Viscoélasticité

pour le Calcul des structures Jean Salençon

les presses des ponts et chaussées

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Du même auteur Théorie de la plasticité pour les applications à la mécanique des sols © Eyrolles - 1974 - 178 pages Application of the theory of plasticity in soil mechanics © John Wiley and Sons Ltd - 1977 - 158 pages - ISBN 0-47174984-2 Viscoélasticité - © Presses de l’École nationale des ponts et chaussées983 - 92 pages - ISBN 2-85978-051-3 Calcul à la rupture et analyse limite - © Presses de l’École nationale des ponts et chaussées 1983 - 366 pages - ISBN 2-85978-059-9 Élastoplasticité - (B. Halphen et J. Salençon) © Presses de l’École nationale des ponts et chaussées - 1987 - 448 pages - ISBN 2-85978-094-7 Mécanique des milieux continus - © Ellipses - 1988 Tome 1 - Concepts généraux - 270 pages - ISBN 2-7298-8854-3 Tome 2 - Élasticité - Milieux curvilignes - 316 pages - ISBN 2-7298-8863-2 Mécanique du continu - © Ellipses - 1995 Tome 1 - Concepts généraux - 352 pages - ISBN 2-7298-4551-8 Tome 2 - Thermoélasticité - 286 pages - ISBN 2-7298-4565-8 Tome 3 - Milieux curvilignes - 192 pages - ISBN 2-7298-5527-0 Mécanique des milieux continus © Éditions de l’École polytechnique Tome 1 - Concepts généraux - 2005 - 360 pages - ISBN 978-2-7302-1245-8 Tome 2 - Thermoélasticité - 2007 - 314 pages - ISBN 978-2-7302-1419-3 Tome 3 - Milieux curvilignes - 2016 - 162 pages - ISBN 978-2-7302-1644-9 Handbook of Continuum Mechanics © Springer 2001 - 804 pages - ISBN 3-540-41443-6 de l’Élasto-plasticité au Calcul à la rupture © Éditions de l’École polytechnique 2002 - 262 pages - ISBN 978-2-7302-0915-1 Viscoélasticité pour le calcul des structures © Éditions de l’École polytechnique et Presses de l’École nationale des ponts et chaussées 2009 - 158 pages - ISBN 978-2-7302-1557-2 Yield Design © ISTE – Wiley (London, UK; Hoboken, NJ), 2013 - 240 pages - ISBN 978-1-84821-540-5

© Éditions de l’École polytechnique - Mai 2016 91128 Palaiseau Cedex

Viscoélasticité pour le calcul des structures Le dimensionnement d’un ouvrage nécessite de déterminer, dans le cadre prescrit par les règlements, la réponse de celui-ci aux sollicitations statiques et dynamiques qui lui sont imposées. Ce dimensionnement se réfère à des critères qui portent sur sa résistance et son aptitude à satisfaire aux divers états de service. En ce qui concerne le premier de ces deux objectifs, la théorie du Calcul à la rupture formalise la démarche historiquement la plus ancienne qui ne s’appuie que sur le concept de résistance du matériau constitutif sans considération de sa déformation. Avec la théorie de l’Élasticité, puis la théorie de la Plasticité, le comportement du matériau constitutif étant pris en compte, le calcul des structures permet d’envisager aussi le second critère en calculant les déformations et déplacements de l’ouvrage sous l’effet des diverses sollicitations. Les deux modèles de comportement évoqués ici peuvent être décrits comme instantanés pour signifier que la réponse à une variation de sollicitation imposée à un instant donné est entièrement acquise à cet instant. Le concept de comportement différé exprime le fait que la réponse à une variation de sollicitation imposée à un instant donné n’est pas intégralement acquise à cet instant : à titre d’exemple explicite, la réponse incrémentale à une variation d’effort se traduit par une variation de déformation instantanée qui évolue (croît) ensuite avec le temps. La prise en compte des effets dus au comportement différé des matériaux fait partie de la pratique courante en calcul des structures. C’est le cas notamment pour les ouvrages en béton pour lesquels les règlements français et internationaux énoncent des formules permettant de définir le comportement uniaxial de ce matériau et de calculer la réponse de l’ouvrage au cours du temps, en tenant compte notamment de son mode de construction et de son histoire de chargement. La prise en considération de ce type de comportement est également souvent nécessaire pour des ouvrages géotechniques tels que les galeries ou les cavités de stockage. Pour la représentation du comportement différé des matériaux en calcul des structures on fait, en règle générale et plus ou moins explicitement, appel au modèle viscoélastique : l’objet du présent ouvrage est de présenter ce modèle dans cette perspective, avec l’hypothèse usuelle des petites perturbations. Le livre est organisé en deux chapitres, eux-mêmes articulés en deux parties. 3

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Le premier chapitre se place du point de vue unidimensionnel, c’est-à-dire en considérant que, pour l’élément de matériau constitutif (ce terme étant pris dans un sens très général, tel que élément de poutre, . . . ), la sollicitation et la réponse sont unidimensionnelles. Dans la première partie, la simplicité du modèle mécanique permet l’introduction phénoménologique des concepts fondamentaux de la viscoélasticité à partir des expériences essentielles de retard et de relaxation. La loi de comportement viscoélastique apparaît comme une correspondance fonctionnelle entre l’histoire de la sollicitation et l’histoire de la réponse. La linéarité du comportement n’est autre que la linéarité de cette correspondance, qui s’exprime par le principe de superposition de Boltzmann, explicité par la formule de Boltzmann et l’opérateur intégral correspondant. L’invariance des propriétés mécaniques du matériau par rapport au temps, aussi appelée « absence de vieillissement », est une hypothèse supplémentaire introduite de façon distincte de la précédente : elle permet d’expliciter l’opérateur de Boltzmann sous la forme d’une convolution de Stieltjes et d’utiliser le calcul opérationnel au moyen de la transformation de Laplace-Carson. Par rapport à la majorité des présentations classiques, pour lesquelles la linéarité englobe les deux hypothèses précédentes, il y a là une originalité de l’exposé, qui est essentielle en calcul des structures ; en effet le vieillissement des matériaux constitutifs doit y être pris en compte (il apparaît dans les formules réglementaires) et il est même, parfois, mis à profit. On procède ensuite à l’analyse et à la résolution du problème d’évolution viscoélastique quasi-statique lorsque le matériau constitutif du système concerné obéit à une loi de comportement viscoélastique linéaire. Suivant la même démarche, l’exposé met l’accent sur la linéarité en montrant que, pour de nombreux problèmes pratiques, l’utilisation symbolique de l’opérateur de Boltzmann permet d’obtenir la solution du problème d’évolution à partir du problème homologue d’élasticité linéarisée. La compréhension mécanique des phénomènes en cause est essentielle, notamment pour définir clairement l’histoire de la sollicitation. En l’absence de vieillissement, les résultats précédents se transposent sous forme algébrique au moyen de la transformation de Laplace-Carson et sont connus sous le nom de théorème de correspondance de Lee et Mandel. La deuxième partie du chapitre présente des exemples simples de mise en œuvre des résultats précédents dans le but non seulement d’en montrer le caractère effectif mais aussi d’illustrer quelques effets du comportement différé du matériau constitutif sur le comportement d’une structure, notamment en présence de précontrainte. Le deuxième chapitre traite de la viscoélasticité linéaire tridimensionnelle. Le modèle géométrique et mécanique considéré est le milieu continu tridimensionnel classique sur lequel on construit, comme dans le cas unidimensionnel, la loi de comportement à partir des expériences fondamentales de retard et de relaxation. La démarche, essentiellement pratique, est de nouveau phénoménologique ; elle ne fait pas mention des restrictions imposées par la thermodynamique (notamment sur les fonctions de relaxation) pour lesquelles on trouvera les références pertinentes dans la bibliographie à la fin de l’ouvrage. L’utilisation symbolique de l’opérateur intégral de Boltzmann permet, même en cas de vieillissement, l’écriture de la loi de comportement sous une

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forme algébrique semblable à la loi élastique linéaire. Le cas particulier du matériau isotrope apporte les simplifications connues en élasticité linéaire : la loi de comportement viscoélastique linéaire du milieu continu tridimensionnel isotrope s’écrit algébriquement, avec l’opérateur intégral de Boltzmann, sous la même forme qu’en élasticité linéaire, au moyen de deux fonctions de relaxation, homologues des coefficients classiques. L’analyse du problème d’évolution quasi-statique dans l’hypothèse des petites perturbations lorsque le matériau constitutif du système concerné est isotrope, viscoélastique linéaire, met l’accent sur la linéarité comme au chapitre précédent. On montre que, pour un système homogène et des problèmes qui ne font intervenir qu’une fonction de retard ou de relaxation du matériau constitutif, l’utilisation symbolique de l’opérateur de Boltzmann permet d’obtenir la solution du problème d’évolution directement à partir du problème homologue d’élasticité linéarisé. La compréhension mécanique des phénomènes en cause est essentielle, notamment pour définir clairement l’histoire de la sollicitation. Hors des conditions précédentes mais dans l’hypothèse de non vieillissement, on peut écrire les équations du problème sous forme algébrique simple en transformées de Laplace-Carson et d’en déduire, en transformées, la solution du problème à partir de la solution du problème d’équilibre élastique linéarisé homologue par le théorème de correspondance. La deuxième partie du chapitre présente des exemples de mise en œuvre sur des problèmes tridimensionnels typiques, sans faire appel à l’hypothèse de non vieillissement : outre l’application directe des règles énoncées, dans le cas d’histoires simples de sollicitation, on montre que l’utilisation du principe de superposition permet la résolution du problème d’évolution pour une histoire dans laquelle la nature de la sollicitation change au cours du temps.

Sommaire I

Approche unidimensionnelle

9

Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 1 Évidences expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Expériences uniaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Comportement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Viscoélasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Modèle linéaire non-vieillissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Modèles rhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel . . . . . . 8 Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe . 9 Problèmes d’évolutions quasi-statiques . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

19 19 20 27 28 36 44 52 56 60

Exemples de mise en œuvre 10 Précontrainte élastique et viscoélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Étude d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 70 80

II

89

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 1 Approches multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Expériences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Comportement viscoélastique linéaire tridimensionnel . . . . . . . . 4 Matériau viscoélastique linéaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Comportement viscoélastique linéaire en l’absence de vieillissement . 6 Évolutions viscoélastiques quasi-statiques . . . . . . . . . . . . . . .

97 . 97 . 97 . 98 . 103 . 108 . 113

Exemples de mise en œuvre 127 7 Barre cylindrique homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8 Convergence d’une cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Bibliographie

143

Glossaire français-anglais

147

Index alphabétique

149 7

Chapitre I

Approche unidimensionnelle

Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel Exemples de mise en œuvre

9

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

11

En bref... Les expériences uniaxiales d’identification du comportement des matériaux montrent que la réponse à une sollicitation instantanée, telle qu’une mise en charge, est en règle générale constituée d’une partie acquise instantanément et d’une partie différée. L’expérience de retard et l’expérience de relaxation sont les expériences les plus simples qui mettent en évidence ces propriétés ; elles sont complétées par l’expérience de recouvrance et l’expérience d’effacement, cette dernière étant d’ailleurs retenue comme expérience cruciale pour la définition de la viscoélasticité (sections 1 et 2). Lorsque le comportement étudié est linéaire, le « principe » de superposition ou « principe » de Boltzmann implique que ce comportement est complètement défini par les fonctions de retard ou par les fonctions de relaxation déterminées en effectuant les expériences correspondantes à tous les âges du matériau. La réponse à une histoire quelconque de contrainte (resp. déformation) s’obtient au moyen de l’opérateur intégral de Boltzmann et des fonctions de retard (resp. relaxation). Les fonctions de retard et de relaxation sont inverses les unes des autres du point de vue de cet opérateur (sections 3 et 4). L’évolution des propriétés mécaniques au cours du temps indépendamment des sollicitations mécaniques auxquelles le matériau est soumis porte le nom général de vieillissement. Il est souvent possible, au moins sur une partie significative de la durée de « vie » d’un matériau, de considérer que l’hypothèse de non-vieillissement est valable. Lorsqu’il en est ainsi, les réponses à deux histoires de sollicitations identiques mais translatées dans le temps à l’intérieur du domaine de validité de l’hypothèse sont elles aussi identiques et subissent la même translation (invariance par translation) (section 5). Il en résulte en particulier que, dans le cas de la viscoélasticité linéaire sans vieillissement, les fonctions de retard sont définies à partir d’une seule fonction d’une variable f (τ ) qui est appelée la fonction de retard. De la même façon, les fonctions de relaxation sont définies à partir de la fonction de relaxation r(τ ). L’opérateur intégral de Boltzmann s’identifie à la convolution de Riemann entre l’histoire de contrainte (resp. déformation) et la dérivée (au sens des distributions) de la fonction de retard (resp. relaxation). Plutôt que de travailler dans l’algèbre de convolution,

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Chapitre I – Approche unidimensionnelle

on préfère utiliser le calcul symbolique au moyen de la transformation de Laplace-Carson (section 5). L’analyse uniaxiale fournit le prototype de toute loi de comportement viscoélastique linéaire unidimensionnelle pour un système soumis à une sollicitation définie par un paramètre unique ou pour un élément de structure dont les efforts intérieurs sont unidimensionnels. À titre d’exemples, les comportements viscoélastiques linéaires d’une poutre droite en traction-compression ou en flexion s’inscrivent dans le cadre ainsi défini. Les relations établies peuvent ensuite être utilisées, de la même façon qu’en Résistance des matériaux, comme lois de comportement unidimensionnelles de l’élément de poutre droite ou d’arc de faible courbure (section 7). L’approche unidimensionnelle du comportement viscoélastique linéaire non-vieillissant s’appuie fréquemment sur l’utilisation de modèles rhéologiques constitués d’éléments simples élastiques (ressorts) et visqueux (amortisseurs ou dashpots) ; les modèles ainsi composés permettent de mettre en évidence et/ou de reproduire, au moins qualitativement, des comportements physiques unidimensionnels observés (section 6). Dans un essai harmonique l’histoire de la sollicitation est une fonction sinusoïdale du temps à partir de l’instant où elle est appliquée. Si le comportement du matériau étudié est viscoélastique linéaire sans vieillissement la réponse se met sous la forme de la somme d’un terme transitoire qui tend vers zéro au fur et à mesure du déroulement de l’essai et d’un terme sinusoïdal, de même fréquence que la sollicitation, qui définit le régime harmonique asymptotique. Ce régime est gouverné par le module complexe qui met en évidence que, quelle que soit la nature – force ou déplacement – de la sollicitation, la force est toujours en avance sur le déplacement : le déphasage, appelé angle de perte, est lié à la dissipation d’énergie due à l’irréversibilité du comportement (section 8). Les problèmes quasi-statiques de viscoélasticité linéaire unidimensionnelle sont définis, dans l’hypothèse des petites perturbations, par le système des équations de champs et des conditions aux limites sur la géométrie donnée du système étudié. Dans l’écriture de ces équations, il est essentiel d’identifier de façon précise la nature des données de façon à éviter tout contresens physique sur les phénomènes mis en jeu (retard ou relaxation). La résolution de ces problèmes peut parfois être effectuée directement, à partir de la solution du problème élastique homologue, au moyen de l’opérateur de Boltzmann. C’est le cas notamment, lorsque le système est constitué d’un matériau homogène, pour des évolutions prescrites par des paramètres de chargement ou des paramètres cinématiques.

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

13

Lorsque le comportement viscoélastique linéaire est, de plus, sans vieillissement l’utilisation du calcul symbolique ramène toujours le problème viscoélastique au problème élastique homologue portant sur les transformées de Laplace-Carson. Il convient ensuite de procéder à l’inversion des transformées de Laplace-Carson pour obtenir les fonctions du temps, solutions du problème de viscoélasticité. C’est le Théorème de correspondance(section 9).

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Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Principales notations

Notation

Signification Fonction de Heaviside

Yt (t) 0

1ère formule (2.1) (2.2)

Saut dans l’expérience de retard

(2.3)

Déformation longitudinale

(2.4)

Fonction de retard

(2.4)

Discontinuité de la fonction de retard

(2.6)

Saut dans l’expérience de relaxation

(2.7)

Fonction de relaxation

(2.8)

Fonctionnelle de l’histoire de contrainte

(3.1)

Fonctionnelle de l’histoire de déformation

(3.2)

Correspondances fonctionnelles inverses

(3.3)

J(t0 , t)

Fonction de retard en viscoélasticité linéaire

(4.3)

R(t0 , t)

Fonction de relaxation en viscoélasticité linéaire

(4.6)

Mesure de Dirac à l’abscisse τ

(4.17)

Distribution définie par la fonction ϕ

(4.17)

Produit scalaire de ϕ et ψ

(4.28)

(×)

Notation de l’opérateur intégral

(4.28)

f (τ )

Fonction de retard en viscoélasticité

(5.11)

σ

ε 0

J(t0 , t ; σ ) [[ J(t0 , t0 ; σ 0 ) ]] ε

0

R(t0 , t ; ε0 ) h t i Ft σ(τ ) −∞ h t i Rt ε(τ ) −∞

F, R

δτ {ϕ} < ϕ, ψ >

linéaire sans vieillissement r(τ )

Fonction de relaxation en viscoélasticité

(5.12)

linéaire sans vieillissement ∗ Lϕ(p)

Symbole de la convolution de Riemann

(5.18)

Transformée de Laplace de ϕ(t)

(5.25)

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

15

Principales notations

Notation

Signification

1ère formule

ϕ∗

Transformée de Carson de ϕ

(5.27)

τr

Temps caractéristique en relaxation

(6.10)

τf

Temps caractéristique en retard

(6.13)

⊗

Symbole du produit tensoriel

(7.1)

Q

Notation générique de la variable « force »

(7.2)

q

Notation générique de la variable géométrique

(7.2)

associée à Q dans l’expression du travail de déformation J(τ, t)

Notation générique de la fonction de retard en

(7.2)

viscoélasticité linéaire R(τ, t)

Notation générique de la fonction de relaxation en

(7.3)

viscoélasticité linéaire f(τ )

Notation générique de la fonction de retard en

(7.4)

viscoélasticité linéaire sans vieillissement r(τ )

Notation générique de la fonction de relaxation en

(7.5)

viscoélasticité linéaire sans vieillissement N

Effort normal dans l’élément de poutre droite

(7.8)

ε

Déformation longitudinale de l’élément de poutre

(7.8)

droite M

Moment fléchissant dans l’élément de poutre droite

(7.11)

χ

Courbure de l’élément de poutre droite

(7.11)

C

Moment de torsion dans l’élément de poutre droite

(7.14)

α

Rotation différentielle de l’élément de poutre droite

(7.14)

J

Moment d’inertie de torsion

(7.15)

Re[ ]

Partie réelle

(8.4)

r∗ (iω)

Module complexe

(8.10)

M (ω)

Module de r∗ (iω)

(8.10)

16

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Principales notations

Notation

(8.10)

f

Coefficient de frottement intérieur

(8.20)

Q

Vecteur chargement

(9.1)

Qj

Paramètre de chargement

(9.1)

q

Vecteur cinématique

(9.2)

qj

Paramètre cinématique

(9.2)

σ él j

εél j ,

ξ él , qél j j Λ(t0 ) εél j ,

, q él ξ él j j σ él k

εél k,

, Qél ξ él k k A(t0 ) σkél

1ère formule

Angle de perte

δ(ω)

σjél

Signification

εél k,

, Qél ξ él k k

Solutions élémentaires pour Qj = 1

(9.1) (9.2)

Matrice de complaisance élastique instantanée

(9.2)

Solutions élémentaires pour Qj = 1 avec Jt0 (t0 ) = 1

(9.3)

Solutions élémentaires pour qk = 1

(9.6) (9.7)

Matrice de module élastique instantanée

(9.7)

Solutions élémentaires pour qk = 1 avec Et0 (t0 ) = 1

(9.8)

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

17

Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel 1. Évidences expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Expériences uniaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Expérience de retard, fonction de retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Expérience de relaxation, fonction de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Premiers commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Recouvrance et effacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5. Autres expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6. Expériences cruciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Comportement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. Principe de superposition : matériaux Boltzmanniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Viscoélasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1. Élasticité instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2. Fonctions de retard et de relaxation en viscoélasticité linéaire . . . . . . . . . . . . 29 4.3. Réponse à une histoire de sollicitation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4. Formules de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. Modèle linéaire non-vieillissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1. Vieillissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2. Matériau non-vieillissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3. Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6. Modèles rhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.1. Modèles élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. Modèle de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3. Modèle de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.4. Solide linéaire standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7. Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.1. Point de vue uniaxial et modélisation unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.2. Exemples d’applications à des éléments de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8. Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe . . . . . 56 8.1. Essai harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.2. Régime harmonique asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.3. Exemple : sollicitation harmonique du solide linéaire standard . . . . . . . . . . . 58 8.4. Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 9. Problèmes quasi-statiques de viscoélasticité linéaire unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 9.1. Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 9.2. Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 9.3. Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9.4. Théorème de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

18

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Exemples de mise en œuvre 10. Précontrainte élastique et viscoélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 10.1. Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 10.2. Solution du problème d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.3. Application pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 11. Étude d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11.1. Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11.2. Poutre homogène isostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11.3. Poutre homogène hyperstatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 11.4. Poutre hétérogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1 – Évidences expérimentales

19

Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel

1

Évidences expérimentales

La pratique quotidienne, tant domestique qu’industrielle, abonde d’exemples qui mettent en évidence le comportement différé de matériaux familiers. La lente déformation des étagères d’une bibliothèque, le retour progressif(1) à sa forme initiale d’un échantillon de polymère déformé par une sollicitation temporaire, le fluage du béton ou du bitume, etc. ne sont que quelques-unes des manifestations de ce type de comportement. Quelques précisions quant aux échelles de temps impliquées dans les phénomènes précédents sont ici utiles. Les qualificatifs « lente », « progressive », utilisés ci-dessus signifient que les temps caractéristiques de ces phénomènes sont très grands vis-à-vis des temps de propagation associés à la réponse « instantanée » du matériau dans le système étudié (pour un matériau élastique linéaire de module de Young E, de masse volumique ρ dans un système de dimension caractéristique `, ce temps est de l’ordre p de ρ`2 /E. Les effets de ces phénomènes sont différemment appréciés ou utilisés de diverses façons. On songe en premier lieu à des inconvénients au niveau du confort en service (pont à travées indépendantes par exemple, structure isostatique). Mais des conséquences plus graves peuvent apparaître, telles que des déformations incompatibles avec le fonctionnement de l’ouvrage (chemins de roulement, . . . ), qui peuvent même se révéler catastrophiques par la redistribution des efforts au cours du temps dans les structures hyperstatiques compensées ou par des pertes de précontrainte (cf. sections 10 et 11). En revanche, les effets dissipatifs liés aux déformations différées expliquent l’utilisation des bitumes, mastics et polymères divers comme amortisseurs dans l’industrie. Il va de soi que les effets du comportement différé des matériaux sont d’autant mieux maîtrisés que l’on dispose d’une modélisation de ce comportement suffisamment pertinente. L’objet du présent chapitre est de construire de telles modélisations dans le cadre unidimensionnel pour la sollicitation et la réponse. On se limitera ici à des modélisations adaptées aux applications en calcul des structures dans la pratique courante et qui se placent dans l’hypothèse des petites perturbations et dans le cadre isotherme.

(1) Et

éventuellement incomplet.

20

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

2

Expériences uniaxiales

2.1

Expérience de retard, fonction de retard

Une expérience très simple permet de mettre en évidence et d’identifier le comportement différé des matériaux : l’expérience isotherme de retard , parfois appelée aussi expérience de fluage, sous sollicitation uniaxiale. Pratiquement on la réalise en imposant à un corps d’épreuve de forme convenable (éprouvette de traction, éprouvette de compression, ...), homogène, une sollicitation uniaxiale en contrainte, réputée homogène, selon l’histoire suivante décrite, pour fixer les idées, dans le cas de l’expérience de retard en traction simple sur une éprouvette de polymère en restant dans le cadre des petites déformations, la température étant maintenue constante. • L’éprouvette n’est initialement pas chargée ; elle est en équilibre et son matériau constitutif est alors dans son état naturel (état de contrainte nul en tout point). • À l’instant t0 on impose « instantanément » (cf. § 2.3) un échelon de contrainte d’amplitude σ 0 . • Cette contrainte est ensuite maintenue constante (figure 1a). On observe la réponse uniaxiale correspondante, c’est-à-dire l’évolution dans le temps, ou l’histoire, de la déformation longitudinale ε, supposée homogène dans l’éprouvette, comptée à partir de l’état naturel pris comme référence géométrique (figure 1b). ε σ σ0

ε(t) = σ 0 J(t0 , t; σ 0 )

σ(t) = σ 0 Y (t − t0 ) = σ 0 Yt0 (t)

t0

t

t0

t

Figure 1 – Expérience de retard (fluage) à l’instant t0

Par définition, ε(t) est nulle jusqu’à l’instant t0 . À t0 , « instantanément », une déformation ε(t0 ) est produite, qui traduit le comportement instantané du matériau. Ensuite, pour t > t0 la déformation évolue : elle croît en fonction de t, de façon continue et monotone, la concavité de la courbe étant dirigée vers le bas, comme le représente typiquement la figure 1b). La description mathématique de cette expérience est aisée.

2 – Expériences uniaxiales

21

On désigne par Y (t) la fonction « échelon » de Heaviside appliquée à l’instant 0, définie par : ® Y (t) = 0 t < 0 , (2.1) Y (t) = 1 t ≥ 0 . et par Yτ (t) l’échelon appliqué à l’instant τ , soit (2.2)

Yτ (t) = Y (t − τ ) .

L’histoire de σ représentée sur la figure 1a) s’écrit alors : (2.3a)

σ(t) = σ 0 Yt0 (t)

(2.3b)

σ = σ 0 Yt0 .

Il est commode de décrire la réponse correspondante par la formule : ε(t) = σ 0 J(t0 , t ; σ 0 )

(2.4) où ®

(2.5)

J(t0 , t ; σ 0 ) = 0 si t < t0 J(t0 , t ; σ 0 ) croissante pour t ≥ t0 .

La discontinuité de J(t0 , t ; σ 0 ) pour t = t0 , notée [[ J(t0 , t0 ; σ 0 ) ]], traduit la réponse instantanée du matériau à l’instant t0 , dans cette expérience. On conviendra dans toute la suite de désigner par J(t0 , t0 ; σ 0 ) la valeur à droite, c’est-à-dire pour t = t+ 0 , de cette fonction : 0 0 J(t0 , t0 ; σ 0 ) = J(t0 , t+ 0 ; σ ) = [[ J(t0 , t0 ; σ ) ]],

(2.6)

qui est positive, la valeur à gauche étant nulle par définition(2) . Si le matériau ne subit pas de transformation physique ou chimique brutale qui modifierait instantanément ses propriétés mécaniques, la fonction J(t0 , t ; σ 0 ) est continue par rapport à la variable t0 . L’expérience ainsi décrite est l’expérience de retard , effectuée à l’instant t0 avec l’amplitude σ 0 . La fonction J(t0 , t ; σ 0 ) est la fonction de retard correspondante.

