137
Dynamique du point matériel
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138
Dynamique du point matériel
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139
Dynamique du point matériel
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140
Dynamique du point matériel
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141
Dynamique du point matériel
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Dynamique du point matériel
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144
Dynamique du point matériel
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145
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146
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147
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148
Dynamique du point matériel
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149
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151
Dynamique du point matériel
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152
Dynamique du point matériel
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R+P
Fe = 0
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P ' = 65(10 2)
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LMD1/SM_ST
153
Dynamique du point matériel
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u
uz
r
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z = OM
Fr
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OM = (OM
F = ur (0
F ).u z = z.F .ur .u z
z.F ) u (r.Fz
r.Fz .u .u z + z.Fr .u .u z + r.F .u z .u z 0
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LMD1/SM_ST
154
Dynamique du point matériel
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Univ-BECHAR
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155
Dynamique du point matériel
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P1 , t1 P2 , t2
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x, g ,
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Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
156
Dynamique du point matériel
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O
M
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i
j
= x
y
0 mg
0
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p
p = mvx + mv y
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P .k ;
0 %
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O
0 (# L 0
0 ;
O
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0
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M
(0' %
j
LO = x
y
0 ; LO = m ( xy
x
y
0
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'
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' /2
k
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p .k ; LO = m ( xy
xy
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yx ) k = mgx.k
Univ-BECHAR
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#
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i
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L = OM
A.FIZAZI
>! /2
xy
'
>!
#,
;' + ('
yx = gx
LMD1/SM_ST
157
Dynamique du point matériel
**
EXERCICES Exercice 5.1 Un corps D de masse 5,5kg (figure ci-dessous) se déplace sans frottement sur la surface d’un cône ABC , en tournant autour de l’axe EE ' avec une vitesse angulaire de 10tours / mn . Calculer : a/ la vitesse linéaire du corps, b/ la réaction de la surface sur le corps, c/ la tension du fil, d/ la vitesse angulaire nécessaire pour rendre nulle la réaction du plan. On prend
g = 9,8ms
1.5 5,5kg
:)
-
1
D "$ %( !" ) ABC * . 10tours / mn & ' & EE ' " % "& " & " / % " " /) % " /. " & '/" & '" & " / 1 . g = 9,8ms $ 1 .0 "
E B
4,5m 60°
D A
C
E' Exercice 5.2 En considérant les forces de frottement comme négligeables ainsi que la masse de la poulie, 1/ montrer que la barre AB dans la figure cidessous sera en équilibre à condition que l’équation suivante soit vérifiée :
m1 ( m2 + m3 ) l1 = 4m2 m3l2 ,
2/ trouver la force que le couteau exerce sur la barre.
A
l1
O
2.5 :2 " & $ & 3 4 0 5 ' * !" ) 6 " * 7 /1 :& " " &" - " 8 * ! m1 ( m2 + m3 ) l1 = 4m2 m3l2 .) 6 " " 3 " 2 " * /2
l2
B
m1
m3 m2
158
Dynamique du point matériel Exercice 5.3 Dans cet exercice on néglige les forces de frottement ainsi que les masses des poulies et celles des fils que nous considérons comme inextensibles. Trouver les accélérations des corps de la figure cidessous dans les deux cas
"
$
3.5 4 0 5 3 " $7 "& 5 9 7 - " " * !" * : * . (b ) ( a )
.
" "
( a ) et ( b ) .
m1 m1
m3 m2
(a)
m3 m2
Exercice 5. 4 La figure ci-dessous représente un corps dont le poids est 5N et qui repose sur un plan rugueux incliné de = 35° . Le coefficient de frottement statique est 0.80 . On prend g = 10ms . a/ Quel doit être l’angle d’inclinaison pour que le corps décolle ? b/ Quelle est la force de frottement statique maximale? c/ Quelle est la force normale pour 35° ? d/ Quelle est la force de frottement statique pour une inclinaison de 35° ?
< 7
"
(b) 6 4
@
" ? @& A @ 35° @ 35° "
!
. g = 10ms $ 1 . 0.80 " & '/" " & ' 7 / " 4 2 5 7 /) & A " 2 " 7 /. " 4 2 5 7 / 2
2
m
4.5 5N ; !" - . = 35° > =
159
Dynamique du point matériel
Exercice 5.5 La figure ci-dessous représente un corps dont le poids est 8N et qui repose sur un plan rugueux incliné de = 35° . Le coefficient de frottement cinétique est 0.40 . On prend g = 10ms . a/ Quel doit être l’angle d’inclinaison pour que le corps glisse avec une vitesse constante ? b/ Quelle set la force normale pour une inclinaison de = 35° ? c/ Quelle est la force de frottement pour = 35° ? d/ Quelle est l’accélération pour une inclinaison de = 35° ?
< 7
6 4
"
2
&
" @ @
= 35° = 35° @
5.5 8N ; !" - . = 35° ) = ! 2 g = 10ms $ 1 . 0.40 " & '/" " & ' 7 / @& ; & A " 2 " 7 /) " 4 2 5 7 /. = 35° B " 7 /
m
Exercice 5.6 Un corps B de masse
6.5 3kg B ?6 D .( !" ) 5kg ' " & IJ $F & " B ) * . " A? C qui empêche A de bouger. .C Calculer l’accélération du système si on soulève C .
" 7 " "
C
A
B
Exercice 5.9 Un point matériel de masse vitesse
initiale v0
faisant
m est lancé avec une un
angle
avec
l’horizontale. Il est soumis au champ de gravitation terrestre. I. Le tir a lieu dans le vide : 1. Isoler le point matériel et lui appliquer le principe fondamental de la dynamique. Calculer alors l’accélération a ( t ) . Calculer :
2. la vitesse v ( t ) . 3. la position OM
(t ) .
4. la distance OA . 5. l’altitude maximale zmax atteinte par ce projectile. II. Le tir a lieu dans l’air : Le point matériel est soumis à un frottement
9.5 ? J v0 & = & m 3 & & K$ .& 6 & $ " " ?6 8 ? & '" : /I F " 3 8 & " & " ' F /1 . a (t ) B " $= ) F . " :) * . v (t ) & " /2 . OM ( t ) ?6 " /3 . OA = xmax & " /4 .& $ " I
;"
163
Dynamique du point matériel
O
A
B F
P0 Exercice 5.13 On donne le vecteur position d’un corps de masse
(
)
6kg : r = i . 3t 2 6t + j .
