EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES SIMPLEMENT CONNEXES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE par P. D E L I G N E

Introduction .................................................................................

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T e r m i n o l o g i e et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Espaces classifiants s i m p l i c i a u x et leur cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. L a construction principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Groupes semi-sirnples simplernent connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Calculs de c o m m u t a t e u r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Corps locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Corps g l o b a u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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O. Introduction Soit G u n groupe algtbrique lin6aire absolument simple simplement connexe sur un corps F. Si G est dtploy6 et F infini, le groupe G(F) des points rationnels de G est 6gal ~t son groupe des commutateurs (l'analogue alg6brique de ~ connexe >>) et admet donc une extension centrale universelle

(o.~)

0 -~ = l ( o ( r ) )

-~ o ( r ) -

~ o(F)

-~ 0.

Matsumoto (1969) ddtermine le noyau zq(G(F)) par gdndrateurs et relations. Pour G de type autre que C, (n t> 1), c'est le quotient K2(F ) de F*| F* par le sousgroupe engendr6 par les x @ (1 -- x) pour x 4:1 dans F*. Pour G de type C,, c'est un groupe L dont K~(F) est quotient. Voir 3.8 pour plus de d&ails. U n e application ( , ):F* X F * - ~ A

bimultiplicative : (xy, z) = (x, z) + (yz) et (x, yz) = (x,y) + (x, z), et v&ifiant C0.9.)

(x, 1 -

x) = 0

(un symbole) d6finit donc une extension centrale de G(F) par A.

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P. D E L I G N E

Soient F une cl6ture s6parable de F, n un entier inversible dans F, Z/n(1) le groupe des racines n-i6mes de l'unit6 de F, Z/n(k) sa puissance tensorielle k-i6me sur Z/n et 0, : F* -+ Ha(Gal(F/F), Z/n(1)) le cobord de K u m m e r ( 0 . N . 3 ) . O n salt (Tate (1976)) que le cup-produit des cobords de K u m m e r

(o.s)

( , ). : F* • F* --> H2(Gal(F/F), Z/n(2)) : x,y v-. O. x .--. O.y

est un symbole (symbole galoisien). Nous donnons dans le pr6sent article une interpr6tafion (3.5 et 3.7) de l'extension centrale correspondante en termes de cohomologie 6tale, la construction reposant finalement sur le fait que pour K un groupe de Lie compact presque simple simplement connexe, on a (voir 1.7) (0.4)

H*(BK, Z) = Z.

Notre construction 3.5 n'exige pas que G soit ddploy6. Pour G absolument simple simplement connexe sur F, elle fournit une extension centrale

(0.5)

0 ~ H*(Gal(F/F), Z/n(2)) --,,-G(F)~ --~ G(F) --~ O.

Nous n'affirmons pas que cette extension centrale soit universelle parmi les extensions centrales de noyau annul6 par n, ni qu'elle soit non triviale. En falt, pour F = R et G ( R ) compact, l'espace topologique G(R) est connexe et simplement connexe et l'extension centrale (0.5), 6tant topologique (2.9), est triviale. La vertu de l'extension centrale (0.5) est d'~tre canonique : d6finie k isomorphisme unique pr6s. Elle est fonctorielle en F, et sa fonctorialit6 en G est contr616e par celle de (0.4). Voir 3 . 9 (ii). Pour tout sous-groupe unipotent U de G, cUe est canoniquement trivialis6e sur U(F) (2.11). Pour T u n tore dans G, le commutateur

(tl, t~) :----- t 1 t2 t 1

ts--1 ~ H2(Gal(F/F), Z/n(2))

de rel6vements ~ et ~ dans G(F)~ de tl, t 2 ~ T(F) est ddcrit en termes de cohomologie galoisienne (3.5.3). Si T "a est l'image de T dans le groupe adjoint G "~, l'action de Gad(F) sur G fournit par transport de structures une action de G~(F) sur l'extension (0.5). Pour t1 ~ T"a(F) et t2 ~ T(F), le > (tl, t~) :----- tl(~) Ntz- -

1

~ H2(Gal(F/F), Z/n(2))

admet une description analogue (4.9). Si F est un corps local et que n est assez divisible, l'extension (0.5) est inddpendante de n (5.2). C'est une extension centrale

(0.6)

o -->

G(F)" --> O(F)

0

de G(F) par le groupe ~(F) des racines de l'unit6 dans F si F est non complexe (5.4.1), par le groupe trivial pour F complexe. Si F est non archim6dien, d'anneau de valua-

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

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tion O, que G a ~, bonne r~duction >>et que ~t(F) est d'ordre premier ~ la caractdristique r~siduelle, on dispose d ' u n scindage (0.7)

" : G(O) -~ G ( F ) -

de (0.6) au-dessus du sous-groupe compact maximal hypersp6cial G(O). Voir 5.12. Si F est un corps global, de compldtds les corps locaux F,, le produit restreint des G(F,) ~ de (0.6) (produit restreint relativement aux G(O~) ~ de (0.7), qui sont ddfinis pour presque toute place v) est une extension centrale du groupe addlique G(/k) par la somme sur les places non complexes des ~t(F,). Poussons-la par (0.8)

O ~(F~) -+ ~(F) : (x~) ~ IIx~ ~`F~'I/I~''F'I

(presque tousles facteurs ~gaux ~ 1, et ~t(F) identifid ~t un sous-groupe de ~t(F,) pour F, non complexe). O n obtient une extension centrale G(A)~ de G(A) par ~t(F) et la fonctorialitd de (0.5) en le corps de base montre (voir 6.4) qu'elle est canoniquement trivialis6e sur G(F) :

G(F) (0.9)

~(F)

> G(A)"

> G(A).

La fonctorialit~ de (0.6) et (0.9) en O est contr61~e par eelle de (0.4). La fonctorialit~ en F est celle de ridentification de ~(F) ~ un groupe de cohomologie galoisienne. Voir (5.5). D'apr~s Merkurjev-Suslin (1982), le groupe H~(Gal(F/F), Z/n(2)) est le quotient K,(F)/nK,(F) de K~(F). Sous l'hypoth~se que la vari~t~ de groupe G soit rationnelle sur F, j'ai montrd darts un s6minaire ~t Bures (1977-1978, non publid) c o m m e n t construire une extension de G(F) par K2(F) g6n~ralisant celle construite par Matsumoto pour G dfiployfi. Plus r~cemment, J. L. Brylinsld a montr~ que l'hypoth~se de rationalit~ est inutile. I1 m ' a n~anmoins sembl6 utile de publier le present article, qui met en ~vidence le caract~re g~om~trique, bas~ sur (0.4), des extensions centrales consid~r~es et de leur fonctorialitfi, et qui suffit pour l'application arithm~tique (0.9). Passons en revue les sections de l'article.

Au w 1, nous rappelons c o m m e n t interprdter, en g~om~trie algdbrique, la notion homotopique d'espace classifiant, et c o m m e n t transf~rer, en cohomologie fitale, le r6sultat classique (0.4). Au w 2, nous expliquons la relation entre espaces classificants et extensions centrales. L'id6e de base est la suivante. Soit G ~ le schema en groupes sur Spec(F) somme de copies de Spec(F) index6es par G(F). Pour une interpr6tation des classifiants eomme topos, on dispose de morphismes BG(F) ~ BG ~ ~

BG

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P. DELIGNE

et | a pour fibre Spec(F). U n e classe de cohomologie e de BG h coefficients dans Z/n(2) fournit, par image inverse par @, une classe d'hypercohomologie e 8 de BG(F), ~t coefficients dans un complexe calculant la cohomologie galoisienne H'(Gal(F/F), Z/n(2)). Cette hypercohomologie est l'aboutissement d'une suite spectrale E~~ = H~(BG(F), Ha(Gal(F/F),

Z/n(2))),

off H*(BG(F), ) est la cohomologie du groupe G(F) ~t coefficients dans un G(F)-module trivial. O n se ddbarrasse des E ~ en considdrant plut6t une cohomologie relative H : G modulo le groupe trivial. La classe e n a alors une image dans E~'8 = H~(BG(F), HS(Gal(F/F), Z/n(2))) = Hom(G(F), HS(Gal(P/F), Z/n(2))). U n e application de Merkurjev-Suslin (1982) montre que cette image est nulle. Voir 1.11. La classe e 8 a alors une image dans E~'~ = H~(BG(F), H2(Gal(?/F), Z/n(2))), le groupe des classes d'isomorphie &extensions centrales de G(F) par H2(Gal(F/F), Z/n(2)). Dans le texte, nous travaillons plus pros du niveau des cocycles. Sous l'hypoth~se que HS(BG, Z/n(2)) = 0, ceci nous permet de construire une extension centrale (0.5) canonique. Par ailleurs, nous travaillons autant que possible sur un schdma de base S et utilisons le langage de la cohomologie &ale plut6t que celui de la cohomologie galoisienne. Sur une base S, ce que l'on obtient est une extension centrale par Hg(S, Z]n(2)) du noyau d ' u n homomorphJsme de G(S) dans Hs(S, Z/n(2)). Les w 3 et 4 appliquent les rdsultats du w 2 au cas des groupes semi-simples simplement connexes et explicitent la fonctorialit6 et certains commutateurs. Le w 5 traite des corps locaux : identification de H~(Gal(~'/F), Z/n(2)) ~t ~(F) pour n assez divisible, fonctorialitd en F de cette identification et scindage sur G(O,) dans le cas de bonne r6duction. Le w 6 traite des corps globaux : construction de (0.9). Le w 7 conjecture comment la th6orie devrait se gdn6raliser au cas des groupes r6ductifs connexe. O n pose aussi une question sur K2, suggdr& par les calculs de commutateurs.

O.N. T e r m i n o l o g i e et n o t a t i o n s (0.N. 1) Saul mention expresse du contraire, par faisceau sur un sch6ma S nous entendrons toujours faisceau sur le site &ale Sot de S et localement signifie localement pour la topologie &ale. ( 0 . N . 2 ) Par (G~,)s ou simplement G,,, on entend le schema en groupes multiplicatifs sur S, ou, selon le contexte, le faisceau ~ de ses sections locales.

EXTENSIONS CENTR.ALES DE GROUPES ALGI~,BRIQUES

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( 0 . N . 3 ) Pour n u n entier inversible sur S, on note Z/n(1) le faisceau des racines n-iSmes de l'unitd. L a suite exacte de Kummer zn

o ~ Z/n(1)-+G~-~ G~-~ 0 ddfinit le cobord de Kummer 0:

r(S, d~)

--+ H I ( S ,

Z/n(l)).

Pour n Ira, la rgduction modulo n, Z / m ( 1 ) ~ Z/n(1) est x ~-*x*j". Le cobord de K u m m e r est compatible k la rdduction modulo n. Le faisceau Z/n(1) est un faisceau de Z/n-modules localement libres de rang un. O n note Z/n(k) sa puissance tensorielle k-i~me (k ~ Z). Pour #" un faisceau abdlien de n-torsion, on note o*-(k) son produit tensoriel avec Z/n(k) (twist ~ la Tate). ( 0 . N . 4 ) U n schfima en groupes G sur S sera dit rgductif, semi-simple, simple, simplement connexe, un tore s'il est lisse et affine sur S e t que ses fibres gfiomfitriques ont la proprifitd dire. Selon la terminologie de SGA3, t. 3, X I X , r4ductif suppose connexe. D'apr~s SGA3, les thfior&mes de structure familiers pour S spectre d ' u n corps algdbriquement dos restent valables localement pour la topologie dtale sur un schdma de base S. Noter que pour S spectre d ' u n corps F, notre terminologie simple correspond ce qu'il est d'usage d'appeler . (0.N.5) U n

torseur cst un cspace principal homogSnc ~ droite.

(0. IN. 6) Si E cst unc extension ccntralc d'un groupc r, l'application commutatcur : g,h~--~ghg-lh -I dc E • E dans E sc factorise par une application (g,h), encore appelde commutateur, de r • 1P dans E. ( 0 . N . 7 ) Nous avons tentd d'utiliser systdmatiquement les notations suivantes : S a n A G, H T

un schdma la projection sur S d ' u n schdma sur S un faisceau abdlien sur S. On note encore ~ son image inverse sur un schdma sur S un entier inversible sur S un faisceau abdlien de torsion annul6 par n sur S. On note encore A son image inverse sur un schdma sur S schdmas en groupes sur S, le plus souvent semi-simples simplement connexes un tore sur S. Localement sur S, il est isomorphe ~ G~, pour N convenable. On pose X = ~ O m s ( T , Gm) et Y =3~Oms(G,,,T ). Ce sont des faisceaux localement isomorphes ~ Z ~ et duaux l'un de l'autre pour l'accouplement x oy valeurs dans Jt%m s(Gm, Gin) = Z.

Pour T u n sous-schdma en tores maximaux de G, supposd semi-simple, W e s t le groupe de Weyl (un faisceau ell groupes sur S).

