Hamiltonicit´e dans une grille, un jeu d’enfant ? Aline Parreau

Rapport de Stage de License Stage effectu´e au sein de l’´equipe CNAM-MAM du Laboratoire Leibniz sous la responsabilit´e de Sylvain Gravier, directeur de l’´equipe

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2006

Table des mati` eres Introduction

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1 Probl` eme initial 1.1 Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2 Elements de r´esolution . . . . . . . 1.2.1 Simplification du probl`eme 1.2.2 Retour au probl`eme initial . 1.3 Vers d’autres dimensions. . . . . . .

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2 Quand le chemin devient un arbre. . . 2.1 Historique des recherches . . . . . . . . . . . . . . 2.2 NP-compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Conditions N´ecessaires . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Remarques g´en´erales sur les grilles rectangulaires . 2.4.1 Formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Ce que deviennent les conditions n´ecessaires 2.4.3 Cas interdits . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Elements de r´eduction . . . . . . . . . . . . 2.5 3 sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Conditions n´ecessaires et cas interdits . . . 2.5.2 Condition suffisante . . . . . . . . . . . . . 2.6 k sommets ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Des id´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Conclusion sur ce probl`eme . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vulgariser mon sujet de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Maths ` a modeler 3.1 Pr´esentation de l’´equipe . . . 3.2 La d´ecouverte de MAM . . . 3.3 Ma participation ou comment 3.3.1 L’applet . . . . . . . . 3.3.2 Le jeu . . . . . . . . .

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Conclusion

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Bibliographie

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Introduction ´ Maths ` L’ERTE a Modeler, avec laquelle j’ai effectu´e ce stage, cherche `a familiariser le public avec la recherche actuelle en math´ematiques discr`etes, recherche `a laquelle elle participe activement. Aussi, le but de mon stage ´etait double : recherche sur un probl`eme actuel et cr´eation d’une situation ludique pour permettre au public de chercher lui aussi sur ce sujet. Une partie du stage, la plus importante en dur´ee, a donc ´et´e l’´etude de la question suivante : ´etant donn´ee une grille et deux points sur cette grille, peut-on relier les deux points par un chemin hamiltonien, c’est-` a-dire qui passe une fois par toutes les cases de la grille ? Apr`es avoir r´epondu `a cette question (dite “probl`eme initial“), je me suis pench´ee sur des extensions de ce probl`eme propos´ees par mon maˆıtre de stage : dimension plus grande, plus de points sur la grille. . . Parall`element, nous avons essay´e de cr´eer une situation pour mettre le public en recherche sur le mˆeme probl`eme. C’est en participant aux activit´es de Maths `a Modeler que j’ai pu avancer sur ce sujet. Le probl`eme initial est pr´esent´e dans la premi`ere partie. Dans la deuxi`eme partie, j’´etudie une extension de ce probl`eme, c’est la partie sur laquelle j’ai le plus cherch´e et o` u j’ai apport´e le plus de choses au niveau de la recherche. Enfin, dans la troisi`eme partie, je pr´esente l’´equipe qui m’a accueillie, ses actions et ce que j’ai fait pour “vulgariser”mon probl`eme de recherche.

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Probl` eme initial

J’ai commenc´e par travailler sur le probl`eme suivant, dont une r´esolution compl`ete est ´ecrite dans [1]. Cependant, j’ai r´efl´echie seule `a ce probl`eme avant de lire l’article. Dans cette partie, j’ai volontairement ´ecrit les ´etapes et r´esultats de ma r´eflexion sans chercher `a plus les structurer. Cela sera utile pour imaginer comment pr´esenter le probl`eme au public. Cette partie du stage m’a pris environ une semaine.

1.1

Enonc´ e

Un peu de formalisme pour savoir de quoi nous parlons. Definition 1. Soit G∞ la grille infinie, le graphe dont les sommets sont les points du plan ` a coordonn´ees enti`eres et tels que deux sommets sont voisins si leur distance arithm´etique est 1. Un graphe de grille est un sous graphe fini de G∞ induit par les noeuds : il est enti`erement d´ecrit par l’ensemble de ses sommets. Un graphe de grille sera rep´esent´e par un quadrillage : un sommet correspond ` a une case, deux cases sont voisines si elles ont un cˆ ot´e commun. La grille rectangulaire de taille n ∗ m est le graphe de grille dont les sommets u = (ux , uy ) v´erifient 1 6 ux 6 m, 1 6 uy 6 n. Nous nous posons alors le probl`eme suivant, not´e G(A, B) : Probl` eme 1. Dans un graphe de grille G, on se donne deux sommets A et B. Existe-t-il un chemin hamiltonien dont les extr´emit´es sont ces deux points ?

Fig. 1 – Peut-on relier A `a B en passant une fois par toutes les cases ? Le th´eor`eme suivant a ´ete d´emontr´e par Itai, Papadimitriou et Swarcfiter dans [1] et donne un int´erˆet au probl`eme.

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Th´ eor` eme 1. Trouver un chemin hamiltonien dans un graphe de grille est NP-complet. On en d´eduit le corollaire suivant qui concerne plus pr´ecis´ement notre probl`eme : Corollaire 1. Savoir si G(A,B) a une solution est NP-complet D´emonstration. A partir d’un graphe de grille comportant N cases, on le copie N (N2−1) fois et on choisit (A,B) tous les couples de cases possibles. Si on sait r´esoudre G(A,B), on sait trouver un chemin hamiltonien dans le graphe de grille. Dans la suite, on se retreint aux grilles rectangulaires et on cherche une condition n´ecessaire et suffisante pour que G(A,B) ait une solution.

1.2 1.2.1

´ Elements de r´ esolution Simplification du probl` eme

Suivant les conseils de mon maˆıtre de stage, j’ai commenc´e par r´esoudre un probl`eme plus simple, not´e G(A) : Probl` eme 2. Dans une grille G, on se fixe un sommet A. Existe-t-il un chemin hamiltonien partant de A ? Lemme 1. Si la grille est paire (nombre pair de cases), G(A) a toujours une solution. D´emonstration. On peut toujours construire un circuit hamiltonien dans une grille paire (voir la figure 2). En coupant le cycle au niveau de A, on a un chemin hamiltonien partant de A.

Fig. 2 – Circuit hamiltonien dans une grille paire Pour les grilles impaires (nombre impair de cases), certains sommets ne “marchent”pas. Apr`es quelques essais, en notant quels sommets ne “marchent”pas, une coloration de la grille apparaˆıt qui correspond ` a un damier. Dor´enavant, les grilles seront colori´ees (Fig. 3) : les sommets “pairs” (i.e. dont la somme des coordon´ees est pair) en noirs, les sommets “impairs”en blanc.

