ETUDE SUR LES EQUIPARTITIONS D’UN ENSEMBLE Guy PHILIPPE 13 septembre 2003

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Pr´erequis : On suppose connus les r´esultats basiques de la th´eorie des ensembles ZFC qui correspondent aux 2 premiers chapitres du livre de J-L Krivine comme la trichotomie des cardinaux, a` savoir, pour les cardinaux de 2 ensembles A et B quelconques on a soit card(A) < card(B), soit card(A) = card(B), soit card(A) > card(B) o`u card(A) 6 card(B) veut dire qu’il existe une injection de A dans B. La relation 6 dans la collection des cardinaux (ce n’est pas un ensemble) est trivialement r´eflexive,transitive et elle est antisym´etrique grˆace au th´eor`eme de Cantor-Bernstein (voir la preuve dans la banque d’exercices du site) ; on dira que c’est une relation d’ordre dans la collection des cardinaux et cet ordre est total en vertu de la trichotomie. Un autre r´esultat basique (difficile) sera utilis´e fr´equemment a` savoir card(E n ) = card(E) si E est INFINI et n un entier non nul. Penser aux cas particuliers NxN qui est e´ quipotent a` N ou RxR qui est e´ quipotent a` R que l’on peut prouver directement ou a` la courbe de Peano. On rappelle que l’addition et la multiplication de 2 cardinaux sont ainsi d´efinies : card(A) + card(B) S =le cardinal de la r´eunion de 2 ensembles disjoints e´ quipotents respectivement a` A et B par exemple card({0}xA {1}xB) et card(A)xcard(B) = card(AxB). d´efinition : on appellera e´ quipartition d’un ensemble E 6= ∅ toute partition en parties de mˆeme cardinal ; si ce cardinal est c on dira que c’est une c-´equipartition. Il est clair que si E est fini de cardinal n les seules c-´equipartitions π possibles sont celles o`u c divise n et alors on a card(π).c = card(E) i.e. ”nombre d’´el´ements d’une partie multipli´e par nombre de parties est e´ gal au nombre d’´el´ements de E”. On verra dans la suite que cette e´ galit´e sera encore vraie si E est un ensemble infini, on dira que c’est le principe des e´ quipartitions. Th´eor`eme 1 Pour tout ensemble infini E et tout cardinal non nul c 6 card(E), E admet une c-´equipartition. Dans la suite le signe + entre 2 ensembles d´esignera la r´eunion disjointe et on utilisera le principe de trichotomie qui est une cons´equence de la th´eorie des ordinaux. Remarquons que si c > card(E) alors E n’admet pas de c-´equipartition sinon soit π une telle c-´equipartition de E, alors pour A ∈ π on aurait card(A) = c > card(E) or A ⊂ E d’o`u on aurait card(A) 6 card(E) et ainsi la trichotomie serait contredite. Commenc¸ons par prouver 2 lemmes. • Lemme 1 : card(A) + card(A) = card(A) pour tout ensemble A infini • Lemme 2 : si A et B sont 2 ensembles dont l’un est infini et l’autre non vide alors le produit des cardinaux de A et B est e´ gal au plus grand des deux. Preuve du lemme 1. L’application Aa 7→ (0, a) ∈ {0}xA+{1}xA est clairement injective donc card(A) 6 card({0}xA+ {1}xA) = card({0}xA) + card({1}xA) = card(A) + card(A). De plus, si a1 et a2 sont 2 e´ l´ements distincts de A on a card(A) + card(A) = card({a1 }xA) + card({a2 }xA) = card({a1 }xA+{a2 }xA) = card({a1 , a2 }xA) 6 card(AxA) vu que {a1 , a2 }xA ⊂ AxA et donc card(A)+card(A) 6 card(A) compte tenu de card(AxA) = card(A). Finalement on a bien card(A) + card(A) = card(A). Preuve du lemme 2. Comme card(AxB) = card(BxA) le rˆole de A et B est sym´etrique, on peut donc se contenter de la preuve dans le cas o`u on suppose B infini et A 6= ∅. • Si card(A) 6 card(B) alors il existe une injection de A dans B d’o`u i(A) est e´ quipotent a` A et i(A) ⊂ B d’o`u AxB est e´ quipotent a` i(A)xB ⊂ BxB, par suite card(i(A)xB) = card(AxB) 6 card(BxB) = card(B) et donc card(AxB) 6 card(B). De plus A 6= ∅, soit a ∈ A alors l’application Bx 7→ (a, x) ∈ AxB est injective d’o`u card(B) 6 card(AxB) et finalement card(A)xcard(B) = card(AxB) = card(B) = M ax(card(A), card(B)). • Si card(B) 6 card(A) alors il existe une injection i : B 7→ A d’o`u B est e´ quipotent a` i(B) ⊂ A et ainsi BxA est e´ quipotent a` i(B)xA ⊂ AxA. Par cons´equent card(B)xcard(A) = card(BxA) = card(i(B)xA) 6 card(AxA) = card(A) soit card(AxB) 6 card(A). De plus B est infini, fixons un e´ l´ement b de B. Alors l’application Aa 7→ (b, a) ∈ BxA est clairement injective et ainsi on a card(A) 6 card(BxA) = card(AxB). Finalement on a bien card(A)xcard(B) = card(AxB) = card(A) = M ax(card(A), card(B)).