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P. D E L I G N E

1. Espaces classifiants simpliciaux et leur cohomologie 1.1. L'espace classifiant BG d'un groupe de Lie G est d~fini classiquement comme ~tant la base d'un G-torseur (0. N. 5) EG qui soit contractile. I1 est d~fini ~ ~quivalence d'homotopie pr~s. Si K est un sous-groupe compact maximal de G, l'inclusion de K dans G est une dquivalence d'homotopie, EG est un K-torseur sur EG/K, qui est donc une version de BK et BK -+ BG est une ~quivalence d'homotopie. Il est d'usage, chez les topologues, de consid~rer BK de prdf~rence ~ BG. D'apr~s Milnor (1956) et Segal (1968), une version de BG est la r~alisation g~omdtrique de l'espace topologique simplicial suivant :

(1.1.1)

A. ~ GA"/G.

Dans (1.1.1), on a not~ A, l'ensemble totalement ordonn~ { 0, 1, . . . , n } et l'on regarde un objet simplicial comme un foncteur contravariant sur la catdgorie des A,. L'action droite par laquelle on divise est l'action diagonale par translations k droite. Le fibr~ EG est la r~alisation g~om~trique de A ~-~ Ga~. Pour les applications ~ la g~omdtrie alg~brique, il est commode d'omettre toute mention des r~alisations gdom~triques et de d~finir le classifiant (simplicial) B. G (ou simplement BG) comme dtant l'espace topologique simplicial (1.1.1). La cohomologie de la r~alisation g~om~trique d'un espace topologique simplicial X. peut se d~finir directement, sans passer par l'interm~diaire de la r~alisation g~omdtrique. Voici deux d~finitions possibles. Leur ~quivalence est prouv~e dans Deligne (1974), 5.2 ou SGA4 (t. 2), V bis, 2.3.5, 2~3.8. La seconde d~finition, plus calculatoire que la premiere, est celle qui nous servira. (A) Unfaisceau ~ sur X. est un systbme de faisceaux ~-, sur les X , et de morphismes ~'(q~) : X(q~)* o~- -+ o~',~ pour q0 : A, -+ A,~, avec o~(~bq~) = o~'(t~) o o~-(9) (de faqon plus pddante o~'(~q~) = o~(t~) o X(@* (o~(qg))). Les faisceaux d'ensembles sur X. forment un topos et l'on prend la cohomologie de ce topos. (B) Soit o~" un faisceau abNien sur X.. Soit ~ * une rdsolution de ce faisceau, avec chaque ~ - : acyclique sur X , : HI(X,, o~-:) = 0 pour i > 0. Par exemple : prendre pour o~-* la rdsolution flasque canonique (Godement (1958), II, 4.3) de o~', sur X , ; elle est fonctorielle en ( X , , ~-,). Le systSme des F ( X . , ~ - : ) est cosimplicial en n e t diffdrentiel gradu6 en m. I1 fournit un complexe double. La cohomologie de ~- est celle du complexe simple associ~ :

(1.1.2)

H'(X., 5 ) := H'(sr(X ,

Pour identifer la composante de degr~ k de sr(x., 5:) ~ la somme des F ( X , , ~ ' : ) pour n 4 - m = k, on regarde n comme premiere variable et rn comme seconde. Si d'

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

41

est la diff6rentielle simpliciale et d" la diff6rentielle de ~'*, la diff~rentielle de sF(X,,, oqz',~) est alors d' + (-- 1)" d". La fltration par n fournit une suite spectrale

(1.1.3)

E~" ~- Hq(X,, ~',) ~ H" +'(X., ~-).

La diff~rentielle dl de cette suite spectrale est la diff6rentielle simpliciale Z ( - - 1)~ 0~. Prenons pour ~ le faisceau constant A. La cohomologie obtenue est alors celle de la r6alisation g6om~trique de X, ~ coefficients dans A, et la suite spectrale (1.1.3) est donnde par la filtration par les squelettes successifs. 1.2. Pour vdrifier que la cohomologie du classifiant simplicial B. G coincide avec celle de l'espace classifiant BG, il n'est pas n6cessaire de passer par la r6alisation g6om6trique, comme sugg6r6 par 1.1. Soit en effet (EG/BG) a. la puissance fibr6e (n + 1)-i~me de EG sur BG. I1 r~sulte de l'existence de sections locales de E G ~ BG que l'espace simplicial (EG/BG) ~. a m~me cohomologie que BG (SGA4 (t. 2), V bis (3.3.2) et (4.1.9)). Soit (EG), la fibre de E G en x ~ BG. Pour q e (EG)~, g ~ qg est un isomorphisme G --% (EG)| Notons p ~ q - l p son inverse. L'application (EG)~, --->Ga./G : (p,) ~ (p~-~ q) est ind6pendante du choix de q. Elle fournit un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux (EG/BG) A. --+ (Ga./G) = B. G. En chaque degrd n, ce morphisme est isomorphe ~t pr2 : E G • G" -+ G", donc est une 6quivalence d'homotopie. Par (1.1.3), il induit un isomorphisme en cohomologie : on a (1.2.1)

H*(BG) -% H*((EG/BG) a.) ~ H*(B. G).

1.3. Si l'on identifie Ga./G h G" par

(1.8.1)

(go, - - . , g,) ---> (go g~- 1, gl g~-l,

-..,

g , _ l g~- 1),

les fl6ches simpliciales sont donndes par des formules famili6res en cohomologie des groupes. Ainsi (1.3.2) et

00, 01, 03 : G 2 ~ G so, sl : G -+ G 2

sont sont

(g, h) ~ h, gh, g,

g ~-* (e, g), (g, e).

1.4. La construction 1.1 s'applique aussi bien pour ddfinir la cohomologie 6tale d'un schdma simplicial : d a n s 1.1 (A) ou (B), remplacer (( faisceau ~) par Z un espace simplicial augment6), nous 6crirons souvent Rf,(Y, ) (resp. Rf,(Y., )) pour Rf,. Cette notation permet de lever des ambiguitds, et met en 6vidence l'analogie avec H*(Y, ). Soit a : X . ~ S u n espace simplicial augment6 vers S et dcrivons simplement a pour a. : X . --> S. Comme en 1.1.3, pour ~ - un faisceau sur X., on a une suite spectrale

(1.5.a)

El, = R,

R,+,a.(x.,

Elle permet de ddduire de (1.5.1) son Corollaire 1 . 5 . 4 . - - Les conclusions (i), (ii) de 1.5.1 valent, sous les ragmes hypothkses, pour Ra,(BG, A). 1.6. Rappels. - - D a n s cette section et les deux suivantes, nous rappellerons les r~sultats classiques dont nous aurons besoin sur la cohomologie des groupes r~ductifs complexes et de leurs classifiants. Pour le groupe multiplicatif Gin, G , , ( C ) = C*, de sous-groupe compact maximal U x, a l e type d'homotopie d'un cercle : cohomologie enti6re Z en degrd 0 et 1. U n mod61e du classifiant est l'espace projectif complexe de dimension infinie : cohomologie enti6re Z[x] avec x de degr~ 2. Pr~cisons, darts le langage qui nous sera utile, notre choix d'un gdndrateur de HI(C *, Z). La suite exacte exponentielle 0~

Z 2,~,~C ,exp C* - + 0

fait de C un Z-torseur (0. N. 5) sur C*. Sa classe de cohomologie est notre g~n6rateur pr~f~r~ :

(1.6.1)

H'(C', Z) = Z.

Si l'on travaille sur une cl6ture alg~brique G de R, sans choix privil~gid de i = ~ ~ , il faut remplacer la suite exacte exponentieUe par 0 -+ Z(1) -->G -->C* - + 0 avec Z(1) = 2zdZ et (1.6.1) devient (1.6.2)

Hi(C *, Z(1)) = Z,

pr~figurant les twist ~ la Tate qui apparaJtront en gdomdtrie algdbrique.

P. D E L I G N E

44

O n passe du cas de G~ ~t celui d'un tore T, isomorphe h G~ pour N convenable, par la formule de Kiinneth. Soient X : = Hom(T, G,~) le groupe des caractbres de T et Y : = Hom(G,,, T). Les groupes X et Y sont isomorphes ~t Z s e t en dualitY, la dualit6 6tant donn6e par

(1.6.3)

x oy : X | Y ~ Hom(Gm, G,,) = Z.

L'application x ~ x*(1) de X dans H I ( T ( C ) , Z) est un isomorphisme, et

(1.6.+)

H*(T(C),Z) =/~X

fonctoriellement en T. La cohomologie du classifiant est l'alg$bre sym&rique (1.6.5)

H*(BT(C), Z) = Sym*(X)

avec X en degr6 2 (signe pr~cisd ci-dessous). En particulier, (1.6.6)

H4(BT(C), Z) = Sym2(X) = { formes quadratiques enti~res sur Y }.

Le sch6ma simplicial BT a pour composantes les Ta,]T. Par (1.6.4), la suite spectrale (1.1.3) pour BT(C) a pour terme E 1 q

(1.6.7)

E~'~ = Hq(T~p/T, Z) = A K e r ( Z : X~p -+ X).

Dans la suite exacte de groupes cosimpliciaux 0 - + E l ''1 -+Xap - + X ~ 0 , le groupe cosimplicial constant X a une cohomologie r6duite ~t X en degr6 0. Le complexe des cochalnes non d6gdn6r6es, noyau des op6rateurs de ddgdn6rescence, du groupe cosimplicial Xap est r6duit ~t X en degr6s 0 et 1, la diff6rentielle 00 -- 01 &ant l'identit& Le groupe cosimplicial X% est donc acyclique et par la suite exacte longue de cohomologie, le seul groupe de cohomologie non nul de E~1 est X en degrd 1. Par passage aux puissances extdrieures (Illusie (1971), I, 4 . 3 . 2 . 1 , dualis6), le seul groupe de cohomologie non nul de E1'q est Symr en degrd q :

(1.6.8)

E~; '+ = Er

= {0 Sym ~ X

si p , q sip=q.

Dans la description 1.3 de BT : (BT), -----T ", on a q

(1.6.9)

E~ ~ = A X ~

et (1.6.9) pour p -----q = 1 est notre choix de signe pour d~finir l'isomorphisme (1.6.10)

H2(BT(C), Z) = E~ = E~1 = X.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQ,UES

45

Les isomorphismes (1.6.4) et (1.6.7) sont ensuite ddfinis par la structure d'alg~bre de la cohomologie, resp. la structure mulfiplicative de la suite spectrale 1.1.3. Cette structure multiplicative pour x' e Hr et x" e Hr est 9

=

(-

1),',"

avec q~ : Av, ~ A , + v,, et d? : Av,, ~ A~, + v,, donn~s par (0, . .., p') et (p', . . . , p' + p"). 1.7. groupe de usueUe en de m~me

Soient G un groupe alg~brique simple simplement connexe sur C, G(C) le Lie de ses points complexes et BG(C) son classifiant. Pour suivre la notation topologie, nous consid~rons aussi un sous-groupe compact maximal K de G, type d'homotopie. On a

(A) rc~(K)= 0

pour i~< 2 (Cartan (1936)).

D'apr~s Hurewitz, on a donc en homologie r6duite H~(K, Z) = 0 pour i~< 2. En cohomologie : H (K, A) = 0 pour i ~< 2 et tout groupe ab61ien A. La suite spectrale (1.1.3) pour le classifiant simplicial B K s'6crit par 1.3 (1.7.1)

El'" = H " ( K ' , A) => H ' + " ( B K , A).

Pour q = 0, El' ~ = A e t d 1 est alternafivement 0 et l'identitd : E ~ o = H0(BK, A) = A et E~ '~ = 0 pour p > 0. Pour q = 1, 2, on a El'" = 0. En cohomologie rdduite, on a donc (1.7.2)

H~(BK, A) = 0

pour i~< 3.

Pour q = 3, le merphisme dl de E 1'3 dans E 2,s est nul : pour ~t la loi de groupe K x K - + K , c'est pr~ -- a* -t- prl : HS(K, A) --> HS(K • K, A), les morphismes inj~ (i = 1, 2) : k ~ (k, e) et k ~ (e, k) induisent un isomorphisme HS(K • K, A) ~ HS(K, A) • HS(K, A), et les mji(p 9 "* r *~ ~* + pr~) sont trivialement nuls. La suite spectrale (1.7.1) fournit donc un isomorphisme

(1.7.3) (B) % ( K ) =

H4(BK, A) -% H3(K, A). Z (Bott (1954)).

On a donc H 3 ( K , Z ) = Z , HS(K,Z) =Z, H 4 ( K , Z ) est sans torsion et HS(K, A) = A. Par (1.7.3), fonctoriellement en A, H~(BK, A) = A : H4(BK, Z) = Z et HS(BK, Z) est sans torsion. Soient T c C G u n tore maximal et W son groupe de Weyl. O n suppose K choisi

46

P. DELIGNE

de sorte que T : = T c r3 K soit le sous-groupe compact maximal de T c. L'inclusion de T dans K induit

0.7.4)

~?* : H'(BK, Z) -+ H*(BT, Z) w.

