22/09/2013

Programme du Math1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques

1. Ensembles, Relations, Applications 2. Structures Algébriques fondamentales

Math1 L1 – Semestre 1 SM – ST

3. Suites numériques 4. Fonctions d’une variable réelle: Calcul différentiel et intégral

Dr. M. ZIDANI-BOUMEDIEN

5. Algèbre Linéaire USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Avant-propos

Bibliographie:

Le programme de ce cours est bien chargé, n’est-ce pas? Oui, et c’est pour cette raison qu’un support de cours adapté à ce programme est absolument indispensable et c’est aussi pour cette raison que nous insisterons sur la compréhension des concepts nouveaux de ce cours en tenant compte de ce que vous avez déjà appris au lycée. Nous traiterons chaque concept, autant que possible, selon différentes représentations: symbolique, numérique, visuel et verbal. Une fois ces concepts de base bien assimilés, vous n’aurez aucun mal dans la suite de votre cursus, à vous approprier les techniques associées à chaque concept selon votre spécialité.

1) Nikolaï Piskounov. « CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL », Tome 1 et 2. Editions Mir, MOSCOU 1980 ou Ed. Ellipses 1993. 2) B. Démidovitch. « RECUEIL D’EXERCICES ET DE PROBLÈMES D’ANALYSE MATHÉMATIQUE». Editions Mir, MOSCOU 1984. 3) James STEWART. «Analyse : concepts et contextes Vol 1 Fonctions d'une variable ». Editeur DE BOECK, 2011. 4) exo7.emath.fr 5) http://www.bibmath.net/ 6) …

Vu que les filières SM et ST s’intéressent essentiellement aux mathématiques appliquées, dans ce cours, les démonstrations purement formelles ne seront pas prioritaires.

4) et 5) pour vous exercer mais ne vous dispersez pas avec trop de lectures sur le web! USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Avant-propos Évidemment, pour réussir ce cours de base, il faut au moins: Lire et Relire le cours, Faire les exercices proposés, Poser des questions et Persévérer! Les chapitres 1 et 2 sont particulièrement nouveaux pour vous mais le cours sera mis sur la page web de la faculté de mathématiques, par chapitre. Certains chapitres sont déjà prêts, d’autres restent à faire. Comme nul n’est infaillible, des erreurs pourraient se glisser dans cette première contribution malgré mes multiples vérifications. Les remarques et/ou questions, sont les bienvenues de la part de mes collègues ou même des étudiants à qui nous disons:

‫بالتوفيق‬ USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Chapitre 1. 1. Notions de Logique. 2. Ensembles 3. Relations: d’ordre et d’équivalence. 4. Application, injection, surjection, bijection. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Notions de Logique

Notions de Logique

1) Mots Mathématiques

Considérons la situation suivante: Deux étudiants Salim et Rachid veulent travailler ensemble à la bibliothèque le lendemain de leur rencontre. Rachid dit à Salim: « s’il pleut, je ne viendrai pas ». Salim lui répond: « Ok ». Il n’a pas plu mais Rachid n’est pas venu, donc Salim s’est fâché, considérant que Rachid a manqué à sa parole. Rachid, a-t-il vraiment manqué à sa parole? Cette situation est une des ambiguïtés du langage courant (qui crée d’énormes problèmes entre les gens!) que la logique par son langage rigoureux permet d’éviter. D’autre part, si une question se pose, donner une réponse, n’avance à rien si celle-ci n’est pas justifiée. C’est par une démarche logique, un raisonnement ou une démonstration, que la réponse est jugée vraie (juste) ou fausse. C’est donc par les moyens que donne la logique, qu’il est possible de construire un raisonnement mathématique rigoureux.

En plus des termes primitifs, ou mots du langage courant avec le sens courant, il existe des mots spécifiques aux mathématiques: Une assertion est un énoncé qui prend une seule des 2 valeurs logiques: soit vrai, soit faux. Exemples: « 1=0 » est une assertion fausse; "e x  0, pour tout x réel " est une assertion vraie; " x 2 " n’est pas une assertion. Un axiome est un énoncé qu’on ne peut pas démontrer parce qu’ils sont les premiers, ils sont vrais par convention. Exemple, les axiomes d’Euclide. Les énoncés qui se démontrent, sont classés selon leur importance: •un théorème est une assertion vraie déduite d’autres assertions déjà connus en utilisant les seules règles de la logique au moyen d’une démonstration. Il s’agit en général d’un résultat important à retenir ; •un lemme est un résultat préalable utile pour démontrer un théorème; •un corollaire est une conséquence importante d’un théorème ; •une proposition est une assertion jugée vraie ou fausse sans ambiguïté, par une démonstration facile. Une proposition est moins importante qu’un théorème.

