First and High Order Sliding Mode Observers to Estimate the

and increase of embedded electronic systems remain. The design of traction controller assumes that vehicle and wheel angular velocities are both available on ...
845KB taille 3 téléchargements 511 vues
ï

Ú·®-¬ ¿²¼ Ø·¹¸óÑ®¼»® Í´·¼·²¹ Ó±¼» Ѿ-»®ª»®- ¬± Û-¬·³¿¬» ¬¸» ݱ²¬¿½¬ Ú±®½»ÒòÕò Óù-·®¼·ï ô ßò ο¾¸·ï ô Óò Ñ«´¿¼-·²»ï ¿²¼ Ôò Ú®·¼³¿²î

ß¾-¬®¿½¬— In this work two ef•cient approaches to observe tire º±®½»- ¿®» ¼»ª»´±°»¼ò ̸» ½¿-½¿¼»¼ ±¾-»®ª»®-ô ¾¿-»¼ ±² Ú·®-¬ ±® Í»½±²¼ Ñ®¼»® Í´·¼·²¹ Ó±¼»-ô ¬± »-¬·³¿¬» ¬¸» ½±²¬¿½¬ º±®½»- ¿®» used. The contact forces are identi•ed as unknown inputs.

×ò × ÒÌÎÑÜËÝÌ×ÑÒ Ì¸» -¿º»¬§ »²¸¿²½»³»²¬ ¾»½±³»- ³±®» ¿²¼ ³±®» ·³°±®¬¿²¬ ·² ®»-»¿®½¸ ±² ¬®¿²-°±®¬¿¬·±² -§-¬»³-ò Í»ª»®¿´ -¿º»¬§ ³±²·¬±®ó ·²¹ -§-¬»³- ¸¿- ¾»»² ¿´®»¿¼§ ·³°´»³»²¬»¼ ±² ½¿®- øßÞÍô ÛÍÐ »¬½ò÷ ¿²¼ ·²½®»¿-» ±º »³¾»¼¼»¼ »´»½¬®±²·½ -§-¬»³- ®»³¿·²ò ̸» ¼»-·¹² ±º ¬®¿½¬·±² ½±²¬®±´´»® ¿--«³»- ¬¸¿¬ ª»¸·½´» ¿²¼ ©¸»»´ ¿²¹«´¿® ª»´±½·¬·»- ¿®» ¾±¬¸ ¿ª¿·´¿¾´» ±²ó´·²» ¾§ ¼·®»½¬ ³»¿-«®»ó ³»²¬- ¿²¼ñ±® »-¬·³¿¬·±²-ò Ê»¸·½´» ¼§²¿³·½- ¼»°»²¼- ´¿®¹»´§ ±² ¬¸» ¬·®» º±®½»- ©¸·½¸ ½¿² ¾» ®»°®»-»²¬»¼ ¾§ ¬¸» ²±²´·²»¿® º«²½¬·±²- ±º ©¸»»´ -´·°ò ̸«- ¬¸» µ²±©´»¼¹» ±º ¬·®» º±®½»- ·¿´-± »--»²¬·¿´ ¬± ¿¼ª¿²½»¼ ª»¸·½´» ½±²¬®±´ -§-¬»³- -«½¸ ¿- ¿²¬·ó ´±½µ ¾®¿µ·²¹ -§-¬»³- øßÞÍ÷ô ¬®¿½¬·±² ½±²¬®±´ -§-¬»³- øÌÝÍ÷ ¿²¼ »´»½¬®±²·½ -¬¿¾·´·¬§ °®±¹®¿³ øÛÍÐ÷ ÅïÃÅîÃò ر©»ª»®ô ¬·®» forces and road friction are dif•cult to measure and complex ¬± ®»°®»-»²¬ °®»½·-»´§ ¾§ -±³» ¼»¬»®³·²·-¬·½ ³±¼»´ »¯«¿¬·±²-ò ̸«- º±® ª»¸·½´»- ¿²¼ ®±¿¼ -¿º»¬§ ¿²¿´§-·-ô ·¬ ·- ²»½»--¿®§ ¬± »-¬·³¿¬» ¬¸» ½±²¬¿½¬ º±®½»- ÅíÃò ײ ´·¬»®¿¬«®»ô ¬¸»·® ª¿´«»- ¿®» ±º¬»² ¼»¼«½»¼ ¾§ -±³» »¨°»®·³»²¬¿´´§ ¿°°®±¨·³¿¬»¼ ³±¼»´ÅìÃôÅëÃôÅêÃÅéÃò λ½»²¬´§ô ³¿²§ -¬«¼·»- ±² ¬¸» ¬·®»ñ®±¿¼ ½¸¿®¿½¬»®·-¬·½- »-ó ¬·³¿¬»- ¬¸» ¬·®» º±®½»- ÅçÃôÅïðà ©»®» ¼»ª»´±°»¼ò Û-¬·³¿¬·±² with an extended Kalman •lter has been proposed in [11]. ̸» ³»¬¸±¼ ±º »-¬·³¿¬·±² ·² Åïîà «-»- ¿² »·¹¸¬ ¼»¹®»»- ±º º®»»¼±³ ª»¸·½´» ³±¼»´ ©·¬¸±«¬ ¼»¬»®³·²·-¬·½ ¬·®» º±®½»- ³±¼»´ò ß ®¿²¼±³ ©¿´µ ³±¼»´ ·- ¿¼¼»¼ ¬± °®»¼·½¬ ¬¸» «²µ²±©² º±®½»-ò ̸·- ³»¿²- ¬¸¿¬ º±®½»- ¿®» ½±²-·¼»®»¼ ¿- ¹»²»®¿¬»¼ ¾§ ¿ -¬±½¸¿-¬·½ °®±½»--ò Ù«-¬¿º--±² ·² Åïïà °®±°±-»¼ ¿ ¬·®»ñ®±¿¼ friction estimation method based on Kalman •lter to give ¿ ®»´»ª¿²¬ »-¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» ¿¼¸»®»²½» -´±°» ±º ¬¸» ½«®ª» ª»®-«- ©¸»»´ó-´·°ò Ý¿²«¼¿- ·² Åïíà °®±°±-»¼ «-» ±º ¬¸» Ô«Ù®» ³±¼»´ ¿²¼ ±¾-»®ª¿¬·±² ±º ¬¸» ¬·®»ñ®±¿¼ ½¸¿®¿½¬»®·-¬·½¾§ »-¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» ±² ´·²» ®±¿¼ ½±²¼·¬·±²-ò ײ ±«® °®»ª·±«- ©±®µ øÅïìÃ÷ô ³±¼»´·²¹ ±º ¬¸» ª»¸·½´» ©¿®»ª·-·¬»¼ ·² ¬¸» ±¾¶»½¬·ª» ±º ±²ó´·²» º±®½» »-¬·³¿¬·±² «-·²¹ ®±¾«-¬ -¬¿¬» ±¾-»®ª»®- ½±«°´»¼ ©·¬¸ ¿¼¿°¬·ª» »-¬·³¿¬·±² ±º contact forces. We have proposed a •rst order sliding mode ±¾-»®ª»® ¬± »-¬·³¿¬» ¬¸» ª»¸·½´» -¬¿¬» ¿²¼ ¬¸»² ¿² ¿¼¿°¬·ª» estimator for tire forces identi•cation. The designed observer ©¿- ¾¿-»¼ ±² ¿--«³°¬·±² ±º -´±© ¬·³» ª¿®·¿¬·±² ±º º±®½»-ò ̸» ï ÔÍ×Íô ÝÒÎÍ ËÓÎ êïêèò ܱ³ò ˲·ªò ͬ Öl»®˜ ±³»ô ߪ Û-½¿¼®·´´» Ò±®³¿²¼·»óÒ·»³»² ïííçé Ó¿®-»·´´» Ú®¿²½»å ³-·®¼·²à´-·-ò±®¹ î ËÒßÓ Ü»°¬ ±º ݱ²¬®±´ô Ü·ª·-·±² ±º Û´»½¬®·½¿´ Û²¹·²»»®·²¹ôÚ¿½«´¬§ ±º Û²ó ¹·²»»®·²¹ô Ý·«¼¿¼ ˲·ª»®-·¬¿®·¿ô ˲·ª»®-·¼¿¼ Ò¿½·±²¿´ ß«¬±²±³¿ ¼» Ó»¨·½±ô ðìëïðô Ó»¨·½±ô ÜòÚòô Ó»¨·½±

