Journées de l’Association Française d’Informatique Graphique, 2013

Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète† Jérémy Levallois1,2 , David Coeurjolly1 et Jacques-Olivier Lachaud2,3 1 Université

de Lyon, CNRS, INSA-Lyon, LIRIS, UMR5205, F-69621, France de Savoie, CNRS, LAMA, UMR 5127, F-73776, France 3 Université Grenoble-Alpes, CNRS, LJK, UMR 5224, F-38041, France 2 Université

Résumé In many geometry processing applications, the estimation of differential geometric quantities such as curvature or normal vector field is an essential step. In this paper, we investigate a new class of estimators on digital shape boundaries based on Integral Invariants. More precisely, we provide both proofs of multigrid convergence of curvature estimators and a complete experimental evaluation of their performances. Dans plusieurs applications de geometry processing, l’estimation de quantités géométriques différentielles telles que la courbure ou le champ de vecteurs normal est une étape importante. Dans ce papier, nous présentons une nouvelle classe d’estimateurs sur les bords de formes discrètes basée sur les invariants par intégration. Plus précisement, nous fournissons des preuves de convergence asymptotique des estimateurs de courbure et une évaluation expérimentale complète de ses performances.

Mots clé : géométrie discrète, estimation de courbure, convergence asymptotique

1. Introduction 1.1. Contexte L’estimation de quantités différentielles sur le bord d’une forme est généralement une étape importante dans plusieurs applications. Leur bonne estimation rend plus pertinente leur utilisation en évaluation quantitative, en détection de caractéristiques, ou encore en reconnaissance ou visualisation de formes. Nous nous intéressons dans ce papier à l’estimation du tenseur de courbure (courbures principales et directions) au bord de formes discrètes (sous-ensembles de l’espace discret Z3 ) provenant de la discrétisation de formes euclidiennes. Bien évidemment, nous souhaitons que l’estimation du tenseur de courbure soit le plus proche de celui de la forme euclidienne avant discrétisation. Plusieurs problèmes apparaissent : – la frontière discrète ne se confond pas exactement avec la frontière euclidienne à cause du pas de discrétisation. – les points discrets sont distribués selon un échantillonage donné par un bruit arithmétique, uniformément

†. Ce travail a été principalement financé par la bourse de recherche D IGITAL S NOW ANR-11-BS02-009 c AFIG 2013, Association Française d’Informatique Graphique (http://afig.fr)

dans un intervalle de [−h, h] d’un point de vue statistique, où h est la taille de la grille de discrétisation (ou pas de discrétisation). La discrétisation garantie également que la distance de Hausdorff entre la forme euclidienne et la forme discrétisée est en O(h). Nous recherchons alors à avoir la propriété de convergence asymptotique [KR04, CLR12], c’est à dire que plus le pas de discrétisation sera fin, meilleure sera l’estimation. La convergence asymptotique est en quelque sorte l’équivalent de la propriété de stabilité en géométrie algorithmique : à partir d’une forme continue et d’un échantillonnage spécifique de son bord, la mesure estimée doit converger vers la mesure euclidienne lorsque l’échantillonnage devient plus dense [ABK98, MOG11]. Nous souhaitons obtenir un estimateur de tenseur de courbure pour des données discrètes avec preuve de convergence précis et robuste aux perturbations. En informatique graphique et géométrie algorithmique, il existe de vastes familles de techniques pour estimer la courbure (moyenne, gaussienne tout comme les tenseurs de courbure) [SMS∗ 03] et [GG06] pour des évaluations, et Desbrun et al. [DHLM05] ou Bobenko et Suris [BS08] pour une théorie plus générale. La plupart d’entre eux n’ont pas de garanties de convergence théorique, même sans bruit sur le maillage. Nous pouvons citer [PSK∗ 02] et [Rus04] dont l’approche essaie de s’occuper des perturbations en moyennant.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

La mesure de courbure par intégration basé sur la théorie du cycle des normales [CSM03, CSM06] est également une approche notable pour estimer la courbure à partir d’un maillage. Les auteurs montrent des résultats de convergence pour les maillages avec les vertices qui se fondent avec le bord lisse de la forme euclidienne. Dans ce cas, si la distance de Hausdorff entre le maillage et la forme euclidienne est au dessous de ε, la convergence est obtenue avec une vitesse de O(ε) sous certaines hypothèses. Finalement, en Geometry processing, d’intéressants outils mathématiques ont été développés pour construire des estimateurs différentiels basées sur les invariants par intégration sur les surfaces lisses [PWY∗ 07, PWHY09]. Ils consistent à déplacer un noyau le long de la bordure de la surface et calculer l’intégrale de l’intersection entre la forme et le noyau. Les auteurs ont démontré que ces intégrales fournissent d’intéressantes informations de courbure lorsque le noyau tend vers zéro. Ils ont aussi montré une stabilité dépendante au rayon du noyau et à ε (échantillonnage du maillage). Comme dans [CLL13a], où nous avons montré théoriquement et expérimentalement des estimateurs de courbures 2d et 3d moyenne, nous proposons un nouvel estimateur de tenseur de courbure sur des données discrètes qui utilise la méthode d’invariants par intégration de [PWY∗ 07, PWHY09] dans l’espace discret. Cet estimateur est une extension non triviale à notre estimateur de courbure moyenne [CLL13a] car il implique le calcul des moments discrets et de leur matrice de covariance, et requiert une théorie de perturbation de matrice. Nous pouvons résumer les contributions de ce papier comme suit. Tout d’abord, nous définissons une version discrète des estimateurs d’invariants par intégrations avec des résultats de convergence asymptotique. Nous fournissons une formule explicite de la taille du noyau, avec des 1 garanties de convergence en O(h 3 ) pour les courbes et surfaces suffisamment lisses. De plus, nous démontrons que ces estimateurs sont implémentables simplement, de manière exacte et sont performants dans ce cadre de la géométrie discrète. Nous apportons une évaluation comparative (courbure 2d, courbure moyenne et courbures principales) qui montre que nos estimateurs sont compétitifs avec les autres en terme de précision. Nous nous intéressons également à la vitesse de calcul, qui les rends particulièrement préférables à certains autres estimateurs. Enfin, nous nous intéressons de manière empirique à la robustesse face au données bruitées. Pour des raisons de place, les preuves des théorèmes de ce papier sont disponibles dans [CLL13b]. 2. Préliminaires 2.1. Formes, formes discrètes et convergence asymptotique Nous devons tout d’abord formaliser le lien entre un objet euclidien et un objet discret afin de pouvoir étudier théoriquement et expérimentalement un estimateur de quantité différentielle sur le bord d’un objet discret. Considérons une famille de formes lisses X appartenant à un sousensemble compact de Rd . Nous notons Dh (X) la discrétisation de la forme X dans une grille en d−dimension de pas h.

