Applications des suites arithmétiques 5 : Placement à intérêts simples et valeur acquise par un capital On veut savoir la valeur acquise par un capital placé n mois à intérêts simples au taux mensuel i. Cours : Placements à intérêts simples Un capital est placé à intérêt simples si, en fin de période (jour, mois ou trimestre), seul le capital produit un intérêt. Exemple: Un capital de 1 200 € est placé à intérêts simples pendant 8 mois au taux mensuel i de 1,2 %. On note C0 le capital initial donc C0 = 1 200 €. -Au bout d’un mois l’intérêt I est : I = C0 ´ i I = 1 200´0,012 I = 14,4 Donc le capital acquis au bout d’un mois est : C1 = C0 + I c'est-à-dire C1 = C0 + C0 ´ i C1 = 1 200 + 14,4 C1 = 1 214,4 donc au bout d’un mois le capital acquis est de 1 214,4 € -Au bout de deux mois, comme seul le capital initialC0 produit des intérêts, le capital acquis est : C2 = C1 + I C2 = C0 + 2´ I l’intérêt est multiplié par deux c'est-à-dire C2 = C0 + 2 ´ C0 ´ i C2 = 1 200 + 2´14,4 C2 = 1 228,8 donc au bout de deux mois le capital acquis est de 1 228,8 €. -Au bout de trois mois le capital acquis est : C3 = C2 + I ( on reconnait une suite arithmétique de premier terme 1200 est de raison I =14,4 ) C3 = C0 + 3´ I l’intérêt est multiplié par 3 c'est-à-dire C2 = C0 + 3 ´ C0 ´ i C3 =1 200 + 3´14,4 C3 = 1 243,2 au bout de trois mois le capital acquis est de 1 243,2 €. -Comme la suite est une suite arithmétique, au bout de 8 mois le capital acquis sera de : C8 = C0 + 8´ I c'est-à-dire C8 = C0 + 8 ´ C0 ´ i

C8 = 1 200 + 8´14,4 C8 = 1 315,2 Au bout de huit mois le capital acquis est de 1 315,2 €. On remarque que : C1 = C0 + C0 ´ i = C0 ( 1 + i ) C2 = C0 + 2 ´ C0 ´ i = C0 ( 1 + 2´ i ) = C0 ( 1 + 2 i ) … Cn = C0 + n ´ C0 ´ i = C0 ( 1 + n´ i ) = C0 ( 1 + n i ) Si un capital est placé à intérêts simples au taux i sur une période (jour, mois ou trimestre), alors l’intérêt est proportionnel à la durée de l’opération et est payé en une seul fois en fin de période. Au bout de n périodes, la valeur acquise par ce capital est Cn = C0 + C0 ´ i ´ n, c'est-à-dire : Cn = C0 + n ´ I avec I = C0 ´ i ou Cn = C0 ( 1 + ni ), C0 étant le capital initial, n le nombre de période et i le taux de placement et Cn le capital acquis au bout de n périodes. Cn et C0 = ( 1 + ni ) ES4. Un capital de 2 000 € est placé à intérêts simples pendant deux mois au taux journalier de 0,09 %. Calculer le capital acquis au bout de ces deux mois. Calcul de l’intérêt I = 2 000´ 0,0009 = 1,8 Comme Cn = C0 + n ´ I avec I = C0 ´ i alors C60 = 2 000 + 60´1,8 = 2 010,8 Le capital acquis au bout de deux mois est 2 010,8 €. ES5. Un capital de 10 000 € est placé à intérêts simples pendant un an au taux trimestriel de 1,12 %. Calculer le capital acquis au bout de l’année. C4 = 10 000(1 + 4´ 0,0112) = 10 448 car Cn = C0 ( 1 + ni ) Au bout de l’année le capital acquis est de 10 448 €. ES6. Quel capital doit placer un investisseur pour qu’au bout de 10 mois la valeur acquise de ce capital soit de 4 000 €, sachant que le placement est à intérêts simples au taux mensuel de 0,34 %. 4 000 Cn C0 = = 3 868,47 car Cn = C0 ( 1 + ni ) donc C0 = . (1 + 10´0,0034) ( 1 + ni ) Le capital que l’investisseur doit placer pour qu’au bout de 10 mois la valeur acquise de ce capital soit de 4 000 € est 3 868,47 €.