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Exercices et problèmes corrigés par
Jimmy Roussel Professeur agrégé de physique
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http://femto-physique.fr
pour la PHYSIQUE
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EMTO - La physique enseignée
OUTILS & MÉTHODES
p ( x) =
° p1 e æ 2º
( x° x)2 2æ 2
68%
13,5%
13,5%
2æ
2,5%
2,5%
x
x
© 2016-06
AVANT-PROPOS Ce recueil d’exercices et problèmes corrigés est destiné aux étudiants du 1er cycle universitaire et à ceux des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (CPGE). Il aborde les notions généralement enseignées en début du programme de physique. Chaque thème commence par quelques rappels de cours. Pour plus de détails, on renvoit le lecteur au site de l’auteur :
http://femto-physique.fr/omp Les énoncés sont assortis d’un niveau de difficulté allant d’un astérisque à quatre. Bien que subjective, cette classification tente de suivre la règle suivante : Exercice ou QCM évaluant l’acquisition des connaissances. Exercice simple demandant un minimum de calcul et de formalisation. Exercice plus technique. Problème souvent inspiré des Concours aux Grandes Écoles demandant un esprit de synthèse et de recherche.
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Enfin, les solutions des exercices sont regroupés en fin d’ouvrage. Un soin tout particulier a été fourni pour proposer des solutions entièrement rédigées. Précisons tout de même que chaque correction propose un exemple de traitement d’un exercice lequel peut parfois se résoudre d’une autre manière. En vous souhaitant bonne lecture. J IMMY R OUSSEL
Jimmy Roussel
OUTILS & MÉTHODES : Exercices et problèmes corrigés
Table des matières ÉNONCÉS
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1 ANALYSES DIMENSIONNELLE RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 1 Grandeurs adimensionnées * . . . . . . . . . Ex. 2 Equation aux dimensions * . . . . . . . . . . Ex. 3 USI * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 4 Conversion d’une vitesse * . . . . . . . . . . . Ex. 5 Conversion ** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 6 Homogénéité * . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 7 Conversion CGS-SI ** . . . . . . . . . . . . . Ex. 8 Conversion CGS-SI ** . . . . . . . . . . . . . Ex. 9 Dimensions ** . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 10 Théorème de Pythagore *** . . . . . . . . . . Ex. 11 Temps de cuisson ** . . . . . . . . . . . . . . Ex. 12 Analyse dimensionnelle ** . . . . . . . . . . Ex. 13 3ème loi de Kepler *** . . . . . . . . . . . . . Ex. 14 Énergie dégagée par une bombe atomique ***
2 INCERTITUDE ET MODÉLISATION RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 15 Incertitude de type B * . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 16 Calcul d’une charge électrique ** . . . . . . . . . Ex. 17 Calcul d’incertitude *** . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 18 Calcul d’une résistance ** . . . . . . . . . . . . . . Ex. 19 Incertitude de type A ** . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 20 Mesure d’une longueur d’onde *** . . . . . . . . . Ex. 21 Moyenne pondérée *** . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 22 Rejet d’une mesure *** . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 23 Chute libre, vitesse et intensité de la pesanteur *** Ex. 24 Varistance *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 25 Loi de Stokes *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8
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10 10 11 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13
3 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 26 Équations différentielles linéaires** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 27 Équation différentielle non linéaire *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex. 28 Équation différentielle à variable séparable *** . . . . . . . . . . . . . . Ex. 29 Le pendule simple traité par la méthode d’Euler *** . . . . . . . . . . . . Ex. 30 Conservation de l’énergie mécanique dans les méthodes numériques ****
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SOLUTIONS DES EXERCICES
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ÉNONCÉS DES EXERCICES
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ANALYSES DIMENSIONNELLE
RÉSUMÉ DE COURS Dimension : Par définition, une grandeur physique G a une dimension si sa mesure dépend du choix de l’étalon de mesure. Sa dimension est notée [G]. Deux grandeurs ont même dimension si on peut les comparer. SI : Le Système international d’unités forme un système cohérent reposant sur sept unités de base indépendants du point de vue dimensionnel. Unité SI mètre kilogramme seconde ampère kelvin mole candela
Symbole m kg s A K mol cd
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Symbole L M T I £ N J
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Dimension Longueur Masse Temps Intensité électrique Température Quantité de matière Intensité lumineuse
Equation aux dimensions : La dimension d’une grandeur physique peut s’exprimer en fonction des septs dimensions indépendantes du SI (L, M, T, £, I, N et J). Par exemple [Volume] = L3 . Homogénéité : Une loi physique doit être homogène, c’est-à-dire constituée de termes de même dimension. Sommer deux grandeurs de dimension différente n’a aucun sens en physique. Analyse dimensionnelle : L’analyse dimensionnelle permet de prévoir la forme d’une loi si l’on sait quels sont les paramètres pertinents du problème. Supposons par exemple que nous cherchions à exprimer une grandeur G en fonction de 2 paramètres pertinents indépendants p 1 et p 2 . La méthode consiste alors à trouver comment multiplier p 1 et p 2 pour former une grandeur de même dimension que G . On écrit donc
G = Cte pÆ 1 p2
Ø
où Æ et Ø sont des facteurs que l’on détermine grâce à l’équation aux dimensions. Une fois ces constantes déterminées, on peut proposer la forme générale de la loi recherchée.
