Les Mathématiques pour l’Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 21 mai 2002

Table des matières 1

Formulaires 1.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Equivalents en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dérivation de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 L’indispensable sous le signe intégral . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Convergence d’une série à termes positifs . . . . . . . . . . . . . 1.6 Convergence d’une série semi-alternée . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Densité, approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Les changements de variable magiques dans le calcul de primitive 1.12 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16 Espaces Lp (X) et Lp (X), ou LpC (X) et LpC (X) . . . . . . . . . . 1.17 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18 Série de Fourier - cas f 2π-périodique . . . . . . . . . . . . . . . 1.19 Les 1001 formules dont vous rêvez . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.20 Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.21 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.22 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.23 Réduction en dimension finie - propriétés de matrices particulières 1.24 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.25 Propriétés de G groupe fini de cardinal n . . . . . . . . . . . . . . 1.26 Reconnaître un groupe G d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.27 Etude d’un groupe abélien fini G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.28 Etude d’un groupe fini G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.29 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.30 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.31 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 4 4 4 5 6 6 6 7 8 9 9 9 11 11 11 12 13 13 14 14 14 15 15 17 18 18 19 19 20 20 21

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Chapitre 1

Formulaires 1.1

Espaces topologiques Catégorie Ouvert Fermé Borné

Exemples Isom(E, F ) avec E et F Banach, dans L(E, F ) compact d’un séparé compact d’un métrique Espaces projectifs Complété d’Alexandrov d’un espace séparé non compact, localement compact Produit de compacts boule fermée d’un espace vectoriel normé de dim finie Cantor Tapis de Sierpinski Espaces projectifs Cube de Hilbert Ouvert connexe d’un espace vectoriel normé Boule Image d’un connexe par arcs par une application C 0 Tapis de Sierpinski, eponge de Menger Ensembles de Julia SO(n), SU (n) Produit de connexes Image d’un connexe par une application C 0

Espaces compacts

Espaces connexes par arc

Espaces connexes Espaces de Montel. (métrisables, compact équivaut à fermé bornéa )

Rn , C n H(Ω) avec Ω ouvert de C

a Borné au sens des espace vectoriel topologiques.

Espace complet Espace métrisable 3 Localement connexe par arcs Localement compact

Rn , Cn , Lp (Ω) Boule unité fermée du dual d’un espace séparable pour la topologie faible Cube de Hilbert

1.2 1.2.1

Equivalents en l’infini Séries

Pn Pn un et vn suites réelles, Un = k=0 uk , Vn = k=0 vk . Si Un → U , Rn = U − Un , si Vn → V , Rn0 = V − Vn . Hypothèse Conclusion un > 0 Vn converge un ' vn Rn ' Rn0 Un converge vn > 0, un > 0 vn = o(un ) Un diverge Vn diverge Un ' Vn

1.2.2

Intégrales

f et g définies sur ]a, +∞[ intégrables sur ]a, x[ pour tout x > a. ON SUPPOSE QUE f EST POSITIVE Rx Rx On définit F (x) = a f (t)dt et G(x) = a g(t)dt. Si F a une limite en +∞ on R∞ R∞ définit Rf (x) = x f (t)dt, et si G a une limite en +∞ on définit Rg (x) = x f (t)dt. Alors on a les résultats suivant au voisinage de +∞ :    g = o(f ) ⇒ G = o(F )   R x   g = O(f ) ⇒ G = O(F ) f (t)dt = +∞  a     g ' f⇒RF ' G    ∞   g(t)dt existe   a  g = o(f ) ⇒   R    R ∞ g = o(Rf )    R g(t)dt existe x   a g = O(f ) ⇒ f (t)dt < +∞   a R      R ∞g = O(Rf )     g(t)dt existe     a   g'f ⇒ Rg ' Rf )

1.3

Dérivation de limites

E et F des espaces vectoriels normés , U ouvert de E, (fn ) suite d’applications de U dans F différentiables.

