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Congr`es Franc¸ais de M´ecanique
Nancy, 3-7 Septembre 2001
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C ONCEPTION DE MICROM E´ CANISMES PAR OPTIMISATION TOPOLOGIQUE Gr´egoire ALLAIRE, Franc¸ois JOUVE Centre de Math´ematiques Appliqu´ees (UMR 7641) Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau
R´esum´e : La conception optimale de m´ecanismes destin´es a` la fabrication de micro-machines peut eˆ tre envisag´ee comme un probl`eme d’optimisation de formes avec une fonction objectif particuli`ere. Nous proposons une telle m´ethode d’optimisation, dite topologique, utilisant l’homog´en´eisation.
Abstract : The design of mechanisms for building micro-tools can be viewed as a shape optimization problem with a peculiar objective function. We propose such an optimization method based on homogenization, which is called topology optimization.
Mots cl´es : microm´ecanisme, optimisation, homog´en´eisation. 1 Introduction Depuis quelques ann´ees est apparue une m´ethode d’optimisation topologique de forme en m´ecanique des structures bas´ee sur l’utilisation de techniques d’homog´en´eisation (cf. par exemple Allaire (2001), Bendsoe (1995), Rozvanyet al. (1995)). Cette m´ethode a permis l’apparition de nouveux algorithmes performants qui capturent une forme optimale sur un maillage fixe sans restriction a priori sur sa topologie (voir par exemple Allaire et al. (1997), Allaire et Kohn (1993), Bendsoe et Kikuchi (1988)). Jusqu’ici cette m´ethode d’homog´en´eisation a e´ t´e utilis´ee pour optimiser la rigidit´e d’une structure, mesur´ee par sa compliance (pour un ou plusieurs chargements) ou par sa ou ses premi`eres fr´equences propres de vibration. Dans ces cas, la th´eorie est tout-`a-fait compl`ete et les algorithmes num´eriques sont bien e´ tablis. Plus r´ecemment, cette m´ethode a e´ t´e e´ tendue a` l’optimisation de fonctions objectifs plus g´en´erales, non n´ecessairement li´ees a` la rigidit´e de la structure (voir Allaire et al. (2001)). Dans ce cas plus g´en´eral, la th´eorie n’est pas compl`etement satisfaisante mais des algorithmes num´eriques efficaces peuvent n´eanmoins eˆ tre propos´es (voir Allaire et Jouve (2001)). En particulier, on peut ainsi traiter le probl`eme de la conception de m´ecanismes qui transforment un d´eplacement ou une force d’entr´ee en un autre d´eplacement ou force de sortie d´esir´ee. Le fonctionnement de ces m´ecanismes est assur´e par les seules propri´et´es e´ lastiques de leur forme sans avoir recours a` la pr´esence de syst`emes d’articulation, de liaison ou de transmission (rotules, articulations, ressorts, etc.). On peut ainsi construire des micro-machines d’une taille de l’ordre du millim`etre par d´ecoupe laser sur un substrat de silicium avec une r´esolution de quelques microns (voir, par exemple, Jonsmann et al. (1999). Expliquons bri`evement le principe de la m´ethode d’homog´en´eisation. L’approche classique de l’optimisation de formes consiste a` traiter ce probl`eme comme l’optimisation de la position de la fronti`ere de la forme. Bien que cette approche fonctionne parfaitement, elle a l’in-
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conv´enient majeur de ne jamais changer la topologie de la forme, c’est-`a-dire de permettre l’apparition (ou la disparition) de nouveaux bords (ou trous dans la forme). Au contraire, la m´ethode d’homog´en´eisation consid`ere que l’optimisation de formes est un probl`eme de distribution de mati`ere : en tout point de l’espace faut-il ou non mettre du vide ou un mat´eriau. Pr´esent´e ainsi, il s’agit d’un probl`eme en variable discr`ete 0/1 qui est tr`es difficile a` r´esoudre car, en particulier, on ne sait pas comment calculer un gradient par rapport a` ces variables discr`etes. L’id´ee principale de la m´ethode d’homog´en´eisation consiste donc a` optimiser une densit´e de mat´eriau