Agr´egation externe de Math´ematiques D´epartement de Math´ematiques Universit´e de La Rochelle F. Geoffriau

2005-2006

Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles Indications

1 – Anneaux 1.1. – Anneau de Boole a. b. c.

D´evelopper (x + x)2 et (x + y)2 . Supposer qu’il existe deux ´el´ements non nuls de A. ´ Ecrire.

1.2. – Inversible dans un anneau

Faire du calcul formel inspir´e du d´eveloppement en s´erie enti`ere de (1 − x)−1 .

1.3. – Idempotents et produit d’anneaux a. Penser ` a Z/2Z × Z/2Z. ´ b. b.. Ecrire. b.. Ne pas oublier l’unit´e et ´eviter de montrer les associativit´es, commutativit´es et distributivit´es. b.. On pourra consid´erer l’application B × C ψ (x, y)

−→ A 7−→ x + y

b.. L’unit´e ! ´ e ´ment nilpotent 1.4. – El a. Il n’y en a pas beaucoup. b. Dans Z/8Z, les ´el´ements nilpotents sont 0, 2, 4 et 6, ce sont les diviseurs de z´ero ` a part 0 qui est nilpotent sans ˆetre diviseur de z´ero. Cela se g´en´eralise ` a Z/nZ pour n de la forme pk avec p premier. Dans Z/12Z, les ´el´ements nilpotents sont 0 et 6 et les diviseurs de z´ero sont 2, 3, 4, 6, 8 et 10. Un ´el´ement nilpotent non nul est diviseur de z´ero, la r´eciproque est g´en´eralement fausse. c. Utiliser la formule du binˆ ome de Newton pour a + b. d. Montrer que si a et b sont deux ´el´ements permutables (i.e. tels que ab = ba), alors, pour n ∈ N∗ , an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + bn−1 )

1.5. – Exponentielle dans un anneau On peut supposer p = q. Faire le produit de exp(x) par exp(y) et regrouper les termes.

1.6. – Ide´al a` droite et ide´al bilate`re Aucune.

1.7. – Radical de Jacobson

– 2 – Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles a. Si M est un id´eal maximal et si x ∈ A \ M , l’id´eal engendr´e par M et x est A. Pour la r´eciproque, si x, y ∈ A sont tels que 1 − xy est non inversible, il existe un id´eal maximal M qui le contient. b. En notant p la projection de A sur A/rad(A), si M est un id´eal maximal de A/rad(A), alors p−1 (M ) est un id´eal maximal de A et si M est un id´eal maximal de A, p(M ) est un id´eal maximal de A/rad(A).

1.8. – Ide´al maximal dans un anneau d’applications a. Pour g ∈ A \ Ma et f ∈ A, on peut consid´erer l’application qui ` a x ∈ E associe f (x) − f (a)g(a)−1 g(x). b. En supposant que I 6= Ma pour a ∈ E, consid´erer des applications fa ∈ I et ga ∈ Ma telles que fa + ga = 1. Faire ensuite le produit de toutes les sommes.

1.9. – Radical d’ide´al a. b. c. d.

Soit u, v ∈ R(I) et n, p ∈ N tels que un , v p ∈ I.
Calculer (u + v)n+p . Montrer que I ⊂ J =⇒ R(I) ⊂ R(J) et R R(I) = R(I). Si a ∈ R(I), montrer que pi divise a pour i = 1, . . . , r. Il y a 8 id´eaux de Z/36Z, faire une ´etude cas par cas.

1.10. – Anneau ordonne´ Aucune.

1.11. – Ordre de´fini par une partie a. b. c. d. e.

Aucune. De mˆeme. De mˆeme. Montrer par r´ecurrence que 0 < n · 1, pour tout n ∈ N∗ . Aucune.

1.12. – Annulateur On a Ia 6= {0} si et seulement si a est un diviseur de 0.

2 – Corps √

2.1. – L’ensemble Q[ 2] Montrer que c’est un sous-corps de R.

2.2. – Endomorphisme du corps R a. Montrer pour x ∈ N, puis pour x ∈ Z et enfin pour x ∈ Q. Pour le dernier cas, en ´ecrivant x = p/q avec p, q ∈ Z, on pourra ´ecrire qx = p. b. Utiliser la racine carr´ee. c. Pour x, y ∈ R, on a x 6 y ⇐⇒ y − x ∈ R+ . d. Utiliser des encadrements d’un r´eel par des rationnels.