Fig. 3 – Coloration d’une grille Un sommet noir n’a que des voisins blancs, et un sommet blanc n’a que des voisins noirs. Le graphe est donc biparti et lorsqu’on se prom`ene dans le graphe, on alterne les couleurs. On en d´eduit le lemme suivant : Lemme 2. Si la grille est impaire, G(A) a une solution si et seulement si A est de la couleur dominante. 4

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D´emonstration. Un chemin dans une grille commen¸cant par la couleur X comporte une case de plus de couleur X ou le mˆeme nombre de cases de chaque couleur. Dans une grille impaire, il y a une case de plus dans une des couleurs, la couleur dominante. Un chemin hamiltonien a donc une case de la couleur dominante de plus, il commence et finit donc obligatoirement par la couleur dominante : il faut donc que A soit de la couleur dominante. On montre que cette condition est suffisante en raisonnant par induction sur la taille de la grille : le r´esultat est vrai pour la grille 3 × 3 (les deux cas sont pr´esent´es en figure 4).

(a)

(b)

Fig. 4 – Chemin hamiltonien dans une grille 3 × 3 On passe d’une grille de taille (2l+1)×(2k+1) (l > 1, k > 1) a une grille de taille (2l+1)×(2k−1) en enlevant un bande de largeur 2 et de longueur 2l + 1 o` u le point A n’est pas (c’est possible car la grille est de largeur au moins 5). On r´esout la petite grille par induction. Un des coins du cˆot´e frontalier n’est pas A. Pour compl´eter le chemin, on distingue alors les cas suivant si ce coin est ou non une extr´emit´e du chemin comme illustr´e en figure 5.

⇒

⇒ ⇒ (a)

(e)

(c)

(b)

⇒

⇒ (d)

(f)

Fig. 5 – Induction pour trouver un chemin hamiltonien sur une grille impaire

1.2.2

Retour au probl` eme initial

Chacun des deux sommets est le d´epart d’un chemin hamiltonien, ils doivent donc tous deux v´erifier les conditions donn´ees pr´ecedement. Ainsi, pour des grilles impaires, il faut que les deux sommets soient de la couleur dominante. Pour les grilles paires, il faut que les deux sommets soient de couleur diff´erente car il y autant de cases de chaque couleur dans une grille paire, donc dans un chemin hamiltonien dans une grille paire. Ainsi, un chemin hamiltonien qui commence par une couleur finit par l’autre et les deux etr´emit´es sont de couleur diff´erente. Cela nous donne une condition n´ecessaire dite condition de coloration. Est-elle suffisante ? Il y a en fait quelques configurations v´erifiant la condition de coloration mais n’ayant pas de solution, ce sont les cas impossibles ou interdits. On rencontre les premi`eres assez vite pour des petites grilles : il faut que la grille reste connexe quand on enl`eve un ou les deux sommets choisis (le chemin est encore connexe quand on enl`eve ses extr´emit´es). Ainsi, si la grille est de dimension

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1 (m = 1 ou n = 1), il faut que les deux sommets soient dans des coins (Fig. 6(a)). Si la grille contient deux lignes, il ne faut pas que les deux sommets soient sur la mˆeme colonne (sauf si ce sont des coins) (Fig. 6(b)). L’autre cas impossible (le cas F3 de [1]) est le suivant : n = 3, m est pair, A est sur une colonne avant B et n’est pas de la mˆeme couleur que les coins gauches, et : – soit A est sur la ligne du milieu et B sur une colonne diff´erente (Fig. 6(c)). – soit A est au bord et B n’est pas sur la colonne d’apr`es (Fig. 6(d)).

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 6 – Cas impossibles pour le probl`eme initial La figure 7 montre pourquoi cette situation est impossible (dans le cas o` u A n’est pas sur la ligne du milieu). Le dessin est une coupe de la grille : les coins de gauche de la grille sont noirs.

⇒

⇒

Pour remplir la partie gauche

(a)

(b)

(c) Impossible (couleurs ` a gauche)

⇒

⇒

Pour remplir la partie gauche

(d)

(e)

(f) Impossible (couleurs ` a gauche)

⇒ Pour pouvoir remplir la partie gauche (impaire) on doit ressortir par b

⇒ (g) (h)

⇒

(i)

⇒

la case au dessus de A n’a que deux voisins possibles (j)

(k) B doit ˆ etre en c ou c’ : impossible

Fig. 7 – Preuve qu’une configuration est impossible On distingue les cas suivant la position de l’arˆete issue de A. Chaque position entraˆıne des 6

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arˆetes obligatoires : soit parce qu’il faut remplir une partie o` u il n’y a pas d’extr´emit´es : il faut donc entrer et sortir de cette partie, soit `a cause des couleurs : si on entre dans une partie impaire par une case noire on doit ressortir par une case noire, soit parce qu’il y a un sommet qui n’a plus que deux voisins possibles. On arrive ensuite `a des situations impossibles, g´en´eralement ´a cause des couleurs : par exemple, on doit avoir un chemin dans une grille impaire entre une case noire et une case blanche. Toutes les configurations qui v´erifient les conditions de coloration et qui ne correspondent pas `a l’un des cas ci-dessus sont r´esolubles. On le montre par induction en utilisant des m´ethodes similaires ` a celles de la figure 5 (elles seront d´ecrites plus pr´ecis´ement ensuite) : on r´eduit les probl`emes en enlevant des “bandes”de largeur 2 vide et en prolongeant le chemin. Quand on ne peut enlever de telles bandes, les deux points sont alors “proches”des bords et on peut couper la grille en deux pour avoir un point de chaque cˆot´e. On r´esoud alors chacune des nouvelles grilles en mettant des nouveaux points au niveau de la fronti`ere. (Voir [1] pour une r´esolution compl`ete).

1.3

Vers d’autres dimensions. . .