³¿·² ½±²¬®·¾«¬·±² ©¿- ¿¾·´·¬§ ¬± °®±¼«½» ±²ó´·²» »-¬·³¿¬·±² ±º º±®½»- ¿ª±·¼·²¹ «-» ±º ½±²¬¿½¬ ³±¼»´-ò ̸·- ©±®µ ¸¿- ¾»»² ¼±²» «-·²¹ ¿ -·³°´» ª»¸·½´» ³±¼»´ ½±«°´»¼ ©·¬¸ ¿°°®±°®·¿¬» »-¬·³¿¬·±² ±º º±®½»-ò ײ ¿ -»½±²¼ ¿°°®±¿½¸ Åíà ©» «-» -±³» ´·²»¿® ®»°®»-»²¬¿¬·±² ¿®±«²¼ ¿² ±°»®¿¬·²¹ °±·²¬ ø«-·²¹ ®»´¿¨ó ¿¬·±² ³±¼»´÷ò É» º±½«- ±«® ©±®µô ¿- ©·´´ ¾» °®»-»²¬»¼ ·² ¬¸·- °¿°»®ô ¬± ±²ó´·²» »-¬·³¿¬·±² ±º º±®½»- ¿ª±·¼·²¹ ¬¸» ½±³°´»¨ ³±¼»´-ò É» •rst estimate the vehicle state, rejecting the unknown input »ºº»½¬- ¿²¼ ¬¸»² ·¼»²¬·º§ ¬·®» º±®½»-ò ̸» ³¿·² ½±²¬®·¾«¬·±² ·¾«·´¼·²¹ ¿°°®±¿½¸»- º±® ±²ó´·²» »-¬·³¿¬·±² ±º «²µ²±©² ·²°«¬´·µ» ¬¸» ¬·®» º±®½» ²»»¼»¼ ±® ¿¼¸»®»²½» º±® ¿ ½±²¬®±´ò ̸» ¬·®» ³±¼»´- »²½±«²¬»®»¼ ¿®» ½±³°´»¨ ¿²¼ ¼»°»²¼ ±² -»ª»®¿´ º¿½¬±®- ø¿- ´±¿¼ô ¬·®» °®»--«®»ô »²ª·®±²³»²¬¿´ ½¸¿®¿½ó ¬»®·-¬·½-ô »¬½ò÷ò ̸·- ³¿µ»- ±²ó´·²» »-¬·³¿¬·±² ±º º±®½»- ¿²¼ °¿ó rameters dif•cult for vehicle control applications and detection ¿²¼ ¼·¿¹²±-·- º±® ¼®·ª·²¹ ³±²·¬±®·²¹ ¿²¼ -«®ª»·´´¿²½»ò Ú®±³ ¿²±¬¸»® ¸¿²¼ ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ °®±¾´»³- ¼»°»²¼ ¿ª¿·´¿¾·´·¬§ ±º -»²-±®-ò Ë-·²¹ ±²´§ »³¾»¼¼»¼ -»²-±®- ·² ¬¸» ¿½¬«¿´´§ -¬¿²¼¿®¼ ½¿®-ô ¬¸» ³±-¬ ®»°®»-»²¬¿¬·±² ³±¼»´- -«ºº»® º®±³ ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ ±º ¬¸» -§-¬»³ ·²°«¬-ò ̸·- ³»¿²- ¬¸¿¬ ©·¬¸ ¿ ½±³°´»¬» ³±¼»´ô ©» ½¿²²±¬ ±¾-»®ª» ¬¸» ½±²¬¿½¬ º±®½»-ò ̸·- ´»¿¼- ¬± ²»½»--·¬§ ±º «-» ±º »¨¬®¿ -»²-±®- ¬± ³»¿-«®» ·²¬»®³»¼·¿¬» ª¿®·¿¾´»-ò ̸» ³¿·² ·¼»¿ ±º ¬¸·- ©±®µ ·- ¬± »¨°´±·¬ ¬®·¿²¹«´¿®·¬§ °®±°»®¬§ ±º -±³» °¿®¬·¿´ ³±¼»´-ô ®±¾«-¬²»-- ±º -´·¼·²¹ ³±¼»- ±¾-»®ª»®and the •nite time convergence property to solve the problem by cascading robust observers (converging in •nite time) to ®»°´¿½» ´¿½µ·²¹ -»²-±®-ò ײ ¬¸·- °¿°»®ô ©» ¼»-½®·¾» ¬¸» ª»¸·½´» ³±¼»´·²¹ ·² ¬¸» ±¾¶»½¬·ª» ±º ±²ó´·²» º±®½» »-¬·³¿¬·±² «-·²¹ ®±¾«-¬ -¬¿¬» ±¾ó servers. We •rst present the •rst order sliding mode observer ©» ¸¿ª» °®»ª·±«-´§ °®±°±-»¼ ¿²¼ ¬¸»² ¼»-·¹² ¿² ±² ´·²» »-¬·³¿¬·±² ³»¬¸±¼ ¾¿-»¼ ±² ¼·ºº»®»²¬·¿´ ±¾-»®ª¿¬·±²-ò ̸» ³¿·² ½±²¬®·¾«¬·±² ·- ¸±© ¬± ¼»¿´ ©·¬¸ ±²ó´·²» »-¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» ¬·®» º±®½»-ô ¿ª±·¼¿²½» ±º ¬¸» ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ °®±¾´»³ ¿²¼ ½±²¬¿½¬ ³±¼»´-ô ¾§ ³»¿²- ±º ½¿-½¿¼·²¹ ±¾-»®ª»®- ¿²¼ »-¬·³¿¬±®-ò ̸» °¿°»® ·- ±®¹¿²·¦»¼ ¿- º±´´±©- æ -»½¬·±²- î ¼»¿´ ©·¬¸ ¼»-½®·°¬·±² ¿²¼ ³±¼»´·²¹ ±º ¬¸» ª»¸·½´»ò ̸» ¼»-·¹² ±º ¬¸» ±¾-»®ª»®- ·- °®»-»²¬»¼ ·² -»½¬·±² í ¿²¼ -±³» ®»-«´¬- ¿¾±«¬ ¬¸» -¬¿¬»- ±¾-»®ª¿¬·±² ¿®» °®»-»²¬»¼ ·² -»½¬·±² ìò ͱ³» ®»³¿®µ¿²¼ °»®-°»½¬·ª»- ¹·ª»² ·² ½±²½´«-·±²ò ××ò Ê ÛØ×ÝÔÛ ÎÑßÜ × ÒÌÛÎßÝÌ×ÑÒ Ó ÑÜÛÔ øÊÎ×Ó÷ ײ ¬¸» ´·¬»®¿¬«®»ô ³¿²§ -¬«¼·»- ¼»¿´ ©·¬¸ ª»¸·½´» ³±¼»´·²¹ ÅíÃôÅîÃò ̸»-» ¿®» ½±³°´»¨ ¿²¼ ²±²´·²»¿® -§-¬»³-ò ͱ³» ±º the proposed models are dif•cult to obtain and use in control. The most part of applications deal with simpli•ed and partial ³±¼»´-ò É» °®±°±-» ¿ ³±¼»´ ¬¸¿¬ ¬¿µ»- ·²¬± ¿½½±«²¬ ¬¸» ½±²¬¿½¬ »ºº»½¬- ¿- ·²°«¬- º±® ¬¸» ª»¸·½´» ¼§²¿³·½-ò

î

̸» »--»²¬·¿´ ¼§²¿³·½- ½¿² ¾» ½¿°¬«®»¼ ·² ¿ ²±³·²¿´ ³±¼»´ ®»°®»-»²¬·²¹ ¬¸» ´±²¹·¬«¼·²¿´ô ´¿¬»®¿´ ¿²¼ §¿©·²¹ ³±¬·±²- ø-»» •gure 1). The considered model represents the longitudinal, ´¿¬»®¿´ô §¿©·²¹ ³±¬·±²- ±º ª»¸·½´»- ¿²¼ ®±¬¿¬·±² ±º ¬¸» ©¸»»´-ô «²¼»® ¬¸» º±´´±©·²¹ ¿--«³°¬·±²- æ ï÷ ̸» »°·½»²¬»® ·- ¿--«³»¼ ¬± ¾» ±² ®±¿¼ ´»ª»´ î÷ Ò»¹´»½¬ ¬¸» ®±´´ô °·¬½¸ô ¿²¼ ª»®¬·½¿´ ³±¬·±²å í÷ The road is assumed perfectly •at ì÷ Neglect in•uence of aerodynamic side forces. Ò±³»²½´¿¬«®» ´±²¹·¬«¼·²¿´ ª»´±½·¬§ ±º ¬¸» ½»²¬»® ±º ¹®¿ª·¬§ ¨ ´¿¬»®¿´ ª»´±½·¬§ ±º ¬¸» ½»²¬»® ±º ¹®¿ª·¬§ § æ ¬¸» §¿© ª»´±½·¬§ Å Ã ·- ¬¸» ´±²¹·¬«¼·²¿´ º±®½» ¿°°´·»¼ ¿¬ ©¸»»´ ¨· ´¿¬»®¿´ º±®½» º±®½» ¿°°´·»¼ ¿¬ »¿½¸ ©¸»»´ §· ¬¸» ³±¬±® ½±«°´» ¿°°´·»¼ ¿¬ ©¸»»´ ³· ¬¸» ¾®¿µ·²¹ ½±«°´» ¿°°´·»¼ ¿¬ ©¸»»´ · ¬¸» ¬±¬¿´ ³¿-- ±º ¬¸» ª»¸·½´»ò ¼·-¬¿²½» ¾»¬©»»² ¹®¿ª·¬§ ½»²¬»® ¿²¼ º®±²¬ ¿¨·ï ¼·-¬¿²½» ¾»¬©»»² ¹®¿ª·¬§ ½»²¬»® ¿²¼ ®»¿® ¿¨·î îº ·- ¬¸» º®±²¬ ¸¿´º ¹¿«¹» î® ·- ¬¸» ®»¿® ¸¿´º ¹¿«¹» ¬¸» º®±²¬ ©¸»»´ -¬»»® ¿²¹´» ø®»¿® ©¸»»´ ® ã ð÷ º