(C) Le morphisme (1.7.4) est un isomorphisme. La preuve de (C) qui suit m'a 6tfi expliqude par A. Borel. O n peut voir q~ : BT -+ BK comme une fibration de fibre K/T. Puisque G est connexe, BG est simplement connexe et la suite spectrale de Leray de ~ s'dcrit El" = H ' ( B K , H"(K/T, Z)) :~ H ' + ' ( B T , Z). L'espace K / T coincide avec la varidtd de drapeaux G/B. La d~composition de Bruhat, par cellules de dimension rdelle paire, assure que sa cohomologie est sans torsion et nuUe en degr~s impairs. O n a donc Ef q = H~(BK, Z) | H ' ( K / T , Z) et E~q = 0 pour p---- 1, 2, 3 ou q impair. En bas degr~s, la suite spectrale de Leray donne un isomorphisme H2(BT, Z) ~ H2(K/T, Z) et une suite exacte 0 ~ H4(BK, Z) --,- H4(BT, Z) --,,-H4(K/T, Z), Le morphisme H4(BK, Z) -+ H4(BT, Z) est done injectif et son conoyau sans torsion. Par (1.6.6), H4(BT, Z) est l'espace des formes quadratiques enti6res sur Y : = Horn(Gin, T). L'action de W sur Y | Q est absolument irrdduetible. Le groupe H4(BT, Z) w e s t done de rang un, isomorphe ~ Z. Le morphisme (1.7.4) est injectff, conoyau sans torsion, entre groupes isomorphes k Z : c'est un isomorphisme.

Lemme 1 . 7 . 5 . - - Le gdndrateur positif 0 du groupe des formes quadratiques entikres W-invariantes sur Y vdrifie Q ( H , ) ----- 1 pour H , la coracine (courte) correspondant ~ une racine longue ~. Soit Q 1 Ia forme quadratique W-invariante sur Y, a priori ~ valeurs rationnelles, telle que QI(H~) = 1. D'apr~s la classification des syst~mes de racines irrSductibles, pour toute coracine H~, on a QI(H~) = 1, 2 ou 3. Soit B 1 la forme bilin6aire assoei~e Q x : B I ( x , Y ) = Ql(X + y ) Q l ( x ) - Q.I(y). Pour toute racine ~, les formes lin~aires sur Y BI(H~,y) et ~(y) sont proportionnelles. Pour y = Ha, la premiere vaut 2QI(H~) et la seconde 2. On a done (1.7.6)

BI(H~,y ) = Q I ( H [ ~ ) ~(y).

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALG]~BRIQUES

47

Le groupe K &ant simplement connexe, Y est engendr6 par les coracines. La forme Bx est donc tt valeurs enti~res et la forme quadratique Q.x, enti~re sur un syst~me de gdndrateurs, est tt valeurs enti~res. Elle prend la valeur 1, donc est le g~n&ateur posifif cherchd. D'aprts (C) et 1.7.5, l'application composde (1.7.7)

H'(BK, Z) ~ H4(BT, Z) =~.0.6 Sym~(X) = { formes quadratiques enti~res sur Y ) Q(~) Z

est un isomorphisme de H4(BK, Z) sur Z.

Remarque 1 . 7 . 8 . - - Soient T~d l'image de T O d a n s le groupe adjoint G ~ et Y~ : = Hom(G,,, T~a). L'indice de Y d a m Y~ est l'ordre du centre de G. Les racines sont ~t valeurs enti~res sur Y~. Puisque Y est engendr6 par les coracines, (1.7.6) montre encore que la forme bilin6aire B = B1 associde ~ la forme quadratique Q. de 1.7.5 se prolonge en une forme bilinfaire ~t valeurs enti~res ~ appariant y~a et Y. 1.8. Soient G un groupe algdbrique semi-simple simplement connexe sur C et I l'ensemble de ses facteurs simples. Le groupe G est le produit de ses facteurs simples : G = II G, (i ~ I). Soient T un tore maximal de G, produit de tores maximaux Ti C G i et W son groupe de Weyl, produit des groupes de Weyl W~ des T~. Les r~sultats qui suivent se ddduisent de 1.7, qui traite du cas off G est simple, par la formule de Ktinneth : (1.8.1)

= 0

pour i< 3,

H'(BG(C), Z) = 0

pour i < 4,

H~(G(C),Z)

H'(BG(C), Z)

H3(G(C),Z);

(1.8.2)

HS(G(G), Z), Ha(G(C), Z), H*(BG(C), Z) et HS(BG((]),Z) sont sans torsion;

(1.8.3)

H~(BG(C), Z) ~ H~(BT(C), Z) w ~ I-I H~(BT~(C), Z) w~ =x.~.~ Z I.

De plus, (1.8.2) assure, par la formule des coefficients universels, que (1.8.1) reste valable en cohomologie ~t coefficients dans un groupe abdien A. 1.9. Soient S un sch6ma, n u n entier inversible sur S et A un faisceau ab61ien annul6 par n sur S. Pour X un sch6ma sur S, ou un schdma simplicial sur S, nous noterons syst6matiquement a la projection de X sur S e t A l'image inverse de A sur X. La notation Ra.(X, ) de 1.5 16vera les ambiguitds. Soit G~8 , ou simplement G~, le schdma en groupes (~ groupe multiplicatif )~ sur S. Le morphisme x ~ x " :G,,, --->G,,,

48

P. DELIGNE

fait de G,~ un Z/n(1)-torseur ( 0 . N . 3 et 0 . N . 5 ) sur G~. Sa classe de cohomologie dans H~(G,+, Z/n(1)) fournit par localisation sur S une section de R 1 a.(G,, Z/n(1)). Le morphisme correspondant

0.9.1)

Z/n "-~ R.1 a,(Gm, Z/n(1))

est un isomorphisme (r~duction ~ (1.6.1), ou mieux, (1.6.2), par (1.5.1)). Partant de 1~, d~finissant les fl&hes comme en 1.6 $ 1.8 et prouvant que ce sont des isomorphismes par r~duction 1.5 au cas complexe, on obtient les r~sultats (1.9.2) (1.9.7) suivants. Soient T un schema en tores sur S e t X, Y comme en (0.N.7). O n a (cf. 1.6) (1.9.2)

i R + a,(T, a ( i ) ) = A X | a

(1.9.3)

R 2+a.(BT, a(i)) = Sym+(X) | a

et les R 2i+1 a,(BT, A) sont nuls. Si a : G -+ S est un schdma en groupes sur S et ~ un faisceau sur S, la section neutre e fournit une d&omposifion de Ra, ~ en la somme directe de ~ en degr6 0 et d'une image directe rdduite Ra, ~ . De mSme, Ra,(Be, ~ ) est r6duit k ~ en degr6 0 et Ra,(BG, ~ ) se scinde en la somme directe de ~ en degrd 0 et d'une image directe r~duite P,a,(BG, ~ ) . Soit G u n schdma en groupes semi-simples simplement connexes sur S (0. N. 4). Localement sur S (0. N. 1), G est produit de facteurs simples (0. N. 4). Soit I le faisceau des facteurs simples. II est localement constant. O n a (cf. 1.8) (1.9.4)

R4 a.(SG, A(2)) -~ R8 a.(G, A(2)) -~ Z~ | A,

(1.9.5)

nullit6 des images directes r~duites pr&6dentes.

Soient T un sous-sch~ma en tores maximaux de G et X, Y, W comme en (0.N.7). Le morphisme de restriction, de R 4 a,(BG, A(2)) = R 4 a,(BG, A(2)) ~t R* a,(BT, A(2)) = R 4 a,(BT, A(2)) = Sym2(X) | A (1.9.3) induit un isomorphisme

(cf. 1.8.3) (1.9.6)

R 4 a,(BG, A(2)) -~ Sym2(X) w | A.

Localement sur S, G est produit de facteurs simples G+, T est produit de T+ C G+ et si H+ est une coracine courte (correspondant ~ une racine longue) de T+ C G+, (1.9.4) est ddfini par (1.9.6) et l'isomorphisme (1.9.7)

Sym2(X) w -+ Z ~ : Q ~ (Q(H+)).

Si T~ et T , sont deux sous-schdmas en tores maximaux, localement sur S, T~ et T~ sont conjugu6s. U n isomorphisme de conjugaison int(g) induit un isomorphisme entre

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALG~BRIQUES

49

les faisceaux de caract&res X 1 et Xz, et int(g): Sym*(Xx) wl -~ Sym~(X2) w* est inddpendant de g. Le diagramme d'isomorphismes R' a,(BT~, A(2)) wl = Sym(X~)w' | A

(1.9.8)

R' a,(BG, A(2)) /

~t,

\

/1..,

ZI|

R' a.(BW,, A(2)) w* --= Sym(Xs) w' @ A est commutatif. Cas particulier : (1.9.9)

Pour G simple, R* a,(BG, Z/n(2)) a un gdndrateur canonique 1.

1.10. Pour G un schdma en groupes sur S, la projection de G sur S admet pour section la section neutre e. Elle d~finit un scindage H*(S, A)

H*(G, A) --+ H*(S, A)

de la cohomologie de G en somme directe de celle de S et d'une cohomologie rdduite : celle de G modulo le sous-schdma en groupcs trivial e. De mdme, le classifiant Be a m~me cohomologie que S et la restriction de BG ~ Be fournit un scindage de la cohomologie de BG en celle de S e t celle de BG mod Be. Notation.

--

On notera H* ces groupes cohomologie relative, de G mod e, ou de

BG mod Be. Ils sont l'aboutissement de suites spectrales de Leray E~~ - - H ~ ( S , ~ q a , ( G , A ) ) et

~H~+~(G,A)

E~" = Hr(S, R~ a.(BG, A)) ~ Hv+~(BG, A).

Si G est semi-simple simplement connexe sur S, de faisceau de facteurs simples I, on a done par 1,9 (1.10.1)

H4(BG, h(2)) --%H (G, A(2)) ~ H~

Z~QA)

(1.10.2)

nullit5 des groupes de cohomologie rdduite pr&ddents,

Soient T un sous-schdma en tores maximaux de G et X, Y, W comme en 1.9. L'isomorphisme (1.10.1) est la restriction ~ BT, localisde sur S : ~'(BG, A(2))

(1.1o.s)

-> H~

\

Sym2(X)w|

Sq.o. H~

R' a,(BT, A(2)))

~.o.~. Ho(S ' Z ~|

50

P. DELIGNE

En particulier, pour G simple simplement connexe sur S, (1.10.4)

H'(BG, Z/n(2)) = HS(G, Z/n(2)) = H~

Z/n)

contient un 616ment canonique 1. Proposition 1.11. - - Pour S spectre d'un corps F, G u n simplement connexe sur F et e ~ H3(G, Z/n(2)), l' application (1.11.1)

groupe alggbrique semi-simple

g ~-+g*(c) : G(F) -->-H"(Gal(F/F), Z/n(2))

est nuUe. Preuve. - - Par (1.10.1), e provient d'une classe dans H+(BG, Z/n(2)). Comme on le verra en (2.4.2), il en r6sulte que si ~ : G • G ~ G est la loi de groupe, on a ~t*(c) = pr~(e) + pr~(c). I1 rdsulte de (I. 11.2) que l'application (1.11.1) : g ~-*g*(e) est un homomorphisme. Si le corps F est fini, H3(Gal(F/F), Z/n(2)) = 0 et 1.11 est trivial. Supposons donc F infini. Soit Fz une extension finie separable de F telle que G(Ft) soit 6gal ~t son groupe des commutateurs. I1 suffit de prendre F z ddployant G. Le diagramme G(F)

z.n.t HS(Gal(~/F), Z[n(2))

G(Fz ) 1.11.1 > H3(Gal(F/F1), Z/n(2)) est commutafif. Puisque G(F1) est 6gal ~t son groupe des commutateurs, le morphisme en deuxi~me ligne est nul. Pour g E G(F), on a d o n c :

(1.1t.3)

[F 1 : F] g*(e) = coresvl/v re~,/F g*(e) = 0.

D6composant n en facteurs primaires, on se ram~ne ~t supposer n puissance d ' u n nombre premier g inversible dans F : n = t a. S i t best la plus grande puissance de t divisant [ F t : F ] , on a par (1.11.3) tbg*(c) ----0. La suite exacte courte tb

0 -+ Z/t ~ -+ Z/t* + b _+ Z/tb ~ O,

tordue ~t la Tate, fournit une suite exacte longue de Gal(F/F)-cohomologie S2(Z/t.+~(2) ) 0_~ S~(Z/tb(2) ) _~e Us(Z/t,(2) ) ~_~ Ss(Z/~+b(2))"

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BKIQUES

51

Par Merkurjev-Suslin (1982), le groupe Kz(F) s'envoie sur chaque H2(Z/#(2)). La fl~che (9 est donc surjective, et la fl6che @ est injective. On lit sur (1.10.1) que la classe e est r6duction modt* d'une classe ~ ~t coefficients dans Z/t'+b(2). La classe g'(r est 1~ r~ducdon modulo/~ de g*(~), et on a encore P g * ( ~ ) = 0. La multiplication par # dans Z/t ~+b est le compos6 Z / t a + b _+ Z / t a

La multiplication par gb dans H2(Z/la+b(2)) est donc le compos6 H~(Z//a + b(2)) ---->H2(Z//a(2)) ~ et

H2(Z/I ~+ b(2)),

g*(~) ~-.g*(e) ~-, 0,

avec un z~ro au but car # g*(~) = 0. La fl~che | ~tant injecdve, on conclut que g*(e) = 0. Cet argument est une traduction ~ : , avec une compatibilitd pour un morphisme compos~. > signifie H~(X, ~ ) = 0 pour i > 0.