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2) Symboles mathématiques de base A. Le quantificateur universel  et le quantificateur existentiel  : Si, pour toute valeur de la variable x d’un ensemble E, la proposition P est vraie (vérifiée), on écrira: x , P vraie. S’il existe au moins une valeur de la variable telle que la proposition P soit vérifiée, on écrira: x , P vraie. Exemples: Soit les propositions suivantes contenant la variable x réelle:

A(x) : x 2  1  0; B(x) : x 2  x  x(x 1); C(x) : x  1  x .

Pour dire si ces propositions sont vraies ou fausse en utilisant les quantificateurs, on écrira: x  -1,1 tel que A(x) vraie ou x  -1,1 A(x) vraie  x, B(x) vraie ou simplement  x, B(x);  x,C(x) fausse.

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Notions de Logique

3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques Connecteurs logiques

opérations entre propositions formalisme mathématique A. Négation: La négation de P, notée P ou « non P » ou P , est la proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. Exemples: P: «x est pair »,P : « x impair»; Q: « a = b », non Q: «a ≠ b» H: «x , P vraie », non H: « x , P non vraie ». B. Conjonction « et »: « P et Q » veut dire P est vraie et Q est vraie en même temps. Notation de « et » :  C. Disjonction « ou »: « P ou Q » indique que l’une au moins, des deux propositions est vraie, (mais, P et Q faux en même temps: impossible) donc le sens cumulatif du « ou »se traduit par l’une des expressions: On peut aussi résumer avec un tableau de vérité: valeurs de « P ou Q » en vert

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1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) D. Implication: une relation entre deux propositions (ou entre deux ensembles de propositions): « P et Q » , qui veut dire « si P est vraie, alors Q est vraie ». On note P  Q; on dit: P implique Q ou P entraine Q. L’énoncé verbal d’une implication constitue un théorème: P  hypothèse et Q  conclusion; on peut aussi énoncer: Pour que P soit vraie, il faut que Q soit vraie; Q est une condition nécessaire de P. Pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie; P est une condition suffisante de Q. L’implication est transitive i.e. Si P, Q et A sont trois propositions, les hypothèses P  Q et Q  A entrainent P A. L’implication n’est pas tjs symétrique i.e. P  Q n’entraine pas tjs Q P. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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1) P vraie, Q faux; 2) Q vraie, P faux; 3) P et Q vraies.

B. Égalité « = »: « a = b » veut dire « a désigne le même élément que b ». Par abus de langage, on dit « a égal b ». USTHB – Fac. Math - 09/2013

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1. Notions de Logique 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) E. Équivalence: Si P Q et Q P, on a une équivalence logique. On note:  et on énonce : P est équivalente à Q . On peut aussi énoncer: Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie; P est vraie si et seulement si Q soit vraie; Le symbole  s’utilise aussi dans le cas d’une définition, on note cette def équivalence verbale: 

4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration opérations logiquesméthodes de raisonnement ou de démonstration. But: Montrer l’implication H  C. A. Démonstration directe: déduire logiquement C de H, en se basant sur la transitivité de l’implication (raisonnement déductif). B. Substitution par une ou des propositions équivalentes. C. Cas par cas. Exemple: Montrez que x   1,3, x  1  2. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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1. Notions de Logique 4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration (suite) C. Démonstration par l’absurde: H  C équivalente à H  C , donc on suppose que H  C vraie et on montre qu’on aboutit alors à une impossibilité (absurdité). Ce qui entraine que H  C est fausse d’où H  C est vraie. Exemple: Montrez que √2 est irrationnel. D. Démonstration par la contraposée: montrer C  H (car H  C équivalente à C  H) . Exemple: Montrez que n² est pair n pair. E. Démonstration par contre-exemple: on trouve une ou des valeurs de x pour lesquels H (x) est vraie et C (x) est fausse. F. Démonstration par récurrence: pour montrer une proposition P portant sur un sous-ensemble F de l’ensemble des entiers naturels N. On vérifie la proposition pour le premier élément (le plus petit) de F, ensuite on suppose que la proposition est vraie jusqu’au rang n, et on démontre que la proposition P est vraie pour le rang suivant n+1. on conclut alors que la proposition est vraie pour tout n dans F. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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2. Ensembles 1) Notations et vocabulaire (suite) C. Représentations d’un ensemble: a) Graphique: Les éléments de l'ensemble sont placés dans une zone délimitée par une courbe fermée(ellipse sur l’exemple): Exemple: Cet ensemble A contient trois éléments a, b et c. Diagramme de Venn. b) En extension: tous les éléments que l’ensemble fini contient, sont énumérés entre accolades {…}. Exemple: A=a ,b , c . c) En compréhension: l’ensemble est défini à partir des éléments d'un autre ensemble E qui satisfont une certaine propriété P. Forme générale: A  x  E P x  , i.e. A contient tous les éléments x de E, qui vérifient la propriété P. d) Autre notation: symbole  pour les ensembles infinis en extension. Exemple:   0 ,1,2 ,3,. e) Ensemble vide: noté , ensemble unique, ne contient aucun élément. f) Singleton: noté . , un ensemble qui ne contient qu’un seul élément. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Ensembles

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Ensembles

Un ensemble est un objet mathématique représentant une collection d'objets, appelés éléments de l'ensemble. Ensembles déjà connus: ensembles de nombres (entiers, relatifs, réels, complexes). 1) Notations et vocabulaire A. Appartenance: Symbole d'appartenance ∈.