correspondant a` une microstructure de milieu poreux, densit´e qui est une variable continue dans l’intervalle . On a ainsi relax´e le probl`eme d’optimisation discret ce qui permet, entre autres, de calculer un gradient et d’optimiser la topologie de la forme. Il est essentiel de remarquer que cette m´ethode ne change pas le probl`eme d’origine mais simplement qu’elle le fractionne en deux e´ tapes : trouver des microstructures poreuses optimales a` une e´ chelle sous-maille, puis optimiser la r´epartition macroscopique de densit´e de ces microstructures. Dans le cadre de l’optimisation de micromachines, une approche similaire a e´ t´e propos´ee par Sigmund (1997). Expliquons bri`evement en quoi notre d´emarche est diff´erente. Dans Sigmund (1997) l’optimisation de formes est aussi vue comme un probl`eme de distribution de mati`ere, mais la densit´e optimis´ee ne correspond a` aucune microstructure r´eelle et est seulement un artefact num´erique. Dans ce cas on parle de mat´eriaux fictifs, ou plus pr´ecis´ement de mat´eriaux “`a loi de puissance” (cf. Rozvanyet al. (1995)), c’est-`a-dire que le tenseur d’´elasticit´e de ces mat´eriaux est simplement obtenu par multiplication du tenseur isotrope du mat´eriau pur par une puissance convenable de la densit´e. Au contraire, dans notre approche le tenseur d’´elasticit´e en chaque point est obtenu par homog´en´eisation de la vraie microstructure poreuse sous-jacente. Par cons´equent, l’approche de Sigmund (1997) change le probl`eme, ce qui peut entrainer un comportement num´erique moins bon. En effet, dans les deux approches il existe une phase de p´enalisation qui e´ limine a` la fin les zones de densit´e interm´ediaires de mani`ere a` obtenir une forme classique. Cette phase est plus d´elicate si la physique du probl`eme n’a pas e´ t´e respect´ee dans l’´etape de relaxation. 2 Optimisation de m´ecanismes Comme annonc´e dans l’introduction, nous voyons la conception de m´ecanismes ou d’actuateurs comme un probl`eme d’optimisation de formes. On se donne un domaine de travail (dans lequel doit s’inscrire la forme du m´ecanisme), un volume de mati`ere disponible, des forces de chargement et un objectif, c’est-`a-dire un champ de d´eplacements d´esir´e sur une partie du domaine. On cherche alors la forme d’une structure e´ lastique qui atteigne au mieux ce champ de d´eplacements cible, avec e´ ventuellement des contraintes g´eom´etriques ou de rigidit´e. D´ecrivons plus pr´ecis´ement ce probl`eme d’optimisation. On note le domaine de travail et le mat´eriau e´ lastique lin´eaire isotrope dont est fait la forme. Afin de pouvoir effectuer des calculs sur un maillage fixe de , le vide qui entoure la forme est approxim´e par un autre mat´eriau e´ lastique lin´eaire isotrope , tr`es peu rigide. Typiquement, les constantes de Lam´e du mat´eriau mou sont 1000 fois plus faibles que celle de . Cette approximation du vide par est justifi´ee, au moins dans le cas de la minimisation de la compliance, dans Allaire et al. (1997). On introduit la fonction caract´eristique de la phase qui vaut !"# si est un point de et !"#$ si est un ,+ - point de . Dans le domaine , le tenseur d’´elasticit´e est d´efini par %&' ( *)$ . Le
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champ de d´eplacement ./% de la structure est alors la solution de 0
+214365 ,%78!.9%:;9?
o`u 78!./%@ BAC.2)DAFE!.";G: d´esigne le tenseur des d´eformations et = est une force de volume donn´ee. Pour des raisons de simplicit´e d’´ecriture nous pr´esentons un probl`eme avec des conditions de Dirichlet homog`enes, mais des conditions aux limites et des chargements plus g´en´eraux sont envisageables. On note .9HI!" le champ de d´eplacement cible, et JK!" une fonction positive qui pond`ere les emplacements o`u l’on cherche a` atteindre la cible .9H . Le probl`eme d’optimisation de formes est donc k 3MLN
+
%PORQTS6U4H;VXWZY\[
-#^]"_`, !"aJK!"Xb .-!"