Il s’agit de la discrétisation de Gauss définie comme suit :   1 de f · X ∩ Zd (1) Dh (X) = h où 1h · X est la mise à l’échelle uniforme de X par un facteur 1h . De plus, nous notons ∂X la frontière de la forme X, c’est à dire sa bordure topologique. De la même façon, nous représentons ∂h X le bord discret de ∂X (voir [CLL13a] pour une définition plus formelle). L’idée principale de la convergence asymptotique est que lorsque nous définissons un estimateur de quantité sur Dh (X), nous regardons si la valeur estimée converge théoriquement et expérimentalement avec celle associée sur X lorsque h tend vers zéro. Plus formellement : Définition 1 (Convergence asymptotique de quantités géométriques locales) Un estimateur local discret Eˆ d’une quantité géométrique E est convergeant asymptotique pour la famille de formes X si et seulement si, pour tout X ∈ X, il existe un pas de grille hX > 0 tel que l’estimation ˆ h (X), x, E(D ˆ h) est définie pour tout xˆ ∈ ∂h X avec 0 < h < hX , et pour tout x ∈ ∂X, ∀xˆ ∈ ∂h X with kxˆ − xk∞ ≤ h, ˆ h (X), x, |E(D ˆ h) − E(X, x)| ≤ τX,x (h),

(2)

où τX,x : R+ \ {0} → R+ possède une limite nulle à 0. Cette fonction définie la vitesse de convergence de Eˆ vers E au point x de X. La convergence est dite uniform pour X lorsque tous τX,x est borné par le dessus par une fonction τX indépendente de x ∈ ∂X avec une limite nulle à 0. Nous devons définir plus précisement le lien entre les points x ∈ ∂X et xˆ ∈ ∂h X. La projection πX utilise l’axe médian de ∂X pour associer tout point à son plus proche sur ∂X. Cette projection peut être limitée au domaine ∂h X afin de pouvoir obtenir un lien πXh entre le ∂h X et le bord ∂X. Ce lien est appelé la projection arrière dans [Lac06]. Il est montré que la distance de Hausdorff entre le bord discret ∂h X et √ le bord euclidien ∂X n’est pas supérieur à 22 h, et donc devient de plus en plus proche lorsque le pas de discrétisation diminu. 2.2. Théorie des invariants par intégration En Geometry processing, les invariants par intégration ont été largement étudiés pour définir des estimateurs de quantités différentielles ( [PWY∗ 07, PWHY09]). Le principe est simple : nous déplaçons un noyau sur des points x ∈ ∂X et nous calculons la mesure de l’intersection de la forme X avec le noyau. Cette intersection réprésente l’intégration volumique : Définition 2 Soit X ∈ X et un rayon r ∈ R+∗ , l’intégration volumique VR (x) au point x ∈ ∂X est donné par (Fig. 1−(gauche)) de f

VR (x) =

Z BR (x)

χ(p)d p ,

(3)

où BR (x) est une boule euclidienne avec pour rayon R et pour centre x, et χ(p) la fonction caractéristique de X. En dimension 2, nous notons cette quantité AR (x). c AFIG 2013.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

BR (x)

πXh (x) ˆ

x

x

×

xˆ ∂X

h ∂h X

X

Figure 1: Calcul des invariants par intégration (gauche) et notations (droite) en dimension 2.

Plusieurs auteurs ont détaillé les liens entre VR (x) et la courbure 2d (resp. courbure moyenne) au point x pour les formes dans R2 (resp. R3 ) [BGCF95, PWY∗ 07, PWHY09]. Lemme 1 ( [PWHY09]) Pour une forme X dans R2 suffisamment lisse et x ∈ ∂X, nous avons : π 2 κ(X, x) 3 R − R + O(R4 ) (4) 2 3 où κ(X, x) est la courbure de ∂X au point x. Pour une forme X dans R3 suffisamment lisse et x ∈ ∂X, nous avons : 2π 3 πH(X, x) 4 R − R + O(R5 ) (5) VR (x) = 3 4 où H(X, x) est la courbure moyenne de ∂X au point x. AR (x) =

De tels résultats ont été obtenus en utilisant le développement de Taylor au point x de la surface ∂X approximée par la fonction paramétrique y = f (x) en 2D et z = f (x, y) en 3D. À partir des Eq. (4) et (5), et avec un rayon de noyau fixe R, nous pouvons définir les estimateurs locaux de courbure 2D κ˜ R et courbure moyenne H˜ R respectivement :

Il est à noter que le volume Vol(Y ) est le 0moment m0,0,0 (Y ), et le centroid Y est le vecteur de 1-moments normalisé par le 0-moment, i.e. (m1,0,0 (Y ), m0,1,0 (Y ), m0,0,1 (Y ))T /m0,0,0 (Y ). Pour des raisons de simplicité d’écriture, notons A l’ensemble euclidien BR (x) ∩ X. La matrice de covariance de A peut alors être réécrite comme :  m1,0,1 (A) m0,1,1 (A)  m0,0,2 (A)    T m1,0,0 (A) m1,0,0 (A) 1  m0,1,0 (A)  ⊗  m0,1,0 (A)  . − m0,0,0 (A) m0,0,1 (A) m0,0,1 (A) (10)



m2,0,0 (A) J(A) =  m1,1,0 (A) m1,0,1 (A)

m1,1,0 (A) m0,2,0 (A) m0,1,1 (A)