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Hypothèses

Conclusions • f différentiable et Df = g • Pour tout C convexe borné ⊂ U la convergence de fn |C vers f|C est uniforme • Si les fn sont C 1 alors f est C 1 .

fn convergeant simplement vers f , les Dfn convergeant uniformément vers une certaine application g de U dans L(E, F ), U connexe, F Banach. ∃x0 / fn (x0 ) converge, ∀x ∃Vx voisinage de x tel que la suite des Dfn |Vx soit de Cauchy pour la métrique d définie par

Alors il existe f de U dans F tel que : • f est dérivable en tout point • la suite des fn converge vers f (simplement) • tout x possède un voisinage Vx tel que les convergences de fn et Dfn restreints à Vx soient uniformes. • Si les fn sont C 1 , f l’est aussi.

d(f, g) = supz∈Vx kf (z) − g(z)k (ie la suite des Dfn converge normalement sur un certain voisinage de tout point)

1.4 R

L’indispensable sous le signe intégral

X muni d’une mesure µ, (E, d) un espace métrique. f : E × X → C, F (t) = f (t, x)dµ(x) X Hypothèses Pour tout t l’application x 7→ f (t, x) est mesurable Pour presque tout x la fonction t 7→ f (t, x) est continue en T Il existe g L1 telle que pour tout t et presque tout x |f (t, x)| ≤ g(x) Pour tout t l’application x 7→ f (t, x) est mesurable Pour presque tout x la fonction t 7→ f (t, x) est continue sur E Pour tout compact K de E il existe g L1 telle que pour tout t dans K et presque tout x |f (t, x)| ≤ g(x). E est un ouvert de R ou de C a Pour presque tout t x 7→ f (t, x) est L1 Il existe N négligeable tel que pour tout x 6∈ N la fonction t 7→ f (t, x) est dérivable (resp. C 1 ) b . Pour tout compact K de E il existe une fonction g L1 telle que pour tout t dans K et tout x 6∈ N | δf δt (t, x)| ≤ g(x). a Hypothèse facile à retenir ; il s’agit de pouvoir définir une dérivée au sens le plus commun, ie dérivée d’une fonction d’une variable réelle ou complexe ! b Attention ! Dans le cas d’un ouvert de C on parle de dérivabilité au sens complexe, et pas de différentiabilité en voyant C comme un R-espace vectoriel !

E est un ouvert de R ou un ouvert de C. Pour presque tout t x 7→ f (t, x) est L1 Il existe N négligeable tel que pour tout x 6∈ N la fonction t 7→ f (t, x) est C k . Pour tout compact K de E et tout j ∈ [1, k] il existe une fonction j g L1 telle que pour tout t dans K et tout x 6∈ N | δδtfj (t, x)| ≤ g(x).

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Conclusion F est continue en T .

F est continue sur E.

Pour tout t la fonction x 7→ δf 1 δx (t, x) est L 1 F est dérivable R δf (resp. C ), de dérivée X δt (t, x)dx.

Pour tout t la fonction x 7→ δj f 1 δtj (t, x) est L F est C k , et pour j ∈ [0, k] R δj f δj F δtj = X δtj (t, x)dx.

1.5

Convergence d’une série à termes positifs

un+1 un un+1 un

Hypothèse Conclusion Critère de D’Alembert un+1 /un → L < 1 Série converge un+1 /un → L > 1 Série diverge Critère de Cauchy √ limsup un = L < 1 Série converge √ limsup un = L > 1 Série diverge Critère de Raabe-Duhamel = 1 − a/n + O(1/n2 ), a > 1 Série converge = 1 − a/n + O(1/n2 ), a < 1 Série diverge

1.6 Convergence d’une série semi-alternée UN =

PN

n=0

un , U = lim Un , Rn = U − Un Hypothèse Conclusion Critère de Leibnitz P (n ) suite décroissante, un converge n → 0, un = (−1)n n Rn ≤ |an+1 | Méthode d’Abel, dans P un Banach (n ) suite décroissante, un converge PN (an ) / n=0 an borné Rn ≤ |an+1 | n → 0, un = n an

1.7

Les séries entières

Soit

P

an z n une série entière, R son rayon, A sa fonction somme. Hypothèse

Conclusion Formule d’Hadamard 1 R = limsup|a 1/n (avec 1/0 = ∞ n| et 1/∞ = 0) Critère de D’Alembert an non nul à partir d’un certain rang R = 1/L an+1 /an tend vers L Théorème de Césaro P n (bn ) suite réelle > 0, (a A(x) = an xP sur ] − 1, 1[ bien n ) suite P réelle, bn divergente, an = défini, B(x) = bn xn sur ] − 1, 1[ o(bn ) ou an 'P bn , R rayon de bien défini, a = o(b) ⇒ A = o(B) convergence de bn z n en R, a ' b ⇒ A ' B en R