2.3. – Corps des complexes a. Calculer. b. Pour l’inverse, utiliser les formules usuelles de l’inverse d’une matrice carr´ee d’ordre 2. Ne pas oublier qu’un corps est commutatif. c. Calculer. d. Identifier les r´eels avec les matrices scalaires.   a −b e. Associer `a un complexe a + ib (a, b ∈ R) la matrice . Pour montrer que c’est b a une bijection, utiliser les bases.

2.4. – Corps gauche des quaternions F. Geoffriau

Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles a. b. c. d. e. f.

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Faire les calculs. Montrer que H est un sous-anneau de M2 (C). Pour les inverses, utiliser le d´eterminant. ` un complexe a ∈ C lui associer M (a, 0). A ´ Ecrire un ´el´ement de H comme combinaison lin´eaire de E, I, J et K. Calculer Un ´el´ement du centre commute avec I, J et K.

2.5. – Corps des complexes, version polynoˆ me a. Montrer que la loi de composition externe dans R[X] est comptatible avec la relation d’´equivalence induite par l’id´eal (X 2 + 1). b. Attention : la compos´ee d’une injection avec une surjection n’est pas n´ecessairement injective. c. Consid´erer l’application de R[X] dans C qui ` a P ∈ R[X] associe P (i).

2.6. – Anneau fini Pour a ∈ A, l’application x 7→ ax est injective, donc bijective.

2.7. – Corps fini a. Si x est non nul, la classe de x est de cardinal 2 . b. Discuter suivant que −1 est un carr´e ou non.

2.8. – Pgcd et extension de corps Montrer qu’un pgcd de P et Q consid´er´es comme polynˆ omes de k[X] est aussi un pgcd de P et Q consid´er´es comme polynˆ omes de K[X]. Ou consid´erer un id´eal de K[X] contenant P et Q et son intersection avec k[X].

2.9. – Extension de corps √ √ √

√ √ √ √ √ Les racines de P sont 2 + 3, 2 − 3, − 2 + 3 et − 2 − 3. On a Q[α] = {Q(α); Q ∈ Q[X]} et P (α) = 0. Le noyau de ϕ est l’id´eal (P ), utiliser l’exercice 2.8 ou utiliser que ker ϕ est principal.

2.10. – Caracte´risation d’un ide´al premier Consid´erer le corps des fractions de l’anneau quotient.

2.11. – Corps et groupe Si k est commutatif, supposer qu’il existe un isomorphisme de groupes et discuter suivant la caract´eristique de k.

2.12. – Corps non alge´briquement clos a. Construire un polynˆ ome n’ayant pas de racine dans le corps. b. Consid´erer le polynˆ ome Y 2 − X.

3 – Anneaux int` egres, factoriels, principaux, euclidiens 3.1. – Reste de division euclidienne a. Jeux d’´ecriture. b. Remplacer progressivement X 2 par −1 ou travailler dans C[X]. c. Le polynˆ ome P est divisible par X 2 + X + 1 si et seulement si (X − 1)P est divisible par 3 X − 1.

3.2. – Les entiers de Gauss a. b. c. d.

´ Ecrire. Calculer N (xy) pour x, y ∈ Z[i]. Diviser dans C et approcher les parties r´eelle et imaginaire par des entiers. Consid´erer un ´el´ement x0 ∈ I tel que N (x0 ) 6 N (x) pour tout x ∈ I \ {0}.

F. Geoffriau

– 4 – Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles

3.3. – Un sous-anneau de R

´ a. Ecrire. b. Les ´el´ements inversibles de Z sont 1 et −1. c. c.. Si y est non nul et si |x| 6 m, majorer N (a). c.. Supposer xy < 0 et encadrer 1/a. d. Pour a inversible sup´erieur ou ´egal ` a 1, il existe n ∈ N tel que a ∈ [ω n , ω n+1 [.

3.4. – Sur les ide´aux premiers a. b. c. tel

Faire une r´ecurrence descendante. ´ Ecrire que I n’est pas premier. Faire une r´ecurrence sur n et discuter sur le faire qu’il existe ou non un indice i ∈ {1, . . . , n} que I ∩ Pi ⊂ ∪j6=i Pj . Pour n = 3, consid´erer x1 + x2 x3 avec x1 ∈ P1 \ (P2 ∪ P3 ), x2 ∈ P2 \ (P1 ∪ P3 ) et x3 ∈ P3 \ (P1 ∪ P2 ).