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Ex. 1 – Grandeurs adimensionnées * Parmi ces grandeurs, quelles sont celles qui sont sans dimension : masse volumique, angle, densité, pH, concentration molaire, concentration moléculaire. Ex. 2 – Equation aux dimensions * Donner l’équation aux dimensions de la force et de l’énergie. Ex. 3 – USI *
Ex. 4 – Conversion d’une vitesse *
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Quelles sont les sept unités de base du Système International d’Unités ?
La vitesse de la lumière dans le vide vaut c = 3,0.108 m.s°1 . Convertir c en km.h°1 . Ex. 5 – Conversion **
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L’uranium existe essentiellement sous deux formes isotopiques ; l’uranium 238, le plus répandu, et l’uranium 235 dit isotope « fissile ». Lorsqu’un neutron (noté n) heurte un noyau 235 U, il se produit une réaction de fission : 235 92 U + n ! X + Y + plusieurs neutrons + énergie
où X et Y sont deux noyaux le plus souvent radioactifs. L’énergie libérée par la fission d’un noyau d’235 U est en moyenne de 170 MeV. Donnée : Charge élémentaire e = 1, 6.10°19 C - Nombre d’Avogadro N A = 6.1023 mol°1
1. Quelle serait l’énergie libérée par la fission totale d’un kilogramme d’235 U ? 2. L’énergie libérée par l’explosion d’une tonne de trinitrotoluène (TNT) est de 4,2 GJ. En déduire l’énergie libérée par la fission supposée totale d’un kilogramme d’235 U, exprimée en équivalent tonnes de TNT.
Ex. 6 – Homogénéité *
La période d’oscillation d’un pendule simple dépend de sa longueur `, du champ de pesanteur g et de l’amplitude angulaire µmax des oscillations. On propose plusieurs formules ; préciser quelles sont les formules homogènes : s ` + µmax ‰ T = 2º g ° µmax s ` ‰ T = 2º gµmax s µ ∂ ` µmax 2 ‰ T = 2º 1+ g 16 s µ ∂ ` µmax ‰ T = 2º 1+ g `
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Ex. 7 – Conversion CGS-SI ** La pression est la force par unité de surface et s’exprime dans le Système International en pascal (Pa). Dans le système CGS la pression s’exprime en barye. 1 barye équivaut à combien de pascal ? Indication : Dans le système CGS, la longueur s’exprime en cm, la masse en g et le temps en seconde
Ex. 8 – Conversion CGS-SI ** Dans les conditions raisonnables de pression et de température, les gaz vérifient la loi des gaz parfaits pV = nRT où R est la constante des gaz parfaits. 1. Donner la dimension de R .
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2. Dans le système international, R = 8, 315 SI. En déduire la valeur de R dans le système CGS.
Indication : Dans le système CGS, la longueur s’exprime en centimètre, la masse en gramme, la quantité de matière en mole, le temps en seconde et la température en kelvin.
Ex. 9 – Dimensions ** Trouver la dimension des grandeurs suivantes.
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1. La permittivité du vide "0 qui apparaît dans l’expression de la force d’interaction électrique
F=
1 qq0 4º"0 r 2
2. La perméabilité magnétique du vide µ0 qui intervient dans l’expression de la force magnétique qui s’exerce entre deux fils conducteurs parallèles de longueur L, placés dans le vide, séparés par une distance d et parcourus par des courants d’intensité I et I 0 :
F=
µ0 I I 0
4º d
L
3. La grandeur c telle que µ0 "0 c2 = 1. Que représente c ?
Ex. 10 – Théorème de Pythagore ***
On considère un triangle rectangle d’hypoténuse c et d’angle aigu Æ. On note A l’aire de ce triangle. 1. Par une analyse dimensionnelle, donner l’expression de A en fonction de c et Æ. 2. En déduire, après avoir décomposé le triangle initial en deux triangles rectangles, le théorème de Pythagore.
Ex. 11 – Temps de cuisson **
Selon les livres de cuisine il faut 1 h pour cuire un poulet de 1 kg et le temps de cuisson est proportionnel à la masse, ce qui implique qu’un poulet de 2,5 kg mettra 2 h 30 à cuire. Cherchons à vérifier cette règle. Le poulet est correctement cuit lorsque la température au centre atteint une certaine valeur. Il s’agit donc d’un problème de conduction de la chaleur où la conductivité thermique ∏ (W.m°1 .K°1 ) et la capacité thermique massique c (J.K°1 .kg°1 ) vont intervenir. On admet également que la masse volumique du poulet Ω et sa masse m jouent un rôle.