(
)
4t 3 + k . ( 3t + 2 )( m )
(
: 6kg
)
r = i . 3t 2 6t + j .
.
(
13.5 " ?6 " B -! -
)
4t 3 + k . ( 3t + 2 )( m )
:
Trouver :
2 ;N " F 2 " / " F 2 " ' /) ' " p & " & /. %F " dL dp . = * F= * 1 / dt dt % %F
F agissant sur le corps, b/ le moment de F par rapport à l’origine, c/ la quantité de mouvement p du corps et son & a/ la force
"
moment cinétique par rapport à l’origine, d/ vérifier que
F=
dp et que dt
=
"
dL . dt
Exercice 5.14 Un pendule est constitué d’une masse m accrochée au point M à un fil de masse négligeable et de longueur l . Le fil est repéré par rapport à la verticale par l’angle orienté . Le mouvement s’effectue sans frottement.
" M& " & ; & " " ?6 . & " % ( O, u r , u , u z ) 2
de M par rapport au référentiel R . 2/ Etablir l’équation du mouvement en utilisant le théorème du moment cinétique dans chacune des deux
" '-" & A ( O, u r , u , u z )
1/ Exprimer dans la base ( O, ur , u
bases ( O, ur , u
, u z ) la vitesse
, u z ) et ( O, u x , u y , u z ) . Démontrer
qu’elles sont équivalentes Retrouver cette même équation en appliquant le principe fondamental de la dynamique. 3/ En considérant des oscillations d’amplitude 0 , trouver l’expression de la tension du fil lors du passage du pendule par sa position d’équilibre. Quelle est donc la condition sur la tension du fil pour que celui-ci ne casse pas ?
*. . % 0 ?6
= " 2 IJ" P !"
*
-
" -"
" "&
14.5 m& P .l " & 3 . &3 " & '" 5!" " /1 .R? "& " M& & " &" - ?6 /2 " * 7
. ( O, u x , u y , u z )
F " 8 3 &" - " &- " : $ : ' ' 74 " " 2 $F 7 . 0 m, g , l &"4 @? 4
/3 ' " "
164
Dynamique du point matériel
Exercice 5.15 Deux boules identiques, assimilables à deux points matériels de masse m , sont fixées aux deux extrémités d’une barre AB de masse négligeable et de longueur 2d . Cette barre, astreinte à rester dans le
15.5
:$ 36 % ; :; . 2d " & 3 AB ) 65 3 %m & " ) 6 " $7 ( OX , OY ) 0 " E " plan ( OX , OY ) , est articulée en G à une tige OG - . a 3" & 3 3 8 ? G J % de masse négligeable et de longueur a . Le .( !" A *) 2 1 '" & " mouvement est repéré par les angles
1
et
2 (voir
figure).
&
"
&
" LO .
Calculer directement le moment cinétique LO du système par rapport au point O de m, a, l ,
1 et
" 2
'-" 2 ! ) * m, a, l , 1 &"4 O &
"
en fonction
2.
X
O 1
G
A 2
B
Y
Exercice 5.16 Un point matériel M , de masse m , lié par un fil inextensible de longueur l à un point fixe A , tourne avec une vitesse angulaire constante autour de l’axe AZ . 1. étant l’angle que forme AM avec la verticale, calculer la tension T du fil puis l’angle en fonction de m, g , l et .
16.5 5 9 & J %m 3 M& & AZ " % A& ; & "F l " " . & ;& '& ? AM 3- J " & '" 7 : $F /1 & '" ; " T " ) * % 5 !" . m, g , l &"4 OF " :$ & : ; H ) * /2 2. Calculer en coordonnées cylindriques d’origine O 2 . A >" & " M >" " '-" l’expression du moment cinétique de M par rapport 0 " &J ' < '" & " ! * 1 à A. Vérifier que sa dérivée par rapport au temps est égale . M >" & " A & " au moment par rapport à A de la résultante des forces appliquées à M . Z A l
O X
Y
M ( m)
165
Dynamique du point matériel
Exercice 5.17 Un pendule simple est suspendu au toit du wagon d’un train qui roule en ligne droite sur un terrain plat à 1
une vitesse de 120km.h . Un passager s’aperçoit que le pendule dévie subitement vers la droite, faisant un angle = 10° avec la verticale ; il conserve cette position pendant 30 secondes, puis revient à la verticale. 1/ Comment interprétez-vous la déviation du pendule ? 2/ Calculer le rayon de courbure. 3/ De quel angle le train a-t-il tourné ? On prend
g = 9.8m.s 2 .
Exercice 5.18 Une corde de masse M uniformément répartie sur sa longueur L (figure ci-dessous) peut glisser sans frottement sur la gorge d’une poulie bloquée de très petit rayon. Quand le mouvement
:17.5
5 & K "F 8 P A / . 120km.h & & &6 * 8 - J % " 21 K P " * ?6 " 7 A V 5 !" ? = 10° & ' . 5 !" "F ; %& ; 30 2 @ 5 !" P " K K /1 .E 4 5 KJ ) * /2 @ " 3 " & '" 7 /3 2 . g = 9.8m.s $ 1 1
18.5
!" ) L " A & ' M L' 84' 4 ( . IJ 5 KJ : $ " & 5 9 2 2 & " * commence BC = b . Montrer que lorsque BC = L , % BC = L " * 7 . BC = b 3 3 g g : 7& " 2 a= 7B " W l’accélération est a= et la 3 3 2
2g 2 2 bL b 2 L 9 L . b = 7 m L = 12m :
"
& $ " B , z0 ) . Dans la région considérée, & 6 & " l’accélération de pesanteur g sera considérée comme .& - " uniforme.