2.2

Expérience de relaxation, fonction de relaxation

L’expérience de relaxation isotherme est l’homologue de la précédente dans laquelle la sollicitation imposée est désormais la déformation longitudinale ε et la réponse observée est la contrainte σ. (2) Dans

le cas du matériau élastique, la réponse est ensuite constante.

22

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

À partir de l’état non chargé de l’éprouvette, dans lequel le matériau est dans l’étal naturel pris comme référence géométrique, on impose (cf. § 2.3) l’histoire de déformation (figure 2a) : (2.7a)

ε(t) = ε0 Yt0 (t)

(2.7b)

ε = ε0 Yt0 .

et l’on observe la réponse σ (figure 2b) que l’on met sous la forme : σ(t) = ε0 R(t0 , t ; ε0 )

(2.8) où     

(2.9)

   

R(t0 , t ; ε0 ) = 0 [[R(t0 , t0 ; ε0 ) ]] > 0 R(t0 , t ; ε0 ) ≥ 0 R(t0 , t ; ε0 )

si t < t0 pour t = t0 pour t > t0 décroissante pour t > t0

À l’instant t0 , après le saut correspondant à la réponse instantanée du matériau, la contrainte σ décroît en fonction de t > t0 , de façon continue et monotone, la concavité de la courbe étant dirigée vers le haut, comme le représente typiquement la figure 2b). σ ε ε0

ε(t) = ε0 Y (t − t0 ) = ε0 Yt0 (t)

t0

t

σ(t) = ε0 R(t0 , t; ε0 )

t0

t

Figure 2 – Expérience de relaxation à l’instant t0

Comme pour la fonction de retard, on convient de poser : (2.10)

0 0 R(t0 , t0 ; ε0 ) = R(t0 , t+ 0 ; ε ) = [[ R(t0 , t0 ; ε ) ]],

la valeur à gauche étant nulle par définition(3) . Comme précédemment, si le matériau ne subit pas de transformation physique ou chimique brutale qui modifierait instantanément ses propriétés mécaniques, la fonction R(t0 , t ; ε0 ) est continue par rapport à la variable t0 . L’expérience ainsi décrite est l’expérience de relaxation, effectuée à l’instant t0 avec l’amplitude ε0 . La fonction R(t0 , t ; ε0 ) est la fonction de relaxation correspondante. (3) Dans

le cas du matériau élastique, la réponse est ensuite constante.

2 – Expériences uniaxiales

2.3 2.3.1

23

Premiers commentaires Retard et relaxation

Malgré leur similitude apparente, il existe une différence importante entre les expériences de retard et de relaxation quant à la possibilité effective de les réaliser. • L’expérience de retard est toujours réalisable, quel que soit le matériau. • En revanche, l’expérience de relaxation n’est réalisable que s’il est possible d’appliquer au matériau un échelon de déformation instantané, c’est-à-dire si la réponse instantanée du matériau dans l’expérience de retard est non nulle : [[ J(t0 , t0 ; σ 0 ]] 6= 0, ∀σ 0 6= 0. Par ailleurs, l’expérience montre que les temps caractéristiques des phénomènes de retard et de relaxation sont, en règle générale, significativement différents : la relaxation est un phénomène plus rapide que le retard (fluage). 2.3.2

Temps et chronologie

Les descriptions précédentes sont évidemment valables quelle que soit l’origine choisie pour la variable temps. Au plan pratique il va de soi que, puisque l’on cherche par ces expériences à identifier certains aspects des comportements instantané et différé du matériau étudié, il sera commode de rattacher la chronologie à une origine qui soit significative pour l’échantillon considéré. Ce pourra être, par exemple, l’instant de son élaboration. Aussi, lorsque des échantillons d’âges différents sont impliqués dans une même étude, on doit porter une grande attention au calage des diverses chronologies qui leur sont propres. On aura l’occasion de revenir sur ce point ultérieurement (§ 11.4). 2.3.3

Sollicitations et réponses instantanées

La discussion abordée dans la section 1 à propos des échelles de temps pour qualifier le caractère différé du comportement du matériau doit être reprise ici à propos de la mise en œuvre pratique de l’échelon instantané de contrainte ou de déformation. En effet le temps de mise en charge correspondant (temps pratique de montée en plateau sur les figures 1a et 2a) doit être à la fois suffisamment court pour être considéré comme instantané et suffisamment long pour correspondre à une évolution quasi-statique : il doit donc être grand mais non très grand devant les temps de propagation évoqués dans la section 1.

2.4 2.4.1

Recouvrance et effacement Recouvrance

L’expérience de recouvrance n’est autre que l’expérience de charge-décharge relative à l’expérience de retard. Elle consiste à imposer une sollicitation en « créneau » : le plateau de la figure 1a, d’amplitude σ 0 à partir de l’instant t0 , est interrompu par une décharge instantanée de même amplitude à l’instant t1 , (figure 3a).

24

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

ε σ σ0

Retour instantané

σ(t) = σ 0 Yt0 (t) − σ 0 Yt1 (t)

Recouvrance

t0

t1

t

t0

t1

t

Figure 3 – Expérience de recouvrance

L’histoire de la sollicitation s’écrit ainsi, avec t0 < t1 : (2.11a)

σ(t) = σ 0 [Yt0 (t) − Yt1 (t)]

(2.11b)

σ = σ 0 (Yt0 − Yt1 ) .

La réponse typique en déformation est représentée sur la figure 3b). Évidemment identique à celle de l’expérience de retard pour t < t1 , elle comporte une réponse instantanée décroissante à l’instant t1 , suivie d’une évolution monotone décroissante pour t > t1 . Le phénomène de « récupération » du matériau ainsi mis en évidence porte le nom de recouvrance. Cette recouvrance(4) est dite totale si la déformation ε s’annule pour t suffisamment grand ou lorsque t → ∞ : il n’y a alors pas de déformation permanente du matériau après décharge totale. 2.4.2

Effacement des contraintes

L’expérience d’effacement se rattache à l’expérience de relaxation, vis-à-vis de laquelle elle est l’homologue de l’expérience de recouvrance (figure 4). La sollicitation en créneau est, avec t0 < t1 (figure 4a) : (2.12a)

ε(t) = ε0 [Yt0 (t) − Yt1 (t)]

(2.12b)

ε = ε0 (Yt0 − Yt1 ) .

La réponse typique en contrainte (figure 4b) est identique à celle de l’expérience de relaxation pour t < t1 . Elle comporte une réponse instantanée décroissante à (4) Ce phénomène ne doit pas être confondu avec la résilience, qui caractérise la résistance des matériaux aux chocs et qui fut introduite par Thomas Young (1807) : « there is, however, a limit beyond which the velocity of a body striking another cannot be increased without overcoming its resilience and breaking it . . . ». Pour l’anecdote, on notera que Thomas Young était docteur en médecine de l’université de Göttingen et que le concept de résilience est actuellement utilisé en psychanalyse

2 – Expériences uniaxiales

25

l’instant t1 lorsque l’on ramène la déformation à la valeur nulle, suivie d’une évolution de la contrainte monotone décroissante en valeur absolue. Le phénomène correspondant porte le nom d’effacement (de la contrainte). Si σ s’annule pour t suffisamment grand ou lorsque t → ∞, l’effacement est total. σ ε ε0

ε(t) = ε0 Yt0 (t) − ε0 Yt1 (t) t0 t0

t

t1

t1 t Effacement

Figure 4 – Expérience d’effacement

2.5

Autres expériences

Les expériences décrites ci-dessus permettent d’appréhender le comportement différé d’un matériau mais ne suffisent pas pour le déterminer. Chaque histoire de sollicitation (en contrainte, en déformation, ou mixte) est un cas nouveau dont, en règle générale, la description ne peut être obtenue à partir des expériences précédentes. On traitera dans la suite du cas du comportement linéaire pour lequel l’intérêt porté ci-dessus aux expériences fondamentales se révélera pleinement justifié puisqu’il est alors possible d’écrire la réponse à toute histoire de sollicitation isotherme à partir du seul « catalogue » des expériences de retard isothermes ou de celui des expériences de relaxation isothermes.

2.6

Expériences cruciales

On sait que, pour un matériau élasto-plastique soumis à un processus de chargement uniaxial, l’expérience de charge-décharge permet de distinguer les comportements élastique et plastique. En deçà du seuil de plasticité, l’accroissement de déformation produit par un incrément de charge est instantané et est intégralement et instantanément récupéré lorsque l’on effectue une décharge d’amplitude équivalente. On parle ainsi de réversibilité de la déformation élastique. Au delà du seuil de plasticité, en effectuant la même expérience, la décharge révèle la partie élastique de l’accroissement de déformation produit à la charge, dont le complément pour aboutir à l’accroissement total est la partie plastique. En d’autres termes, en se référant aux expériences décrites plus haut (§ 2.4), l’expérience cruciale qui est ainsi utilisée est l’expérience de recouvrance : lorsque

26

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

le comportement du matériau est élastique la réponse ε dans l’expérience de recouvrance, ∀t0 , ∀t1 > t0 , est un créneau proportionnel à celui de σ. En toute rigueur, l’expérience de recouvrance doit être effectuée instantanément (t1 → t0 ) pour exclure tout phénomène de vieillissement du matériau (par transformation physique ou chimique par exemple) susceptible de modifier ses caractéristiques élastiques(5) . Dans l’hypothèse habituelle d’absence de vieillissement, la décharge dans l’expérience de recouvrance peut être effectuée à n’importe quel instant postérieur à la charge. Si, de plus, le matériau est linéairement élastique(6) le coefficient de proportionnalité est indépendant de la valeur (algébrique) de l’incrément de charge et détermine le module d’élasticité E du matériau : l’amplitude du créneau de déformation est égale à σ 0 /E. Dans le cas particulier de ce comportement, les rôles de σ et de ε peuvent être échangés et, de façon équivalente, l’expérience d’effacement peut être utilisée comme expérience cruciale : la réponse σ dans l’expérience d’effacement, ∀t0 , ∀t1 > t0 , est un créneau proportionnel à celui de ε, dont l’amplitude est E ε0 dans le cas de l’élasticité linéaire. Puisque l’on s’intéresse désormais à un matériau dont la réponse n’est pas instantanément acquise dans son intégralité, on s’attache d’abord à en qualifier le comportement instantané. À chaque instant t0 , cet aspect du comportement est révélé dans l’expérience de recouvrance (2.11) effectuée « instantanément », c’est-à-dire avec t1 → t0 . Par définition, le comportement instantané à l’instant t0 est élastique si les sauts de déformation observés à t0 puis à t1 sont opposés lorsque t1 → t0 , t1 > t0 . Dans toute la suite on ne s’intéresse qu’à des matériaux dont le comportement instantané est élastique (pas de déformation instantanée irréversible, c’est-à-dire pas de déformation plastique) et, de plus, pour les applications au calcul des structures industrielles ou au génie civil, on suppose que le module d’élasticité instantané est fini, ce qui exclut les matériaux indéformables instantanément. En ce qui concerne le comportement différé, la distinction entre la viscoélasticité et la viscoplasticité se révèle plus délicate dans le cas général si l’on s’en tient à l’approche phénoménologique sans prise en considération des phénomènes physiques mis en jeu dans le comportement différé. La simple transposition au niveau du comportement différé de l’expérience de recouvrance comme expérience cruciale n’est pas pertinente : l’idée intuitive serait en effet alors de caractériser la viscoélasticité par la propriété de recouvrance totale, ce qui est immédiatement contredit par la considération d’exemples simples (cf. § 6.1.2). Mandel a proposé, d’adopter l’expérience d’effacement comme expérience cruciale et de caractériser la viscoélasticité par la propriété d’effacement total (7) . Il semble que cette définition permette de couvrir l’ensemble des modèles réalistes.

(5) À titre d’exemple, une élévation de température importante (de l’ordre de 500 K) produit un affaiblissement puis, une fois la température critique atteinte, une chute brutale du module d’élasticité de l’acier. (6) Cf. section 3 (7) Cette caractérisation exclut le cas des matériaux indéformables instantanément

3 – Comportement linéaire

3

27

Comportement linéaire

3.1

Principe de superposition : matériaux Boltzmanniens

Les évidences expérimentales relatives au comportement de divers matériaux pour des histoires de sollicitations complexes, en contrainte ou en déformation imposées, conduisent à introduire le concept de matériaux Boltzmanniens dont la définition s’exprime par le principe de superposition (de Boltzmann) sous la forme concrète suivante. On se place dans l’hypothèse des petites transformations qui justifie, d’une façon générale, le recours au tenseur des contraintes de Cauchy σ et au tenseur des déformations linéarisé ε et à sa dérivée temporelle ε˙ pour la description du comportement : Pour un matériau Boltzmannien, la superposition des sollicitations implique la superposition homologue des réponses. Dans une formulation plus mathématique, le principe de superposition énonce la linéarité du comportement du matériau considéré. Plus précisément, en se plaçant dans le cas de sollicitations isothermes et dans le cadre uniaxial, on se réfère à la loi de comportement isotherme du matériau, qui traduit la correspondance fonctionnelle entre l’histoire de σ et l’histoire de ε. À chaque instant t, la déformation ε(t) dépend de l’histoire de la contrainte σ jusqu’à cet instant. On exprimera cette correspondance univoque par l’équation (3.1) h t i dans laquelle σ(τ ) représente symboliquement l’histoire de σ et où les bornes infé−∞

rieure (−∞) et supérieure (t) pour la variable τ traduisent le principe de causalité : l’histoire de σ postérieure à l’instant actuel t ne peut influer sur la valeur de ε(t). (3.1)

h t i ε(t) = Ft σ(τ ) . −∞

Si la correspondance inverse de (3.1) est définie (3.2)

(8)

, elle s’écrit de la même façon :

h t i σ(t) = Rt ε(τ ) . −∞

Sans entrer dans les détails mathématiques, l’équation (3.1) définit, à partir de l’ensemble des histoires de σ un ensemble d’histoires de ε. On désigne par F la correspondance fonctionnelle univoque qui associe à chaque histoire de σ l’histoire de ε ainsi définie : (3.3a)

F

σ 7−→ ε .

(8) En effet, les rôles de σ et de ε ne sont pas interchangeables : la correspondance inverse peut ne pas être univoque, une même histoire de ε peut être issue de plusieurs histoires de σ distinctes.

28

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Réciproquement, sur l’ensemble des histoires de ε engendré par (3.3a), si (3.2) existe, on désigne par R la correspondance fonctionnelle inverse, qui associe à chacune de ces histoires l’histoire de σ définie par (3.2) : R

(3.3b)

ε 7−→ σ .

Le principe de superposition s’explicite mathématiquement en énonçant la linéarité de la fonctionnelle F . Considérant deux histoires σ (1) et σ (2) de σ et les deux histoires ε(2) et ε(2) qui leur sont associées par (3.1) et (3.2), alors l’histoire de ε qui est associée à l’histoire σ = λ1 σ (1) + λ2 σ (2) , combinaison linéaire quelconque de σ (1) et σ (2) , est la combinaison linéaire homologue ε = λ1 ε(1) + λ2 ε(2) . Ainsi : F (λ1 σ (1) + λ2 σ (2) ) = λ1 F (σ (1) ) + λ2 F (σ (2) )

(3.4a)

et pour la correspondance fonctionnelle inverse R on a de même(9) : R(λ1 ε(1) + λ2 ε(2) ) = λ1 R(ε(1) ) + λ2 R(ε(2) ) .

(3.4b)

3.2

Élasticité linéaire

L’exemple le plus classique de comportement Boltzmannien est évidemment celui de l’élasticité linéaire déjà évoqué au paragraphe 2.6. Les correspondances fonctionnelles (3.1, 3.2) prennent alors les formes : h t i ε(t) = Ft σ(τ ) = σ(t)/E . (3.5) −∞

et h t i σ(t) = Rt ε(τ ) = E ε(t) .

(3.6)

−∞

4 4.1

Viscoélasticité linéaire Élasticité instantanée

On fait désormais l’hypothèse, qui devra être validée par l’expérience, que le comportement uniaxial du matériau étudié obéit au principe de superposition de Boltzmann exprimé par les équations (3.4a et 3.4b). On s’attache d’abord à qualifier le comportement instantané du matériau. Par définition, le comportement instantané à l’instant t0 , révélé dans l’expérience de recouvrance (2.11) est élastique si les sauts de déformation observés à t0 puis à t1 sont opposés lorsque t1 → t0 , t1 > t0 . L’expérience, qui est réversible, détermine ainsi le module d’élasticité du matériau à l’instant t0 considéré.(10) Si les propriétés élastiques de ce matériau n’évoluent pas avec le temps – absence de « vieillissement » – ce module instantané est constant. (9) Dans

le cas uniaxial considéré ici la linéarité de F implique l’existence et la linéarité de R. le cas d’une expérience de traction simple, il peut être tentant de noter ce module E(t0 ) ; on verra, au chapitre II (§ 4.2.4 et 5.5.2) que cette notation peut être cause de confusions. (10) Dans

4 – Viscoélasticité linéaire

4.2

29

Fonctions de retard et de relaxation en viscoélasticité linéaire

L’hypothèse de la linéarité de comportement implique des conséquences immédiates sur les fonctions de retard et de relaxation définies dans la section 2, qui constituent autant de tests pour la validation expérimentale de la pertinence de cette hypothèse. 4.2.1

Fonction de retard

L’application de (3.4) à l’expérience de retard montre que, à t0 fixé, ε(t) est proportionnelle à σ 0 quel qu’en soit le signe (traction ou compression). Ainsi la fonction de retard définie par (2.4) est indépendante de σ 0 :   σ(t) = σ 0 Yt0 (t) (4.1)  ε(t) = σ 0 J(t , t), ∀σ 0 0 ou encore

F

σ = σ 0 Yt0 7−→ ε = σ 0 Jt0 , ∀σ 0 ,

(4.2) où l’on a posé (4.3) 4.2.2

Jt0 (t) = J(t0 , t) . Fonction de relaxation

De façon totalement homologue on déduit de la linéarité de la fonctionnelle R la propriété de la fonction de relaxation :   ε(t) = ε0 Yt0 (t) (4.4)  σ(t) = ε0 R(t , t), ∀ε0 0 ou encore

R

ε = ε0 Yt0 7−→ σ = ε0 Rt0 , ∀ε0 ,

(4.5) où l’on a posé (4.6) 4.2.3

Rt0 (t) = R(t0 , t) . Propriétés des fonctions de retard et de relaxation

Pour les matériaux considérés ici, dont le module d’élasticité instantané est fini, dans le cas où l’hypothèse de linéarité du comportement est validée, les fonctions J(τ, t) et R(τ, t) possèdent les propriétés mathématiques récapitulées dans les formules suivantes qui incluent les propriétés à τ fixé (2.5 et 2.9) déjà énoncées pour les fonctions J(t0 , t ; σ 0 ) et R(t0 , t ; ε0 ).

30

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

          

(4.7)

         

et

              

(4.8)

             

J(τ, t) = 0 pour t < τ J(τ, τ ) > 0 J(τ, t) croissante(11) de t pour τ ≤ t J(τ, t) continue et continûment différentiable par rapport à τ et à t pour τ < t

R(τ, t) = 0 pour t < τ 0 < R(τ, τ ) < ∞ R(τ, t) ≥ 0 pour τ ≤ t R(τ, t) décroissante de t pour τ ≤ t R(τ, t) continue et continûment différentiable par rapport à τ et à t pour τ < t .

On rappelle que, par définition (2.6 et 2.10), on a posé : J(τ, τ ) = J(τ, τ + ) et R(τ, τ ) = R(τ, τ + ) .

(4.9) 4.2.4

Expériences de recouvrance et d’effacement

Le principe de superposition permet de décrire les réponses dans les expériences de recouvrance et d’effacement à partir des expériences de retard et de relaxation et des fonctions correspondantes. • Recouvrance Par linéarité, la réponse à la sollicitation (2.11), σ = σ 0 (Yt0 − Yt1 ), s’obtient à partir de (4.1) et s’écrit, ∀σ 0 , ∀t0 , ∀t1 > t0 : ε = σ 0 (Jt0 − Jt1 )

(4.10a) ou, de façon explicite,

ε(t) = σ 0 [J(t0 , t) − J(t1 , t)] .

(4.10b) • Effacement

De la même manière, la réponse à la sollicitation ε = ε0 (Yt0 − Yt1 ) de l’expérience d’effacement (2.12) s’obtient à partir de (4.4) et s’écrit, ∀σ 0 , ∀t0 , ∀t1 > t0 : (4.11a) (11) J(τ, t)

σ = ε0 (Rt0 − Rt1 ) et R(τ, t) constantes pour τ ≤ t dans le cas du matériau élastique (cf. § 6.1.1).

4 – Viscoélasticité linéaire

31

ou, de façon explicite, σ(t) = ε0 [R(t0 , t) − R(t1 , t)] .

(4.11b)

• Identification des comportements instantané et différé L’expression (4.10) de la réponse dans l’expérience de recouvrance, associée à la continuité de J(τ, t) par rapport à τ , montre que lorsque cette expérience est effectuée « instantanément », c’est-à-dire avec t1 → t0 , les sauts de déformation observés à t0 puis à t1 sont opposés puisque : (4.12)

lim

t1 →t0 ,t1 >t0

{ε(t) = σ 0 [(J(t0 , t) − J(t1 , t)]} = 0, ∀t > t1 > t0 .

Ceci rend compte du caractère élastique du comportement linéaire instantané. Le module d’élasticité instantané à l’instant t0 est égal à R(t0 , t0 ) et les fonctions de retard et de relaxation vérifient la relation : (4.13)

J(τ, τ )R(τ, τ ) = 1, ∀ τ .

En ce qui concerne le comportement différé, si l’on retient la caractérisation de la viscoélasticité proposée par Mandel (cf. § 2.6), en viscoélasticité linéaire la fonction de relaxation doit vérifier une propriété supplémentaire de comportement à l’infini(12) : (4.14)

lim {(R(t0 , t) − R(t1 , t)} = 0, ∀t0 , ∀t1 > t0 .

t→∞

4.2.5

Exemple de validation

À titre d’exemple on considère le cas du béton pour lequel on examine dans quelle mesure son comportement uniaxial instantané et différé peut être représenté par le modèle viscoélastique linéaire. En ce qui concerne l’expérience de retard, on constate habituellement que, pour les sollicitations en compression, la fonction de retard J(t0 , t ; σ 0 ) n’est pas indépendante de σ 0 et apparaît, en fait, comme une fonction croissante de σ 0 , ce qui est contradictoire avec l’hypothèse de linéarité. Toutefois, il est courant d’admettre que si σ 0 ne dépasse pas 70% de la contrainte de rupture en compression, l’approximation J(t0 , t ; σ 0 ) = J(t0 , t) est légitime. Dans l’expérience de recouvrance, la réponse ne suit pas la formule (4.10), le retour après décharge se révélant plus faible que celui prévu par cette formule. Malgré ces lacunes, on adopte le modèle viscoélastique linéaire pour modéliser le comportement uniaxial du béton en compression dans des applications courantes en calcul des structures, ne serait-ce que pour une première approche. Ce comportement est alors défini , comme on le verra dans la section suivante, par la seule donnée de la fonction de retard J(t0 , t).

4.3

Réponse à une histoire de sollicitation quelconque

Les résultats précédents incitent naturellement à chercher à exprimer la réponse à une histoire de sollicitation quelconque en contrainte ou en déformation, c’est-à-dire à (12) Ceci

n’implique évidemment pas la propriété homologue pour la fonction de retard !

32

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

expliciter les correspondances (3.3) inverses l’une de l’autre. Le résultat cherché étant, en fait, relativement banal du point de vue mathématique sous réserve de quelques « précautions », il parait intéressant pour sa meilleure compréhension d’en donner une présentation à caractère intuitif. Plutôt que de sollicitation en contrainte ou en déformation, on parlera dans la suite d’histoire donnée de contrainte ou de déformation, la réponse étant l’histoire de déformation ou de contrainte correspondante : on distingue ainsi les correspondances fonctionnelles F et R dans (3.3). Histoire de contrainte donnée On considère une histoire σ, nulle pour t < t0 , continue et dérivable, par morceaux , pour t > t0 . On désigne par τi les instants où σ est discontinue, parmi lesquels figure éventuellement t0 , et par [[ σ ]]i les sauts correspondants. On convient désormais dans toutes les formules de désigner par σ(t), ε(t), etc., les valeurs à droite des fonctions concernées : en conséquence, l’instant actuel t, s’il est point de discontinuité, figure parmi les instants τi tels que τi ≤ t. On peut alors expliciter σ(t) sous la forme : (4.15)

σ(t) =

Z

t

t+ 0

Yτ (t) dσ(τ ) +

X

[[ σ ]]i Yτi (t)

τi ≤t

c’est-à-dire que σ apparaît comme la somme infinie d’expériences de retard infinitésimales à l’instant courant τ d’amplitude dσ(τ ), et d’expériences de retard d’amplitude finie [[ σ ]]i aux instants τi ≤ t (figure 5). σ

Yτ (t) dσ(τ ) [[ σ ]]0 Yτ0 (t) τ0 τ

τi

t

Figure 5 – Interprétation de σ(t) comme une intégrale de Stieltjes

La formule (4.15) est la définition de l’intégrale de Stieltjes : (4.16)

σ(t) =

Z

t

σ 0 (τ ) dτ,

−∞

qui revient à interpréter la dérivée σ 0 de σ sous l’intégrale (4.16) au sens des distributions : X σ 0 = {σ 0 } + (4.17) [[ σ ]]i δτi , τi ≤t

4 – Viscoélasticité linéaire

33

où δτi est la mesure de Dirac en τi et où {σ 0 } désigne la distribution définie par la fonction dérivée de σ. La réponse à l’histoire σ découle immédiatement de l’application du principe de superposition à la formule (4.15) : (4.18)

ε(t) =

Z

t

t+ 0

J(τ, t) dσ(τ ) +

X

[[ σ ]]i J(τi , t)

τi ≤t

qui peut aussi s’écrire sous la forme de l’intégrale de Stieltjes : Z t (4.19a) J(τ, t) σ 0 (τ ) dτ ε(t) = −∞

ou encore, en tenant compte des propriétés de Jτ , Z ∞ ε(t) = (4.19b) J(τ, t) σ 0 (τ ) dτ . −∞

La formule (4.18) fondée sur le raisonnement pragmatique de la Figure 5, pourrait conduire à une interprétation erronée(13) . En effet, elle semble conférer à tous les instants τi ≤ t (dont, éventuellement, l’instant du début de l’histoire) le caractère de points exceptionnels de la fonctionnelle ε(t), c’est-à-dire tels que la modification des valeurs de σ en ces seuls instants entraînerait une variation de ε(t) pour tous les instants ultérieurs. Il n’en est rien : la réponse ε(t) à l’instant t est la même pour deux histoires de σ qui ne diffèrent l’une de l’autre que par leurs valeurs en des instants τi strictement antérieurs à t, (τi < t), : seul l’instant actuel t possède le caractère de point exceptionnel. En effet l’ambiguïté disparaît si l’on procède à l’intégration par parties de l’intégrale dans (4.18), ce qui nécessite de bien prendre en compte les discontinuités de σ aux points τi ≤ t et la condition à l’infini σ(−∞) = 0. On obtient ainsi la formule de Boltzmann :

(4.20)

ε(t) = σ(t)J(t, t) −

Z

t

t0

σ(τ )

∂J (τ, t) dτ ∂τ

L’importance de cette nouvelle expression tient au fait qu’elle décompose la déformation actuelle ε(t) en la somme de deux termes physiquement significatifs. • Le premier, σ(t)J(t, t), exprime la réponse instantanée, à l’instant actuel t, à la sollicitation en ce même instant, c’est-à-dire à σ(t). (On rappelle que l’on a défini, de façon générale, J(τ, τ ) = J(τ, τ + )). Rt ∂J (τ, t) dτ , est l’intégrale de mémoire de toute l’histoire • Le second,− t0 σ(τ ) ∂τ antérieure à t et exprime le résultat du comportement différé du matériau. Compte tenu des propriétés (4.7) énoncées pour la fonction Jτ ce terme ne comporte aucune singularité. (13) L’intégrale

de Stieltjes (4.19) est sans ambiguïté.

