Q5. Utiliser les situations (charges et potentiels calculés) des Q3 et Q4. Si une charge de 5.0 x 10-6C se déplace du rayon de 0.50m au rayon de 0.20m, quel le travail effectué ? Exercice 14 : Soit une sphère conductrice de 5.0g avec une charge de 20 µC, pendue par un fil non conducteur dans un champ électrique crée par deux plaques séparées par 8.0cm. Quel est le potentiel qui fera en sorte à se que la sphère pendue s’écarte de 25° par rapport à la verticale ?

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25°

8.0 cm

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Exercice 15 : q3 = -1.5 x 10-8C

Trois charges ponctuelles sont placées aux sommets d’un triangle isocèle (voir figure). Calculer le potentiel au milieu de q1 et q2.

2a r

P -8

q1 = 1.0 x 10 C

q2 = 1.5 x 10-8C

a

Exercice 16 :

a

Soit un triangle de côté a, ayant des charges aux sommets +q, +q et –q. Calculer le potentiel au point P situé sur l’axe des x (par exemple). Que peut déduire un observateur situé en P lorsque ‚ ≫ „ ?

+q -a

-q

+q a

P

 ³‚

x

EXERCICE 17 : Un anneau métallique de rayon a, est chargé positivement. Déterminer le champ électrique crée par cet anneau en un point M(x,0) situé sur son axe

M

a

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EXERCICE 18 : Un fil très fin, chargé positivement par une charge linéique λ, est lié à l’axe des y. Trouver l’intensité du champ électrique crée par le fil en un point P de l’axe des z. Z Y

P

X Exercice 19 : Calculer le champ en un point M situé sur l’axe des z passant par le centre O d’un disque chargé # électriquement avec une densité surfacique ´ = G#¨. Le point M est à une distance h du centre du

disque. Ce dernier, a un rayon R. Exercice 20 :

En appliquant le principe de superposition pour calculer des valeurs du champ électrique, trouver les champs électriques dans les cas suivants : 1. Au centre d’une sphère de rayon R, lorsque un hémisphère est chargé uniformément avec une densité surfacique σ, alors que l’autre hémisphère est chargé avec une densité 3σ. 2. Dans l’espace entre deux plans parallèles lorsque la densité surfacique de charge sur un plan est σ et sur le second -2σ. 3. Dans l’espace entre deux plans P1 et P2, se coupant sous un angle ϕ, lorsque la densité surfacique de charge est sur les deux plans σ. 4. En un point A sur l’axe commun à deux disques dont l’un est de rayon R1 avec une densité surfacique de charge σ et l’autre de rayon R2 avec une densité surfacique de charge -2σ. La distance entre les deux disques est d. La distance du point A au centre O du disque de rayon R1 est y0. Rappel mathématique : ”  t • • µG = − √–• • + ®§I (– € ) •

€

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Chapitre II

Flux du champ électrique – Théorème I. Théorème de Gauss

Une charge électrique Q ponctuelle ou à distribution sphérique (distribution surfacique ou volumique sur une sphère) créée autour d’elle à une distance r un champ électrique divergeant de même intensité. Le calcul de ce champ électrique, comme on l’a vu au chapitre précédent, peut se faire en utilisant au mieux la notion de symétrie qui peut faciliter ces calculs au maximum. L’utilisation du théorème de Gauss peut aider à atteindre cet objectif. Ce théorème a été développé par un physicien et mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Le théorème de Gauss considère une surface fermée imaginaire entourant la charge qui a créée le champ électrique. Cette surface est appelée surface de Gauss. Cette surface peut avoir n’importe quelle forme, mais la forme la plus appropriée est celle qui prend en considération la symétrie de la distribution de charge. Par exemple, pour le champ crée par la charge Q, la surface de Gauss la plus indiquée est une sphère de rayon r entourant cette charge (fig. II.1).

.

Le théorème de Gauss relie le champ électrique créé en un point sur la surface gaussienne à la charge enfermée par cette surface  4

Surface Gaussienne sphérique

Figure II.1 : Champ électrique créé sur la surface de Gauss.