EXTENSIONS CENTRALES DE GKOUPES ALGI~BRIQUES

53

La r~solution flasque canonique (SGA4, XVII, 4.2) fait l'affaire. Une rdsolution injective ~* de l'image inverse de ~ sur le gros site 6tale SET de S aussi. Le site S~r est celui des sch6mas de type fini sur S, pour la topologie ~tale. Pour f : X -+ S de type fini, i.e. X dans SET , les morphismes de sites f : Xr~ -+ SET e t p : XE~ --~ X~t donnent lieu ~ des foncteursf* et p., exacts et admettant (SGA4 (t. I), IV, 5) pour adjoints gauche respectivementf, et p*. Le composfi p.f* est simplement le foncteur de restriction Xe~ d'un faisceau sur SE~ , de sorte qu'une rfisolution injective ~* de l'image inverse de ~ sur Sr~ induit une r~solufion injective fonctorielle en X de ~ x sur chaque Xr Pour i : Y ~ X un sous-sch~ma ferm~ de X, le lecteur veillera ~ ne pas confondre ~ avec l'image inverse sur Y de ~ . Nous n'aurons pas ~ faire usage de cette image inverse, dont les composantes ne sont en g~n~ral pas acycliques. Nous appellerons ~ restriction ~ Y ~ le morphisme i* : F(X, ~ : ) -~ F(Y, ~ ) . Si cela ne cr6e pas d'ambiguitd, nous 6crirons simplement ~ et :~* pour ~ x et SY~. Par exemple, nous 6crirons H*(X, ~ ) pour H*(X, ~x).

Notation. - - P o u r f : X ~ Y un morphisme et c e F (Y, ~"), nous dcrirons parfois c ( f ) pour f * c. Cette notation sera particuli6rement commode pour X = S, i.e. p o u r f ~ Y(S). 2.2. Soient (Y~)~z c u n e famiUe finie de sous-sch6mas ferm6s de X, et j : U r X l'inclusion dans X du compl6ment de la rdunion des Y~. Pour D C C, soit i(D) : Y(D) ~ X l'inclusion de l'intersection Y(D) des Yd (d z D). On a Y(0) = X. Si l'on identifie D sa fonction caract6ristique C 4 { 0 , 1}, les i(D).(~'r, DI) apparaissent comme un complexe C-uple, nul en degr~s # 0, 1, de diff6rentieUes les morphismes de restriction. Le complexe simple associd est une r6solution de j, ~ u , ainsi qu'on le vdrifie point par point. R6solvant ses composantes par les i(D). ~ T ~ , on obtient une rdsolution de j~ d r composantes acycliques : les morphismes

(2.2.1)

J, ~ u -+ s(i(D). ~Y, DI) -+ s(i(D). ~(D,)

sont des quasi-isomorphismes. Passant aux sections globales, on voit que la cohomologie de j, t~ u (cohomologie relative de X mod [J Y,) est celle du complexe simple associ~ au complexe (C + 1)-uple suivant : (2.2.2)

H*(X,j, ~u) = H* sF(Y(D), ~ ( , , ) .

2.3. En termes d'un syst~me fonctoriel de rdsolutions ~* comme en 2.1, la cohomologie H*(BG, ~ ) est Celle du complexe simple associ~ au complexe double des F(Ga"/G, ~ " ) , comme en 1.1 (B). Si f : K ~ L e s t un morphisme de complexes, la cohomologie relative correspondante est celle du complexe simple associ6 au complexe double [K ~ L] nul en premier degrd # 0, 1 et ayant K (resp. L) comme colonne d'indice 0 (resp. 1). Un cocycle est done un cocycle de K muni d'une homologie ~ z6ro de son image dans L. Si f est en chaque degr~ un 6pimorphisme, le sous-complexe K e r ( f ) C K de s[K -+ L] a m~me cohomologie.

54

P. D E L I G N E

La cohomologie r6duite H*(BG, &) de 1.10, r u e comme celle de BG mod Be, est obtenue par ce proc6d6 : c'est celle du complexe

(I1.3.t)

s[sr(G~./G, ~'~) -~ sr(P,/e, ~ ) ] .

Nos calculs utiliseront trois complexes quasi-isomorphes (et m~me homotopes) ~t (2.3.1). A n i> 0 fixe, le eomplexe r(ea,/e, ~*) est une copie de F(S, &*). La diffdrentielle simpliciale est alternativement 0 et l'identitd : la colonne n ---- 0 du complexe sI'(ea,]e, g~) en est un facteur direct, e t a la m~me cohomologie. Rempla~ant dans (2.3.1) sP(ea,/e, ggm) par sa colonne n -- 0, on obtient done un complexe quasi isomorphe (2.3.t)'

s[sr(Ga"/G, ~ )

-+ r(ea~

~")].

Plus pr6cis6ment, le morphisme naturel de (2.2.1) dans (2.2.1)' est une 6quivalence d'homotopie. Puisque Ga~ = ea~ = S, rempla~ant (2.3.1)' par un noyau, on obfient le sous-complexe quasi isomorphe

(~..3.2)

s[r(Ga./G, ~)

pour n > O, 0 pour n +

I~(Gn-i, ~m)))

1

oh la fl~che est la somme des morphismes de restriction aux sous-sehdmas g~ ---- e (1 ~< i ~ u). Dans (2.3.2) et (2.3.3), nous identifierons aussi G~,/G ~ G ~, comme en 1.3. Les suites spectrales ddfinies par la filtration par n s'dcrivent respcctivement

E~ q (2.3.6)

i H'(G" ~) / 0

(p > 0) (p < 0) *

E~ q = Hq(G ~, ~ ) ~ H*(BG, N).

Dans (2.3.6), la notation ~ est celle de 1.10.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

55

Pour T C { 1, . . . , n}, soit D T le sous-schdma Ha(S, ~ ) .

(ii) S o i e n t f : S' --> S u n morphisme de schdmas, G' : ---- G x s S' l'image inverse de G sur S' et ~ ' un faisceau sur S' muni de ~ :f* ~ -+ 5~'. O n suppose choisis des syst~mes de r~solufions d'images inverses de ~ et ~ ' , comme en 2.1, et un morphisme prolongeant ~ entre elles. Par exemple : travailler sur un gros site ~tale de S, assez gros pour contenir S', prendre une rdsolution injective de l'image inverse de dY sur ce site, choisir une r6solution injective de ~ ' , et prolonger tp en un morphisme de rdsolufions. Pour c un cocycle reprdsentafif de e e H4(BG, :~) et r = q0f* r son image inverse sur BG', les morphismes (2.4.3) et extensions centrales (2.4.7) correspondantes E et E' donnent lieu ~ un diagramme commutatif 0

, H2(S,&)

> E

> G(S)

> Hs(S,&)

0

> H*(S', .~')

> E'

, G'(S')

, H3(S ', M').

58

P. DELIGNE

(iii) Pour S hens61ien local de point ferm~ s, on a H*(S, N) --%H*(s, ~ ) . Faisons S' = s dans (ii). Par (2.5.2), G(S) ~ est l'image inverse de G(s) ~ C G(s) et l'extension E est l'image inverse par G(S) ~ -+ G(s) ~ de l'extension centrale E'.

II. 8. Fariante. - - L a construction 2.6 est en fait valable dans tout topos. Prendre pour G un faisceau en groupes et pour ~ un faisceau abdlien. De ce point de vue, 2.6 est le cas particulier du topos des faisceaux sur le site SET , pour ~ l'image inverse d ' u n falsceau sur Set et pour G le faisceau des applications dans un objet en groupes de S~.T. 2 . 9 . Topologie. - - Soit F u n corps local : localement compact non discret. Si G est un groupe alg6brique sur F, i.e. un schdma en groupes de type fini sur S = Spec(F), le groupe G(F) est un groupe localement compact. Soient c ~ H4(BG, ~ ) et c u n cocycle repr~sentatif. Nous nous proposons de vdrifier que le sous-groupe G(F) ~ de G(F) correspondant est un sous-groupe ouvert, et de munir l'extension centrale E d~finie par c d ' u n e topologie qui en fasse un groupe topologique et un revfitement de G(F) ~ L a construction repose sur le thdor~me des fonctions implicites : si f : X ~ Y est un morphisme dtale de schdmas de type fini sur F, le morphisme d'espaces localement compacts f : X(F) ~ Y(F) est un homdomorphisme local. Soient F et B comme en 2.1. Lemme 9..10. - - Soit k e H~(X, ~ ) . L'application de X(F) dans H'(S, .~) = H'(Gal(F/F), B) : x v-, x*(h)

est localement constante. Preuve. - - S o i t y e X(F). L'hensfilis~ X v de X en y est la limite projective des voisinages ~tales U d e y (schfima U ~tale sur X muni d e . ~ e U(F) au-dessus d e y ) . l.a cohomologie de Xy coincide avec eelle de son point ferm~y _ Spec(F), et est la limite inductive de celle des voisinages ~tales U de y. I1 existe done un voisinage 6tale U tel que la restriction de h ~ U coincide avec l'image inverse sur U de y*(h). L a fonction x ~ x*(h) est alors constante de valeur y* (h) sur l'image de U(F) dans X(F). Par le th~or6me des fonetions implicites, cette image contient un voisinage de y et 2.10 en r~sulte. Faisons dans 2.10 X = G e t h = [c3] : le morphisme (2.4.3) est localement constant et son noyau G(F) ~ est done ouvert. Pour faire de E un H~(S, ~)-torseur sur l'espace topologique G(F) ~ il suffit de d6finir une classe c# de sections locales telle que a) Pour tout g E G(F) ~ il existe une section locale de classe c# d~finie en g. b) Si Sl et s~ sont deux sections locales de classe c#, sur leur domaine commun de d~finition V C G(F) ~ on a s2 = s1 ~0 avec ~0: V -+ H2(S, 5~) localement constant. Pour que la structure correspondante d'espace topologique sur E en fasse un groupe topologique, il suffit que, de plus, c) Pour trois sections locales sl, s~ et s3, sur l'ouvert de G(F) ~ • G(F) ~ off sl(x), s2(y) et s3(xy ) sont d~finis, on a sl(x) s~(y) = s3(xy ) c(x,y) avec c localement constant.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

59

Dtfinissons la classe ~ comme &ant celle des sections obtenues comme suit partir d'un morphisme 6tale f : U --> G tel que f*[ca] = 0, d'une section locale topologique

G(F), de domaine V C G(F) et de x E I'(U, ~2) vtrifiant f * q = dx. L a section est dtfinie sur V, de valeur en v la classe modulo Im(d) de

(x)

r(s,

Preuve de a). - - Si g E G(F) ~ g*[ca] ---- 0 et la preuve de 2.10 montre que g admet

un voisinage d t a l e f : U --+ G tel q u e f * [ q ] = 0. De plus, par le thfiorSme des fonetlons implicites, f : U(F) --+ G(F) admet une section locale topologique e n g . Preuve de b). - - Soient U+, x+, ~+ ddfinissant des sections locales s+ (i = 1, 2). Sur leur domaine commun de ddfinition, Sl et sa sont encore dtfinies par le produit fibr~ U t • Ua, pr~(x~) et (q~t, r : on peut supposer et on suppose que U t = U~. et que (Px----r (notts U et r La diff5rence xa - - x t est fermSe. Soit [ x a - xt] ~ Ha(U, ~ ) sa classe. Les sections s t et sa different par ~0*[xa -- xt] , localement constant par 2.10. Preuve de c). - - Soient U+, x~, ~ ddfinissant des sections locales s+ (i = 1, 2, 3). Soient ~ : G • G -+ G la loi de groupe et U le produit fibr~ sur G • G de prl(Ut) , pr~(U~) et 9*(Ua). La fonction c ( x , y ) provient d'une classe dans Ha(U, ~ ) et d'une section locale topologique q~ de U(F) --+ G(F) • G(F), et l'on conclut encore par 2.10.

2.11. Soit U un schtma en groupes unipotent sur S, localement extension ittrde de sch6mas en groupes additifs et supposant ~ annulfi par un entier inversible sur S. U n e application itdrte de SGAr (t. 3), XV, 2 . 2 donne

(2.11.i)

Ra,(U,

=

Avec la notation ~ de 1.9 et 1.10, on a donc Ra,(U, &) = 0. L a suite spectrale de 1.10 donne

(9..11.2)

H*(U, ~') = O.

Par (2.11.2) appliqufi aux U" et la suite spectrale (2.3.6), on a

(2.11.3)

~*(BU, ~ ) = 0.

Si U est un sous-schtma de G e t que c r H4(BG, ~ ) , la fonctorialit6 (2.7.1) donne (9..11.4)

U(S) C G(S) ~ : = ker(G(F) --->Ha(S, ~ ) )

et l'extension centrale d~finie par un cocycle reprdsentatif de c e s t canoniquement scindde au-dessus de U(S). En particulier, si HS(BG, ~ ) = O, l'extension centrale E canoniquement attach~e A r est munie d'un scindage

u(s)

/ 0

, H*(S,~)

> E

f , G(S) ~

> 0.

60

P. DELIGNE

2.12. Reprenons les notations de 2.4, en prenant r dans le complexe (2.3.4). Soit h dans G(S) ~ Relevons h en ~ = (h;y) dans l'extension centrale E. L'automorphisme intErieur correspondant de E ne depend que de h. Notons-le Int(h). Pour (g; x) dans E, exprimant que Int(h) [(g; x)] (h;y) = (h;y) (g; x), on obtient (2.12.1)

Int(k) [(g; x)] = (hgh- 1; x -k c2(k, g) -- c,(hgh- 1, h)).