æ

æ

ã º ¿²¼ ® ã ® ¿®» ¬¸» ®±¬¿¬·±² ª»´±½·¬·»- ±º ¬¸» º®±²¬ ¿²¼ ®»¿® ©¸»»´ò º ¿²¼ ® ¼»²±¬» ¬¸» ¼§²¿³·½ ®¿§- øº®±²¬ ¿²¼ ®»¿®÷å ߬ ¬¸·- -¬»°ô ©» ½¿² «-» »·¬¸»® ¬¸» ¼§²¿³·½- ±º ¬¸» º±«® ©¸»»´- ±® ½±²-·¼»® ¬©± »¯«·ª¿´»²¬ ©¸»»´- ø±²» ¿¬ ¬¸» º®±²¬ ¿²¼ ±²» ¿¬ ¬¸» ®»¿®÷ ¹·ª·²¹ »¯«·ª¿´»²¬ ¼§²¿³·½-ò ̸» ®»-«´¬·²¹ ³±¼»´ ·- ©»´´ µ²±©² ¿- ¾·½§½´» ³±¼»´ò ̸·- ¿ª±·¼¬¸» ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ °®±¾´»³ ©¸·½¸ ¿°°»¿® º±® ¬¸» ´¿¬»®¿´ º±®½»ø±²´§ ¬¸»·® -«³ ·- ±¾-»®ª¿¾´» ¿¬ ¬¸» º®±²¬ ¿²¼ ¿¬ ®»¿®÷ò ̸» ©¸»»´ ¿²¹«´¿® ³±¬·±² ®»¼«½»- ¬±æ º

æ º

ã

ï Ö

Å

º

¨ ´º ¨

Á ¨® ã Á §º ã

Ê»¸·½´» ³±¼»´

Á §® ã

̸» »¯«¿¬·±²- ±º ³±¬·±² ¿®» ¬¸»² ¹·ª»² ¾§æ ï Á ¨ ã Á § õ Åø ¨º´ õ ¨º® ÷ ½±-ø ÷ ø

§º´ õ §º® ÷ -·²ø ÷ õ ø ¨®´ õ æ ï Åø ¨º´ õ ¨º® ÷ -·²ø ¨õ

Á§ ã õø ¡ã

§º´

ï ¦

Å

õ

º ø ¨º´

® ø §®´

õ

§º® ÷

º ø §º´

õ

½±-ø ÷ õ ø

õ

§®´

¨º® ÷ -·²ø º ÷

§®® ÷

º ø ¨º´

§º® ÷ -·²ø

÷

§®® ÷à º ø §º´

õ

§º® ÷ ½±-ø

÷

¨º® ÷ ½±-ø

÷ ¨®® ÷Ã

® ø ¨®î´

̸» -«¾-½®·°¬¿²¼ ®»º»® ¬± º®±²¬ ¿²¼ ®»¿® ©¸»»´®»-°»½¬·ª»´§ò ̸» ®±¬¿¬·±² ³±¬·±² ±º ©¸»»´- ½¿² ¾» ¿¼¼»¼ ¿-æ ï æ ø º´ øî÷ º´ ã º´ ¨º ï ÷ ÿ

æ º® æ

ã

ø

º®

º®

ø

®´

®´ ¨®ï ÷

ø

®®

®®

ÿ

®´

ã

®®

ã

æ

ï ï

ÿ

ï

ÿ

¨º î ÷

¨®î ÷

ã

ï Ö

Å

®

¨® Ã

®

øí÷

´® § ¬º § ¬®

§

§

¨º

õ

¨®

õ

¨ ´º ¨ ´®

¨ ¬º ¨ ¬®

§º

§®

¨º ð

¨®ð

õ

õ

¨

õ

¨

¨

´® ¨ ¬º

õ

¨ ´º

¨

§º±

¨

º

´º ¨ ´®

®

º

®

øì÷

§®±

¨

ßò ̸» ÊÎ×Óæ Ê»¸·½´» α¿¼ ײ¬»®¿½¬·±² Ó±¼»´

÷

õ

®

øï÷

¨®® ÷Ã

õ

æ

¨º Ã

º ¿²¼ ® æ ¼»²±¬» ¬¸» ·²»®¬·¿ ±º ¬¸» º®±²¬ ¿²¼ ¬¸» ®»¿® »¯«·ªó ¿´»²¬ ©¸»»´ ®»-°»½¬·ª»´§ò É» ²±¬» º ¿²¼ ® ¬¸» ³±¬±® ¬±®¯«»¿°°´·»¼ ±² ¬¸» º®±²¬ ¿²¼ ®»¿® ©¸»»´ ®»-°»½¬·ª»´§ò ݱ«°´·²¹ ¼§²¿³·½ »¯«¿¬·±²- ©·¬¸ ¿² ¿°°®±°®·¿¬» º±®½» ¼»-½®·°¬·±² ·- ¿ º¿·®´§ ¹±±¼ ®»°®»-»²¬¿¬·±² ±º ¬¸» ª»¸·½´» ¾»¸¿ª·±®ò ̸» ³±¼»´ ½±²-·¼»®»¼ ·² »¯«¿¬·±²- øï÷øî÷ ¿²¼ øí÷ ²»»¼- ¬± ¾» ½±³°´»¬»¼ ¾§ ¿¼¼·²¹ ¬¸» ·²¬»®¿½¬·±²- ¾»¬©»»² ®±¿¼ ¿²¼ ¬¸» ©¸»»´-ò ݱ²¬¿½¬ »¯«¿¬·±²-ò Í»ª»®¿´ ¬·®» ½±²¬¿½¬ ³±¼»´- ¸¿- ¾»»² °®±°±-»¼ò Ó±-¬ ±º ¬¸»³ ¿®» »³°·®·½¿´ ¿²¼ ¼»°»²¼ ±² »¨°»®ó ·³»²¬- ¿²¼ ³»¿-«®»³»²¬ ½±²¼·¬·±²-ò ̸»·® ³±¬·ª¿¬·±²- ©¿«²¼»®-¬¿²¼·²¹ ±º ¬¸» ¬·®» ¾»¸¿ª·±® ¿²¼ -·³«´¿¬·±²-ò ß- ¿² »¨¿³°´»ô ¬¸» ³±-¬ °±°«´¿® ·- ¬¸» ±²» ±º п½»¶µ¿ Œ Ó¿¹·½ Ú±®³«´¿Œ ÅìÃò É» ½¿² ½·¬» ¿´-± ¬¸» CLF model (Coef•cient ±º Ô±²¹·¬«¼·²¿´ Ú®·½¬·±²÷ ÅèÃÅéà ±® ¬¸» ³±¼»´ ±º Ô«¹²»® Åêà ¿³±²¹ ¬¸»-»÷ò ̸» º±®½»- ³±¼»´ ½¿² ¾» ®»°®»-»²¬»¼ô ¼«®·²¹ ¿½½»´»®¿¬·±² °¸¿-»ô ¾§æ

Á ¨º ã

Ú·¹ò ïò

º

Let us de•ne the following state variables: ï ã Ì ø ·- ¬¸» °±-·¬·±² ª»½¬±® ¿²¼ ã ®÷ î æ º Ì ·- ¬¸» ª»´±½·¬§ ª»½¬±®ò ̸» º±®½» ª»½ó ø ¨ § º ®÷ ¬±® ·- ²±¬»¼ í ã ø ¨º ¨® §º §® ÷Ì ¿²¼ ·²°«¬ã ø º º ® ÷Ì ã ø ï î í ÷Ì Ì¸» ³±¼»´ ½¿² ¬¸»² ¾» ©®·¬¬»² ¿- º±´´±©- ø¼»¬¿·´»¼ »¯«¿¬·±²½¿² ¾» º±«²¼ ·² ÅíÃ÷æ Áï ã î Áî Áí ã Á