.9HIc"Ib dfe:hgji
(1)
)mln_`, !"oeqpr
o`u l d´esigne un multiplicateur de Lagrange associ´e a` une contrainte de volume sur le mat´eriau . Pour le chargement ext´erieur donn´e = , minimiser cette fonction revient a` chercher un m´ecanisme r´ealisant le d´eplacement voulu .9H l`a o`u Jsc" est positif non nul. Il est bien connu qu’en g´en´eral (1) est un probl`eme mal pos´e, c’est-`a-dire qu’il n’admet pas de solutions et que les algorithmes num´eriques usuels sont tr`es instables (nombreux minima locaux, forte influence du maillage ou du choix initial, voir par exemple Allaire (2001)). On peut n´eanmoins relaxer ce probl`eme, c’est-`a-dire lui trouver des solutions g´en´eralis´ees qui sont en fait des mat´eriaux composites obtenus en m´elangeant a` un niveau microscopique les deux phases et 3 Une formulation relax´ee par homog´en´eisation La th´eorie de l’homog´en´eisation permet de calculer une formulation relax´ee du probl`eme d’origine (1). Les formes g´en´eralis´ees admissibles sont d´efinies par une distribution de mat´eriau composite dans tout le domaine. Ces mat´eriaux composites sont caract´eris´es par la densit´e t c"u 'v de la phase et par la microstructure de l’arrangement microscopique entre les deux phases en chaque point w ' . Ces param`etres d´eterminent une loi de Hooke effective ?xIc" en chaque point. La formulation relax´ ee de (1) s’´ecrit k y
t
3zL
O|{;O|QTS}V ~/aORQTSMS}P H;VWcz:
x [
t
x ^] _
t +
`
!"oJsc"Ib .c"
.9HI!"Xb d e:hgji
)ml _
`
e:(
(2)
o`u .-!" est la solution du probl`eme homog´en´eis´e 0
+214365 \x78.";9?
(3)
et { est l’ensemble de toutes les lois de Hooke homog´en´eis´ees obtenues en m´elangeant les t t + phases et en proportions et . Les avantages de la formulation relax´ee (2) sont nombreux et classiques (voir par exemple Allaire (2001)). Elle admet toujours une solution car toute structure composite peut eˆ tre obtenue comme limite d’une suite de structures classiques. Cela signifie que la relaxation ne change pas la nature du probl`eme mais le rend simplement bien pos´e. On peut e´ galement en d´eduire que des formes classiques quasi-optimales peuvent facilement eˆ tre obtenues a` partir d’une forme
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composite optimale en utilisant une proc´edure de p´enalisation appropri´ee. De nombreux algorithmes num´eriques bas´es sur cette approche ont e´ t´e propos´es (cf. e.g. Allaire et al. (1997), Allaire et Kohn (1993), Bendsoe (1995), Bendsoe et Kikuchi (1988)). Toutefois, la formulation relax´ee (2) requiert la connaissance de l’ensemble { de tous les mat´eriaux composites, qui est malheureusement partiellement connu. Dans un certain nombre de cas, les conditions d’optimalit´e permettent de remplacer { par un de ses sous-ensembles connu explicitement : l’ensemble #{ des lamin´es s´equentiels. C’est le cas lorsque la fonctioncoˆut , ou x , est la compliance ou la premi`ere fr´equence propre de la structure, ou bien [ [ une somme pond´er´ee de compliances associ´ees a` plusieurs chargements ou des premi`eres fr´equences propres. Dans ces cas, (2) est directement utilisable et on parle de “relaxation totale”. Dans tous les autres cas, on va se restreindre au mˆeme sous-ensemble explicite de { , c’est-`a-dire celui des lamin´es s´equentiels { . Cette simplification propos´ee dans Allaire et al. (2001) est appel´ee “relaxation partielle”. On utilise ces lamin´es s´equentiels car ils sont param´etris´es de fac¸on explicite et ont des propri´et´es effectives optimales. Ces mat´eriaux composites sont obtenus par mise en couches t t u+ en proportions respectives et de lasuccessives de et de . Pour un nombre minations donn´e, des directions de lamination 7cfW8z et des proportions de lamination pour chacune des directions cfW8z v´erifiant et U"W # , la loi de Hooke associ´ee x d’un lamin´ e s´equentiel de matrice et d’inclusion s’´ecrit : t
+
+
+ W
Z
x f
t +
W
¡
f
(4)
=£~7cT ¢U"W
avec ¤¥7 2 ,,b7b¦
n¤h§
matrice sym´etrique +
=£~7I§K¨¦§u ©
b §7b d
c§7«I7I df¬
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(5)
!§7«I7I dX° ©
~®)¯
~
Pour obtenir une m´ethode num´erique simple, nous fixons le nombre (en 2-D nous prenons ) et les directions de laminations 7f±W¦±² (qui discr´ etisent la sph`ere unit´e). Les param`etres t de formes sont alors la densit´e de mat´eriau , et les proportions de lamination !fW8M . La r´esolution de (3) s’effectuant par e´ l´ements finis, on choisit de prendre ses param`etres de forme constants sur chaque e´ l´ement. On utilise une m´ethode de type “gradient projet´e” qui n´ecessite le calcul du gradient de x par rapport aux variables de forme, ce qui se fait classiquement en [ introduisant un e´ tat adjoint ³ qui est la solution de +2143M5
{;O|QTS6´"ORQTScORµXO|QTS
x 78³h;
