Lycée Ste-Marie Fénelon
Classe de PCSI
Année 2008/2009
Mathématiques
Chapitre 10 Structures algébriques Exercices Lois composition internes – Exercice -3 – Soit ∗ la lci définie sur R par :
x ∗ y = xy + (x2 − 1)(y 2 − 1).
1. Vérifier que ∗ est commutative, non associative, et admet un élément neutre. 2. Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x ∈ R :
(a)
2∗x = 5
(b)
x ∗ x = 1.
– Exercice -2 – Soit E un ensemble muni d’une lci ∗ associative et admettant un élément neutre ; démontrer que tout élément de
E symétrisable pour ∗ est régulier pour ∗. Donner un exemple où la réciproque est fausse.
– Exercice -1 – Soit E un ensemble fini muni d’une lci ∗ associative. Pour tout a élément de E, on note γa : E −→ E et x 7−→ a ∗ x On suppose qu’il existe dans E un élément x régulier pour ∗.
δa : E −→ E . x 7−→ x ∗ a
1. Démontrer que γx et δx sont injectives. 2. En déduire que ∗ admet un élément neutre et que x est symétrisable pour ∗.
– Exercice 0 – Soit E un ensemble, ∗ une lci associative sur E, ⊤ une lci dans E distributive sur ∗. 1. Démontrer que si x, x′ , y, y ′ , éléments de E, sont tels que x⊤x′ et y⊤y ′ soient réguliers pour ∗, alors x⊤y ′ et y⊤x′ commutent pour ∗. (On pourra calculer (x ∗ y)⊤(x′ ∗ y ′ ) de deux façons différentes).
2. En déduire que si ⊤ possède un élément neutre ε, alors deux éléments réguliers pour ∗ commutent pour ∗. 3. En déduire que si ⊤ possède un élément neutre et si tous les éléments de E sont réguliers pour ∗, alors ∗ est commutative.
Structure de groupe – Exercice 1 – Soit E = {1, 2, 3, 4}. On munit E de la loi de composition définie par : ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y est le reste de la division euclidienne de xy par 5. 1. Vérifier que ∗ est une loi de composition interne dans E. (E, ∗) est-il un groupe ? 2. Résoudre dans E les trois équations d’inconnue x :
(3 ∗ x) ∗ 2 = 1
1
;
4 ∗ (2 ∗ x) = 2
;
(3 ∗ x) ∗ 3 = 3.
– Exercice 2 – Soit E un ensemble non vide et a ∈ E. On note G = {f ∈ B(E, E)|f (a) = a} où B(E, E) désigne l’ensemble des bijections de E dans E. Démontrer que G muni de la loi ◦ de composition des applications est un groupe.
– Exercice 3 – Soit (G, ·) un groupe. On note
C = {x ∈ G|∀g ∈ G, g · x = x · g}
c’est-à-dire l’ensemble des éléments de G qui
commutent avec tous les éléments de G. Démontrer que (C, ·) est un groupe. On appelle ce groupe le centre de G.
– Exercice 4 – Soit H1 et H2 deux sous-groupes d’un groupe (G, ·). Démontrer que (H1 ∪ H2 est un sous-groupe de G)
⇐⇒
(H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1 ).
Morphismes de groupes – Exercice 5 – 1
Sur R2 , on définit l’application (a, b) 7−→ a⊤b = (a3 + b3 ) 3 . 1. Démontrer que (R, ⊤) est un groupe commutatif. 2. Soit ϕ : R −→ R, a 7−→ a3 . Démontrer que ϕ est un isomorphisme du groupe (R, ⊤) sur le groupe (R, +).
– Exercice 6 – 1. Trouver tous les morphismes du groupe (Z, +) vers lui-même. Lesquels sont des isomorphismes ? 2. Démontrer que tout morphisme de (Q, +) dans (Z, +) est l’application nulle.
– Exercice 7 – 1. Démontrer que les groupes (Q, +) et (Q∗+ , ×) ne sont pas isomorphes. 2. Démontrer que les groupes (R∗ , ×) et (C∗ , ×) ne sont pas isomorphes.
Structure d’anneau – Exercice 8 – Soit (A, +, ×) un anneau tel que : ∀a ∈ A, a2 = a. 1. Démontrer que pour tout x dans A, a + a = 0. 2. En déduire que l’anneau A est commutatif. 3. Démontrer que pour tous (a, b) ∈ A2 , ab(a + b) = 0.
En déduire que si Card (A) ≥ 3, alors il existe dans A des éléments non nuls dont le produit est nul.
– Exercice 9 – Soit A un anneau. Un élément x non nul de A est dit nilpotent si et seulement s’il existe n ∈ N∗ tel que xn = 0 et xn−1 6= 0. On dit que n est l’indice de nilpotence de x ou encore que x est nilpotent d’ordre n. 1. Démontrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x + y est nilpotent. 2. Démontrer que, si x est nilpotent et xy = yx, alors xy est nilpotent. 3. Soit x ∈ A nilpotent. Démontrer que 1 − x est inversible et calculer son inverse.
2
Morphismes d’anneau – Exercice 10 – Trouver tous les morphismes d’anneaux de l’anneau (Z, +, ×) vers lui-même.
– Exercice 11 – Soit (A, +, ×) un anneau. On suppose que l’application ϕ : A −→ A, a 7−→ a2 est un morphisme surjectif.
Démontrer que A est commutatif.
Corps – Exercice 12 – Les ensembles suivants sont-ils des corps commutatifs ? 1. (Q, +, ∗) avec + l’addition usuelle et ∗ définie par a ∗ b = a + b − ab. 2. (R2 , +, ×) avec (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc). 3. (Z2 , +, ×) avec (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) × (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc).
– Exercice 13 –
√ √ Soit A = a + b 7, (a, b) ∈ Q2 et B = a + b 11, (a, b) ∈ Q2 .
1. Démontrer que A et B sont des sous-corps de (R, +, ×). 2. Démontrer que l’application ϕ :
A → B √ √ n’est pas un isomorphisme de A sur B. a + b 7 7→ a + b 11
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