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I.1. Représentation d’une surface  #¨

 #¨’

(S)

Une surface (S), matérielle ou fictive, est représentée par un ensemble de vecteurs. On décompose la surface (S) en éléments dS très petits analogues à des plans. Chaque élément dS est représenté par un vecteur  E : • Appliqué sur dS, • De grandeur dS, • Dirigé selon la normale au plan dS, • Selon un sens arbitraire qui sera conservée de point en point pour tous les éléments de S.

La surface est ainsi définie par un ensemble de vecteurs liés, sa grandeur est égal à : ∬|E| N.B. : Dans le cas d’une surface fermée, on choisit généralement d’orienter les vecteurs vers l’extérieur de la surface. I.2. Angle solide Angle dans le plan : Pour caractériser l’étendue à travers laquelle on voit un objet rectiligne AB, on · de l’arc de cercle de rayon unité : introduit l’angle α mesuré par la longueur A‹

A

a' θ

x x’

α B b’

a b

o Observateur

· = (¹p, ¹o) @ = A‹ º Un arc de cercle A] ‹] , centré sur O, de rayon r et sous tendu par le même angle α, a une º ‘ ‹‘ A  ] ‹] = @ º longueur telle que : = soit : A · A‹



Si l’angle est petit, soit dα α, on a : ] ] º »»»» A ‹ = @ = A‹ Soit AB = dl, faisant l’angle θ avec a′′b′′ on a : EQ &>?† a′′b′′ = dl cosθ θ d’où E@ = 

R=1

Angle solide : Soit à définir maintenant une grandeur caractéristique de l’étendue spatiale sous laquelle on voit une surface Σ quelconque. Par analogie avec la définition précédente, on définit l’angle solide Ω comme ayant pour mesure la surface s interceptée sur la sphère de rayon unité. Ω s’exprime en STERADIANS (St). Cette définition conduit aux résultats suivants : • Une sphère complète (tout l’espace) Ω = 4π π.1= 4π π St • 1/8 de la sphère : Ω = 4π π/8 x 1= π/2 St

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Σ Une calotte sphérique, de centre o et de rayon r a

une surface telle que : ? = ¼ =  , soit  = ¼ Si l’angle solide est petit on a : E = E¼ , dS étant assimilable à une petite surface plane. 

S

o

s

Observateur





r r =1

#¨ = #Σ¾³¿À

 #Σ

Soit dΩ Ω une surface s’appuyant, autour de M, sur le même angle solide dΩ Ω, et dont le plan fait un angle θ avec celui de dS. On a : dS = dΣ Σ cosθ θ En combinant avec la relation précédente E EÁ &>?† on trouve : E¼ =  = 

θ

 #¨

θ

r

dΩ

O

I.3. Flux du vecteur champ électrostatique  #¨

:

(S) Dr Daoudi Mourad I.

: ′

 #¨’

 est défini en En tout point de l’espace le champ 4 particulier en tous les points d’une surface S quelconque choisie arbitrairement.  à travers dS, l’élément de S, la On appelle flux de 4  . E quantité scalaire, positive ou négative : EÂ = 4  à travers S est l’intégrale sur toute Le flux total de 4 .  la surface : Â = ∬ EÂ = ∬ 4 E

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I.4. Théorème de Gauss •

Considérons une charge q à l’intérieur d’une surface fermée quelconque S. Le flux total du champ électrique produit par q à travers S est donné par : ¡% E&>?†  = Å  = ¡% Å E  = Å 4. E     E&>?† Le terme est l’angle solide dΩ Ω sous lequel on voit de la  charge q l’élément de surface dS. Comme l’angle solide couvrant tout l’espace autour de q vaut 4π π, on a : %  = ¡%.  =  Si une charge telle que q′′, est située à l’extérieur de S, le flux total du champ créé par q′′ à travers S est nul. En effet : à chaque élément de surface dS nous pouvons associer un élément dS′′ vu de q′′ sous le même angle solide dΩ Ω. ′ sont :  et  Le flux élémentaire 4. E 4′. E  Egaux en valeur absolue  sont orientés vers  De signes contraires : les E  . E l’extérieur de la surface S ; les produits scalaires 4 ′ sont de signes opposés. ′. E et 4  S’il y a plusieurs charges à l’intérieur et à l’extérieur de S, q1, q2, .., qj, .., qn, le flux électrique total est la somme des flux produits par chaque charge supposée  = ∑È9' 4  . E « E seule : 4

:

dΩ



q

θ

 #¨

(S)

•

dΩ q′

:  #¨

 :′

θ

 #¨′

θ (S)

È9

Ceci est général quelque soit la forme de la surface. Le théorème de Gauss s’énonce donc : Le flux du champ électrique à travers une surface fermée entourant des charges qi est : ∑% Æ = ∬? 4.  E = 6 , ∑ %6 représente la somme algébrique des charges intérieures. 

