Sujet de stage M2R Mathématiques appliquées : Approximation d’espaces stratifiés Contact: Dominique Attali ([email protected]) gipsa-lab, Boris Thibert ([email protected]) Laboratoire Jean Kuntzmann,

Thème général : Modélisation géométrique, géométrie algorithmique

Description du projet : La reconstruction de formes à partir de nuages de points a été très étudiée dans le cas où les points échantillonnent des objets surfaciques. Cependant, pour certaines applications, ce modèle s’avère insuffisant. Par exemple, en sismique, le sous-sol est modélisé à partir de failles et d’horizons cloisonnant l’espace en volumes. L’objet à reconstruire est alors une union de surfaces se joignant le long de courbes et forme ce que l’on appelle un espace stratifié. Etant donné un échantillonnage de cet objet (correspondant par exemple à des données fournies par le géologue), on souhaite alors reconstruire à la fois les surfaces et les relations d’adjacence entre ces surfaces. Ce stage fait suite à un stage réalisé l’année dernière [2]. Il comporte un aspect algorithmique et un aspect mathématique : 1. Il s’agit de développer un algorithme capable de retrouver la structure d’un espace stratifié (c’est à dire de pouvoir retrouver chaque surface ainsi que les relations d’adjacence). 2. On s’attachera aussi à donner des garanties théoriques, c’est-à-dire des condition précises sur l’espace stratifié et les conditions d’échantillonnages qui permettent de prouver la fidélité et la précision de la reconstruction. En particulier, à côté de l’algorithme, on aimerait formuler un théorème de stabilité de structure (similaire aux théorèmes de stabilité de [5]). On pourra pour cela s’inspirer des résultats sur la reconstruction de surfaces avec garanties, qui utilisent notamment la notion de gradient généralisé de la fonction distance [1,3-6].

Laboratoire d’accueil : Le stage sera effectué dans le laboratoire Jean Kuntzmann et le Gipsa-Lab.

Rémunération :

un peu plus de 400 euros par mois.

References [1] N. Amenta and M. Bern. Surface reconstruction by Voronoi filtering. Discrete Comput. Geom. 22 , 481–504. 1999. [2] L. Brolis. Reconstruction de graphe planaire. Rapport de stage de M1MAI, UJF, 2009-2010. [3] F. Chazal, D. Cohen-Steiner and A. Lieutier. A sampling theory for compact sets in Euclidean space. In Proc. 22nd Ann. Sympos. Comput. Geom., 319–336. 2006. [4] F. Chazal and A. Lieutier. Topology guaranteeing manifold reconstruction using distance function to noisy data. In Proc. 22nd Ann. Sympos. Comput. Geom., 112–118. 2006. [5] F. Chazal, A. Lieutier, J. Rossignac, B. Whited, Ball map: median projection map between compatible surfaces, to appear in Int. Journal of Comp. Geometry and Applications. [6] P. Niyogi, S. Smale and S. Weinberger. Finding the homology of submanifolds with high confidence from random samples. Discrete Comput. Geom.. to appear.