÷ î

í

í

õ

øë÷

Ì ¿®» ¬¸» °¿®¿³»¬»®- ¿²¼ ï î í ì ë ê é è÷ ÷ ·- ¬¸» ®»¹®»--·±² ª»½¬±® ±º ¿°°®±¨·³¿¬» ½±²¬¿½¬ ³±¼»´-ò ̸» ª¿®·¿¾´» ®»°®»-»²¬ ¿ ²±·-» ø¿--«³»¼ ½»²¬»®»¼ ¿²¼ ©¸·¬»÷ ±® -¬±½¸¿-¬·½ °»®¬«®¾¿¬·±² ©¸·½¸ ½¿² ¾» ½±²-·¼»®»¼ ¿- ¦»®± ·² ¿ •rst approach. Note that in this model we can either consider the •rst part of Á í as null or drop the second one.. The •rst ½¿-» ´»¿¼- ¬± ¿ -¬±½¸¿-¬·½ ³±¼»´ ¿- ½±²-·¼»®»¼ ·² Åïîà ¿²¼ ¬¸» -»½±²¼ ·- ¼»¬»®³·²·-¬·½ ¿- ·² ÅíÃò

í

É» ½±²-·¼»® º±®½»¿- «²µ²±©² ·²°«¬-ò ײ ¬¸» ¾»¹·²²·²¹ ±º ±«® ©±®µô ©» ¸¿ª» ½±²-·¼»®»¼ Á ã ð ø-»» ÅïðÃ÷ò Á ã ð ³»¿²- ¬¸¿¬ ¬¸»-» ª¿®·¿¾´»ã ø ¨º ¨® §º §® ÷Ì ¿®» ¯«¿-· ½±²-¬¿²¬÷ò ̸·- ¿--«³°¬·±² ³»¿²- ¬¸¿¬ ¬·³» ª¿®·¿¬·±² ±º º±®½»- ·- ª»®§ -´±©ò ̸·- ½±®®»-°±²¼ ¬± ¬¸» ³¿¶±® ½¿-»©¸»² ª»¸·½´» ¿®» ®±´´·²¹ ·² ²±®³¿´ ¸·¹¸©¿§ ±® -¬®¿·¬ ®±¿¼ò ߺ¬»® ¬¸¿¬ ©» ¸¿ª» °®±°±-»¼ Á ¬± ¬¿µ» ·²¬± î í ¿½½±«²¬ ª¿®·¿¬·±²- ±º ¬¸» -´±°» ø±® »¯«·ª¿´»²¬ -¬·ºº²»--÷ ·² ¬¸» ®«²²·²¹ ±°»®¿¬·²¹ °±·²¬ò Ò±© ©» »¨¬»²¼ ¬¸·- ³±¼»´ ¬± Á ¬± ¬¿µ» ·²¬± ¿½½±«²¬ ¬¸» -¬±½¸¿-¬·½ »ºº»½¬ î í »¨·-¬·²¹ ·² ¬¸» ¾»¸¿ª·±® ·² ¬¸» °²»«³¿¬·½ ®±¿¼ ½±²¬¿½¬ò

Þò ͧ-¬»³ Ѿ-»®ª¿¾·´·¬§ ̸» ³±¼»´ øë÷ ½¿² ¾» ©®·¬¬»² ·² ¬¸» -¬¿¬» º±®³ ¿- º±´´±©-æ Áã ø ÷ ã ø ÷

øê÷

©¸»®» ·- ¬¸» ª»½¬±® ±º ¬¸» ¿ª¿·´¿¾´» ³»¿-«®»³»²¬-ò ̱ °®±ª» ¬¸» ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ ±º ¬¸» -§-¬»³ øë÷ô ©» ½¿² «-» ¬¸» ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ ®¿²µ ½®·¬»®·±² ¾¿-»¼ ±² ¬¸» Ô·» ¼»®·ª¿¬·ª»ô ø¬¸·½±²½»°¬ ¹·ª»- ¿ ´±½¿´ ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ ½±²¼·¬·±²÷ò ײ ±®¼»® ¬± «-» ½±®®»½¬´§ ¬¸»-» ¬»½¸²·½¿´ ¬±±´ô ´»¬- «- ¼·-½«-- -±³» º»¿¬«®»¿¾±«¬ ¿ª¿·´¿¾´» ³»¿-«®»³»²¬- ò Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ±«¬°«¬ ±º ¬¸» -§-¬»³ øê÷ ¿®» ¿ª¿·´¿¾´» -»²-±®- ±«¬°«¬-ò Û¿-» ±º ³»¿-«®»- ¿²¼ ´±© ½±-¬ ´»¿¼ô ·² ¹»²»®¿´ô ¬± «²±¾-»®ª¿¾´» -§-¬»³-ò ׺ ±²´§ ª»´±½·¬·»- ¿®» ³»¿-«®»¼ ¬¸»² °±-·¬·±²- ½¿² ±²´§ ¾» ®»¬®·»ª»¼ ¾§ ·²¬»¹®¿¬·±² ¿²¼ ¿®» -«¾¶»½¬ ¬± ¼®·º¬-ò Let us •rst recall that the bicycle model have been consid»®»¼ ¬± ¿ª±·¼ ¬¸» °®±¾´»³ ±º ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ ±º ø´»¬ «- -¿§ ·¬ º±® ¬¸» ¬©± º®±²¬ ©¸»»´-÷ §º´ §º® ò Ѳ´§ ¬¸» -«³ §º´ õ §º® ¿½¬·²¹ ±² ¬¸» ¬©± º®±²¬ ©¸»»´-ô ¸¿- ¿² »ºº»½¬ ±² ¬¸» ³±¬·±² ±º ¬¸» ª»¸·½´»ò ̸» -¿³» ¸±´¼- º±® ¬¸» ®»¿® ©¸»»´-ò ̸»² ¬¸·°®±¾´»³ ·- ¿ª±·¼»¼ ¾§ ¬¿µ·²¹ ª·®¬«¿´ »¯«·ª¿´»²¬ ©¸»»´- ·² ¬¸» º®±²¬ ¿²¼ ¬¸» ®»¿® ±º ª»¸·½´»ò ׬ ·- »¿-§ ¬± ³»¿-«®» ©¸»»´- ¿²¹«´¿® °±-·¬·±²º´ º® ®´ ®® ¾§ °´¿½·²¹ »²½±¼»®- ·² ¬¸» ¿¨´»- ±® «-» ¬¸» ßÞÍ -»²-±®-ò ̸» ³»¿-«®»³»²¬ ±º ´±²¹·¬«¼·²¿´ ¿²¼ ´¿¬»®¿´ °±-·¬·±²¿²¼ §¿© ¿®» ³±®» °®±¾´»³¿¬·½ ¿²¼ ½±³°´»¨ò ̸»§ ¿®» not available and dif•cult to retrieve unless with complex ø¿²¼ »¨¬»®²¿´÷ ³»¿-«®»³»²¬ -§-¬»³-ò ͱ³» -»²-±®- »¨·-¬ º±® »-¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» ª»´±½·¬·»- ø ¨ § Á ÷ò ͱ ²»·¬¸»® ï ²±® î ã Á ï ã ø ¨ § Á º ® ÷Ì ø¬¸» ª»´±½·¬§ ª»½¬±®÷ ½¿² ¾» ½±²-·¼»®»¼ ½±³°´»¬»´§ ³»¿-«®¿¾´»ò ײ ¬¸» ·²½±³·²¹ -»½¬·±² ©» °®±°±-» ¬¸» «-» ±º ¬¸·®¼ ±®¼»® ¼·ºº»®»²¬·¿¬±® ¬± »-¬·³¿¬» ª»´±½·¬·»- ¿- ¬·³» ¼»®·ª¿¬·ª»- ±º ¬¸» ©¸»»´- ¿²¹«´¿® °±-·¬·±²- º´ º® ®´ ®® ò ̸» ©¸»»´¿²¹«´¿® ª»´±½·¬·»- º´ º® ®´ ®® ½¿² ¾» ½±²-·¼»®»¼ ¿available for measurements after a •nite time (necessary for ¬¸» ½±²ª»®¹»²½» ±º ¬¸» ¼·ºº»®»²¬·¿¬±®÷ò Ú±®½» ª»½¬±® ¹·ª»- ¬¸» «²µ²±©² ·²°«¬ã í ø ¨º ¨® §º §® ÷Ì ¿²¼ ¬¸» ·²°«¬ã ø º º ® ÷Ì ¿®» ¿´©¿§- ¿--«³»¼ ¿ª¿·´¿¾´» ´·µ» ¬¸» ³±-¬ ±º ®»-»¿®½¸ -¬«¼·»°®»-»²¬»¼ ·² ´·¬»®¿¬«®»ò