3.5. – Anneau des se´ries formelles P a. On pourra consid´erer la valuation ν d´efinie par, pour a = n∈N an X n , ν(a) = inf{n ∈ N; an = 6 0} avec la convention ν(0)P = +∞. Les inversibles sont les ´el´ements n∈N an X n tels que a0 6= 0. b. Si I est un id´eal non nul de k[[X]], on pose p = inf{ν(x); x ∈ I}. c. L’anneau k[[X]] n’a qu’un ´el´ement irr´eductible (` a inversible pr`es) qui est X. d. Le stathme de k[[X]] est ν.

3.6. – Un anneau √ non factoriel

√ a. L’anneau Z[ 13] est l’ensemble des expressions polynomiales en 13 ` a coefficients dans Z; n nX o √ √ ak ( 13)k ; n ∈ N et ak ∈ Z, k = 0, . . . , n Z[ 13] = k=0

b. Calculer. √ √ c. Montrer que, pour α, β ∈ Z[ 13], N (αβ) = N (α)N (β). Les inversibles de Z[ 13] sont les ´el´ements α tels que N (α) soit inversible dans √ Z. d. Si 2 est r´eductible, il existe α, β ∈ Z[ 13] non inversibles tels que 2 = αβ, on montre qu’alors N (α) = ±2 et N (β) = ±2. Pour montrer que l’´equation a2 − 13b2 = ±2 n’a pas de solution, on montre que, si b est pair (resp. impair), alors a est √pair (resp. impair). e. Indiquer un ´el´ement de Z[ 13] d´ecomposable de deux fa¸cons non ´equivalentes en produit d’´el´ements irr´eductibles.

3.7. – Anneau des fonctions holomorphes 3.8. – Polynoˆ me irre´ductible dans Z[X]

´ Ecrire P = QR, ´evaluer les polynˆ omes Q et R en chaque ai et consid´erer le polynˆ ome Q + R.

3.9. – Application du the´ore`me chinois dans Z[X] Bien que Z[X] ne soit pas principal, on peut ici appliquer le th´eor`eme chinois.

3.10. – Coefficients de Be´zout Utiliser l’algorithme d’Euclide.

3.11. – Pgcd et algorithme d’Euclide Consid´erer l’algorithme d’Euclide pour p et q ainsi que pour X p −1 et X q −1 ou d´ecomposer les polynˆ omes en produit de facteurs irr´eductibles. F. Geoffriau

Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles

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3.12. – Polynoˆ me somme de deux carre´s Utiliser l’identit´e de Lagrange : (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 et soit faire une r´ecurrence sur le degr´e de P , soit d´ecomposer P en facteurs irr´eductibles, soit ´ecrire P = (A + iB)(A − iB).

4 – Congruences dans Z 4.1. – Crible de Poincare´ a. On a card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B). b. Le cardinal de En est q + 1 o` u q est le quotient de la division euclidienne de 100 par n et En ∩ Em = Eppcm(n,m) . c. Les entiers inf´erieurs ` a 100 n’appartenant pas ` a E2 ∪ E3 ∪ E5 ∪ E7 sont premiers. Ils sont 25.

4.2. – The´ore`me de Wilson a. Faire le produit des ´el´ements inversibles. b. Les ´el´ements inversibles sont les classes de −m, −(m − 1), . . . , −1, 1, . . . , m − 1, m. R´eciproquement, tout ´el´ement compris entre 1 et m est premier avec p.

4.3. – Nombres de Mersenne Faire une d´emonstration par contrapos´ee.

4.4. – Nombres de Fermat a. On a 1 + x2n+1 = 1 − (−x)2n+1 . b. Faire une d´emonstration par contrapos´ee et utiliser la question pr´ec´edente.

4.5. – Suite de Fibonacci Faire une r´ecurrence.

4.6. – Le the´ore`me chinois a. Consid´erer l’application Z → Z2 qui ` a x ∈ Z associe (x, x). b. Utiliser les cardinaux. c. Utiliser une identit´e de B´ezout

4.7. – La me´thode RSA

´ Ecrire l’identit´e de B´ezout pour r et ϕ(n). n´ecessairement inversible.

Faire attention ` a ce que x n’est pas

4.8. – La me´thode RSA en de´faut Utiliser une relation de B´ezout. L’espion dispose ´evidemment de r1 , r2 et n qui sont publics.