Dans [PWY∗ 07], les auteurs ont démontré que les valeurs propres et les vecteurs propres de J(A) fournissent des informations de courbure principale et de direction principale :

4V (x) de f 8 H˜ R (X, x) = − R4 3R πR (6)

Lemme 2 ( [PWY∗ 07], Theorem 2) Soit une forme X ∈ X, les valeurs propres λ1 , λ2 , λ3 de J(A), où A = BR (x) ∩ X et x ∈ ∂X, ont l’expansion de Taylor suivante :

Alors, lorsque R tend vers zéro, les valeurs des deux estimateurs vont converger vers les valeurs euclidiennes associées (respectivement κ et H). Plus formellement :

2π 5 π R − (3κ1 (X, x) + κ2 (X, x))R6 + O(R7 ) (11) 15 48 2π 5 π 1 λ2 = R − (κ (X, x) + 3κ2 (X, x))R6 + O(R7 ) (12) 15 48 19π 5 9π 1 λ3 = R − (κ (X, x) + κ2 (X, x))R6 + O(R7 ) (13) 480 512

de f

κ˜ R (X, x) =

3π 3AR (x) − , 2R R3

H˜ R (X, x) = H(X, x) + O(R) (7)

κ˜ R (X, x) = κ(X, x) + O(R),

De la même manière, des informations directionnelles comme les courbures principales (et donc la courbure Gaussienne) peuvent être calculées à partir de ces intégrations. En effet, au lieu de mesurer l’intersection BR (x) ∩ X comme dans la déf. 2, nous nous intéressons à sa matrice de covariance. Soit un sous-ensemble non nul Y ⊂ Rd , la matrice de covariance de Y est donnée par : de f

J(Y ) =

Z

(p −Y )(p −Y )T d p =

Y

Z

(8) où Y est le centroide de Y et Vol(Y ) son volume. Pour des entiers positifs p, q et s, nous rappelons la définition des (p, q, s)-moments m p,q,s (Y ) de Y : de f

ZZZ Y

c AFIG 2013.

x p yq zs dxdydz.

où κ1 (X, x) et κ2 (X, x) sont les courbures principales de ∂X au point x. Similairement à l’Eq. (6), nous pouvons définir les estimateurs locaux de courbure principale κ˜ 1R , κ˜ 2R et la courbure de f Gaussienne K˜ R = κ˜ 1R · κ˜ 2R comme fonctions de {λi }1,2,3 et R. Tous ces estimateurs convergent dans le cadre continu lorsque R tend vers zéro d’après le Lemme 2.

T

ppT d p − Vol(Y )YY ,

Y

m p,q,s (Y ) =

λ1 =

(9)

Nous ne pouvons utiliser dans l’état ces estimateurs directement dans l’espace discret : bien que leurs implémentations soient relativement simple et parfaitement adaptées (le calcul de l’intégration volumique se prête particulièrement à l’espace discret), des spécificités apparaissent : comment convergent les points de ∂h X vers les points x ∈ ∂X ? Quelle est la signification du rayon du noyau R en fonction de la

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

taille et de la géométrie de la forme ? Est-ce que compter le nombre de pixels (resp. voxels) converge vers la valeur attendue ? 3. Estimateurs de courbures dans l’espace discret 3.1. Convergence asymptotique des estimateurs de coubure 2D et moyenne dans l’espace digital Dans [CLL13a], nous avons démontré que les versions discrètes des estimateurs définis dans Eq. (6) se révèlent efficaces et convergents pour les formes discrètes 2D. Nous allons rappeler rapidement la démarche suivie pour démontrer cette convergence asymptotique car nous allons procéder de façon similaire pour les courbures principales par la suite. Tout d’abord, nous utilisons les résultats existant sur l’estimation d’aire ou de volume discret en comptant les points de la grille discrète. Pour une forme X ∈ X, nous avons : f d h (X), h) de Area(D = h2Card(Dh (X)) = Area(X) + O(hβ ), (14) f c h (X 0 ), h) de Vol(D = h3Card(Dh (X)) = Vol(X 0 ) + O(hγ ),

avec β = γ = 1 dans le cas général et β = γ > 1 avec des contraintes supplémentaires sur la X [Krä88, Hux96, KŽ00]. N pouvons nous intéresser à la convergence de l’estimation de l’aire sur des formes euclidiennes définies par BR (x) ∩ X à x ∈ ∂X en dimension 2. Nous définissons donc un estimateur de courbure discrète κˆ R (Dh (X), x, h) à partir de l’estimation d’aire par comptage de points discret de BR (x) ∩ X et Eq. (6), voir [CLL13a], Eq. (11). Nous avons alors démontré que κˆ R (Dh (X), x, h) convergeait vers κ(X, x) lorsque les courbures sont évaluées sur le même point x ∈ ∂X Théorème 1 (Convergence de κˆ R le long de ∂X, Théorème 1 de [CLL13a]) Soit X une forme convexe de R2 , avec au moins un frontière-C2 et une courbure bornée. Alors ∃h0 , K1 , K2 , tel que ∀h < h0 , R = km hαm , |κˆ R (Dh (X), x, h) − κ(X, x)| ≤ Khαm , (15) 1 β où αm = 2+β , km = ((1 + β)K1 /K2 ) 2+β , K = K2 km +

Pour démontrer que nous pouvons créer des estimateurs de courbures principales à partir de la version discrète des invariants par intégration, nous devons démontrer que l’estimation discrète des matrices de convergences sont convergentes asymptotique ; ensuite que l’erreur liée à la position du point sur le bord de l’objet discret xˆ ∈ ∂h X pour l’estimation des moments géométriques et de la matrice de covariance est bien bornée ; enfin que l’estimation des courbures principales est uniformément convergente pour tout xˆ ∈ ∂h X.