Une premi`ere extension du probl`eme est d’utiliser des grilles de dimension plus grande. Nous introduisons donc des d´efinitions similaires aux pr´ec´edentes : Definition 2. La grille infine Gd∞ en dimension d est le graphe dont les sommets sont les sommets de Zd et deux sommets sont voisins s’ils sont ` a une distance arithm´etique 1. Un graphe de grille de dimension d finie et un sous graphe de Gd∞ induit par les noeuds : elle est enti`erement d´ecrite par l’ensemble de ses sommets. Un bloc de dimension d de taille n1 × . . . × nd est un graphe de grille de dimension d finie isomorphe au graphe de grille dont les sommets x v´erifient : ∀i ∈ [1; d], 1 6 xi 6 nd Et on se pose la mˆeme question : Probl` eme 3. Dans un bloc de dimension d, on se donne deux sommets. Existe-t-il un chemin hamiltonien dont les extr´emit´es sont ces deux points ? On peut colorier de la mˆeme mani`ere les blocs et on garde la mˆeme condition de coloration. Le th´eor`eme suivant r´epond ` a cette question. Th´ eor` eme 2. Soit G un bloc de dimension d > 3, de taille n1 × . . . × nd , avec ∀i ∈ [1; d], ni > 1. Soit deux sommets A et B de ce bloc, alors : – il y a un chemin hamiltonien entre A et B si et seulement si les deux points v´erifient la condition de coloration, – si le bloc est pair, pour toute arˆete pq du bloc, il existe un circuit hamiltonien contenant l’arˆete pq Remarque. Le deuxi`eme r´esultat se d´eduit directement du premier en prenant A = p et B = q, mais il sera utile pour la preuve du th´eor`eme. D´emonstration. On raisonne par r´ecurrence sur la taille et la dimension du bloc. Etape 1 : Bloc de dimension 3 de taille 2 × n × m La figure 8(a) fixe les notations. On distingue les cas suivant la position des deux points. Si les deux points sont dans des coins (ils n’ont que 3 voisins) et que A1 6= B1 , ils ne sont pas dans le mˆeme plan n × m, on construit facilement un chemin (on remplit d’abord le premier plan m × n, puis le deuxi`eme, voir la figure 8(b). C’est possible car les grˆace aux couleurs : on change de couleur quand on change de plan) Si A1 = B1 , on coupe un plan pair dans lequel il y a A mais pas B et on “d´eplace”A dans le bloc restant, pour utiliser le cas pr´ec´edent. Sinon, par exemple, A n’est pas dans un coin, on “essaye”de le mettre dans un coin. A2 6= 1 et A2 6= m ou A3 6= 1 et A3 6= n. Supposons que A2 6= 1 et A2 6= m, alors m > 2, et on enl`eve un cˆot´e vide (B ne peut ˆetre dans les deux cˆot´es selon e2 de taille 2 × n. Il y a un circuit hamiltonien dans le cˆot´e enlev´e (grille paire), un chemin hamiltonien dans le bloc entre A et B (par induction) (ce bloc est bien de dimension 3, les couleurs sont bonnes ), on recolle dans un coin libre (voir la figure 8(c)). 7

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(a) Notations

(b)

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(c)

Fig. 8 – Etape 1 Etape 2 : Les autres blocs pairs d pair). On coupe un bloc de dimension d − 1 suivant ej , tel que le bloc soit pair (soit n1 ×...×n nj S’il n’y a pas de point dans la tranche, par induction, il y a un chemin entre A et B dans le bloc restant (mˆeme parit´e, mˆeme couleur et dimension > 2). Dans un coin libre sur le cˆot´e coup´e, il y a une arˆete pq dans le chemin perpendiculaire `a la direction de ej (il y a deux arˆetes, et une seule peut ˆetre dans la direction ej . On projette cette arˆete dans la tranche en une arˆete p0 q 0 , et on construit un circuit hamiltonien dans la tranche qui contient l’arˆete p0 q 0 . On enl`eve les deux arˆetes pq et p0 q 0 et on rajoutte les arˆetes pp0 et qq 0 . (Fig. 9(a)) S’il y a un seul sommet A dans la tranche, il y a un coin p libre dans cette tranche dont la couleur est compatible avec celle de A (la tranche est pair), on r´ealise un chemin entre A et p (si d=3, la tranche est de dimension 2, mais avec un coin on peut toujours faire un chemin si les couleurs sont compatibles). On projette p0 sur la premi`ere tranche du bloc restant. p0 est de la mˆeme couleur que A, il y a donc un chemin entre p0 et B, on rajoutte l’arˆete pp0 pour avoir le chemin entre A et B. (Fig. 9(b)) S’il y a deux points dans la tranche, on coupe de l’autre cˆot´e : il n’y a pas de points.

(a) Pas de point dans la tranche

(b) Un point dans la tranche

Fig. 9 – En dimension d. . .

Etape 3 : Les blocs impairs En dimension 2, la condition de coloration est suffisante pour les grilles impaires : on s’y ram`ene donc. Dans la direction e1 , on enl`eve des blocs de dimension d de taille 2 × n2 × . . . × nd . S’il n’y a pas de points, on enl`eve le bloc en recollant dans un coin libre (de la mˆeme mani`ere qu’en figure 9(a)). S’il y a un point, on fait un chemin entre ce point et un point de la couleur minoritaire p qui est sur le cˆ ot´e frontalier. On projette p0 sur le bloc restant et on recolle les chemins (comme dans la figure 9(b)). S’il y a deux sommets, on coupe de l’autre cˆot´e.

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Quand le chemin devient un arbre. . .

Nous ´etendons ici le probl`eme d’une autre mani`ere en rajoutant des points et en transformant les chemins en arbres. Cette extension a constitu´e la plus grande partie de mes recherches (environ 3 semaines du stage). Probl` eme 4. Si maintenant on se fixe non plus deux sommets dans la grille mais k sommets, existe-t-il un arbre recouvrant la grille dont les feuilles sont exactement ces sommets ?

(a) Donn´ ees du probl` eme

(b) Mauvaise solution

(c) Bonne solution

Fig. 10 – Extension du probl`eme La figure 10(a) montre comment le probl`eme se pr´esente. La figure 10(b) n’est pas une solution : on a bien un arbre recouvrant, mais un des sommets choisis n’est pas une feuille de l’arbre et au contraire, une feuille de l’arbre n’est pas un sommet choisi. La figure 10(c) est une bonne solution.

2.1

Historique des recherches

J’ai d’abord cherche´e et r´esolu le cas de trois sommets. La d´emonstration a ´et´e longue et laborieuse, car je voulais adopter la mˆeme m´ethode que pour deux sommets. Aussi, je pr´esente seulement les grandes lignes de ma d´emonstration. J’ai cependant r´edig´e la d´emonstration compl`ete. Ensuite, j’ai choisi de ne pas r´esoudre le cas de 4 points : une d´emonstration similaire aurait ´et´e encore plus lourde et je conjecturais que l’on pouvait r´esoudre le probl`eme pour un nombre quelquonque de sommets. J’ai donc cherch´e des r´esultats g´en´eraux. J’ai trouv´e des conditions n´ecessaires facilement exprimables. J’ai aussi r´esolu le probl`eme dans un cas particulier, mais je n’ai pas r´eussi ´ a r´esoudre le probl`eme g´en´eral. Parall`element, nous avons montr´e que le probl`eme pour un graphe de grille quelconque ´etait aussi NP-complet avec plus de points. Nous pensons qu’il y a une d´emonstration plus astucieuse pour r´esoudre le probl`eme avec 3 sommets qui utilise plus le r´esultat avec deux sommets et dont le principe permettrait de r´esoudre le probl`eme g´en´eral. Dans un soucis de clart´e, la structure de ce qui suit n’est pas celle des recherches : je montre d’abord la NP-compl´etude du probl`eme, ensuite les remarques et propri´et´es g´en´erales sur le probl`eme. Enfin, je traite le cas des grilles rectangulaires avec 3 sommets puis k sommets, et je donne quelques id´ees que nous avons eues mais que nous n’avons pas eues le temps d’approfondir.