Remarques : 1- S’il n’y a pas de charges présentes à l’intérieur de la surface fermée, ou si la somme algébrique des charges est nulle, le flux est nul. 2- Les charges extérieures ne figurent pas dans l’expression du flux : elles ne contribuent pas au flux total. (On évitera de conclure qu’elles ne contribuent pas au champ : en chaque point de la surface). Méthode générale pour appliquer le théorème de Gauss : • Trouver une surface fermée passant par le point M où l’on désire calculer le champ. , : étant le champ (variable) aux différents points de la • Ecrire la définition du flux : Φ = ∬ : . #¨ surface.

Dr Daoudi Mourad I.

Ä

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•

Appliquer le théorème de Gauss après avoir compté la charge algébrique intérieure à la surface.

Cette méthode n’est applicable que si l’expression de définition du flux ne fait intervenir que le champ  que l’on cherche à calculer : É. La surface choisie doit donc être composée de parties où :  Soit le champ est nul, ,  Soit le champ est constant en module et égal à EM et  :É ∕∕ #¨ .  Soit le champ est perpendiculaire aux éléments de surface correspondants,  :É ⊥ #¨

II. Exemples d’applications du théorème de Gauss II.1. Champ électrique créé par une charge distribuée uniformément sur un plan indéfini  ¨

:

:

:

+ +

 #¨

+ +

+

+

S

+ + +

+

+ +

+ +

:

+

 ¨

+ :

-=−

Alors,

+ + +

Soit un plan indéfini portant une charge σ par unité de surface. Par symétrie les lignes de champ sont perpendiculaires au plan, et puisque la charge est positive, le champ est dirigé vers l’extérieur. On choisit pour surface fermée le cylindre représenté sur la figure. Le cylindre est constitué de trois surfaces, les deux bases S1 et S2, et la surface latérale S3. Le flux Φ = : . ¨ = :¨¾³¿À . Séparons le flux en trois parties : 1. Le flux à travers S1, φ1 = ES ; (θ = 0) 2. Le flux à travers S2, φ2 = ES ; (θ = 0) 3. Le flux à travers S3, φ3 = 0 ; (θ = π/2) Le flux total est la somme des trois flux : φ = φ1 + φ2 + φ3 φ = 2ES , la charge à l’intérieur de la surface est Q = σS Ì ÏÐ En appliquant le théorème de Gauss on a : 2:¨ = = , alors :=

´ 2 

ÍÎ

ÍÎ

On peut déduire le potentiel de la relation : = − ”

´ ‚ + ®§I 2 

ӄ

II.2. Champ électrique créé par une distribution sphérique de charges :

:

(S)

r

(S′) r O

(S′)

Dr Daoudi Mourad I.

 #¨ :

Soit une sphère de rayon a et de charge totale Q. Que la distribution de charge soit purement superficielle (σ = Cte.) ou volumique (ρ = Cte. Ou ρ = f(x)), la symétrie du problème suggère que le champ en chaque point de l’espace soit radial et ne dépende que de la distance r du point, au centre de la sphère. Choisissons comme surface fermée (surface de Gauss) : une sphère (S′) de rayon r concentrique à la sphère chargée (S). Le flux électrique à travers la surface (S) est : Φ = Å :  #¨ = Å :#¨¾³¿(: ,  #¨) = : Å #¨ = :. 4 

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•

•

Si > „, la charge intérieur à la surface (S) est la charge totale Q. En appliquant le théorème de Ì Gauss, on a : :. 4  = Í , Î C’est le même résultat que celui donnant le champ d’une alors charge ponctuelle. Donc, le champ électrique en tout point Ô extérieur à une sphère chargée uniformément est le même := 4   que si toute la charge était concentrée en son centre.