3.2. Convergence des moments discrets En suivant le même principe que pour l’estimation d’aire ou de volume en comptant les points discrets, nous définissons les (p, q, s)-moments discrets mˆ p,q,s (Z, h) du sousensemble Z de Z3 au pas de discrétisation h comme : de f

mˆ p,q,s (Z, h) = h3+p+q+s M p,q,s (Z),

(16)

de f

où M p,q,s (Z) = ∑(i, j,k)∈Z i p jq ks . Pour des simplicités d’écriture, nous notons σ la somme p + q + s (entier appartenant à {0, 1, 2}). Il existe des résultats de convergence asymptotique pour les moments discrets de la même façon que pour la convergence asymptotique de l’estimation de l’aire ou du volume [KŽ00]. Leur vitesse de convergence dépend de l’ordre de σ du moment, nous pouvons alors considérer une constante µσ ≥ 1 [KŽ00] mˆ p,q,s (Dh (Y ), h) = m p,q,s (Y ) + O(hµσ ).

(17)

La constante µσ est au moins égale à 1 dans le cas général, et quelques auteurs ont établis de meilleurs bornes lorsque la courbure Gaussienne ne s’annule pas (e.g. voir [KN91] où 38 ¨ Théorème 1, où µ0 = 66 − ε). µ0 = 25 − ε, ou [M99], 43 Nous voulons appliquer cette formule à l’ensemble A = BR (x) ∩ X, où la taille décroit avec h. L’erreur grand “O” de l’Eq. (17) cache le fait que la constante impliquée dépend de la taille de la forme, de son échelle et de sa courbure maximale. Nous devons alors normaliser notre estimation de moment pour que l’erreur ne soit plus influencée par l’échelle :

1+β

3K1 /km . Dans le cas général, αm = 13 . Enfin, nous avons montré que déplacer l’estimation discrète de x ∈ ∂X à xˆ ∈ ∂h X ne changeait pas les résultats de convergence : Théorème 2 (Uniform convergence κˆ R along ∂h X, Theorem 2 of [CLL13a]) Soit X une forme convexe de R2 , avec au moins une frontière-C3 et une courbure bornée. Alors, 1 ∃h0 ∈ R+ , pour tous h ≤ h0 , avec r = kh 3 , nous avons : ∀x ∈ ∂X, ∀xˆ ∈ ∂h X, 1

  1 3 mˆ p,q,s (Dh (A), h) = h M p,q,s ( · BR (x) ∩ X) ∩ Z h   R 1 1 = h3+σ M p,q,s · (B1 ( · x) ∩ · X) ∩ Z3 h R R  3+σ   1 1 h M p,q,s Dh/R (B1 ( · x) ∩ · X) = R3+σ R R R   1 1 h = R3+σ mˆ p,q,s Dh/R (B1 ( · x) ∩ · X), . R R R (18) 3+σ

kxˆ − xk∞ ≤ h ⇒ |κˆ R (Dh (X), x, ˆ h) − κ(X, x)| ≤ Kh 3 . Nous avons procédé exactement de la même manière pour démontrer la vitesse de convergence de l’estimation de courbure discrète moyenne 3D à partie de l’estimation de volume discret.

La forme B1 ( R1 · x) ∩ R1 · X tend vers une demi-boule de rayon 1 quand R décroit. Nous pouvons alors utiliser l’équation Eq.(17) avec pour obtenir une erreur qui ne dépend pas de R ou de h. c AFIG 2013.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

(voir [CLL13b] pour la preuve)   µσ    h 1 1 mˆ p,q,s (Dh (A), h) = R3+σ m p,q,s B1 ( · x) ∩ · X + O R R R 3.5. Influence de l’erreur de positionnement sur la 3+σ−µσ µσ matrice de covariance h ) = m p,q,s (B (x) ∩ X) + O(R R

= m p,q,s (A) + O(R3+σ−µσ hµσ ).

(19)

Alors mˆ p,q,s (Dh (A), h) est convergeant asymptotique lorsque R décroit quand h décroit. 3.3. Approximation discrète de la matrice de covariance autour du point x

Nous pouvons alors établir la convergence asymptotique de la matrice de covariance discrète lorsque le point x exact est inconnu. Théorème 4 (Convergence asymptotique de la matrice de covariance discrète avec une erreur de position.) Soit X ∈ X. Alors il existe des constantes hX , telles que pour tout pas de grille 0 < h < hX , pour un rayon arbitraire R ≥ h, pour tout point x ∈ ∂X et pour tout point discret xˆ ∈ ∂Dh (X), kx − xk ˆ ∞ ≤ h, nous avons :