U n calcul laissE au lecteur montre que pour h quelconque dans G(S) et (g; x) dans E,

x --}- c2(h,g ) -- r

-1, ]'t) ~E(ltgh -1)

et que int(h), dEfini par (2.12.1), dEfinit une action de G(S) sur E, relevant l'action par automorphismes intErieurs de G(S) sur G(S) ~ U n argument plus transparent sera donne dans la preuve de 4.2. Soient (k;y) et (g;x) dans E, de commutateur (h,g) (O.N.6). Exprimant que (h, g) (g; x) -- int(h) [(g; x)], on obtient (2.12.2)

(h,g) = (hgh-l g-1; c2(h,g) -- c~(hgh -1, h) -- c2(hgh-l g - l , g ) ) .

U n calcul laissE au lecteur (un calcul analogue sera donne en 4.4) montre que pour g e t h quelconques dans G(S), on continue ~ avoir c2(h, g) - - c2(h - 1 gh, h) -- c,(]tgk -1 g - 1 g) ~ E(hgh-1 g - I ) .

Non seulement le commutateur de g et h e s t dans G(S) ~ - - une consequence de ce que (2.4.3) est un homomorphisme - - mais, exprimant pourquoi, on obtient un relEvement explicite de ce commutateur dans E : (2.12.3)

G(S) • G(S) - + E ,

donne par (2.12.2)

(h dans le premier facteur G(S), g dans le second). L'intEr~t de ces constructions est de s'appliquer ~ des cas universels. Indiquons par un indice X l'effet d'un changement de base X ~ S. Sur G • G, on dispose des deux sections g, h de G a • o dEfinies par prl, pr~ : G • G -+ G. Sur G • G, l'image inverse du cocycle c dEfinit encore une extension centrale, notEe E o • ~, de G~ • o(G • G) ~ par H*(G • G, ~ ) et (2.12.3) fournit un relEvement ~t Ea• a du commutateur universel ghg -1 h -~. Pour (go, h0) E G(S) x G(S), le commutateur (2.12.3) s'en dEduit par image inverse par (go, h0) : S ~ G • G. Soit C C G x G le sous-schEma des (g, h) tels que g commute ~ h e t changeons

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

61

de base par C --> S. Au-dessus de C, le commutateur universel est trivial et son rel$vement (2.12.3) fournit une classe de cohomologie (9..1~..4)

[comm]

e

Hs(C, ~).

Par construction, on a Proposition ~..13. - - Si g e t k dans G(S) commutent, le r ggal au commutateur ( 0 . N . 6 ) si g, h ~ G(S) ~ est

(2.12.3) de g e t h,

(g, h)* [comm]e H2(S, .~).

2.14. L'intEr+t de 2.13 est qu'il peut +tre plus facile de calculer une classe universelle dans H2(C, ~ ) que de calculer directement un commutateur (0.N.6). Cf. 3.2. Paraphrasons la construction de [comm]. Soient g, k et gh les applications prl, pr 2 et la loi de groupe de G x G dans G. O n a sur G x G h* c3 -

(gh)* c3 + g*

=

-

d " ( g , h)* c,

et, prenant l'image inverse par (g, h) ~-* (k, g) g* c3 - - (hg)* c3 + h* c3 = - - a"(h, g), c,.

Les membres de gauche ont la m~me image inverse sur C et (~.. 14.1 )

comm : = (g, h)* c~ -- (h, g)* c~

est donc un 2-cocycle sur C. I1 reprEsente [comm]. Si Y est l'un des sous-schEmas G X e, ou e X G de C, l'image de comm par le morphisme de restriction (fonctorialitd de ~*)

r(c,

r(Y,

est nulle. Le cocycle comm est donc encore un cocycle dans le complexe (2.2.2) relatif ~t ces sous-schdmas. Par (2.2.2), il dEfinit une classe dans la cohomologie relative de C m o d G X e u e X G. Si on change le reprEsentant c de e en c + db, b = b2 + bl + bo, le 2-cocycle comm est change en comm + d " ( ( g , h)* b 1 - - (h, g)* bl),

et (g, h)* b 1 - - (h, g)* bl s'annule par restriction ~ G x e, e x G. La classe de cohomologie (2.14.2)

[comm] ~ H2(C mod G x e u e x G, ~ )

ne depend donc que de c. Des arguments analogues permettraient de prEciser [comm] en une classe de cohomologie dans H ~ ( C m o d G x c u e X G u A , ~ ) , pour A la diagonale ~(G) de G • G.

62

P. D E L I G N E

3. Groupes seml-slmples slmplement connexes 8.1. Reprenons comme en 1.9 les notations S, n (inversible sur S), A (annul6 par n), a (projection sur S), T (tore sur S), X = 3f'Oms(T, G,~), Y = 3/%ms(G,~, T) de (0.N.7). Soit e une classe r ~ ~4(BT, A(2)) (notation ~ de 1.10). Pour i = 2, (1.9.3) s'&rit R 4 a.(BT, A(2)) = Sym'(X) | A. Par localisation sur S, la classe e fournit donc une section globale de Sym~(X)| A, une forme quadratique Q~ k valeurs dans A sur Y. L a classe e d6finit un morphisme (2.4.3) de T(S) dans Hs(S, A(2)) et une classe d'isomorphie d'extensions centrales du noyau T(S) ~ par H~(S, A(2)). D'apr~s 2.13 et 2.14, l'applicafion commutateur correspondante (0.N.6), de T(S) ~ x T(S) ~ H~(S, A(2)), est d6finie par une classe

i.e.

comm(e)~ H ~ ( T

xsTmodT

• e toe • T, A(2)).

O n se propose de la calculer. D'apr~s (1.9.2), ddduit de (1.6.4), on a (8.1.1)

R*a,(Tmode,Z/n)=lO

sii--O

X|

sii>0.

Le calcul de R* a.(T • s T mod T X e to e x T, Ktinneth : c'est

Z/n) s'en

d6duit par la formule de

[A(X | Z/n(-- 1)) en degr& > 0] ~ Tensorisant avec A(2), on a donc (8.1.~)

R* a.(T x s T m o d T

x e toe X T, A(2)) = X | 1 7 4

(8.1.8)

nullit6 des R ~a. pr&6dents.

Par la suite spectrale de Leray pour la projection sur S, on d~duit de (3.1.1), tensoris6 avec A(1) (voir 1.5.1 Remarque) (reap. de (3.1.2) et (3.1.3)) que (8.1.4)

Ha(T mod e, A(1)) = n ~

(3.1.5)

H*(T x s T m o d T x e to e x T, A(2)) = H~

Le groupe H~

X | A), X|174

X | X | A) eat celui des formes bilin~aires sur Y ~ valeurs dans A.

E X T E N S I O N S C E N T R A L E S DE G R O U P E S ALGI~.BRIQUES

63

Proposition 8.2. La forme bilin~aire sur Y image de c0mm(r par (3.1.5) est l'opposle de la forme bilingaire B~ assodge ~ Q ~ . -

-

Preuve. ~ I1 suffit de vdrifier 3.2 en chaque point g~omdtrique de S. O n peut done supposer, et on suppose, que S est le spectre d'un corps alg~briquement elos F. Par fonctoriatitd en A, on peut aussi supposer que A ---- Z]n. I.'applicafion de restriction en eohomologie ~t coefficients dans Z/n(2)

HI(T

X

T) -% HI(T

e to e X T) ~ HI(T) X HI(T)

X

est bijective, en particulier surjective. Par la suite exacte longue de cohomologie, l'applicafion H2(T X T m o d T

x eue

x T)-+H"(T

X T)

est donc injective. Son image est le noyau de

(3,2.1)

H~(T X T) ~ H'(T)

x

H~(T)

et il suffit de v6rifier 3.2 dans H~(T x T). L'identification utilis6e en 3.1 entre le noyau de 9.

2

9.

A (X 9 X) | Zln ~ (A X 9 A X) | Zln et X | X |

Z/n, donnde par Kfinneth, est

x|

~-* x' n y " (modulo n)

o/1 ' (resp. ") est la premi6re (resp. seconde) injection de X dans X @ X. La classe e est celle d ' u n cocycle cs-F c ~ + c 1 + co (2.4). Dans la suite spectrale 2 . 3 . 5 pour BT, on a E ~ ' S = 0 (cf. 1.6.8). O n peut donc supposer que c~ = 0. La cochaine c~ est alors un cocycle. Soit [c~] E H~(T x T) sa classe de cohomologie. Par ddfinition, Q~ e Sym~(X) | Z/n est obtenu comme suit : [c2] e HZ(T • T) = E~2 v6rifie dx[c~] = 0, donc a une image [c~]- dans E~~. Lorsqu'on identifie E~2z ~t SyruP(X) | Z/n par la structure multiplicative de la suite spectrale (1.1.3), Q., = [c,]-. Explicitons. Le produit 2

En ~ ~ alzn -~E~23 : X Q X Q Z / n est

x|

--->A (X q~ X) |

~-~ -- O~(x) A Oo(y ) ----- -- X' A y " (modulo n).

Puisque E~1 est dgal ~t E~1, il est h valeurs dans Ker(dl). Le morphisme 2

2

dl : E'? -+ Ey : A x | Zln ~ A ( x + x ) | Zln est

x Ay ~ x" Ay" -- (X' + X") A (y' + y " ) + X' Ay' = -- (X' Ay" + X" ^ y') (modulo n).

64

P. DELIGNE

Les images du produit et de d1 engendrent Ker(dl : E~1 -+ E~' 1), que l'on peut done identifier ~t X | X | Z / n par x | ~ x' ^ y " . Pour cette identification, le produit est l'oppos6 du produit x | 6vident, l'image de dl est le sous-groupe des y | x - x | Le quotient de X | 1 7 4 par ce sous-groupe est S y m * ( X ) | et, pour cette identification, -

Soit 9 la sym6trie (g, h) ~-* (h, g) de T x T. Par d6finition, l'image de comm(e) dans H2(T x T) est =

[q]

-

L'action de 9 sur X | X N Z/n C H~(T • T) est donn6e par 7" : x' h y " ~-* X" Ay' --= - - y ' A X", i.e.

x|

~ - - y N x (modulo n).

Pour c2 = x' ^ y " , Q r est done la forme quadratique -- xy sur Y e t comm(e) la forme bilin6aire x N y -k Y | x, en accord avec 3.2. 3.1]. Le noyau de t ~-~ t" : T ~ T e s t canoniquement isomorphe k Y | Le morphisme t ~-*t" : T ~ T est fini, 6tale et surjectif; il fait de T un Y | torseur (0. N. 5) sur T, trivialis6 le long de la section neutre e. Soit b E H I ( T mod e, Y | Z/n(1)) sa classe de cohomologie. L'isomorphisme (3.1.1) R 1 a,(T mod e, Z/n(1)) = X | Z / n est donn6 par x ~ x(b), et l'isomorphisme (3.1.2) R 2 a , ( T m o d T x e u e • T, Z/n(1)) = X N X N Z / n est donc donn6 par x|

~-~ x |

b [] b).

Pour B e H ~ 1 7 4 identifi~ ~ un morphisme Y | correspondante (3.1.5) dans H~(T X s T mod T | e u e X T, (2)) est done

la elasse

B(b [] b).

I1 suffit de le vgrifier en chaque point g6omgtrique. Pour g E T(S), g*(b) ~ Hi(S, Y | Z/n(1)) est simplement le cobord 0g de g pour la suite exacte longue de eohomologie d~finie par

(3.3.1)

0 - + Y N Z/n(1) ~ T

- + T -~0.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

65

L'image inverse par g du Y | Z/n(1)-torseur de classe b est en effet simplement l'image inverse de g par t ~-, t" (voir SGA489 Cycles 1.1, pour les conventions de signes). Pour g, h ~ T(S), on a (g, h)*(b [] b) = g*(b) | h*(b) = Og|

dans H~(S, Y | Y |

Z/n(2))

et

(g, h)*(B(b [] b)) = B(Og | Oh)

dans H~(S, A(2)). Appliquant 2.13 et 3.2, on obdent Proposition 3.4. - - Avec les notations de 3.1 et 3.3, /e commutateur (2.12.3) de g e t h dans T(S) est

(3.4.1)

(g, h) =

-- B~(Og|

pour B e : Y | - + A la forme bilingaire associge ~ Q e . En particulier, si g, h e T ( S ) ~ /e commutateur ( 0 . N . 6 ) de g e t h dans l'extension centrale E de T(S) ~ par H~(S, A(2)) est donnd par (3.4.1). Rassemblons les r~sultats obtenus. Les notations sont ceUes d e (0.N. 7).

3.5. TMorkme principal. - - ~qoient G un scMma en groupes semi-simples simplement connexes sur S, de faisceau de facteurs simples I, et c ~ H~

Z I | A)

correspondant par (1.10.1) ~ c eI~4(BG, A(2)). Les H* prgcddents sont nuls (1.10.2). Par 2.6, la dasse c fournit un homomorphisra*

(3.5.1)

G(S) -+ Hs(S, A(2))

et une extension centrale canonique E(c) du noyau G(S) ~ par H*(S, A(2)) :

(3.5.2)

0 -+ H'(S, A(2)) -+ E(c) -+ G(S)" -+ 0.

