4.4. Méthode des ontre-exemples
4.4
77
Méthode des ontre-exemples
On a vu pré édemment le r le important des ontre-exemples (ou ontremodèles) pour les démonstrations. Ce n'est pas toujours fa ile d'en trouver quand il y en a, et pas toujours fa ile de montrer qu'il n'en existe pas quand le raisonnement est valide. Voi i une méthode qui systématise la re her he de ontre-exemple et en fait don une méthode e a e de démonstration. C'est une méthode graphique. 4.4.1
Dans
LP0
Regardons d'abord omment ça mar he dans LP0 . La méthode n'est pas si éloignée des table de vérités reduites, mais là
'est appliqué aux raisonnements. Le but du jeu de est de her her au moins au ontre-exemple qui rende le raisonnement non valide. Don on part en supposant que le raisonnement n'est pas valide 'est en fait une démonstration par l'absurde. Si on é houe à trouver de ontre-exemple alors 'est que le raisonnement, si on y arrive alors non seulement on aura montré la non-validité du raisonnement mais en plus on aura un exemple pré is de as qui le rend invalide. Rappelons : un ontre-exemple dans LP0 est une valuation qui donne 1 pour les prémisses et 0 pour la on lusion. Il faut don her her une telle valuation. Adoptons tout de suite un élément de notation (un ra
our i pratique qui n'appartient pas à LP0 ) : on her he une valuation V et pour dire qu'on veut que V (ϕ) = 1 on é rira (ϕ):1 ; idem (ϕ):0, pour dire qu'il faut que ϕ soit fausse dans la valuation qu'on her he. Exemple de fon tionnement de la méthode. Soit la forme de raisonnement (p∨r), ¬p/q . On veut trouver une valuation V telle que V (p ∨ r) = 1, V (¬p) = 1, et V (q) = 0. On va le noter ainsi : (p ∨ r):1, (¬p):1, (q):0
C'est une sorte d'exigen es ou hypothèses à satisfaire. Et maintenant on va simpli er les parties de es exigen es, ie les formules. (¬p):1 signi e qu'on veut que (p):0. Nous allons représenter ette hypothèse en ommençant un arbre : (p ∨ r):1, (¬p):1, (q):0 (p):0
78
Chapitre 4. Raisonnements et inféren es
Et nous barrons l'hypothèse (¬p):1 pour indiquer que nous l'avons simpli ée. Ensuite pour véri er l'hypothèse (p ∨ r):1, il su t en fait de la diviser en 2 hypothèses alternatives (ie disjointes). Soit (p):1, soit (r):1. Pour marquer qu'on a une bifur ations (un hoix, une alternative) d'hypothèses, on va les séparer ave un un embran hement d'arbre. (p ∨ r):1, (¬p):1, (q):0 (p):0 (p):1
(r):1
I i on n'a plus rien à simpli er et on a deux andidats possibles de valuations pour le ontre-exemple. La première ( elle de gau he) n'est pas possible
ar elle donne à la fois les valeurs 1 et 0 à p, 'est une ontradi tion. En revan he la deuxième est possible, 'est notre ontre-exemple qui montre que le raisonnement n'est pas valide : V (r) = 1 et V (p) = V (q) = 0. En eet on a montré par simpli ations su
essives que selon ette valuation V les prémisses du raisonnement sont vraies et sa on lusion fausse : 'est bien un