0
Le
référentiel
( 0, ur , u
, uz )
=r
z0 . r0
2/ Appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans et la projeter sur la base locale des coordonnées
cylindriques ( ur , u
, u z ) . Ecrire le
système des trois équations différentielles obtenues. 3/
Déduire
la
relation
= f ( r0 , v0 , r )
de
l’expression de la composante orthoradiale de l’accélération du point M . 4/ Mettre l’équation différentielle d’intégrale r ( t )
sous la forme :
r+
A ( r0 , v0 , z0 ) r3
r+ & " & = &
= B ( r0 , z0 , g )
5/ Pour quelle vitesse initiale v1
A ( r0 , v0 , z0 ) r3
& 5 M&
%
= f ( z0 , g ) le
"
sur le cône, autour de l’axe ( Oz ) ?
: $ & 6 " &" 6/ Multiplier par 2 les deux membres de l’équation ) * . t ' " & : !" différentielle de solution r ( t ) et l’intégrer une fois r2 = par rapport au temps t . Présenter l’équation 0
différentielle forme : r
2
obtenue
= f ( r0 , v0 , z0 , r , g ) .
sous
la
z
uz
H
u
M0 u z0
O 0
x
g
0
= B ( r0 , z0 , g ) /5 v1 = f ( z0 , g ) & = H
" ' " %M & " * 7 /1 z .z =r 0 > r0 3 * ; " & &5/-" 8 /2 . ( ur , u , u z ) & : ; X" & " 2 " .3 J " &;/;" & 6 " :4 - " & ) * & " 2 -" = f ( r0 , v0 , r ) &5/-" M F /3 . M & " B " & 6 -" : !" r (t ) " & 6 " &" - " ?6 /4
est
galiléen. 1/ Montrer que la côte du point M , notée z , est donnée par : z
19.5 M& & " " " . & * " ' KJ % t &A "
y
7
5
KJ
&A
@ ( Oz ) " -" 2 ) 6F /6 " 2 2 3 r (t ) " 3 J " & 6 " &" - " f ( r0 , v0 , z0 , r , g )
167
Dynamique du point matériel
Exercice 5.20 Une particule de charge q et de masse m , se déplaçant avec une vitesse v
dans un champ
électromagnétique ( (le champ électrique étant Ek et le champ magnétique Bi forme :
(
F = q E+v
) subit une force de la
Avec a nulle.
=
sin
v&
m 3
q 3
Ek 7 : !"
= 3" 2 ;1
" ) ( Bi 7
(
F = q E+v
)
B .
On suppose E et B constants en module et sens. Montrer dans ce cas que la particule se déplace dans le plan yOz selon une trajectoire en forme de cycloïde d’équations :
y (t ) = a (
20.5
) et z ( t ) = a (1
cosn
).
m qB et = . La vitesse initiale est q m
&
.G 4
"
:G " -
# 7 :& % ! #% " ?& &% 2 & ) = T / : =5 # , ( T/
B
1
T
T1
F
7 5 . T ' ' - . " ! 5 #! % ! #% m3 m2 '' > # ' @ 5 " ! ( # ' I ,!
m3 m1 m1m2 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
Univ-BECHAR
( 4 ) % ! > # ' - #%
,!
( 6)
LMD1/SM_ST
171
Dynamique du point matériel
. a3 a2 = ar
a1 ; a2 =
&%'
a2
# ' 8#'!' $ F #% : m2 ' a2 > # ' - #%
m3m1 m1m2 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 a2 =
4m2 m3 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
m3m1 m1m2 4m2 m3 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
: m3 ' a3 = ar + a1 ; a3 =
m3m1 m1m2 4m2 m3 g+ g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 a3 =
m3m1 m1m2 + 4m2 m3 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
: m3
2 P3 + T1 = 2m3 .a3
P2 + T2 = m2 .a2
2 P2 + T1 = 2m2 .a2
1 T2 = T3 = T1 2
.a
. 1!5): # B % : % '% 5 %!
T1 = m1a1
P3 + T3 = m3 .a3
'
(E< 5 A '
m2 D m1
T1 = m1a1
=5
a3 > # ' - #%
- % > # '= # > # ' . aa = ar + ae A '. $ m3 m2 ' ' % ! > # ' : a2 = ar a1 : : a3 = ar + a1 : :
(8) T1 2 P2 = 2m2 ( ar a1 ) ( 9 ) T1 + 2 P3 = 2m3 ( ar + a1 ) (10 )
B # #! .5 # # 5 .( ae = a1 ) m1 ' > # ' . +? E# '@ " % ! #% #$ # ' m2 ' #$ # ' m3 ' % ! #% : %#' F #!! #& G#%
T1 = ma1
.
: (9) ar =
( m1
a1 =
#,
A.FIZAZI
# #!
'
( m1 + 2m2 ) a1 g
2m2
: m1
: (12 )
2m2 ) g
# H # ' - #%
4m2 m3 m1m2 m1m3 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
' &% :
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Univ-BECHAR
@ #, #! ! ' % ! > # ' 8 ' !
(11)
! (10 )
#,
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LMD1/SM_ST
172
Dynamique du point matériel
ar =
2m3m1 2m1m2 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
. a2 = ar
a1 ; a2 =
&%'
# ' 8#'!' $ F #% : m2 ' a2 > # ' - #%
2m3m1 2m1m2 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 a2 =
(13)
4m2 m3 m1m2 m1m3 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
3m3m1 m1m2 4m2 m3 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
a3 > # ' - #%
: m3 ' a3 = ar + a1 ; a3 =
2m3m1 2m1m2 4m2 m3 m1m2 m1m3 g+ g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 a3 =
4m2 m3 m1m3 3m1m2 g m1m2 + m1m3 + 4m2 m3
4.5 A# ' @
' '
0
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F + P + N = ( mA + mB ) .a , F = ( mA + mB ) .a
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f s ,max, A = mA .a f s ,max, A = µ s N A
a=
N A = PA = mA g
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A.FIZAZI
µ s mA g mA
(1) ' #,
Univ-BECHAR
,
F mA + mB
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f c = µc mA g
Univ-BECHAR
, mC = 15kg
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f c = mA a
PB T = mB a
A.FIZAZI
µs
a=
)C
( mB µc mA ) g mB + mA
J ! : , a = 1.36ms
2
LMD1/SM_ST
176
Dynamique du point matériel
N
f s ,max
N T
A
C
T
f s ,max
T
A
T
PA
T T
PA + PC
T
T
B
B
PB
PB
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t
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k t m
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m 1 e u x + ! vL .t + ( v0 sin + vL ) k !