34

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Il résulte de cette décomposition que le seul instant qui possède un caractère exceptionnel pour la fonctionnelle ε(t) est l’instant actuel t , en manifestation de la réponse élastique instantanée du matériau. La formule (4.20) peut aussi se mettre sous la forme d’une intégrale de Stieltjes en remarquant que la dérivée partielle par rapport à τ de J(τ, t), prise au sens des distributions est : n ∂J o ∂J (4.21) (·, t) = (·, t) − J(t, t) δt , ∂τ ∂τ d’où l’intégrale de Stieltjes Z ∞ ∂J (4.22) ε(t) = − σ(τ ) (τ, t) dτ . ∂τ −∞ Ceci permet de compléter l’interprétation physique de la formule de Boltzmann : • Issu de l’expérience de retard, J(t, t) est la complaisance élastique qui donne la réponse instantanée à l’échelon unité appliqué à l’instant t . ∂J • − (τ, t) est la réponse, observée à l’instant t, à l’impulsion unité appliquée à ∂τ l’instant τ, (τ < t), c’est-à-dire à δτ (14) . Histoire de déformation donnée On part maintenant d’une histoire de ε donnée, nulle pour t = −∞, continue et dérivable, par morceaux , par rapport au temps, et présentant des sauts [[ ε ]]i aux instants τi . Sans reproduire dans le détail les raisonnements du paragraphe précédent, on voit que la réponse σ à cette histoire de déformation s’obtient en permutant dans les formules précédentes les rôles de σ et de ε et en faisant intervenir la fonction de relaxation R(τ, t) au lieu de J(τ, t). Il en résulte les expressions suivantes : Z t X σ(t) = R(τ, t) dε(τ ) + (4.23) [[ ε ]]i R(τi , t) t+ 0

τi ≤t

où, sous la forme d’une intégrale de Stieltjes, Z ∞ (4.24) σ(t) = R(τ, t) ε0 (τ ) dτ −∞

avec (4.25)

ε0 = {ε0 } +

X

[[ ε ]]i δτi .

τi ≤t

L’intégration par parties conduit à la formule de Boltzmann :

(4.26)

σ(t) = ε(t)R(t, t) −

Z

t

t0

ε(τ )

∂R (τ, t) dτ ∂τ

(14) On remarque que c’est ici la réponse à l’échelon unité qui joue le rôle primordial alors qu’habituellement les analyses des comportements linéaires se réfèrent à la réponse à l’impulsion unité. Ceci est évidemment dû à la nature physique de l’expérience quasi-statique fondamentale.

4 – Viscoélasticité linéaire

35

ou, sous la forme d’une intégrale de Stieltjes, Z ∞ ∂R σ(t) = − ε(τ ) (4.27) (τ, t) dτ . ∂τ −∞

4.4 4.4.1

Formules de Boltzmann Opérateur intégral

On remarque que, dans leur structure, les expressions (4.20) et (4.26) sont strictement identiques, construites respectivement sur les fonctions de retard et de relaxation. Ainsi les correspondances fonctionnelles F et R, linéaires, inverses l’une de ∂J l’autre, s’expriment avec le même opérateur intégral construit avec la dérivée (τ, t) ∂τ ∂R (τ, t) pour R, ces dérivées étant prises au sens des distribupour F et la dérivée ∂R tions. Pour accroitre la lisibilité des formules et faciliter la comparaison avec le cas particulier du matériau non-vieillissant traité dans la suite (section 5), on peut adopter pour les correspondances fonctionnelles (3.3) la forme (4.28), explicitée par (4.20) et (4.26) :

F

σ 7−→ ε = − < (4.28) R

ε 7−→ σ = −
= J (×) σ ∂τ ∂R , ε >= R (×) ε ∂τ

Quelques identités autour de l’opérateur intégral

Élément neutre Si J(τ, t) = Yτ (t) = Y (t − τ ) ou R(τ, t) = Yτ (t) = Y (t − τ ), on a évidemment :   ∀σ, J (×) σ = σ (4.29)  ∀ε, R (×) ε = ε .

Cette constatation ne doit pas surprendre car il s’agit simplement de la forme des fonctions de retard et de relaxation dans le cas du comportement purement élastique linéaire (cf. § 6.1.1) : (4.30)

J(τ, t) =

1 Yτ (t) et R(τ, t) = E Yτ (t) . E

Formules d’inversion En décrivant les expériences de retard et de relaxation au moyen des formules générales (4.28) on obtient les identités évidentes, valables ∀t0 :

36

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

(4.31)

Jt0 = J (×) Yt0

(4.32)

Rt0 = R (×) Yt0

L’inversion de (4.31) par (4.28) fournit la relation (4.33)

∀t0 , R (×) Jt0 = Yt0

et l’inversion de (4.32) s’écrit : (4.34)

∀t0 , J (×) Rt0 = Yt0 .

Ces deux formules explicitent la façon dont les fonctions de retard et de relaxation sont inverses les unes des autres pour l’opérateur intégral. Elles s’expriment aussi sous la forme :

(4.35a)


=< , >= δt0 ∂τ ∂t0 ∂τ ∂t0

soit (4.35b)

Z

∞

−∞

∂R ∂J (τ, t) (t0 , τ ) dτ = ∂τ ∂t0

Z

∞

−∞

∂J ∂R (τ, t) (t0 , τ ) dτ = δ(t − t0 ) . ∂τ ∂t0

Plus que les relations (4.35), les formules (4.33) et (4.34) se révèlent utiles dans la pratique comme formules d’inversion « à vue ». On peut enfin signaler que la formule d’inversion entre le module élastique instantané et la complaisance instantanée (4.13) est une conséquence particulière de (4.33), (4.34) ou (4.35). 4.4.3

En conclusion

Les formules de Boltzmann mettent en évidence que la linéarité du comportement est une propriété forte qui implique que le comportement différé du matériau est, comme annoncé au paragraphe (4.2.4), entièrement décrit par la seule connaissance de ses fonctions de retard ou de ses fonctions de relaxation. Le qualificatif de « fondamentales » donné aux expériences correspondantes se trouve, dès lors, complètement justifié.

5 5.1

Modèle linéaire non-vieillissant Vieillissement

Après le choix d’une origine pour la variable temps, effectué de façon physiquement significative pour le matériau étudié, les expériences d’identification du comportement

5 – Modèle linéaire non-vieillissant

37

montrent que les propriétés physiques du matériau étudié – en particulier ses caractéristiques mécaniques – peuvent évoluer indépendamment des sollicitations mécaniques auxquelles il est soumis. Ce peut être le résultat de causes et de phénomènes divers : température, hygrométrie, rayonnements 1umineux (notamment U.V.), rayonnements ionisants, réactions chimiques, cristallisation, fusion, propagation de défauts, etc. Ce phénomène général porte le nom de vieillissement. Ce terme est souvent associé à une connotation négative, impliquant une dégradation des propriétés mécaniques – c’est le cas, notamment, pour les polymères – toutefois le vieillissement est loin d’être toujours un phénomène néfaste : il suffit, pour s’en convaincre, de considérer par exemple le cas du béton et de comparer ses propriétés à 1, 7 et 28 jours.

5.2

Matériau non-vieillissant

Si le vieillissement est une propriété générale de tout matériau à partir de l’instant de son élaboration, il se manifeste de façon plus ou moins marquée suivant les cas et suivant les époques de 1’histoire du matériau concerné. C’est ainsi qu’il existe souvent pour un matériau donné une période significative où ses propriétés mécaniques sont, en quelque sorte, « stabilisées » et n’évoluent pas avec le temps. Le matériau est alors dit non-vieillissant. Mathématiquement cela signifie que si l’on considère deux histoires de contrainte, soient σ et σu , décalées l’une de l’autre dans le temps par translation d’un intervalle u (5.1)

∀u, ∀τ, σu (τ ) = σ(τ − u),

les histoires de déformation correspondantes associées par les formules (3.1) et (3.2) sont ε et εu , elles aussi décalées l’une de l’autre par la même translation de durée u (Figure 6). Ainsi : (5.2)

F

F

∀σ, ∀u, σ 7−→ ε ⇔ σu 7−→ εu avec εu (τ ) = ε(τ − u) ∀τ,

soit (5.3)

h i h t−u i t Ft−u σ(τ )) = Ft σ(τ − u) , ∀σ, ∀u, −∞

−∞

et la formule homologue pour R (5.4)

i h h t−u i t Rt−u ε(τ ) = Rt ε(τ − u) , ∀ε, ∀u . −∞

5.2.2.

−∞

Fonctions de retard et de relaxation

Si l’on considère les deux expériences de retard définies par les histoires de sollicitation (5.5)

σ(τ ) = σ 0 Y (τ ) et σu (τ ) = σ 0 Yu (τ ) = σ 0 Y (τ − u),

38

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

replacemen réponse

sollicitation

u

τ

u

τ

Figure 6 – Invariance du comportement par translation sur le temps.

qui sont décalées l’une de l’autre par translation dans le temps d’amplitude u, les réponses s’écrivent, par définition : (5.6)

ε(τ ) = σ 0 J(0, τ ; σ 0 ) et εu (τ ) = σ 0 J(u, τ ; σ 0 ) .

En conséquence de l’hypothèse de non-vieillissement, il vient, en application de (5.2) et (5.3) : (5.7)

J(u, τ ; σ 0 ) = J(0, τ − u; σ 0 ) .

De la même façon, pour les fonctions de relaxation, on montre que : (5.8)

R(u, τ ; ε0 ) = R(0, τ − u; ε0 ) .

En d’autres termes, les fonctions de retard et de relaxation, invariables par translation dans le temps, ne dépendent de leurs arguments temporels que par la différence de ceux-ci. On écrira : ® J(t0 , t; σ 0 ) = f (t − t0 ; σ 0 ) (5.9) avec f (τ ; σ 0 ) = 0 si τ < 0 et (5.10)

®

R(t0 , t; ε0 ) = r(t − t0 ; ε0 ) avec r(τ ; ε0 ) = 0 si τ < 0 .

Les formules (5.7) et (5.8) fournissent évidemment des tests simples pour la validation de l’hypothèse de non-vieillissement.

5.3

Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant

Fonctions de retard et de relaxation Si le comportement du matériau non-vieillissant considéré est viscoélastique linéaire, il suffit de rassembler les résultats des paragraphes 4.2 et 5.2 pour obtenir l’ensemble des propriétés des fonctions de retard et de relaxation J(t0 , t) et R(t0 , t).

5 – Modèle linéaire non-vieillissant

39

Ainsi : J(t0 , t) = f (t − t0 ) f (τ ) = 0 si τ < 0

(5.11)

f (0) > 0 f 0 (τ ) ≥ 0, f 00 (τ ) ≤ 0 pour τ > 0 et R(t0 , t) = r(t − t0 ) r(τ ) = 0 si τ < 0

(5.12)

r(0) > 0 r0 (τ ) ≤ 0, r00 (τ ) ≥ 0 pour τ > 0 Cela signifie que le « catalogue » des fonctions de retard se déduit de la seule fonction f qui ne dépend que d’un argument et qui apparaît comme la fonction de retard pour l’expérience effectuée « à l’instant zéro ». On l’appelle couramment la fonction de retard du matériau. De même, r est la fonction de relaxation du matériau, qui permet de définir l’ensemble des fonctions de relaxation. On définit aussi ft0 et rt0 par : (5.13)

ft0 (t) = f (t − t0 )

et (5.14) 5.3.2.

rt0 (t) = r(t − t0 ) . Formules de Boltzmann

En substituant, dans les formules de Boltzmann (4.20, 4.22) et (4.26, 4.27) les expressions (5.11) et (5.12) de J(t0 , t) et R(t0 , t) respectivement, on obtient les formules suivantes qui font intervenir la fonction de retard et la fonction de relaxation du matériau et où l’on rappelle que t0 désigne l’instant de début des histoires σ et ε :

(5.15a)

ε(t) = σ(t)f (0) +

Z

t

σ(τ )f 0 (t − τ ) dτ

t0

ou (5.15b)

ε(t) =

Z

∞

−∞

σ(τ )f 0 (t − τ )(intégrale de Stieltjes)

40

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

et

(5.16a)

σ(t) = ε(t) r(0) +

Z

t

ε(τ ) r0 (t − τ ) dτ

−∞

ou (5.16b)

σ(t) =

Z

∞

ε(τ ) r0 (t − τ )(intégrale de Stieltjes) .

−∞

Dans les formules (5.15a et 5.16a) f 0 et r0 désignent les fonctions dérivées de f et r par rapport à leur argument ; dans (5.15b et 5.16b) (intégrales de Stieltjes) les dérivées sont prises au sens des distributions (4.17) : (5.17)

f 0 = {f 0 } + f (0) δ et r0 = {r0 } + r(0) δ .

Sous l’une ou l’autre de leurs formes, les formules (5.15) et (5.16) permettent maintenant d’identifier l’opérateur intégral de Boltzmann dès lors que l’on a affaire à un matériau non-vieillissant. On reconnaît en effet dans (5.15) le produit de convolution de Riemann de σ et de la dérivée f 0 de f , noté classiquement ∗ : F

σ 7−→ ε = J (×) σ = f 0 ∗ σ

(5.18) de même, pour (5.16) :

(5.19)

R

ε 7−→ σ = R (×) ε = r0 ∗ ε

Les identités (4.31, 4.32) énoncées précédemment autour de l’opérateur de Boltzmann sont classiques pour ces produits de convolution si l’on se rappelle que la dérivation d’un produit de convolution s’écrit typiquement : (f ∗ σ)0 = f 0 ∗ σ = f ∗ σ 0 . Ainsi :  ft0 = f 0 ∗ Yt0 = f ∗ (Yt0 )0 = f ∗ δt0 , (5.20) r = r0 ∗ Y = r ∗ (Y )0 = r ∗ δ . t0 t0 t0 t0 Les identités (4.31) et (4.32) expriment que f 0 et r0 sont inverses du point de vue de la convolution de Riemann et l’on retrouve (4.35) : (5.21)

r0 ∗ f = f 0 ∗ r = (f ∗ r)0 = Y ⇔ f 0 ∗ r0 = δ .

5 – Modèle linéaire non-vieillissant

41

On en déduit en particulier que(15) : (5.22)

f (0) r(0) = 1

ce qui n’est autre que l’expression, pour le matériau non-vieillissant, de la formule d’inversion entre le module élastique instantané et la complaisance élastique instantanée (4.13). De plus, dans l’hypothèse où les fonctions de retard et de relaxation tendent chacune vers une limite finie quand t → ∞, notées respectivement f (∞) et r(∞), on peut établir le résultat nouveau (16) : (5.23)

f (∞) r(∞) = 1

Ce résultat n’a rien de physiquement évident et il est, pour cela, remarquable : il exprime une relation entre les « comportements à l’infini » en retard et en relaxation. Il fait apparaître r(∞) comme un « module à l’infini » dans l’expérience de relaxation et f (∞) comme une « complaisance à l’infini » dans l’expérience de déformation retardée, inverses l’un de l’autre. Recouvrance et effacement La formule (4.10) établie dans le cas général de la viscoélasticité linéaire pour la réponse dans l’expérience de recouvrance devient, en l’absence de vieillissement : (5.24)

ε(t) = σ 0 [f (t − t0 ) − f (t − t1 )] ;

de même pour la réponse dans l’expérience d’effacement : (5.25)

σ(t) = ε0 [r(−t0 ) − r(t − t1 )] .

Il en résulte que, pour le matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant : si f (∞) est finie, la recouvrance est totale, si r(∞) est finie, l’effacement est total , ou encore, compte tenu de (5.22), si f (∞) ou r(∞) est finie non nulle la recouvrance et l’effacement sont totaux.

(15) La démonstration découle directement des expressions (5.17) de f 0 et r 0 qui, transportées dans (5.20), montrent que f (0) r(0) δ = δ. (16) L’intégration de (5.20) donne directement : [f ∗ r](t) = t Y (t). En décomposant f et r sous la forme f (t) = f (∞)Y (t) + u(t) et r(t) = r(∞)Y (t) + ν(t), où u(t) et ν(t) sont des fonctions bornées qui tendent vers 0 à l’infini, il vient t Y (t) = f (∞) r(∞) t Y (t)+ 3 termes complémentaires dont on peut démontrer qu’ils sont infiniment petits par rapport à t.

42

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

5.3.3.

Utilisation du calcul opérationnel

Il apparaît sur les formules précédentes que tous les calculs concernant le matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant opèrent dans l’algèbre de la convolution de Riemann. La transformation de Laplace fournit le moyen de leur substituer des calculs algébriques ordinaires effectués sur des transformées, fonctions de la variable p, inverse d’un temps. Définition et propriétés élémentaires de la transformation de Laplace En supposant satisfaites les hypothèses mathématiques nécessaires, la transformée de Laplace de la distribution ϕ(t) de support R+ , notée Lϕ, est la fonction de p définie par : Z ∞ Lϕ(p) =< ϕ, e−pt >= (5.26) ϕ(t) e−pt dt . −∞

Dans les applications à venir, les distributions concernées seront définies par des fonctions, dérivables et continues, par morceaux, de support R+ et par leurs dérivées au sens des distributions (cf. (5.17)) : l’intégrale dans (5.25) est une intégrale de Stieltjes. Les propriétés essentielles sont résumées dans le tableau suivant(17) L(a ∗ b) = L(a) L(b) Lδ = 1 Lδ 0 = p (5.27)

Lϕ0 = L(ϕ ∗ δ 0 ) = p Lϕ Lδu = e−pu Lϕu = L(ϕ ∗ δu ) = e−pu Lϕ

où ϕu désigne la translatée de ϕ(18) Transformation de Laplace-Carson On a vu par la formule (5.20) que f 0 et r0 sont inverses l’une de l’autre dans la convolution de Riemann : f 0 ∗ r0 = δ. Ceci incite à utiliser la transformation dite de (Laplace-Carson), de la distribution ϕ, notée ϕ∗ , qui est la transformée de Laplace de la dérivée de ϕ (au sens des distributions) : (17) Pour

ces distributions on a aussi : Z ∞ d ϕ(t) L[t ϕ(t)] = − (Lϕ), L[ ]= Lϕ(u) du, dp t p (18) Cf.

(5.19).

Z

0

∞

ϕ(t) dt = t

Z

0

∞

Lϕ(p) dp.

5 – Modèle linéaire non-vieillissant

(5.28)

43

ϕ∗ = Lϕ0 = p Lϕ

En conséquence de cette définition on a évidemment : (5.29)

(a ∗ b0 )∗ = a∗ b∗ ;

il s’ensuit que les formules (5.17), (5.18) et (5.20) s’écrivent simplement, en transformées de Carson :

ε∗ (p) = f ∗ (p) σ ∗ (p) (5.30)

σ ∗ (p) = r∗ (p) ε∗ (p) f ∗ (p) r∗ (p) = 1

La fonction r∗ (p) est souvent appelée module opérationnel . Par ce moyen tous les calculs se trouvent ramenés à des calculs algébriques ordinaires portant sur les transformées de f, r, σ, ε, qui sont des fonctions de p. Comme on le verra par la suite (§ 9.4), l’intérêt essentiel de ce passage aux transformées réside dans le fait que ces calculs sont identiques à ceux rencontrés en élasticité linéaire, pour lesquels on peut donc utiliser les résultats déjà acquis. La difficulté est évidemment reportée sur le retour aux fonctions originales, fonctions de t, par inversion de la transformation de Carson(19) . Formulaire pratique de quelques transformées de Carson usuelles

(5.31)

 ϕ∗ (0) = ϕ(∞)

ϕ∗ (∞) = ϕ(0)

(20)

(19) La structure formelle des calculs est évidemment identique dans l’algèbre de convolution et, disposant d’une bonne pratique du calcul dans cette algèbre, on peut y poursuivre les mêmes développements. (20) Où l’on suppose que ϕ(t) → ϕ(∞) quand t → ∞. Cf. les notes(15) et (16) du paragraphe (5.3.2).

44

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

ϕ

ϕ∗ (p)

δ

p

C Y (t)

C

e−at Y (t)

p p+a

tn Y (t)

n! pn

(1 − e−at )Y (t)

a p+a

i b − (1 − )e−at Y (t) a a

p+b p+a

e−at Y (t) sin ωt

pω (p + a)2 + ω 2

e−at Y (t) cos ωt

p (p + a) (p + a)2 + ω 2

hb

6

Modèles rhéologiques

L’emploi des modèles rhéologiques est un support de la pensée qui se révèle commode dans la formulation des modèles de comportement uniaxial, notamment (mais cela n’est pas exclusif d’autres applications) en viscoélasticité linéaire pour le matériau non-vieillissant. L’avantage essentiel attaché à cette méthode est qu’elle permet de concrétiser facilement l’intuition que l’on peut avoir de certains aspects du comportement tout en étant assuré de respecter les principes de la thermodynamique. Le paragraphe 6.1 présente les deux modèles élémentaires de base. On désigne de façon générique par σ la force s’exerçant sur le modèle et par ε la variable conjuguée dans l’expression du travail de déformation de cet élément(21) .

6.1

Modèles élémentaires

Les modèles rhéologiques utilisés en viscoélasticité linéaire pour le matériau non vieillissant en calcul des structures sont constitués à partir des deux modèles élémentaires représentés sur la Figure 7. (21) En se référant à la représentation géométrique des modèles, on dira couramment que ε représente l’allongement du modèle.

6 – Modèles rhéologiques

45

E

η

σ

σ

Figure 7 – Modèles élémentaires viscoélastiques linéaires non-vieillissants

6.1.1

Élément élastique linéaire : ressort

On désigne par E la raideur de l’élément définie par la relation linéaire indépendante du temps : (6.1)

σ(t) = E ε(t) .

La fonction de retard est donc : (6.2)

f (t) =

1 1 Y (t) d’ou f ∗ (p) = E E

et la fonction de relaxation (6.3)

r(t) = E Y (t) d’ou r∗ (p) = E

On remarque que contrairement à un énoncé courant, les fonctions de retard et de relaxation correspondant à cet élément ne sont pas des constantes mais des fonctions « échelons ». L’oubli de cette remarque évidente est la cause d’erreurs assez fréquentes. 6.1.2. Élément visqueux linéaire : amortisseur Cet élément porte aussi parfois le nom anglais de «dashpot », Son coefficient de viscosité est noté η défini par la relation linéaire indépendante du temps : σ(t) = η ε0 (t) .

(6.4) La fonction de retard est donc : (6.5)

f (t) =

1 t Y (t) d’où f ∗ (p) = η ηp

Pour la fonction de relaxation, on déduit de la formule précédente, par (5.29) : (6.6)

r∗ (p) = η p d’où r = η δ

46

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Ce résultat ne doit pas surprendre car, physiquement, on sait que cet élément n’a pas d’élasticité instantanée : il est impossible d’imposer un saut instantané sur ε. En fait, dans les applications à venir, il ne sera jamais considéré seul : il sera toujours associé en série à un élément élastique linéaire en sorte que le comportement instantané du modèle global sera élastique comme, à titre d’exemple, dans le modèle de Maxwell représenté sur la Figure 8. À noter que pour l’élément visqueux linéaire, la recouvrance est partielle et qu’il n’y a pas d’expérience d’effacement.

6.2

Modèle de Maxwell E

η

σ

Figure 8 – Modèle de Maxwell

Le modèle de Maxwell est composé d’un ressort et d’un amortisseur montés en série. La fonction de retard de ce modèle s’obtient en appliquant la règle évidente : La fonction de retard d’un modèle constitué d’éléments montés en série s’obtient en additionnant les fonctions de retard de ces éléments. Il vient ainsi : (6.7)

f (t) =

1

E

+

1 t 1 Y (t) et f ∗ (p) = + . η E ηp

Par (5.29) on obtient la transformée de la fonction de relaxation : (6.8)

p

r∗ (p) = E

p+

E η

,

dont on déduit, par inversion de la transformée de Carson : (6.9)

E

r(t) = E e− η t Y (t) .

Ainsi la fonction de relaxation décroit exponentiellement vers zéro, le temps caractéristique du phénomène de relaxation étant : (6.10)

τr =

η . E

On voit que pour ce modèle on a : • f (0) = 1/E et r(0) = E, ce qui exprime que le comportement instantané correspond à la seule contribution du ressort,

6 – Modèles rhéologiques

47

• f n’a pas de limite finie quand t → ∞ tandis que r(∞) = 0, en conséquence du comportement de l’amortisseur qui se détend indéfiniment. Il est intéressant de considérer les expériences de recouvrance et d’effacement : on constate que la recouvrance est partielle tandis que l’effacement est total . Cet élément viscoélastique linéaire simple est aussi appelé liquide de Maxwell .

6.3

Modèle de Kelvin E σ

η Figure 9 – Modèle de Kelvin

Le modèle de Kelvin est composé d’un ressort et d’un amortisseur montés en parallèle. La fonction de relaxation de ce modèle s’obtient en appliquant la règle évidente : La fonction de relaxation d’un modèle constitué d’éléments montés en parallèle s’obtient en additionnant les fonctions de relaxation de ces éléments. Il vient ainsi : (6.11)

r∗ (p) = E + η p et r = η δ + E Y .

On constate que, comme au paragraphe 6.1.2, le modèle ne présente pas d’élasticité instantanée. La transformée de Carson de la fonction de retard s’obtient par (5.29) et l’on procède ensuite à son inversion : (6.12)

f ∗ (p) =

1 η

1 E p+ η

d’où f (t) =

E 1 (1 − e− η t ) Y (t) . E

On voit que pour ce modèle on a : • f (0) = 0, ce qui correspond à l’absence d’élasticité instantanée, • f (∞) = 1/E et r(∞) = E, car au bout d’un temps infini, il n’y a plus d’effort dans l’amortisseur et le comportement est assuré par le ressort seul.

48

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Le phénomène de retard est régi par une exponentielle dont le temps caractéristique est τf : (6.13)

τf =

η . E

Ce matériau n’ayant pas d’élasticité instantanée, l’expérience d’effacement ne peut être effectuée. En revanche on observe que la recouvrance est totale. Ce modèle est aussi appelé solide de Kelvin-Voigt.