ontre-exemple. On part toujours de l'hypothèse qu'il existe (peut-être) un ontre exemple, ie une ontre-valuation, au raisonnement ; ette hypothèse est don qu'il y a (ou il y aurait) une valuation telle que les premisses sont vraies et la on lusion fausse. Puis on her he à simpli er ette hypothèse en trouvant quelles valeurs ette valuation assigne à haque lettre propositionnelle du raisonnement. Comme il peut y avoir plusieurs possibilités, on les représente sous la forme d'un arbre. Le sommet de l'arbre est l'hypothèse de départ, puis on ontruit des bran hes et des n÷uds qui indiquent les valeurs que doivent prendre les sous-formules (de plus en plus simples) qui omposent les formules du raisonnement. Un hemin dans l'arbre ( 'est-à-dire un par ours linéaire du sommet à une feuille) orrespond à une valuation possible pour le ontre-exemple. Mais
ertaines ne sont pas viables ar elle ontiennent des ontradi tions (elles assignent 0 et 1 à une même lettre), e sont des fausses routes, des voies sans issues et on les marque ave le symbole ⊥ (l'absurde ). Si tous les hemins de l'arbre sont sans issue 'est qu'il n'y a pas de ontre-valuation possible et le raisonnement est valide. Si au moins un hemin aboutit à une valuation non ontradi toire, 'est un ontre-exemple qui montre que le raisonnemennt n'est pas valide. Arbre omplet pour (p ∨ r), ¬p/q : Résumé :
79
4.4. Méthode des ontre-exemples
(p ∨ r):1, (¬p):1, (q):0 (p):0 (p):1 (r):1
OK Reprenons (2) : ⊥
(2) (p → (q ∧ r)) (q → ¬r) ¬p (p → (q ∧ r)):1, (q → ¬r):1, (¬p):0 (p):1
Comment simpli er (ϕ → ψ) ? On sait que 'est logiquement équivalent à (¬ϕ ∨ ψ). On va s'en inspirer. Pour véri er (ϕ → ψ):1, il faut véri er (¬ϕ):1 ou (ψ):1, ie (ϕ):0 ou (ψ):1 on fera don une bifur ation d'hypothèses. Par
ontre pour (ϕ → ψ):0, on ne bifurque pas : il faut véri er (¬ϕ):0 et (ψ):0, ie (ϕ):1, (ψ):0. (p → (q ∧ r)):1, (q → ¬r):1, (¬p):0 (p):1 (q):0
(¬r):1
(p):0
(q ∧ r):1
⊥
(q):1 (r):1 ⊥
(r):0 (p):0 (q ∧ r):1 ⊥
(q):1 (r):1 ⊥
On dit ⊥ (stop) quand une valuation (ie un hemin) donne des valeurs
ontradi toires pour une même lettre. Et i i l'arbe n'aboutit à rien, (2) est don valide. Exemple (3) par étapes : (3) ¬p → (q ∧ ¬r) ¬q → ¬r p
80
Chapitre 4. Raisonnements et inféren es
(¬p → (q ∧ ¬r)):1, (¬q → ¬r):1, (p):0
(¬p → (q ∧ ¬r)):1, (¬q → ¬r):1, (p):0
(¬q):0 (¬r):1 (q):1
(r):0
(¬q):0
(¬r):1
(q):1
(r):0
(¬p):0 (q ∧ ¬r):1 (¬p):0 (q ∧ ¬r):1 (p):1 ⊥
(p):1 ⊥
(¬p → (q ∧ ¬r)):1, (¬q → ¬r):1, (p):0 (¬q):0
(¬r):1
(q):1
(r):0
(¬p):0 (q ∧ ¬r):1 (¬p):0 (q ∧ ¬r):1 (p):1 ⊥
(q):1
(p):1 ⊥
(r):0
OK
I i on a trouvé une ontre-valuation, et 'est bien elle qu'on avait auparavant ave l'autre méthode. Selon les as une ou l'autre méthode est plus simple. Voi i les règles de simpli ation. (¬ϕ):1 .. .
(¬ϕ):0 .. .
(ϕ ∧ ψ ):1 .. .
(ϕ ∧ ψ ):0 .. .
(ϕ):0
(ϕ):1
(ϕ):1
(ϕ):0 (ψ):0
(ψ):1
(ϕ ∨ ψ ):1 .. .
(ϕ ∧ ψ ):0 .. .
(ϕ → ψ ):1 .. .
(ϕ → ψ ):0 .. .
(ϕ):1 (ψ):1
(ϕ):0
(ϕ):0 (ψ):1
(ϕ):1
(ψ):0
(ψ):0
4.4. Méthode des ontre-exemples
(ϕ ↔ ψ ):1 .. .
81
(ϕ ↔ ψ ):1 .. .