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m v0 cos k
1
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k t m
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m ( v0 sin + vL ) 1 e k
(#.
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k t m
vz = vL + ( v0 sin + vL ) e
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k ts m
k ts m
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vL v0 sin + vL vL v0 sin + vL ts =
A.FIZAZI
e
k ts m
k ts m
=
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e
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0
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OM =
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k t m
dOM = !( v0 vL ) e
0
k t m
u x + ! vL + ( v0 sin + vL ) e !
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m k
vz
: dOM v= = ( v0 vL ) e dt
vL = g
.u x + v0 sin .u z ) + vL .uz e
v = ( v0 cos
OM
m uz k
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=0 vL v0 sin + vL
vL k ts = ln m v0 sin + vL
v k ln 1 + 0 sin m vL
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
179
Dynamique du point matériel
:# #! m xs = v0 cos k
'
1 e
xs =
zs =
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m v0 cos k
1+
m v0 cos k
m v0 sin k
vL .
vL .
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1 e
k t m
m ( v0 sin + vL ) 1 e k
z (t )
m v0 cos = A x ( t )t k m = ( v0 sin + vL ) vL .t k
v m ln 1 + 0 sin k vL
v m ln 1 + 0 sin k vL
, z (t ) =
=
v m ln 1 + 0 sin k vL
v m ln 1 + 0 sin k vL
vL . vL
:t x ( t )t
J
v0 sin vL
v km ln 1+ 0 sin mk vL
v0 sin m ( v0 sin + vL ) k vL + v0 sin
x (t ) =
' #,
1
1
1 m ( v0 sin + vL ) 1 v k 1 + 0 sin vL
zs =
(9) ' !
v km ln 1+ 0 sin mk vL
m zs = ( v0 sin + vL ) 1 e k
zs =
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k t m
x (t )
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(9)
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(10 )
z ( t )t
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(11)
B
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#
(11)
t
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A.FIZAZI
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Univ-BECHAR
)#* :
III
LMD1/SM_ST
180
Dynamique du point matériel
z
z
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m v0 cos k x
O
x
O
10.5
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2
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sin
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T
T
2
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Univ-BECHAR
J #. #$
LMD1/SM_ST
186
Dynamique du point matériel
=
0
g t l
sin
: =
g g cos t l l
0
: =0
sin
!
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g t =0 l
' J?
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: 1 5 g cos ( 0 ± k( ) l cos ( 0 ± k( ) = ±1 =
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g l
0
:= # T =m g+
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g l
0
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DG
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O/G
A/G
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j yG = a sin
1
xG = a 1 sin
1
yG = a 1 cos LG / O = 2ma 2
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A.FIZAZI
% ! #%
: ( LO / G ) "#
% 5 %!
)
k 0 = ( xG yG
1 1
(1)
2 1
(
xG yG )
0
: ( LA / G = LB / G ) F "
LA / G = m GA & vA / G
Univ-BECHAR
OC
' &!
LO = LG / O + LA / G + LB / G LG / O = OG & pG / O
, ,
!
)
LMD1/SM_ST
187
Dynamique du point matériel
i LO / G =
j
x = d cos ' A
x = d ' A
2
k
y = d sin ' A
2
sin
y =d ' A
2
2
cos
LA / G = md 2 2 1
+ 2md 2
2 2
)
( 2)
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LO = 2m a 2
,
x 'A y A'
0
2
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2 2
(
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2
2 1
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2 2
) 16.5
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1
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T sin
2
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T =m
r = l sin
: ; 5: tg =
T sin mg
sin cos cos
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7 !
B
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l
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!
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2
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l
G#% A C % ! #% M C
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v = v = l sin .u p = ml sin .u
ur LM / A = AM & v = l sin 0
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u
uz
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&%
LM / A = ml 2 sin
l cos 0
2 &
*
( cos
.ur + sin .u z )
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5 !
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: F '()*+,
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
188
Dynamique du point matériel
F = T + P = ma F = T sin F =m
2
= ma N = m
2
r
l sin .ur
: AM >#,. AM = zu z + rur F =m
2
l sin .u
Z A
l uz
T
uz
O
Y
u M
T sin
X
u
P
ur M/A
= AM & F =
l sin m 2l sin
u
uz
0 0
l cos 0
M/A
:
( cos
LM / A = ml 2 sin dLM / A = ml 2 sin dt
2
( cos
(1)
sin .u
% ! #%
.ur + 0
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)
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ur = .ur : 5 ) ,!
( 2)
sin .cos .u
,
dLM / A = dt
2
.ur + sin .u z )
: dLM / A = ml 2 dt
= ml 2
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*
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A.FIZAZI
Fc P
'
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) ,! . 2 & #! %
# & /1 ! M ! "7 ' %#& . /2
P + Fc = T
v2 tg = R mg m
Univ-BECHAR
R=
v2 g.tg
LMD1/SM_ST
189
Dynamique du point matériel
120.103 3600 R= 9.8 × 0,176
O
T
"
R
2
R = 631N
*
Fc
#
:=
# ( !#/ :
d=R B
. P2
AB L
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d , R
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' 91°
' 1,59rad ,
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+
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&% 7
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F = Fr + F + Fz = m r r
A.FIZAZI
.
# # $ /1
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a
#' & . z = r
#' /P
7 R * !
4
!* ,
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M
ur + r + 2 r
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b 2 + bL
1 tg =
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#,
19.5
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#
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: v=
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1 2 g 2 v = x 2 L
+%
1
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v.dv =
2g x g dx L
v.dv =
L = 12m := , : % '
)u
r
(
+ m 2r + r
)u
+ mzu z
(1)
mguz mg ) u z
Univ-BECHAR
( 2)
LMD1/SM_ST
192
Dynamique du point matériel
: #'
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8
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B
!
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1
*
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1 :1.6
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x
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1 W = k .x 2 2
dW = kx.dx 0
F
+
2
W = 2.25.10 J
4.6 ! 4
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B
!
, .
1 . 2kg "
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5&
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9)+ :
W = F .dx :!