×××ò Í Ô×Ü×ÒÙ Ó ÑÜÛ Ñ ÞÍÛÎÊÛÎÍ ßò Ú·®-¬ Ñ®¼»® ÍÓ Ñ¾-»®ª»® É» ½±²-·¼»® ·² º¿½¬ ±²´§ »-¬·³¿¬·±² ±º î ô ¬¸» °¿®¬·¿´ -¬¿¬» ï ½¿² ¾» ±¾¬¿·²»¼ ¾§ ·²¬»¹®¿¬·±² ±º ¾î ò ̸» »-¬·³¿¬·±² »®®±® ·- ¬¸»² -±³» ¾±«²¼»¼ ¬»®³ ¼«» ¬± ·²¬»¹®¿¬·±² ½±²-¬¿²¬ò ̱ »-¬·³¿¬» ¾±¬¸ º±®½»- ¿²¼ ª»´±½·¬·»-ô ©·¬¸ ¿- ³»¿-«®»³»²¬ î ô ©» °®±°±-» ¬¸» º±´´±©·²¹ -´·¼·²¹ ³±¼» ±¾-»®ª»® ÅíÃæ ø æ ¾î ÷¾í õ õ î ø î ¾î ÷ æ øé÷ ¾í ¾î ¾í ø î ¾î ÷ í ©¸»®» ¾··- ¬¸» ±¾-»®ª»¼ -¬¿¬» ª»½¬±®-ô »î ã î ¾î ô »í ã ¾í ¿®» ¬¸» »-¬·³¿¬·±² »®®±®-ò ̸» ±¾-»®ª»® ¹¿·²- · ¿²¼ í ¬¸» «²µ²±©² °¿®¿³»¬»® ª»½¬±® will be de•ned thereafter. ̸» ¼§²¿³·½- ±º ¬¸» »®®±®- ½¿² ¾» ©®·¬¬»²æ ø æ »î ÷»í ø»î ÷ î æ øè÷ »í ã ø»î ÷ í ײ ¬¸·- ±¾-»®ª»® ©» »-¬·³¿¬» î ¿²¼ í ¿²¼ ®»¶»½¬ »ºº»½¬ ±º °»®¬«®¾¿¬·±² ¾î ¾í ÷ ¾ ò Ô»¬ «î í ®»½¿´´ ¬¸¿¬ ¬¸» ª¿®·¿¾´» ®»°®»-»²¬ -±³» ½»²¬»®»¼ ©¸·¬» ²±·-» ¿--«³»¼ ¾±«²¼»¼ -«½¸ ¿- ¬± ¾» -±³» -¬±½¸¿-¬·½ °»®¬«®¾¿¬·±²ò After convergence (in •nite time ð ÷ ©» ½¿² ®»¬®·»ª» º®±³ æ ð ã »í ã ø»î ÷ by a low pass •ltering to obtain í ¬¸» »-¬·³¿¬·±²  ã í ø»î ÷ò ̸»² ·²°«¬ º±®½»- ¿®» ¹·ª»² Ä ¾§ Â ã ¾î ¾í ÷ ¾ Âò î í ï÷ ݱ²ª»®¹»²½» ¿²¿´§-·-æ ̱ -¬«¼§ ¬¸» ±¾-»®ª»® -¬¿¾·´·¬§ô ´»¬ «- ½±²-·¼»® ¬©± -¬»°- ©·¬¸ ¬©± Ô§¿°«²±ª ½¿²¼·¼¿¬» º«²½¬·±²-æ î

ã ïî »Ìî »î

̸» ¬·³» ¼»®·ª¿¬·ª» ±º øè÷ô ©» ½¿² ©®·¬»æ æ î

ã »Ìî

¿²¼

í

ã ïî »Ìí »í

øç÷

æ

î

·- Á î ã »Ìî »î ò ß½½±®¼·²¹ ¬± »¯«¿¬·±² ÷»í

»Ìî

î

ø»î ÷

̸» ·²ª±´ª»¼ º±®½»- ¿®» ¾±«²¼»¼ô ¼« ¬± ´·³·¬¿¬·±² ±º ¬¸» -§-¬»³ °±©»®ò ̸» ¿ °®·±®· »-¬·³¿¬·±² ¾í ·- ¿´-± ¾±«²¼»¼ò ̸»² ©» ½¿² » ½±²-·¼»® ¬¸¿¬ µ»í µ å is a positive •nite constant. æ

Þ§ ½¸±±-·²¹ °±-·¬·ª» ³¿¬®·¨ î ø î ÷ ©» ¸¿ª» î 𠬸» -«®º¿½» »î ã ð ·- ¬¸»² ¿¬¬®¿½¬·ª»ô ´»¿¼·²¹ ¾î ¬± ½±²ª»®¹» ¬±©¿®¼î in a •nite time ð ÅíÃò Ó±®»±ª»®ô ·² ¿ª»®¿¹» ©» æ ¸¿ª» »î ã ð è ð ݱ²-»¯«»²¬´§æ ÷»í

ø»î ÷ ã ð

æ

Ȓ

÷

ï

ø»î ÷ øïð÷ æ ̸» ¬·³» ¼»®·ª¿¬·ª» Á í ã »Ìí »í ·- »¨°®»--»¼ «-·²¹ øè÷ ¾§ Áí ÷ ï î ø»î ÷÷Ì ¾î ¾í ÷ ¾ î í ø»î ÷÷ í ©¸»®» ¾î ¾í ÷ ¾ î í ݸ±±-·²¹ í ©» ±¾¬¿·² Á í ðò ͱ »í ¹±»- ¬± ¦»®± î

î

in a •nite time ï ̸»²ô »í 𠬸»®»º±®»ô î í ¾î ¾í ÷ ¾ ø» ÷ ð í î Ñ©·²¹ ¬± »î ã ð ¿²¼ »í ã ð è ï ô ©» ¬¸»² ¾ ¸¿ª» ¾î ¾í ÷ ¿²¼ ¬¸»² î í î í ø» ÷ í î ͱ ©» ½¿² ½±²½´«¼» ¬± ½±²ª»®¹»²½» ±º ¬¸» ³¿·² ª¿®·¿¾´»©» ¿®» ·²¬»®»-¬»¼ ·²ò É» ½¿² ¿´-± ²±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» °¿®¿³»¬»®- ½¿²

ì

¾» ®»¬®·»ª»¼ ¾«¬ ½±²ª»®¹»²½» ±º ¬¸»·® »-¬·³¿¬·±²- ·- ²±¬ °®±ª»¼ò Û¯«¿¬·±²- °®±ª» ¬¸¿¬ ¾ ·- ¿ ¬»½¸²·½¿´ ¬»®³ ·² ¬¸» ±¾-»®ª»® ¿²¼ ¬¸»² ·- ²±¬ ¿ ¹±±¼ »-¬·³¿¬·±²ò ׺ ·²ª»®-·±² ©±«´¼ ¾» °±--·¾´» ©» -»» ¬¸¿¬ »-¬·³¿¬·±²- ¿®» ¾·¿-»¼ ª¿´«»-ò ̸» ³¿·² °¿®¬ ±º ¬¸» ·²¬®±¼«½»¼ ¾·¿- ³¿µ»- ¬¸» »-¬·³¿¬·±²- ±º º±®½»- ¬± ½±²ª»®¹»ò ¾

î

í÷

ï

í

»¯ ø»î ÷

î÷ Í·³«´¿¬·±² ®»-«´¬-æ É» ¹·ª» -±³» ®»-«´¬- ¬± ª¿´·¼¿¬» ±«® ¿°°®±¿½¸ ¿² ¬¸» °®±°±-»¼ ±¾-»®ª»®ò ̸» º±®½»- ¿®» ¹»²»®¿¬»¼ ¾§ «-» ±º ¬¸» Ó¿¹·½ º±®³«´¿ ¬·®» ³±¼»´ ÅìÃò ̸» -¬»»®·²¹ ¿²¹´» ¿°°´·»¼ ·- -·²«-±·¼¿´ øð î øî ÷). The •gure (2) show ¬¸» ½±²ª»®¹»²½» ±º ¬¸» »-¬·³¿¬»¼ -¬¿¬» ª»½¬±®- ¬± ¬¸»·® ¿½¬«¿´ value in •nite time. In •gure (3) we show the asymptotic ½±²ª»®¹»²½» ±º ¬¸» ¬·®» º±®½» ¬± ¿½¬«¿´ ª¿´«»-ò ̸» °»®º±®³¿²½» ±º -´·¼·²¹ ³±¼» ±¾-»®ª»® ·- -¿¬·-º¿½¬±®§ò