Pour tout sous-ensemble discret Z ⊂ Z3 , nous définissons ˆ h) au pas de discrétisa matrice de covariance discrète J(Z, sation h comme : ˆ h (A(R, x)), kJ(D ˆ h) − J(A(R, x))k ≤ O(kx − xkR ˆ 4)   mˆ 2,0,0 (Z, h) mˆ 1,1,0 (Z, h) mˆ 1,0,1 (Z, h) 2 f ˆ h) de J(Z, =  mˆ 1,1,0 (Z, h) mˆ 0,2,0 (Z, h) mˆ 0,1,1 (Z, h)  + ∑ O(R5−µi hµi ). mˆ 1,0,1 (Z, h) mˆ 0,1,1 (Z, h) mˆ 0,0,2 (Z, h) i=0    T de f mˆ 1,0,0 (Z, h) mˆ 1,0,0 (Z, h) Avec A(R, y) = BR (y) ∩ X. Les constantes cachées dans le 1  mˆ 0,1,0 (Z, h)  ⊗  mˆ 0,1,0 (Z, h)  . − grand O ne dépendent pas de la taille de la forme et de sa mˆ 0,0,0 (Z, h) mˆ 0,0,1 (Z, h) mˆ 0,0,1 (Z, h) géométrie. (20) (voir [CLL13b] pour la preuve) Nous devons alors établir la convergence asymptotique de la matrice de covariance discrète avec l’estimation des mo3.6. Convergence lorsque xˆ ∈ ∂h X ments discrets. Nous partons du cas où nous connaissons la position exacte du point x. Le théorème suivant tient compte En suivant le développement limite de Lemma 2, nous des erreurs d’approximation d’intégrations. définissons des estimateurs de courbure à partir de la diagonalisation de la matrice de covariance discrète : Théorème 3 (Convergence asymptotique de la matrice de Définition 3 Soit Z une forme discrète, x un point de R3 covariance discrète) Soit X ∈ X. Alors, il existe des conet h > 0 un pas de discrétisation. Pour R ≥ h, nous définisstantes hX , tel que pour toute pas de grille 0 < h < hX , pour sons des estimateurs de courbures principales par intégraun point arbitraire x ∈ R3 , pour un rayon arbitraire R ≥ h, tion κˆ 1R et κˆ 2R de Z au point y ∈ R3 et au pas de discrétisation de f avec une aire non vide A(R, x) = BR (x) ∩ X, où nous avons : h comme : ˆ h (A(R, x)), h) − J(A(R, x))k kJ(D 6 ˆ ˆ 1) + 8 , κˆ 1R (Z, y, h) = (λ − 3λ (22) 6 2 5−µ2 µ2 5−µ1 µ1 5−µ0 µ0 5R πR h ). h ) + O(R h ) + O(R ≤ O(R 6 ˆ ˆ 2) + 8 , κˆ 2R (Z, y, h) = (23) (λ1 − 3λ Les constantes cachées dans le grand O ne dépendent pas de 5R πR6 la taille de la forme ou de sa géométrie. k·k signifie la norme ˆ 1 et λ ˆ 2 sont les deux plus grandes valeurs propres de où λ spectrale des matrices. ˆ R/h ( 1 · y) ∩ Z, h)). J(B h (voir [CLL13b] pour la preuve). Théorème 5 (Lidskii-Weyl inequality) Si λi (B) correspond aux valeurs propres ordonnées d’une matrice symétrique B 3.4. Influence de l’erreur de positionnement sur les et λi (B + E) les valeurs propres ordonnées d’une matrice moments symétrique B + E, alors maxi |λi (B) − λi (B + E)| ≤ kEk. Nous ne connaissons généralement pas la position exact Nous prouvons ci-dessous que nos estimateurs de courbude x sur le bord Dh (X), mais seulement une approximation xˆ res principales convergent asymptotiquement vers les coursur le bord discret ∂h X. Cela revient à étudier la perturbation bures principales de la forme : de l’estimation des moments lorsqu’ils sont évalués à une position x + t. Théorème 6 (Convergence uniforme des estimateurs de Lemme 3 Pour tout sous-ensemble X ⊂ R3 et pour tout courbures principales κˆ 1R et κˆ 2R autour de ∂h X.) Soit X ∈ de f X. Pour i ∈ {1, 2}, nous appellons κi (X, x) la i-ième courvecteur t ayant pour norme t = ktk2 ≤ R, nous avons pour bure principale de X au point de la bordure x. Alors, ∃hX ∈ 0 ≤ p+q+s ≤ 2 : 1 R+ , pour tout h ≤ hX , avec R = kh 3 , nous avons : m p,q,s (BR (x + t) ∩ X) = m p,q,s (BR (x) ∩ X) 1 ˆ iR (Dh (X), x, p+q+s ∀x ∈ ∂X, ∀xˆ ∈ ∂h X, kx−xk ˆ ˆ h)−κi (X, x)| ≤ Kh 3 . ∞ ≤ h ⇒ |κ i 2+p+q+s−i + ∑ O(kxk tR ). (21) i=0 (voir [CLL13b] pour la preuve) c AFIG 2013.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

4. Évaluation

4.1. Comparaison

Nous avons discuté auparavant de la convergence asymptotique théorique pour l’estimateur de coubure 2D, de courbure moyenne 3D et des courbures principales.

Nous avons comparé notre estimateur de courbure en 2D (II) avec Most-centered Maximal Segment (MDSS, un estimateur non convergent basé sur les segments maximaux) [dVLF07], Most-centered Digital Circular Arc (MDCA, un estimateur n’ayant aucune preuve formelle de convergence mais de très bons résultats, basé sur la reconnaissance des arc circulaires maximaux) [RL11] et Binomial based convolution (BC, un estimateur faisant convoluer un filtre Gaussien dérivatif) [EMC11] sur plusieurs formes : une ellipse (rentrant dans les hypothèses du théorème), une fleur et une Accelerated Flower (présentant des parties concaves et des courbures maximales importantes).

Nous avons implémenté nos estimateurs dans la librairie open-source DGtal [DGt]. Elle nous permet de construire des formes implicites comme paramétriques en 2D et 3D. Ces formes vont être discrétisées à plusieurs h différents, afin d’observer le comportement asymptotique des estimateurs. De plus, DGtal nous fournit plusieurs autres estimateurs de courbure 2D tels que Most-centered Maximal Segment (MDSS), Most-centered Digital Circular Arc (MDCA) [RL11] et Binomial based convolution (BC) [EMC11]. Nous avons fait également un interface avec la librairie CGal afin de se comparer en 3D avec les estimateurs de courbure par approximation d’interpolation de surface polynomial (Jet Fitting) [CP05] qui donne de bons résultats. Pour rappel, nous devons tout d’abord construire un noyau à partir d’un boule euclidienne en dimension d avec pour rayon R = km hαm comme décrit dans le théorème. Nous avons obtenu que le meilleur candidat pour αm était 31 afin de 1

