L3 - Parcours Physique-Chimie LP 333A - M´ ecanique (2006-2007) Travaux dirig´ es no 2 Exercice 1 Un cerceau de centre C et de rayon R roule sans glisser dans le plan XOY . Le centre − → C se d´eplace `a vitesse constante V0 parall`element `a l’axe OX. On ´etudie le mouvement d’un point M du cerceau, rep´er´e par −→ −−→ l’angle ϕ = (CA, CM ), o`u A est le point de contact entre le cerceau et le sol.

Y y

C

x

ϕ

X

M

O

A

A l’instant initial, les points A et O sont confondus. Le r´ef´erentiel R0 (O, OX, OY ) muni des → et − → vecteurs unitaires − u uy est suppos´e galil´een. x 1) On se place dans le r´ef´erentiel R(C, Cx, Cy) du cerceau, o`u les axes Cx et Cy sont parall`eles respectivement aux axes OX et OY . a) D´eterminer `a partir de la condition de roulement sans glissement la relation entre la − → dϕ vitesse angulaire dt du point M et le module V0 de V0 . Pr´eciser la valeur de ϕ au temps t. b) Quel est le mouvement de M dans le r´ef´erentiel R ? Pr´eciser les expressions de la vitesse − → → V et de l’acc´el´eration − a du point M dans R. − → → 2) D´eterminer la vitesse d’entraˆınement Ve et l’acc´el´eration d’entraˆınement − ae du point M. − → Que peut-on dire de l’acc´el´eration de Coriolis ac ? − → 3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions des vecteurs vitesse et acc´el´eration absolues Va → →x , − → et − aa du point M dans le r´ef´erentiel R0 . On les exprimera dans la base (− u uy ). 4) a) Donner les ´equations param´etr´ees X(ϕ) et Y (ϕ) de la trajectoire de M dans R0 . Dessiner la trajectoire lorsque ϕ varie de 0 `a 2 π. − → −−→ b) Montrer que le vecteur vitesse Va est perpendiculaire au vecteur AM , et que le vecteur −−→ → acc´el´eration − aa est parall`ele au vecteur CM . Dessiner, pour une position quelconque du point M sur la trajectoire pr´ec´edente, les positions correspondantes du point de contact A et du centre → C, ainsi que l’orientation du vecteur acc´el´eration − aa . Exercice 2 → − → − → − Dans le r´ef´erentiel fixe R0 (O, OX, OY, OZ) du laboratoire, muni des vecteurs unitaires i , j , k , un plateau circulaire horizontal de rayon R tourne autour de l’axe OZ passant par son centre O, dans le sens trigonom´etrique et `a la vitesse angulaire constante ω. On appelle R(O, Ox, Oy, Oz)

→ →, − → − → − le r´ef´erentiel li´e au plateau, o`u Oz = OZ, et − u x uy et uz = k sont les vecteurs unitaires qui lui − → sont associ´es ; on note Ω le vecteur rotation de R dans R0 . Un chariot se d´eplace `a la vitesse constante V0 (> 0) sur un rail fixe dans R0 , que l’on peut confondre avec l’axe OX. Les vitesses V0 et ω sont telles que le chariot parcourt une distance ´egale au rayon du plateau pendant que celui-ci effectue un tour. Le chariot est porteur d’un marqueur M, qui trace sa trajectoire sur le plateau. A l’instant t = 0, M se trouve en O et se dirige vers les X positifs, et les axes Ox et OX co¨ıncident. 1) Soit A, B, C, D et E les points du plateau sur lesquels passe le marqueur au bout respectivement de 0, 41 , 21 , 34 et 1 tour. Repr´esenter ces points sur la figure ci-dessous, et dessiner sch´ematiquement la courbe obtenue sur le plateau, lorsque le plateau a effectu´e un tour. −−→ 2) a) D´eterminer l’´equation horaire r(t) = ||OM(t)|| de la position du marqueur dans le r´ef´erentiel R0 . − → → b) Donner l’expression de l’angle ϕ(t) = ( i , − ux ). c) En d´eduire l’´equation polaire r(ϕ) de la trajectoire observ´ee dans le r´ef´erentiel R. 3) D´eterminer `a partir des r`egles de composition des vitesses et des acc´el´erations les vecteurs − → → vitesse relative Vr et acc´el´eration relative − ar en fonction de V0 , ω et ϕ. Y

j

O

R i

X

Exercice 3 Une tige rigide, inclin´ee d’un angle constant α par rapport au plan horizontal xOy, est en rotation `a la vitesse angulaire constante ω autour de l’axe Oz (vertical, orient´e vers le haut). La tige porte un ressort de longueur `a vide r0 , dont une extr´emit´e est fix´ee en O, et l’autre est solidaire d’une