Si < „, on a deux possibilités : 1. Si toute la charge est répartie uniformément sur la surface de la sphère chargée, la charge totale à l’intérieur de la sphère de Gauss (S) est nulle et le théorème de Gauss donne : E=0 2. Si la sphére est uniformément chargée en volume (ρ = Cte.) et si Q′ est la charge à Õ l’intérieur de la surface (S), on a : Ô ] = Ö Ö ×. ̑ × Le théorème de Gauss donne : :. 4  = Í , donc, := Î 3 

Le champ électrique en un point à l’intérieur d’une sphère uniformément chargée en volume est directement proportionnel à la distance r du point au centre de la sphère.

Dr Daoudi Mourad I.

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Chapitre III

Capacité, Influence Condensateur

I. Capacité d’un conducteur isolé chargé placé dans le vide I.1. Définition

Soit une sphère placée dans le vide et constituée d’un matériau conducteur (Al par exemple). Cette sphère possède une charge +Q, uniformément répartie sur la surface. V est le potentiel de ce conducteur. La charge et le potentiel sont liés par un coefficient, appelé capacité C Q = CV La capacité C dépend des paramètres géométriques du condensateur (surface, rayon, etc,…). La capacité d’un conducteur mesure son aptitude à accroitre sa charge pour une augmentation donnée de potentiel.

V Q

I.2. Unité de capacité L’unité de capacité est celle d’un conducteur dont le potentiel augmente de 1 Volt par l’apport de 1 Coulomb : elle porte le nom de Farad (noté F). Dans la pratique, cette unité est beaucoup trop grande, on utilise :  Le microfarad 1 µF = 10-6 F  Le nanofarad 1 nF = 10-9 F  Le picofarad 1 pF = 10-12 F 1.3. Exemple de la sphère Dans le dernier cours, on a démontré que pour une sphère chargée par une charge Q, le champ électrique Ì Ì : = ÕØÍ ˜ • , donc - = ÕØÍ Ù , en choisissant nul le potentiel à l’infini. Î

Î

On en déduit que sa capacité est : ® = Ñ = 4 Ú Ì

A.N. : En prenant =  I§ Ú = 108 !

Dr Daoudi Mourad I.

C = 10-13 F = 0.1 pF.

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II.

Influence électrique totale et condensateur

II.1. Le phénomène d’influence totale entre deux conducteurs chargés

Non chargé Prenons la sphère de l’exemple précédent chargée positivement +Q. Approchons, sans les faire toucher de la sphère, deux hémisphères conducteurs initialement non chargés.

+Q

Non chargé

B

A

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Au fur et à mesure que l’on s’approche de la sphère chargée, il apparaît, sur la face interne des hémisphères, des charges négatives dues au phénomène d’influence électrostatique. Si, finalement, on entoure complétement, sans la toucher, la sphère A, on montre qu’il est apparu, sur la face interne des hémisphères (qui maintenant constituent une sphère B) une charge négative –Q. On dit que les sphères A et B sont en influence totale. On peut remarquer qu’il apparaît la charge +Q sur la face externe de B par suite du principe de conservation de la charge électrique d’un système isolé. Dans la suite nous ne nous préoccuperons pas de ces charges externes.

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II.2. Définition d’un condensateur Armature externe Armature interne

-Q

+Q

A VA

B VB

Cette définition fait appel au phénomène d’influence électrostatique totale décrit précédemment. En effet, on appelle condensateur un système de deux conducteurs tels que l’un entoure complétement l’autre. Les conducteurs sont sans contact entre eux et ils sont séparés soit par le vide, soit par un matériau isolant diélectrique. On donne le nom ‘’ d’armature ‘’ aux deux conducteurs. Si on établit une différence de potentiel (VAVB) entre les deux armatures, nous faisons apparaître sur les faces en regard les charges +Q et –Q. La capacité C du condensateur est définie par : ® = |Ñ

|Ì|

Û 8ÑÜ |

Comme dans le cas du conducteur isolé chargé, la capacité d’un condensateur s’exprime en Farad ( Q en Coulomb et (VA-VB) en Volt), c’est une grandeur toujours positive qui dépend de la géométrie du condensateur et du matériau isolant entre ses armatures.