garantir une convergence asymptotique en O(h 3 ) [CLL13b]. Nous récupérons le bord de l’objet discret à estimer, et nous nous déplaçons les éléments de surface de celui-ci en centrant notre noyau dessus. Pour l’estimation de courbure 2d et moyenne 3d, nous calculons le volume de l’intersection de l’objet et du noyau ; pour les courbures principales nous calculons les moments de cette intersection pour extraire les valeurs et vecteurs propres de la matrice de covariance associée. En utilisant cette approche, nous obtenons un coût de calcul en O((R/h)d ) par élément de surface (i.e. la taille de la discrétisation du noyau à h donné). La topologie discrète nous permet d’optimiser ce coût : lorsque nous nous déplaçons sur la surface de l’objet discret, si nous nous déplaçons sur des éléments voisins, une partie des l’estimation du volume de l’intersection par comptage est déjà fait à l’étape précédente (Fig. 2−(gauche)) :

d h (X) ∩ BR (x +~δ), h) = Area(D d h (X) ∩ BR (x), h) Area(D d h (X) ∩ (BR (x +~δ) \ BR (x)), h) +Area(D d h (X) ∩ (BR (x) \ BR (x +~δ)), h). −Area(D De la même manière, avec les moments : mˆ p,q,s (Dh (X) ∩ BR (x +~δ), h) = mˆ p,q,s (Dh (X) ∩ BR (x), h) +mˆ p,q,s (Dh (X) ∩ (BR (x +~δ) \ BR (x)), h) −mˆ p,q,s (Dh (X) ∩ (BR (x) \ BR (x +~δ)), h). Alors, si nous pré-calculons tous les déplacements de noyau Dh (BR (0 ±~δ) \ BR (0)) pour tous les δ (8 in 2D, 26 in 3D), le coût de calcul sur les éléments de surface de l’objet peut être réduit à O((R/h)d−1 ).

Nous obtenons deux types de courbes : l’erreur calculée en L2 , qui représente l’erreur moyenne de l’estimateur par rapport à la valeur euclidienne associée en tout point, l’erreur calculée en L∞ qui représente l’erreur maximale de l’estimateur, ce qui revient à la notion de convergence uniforme dans les théorèmes. Afin d’être plus stable au positionnement, nous avons effectué dix expériences en parallèle avec les même paramètres en faisant varier la position du centre de la forme uniformément dans une fenêtre de [−1, 1], ce qui explique l’épaisseur des graphiques. Nous pouvons voir sur la Fig. 3 que notre estimateur a un comportement asymptotique espéré sur les formes convexes comme concaves, avec une vitesse de convergence en L∞ dans les bornes attendues par la théorie. L’estimateur se comporte également bien en erreur moyenne L2 , avec une erreur asymptotique meilleure que BC et MDSS. Nous observons également que MDSS ne converge pas en L∞ , comme attendu. BC converge mais avec des vitesses de convergence moindre à II (O(h0.154 ) pour BC, O(h0.38 ) pour II sur l’ellipse). MDCA quant à lui arbore des vitesse de convergence égale ou meilleures à II (O(h0.42 sur l’ellipse), ce qui n’est pas surprenant pour des formes lisses. Cependant, sur des données bruitées, cette tendance devrait s’inverser. En effet, nous faisons varier le bruit sur une ellipse (Fig. 4) allant d’une forme non bruitée à une forme beaucoup bruitée. Dès lors que la forme commence à être bruitée, MDCA affiche une erreur moyenne et maximale très importante, montrant bien sa sensibilité au données bruitées. Nous pouvons également constater que notre estimateur réagit également mieux que BC, obtenant des erreurs L2 et L∞ inférieures. Nous procédons de la même manière en 3d, avec les formes suivantes : sphère, cube arrondi et blobby cube. Nous choississons de comparer nos estimateurs de courbure moyenne et courbures principales (II) avec l’approximation par interpolation de surface polynomiale (Jet Fitting) [CP05]. Nous observons sur la Fig. 5, comme en 2D, que le comportement asymptotique en L∞ respecte la théorie, c’est à 1 dire avec une convergence uniforme au moins en O(h 3 ), que ce soit sur les formes convexes (sphere et cube arrondi) comme sur la forme concave testée (blobby cube). La vitesse de convergence d’II est comparable à celle du Jet Fitting. Cependant, en erreur moyenne L2 , Jet Fitting obtient de meilleurs résultats. En ce qui concerne les courbures princ AFIG 2013.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

107

Br (x +~δ)

Br (x)

Jet Fitting 3d mean II 3d mean Jet Fitting 3d Gaussian II 3d Gaussian

106 105 104 time

x x +~δ ××

103 102 101 100 -3 10

10-2

10-1

h

100

Figure 2: Déplacement du noyau de convolution sur des éléments de surface voisins (gauche) et temps de calcul en 3d pour la courbure moyenne et les courbures principales des estimateurs II et Jet Fitting(droite) .

100

101

BC MDCA MDSS II O(h1/3 )

10−2

O(h1/3 )

10−3

10−2 h

10−1

10−1

10−2

100

10−2 −4 10

100

10−3

10−2 h

10−1

10−1 −4 10

100

10−1

BC MDCA MDSS II

10−2

O(h1/3 )

10−2 h

10−1

100

10−2

10−3

10−2 h

10−1

100

BC MDCA MDSS II O(h1/3 )

L2 error

−3

L2 error

L2 error

10

10−3

10−1

BC MDCA MDSS II O(h1/3 )

−3

O(h1/3 )

L∞ error

101

10−1

10−3 −4 10

10

BC MDCA MDSS II

L∞ error

100

L∞ error

10−1

102

BC MDCA MDSS II

10−4

10−4

10−5

10−5

10−3

10−4

10−6 −4 10

10−3

10−2 h

10−1

100

10−6 −4 10

10−3

10−2 h

10−1

100

10−5 −4 10

Figure 3: Première ligne, de gauche à droite : erreur asymptotique en L∞ pour l’ellipse, la fleur et l’accelerated flower. Seconde ligne, de gauche à droite : erreur asymptotique en L2 pour l’ellipse, la fleur et l’accelerated flower.

cipales, la Fig. 6 nous montre que II obtient de meilleurs résultats en L∞ comme en L2 que le Jet Fitting, tout en ayant 1 une vitesse de convergence meilleure que O(h 3 ) comme attendu dans le théorème.

nature, d’intéressants liens vers les résultats fondamentaux de la discrétisation de Gauss existent, et le calcul s’effectue rapidement grâce aux spécificités géométriques des surfaces discrètes.