0 )
.! 0 E : B
F=ma
dv F=m = 2t dt
B 0
1
t v = 2. .dt m 0
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Univ-BECHAR
0
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1 . B
F 0 ! 0
1 v = t 2 (m.s -1 ) 2
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! 0
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H
LMD1/SM_ST
199
Travail et énergie
v=
:
dx 1 2 = t dt 2
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x
dx C
1
1 W = F .dx = 2t. t 2 dt 2 0 0
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F
B
!
. OX
1 dx = t 2 dt 2
, !
1 W = t4 4
5
(2,0)
5
W=0.25J
1 . F = 2 xyi + x 2 j
5&
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(0,0)
: OX
& B
I&
6" !
1
3 (
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! B
!
W = ( Fx .dx + Fy .dy ) = (2 x.0.dx + x 2 .0)
,
F
dr = dx.i
;
W =0
:! : A 4 5& F = x2 . j
dy = 0
?
)+
W =0
dr
(énergie cinétique):
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J
9)+ dW = FT .ds = m
>3
dv ds dt
. dW = FT ds 1
dW = m
ds dv dt
W = 12 mvB2
W = m vdv
1
dW = mvdv
:. /
B
/2
1 2
!
(10.6)
!
(11.6)
mv A2
A
.B + v
"I &
vB
4
m
A
&
"I
va 7
>
: :
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
200
Travail et énergie
(12.6)
Ec = 12 mv 2
:
1
p = mv
p2 Ec = 2m
(13.6)
(théorème de l’énergie cinétique) :
=
&/
!
.
! >
." W = Ec
"
&
L ":"!
&
& (14.6)
Wi = Ec i
8
5
5& ?
>4
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0
@
v0
!
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) NC ? O
+
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6 " h
: P *& ; + 8 v=0
v0
z
Z
mM T R2 mM P = mg = G 2 T z
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M (t )
P h
@AB, O
:
z
P g R2 = = P0 g 0 z 2
R
g = g0
X
W = Ec : 1 2 mv 2
1 mv0 2 = 2
R+h
>
6
R+h
P.dz = R
mg.dz R
: v=0
A.FIZAZI
R2 ; g=-g.k z2
Univ-BECHAR
* & 5/>1 M& 8
LMD1/SM_ST
201
Travail et énergie
0
1 mv0 2 = m 2
v0 = g 0 .R
1 z
2
R+h
R2 g 0 2 .dz = g 0 .R 2 z
R R+h
R
2 g 0 R.h R+h
v0 = R
:$
R+h
1 z
$
#%
#
&
# /3
(les forces conservatives ou dérivant d’un potentiel)
3
&
)
4
63 0
> 1
!
"
1
>
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! 0
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I& .! / )
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+ OZ 7
B
( ;
&
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P = F = mgk
Z
B
k
( ;
0 . /
! 0
(16.6)
!
dr = dx.i + dy. j + dz.k
O
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g P
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W=
!
A
6.6 .EF+,
! 1
!
1=
: " + & z2
mgdz
W = mg ( z2
9)+ &
I&
z1 )
W = mg ( z1
!;
>!; 1
) 1 5& )+
LMD1/SM_ST
202
Travail et énergie
5
F = ( x2
A(0,0)
N
"
!
y 2 ).i + 3 xy. j
9)+ !+ . y = x 2
! 6" B(2,4)
y = 2x
: y = 2x
:5.6
' (
)& :
F = 3 x 2 .i + 6 x 2 . j
y = 2x
dy = 2dx ; dr=dx.i + dy. j
dr=dx.i + 2dx. j
W = F .dr = ( Fx .dx + Fy .dy ) = ( 3 x 2 .dx + 12 x 2 )dx 2
2
W = 9 x 2 dx = 3x3 ;
W=24J
0
0
: y = x 2 :*! y = x2
F = ( x2
dr=dx.i + 2 xdx. j (x2
W = F .dr = ( Fx .dx + Fy ).dy =
x 4 )dx + 6 x 4 dx
2
1 W = ( x + 5 x )dx = x + x3 3 0 0 2
. "
4
5
F
W=34.6J
9)+ " F
F (
)
B
W = F .dr = E p A E pB
(17.6)
A
>
.( E p = 0 )
9) R
5 .
: !
@ "
> ( ; "G
*,- $
Ep
+
(Relation entre différentielles du travail et de l’énergie potentielle)
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
203
Travail et énergie
: + &
P
dE p ( z ) = E 'p ( z ).dz
. dW = mgdz
"
#
L
;
,1
+ V (M ) +
E p ( M ) = E p ( x, y , z )
E
"
4 Ep =
"
L
# *&
T O
A
.
(35.6)
:
"
> :
EM = Ec + E p
!
/6 :
>
(36.6)
EM = Ec + E p ( x, y , z )
: $+ *
k
: + v
* &
( ; C m
& &
;D (
> t
&
" l l0 = x
EM = 12 mv 2 + 12 kx 2
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
208
Travail et énergie
EM = 12 mv 2 + mgz : 8
B !3
P
>
!
:
(principe de la conservation de l’énergie mécanique)
(
"
- !
4
.1)
"
>!
"
0+++++++1 2 : C te U EM = Ec + E p = C te
.
> .
P
= >!
1A
L
&
"
EM =
+ L
L
(
>
) :=
.
>
L
x= a
( L 10.6 ! 4 !;
( L
! 4 EP 5&
EM Ec
Ep
1 2
EM = C te
k .a 2
Ec
Ep O
a
x
+a
X
! E
1 E c + E p = ka 2 = C te 2
>
! 4 5&
*
" 1
3 (40.6)
>
! 4 5&
&
9 P .O /
m = 1g
A
. vB' = 4ms
1
B
&
' vA = 0 5 !/
@
'
R = 1, 25m +
>
I
:7.6
/
!
.(11.6! 4 ) . g = 10ms
A.FIZAZI
2
) D .=
9)+ !
>
I
Univ-BECHAR
=
9)+ 1 ( ;1
LMD1/SM_ST
210
Travail et énergie
C
O
A m
E p ( A) = E p (C ) = 0
R
B
: 2 1 2 mvB
EM = 0
V
mgR = 0
)+ vB > vB' :
4
W frott = 12 mvB' 2
1
8
.