II.3. Exemples de géométries de condensateurs Parmi les trois types de géométries de condensateurs que l’on rencontre en théorie, une seule correspond aux condensateurs réellement construits : le condensateur plan.

a) Condensateur sphérique

R1

® = 4 

b) Condensateur cylindrique

c) Condensateur plan

R2 l

Ú Ú Ú − Ú

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r2

r1

®=

4  U ݥ C  D 

d

®=

S

 ¨ #

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EX :

En appliquant le théorème de Gauss, calculez de la capacité d’un condensateur plan.

II.4. Groupements de condensateurs

On représente un condensateur dans un schéma électrique par le symbole suivant II.4.1. Groupement en parallèle

∆V C1

Ceq

Cn

Soit un ensemble de condensateurs de capacité C1, C2,…Cn reliés comme l’indique la figure : les condensateurs sont ‘’en parallèle’’. La d d p (différence de potentiel) ∆V aux bornes des condensateurs est la même, ainsi la charge de chaque condensateur est : Q1 = C1 ∆V Q2 = C2 ∆V --------------Qn = Cn ∆V 0

0

Þ9

Þ9

5(ÔÞ ) = ß5 ®Þ à ΔAinsi, on peut remplacer cette ‘’batterie’’ de n condensateurs en parallèle par un seul dont la capacité Ceq sera : ®/V = ∑0Þ9 ®Þ

II.4.2. Groupement en série

+Q

-Q

+Q

C1

-Q

Cn

Ceq

Soit un ensemble de condensateurs de capacité C1, C2,…Cn reliés comme l’indique la figure : les condensateurs sont ‘’en série’’. La charge Q de chaque armature est la même. La d d p ∆Vtot aux bornes de l’ensemble est égale à la somme des d d p aux bornes de chaque condensateur. ∆Vtot = ∆V1 + ∆V2 + ……+ ∆Vn D’où 0 Ô Ô Ô 1 Ô = Ô5 = Δ-1æ1 = + + ⋯ . . + ® ® ®0 ®Þ ®/V Donc,

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âãä

= ∑0Þ9 â



Þ9

å

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II.5. Calcul de la capacité d’un condensateur plan A (- σ) :

X

:

(σ) : O

 ¨

:

Z :

:

:

B

 #¨

 ¨

Y

Nous allons calculer la capacité d’un condensateur plan en appliquant le théorème de Gauss. Ï Le champ crée par un plan est : : = Í Î

Les deux plans donnent E(+ σ) et E(- σ), et entre les deux plans on a un champ total : =

Ce champ induit une ddp entre les armatures #è = − Í #‚ Ï

Î

Ï

En intégrant entre les armatures on a : -é − -ê = − Í # , or Q = σS, donc -ê − -é = Ô Í Ï

Î

ÍÎ

”

ÎÐ

D’après la relation Q = CV on en déduit que ® = ” II.6 Energie électrostatique d’un condensateur isolé Si on soumit un conducteur à un potentiel variable, la charge de ce conducteur augmente au fur et à mesure, l’énergie acquise par le conducteur sous forme d’énergie électrostatique U, peut se déduire de la Ñ relation suivante : í = t -# , or q = CV donc dq = C dV ( C est constante car le conducteur est ÍÎ Ð

supposé avoir une forme invariable), alors í = ® t -#-, ce qui donne 1 í = ®-  2 Ñ

EX : 1- Les armatures d’un condensateur plan ont une surface de 1.0 m2, et leurs charge est de 1.0 C. Quel est le champ électrique entre ces deux armatures ? 2- Soit un condensateur plan ses armatures ont une surface de 1.0 m2 , ils sont séparés par une distance de 1.0 m et la charge de chaque armature est 1.0 C. Quelle est la ddp aux bornes de ses armatures ?

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Bibliographie Annequin et Boutigny, Cours de physique, Electricité 1, préparation aux grandes écoles scientifiques, premier cycle universitaire, Edition Vuibert, 4e édition, Paris. J.-J Bonnet, Physique générale, Charges . courants . atomes . solides, Cours, Dunod Université, Paris, 1989. Hilary. D. Brewster, Electrostatics, Oxford Book Company, Jaipur I India, 2009. Halliday & Resnick, Fundamentals of physics, Jearl Walker, Cleveland State University, John Wiley & Sons, Inc., 9th edition, 2011.