De plus, si nous comparons les temps de calcul Fig. 2(droite) nous nous apercevons que nos estimateurs sont environ 10 fois plus rapides que ceux en Jet Fitting, ce qui n’est pas à négliger.

Pour l’estimation de courbure en dimension 2 comme pour l’estimation des courbures principales en dimension 3, nous avons prouvé théoriquement une convergence en 1 O(h 3 ) pour un objet à bord lisse C3 . La partie expérimentation valide cette borne et a démontré l’efficacité de ces algorithmes en pratique avec de faibles coûts de calcul. Les vitesses de convergence ont été obtenues avec de faibles contraintes sur la distance entre x et xˆ (qui ont juste besoin d’être inférieur à h pour la métrique L∞ ). En utilisant des projections spécifiques comme discutés dans [Lac06], de meilleurs vitesses de convergence peuvent être attendues au moins en dimension 2.

5. Conclusion Dans ce papier, nous avons utilisé les invariants par intégration de la géométrie différentielle pour construire des estimateurs simples et efficaces de courbure 2d, moyenne 3d et de courbures principales. La géométrie discrète est un domaine parfait pour les outils différentiels : les calculs de volumes, d’aires ou de moments géométriques sont discrets par c AFIG 2013.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

16

0.20

BC MDCA MDSS II

14

12

BC MDCA MDSS II

0.15

L2 error

L∞ error

10

8

0.10

6

4

0.05

2

0 0.00

0.02

0.04

0.06 alpha (noise)

0.08

0.10

0.00 0.00

0.12

0.02

0.04

0.06 alpha (noise)

0.08

0.10

0.12

Figure 4: Première ligne, de gauche à droite : comportement en L∞ et en L2 des estimateurs de courbure 2d en fonction du paramètre de bruit sur une ellipse. Seconde ligne, de gauche à droite : ellipse avec un paramètre de bruit α = 0.01, α = 0.05 et α = 0.1.

101

102

101

O(h1/3 )

O(h1/3 )

L∞ error

Jet Fitting II

O(h1/3 )

L∞ error

Jet Fitting II

L∞ error

Jet Fitting II

101

100 −3 10

10−2 h

100 −3 10

10−1

100

10−2 h

100

10−1 −3 10

10−1

10−1

10−2 h

10−1

10−1

100

Jet Fitting II

Jet Fitting II

Jet Fitting II

O(h1/3 )

O(h1/3 )

O(h1/3 )

10−1

10−2 h

10−1

10−2

L2 error

L2 error

L2 error

10−2

10−2

10−3 10−3

10−4 −3 10

10−3

10−2 h

10−1

10−4 −3 10

10−2 h

10−1

10−4 −3 10

Figure 5: Première ligne, de gauche à droite : erreur asymptotique en L∞ de la courbure moyenne pour la sphère, le cube arrondi et le blobby cube. Seconde ligne, de gauche à droite : erreur asymptotique en L2 de la courbure moyenne pour la sphère, le cube arrondi et le blobby cube.

Références [ABK98] A MENTA N., B ERN M., K AMVYSSELIS M. : A new voronoi-based surface reconstruction algorithm. In Proceedings of the 25th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (1998), ACM, pp. 415–421. [BGCF95] B ULLARD J. W., G ARBOCZI E. J., C ARTER W. C., F ULLET E. R. : Numerical methods for comput-

ing interfacial mean curvature. Computational materials science. Vol. 4 (1995), 103–116. [BS08] B OBENKO A. I., S URIS Y. B. : Discrete differential geometry : Integrable structure, vol. 98. AMS Bookstore, 2008. [CLL13a] C OEURJOLLY D., L ACHAUD J. L., L EVAL LOIS J. : Integral based curvature estimators in digital geometry. In Discrete Geometry for Computer Imagery c AFIG 2013.

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

102

102

102

Jet Fitting II

Jet Fitting II

Jet Fitting II

O(h1/3 )

O(h1/3 )

O(h1/3 )

L∞ error

L∞ error

101

L∞ error

101

101

100

100

10−1 −3 10

10−2 h

100 −3 10

10−1

102

10−2 h

10−1 −3 10

10−1

102

10−2 h

10−1

10−2 h

10−1

10−2 h

10−1

10−2 h

10−1

101

Jet Fitting II

Jet Fitting II

Jet Fitting II

O(h1/3 )

O(h1/3 )

O(h1/3 )

L∞ error

L∞ error

L∞ error

101

101

100

100

10−1 −3 10

10−2 h

100 −3 10

10−1

100

10−2 h

10−1 −3 10

10−1

10−1

100

Jet Fitting II

Jet Fitting II

Jet Fitting II

O(h1/3 )

O(h1/3 )

O(h1/3 )

10−1

10−1

10−2

L2 error

L2 error

L2 error

10−2

10−2

10−3 10−3

10−3

10−4 −3 10

10−2 h

10−4 −3 10

10−1

100

10−2 h

10−4 −3 10

10−1

10−1

100

Jet Fitting II

Jet Fitting II

Jet Fitting II

O(h1/3 )

O(h1/3 )

O(h1/3 )

10−1

10−1

10−2

L2 error

L2 error

L2 error

10−2

10−2

10−3 10−3

10−4 −3 10

10−3

10−2 h

10−1

10−4 −3 10

10−2 h

10−1

10−4 −3 10

Figure 6: De gauche à droite : erreur asymptotique en L∞ pour la première courbure principale k1 (première ligne) et seconde courbure principale k2 (seconde ligne) pour la sphère, le cube arrondi et le blobby cube. Seconde ligne, de gauche à droite : erreur asymptotique en L2 pour la première courbure principale k1 (troisième ligne) et seconde courbure principale k2 (quatrième ligne) pour la sphère, le cube arrondi et le blobby cube.