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1.8

Densité, approximation Théorème de Stone K compact, A sous-algèbre unitaire de l’algèbre C 0 (K, R). Si A sépare les points, alors A est dense dans C 0 (K, R) pour la norme infinie. Théorème de Stone, version complexe K compact, A sous-algèbre unitaire de l’algèbre C 0 (K, C) stable par passage au conjugué. Si A sépare les points, alors A est dense dans C 0 (K, C) pour la norme infinie. Théorème de Weierstrass K compact de R, l’ensemble des polynômes de K dans R est dense dans l’ensemble des fonctions continues de K dans R pour la convergence uniforme. pas valable pour les polynômes d’un compact de C dans C ! Théorème de Lusin f mesurable de Rn dans C, dont le support est inclus dans un ensemble de mesure finie. Alors pour tout  il existe g continue sur Rn égale à f sauf sur un ensemble de mesure < , bornée en module par sup |f |. f mesurable bornée de Rn dans C, dont le support est inclus dans un ensemble de mesure finie. Alors f est limite simple presque partout d’une suite de fonctions continues et bornées (par la même borne). Cck (Rn , R) a est dense dans C k (Rn , R). a Ensemble

des fonctions C k à support compact de Rn dans R.

Si p 6= ∞, Cc∞ (Rn , R) est dense dans Lp (Rn ). Si p 6= ∞, les classes des fonctions en escalier à support compact sont denses dans Lp (Rn ). Les classes des fonctions C ∞ à support compact sont denses dans l’ensemble des fonctions de L∞ de R dans R tendant vers 0 en +∞ et en −∞.

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1.9

Trigonométrie Formule ix −ix cos(x) = Re(eix ) = e +e 2 −ix ix sin(x) = Im(eix ) = e −e 2 cos0 = −sin sin0 = cos cos2 + sin2 = 1 ∃π > 0minimal/ cos(π/2) = 0

Preuve Définition. (x 7→ eix )0 = (x 7→ ieix ) eix e−ix = 1 cos(0) = 1, donc si cos(R+ ) > 0 sin ↑, sin(x) > sin(a), donc cos(x) + xsin(a) décroit, or cos(x) + xsin(a) → ∞ Par déf,π = 2inf cos−1 (0) ∩ R+∗ continuité de cos corollaire de ci-dessus.

π>0 e = i, eiΠ = −1, eiπ = 1, e 2iπ − pério cos et sin 2π pério Arccos(x) + Arcsin(x) = Π/2 Dérivée nulle + valeur en 0 F ormuledeM oivre n (cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx) einx = eix F ormulesdelinarisation cos(a)cos(b) = 12 (cos(a + b) + cos(a − b)) cos(x) = 12 (eix + e−ix )(développer) sin(a)sin(b) = 21 (cos(a − b) − cos(a + b)) sin(x) = cos(x + π/2) sin(a)cos(b) = 12 (sin(a + b) + sin(a − b)) (apprendre la méthode, non le résultat) cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(b) sin(a) combinaison linéaire des formules de linéarisation sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) sin(x) = cos(x + π/2) sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a) b devient − b cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) c−d cos(c) + cos(d) = 2 cos( c+d Formules ci-dessus, plus 2 ) cos( 2 ) c+d cos(c) − cos(d) = −2 sin( 2 ) sin( c−d ) c = a + b, d = a − b 2 c−d sin(c) + sin(d) = 2 sin( c+d ) cos( ) puis 2 2 c−d sin(c) − sin(d) = 2 sin( c+d ) cos( ) sin(x) = cos(x + π/2) 2 2 iπ/2

Retenir cos(a) cos(b), cos(a+b), cos(a)+cos(b) devrait suffire, modulo l’entrainement pour retrouver le reste.