4.9. – Triplets pythagoriciens On pourra dans un premier temps se ramener au cas o` u x, y et z sont premiers entre-eux, 2 puis montrer que x ou y est pair et ensuite ´ecrire x = (z + y)(z − y) en supposant x pair et montrer qu’il existe s, t ∈ N tels que x = 2st, y = s2 − t2 et z = s2 + t2 .

4.10. – L’e´quation diophantienne x4 + y 4 = z 4 ´ ´aire a ` trois inconnues 4.11. – Equation diophantienne line a. b. c. d. e.

Consid´erer le pgcd de a, b et c. Consid´erer un inverse de c modulo δ, le pgcd de a et de b, puis Utiliser l’algorithme d’Euclide. Consid´erer une ´equation d’inconnues (x, y). C’est une ´equation lin´eaire avec second membre.

4.12. – Fraction entie`re F. Geoffriau

– 6 – Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles

5 – Polynˆ omes, fractions rationnelles 5.1. – Polynoˆ me d’interpolation de Lagrange a. Construire un polynˆ ome de degr´e n − 1 qui prend la valeur 1 en αi et qui s’annule en tout αj , j 6= i. Consid´erer le polynˆ ome P − Q. b. On a k = {α1 , . . . , αn }. Pour toute application f : k → k, consid´erer les points α1 , . . . , αn , f (α1 ), . . . , f (αn ).

5.2. – Lemme de Gauss a. Supposer que γ(P1 P2 ) 6= 1, il existe donc un entier premier p divisant tous les coefficient de P1 P2 . Consid´erer alors le morphisme canonique Z → Z/pZ et le prolonger en un morphisme de Z[X] dans (Z/pZ)[X]. b. Soit un polynˆ ome P ∈ Z[X]. S’il existe Q, R ∈ Q[X] tels que P = QR, soit a le carr´e d’un multiple commun ` a tous les d´enominateurs des coefficients de Q et R, consid´erer alors le polynˆ ome aP .

5.3. – Crite`re d’Eisenstein a. D’apr`es l’exercice 5.2, il suffit de montrer que P est irr´eductible dans Z[X]. Le raisonnement se fait par l’absurde en utilisant les morphismes Z → Z/pZ et Z[X] → (Z/pZ)[X]. b. Appliquer la question pr´ec´edente c. On pourra montrer que P (X) est irr´eductible si et seulement si P (X + 1) l’est.

5.4. – Polynoˆ me syme´trique divisible par X − Y

´ Ecrire P (X, Y ) = (X − Y )Q(X, Y ), puis ´ecrire Q comme combinaison lin´eaire de X k Y ` .

5.5. – Quotient de k[X, Y ] Consid´erer le morphisme de k[X, Y ] dans k[T ] qui ` a P ∈ k[X, Y ] associe P (T, T n ) et montrer qu’elle induit un morphisme de A dans k[T ]. Pour montrer que ce dernier est injectif, effectuer la division euclidienne de P par Y − X n dans k[X][Y ].

5.6. – Formule d’Euler

´ Ecrire P comme somme de polynˆ omes homog`enes.

5.7. – Dimension d’un sous-espace de polynoˆ mes homoge`nes a. Faire une r´ecurrence. b. Consid´erer l’ensemble des (p1 , . . . , pn ) ∈ Nn tels que p1 +· · ·+pn = k et faire une r´ecurrence sur n.

5.8. – Proprie´te´s des polynoˆ mes homoge`nes D´ecomposer P et Q comme somme de polynˆ omes homog`enes.

5.9. – Recollement de fonctions polynomiales a. Faire une d´emonstration par r´ecurrence, ´ecrire f comme une fonction polynomiale en la derni`ere variable et consid´erer V de la forme ]a1 − ε, a1 + ε[ × · · · × ]a1 − ε, a1 + ε[. b. Supposer les voisinages Va ouverts et montrer que l’ensemble E = {a ∈ kn ; pa = p0 } est connexe. ´ ˆ mes 5.10. – Equation de polyno a. Consid´erer un diviseur irr´eductible de deux des polynˆ omes P , Q et R. b. L’entier −1 est une racine n-`eme de l’unit´e. c. Diviser la relation par Rn et d´eriver la. 0 d. Si F est nul, consid´erer la fraction PP et l’´ecrire en fonction des racines de P . e. Les pˆ oles de F sont les racines communes de P et Q. Conclure par des consid´erations de degr´e. F. Geoffriau

Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles

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5.11. – De´composition en e´le´ments simples Pour prouver l’existence de Pn , montrer que la suite (Pn )n∈N∗ est d´efinie
par r´ecurrence. Pour d´eterminer les racines de Pn , montrer que 2 cos(nθ) = Pn 2 cos(θ) pour
∈ R. 0 Pour d´eterminer la d´ecomposition en ´el´ements simples, calculer Pn 2 cos(θ) pour θ ∈ R.