6.4

Solide linéaire standard

Le solide linéaire standard est représenté par deux modèles équivalents : le solide de Kelvin-Voigt à élasticité instantanée (Figure 10a) et le modèle de Zener (Figure 10b). E

K

E1 σ

σ

E2

η1

η2

Figure 10 – Solide linéaire standard

6.4.1

Solide de Kelvin-Voigt à élasticité instantanée

Ce modèle est composé d’un ressort et d’un solide de Kelvin-Voigt montés en série (Figure 10a). On obtient ainsi rapidement la fonction de retard : i h1 E 1 1 1 − 1t (6.14) + (1 − e η1 ) Y (t) et f ∗ (p) = + . f (t) = E E1 E E1 + η1 p La fonction de retard f (t) décroit exponentiellement de la valeur (6.15)

f (0) =

1 E

à la valeur (6.16)

f (∞) =

1 1 1 + = . E E1 K

E apparaît ainsi comme le module d’élasticité instantané du modèle. La complaisance à l’infini est 1/K où K, défini par (6.16), est égal à : (6.17)

K=

E E1 . E + E1

6 – Modèles rhéologiques

49

τf est le temps caractéristique en retard : (6.18)

τf =

η1 E1

en sorte que f (t) s’écrit aussi : (6.19)

f (t) =

h1 1 1 −t i + ( − ) e τf ) Y (t) . K E K

Il vient ensuite par (5.29) : (6.20) r∗ (p) = E

(E+E1 ) E1 + η1 p d’ou, par inversion, r(t) = [K + (E − K) e− η1 t )] Y (t) . E + E1 + η1 p

On vérifie que r(0) = 1/f (0) = E, conformément à (5.21) et aussi que, le module à l’infini est r(∞) = K = 1/f (∞), comme annoncé par (5.22). La fonction de relaxation décroit exponentiellement ; le temps caractéristique en relaxation est (6.21)

τr =

η1 E + E1

d’où pour r(t) : t

r(t) = [K + (E − K) e− τr )] Y (t) .

(6.22) On remarque que

K τr = τf E

(6.23)

ce qui manifeste le fait que la relaxation des efforts est un phénomène plus rapide que la déformation retardée. Enfin, on note que pour ce modèle la recouvrance est totale et l’effacement est total . 6.4.2.

Modèle de Zener

Le modèle est représenté sur la Figure 10b. Il est constitué d’un ressort et d’un liquide de Maxwell montés en parallèle. On obtient ainsi rapidement sa fonction de relaxation : (6.24)

E

r(t) = [K + E2 e

− η2 t 2

)] Y (t) .

On remarque que, pour t = 0, r(0) = K + E2 et que, à l’infini, on a r(∞) = K. De plus la forme de (6.24) est identique à celle de (6.20). En fait les deux modèles de la Figure 10 sont équivalents en y identifiant les valeurs de K et en faisant : (6.25)

K + E2 = E et

η2 η1 = . E2 E + E1

50

6.4.3.

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Applications

Le solide linéaire standard est le modèle unidimensionnel le plus simple de comportement viscoélastique linéaire, sans vieillissement, pour un matériau avec élasticité instantanée dont la recouvrance est totale et l’effacement total. Ce modèle peut être caractérisée par son module d’élasticité instantanée E et ses temps caractéristiques en retard et en relaxation τf et τr avec τf > τr , qui permettent de déterminer le module à l’infini K. Ce modèle a notamment été proposé dans certaines recommandations techniques pour la représentation du comportement différé du béton lorsque le chargement est effectué suffisamment longtemps après la mise en œuvre pour que l’hypothèse de non-vieillissement puisse être considérée comme réaliste.

6.5 6.5.1.

Généralisation Modèle de Maxwell généralisé

Le solide linéaire standard est un cas particulier du modèle de Maxwell généralisé qui est composé de m modèles de Maxwell assemblés en parallèle. Une branche parallèle supplémentaire constituée simplement d’un ressort assure que la recouvrance est totale, ce qui correspond à un comportement « solide » (figure 11). E

E1

η1

E2

η2

Em

ηm

σ

Figure 11 – Modèle de Maxwell généralisé

La fonction de relaxation de ce modèle s’obtient en appliquant la règle énoncée au paragraphe 6.3 à partir des fonctions de relaxation à partir des expressions (6.3) et (6.9) : (6.26)

r(t) = E Y (t) +

j=m X

E

(Ej e

− ηj t j

) Y (t) .

j=1

Cette formule met en évidence le spectre discret de temps caractéristiques en ηj . relaxation [τr ]j = Ej

6 – Modèles rhéologiques

51

Le module d’élasticité instantané est égal à r(0) = E +

j=m P

Ej tandis que

j=1

r(∞) = E : l’effacement est total et la recouvrance est totale. Le module opérationnel est r∗ (p) = E +

(6.27)

j=m X

(Ej

j=1

p ), p + 1/[τr ]j

dont on déduit f ∗ (p) par l’inversion algébrique (5.29), puis f (t) par inversion de la transformée de Carson, mettant ainsi en évidence le spectre des temps caractéristiques en retard. 6.5.2

Modèle de Kelvin généralisé

De la même façon le solide linéaire standard est un cas particulier du modèle de Kelvin généralisé, qui est composé de n modèles de Kelvin assemblés en série avec un ressort qui apporte l’élasticité instantanée (figure 12).

E

E1

E2

En σ

η1

η2

ηn

Figure 12 – Modèle de Kelvin généralisé

Par la règle énoncée au paragraphe 6.2 et à partir de (6.2) et (6.12) on obtient la fonction de retard de ce modèle : j=n

(6.28)

f (t) =

X Ei 1 t (1 − e ηi ) Y (t) . Y (t) + E i=1

Le spectre discret des temps caractéristiques en retard est ici évident : [τf ]i = Le module élastique instantané est

1 = E. f (0) i=n

La complaisance à l’infini est f (∞) =

1 X 1 + . E i=1 Ei

La recouvrance est totale et l’effacement est total.

ηi . Ei

52

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

En transformées de Carson : (6.29)

ã i=n i=n Å 1 X 1 X 1 1 1 f (p) = + = + E i=1 Ei + ηi p E i=1 ηi p + 1/[τf ]i ∗

dont on déduit r∗ (p) par l’inversion algébrique (5.29), puis r(t) par inversion de la transformée de Carson, mettant ainsi en évidence le spectre des temps caractéristiques en relaxation. 6.5.3.

Équivalences

Les inversions algébriques (fastidieuses) des transformées de Carson f ∗ (p) au paragraphe 6.5.1 ou r∗ (p) au paragraphe 6.5.2 mettent en évidence l’équivalence des deux modèles des figures 11 et 12. On comprend que dans la pratique, selon le type de phénomène mis en jeu dans le problème étudié, on choisira de se référer à l’un ou l’autre modèle pour faciliter les calculs. Un théorème général permet en outre d’établir que tout assemblage en parallèle et/ou en série de ressorts et d’amortisseurs, dont la recouvrance est totale et dont le module d’élasticité instantané est fini, est équivalent à un modèle de Maxwell ou de Kelvin généralisé. Enfin, en généralisant les formules (6.26) ou (6.28) on peut introduire, au lieu des spectres discrets de temps caractéristiques en relaxation ou en retard, des spectres continus.

7 7.1

Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel Point de vue uniaxial et modélisation unidimensionnelle

L’exemple choisi aux paragraphes 2.1 et 2.2 permet d’illustrer la différence entre l’analyse d’une expérience du point de vue uniaxial et une modélisation unidimensionnelle. En effet on a considéré une éprouvette tridimensionnelle, soumise d’abord à une expérience de retard sous une sollicitation de traction simple : du point de vue du matériau constitutif il s’agit d’une sollicitation homogène en contrainte uniaxiale qui s’écrit en notation tensorielle : (7.1)

σ(t) = σ 0 ex ⊗ ex Yt0 (t) .

La réponse du matériau est évidemment tridimensionnelle mais on a choisi de ne considérer que la déformation longitudinale, supposée homogène, εxx (t) = ε(t). C’est ainsi que l’on a défini la fonction de retard en traction simple (2.4). Pour la définition de la fonction de relaxation (2.8), on a imaginé l’expérience « duale » de la précédente, c’est-à-dire sur cette même éprouvette dans les mêmes conditions de traction simple, en imposant la seule composante εxx (t) = ε(t) = ε0 (t) Yt0 (t) de εxx (t) et en suivant la réponse σ(t), amplitude de σ(t) qui est uniaxial.

7 – Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel

53

En fait, ce point de vue uniaxial ne décrit pas le comportement du matériau constitutif de l’éprouvette (cf. chapitre II, section 1) mais celui de l’éprouvette ellemême, considérée comme un élément de structure soumis à des sollicitations de traction ou compression. L’analyse développée dans les sections 3 à 5 fournit le prototype de toute loi de comportement viscoélastique linéaire unidimensionnelle, de la même façon que la loi de Hooke, sous sa forme originale « Ut tensio sic vis », en élasticité. De façon générique, on désigne par Q la variable « force » et par q la variable géométrique qui lui est associée dans l’expression du travail de déformation de l’élément concerné (contrainte et déformation généralisées unidimensionnelles). On introduit les fonctions de retard J(τ, t) et les fonctions de relaxation R(τ, t) avec les propriétés homologues de (4.7 et 4.8) : (7.2) (7.3)

∂J , Q > = J (×) Q, ∂τ ∂R R q 7−→ Q = − < , q > = R (×) q . ∂τ F

Q 7−→ q = −
0 f 0 (τ ) ≥ 0, f 00 (τ ) ≤ 0 pour τ > 0

et r(τ ) = 0 si τ < 0 (7.7)

r(0) > 0 r0 (τ ) ≤ 0, r00 (τ ) ≥ 0 pour τ > 0

54

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

7.2 7.2.1

Exemples d’applications à des éléments de structure Poutre en traction-compression N Figure 13 – Élément de poutre en traction-compression

On se place ici dans le cadre de la modélisation des milieux curvilignes. Pour l’élément de poutre droite, la variable « force » est l’effort normal habituellement noté N et la variable géométrique associée à N dans l’expression du travail de déformation est la déformation longitudinale ε. D’où pour (7.3) : (7.8)

Q = N, q = ε = J (×) N .

Dans le cas particulier où la modélisation curviligne est celle d’un élément de barre tridimensionnel, de section S, constitué d’un matériau homogène isotrope dont la fonction de retard en traction simple est J(τ, t), on verra au chapitre II (§ 7.2) que : (7.9)

ε = J (×)

N . S

Autrement dit, la fonction de retard pour cet élément de poutre en tractioncompression est : (7.10) 7.2.2.

J(τ, t) =

J(τ, t) . S

Poutre en flexion

M Figure 14 – Élément de poutre en flexion

On est encore dans le cadre de la modélisation des milieux curvilignes. Pour l’élément de poutre droite, la variable « force » est maintenant le moment de flexion M et la variable géométrique associée à M dans l’expression du travail de déformation est la courbure χ de la déformée de l’élément ; d’où pour (7.3) : (7.11)

Q = M, q = χ = J (×) M .

Dans le cas particulier où la modélisation curviligne est celle d’un élément de barre tridimensionnel, de section S, constitué d’un matériau homogène isotrope dont

7 – Comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel

55

la fonction de retard en traction simple est J(τ, t), si la flexion est effectuée autour d’un axe principal d’inertie de la section droite, I désignant le moment d’inertie par rapport à cet axe principal, on verra au chapitre II (§ 7.3) que : M . I Autrement dit, la fonction de retard pour l’élément de poutre en flexion est alors :

(7.12)

χ = J (×)

(7.13) 7.2.3.

J(τ, t) =

J(τ, t) . I

Poutre en torsion C x Figure 15 – Élément de poutre en torsion

On se place encore dans le cadre de la modélisation des milieux curvilignes. Pour l’élément de poutre droite, la variable « force » est maintenant le moment de torsion C et la variable géométrique associée à C dans l’expression du travail de déformation est α, rotation différentielle de l’élément autour de l’axe x ; d’où pour (7.3) : (7.14)

Q = C, q = α = J (×) C .

Dans le cas particulier où la modélisation curviligne est celle d’un élément de barre tridimensionnel, de section S, constitué d’un matériau homogène isotrope dont la fonction de retard en cisaillement simple est γ(τ, t), en désignant par J le moment d’inertie de torsion de la section droite, on verra au chapitre II (§ 7.4) que : (7.15)

α = γ (×)

C . J

Autrement dit, la fonction de retard pour l’élément de poutre en torsion est : (7.16) 7.2.4.

J(τ, t) =

γ(τ, t) . J

Poutre sous sollicitations « complexes »

La linéarité de la loi de comportement permet d’utiliser les résultats précédents pour traiter le cas où l’élément de poutre droite est soumis à une sollicitation comportant à la fois la traction-compression et la flexion selon un axe qui n’est pas un axe principal d’inertie. En effet, il suffit, comme en élasticité linéaire, d’appliquer le principe de superposition (§ 3.1). Comme en Résistance des matériaux , les formules (7.8), (7.11) et (7.14) sont aussi utilisées comme lois de comportement de l’élément infinitésimal de poutre courbe (arc de faible courbure).

56

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

8

Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe

8.1

Essai harmonique

En appliquant une sollicitation sinusoïdale dont la pulsation est suffisamment faible pour que les effets d’inertie demeurent négligeables on réalise un essai harmonique qui permet de mettre en évidence et de caractériser les conséquences pratiques de l’irréversibilité du comportement viscoélastique. On se place ici dans le cas du comportement viscoélastique linéaire unidimensionnel sans vieillissement avec les notations définies en (7.4) et (7.5). La sollicitation est imposée sur la variable « déplacement » : q(t) = q0 cos ωt Y (t)

(8.1)

qu’il est commode de mettre sous la forme q(t) = q0 Re[eiωt Y (t)] .

(8.2)

La réponse à cette sollicitation, c’est-à-dire la « force » Q(t) se déduit de (7.5) : R

q 7−→ Q = r0 ∗ q .

(8.3) d’où, avec (8.2)

Q(t) = q0 Re[r0 ∗ eiω(.) ] Y (t)

(8.4) qui s’explicite en : (8.5)

Z Q(t) = q0 Re[

∞

r0 (τ ) eiω(t−τ ) Y (t − τ ) dτ ] .

−∞

8.2

Régime harmonique asymptotique

La réponse (8.5) est nulle pour t < 0 en conséquence de (7.7). Pour t ≥ 0, on décompose (8.5) sous la forme :

(8.6)

Q(t) = q0 Re[eiωt

Z

∞

r0 (τ ) e−iωt dτ ] − q0 Re[eiωt −∞

Z

∞

r0 (τ ) e−iωτ dτ ], t

qui permet de faire apparaitre au second membre la valeur de la transformée de Carson r∗ pour p = iω : Z ∞ Q(t) = q0 Re[eiωt r∗ (iω)] − q0 Re[eiωt (8.7) r0 (τ ) e−iωτ dτ ] . t

8 – Comportement sous sollicitation harmonique. Module complexe

57

Au total la réponse (8.5) s’écrit, ∀t :

0

(8.8)

Q(t) = q Re[e

0

iωt ∗

r (iω)] Y (t) − q Re[e

iωt

Z

∞

r0 (τ ) e−iωτ dτ ] Y (t) t

On y distingue un premier terme qui représente R ∞ une réponse harmonique, auquel s’ajoute le terme complémentaire −q0 Re[eiωt t r0 (τ )e−iωτ dτ ] Y (t) qui tend vers zéro lorsque t → ∞ si l’effacement est total(22) . Il en résulte alors que la réponse tend vers le régime harmonique asymptotique : Q(t) = q0 Re[eiωt r∗ (iω)] .

(8.9)

On dit alors qu’il y a accommodation pour signifier que, dans le diagramme sollicitation-réponse, la représentation [Q(t), q(t)] du comportement tend vers un cycle fermé (ellipse). Pour expliciter (8.9) on décompose le module complexe r∗ (iω) en module et argument M (ω) > 0 et δ(ω) : r∗ (iω) = M (ω) eiδ(ω) .

(8.10)

La détermination de M (ω) et δ(ω) nécessite d’expliciter les parties réelle et imaginaire de r∗ (iω), soit : Z ∞ Z ∞ r0 (τ ) cos ωτ dτ et Im [r∗ (iω)] = − (8.11) Re[r∗ (iω)] = r0 (τ ) sin ωτ dτ . −∞

−∞

Ces deux quantités sont positives. En effet, on peut écrire : (8.12) Im[r∗ (iω)] =

Z

π ω

[r0 (τ +

0

π ) − r0 (τ )] sin ωτ dτ + ω

Z

3π ω

[r0 (τ +

2π ω

π ) − r0 (τ )] sin ωτ dτ + etc. ω

dont chaque terme du deuxième membre est positif en conséquence de (7.7) ; et aussi : π Z 2ω Z ∞ Re[r∗ (iω)] = r(0) + (8.13) r0 (τ ) cos ωτ dτ r0 (τ ) cos ωτ dτ + π 2ω

0

où la somme des deux premiers termes du deuxième membre est bornée inférieurement par r(∞) et où le dernier terme est positif par le même raisonnement que pour (8.12). On en déduit que (8.14)

(22) On

0 ≤ δ(ω)
t0 les contraintes σ1 (t) et σ2 (t) dans les éléments du système vont évoluer en raison du comportement différé de l’élément 2. Les équations de ce problème d’évolution sont : • La condition d’autocontrainte du système (10.5)

σ1 (t) + σ2 (t) = σ(t) = 0 pour t ≥ t0

• La condition de liaison qui exprime que les déformations des deux éléments, à partir de l’instant t0 , sont égales : (10.6)

ε1 (t) − ε1 (t0 ) = ε2 (t) − ε2 (t0 ) pour t ≥ t0 .

Compte tenu des comportements des éléments 1 et 2 on déduit de (10.6) : (10.7)

1 [σ1 (t) − σ 0 Yt0 (t)] = [J (×) σ2 ](t) + σ 0 J(t0 , t0 ) E1

d’où, compte tenu de (10.5), h h i i 1 1 J+ (10.8) Yt0 (×) σ2 = −σ 0 J(t0 , t0 ) + Yt0 . E1 R1 Cette équation met en évidence la fonction de retard relative à σ2 pour le modèle, soit : (10.9)

J(t0 , t) = J(t0 , t) +

1 Yt (t) . E1 0

en désignant par R(t0 , t) la fonction de relaxation correspondante définie par (10.10)

R (×) Jt0 = Yt0 ,

on déduit de (10.8) l’évolution de la contrainte σ2 (t) : (10.11)

10.3

σ2 (t) = −σ0

R(t0 , t) . R(t0 , t0 )

Application pratique

Du point de vue pratique, le système unidimensionnel de la figure 17 est une schématisation de nombreux exemples de précontrainte d’un élément viscoélastique par un élément élastique, tel que celui représenté sur la figure 18 : un bloc de béton, dont le comportement est modélisé comme viscoélastique linéaire, est précontraint en compression entre deux plaques indéformables au moyen d’une tige en acier élastique mise en tension et ancrée sur les deux plaques. En se reportant à la figure 17, la tige élastique est représentée par l’élément 1 et le bloc de béton par l’élément 2. L’équation (10.11) donne l’évolution de la précontrainte dans le bloc de béton : cette évolution est semblable à une « relaxation »

10 – Précontrainte élastique et viscoélasticité

69

Figure 18 – Précontrainte en compression

mais la fonction de relaxation qui y intervient n’est pas celle du béton mais R(t0 , t) définie par (10.10) : c’est l’inverse au sens de l’opérateur intégral (×) de la somme des fonctions de retard du béton 2 et de l’acier 1. Ainsi, du point de vue de la précontrainte, ces deux éléments fonctionnent en série. À titre d’exemple, si l’élément 2 est un solide linéaire standard dont la fonction de retard est : Å ã i h1 1 1 − t + − (10.12) f2 (t) = e τf Y (t) K E K la fonction de retard J(t0 , t) de (10.9) s’écrit : (10.13)

ã Å i h1 1 1 1 − τ e τf Y (τ ) + + − J(t0 , t) = f (t − t0 ) = f (τ ) = K E1 E K

soit (10.14)

f (τ ) =

ã Å h1 i 1 1 − τ e τf Y (τ ) + − K E K

avec K=

(10.15)

EE1 KE1 et E = . K + E1 E + E1

La fonction de relaxation correspondante R(t0 , t) définie par (10.10) est alors : (10.16)

τ

R(t0 , t) = r(t − t0 ) = r(τ ) = [K + (E − K) e− Tr ] Y (τ )

où le temps caractéristique de relaxation est (10.17) supérieur à celui du béton.

Tr = τf

K E + E1 = τr E K + E1

70

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

L’évolution de la précontrainte dans le béton est ainsi, en application de (10.11) : t−t0 σ0 h (10.18) σ2 (t) = − K + (E − K)e− Tr ] Yt0 (t) . E On y reconnaît la relaxation d’un solide linéaire standard, dont le temps caractéK ristique de relaxation est Tr , depuis σ2 (t0 ) = −σ 0 jusqu’à la valeur σ2 (∞) = −σ 0 . E

11

Étude d’une structure

11.1

Présentation

L’objet de cette section est de présenter, sur une structure extrêmement simple quelques aspects de la prise en compte du comportement différé du matériau constitutif sur le comportement d’un système. La structure étudiée est représentée sur la figure 19. Il s’agit d’une poutre console OA encastrée en O, de longueur ` = 2a. y ` = 2a

O

A

x

Figure 19 – Poutre console

Sous les chargements envisagés la poutre console n’est soumise qu’à des effets de flexion. La loi de comportement de l’élément de poutre est donnée, en chaque point de la poutre, par (7.11) où l’on désigne par χ(x) la courbure de la déformée à l’abscisse x et par M (x) le moment fléchissant. ν(x) est le déplacement selon Oy. (11.1)

χ(x) = J(x)(×)M (x) .

Dans la suite, on examinera successivement le cas de la poutre homogène soumise à divers types d’histoires de sollicitation et, pour une poutre hétérogène, quelques effets de l’hétérogénéité.

11.2 11.2.1.

Poutre homogène isostatique Charge uniformément répartie

Ainsi que cela est représenté symboliquement sur la figure 20, la poutre est soumise à une charge uniformément répartie sur OA de densité −p(t) selon Oy. Les conditions aux limites sont l’encastrement parfait en O et l’extrémité libre en A.

11 – Étude d’une structure

71

y ` = 2a p(t) A

O

x

Figure 20 – Poutre console sous charge uniformément répartie

Il s’agit donc d’une histoire de sollicitation définie par un paramètre de chargement unique Q(t), auquel est associé le paramètre cinématique q(t) :   Q(t) = p(t) (11.2)  q(t) = R −ν(x, t) dx . OA La résolution procède directement du paragraphe 9.3.1. On part de la solution élastique instantanée, sous la forme (9.1, 9.3), qui s’écrit ici :  (` − x)2  él  M (x, t ) = M (x, t ) p(t ) = − p(t0 )  0 0 0  2    2 (` − x) (11.3) χ(x, t0 ) = X él (x, t0 ) p(t0 ) = − Jt0 (t0 ) p(t0 )  2  Å ã  2 2   x ` `x x2   ν(x, t0 ) = V él (x, t0 ) p(t0 ) = − Jt0 (t0 ) p(t0 ) . − + 2 2 3 12

On en déduit immédiatement, sans calculs, la solution du problème d’évolution sous la forme (9.4) :  (` − x)2   M (x, t) = − p(t)   2    2 (` − x) (11.4) [J (×) p](t) χ(x, t) = −  2  Å ã    x2 `2 `x x2   ν(x, t) = − [ J (×) p ](t) . − + 2 2 3 12 En particulier le déplacement vertical à l’extrémité A est égal à :

(11.5)

ν(`, t) = −

`4 [ J (×) p ](t) . 8

Ces formules décrivent notamment la déformation retardée ou « fluage » de la console sous l’effet de son poids propre p(t) = p Yt0 (t) après décoffrage ou décintrement :

72

(11.6)

11.2.2.

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

(` − x)2 p Yt0 (t) 2 ã 2 Å 2 x ` `x x2 ν(x, t) = − − + p Jt0 (t)  2 2 3 12    4   ν(`, t) = − p` p J (t) . t0 8 Charge concentrée       

M (x, t) = −

Ainsi que cela est représenté symboliquement sur la figure 21, la poutre est soumise à une charge concentrée dirigée selon Oy, appliquée en A, d’intensité F (t). L’autre condition aux limites est l’encastrement parfait en O y ` = 2a

O

F (t)

A

x

Figure 21 – Poutre console sous charge concentrée

La sollicitation est définie par le paramètre de chargement Q(t), auquel est associé le paramètre cinématique q(t) : ® Q(t) = F (t) (11.7) q(t) = ν(`, t) . Sans qu’il soit nécessaire de reprendre explicitement les raisonnements précédents, on obtient la solution de ce problème d’évolution à partir de la solution du problème d’élasticité instantanée :   M (x, t) = (` − x) F (t)      1 ν(x, t) = x2 (3` − x)[ J (×) F ](t) (11.8) 6     `3   q(t) = ν(`, t) = [ J (×) F ](t) 3 d’où, par inversion : 3 [ R (×) q ](t), `3 où R(τ, t) est la fonction inverse de J(τ, t) au sens de l’opérateur de Boltzmann : (11.9)

(11.10)

F (t) =

∀t0 , R (×) Jt0 = Yt0 .

11 – Étude d’une structure

11.3 11.3.1.

73

Poutre homogène hyperstatique État initial naturel

Les conditions aux limites de la poutre sont l’encastrement en O et l’appui bilatéral en A (figure 22). La poutre est soumise à une charge uniformément répartie sur OA de densité −p(t) selon Oy. y

` = 2a p(t) A

O

x

Figure 22 – Poutre hyperstatique

Le paramètre de chargement et le paramètre cinématique associé sont encore définis par (11.7). Il s’agit à nouveau d’une évolution prescrite par un paramètre de chargement, dont la solution se déduit de celle du problème d’élasticité instantanée. En désignant par H(t) la réaction verticale hyperstatique en A :  (` − x)(` − 4x)   M (x, t) = − p(t)   8   x2 (` − x)(3` − 2x) (11.11) [ J (×) p ](t) ν(x, t)− = −   48     H(t) = 3` p(t) . 8 On remarque que ce résultat s’obtient aussi, directement, à partir des deux cas de charge de la poutre isostatique étudiés précédemment, de la même façon qu’en élasticité. Il suffit en effet de déterminer la valeur de la réaction hyperstatique H(t) en écrivant que le déplacement du point A est constamment nul en raison de la liaison d’appui ; ainsi, par (11.5) et (11.8) : (11.12) 11.3.2.