(ϕ):1
(ϕ):0
(ϕ):1
(ϕ):0
(ψ):1
(ψ):0
(ψ):0 (ψ):1
La méthode est pratique (et rapide) surtout lorsqu'on a beau oup de lettres propositionnelles diérentes. Exer i e 4.1
Utilisez la méthode des ontre-exemples pour montrer si les formes de raisonnement suivantes sont valides ou non : 1. p → (q ∨ r), ¬(q ∧ r)/¬p 2. (p → q) → r, ¬r/¬(¬p ∨ q) 3. /p → (q → p) 4. p ∧ ¬(¬q ∧ ¬r), p → ¬r/q 5. (p ∨ r) → (q ∧ s), ¬s, ¬p ↔ q/q ∨ r 6. p ∨ r, p → q, r ↔ s/q ∨ s 7. (p ∧ r) → q, q → (p ∧ q)/p ↔ q 4.4.2
Dans
LP1
Règles de al ul
Le prin ipe reste le même. Il faut dé rire un ( ontre-)modèle. Ie trouver des distributions possibles des individus du domaine par rapport aux prédi ats. Les individus sont nommés par des onstantes. (∃xBx):1 où c doit être une onstante nouvelle dans le shéma. C'est .. fondamental. . L'idée est que l'hypothèse de départ ∃xBx nous dit qu'il y existe au moins objet qui véri e B ; on dé ide don de (Bc):1 donner un nom à et objet, en l'o
urren e c ; ainsi on a une tra e de son existen e. (∀xBx):1× On utilise ∀x une fois ave la onstante a (si qq..
hose est vrai pour tout x, 'est vrai pour n'importe quel .
onstante a). Il est onseillé d'utiliser une onstante déjà introduite dans l'arbre. I i il ne faut pas barrer l'hypothèse (Ba):1 ∀xBx, ar on peut la réutiliser par la suite (en eet 'est une universelle, don ela vaut pour toute onstante). On mettra juste une × pour indiquer qu'on l'a examinée au moins une fois.
82
Chapitre 4. Raisonnements et inféren es
(∀xBx):0
.. .
où c doit être une onstante nouvelle !
(Bc):0
où a peut être une onstante qu'on a déjà utilisée ( 'est même re ommandé). Et on ne barre pas.
(∃xBx):0×
.. .
(Ba):0
Qu'est- e qu'un ontre-exemple i i ? On l'obtient lorsqu'on arrive à des formules simples de la forme prédi at onstante(s). Ca nous indique omment doit être la fon tion d'interprétation. Si on tombe sur une ontradi tion, on stoppe la bran he. On s'arrête : quand on n'a que des ontradi tions, ou quand pour haque
osntante introduite on sait omment elle se omporte vis-à-vis de haque prédi at. Par exemple, si on onnaît les valeurs de Ba, Ca, Cb, on ne peut pas en ore s'arrêter ar il faut onnaître aussi Bb. Essayons sur : ∃xBx . ∀xBx (∃xBx):1, (∀xBx):0
(∃xBx):1, (∀xBx):0
(Bc1 ):1
(Bc1 ):1 (Bc2 ):0
Le ontre-modèle est tel que I(c1 ) est un B et pas I(c2 ). Il faut alors dé rire e modèle. L'idée est que le al ul i-dessus nous donne omplètement le
ontre-modèle, et 'est un modèle minimal : il ontient seulement 2 individus, et B ne on erne qu'un des deux. ∃y∀xBxy ∀x∃yBxy
1.
(∃y∀xBxy):1, (∀x∃yBxy):0 (∀xBxa):1
2.
(∃y∀xBxy):1, (∀x∃yBxy):0 (∀xBxa):1 (∃yBby):0
83
4.4. Méthode des ontre-exemples
3.
(∃y∀xBxy):1, (∀x∃yBxy):0
4.
(∃y∀xBxy):1, (∀x∃yBxy):0
(∀xBxa):1 ×
(∀xBxa):1
(∃yBby):0
(∃yBby):0 ×
(Bba):1
(Bba):1 (Bba):0 ⊥
I i on obtient obligatoirement une ontradi tion si on essaie de onstruire le ontre-modèle. Don le raisonnement est valide. J'ai indiqué i i ave un × la sous-formule universelle traitée à ette étape du al ul. Exemples
Reprenons des exemples vus en début de ours. So rate
(10) a. Tous les hommes sont mortels So rate est un homme So rate est mortel b. ∀x(Hx → Mx), Hs/Ms 1. 2.