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Table des matières Préface Introduction Chapitre I : ELECTROSTATIQUE I La force électrique : Loi de COULOMB I.1 Loi de Coulomb I.2 Réaction de la charge qui ‘’subit’’. I.3 Conclusions sur la force de Coulomb I.4 Force de coulomb entre plus de deux charges : principes de superposition. II Le champ électrique : II.1 Cas d’une charge ponctuelle. II.2 Lignes de champ II.3. Relation entre le champ : et la force de Coulomb  sur une charge q III La variation d’énergie potentielle d’une charge ponctuelle IV La variation de potentiel entre deux points de l’espace où règne un champ V Représentation des potentiels et des énergies potentielles des charges ponctuelles V.1 Origine du potentiel et de l’énergie potentielle V.2 Energie potentielle d’une charge ponctuelle (+ q′) placée dans le champ d’une autre charge (– q) V.3 Relation entre le potentiel et le champ électrique : Le gradient VI Energie potentielle d’une charge ponctuelle (+ q′) placée dans le champ d’une autre charge (– q) VI.1 Répartition des charges sur un objet filiforme VI.1.1. Densité de charge linéique VI.1.2. Calcul du potentiel électrique créé par un fil chargé VI.1.2.1. Approximation par discrétisation VI.1.2.2. Limite continue VI.1.2.3. Exemple de calcul de potentiel VI.1.2.4. Examen du comportement asymptotique VI.1.3. Champ électrique créé par un fil VI.1.3.1. Champ électrique, dérivée du potentiel VI.1.3.2. Formule générale du champ électrique créé par un fil VI.1.3.3. Exemple de calcul d’un champ électrique créé par un fil VI.2. Charge surfacique VI.2.1. Densité de charge surfacique VI.2.2. Densité de charge surfacique en coordonnées cartésiennes VI.2.3. Exemple de charge portée par une surface rectangulaire VI.2.4. Densité de charges surfaciques en coordonnées polaires VI.2.5. Exemple de charge portée par un disque VI.2.6. Potentiel électrique créé par une surface VI.2.6.1. Expression générale VI.2.6.2. Expression du potentiel créé par un rectangle chargé VI.2.6.3. Potentiel créé par un disque en un point de son axe Dr Daoudi Mourad I.

1 2 4 4 4 5 5 7 8 8 9 11 11 13 13 13 14 15 15 16 16 17 17 18 19 19 20 20 21 22 22 22 23 24 24 26 26 26 26 27 Page 49

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VI.2.6.4. Potentiel créé par un disque uniformément chargé, en un point de son l'axe VI.2.7. Champ électrique créé par une surface VI.2.7.1. Calcul à partir du potentiel VI.2.7.2. Expression formelle VI.3. Densité de charge volumique VI.3.1. Distribution de charge volumique VI.3.2. Distribution de charges volumiques en coordonnées cartésienne VI.3.3. Distribution de charges volumiques en coordonnées cylindriques VI.3.4. Distribution de charges volumiques en coordonnées sphériques VI.3.5. Potentiel et champ créés par un volume chargé VI.3.5.1. Potentiel électrique VI.3.5.2. Champ électrique Exercices du chapitre I

28 28 28 28 29 29 29 29 30 31 31 31 32

Chapitre II : Flux du champ électrique – Théorème I Théorème de Gauss I.1. Représentation d’une surface I.2. Angle solide I.3. Flux du vecteur champ électrostatique I.4. Théorème de Gauss II Exemples d’applications du théorème de Gauss : II.1. Champ électrique créé par une charge distribuée uniformément sur un plan indéfini II.2. Champ électrique créé par une distribution sphérique de charges

37 37 38 38 39 39 41

Chapitre III : Capacité, Influence Condensateur I. Capacité d’un conducteur isolé chargé placé dans le vide I.1. Définition I.2. Unité de capacité I.3. Exemple de la sphère II. Influence électrique totale et condensateur II.1. Le phénomène d’influence totale entre deux conducteurs chargés II.2. Définition d’un condensateur II.3. Exemples de géométries de condensateurs II.4. Groupements de condensateurs II.4.1. Groupement en parallèle II.4.2. Groupement en série II.5. Calcul de la capacité d’un condensateur plan Corrections des exercices du chapitre I

43 43 43 43 43 44 44 45 45 46 46 46 47 48

Bibliographie

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