Ú·¹ò îò

ͬ¿¬» ª»½¬±® ½±³°±²»²¬- øª»´±½·¬·»-÷

Ú·¹ò íò

˲µ²±©² ײ°«¬- ¿²¼ ¬¸»·® »-¬·³¿¬·±²-÷

æ ð æ æ

ã

ï

ã

î

ã

ð ï

ã ã

ï

î

ø

¾ã ææ

Þò Ø·¹¸ Ñ®¼»® Í´·¼·²¹ Ó±¼» Ѿ-»®ª»® øØÑÍÓ÷ ï÷ α¾«-¬ Ü·ºº»®»²¬·¿¬·±² Û-¬·³¿¬±® øÎÜÛ÷æ ײ ±®¼»® ¬± ¼»-·¹² ®±¾«-¬ ±¾-»®ª»®- ©» ©·´´ «-» ®±¾«-¬ »¨¿½¬ ¸·¹¸ ±®¼»® -´·¼·²¹ ³±¼» øØÑÍÓ÷ ¼·ºº»®»²¬·¿¬±®- °®±¼«½·²¹ ¾»-¬ °±--·¾´» »-¬·³¿¬»- ±º ¬¸» -«½½»--·ª» ¼»®·ª¿¬·ª»-ò ̱ »-¬·³¿¬» ¬¸» ¼»®·ª¿ó ¬·ª»- Á ÿ ¿²¼ ¡ÿ ¿²¼ ¿ª±·¼ ¼·®»½¬ ½¿´½«´¿¬·±²-ô ©» «-» ¬¸» í®¼ ó ±®¼»® »¨¿½¬ ®±¾«-¬ ¼·ºº»®»²¬·¿¬±® ÅïêÃ

ÿ¶

ø

î í

ð÷

ï

ø ï î

ø

ÿ÷

ð

ð÷

ï

õ

î

ï÷

î

©¸»®» ð ô ï ¿²¼ î ¿®» ¬¸» »-¬·³¿¬» ±º ÿ Á ÿ ¿²¼ ¡ÿ ô ®»-°»½¬·ª»´§ô · ð ã ð ï îò ˲¼»® ½±²¼·¬·±² ð ï î ¬¸» ¬¸·®¼ ±®¼»® -´·¼·²¹ ³±¼» ³±¬·±² ©·´´ ¾» »-¬¿¾´·-¸»¼ ·² a •nite time. The obtained estimates are ï ã Á ÿ ¿²¼ î ã ¡ÿ ¬¸»² ¬¸»§ ½¿² ¾» «-»¼ ·² ¬¸» »-¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» -¬¿¬» ª¿®·¿¾´»¿²¼ ¿´-± ·² ¬¸» ½±²¬®±´ò î÷ Ý¿-½¿¼»¼ Ѿ-»®ª»®- ó Û-¬·³¿¬±®-æ ײ ¬¸·- -»½¬·±² ©» ¼»ª»´±° ¿ ®±¾«-¬ ¬¸·®¼ ±®¼»® ¼·ºº»®»²¬·¿¬±® ¬± ¾«·´¼ ¿² »-¬·ó mation for identi•cation of the tire road friction (or forces). ̸» »-¬·³¿¬·±²- ©·´´ ¾» °®±¼«½»¼ ·² ¬¸®»» -¬»°- ¿- ½¿-½¿¼»¼ ±¾-»®ª»®- ¿²¼ »-¬·³¿¬±®- ·² ±®¼»® ¬± ®»½±²-¬®«½¬ ·²°«¬ ·²º±®ó ³¿¬·±² ¿²¼ -§-¬»³ -¬¿¬»- -¬»° ¾§ -¬»° ÅíÃò ̸·- ¿°°®±¿½¸ ¿ª±·¼- ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ °®±¾´»³- ¼»¿´·²¹ ©·¬¸ ·²¿°°®±°®·¿¬» «-» ±º ³±¼»´·²¹ »¯«¿¬·±²-ò Ú±® ¬¸» ª»¸·½´» -§-¬»³- ·¬ ·- ²±¬ °±--·¾´» ¬± ¾«·´¼ «° ¿ ½±³°´»¬» ³±¼»´ º±® ±¾-»®ª¿¬·±² ±º ¿´´ ¬¸» -§-¬»³ -¬¿¬»- «-·²¹ ¿ª¿·´¿¾´» -»²-±®-ò ̸«- ·² ±«® ©±®µô ©» ¿ª±·¼ ¬¸·- °®±¾´»³ ¾§ ³»¿²- ±º «-» ±º -·³°´» and cascaded robust observers converging in •nite time. The •rst step produces estimations of velocities. The second one »-¬·³¿¬» ¬¸» ¬·®» º±®½»- øª»®¬·½¿´ ¿²¼ ´±²¹·¬«¼·²¿´ ±²»-÷ ¿²¼ ¬¸» last step reconstruct the friction coef•cient. ̸» ®±¾«-¬ ¼·ºº»®»²¬·¿¬·±² ±¾-»®ª»® ·- «-»¼ º±® »-¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» ª»´±½·¬·»- ¿²¼ ¿½½»´»®¿¬·±²- ±º ¬¸» ©¸»»´-ò ̸» ©¸»»´¿²¹«´¿® °±-·¬·±²- ø º´ º® ®´ ®® ÷ ¿²¼ ¬¸» ª»´±½·¬§ ±º ¬¸» ª»¸·½´» ¾±¼§ ¨ ô ¿®» ¿--«³»¼ ¿ª¿·´¿¾´» º±® ³»¿-«®»³»²¬-ò ̸» °®»ª·±«- α¾«-¬ Ü·ºº»®»²¬·¿¬·±² Û-¬·³¿¬±® ·- «-»º«´ º±® ®»¬®·»ª¿´ ±º ¬¸» ª»´±½·¬·»- ø º´ º® ®´ ®® ÷ ¿²¼ ¿½½»´»®¿¬·±²ø Á º´ Á º® Á ®´ Á ®® ¿²¼ Á ¨ ÷ò ß- ¬¸»-» »-¬·³¿¬·±²- ½±²ª»®¹» in •nite time ð ô ©» ½±²-·¼»® ¬¸¿¬ ¬¸»§ ½¿² ®»°´¿½» -»²-±® ³»¿-«®»³»²¬- ¿º¬»® ¿ -¸±®¬ °»®·±¼ ð ÅïìÃò The estimation procedure is made of 3 steps. The •rst one °®±¼«½»- ®±¾«-¬ »-¬·³¿¬·±² ±º ª»´±½·¬·»- ¿²¼ ¿½½»´»®¿¬·±²-ò æ î -¬ ¾ ¾ í ¾÷ ï ͬ»°æ ã ð ã ¾ î ø æ

The estimation method based on •rst order sliding mode observer is then ef•cient and the proposed simpli•ed model ¿¼»¯«¿¬»ò Í·³«´¿¬·±² ®»-«´¬- ·´´«-¬®¿¬» ¬¸» ¿¾·´·¬§ ±º ¬¸·- ¿°ó °®±¿½¸ ¬± ¹·ª» »-¬·³¿¬·±² ±º ¾±¬¸ ª»¸·½´» -¬¿¬»- ¿²¼ ¬¸» ·²°«¬ ¬·®» º±®½»-ò ̸» ®±¾«-¬²»-- ±º ¬¸» -´·¼·²¹ ³±¼» ±¾-»®ª»®ô ª»®-«- °¿®¿³»¬»®-ô ³±¼»´ «²½»®¬¿·²¬·»- ¿²¼ ½¸¿²¹»- ±º ¬¸» ®±¿¼ ½±²¼·¬·±²-ô ¸¿- ¿´-± ¾»»² »³°¸¿-·¦»¼ ·² -·³«´¿¬·±²ò

ð¶ ð

ï

¾ã

æ

ï

ã¾

ïï

ïë æ

ø¾

ï

ø¾

ð÷ î

ø¾

ð÷

ï÷

The convergence of these estimates is guaranteed in •nite ¬·³» ð ò Ô»¬ «- ½±²-·¼»® øº±® ð ÷ ¬¸±-» »-¬·³¿¬»- ¿³»¿-«®»³»²¬-ô ¬¸»² ±¾-»®ª¿¾·´·¬§ ³¿§ ¾» ®»½±²-·¼»®»¼ò ײ ¬¸» -»½±²¼ -¬»° ø¿- î ¸¿- ¾»»² »-¬·³¿¬»¼÷ ©» ½¿² »-¬·³¿¬» ¬¸» º±®½»- ¨ ¿²¼ ¬¸» § ò î²¼ ͬ»° °¿®¬ æ ̸»² ¬± »-¬·³¿¬» ¨ ©» ½¿² «-» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²ô æ

æ

¾¨º î ÷ ¾ ¾ ®´ ã ø ®´ ¾ ®® ã ø ®® ÿ ¨®î ÷ øïï÷ ײ ¬¸» -·³°´»-¬ ©¿§ô ¿--«³·²¹ ¬¸» ·²°«¬ ¬±®¯«»- µ²±©²ô ¬¸·½¿² ¾» ®»©®·¬¬»² ·² º«²½¬·±² ±º -±³» °¿®¿³»¬»®- ¨ æ ¾ º´ ã æ