∀x(Hx → Mx):1, (Hs):1, (Ms):0 Bien sûr, on utilise la onstante s
qui nous est donnée dans les pré-
(Hs → Ms):1 misses, pour simpli er ∀x. ∀x(Hx → Mx):1, (Hs):1, (Ms):0 (Hs → Ms):1 (Hs):0 (Ms):1 ⊥ ⊥
qfd Les bébés et les soldats
(11) a. Tous les soldats savent mar her au pas Quelques bébés ne sont pas des soldats Quelques bébés ne savent pas mar her au pas b. ∀x(Sx → Mx), ∃x(Bx ∧ ¬Sx)/∃x(Bx ∧ ¬Mx)
84 1.
Chapitre 4. Raisonnements et inféren es
(∀x(Sx → M x)):1, (∃x(Bx ∧ ¬Sx)):1, (∃x(Bx ∧ ¬M x)):0 (Ba ∧ ¬Sa):1
2.
(∀x(Sx → M x)):1, (∃x(Bx ∧ ¬Sx)):1, (∃x(Bx ∧ ¬M x)):0 (Ba ∧ ¬Sa):1 (Ba):1 (Sa):0
3.
(∀x(Sx → M x)):1, (∃x(Bx ∧ ¬Sx)):1, (∃x(Bx ∧ ¬M x)):0× (Ba ∧ ¬Sa):1 (Ba):1 (Sa):0 (Ba ∧ ¬M a):0
4.
(∀x(Sx → M x)):1, (∃x(Bx ∧ ¬Sx)):1, (∃x(Bx ∧ ¬M x)):0 (Ba ∧ ¬Sa):1 (Ba):1 (Sa):0 (Ba ∧ ¬M a):0 (Ba):0 ⊥
5.
× (∀x(Sx
(M a):1
→ M x)):1, (∃x(Bx ∧ ¬Sx)):1, (∃x(Bx ∧ ¬M x)):0 (Ba ∧ ¬Sa):1 (Ba):1 (Sa):0 (Ba ∧ ¬M a):0 (Ba):0 ⊥
(M a):1 (Sa → M a):1
85
4.4. Méthode des ontre-exemples
6.
× (∀x(Sx
→ M x)):1, (∃x(Bx ∧ ¬Sx)):1, (∃x(Bx ∧ ¬M x)):0 (Ba ∧ ¬Sa):1 (Ba):1 (Sa):0 (Ba ∧ ¬M a):0 (Ba):0 ⊥
(M a):1 (Sa → M a):1 (Sa):0
OK
(M a):1
OK
I i on trouve un ontre-exemple (en fait deux fois le même) qui orrespond à un modèle qui omporte un et un seul individu (i i I(a)) et et individu véri e B et M , et pas S , ie un bébé qui sait mar her au pas mais qui n'est pas soldat. Vous pourvez revéri er : 'est bien un ontre-modèle, les prémisses seront vraies et la on lusion fausse. La on lusion est fausse ar i i tous les bébés savent mar her au pas ( ar il n'y en a qu'un), don il n'y en a au un qui ne sait pas mar her au pas. L'argent ne fait pas le bonheur
(12) a. L'argent ne fait pas le bonheur Ri hard a de l'argent (beau oup) Ri hard n'est pas heureux b. ¬∀x(Ax → Hx), Ar/¬Hr D'abord il ne faut pas se tromper dans la tradu tion des prémisses. I i
Ax ≈ x a de l'argent et Hx ≈ x est heureux .
I i 'est assez simple : ¬∀x(Ax → Hx):1, Ar:1, ¬Hr:0 Hr:1 ∀x(Ax → Hx):0 (Aa → Ha):0 Aa:1 Ha:0
86
Chapitre 4. Raisonnements et inféren es
I i on obtient d'emblée le ontre-modèle : 'est un modèle où il y a un autre individu que Ri hard, par exemple Albert (a) qui a de l'argent et qui n'est pas heureux. Ca semble évident, mais ela montre que la méthode nous donne bien le bon résultat à oup sûr. Ce qui est très important 'est de penser à introduire une nouvelle onstante pour réduire (∀x(Ax → Hx)):0 et surtout ne pas réutiliser r. Là où il ne faut pas se tromper :
(13) ∃xAx ∧ ∃xBx/∃x(Ax ∧ Bx) 1.
(∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0
2.
(∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0
(∃xAx):1
(∃xAx):1
(∃xBx):1
(∃xBx):1 (Aa):1
Et i i il ne faut surtout pas prendre la même onstante pour traiter ∃xBx et ∃xAx, ar rien ne nous dit qu'il s'agit du même individu qui véri e A et B . Don on va introduire b. 3. (∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0 4. (∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0× (∃xAx):1
(∃xAx):1
(∃xBx):1
(∃xBx):1
(Aa):1
(Aa):1
(Bb):1
(Bb):1 (Aa ∧ Ba):0
5.
(∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0
6.
(∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0×
(∃xAx):1
(∃xAx):1
(∃xBx):1
(∃xBx):1
(Aa):1
(Aa):1
(Bb):1
(Bb):1
(Aa ∧ Ba):0
(Aa ∧ Ba):0
(Aa):0 ⊥
(Ba):0
(Aa):0 ⊥
(Ba):0 (Ab ∧ Bb):0
87
4.4. Méthode des ontre-exemples
7.
(∃xAx ∧ ∃xBx):1, ∃x(Ax ∧ Bx):0 (∃xAx):1 (∃xBx):1 (Aa):1 (Bb):1 (Aa ∧ Ba):0 (Aa):0 ⊥
(Ba):0 (Ab ∧ Bb):0 (Ab):0
OK
(Bb):0 ⊥
Exer i e 4.2
Valides ou nons valides ? 1. ∀xBx → ∀x(Cx ∧ Bx), ¬∃x¬Bx/Cb 2. ∀x(Ax ∨ Bx), ∀x(Bx ∨ Cxa)/∀x(Ax ∨ Cxa) 3. ∀x¬(∃yDxy ∧ Ax), Dab/Aa → ∃x∀y¬Dxy 4. ∀yBay → ∀y¬Cay/∃x∀y¬(Bxy ∧ Cxy) 5. ∀x∃yBxy/∀xBxx
Exer i e 4.3
Quelques oreillers sont moelleux Au un tisonnier n'est moelleux Quelques tisonniers ne sont pas des oreillers Solution : ∃x(Ox ∧ Mx) ¬∃(T x ∧ Mx) ∃x(T x ∧ ¬Ox)
88
Chapitre 4. Raisonnements et inféren es
(∃x(Ox ∧ Mx)):11 , (¬∃(T x ∧ Mx)):13 , (∃x(T x ∧ ¬Ox)):06 (1)
(4)
(Oa):1
(2)
(Ma):1
(T a ∧ Ma):0
(T a):0
(T a ∧ ¬Oa):0
(6)
(7)
(2)
2
(∃x(T x ∧ Mx)):0
(3)
(5)
(Oa ∧ Ma):1
(T a):0
4
5
(Ma):0 ⊥ 7
(¬Oa):0
OK Interprétation du résultat : on a i i un ontre-modèle dans lequel il n'existe pas de tisonnier. En eet e modèle est minus ule ar il ontient un seul individu, dénoté par a. C'est un oreiller moelleux. Si on souhaite trouver un ontre-modèle moins pauvre, dans lequel il existe des tisonniers, il su t de poursuivre l'arbre en ajoutant l'hypothèse (∃xT x):1 et de voir e qu'on trouve. Prolongeons sous (T a):0. .. . (T a):0 ∃x(T x):1 (T b):1 (T b ∧ Mb):0 (par appli ation de (3)) (T b):0 ⊥
(Mb):0 (T b ∧ ¬Ob):0 (par appli ation de (6)) (T b):0 (Ob):1 ⊥ OK
I i, b est un tisonnier-oreiller pas moelleux. Mais surtout, dans e modèle, b est le seul tisonnier ; don il n'y a pas de tisonnier qui ne soit pas aussi un oreiller. Don la on lusion est fausse.