On écrit: a ∈ A, on lit «l'élément a appartient à l'ensemble A » ou « a est un élément de l'ensemble A ». Pour indiquer qu'un élément a n'appartient pas à un ensemble A, on écrit a ∉ A. B. Cardinal: Card A ou |A|. Le cardinal (ou taille) d'un ensemble A: nombre d'éléments dans l'ensemble A. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Ensembles

2) Comparaison d’ensembles A. Égalité: Définition : Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils sont composés des mêmes éléments. En d’autres mots, si tous les éléments de A se trouvent également dans B et réciproquement. On écrit: A  B ssi x , x  A  x  B Exemple: Si A  0,1,2,3,4,5,6,7; B  x  N 0  x  7 alors A  B B. Inclusion; Sous-ensemble ou partie d’un ensemble Définition L’ensemble A est inclus dans l'ensemble B si et seulement si tous les éléments de A sont des éléments de B mais tous les éléments de B ne sont pas nécessairement dans A. On note A  B ssi x  A  x  B ; on lit: «A est inclus ou égal à B». On dit aussi que A est un sous-ensemble ou une partie de B. Inclusion stricte: A  B ssi A  B et A  B . Autre définition de l’égalité de deux ensembles A et B:

A  B ssi A  B et B  A

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Opérations sur des ensembles  un nouvel ensemble A. Intersection: Symbole  Définition: L'intersection de deux ensembles A et B, notée A  B , est un ensemble contenant les éléments appartenant à A et à B : A  B = { x | x∈ A et x∈ B }. Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A  B ={c}.

2. Ensembles 3) Opérations sur les ensembles (suite) B. Union: Symbole  Définition: L‘union de deux ensembles A et B est un ensemble contenant les éléments appartenant à A ou à B : A  B = { x | x∈ A ou x∈ B }. Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A  B ={a, b, c, d, e}. Propriétés • L'opération d‘union est commutative et associative:

Définition: Deux ensembles A et B sont dits disjoints lorsque leur intersection est vide. On note : A B  . Propriétés • L'opération d'intersection est commutative et associative et on a donc : A  B = B A et A (B  C) = (A  B)  C. • L'intersection de deux ensembles est toujours un sous-ensemble des deux ensembles originaux: A  B  A et A  B  B.

• L'intersection de deux ensembles est toujours un sous-ensemble des deux ensembles originaux: A  A  B et B  A  B. C. Ensemble des parties: P(.) Définition: L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P(E), est un ensemble qui contient tous les parties (ou sous-ensembles) de E : P ( E ) = { S | S  E } et Card P (E) = 2Card E .

3) Opérations sur les ensembles

A B  B  A

et

A  B  C    A  B  C

Exemple: A={a, b, c}, P(A)={{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, }. (Card P(A)= 2³ = 8) USTHB – Fac. Math - 09/2013

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2. Ensembles 3) Opérations sur les ensembles (suite) D. Différence. Complémentarité: Symbole / Définition La différence de deux ensembles A et B, notée A / B, est un ensemble contenant les éléments appartenant à A, mais n'appartenant pas à B : A / B = { x | x ∈ A et x ∉ B }. La différence A/B est appelée complémentaire de B par rapport à A. On note alors A/B = C A B (ou B). Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A/B= C A B  a,b. Propriétés • En général, cette opération n’est ni commutative, ni associative • On a toujours: A/B  A . E. Opérations sur les complémentaires: Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires : A  B  A  B. Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires : A  B  A  B. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Relations: d’ordre et d’équivalence

 Terme primitif: relation ou correspondance.  Compare entre les éléments de deux ensembles E et F .  Représentée par un ensemble de paires ordonnées. Exemples: 1) considérons les sections de L1 (USTHB) et les enseignants de math L1. On a par exemple: B et H sont l’enseignant de la section ST11 (math1 et math2), Z est l’enseignant de la section ST31, A est l’enseignant de la section ST1, C est l’enseignant de la section SM1, … ; on a donc des paires ordonnées (enseignant, section). Notons L l’ensemble de ces paires: L = { (B, ST11), (Z, ST31), (A, ST1), (C, SM4), (C, ST5), (H, ST11), …}. Cet ensemble définit la relation ‘est l’enseignant de’ entre 2 ensembles: l’ensemble des enseignants et l’ensemble des sections du L1(USTHB). 2) Considérons les ensembles A={ -2,0,1, 2, 3,4} et B={ -1, 0, 1, 6, 8, 9}. La relation D « est le double de » est représentée par { (-2,-1),(0,0),(2,1)} . MATH1 - L1- S1