Soient T u n sous-schdma en tores de G. La restriction de e ~ BT, localisde sur S, ddfinit une quadratique O e sur Y , g~ valeurs dans A. Soit B e la forme bilingaire assodge. Pour T(S) ~ = T(S) n G(S) ~ le commutateur de g e t h dans E(e) est g,h e

formg

(3.5. a)

(g, h) = -- Bc(Og | Oh),

off 0 : T(S) ~ HI(S, Y | Z/n(1)) est le cobord ddfini par (3 3. I). Pour T u n sous-schdraa en totes maximaux, Q e clans H~ Sym~(X)W | A) est caraxtgrisd par la condition que, localement sur S, si o~ est une racine longue d'un facteur simple G, de G, Qc(H~) = q. 9

66

P. DELIGNE

Si S est le spectre d'un corps F et que A = Z/n, (3.5.1) est trivial : E(c) est une extension par H'(S, Z/n(2)) de G(S) tout entier :

(3.5.4)

Z/n(2))

E(c)

G(F) ->0.

3.6. Cas particulier. - - Si G est simple (0.N.4), et que A = Z/n, la donnde de c est simplement la donnde d ' u n entier modulo n localement constant sur S. Pour c = 1, on appellera c le gdngrateur canonique de H4(BG, Z/n(2)) et E(c) l'extension canonique par H'(S, Z/n(2)). Proposition 3.7. ~ Soit G u n groupe algdbrique simple simplement connexe ddployd sur un corps infini F. L'extension centrale canonique (3.6) de G(F) par H~(Gal(F/F), Z/n(2)) est celle attacMe par Matsumoto (1969) ~ l' opposd du symbole galoisien (0.3). Preuve. - - Soit T u n tore maximal ddployd de G. Par Matsumoto (1969), II, 5.4 c) ct la preuve de ibid., II, 5.8, l'extension que Matsumoto attache k un symbole c a une restriction ~ T(F) dont le commutateur est donnd par (3.7.1)

(Yx(s),y,(t)) : c(s, t)

pour Yl,Y~ e Y = Hom(G~, T) et < , > la formc bilindaire associde ~ la forme quadratique enti~re W-invariante Q sur Y vdrifiant Q ( H , ) = 1 pour ~ une racine longue. Pour comparer ~ la formule donnde par Matsumoto, utiliser que Q ( H , ) or

= < H~, H~ >.

Prenons pour symbole c l'opposd du symbole galoisien. D'apr~s 3.5, la m ~ m e formule donne alors le commutateur pour l'extension canonique (3.6). Supposons tout d'abord que G n'est pas de type C~ (n >i I). Toute extension centrale de G(F) est alors donnde par un symbole. De plus, la forme bilin~alre < , > prend la valeur 1 et ce symbole est donc ddtermind par l'application commutateur, pour la restriction~ T de l'extension centrale. Ceci prouve 3.7 pour G non de type C~

I). Supposons G de type A I = CI : G = SL(2). Regardons SL(2) c o m m e sous-groupe de SL(n) (n I> 3) par la reprdsentation lindaircsomme de la reprdsentation tautologique et d'une representation triviale. Les extensions centrales (3.6) et de Matsumoto de SL(2) sont induites par les extensions centrales analogues pour SL(n), et 3.7 pour G de type A 1 r~sulte de 3.7 pour G de type A , . Pour G quelconque, rdalisons SL(2) comme sous-groupe de G engendrd par H~(G,,) et les sous-groupes radiciels U• ~, pour a une racine longue. D'apr~s Matsumoto (1969), II, 5.10, une extension centrale de G est d6terminde par sa restriction t~ SL(2), et 3.7 pour G r~sulte de 3.7 pour SL(2). Remarque 3.8. - - Ci-dessus, nous avons trait~ du cas off G = S L ( 2 ) p a r rdduction au cas off G = SL(n) (n >/ 3). Voici une autre fa~on de procdder, peut-~tre plus naturelle.

EXTENSIONS

CENTRALES

Le groupe SL(2, F) 6tant parfait, extension centraie universelle (3.8.1)

DE GROUPES

i.e.

ALG]~BRIQUES

67

dgal ~t son groupe d6riv6, il admet une

1 -+ L -+ SL(2, F) ~ -+ SL(2, F) -+ 1.

]~tant solution d ' u n probl6me universel, cette extension est bien d6finie ~t isomorphisme unique pros (cf. Moore (1968), chap. I). Le groupe adjoint SL(2) ~ est le groupe PGL(2), l'aetion de PGL(2) sur SL(2) 6tant d6duite de l'action de GL(2) sur lui-m~me par automorphismes intdrieurs. L'action de PGL(2, F) sur SL(2, F) se rel6ve uniquement en une action sur SL(2, F) ~. L'extension (3.8.1) dtant une extension centrale, le sous-groupe PSL(2, F) de PGL(2, F) image de SL(2, F) agit trivialement sur L : l'action de PGL(2, F) sur L se faetorise par PGL(2, F)/PSL(2, F), idenfifi6 ~t F*/F *s par det. Soit K : = LmL~2.r~ le groupe des co-invariants. Soient a et b dans F*, g dans PGL(2, F) la matrice diagonale (a, 1), h dans SL(2, F) la matrice diagonaie (b, b-1) et ~ un rel6vement de k dans SL(2, F) ~. Puisque g, agissant sur SL(2), fixe h, le ~ commutateur >>g(~) h'-1 est darts L. Son image (g, h) dans K est inddpendante du choix de ~ relevant h. Dans Moore (1968), 9.2, ou Matsumoto (1969), 5.10, le noyau L e s t d6crit par g6ndrateurs et relations. Calculant l'action de PGL(2, F) sur L, on ddduit de leurs formules que le quotient K de L e s t Ks(F ). Plus prdcisdment, l'applicafion (a, b) ~-. g(~) ~- 1 induit un isomorphisme de Ks(F) = F*| F*/< (a, 1 -- a) > sur le quotient K de L. Si une extension centrale (8.8.9.)

1 ~ L~ -+ SL(2, F)x -+ SL(2, F) -+ 1

de SL(2, F) est telle que l'action de PGL(2, F) sur SL(2, F) se relive ~t SL(2, F ) I , avec action triviale sur Lx, elle est ddduite de (3.8.1) par u n morphisme u : L -+ L~ qui se factorise par le quotient K = Kz(F) de L. L'application ~< commutateur , g(h~ ~'~--1 : (8.8.8)

(matrices diagonales de PGL(2, F)) • (matrices diagonales de SL(2, F)) -+ Lx

d6termine u, et done l'extension centraie (3.8.2). Pour v6rifier 3.7 pour SL(2), il suffit done de ealculer le ~ eommutateur >> (3.8.3) pour l'extension eanonique de SL(2, F) par HS(Gai(F/F), Z/n(2)), et de eomparer k Matsumoto. Le ealeul du ** eommutateur >> (3.8.3) sera fait, dans un cadre plus g6ndral, en 4.9. Le eas de Sp(2n, F) pourrait se traiter de m~me, plut6t que par rdduetion au eas de SL(2, F). Si T e s t le tore d6ploy6 maximal standard de Sp(2n, F) et T ~ son image dans le groupe adjoint, l'extension eentrale canonique est d6tect6e par le ~ commutateur >> T~(F) • T(F) -+ HS(Gal(F/F), Z/n(2)) qui sera calcul6 en 4.9.

68

P. D E L I G N E

3.9. F o n c t o r i a l i t d s . -(i) Le morpkisme (3.5.1) et l'extension (3.5.2) sont fonctoriels en S, A et G. Voir 2.7. La fonctorialitd eta A, appliqude $ l'addition A | A ~ A, fournit une additivit6 en c. (ii) Soit u : G - + H u n morphisme entre sch~mas en groupes semi-simples simplement connexes sur S, de faisceaux de facteurs simples I et J. Ddfinissons (3.9.1)

u* : Z a -~ Z I.

Localement sur S, G (resp. H) est produit de facteurs simples G i (resp. Hi) que l'on peut supposer d6ploy~s, et on choisit des tores maximaux d~ploy6s T~ de G, et T~ de Hj tels que u~i: G~ - + G - + H -+H~ envoie T i dans T~. Soient 0q et ~ des racines longues de G i e t H~ et Q.~ la forme quadratique W-invariante sur Y~ :=gf'0ms(G~,, T~) telle que Q~(H~i ) = 1. Alors, u* a pour coefficients de matrice (u*)] -----Qj(u~i(H~i)). Le diagramme fi*(BH, A(2))

' ~ , H~

ZJ|

H4(BG,A(2))

"~'> H~

Z ~|

est commutatif. Pour c e H~ 0

Z~|

on a donc un diagramme commutatif

> H"(S,A(2))

> E(u*(c))

> G(S)

, Hs(S, A(2))

, H2(S,A(2))

> E(c)

, H(S)

, H3(S, A(2)).

(3.9.z)

(iii) S o i e n t f : S' --~ S fini 6tale, G' un sch6ma en groupes semi-simples simplement connexes sur S' et G :---- 1-I G' (Demazure-Gabriel (1970), I, w 1, 6.6). Pour S e t S' S'/8

spectres de corps, G est d~duit de G' par restriction des scalaires ~ la Weil. Pour G e t G' vus comme faisceaux sur les gros sites 6tales de S e t S', G -----f. G'. O n a un isomorphisme canonique G(S) = G'(S'). Soit I' le faisceau sur S' des facteurs simples de G'. Localement sur S, S' est somme disjointe de sections s,, G --- 1-[s~*G' et le faisceau I des facteurs simples de G est la somme disjointe des s~ I'. O n a done un isomorphisme (3.9.3)

f . Z r = Z I.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

Soit c' ~ H~

', z r |

69

A), correspondant par (3.9.1) et l'isomorphisme

H0(S,f, z r |

A) -% H~

', Z r @ A)

~t c e H~ ZI| Les morphismes (3.5.1) et extensions centrales (3.5.2) ddfinis par c' et c donnent lieu ~t un diagramme commutatif 0

> H~

> E(c')

;Tr

(3.9.4) 0

> H~

, G'(S')

;

A(2))

, H3(S',A(2))

ITr

> E(c)

> G(S)

> Hn(S, A(2)).

Pour construire (3.9.4), la premi6re 6tape est de rdinterprdter la premi6re ligne comme donn6e par une construction 3.5 sur S, pour f . A. Localement sur S, S' est somme disjointe de sections s~, et

ZIQf, a

= (?Z

"~r) N ( ?

A)

contient comme facteur direct @ ( Z ~ r | A) = Z I | A.

gf

Soit cs l'image de c. Les morphismes (3.5.1) et extensions centrales (3.5.2) d6finies par c' et cs donnent lieu k un isomorphisme 0

~ H2(S ', a ( 2 ) )

> E(c')

(3.9.5)

> G'(S')

> Hs(S ', A(2))

> G(S)

, H s ( S , f . A(2)).

~ 0

, H*(S,f.A(2))

> E(cs)

Pour construire (3.9.4) ~ partir de (3.9.5), on utilise la fonctorialit6 de 3.5 pour le morphisme trace Tr I : f . A -+ A. U n calcul local sur S montre que Tr I : Z I |

A -~ Z* | A

envoie cs sur c, et (3.9.4) est le compos6 (3.9.5) et de 0

> H*(S,f.A(2))

> E(cs)

~

l Trf 0

~ H~(S, h(2))

> g(S)

> E(c)

> Hs(S,f.A(2))

l Trf ~ G(S)

> H3(S, h(2)).

Construisons (3.9.5). La fonctorialit6 en S de 3.5, pour G e t f , A, fournit un diagramme commutatif (a.9.6)

0

> H2(S,f.A(2))

, E(cs)

> G(S)

, H3(S,f.A(2))

> f * G(S')

> Hs(S',f*f.A(2)).

F 0

, H ( S', f *f . A(2))

> E(f*

70

P. D E L I G N E

La fonctorialit6 en A de (3.5), appliquSe ~t S', f * G et au morphisme d'adjonction adjA : f * f . A -+ A, fournit un diagramme commutatif

(3.9.7) 0

, H z ( S ' , f ' f . A(2))

0

> H"(S', A(2))

)- E ( f * cs)

> f * G(S')

E(adjA f• cs) .. > f * G(S')

Le morphisme d'adjonction adjo : f * G = f ' f , U n e vSrification locale laissde au lecteur donne 0.9.8)

, H s ( S ' , f * f , A(2))

, H3(S ', A(2)).

G ' - + G' dSfinit adj~ : Z r -+f* Z* I.

adjAf*(cs) = adj~ c'.

De 1~, un diagramme commutatif

0

~ H2(S ', A(2))

:~ E(adjAf*Cs)

:, f * G ( S ' )

:. Hs(S',A(2))

0

> H2(S ', A(2))

> E(c)

~ G'(S')

, Hs(S',A(2)).