2.2

NP-compl´ etude

On montre par induction le th´eor`eme : Th´ eor` eme 3. Le probl`eme est NP-complet pour un graphe de grille fini avec k > 2 sommets choisis au d´epart. 9

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D´emonstration. Les probl`emes sont dans NP. On raisonne par induction sur le nombre k de sommets choisis. Le r´esultat pour k = 2 a ´et´e vu en premi`ere partie. Pour k > 2, on prend une instance du probl`eme avec k − 1 sommets : un graphe de grille G0 fini et k − 1 sommets de ce graphe. On va rajouter un sommet. Soit une arˆete uv sur le bord du graphe de grille, on lui rajoute le motif de la figure 11(a) qui comporte un nouveau sommet X, on note ce nouveau probl`eme G1 .

(a)

(b)

Fig. 11 – NP-compl´etude Lemme 3. G1 a une solution si et seulement si G0 a une solution contenant l’arˆete uv D´emonstration. S’il y a une solution au probl`eme G1 , b et c (voir le dessin pour les notations) ne sont pas des sommets choisis, ils sont de degr´e 2 dans l’arbre, les arˆetes ac et ab doivent donc ˆetre dans l’arbre, ainsi que aX, a est donc de degr´e 3, c’est un noeud de l’arbre. On obtient une solution au probl`eme initial contenant l’arˆete uv en enlevant le motif et en rajouttant l’arˆete uv (on a toujours un arbre, qui comporte k − 1 feuilles, c’est donc une solution). Inversement, une solution au probl`eme initial contenant l’arˆete uv donne une solution au probl`eme G1 en rempla¸cant uv par l’arbre de la figure 11(b). 

ux = min{ax , a ∈ G} , u est de degr´e 1 ou 2 et uv est une arˆete du bord du uy = max{by , bx = ux , b ∈ G} graphe. On distingue alors les cas : Soit

u est de degr´ e 1 ou n’est pas un sommet choisi : Alors, on prend v un de ses voisins, l’arˆete uv est obligatoirement pr´esente dans une solution. On rajoute le motif et par le lemme 3 les deux probl`emes sont ´equivalents. u est de degr´ e 2 et c’est un sommet choisi : Soient v et v 0 ses deux voisins. On copie le probl`eme : soient G1 et G01 les probl`emes o` u l’on rajoute respectivement le motif `a l’arˆete uv et `a l’arˆete uv 0 . S’il y a une solution ` a G0 , u est de degr´e 1 dans l’arbre solution, son voisin est v ou v 0 , et l’arbre contient l’arˆete uv ou l’arˆete uv 0 . Il y a donc une solution contenant l’arˆete uv ou une solution contenant l’arˆete uv 0 . Donc, d’apr`es le lemme 3, G1 ou G01 a une solution. R´eciproquement, si G1 ou G01 a une solution, G0 a une solution. On teste donc G1 , si G1 n’a pas de solution, on teste G01 . La r´eduction est bien polynomiale.

2.3

Conditions N´ ecessaires

Les conditions suivantes sont valables pour des graphes de grilles et un nombre de sommets choisis quelconques. 10

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Coloration On g´en´eralise les conditions de coloration : Definition 3. Notons  la diff´erence entre le nombre de cases de couleur majoritaire et les autres. Un probl`eme est compatible au niveau des couleurs s’il v´erifie la condition suivante. : – si  > 0, il doit y avoir au moins  + 1 cases de la couleur majoritaire parmi les cases choisies  + 1 cases noires parmi les cases choisies ; – si  = 0, il doit y avoir une case de chaque couleur parmi les cases choisies. Lemme 4. Si un probl`eme a une solution, il est compatible au niveau des couleurs. D´emonstration. On raisonne par induction sur le nombre k de cases choisies et la taille du graphe de grille : k = 2, graphe de grille de taille quelconque. On consid`ere une solution au probl`eme. Si les deux cases choisies sont de couleur diff´erente, le chemin hamiltonien qui les relie, donc le graphe de grille, comporte autant de cases noires que de cases blanches,  = 0 et il y a  + 1 = 1 case noire choisie et 1 case blanche choisie. Si les deux cases sont de mˆeme couleur, par exemple noire, le chemin comporte une case noire de plus,  = 1 et il y a bien  + 1 = 2 cases noires choisies. Le probl`eme est donc compatible au niveau des couleurs. On suppose le r´esultat vrai pour k − 1 > 2 sommets choisis sur un graphe de grille avec N 0 6 N sommets. Soit un graphe de grille G0 comportant N sommets et k sommets dans ce graphe. On suppose qu’il y a  > 0 sommets noirs de plus dans le graphe de grille (quitte `a ´echanger les couleurs). Supposons que le probl`eme ait une solution pour notre graphe de grille et soit un arbre T recouvrant le graphe avec comme feuilles exactement les k sommets. On choisit une feuille x de l’arbre et on note u le dernier ancˆetre de x de degr´e 2. S’il n’y a que des feuilles blanches, x est blanc, en enlevant le chemin x − u de l’arbre, on ne d´econnecte pas l’arbre et il y a 0 > 0 cases noires de plus dans le nouveau graphe (le chemin x − u ne peut comporter une case noire de plus que de cases blanches). Par induction, il y a donc une feuille noire : on obtient une contradiction. On peut donc prendre x noir. Dans le pire des cas, u est noir, il y a une case noire de plus que de cases blanches dans le chemin xu. Si  = 0, il y a dans le graphe de grille priv´ee du chemin xu, une case blanche de plus. Ce nouveau probl`eme a une solution (l’arbre priv´e du chemin xu), donc par induction, il y a au moins un sommet choisi blanc. Il y avait donc au moins un sommet choisi blanc et un sommet choisi noir au d´epart. Sinon, il y a dans le graphe priv´e de xu,  − 1 > 0 cases noires de plus que de cases blanches, donc, par induction,  cases noires choisies en plus dans ce graphe. Il y avait donc dans le graphe initial au moins  + 1 cases noires choisies. Ce probl`eme est donc compatible au niveau des couleurs. Connexit´ e et Libert´ e Definition 4. Le probl`eme est dit connexe si quand on enl`eve k 0 sommets parmi les k sommets choisis, le graphe est encore connexe. Le probl`eme est compatible au niveau des libert´ es si la condition suivante est v´erifi´ee : si on enl`eve k 0 sommets parmi les k sommets choisis, il y a au plus k 0 sommets parmi les cases non choisies qui sont de degr´e 1.