(2013), no. 7749 dans LNCS, Springer, pp. 215–227. [CLL13b] C OEURJOLLY D., L ACHAUD J.-O., L EVAL LOIS J. : Multigrid Convergent Principal Curvature Estimators in Digital Geometry. Tech. Rep. RR-LIRIS-2013010, LIRIS UMR 5205 CNRS/INSA de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1/Université Lumière Lyon 2/École Centrale de Lyon, octobre 2013. c AFIG 2013.

[CLR12] C OEURJOLLY D., L ACHAUD J.-O., ROUSSIL LON T. : Digital Geometry Algorithms, Theoretical Foundations and Applications of Computational Imaging, vol. 2 de LNCVB. Springer, 2012, ch. Multigrid convergence of discrete geometric estimators, pp. 395–424. [CP05] C AZALS F., P OUGET M. : Estimating differential quantities using polynomial fitting of osculating

J. Levallois, D. Coeurjolly et J.-O. Lachaud / Convergence asymptotique du tenseur de courbure en géométrie discrète

Figure 7: De gauche à droite : Courbures principales sur le blobby cube et sur deux zooms d’un lapin.

jets. Computer Aided Geometric Design. Vol. 22, Num. 2 (2005), 121–146. [CSM03] C OHEN -S TEINER D., M ORVAN J.-M. : Restricted delaunay triangulations and normal cycle. In Proceedings of the nineteenth annual symposium on Computational geometry (New York, NY, USA, 2003), SCG’03, ACM, pp. 312–321. [CSM06] C OHEN -S TEINER D., M ORVAN J.-M. : Second fundamental measure of geometric sets and local approximation of curvatures. Journal of Differential Geometry. Vol. 74, Num. 3 (2006), 363–394. [DGt] DGtal : Digital geometry tools and algorithms library. http://libdgtal.org. [DHLM05] D ESBRUN M., H IRANI A. N., L EOK M., M ARSDEN J. E. : Discrete exterior calculus. arXiv preprint math/0508341 (2005). [dVLF07] DE V IEILLEVILLE F., L ACHAUD J.-O., F ES CHET F. : Maximal digital straight segments and convergence of discrete geometric estimators. Journal of Mathematical Image and Vision. Vol. 27, Num. 2 (2007), 471– 502. [EMC11] E SBELIN H.-A., M ALGOUYRES R., C ARTADE C. : Convergence of binomial-based derivative estimation for 2 noisy discretized curves. Theoretical Computer Science. Vol. 412, Num. 36 (2011), 4805 – 4813. [GG06] G ATZKE T. D., G RIMM C. M. : Estimating curvature on triangular meshes. International Journal of Shape Modeling. Vol. 12, Num. 01 (2006), 1–28. [Hux96] H UXLEY M. N. : Area, lattice points and exponential sums. Oxford Science publications, 1996. [KN91] K RÄTZEL E., N OWAK W. G. : Lattice points in large convex bodies. Monatshefte für Mathematik. Vol. 112 (1991), 61–72. [KR04] K LETTE R., ROSENFELD A. : Digital Geometry : Geometric Methods for Digital Picture Analysis. Series in Computer Graphics and Geometric Modelin. Morgan Kaufmann, 2004. [Krä88] K RÄTZEL E. : Lattice points, vol. 33. Springer, 1988.

[Lac06] L ACHAUD J.-O. : Espaces non-euclidiens et analyse d’image : modèles déformables riemanniens et discrets, topologie et géométrie discrète. Habilitation à diriger des recherches, Université Bordeaux 1, Talence, France, 2006. ¨ [M99] M ÜLLER W. : Lattice points in large convex bodies. Monatshefte für Mathematik. Vol. 128 (1999), 315– 330. [MOG11] M ÉRIGOT Q., OVSJANIKOV M., G UIBAS L. : Voronoi-based curvature and feature estimation from point clouds. Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions on. Vol. 17, Num. 6 (2011), 743–756. [PSK∗ 02] PAGE D. L., S UN Y., KOSCHAN A. F., PAIK J., A BIDI M. A. : Normal vector voting : Crease detection and curvature estimation on large, noisy meshes. Graphical Models. Vol. 64, Num. 3–4 (2002), 199–229. [PWHY09] P OTTMANN H., WALLNER J., H UANG Q., YANG Y. : Integral invariants for robust geometry processing. Computer Aided Geometric Design. Vol. 26, Num. 1 (2009), 37–60. [PWY∗ 07] P OTTMANN H., WALLNER J., YANG Y., L AI Y., H U S. : Principal curvatures from the integral invariant viewpoint. Computer Aided Geometric Design. Vol. 24, Num. 8-9 (2007), 428–442. [RL11] ROUSSILLON T., L ACHAUD J.-O. : Accurate curvature estimation along digital contours with maximal digital circular arcs. In Combinatorial Image Analysis (2011), vol. 6636, Springer, pp. 43–55. [Rus04] RUSINKIEWICZ S. : Estimating curvatures and their derivatives on triangle meshes. In 3D Data Processing, Visualization and Transmission, 2004. 3DPVT 2004. Proceedings. 2nd International Symposium on (2004), pp. 486–493. [SMS∗ 03] S URAZHSKY T., M AGID E., S OLDEA O., E LBER G., R IVLIN E. : A comparison of gaussian and mean curvatures estimation methods on triangular meshes. In Robotics and Automation, 2003. Proceedings. ICRA ’03. IEEE International Conference on (2003), vol. 1, pp. 1021–1026.

[KŽ00] K LETTE R., Ž UNI C´ J. : Multigrid convergence of calculated features in image analysis. Journal of Mathematical Imaging and Vision. Vol. 13 (2000), 173–191. c AFIG 2013.