(3.9.9)

O n dSfinit (3.9.5) comme ~tant l'inverse du composS de (3.9.6), (3.9.7) et (3.9.9) : les isomorphismes H * ( S , f . A ( 2 ) ) = H~(S',A(2)) utilisSs en (3.9.5) pour i = 2, 3 sont le composS H ' ( S , f . A(2)) s__~H , ( S , , f . f . A ( 2 ) ) ~

H'(S', A(2))

et l'isomorphisme G(S) -----G'(S') est le composS G(S) --+f* G(S') ~

G'(S').

(iv) Exemple. - - Soient u : G -+ H, I e t J comme en (ii) et tu* : Z r -+ Z a l e transposS du morphisme u* de (3.9.1). Le faisceau localement constant I e s t le faisceau des sections locales d'un schdma fini Stale sur S, encore not5 I. Soit G Ole schdma en groupes simple simplement connexe sur I tel que, pour i une section locale de I, i* G O soit le facteur simple G, de G. O n a G = H G0 et G(S) = G0(I ) . De m~me, H = 1-[ Ho, I/S

JIS

H(S) -----Ho(J) et u dSfinit un morphisme encore nots u de Go(I ) darts Ho(J). DSfinissons ca e H~ Z I | Z I | Z/n) par co = ~ e, | e, (mod n). Notom E(Go) l'extension canonique (3.6) de Go(I) ~ par H2(I, Z/n(2)). Par (3.9.5), elle s'identifie ~t l'extension E(co) de G(S) ~ par H2(S, Z | Z/n(2)). De m~me pour H, avec

r

~

~. e ~ ( ~ e j . $

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGt~BRIQUES

71

Par (3.9.2), on a un diagramme commutatif

(a.9.1o) 0

, H~(S, Z a |

, E(u" @ l(c.))

> G(S)

> Hs(S, Z J N Z / n ( 2 ) )

9 E(c,)

, H(S)

> Ha(S, Z" | Z/n(2)).

H~(S, Z a N Z l n ( 2 ) )

0 ~ On a

(u* @ 1) (c~) = ]g u*(e~) | e~ = Y~(u*)'je, @ ej

= Ze,|

tu*(ei) = (1 | 'u*) (ca).

La fonctorialit~ en A de 3.9 (i), appliqude ~u*| Z[n, fournit (3.9.11) 0

0

, H~(S, Z ~ |

>

, E(ca)

H2(S, Z J N Z / n ( 2 ) )

> E(u*|

, G(S)

> Hs(S, Z x| Z/n(2))

9 G(S)

~ Hs(S,Z~|

Notons encore *u* le morphisme H*(I, Z/n(2)) = H*(S, Z* |

H*(S, ZJ|

= H*(J, Z/n(2)).

Composant (3.9.11) et (3.9. I0) et r~crivant les deux lignes par (3.9.5), on obtient un diagramme commutafif d'extensions canoniques 3.6

HS(I, Z/n(2))

? H ' ( J , Z/n(2))

, E(Go)

l 9 E(Ho)

> Go(I)

l > H0(J)

> Ha(I, Z]n(2))

I

tU*

9 H"(J, Z/n(2)).

4. C a l c u l s de c o m m u t a t e u r s

4 . t . Soient G, I, A, c et c c o m m e en 3.5 et H' le sch6ma en groupes des automorphismes de G. Localement sur S, H ' est une extension du groupe fini F' des automorphismes du diagramme de Dynkin de G par le groupe adjoint G ~a. Le groupe F' agit sur I. Soient F C F' le fixateur de c et H l'image inverse de F dans H'. C'est le sch6ma en groupes des automorphismes de G fixant e. Le groupe H(S) agit par transport de structures sur l'extension centrale E(c) (3.5.2) de G(S) ~ par H*(S, A(2)).

Proposition 4.2. - - Pour h e l l ( S ) l'image dans G~o(S) de hi e G(S), l'action par transport de structures de h sur E(c) cofncide avec int(hl) ddfini par (2.12.1).

72

P. DELIGNE

D'apr~s 2.12, si hi ~ G(S) ~ cette action est donc encore Faction par automorphismes inttrieurs d'un quelconque rel~vement de h1 dans E(c). Preuve. ~ Soient h E H(S) un automorphisme de G prtservant c et c3 + c~ + c1 + co comme en 2.4 un cocycle reprtsentatif de e, dans le complexe ( 2 . 3 . 4 ) . Par hypoth~se, il est cohomologue tt son image par h, i.e. ~ son image inverse par l'automorphisme h-1 de BG :

(4.~.1)

2c+ -- h(X c+) = ~b,

b -----bz + b1 + b~ avec bi ~ P(G s-i, ~s). Par (1.10.2) la cochalne b v~rifiant (4.2.1) du complexe (2.3.4) est unique tL 1'addition pros d'un cobord. L'extension centrale E(c) est d~finie par le cocycle ~ q, et h se prolonge trivialement en un isomorphisme de E(c) avec l'extension ddfinie par le cocycle k ( ~ q). Cette derni~re s'identifie A E(c) par (4.2.1) et (2.5.1). L'acdon de h sur l'extension centrale E(c) de G(S) ~ admet done la description suivante. Soit (g; x) dans E(c) : g ~ G(S) ~ et x ~ E(g). On a (4.2.~)

h: (g; x) ~-~ (h(g); x - - b,(h(g))).

Si h est intdrieur : image de hi ~ G(S), l'automorphisme k = int hi de BG est homotope tt l'identitd. L'homotopie est un morphisme de schdmas simpliciaux H:BG

• Ax-+BF.

L'image par H du produit d'un 2-simplexe (a, b) par Ax est donn~e eomme suit :

h~

Cette homotopie fournit un choix naturel pour b :

(4.2.3)

:

b2(a) = c2(a, hl) - - c2(hi, h? ~ ahl)

b~(a, b) = - - q ( a , b, hl) + q ( a , hx, h;-l bhl) ~ q ( h x , h~ ~ ahl, k-;-~ bhx) bo(a , b, c) = co(a , b, c, lq) - - Co(a, b, hx, hi -1

+ Co(a,

Chl)

h? 1 bhl, hi Chl) -- Co(h , h7

h; bhl, h-? Chx).

ConformEment h la notation introduite en 2.1, la premiere ligne signifie que b~ = ,~ q - q~ c9., pour q~l (resp. q~2) : G ~ G • G rapplicadon a v-~ (a, hi) (resp. a ~ (hl, h ~ l a h l ) ) . J'avoue avoir utilis6 l'homotopie pour deviner (4.2.3), et avoir ensuite vtrifi6 (4.2.1) par force brutale, apr~s avoir ajust6 les signes.

E X T E N S I O N S C E N T R A L E S DE G R O U P E S A L G I ~ B R I Q U E S

73

Pour ce choix de b, Faction (4.2.2) s'dcrit (4.2.4)

(g; x) ~-~ (hlgh~l; x + C2(hl, g)

--

c~(klghl-'

,

hi) ).

O n retrouve (2.12.1), ee qui vErifie 4.2. 4.3. L'action par transport de structures de H(S) sur E(c) induit une action triviale sur le noyau H~(S, A(2)). Pour h e H(S) et g e G(S) ~ image de ~ dans E(c), le (( eommutateur ~ h(~) ~ - 1 ne depend done pas du ehoix du rel~vement ~ de g. I1 ddfinit (4.3.1)

(h,g) :---- h ( F ) ~ - I : H ( S )

)
a. Le polyn6me minimal de ~ sur F est X ~ b - * - ~ b - ~ = 0, de sorte que N~x/~(~) = ~ - ' . Avec les notations de 4.6, s i n est une puissance de p divisible par p~, on a donc v' = 1 : le diagramme H*(F, Z/n(2))

=5,

(5.s.a)

H'(FI, Z/n(2)) = s . , ~(F1),~ , est commutatif. Pour p = 2, les m~mes arguments s'appliquent, avec la m~me conclusion, si F contient une racine primitive quatriSme de 1. Dans le cas contraire, ~(F)2 est r6duit h • 1 et pour toute extension F 1 de F de degr6 pair et tout n puissance de 2, le morphisme de restriction de H*(F, Z/n(2)) h H*(Fx, Z/n(2)) est nul. 5.9. Soit G un groupe algrbrique simple simplement connexe (0.N.4) sur F. Prenons n inversible dans F et divisible par I vt(F) 1, et soit e le grnrrateur canonique 1 de fi'(BG, Z/n(2)) ~ Z[n (3.6). Si F est r6el, le systtme projectif des H3(Gal(

/F), Z/n(2)) = Hs(Z/2,

Z/n) = Hi(Z/Z, Z/n) = Horn(Z/2, Z/n)

est essentiellement nul. Si F est non archimrdien, F est de dimension cohomologique 2 et H~(Gal(F/F), Z/n(2)) -----0. L'application ddfinie par e : G(F) -+ H"(Gai(F/F),

Z[n(2))

est donc trivialement nulle. Le m~me 6nonc6 a 6t6 prouv6 pour un corps quelconque en 1.11 comme consrquence de Merkurjev-Suslin. D'apr~s (2.7.2) et la drtermination 5 . 4 de H~(Gal(F/F), Z/n(2)), l'extension centrale drfinie par r est indrpendante de n divisible par [ vt(F) [. C'est une extension centrale topologique (2.9) canonique

(5.9.1)

0 -+ t~(F) -+ G(F)- -+ G(F) ~ 0 .

5.10. Supposons F non archimrdien. Avec les notations de 5.7, prenons n premier la caractrristique rrsiduelle p e t divisible par [k* 1" D'aprrs la drtermination (5.7.1)

P, DELIGNE

80

de H ' ( G a l ( F / F ) , Z/n(2)), l'extension centra/e de G(F) d4finie par le gdn4rateur canonique de H4(BG, Z/n(2)) est une extension (5.10.1)

0 -->k* -+ G(F) ~ --> G(F) - + 0

inddpendante de n. Elle se d4duit de l'extension (5.9.1) en poussant par ~t(F) - + k * : x ~ - ~ x " m o d m

avec a----l~t(F) [/Ik*l = I~t(F),I.

Sa fonctorialit4 en F est contr61de par 5.7 : pour F 1 une extension finie de F on a un diagramme commutatif 0

> k*

> G(F) ~ -

> G(F)

> 0

0

> kI

) G(F1) ~

> G(F1)

> 0.

I1 r~sulte de (5.10.2) que

Proposition 5.11. - - Pour F x une extension non ramifige de F, l'extension 5 . 1 0 . 1 v#ifie

G(F)-

G(Vl)" ~

'F'.

Pour la p-parfie de ~(F), et F 1 une extension p-cyclotomique, 5 . 8 fournit un r4sultat similaire, saul pour p = 2 lorsque F ne contient pas les racines 4-i~mes de l'unit4. 5.12. Supposons F non archim4dien et reprenons les notations de 5.7. Soient G semi-simple simplement connexe sur Spec(@), d'image inverse Gr sur Spec(F), et n premier h la caract4ristique r6siduelle p. Le g6n6rateur canonique cF de H*(BG~, Z/n(2)) se prolonge uniquement en co e Ha(BG, Z/n(2)). Le corps rdsiduel k est fini, de dimension c0homologique 1. Par 2.7 (iii), on a donc G(@) ~ = G(O) et l'extension E(cr est une extension par le groupe trivial. La fonctorialit6 (2.7.2) pour Spec(F) --> Spec(O) se rdduit k un scindage G(e)

/ 0

> H~

Z/n(2))

) E(cF)

) G(F)

>

0.

Si Bv est un sous-groupe de Borel de Gr, Br provient d'un sous-groupe de Borel B de G (propret4 de la vari4t4 des Borel). Soit U son radical unipotent. Le scindage 2 . 1 1 . 5 4tant fonctoriel en S, sur U(@) =- G(@) ca U(F), les scindages 5.12.1 et 2 . 1 1 . 5 coincident. Par contre, si g[G(@)] est le conjugud de G(@) par un dl6ment du groupe adjoint G~a(F), correspondant k une nouvelle structure enti~re sur G, les scindages (5.12.1) pour G(@) et g[G(@)] sont conjuguds par g et ne coincident en g~ndral pas sur G(@) ca g[G(@)].

E X T E N S I O N S C E N T R A L E S DE G R O U P E S ALGt~BRIQUES

81

Pour n premier h p et divisible par [k* l, (5.12.1) se rdcrit G(O)

0

) k*

> g(@)

) G(F);

6. Corps globaux 6.1. Soit F u n corps global. Pour F une extension finie de Q , on note X le spectre de l'anneau des entiers 0 de F. En caract6ristique p 1> 2, on note k le corps des constantes de F et X la courbe projective non singuli~re sur k dont F est le corps des fonctions rationnelles. Soient ~t(F) le groupe (fini) des racines de l'unit6 contenues dans F, et N son ordre. En caract~ristique p/> 2, ~(F) -----k* et N est premier ~t p. O n note F~ le compl6t6 de F e n une place v. Si v est non complexe, on note N(v) l'ordre du groupe ~t(F,) des racines de l'unit6 contenues dans F,. Soit S le compl6ment dans X d'un ensemble fini T I de points ferm6s, identifi6s ~t des places de F. Soient T| l'ensemble des places archimddiennes de F et T* : = T s H T ~ . Les places complexes ne joueront qu'un r61e de figurant, et on aura parfois ~ remplacer T* p a r T : = T s H { places r6elles }. Soient M u n faisceau localement constant sur S, k fibres finies d'ordre premier aux caract6ristiques rdsiduelles, et M' : = o~orn(M, Gin). Le cas qui nous intdresse est celui off M = Z[n(2), avec n inversible sur S, e t M ' = Z / n ( - - 1). Comme d a m le cas local, on dispose de thdor~mes de dualit6. Ils relient Hi(S, M) et Hs-~(S~ ~ , M'), pour H~ une cohomologie ~t support compact convenablement d6finie : la cohomologie relative de S modulo les Spec(F~), v e T, sauf que pour les places r6elles, on remplace la cohomologie 6tale par celle de Tare (J. S. Milne [1986], II, 3.3). La dualit6 est donn6e par le cup-produit ~t valeurs dans Hs,(U, Gin) = Q / Z .