; .? 0
&
((
x+
2 0
8 9 *& 4
W frott :7
*#&
:
+
"
: !; )
:7
: 1
3
.(
W frott = 4.5 × 10 3 J < 0
mgR
!
1 6
&
EM =
(oscillateur harmonique simple)
!
P 1
vB = 5ms
:* & EM =
>
.?
BB
:
0
.x = 0 :
&
x = a cos( t + ) :! 4
: :2 B
P
+
9) 8
!
1
(énergie de l’oscillateur):: :2
.( l *
: 8
) .
" ! 1
5& . .O
*&
1
8
( ) 12.6 ! 4 !; & T T
P
& m &
&;'
!
"? =
64 !; > & :
) D .
!
B& ,
E p = mgz = mg (OH ) = mg (CO CH ) = mgl (1 cos ) v = l .u : +
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
&
@
LMD1/SM_ST
211
Travail et énergie
Z
Z
C
C
l
l
T
N H
T
H
m
z0
z
m
z
O
O
P
( )
12.6
:(> & ! ? !
5
1) E &
>
,
1 EM = E p + Ec = mgl (1 cos ) + ml 2 2 = C te 2 g > O / 02 = 8; ' ml 2 5& (41.6) l
5&
2
! 1
0
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+2
2 0
) 1 ) 3; " . @
EM = 0
E p = Ec
:
+2
2 0
!/
.
;
1 z ) = ml 2 2
(47.6)
>3
5 ! /
(44.6)
:.
5
mg sin = ml
5& 2 0
+
?
"!
( .I
5 ? ( 4
3 -
? 9) " ' ( E ) 5 ? >
&
+ ( D) .1 ) ( D) (0
!;
P
)+
-
;
( D)
. 800g * & /
/:
4
/, :
(14.6)! 4
A.FIZAZI
1:
4,
Univ-BECHAR
P)
/
LMD1/SM_ST
214
Travail et énergie
p12 p1' 2 p2 = + 2m1 2m1 2m2
p12 = p2' 2 + p 2
m1 = m2 = m = 60° :!
+ ! = 90°
cos
8@ > OAB 7&;
A3 ? .B
p1' v1' = = p1 v1
v1' = 0.50ms
1
A
p1'
p1
p1
O
)
! = 30°
B
p2
: cos( 30°) =
mv v = mv1 v1
4,
v = 0.87 ms
1
(choc mou)
&
8
/0
)
&/P
p1 (
8/
O/" ) :
9)+ " p' (
&
p1 + p2 = p ' = Cte
&
0< 8/
EP
p2
:
:$
F .
8 / !>
/,
p=0
(53.6)
p12 p22 p' 2 + = 2m1 2m2 2(m1 + m2 )
(54.6)
1 1 1 m1 .v12 + m2 .v22 = (m1 + m2 )v ' 2 2 2 2
(55.6)
8 / 20ms :
8
1
&
5kg
/0
) .15ms
1
I
:9.6
I
(
N & & .8 A.FIZAZI
/0
Univ-BECHAR
6kg
/ ,
1 /,
LMD1/SM_ST
215
Travail et énergie
/,
1
12.23m.s
(discussion des courbes d’énergie potentielle):
.(8
6" 8 )
1
"
134.5kg .m.s
!
P
15.6 ! 4 5&
1
&;
4
,
dx
! />
% ! /8
dE p
F=
.!P ?
/ :
7 ! !
:! 4 5& F
B 5
1
. E p ( x) 5
! !;
5
dE p dx
1
F
5& ?
(! &
4
+ B
> . />
.! 4 !P 1 6
15.6 ! 4 5&
9)+
Ep E p ( x)
(4)
K
I (3)
H
M2 C
O
A EM
D M1 E p
A' B++++++++A A
G M3
B
Ec
-++++>?
A.FIZAZI
F
x
B' -++++>? @ + ++++++/A
(2) (1)
-++++>? B++++++++A A
Univ-BECHAR
-++++>? @ + ++++++/A
LMD1/SM_ST
216
Travail et énergie
"? (
!; . Ec = EM
E p ( x) 5
F
.) (1) 8 1
.!
F U xB
" E p ( x) 5 :
&
B B +0 0
& ,
:
*? =
>
*
B
B
? A
Ep < 0
&
"
) (0
"
>
5&
>
:4 '
.B A
"
& 1
4 . P&
"
&/ P
.) (2) 8
B B +0 >
&
xA
)+ Ec = EM
:
Ep > 0
B
5&
>
: !
"
I + . C , D, F , G F U xG
15
&/ P
xF
BP
9)+
"
' xD 0
?)
!
7
)+
1
xC
&/ P
=
"0
DF
( Ec = EM
Ep < 0
.$ 8
.(3)8
&
"
>
: .H,I
BB+
8
.(4) 8
&
"
> .
0
: !
5 K
(positions d’équilibre):$:
L/1 1
1
> .$:
>,
+
1 (
' M3 , M1 ) ) #
.( B A.FIZAZI
"
'3 &> .( B
9 B ) $: +
:
dx
=0
"
9)+ . M 3 , M 2 , M 1 :
> ,
&
Univ-BECHAR
;< E p ( x) $ (
: ;V
) ) # 5
$: :
$
E p ( x)
> 0B : I
:
E ! *& I)
: W ' = F ' dr = C.x.dx
P
)+
&
>
Y
:
? 9)+ !
W ' = C.x 2 .dt < 0
(
:
1 +
4: ! .
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
218
Travail et énergie
**
EXERCICES Exercice 6.1 Une particule est soumise à une force définie par ses coordonnées cartésiennes :
1.6
F = ( x + 2 y + z) i + ( x 3y z) j +
( 4x +
F = ( x + 2y + z)i + (
y + 2z ) k
, ,
Où
sont des constantes.
( 4x +
x, y, z sont en
, ,
!
pour que F dérive
(
& /1 .! & /2
, , %
'
)
. E p ( 0, 0, 0 ) = 2 !& .) F
E p ( 0, 0, 0 ) = 2 .
Exercice 6.2 On considère dans un repère cartésien un champ de
2.6 :2
) F/ . 0
%. 1 1 F = X ( x, z ) i + yzj + x 2 + y 2 k 2
forces F d’expression :
F = X ( x, z ) i + yzj + x 2 +
F !