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1. Déterminer la dimension des grandeurs ∏, C , Ω et m. 2. En déduire, par analyse dimensionnelle, l’expression du temps de cuisson t en fonction de ∏, C , Ω et m. 3. On admet que tous les poulets ont sensiblement la même masse volumique, la même conductivité thermique et la même capacité thermique. La règle citée ci-dessus est-elle validée par les lois de la physique ? Combien de temps faut-il pour cuire un poulet de 2,5 kg s’il faut 1 h pour cuire un poulet d’1 kg ? Ex. 12 – Analyse dimensionnelle **
où k, Æ, Ø et ∞ sont des constantes sans dimension.
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La force de frottement (force de traînée) qui s’exerce sur une boule de rayon r tombant à la vitesse v dans un fluide de masse volumique µ s’écrit : F = k µÆ v Ø r ∞ 1. Trouver les coefficients Æ, Ø et ∞ en faisant une analyse dimensionnelle.
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2. On admet que k est de l’ordre de l’unité. En déduire l’ordre de grandeur de la force de frottement que subit une balle de tennis lancé à v ª 100 km.h°1 dans l’air à pression et température ordinaire. Comparer au poids. Ex. 13 – 3ème loi de Kepler ***
Une planète de masse m décrit une orbite elliptique autour d’une étoile de masse M . L’interaction gravitationnelle s’écrit G mM f= r2 où G est la constante de gravitation et r la distance entre les centres des astres. 1. Déterminer la dimension de la constante de gravitation.
2. On admet que la période orbitale T de la planète dépend des masses m et M , de G et du demi-grand axe a de l’ellipse (2a correspond au « grand diamètre » de l’ellipse) :
T = f ( m, M, G , a)
Simplifier l’expression précédente à partir d’une analyse dimensionnelle.
3. La troisième loi de Kepler donne
a3 G ( m + M ) = T2 4º2 Y-a-t-il compatibilité avec le résultat de l’analyse dimensionnelle ?
Ex. 14 – Énergie dégagée par une bombe atomique ***
L’analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d’estimer en 1950 l’énergie dégagée par la première explosion d’une bombe atomique au Nouveau Mexique, alors que cette information était classée top secret. Il lui a suffi pour cela d’observer sur un film d’explosion, imprudemment rendu public par les militaires américains, que la dilatation du champignon atomique suivait la loi expérimentale de proportionnalité :
r ( t) / t2/5
(1)
Le physicien Taylor suppose alors a priori que le processus d’expansion de la sphère de gaz dépend au minimum des paramètres suivants : Page 8/31
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• le temps t ; • l’énergie E dégagée par l’explosion ; • la masse volumique µ de l’air. 1. Montrer par une analyse dimensionnelle que l’énergie E dégagée par l’explosion peut s’écrire :
E = K µ r 5 t°2 Cette formule est-elle compatible avec la loi empirique (1) ? 2. On admet que la constante adimensionnée K est de l’ordre de l’unité. Sachant que le champignon atomique a une dimension de l’ordre de 260 m au bout de 25 ms, calculer l’ordre de grandeur de l’énergie E . Exprimer E en Tonnes de TNT.
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Indication : L’énergie libérée par l’explosion d’une tonne de trinitrotoluène (TNT) est de 4 GJ.
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INCERTITUDE ET MODÉLISATION
RÉSUMÉ DE COURS Incertitude : le résultat d’une mesure n’est jamais une valeur : il est toujours donné sous la forme d’un intervalle de valeurs probables x ± ¢ x associé à un niveau de confiance (en général 95%). Écart-type Grandeur, traditionnellement notée æ, mesurant la dispersion d’une grandeur aléatoire autour de sa valeur moyenne. Par définition æ 2 = ( x ° x )2 = x 2 ° x 2 où x désigne l’espérance mathématique d’une variable x.
À partir de n ∏ 10 mesures x i , on obtient
avec
Ø Ø Ø m Ø Ø Ø Ø Ø s Ø
= =
1X xi n s 1 X ( x i ° m)2 n°1
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s x = m± p n
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Incertitude-type A : écart-type associée à une mesure et estimée par des méthodes statistiques (on peut donc procéder à n mesures indépendantes dans les mêmes conditions).
Si n < 10, il faut corriger l’estimation de l’écart-type par le coefficient t de Student.
Incertitude-type B : écart-type associée à une mesure et évaluée par des hypothèses probabilistes. En général on est capable d’obtenir une tolérance ¢ = xmax ° xmin . Si l’on suppose la mesure x répartie dans cet intervalle de façon équiprobable alors on a ¢ æ' p 12 Incertitude élargie : Pour une grandeur x l’incertitude élargie vaut
¢ x = kæ
où k dépend du niveau de confiance souhaité. Pour un niveau de confiance à 95%, k ' 2.
Écriture scientifique : le résultat d’une mesure s’écrit
(mesure ± incertitude).10n unité
où l’incertitude est arrondie à un chiffre (deux si l’erreur d’arrondi produit un biais trop important). La mesure et l’incertitude ont un dernier chiffre significatif de même rang.
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