Proposition 6.9.. - - Sauf pour p >f 2 et S = X , le syst~me projectif des Hs(S, Z/n(2)) (n inversible sur S) est essentMlement nul. Preuve. - - Si F une extension finie de Q , le cas S = X est inint6ressant : il ne permet que n ---- 1. O n peut done supposer et on suppose que T s est non vide. Si F n'a pas de place r6elle, pour M e t M' comme en 5.1, on a alors H~ M') = 0 et done par dualitd Hs(S, M) = 0. Darts le cas g6n6ral, la suite exacte longue de cohomologie relative fournit un isomorphisme 0

place8 r~elles

H - ~ ( F , , M') ~ H~

M')

et par dualit6 H~(S, M) -%

@

placea r~elle~

HS(F~, M).

O n conclut par 5.9. 11

82

P. D E L I G N E

La dualitd fournit par les arguments utilisds en 5 . 4 : Construaion 6.8. ~ Le systkme projectif des H~(S, Z/n(2)) pour n inversible sur S s'identitle au syst~me projectif des ~.,s~(F), avec pour morphismes de transition les btc,~,~ --~ ~-~..z~ : x ~ x "'~u E,

> G(F~)

, 0,

et pour v e S, par 5.12, un diagramme commutatif

(6.4.~)

0

~ H'(S, Z/n(2))

o

, o

0

> Hs(F,, Z/n(2))

, Es

G(O,)

, E,

> G(S)

o(oo)

, G(F~)

, 0

, o

> 0.

Pour v complexe, la fonctorialitd se rdduit au diagramme trivial 0

~ H'(S, Z/n(2))

o

, o

> Es

.~ G(S)

> 0

,. c ( c )

G(c)

, o.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES

83

Soit E[o~.s le produit des extensions centrales en deuxi~me ligne de (6.4.1), (614.2) et (6.4.3). O n obfient (6.4.4) 0

0

> H2(S, ZinC2)) ~

E~

:. @ H2(F,,, Z/n(2)) ---> E,;,.,s

> G(S)

- 0

> [I G(F,) x H G(r

9 ET

r~T

~E8

II OCF,)

x

, o.

r

Pour S un ouvert de plus en plus petit de X, les diagrammes 5 . 4 . 4 forment un syst6me inductif, de limite inductive 0

>, He(F, Z/n(2))

:, EF --~

0

> @ H*(F,,Z/n(2))

~ E~

G(F)

> 0

> G(A)

> 0

off Ek est le produit restreint, &endu k toutes les places de F, des extensions E,. Le produit restreint est pris relafivement aux images par les sclndages (5.12.1) des sousgroupes G(O.), v e S . Soit E,~,s l'extension d~duite de Et'~,s en poussant par le morphisme | de (6.3.1). D'apr6s (6.3.1), le morphisme d'extension (6.4.4) fournit un scindage

G(S)

~,.,~,(F)

--~

E,~.~

>

II G(F,) x II G(~) x vET

v~ 8

II

G(F,).

complexe

L a limite inductive des extensions E~, s est l'extension E A ddduite de E~ en poussant de m~me par (x~ I-I x,(n, N~)/(. N) , et la limite inductive des scindages (6.4.6) est u n scindage

G(F) 0. Pour n divisible par N, le diagramme (6.4.7) devient ind~pendant de n. II s'&rit

O(r)

/l

(6.4.s) 0

9 ~t(F)

> EA

9 G(A)

70.

84

P. D E L I G N E

Pour presque chaque place v, l'ordre N(v) de ~(F,) est premier k la caract6ristique r6siduelle et 5.12 fournit un rel6vement de G(0,) dans l'extension centrale (5.9.1) de G(F,) par ~(F,). L'extension E A de (6.4.8) est encore d~duite du produit restreint correspondant de ces extensions en poussant par

La fonctorialit6 en F du diagramme (6.4.8) est donn~e par les formules de 5.5.

7. Questions Les dnonc~s de cette section sont ~ prendre au signe pr~s. 7.1. Soient S, n, T, X, Y c o m m e en ( 0 . N . 7 ) e t c ~ H4(BT, Z/n(2)). La classe c d6finit un morphisme de T(S) darts H3(S, Z/n(2)) et une classe d'isomorphie d'extensions centrales du noyau T(S) ~ par H~(S, Z/n(2)) (2.6). Pour avoir une extension centrale d6finie ~t isomorphisme unique pr6s, il faut donner c ~ au niveau des cocycles )). Par analogie avec Deligne (1991), j'esp6re qu'on y arrive comme suit. Espoir 7 . 2 . - - Soit Q une forme quadratique ~ valeurs entikres sur Y , de forme bilingaire associge B. Pour se donner ~ au niveau des cocydes ~ un systkme projectif de classes c , dans les H4(BT, Z/n(2)) (n inversible sur S), dormant lieu localement sur S a Q. m o d n (1.9,3, i -=- 2, 1.6.6), il suffit de se donner une extension centrale de faisceaux sur S

(7.2.1)

0 ~G,~ --~ g -+Y -+0,

tetle que le commutateur (Yx,Y~) : Y |

(7.2.2)

-+G,, soit donng par

(Yl,Y2) ---- (-- 1) B'~''v''-

Voici, de 7.3 ~t 7.6, des indications en faveur de 7.2. 7.3. Soit T v le tore sur S pour lequel ~g~'0ms(G~, T v) est le dual yV de Y. Le faisceau ~fOms(Y , G,,) des automorphismes (triviaux sur Y et G,,) d'une extension (7.2.1) est celui des sections de T v. Pour t ~ T(S) et t' e Tv(S), le produit des cobords d6finis par (3.3.1) : Ot ,-, Or': T(S) | T'(S) ~ Hi(S, Y |

Z/n(1)) | H~(S, yV | Z/n(1))

H*(S, peut s'interpr~ter comme un morphisme TV(s) dans Hom(T(S), H~(S, Z/n(2))), groupe qui agit sur toute extension centrale de T(S) ~ par H2(S, Z/n(2)). 7.4. Si Q e s t donn6 sous la forme C(y,y), pour C u n e forme bilin6aire non n6cessairement symdtrique, le cocycle ( - - 1 ) c(~a'v2) ddfinit une extension (7.2.1). Parall6lement, une extension centrale de T(S) est donnde par le cocycle C(Otx, Ot~).

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGt~BRIQUES

85

7.5. Soit d ( Y ) le faisceau des paires (A, q) : A forme alternge entitre sur Y, q application Y ~ G~ vdrifiant

r

+y) r

q(y)-i = ( _ 1)A,~

La forme quadratique Q dtfinit un torseur PQ sous le faisceau JaT(Y) des formes alterndes sur Y : celui des formes bilindaires enfitres C telles que Q ( y ) = C ( y , y ) . Une extension (7.2.1) ddfinit un reltvement de PQ en un d ( Y ) - t o r s e u r : les paires (C, s) avec (3 comme ci-dessus et s une section de d' -+ Y telle que

s(y x q-y,) = s(yl) s(_y,) (=- 1) c('1''r En fait, la donnde d'une extension (7.2.1) dquivaut ~t celle d'un tel rel~vement. Pour (A, q) dans d ( Y ) et t dans T il devrait ~tre possible, ~t l'imitation de Deligne (1991), de ddfinir une gerbe (A, q) (t) de lien Z/n(2), cette construction ddfinissant d a m la catdgorie ddrivde un morphisme (7.5.1)

~ : ~(Y) |

T -+ Z/n(2) [2].

U n morphisme (7.5.1) induit (7.5.2)

Hi(S, ~r

| T(S) -+ Ha(S, Z/n(2))

e t, fixant dans le H 1 la classe du M(Y)-torseur ddfini par une extension (7.2.1), un morphisme de T(S) dans Ha(S, Z/n(2)). Ce devrait &re celui ddfini par la classe 9 correspondante. 7.6. Soient G u n s c h t m a en groupes simples simplement connexes sur S, T un sous-schdma en tores maximaux et X, Y, W comme en (0.N. 7). Uniformdment en n, le gdndrateur naturel (3.6) c , de ~4(BG, Z/n(2)) induit une classe dans Ha(BT, Z/n(2)). Puisque H*(BG, Z/n(2)) = 0 pour i < 4, cette classe induite est ~t considdrer comme ddfinie au niveau des cocycles. En tout cas, l'extension canonique de G(S) ~ par H~(S, Z/n(2)) ddfinie par 9 induit une extension centrale de T(S) ~ ddfinie h isomorphisme unique pr~s. Soit O la forme quadratique enti~re W-invariante sur Y, vdrifiant Q.(H~) = 1 pour a une racine longue. Pour S le spectre d'un corps, nous allons construire une extension (7.2.1) adaptde ~t Q. (7.2.2), qui devrait donner les restrictions de r k BT. Puisque, localement sur S, G et T sont ddployts, il suffit de construire cette extension pour G et T dtployts, pourvu que la construction soit fonctorielle en S. Nous donnerons deux constructions de l'extension voulue. La seconde est une traduction terre ~t terre de la premiere et elle garde un sens pour S quelconque. Soient done G et T, dtployds, sur S = Spec(F), et construisons une extension centrale 0 ~F* ~g'Z~Y ~0 vdrifiant (7.2.2).

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P. DELIGNE

Premikre construction. - -

]~tendons les scalaires ~t F((t)). Le symbole mod6r6

r((t)) |

F*

fournit par Matsumoto (1969) une extension centrale 0 -~ F* -~ W -~ G(V((t))) -~ 0, dont on prend l'image inverse par l'application composde Y~

T(V((t))) ~

G(V((t))).

Deuxikme construction. - - L'extension 6~ est caractdrlsde ~t isomorphisme unique pros par (7.2.2) et comme &ant munie d'applications

[ ] : U~ -- { 0 }-~-~(H~) v6rifiant les conditions (7.6.1) et (7.6.2) suivantes. ( 7 . 6 . 1 ) Pour a e F " et e~ e U ~ - - { 0 } , [ae~] = aa'~,,'[e~,]. Soit SL(2)~ le sous-groupe SL(2) engendrd par H,(G,,) et lea sous-groupes radiciels U~ et U_ ,. Soient N , normalisateur de H,(G,,) dans SL(2), et Na~ : = N , -- H~(G~). Pour dnoncer (7.6.2) nous utiliserons la trijection de J. Tits (Sur lea constantes de structure et le thdorSme d'existence des alg~bres de Lie semi-simples, Publ. Math. I H E g , 81 (1966), prop. 1, p. 25), entre U , -- { 0 }, U _ , -- { 0 } et N~. ('/.6.2) Pour w~, e~, e_,, dans la trijection de Tits et e3 ~ U ~ -

{ 0 },

[w~(e~)] = [ed [e~]-~'"~, ~(-- ~(H~)) Q'"~' avec ~(n) = (-- 1) "~"-1'/~. En particulier, [e_=] Eel] = (-- 1) Q'"~'. 7.7. Soit G u n sch6ma en groupes r6ductifs (0.N.4) sur S. II est extension d ' u n tore par un groupe semi-simple : le groupe d6riv6 G a~ Soit G '~ le rev&ement simplement connexe de G aer. Pour chaque point g6om6trique ~-de s de caract6ristique 0, la fibre g6om6trique G~ est le rev6tement universel, au sens de la g6om6trie alg6brique, de G~e'. En ~ mauvaises , caract6ristiques p t> 2, le morphisme 7r : G~ ~ G~= n'est pas n6cessairement 6tale. Si T~ est un tore maximal de G~f, le morphisme ~ induit des isomorphismes sur les sous-groupes radiciels correspondants, et H o m ( G , , T~) est engendr6 par les H~. Soient T u n sous-schdma en tores maximaux de G e t X, Y , W comme en (0.N. 7). L'image inverse T "~ de T dans G ~ est un sous-sch6ma en tores maximaux de G ~. Soient X ~ et Y~ correspondant k T ~ comme en (0.N. 7).

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALG]~BRIQUES

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S o i t Q une forme quadratique enti~re W-invariante sur Y . Par restriction ~t Y~, elle dtfinit des classes r e H*(BG *, Z/n(2)), pour n inversible sur S. Comme en 7.6, d i e dtfinit aussi une extension centrale de faisceaux sur S

(7.7A)

0 ~G.

~ ~

~Y"

~0.

Espoir 7.8. - - Aveo les notations prdcddentes, la donn~e d'un prolongement de (7.7.1) en une exter~ion centrale G.

> o' ~

G~

>

c',.,.,)

> Y"

f o~

f >Y

ogrifiant (7.2.2) dgfinit