∗
Col
le
3
MP
:
semaine
13
du
5
au
Algè
bre
9
janvier
2011
Rédu tion de endomorphisme 3.1
Sou-espa e stable, polyn me d'un endomorphisme
3.1.1
u◦v = v ◦u
Dé
finition d'un sou-espa e stable par un endomorphisme. Si
Ker u une
sont
stable
somme
par
dire te.
v.
E xpression
C.N.S.
sur
la
de
base
la
B
matri e
pour
d'un
que
la
endomorphisme
matri e
u
de
Im(u)
alor
qui
soit
et
stabilise
triangulaire
supérieure.
3.1.2
Dé
finition
du
polyn me
endomorphisme.
3.2
L emme
d'un
de
endomorphisme,
existen e
du
polyn me
minimal
d'un
noyaux.
Rédu tion d'un endomorphisme 3.2.1
Dé
finition d'une valeur proǑpre, d'un ve teur proǑpre, d'un sou-espa e proǑpre. Spe tre.
Si
u◦v = v◦u
de
sou-espa e
symétrie
et
alor
le
sou-espa e
proǑpre
de
est
af
finité.
dire te.
E xemple
a ∈ GL(E)
Si
Eλ (u)
proǑpre
alor
de
u
et
sont
stable
homothétie,
v = aua
−1
par
de
ont
v.
L a
somme
proǑje teur,
même
de
spe tre
et
a(Eλ (u)) = Eλ (v). 3.2.2
phisme
3.2.3
en
Tradu tion
aux
dimension
finie
de
proǑpriété
de
é
lément
proǑpre
d'un
endomor-
matri e.
L e ra ine du polyn me ara téristique sont le valeur proǑpre. Ordre de multipli ité
d'une valeur proǑpre. L a tra e d'un endomorphisme est égale à la somme de valeur
proǑpre
3.2.2
Tradu tion
phisme
3.2.3
omptée
en
aux
ave
leur
dimension
ordre
finie
de
de
multipli ité. Théorème
proǑpriété
de
de
é
lément
Cay
ley-H amilton.
proǑpre
endomor-
matri e.
L e ra ine du polyn me ara téristique sont le valeur proǑpre. Ordre de multipli ité
d'une valeur proǑpre. L a tra e d'un endomorphisme est égale à
proǑpre
3.2.4
d'un
omptée
E ndomorphisme
est
à
ave
dimension
annulateur
Tradu tion
de
s indé
E ndomorphisme
ordre
diagonalisable,
diagonalisable ssi
la
leur
la
dont
le
trigonalisable,
matri ie
l
le.
Ca
de
de
u
u
est
ra ine
est
de
dimension de
ve torie
l.
toute
multipli ité. Théorème
ara térisation
somme
lespa e
de
se
rée
l
le
diagonalisable.
sou-espa e proǑpre est
ssi
il
existe
un
u
égale
polyn me
simple.
trigonalisable
matri e
Cay
ley-H amilton.
endomorphisme
diagonalisable
sont
de
la somme de valeur
ssi
il
annule
un
diagonalisable sur
polyn me
C.
s indé.
2 Révision du our de math sup, analyse et géométrie dif
férentie
l
le
5
Fon tion
5.1
de
R2 ,
Espa e
5.1.1
deux
fon tion
Dé
finition,
sur
le
5.2
Limite
Cal ul
5.2.1
plu
et
rée
l
le
ontinue
rappe
l
notion
manière
5.1.2
variable
de
de
proǑpriété
ontinuité
théorique
ontinuité
au
de
vue
dé
but
de
en
de
fon tion
fon tion
math
sup
lannée
à
en
dan
valeur
ontinue
le
dan
liaison
our
R2
:
(permet
ave
sur
e
le
de
qui
faire
a
été
le
point
vu
d'une
e.v.n.).
idem.
dif
férentie
l
Dérivée
se
lon un ve teur, dérivée partie
l
le, dif
férentie
l
le, gradient. Dérivée du ompoǑsé
de 2 fon tion, appli ation aux dérivée partie
l
le d'appli ation ompoǑsée. Re her he
de
extrema
tion
5.2.2
5.3
Cal ul
5.3.1
Dé
finition
a
Géométrie
6.1
Étude
6.1.1
dé
finie
impli itement
(théorème
de
fon -
d'ordre
L apla e,
2.
Fon tion
équation
de
de
lasse
dif
fusion,
C 2,
théorème
équation
de
de
S hwarz.
E xemple
onde.
rapide
de
d'ensemble
lintégrale
plu
d'une
généraux
fon tion
(dé
fini
ontinue
sur
un
pavé
pui
extension
A = {(x, y) | a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}).
par
une
transformation
af
fine,
passage
en
oordonnée
polaire.
dif
férentie
l
le
métrique
AbǑs isse
de
6.1.2
Courbe
ProǑpriété de lintégrale double. Théorème de Fubini, théorème de hangement de variable
pour
6
de
fon tion.
HP).
partie
l
le
équation
d'une
intégral
au
5.3.2
impli ite
Dérivée
de
lo aux
de
ourbe
urviligne,
Frenet,
abǑs isse
plane
repère
de
urviligne,
Frenet.
ProǑpriété métrique de
paramétrage
normal,
longueur
ourbe
d'un
plane, repère
ar .
Courbure Formule de Frenet. Cal ul de ve teur vitesse et a é
lération dan le repère
de
Frenet.
E xemple
de
al ul
de
ourbure.
6.2 Champ de ve teur du plan et de lespa e 6.2.1 Potentie
l s alaire. de
ve teur
dérive
E nsemble
d'un
6.2.2 Intégrale urviligne, teur.
Potentie
l
Formule
Prévision
semaine
de
14
potentie
l
théorème de
s alaire,
ondition
Green-Riemann
:
espa e
étoilé.
dan
eu
lidien,
hamp
s alaire
ssi
Poin aré
pour
le
de
ve teur,
son
sur
qu'une
un
∗
∗
de
∗
∗
∗
∗
∗
est
U n
hamp
nul.
étoilé. Cir ulation d'un
dérive
endomorphisme
∗
∗
Joyeux Noë
l ∗
ouvert
s alaire.
d'un
potentie
l
ve -
ve teur.
plan.
rédu tion
∗
rotationne
l
fon tion
tière.
∗
potentie
l
∗
∗
∗
Bonne va an e !
∗
auto-adjoint, série
en-