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3. Relations: d’ordre et d’équivalence 2) Image, antécédent d’un élément

Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A×B= { (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e) }. Les deux ensembles A et B sont représentés par des segments de droite, les points en rouge sont les éléments du produit cartésien, ils sont entourés par le rectangle qui représente l’ensemble produit cartésien. USTHB – Fac. Math - 09/2013

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Reprenons l’exemple 2 précédent sur les nombres. Considérons les ensembles A={ -2,0,1, 2, 3,4} et B={ -1, 0, 1, 6, 8, 9}. La relation T: « est le double de » est représentée par: { (-2,-1),(0,0),(2,1)}  A B Trois représentations visuelles d’une relation binaire: Diagramme à flèches Tableau Graphe -2

-1 4

3 0 1

1 6 9 0

2

8

x

y

-2

-1

0

0

2

1

A B A: ensemble de départ ou Domaine de T; B: ensemble d’arrivée ou image USTHB – Fac. Math - 09/2013

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A B Maintenant, formalisons ! En fait, on a définit la relation par trois ensembles: 1) L’ensemble de départ (des flèches) 2) L’ensemble d’arrivée (des flèches) 3) L’ensemble des flèches chaque flèche montre les éléments liés par la relation donc un couple. Exemple: (B, 11), (Z, 31),etc. MATH1 - L1- S1

Si Card A= m et Card B=n, alors Card A × B=mn.

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Relations: d’ordre et d’équivalence

3) Définitions formelles

Image d’un élément: - A, B, H, Z ont chacun une seule image. - C a deux images. - D, N, T n’ont pas d’image. Antécédent d’un élément: - 1, 4, 5, 31 ont chacun un seul antécédent. - 11 a deux antécédents. - 23, 2 n’ont pas d’antécédent.

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Définition: Le produit cartésien de deux ensembles A et B, noté A×B, est un ensemble contenant des paires (ou couples) d'éléments provenant des ensembles A et B : A × B = { (x,y) | x∈ A, y∈ B }.

3. Relations: d’ordre et d’équivalence 2) Représentation visuelle d’une Relation

1) Qu’est-ce qu’une Relation?

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2. Ensembles 3) Opérations sur les ensembles (suite) F. Produit Cartésien: Symbole ×

A. Relation binaire Définition: Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F toute proposition définie sur le produit cartésien E × F. Le graphe G de la relation est l’ensemble des couples pour lesquels la proposition est vraie. Si (x, y) ∈ G, on note par exemple xR y. G  E × F. Exemple: La relation d’égalité x = y est une relation binaire. B. Domaine et Image: Domaine: DR  x  E y  F , xR y . Image: ImR  y  F x  E , xR y. Exemple: Donnez la relation représentée par le diagramme suivant en mots, puis en ensemble de paires ordonnées. Quel est son domaine et son Image? 9 3 25 36

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4) Propriétés des relations Définition: Soit une relation R sur E. On dit que R est : • Réflexive si ∀x ∈ E, x R x ; • symétrique si ∀(x, y) ∈, x R y ⇒ y R x ; • antisymétrique si ∀(x, y) ∈ E2, x R y et y R x ⇒ x = y ; • transitive si ∀(x, y, z) ∈ E3, x R y et y R z ⇒ x R z.

A. Relation d’ordre: Définition: Soit une relation R sur E. On dit que R est une relation d’ordre si R est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Exemples: • La relation d’ordre la plus commune: la relation ‘supérieure ou égale’ (resp. ‘inférieur ou égal’) sur l’ensemble R des nombres réels. Cette relation se note ≥ (resp. ≤).

Exemple: Soit l’ensemble A= { -1, 1, 2,3,4} et R la relation ≤. • R Réflexive: oui car ∀x ∈ E, x R x ; • R symétrique: non car si ∀(x, y) ∈, x R y ⇒ y R x ; • R antisymétrique: oui car si ∀(x, y) ∈ E2, x R y et y R x ⇒ x = y ; • R transitive: oui car si ∀(x, y, z) ∈ E3, x R y et y R z ⇒ x R z.

•

• La relation ‘n divise m’ est une relation d’ordre sur N.

Exercice: Étudiez ces propriétés pour les exemples des sections 3.1 et 3.2 MATH1 - L1- S1

• La relation ’