masse m situ´ee `a la distance r de O. La masse et le ressort peuvent coulisser sans frottement sur la tige. Le r´ef´erentiel (O, Ox, Oy, Oz) du laboratoire est consid´er´e comme galil´een. 1) Dessiner les forces responsables du d´eplacement de la masse m sur la tige. D´eduire de leurs expressions la position d’´equilibre de la masse sur la tige. Cette position est-elle stable ? 2) a) Etablir l’´equation diff´erentielle de la position de la masse sur la tige, par rapport `a la position d’´equilibre. b) Quelle est la condition sur ω pour que la masse oscille autour de sa position d’´equilibre ? Exercice 4 Un man`ege, sch´ematis´e par un disque horizontal de rayon R et de centre O, tourne avec une vitesse angulaire ω constante autour de l’axe vertical Oz passant par son centre. On fixe sur le √ man`ege un tube de section carr´ee S petite ( S ≪ R) et de longueur R, coup´e en deux dans le sens de la longueur. L’une des extr´emit´es du tube est au centre O du man`ege et l’autre extr´emit´e A affleure `a son bord. On dispose dans le tube ouvert un cube de masse m et de section proche de S. Le cube peut coulisser sans basculer dans le tube. On l’assimilera `a un point mat´eriel M. A l’instant t = 0, le man`ege est en rotation et le cube est immobile `a la distance x0 de l’axe du man`ege. On s’int´eresse au mouvement ult´erieur du cube dans le tube. On suppose que le r´ef´erentiel terrestre R0 est galil´een. On note R le r´ef´erentiel li´e au man`ege et g le module de l’acc´el´eration de la pesanteur. On n´eglige les frottements entre le tube et le cube. 1) D´efinir `a l’aide d’un sch´ema, les axes du r´ef´erentiel R `a un instant t > 0. Pr´eciser sur le sch´ema le rep´erage de ces axes dans R0 , ainsi que la position du tube et du point M. 2) a) Donner, sans calcul, les effets des forces d’inertie sur le mouvement du cube. b) Ecrire les projections du principe fondamental de la dynamique dans la direction du mouvement et dans les directions perpendiculaires au mouvement. 3) En d´eduire l’´energie cin´etique du cube lorsqu’il arrive au bord du man`ege, en A. On exprimera le r´esultat dans le r´ef´erentiel R, puis, par composition des vitesses, dans R0 . Autres exercices (1). Un parachute de masse m, assimil´e `a un point mat´eriel M, chute verticalement `a la vitesse − → U (t) d´ependant du temps. Les frottements de l’air, qui donnent lieu `a une force de frottement proportionnelle `a la vitesse, freinent le parachute, jusqu’`a ce que celui-ci atteigne la vitesse limite − → U0 (celle-ci ne varie plus au cours du temps, on note U0 son module). Un train ayant une trajectoire rectiligne horizontale passe en O, `a la verticale du parachute, au moment o`u celui-ci est `a l’altitude h et a atteint sa vitesse limite. On s’int´eresse `a la trajectoire ult´erieure du parachute, vue par un passager du train. − → − → a) Question pr´eliminaire : soit f (t) = −K U (t) la force de frottement de l’air au temps − → t. D´eduire du principe fondamental de la dynamique l’expression de la vitesse U (t), avant que la parachute atteigne sa vitesse limite (on prendra sa vitesse initiale nulle). Dessiner l’allure du

− → module U(t) de U (t) au cours du temps. Pr´eciser l’expression de la vitesse limite U0 . b) D´eterminer et repr´esenter sur un sch´ema la trajectoire de M, par rapport `a un voyageur assis dans le train, dans les deux cas suivants : • le train se d´eplace `a vitesse constante V0 ; → • le train ´etant initialement au repos en O, acc´el`ere uniform´ement avec l’acc´el´eration − a. (2). On se place en un point O de la surface de la Terre, situ´e dans l’h´emisph`ere Nord `a la − → latitude λ. Un projectile ponctuel est lanc´e du point O avec une vitesse V0 contenue dans le plan − → m´eridien xOz, orient´ee Nord-Sud et vers le haut. On note α (∈ [0, π/2]) l’angle entre V0 et le − → plan horizontal xOy (voir sch´ema ci-dessous), et V0 la norme de V0 . On n´eglige les frottements. a) On n´eglige la force de Coriolis, de sorte que le r´ef´erentiel terrestre local R(O, Ox, Oy, Oz) peut ˆetre consid´er´e comme galil´een ; le projectile est donc soumis uniquement `a son poids. En int´egrant le principe fondamental de la dynamique dans R, donner les composantes du vecteur vitesse du projectile au cours du temps, puis la dur´ee t0 du tir et sa port´ee l0 . Dans quel plan est contenue la trajectoire ? AN : calculer t0 et l0 pour V0 = 800 m/s, α = 6o et g ≃ 10 m/s2 . b) On veut estimer l’effet de la force de Coriolis sur la position de l’impact au sol. − → →, − → − → - Donner l’expression, dans la base (− u x uy , uz ) de R, du vecteur rotation Ω de la Terre autour de l’axe des pˆoles. On notera ω la vitesse angulaire de rotation de la Terre. - Donner les composantes approch´ees de la force de Coriolis, obtenues en utilisant comme vecteur vitesse celui trouv´e dans la question a). Puis, d´eduire du principe fondamental de la dynamique l’effet de la force de Coriolis sur la position de l’impact au sol. AN : estimer num´eriquement la d´eviation de l’impact au sol, dans la direction transverse au plan de la trajectoire de la question a). On prendra λ = 45o . Commenter l’approximation faite dans cette question. Soit O un point de la surface de la Terre. Les figures ci-dessous rappellent les d´efinitions de la latitude λ du point O, du plan m´eridien passant par O et du r´ef´erentiel terrestre local R(O, Ox, Oy, Oz) au point O. Nord

Coupe m´eridienne

Z,Ω

Nord

Z,Ω

z

cercle méridien

z

cercle méridien

cercle parallèle

θ

C

Ouest

y

O

H

θ

λ

Y

ϕ O’

Est

C

y , Est

x

λ

O’

x

Equateur

X Sud

Sud

x

O

H