ν(`, t) = −

`3 `4 [ J (×) p ](t) + [ J (×) H ](t) = 0 . 8 3

État initial précontraint par dénivellation d’appui

En élasticité linéaire et en Résistance des matériaux, dans l’hypothèse des petites perturbations, la notion d’état initial précontraint ne présente pas de difficulté : l’état initial d’efforts intérieurs autoéquilibrés fait partie des données du problème et il suffit ensuite d’appliquer le principe de superposition. Il n’y a, en apparence, rien à changer à cette description lorsque, dans le même cadre de l’hypothèse des petites perturbations, le comportement de l’élément de

74

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

poutre est viscoélastique linéaire. En fait, l’introduction du comportement différé du matériau nécessite que la description de la précontrainte soit précisée. L’état précontraint est, en effet, mis en place en imposant, à un instant donné, à des éléments constitutifs de la structure, des déformations géométriquement incompatibles, dont la compatibilité est assurée par un champ d’efforts intérieurs autoéquilibrés et qui sont ensuite maintenues. Il apparaît ainsi, qu’à la différence des exemples de chargement actifs étudiés plus haut pour lesquels l’évolution est décrite par l’histoire de paramètres de chargement, l’évolution de la précontrainte relève de la description par l’histoire de paramètres cinématiques. On se propose d’envisager ce type de problème sur l’exemple simple de la poutre console de la figure 23 où la précontrainte est imposée par une dénivellation de l’appui à l’extrémité A. y ` = 2a p(t)

νA

O

A

x

Figure 23 – Poutre hyperstatique précontrainte par dénivellation d’appui

On suppose ici que la précontrainte est obtenue en imposant à l’instant t0 une dénivellation verticale de l’appui A, d’amplitude νA qui est ensuite maintenue constante. Le problème d’évolution ainsi défini, indépendamment du chargement actif qui sera introduit dans la suite, est décrit par l’histoire du paramètre cinématique ν(`, t) auquel est associé le paramètre de chargement H(t), réaction d’appui en A : (11.13)

ν(`, t) = νA Yt0 (t) .

On peut évidemment effectuer la résolution de ce problème comme indiqué au paragraphe 9.3.2. Il est plus simple de se reporter au paragraphe 11.2.2 ci-dessus. L’équation (11.9) détermine l’évolution de la réaction d’appui due à la dénivellation : (11.14)

H(t) =

3 3 νA [ R (×) Yt0 ](t) = 3 νA Rt0 (t), `3 `

la distribution du moment fléchissant(25) 3 (11.15) M (x, t) = 3 (` − x) νA Rt0 (t) ` et la déformée de la poutre (11.16)

ν(x, t) =

x2 (3` − x) νA Yt0 (t) . 2`3

(25) Cette distribution est autoéquilibrée du point de vue du système constitué par la poutre et son appui en A.

11 – Étude d’une structure

75

Cet exemple confirme le résultat annoncé au paragraphe 9.3.2 : la déformée de la poutre due à la précontrainte est invariable à partir de t0 tandis que la réaction d’appui et la distribution du moment fléchissant de précontrainte décroissent comme la fonction de relaxation du matériau. En conséquence, pour la structure soumise au chargement actif du paragraphe 11.3.1, on obtient en application du principe de superposition à partir de (11.11) et (11.14 à 11.16) :  (` − x)(` − 4x) 3   M (x, t) = − p(t) + 3 (` − x) νA Rt0 (t)   8 `   2 x2 (3` − x) x (` − x)(3` − 2x) (11.17) [ J (×) p ](t) + νA Yt0 (t) ν(x, t) = −  48 2`3      H(t) = 3` p(t) + 3 ν R (t) . A t0 8 `3

Ce résultat fait apparaître la superposition du phénomène « de type fluage » lié au chargement actif et du phénomène de relaxation lié à la précontrainte.

Les effets de la conjugaison de ces deux phénomènes sont particulièrement évidents dans le cas d’une structure compensée sous poids propre. Dans ce cas, la densité p(t) représente le poids propre linéique appliqué à l’instant t0 du décoffrage ou du décintrement : (11.18)

p(t) = p Yt0 (t) .

La précontrainte est réglée à l’instant t0 de façon à ce que le moment d’encastrement en O soit nul, ce qui implique un moment fléchissant positif dans toute la structure à cet instant. La dénivellation d’appui correspondante résulte de (11.17) et elle est maintenue constante pour t ≥ t0 : (11.19)

νA (t) =

`4 p Yt0 (t) . 24 Rt0 (t0 )

On déduit de (11.17) l’évolution de la réaction d’appui : (11.20)

H(t) =

3p` p` Rt0 (t) Yt (t) + . 8 0 8 Rt0 (t0 )

Le deuxième terme de (11.20) représente la réaction compensatrice due à la dénivellation d’appui. Elle décroît proportionnellement à la fonction de relaxation du matériau. Le diagramme du moment fléchissant dans la poutre est donné par : (11.21)

M (x, t) = −p

(` − x)(` − 4x) `(` − x) Rt0 (t) . Yt0 (t) + p 8 8 Rt0 (t0 )

En conséquence le moment d’encastrement en O, initialement nul, devient négatif et suit la fonction de relaxation jusqu’à sa valeur « à l’infini » : Å ã Rt0 (∞) `2 (11.22) 1− . M (0, ∞) = −p 8 Rt0 (t0 )

76

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Dans les sections voisines de l’encastrement, le moment de flexion change de signe au cours de temps : ces « inversions de flexion » peuvent être dangereuses si elles n’ont pas été prévues au projet. Ces phénomènes expriment la redistribution des efforts due à la déformation différée du matériau dans une structure précontrainte (figure 24). M (x)

M (x)

t→∞ t = t0 O

A

x

O

A

x

Figure 24 – Diagrammes du moment fléchissant à la mise en charge et quand t → ∞

Le suivi de l’évolution de la valeur de la réaction compensatrice est le moyen pratique d’évaluer la précontrainte effective dans la structure à un instant donné ; il s’effectue par « pesée ». Lorsque la précontrainte tend à devenir insuffisante, on procède à une dénivellation d’appui complémentaire. Une autre façon évidente d’aborder le problème pour éviter les inversions de flexion consiste à calculer la dénivellation d’appui en se fondant sur le comportement à l’infini du matériau : (11.23)

11.4

νA (t) =

`4 p Yt0 (t) . 24 Rt0 (∞)

Poutre hétérogène

11.4.1 Description de la structure étudiée On reprend la structure hyperstatique du paragraphe 11.3.1 ci-dessus, sollicitée à partir de l’état naturel (pas de précontrainte). Afin de mettre en évidence des effets de l’hétérogénéité on considère le cas (d’école) où la poutre est constituée de deux tronçons homogènes de longueur a solidarisés en B . On peut imaginer par exemple, comme cela sera étudié dans la suite (§ 11.4.3), deux éléments constitués du même matériau physique mais d’âges différents. Les éléments constitutifs de chacun des tronçons sont viscoélastiques linéaires et, dans une chronologie commune – même origine des temps – on désigne respectivement par J1 (τ, t) et J2 (τ, t) leurs fonctions de retard dans l’équation (7.11) du paragraphe 7.2.2. Le processus de chargement est représenté par la charge uniformément répartie de densité linéique −p(t) selon Oy appliquée à l’instant t0 sur les deux tronçons de la

11 – Étude d’une structure

77

PSfrag y ` = 2a a

a p(t) A

B

O

x

Figure 25 – Poutre hétérogène hyperstatique

poutre OA et maintenue constante pour t ≥ t0 : ceci modélise par exemple le poids (11.18) de la poutre appliqué à l’instant du décintrement, la poutre étant alors dans son état naturel (pas de précontrainte). 11.4.2. Résolution du problème d’évolution Comme au paragraphe 11.3.1, la résolution du problème se ramène à la détermination de l’évolution de la réaction hyperstatique H(t) en A, qui fournit ensuite la distribution du moment fléchissant M (x, t) et la déformée ν(x, t) pour t ≥ t0 . On peut suivre le raisonnement suivant. • Distribution du moment fléchissant sur OA (11.24)

M (x, t) = −p Yt0 (t)

(2a − x)2 + H(t) (2a − x) . 2

• Déformée du tronçon OB Avec la loi de comportement (11.25)

χ(x, t) =

d2 ν (x, t) = [ J1 (×) M ](x, t) ; dx2

par intégration, compte tenu de l’encastrement, il vient : (11.26)

Å ã (2a − x)4 4 2 ν(x, t) = p − − a3 x + a4 J1t0 (t) 24 3 3 ã Å 4 (2a − x)3 + 2a2 x − a3 [ J1 (×) H ](t) . + 6 3

• Déformée du tronçon BA La loi de comportement s’écrit : (11.27)

χ(x, t) =

d2 ν (x, t) = [ J2 (×) M ](x, t) ; dx2

78

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

l’intégration, avec la condition d’appui en A, donne (11.28) ν(x, t) = −p

(2a − x)4 2 (2a − x)3 2 Jt0 (t) + p [ J (×) H ](t) − (2a − x)[ J2 (×) C ](t) . 24 6

où C(τ ) est une fonction du temps déterminée, en même temps que H(t), par la condition de raccord continu des deux tronçons en B. • Détermination de la réaction d’appui en A Après des calculs fastidieux, on obtient ainsi l’évolution de la réaction d’appui en A. Celle-ci est la solution de l’équation fonctionnelle : (11.29)

[ (7J1 + J2 ) (×) H ] =

3 pa (15 J1t0 + J2t0 ), 8

qu’il n’est pas possible d’expliciter dans le cas général. 11.4.3. Commentaire Évolution de la réaction d’appui Sans qu’il soit nécessaire de disposer de sa solution explicite l’équation fonctionnelle (11.29) met en évidence la différence essentielle introduite par l’hétérogénéité de la structure : la réaction d’appui H(t) et donc la distribution de moment fléchissant ne sont désormais plus constantes pour t ≥ t0 : dans le cas général, il y a redistribution des efforts. Si les fonctions J1 (τ, t) et J2 (τ, t) sont proportionnelles les efforts demeurent constants. Cette condition est évidemment suffisante d’après (11.29) ; elle est également nécessaire comme on le voit en faisant H(t) = H Yt0 (t) dans (11.29) : on obtient (11.30)

J2t0 (t) = −

56 H − 45 pa 1 J (t), ∀t ≥ t0 , 8 H − 3 pa t0

qui démontre la condition de proportionnalité et détermine la valeur constante de la réaction d’appui si cette condition est satisfaite. Effet des différences d’âge On s’intéresse ici au cas évoqué plus haut où les deux tronçons de la poutre sont constitués du même matériau physique mais dont l’âge est différent dans OB et BA. En désignant par J(τ, t) la fonction de retard de ce matériau physique dans sa chronologie propre, c’est-à-dire par rapport à sa propre origine des temps, les fonctions de retard J1t0 (t) et J2t0 (t) dans une chronologie commune unique s’écrivent :   J1t (t) = J(t0 − t1 , t − t1 ) 0 (11.31)  J2 (t) = J(t − t , t − t ) 0 1 2 t0

11 – Étude d’une structure

79

On voit alors que : • Si le matériau est non-vieillissant, les deux fonctions J1t0 (t) et J2t0 (t) sont égales. La condition de proportionnalité est satisfaite. Il n’y a pas de redistribution des efforts due à l’hétérogénéité. Ce résultat est banal car la poutre est, de fait, homogène. • Si l’on adopte, pour la prise en compte du vieillissement du matériau, la forme très simple de fonction de retard(26) : (11.32)

Jt0 (t) =

1 f (t − t0 )Yt0 (t) E(t0 )

1 , la condition E(t0 ) de proportionnalité est encore satisfaite et il n’y a pas, dans ce cas, de redistribution des efforts due à la différence d’âge. où le vieillissement n’intervient qu’à travers le facteur multiplicatif

(26) Cette forme est parfois adoptée pour la modélisation du comportement viscoélastique du béton en compression.

80

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

Récapitulatif des formules essentielles

• Expérience de Retard σ(t) = σ 0 Yt0 (t) Viscoélasticité linéaire : ε(t) = σ 0 J(t0 , t) Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : ε(t) = σ 0 f (t − t0 ) • Expérience de Relaxation ε(t) = ε0 Yt0 (t) Viscoélasticité linéaire : σ(t) = ε0 R(t0 , t) Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : σ(t) = ε0 r(t − t0 ) • Expérience de Recouvrance σ(t) = σ 0 [Yt0 (t) − Yt1 (t)] Viscoélasticité linéaire : ε(t) = σ 0 [J(t0 , t) − J(t1 , t)] Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : ε(t) = σ 0 [f (t − t0 ) − f (t − t1 )]

Récapitulatif des formules essentielles

81

• Expérience d’Effacement ε(t) = ε0 [Yt0 (t) − Yt1 (t)] Viscoélasticité linéaire : σ(t) = ε0 [R(t0 , t) − R(t1 , t)] Viscoélasticité linéaire sans vieillissement : σ(t) = ε0 [r(t − t0 ) − r(t − t1 )] • Viscoélasticité linéaire Formules de Boltzmann : ß ™ ß ™ ∂J ∂R ∂R ∂J (·, t) = (·, t) − J(t, t) δt (·, t) = (·, t) − R(t, t) δt ∂τ ∂τ ∂τ ∂τ Z t Z t ∂J ∂J σ(τ ) (τ, t) dτ σ(τ ) (τ, t) dτ ⇔ ε(t) = − ε(t) = σ(t)J(t, t) − ∂τ ∂τ Zt0t Z t0t ∂R ∂R ε(τ ) ε(τ ) σ(t) = ε(t)R(t, t) − (τ, t) dτ ⇔ σ(t) = − (τ, t) dτ ∂τ ∂τ t0 t0 ∂J , σ >= J (×) σ ∂τ ∂R R , ε >= R (×) ε ε 7−→ σ = − < ∂τ F

σ 7−→ ε = −
= δt0 ∂τ ∂τ0 ∂τ ∂τ0

82

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

• Viscoélasticité linéaire sans vieillissement Formules de Boltzmann : f 0 = {f 0 } + f (0) δ r0 = {r0 } + r(0) δ Z t Z ∞ 0 ε(t) = σ(t)f (0) + σ(τ )f (t − τ ) dτ ⇔ ε(t) = σ(τ )f 0 (t − τ ) dτ t0 −∞ Z t Z ∞ 0 σ(t) = ε(t)r(0) + ε(τ )r (t − τ ) dτ ⇔ σ(t) = ε(τ )r0 (t − τ ) dτ ∞

−∞

F

σ 7−→ ε = f 0 ∗ σ R

ε 7−→ σ = r0 ∗ ε

ft0 = f 0 ∗ Yt0 = f ∗ (Yt0 )0 = f ∗ δt0 rt0 = r0 ∗ Yt0 = r ∗ (Yt0 )0 = r ∗ δt0 r0 ∗ f = f 0 ∗ r = (f ∗ r)0 = Y

⇔

f 0 ∗ r0 = δ

f (0) r(0) = 1 f (∞) r(∞) = 1 • Transformation de Laplace

Lϕ(p) = hϕ, e

−pt

i=

Z

∞

ϕ(t) e−pt dt

−∞

L(a ∗ b) = L(a) L(b) Lδ = 1 Lδ 0 = p Lϕ0 = L(ϕ ∗ δ 0 ) = p Lϕ Lδu = e−pu Lϕu = L(ϕ ∗ δu ) = e−pu Lϕ

Récapitulatif des formules essentielles

83

• Transformation de Carson ϕ∗ = Lϕ0 = p Lϕ ε∗ (p) = f ∗ (p) σ ∗ (p) σ ∗ (p) = r∗ (p) ε∗ (p) f ∗ (p) r∗ (p) = 1

ϕ

ϕ∗ (p)

δ

p

C Y (t)

C

e−at Y (t)

p p+a

tn Y (t)

n! pn

(1 − e−at )Y (t)

a p+a

i b − (1 − )e−at Y (t) a a

p+b p+a

e−at Y (t) sin ωt

pω (p + a)2 + ω 2

e−at Y (t) cos ωt

p(p + a) (p + a)2 + ω 2

hb

ϕ∗ (0) = ϕ(∞) ϕ∗ (∞) = ϕ(0)

84

Chapitre I – Approche unidimensionnelle

• Solide linéaire standard ã Å i h1 1 1 − t e τf Y (t) f (t) = + − K E K i t r(t) = [K + (E − K)e− τr Y (t) K τr = τf E • Modélisation unidimensionnelle Viscoélasticité linéaire : ∂J , Q > = J (×) Q ∂τ ∂R R q 7−→ Q = − < , q > = R (×) q ∂τ F

Q 7−→ q = −
= J (× :) σ

∂R

ε 7−→ σ = −
= R (× :) ε

qui sont explicitées par (3.16), (3.17) et (3.18). Comme dans le cas unidimensionnel, l’application de (3.19) aux expériences fondamentales de retard et de relaxation permet d’établir des identités autour de l’opérateur intégral qui expriment que les « matrices » de retard et de relaxation sont inverses l’une de l’autre à travers cet opérateur. Par définition on a, pour l’expérience de retard : (3.20)

∀σ 0 , J t0 : σ 0 = J (× :) σ 0 Yt0

d’où(2) (3.21)

J t0 = J (×) Yt0

De même, pour l’expérience de relaxation, il vient(3) : (3.22)

Rt0 = R (×) Yt0

Pour écrire les formules d’inversion, homologues de (4.33 à 4.35) du chapitre I, on utilise le tenseur 1l défini par (3.14). Ainsi, en inversant (3.21), on obtient : (3.23) (2) Compte

R (× :) J t0 = 1l Yt0

tenu des symétries sur les indices. identités s’obtiennent directement en appliquant les identités (4.31) et (4.32) du chapitre I à chacune des composantes de J ou R. (3) Ces

4 – Matériau viscoélastique linéaire isotrope

103

et, à partir de (3.22), (3.24)

J (× :) Rt0 = 1l Yt0 .

Ces formules s’écrivent aussi : ∂J (3.25)


=
= 1l δt0 .

On peut ici encore signaler que la formule d’inversion entre les tenseurs des modules élastiques instantanés et des complaisances élastiques instantanées (3.15) est une conséquence particulière de (3.23) ou (3.24).

4

Matériau viscoélastique linéaire isotrope

4.1

Symétries matérielles : isotropie

Dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations, on s’intéresse désormais à l’impact des symétries matérielles, supposées conservées au cours de l’évolution, sur l’écriture de la loi de comportement viscoélastique linéaire : la loi de comportement doit être invariante dans toute transformation appartenant au groupe d’isotropie du matériau effectuée sur σ et ε. Compte tenu de son importance pratique on se restreindra au cas particulier du matériau isotrope. Du point de vue mathématique, le respect des symétries matérielles impose alors que les équations (3.19) soient invariantes dans toute rotation ou symétrie, ce qui conduit à des restrictions sur le nombre de coefficients indépendants des matrices des tenseurs J(t0 , t) et R(t0 , t).

4.2 4.2.1

Loi de comportement viscoélastique linéaire isotrope Expérience de retard pour le matériau isotrope

On reprend l’expérience générale de retard décrite par :   σ(t) = σ 0 Yt0 (t) (4.1)  ε(t) = J(t0 , t) : σ 0 , ∀σ 0 .

À l’instant t0 , la relation entre les tenseurs σ 0 et ε(t0 ) est celle de l’élasticité linéaire isotrope. D’après le théorème général de représentation des fonctions tensorielles isotropes(4) , le tenseur ε(t0 ), fonction linéaire isotrope du tenseur σ 0 , est nécessairement de la forme : (4.2)

ε(t0 ) = A(t0 , t0 ) σ 0 + B(t0 , t0 )(tr σ 0 ) 1l

(4) Comme en élasticité linéaire, les résultats établis dans cette section pour le matériau isotrope ne nécessitent pas la symétrie entre les groupes d’indices (i, j) et (h, k) de J et de R

104

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

où A(t0 , t0 ) etB(t0 , t0 ) sont des constantes matérielles et 1l désigne le tenseur unité. À chaque instant t > t0 , le problème mathématique de la correspondance entre les tenseurs σ 0 et ε(t) dans le respect de l’isotropie du matériau demeure le même que pour t0 . En conséquence la relation linéaire entre les tenseurs σ 0 et ε(t) a la même forme que (4.2) : (4.3)

ε(t) = A(t0 , t) σ 0 + B(t0 , t)(tr σ 0 ) 1l

On remarque, en explicitant (4.3), que la somme A(t0 , t) + B(t0 , t) n’est autre que la fonction de retard en traction simple J(t0 , t) introduite au chapitre I. On choisit alors de mettre l’équation (4.3) sous la forme : (4.4)

ε(t) = [1 + n(t, t0 )]J(t0 , t) σ 0 − n(t0 , t)J(t0 , t)(tr σ 0 ) 1l .

Ainsi, les fonctions matérielles scalaires J(t0 , t) et n(t0 , t) sont déterminées, comme en élasticité, à partir d’une seule expérience de retard en traction simple effectuée selon une direction Ox quelconque :  0 0   σ = σ ex ⊗ ex     εxx (t) J(t, t0 ) = Yt0 (t) (4.5) σ0     ε (t)   n(t, t0 ) = − yy Yt (t) εxx (t) 0 où l’on voit que n(t0 , t) est le coefficient de Poisson dans l’expérience de retard en traction simple. 4.2.2

Expérience de relaxation pour le matériau isotrope.

La même démarche que ci-dessus peut être suivie pour l’expérience générale de relaxation décrite par :   ε(t) = ε0 Yt0 (t) (4.6) .  σ(t) = R(t0 , t) : ε0 , ∀ε0

De façon identique à (4.3) la réponse σ(t), fonction linéaire isotrope de ε0 , s’ex-

plicite au moyen de deux fonctions scalaires, λ(t0 , t) et µ(t0 , t) : (4.7)

σ(t) = λ(t0 , t)(tr ε0 ) 1l + 2µ(t0 , t) ε0 .

Les fonctions λ(t0 , t) et µ(t0 , t) sont d’authentiques fonctions de relaxation identifiables dans des expériences simples : • µ(t0 , t) est la fonction de relaxation en cisaillement simple :   ε(t) = ε0 (e x ⊗ e y + ⊗ e y ⊗ e x )Yt0 (t) (4.8)  µ(t0 , t) = σxy (t) Yt0 (t), 2 ε0

4 – Matériau viscoélastique linéaire isotrope

105

• λ(t0 , t) + 2µ(t0 , t) est la fonction de relaxation en extension simple :  0   ε(t) = ε e x ⊗ e x Yt0 (t) (4.9)   λ(t0 , t) + 2µ(t0 , t) = σxx (t) Yt0 (t) ε0

• On voit aussi que 3λ(t0 , t) + 2µ(t0 , t) est la fonction de relaxation en compression isotrope :  0   ε(t) = ε 1l Yt0 (t) ⇒ σ(t) = −p(t) 1l (4.10)   3λ(t0 , t) + 2µ(t0 , t) = − p(t) Yt0 (t) ε0 4.2.3

Formules de Boltzmann

Il s’agit maintenant de reprendre l’écriture des formules (3.19) compte tenu de l’explicitation donnée ci-dessus pour les tenseurs J(t0 , t) et R(t0 , t). On obtient ainsi pour les correspondances inverses F et R : F

(4.11)

σ 7−→ ε = [ (1 + n)J ] (×) σ − [ nJ ] (×) [ tr σ ] 1l R

ε 7−→ σ = λ (×) [ tr ε ] 1l + 2µ (×) ε La similitude de ces expressions de la loi de comportement viscoélastique linéaire pour le matériau isotrope avec celles de l’élasticité linéaire isotrope est particulièrement mise en évidence par la notation compacte adoptée pour l’opérateur intégral. On remarque toutefois qu’alors que la seconde équation de (4.11) utilise pour les fonctions matérielles scalaires des notations semblables à celles de l’élasticité (constante de Lamé et module de cisaillement), il n’en va de même pour la première équation. Ceci s’explique lorsque l’on explicite les formules générales d’inversion (3.23) ou (3.24) dans le cas présent du matériau isotrope, faisant apparaître deux relations entre les fonctions J(t0 , t) et n(t0 , t) en retard et les fonctions λ(t0 , t) et µ(t0 , t) de relaxation. Ces relations s’obtiennent aisément en considérant les deux expériences de relaxation (4.8) et (4.10) auxquelles on applique (3.24). Il vient ainsi à partir de (4.8) :

(4.12a)

[ (1 + n)J ] (×) 2µt0 = Yt0

qui montre que la fonction 2 [ 1+n(t0 , t)J(t0 , t) ] est l’inverse, pour l’opérateur intégral, de la fonction de relaxation en cisaillement simple µ(t0 , t) ; c’est la fonction de retard en cisaillement simple notée γ(t0 , t) :   2 [ 1 + n(t0 , t)J(t0 , t) ] = γ(t0 , t) (4.12b)  γ (×) µ = Y t0 t0

106

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

À partir de (4.10) on obtient : (4.13)

[ (1 − 2n)J ] (×) (3λt0 + 2µt0 ) = Yt0

qui met en évidence la fonction de retard en compression isotrope : [ (1 − 2n(t0 , t) ]J(t0 , t). Les relations (4.12) et (4.13) impliquent qu’à l’instant t0 on a : (4.14)

2µ(t0 , t0 ) =

1 J(t0 , t0 )[ 1 + n(t0 , t0 ) ]

et (4.15)

3λ(t0 , t0 ) + 2µ(t0 , t0 ) =

1 J(t0 , t0 )[ 1 − 2n(t0 , t0 ) ]

qui sont, pour l’élasticité instantanée, les relations classiques où n(t0 , t0 ) est le coefficient de Poisson et J(t0 , t0 ) la complaisance (inverse algébrique du module). On remarque (sans surprise) que les relations (4.12) et (4.13) sont, du point de vue de l’opérateur intégral, semblables à celles obtenues en élasticité linéaire isotrope. 4.2.4

« Relaxation » en traction simple

Les paragraphes précédents ont présenté d’authentiques fonctions de retard et de relaxation selon les définitions (2.1) et (2.3). Par ailleurs on a déjà remarqué au chapitre I (7.1) et dans le présent chapitre (§ 2.2) que l’expérience « duale » de l’expérience de retard en traction simple n’est pas, à proprement parler, une expérience de relaxation puisqu’elle correspond aux sollicitations mixtes :   εxx (t) = ε0 Yt0 (t) (4.16)  σ (t) = 0, i 6= x, j 6= x ij Cette expérience n’en est pas moins fondamentale du point de vue pratique car la composante σxx de sa réponse détermine la fonction de « relaxation » en traction simple dans le modèle unidimensionnel et sa réalisation est simple. La formule de Boltzmann (4.11) en permet l’analyse rapide. Compte tenu des restrictions (4.16) sur σ(t) on obtient ainsi : (4.17)

ε0 Yt0 = J (×) σxx ;

soit, en appliquant (4.11) et en posant (4.18)

σxx (t) = ε0 Et0 (t),

(4.19)

J (×) Et0 = Yt0

4 – Matériau viscoélastique linéaire isotrope

107

La fonction Et0 (t) est l’inverse, du point de vue de l’opérateur intégral, de la fonction de retard en traction simple : c’est authentiquement la fonction de relaxation en traction simple unidimensionnelle. La réponse dans cette expérience comprend aussi l’évolution des composantes εyy (t) = εzz (t), seules composantes non nulles de ε(t) autres que εxx (t). Il est commode d’introduire le coefficient de Poisson dans cette expérience, défini par : (4.20)

νt0 (t) = −Yt0

εyy (t) . ε0

On obtient par (4.11) : (4.21)

νt0 = (nJ) (×) Et0

qui implique évidemment que : ν(t0 , t0 ) = n(t0 , t0 ). Les fonctions ainsi définies, Et0 (t) et νt0 (t) se révèlent souvent utiles dans la résolution de problèmes de viscoélasticité linéaire tridimensionnelle. 4.2.5

Hypothèse simplificatrice : le coefficient de Poisson est constant

Dans la pratique les résultats expérimentaux permettent souvent de valider l’hypothèse que le coefficient de Poisson dans l’expérience de relaxation en traction simple est constant, évidemment égal au coefficient de Poisson de la réponse élastique instantanée : (4.22)

ν(t0 , t) = ν Y (t0 , t) .