Fig. 12 – Exemple de probl`eme compatible au niveau des couleurs mais pas des libert´es

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Lemme 5. Si le probl`eme a une solution, il est connexe et compatible au niveau des libert´es. D´emonstration. Soit un probl`eme avec k sommets ayant une solution. On prend un arbre recouvrant solution, en enlevant k 0 de ses feuilles, l’arbre est encore connexe, donc le graphe aussi. Il y a au plus k sommets de degr´e 1 : les feuilles du nouvel arbre. Parmi elles, il y a au plus k 0 sommets qui ne sont pas des sommets choisis au d’epart.

2.4 2.4.1

Remarques g´ en´ erales sur les grilles rectangulaires Formalisme

On se fixe des conventions et notations sur les grilles rectangulaires que l’on va ´etudier ensuite (A est un sommet de la grille) : – m est le nombre de colonnes, n le nombre de lignes – le coin en bas ` a gauche est le sommet (1,1), il est donc noir, et, si la grille est impaire, la couleur majoritaire est le noir, – L(A) (resp. C(A)) d´esigne l’indice de la ligne (resp. colonne) qui contient A, – G6A (reps. GA etG>A ) d´esigne la grille induite par les sommets qui ont une abscisse plus petite (resp. strictement plus petite, plus grande et strictement plus grande) que celle de A, – Ci (resp. Li ) d´esigne la colonne (resp. la ligne) d’indice i. 2.4.2

Ce que deviennent les conditions n´ ecessaires

La condition de coloration pour les grilles rectangulaires est la suivante (la couleur dominante est le noir) : si la grille est impaire, il faut au moins 2 sommets noirs choisis, si la grille est paire, il faut un sommet de chaque couleur. (En effet, si la grille est impaire, il y a une case noire de plus, si la grille est paire, il y a autant de cases noires que de cases blanches.) Les probl`emes de libert´es sont en g´en´eral (ce sont les seuls cas que j’ai rencontr´es) du `a des configurations similaires ` a celles de la figure 13 : sur un bord de longueur impair, un sommet sur deux est choisi en commen¸cant par le deuxi`eme sommet. En effet, quand on enl`eve tous ces sommets (ici les 3 de la premi`ere ligne) on obtient un sommet de plus de degr´e 1 (ici, on aura 4 sommets de degr´e 1).

Fig. 13 – Probl`emes de libert´e 2.4.3

Cas interdits

Quelques configurations de d´epart sont dites interdites. Cela signifie que le probl`eme peut satisfaire les conditions n´ecessaires pr´ec´edentes mais n’a pas de solution. Nous aimerions pouvoir g´en´eraliser ces cas, trouver une condition plus simple `a respecter qui englobe tous les cas. Je liste ici les cas interdits que j’ai recens´e, mais il y en a surement d’autres. (Je d´ecrit les points choisis) Un probl`eme est interdit s’il est isomorphe `a l’un des cas suivants : I1 : n = 3, m > 6 pair, un blanc et que des noirs. Le sommet blanc est le plus `a gauche (strictement), s’il n’est pas sur la deuxi`eme ligne, la colonne `a sa droite est vide. (Fig. 14(a)) I2 : n, m pairs, tous les blancs de la derni`ere colonne et de la premi`ere ligne sauf les coins, rien d’autre sur cette colonne et cette ligne. (Figure 14(b)) Ou n impair, m pair, tous les noirs de la premi`ere colonne sauf les coins, tous les noirs de la premi`ere ligne et de la derni`ere ligne, sauf les coins. 12

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I3 : il n’y a que 3 sommets A,B et C, et n = 3, m est impair, A est blanc B et C sont noirs, C(A) = C(B) + 1 = C(C) − 1, L(B) = L(C) = 1, L(A) = 3 (Fig. 21(d)) I4 : s’il n’y a que deux sommets et que n = 3, m est pair, A est blanc, B est noir et C(A) < C(B)−1 ou L(A) = 2 et C(A) < C(B) (voir partie 1.2.2)

(a) I1

(b) I2

(c) I3

Fig. 14 – Exemple de cas interdits

Lemme 6. Ces probl`emes n’ont pas de solutions. D´emonstration. La preuve pour I4 a ´et´e vue `a la partie 1.2.2 Pour les cas I1 et I3, la m´ethode globale est la mˆeme, on raisonne par l’absurde en supposant que le probl`eme a une solution et on coupe l’arbre solution suivant une verticale. On ´etudie les cas selon les arˆetes qui traversent ou non cette verticale. Traitons par exemple le cas I1 lorsque le sommet blanc (que l’on appelle A) est sur la deuxi`eme ligne (L(A) = 2).

⇒

⇒ (a) Arˆ ete incidente ` aA

(b) Arˆ etes obligatoires pour remplir la partie gauche

(c) GA , il y a alors deux arbres avec de chaque cˆot´e une feuille blanche et le reste des 13

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Fig. 17 – Preuve de I1, cas 3 feuilles noires. Dans un tel arbre, il ne peut y avoir une case blanche de plus (voir les conditions de coloration), donc G>A ne peut avoir une case blanche en plus, c’est impossible. Il n’y a donc pas de solution. Pour le cas I2, la preuve est illustr´ee en figure 18. On “force”les arˆetes de l’arbre qui sont obligatoire en commen¸cant par les coins et on obtient un cycle.

⇒

⇒

(a)

(b)

(c) Cycle

Fig. 18 – Preuve de I2 La d´efinition suivante permet de regrouper tous les probl`emes qui n’ont pas de solutions : Definition 5. Un probl`eme est acceptable s’il est compatible au niveau des couleurs, de la connexit´e et des libert´es et qu’il n’est pas interdit. Je fais donc la conjecture suivante : Conjecture. Un probl`eme est r´esoluble si et seulement s’il est acceptable 2.4.4

Elements de r´ eduction

Je veux montrer qu’un probl`eme acceptable est r´esoluble en raisonnant par induction, je pars donc de probl`emes acceptables que j’essaye de r´eduire en des probl`emes acceptables plus petits. Voici les deux manieres de r´eduire la taille d’un probl`eme que j’utilise principalement. Je note S la grille form´ee par les colonnes 1 et 2, S 0 la grille form´ee par les colonnes m − 1 et m. Diminuer : Soit G1 = G0 \S. Il ne doit pas y avoir de points dans S. Alors, si on sait r´esoudre G1 , on sait r´esoudre G0 . En effet : soit T une solution pour la grille G1 . G0 est acceptable donc connexe, il y a donc une case libre sur la colonne 3 de G0 , cette case est de degr´e 2 dans T et 3 dans G1 . Il y a donc une arˆete de l’arbre qui relie deux cases adjacentes p et q de la colonne 3. Soit p0 et q 0 les voisins de gauche de p et q. Il y a un chemin hamiltonien entre p0 et q 0 dans S (d’apr´es les r´esultats pour deux sommets). On obtient un arbre pour G0 avec la construction illustr´ee dans la figure 19 (illustr´ee ici pour 3 sommets). Remarque. On peut de la mˆeme mani`ere diminuer en enlevant un bloc pair ` a gauche de plus de deux colonnes