ï × ï ×

ø

º´

¾

ÿ ¨º ï ÷

¾ º® ã æ

¾ ÿ ¨®ï ÷

¨ø

֋

¨ø

÷

¨ø

÷

ï × ï ×

ø

º®

ÿ

øïî÷

ë

¬¸» ±«¬°«¬ ¨ ø ÷ ·- ´·²»¿® ·² ¬¸» °¿®¿³»¬»® ¨ ø ÷ ¬± ¾» »-¬·³¿¬»¼ ¸»®» ¿²¼ ¨ ø ÷ ·- ¬¸» ®»¹®»--·±² ª»½¬±® ©¸·½¸ ½¿² ¾» ¼»¼«½»¼îº®±³ ³»¿-«®»³»²¬-ô ¨ ø ÷ ã Å ¨º ï ¨º î ¨®ï ¨®î à æ í î í ê ¨ ø ÷ ãì

³

ºï

³

ºî ®ï ®î

®º ï

ºï æ ®º î ºî æ ®®ï ®ï æ ®®î ®î

ð

ºï

é ë

ð ð ð

ê ¨ ø ÷ì

ºî

ð ð

ð ð

®ï

ð ð é ð ë

ð

®î

̸» «²µ²±©² °¿®¿³»¬»® ª»½¬±® ½¿² ¾» »-¬·³¿¬»¼ «-·²¹ Î»ó ½«®-·ª» Ô»¿-¬ ͯ«¿®» øÎÔÍ÷ô ©» ¬¸»² ½¿² ¼»¼«½» ´±²¹·¬«¼·²¿´ º±®½»î¿¼ ͬ»° °¿®¬ æ Ú®±³ »¯«¿¬·±² øï÷ ©» ¿´-± ®»©®·¬» ¬¸» ´¿¬»®¿´ º±®½»- ¿- ¿ ´·²»¿® º«²½¬·±² ±² °¿®¿³»¬»®-æ § ø ÷ ã § ø ÷ § ø ÷ ©¸»®» § ø ÷ ã æ

ð î§

ï

ø ÷ã

ê ì

¡

-·² ½±-

§ ïø

º º §º ï

ï

-·² ½±-

º

ð

º

îõ º

§º î

Á¨ ø

¨º ï õ

ïõ

î ÷ -·²

§®ï

½±-

ø

ï

º

̸» ´±²¹·¬«¼·²¿´ ª»¸·½´» ¿½½»´»®¿¬·±²

Ú·¹ò éò

̸» ¿²¹«´¿® °±-·¬·±²-

ð -·²

§®î

¨º î ÷

Ú·¹ò êò

ø

º

î

§ø

¨®ï õ

î ÷ ½±-

õ

º

֋

-·²

í

¨®î ÷ ø

º

é ë î

ï÷

í÷ Í·³«´¿¬·±² ®»-«´¬-æ ײ ¬¸·- -»½¬·±²ô ©» ¹·ª» -±³» ®»-«´¬·² ±®¼»® ¬± ¬»-¬ ¿²¼ ª¿´·¼¿¬» ±«® ¿°°®±¿½¸ ¿²¼ ¬¸» °®±°±-»¼ ±¾-»®ª»®ò ײ -·³«´¿¬·±²ô ¬¸» º±®½»- ¿²¼ ¬¸» -¬¿¬» ¿®» ¹»²»®¿¬»¼ ¾§ «-» ±º ¿ ½¿® -·³«´¿¬±® ʻܧ²¿ò ̸» -¬»»®·²¹ ¿²¹´» ¿°°´·»¼ is shown in •gure (5). The brake Torque is shown in •gure (6). The •gure (7), (8) and (9) show the convergence of the estimated state vectors to their actual values in •nite time. In •gure (10) and (11) we show the asymptotic convergence of ¬¸» ¬·®» º±®½»-ò ̸» °»®º±®³¿²½» ±º -´·¼·²¹ ³±¼» ±¾-»®ª»® ·-¿¬·-º¿½¬±®§ò

Ó±¼»- ¬± »-¬·³¿¬» ¬¸» ½±²¬¿½¬ º±®½»-ò Í·³«´¿¬·±² ®»-«´¬- ¿®» °®»-»²¬»¼ ¬± ·´´«-¬®¿¬» ¬¸» ¿¾·´·¬§ ±º ¬¸·- ¿°°®±¿½¸ ¬± ¹·ª» »-¬·³¿¬·±² ±º ¾±¬¸ ª»¸·½´» -¬¿¬»- ¿²¼ ¬·®» º±®½»-ò ̸» ®±¾«-¬²»-±º ¬¸» -´·¼·²¹ ³±¼ ±¾-»®ª»® ª»®-«- «²½»®¬¿·²¬·»- ±² ¬¸» ³±¼»´ °¿®¿³»¬»®- ¸¿- ¿´-± ¾»»² »³°¸¿-·¦»¼ ·² -·³«´¿¬·±²ò ̸·- ©±®µ ©·´´ ¾» ¿°°´§ ¬¸·- ³»¬¸±¼ ¬± ¿² ·²-¬®«³»²¬»¼ ª»¸·½´»ò Ú·¹ò ìò

ͬ»»®·²¹ ¿²¹´»

Î ÛÚÛÎÛÒÝÛÍ Åïà ÖòØ¿®²»¼ô ÔòÖ±¸²-¬±²ô Ùòͽ¸¿®°ºò Ó»¿-«®»³»²¬ ±º Ì·®» Þ®¿µ» Åîà ÅíÃ

ÅìÃ

Ú·¹ò ëò

ÅëÃ

¾®¿µ·²¹ ̱®¯«»

×Êò Ý ÑÒÝÔËÍ×ÑÒ ×² ¬¸·- °¿°»®ô ©» ¸¿ª» ¼»ª»´±°»¼ ¿² »-¬·³¿¬·±² ³»¬¸±¼±´±¹§ º±® ª»¸·½´» ¼§²¿³·½- ¾¿-»¼ ±² Ú·®-¬ ¿²¼ Ø·¹¸óÑ®¼»® Í´·¼·²¹

Åêà ÅéÃ

Ú±®½»- ݸ¿®¿½¬»®·-¬·½- ¿- λ´¿¬»¼ ¬± ɸ»»´ Í´·° øß²¬·´±½µ÷ ݱ²¬®±´ ͧ-¬»³ Ü»-·¹²ò ÍßÛ Ì®¿²-ò ª±´ò éèô °°ò çðçóçîëô ïçêçò ØòÔ»» ¿²¼ Óò̱³·¦«µ¿ò ß¼¿°¬·ª» ª»¸·½´» ¬®¿½¬·±² º±®½» ½±²¬®±´ º±® ·²¬»´´·¹»²¬ ª»¸·½´» ¸·¹¸©¿§ -§-¬»³- ø×ÊØÍ-÷ ×ÛÛÛ Ì®¿²-ò ±² ײ¼«-¬®·¿´ Û´»½¬®±²·½-ô ª±´ò ëðøï÷ô Ú»¾®«¿®§ îððí ÒòÕò ÓùÍ·®¼·ô ßò ο¾¸·ô Òò ƾ·®· ¿²¼ Çò Ü»´¿²²»ò ÊÎ×Óæ Ê»¸·½´» α¿¼ ײ¬»®¿½¬·±² Ó±¼»´´·²¹ º±® Û-¬·³¿¬·±² ±º ݱ²¬¿½¬ Ú±®½»-ò ÌÓÊÜß ðìò í®¼ ײ¬ò ̧®» ݱ´´±¯«·«³ ̧®» Ó±¼»´- Ú±® Ê»¸·½´» ܧ²¿³·½- ß²¿´§-·- ß«¹«-¬ íðóíïô îððì ˲·ª»®-·¬§ ±º Ì»½¸²±´±¹§ Ê·»²²¿ô ß«-¬®·¿ п½»¶µ¿ô ØòÞòô Þ»--»´·²¹ô ×òæ Ó¿¹·½ Ú±®³«´¿ ̧®» Ó±¼»´ ©·¬¸ Ì®¿²-·»²¬ Ю±°»®¬·»-ò î²¼ ײ¬»®²¿¬·±²¿´ ̧®» ݱ´´±¯«·«³ ±² ̧®» Ó±¼»´- º±® Ê»¸·½´» ܧ²¿³·½ ß²¿´§-·-ô Þ»®´·²ô Ù»®³¿²§ øïççé÷ò Í©»¬- ¿²¼ Æ»·¬´·²¹»®ò Ùò Ù·³ ¿²¼ Ðò Ò·µ®¿ª»-¸ò ß²¿´§¬·½¿´ ³±¼»´ ±º °²»«³¿¬·½ ¬·®»º±® ª»¸·½´» ¼§²¿³·½ -·³«´¿¬·±²- °¿®¬ïæ Ы®» -´·°-ò ײ¬ Öò Ê»¸·½´» Ü»-·¹²ô ª±´ò ïïô ²±ò êô °°ò ëèçóêïèô ïççðò ÓòÙ·°-»®ô Îòرº»®ô ÐòÔ«¹²»®ò ܧ²¿³·½ ¬§®» º±®½»- ®»-°±²-» ¬± ®±¿¼ «²»ª»²²»--ò Ê»¸·½´» ͧ-¬ ܧ²¿³·½-ô °°òçìóïðèô ïççéò ÇòÜ»´¿²²»ô ÙòÞ»«®·»®ô ÒòÕòÓùÍ·®¼·ò Ì·®»ñα¿¼ Ú®·½¬·±² л®º±®ó ³¿²½» Ó±¼»´- º®±³ ±²ó-·¬» Ó»¿-«®»³»²¬-ò ß×ÐÝÎ Ð×ßÎÝô Ê×» ͧ³°ò ŒÍËÎÚ îðððŒò ðïóðêòÞò ³¿· îððð °°ò ìîíóìíïô Ò¿²¬»-