De (4.21) et (4.19) on déduit alors que le coefficient de Poisson dans l’expérience de retard en traction simple est, lui aussi, constant et égal à cette même valeur : (4.23)

n(t0 , t) = ν Y (t0 , t) .

Cette hypothèse conduit à des simplifications considérables des relations entre les fonctions de retard et de relaxation données plus haut (§ 4.2.2). À partir de (4.12) on obtient : (4.24)

2µ(t0 , t) =

E(t0 , t) 1+ν

et, à partir de (4.13) (4.25)

3λ(t0 , t) + 2µ(t0 , t) =

E(t0 , t) ; 1 − 2ν

c’est-à-dire, entre les fonctions de relaxation E(t0 , t), λ(t0 , t), µ(t0 , t) et le coefficient de Poisson, les mêmes relations qu’en élasticité linéaire. Plus encore, la formule de Boltzmann (4.11) devient : (4.26)

ε = J (×) [(1 + ν) σ − ν ( tr σ) 1l ]

108

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

soit, compte tenu de (4.19),

(4.27)

E (×) ε = (1 + ν) σ − ν ( tr σ) 1l

identique, avec l’opérateur (×), à l’équation de comportement en élasticité linéaire isotrope. On voit que, du point de vue viscoélastique, le comportement du matériau est défini par les seules fonctions de retard ou de « relaxation » en traction simple, ce qui apparente ce cas à l’approche unidimensionnelle. Cette propriété permet souvent la résolution directe explicite de problèmes globaux en suivant la même démarche qu’en élasticité (§ 6.5).

5

Comportement viscoélastique linéaire en l’absence de vieillissement

5.1

Matériau viscoélastique linéaire non-vieillisant

L’hypothèse de non-vieillissement s’exprime comme au chapitre I dans le cas unidimensionnel. À partir de (3.1 et 3.2) : (5.1)

h t−u i h i t Ft−u σ(τ ) = Ft σ(τ − u) , ∀ σ, ∀u −∞

(5.2)

Gt−u

h

−∞

i h t−u i t ε(τ ) = Gt ε(τ − u) , ∀ ε, ∀u . −∞

−∞

On en tire les mêmes conséquences mathématiques que dans le cas unidimensionnel, qui portent maintenant sur les tenseurs J(t0 , t) et R(t0 , t) : ceux-ci, invariants par translation sur le temps, ne sont plus désormais fonctions que de l’argument (t − t0 ) :

(5.3)

et (5.4)

   J(t0 , t) = f (t − t0 )   f (τ ) = 0 si τ < 0

  R(t0 , t) = r(t − t0 )  r(τ ) = 0 si τ < 0 .

Dans toute la suite on suppose implicitement l’existence de limites finies pour f (τ ) et r(τ ) quand τ → ∞ .

5 – Comportement viscoélastique linéaire en l’absence de vieillissement

5.2

109

Formules de Boltzmann

Dans les formules de Boltzmann (3.18), l’opérateur intégral (×) s’explicite, comme au chapitre I (§ 5.3.2.) au moyen du produit de convolution de Riemann noté ∗. Ainsi : F

σ 7−→ ε = f 0 (∗ :) σ = f (∗ :) σ 0 (5.5) R

ε 7−→ σ = r0 (∗ :) ε = r (∗ :) ε0

où les dérivées sont prises au sens des distributions. Les identités (3.23) et (3.24) s’écrivent alors : f 0 (∗ :) r = r0 (∗ :) f = 1l Y

(5.6) et, pour (3.25) il vient

f 0 (∗ :) r0 = r0 (∗ :)f 0 = 1l δ .

(5.7) On en déduit : (5.8)

f (0) : r(0) = 1l ,

qui n’est autre que la relation (3.15) relative à l’élasticité instantanée, et aussi, sous les mêmes hypothèses qu’au chapitre I, le résultat nouveau relatif au comportement à l’infini : (5.9)

5.3

f (∞) : r(∞) = 1l .

Utilisation du calcul opérationnel

L’introduction du calcul opérationnel au moyen de la transformée de Carson se révèle ici particulièrement intéressante. On rappelle que, pour une fonction scalaire, (5.10)

ϕ∗ = Lϕ0 = p Lϕ ;

pour les fonctions tensorielles rencontrées ici, la définition est identique. À partir de (5.5) et (5.7) on obtient ainsi : ε∗ (p) = f ∗ (p) : σ ∗ (p) (5.11)

σ ∗ (p) = r ∗ (p) : ε∗ (p) f ∗ (p) : r∗ (p) = 1l

110

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

où les symétries des tenseurs transformés σ ∗ (p), ε∗ (p), f ∗ (p) et r ∗ (p), fonctions de p, sont les mêmes que celles des tenseurs originaux, fonctions du temps. Ces équations algébriques, où p ne joue que le rôle d’un paramètre, sont formellement identiques (aux notations près) aux équations exprimant la loi de comportement de l’élasticité linéaire. Cette constatation laisse présager de l’intérêt de l’introduction de la transformation de Carson pour la résolution des problèmes d’évolution d’un système en matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant, comme cela sera exposé dans la section suivante (§ 6.6).

5.4 5.4.1

Matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant isotrope Formules de Boltzmann

Sans qu’il soit nécessaire de reprendre les raisonnements précédents, les formules de Boltzmann (4.11) établies pour le comportement viscoélastique linéaire isotrope s’écrivent désormais en explicitant l’opérateur intégral (×) au moyen de la convolution de Riemann.   σ 7−F→ ε = [(1 + n)J ] ∗ σ 0 − [ nJ ] ∗ [ tr σ 0 ] 1l (5.12)  ε 7−F→ σ = λ ∗ [ tr ε0 ] 1l + 2µ ∗ ε0 En conservant les équations sous cette forme, il est parfois possible de résoudre un problème d’évolution dans l’algèbre de convolution On fait pour cela usage des formules d’inversion, issues de (4.12), (4.13), (4.19) et (4.21) : (5.13)

[ (1 + n) J ] ∗ 2µ0 = Y ,

(5.14)

[ (1 − 2n) J ] ∗ (3λ0 + 2µ0 ) = Y ,

(5.15)

J ∗ E0 = Y ,

(5.16)

ν = (nJ) ∗ E 0 .

Avec les transformées de Carson on obtient les formules algébriques : (5.17)

®

ε∗ σ∗

= [ (1 + n) J ]∗ σ ∗ − [ nJ ]∗ [ tr σ ∗ ] 1 = λ∗ [ tr ε∗ ] 1 + 2 µ∗ ε∗

avec les formules d’inversion : 1 [ (1 + n) J ]∗

(5.18)

2µ∗ =

(5.19)

(3λ∗ + 2µ∗ ) =

(5.20)

J∗ =

1 E∗

1 [ (1 − 2n) J ]∗

5 – Comportement viscoélastique linéaire en l’absence de vieillissement

111

et (5.21)

ν∗ . E∗

(nJ)∗ =

En substituant dans l’expression (5.17) de ε∗ , il vient aussi :

(5.22)

ε∗ =

1 + ν∗ ∗ ν∗ σ [ tr σ ∗ ] 1l − E∗ E∗

σ ∗ = λ∗ [ tr ε∗ ] 1l + 2µ∗ ε∗ où l’on reconnaît, en transformées de Carson, avec les fonctions définies dans l’expérience de « relaxation » en traction simple, les équations classiques de l’élasticité linéaire isotrope. Il est utile d’examiner comment se traduisent, dans ce cas, les relations (5.8) et (5.9) relatives respectivement à l’élasticité instantanée et au comportement à l’infini. Pour l’élasticité instantanée, la relation (5.8) on retrouve les formules classiques de l’élasticité linéaire isotrope : 1 E(0)

(5.23)

J(0) =

(5.24)

n(0) = ν(0)

(5.25)

2 µ(0) =

(5.26)

3λ(0) + 2µ(0) +

E(0) 1 + ν(0) E(0) . 1 − 2ν(0)

Pour le comportement à l’infini il vient aussi : 1 E(∞)

(5.27)

J(∞) =

(5.28)

n(∞) = ν(∞)

(5.29)

2 µ(∞) =

E(∞) 1 + ν(∞)

et (5.30)

3λ(∞) + 2µ(∞) +

E(∞) . 1 − 2ν(∞)

112

5.4.2

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Coefficient de Poisson constant

Les formules se simplifient encore si l’on fait l’hypothèse que le coefficient de Poisson est constant, égal au coefficient de Poisson élastique instantané (§ 4.2.5) :

ε∗ =

(5.31)

1+ν ∗ ν σ − [ tr σ ∗ ] 1l ∗ E E∗

σ ∗ = λ∗ [ tr ε∗ ] 1l + 2µ∗ ε∗ avec 2µ∗ =

(5.32)

E∗ , 1+ν

et (3λ∗ + 2µ∗ ) =

(5.33)

5.5 5.5.1

E∗ . 1 + 2ν

Commentaires Symétries des tenseurs f (p) et r(p)

Dans les équations (5.11), à la différence des tenseurs des complaisances et des modules élastiques en élasticité linéaire, les tenseurs f ∗ (p) et r∗ (p) ne présentent pas la symétrie entre les groupes d’indices (i, j) et (h, k). Dans le cas de l’élasticité cette symétrie résulte de l’existence du potentiel élastique dont dérive la loi de comportement. Dans le cas présent de la viscoélasticité linéaire pour le matériau non vieillissant, cette symétrie peut être démontrée, si l’on se place dans le cadre d’hypothèses de la théorie de Biot, à partir du principe d’Onsager . À noter que cette propriété de symétrie est nécessaire pour l’application du théorème de correspondance de Lee-Mandel dans le cas général (§ 6.6.1), mais évidemment pas pour le matériau isotrope. 5.5.2.

Fonctions de relaxation

L’étude du cas du matériau isotrope non-vieillissant met particulièrement en évidence, par les expressions (5.22) et (5.31), le rôle essentiel joué par l’expérience de « relaxation » en traction simple, déjà apparent sur les formules (4.19) et (4.21). Cela tient au fait que les fonctions matérielles déterminées à travers cette expérience sont les homologues des constantes matérielles E et ν déterminées en élasticité linéaire dans l’expérience de traction simple car la description mathématique de celle-ci en termes de module de Young et de coefficient de Poisson l’identifie comme une expérience de relaxation. C’est ici l’occasion d’insister sur la confusion qui peut résulter d’une notation souvent utilisée dans la pratique. En effet, il est fréquent que, par analogie malheureuse

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

113

avec le cas élastique, l’expérience de retard en traction simple soit décrite non par la fonction de retard mais par son inverse algébrique sous la forme : F

σ(t) = σ 0 Y (t0 , t) 7−→ ε(t) = σ 0

1 ! E(t0 , t)

Il est clair que cette écriture est sans danger tant que les seuls problèmes étudiés sont des problèmes de retard ; ainsi, la réponse d’un élément de poutre en flexion dans une expérience de retard (fluage) s’écrira-t-elle alors : χ(t) =

M0 I E(t0 , t)

ce qui peut même paraître plus simple ! En revanche, la notation perd son innocuité dès qu’il s’agit d’écrire la loi de comportement et les formules de Boltzmann, pour la raison physique évoquée plus haut. Il est donc recommandable de bannir cette écriture

et de retenir (5.35)

ε = J (×)

M N et χ = J (×) S I

avec les formules inverses (5.36)

6 6.1

N = ES (×) ε et M = E I (×) χ .

Évolutions viscoélastiques quasi-statiques Problème d’évolution quasi-statique

Le concept d’évolution est schématiquement représenté sur la Figure 1. L’état initial du système étudié est défini au moyen des données géométriques et mécaniques initiales. L’histoire des sollicitations appliquées au système est prescrite à partir de cet instant initial et l’on cherche à déterminer l’évolution correspondante, c’est-à-dire tous les champs qui définissent l’état à chaque instant ultérieur. Lorsque le matériau constitutif du système (qui n’est pas nécessairement homogène) est, en tout point, régi par une loi de comportement viscoélastique, le problème posé est un problème d’évolution viscoélastique et l’on verra que le système manifeste lui-même, globalement, un comportement viscoélastique. Un tel problème d’évolution est régi par le système des équations de champs dans le volume et le système des équations qui expriment les conditions aux limites sur le contour. Toutes ces équations dépendent du temps, à la fois explicitement suivant l’histoire des sollicitations et implicitement en raison de l’évolution des domaines géométriques sur lesquels elles sont écrites. Pour les équations de champs, ce sont les

114

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

équations de la dynamique, l’équation de continuité, la loi de comportement et l’équation thermique. Les conditions aux limites, outre la condition thermique, prennent la forme classique pour les problèmes bien posés : donnée, en chaque point du contour et à chaque instant, de trois composantes, orthogonales entre elles pour l’ensemble des deux vecteurs, vitesse et contrainte. En ce qui concerne l’équation thermique, comme déjà annoncé, on se borne à l’étude des évolutions isothermes.

S État actuel Évolution

S État initial

Histoire des sollicitations sur le système Données initiales

Figure 1 – Représentation schématique du problème d’évolution

On se place dans le cadre des évolutions quasi-statiques, qui postule que le système est, à chaque instant, en équilibre. Ceci suppose évidemment que les données qui définissent l’état initial, puis l’histoire des sollicitations sont compatibles avec cette hypothèse, notamment : • que la compatibilité avec l’équation d’équilibre global du système est assurée (6.1)

[Fe (t)] = 0 .

où [Fe (t)] désigne le torseur de tous les efforts appliqués au système ; • et que les variations des sollicitations données au cours du temps sont suffisamment lentes(5) . Pour les évolutions quasi-statiques, les équations de la dynamique sont à chaque instant remplacées par les équations de l’équilibre.

6.2

Hypothèse des petites perturbations

On a déjà évoqué au chapitre I (section 1 et § 9.1) et au paragraphe 2.1 du présent chapitre l’hypothèse des petites perturbations (H.P.P). En fait, sauf en ce qui (5) On remarque que cette condition est cohérente avec les considérations déjà développées au chapitre I (section 1) pour la définition du phénomène étudié, notamment, avec les conditions expérimentales pour la détermination de la loi de comportement.

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

115

concerne les problèmes globaux (y compris les expériences d’identification de la loi de comportement), seule une partie de cette hypothèse était nécessaire : l’hypothèse de la transformation infinitésimale, qui signifie que la déformation et la rotation de l’élément matériel sont infinitésimales. L’hypothèse des petites perturbations ajoute à l’hypothèse de la transformation infinitésimale l’hypothèse dite des petits déplacements, qui permet d’écrire les équations du problème d’évolution, à chaque instant, sur la géométrie initiale. On fait ainsi disparaître la dépendance implicite vis-à-vis du temps signalée plus haut. On se place désormais dans le cadre H.P.P. complet, cohérent avec la formulation de la loi de comportement viscoélastique présentée dans les sections précédentes.

6.3

Problématique

Les problèmes étudiés concernent les systèmes mécaniques constitués d’un matériau viscoélastique linéaire, dont on particularisera les propriétés le moment venu. Compte tenu de l’hypothèse des petites perturbations on désigne par Ω le volume du système étudié et par ∂Ω son contour. L’état initial du système est défini par l’ensemble des paramètres qui déterminent sa configuration géométrique (Ω, ∂Ω) et par l’état de contrainte initial. L’histoire des sollicitations comprend, sous réserve de (6.1) : • l’histoire des forces de masse F (x, t) données dans le volume Ω • et l’histoire des données au contour sur ∂Ω. Pour celles-ci, comme annoncé plus haut, on suppose qu’il s’agit à chaque instant de la donnée de trois composantes, orthogonales entre elles, pour l’ensemble des deux vecteurs, contrainte et vitesse (figure 2). On désigne à chaque instant par SUi (t) et STi (t) respectivement les surfaces complémentaires de ∂Ω sur lesquelles les composantes Ui (t) du vecteur vitesse U(t) et Ti (t) du vecteur contrainte T (t) sont données.

Ω 2 1 ∂Ω

M 3

Figure 2 – Données au contour

On se place de plus dans l’hypothèse où les surfaces SUi (t) et STi (t) demeurent inchangées pendant la durée de l’histoire étudiée en sorte que : (6.2)

SUi (t) ≡ SUi et STi (t) ≡ STi .

116

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Il s’ensuit, par intégration par rapport au temps, que l’on peut écrire les données aux limites sous la forme :   Sξi ∩ STi = ∅, Sξi ∪ STi = ∂Ω    (6.3) ξi (x, t) = ξid (x, t) sur Sξi     Ti (x, t) = Tid (x, t) sur STi où Sξi ≡ SUi et ou l’indice supérieur « d » indique la fonction donnée. On peut évidemment élargir cette hypothèse d’invariance de la nature des données aux limites en supposant que l’histoire est constituée d’une succession d’époques de durées finies au cours desquelles les surfaces SUi (t) et STi (t) demeurent invariables ; chacune des époques étant alors analysée séparément.

La loi de comportement du matériau constitutif est la loi viscoélastique linéaire sous la forme générale (3.19) :    ε = J (× :) σ (6.4)   σ = R (× :) ε où J et R dépendent de la variable spatiale x si le matériau n’est pas homogène.

Au total, les équations du problème d’évolution quasi-statique, dans l’hypothèse des petites perturbations, en viscoélasticité linéaire, s’écrivent : Équations de champs (6.5)

div σ(x, t) + ρ F (x, t) = 0

(6.6)

ε(x, t) =

(6.7)

1 [ grad ξ(x, t) +t grad ξ(x, t) ] 2

  ε(x, t) = [ J (× :) σ ](x, t)

 σ(x, t) = [ R (× :) ε ](x, t)

Conditions aux limites (SUi (t) et STi (t) indépendantes de t)   Sξi ∩ STi = ∅, Sξi ∪ STi = ∂Ω    (6.3) ξi (x, t) = ξid (x, t) sur Sξi     Ti (x, t) = Tid (x, t) sur STi

6.4

Principe de superposition

Le système des équations de champs et des conditions aux limites écrit ci-dessus rappelle évidemment celui de l’équilibre élastique linéarisé. Dans les équations (6.3,

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

117

6.5 et 6.6), la variable t joue le rôle d’un simple paramètre ; en revanche, dans la loi de comportement (6.7), t intervient dans l’opérateur intégral de Boltzmann (×). Pas plus qu’en élasticité linéaire, il n’est possible d’énoncer une méthode générale systématique et purement déductive qui permette de résoudre le problème quasi-statique ainsi posé. Aux difficultés déjà importantes connues dans le cas de l’élasticité s’ajoutent ici celles dues à la forme intégrale de la loi de comportement. Il est toutefois possible d’énoncer un résultat général important : Le problème posé sous la forme (6.3, 6.5 à 6.7) est linéaire En d’autres termes la correspondance entre les histoires de σ et ξ d’une part et les histoires des données F sur Ω et ξid et Tid sur Sξi et STi d’autre part est linéaire. C’est le principe de superposition énoncé désormais au niveau global du système(6) . Il est essentiel de remarquer qu’il est la conséquence, non seulement de la linéarité de la loi de comportement du matériau constitutif (linéarité physique), mais aussi de l’hypothèse des petites perturbations et de l’hypothèse sur la forme des conditions aux limites (linéarité géométrique). Si les histoires σ 1 et ξ 1 sont solutions du problème d’évolution viscoélastique avec les histoires F 1 , (ξid )1 et (Tid )1 pour données ; Si les histoires σ 2 et ξ 2 sont solutions du problème d’évolution viscoélastique avec les histoires F 2 , (ξid )2 et (Tid )2 pour données ; Alors, ∀λ1 , ∀λ2 les histoires σ = λ1 σ 1 + λ2 σ 2 et ξ = λ1 ξ 1 + λ2 ξ 2

(6.8)

sont solutions du même problème d’évolution viscoélastique avec les histoires données : F = λ1 F 1 + λ2 F 2 dans le volume Ω

(6.9) et (6.10)

ξid = λ1 (ξid )1 + λ2 (ξid )2 sur Sξi et Tid = λ1 (Tid )1 + λ2 (Tid )2 sur STi

Il est évident que ce principe n’est et ne demeure valable que pour autant que les hypothèses rappelées plus haut sont satisfaites. Au-delà de ce résultat général, il est possible, pour certaines formes particulières de la loi de comportement et/ou pour certains types de problèmes, d’établir des résultats permettant de relier la solution du problème d’évolution viscoélastique linéaire à celle d’un problème d’équilibre élastique linéarisé homologue : c’est l’objet des sections suivantes. (6) Cf.

chapitre I (§ 9.2).

118

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

6.5

Matériau homogène et isotrope à coefficient de Poisson constant

On suppose ici que le système étudié est constitué d’un matériau viscoélastique linéaire homogène, isotrope et dont le coefficient de Poisson est constant. Avec les notations du paragraphe 4.2.5, J(t0 , t), E(t0 , t) et ν désignent respectivement la fonction de retard en traction simple, la fonction de relaxation en traction simple unidimensionnelle et le coefficient de Poisson. La loi de comportement (6.7) s’explicite en : (6.11) 6.5.1

ε(x, t) = J (×) [ (1 + ν) σ − ν(tr σ) 1l ] (x, t) Problème de type « retard »

On s’intéresse aux problèmes d’évolution dans lesquels les données F sur Ω et ξid et Tid sur Sξi et STi sont de la forme :   F (x, t) = F 0 (x) Yt0 (t) sur Ω    (6.12) ξid (x, t) = 0 sur Sξi     T d (x, t) = [ T d ]0 (x) Y sur S t0 Ti i i À l’instant initial de la sollicitation, t0 , le problème est un problème d’élasti1 cité instantanée avec le module de Young E(t0 , t0 ) = et le coefficient de J(t0 , t0 ) Poisson ν. Soient σ 0 (x), ε0 (x) et ξ 0 (x) les champs solutions de ce problème. La solution du problème de retard pour t > t0 est alors donnée par les champs :   σ(x, t) = σ 0 (x) Yt0 (t)       J(t0 , t) ε(x, t) = ε0 (x) (6.13) J(t0 , t0 )     J(t0 , t)  0   ξ(x, t) = ξ (x) J(t0 , t0 ) En effet : • le champ σ(x, t) satisfait évidemment (6.5) et la condition aux limites sur les contraintes dans (6.3) avec (6.12) ; • le champ ε(x, t) est associé à σ(x, t) par la loi de comportement (6.11) ; • proportionnel à ε0 (x, t), le champ ε(x, t) est géométriquement compatible ; le champ ξ(x, t) qui lui est associé, proportionnel à ξ 0 (x, t), satisfait les conditions aux limites sur les déplacements (6.3), nulles d’après (6.12). Ainsi, les efforts intérieurs demeurent constants pour t > t0 tandis que les déformations et les déplacements évoluent proportionnellement à la fonction de retard du matériau constitutif.

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

6.5.2

119

Évolution prescrite par des paramètres de chargement

À partir de la solution du problème de type « retard », la linéarité énoncée au paragraphe 6.4 permet formellement de déduire la solution de tout problème d’évolution dans lequel les données ξid (x, t) sur Sξi sont nulles. Dans la pratique, les évolutions concernées sont celles où les données F (x, t) sur Ω et Tid(x, t) sur STi dépendent linéairement de n paramètres scalaires Qj (t), appelés paramètres de chargement, composantes d’un vecteur chargement Q(t). À ces paramètres sont associés, dans l’expression de la puissance des efforts extérieurs, les paramètres cinématiques qj (t), composantes du vecteur cinématique q(t). Une telle évolution(7) est ainsi prescrite par l’histoire du vecteur chargement et la réponse observable du système est donnée par q(t) . On peut ainsi prescrire une histoire de retard (6.14)

Q(t) = Q0 Yt0 (t) ,

pour laquelle la réponse élastique instantanée à l’instant t0 s’écrit(8) :  (x) Q0j = σ él (x) Qj (t0 ) σ(x, t0 ) = σ él   j j   ε(x, t0 ) = εél (x) Jt0 (t0 ) Q0j = εél (x) Jt0 (t0 ) Qj (t0 ) (6.15) j j     ξ(x, t0 ) = ξ él (x) Jt0 (t0 ) Q0j = ξ él (x) Jt0 (t0 ) Qj (t0 ) j j et

(6.16)

q(t0 ) = q él J (t ) Q0j = q él J (t ) Qj (t0 ) j t0 0 j t0 0

, ξ él et q él , εél sont, (avec sommation sur les indices répétés). Dans ces formules, σ él j j j j compte tenu de l’homogénéité du matériau et de la forme de la loi de comportement (6.11), des fonctions géométriques indépendantes du temps et de l’expression de Jt0 (t), déterminées par les solutions du problème d’élasticité instantanée à t0 lorsque le paramètre de chargement Qj (t0 ) prend la valeur unité, les autres étant nuls (solutions élémentaires pour Jt0 (t0 ) = 1 et Qj (t0 ) = 1). La réponse instantanée du système à l’instant t0 s’écrit aussi (6.17)

q(t0 ) = q él J (t ) Qj (t0 ) = Λ(t0 ).Q(t0 ) j t0 0

où Λ(t0 ) désigne la matrice symétrique de complaisance élastique instantanée (9) du système à l’instant t0 , proportionnelle à Jt0 (t0 ). Par les mêmes arguments que ceux utilisés ci-dessus pour justifier (§ 6.13) on voit que, pour une histoire quelconque du vecteur chargement Q(t), la solution du problème d’évolution est donnée par : (7) Ce

concept est identique à celui introduit au chapitre I (§ 9.3.1). toute la suite, sauf mention explicite du contraire, sommation sur les indices répétés. (9) En désignant par u les vecteurs unitaires dans l’espace des paramètres de chargement, on a : j Λ(t0 ) = Jt0 (t0 ) q él ⊗ u . j j (8) Dans

120

(6.18)

(6.19)

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

   Qj σ = σ él   j   [ J (×) Qj ] ε = εél j       [ J (×) Qj ] ξ = ξ él j q = q él [ J (×) Qj ] = Et0 (t0 ) Λ(t0 ).[ J (×) Q ] j

En conclusion, la réponse du système à une histoire quelconque des paramètres de chargement s’obtient à partir de la réponse élastique instantanée du système. La relation fonctionnelle (6.19) exprime la loi de comportement globale du système pour ce type de données. Le système a globalement un comportement viscoélastique linéaire. L’inversion de (6.19) est immédiate : (6.20) 6.5.3

Q=

1 Λ−1 (t0 ).[ E (×) q ] . Et0 (t0 )

Problème de type « relaxation »

De la même façon qu’au paragraphe 6.5.1, on s’intéresse maintenant aux problèmes d’évolution dans lesquels les données F sur Ω et ξid et Tid sur Sξi et STi sont de la forme :   F (x, t) = 0 sur Ω    (6.21) ξid (x, t) = [ ξid ]0 (x) Yt0 (t) sur Sξi     d Ti (x, t) = 0 sur STi Soient σ 0 (x), ε0 (x) et ξ 0 (x) les champs solutions du problème élastique instantané à t0 . Sans qu’il soit nécessaire de reprendre les arguments précédents on voit que la solution du problème de relaxation pour t > t0 est alors donnée par les champs :

(6.22)

 E(t0 , t)  σ(x, t) = σ 0 (x)    E(t0 , t0 ) 0 (x) ε(x, t) = ε Y t0 (t)     ξ(x, t) = ξ 0 (x) Yt0 (t)

Ainsi, les déformations et les déplacements demeurent constants pour t > t0 tandis que les contraintes évoluent proportionnellement à la fonction de relaxation du matériau constitutif. 6.5.4

Évolution prescrite par des paramètres cinématiques

La démarche est identique à celle du paragraphe 6.5.2. Les données ξid sur Sξi dépendent linéairement de m paramètres cinématiques scalaires qk (t), composantes

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

121

du vecteur cinématique q(t), , tandis que F sur Ω et Tid sur STi sont maintenues nulles. On désigne par Qk (t), composantes du vecteur de chargement Q(t), les paramètres associés aux qk (t) dans l’expression du travail des efforts extérieurs. On s’intéresse aux évolutions prescrites par l’histoire du vecteur cinématique(10) q(t), la réponse du système étant donnée par Q(t). On adopte des notations semblables à celles de (6.15 et 6.17) pour expliciter la réponse instantanée du système, compte tenu de l’homogénéité du matériau et de la loi de comportement (6.11) :

(6.23)

 σ(x, t0 ) = σ él (x) Et0 (t0 ) qk (t0 )   k      ε(x, t0 ) = εél (x) qk (t0 ) k

  (x) qk (t0 ) ξ(x, t0 ) = ξ él  k     E (t ) qk (t0 ) = A(t0 ).q(t0 ) Q(t0 ) = Qél k t0 0

où A(t0 ) est la matrice symétrique de module élastique instantané (11) du et Qél système à l’instant t0 , proportionnelle à Et0 (t0 ). Dans ces formules, σ él , εél , ξ él k k k k sont encore et pour les mêmes raisons que précédemment des fonctions géométriques indépendantes du temps et de la forme de Et0 (t), déterminées par les solutions du problème d’élasticité instantanée à t0 lorsque le paramètre cinématiques qk (t0 ) prend la valeur unité tandis que les autres sont nuls (solutions élémentaires pour Et0 (t0 ) = 1 et qk (t0 ) = 1). Il s’ensuit que la solution du problème d’évolution pour une histoire quelconque du vecteur cinématique q(t) s’écrit :

(6.24)

(6.25) . (6.26)

    σ = σ él [ E (×) qk ]  k   ε = εél q k k       q ξ = ξ él k k [ E (×) qk ] = Q = Qél k

1 A(t0 ).[ E (×) q ] Et0 (t0 )

q = Et0 (t0 ) A−1 (t0 ).[ J (×) Q ].