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(a)

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(b)

Fig. 19 – Diminution

S´ eparer : On essaye de couper le graphe en deux parties disjointes acceptables, quitte `a rajouter des sommets : on choisit une arˆete pq dans la grille et on coupe perpendiculairement `a cette arˆete : G0 = G1 ∪ G2 (p ∈ G1 ), avec G1 et G2 non vide. Il faut que G1 et G2 soient acceptables dans cet ´etat (en contenant deux sommets choisis au d´epart dans les bonnes conditions donn´ees dans la premi`ere partie) ou en rajoutant le sommet p (pour G1 ) et \ ou le sommet q (pour G2 ) (on a alors soit 3 sommets, soit 2 sommets). Alors G0 est acceptable. En effet, si on a une solution pour chacun de nos deux nouveaux probl`emes, on relie les deux arbres avec l’arˆete pq et on obtient un bon arbre pour G0 . Un exemple est donn´e en figure 20 pour 3 sommets, il faut rajouter le sommet p pour r´esoudre G1 mais pas besoin de rajouter le sommet q pour r´esoudre G2 .

(a)

(b)

(c)

Fig. 20 – S´eparation Dans [1], on introduit la d´efinition des cas premiers : ce sont les cas que l’on ne peut ni diminuer, ni s´eparer : ce sont en g´en´eral des petits cas que l’on r´esout `a la main.

2.5

3 sommets

La plus grande partie de mes recherches a ´et´e consacr´ee au cas de trois sommets. J’ai r´eussi `a d´emontrer la conjecture pour 3 sommets : Th´ eor` eme 4. Un probl`eme ` a trois sommets est acceptable si et seulement s’il est r´esoluble La d´emonstration compl`ete est longue, je donne juste les grandes lignes ici. 2.5.1

Conditions n´ ecessaires et cas interdits

Les conditions de couleur sont les suivantes : si la grille est impaire (couleur noire majoritaire), il y a au moins deux sommets noirs choisis, si la grille est paire, il y a un sommet blanc et un sommet noir. Les cas interdits I1 et I2 se r´esument `a : I1 : n = 3, m est pair, m > 6, A est blanc B et C sont noirs, C(A) < min(C(B), C(C)) et L(A) = 2 (Fig. 21(a)) ou C(A) 6 min(C(B), C(C)) (Fig. 21(b)) 15

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I2 : n = m = 4, A est noir B et C sont blancs, B = (2, 1), C = (4, 3) et C(A) < 4, L(A) > 1 (Fig. 21(c)) Il ne faut pas oublier le cas I3.

(a) I1

(b) I1

(c) I2

(d) I3

Fig. 21 – Cas interdits `a trois sommets

2.5.2

Condition suffisante

Pour d´emontrer le r´esultat, je traite les petits cas (deux lignes et 3×3) s´epar´ement. Les quelques cas 3 × 3 sont illustr´es en figure 22.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Fig. 22 – Grilles 3 × 3 Pour deux lignes : soit A le sommet le plus `a gauche. Je s´epare en G6A , G>A et je prends p sur la mˆeme colonne que A et q si n´ecessaire de l’autre cˆot´e. J’essaye ensuite de r´eduire les “gros cas”(tous les autres cas). J’´etudie les cas suivant le nombre de points qu’il y a dans les deux premi`eres colonnes que je nomme S. S’il n’y a pas de point dans ces colonnes, j’essaye de diminuer. Je liste alors les probl`emes que je peux rencontrer (les cas o` u la grille restante n’est pas acceptable). Je ne peux pas diminuer dans les cas suivants : D1 : G\S n’est pas connexe D2 : G\S a un probl`eme de libert´e D3 : G\S est un cas interdit S’il y a un point dans S, j’essaye de s´eparer. Je ne peux s´eparer dans les cas suivants : S1 : Les couleurs ne sont pas compatibles S2 : On ne peut pas choisir d’arˆete pq S3 : G\S n’est pas connexe S4 : G\S a un probl`eme de libert´e S5 : G\S est un cas interdit Pour chaque possibilit´e, je tire des informations sur la position des sommets choisis. Ensuite, j’essaye de d´ecouper selon les deux derni`eres colonnes. Si j’ai encore un probl`eme, je r`egle le cas en d´ecoupant autrement. (On se retrouve g´en´eralement dans des petits cas)

2.6

k sommets ?

La m´ethode utilis´ee dans [1] (en d´ecoupant des bandes de largeur 2) dont je me suis inspir´ee pour montrer le r´esultat pour 3 sommets am`ene une ´etude de cas d´ej`a tr´es lourde pour 3 sommets. Elle ne semble donc pas ad´equate pour traiter le cas de 4 sommets. De plus, elle ne permet pas d’´etablir de r´esultat g´en´eral pour k sommets. En effet, on peut cr´eer des situations de taille aussi

16

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Fig. 23 – Exemple de grille non s´eparable en deux grilles rectangulaires acceptables grande que l’on veut o` u l’on ne peut pas couper le probl`eme en deux de cette mani`ere : une partie a toujours un probl`eme de connexit´e alors que le probl`eme a une solution (voir figure 23). Nous pouvons cependant l’utiliser pour certains cas dont celui qui suit : On utilise la distance infinie sur une grille : d∞ (a, b) = max(|C(a) − C(b)|, |L(a) − L(b)|) On montre le r´esultat pour des probl`emes v´erifiant : – il y au plus un point blanc choisi – la distance entre deux points noirs est sup´erieure ou ´egale `a 3 On peut alors remarquer qu’il ne peut y avoir des probl`emes de connexit´e que si n = 2 et qu’un blanc et un noir sont dans la mˆeme colonne. Il ne peut y avoir des probl`emes de libert´es que pour n = 3. Le cas interdit I2 ne peut pas se produire. Il y a des probl`emes de couleur si la grille est impaire et qu’il n’y a qu’un seul noir (il faut alors rajouter un noir avec les bonnes conditions), ou pas de noir (il faut couper autrement). Sinon, on doit rajouter un blanc (on peut le mettre ou on veut) ou un noir dans une grille ou il n’y a qu’un blanc (on peut aussi le mettre o` u on veut). A partir de ces remarques, on essaye de d´ecouper en suivant le mˆeme sch´ema que pr´ecedement. Les d´ecoupages sont tr`es simples, il y a des difficult´es principalement pour les bandes de largeur 3.

