Terminale S3

Corrigé du DM 7 Complexes Exer i e 151 page 217 √ √

zA = 1 + i 3 1.

2. 3.

zB = − q3 + i. √ √ 2 √ |zA | = |1 + i 3| = 12 + 3 = 1 + 3 = 2. Ainsi, on her he θ tel que :  cos(θ) = ar = √12 π π [2π] et arg(zA ) = [2π]. b 3 don θ = sin(θ) = r = 2 3 3 q √ √ √ |zB | = | − 3 + i| = (− 3)2 + 12 = 3 + 1 = 2. ′ Ainsi, on her he θ tel que : √ √  

cos(θ′ ) = ar = − 23 cos π − π6
= − cos
π6 = − 23 or sin(θ′ ) = rb = 21 sin π − π6 = sin π6 = 12 5π [2π]. et arg(zB ) = 6 √ √ → = zA = 1 + i 3 et z− − → = zB = − 3 + i z− OA OB π → −→ − [2π]. (a) ( u ; OA) = arg(zA ) [2π] = 3 −−→ 5π → (− u ; OB) = arg(zB ) [2π] = [2π]. 6 et

don

θ′ =

5π [2π] 6

(b) D'après la relation de Chasles :

4.

−→ −−→ −→ → −−→ → (OA; OB) = (OA; − u ) + (− u ; OB) [2π] −→ −−→ − → → − = −( u ; OA) + ( u ; OB) [2π] π 5π = − + [2π] 6 π3 [2π] = 2 OA = |zA | = 2 = |zB | = OB don OAB est iso èle en O . −→ −−→ π De plus, (OA; OB) = [2π] don OAB est re tangle iso èle 2

en

O.

Exer i e 185 page 227 Soit

P (z) = z 4 − 6z 3 + 23z 2 − 34z + 26.

1. Soit

u

un nombre omplexe.

P (u) = P (u) u − 6u3 + 23u2 − 34u + 26 u4 − 6u3 + 23u2 − 34u + 26 u4 − 6u3 + 23u2 − 34u + 26 u4 − 6u3 + 23u2 − 34u + 26 u4 − 6u3 + 23u2 − 34u + 26 P (u)

(a) Montrons que

P (u) = = = = = = (a)

(b)

ar

ar

ar

ar

zn = zn z ∈ R ⇐⇒ z = z zz ′ = zz ′ z + z′ = z + z′

P (u) = 0 alors, P (u) = 0 ⇐⇒ P (u) = 0 ar 0 ∈ R Cal ul de P (1 + i) : P (1 + i) = (1 + i)4 − 6(1 + i)3 + 23(1 + i)2 − 34(1 + i) + 26 = (1 + 2i − 1)2 − 6(1 + i)(1 + 2i − 1) + 23(1 + 2i − 1) − 34 − 34i + 26 = −4 − 6(2i − 2) + 46i − 8 − 34i = −12i + 12 + 12i − 12 = 0 Puisque P (1 + i) = 0, 1 + i est une solution de P (z) = 0, et d'après la question 1. (b), P (1 + i) = 0 ⇐⇒ P (1 − i) = 0 don 1 − i est aussi une solution de P (z) = 0.

(b) Si 2.

4

( ) Comme

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

Ainsi,

1 + i et 1 − i sont solutions de P (z) = 0, il existe deux nombres a et b tels que : P (z) = (z − (1 − i)) ((z − (1 + i)) (z 2 + az + b) z 4 − 6z 3 + 23z 2 − 34z + 26 = (z 2 − (1 − i + 1 + i)z + (1 − i)(1 + i))(z 2 + az + b) z 4 − 6z 3 + 23z 2 − 34z + 26 = (z 2 − 2z + 12 − i2 )(z 2 + az + b) z 4 − 6z 3 + 23z 2 − 34z + 26 = (z 2 − 2z + 2)(z 2 + az + b) z4 − 6z 3 + 23z 2 − 34z + 26 = z 4 + (a − 2)z 3 + (b − 2a + 2)z 2 + (2a − 2b)z + 2b   1=1   a = −4 a = −4        −6 = a − 2   b = 23 − 2 + 2 × (−4) = 13 b = 13 23 = b − 2a + 2 ⇐⇒ ⇐⇒ 2a = −34 + 2 × 13 = −8 a = −4       −34 = 2a − 2b     b = 13 b = 13  26 = 2b

P (z) = (z − (1 − i))(z − (1 + i))(z 2 − 4z + 13).

P (z) = 0

⇐⇒ (z − (1 − i))(z − (1 + i))(z 2 − 4z + 13) = 0 ⇐⇒ z − (1 − i) = 0 ou z − (1 + i) = 0 ou z 2 − 4z + 13 = 0 ⇐⇒ z = 1 − i ou z = 1 + i ou z 2 − 4z + 13 = 0

z 2 − 4z + 13 = 0 : ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 1 × 13 = 16 − 52 = −62 < 0 Résolution de

don l'équation

admet deux solutions omplexes onjuguées :

√ 4 − 6i −b − i −∆ = = 2 − 3i z1 = 2a 2 On a don :

P (z) = 0

et

⇐⇒ z = 1 − i ⇐⇒ z = 1 − i

ou ou

et

√ 4 + 6i −b + i −∆ = = 2 + 3i z2 = 2a 2

z =1+i z =1+i

S = {1 − i; 1 + i; 2 − 3i; 2 + 3i}

z 2 − 4z + 13 = 0

ou ou

z 2 − 4z + 13 = 0 z = 2 − 3i ou z = 2 + 3i