, ,
*" + ( ,- E p ( x, y, z ) !
2/ Trouver l’expression du potentiel E p ( x, y, z )
dont dérive la force sachant qe
y + 2z ) k x, y , z
.! " F
mètre et F en newton. 1/ Trouver les valeurs de d’un potentiel.
: x 3y z) j +
1 2 y k 2
1
"
Ep " 4 ! F + ( 1 X ( x, z ) !3) /1 !& .) 2 " 1 énergie potentielle E p que l’on calculera, sachant que - 5 " . O 1 ." 4. 6 Oxy / la force est nulle en O . On prendra le plan Oxy comme ! . 4 '.) ! 7. ! 4 8 & /2 origine des énergies potentielles. : 4 9 ,2. Calculer alors, par deux méthodes différentes le long de l’hélice d’équations x = R cos , y = R sin , z = h paramétriques x = R cos , y = R sin , z=h , 4 " ' 6 M1 ( = 0 ) 4 " ! F ) le travail de F du point M 1 ( = 0 ) au . M2 ( = ) point M 2 ( = ) . '.) " 7. " '.) : " ; /3 1. Déterminer
X ( x, z ) pour que F
dérive d’une
3. Obtiendrait-on un résultat différent en calculant le travail le long d’une autre courbe ?
m 2. 2 2 F = ( x + y ) u x + xzu y + xyu z
)
C ( 2, 4, 1) , d/
la
ABCD où B ( 2, 2, 1) et
courbe
paramétriques : x = t
A.FIZAZI
définie
par
les
, y = t2 , z = t ,
"
. D ( 2, 4, 2 ) 4 " ' 6 A(1, 2, 1) 4 " !
1) au point D ( 2, 4, 2 ) .
Calculer le travail de la force F suivant chacun des trajets suivants : a/ la droite AD , b/ la ligne brisée
4
3.6
F = x 2 + y 2 u x + xzu y + xyu z Du point A(1, 2,
= '" "
:
?
B ( 2, 2, 1)
équations sachant
Univ-BECHAR
! ?.
+ ABCD
F
)8 AD % " 4
: 4 9 A 2 x=t , y =t , z =t
& / /8
C ( 2, 4, 1) '" " /@
LMD1/SM_ST
219
Travail et énergie que la particule quitte le point A à l’instant t A et atteint le point D à l’instant t D
=0
tA = 0 B . 1 A ! .4" 4 " !& .) . t D = 2s B . 1 D 4" ' 6 :
= 2s .
Exercice 6.4 Une particule de masse
4.6
m se déplace sous l’action k d’une force attractive F = u . La trajectoire est r2 .
m
un cercle de rayon . Montrer que : a/ l’énergie totale est E
=
k , 2
k & 2 k 'v = & m . L = mkr &
'E =
k b/ la vitesse est v = , m c/ le moment cinétique est
L = mkr .
Exercice 6.5 Une particule se déplace depuis l’origine O jusqu’au point A défini par l’action de la force
k u r2 :!" ! #
.F =
r = 3u x + 4u y + 16u z sous
F = 7u x + 6u y . Calculer :
a/ le travail effectué. Est-il nécessaire de spécifier le chemin suivi par la particule ? justifier. b/ la puissance moyenne s’il faut 0, 6s pour aller d’un endroit à un autre. c/ la variation de l’énergie cinétique sachant que la masse de la particule est 1kg . e/ la vitesse finale si on considère la vitesse initiale nulle. f/ la différence d’énergie potentielle entre les deux points. Que remarquez-vous ? Déterminer l’énergie potentielle au point B défini par r ' = 7u x + 16u y 42u z .
/ (
/
*+, /)
5.6 A 4" ' >
?. !
. +
W = 28 J
() 2 !
$
#
&
D
)
LMD1/SM_ST
230
Travail et énergie
LO = mr 2 LO = mr 2
v 1 k = = r r mr
1 k r mr
:
#
LO = mkr
0. D !
.
:5.6 F
%
!/
dW = F dr 3
W=
Fx dx + Fy dy + Fz dz
W= 0
0 3
4
Fx dx + Fy dy 0
4
W=
7 dx + 6dy = 21 + 24 0
W = 45 J
0
: 1# W 45 , Pmoy = t 0, 6
Pmoy = !Ec = " Wi
!Ec = 45 J :
&
1 :
1 2 mv 0 = !Ec 2
v=
Pmoy = 75W
&F! 2!Ec m
1! & 1 ) & A C # /= 4 5 '&# & ' 4 ! '&# / , v = 9, 48ms
:; ! %& . * # D ! !E p = W
1 ! 1 1? . ( E p, A = 0)
1
.
!
1
) & A /3
!E p = 45 J
0 &#H! 2 !E p = !Ec
:
' 1 #5 /C
+' /
"4 !
6
F
) & 1 4 '&# . # # & 1 2 # !# '&# A 1 ! - . +/ A 1! -. # / !' ! 1 0. . + )&/ ! % D ! :B 1 ! - . A 1 !
!
+1!. 2! ! C# !
dWAB = F dr
( F dx + F dy )
WAB =
x
7
WAB =
y
7
WAB =
4
16
WAB = 44 J
4
:B 1 ! EP , A
Fx dx + Fy dy 3
7dx + 6dy = 28 + 72 3
16
E p , B = WAB
) E p,B !
1 C#
@ !!
E p , B = 44 , E p , B = 44 J 6.6
&
G
# & H!5 p = p1 + p2 + p3
A.FIZAZI
&
()
Mv = mv1 + mv2 + mv3
Univ-BECHAR
&
FH ! .
C# :& H!5
LMD1/SM_ST
231
Travail et énergie
(
&F! ).
G ?7
' &
2< 0
) p3
p2 /
()
:C ! p3 p2 = sin 45° sin 45° : p3 R = p2 + p3
R=
C
p
!
#
v2 = v3
p2 I
p22 + p32
: p = p1 + p2 + p3
!!
