26 nov. 2013 - En fusionnant le nœuds rouges avec leurs parents noirs, on obtient un arbre 2-3-4 : c'est un arbre de recherche non-binaire o`u chaque nœud ...
En fusionnant le nœuds rouges avec leurs parents noirs, on obtient un arbre 2-3-4 : c’est un arbre de recherche non-binaire o`u chaque nœud fusionn´e comprend
D
x
x 2-nœud
A
B
A
y
x 3-nœud de gauche
x
C
A
A
i. soit 1 cl´e et 2 enfants (un seul nœud noir),
B
ii. soit 2 cl´es et 3 enfants (nœud noir avec un enfant rouge),
y B
iii. soit 3 cl´es et 4 enfants (nœud noir avec deux enfants rouges),
C
Par la propri´et´e d’´equilibre chez les arbres rougeet-noir, toutes les feuilles de l’arbre 2-3-4 sont au mˆeme niveau (une feuille est un nœud interne dont tous les enfants sont externes)
B
x
x
y
A B
y
3-nœud de droite A
B
C
C
R EMARQUE . Sedgewick et Wayne parlent des arbres 2-3. Un tel arbre correspond a` un arbre rouge-et-noir, dans lequel l’enfant gauche peut eˆ tre rouge mais non pas l’enfant droit (left-leaning red-black tree). En cons´equence, dans la repr´esentation 2-3, un nœud poss`ede soit une cl´e et deux enfants (2-nœud), soit deux cl´es et trois enfants (3-nœud gauchiste).
17.2
Insertion dans un arbre 2-3-4
On peut adapter les op´erations de l’arbre rouge-et-noir a` l’arbre 2-3-4. Par exemple : qu’est-ce qui se passe lors d’une insertion ? On cr´ee un nœud rouge, on performe des promotions en ascendant vers la racine, avec une rotation possible a` la fin. Ceci correspond a` une s´equence de d´ecoupages, suivi par une d´ecalage dans le cas de l’arbre 2-3-4.
1
y
rang r
u
Promotion
v
u
x
promotion correspond a` d´ecoupage («´eclatement») en ascendant
rang r+1
y
rang r
v
x
y u
y
C
v
Découpage
D
u
v
E A
x A
x
B
C
D
E
B
Rotation
y
z
z
x
y
x
rotation correspond d´ecalage
a`
z
Décalage
y
C
x
D
A
z
B
y
C
D
x A
B
y
(nouvelle racine)
promotion de la racine correspond a` la cr´eation d’une nouvelle racine