ê

Ú·¹ò èò

̸» º±«® ©¸»»´ ®±¬¿¬·±²¿´ ª»´±½·¬·»-

Ú·¹ò ïðò

Ô¿¬»®¿´ ¬·®» º±®½»-

±¾-»®ª»® º±® ³»½¸¿²·½¿´ -§-¬»³-ôŒ ×ÛÛÛ Ì®¿²-ò ß«¬±³¿¬ò ݱ²¬®òôª±´ò ëðô ²±ò ïïô °°ò ïéèëŠ ïéèçô Ò±ª»³¾»® îððëò

Êò ß ÐÐÛÒÜ×È ßò ̸» ÊÎ×Ó ³±¼»´ ̸» ³±¼»´ ½¿² ¾» ©®·¬¬»² ¿- º±´´±©- ø¼»¬¿·´»¼ »¯«¿¬·±²- ½¿² ¾» º±«²¼ ·² ÅíÃ÷æ æ ï æ í

Ú·¹ò çò

î

ê ê ê ÷ãê ê ì

Ô±²¹·¬«¼·²¿´ º±®½»-

ð

Åèà Ùò Þ»«®·»®ô Çò Ü»´¿²²»ò Ì®¿²-°±-·¬·±² ¼» °»®º±®³¿²½»- ´±²¹·¬«ó

Åçà Åïðà Åïïà Åïîà Åïíà ÅïìÃ

ÅïëÃ

Åïêà ßò Ô»ª¿²¬ò Ø·¹¸ó±®¼»® -´·¼·²¹ ³±¼»-æ ¼·ºº»®»²¬·¿¬·±² ¿²¼ ±«¬°«¬º»»¼¾¿½µ ½±²¬®±´ ײ¬»®²¿¬·±²¿´ Ö±«®²¿´ ±º ݱ²¬®±´ôéêøçóïð÷æçîìŠçìïôîððíò Åïéà Êò ˬµ·²ô Öò Ù«´¼²»®ô Öò ͸·ô Í´·¼·²¹ Ó±¼» ݱ²¬®±´ ·² Û´»½¬®±³»ó

½¸¿²·½¿´ ͧ-¬»³-ô Ô±²¼±²ô ËÕæÌ¿§´±® ú Ú®¿²½·-å ïçççò

Åïèà Öò Ü¿ª·´¿ô Ôò Ú®·¼³¿²ô ¿²¼ ßò Ô»ª¿²¬ô •Í»½±²¼ó±®¼»® -´·¼·²¹ó³±¼»

¿²¼

ð ê ð ê ãê ê ð ì ð ð

ï ³

ð ð ð

õ

øïí÷

ï ³ ´ Ö

ð ð

ð ð

ï

í

ð

é é é é é ë øïì÷

í

ð ð ð ð

º

ð

-·²ø ÷ ³ ½±-ø ÷ ³ ´ ½±-ø ÷ Ö

® Ö

ð ð ð ï

í

í

½±-ø ÷ ³ -·²ø ÷ ³ ´ -·²ø ÷ Ö ® Ö

î

¼·²¿´»- ¼» °²»«³¿¬·¯«» ó ³l»¬¸±¼» ¼» ®»½¸»®½¸» -¬¿¬·-¬·¯«» ¼» ®»ó ´¿¬·±²- »²¬®» ´»- °¿®¿³`»¬®»- ¼» ³±¼`eles en vue de l’identi•cation ¼» ½»- °¿®¿³`»¬®»-ò Ý×Úßîðððò Öò ß½µ»®³¿²² ŒÎ±¾«-¬ ½±²¬®±´ °®»ª»²¬- ½¿® -µ·¼¼·²¹ò ×ÛÛÛ Ý±²¬®±´ -§-¬»³- ³¿¹¿¦·²»ô ª±´ò ïéøí÷ô °°ò îíóíïô ïççéò ßò Û´ Ø¿¼®·ô Ùò Þ»«®·»®ô Òò Õò ÓùÍ·®¼·ô ÖòÝò Ý¿¼·±« »¬ Çò Ü»´¿²²»ò Í·³«´¿¬·±² »¬ Ѿ-»®ª¿¬»«®- °±«® ´ù»-¬·³¿¬·±² ¼»- °»®ó º±®³¿²½»- ܧ²¿³·¯«»- ¼ù«² Êl»¸·½«´»ò Ý×Úßîðððò Úò Ù«-¬¿º--±²ô ŒÍ´·°ó¾¿-»¼ ¬·®»ó®±¿¼ º®·½¬·±² »-¬·³¿¬·±²Œô ß«¬±ó ³¿¬·½¿ô ª±´ ííøê÷ô °°ò ïðèéóïðçéô ïççéò Ô¿«®¿ ο§ò ŒÒ±²´·²»¿® -¬¿¬» ¿²¼ ¬·®» º±®½» »-¬·³¿¬·±² º±® ¿¼ó ª¿²½»¼ ª»¸·½´» ½±²¬®±´ò ×ÛÛÛ Ì ±² ½±²¬®±´ -§-¬»³- ¬»½¸²±´±¹§ôŒ ªòíøï÷ô °°ò ïïéóïîìô Ó¿®½¸ ïççëò ÝòÝ¿²«¼¿- ¼» É·¬ô ÐòÌ-·±¬®¿-ô ÛòÊ»´»²·-ô ÓòÞ¿--»¬ô ÙòÙ·--·²¹»®ò ܧ²¿³·½ Ú®·½¬·±² Ó±¼»´- º±® α¿¼ñÌ·®» Ô±²¹·¬«¼·²¿´ ײ¬»®¿½ó ¬·±²ò Ê»¸·½´» ͧ-¬ò ܧ²¿³·½-ô ª±´ò íçøí÷ô °° ïèçóîîêô îððíò ÒòÕò ÓùÍ·®¼·ô ßò ο¾¸·ô Ôò Ú®·¼³¿²ô Öò Ü¿ª·´·¿ ¿²¼ Ǫ»Ü»´¿²²» Í»½±²¼ Ñ®¼»® Í´·¼·²¹óÓ±¼» Ѿ-»®ª»® º±® Û-¬·³¿¬·±² ±º Ê»¸·½´» п®¿³»¬»®- ô Ю±½ò ±º ß³»®·½¿² ݱ²¬®±´ ݱ²º»®»²½»ô Ó·²²»¿°±´·-ô Ó·²²»-±¬¿ ËÍßô îððêò ßòÚò Ú·´·°°±ªô Ü·ºº»®»²¬·¿´ Û¯«¿¬·±²- ©·¬¸ Ü·-½±²¬·²«±«- η¹¸¬ó ¸¿²¼ Í·¼»-ô ܱ®¼®»½¸¬ô ̸» Ò»¬¸»®´¿²¼-æÕ´«©»® ß½¿¼»³·½ Ы¾ó ´·-¸»®-å ïçèèò

÷

î î

î ɸ»®»

æ

ã

î

é é é ¿²¼ é ë

ãì

í º

ë

º ®

®

̸» ®»¹®»--·±² ª»½¬±® ÷ is de•ned as ï ã ¨ îï îï íï ¨ º îì ¿²¼ îî ã ¨ îï îï íî í ¨ ® îë æ ð ð ï îï ê ð é ð î îï é ê ãì ð ð ð ð ë ð ð ð î ð ð ð ê ð ð ê ãì ð § îî íí îï ð § îî íì îï

follows, with

îï

í ð ð é é ð ë

ð

îï

ð ð

÷ ãÅ å Ã

øïë÷

ײ ¬¸» ³±¼»´ »¨°®»--·±²ô ©» ½¿² ·²¬®±¼«½» ¬¸» °¿®¿³»¬»®Ì ï î í ì ë ê é è ÷ ¿- º±´´±©-æ Ú ð Ú ð ï ï ã å ã å ã å å ï î í ì ã ë

ã

ï

å

ê

ã

Ú

ð

å

é

ã

ï

å

è

ã

Ú

ð