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1.10

Trigonométrie hyperbolique x

−x

cosh(x) = e +e 2 −x −x sinh(x) = e −e 2 tanh(x) = sinh(x) cosh(x) cosh(x) 1 cotanh(x) = sinh(x) = tanh(x) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sh(x)sh(y) sinh(x + y) = sinh(x)sinh(y) + cosh(x)sinh(y) cosh(x)2 − sinh(x)2 = 1 cosh(2x) = cosh(x)2 + sinh(x)2 cosh(2x) = 2cosh(x)2 − 1 sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x) 1+u2 cosh(x) = 1−u 2 avec u = tanh(x/2) 2u sinh(x) = 1−u 2

1.11 Les changements de variable magiques dans le calcul de primitive f (x) = cos(x)n sin(x)m

2|n + 1 ⇒ u = sin(x) 2|m + 1 ⇒ u = cos(x) Linéarisation. f (x) = F (cos(x), sin(x)) f paire ⇒ u = sin(x) F ∈ R(X) f impaire ⇒ u = cos(x) f T − périodique ⇒ u = tan(Πx/T ) 2 sinon u = tan(x/2), cos(x) = 1−u 1+u2 2u du sin(x) = 1+u , dx = 1−u 2 √ √2 F (x, ax + b) u = ax + b √ √ F (x, √ax2 + bx + c) a>0⇒u= √ ax2 + bx + c − ax 2 F (x, ax + bx + c) a < 0 ⇒ (x, ax2 + bx + c) parcourt un bon d’ellipse on paramètre pour que √ x soit un cos de u et ax2 + bx + q qc un sin de u n ax+b F (x, cx+d ) u = n ax+b cx+d

1.12

Primitives usuelles

Sauf mention contraire, les primitives sont valables sur l’ensemble de définition.

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Rx

f (x) a

x 1/x eax cos sin tan cotan(Remarque :cotan(x)=1/tan(x).) 1/cos 1/sin 1/cos2 1/sin2 1/(sin(x)cos(x)) tan2 ch sh th(x) coth(x) 1/sh(x) 1/ch(x) th(x)2 1/(sh(x)ch(x)) 1/ch2 1/sh2 1/(x2 + a2 ) 1/(x2 − a2 ) 2 2 1/(a √ −x ) 1/ x2 + a

√ 1/ a2 − x2

Précisions a ∈] − ∞, −1[∪]1, ∞[

ln|x| eax a

a ∈ C∗

sin −cos −ln|cos(x)| ln|sin(x)| ln|tan(x/2 + π/4)| ln|tan(x/2)| tan −1/tan ln|tan(x)| tanx − x sh ch ln ch(x) ln|sh(x)| ln|th(x/2)| 2Arctan(ex ) x − th(x) ln|th(x)| th −coth 1 a arctan(x/a) 1 x+a 2a ln| x−a | 1 a argth(x/a) √ ln|x + x2 + √ a| ou argsh(x/ a) √ √ ou argch(−x/ √−a) si x > √−a ou − argch(x/ −a) si x < −a arcsin(x/|a|)

1 (x2 +a)3/2 1 (a−x2 )3/2

In = 1/(1 + x2 )n In = 1/(1 − x2 )n

f (u)du xa+1 a+1

2nIn+1 = 2nIn+1 =

√x a x2 +a √x a a−x2 x (1+x2 )n + x (1−x2 )n +

a 6= 0 a 6= 0 a 6= 0, x < a

(2n − 1)In (2n − 1)In

Pour une primitive de fraction rationnelle réelle décomposée en éléments simples, on a besoin d’intégrer des termes en (i) a/(cx + d)n (facile), des éléments en (ii) b x+b (x2 +dx+e)n et des éléments en (iii) (x2 +dx+e)n . Pour (i), c’est facile. Pour (ii), il suffit 2 de penser à reformuler x + dx + e en (x + d/2)2 + f , et d’appliquer le formulaire 1 √ ci-dessus avec un changement de variable u = x+d/2 et par l’une des formules du f tableau ci-dessus. Pour (iii), il suffit de réécrire x + b en 12 (x + b + (p − b) − (p − b)), chacun des deux quotients obtenus s’intégrant sans peine par (ii) ou parce que de la forme u0 /un (cf log ou u−n+1 ). 1f

étant positif du fait que le discréminant du polynôme est négatif.

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a>0 a