5.12. – De´composition en e´le´ments simples

1 . a. Faire une r´ecurrence en s’inspirant du d´eveloppement limit´e de 1 − x b. Poser Y = X − 1 et faire la division suivant les puissances croissantes de 1 par (1 − Y /2)n .

6 – Racines d’un polynˆ ome ´ ´ de polyno ˆ mes 6.1. – Egalit e Consid´erer le polynˆ ome P − Q.

6.2. – Polynoˆ mes de Tche´bitchev a. L’existence r´esulte de la lin´earisation de cos(nt) et l’unicit´e du fait qu’un polynˆ ome non nul n’a qu’un nombre fini de z´eros. b. C’est une formule de trigonom´etrie. c. Idem avec une r´ecurrence. d. Faire une r´ecurrence. e. R´esoudre cos(nt) = 0.

6.3. – Racines rationnelles a. Dans les deux cas, r´eduire au mˆeme d´enominateur. b. Pour le premier polynˆ ome, les racines rationnelles sont −2/3 et 2 et pour le deuxi`eme ce sont −3/2 et 2/3.

6.4. – Polynoˆ mes irre´ductibles a` coefficients dans Z/2Z Montrer qu’un polynˆ ome de degr´e 2 ou 3 est irr´eductible si et seulement s’il n’a pas de racine dans Z/2Z.

6.5. – Relations entre les racines d’un polynoˆ me de degre´ 3 a. b. du

´ Ecrire les relations entre u, v, w et a, b, c. En ´ecrivant les relations entre racines et coefficients, montrer que u2 , v 2 et w2 sont racines polynˆ ome X 3 + (2b − a2 )X 2 + (b2 − 2ac)X − c2 .

6.6. – Racines d’un polynoˆ me de degre´ 3 a. b. c. d.

Poser X = Y − b/3a. On a α + β + γ = 0. Utiliser les relations entre les racines et les coefficients d’un polynˆ ome. Faire un tableau de variation.

6.7. – Syste`me non line´aire Chercher les coefficients s, q et p d’un polynˆ omes X 3 − sX 2 + qX − p dont x, y et z sont les racines. On pourra montrer les formules de Newton x2 + y 2 + z 2 = (x + y + z)2 − 2 (xy + yz + zx) x3 + y 3 + z 3 = (x2 + y 2 + z 2 ) (x + y + z) − (x + y + z) (xy + yz + zx) + 3 xyz x4 + y 4 + z 4 = (x3 + y 3 + z 3 ) (x + y + z) − (x2 + y 2 + z 2 ) (xy + yz + zx) + (x + y + z) xyz x5 + y 5 + z 5 = (x4 + y 4 + z 4 ) (x + y + z) − (x3 + y 3 + z 3 ) (xy + yz + zx) + (x2 + y 2 + z 2 ) xyz Pour r´esoudre l’´equation obtenue, poser X = αY o` u α est une racine 5-i`eme de l’unit´e.

6.8. – Enveloppe convexe des racines

´ Ecrire la fraction P 0 /P en fonction des racines de P .

F. Geoffriau

– 8 – Anneaux, corps, polynˆ omes et fractions rationnelles

6.9. – Corps a` p2 e´le´ments a. Consid´erer l’application x 7→ x2 . b. Justifier l’existence de α et supposer P r´eductible. c. Quotienter Fp [X] par l’id´eal engendr´e par X 2 − α.

6.10. – Degre´ d’un corps de de´composition a. Montrer que P n’a pas de racines rationnelles. b. On a a3 = 3a − 1. c. Factoriser P par X − a et montrer que P est scind´e sur Q(a).

6.11. – Degre´ d’un corps de de´composition Faire une r´ecurrence.

6.12. – Polynoˆ me cyclotomique a. Pour montrer l’´egalit´e, faire une partition de Un . Pour montrer que Φn ∈ Z[X], faire une r´eccurence sur n et diviser X n − 1 dans Z[X] par le produit de Φd , d divisant strictement n. b. Utiliser l’´egalit´e pr´ec´edente.

F. Geoffriau