) p1
+/
%
C#
R = mv2 2
+1
p = p1 + R
'&# %
C# J # ! -
Mv = mv1 + mv2 2
R
M = 3m
v = v1 + v2 2
3v v1 2
v2 =
v2 = v3 = 11, 3ms
1
A
p2
p
45°
O
45°
B p2 + p3
p1
45°
p3 :7.6
1
&
( M + m)
FH ! .M +
+ -+' 1! '&# C # /1 '&# () & / . &
D
'&# ' ,+ 6 m +
p1 = p2 , mv0 = mv1 + Mv
1 2 1 2 1 mv0 = mv1 + Mv 2 2 2 2 K&1 + ! m +
EC1 = EC 2 ,
: v '&# =&6 #!
(1) ( 2 ) .m 2
) # >1 , + m>
M +
/
Ec = E p ,
1! '&# C #
A.FIZAZI
v=
. 1+ ! #
mv12 = mv22
Mv 2
) ( 2)
'&#
1 x0 = v
.& .B ! M k
(1)
F'7 1 A?! C # LH! 1 A?! x0 F' !D6 ! & ! 1 -.
, x0 = 2,33cm
# m +
Univ-BECHAR
> &!
1
#! &
( 2)
C&?!
2mv0 , v = 0, 33ms M +m
1 1 Mv 2 = kx02 2 2
.M +
(1)
mv1 = mv0 Mv
'&# () -+' : ( M + m) +
/ &
/2 FH !
LMD1/SM_ST
232
Travail et énergie
p1' = p2' , mv0 = ( M + m ) v '
: !D6
!
1
v ' = 0,17ms
# ) &/
1 1 ( M + m ) v '2 = kx0'2 2 2
Ec = E p ,
mv0 M +m
v' =
&
M +m = k
x0' = v '
1
/ /3
1 . mv0
,
k (m + M )
x0' = 2,33cm
:
!Ec = " W
&
1
W=
!Ec = !E p
&F!
1! C +1
-+'
/ +
1 '2 kx0 , W = 2,17 J 2
:8.6 .
!
1
/1
& A *+H#
Ep
0
E p ,max
dE p
= 2 Kr 1
dr
r2 e a2
a +
r 2 / a2
d 2 Ep d 2 Ep
dE p
dr 2
dr
+
+
0
Ep ( r )
0
a
: I
#!
1+ - 7 dE p dt
:r $] dE p dt dE p dt
=0!
,+
dt 2
r e a2
r 2 / a2
E p ,max = Ka 2e
dE p
[N
= 2 Kr 1 d 2Ep
! 2
= 2 Kr 1
r=a
?
0 x0
"4 ! -+' / !
dE p
A.FIZAZI
!
d Ep
=0 ,
dx
dx
) 2
dE p
:
x
K 2a
A
# !
>?
/1 /2
0
dx 2
Ep K 2a
:
&F! )-! ! + & # D
x +a
(x = 2 Kx (x
2 2
2
2
)
2
=0
3a 2 +a
)
)
2 3
Univ-BECHAR
& x& A +
#!
Ep
x = ±a d 2Ep dx 2
0 x =+ a
2
d Ep dx 2
0 x= a
LMD1/SM_ST
238
Travail et énergie
& #
&A
D
2 x = a * +/ )
>?
0 ( A)
& # D >? F ! . x = + a * +/ ) 0 ( B ) ) :14.6
:
;!
! / .1
F
O ' P = OO ' + OP O ' P == a ( u x + ur )
OO ' = au x OP = aur
:
+1
u x = cos .ur
%&
-+' / ! u O ' P = a (1 + cos
sin .u
ux %
u
) .ur
G
a sin .u
: 0. a (1 + cos
O'P =
)
O ' P = 2a 2 (1 + cos 1 + cos = 2 cos
%
G
&
() * +'
u
2
+ [ a sin
'& !
G
0
+ 1
]
2
)
O ' P = 2a cos
2
2
2
2 T = k ( l l0 ) u
l = O'P N
. u = cos ur sin u
& ' #$
& -. u G
2
2
T= k
2a cos
v = aur + a u
2
l0
%
+
cos ur sin u 2 2
v = a u :%&
,&
:
?6 &
/C
.O'P - !
)
11
'&# G
16 / .2
0
F = P +T + R : R
(
H
& T&
)
P
:J
N
+/
F%
/C
+ = F .v = P + T + R v Pv = ( mg cos ur Tv = k
A.FIZAZI
2a cos
mg sin u ) a u 2
l0
cos ur 2
Univ-BECHAR
Pv = a mg sin sin u 2
a u
LMD1/SM_ST
239
Travail et énergie
Tv =
k 2a cos cos ur + k 2a cos sin u + kl0 cos ur kl0 sin u 2 2 2 2 2 2 1 Tv = a 2ka cos sin a kl0 sin Tv = a 2 k sin a kl0 sin 2 2 2 2 2
a u
1 sin 2
Rv = 0
R,v
(
)
+ = F .v = P + T + R v
+ = a mg sin + a 2 k sin
( ka
+= a
:!
mg ) sin
kl0 sin
1 %& ' -+' / ! *+
!
+= a
( ka
( ka
dE p = mg ) sin
kl0 sin
( ka
mg ) sin
+
d
= mga
sin = 2sin
2
2 3 cos
dE p
2
d
2
5 / .3 B !
>? a
2 I
= mga sin
#! %& 67 %& 3 2 cos
2
!
2
2 dE p d 0-
.& # & A
-
2
+
=0 /2
D :
A.FIZAZI
d
2
!
:-+' / !) - 7
N ! 0
a dt
2
+ C te
l0
+
sin + 3 sin cos
/=
d
6
E p = mga cos
dE p
kl0 sin
'N ! D L
"!) 4
2
2kl0 cos
!
1
:!
mg ) sin
kl0 sin
E p = a ( ka mg ) cos
1+ - 7 : E p %& ' )
" ! #! ' 1 #
2
Ep = a
:!
2
2
&/!
dW =+dt dE p = dW
a kl0 sin
& # 1
1
=0
2
=
!
I
" ! #!
/3
D >? !' ! 1+
Univ-BECHAR
+
R# !
H! /C %& . '
LMD1/SM_ST
240
Travail et énergie
d 2Ep
= mga
d d 2Ep d d 2Ep d
&F!
1