Les équations (6.19) et (6.20) d’une part et (6.26) et (6.25) d’autre part sont évidemment identiques si les paramètres de chargement et les paramètres cinématiques sont les mêmes dans l’un et l’autre cas. (10) Concept

identique à celui introduit au chapitre I (§ 9.3.2). désignant par u∗k les vecteurs unitaires dans l’espace des paramètres cinématiques, on a : A(t0 ) = Et0 (t0 ) Qél ⊗ u∗k . k (11) En

122

6.5.5

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Applications pratiques

Les résultats précédents montrent que pour des histoires prescrites par des paramètres de chargement ou pour des histoires prescrites par des paramètres cinématiques, dans le cadre d’hypothèses indiqué (H.P.P., matériau homogène, isotrope, à coefficient de Poisson constant) qui devra être validé, la solution du problème d’évolution s’obtient formellement 1o en explicitant la réponse élastique instantanée sous la forme (6.15, 6.16) ou (6.23) ; 2o en effectuant les passages décrits par (6.27 à 6.30). • Pour une histoire définie par des paramètres de chargement :

(6.27)

   σ(x, t0 ) = σ él (x) Qj (t0 )   j  él

ε(x, t0 ) = ε (x) Jt0 (t0 ) Qj (t0 )  j     ξ(x, t ) = ξ él (x) J (t ) Q (t ) 0

j

0

t0

j

0

Jt0 (t0 ) Qj (t0 ) q(t0 ) = q él j

(6.28)

⇒

   σ(x, t) = σél (x) Qj (t)   j  él

ε(x, t) = ε (x)[ J (×) Qj ](t)  j     ξ(x, t) = ξ él (x)[ J (×) Q ](t) j

j

⇒

q(t) = q él [ J (×) Qj ](t) j

• Pour une histoire définie par des paramètres cinématiques :

(6.29)

    (x) Et0 (t0 ) qk (t0 ) σ(x, t0 ) = σ él  k  él

ε(x, t0 ) = εk (x) qk (t0 )      ξ(x, t ) = ξ él (x) q (t ) 0

(6.30)

k

k

⇒

0

Et0 (t0 ) qk (t0 ) Q(t0 ) = Qél k

    (x) [ E (×) qk ](t) σ(x, t) = σél  k  él

ε(x, t) = εk (x) qk (t)      ξ(x, t) = ξ él (x) q (t) k

⇒

k

Q(t) = Qél [ E (×) qk ](t) k

Pour les problèmes rencontrés dans la pratique, il est fréquent que l’histoire des sollicitations soit composée d’épisodes successifs d’évolutions prescrites par des paramètres de chargement et d’évolutions prescrites par des paramètres cinématiques ; souvent même on rencontre simplement une évolution de type « retard » suivie d’une évolution de type « relaxation » ou inversement. L’application du principe de superposition permet alors de résoudre ces problèmes en appliquant les règles précédentes (cf. section 8). Comme annoncé au paragraphe 4.2.5, c’est ici qu’apparaît l’importance de l’hypothèse « coefficient de Poisson constant » sur le comportement viscoélastique linéaire du matériau constitutif qui pouvait, lors de son introduction, sembler anecdotique.

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

123

La similitude des résultats établis ci-dessus avec ceux du chapitre I (§ 9.3) dans le cas unidimensionnel confirme la remarque faite alors. En fait, comme on le verra dans la section 8, le type de raisonnement mis en œuvre dans les paragraphes précédents peut être reproduit dès que le système étudié est homogène et que les problèmes considérés ne font intervenir qu’une seule fonction de retard ou de relaxation.

6.6 6.6.1

Matériau constitutif viscoélastique linéaire non-vieillissant Théorème de correspondance

On suppose ici que le système étudié, sans condition d’homogénéité, est constitué d’un matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant. Comme exposé au paragraphe 5.3, les équations de comportement s’expriment, en transformées de Carson, comme de simples équations algébriques tensorielles (5.11), formellement identiques aux équations du comportement élastique linéaires. L’idée vient alors d’examiner si l’application de la transformation de Carson au problème d’évolution dans son intégralité conduit à une méthode de résolution pratique. Reprenant les équations (6.3), (6.5 à 6.7), il apparaît que, compte tenu de l’hypothèse des petites perturbations et de l’hypothèse sur la forme des conditions aux limites, notamment l’invariance dans le temps des surfaces SUi (t) et STi (t) , la transformation de Carson donne : Équations de champs (6.31)

(6.32)

(6.33)

div σ ∗ (x, p) + ρ F ∗ (x, p) = 0

ε∗ (x, p) =

1 [ grad ξ ∗ (x, p) +t grad ξ ∗ (x, p)] 2

 ε∗ (x, p) = f ∗ (x, p) : σ ∗ (x, p) σ ∗ (x, p) = r ∗ (x, p) : ε∗ (x, p)

où la présence de la variable x dans f ∗ (x, p) et r ∗ (x, p) manifeste l’hétérogénéité possible du matériau. Les propriétés de symétrie de ces tenseurs ont été discutées au paragraphe 5.5.1. Conditions aux limites (SUi (t) et STi (t) indépendantes de t)    Sξi ∩ STi = ∅, Sξi ∪ STi = ∂Ω   (6.34) ξi∗ (x, p) = [ ξid ]∗ (x, p) sur Sξi     ∗ Ti (x, p) = [ Tid ]∗ (x, p) sur STi

Il apparaît alors que le problème posé par les équations (6.31 à 6.34) est formellement identique à un problème d’équilibre élastique linéarisé pour les transformées de Carson des champs donnés et inconnus avec la loi de comportement élastique linéaire (6.33), dans lequel la variable p ne joue que le rôle d’un paramètre.

124

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Si la solution de ce problème est connue sous forme explicite, il suffit d’appliquer les formules correspondantes aux transformées pour obtenir explicitement la transformée de Carson de la solution du problème original d’évolution viscoélastique. L’inversion de la transformation de Carson fournit ensuite la solution du problème d’évolution viscoélastique(12) . Ce résultat exprime, dans sa forme la plus générale, le théorème de correspondance de Lee-Mandel, déjà énoncé au chapitre I (§ 9.4). 6.6.2

Matériau isotrope

Si le matériau constitutif du système est isotrope l’application des résultats précédents est facilitée par la forme simple des équations de comportement (5.22). On substituera donc à (6.33) :

(6.35)

1 + ν ∗ (x, p) ∗ ν ∗ (x, p) σ (x, p) − ∗ [ tr σ ∗ (x, p) ] 1l ∗ E (x, p) E (x, p)  ∗ σ (x, p) = λ∗ (x, p)[ tr ε∗ (x, p) ] 1l + 2 µ∗ (x, p) ε∗ (x, p)   ε∗ (x, p)

=

pour appliquer le théorème de correspondance. C’est le cas, en particulier, de toutes les solutions classiques établies en élasticité linéaire pour un système constitué d’un matériau homogène isotrope. 6.6.3

Paramètres de chargement et paramètres cinématiques

Dans le cas d’une évolution prescrite par des paramètres de chargement ou d’une évolution prescrite par des paramètres cinématiques comme cela a été défini aux paragraphes 6.5.2 et 6.5.4, l’application du théorème de correspondance peut être explicitée. Histoire définie par des paramètres de chargement Le problème d’équilibre élastique linéarisé homologue n’est autre que le problème d’élasticité instantanée dont la réponse s’écrit, comme au chapitre I (§ 9.4.2) :

(6.36)

et (6.37)

  σ(x) = σ él (x, 0) Qj  j   (x, 0) Qj ε(x) = εél j     ξ(x) = ξél (x, 0) Q j j

q

= Λ(0).Q .

L’application du théorème de correspondance s’exprime par le schéma : (12) Sauf dans le cas du matériau isotrope, ce résultat nécessite la symétrie entre les groupes d’indices (i, j) et (h, k) de f ∗ et r∗ .

6 – Évolutions viscoélastiques quasi-statiques

(6.38)

(6.39)

125

Équilibre élastique ⇒ Évolution viscoélastique       él   σ ∗ (x, p) = h σ él σ(x) = σ j (x, 0) Qj i(x, p) Q∗j (p)   j     él ⇒ i(x, p) Q∗j (p) ε∗ (x, p) = h εél   ε(x) = εj (x, 0) Qj j          ξ ∗ (x, p) = h ξ él i(x, p) Q∗ (p)  ξ(x) = ξ él (x, 0) Qj j j j q = Λ(0).Q

⇒

q ∗ (p) = h Λ i(p).Q∗ (p)

Dans ce schéma les champs h σ él i(x, p), h εél i(x, p), h ξél i(x, p) et h Λ i(p) symj j j bolisent les expressions de σ él (x, 0), εél (x, 0), ξ él (x, 0) et Λ(0), de la solution du proj j j blème d’équilibre élastique linéaire homologue, écrites avec la loi de comportement (6.33) c’est-à-dire en y remplaçant f (x, 0) par f ∗ (x, p), et r(x, 0) par r ∗ (x, p). Le « retour » aux originales, fonctions de t, exprime la solution du problème d’évolution qui tend vers la solution à l’infini (13)  i(x, 0) Qj (∞)  σ(x, ∞) = h σ él  j   ε(x, ∞) = h εél i(x, 0) Qj (∞) (6.40) j     ξ(x, ∞) = h ξ él i(x, 0) Q (∞) j j (6.41)

q(∞) = h Λ i(0).Q(∞)

Histoire définie par des paramètres cinématiques De la même façon, pour une évolution prescrite par des paramètres cinématiques, le thèorème de correspondance s’écrit, avec des notations semblables :

(6.42)

(6.43) (13) On

Équilibre élastique ⇒ Évolution viscoélastique     él     σ ∗ (x, p) = h σ él σ(x) = σ k (x, 0) qk i(x, p) qk∗ (p)   k   ⇒ (x, 0) qk i(x, p) qk∗ (p) ε∗ (x, p) = h εél ε(x) = εél   k k        ∗  ξ(x) = ξ él ξ (x, p) = h ξ él (x, 0) qk i(x, p) qk∗ (p) k k Q = A(0).q rappelle que ϕ∗ (0) = ϕ(∞).

⇒

Q∗ (p) = h A i(p).q ∗ (p)

126

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

et la solution à l’infini

(6.44)

        

ε(x, ∞) = h εél i(x, 0) qk (∞) k i(x, 0) qk (∞) . ξ(x, ∞) = h ξ él k Q(∞) = h A i(0).q(∞) .

(6.45)

6.7

i(x, 0) qk (∞) σ(x, ∞) = h σ él k

Commentaires

Il est fréquent dans la pratique que, au moins pour une première analyse, les hypothèses permettant l’application des raisonnements de la section 6.5 soient satisfaites : homogénéité, isotropie, coefficient de Poisson constant ou problème ne dépendant que d’une fonction de retard ou de relaxation. Les règles pratiques (6.27) à (6.30) fournissent alors formellement la solution du problème d’évolution au moyen de l’opérateur intégral (cf. section 8). Hors de cette circonstance, pour un système constitué d’un matériau viscoélastique linéaire non-vieillissant, le théorème de correspondance fournit un moyen systématique pour résoudre formellement un problème d’évolution à partir du problème d’équilibre élastique homologue. On est ainsi ramené à de simples manipulations algébriques sur les transformées des diverses fonctions, jusqu’à la phase finale d’inversion de la transformation pour le « retour » aux originales qui explicitent l’évolution en fonction du temps. La puissance de ce résultat est évidente puisqu’il permet de traiter tout type de sollicitation dans le cadre d’hypothèses indiqué. Toutefois l’expérience pratique montre que le recours immédiat à la transformation de Carson, en raison même du caractère systématique des manipulations algébriques qu’il implique, risque d’occulter la compréhension mécanique du problème étudié en faisant perdre de vue sa nature, notamment en ce qui concerne les données aux limites. En fait il est recommandable dans tous les cas de poser et d’analyser le problème d’évolution en variables originales (x, t) de façon à bien préciser les phénomènes mécaniques mis en jeu avant d’appliquer le théorème de correspondance.

7 – Barre cylindrique homogène

127

Exemples de mise en œuvre

7 7.1

Barre cylindrique homogène Problématique

Le système étudié est une barre cylindrique d’axe Ox, de longueur ` et de section constante S. L’origine O est le centre d’inertie géométrique de la section S0 , dont les axes Oy et Oz sont les axes centraux d’inertie. La barre est homogène, constituée d’un matériau isotrope, viscoélastique linéaire, dont le comportement est défini, selon la commodité, par les diverses fonctions de retard et de relaxation introduites au paragraphe 4.2 : J(t0 , t) et n(t0 , t) ; λ(t0 , t) et µ(t0 , t) ; γ(t0 , t) ; E(t0 , t) et ν(t0 , t). Les problèmes considérés sont posés et résolus dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations. Il s’agit successivement de la traction-compression, de la flexion et de la torsion de la barre, qui n’est soumise à aucune autre sollicitation sur son contour ou dans son volume. L’état de contrainte initial est supposé nul. La méthode suivie met en œuvre des raisonnements semblables à ceux de la section 6.5 à partir de la réponse élastique instantanée. On rappelle qu’en élasticité linéaire isotrope les solutions de ces problèmes sont obtenues en utilisant la méthode dite « semi-inverse » de Saint Venant et font appel au Principe de Saint Venant pour justifier leur utilisation lorsque les conditions d’application de la sollicitation dans les sections d’extrémités S0 et S` ne sont prescrites que sous la forme d’un torseur. Le même argument sera retenu ici. Enfin, on sait l’importance de ces solutions élastiques en Résistance des matériaux : on retient pour loi de comportement de l’élément de milieu curviligne élastique soumis à une sollicitation de traction-compression, de flexion ou de torsion la réponse unitaire de la barre cylindrique soumise à la même sollicitation. On procédera de la même façon en viscoélasticité linéaire.

7.2

Traction-compression

La sollicitation est définie par l’effort normal N (t) ex appliqué au centre de la section S` et −N (t) ex appliqué au centre de S0 (figure 3). Il s’agit d’une sollicitation prescrite par un paramètre de chargement Q(t) auquel est associée la réponse observable q(t), allongement de la barre : (7.1)

Q(t) = N (t), q(t) = ξx (`, t) .

128

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

y

` N (t)

−N (t) O

x

S0

S`

z

Figure 3 – Barre cylindrique sollicitée en traction-compression

La réponse élastique instantanée à l’instant t0 est classique :  1   σxx (x, t0 ) = N (t0 ) autres σij (x, t0 ) = 0   S   1 (7.2) εxx (x, t0 ) = N (t0 ) J(t0 , t0 )  S      εyy (x, t0 ) = εzz (x, t0 ) = 1 N (t0 ) n(t0 , t0 ) J(t0 , t0 ) S

Pour le problème d’évolution, on vérifie aisément que le champ homogène statiquement admissible (7.3)

σxx (x, t) =

1 N (t), autres σij (x, t) = 0 S

et le champ de déformation homogène associé par la loi de comportement (4.11)  1   εxx (x, t) = [ J (×) N ](t) S (7.4)   εyy (x, t) = εzz (x, t0 ) = 1 [ (nJ) (×) N ](t) S

qui est géométriquement compatible, constituent la solution. Le champ de déplacement est :  x  ξx (x, t) = [ J (×) N ](t)   S   y ξy (x, t) = − [ (nJ) (×) N ](t) (7.5)  S     ξz (x, t) = − z [ (nJ) (×) N ](t) S La réponse observable unitaire de la barre est (7.6)

ε(t) =

q(t) = ε(t) : `

1 [ J (×) N ](t) . S

Cette formule est adoptée comme loi de comportement de l’élément de milieu curviligne viscoélastique en traction-compression (cf. chapitre I, § 7.2.1) : (7.7)

ε = J (×) N =

1 [ J (×) N ] . S

7 – Barre cylindrique homogène

129

La formule inverse fait intervenir la fonction de relaxation en traction simple E(t0 , t) : N = R (×) ε = S [ E (×) ε ] .

(7.8)

7.3

Flexion y

`

S0 O

S`

−M (t)

z

x M (t)

Figure 4 – Barre cylindrique sollicitée en flexion autour d’un axe principal d’inertie

La barre est soumise maintenant à la sollicitation définie par le moment de flexion M (t) ez appliqué sur la section S` et le moment −M (t) ez appliqué sur la section S0 (figure 4). Il s’agit encore d’une sollicitation prescrite par un paramètre de chargement Q(t) auquel est associée la réponse observable q(t), rotation relative autour de Oz de la section S` par rapport à la section S0 : (7.9)

Q(t) = M (t), q(t) = ωz (`, t) .

L’axe Oz étant axe central d’inertie de la section droite, la réponse élastique instantanée à l’instant t0 s’écrit, en désignant par I le moment d’inertie géométrique correspondant :  y  σxx (x, t0 ) = − M (t0 ) autres σij (x, t0 ) = 0   I   y εxx (x, t0 ) = − M (t0 ) J(t0 , t0 ) (7.10)  I     εyy (x, t0 ) = εzz (x, t0 ) = y M (t0 ) n(t0 , t0 ) J(t0 , t0 ) I La solution du problème d’évolution est constituée du champ statiquement admissible (7.11)

y σxx (x, t) = − M (t) autres σij (x, t) = 0 I

et du champ de déformation associé par la loi de comportement (4.11),

(7.12)

 y  εxx (x, t) = − [ J (×) M ](t) I  ε (x, t) = ε (x, t) = y [ (nJ) (×) M ](t) zz yy I

130

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

qui est géométriquement compatible. Le champ de déplacement est :

(7.13)

 xy [ J (×) M ](t)  ξx (x, t) = −   I   x2 (y 2 − z 2 ) ξ (x, t) = [ J (×) M ](t) + [ (nJ) (×) M ](t) y  2I 2I    yz  ξ (x, t) = − [ (nJ) (×) M ](t) z I

La réponse observable unitaire de la barre est (7.14)

χ(t) =

ωz (`, t) = χ(t) : `

1 [ J (×) M ](t) , I

qui est adoptée comme loi de comportement de l’élément de milieu curviligne viscoélastique en flexion (cf. chapitre I, § 7.2.2) : χ = J (×) M =

(7.15)

1 [ J (×) M ] I

avec la formule inverse exprimée au moyen de la fonction de relaxation en traction simple E(t0 , t) : M = R (×) χ = I [ E (×) χ ] .

(7.16)

Comme en élasticité linéaire, le principe de superposition permet de traiter le problème plus général de la flexion autour d’un axe quelconque dans la section droite.

7.4

Torsion y

` C(t)

−C(t)

x

O S0

z

S`

Figure 5 – Barre cylindrique sollicitée en torsion

La sollicitation est prescrite par le couple de torsion C(t) ex appliqué à la section S` et le couple −C(t) ex appliqué à la section S0 (figure 5). Le paramètre de chargement est Q(t) = C(t) et le paramètre cinématique associé est la rotation de la section S` par rapport à la section S0 autour de Ox : (7.17)

Q(t) = C(t), q(t) = ωx (`, t) .

La réponse élastique instantanée s’écrit enZ faisant ã la Åfonction ãdeò gauï Å intervenir ∂ϕ ∂ϕ chissement ϕ(y, z) et l’inertie de torsion J = +y −z −z dS0 , y ∂z ∂y S0

7 – Barre cylindrique homogène

131

qui sont des caractéristiques géométriques de la section :  ã Å C(t0 ) ∂ϕ   −z σyx (x, t0 ) = σxy (x, t0 ) =    J ∂y  ã Å C(t0 ) ∂ϕ (7.18) +y σzx (x, t0 ) = σxz (x, t0 ) =    J ∂z    autres σ (x, t ) nulles ij 0 et

(7.19)

 C(t0 ) C(t0 )   ξx (x, t0 ) = ϕ(y, z) = γ(t0 , t0 ) ϕ(y, z)    µ(t , t ) J J 0 0    C(t0 ) C(t0 ) ξy (x, t0 ) = − xz = −γ(t0 , t0 ) xz  µ(t , t ) J J 0 0     C(t0 ) C(t0 )   xy = γ(t0 , t0 ) xy  ξz (x, t0 ) = µ(t0 , t0 ) J J

Pour la résolution du problème d’évolution on peut appliquer strictement le raisonnement du paragraphe 6.5.2 puisque seule la fonction de retard en cisaillement simple intervient dans (7.19) : la solution s’écrit ainsi : Å ã  C(t) ∂ϕ   σ (x, t) = σ (x, t) = − z yx xy   J Å ∂y  ã C(t) ∂ϕ (7.20) + y t) = σ (x, t) = σ (x, xz zx   J ∂z    autres σij (x, t) nulles et

(7.21)

 ϕ(y, z)  ξx (x, t) = [ γ (×) C ](t)    J   xz ξy (x, t) = − [ γ (×) C ](t)  J      ξz (x, t) = xy [ γ (×) C](t) J

La réponse unitaire de la barre en torsion est (7.22)

α(t) =

ωx (`, t) = α(t) : `

1 [ γ (×) C ](t), J

qui est adoptée comme loi de comportement de l’élément de milieu curviligne viscoélastique en torsion (cf. chapitre I, § 7.2.3) : (7.23)

α = J (×) C =

1 [ γ (×) C ] ; J

formule inverse : (7.24)

C = R (×) α = J [ µ (×) α ] .

132

8 8.1

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Convergence d’une cavité Définition du problème

Le creusement d’une cavité ou d’une galerie dans un massif où règne un état de précontrainte géologique provoque une modification de l’état de contrainte par « décompression » autour de la cavité en même temps que des déformations et des déplacements instantanés et différés, d’où la « convergence » de la cavité ou de la galerie. On s’intéressera ici au cas d’une cavité sphérique, les résultats obtenus étant aisément transposables pour une galerie cylindrique. Le processus est schématisé de la façon suivante qui permet, par un traitement relativement simple, de mettre en évidence les principaux aspects du problème en prenant en compte les comportements élastique et viscoélastique du matériau et l’éventuelle mise en place d’un revêtement dans la cavité. • Une cavité sphérique de centre O et de rayon a(t0 ) = a0 est creusée « instantanément » à l’instant t0 dans un massif infini, homogène, non pesant dans lequel régnait jusqu’alors le champ de précontrainte géologique uniforme de pression isotrope : (8.1)

σ(r, t) = −P 1l, ∀r, ∀t < t0 .

• Un revêtement indéformable est éventuellement mis en place sans effort, « instantanément » à l’instant t1 . • Le comportement du matériau constitutif du massif est viscoélastique linéaire isotrope. • L’étude mécanique de ce processus schématique est effectuée, dans l’hypothèse des petites perturbations, sur le système unique du massif infini avec cavité de rayon a0 , soumis à la superposition de quatre histoires de sollicitations imposées à l’infini et au pourtour de la cavité.

8.2

État de précontrainte géologique

L’histoire « zéro » est définie par les sollicitations suivantes au contour du système(14) :  0 0 0  σrr (a0 , t) = −P, σθr (a0 , t) = σϕr (a0 , t) = 0 (8.2)  σ 0 (∞, t) = −P, σ 0 (∞, t) = σ 0 (∞, t) = 0 rr ϕr θr Au moment du creusement de la cavité cette histoire est établie depuis suffisamment longtemps pour que, au regard de l’échelle de temps des phénomènes liés au creusement de la cavité, les déformations et déplacements différés qui lui correspondent puissent être considérés comme stabilisés. L’état de contrainte est le champ (8.1) et, en prenant cet état stabilisé comme référence, le champ de (14) Coordonnées

sphriques de centre O.