2.7

Des id´ ees

A la fin du stage, nous avons eu d’autres id´ees que nous n’avons pas eu le temps de mettre en place. Nous avons pens´e ` a ´elargir un peu le probl`eme en ne cherchant pas un arbre mais une forˆet, en donnant les couleurs feuilles de chaque arbre. Cela permettrait des d´ecoupes plus simples tout en donnant le r´esultat pour les arbres. Nous voulions aussi utiliser plus le r´esultat pour deux sommets pour d´emontrer le r´esultat pour trois sommets, pour pouvoir faire une r´ecurrence ensuite. La principale id´ee que l’on a eu ´etait de relier deux des points et decouper le chemin au niveau du troisi`eme point et de recoller pour avoir un arbre. (voir figure 24) Tout le probl`eme est dans le recollement : cela n´ecessite de connaˆıtre la forme du chemin, et dans certain cas, il est impossible de recoller. Nous avons aussi pens´e ` a d´ecouper d’une autre mani`ere : en “d´ecoupant” des zones autour de chaque point, on fait des chemins dans chaque zone et on recolle les chemins ensuite. Mais comment d´efinir de la bonne mani`ere les zones, et comment raccrocher les chemins ensuite ? Les quelques essais que j’ai effectu´e avaient toujours beaucoup de contre exemple.

2.8

Conclusion sur ce probl` eme

Les recherches sur ce sujet sont loin d’ˆetre finies. Il reste bien sˆ ur `a d´emontrer notre conjecture, peut ˆetre avec une des id´ees pr´ec´edentes. Il serait bon aussi de trouver une preuve plus efficace pour trois sommets. Mais on peut aussi penser ` a d’autres extensions du probl`eme : ´etudier les grilles avec des trous, compter le nombre de chemins ou d’arbre (´etude commenc´ee dans [2]) , trouver le chemin avec le moins de “tournants” possible. . . 17

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(a)

(b) On relie B et C

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(c) On d´ eplace une arˆ ete issue de A pour avoir un arbre

Fig. 24 – Une id´ee

Les r´esultats obtenus pourraient se r´ev´eler utiles dans l’´etude de d’autres jeux comme le Clobber, un jeu ´etudi´e par des personnes de l’´equipe (voir par exemple le m´emoire de DEA de Laurent Beaudou [3])

3

Maths ` a modeler

Une autre partie du stage (une grosse semaine) a ´et´e consacr´ee `a la d´ecouverte de l’´equipe de recherche un peu particuli`ere qu’est MAM. J’ai essay´e d’apporter ma contribution `a leurs travaux.

3.1

Pr´ esentation de l’´ equipe

´ e) Maths `a J’ai ´et´e accueillie au sein de l’´equipe de recherche en technologie ´educative (ERT´ modeler (MAM) dont le noyau est l’´equipe de recherche Combinatoire Na`‘ive et Apprentissage des math´ematiques (CNAM) du laboratoire Leibniz de Grenoble. Le responsable de mon stage, Sylvain Gravier est le porteur du projet. Cette ´equipe est compos´ee de chercheurs en Math´ematiques Discr`etes et de chercheurs en Didactique des Math´ematiques qui poursuivent des recherches sp´ecifiques dans leur domaine. Les chercheurs en math´ematiques se penchent sur des probl`emes de math´ematiques discr`etes dont l’´enonc´e se comprend facilement (pavages, coloration, chemin. . . ). Ces chercheurs travaillent ensemble pour mettre les ´el`eves et le “grand public” en situation de recherche, qu’ils se posent des questions, qu’ils ´emettent des hypoth`eses, qu’ils prouvent leurs r´esultats, les transmettent, qu’ils r´efutent les th`eses des autres participants,. . . Bref, de les initier au monde de la recherche et de leur redonner goˆ ut aux math´ematiques Pour r´epondre ` a ces objectifs, MAM agit de diff´erentes mani`eres : – animation d’ateliers dans des classes `a partir de supports mat´eriels – partication ` a des manifestations scientifiques – formation de professeurs – cr´eation de CD-ROMs et d’un site internet La Valise (http ://www-leibniz.imag.fr/LAVALISE/) o` u certaines situations sont reprises – recherche sur des probl`emes de math´ematiques discr`etes et sur la mise en place de situations recherches

3.2

La d´ ecouverte de MAM

J’ai eu la possibilit´e de suivre plusieurs activit´es de MAM. D’abord, j’ai aid´e `a tenir le stand de MAM ` a la Kermesse des sciences, ´ev`enement organis´e par les Petits D´ebrouillards. Quelques situations ´etaient propos´ees. Notre rˆ ole ´etait d’expliquer les situations et de relancer les recherches. J’ai pu aussi assister ` a une formation de 3h `a l’IUFM de Grenoble. Les futurs maˆıtres ´etaient plac´es dans la position des ´el`eves : en situation de recherche. L’´equipe MAM a ensuite discut´e avec eux sur la possibilit´e de faire des ateliers MAM dans une classe. Enfin, j’ai pu participer plus activement `a un mini-atelier MAM dans une classe de primaire. Les ateliers habituels sont r´epartis sur un semestre ou sur une ann´ee enti`ere. Cela permet vraiment 18

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` la fin de aux ´el`eves de s’approprier le sujet, et de trouver tous seuls des r´esultats int´eressants. A l’atelier, une retransmission est pr´evue sous forme de s´eminaire. Vu les dates du stage, je n’ai pu coanimer qu’un atelier de deux heures, ce qui m’a permis de comprendre l’esprit de MAM (voir partie 3.3.2).