Preuve du th´eor`eme 1 (cette preuve simple et e´ l´egante est due a` Labib Haddad) Comme c 6 card(E) si H est un ensemble de cardinal c il existe une injection i : H 7→ E d’o`u i(H) est e´ quipotent a` H et si on pose F = i(H) on a F ⊂ E avec card(F ) = c. De plus F 6= ∅ vu que c est non nul. Du lemme 2 on tire card(ExF ) = M ax(card(E), card(F )) = card(E) vu que E est infini et F 6= ∅. Donc il existe une

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bijection de ExF sur E. Or les ensembles {a}xF pour a parcourant E forment une c-´equipartition de ExF transform´ee par la bijection en une c-´equipartition de E. CQFD. Si un ensemble fini E admet une c-´equipartition π alors on a card(π)xc = card(E), c e´ tant bien sˆur un cardinal fini. Mais un ensemble fini E n’admet pas toujours une c-´equipartition pour tout cardinal non nul c 6 card(E). Par exemple un ensemble ayant pour cardinal 15 n’admet pas de 4-´equipartition. Par contre un ensemble infini E, pour tout cardinal non nul c 6 card(E), admet une c-´equipartition π (th´eor`eme 1 ) et on a encore card(π)xc = card(E) comme le montre le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 2 E e´ tant un ensemble infini, c un cardinal non nul avec c 6 card(E) et π une c-´equipartition de E on a : 1) card(π)xc = card(E) 2) Si 0 < c < card(E) alors toutes les c-´equipartitions sont e´ quipotentes a` E Preuve du th´eor`eme 2 1) Comme c 6 card(E) on a d´ej`a vu qu’alors S il existe F ⊂ E tel que Card(F ) = c. Pour tout A ∈ π notons βA l’ensemble des bijections de A dans F et  = A∈π βA . Notons que ∀A ∈ π βA 6= ∅ vu que card(A) = c = card(F ). Appliquons l’axiome du choix ; soit φ une fonction de choix d´efinie par P() − ∅M 7→ φ(M ) ∈  avec φ(M ) ∈ M . Or ∀A ∈ π βA ∈ P()−∅ d’o`u φ(βA ) ∈ βA . Donc ∀A ∈ π on peut choisir la bijection φ(βA ) ∈ βA qu’on notera pour simplifier ϕA . D`es lors l’application Ex 7→ (Ax , ϕAx (x)) ∈ πxF o`u Ax d´esigne l’unique e´ l´ement de π qui contient x, est une bijection car (Ax , ϕAx (x)) = (Ay , ϕAy (y)) =⇒ Ax = Ay et ϕAx (x) = ϕAy (y) d’o`u ϕAx (x) = ϕAx (y) =⇒ x = y vu que ϕAx est une bijection de Ax sur F . Voil`a pour l’injectivit´e. De plus ∀(A, b) ∈ πxF posons a = ϕ−1 A (b) donc a ∈ A et ainsi A = Aa d’o`u ϕAa (a) = ϕA (a) = b et la surjectivit´e est prouv´ee vu que a 7→ (Aa , ϕAa (a)) = (A, b). Finalement on a bien E et πxF qui sont e´ quipotents et donc card(πxF ) = card(E) ou encore card(π)xcard(F ) = card(π)xc = card(E). 2) On suppose donc que 0 < c < card(E) et que F ⊂ E avec card(F ) = c. D’apr`es le 1) on sait que si π est une c-´equipartition de E on a card(π)xcard(F ) = card(E) d’o`u π ou F est n´ecessairement infini et l’autre n’est pas vide, on peut donc appliquer lemme 2 et ainsi card(E) = card(π)xcard(F ) = M ax(card(π), card(F )) = card(π) sinon on aurait card(E) = M ax(card(π), card(F )) = card(F ) = c d’o`u une contradiction. On a bien prouv´e que pour 0 < c < card(E) toutes les c-´equipartitions de E sont e´ quipotentes a` E. Remarque : si c = card(E) alors il existe encore des c-´equipartitions de E mais elles ne sont plus n´ecessairement e´ quipotentes a` E comme le prouve l’exemple suivant avec E = N, c = card(N) et les c-´equipartitions π1 = {N}, π2 = {2N, 2N + 1}, π3 = {3N, 3N + 1, 3N + 2}. On a bien d´emontr´e le principe des e´ quipartitions a` savoir : pour tout e´ quipartition π d’un ensemble E (fini ou infini) en parties toutes de mˆeme cardinal c on a card(π)xc = card(E) c’est a` dire en langage plus imag´e le ”nombre” d’´el´ements d’un ensemble e´ quipartitionn´e est e´ gal au ”nombre” d’´el´ements d’une partie multipli´e par le ”nombre” de parties. En plus si 0 < c < card(E) alors les c-´equipartitions sont toutes e´ quipotentes deux a` deux et mˆeme, si E est infini, toutes e´ quipotentes a` E. Comme application on va montrer que l’on peut attribuer une parit´e aux cardinaux transfinis. L’id´ee de d´epart est que le cardinal d’un ensemble non vide FINI (i.e. un entier non nul) est pair si et seulement si cet ensemble admet une partition en paires i.e. une 2-´equipartition. il est clair qu’une bijection transforme une 2-´equipartition en une 2-´equipartition ce qui permet de d´efinir un cardinal transfini pair. D´efinition : un cardinal fini ou infini non nul sera dit pair si et seulement si un ensemble qui le repr´esente admet une 2e´ quipartition. Dans le cas contraire le cardinal sera dit impair. Il est clair que cette d´efinition ne d´epend pas du repr´esentant choisi. th´eor`eme 3 Tout cardinal transfini est pair En effet si E est un ensemble qui repr´esente ce cardinal transfini alors E est infini et comme 0 < 2 6 card(E) d’apr`es le th´eor`eme 1 il admet une 2-´equipartition, donc ce cardinal est bien pair. Par cons´equent tout ensemble infini E admet un d´erangement involutif f . Il suffit de se donner une 2-´equipartition π et d´efinir f pour tout x ∈ E par f (x) = l’autre e´ l´ement de la paire unique de π qui contient x. Pour me contacter

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