8 – Convergence d’une cavité

133

déplacement est nul. (8.3)

8.3

  σ 0 (r, t) = −P 1l, r ≥ a0  ξ 0 (r, t) = 0, r ≥ a 0

Réponse instantanée au creusement de la cavité σ 1 (∞, t) = 0

σ 0 = −P 1l

1 σrr (a0 , t)

0 σrr (a0 , t)

Figure 6 – Histoires « zéro » et « un »

Le creusement de la cavité correspond à la superposition à l’histoire « zéro » de l’histoire « un » définie par les sollicitations au contour :  1 1 1  σrr (a0 , t) = P Yt0 (t), σθr (a0 , t) = σϕr (a0 , t) = 0 (8.4)  σ 1 (∞, t) = σ 1 (∞, t) = σ 1 (∞, t) = 0 rr ϕr θr La réponse instantanée à l’instant t0 correspond à l’élasticité instantanée du matériau à cet instant. Elle fait appel à la solution classique en élasticité linéaire isotrope du problème de l’enveloppe sphérique sous pressions intérieure et extérieure quand le rayon extérieur tend vers l’infini. Le champ de déplacement instantané est radial. Le déplacement sur la frontière de la cavité et l’état de contrainte dans le massif s’écrivent ainsi :  1 1 1   ξr1 (a0 , t0 ) = −a0 σrr = a0 P (a0 , t0 ) 4 µ(t0 , t0 ) 4 µ(t0 , t0 ) (8.5)  3 1 1  1 1 1  σ 1 (r, t0 ) = a0 σrr (a0 , t0 ), σθθ (r, t0 ) = σϕϕ (r, t0 ) = − σrr (r, t0 ) rr r 2 Il en résulte que l’état de contrainte dans le massif à l’instant t+ 0 est :

(8.6)

8.4

σ(r, t) = −P 1l + P

 a 3 0

r

er ⊗ er −

P  a0 3 (eθ ⊗ eθ + eϕ ⊗ eϕ ) 2 r

Réponse différée au creusement de la cavité

Le problème est évidemment du type « retard ». On peut appliquer le même raisonnement qu’au paragraphe 6.5.1. Il convient pour cela d’écrire (8.5) en faisant

134

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

apparaître la fonction de retard du matériau en cisaillement simple γ(t0 , t) telle que (8.7)

µ ⊗ γt0 = Yt0 .

Ainsi, dans (8.5), ξr1 (a0 , t0 ) se met sous la forme :  γ(t0 , t0 ) γ(t0 , t0 )  1  ξr1 (a0 , t0 ) = −a0 σrr = a0 P (a0 , t0 ) 4 4 (8.8)  3 1 1   σ 1 (r, t ) = a0 1 1 1 σrr (a0 , t0 ), σθθ (r, t0 ) = σϕϕ (r, t0 ) = − σrr (r, t0 ) 0 rr r 2

Par le même raisonnement qu’au paragraphe 6.5.1 on en déduit, pour le problème d’évolution pour t ≥ t0 :   ξ 1 (a , t) = ξ 1 (a , t ) γ(t0 , t) r 0 r 0 0 γ(t0 , t0 ) (8.9)  σ(r, t) = σ(r, t0 ) Le champ de contrainte est invariable et le déplacement radial de convergence évolue comme la fonction de retard en cisaillement simple du matériau.

8.5

Mise en place d’un revêtement de soutènement

La mise en place sans effort, instantanément, à l’instant t1 > t0 , d’un revêtement indéformable dans la cavité signifie qu’à partir de cet instant la convergence de la cavité est bloquée. Cette opération est modélisée par la superposition de deux histoires supplémentaires aux deux histoires précédentes : • Histoire « deux » définie par les sollicitations au contour :  2 2 2  σrr (a0 , t) = σϕr (a0 , t) = 0 (a0 , t) = −P Yt1 (t), σθr (8.10)  σ 2 (∞, t) = σ 2 (∞, t) = σ 2 (∞, t) = 0 rr ϕr θr

• Et histoire « trois » définie par l’histoire du déplacement ξr3 (a0 , t) sur la frontière r = a0 et l’histoire de la contrainte à l’infini qui est maintenue nulle. Cette histoire de ξr3 (a0 , t) est déterminée en écrivant que, pour t > t1 , le déplacement radial ξr (a0 , t) demeure égal à sa valeur pour t = t1 , qui n’est autre que ξr (a0 , t1 ) = ξr1 (a0 , t1 ). D’où : (8.11)

ξr (a0 , t) = ξr1 (a0 , t) + ξr2 (a0 , t) + ξr3 (a0 , t) = ξr1 (a0 , t1 ) pour t ≥ t1

soit (8.12)

ξr3 (a0 , t) = ξr1 (a0 , t1 ) − ξr1 (a0 , t) − ξr2 (a0 , t) pour t ≥ t1 .

On en déduit, compte tenu de (8.9) et (8.10), pour définir l’histoire « trois » :   ξ 3 (a0 , t) = −a0 P [ γ(t0 , t1 ) − γ(t0 , t) + γ(t1 , t) ] Yt (t) 1 r 4 (8.13)  3 3 σθr (a0 , t) = σϕr (a0 , t) = 0

8 – Convergence d’une cavité

135

σ 3 (∞, t) = 0

σ 2 (∞, t) = 0

ξr3 (a0 , t)

2 σrr (a0 , t)

Figure 7 – Histoires « deux » et « trois »

Cette histoire correspond à un problème prescrit par un paramètre cinématique, auquel sont applicables les raisonnements du paragraphe 6.5.4. La réponse du point 3 de vue de la contrainte σrr (a0 , t) s’obtient en transposant et en explicitant (6.29) dans le cas présent ; il vient ainsi : (8.14)

3 σrr (a0 , t) = P γ(t0 , t1 ) µt1 (t) − P [ µ (×) (γt0 Yt1 − γt1 ) ](t) .

Du point de vue pratique il est important de connaitre l’évolution de la pression exercée par le massif sur le revêtement après sa pose (t ≥ t1 ), soit : (8.15) 0 1 2 3 ω(a0 , t) = −σrr (a0 , t) = −[ σrr (a0 , t) + σrr (a0 , t) + σrr (a0 , t) + σrr (a0 , t) ] Yt1 (t) ; On obtient ainsi, pour t ≥ t1 : (8.16)

ω(a0 , t) = P − P γ(t0 , t1 ) µ(t1 , t) + P [ µ (×)(γt0 Yt1 − γt1 ) ](t)

où l’on vérifie que ω(a0 , t+ 1 ) =0. ω(a0 , t) σ 0 = −P 1l

Figure 8 – Pression sur le revêtement

En particulier, si l’on peut considérer, compte tenu des temps caractéristiques des phénomènes, que la pose instantanée du revêtement est immédiate après l’ouverture instantanée de la cavité, c’est-à-dire que t1 = t+ 0 , l’équation (8.16) prend la forme explicite simple (8.17) qui montre que l’évolution de la pression sur le revêtement suit la fonction de relaxation en cisaillement simple : Å ã µ(t0 , t) (8.17) ω(a0 , t) = P 1 − µ(t0 , t0 )

136

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Cet exemple montre que l’utilisation de l’opérateur intégral permet, hors de l’hypothèse de non-vieillissement et de l’utilisation de la transformation de Laplace-Carson, d’aboutir à la résolution explicite de problèmes où l’histoire de sollicitation est relativement complexe en en pénétrant la compréhension mécanique. Il montre aussi comment, pour les problèmes concernant le matériau isotrope dont la solution ne fait intervenir qu’une seule fonction de retard ou de relaxation, on peut mettre en œuvre des raisonnements semblables à ceux de la section 6.5.

Récapitulatif des formules essentielles

137

Récapitulatif des formules essentielles

• Matrices de Retard et de Relaxation   σ(t) = σ 0 Y( t0 )(t)  ε(t) = J(t0 , t) : σ 0 , ∀σ 0

• Formules de Boltzmann ε(t) = J(t, t) : σ(t) − σ(t) = R(t, t) : ε(t) −

Z

t

t0 Z t t0

∂J (τ, t) : σ(τ ) dτ ∂τ ∂R (τ, t) : ε(τ ) dτ ∂τ

∂J

F

σ 7−→ ε = − < R

ε 7−→ σ = −
= J (× :) σ (:) ε >= R (× :) ε

J t0 = J (×) Yt0 Rt0 = R (×) Yt0 R (× :) J t0 = 1l Yt0 J (× :) Rt0 = 1l Yt0 ∂J
=
= 1l δt0 .

138

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

• Matériau isotrope F

σ 7−→ε = [ (1 + n)J ] (×) σ − [ nJ ] (×) [ tr σ ] 1l R

ε 7−→σ = λ (×) [ tr ε ] 1l + 2µ (×) ε [ (1 + n)J ] (×) 2µt0 = γ (×) µt0 = Yt0 [ (1 − 2n)J ] (×) (3λt0 + 2µt0 ) = Yt0 « Relaxation en traction simple »   εxx (t) = ε0 Yt0 (t)

 σ (t) = 0, i 6= x, j 6= x ij

σxx (t) = ε0 Et0 (t) νt0 (t) = −Yt0

εyy (t) ε0

J (×) Et0 = Yt0 νt0 = (nJ) (×) Et0 • Matériau non-vieillissant J(t0 , t) = f (t − t0 ) R(t0 , t) = r(t − t0 ) F

σ 7−→ε = f 0 (∗ :) σ = f (∗ :) σ 0 R

ε 7−→σ = r0 (∗ :) ε = r (∗ :) ε0 f (0) : r(0) = 1l f (∞) : r(∞) = 1l ε∗ (p) = f ∗ (p) : σ ∗ (p) σ ∗ (p) = r∗ (p) : ε∗ (p) f ∗ (p) : r ∗ (p) = 1l

Récapitulatif des formules essentielles

139

Matériaux isotropes F

σ 7−→ ε = [(1 + n)J ] ∗ σ 0 − [ nJ ] ∗ [ tr σ 0 ] 1l R

ε 7−→ σ = λ ∗ [ tr ε0 ] 1l + 2µ ∗ ε0 ν∗ 1 + ν∗ ∗ σ − [ tr σ ∗ ] 1l ∗ E E∗ σ ∗ = λ∗ [ tr ε∗ ] 1l + 2µ∗ ε∗ ε∗ =

1 [ (1 + n) J ]∗ 1 J∗ = ∗ E 2µ∗ =

• Évolution quasi-statique   Sξi ∩ STi = ∅, Sξi ∪ STi = ∂Ω   ξi (x, t) = ξid (x, t) sur Sξi     Ti (x, t) = Tid (x, t) sur STi div σ(x, t) + ρ F (x, t) = 0 ε(x, t) =

1 [ grad ξ(x, t) +t grad ξ(x, t) ] 2

  ε(x, t) = [ J (× :) σ ](x, t)

 σ(x, t) = [ R (× :) ε ](x, t)

(3λ∗ + 2µ∗ ) = (nJ)∗ =

ν∗ E∗

1 [ (1 − 2n) J ]∗

140

Chapitre II – Viscoélasticité linéaire tridimensionnelle

Coefficient de Poisson constant ε(x, t) = J (×) [ (1 + ν) σ − ν(tr σ) 1l ] (x, t) Paramètres de chargement   σ(x, t0 ) = σ él (x) Qj (t0 )  j   ε(x, t0 ) = εél (x) Jt0 (t0 ) Qj (t0 ) j    él  ξ(x, t ) = ξ (x) J (t ) Q (t ) 0 t0 0 j 0 j q(t0 ) = q él J (t ) Qj (t0 ) j t0 0

  σ(x, t) = σ él (x) Qj (t)  j   ε(x, t) = εél (x)[ J(×) Qj ](t) ⇒ j    él  ξ(x, t) = ξ (x)[ J(×) Q ](t) j j ⇒

q(t) = q él [ J(×) Qj ](t) j

Paramètres cinématiques   σ(x, t0 ) = σ él (x) Et0 (t0 ) qk (t0 )  k   (x) qk (t0 ) ε(x, t0 ) = εél k     (x) qk (t0 ) ξ(x, t0 ) = ξ él k E (t ) qk (t0 ) Q(t0 ) = Qél k t0 0

  (x) [ E(×) qk ](t) σ(x, t) = σ él  k   ⇒ (x) qk (t) ε(x, t) = εél k     (x) qk (t) ξ(x, t) = ξ él k ⇒

[ E(×) qk ](t) Q(t) = Qél k

Matériau non vieillissant   Sξi ∩ STi = ∅, Sξi ∪ STi = ∂Ω    ξi∗ (x, p) = [ ξid ]∗ (x, p) sur Sξi    ∗  Ti (x, p) = [ Tid ]∗ (x, p) sur STi div σ ∗ (x, p) + ρ F ∗ (x, p) = 0 ε∗ (x, p) =

1 [ grad ξ ∗ (x, p) +t grad ξ ∗ (x, p)] 2

 ε∗ (x, p) = f ∗ (x, p) : σ ∗ (x, p) σ ∗ (x, p) = r ∗ (x, p) : ε∗ (x, p)

Récapitulatif des formules essentielles

141

Paramètres de chargement  (x, 0) Qj  σ(x, t) = σ él  j   ε(x, 0) = εél (x, 0) Qj j     ξ(x, 0) = ξ él (x, 0) Q j j q(0) = Λ(0).Q

 i(x, p) Q∗j (p)  σ ∗ (x, p) = h σ él  j   ε∗ (x, p) = h εél i(x, p) Q∗j (p) ⇒ j     ξ ∗ (x, p) = h ξ él i(x, p) Q∗ (p) j j ⇒

q ∗ (p) = h Λ i(p).Q∗ (p)

  σ(x, ∞) = h σ él i(x, 0) Qj (∞)  j   ε(x, ∞) = h εél i(x, 0) Qj (∞) j    ξ(x, ∞) = h ξ él i(x, 0) Q (∞) j j

q(∞) = h Λ i(0).Q(∞)

Paramètres cinématiques  él   σ(x, 0) = σ k (x, 0) qk   (x, 0) qk ε(x, 0) = εél k     ξ(x, 0) = ξ él (x, 0) qk k Q(0) = A(0).q

 ∗ él ∗   σ (x, p) = h σ k i(x, p) qk (p)   ⇒ i(x, p) qk∗ (p) ε∗ (x, p) = h εél k     ∗ ξ (x, p) = h ξél i(x, p) qk∗ (p) k ⇒

  σ(x, ∞) = h σ él i(x, 0) qk (∞)  k   i(x, 0) qk (∞) ε(x, ∞) = h εél k    ξ(x, ∞) = h ξ él i(x, 0) q (∞) k k

Q∗ (p) = h A i(p).q ∗ (p)

Q(∞) = h A i(0).q(∞)

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Glossaire français-anglais

147

Glossaire français-anglais Français

English

Accélération Accommodation Amortisseur Angle de perte Anisotrope Anisotropie

Acceleration Accommodation Damper, dashpot Loss angle Anisotropic Anisotropy

Champ de contrainte Champ de déformation Cinématique Cinématique (La) Cisaillement Coefficient de frottement intérieur Contrainte Contrainte de cisaillement Contrainte de traction Contrainte normale Complaisance Courbure

Stress field Strain field Kinematic(al) Kinematics Shear Specific loss Stress Shear stress Tensile stress Normal stress Compliance Curvature

Décharge Déformation Déformation (vitesse de ) Déformation différée Déphasage

Unloading Strain Strain rate Retarded (delayed) deformation Phase shift

Élasticité Expérience de retard Expérience de relaxation Expérience de recouvrance

Elasticity Creep experiment Relaxation experiment Recovery experiment

Flexion Fluage Fonction de gauchissement Fonction de retard Fonction de relaxation

Bending Creep Warping function Retardation function Relaxation function

Gauchissement

Warping

Hyperstatique Hypostatique

Hyperstatic, statically indeterminate Hypostatic, geometrically unstable

148

Glossaire français-anglais

Inconnue hyperstatique Instantané (comportement) Isotropie Isotrope

Redundant unknown Instantaneous (behaviour) Isotropy Isotropic

Matériau vieillissant Modèle rhéologique Module élastique Module complexe Moment de flexion, moment fléchissant Moment de torsion

Ageing material Rheological model Elastic modulus Complex modulus Bending moment Torque

Paramètre cinématique Paramètre de chargement Poutre Poutre console Précontrainte Principe de superposition Produit contracté Produit scalaire Produit tensoriel

Kinematic(al) parameter Loading parameter Beam Cantilever beam Prestressing Superposition principle Contracted product Scalar (dot) product Tensor product

Raideur Recouvrance Relaxation Résistance des matériaux Ressort Résultante

Stiffness Recovery Relaxation Strength of materials Spring Resultant

Statique (La)

Statics

Taux de contrainte Taux de déformation Tenseur Torseur Torsion Transformée de Laplace (Carson)

Stress rate Strain rate Tensor Wrench Torsion Laplace (Carson) transform

Vieillissement Viscoélasticité

Ageing Viscoelasticity

Index alphabétique

149

Index alphabétique A

I.6.4 ; I.10.2 ; I.11.1 ; I.11.3. – « du béton », I.4.2 ; I.5.1 ; I.5.2 ; I.6.4 ; I.10.3 ; I.11.4. – instantané, I.2.1 ; I.2.6 ; I.4.1 ; I.6.1.

Accommodation, I.8.2. Âge Différence d’ –, I.2.3 ; I.11.4. Amortisseur, I.1 ; I.6. Angle de perte, I.8.2.

B Béton, I.1. Comportement du –, I.4.2 ; I.5.1 ; I.5.2 ; I.6.4 ; I.10.3 ; I.11.4. boltzmann Formule(s) de –, I.4.3 ; I.4.4 ; I.5.3 ; II.3.3 ; II.4.2 ; II.5.2 ; II.5.4 ; II.5.5. Opérateur de –, I.5.3 ; I.9.3 ; I.11.2 ; II.6.4. Principe de superposition de –, I.3.1 ; I.4.1 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.7.2 ; I.9.2 ; I.9.3 ; I.11.3 ; II.3.1 ; II.6.4 ; II.6.5 ; II.7.2 ; II.8.1 ; II.8.3 ; II.8.5. Boltzmannien Matériau –, I.3 ; II.3.1.

C carson Transformation de –, I.5.3 ; I.6 ; I.8.2 ; I.8.3 ; I.9.4 ; II.5.3 ; II.5.4 ; II.6.6 ; II.6.7 ; II.8.5. Cavité, I.8. Chargement – uniaxial, I.2.6 ; Paramètre(s) de –, I.9.3 ; I.9.4 ; I.11 ; II.6.5 ; II.6.6 ; II.7.

Convolution, I.5.3 ; II.5.2 ; II.5.4. Correspondance – fonctionnelle, I.3 ; I.4.3 ; I.4.4 ; II.3 ; II.4.2 ; II.6.4. Théorème de –, I.9.4 ; II.5.1 ; II.6.6.

D Décharge, I.2.4 ; I.2.6 ; I.4.2. Dénivellation – d’appui, I.11.3. Différé Comportement –, I.1 ; I.2 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.4.4 ; I.6.4 ; I.10.2 ; I.11.1 ; I.11.3. dirac Mesure de –, I.4.3. Distributions Théorie des –, I.4.3 ; I.4.4 ; I.5.3 ; II.5.2.

E Effacement, I.2.4 ; I.2.6 ; I.4.2 ; I.6 ; I.8.2. Expériences cruciales, I.2.6.

F Flexion, I.7.2 ; I.11 ; II.5.5 ; II.7.1 ; II.7.3. Fluage, I.1 ; I.2.1 ; I.2.3 ; I.11.2 ; I.11.3 ; II.5.5.

Cinématique(s) Paramètre(s) –, I.9.3 ; I.9.4 ; II.11.3 ; II.6.5 ; II.6.6.

Frottement intérieur, I.8.2.

Complaisance – « à l’infini », I.5.3 ; I.6.4 ; I.6.5. – élastique, I.4.3 ; I.4.4 ; I.5.3 ; I.6.4 ; I.6.5 ; I.9.3 ; II.3.2 ; II.3.3 ; II.4.2 ; II.5.5 ; II.6.5. Matrice de – élastique, II.6.5.

Gauchissement Fonction de –, II.7.4.

Comportement – « à l’infini », I.4.2 ; I.11.3 ; II.5.2 ; II.5.4 ; – « différé », I.1 ; I.2 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.4.4 ;

G H Harmonique Essai –, I.8 ; Régime – asymptotique, I.8.2 ; I.8.3. heaviside Fonction de –, I.2.1.

150

Index alphabétique

Matériau –, I.4.1 ; I.5.1 ; I.5.2 ; I.5.3 ; I.6.1 ; I.6.4 ; I.8.1 ; I.9.4 ; I.11.4 ; II.5 ; II.6.6 ; II.8.5.

Hyperstatique Structure –, I.1 ; I.11.3 ; I.11.4. Hypothèse des petites perturbations, I.1 ; I.9.1 ; I.9.2 ; I.9.4 ; I.11.1 ; I.11.3 ; II.2.1 ; II.4.1 ; II.6.2 ; II.6.3 ; II.6.4 ; II.6.6 ; II.7.1 ; II.8.1.

O

I

onsager Principe d’ –, II.5.5.

Instantané Comportement –, I.2.1 ; I.2.6 ; I.4.1 ; I.6.1.

Opérationnel Calcul –, I.5.3. Module –, I.5.3 ; I.6.5 ; II.5.3.

Isostatique Structure –, I.1 ; I.11.2 ; I.11.3.

P

Isotropie, I.7.2 ; II.3.2 ; II.4 ; II.5.4 ; II.5.5 ; II.6.5 ; II.6.6 ; II.6.7 ; II.7.1 ; II.8.1 ; II.8.3 ; II.8.5.

k kelvin Modèle de –, I.6.3 ; I.6.5. Solide de – Voigt, I.6.4.

L laplace Transformation de –, I.5.3 ; I.6 ; I.8.2 ; I.8.3 ; I.9.4 ; II.5.3 ; II.5.4 ; II.6.6 ; II.6.7 ; II.8.5.

Paramètre(s) – cinématiques, I.9.3 ; I.9.4 ; I.11 ; II.6.5 ; II.6.6. – de chargement, I.9.3 ; I.9.4 ; I.11 ; II.6.5 ; II.6.6 ; II.7. Petites perturbations Hypothèse des –, I.1 ; I.9.1 ; I.9.2 ; I.9.4 ; I.11.1 ; I.11.3 ; II.2.1 ; II.4.1 ; II.6.2 ; II.6.3 ; II.6.4 ; II.6.6 ; II.7.1 ; II.8.1. poisson Coefficient de –, II.4.2 ; II.5.4 ; II.5.5 ; II.6.5 ; II.6.6 ; II.6.7. Précontrainte, I.1 ; I.10 ; I.11.3 ; II.8.1 ; II.8.2.

lee Théorème de –, I.9.4 ; II.5.1 ; II.6.6.

M mandel Théorème de lee et –, I.9.4 ; II.5.1 ; II.6.6. Matériau – Boltzmannien, I.3 ; II.3.1. – non-vieillissant, I.4.1 ; I.5.1 ; I.5.2 ; I.5.3 ; I.6.1 ; I.6.4 ; I.8.1 ; I.9.4 ; I.11.4 ; II.5 ; II.6.6 ; II.8.5. Modèle(s) – de Kelvin, I.6.3 ; I.6.5. – de Kelvin-Voigt, I.6.4. – de Zener, I.6.4. – rhéologiques, I.6. Module – « à l’infini », I.5.3 ; I.6.4. – complexe, I.8. – élastique instantané, I.4.4 ; I.5.3 ; I.6.5 ; I.9.3 ; II.6.5. Matrice de – élastique, II.6.5.

N Non-vieillissant

Principe – d’ onsager, II.5.5. – de superposition, I.3.1 ; I.4.1 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.7.2 ; I.9.2 ; I.9.3 ; I.11.3 ; II.3.1 ; II.6.4 ; II.6.5 ; II.7.2 ; II.8.1 ; II.8.3 ; II.8.5.

R Réaction – compensatrice, I.11.3. – hyperstatique, I.11.3. Recouvrance, I.2.4 ; I.2.6 ; I.4.1 ; I.4.2 ; I.5.3 ; I.6. Redistribution des efforts, I.1 ; I.11.3 ; I.11.4. Relaxation – en cisaillement simple, II.4.2 ; II.8.5. – en compression isotrope, II.4.2. – en extension simple, II.4.2. – en « traction simple », II.1 ; II.4.2 ; II.6.5 ; II.7.2 ; II.7.3. Expérience de –, I.2.2 ; I.2.3 ; I.2.4 ; I.5.3 ; II.2.3 ; II.3.2 ; II.3.3 ; II.4.2 ; II.5.5. Fonction de –, I.2.2 ; I.2.3 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.5.3 ; I.6 ; I.7.1 ; I.9.1 ; I.10.2 ; I.10.3 ; I.11.3 ; II.4.2 ; II.6.5 ; II.7.2 ; II.7.3 ; II.8.5. Matrice de –, II.3.2 ; II.3.3 ; II.4.1. Temps caractéristique de –, I.2.3 ; I.6.2 ; I.6.4 ; I.6.5 ; I.8.3 ; I.9.1 ; I.10.3 ; II.8.5.

Index alphabétique

151

Principe de –, I.3.1 ; I.4.1 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.7.2 ; I.9.2 ; I.9.3 ; I.11.3 ; II.3.1 ; II.6.4 ; II.6.5 ; II.7.2 ; II.8.1 ; II.8.3 ; II.8.5.

Représentation Théorème de –, II.4.2. Ressort, I.6. Retard -- en cisaillement simple, I.7.2 ; II.4.2 ; II.7.4 ; II.8.4. -- en compression isotrope, II.4.2. -- en traction simple, I.2.1 ; I.7.1 ; I.7.2 ; II.1 ; II.2.2 ; II.4.2 ; II.5.5 ; II.6.5. Expérience de –, I.2.1 ; I.2.3 ; I.2.4 ; I.4.2 ; I.4.3 ; I.7.1 ; II.1 ; II.2.2 ; II.3.2 ; II.3.3 ; II.4.2 ; II.5.5 ; Fonction de –, I.2.1 ; I.4.2 ; I.5.3 ; I.6 ; I.7.1 ; I.7.2 ; I.9.1 ; I.10.2 ; I.10.3 ; I.11.4 ; II.4.2 ; II.5.5 ; II.6.5 ; II.7.4 ; II.8.4 ; II.8.5. Matrice de –, II.3.2 ; II.3.3 ; II.4.1. Temps caractéristique de –, I.2.3 ; I.6.3 ; I.6.4 ; I.6.5 ; I.8.3 ; I.9.1 ; I.10.3 ; II.8.5. riemann Convolution de –, I.5.3 ; II.5.2 ; II.5.4.

S Solide linéaire standard, I.6.4 ; I.6.5 ; I.8.3 ; I.10.3. stieltjes Intégrale de –, I.4.3 ; I.5.3 ; II.3.3. Superposition

Symétries matérielles, II.3.2 ; II.4.1.

T Temps caractéristique, I.1. -- de relaxation, I.2.3 ; I.6.2 ; I.6.4 ; I.6.5 ; I.8.3 ; I.9.1 ; I.10.3 ; II.8.5. -- de retard, I.2.3 ; I.6.3 ; I.6.4 ; I.6.5 ; I.8.3 ; I.9.1 ; I.10.3 ; II.8.5. Torsion -- d’une poutre, I.7.2 ; II.7.4. Inertie de –, I.7.2 ; II.7.4. Traction -- d’une barre, I.7.1 ; II.7.2.

V Vieillissement, I.2.6 ; I.4.1 ; I.5.1 ; I.5.2 ; I.5.3 ; I.6.1 ; I.6.4 ; I.8.1 ; I.9.4 ; I.11.4 ; II.5 ; II.6.6 ; II.8.5. voigt Solide de kelvin –, I.6.4. zeiner Modèle de –, I.6.4

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Achevé d’imprimer en mai 2016 sur les presses du Centre Poly-Média de l’École polytechnique Dépôt légal : 2e trimestre 2009 ISBN 978 – 2 – 7302 – 1557 – 2. Imprimé en France