3.3

Ma participation ou comment vulgariser mon sujet de recherche

J’ai cherch´e ` a savoir comment diffuser mon sujet de recherche au public, de mani`ere `a ce qu’on puisse trouver des r´esultats int´eressants, sans que cele ne soit ni trop facile (donc sans donner trop d’indications, l’id´eal ´etant d’avoir le moins de choses `a dire) ni trop diffilement (pour ne pas se d´ecourager trop vite), et que l’on ait envie de chercher, d’o` u l’id´ee de faire cela en forme de jeu. Les questions auxquelles j’ai du repondre sont les suivantes : Quelle forme ? comment formuler le probl`eme ? Quelles ´etapes ? Le sujet a ´et´e pr´esent´e de deux mani`eres : sur internet, sous la forme d’une applet en Java, et dans un atelier MAM. La premi`ere forme n´ecessite des ´etapes pr´ecises, d’un niveau croissant de difficult´es, avec des explication claires et pr´ecises. Au contraire, pour la deuxi`eme forme, un support mat´eriel et facilement manipulable est n´ecessaire. Dans les deux cas, j’ai suivi mes ´etapes de recherche : je ne fixe d’abord qu’une extr´emit´e et apres les deux. 3.3.1

L’applet

On peut la voir ` a l’adresse suivante : www-leibniz.imag.fr/LAVALISE/chemins/chemin1.htm

La situation est pr´esent´ee sous forme d’un jeu. Au d´epart, il y a une grille avec une case rouge, la r`egle du jeu est : En partant de la case rouge, tu dois faire un chemin qui passe une seule fois par chaque case de la grille. Tu ne peux pas aller en diagonale. Il y a plusieurs ´etapes (une ´etape par page) : Etape 1 : une extr´ emit´ e, grille paire, case de d´ epart al´ eatoire. Ici, le joueur arrive facilement ` a trouver un chemin, et ce avec toutes les cases de d´epart Etape 2 : une extr´ emit´ e, grille impaire, premi` ere case de d´ epart ne marchant pas, cases suivantes al´ eatoires. Le joueur bloque sur cette case, il essaye avec d’autres, cela ne marche pas tout le temps Etape 3 : une extr´ emit´ e, grille impaire, choix de la case de d´ epart. Le joueur choisit ici lui mˆeme sa case pour essayer de comprendre quelles cases marchent, et les cases “qui marchent” sont retenues, s’il joue assez longtemps, un damier doit apparaˆıtre donnant l’id´ee de la coloration Etape 4 : une extr´ emit´ e, choix de la taille de la grille et du d´ epart. le joueur peut maintenant choisir la taille de la grille pour essayer de comprendre pourquoi avec la premiere grille cela marche tout le temps mais pas avec la deuxi`eme Etape 5 : deux extr´ emit´ es, choix de la taille de la grille et des extr´ emit´ es. Le probl`eme est plus compliqu´e (c’est exactement le probl`eme que je me suis pos´ee initialement) mais on peut utiliser facilement les r´esultats pr´ec´edents Etape 6 : compl` etement libre. On peut essayer ici avec plus de points, tous les param`etres sont r´eglables pour laisser le joueur faire ses recherches seul. J’ai rencontr´e ici un probl`eme pour d´ecrire simplement ce qu’est un arbre. R´ealiser cette applet m’a pris un certain temps (une petite semaine) car je ne connaissais pas du tout java. Je tiens ` a remercier Guillaume Piol, un stagiaire qui a r´ealis´e une bonne partie de La Valise et qui m’a donn´e tout le code de ses applets. Quelques mots rapides sur le code : il y a trois classes principales : l’application, la grille et la case. La case a plusieurs bool´eens attributs : libre, extr´emit´e, case actuelle, case choisie. . . Elle g`ere son affichage (en fonction de son ´etat), connait son p`ere et son fils dans le chemin, et ses cases voisines. La grille connait le nombre de cases, les cases de d´epart, teste si le jeu est bloqu´e, g`ere les ´etapes du jeu (pour les retours en arri`ere). . .

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L’application g`ere les coups (nouvelle partie, affichage du jeu, clique de la souris,. . . ), les param`etres du jeu (possibilit´e de choisir la case de d´epart, la taille de la grille. . . ) 3.3.2

Le jeu

J’ai pu pr´esenter la situation `a l’occasion de l’atelier MAM. N’ayant pas beaucoup de temps pour fabriquer un support, j’ai utilis´e un support d´ej`a existant : c’est un plateau en bois avec des chevilles : cela forme un quadrillage. Avec une ficelle, on peut faire des chemins. L’´enonc´e donn´e ici ´etait de passer par tous les plots avec la ficelle, sans aller en diagonale et sans croiser la ficelle. Nous avons test´e ce jeu en parall`ele avec un probl`eme de pavage avec des dominos, car il pr´esentait des similitudes dans le raisonnement. Les ´el`eves ont r´efl´echi seulement une heure sur le sujet. Ils ont pu noter avec quels sommets cela marchait et remarquer un damier. Nous avons dˆ u beaucoup les aider dans leurs d´emarches. Avec les plus grands, nous avons commenc´e `a construire les chemins de mani`ere “m´ecanique”, et de prouver qu’il n’y a pas de chemin possible pour des petites grilles (en “for¸cant” le chemin). La dur´ee de l’atelier ´etait trop courte pour laisser les enfants compl`etement seuls devant le probl`eme, aussi j’aimerai bien tester le jeu sur un atelier plus long pour les laisser chercher seuls et pour pouvoir aller plus loin dans le probl`eme (passer `a deux sommets voire trois). Nous voudrions aussi faire une fiche p´edagogique destin´ee aux instituteurs pour pouvoir mettre en place cette situation dans des classes. Je pense qu’un support plus manipulable `a base de carr´es o` u des traits permettrait une autre approche du probl`eme : on pourrait faire le chemin par “bouts” et rejoindre les morceaux apr`es, alors que le support actuel met plus l’accent sur le chemin que l’on construit en une seule fois, ce qui n’aide pas pour les d´emonstrations.

Conclusion Ce stage m’a permis de me familiariser avec le monde de la recherche. J’ai aim´e chercher sur un sujet ouvert ` a l’´enonc´e simple et partager mes id´ees avec d’autres personnes. J’ai d´ecouvert aussi le cˆ ot´e plus p´enible mais pourtant bien n´ecessaire qui est la r´edaction des r´esultats : comment formaliser les preuves que l’on fait “avec les mains” et ´ecrire de mani`ere lisible les innombrables petits cas. J’ai appr´eci´e le cˆot´e pluridisciplinaire de mon stage : chercher tout en gardant contact avec l’ext´erieur et faire partager mes recherches. J’ai appris `a r´ealiser des applets java et un peu de HTML, choses qui pourront ˆetre utile pour faire de la vulgarisation ou d’autres petits jeux. J’ai aussi vu les difficult´es que l’on peut rencontrer en essayant d’expliquer ce qu’on fait, la n´ecessit´e d’employer un langage adapt´e et des explications claires. En conclusion, ce stage a ´et´e tr`es enrichissant, l’accueil que j’ai re¸cu et le bon d´eroulement du stage me donnent de bonnes id´ees sur ce que j’aimerai faire dans quelques ann´ees.

R´ ef´ erences [1] A. Itai, C.H. Papadimitriou, and J. L. Swarcfiter. Hamilton paths in grid graphs. SIAM Journal on Computing, 11 :676–686, 1982. [2] K. Collins and L. Krompart. The number of hamiltonian paths in a rectangular grid. [3] Laurent Beaudou. Clobber et compagnie, promenons-nous dans les grilles. M´emoire de stage de recherche, M2 ROCO, 2006.

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